HUGO LUIZ OLIVEIRA
Uma formulao alternativa do Mtodo dos Elementos de Contorno
aplicada anlise da
propagao de fissuras em materiais quase frgeis
Dissertao apresentada ao Departamento de Engenharia de
Estruturas da EESC-USP como
parte dos quesitos necessrios para obteno do ttulo de Mestre em
Engenharia Civil (Engenharia
de Estruturas).
Orientador: Prof. Dr. Edson Denner Leonel
So Carlos
2013
Autorizo a reproduo total ou parcial deste trabalho, por
qualquer meio convencional ou
eletrnico, para fins de estudo e pesquisa, desde que citada a
fonte.
Aos meus pais Teresinha e Jorge (em memria)...
AGRADECIMENTOS
Ao Pai Celestial, sempre, e em primeiro lugar, pelas enormes
bnos derramadas
sobre mim durante a realizao desse trabalho. Trabalho este que
significa um importante
passo para a concretizao do sonho de me tornar um
pesquisador.
minha famlia pelos manifestos de apoio e compreenso em todos os
momentos,
ainda que difceis. Em especial minha me, Teresinha, e ao meu
irmo Igor.
minha namorada, Karla, pelo carinho, compreenso e incentivo
durante essa longa
jornada.
Ao prof. Dr. Edson Leonel, pela ateno, pacincia e disposio em me
atender,
mesmo que por inmeras vezes. Sua praticidade, objetividade e
coerncia profissional, tm
sido importantes na minha formao, enquanto pesquisador, e
certamente corroboraram para o
desenvolvimento do trabalho. Alm de um grande orientador, ganhei
um grande amigo.
Ao prof. Dr. Humberto Coda, pela amizade e pelos vrios
ensinamentos, tanto
cientficos quanto para a vida. Suas falas so veementes e
evidenciam a experincia de uma
pessoa sbia.
Ao prof. Dr. Rodrigo Paccola, pela amizade e companheirismo, bem
como nas vrias
conversas sobre engenharia que contriburam para o trabalho. Aos
demais professores do
departamento de estruturas pela slida formao que me propiciaram,
como Proena, Paiva,
Giongo e Jorge, e todos os demais. E ainda toda equipe da
secretaria do SET pelo
acolhimento e adicionais ajudas burocrticas.
Ao professor Dr. Francisco dos Santos Rocha que me atendeu
prontamente, e se
disps a esclarecer vrias questes referentes ao tema do trabalho.
Tema este, que por sinal
encontra razes em suas pesquisas.
Aos amigos de turma, Daniel, Joo, Elias, Matheus, Paulo Eugnio,
Diego, Diogo,
Janaina, Gramoza, Alomir, Fernando, Tiago, Lucas, Igor, Ketson
(monstro), Arthur, Lauren,
Carlinhos, Paulo Vitrio, pelos momentos de amizade e descontrao.
Aos alunos de
doutorado, Fbio Rocha, Dorival, Aref, Edimar, Rafael, David,
pelos ensinamentos
transmitidos.
CAPES pelo apoio financeiro, que possibilitou a dedicao
exclusiva esta
pesquisa. FAPESP pelo financiamento dos equipamentos utilizados
e das despesas com
eventos nacionais e internacionais para a divulgao do presente
trabalho.
LISTA DE SIGLAS
DBEM Dual Boundary Element Method
EESC Escola de Engenharia de So Carlos
MEC Mtodo dos Elementos de Contorno
MEF Mtodo dos Elementos Finitos
MFEL Mecnica da Fratura Elstica Linear
MFF Modelo de Fissuras Fictcias
MFNL Mecnica da Fratura No Linear
MRP Mtodo dos Resduos Ponderados
OC Operador Constante
OT Operador Tangente
PFH Parte Finita de Hadamard
PTV Princpio dos Trabalhos Virtuais
PVC Problema de Valor de Contorno
SET Departamento de Engenharia de Estruturas
USP Universidade de So Paulo
VPC Valor Principal de Cauchy
ZPI Zona de Processos Inelsticos
RESUMO
OLIVEIRA, H. L. Uma formulao alternativa do Mtodo dos Elementos
de Contorno
aplicada anlise da propagao de fissuras em materiais quase
frgeis . 2013. 133 f. Dissertao (Mestrado em Engenharia de
Estruturas) Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So
Paulo, So Carlos, 2013.
Este trabalho trata da anlise da propagao de fissuras,
independente do tempo, em domnios
bidimensionais utilizando uma formulao alternativa do mtodo dos
elementos de contorno
(MEC). O MEC vem sendo utilizado com sucesso na anlise de
diversos problemas de
engenharia. Considerando problemas de mecnica da fratura, o MEC
especialmente
eficiente devido reduo da dimensionalidade de sua malha, o que
permite a simulao do
crescimento das fissuras sem as dificuldades do processo de
remalhamento. Nesta pesquisa,
desenvolvem-se formulaes no lineares do MEC para a anlise da
propagao de fissuras
em materiais quase frgeis. Nesses materiais, a zona de processo
frente da ponta da fissura
introduz efeitos fisicamente no lineares no comportamento
estrutural. Assim, para a
simulao da presena da zona de processo, modelos no lineares so
necessrios.
Classicamente a formulao dual do MEC utilizada para modelar
propagao de fissuras na
quais equaes singulares e hipersingulares so escritas para
elementos definidos ao longo das
faces das fissuras. O presente trabalho prope uma segunda
formulao utilizando um campo
de tenses iniciais para a representao da zona coesiva. Nesta
formulao, o termo de
domnio da equao integral clssica do MEC degenerado, de forma a
atuar somente ao
longo do caminho de crescimento das fissuras, sendo que esse
procedimento d origem a uma
nova varivel denominada dipolo, responsvel por garantir o
atendimento das condies de
contorno. Em conjunto com essa nova formulao, se prope o uso do
operador tangente
(OT), que deduzido no trabalho, a fim de acelerar o processo de
convergncia da soluo.
Os resultados obtidos, por meio da formulao alternativa, so
comparados tanto com dados
experimentais quanto com o MEC dual, ambos disponveis na
literatura. As respostas
encontradas foram satisfatrias no sentido de conseguir
reproduzir o comportamento real da
estrutura explorando as vantagens computacionais proporcionadas
pelo OT.
Palavras-chave: Mtodo dos Elementos de Contorno, Mecnica da
Fratura No Linear,
Modelo de Fratura Coesiva, Operador Tangente, Formulao baseada
em Dipolos.
ABSTRACT
OLIVEIRA, H. L. An alternative formulation of the boundary
element method applied to crack propagation analysis in
quasi-brittle materials. 2013. 133 p. Dissertation (M. Sc. in
Structural Engineering) School of Engineering of So Carlos,
University of So Paulo, So Carlos, 2013.
This work presents a time-independent crack propagation
analysis, in two-dimensional
domains, using an alternative boundary element method (BEM)
formulation. BEM has been
used successfully to analyze several engineering problems.
Considering fracture mechanics
problems, BEM is especially efficient due to its mesh reduction
aspects, which allows the
simulation of crack growth without remeshing difficulties. In
this research, nonlinear BEM
formulations are develop in order to analyze crack propagation
in quasi-brittle materials.
Considering these materials, the process zone ahead of the crack
tip leads to nonlinear effects
related to structural behavior. Thus, nonlinear models are
required for simulating the presence
of the process zone. Classically, the dual BEM is used for
modeling the crack propagation, in
which singular and hyper-singular equations are written for
elements defined along the crack
faces. This work proposes an alternative formulation using the
initial stress field to represent
the cohesive zone. In this formulation, the classic domain
integral term is degenerated in order
to be non-null only at the crack growth path. This procedure
leads the creation of new variable
called dipole, which is responsible for ensuring the compliance
of the boundary conditions. In
addition to this new formulation, it is proposed the use of the
tangent operator (TO), which is
derived in this work, in order to accelerate the convergence.
The results obtained using the
new formulation, are compared with experimental data and dual
BEM results available in the
literature. The responses were found satisfactory in reproducing
the behavior of real structures
exploiting the computational advantages provided by the TO.
Keywords: Boundary Element Method, Non-Linear Fracture
Mechanics, Cohesive Fracture
Model, Tangent Operator, Dipole based formulation.
