HOMEM DE VITRUVIUS- PROPORÇÃO ÁUREA NO ENSINO .Os Pitagóricos, assim chamados por pertencerem

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    Sociedade Brasileira de

    Educao Matemtica

    Educao Matemtica na Contemporaneidade: desafios e possibilidades So Paulo SP, 13 a 16 de julho de 2016

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    1 XII Encontro Nacional de Educao Matemtica ISSN 2178-034X

    HOMEM DE VITRUVIUS- PROPORO UREA NO ENSINO DOS NMEROS

    IRRACIONAIS

    Joelma Maria da Silva

    Universidade de Pernambuco joelmasilma@homail.com

    Dayane Marques da Silva Massaranduba

    Universidade de Pernambuco dayanematupe@hotmail.com

    Vnia de Moura Barbosa Duarte Universidade de Pernambuco

    vania.duarte@upe.com Resumo: Este artigo um resumo obtido do Trabalho de Concluso de Curso, titulado de Homem de Vitruvius- A Matemtica e sua Conexo com a Arte. O objetivo foi reconhecer a Proporo urea e sua relao com o surgimento dos Nmeros Irracionais na obra Homem de Vitruvius. O artigo foi fundamentado a partir das anlises de pesquisas como de Flores (2010), Souza (2013), entre outros, alm de um questionrio referente ao uso de obras de arte pelos professores de Matemtica e se os mesmos conseguiriam visualizar conceitos matemticos, especificamente na obra Homem de Vitruvius, para o ensino dos Nmeros Irracionais. Ento, conclumos que geralmente os professores no utilizam a arte como um recurso didtico e quando utilizam so contedos de geometria plana. No caso da Obra que propomos nenhum dos professores a citou como recurso didtico para o ensino dos Nmeros Irracionais. Palavras-chave: Proporo urea; Homem de Vitruvius; Nmeros Irracionais.

    1. Introduo

    Muitas investigaes foram e esto sendo realizadas com o objetivo de propor

    alternativas para minimizar as dificuldades nas aulas de Matemtica, estimulando os discentes

    a gostarem da disciplina. Ento, propomos reconhecer a Proporo urea e sua relao com

    os Nmeros Irracionais na obra Homem de Vitruvius como um recurso didtico no processo

    de ensino aprendizagem. Nossa pesquisa, do tipo bibliogrfica e exploratria, descreveu o

    contexto histrico da Proporo urea e suas aplicaes, a histria do surgimento dos

    Nmeros Irracionais (Incomensurveis) a partir desta Proporo baseada nas pesquisas de

    Souza (2013), Landim(2014), entre outros. Alm de apontar a arte, especificamente a obra

    Homem de Vitruvius, como um recurso didtico no processo de ensino aprendizagem dos

    Irracionais.

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    Ento elaboramos um questionrio, tornando a pesquisa tambm qualitativa. O intuito

    era verificarmos a hiptese de que os professores de Matemtica geralmente no utilizam arte

    nas suas aulas e que os mesmos no iriam propor o ensino dos Nmeros Irracionais atravs da

    figura Homem de Vitruvius. Como foi apresentado a seguir.

    2. Descoberta da Incomensurabilidade

    Por volta de 580 a. C., Pitgoras fundou a famosa Escola Pitagrica no Porto Martimo

    de Crotona. Os Pitagricos, assim chamados por pertencerem a Escola Pitagrica,

    acreditavam que tudo no mundo podia ser expresso em termos de fraes, isto , nmeros

    racionais (Belussi, 2005). Um dos Pitagricos, Hipaso de Metaponto, no conseguindo

    exprimir como quociente entre dois nmeros inteiros, chegou a uma determinada concluso

    que deixou atordoados os Pitagricos porque contrariava toda a lgica que conheciam e

    defendiam chamando Irracional.No se sabe ao certo como Hipaso de Metaponto observou os

    Irracionais pela primeira vez, mas, bastante provvel que os primeiros Incomensurveis

    conhecidos por ele venham de demonstraes precisas sobre, entre outros, o valor da razo

    entre diagonal e lado de um pentgono regular.

    Se comeamos um polgono regular ABCDE e traamos as cinco diagonais, essas diagonais se cortam em pontos ABCDE que forma outro pentgono regular. Observando que o tringulo BCD, por exemplo, semelhante ao tringulo issceles BCE e observando tambm os muitos pares os tringulos congruentes no diagrama, no difcil ver que os pontos ABCDE dividem as diagonais de um modo notvel. Cada um deles divide uma diagonal em dois segmentos desiguais, tais que a razo da diagonal toda para o maior igual deste para o menor (BOYER, 1974, p. 37).

    Assim essas subdivises passaram a se chamar Seco urea de um segmento.