SUMRIO
INTRODUO
...........................................................................................................
11 1
1.1 CONSIDERAES
INICIAIS.........................................................................
11
1.2 REVISO
BIBLIOGRFICA..........................................................................
15
1.3 OBJETIVOS DA PESQUISA
...........................................................................
19
1.4 METODOLOGIA
.............................................................................................
19
1.5 ESTRUTURA DO
TEXTO...............................................................................
20
MTODO DOS ELEMENTOS DE
CONTORNO.................................................. 22 2
2.1 FORMULANDO O PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO
.................. 22
2.2 SOLUO FUNDAMENTAL
........................................................................
26
2.3 FORMULAO INTEGRAL NO CONTORNO
............................................ 29
2.4 PONTOS NO CONTORNO
.............................................................................
34
2.5 FORMULAO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
................................ 36
2.6 TRANSFORMAO DE
COORDENADAS..................................................
38
2.7 SISTEMA DE EQUAES
.............................................................................
40
2.8 PONTOS INTERNOS
......................................................................................
41
2.9 DESCONTINUIDADE EM PONTOS DE CANTO
......................................... 42
2.10 TRATAMENTO DE INTEGRAIS NO DOMNIO
.......................................... 43
2.10.1 Considerao das tenses iniciais
.............................................................
44
2.11 MTODO DA SUBTRAO DE SINGULARIDADE
.................................. 45
MECNICA DA FRATURA APLICADA AO
CONCRETO................................ 52 3
3.1 COMPORTAMENTO DO CONCRETO TRAO
.................................... 53
3.2 COMPORTAMENTO DO CONCRETO A COMPRESSO
.......................... 54
3.3 COMPORTAMENTO DO CONCRETO SUJEITO A CARREGAMENTOS
CCLICOS
........................................................................................................
55
3.4 MECNICA DA FRATURA ELSTICA
LINEAR........................................ 57
3.5 MECNICA DA FRATURA NO LINEAR
.................................................. 63
3.6 MODELO DE FISSURAS FICTCIAS
............................................................ 67
3.7 MODELAGEM DA ZONA DE PROCESSO
................................................... 69
3.8 CLCULO DA TENSO NA EXTREMIDADE DA FISSURA
.................... 72
3.9 CLCULO DO NGULO DE PROPAGAO DA FISSURA
......................73
3.10 INCREMENTO NO COMPRIMENTO DA FISSURA
....................................73
3.11 PROCEDIMENTO ITERATIVO PARA OBTENO DA CONFIGURAO
DE EQUILBRIO
..............................................................................................74
FORMULAO DO MEC APLICADA MFNL
.................................................76 4
4.1 DEFININDO OS DIPOLOS
.............................................................................76
4.2 REPRESENTAO DA ZPI UTILIZANDO O MEC
.....................................79
4.3 ELEMENTOS DE CONTORNO PARA FISSURA
.........................................85
4.4 SUBTRAO DA SINGULARIDADE DO NCLEO INTEGRAL QUE
REPRESENTA A
FISSURA.............................................................................90
4.5 PROCEDIMENTO NUMRICO PARA SOLUO NO LINEAR
UTILIZANDO
DIPOLOS.................................................................................93
4.6 PROCESSO EVOLUTIVO DA FISSURA
.......................................................95
4.7 OBTENO DO OPERADOR TANGENTE
..................................................97
5 EXEMPLOS E DISCUSSES
.................................................................................102
5.1 EXEMPLO 1 CHAPA COM FURO CENTRAL
.........................................102
5.2 EXEMPLO 2 CHAPA TRACIONADA
.......................................................105
5.3 EXEMPLO 3 VIGA SOB FLEXO EM TRS PONTOS SUBMETIDA A
MODO
I...........................................................................................................113
5.4 EXEMPLO 4 VIGA SUBMETIDA A MODO MISTO (I II)
....................118
CONSIDERAES FINAIS
...................................................................................122
6
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
................................................................................124
11
INTRODUO 1
1.1 CONSIDERAES INICIAIS
Desde os tempos antigos o homem tem a necessidade de transformar
os recursos
disponveis sua volta a seu favor. Tanto a inveno de instrumentos
como a necessidade de
construir suas moradias e consequentemente seus acessos
(estradas, tuneis, pontes), tudo isto
fez com que o ser humano fosse capaz de desenvolver e aplicar
conhecimentos
empricos/cientficos para a criao e aperfeioamento de bens. Com o
passar do tempo, os
conceitos foram sendo aperfeioados a ponto de se tornarem cincia
especializada que passou
a ser conhecida como engenharia.
A engenharia, em linhas gerais, uma cincia que aplica
conhecimentos matemticos,
cientficos e tecnolgicos na criao de determinada utilidade que
exerce determinada funo
ou objetivo. Como cincia, engloba vrios ramos especializados e
dentre eles a engenharia
estrutural. Esta responsvel por aplicar os conceitos da mecnica
dos slidos para o projeto
de estruturas de sustentao, seja ela estrutura civil, estrutura
mecnica, aeronutica ou at
mesmo biomecnica, para citar alguns de seus vrios ramos de
aplicao.
Os problemas de interesse para a engenharia estrutural consistem
na avaliao do
comportamento das estruturas e sua interao com o meio externo.
Com essa finalidade, as
leis fsicas sustentam modelos matemticos, que de maneira geral,
so expressos por equaes
diferenciais ou integrais. Nessas equaes surgem termos contendo
variaes de determinado
conjunto de variveis que esto relacionadas entre si, e que por
sua vez, representam
processos naturais.
Uma importante hiptese que adotada ao se elaborar modelos
fsico-matemticos
referentes aos slidos a continuidade. Nesse sentido, os meios de
interesse so idealizados
como ausentes de lacunas ou espaos vazios e, portanto pode-se
associar a cada ponto
geomtrico uma determinada quantidade de massa. Essa hiptese
permite a aplicao das
ferramentas do Clculo (definidas em espaos contnuos) na
modelagem do problema, e ainda
faz ter sentido algumas definies fsicas como: estado de tenso ou
deformao em um
ponto, por exemplo. Por esse mesmo motivo (continuidade do meio)
as funes que so
12
oriundas das formulaes do modelo devem apresentar a regularidade
requerida para si, e para
suas ordens de derivadas. (PROENA, 2011)
Os problemas tratados pela engenharia de estruturas normalmente
envolvem a
determinao do campo de deslocamentos, tenses e deformaes em um
slido submetido a
um conjunto de aes externas e condies de contorno prescritas. As
incgnitas devem estar
relacionadas e atender a certas restries, que luz da Mecnica so:
relao de equilbrio,
relao de compatibilidade do campo de deslocamentos e relao
constitutiva. Ao conjunto
formado por essas relaes e as condies de contorno d-se o nome de
problema de valor de
contorno (PVC).
Simplificaes podem ser adotadas na modelagem a fim de facilitar
a obteno dos
valores incgnitos. Teorias lineares e no lineares, entre outras
podem ser includas no
modelo ou no, a depender da abordagem a ser feita, desde que a
resposta obtida represente
com aceitvel suficincia o problema fsico para determinado
objetivo.
Finalizada a etapa de definio do modelo passa-se ento etapa de
soluo das
equaes, que pode ser feita por meios analticos ou numricos. Os
meios analticos so
solues diretas de equaes diferenciais enquanto que os mtodos
numricos buscam
encontrar uma soluo aproximativa com preciso suficiente. Em
geral, os mtodos analticos
podem ser aplicados a casos restritos o que faz com que os
mtodos numricos sejam uma
valiosa alternativa para a soluo dos problemas de interesse.
Nesse contexto, os mtodos numricos podem ser divididos em dois
grandes grupos de
acordo com sua maneira de introduzir a aproximao. O primeiro
deles o chamado mtodo
de domnio no qual se admite que as condies de contorno sejam
obedecidas e as
aproximaes inerentes ao mtodo se do no domnio. Como exemplo
deste grupo tem-se o
mtodo dos elementos finitos (MEF) que amplamente aplicado em
vrios campos da
engenharia e consagrado pelo seu uso. O segundo grupo o do
chamado mtodo de
contorno, no qual se admite que as equaes do modelo so atendidas
no domnio e as
aproximaes pertinentes so feitas em seu contorno. Como exemplo
deste grupo tem-se o
mtodo dos elementos de contorno (MEC) que tem grande
aplicabilidade em vrios campos
da Fsica, como a Elasticidade, por exemplo.
Para que seja criada uma estrutura so necessrias duas informaes
bsicas. A
primeira delas o conhecimento dos esforos atuantes devidos aos
carregamentos externos. A
13
segunda informao relativa capacidade que o material empregado
tem de resistir
mecanicamente aos esforos. Assim, o entendimento dos mecanismos
que levam um material
ruptura de suma importncia para a engenharia, pois pode-se fazer
uso das caractersticas
mecnicas e ao mesmo tempo evitar as aes que levam o material ao
colapso.
Por mais rigoroso que seja o controle do processo de manufatura
do material, no se
consegue garantir a inexistncia de falhas ou imperfeies,
especialmente em materiais
cimentcios como o concreto. Uma importante caracterstica que
deve ser levada em
considerao para abordagem mais realista das propriedades
mecnicas o estado de
fissurao em que o material se encontra. Nesse contexto convm
saber se as fissuras
presentes no meio podem se propagar ou no, e de que forma. Esse
mecanismo, que ajuda a
entender a ruptura dos materiais, apresentado pelas teorias da
Mecnica da Fratura que
surgiu no sculo XX para explicar o motivo pelo qual as teorias
clssicas da elasticidade
linear por si s falhavam ao prever o comportamento de meios
contnuos com a presena de
descontinuidades.
A construo de um modelo que leve em considerao os efeitos da
fissurao, em
especial para materiais quase frgeis, pode ter aplicaes
imediatas bastante amplas no que se
refere a previso da integridade das estruturas. Nesse contexto,
o presente trabalho se mostra
como uma importante contribuio para o entendimento e previso do
comportamento dessas
estruturas fundamentado na unio dos preceitos da Mecnica da
Fratura No Linear (MFNL)
e do MEC.
Os grupos de mtodos numricos e mecnica dos materiais do
Departamento de
Engenharia de Estruturas (SET) da Escola de Engenharia de So
Carlos (EESC) tm obtido,
nos ltimos anos, um progresso expressivo no desenvolvimento de
trabalhos nos campos de
mecnica computacional, mecnica dos materiais e mecnica das
estruturas. Vrios temas tm
sido tratados por estes grupos. Dentre estes, devem ser
destacados o desenvolvimento de
formulaes do MEC, MEF e tambm do acoplamento entre ambos para a
anlise de
problemas no lineares como problemas visco-plsticos e
visco-elsticos, problemas
transientes, fadiga, propagao de fissuras, domnios enrijecidos,
etc., alm da extenso
dessas formulaes para a abordagem de problemas de mecnica
estrutural.
Esse trabalho se insere nesse contexto, contribuindo com o campo
de pesquisa destes
grupos e de suas aplicaes, com a abordagem, anlise e incluso de
um importante tema de
pesquisa em engenharia estrutural. O tema da propagao de
fissuras, em meios quase frgeis,
14
tem recebido destaque na comunidade cientfica internacional, no
somente por se tratar de
um problema complexo, mas tambm por envolver formulaes complexas
para a
representao de seus fenmenos fsicos. Esse problema estrutural
pode ser modelado com a
utilizao de ferramentas numricas, que tornam possvel a anlise de
estruturas e sistemas
estruturais, com base em modelos que so em geral construdos a
partir de observaes
pontuais.
O MEC tem se mostrado um mtodo numrico robusto e preciso para a
anlise de
diversos problemas de engenharia. Dentre esses problemas
destacam-se aqueles onde as
grandezas de interesse da anlise (tenses e deformaes em mecnica
dos slidos)
apresentam elevados gradientes. Em relao aos problemas de
mecnica da fratura, o MEC
tem-se mostrado uma ferramenta computacional muito promissora.
Nesses problemas, a
discretizao das fissuras ou microfissuras iniciais bastante
simples, uma vez que o mtodo
no requer a discretizao do domnio e a correspondente aproximao
das variveis no
interior do corpo. Alm disso, com o emprego de solues singulares
como ponderadora,
consegue-se simular a presena de singularidades na ponta da
fissura com maior preciso.
Essas vantagens permitem a simulao mais eficiente da propagao
das fissuras, sua
coalescncia e consequentemente a representao mais realista da
ruptura dos slidos.
Com relao modelagem do crescimento de fissuras em materiais
quase frgeis,
Hillerborg et al (1976) utilizaram o modelo de fissuras fictcia
e tenses coesivas para a
representao da zona de processo. Este modelo clssico
caracteriza-se por substituir a zona
danificada frente da ponta da trinca por uma fissura
equivalente, sendo a rigidez residual
desta zona representada por tenses coesivas. Este modelo tem
sido utilizado com sucesso
para carregamentos independentes do tempo e solicitaes
monotnicas e estticas.
Formulaes numricas utilizando este modelo foram utilizadas por
Leonel (2009), onde
formulaes no lineares do MEC foram propostas para a anlise da
propagao de fissuras
em estruturas de concreto. Neste ltimo trabalho, casos de
propagao de fissuras em modo I
e em modo misto foram eficazmente modelados.
Com relao formulao do MEC para a simulao do crescimento das
fissuras,
classicamente se utiliza a formulao dual do MEC. Aqui ser
apresentado um novo modelo
empregando-se uma formulao alternativa que usa campos de tenses
iniciais. Nesta
formulao, o termo de domnio da equao integral clssica do MEC ser
degenerado a uma
linha, exatamente posicionado ao longo do caminho de crescimento
das fissuras. Esta
15
formulao alternativa representa uma importante contribuio ao
desenvolvimento de
formulaes do MEC, principalmente no que concerne deduo e
conveniente manipulao
matemtica do termo de domnio. A variao das tenses coesivas em
relao abertura das
faces da fissura ser modelada com a utilizao do operador
tangente.
A presente pesquisa se insere tambm no conjunto de trabalhos que
vm sendo
desenvolvidos pelo SET nos ltimos anos, objetivando o
desenvolvimento e proposio de
formulaes do MEC visando sua utilizao em problemas de
engenharia, especialmente
aqueles onde a compreenso sobre o comportamento da ruptura de
slidos importante,
possibilitando a determinao da carga de ruptura e tambm a
configurao de falha.
As referncias a seguir relacionadas, embora no sejam exaustivas,
constituem fontes
de informao relevantes para o entendimento e a realizao desse
trabalho.
1.2 REVISO BIBLIOGRFICA
As formulaes do MEC e suas solues numricas para problemas
mecnicos
surgiram em meados da dcada de 1960. O problema potencial 2D foi
primeiro formulado por
Jaswon (1963) sendo que Rizzo (1967) o estendeu para o caso de
problemas elsticos 2D.
Seguido a esses esforos, um grande nmero de pesquisas tm sido
feitas para o
desenvolvimento de formulaes do MEC, como mostrado por exemplo,
em Brebbia (1978),
Brebbia e Dominguez (1989). Com relao aos problemas envolvendo
mecnica da fratura, o
MEC amplamente reconhecido na literatura como uma poderosa
ferramenta numrica para o
estudo deste domnio, em especial se o problema trata da propagao
de fissuras. Comparado
a outros mtodos numricos, a reduo da dimensionalidade da malha
diminui fortemente os
dados de entrada e tambm o trabalho de remeshing durante a
anlise de crescimento das
fissuras. Facilitando, portanto, a anlise da propagao de
fissuras, sua coalescncia e por
consequncia, a simulao da ruptura de slidos.
Um dos primeiros trabalhos do MEC que trataram do problema da
anlise de fissuras
ainda da dcada de setenta de autoria de Cruse e van Buren (1971)
o qual foi rapidamente
expandido com a proposta de utilizao de funes de Green (SNYDER;
CRUSE, 1975). As
funes de Green so obtidas considerando a fissura no meio
infinito, assim os termos
16
integrais referentes ao contorno da fissura desaparecem. Embora
precisa, sua aplicao
restrita, permitindo o estudo dos fatores de intensidade de
tenso, porm no o avano da
fissura.