    Euclides, em sua obra Elementos (2009), tambm fala de Incomensurabilidade onde

    magnitude se refere reta. As magnitudes, retas, so ditas comensurveis as que so medidas

    pela mesma medida, e incomensurveis, aquelas das quais nenhuma medida comum

    possvel produzir (EUCLIDES, 2009, p. 353).

    A descoberta desses nmeros assinala um dos marcos de grande significado a Histria

    da Matemtica.

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    A Proporo urea, estudada pelos Gregos num contexto geomtrico, aparece em

    muitas de suas construes como base representada pela letra grega (Phi) que obtido pela

    proporo . A designao adotada para este nmero a inicial do

    nome do arquiteto e escultor Fdias, Phi.Segundo Marques (2013, p. 22), desde a Antiguidade

    j era notvel a utilizao da Proporo urea. O Parthenon Grego (Figura 1), por exemplo,

    uma construo que contm a Proporo urea presente no retngulo que tem a fachada

    (largura /altura) com o intuito de obter uma obra bela e harmoniosa (Landim, 2014). Esse

    retngulo chama- se Retngulo ureo (Figura 2).

    Figura 1:

    Parthenon Figura 2: Retngulo ureo Fonte: http://www.matematicaefacil.com.br/2015Fonte: http://www.mat.uc.pt

    Conforme Sousa Neto (2013), Retngulo ureo um retngulo ABCD dado que

    suprimir um quadrado de lado AD, como por exemplo, ADFE, o retngulorestante, CBEF,

    ser semelhante ao retngulo original. J que o retngulo original tem Propores ureas,

    possvel repetir esta operao de suprimirquadrados infinitamente em que sempre encontrar

    retngulos semelhantes, mantendo a Proporo urea em cada um deles.

    De acordo com Souza (2013), Fibonacci, Leonardo de Pisa, deixou grandes

    contribuies para o estudo da Proporo urea entre elas a Sequncia de Fibonacci

    (1,1,2,3,5,8,13,21,...) na qual cada termo depois dos dois primeiros a soma dos dois

    antecessores. Boyer (1974, p. 186 e 187) afirma que a razo entre os termos desta sequncia

    ir convergir para o nmero de ouro, ou seja, .

    3.Calculando a Proporo urea como Nmero Incomensurvel

    possvel obter a Proporo urea de infinitas maneiras, dentre elas atravs de um

    segmento de reta qualquer AB e um ponto C pertencente mesma. Segundo Azevedo; Garcia;

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    ______________d_____________

    A _________________C__________ B

    ________x_________ ____d-x_____

    Magro; Serres (2010, p. 14), dado o segmento AB, dizemos que um ponto C divide este

    segmento em mdia e extrema razo se o mais longo dos segmentos mdia geomtrica entre

    o menor e o segmento todo. Ou seja,

    Figura 3: Segmento de retas elaborado pelas autoras. Fonte:Massaranduba; Silva;2015.

    Logo em que o segmento o ureo de . Algebricamente,

    encontra- se a partir da substituio e .

    Ento, assim cujas razes sero:

    = e . Admitindo- se apenas a

    raiz maior que 0 (zero) deve- se racionaliza- l . =

    = Ao calcular o inverso da razo entre os segmentos, resulta na

    Mdia Razo . Por se tratar de medidas positivas descarta-se a raiz negativa.

    Pelo mesmo processo se obtm pelo ponto exterior. Enfim, a razo entre cada segmento ureo

    e o segmento a que ele se refere a Proporo urea.

    3. Homem de Vitruvius

    Marcus Vitruvius Pollio no perodo I a. C., em sua srie intitulada de De Architectura,

    descreve as propores do corpo humano aaqaapresentada como um modelo ideal para o ser

    humano, cujas propores so perfeitas, segundo o ideal clssico de beleza. Vitruvius tentou

    adequar propores do corpo humano dentro da figura de um quadrado e um crculo, no

    entanto suas tentativas foram frustrantes. Mas durante o Renascimento Leonardo da Vinci

    interpretou os textos devidamente dentro dos padres matemticos.

    Em 1490, Da Vinci descreve a figura de um homem nu, conhecido como Homem

    Vitruviano ou Homem de Vitruvius, em duas posies sobrepostas com os braos inscritos

    num crculo e num quadrado separadas e simultneas.O Homem Vitruviano considerado

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    smbolo da simetria bsica do corpo humano e para o universo como um todo. Segundo

    Chaves (2008), Um antebrao ou cbito a largura de seis palmos; Um passo quatro antebraos; A

    longitude dos braos estendidos de um homem igual altura dele; [...] A distncia

    do fundo do queixo para o nariz um tero da longitude da face; A distncia do

    nascimento do cabelo para as so