O uso de sub-regies para a simulao de fissuras aparece no
trabalho de Blandford,
Ingraffea e Ligget (1981). A propagao das fissuras segue as
interfaces entre os corpos, onde
um critrio escolhido aplicado. Essa tcnica emprega apenas equaes
singulares, que so
mais estveis, porm exigem remalhamento levando o algoritmo a ter
fraco desempenho
computacional. Modelo semelhante foi desenvolvido por Leonel
(2009) para a anlise de
separao e deslizamento de juntas. Esse modelo foi desenvolvido
utilizando um operador
tangente consistente para a correo do sistema no linear de
equaes, considerando o
critrio de escorregamento de Coulomb. A formulao singular
aparece em muitos trabalhos
de fratura como nos de Cen e Maier (1992) e de Liang e Li (1991)
que utilizaram a tcnica
para a modelagem de fratura coesiva. Vrias outras tcnicas que
evitam o remalhamento
foram j utilizadas com resultados excelentes. O mtodo de
descontinuidade de
deslocamentos (CROUCH, 1976; CROUCH; SRARFIELD, 1983; WEN; FAN,
1994; YAN,
2006) utiliza equaes integrais cujas solues fundamentais so
obtidas com a aplicao de
descontinuidades de deslocamentos unitrias.
A formulao do MEC mais utilizada para a anlise de problemas de
fratura aleatria
o conhecido Dual Boundary Element Method DBEM (PORTELA;
ALIABADI; ROOKE,
1992). Esses autores desenvolveram um modelo para fratura
elstico-linear, onde para cada
ponto da fissura escreviam-se quatro equaes algbricas, duas
obtidas da representao
integral dos deslocamentos e duas da representao integral das
foras de superfcie. O
contorno da fissura descrito por elementos duplos definidos em
direes opostas que
permitem impor deslocamentos e foras de superfcie distintas em
cada uma das faces.
importante salientar que a utilizao de equaes integrais de
deslocamento e de sua derivada
j aparece em trabalhos anteriores como o de Watson (1986, 1988)
e de Hong e Chen (1988)
para problemas 2D e depois no trabalho de Gray, Martha e
Ingraffea (1990) para problemas
3D. Destacam-se ainda os seguintes trabalhos referentes ao DBEM:
Portela (1992), Portela,
Aliabadi e Rooke (1993), Mi e Aliabadi (1992a, 1992b, 1994a,
1994b, 1995), Mi (1996),
Mellings e Aliabadi (1994), Sollero e Aliabadi (1994), Saleh
(1997), Chen et al. (1999).
Formulaes do MEC, usando DBEM, para anlises de coalescncia e
localizao so
apresentadas em Leonel e Venturini (2010a, 2010b, 2011)
considerando problemas de fratura
linear e no linear.
17
Desde o pioneiro trabalho de Griffith (1920) e o seu rpido
crescimento nos anos
sessenta e setenta, a mecnica da fratura um dos principais
conjuntos de teorias utilizados
para prever rupturas em slidos. Na literatura existem muitos
livros sobre o tema tratando da
fratura linear e no linear. Para a fratura elstica linear os
trabalhos de Tada, Paris e Irwin
(1985), Rooke e Cartwright (1976) e Murakami (1987) trazem
extensas relaes de fatores de
intensidade de tenso e tambm expresses para os campos de tenso,
deformao e
deslocamento na regio vizinha ponta da trinca. Bazant e Li
(1997), Cruse (1988), Elices et
al (2002) e Planas et al (2003) discutem e apresentam aspectos
relevantes da teoria da
mecnica da fratura no linear, especialmente tpicos importantes
relacionados aos materiais
quase frgeis.
A modelagem do problema de propagao de fissuras em materiais
frgeis e quase
frgeis (concreto em especial) de grande importncia na anlise da
degradao da matriz do
material estrutural. Desde a proposio dos modelos coesivos de
Dugdale (1960) e Baremblatt
(1962), vrios trabalhos tm sido dedicados a esse tema,
devendo-se destacar Hillerborg,
Modeer e Petersson (1976) e Carpinteri (1992) os quais
analisaram diversas estruturas
experimental e numericamente. Estes dois ltimos trabalhos
destacam o comportamento da
fratura coesiva com um modelo de fraturamento no linear bastante
simples, porm que j
considera uma zona caracterizada pelo aumento das microfissuras
e a consequente dissipao
de energia. Tal zona aproximada por uma fissura fictcia colocada
frente da fratura real. A
representao mais simples desse modelo feita utilizando uma curva
linear dada por dois
parmetros do material, abertura fictcia mxima e resistncia mxima
de trao. Alm dos
trabalhos sobre fratura coesiva j mencionados, algumas
importantes publicaes sobre o
tema, incluindo tambm as aplicaes em problemas de delaminao so:
Bazant, Ozbolt e
Eligehausen (1994), Barpi e Valente (1998), Reinhardt e Xu
(1999), Mai (2002), Moes e
Belytschko (2002), de Borst (2003), Tvergaard (2003), Carpinteri
et al (2003), Dong, Lo e
Cheung (2003), Yang e Cox (2005).
Um modelo para a anlise do crescimento de fissuras em materiais
quase frgeis foi
proposto por Leonel e Venturini (2010b) utilizando o MEC e um
operador tangente
consistente. Esse modelo, utilizado para carregamentos
independentes do tempo e
monotnicos, mostrou-se muito eficiente necessitando um nmero
consideravelmente menor
de iteraes, para a obteno da soluo, quando comparado ao modelo
clssico.
18
Apesar de sua importncia cientfica e tecnolgica, no so muitos os
trabalhos que
abordam a degradao de materiais quase frgeis ao longo do tempo.
Para a fratura coesiva
alguns trabalhos importantes que procuram descrever as condies
de carga e descarga
necessrias para a definio da fadiga e efeitos dependentes do
tempo so: Bazant e Li (1995),
Bazant e Li (1997), Begley, Cox e McMeeking (1997), Xu e
Needleman (1994), Ortiz (1996);
Buyukozturk e Hearing (1998), Yang e Ravi-Chandar (1998a), Li,
Shis e Needleman (1985),
de Andrs (1999), Yang, Mall e Ravi-Chandar (2001), Roe e
Siegmund (2003), Li e Chandra
(2003), Svahn e Runesson (2006), Dong et al (2010), Maiti e
Geubelle (2006), Nguyen et al
(2001), Bouvard et al (2009), Leise, Walton e Gorb (2010) e Yoon
e Allen (1999).
Considerando anlises deste problema usando o MEC, so poucos os
trabalhos que tratam
sobre o assunto como mostrado em Yang e Ravi-Chandar (1998b), o
que inclusive justifica a
extenso dessa pesquisa.
Uma tcnica alternativa ao modelo dual para a anlise do processo
de fratura no
linear a que emprega um campo de tenses iniciais para a correo
das tenses coesivas nas
faces das fissuras. Neste modelo, a espessura da zona de
processo degenerada para zero.
Consequentemente, o termo de domnio da formulao clssica do MEC
avaliado somente
ao longo do caminho de crescimento das fissuras, simulando assim
o comportamento no
linear da zona de processo.
Nesse sentido, Lopes Jr. (1996) apresenta uma formulao baseada
no conceito de
dipolos (captulo 4) para o estudo de fissuras (descontinuidades)
luz dos olhos da Mecnica
da Fratura No Linear em meios bidimensionais. A formulao, que
contava com elementos
lineares isoparamtricos com tratamento analtico de
singularidades, mostrou-se efetiva em
reproduzir alguns efeitos caractersticos do concreto como o
amolecimento e o efeito escala,
alm da propagao da fissura macroscpica.
Barbirato (1999) elaborou um estudo sobre propagao
tridimensional de fissuras
utilizando o modelo coesivo e a formulao por dipolos. Seu
trabalho contribuiu para a
formulao, em termos de dipolos, de problemas de propagao de
fissuras sob ao de
carregamentos dinmicos. Os resultados obtidos mostraram-se
promissores, fazendo com que
seu trabalho se tornasse uma importante referncia no campo de
anlise tridimensional de
meios fraturados.
http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6VJS-42WP5JY-3&_user=972067&_handle=V-WA-A-W-AV-MsSAYZW-UUW-U-AABVYVCZZA-AABWVWZVZA-VYVUABWWV-AV-U&_fmt=full&_coverDate=06%2F30%2F2001&_rdoc=3&_orig=browse&_srch=%23toc%236102%232001%23999619977%23246619!&_cdi=6102&view=c&_acct=C000049650&_version=1&_urlVersion=0&_userid=972067&md5=38b60a952b16729f3262106d746cc88b#bbib3#bbib3
19
Interessantes resultados empregando tcnicas similares de
manipulao do termo de
domnio do MEC podem ser encontrados em Jiang e Venturini (1998),
Jiang, Hung e
Venturini (1999) e Jiang e Venturini (2000).
Tendo em vista a investigao de temas atuais e de clara
relevncia, alm de
representar uma continuidade da linha de pesquisa iniciada com
Rocha (1988), no que se
refere ao uso dos dipolos, o presente trabalho prope os
objetivos gerais do prximo item.
1.3 OBJETIVOS DA PESQUISA
Os objetivos deste trabalho tratam do desenvolvimento de
formulaes no lineares do
MEC e sua implementao computacional, com elementos de alta
ordem, para a anlise da
degradao mecnica de estruturas compostas por materiais quase
frgeis (concreto em
particular).
De maneira sucinta, o primeiro objetivo verificar se a formulao
por dipolos,
utilizando operador constante (OC), capaz de reproduzir
satisfatoriamente os
comportamentos experimentais de componentes estruturais (vigas)
de concreto, sob diferentes
modos de solicitao fratura.
J o segundo objetivo, que constitui uma contribuio para esse
campo das anlises do
MEC, desenvolver e implementar o operador tangente (OT)
consistente visando acelerar a
soluo do sistema de equaes no lineares resultantes da formulao
do problema em
questo.
1.4 METODOLOGIA
Embora o presente trabalho represente um avano significativo em
novos temas, a
metodologia seguida basicamente a mesma que vem sendo empregada
pelo grupo de
mtodos numricos do SET/EESC/USP para o desenvolvimento de
formulaes do MEC e
tambm do MEF.
20
O cdigo computacional inicial foi fornecido pelo professor do
SET, Dr. Edson
Leonel. Esse cdigo capaz de realizar anlise elstica esttica de
slidos bidimensionais
sujeitos a carregamentos e vinculaes arbitrrios, utilizando
formulao singular e
hipersingular do MEC para qualquer ponto fonte, considerando
ainda elementos de contorno
de alta ordem.
A partir desse cdigo inicial, foi criado um algoritmo no linear
capaz de simular a
formao e propagao da fissura por meio dos dipolos (captulo 4).
Essa etapa foi concebida
para utilizar o OC durante a soluo do sistema no linear, e
adicionalmente servir como
parmetro para a prxima etapa. Vrios exemplos conhecidos foram
testados de modo a
validar o cdigo, conforme ser mostrado no captulo 5.
A seguir, foi implementada a etapa final do cdigo no linear
referente ao OT,
resultando num menor tempo de processamento. Os mesmos exemplos
executados com OC
foram testados utilizando OT levando, evidentemente, mesma
resposta.
Todas as formulaes propostas e desenvolvidas neste trabalho
foram implementadas
em linguagem de programao FORTRAN.
1.5 ESTRUTURA DO TEXTO
O presente texto no tem o propsito de ser exaustivo sobre os
assuntos que so
tratados, mas sim de representar um compndio de ideias tomadas
de forma sistemtica, como
pertinente a um trabalho cientfico dissertativo, acerca dos
diversos temas apresentados, sob
o ponto de vista do autor, importantes para o desenvolvimento
dessa pesquisa.
O captulo a seguir, por exemplo, faz uma reviso dos principais
conceitos do MEC
utilizados para elaborar os cdigos constituintes do mtodo
numrico. Primeiramente as
equaes integrais so apresentadas e posteriormente so
transformadas em termos discretos
para viabilizar o seu uso computacional. Esse captulo traz
conceitos importantes que so
utilizados posteriormente, no tocante dos elementos de alta
ordem e do mtodo da subtrao
da singularidade para integrao numrica.
21
J o terceiro captulo faz uma breve explanao sobre a mecnica da
fratura aplicada
ao concreto. De certa maneira os conceitos so apresentados em
ordem cronolgica. O texto
voltado para as necessidades do presente trabalho, e por isto,
os conceitos sobre mecnica da
fratura elstica linear restringem-se aos necessrios para
compreenso do texto, enquanto que
maior nfase dada mecnica da fratura no linear.
No captulo 4, os conceitos relativos representao da fissura por
meio dos dipolos
so apresentados. Inicialmente realiza-se a deduo das equaes
algbricas que sero
utilizadas no algoritmo no linear. A seguir algumas
especificidades referentes
implementao computacional do mtodo so discutidas. Destaca-se
aqui o tratamento da
singularidade do ncleo de dipolos e a deduo do operador tangente
consistente da soluo
no linear.
O quinto captulo aborda exemplos que validam a formulao proposta
e ao mesmo
tempo discute alguns aspectos de interesse tanto computacional
quanto fisicamente. Alm dos
resultados obtidos com o OC, outros resultados numricos obtidos
com o clssico modelo
dual enriquecem os argumentos que sustentam a eficincia da
formulao aqui proposta.
O captulo 6 dedica-se s consideraes finais e s sugestes de
investigaes futuras.
22
MTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO 2
O MEC um mtodo numrico para soluo de equaes integrais de
contorno, que
possui a caracterstica de no necessitar de definio de malhas no
domnio de interesse, fato
que ser explorado no decorrer do trabalho. Pode ser aplicado em
vrios campos da
Engenharia como acstica, mecnica dos fluidos, elasticidade
linear ou no linear, mecnica
da fratura, eletromagnetismo entre outros. (STEFAN, CHRISTOPH,
2011)
Pode-se dividir o MEC didaticamente em dois grupos. O primeiro
refere-se aos
Mtodos dos Elementos de Contorno Indiretos. Nesse tipo de
abordagem as incgnitas do
problema no so as grandezas de interesse (deslocamentos, ou
foras de superfcie), mas sim,
funes indiretas chamadas de densidade, que uma vez determinadas,
possibilitam a obteno
das variveis de interesse. A depender do tipo de campo vetorial
adotado como contnuo
podem-se ter dois seguimentos: source method (adotam
deslocamentos contnuos) e dipole
method (adotam foras de superfcie contnuas).
O segundo grupo recebe o nome de mtodo dos elementos de contorno
diretos. Nesse
caso as grandezas fsicas de interesse so obtidas diretamente,
pois constituem o conjunto das
incgnitas do problema. O presente trabalho desenvolvido
considerando esse grupo de
anlise por aparecer com maior frequncia nas aplicaes de
engenharia.
interessante ressaltar que o MEC uma alternativa numrica para
soluo de uma
formulao maior, conhecida como PVC, que inclusive pode ser
resolvido por meio de
mtodos de domnio como o Mtodo dos Elementos Finitos. Assim,
torna-se conveniente uma
breve explanao da maneira pela qual esses problemas so
formulados para que ento, o
MEC seja apresentado.
2.1 FORMULANDO O PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO
Desde os tempos antigos, a Engenharia Civil tenta usar os
materiais disponveis para
confeco de obras que proporcionassem segurana, conforto e
economia. Nos primrdios da
engenharia as construes eram executadas por meio da experincia e
do bom senso. Com o
23
passar dos anos houve uma evoluo do pensamento que deu origem ao
tratamento racional
baseado em observao e experimentao por engenheiros, matemticos e
fsicos do sculo
XV/XVI que inventaram formulaes matemticas que seriam capazes de
predizer o
comportamento dos materiais sob algum tipo de solicitao. O
conjunto de ideias criadas por
cientistas notveis como, por exemplo, Leonardo da Vinci ou
Galileo Galilei, e que depois
foram expandidas e formalizadas por vrios outros colaboradores
como Robert Hooke, Edme
Mariote, Jacob Bernoulli, Leonhard Euler, Charles Coulomb e
Augustin Louis Cauchy,
somente para citar alguns, culminaram no que atualmente
conhecido como Mecnica do
Contnuo. Nos prximos pargrafos alguns conceitos selecionados
dessa teoria sero
brevemente expostos sob seu ponto de vista moderno. Maiores
detalhes podem ser
encontrados em obras clssicas da Teoria da Elasticidade como
Timoshenko e Goodier
(1980), Mecnica do Contnuo em Malvern (1969), enquanto que o
contexto histrico pode
ser consultado nos primeiros captulos de Love (1944), e em
Timoshenko (1953).
Objetivando descrever a distribuio de foras no interior de
slidos deformveis,
parte-se do princpio de que o slido esteja homogeneamente
preenchido por material, embora
na realidade essa premissa dependa da escala em que se trabalha.
Segundo esse princpio
(Teoria clssica do Contnuo), assume-se que a matria est
continuamente distribuda e que
interaes mtuas agem em todos os pontos interiores do slido como
resultado de foras de
massa e de foras de superfcie. Tais foras, ditas internas, podem
ser caracterizadas
utilizando o conceito de vetor tenso. Para tanto, tome um corpo
em equilbrio submetido a
um conjunto de condies de contorno. Imagine-se um plano S, que
passe por um ponto
interno arbitrrio P, caracterizado por um vetor normal ni. O
plano corta o slido em duas
partes. Uma poro em cada lado do vetor normal (conforme Figura
2.1).
Figura 2.1 Diviso do slido
24
Considerando a poro I como corpo livre, existe no plano S uma
fora resultante
agindo numa pequena rea contendo P. Considera-se como vetor
tenso (agindo de II para
I no ponto P pertencente ao plano S) o resultado do limite:
(2.1)
Essa relao mostra que o vetor tenso dependente do ponto P e do
vetor ni. Como
em um mesmo ponto podem passar infinitos planos, existem
infinitos vetores tenso no
mesmo ponto P. Entretanto possvel mostrar utilizando o princpio
de Cauchy que o vetor
tenso no ponto P depende do vetor ni por meio de uma transformao
linear, tal que:
(2.2)
Na relao acima, ij conhecido como tensor de tenses de Cauchy.
Assim, uma vez
obtido o tensor de tenses em um ponto, automaticamente
conhece-se todos os vetores tenso
que podem atuar no mesmo ponto, bastando estipular uma direo.
Pode-se notar que,
descrever o comportamento do corpo por meio do campo tensorial
de tenses, por assim
dizer, mais adequado que por meio de campos vetoriais de
tenses.
A princpio, o tensor possui nove componentes. Entretanto o
equilbrio rotacional
em um elemento cbico diferencial, que englobe P, tem que ser
garantido. Isto faz com que
trs de suas componentes sejam dependentes resultando num tensor
simtrico. Assim, para
determinar o tensor , necessrio encontrar seis componentes
independentes, que so
incgnitas do problema.
O princpio clssico da mecnica, que estabelece o equilbrio
esttico dos slidos
(deformveis e indeformveis) escrito em termos de foras, precisa
ser escrito em termos
tensoriais, conforme a expresso:
(2.3)
Essa equao, escrita em termos indiciais, representa um conjunto
de trs equaes
diferenciais de equilbrio que devem ser atendidas em todos os
pontos do slido. O vetor
representa as foras de massa atuantes, que normalmente so
conhecidas.
Outro aspecto de interesse na descrio do comportamento do slido
saber definir o
campo vetorial de deslocamentos sofrido pelo meio, ou melhor,
sua variao contnua, quando
atua algum tipo de solicitao. Para descrever esse campo de
deslocamentos, especialmente
25
para fins estruturais, deve-se evitar que o corpo tenha
deslocamentos de corpo rgido
(translao e rotao) por meio das condies de vinculao (apoios).
Isso garante o equilbrio
esttico. Deste modo os deslocamentos resultantes sero resultados
exclusivamente de
processos de deformao. No mbito dos pequenos deslocamentos e
pequenas deformaes,
define-se o tensor de deformaes como a parte simtrica do tensor
gradiente do vetor
deslocamentos, ou seja:
(2.4)
O tensor possui seis componentes independentes, semelhante ao
tensor de tenses.
A descrio do campo de deslocamentos deve ser tal que no ocorram
descontinuidades
durante o processo de deformao. Isso assegurado desde que o
campo de deslocamentos
respeite a condio de compatibilidade, que dada em termos
indiciais por:
(2.5)
Ainda na modelagem do comportamento do slido, preciso que se
estabelea alguma
relao envolvendo os campos tensoriais de tenses e deformaes.
Essas relaes so
conhecidas como constitutivas, podem representar vrios fenmenos
fsicos a depender do
problema. No contexto deste trabalho, utiliza-se a lei de Hooke
generalizada que vlida para
materiais isotrpicos que apresentem reposta elstica linear entre
tenso e deformao, e pode
ser escrita indicialmente como:
(
) (2.6)
Nessa equao representa uma das constantes de Lam enquanto o
coeficiente de
Poisson, ambas representando informaes caractersticas dos
materiais. importante
destacar que as equaes de equilbrio e deformao-deslocamento
permanecem vlidas
independentemente da lei constitutiva do material.
O conjunto formado pelas equaes de equilbrio, relao deslocamento
deformao,
relao constitutiva, somado s condies de contorno formam o
problema de valor de
contorno.
26
Os PVCs possuem soluo analtica fechada apenas para uma pequena
classe de
problemas em que a geometria em geral simples, com distribuies
simplificadas ou
simtricas de carregamento e condies de vinculao. Portanto para
se conseguir uma maior
generalidade de aplicao, os PVCs precisam ser resolvidos
utilizando algum tipo de
modelagem numrica que obtenha respostas aproximadas para o
modelo fsico matemtico
empregado. importante observar que o modelo discreto, em tese,
deve se aproximar da
resposta exata na medida em que o nvel de refinamento da malha
aumentar. Isto se deve ao
fato de que o modelo original apresenta infinitos graus de
liberdade, enquanto que o modelo
numrico possui um nmero finito para representar determinado
comportamento. O mtodo
numrico escolhido para desenvolver o presente trabalho foi o
MEC, que ser descrito a
seguir.
2.2 SOLUO FUNDAMENTAL
Uma das premissas necessrias para a formulao do MEC o
conhecimento de uma
soluo particular para o problema em questo considerando as
mesmas propriedades
materiais do slido a ser analisado, porm com domnio infinito,
sob a ao de um
carregamento singular. A esta soluo dado o nome de soluo
fundamental.
Em problemas elsticos, a soluo fundamental uma expresso que
fornece o
deslocamento em qualquer ponto do domnio devido atuao de uma
fora concentrada
agindo em determinado ponto de um slido homogneo de dimenses
infinitas. Segundo
Love (1944), esta soluo foi desenvolvida por Sir William Thomson
em 1948 e
posteriormente ficou conhecida como soluo fundamental de
Kelvin.
Apresenta-se a seguir uma breve descrio da maneira de obteno
dessa soluo
fazendo-se uso do Vetor de Galerkin, conforme descrito por
Brebbia e Dominguez (1992).
Podem-se combinar as equaes (2.4) e (2.6) na equao (2.3). Desse
modo chega-se a
uma nova equao, dada por:
(
)
(2.7)
27
Essa equao conhecida como equao de Navier, e representa o
equilbrio do corpo
em termos de deslocamentos englobando as relaes de
compatibilidade e constitutiva em
uma nica expresso.
A soluo de Kelvin obtida considerando a aplicao uma carga
unitria num ponto
i qualquer, na direo do vetor unitrio el . A representao
matemtica da existncia de
uma fora aplicada pontualmente fica a cargo da distribuio Delta
de Dirac (devido a Paul
Adrien Maurice Dirac). Desse modo a carga unitria concentrada
fica dada por:
(2.8)
Brebbia e Dominguez (1992) indicam que a soluo de Kelvin pode
ser encontrada
por meio do uso do vetor de Galerkin. Isto consiste em
considerar um vetor que origina o
vetor de deslocamentos procurado da seguinte maneira:
(2.9)
Substituindo as equaes (2.8) e (2.9) na de Navier vem:
(2.10)
Agora o equilbrio em termos de deslocamentos passou a ser
expresso em termos do
vetor de Galerkin. Portanto, o foco momentneo da soluo passa a
ser o vetor , que deve
satisfazer a equao (2.10) podendo ser reescrita como:
(2.11)
Para facilitar o desenvolvimento, pode-se utilizar uma varivel
vetorial auxiliar,
, logo:
(2.12)
que possui uma forma similar equao dos problemas potenciais.
Note-se que aqui o
potencial no um valor escalar, mas sim, um valor vetorial. A
soluo dessa equao para
problemas bidimensionais :
(
) (2.13)
Agora possvel obter o valor do Laplaciano de Gl:
28
(
) (2.14)
Considerando o caso de problemas planos, a equao acima resulta
em:
(2.15)
Onde
(
) (2.16)
Para casos bidimensionais (ou tridimensionais) adota-se que em
um determinado
ponto, os deslocamentos ocorridos em funo de uma carga unitria
aplicada em uma direo
no sofrem alterao devido outro carregamento unitrio aplicado em
outra direo. No
caso, cada carregamento unitrio tomado como independente um do
outro. Assim, pode-se
escreve essa considerao em forma indicial da seguinte
maneira:
(2.17)
Onde Glk a componente k do vetor de Galerkin em qualquer ponto
quando uma carga
unitria concentrada aplicada no ponto i na direo l.
Da mesma maneira pode-se escrever o deslocamento em qualquer
ponto do domnio
pode ser dado por:
(2.18)
Onde ulk representa o deslocamento em qualquer ponto na direo k
quando uma carga
unitria aplicada no ponto i na direo l.
Uma vez encontrado o vetor , pode-se utilizar a equao (2.9) para
escrever:
(2.19)
Para estados planos de deformao a soluo fundamental obtida
substituindo as
equaes (2.16) e (2.17) na equao (2.19) resultando:
[ (
) ] (2.20)
As tenses internas em cada ponto podem ser obtidas utilizando as
relaes de
deformao-deslocamento e tenso-deformao resultando em:
29
(2.21)
Em que o tensor de terceira ordem ser mostrado no item 2.7.
As foras de superfcie no contorno com normal n podem ser
escritas como
(2.22)
Em que as componentes para o plano so:
{
[ ] } (2.23)
A Figura 2.2 mostra uma interpretao geomtrica da soluo
fundamental para o caso
tridimensional. Nota-se que independentemente da direo que seja
aplicada a carga unitria,
as componentes da soluo fundamental aparecem ao longo das trs
direes perpendiculares.
Figura 2.2 Interpretao geomtrica das componentes da soluo
fundamental (Brebbia e Dominguez, 1992)
2.3 FORMULAO INTEGRAL NO CONTORNO
Frank J. Rizzo (1989) aponta que o MEC, embora faa uso de
recursos
computacionais, est fundamentado em uma herana rica e clssica da
matemtica analtica.
Ele se refere ao teorema fundamental do Clculo Integral que
afirma que ao realizar a soma
de todas as taxas de variao de uma funo num intervalo resulta na
diferena entre os
valores da funo nos extremos do intervalo, ou seja, no contorno.
O teorema de Green no
plano e o teorema da divergncia de Gauss no espao tridimensional
so apenas
generalizaes dessa ideia para funes mais abrangentes do ponto de
vista fsico (tensoriais)
30
que, sobretudo relacionam os valores de domnio aos valores do
contorno. Essa reduo da
dimenso do problema uma caracterstica muito importante e
bastante explorada pelo MEC.
Brebbia (1978) mostra que a equao integral que governa os
problemas de
elastosttica pode ser obtida utilizando os conceitos do Mtodo
dos resduos ponderados
(MRP) por serem formalmente aceitos como uma tcnica clssica de
resoluo de problemas
de engenharia. Alm disso, Brebbia, Telles e Wrobel (1984)
mostram que as diferentes
tcnicas numricas existentes (Diferenas finitas, Elementos
finitos, Elementos de contorno)
esto relacionadas entre si por meio do amplo conceito do MRP. A
Figura 2.3 ilustra essa
relao.
Figura 2.3 Classificao das diferentes tcnicas de aproximao
(Brebbia, Telles, Wrobel, 1984)
Suponha-se que um determinado corpo esteja em equilbrio esttico
sujeito s
seguintes condies de contorno:
i. Condies de contorno essenciais, conhecidas como condio de
Dirichlet:
em
ii. Condies de contorno naturais, ou condio de Neumann: em
31
Isto implica que a equao de equilbrio, que representa a forma
forte do PVC, deve
ser satisfeita, ou seja:
em (2.24)
Ao se propor uma soluo aproximada, a equao acima passa a no ser
mais atendida
em todos os pontos, levando a um resduo. O MRP parte da premissa
que esse resduo deve
ser minimizado, e para isto, deve-se ortogonalizar o produto
escalar envolvendo a funo a ser
aproximada e a funo ponderadora. Tomando como funo peso, pode-se
escrever essa
considerao da seguinte maneira:
( )
(2.25)
Esta forma tambm conhecida como forma variacional direta do
problema de valor
de contorno.
Procedendo integrao por partes uma vez, ter-se-:
(2.26)
Integrando por partes novamente chega-se forma reversa de Eq.
2.22.
(2.27)
Note-se que as integrais do segundo membro da equao correspondem
a integrais
apenas na superfcie do slido. Considerando que o contorno est
dividido em duas partes e
onde atuam as condies prescritas em deslocamento e fora de
superfcie, pode-se
reescrever a equao acima, agora com condies de contorno
impostas, da seguinte maneira:
(2.28)
Integrando novamente por partes o primeiro termo do lado
esquerdo dessa equao por
duas vezes consecutivas chega-se a:
32
( )
(2.29)
Esta expresso corresponde a uma forma em resduos ponderados
generalizada,
utilizada como ponto de partida para formulao do MEC. Em termos
gerais, pode-se
observar que a soluo aproximada deve ser tal que o resduo por
ela gerado no domnio,
ponderada por uma funo peso, deve ser igual ao resduo por ela
gerado no contorno,
tambm ponderado pela mesma funo peso. Desta maneira
considera-se, por exemplo, que a
funo peso no necessariamente seja homognea nas condies de
contorno.
Uma vez que o ponto de partida ficou evidente, retoma-se a soluo
fundamental que
pode ser escrita inicialmente como segue:
(2.30)
Onde ,
so k componentes de deslocamento e fora devido a uma carga
unitria
aplicada na direo l. Pode-se agora retornar expresso (2.28) (que
equivalente a (2.29)) e
utilizar a soluo fundamental apresentada em (2.20) como funo
ponderadora. O primeiro
termo da equao fica:
(2.31)
Essa manipulao possvel pois a soluo fundamental respeita
plenamente a
equao diferencial de equilbrio. Logo, .
Na equao(2.31), representa a componente l do deslocamento no
ponto i de
aplicao da carga unitria. A equao (2.28) pode agora ser escrita
em termos de
componentes independentes de deslocamento no ponto i.
(2.32)
Pode-se observar que quando uma carga unitria aplicada numa
direo especfica l,
os deslocamentos e foras de superfcie tm componentes nas duas
(ou trs) direes
enquanto que os termos do tipo so diferentes de zero apenas ao
longo da direo l. Isto
resulta no fato que para uma dada direo l no ponto de aplicao a
integral de domnio
33
produz deslocamento ao longo apenas da direo l, enquanto que
outros termos
incluem produtos de todas as componentes, apontam Brebbia e
Dominguez (1992).
A equao (2.32) pode ser escrita de maneira mais compacta
como:
(2.33)
Esta equao conhecida como identidade Somigliana e permite
encontrar os
deslocamentos em qualquer ponto do domnio desde que se conheam
os deslocamentos e
foras de superfcie dos pontos de contorno, as foras de domnio
atuantes e a soluo
fundamental.
Observaes adicionais podem ser feitas com relao equao (2.26),
aqui
reproduzida por convenincia da seguinte maneira:
(2.34)
Se a funo ponderadora for tomada como um campo de deslocamentos
virtuais
admissveis, compatveis e, portanto integrante do espao soluo, a
equao acima pode ser
interpretada da seguinte maneira: o membro esquerdo corresponde
ao trabalho das foras
internas gerado pelo deslocamento virtual . O membro direito
significa o trabalho que as
foras externas exercem sobre esse mesmo campo de deslocamento.
Assim a equao (2.34)
assume o carter fsico de um importante princpio da Mecnica, o
princpio dos trabalhos
virtuais (PTV).
No tocante da equao (2.27), lembrando que
, pode-se escrev-la da
seguinte maneira:
(2.35)
Ou rearranjando os termos,
(2.36)
Adotando a correspondncia de que o corpo esteja em equilbrio e
sujeito a dois
conjuntos de foras {
} e { }, que produzem respectivamente os deslocamentos e
34
, a equao (2.36) mostra que o trabalho das foras do primeiro
conjunto atuando sobre os
deslocamentos do segundo igual ao trabalho das foras do segundo
conjunto sobre os
deslocamentos do primeiro em cada ponto. Este enunciado
constitui outro princpio geral da
Mecnica e conhecido como teorema dos trabalhos recprocos ou
teorema de Betti.
Esses dois princpios que foram obtidos do mesmo ponto de
partida, que foi a forma
variacional direta, podem ser tomados tambm como pontos iniciais
alternativos para a
formulao do MEC.
2.4 PONTOS NO CONTORNO
A identidade de Somigliana fornece o deslocamento em qualquer
ponto desde que se
conhea uk e pk em todo o contorno. Deste modo para calcular os
deslocamentos internamente
necessrio que primeiro se resolva o problema. Entretanto essa
identidade, que vale para
todos os pontos do domnio e contorno, pode ser modificada para
ser aplicada em diferentes
pontos do contorno para produzir um sistema de equaes que uma
vez resolvido fornece os
valores do contorno.
Quando o ponto fonte tomado sobre o contorno, deve-se tratar a
singularidade que
surge da soluo fundamental (quando ) para efetuar a integrao.
Para estudar os
efeitos da singularidade em problemas 2D, pode-se envolver o
ponto fonte com uma regio do
domnio circular de raio e centro em i e ento avaliar o que
ocorre com as expresses
quando o raio tende a zero (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992). A Figura
2.4 elucida a
situao.
Figura 2.4 Ponto de colocao no contorno
35
Na intenso de analisar o que ocorre com a identidade de
Somigliana, passa-se a
avaliar a equao (2.33) termo a termo. Considerando primeiramente
a integral:
(2.37)
A primeira integral do segundo membro da equao acima se torna
simplesmente a
integral ao longo de todo o contorno quando . Quanto a segunda
integral pode-se
fazer:
(2.38)
Uma vez que a singularidade de u* da ordem de (
) e o contorno de integrao
produz , pode-se concluir que quando o conjunto tender a zero, o
limite nulo, pois:
(
)
(2.39)
Em outras palavras a integral investigada no afetada pela
singularidade em i.
Logo,
(2.40)
Quanto integral do primeiro membro da identidade de Somigliana,
vem:
(2.41)
Novamente a primeira integral do segundo membro torna-se uma
integral ao longo de
todo o contorno quando . Quanto a segunda integral, existe uma
singularidade da
ordem de
em p* enquanto que o contorno produz , logo o limite resultante
no nulo e
precisa ser avaliado.
Pode ser demonstrado que para superfcies suaves o resultado do
limite :
(2.42)
O resultado da equao (2.41) fica:
36
(2.43)
Em que a integral em definida no sentido do valor principal de
Cauchy (VPC).
A expresso final da identidade de Somigliana agora escrita em
termos de pontos
exclusivamente sobre o contorno passa a ser:
(2.44)
Onde as integrais devem ser calculadas no sentido do VPC, e
quando a superfcie for
suave no ponto i, ento
. Caso a superfcie no seja suave no ponto de colocao,
o valor do limite (2.42) ser um resultado diferente e, em geral,
de difcil generalizao
quanto se trata de problemas tridimensionais. (BREBBIA;
DOMINGUEZ, 1992)
2.5 FORMULAO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
A equao (2.44) envolve termos definidos continuamente no
contorno de interesse. O
MEC adota, para resolver a equao integral numericamente, uma
discretizao do contorno
em um nmero finito de elementos. Para cada elemento, tanto os
deslocamentos quanto foras
de superfcie so escritos em funo de valores nodais. Dessa
maneira, ao aplicar a equao
(2.44) para cada n do contorno, o que se obtm um sistema linear
algbrico de equaes.
Uma vez que as condies de contorno so aplicadas ao sistema,
pode-se obter a resposta
nica que contm todos os valores incgnitos e assim, a soluo
aproximada no contorno
encontrada.
Neste ponto, torna-se conveniente trabalhar com matrizes em vez
e notao indicial.
Assim, podem-se definir as funes e vlidas para cada elemento
j.
(2.45)
Onde e so vetores de deslocamento e fora de superfcie nodais de
dimenso
2Q em que Q o nmero de ns do elemento. Os vetores e so
deslocamentos e foras de
superfcie em qualquer ponto do elemento j.
37
A matriz de funes de forma que aparece na equao (2.45) tem
dimenso 2x2Q
sendo dada por:
[
] (2.46)
As foras de domnio em qualquer ponto de podem ser expressas em
forma vetorial
sendo:
{
} (2.47)
Os coeficientes da soluo fundamental, que so expressos em forma
indicial pela
equao (2.23), podem ser agrupados em forma de matriz da seguinte
maneira:
[
] (2.48)
Nessa matriz, os coeficientes , so as foras de superfcie na
direo k devido a
uma fora unitria aplicada em i na direo l.
De maneira anloga:
[
] (2.49)
Para essa matriz, os coeficientes , so os deslocamentos na direo
k devido a uma
fora unitria aplicada em i na direo l.
A partir dessas definies a equao integral no contorno (2.44)
pode ser escrita como:
(2.50)
Em que para contornos suaves:
[
] (2.51)
Levando em conta a discretizao no contorno a equao integral
fica:
{
}
{
}
{
}
(2.52)
38
Nota-se que a soma de j=1 at NE indica a soma sobre todos os NE
elementos do
contorno enquanto que, j representa o contorno do elemento
j.
De modo geral quando existem foras de domnio pode-se calcular a
integral de
domnio por meio de clulas de integrao. Existem alguns casos que
permitem a
transformao dessa integral de domnio em uma de contorno, o que
evitaria o uso das
clulas.
A equao (2.52) usualmente calculada numericamente devido s
dificuldades de
soluo analtica. (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992)
2.6 TRANSFORMAO DE COORDENADAS
A transformao de coordenadas feita por meio do Jacobiano, cuja
representao
geomtrica mostrada na Figura 2.5, que para o sistema
bidimensional em questo pode ser
obtido da maneira como segue.
Figura 2.5 Interpretao geomtrica do Jacobiano (Brebbia, Telles,
Wrobel, 1984)
Da figura tem-se:
[(
)
(
)
] (2.53)
| | (
)
(
)
(2.54)
39
| | (2.55)
Para calcular as derivadas de x1 e x2 em relao a basta fazer o
uso das mesmas
funes interpoladoras dos deslocamentos e foras de superfcie:
(2.56)
[
]
(2.57)
Onde so as coordenadas xl do n k, enquanto a coordenada em
qualquer ponto
do elemento em questo.
Assim a equao (2.52) pode ser escrita como:
{ | |
}
{ | |
}
{ | |
}
(2.58)
Onde | | representa outro Jacobiano a ser definido no
domnio.
Essa transformao permite a avaliao das integrais dos elementos
numericamente
por meio da quadratura de Gauss fazendo:
{ | |
}
{ | |
}
{ | |
}
(2.59)
Onde l o nmero de pontos de integrao no contorno, wk so os pesos
de Gauss
nesses pontos, r o nmero de pontos de integrao nas clulas e wp
so os respectivos pesos.
As funes , e devem ser avaliadas nos pontos de integrao.
(BREBBIA;
DOMINGUEZ, 1992)
40
2.7 SISTEMA DE EQUAES
A equao (2.59) ou sua forma integral (2.52) corresponde a um n
particular i e
uma vez integrada pode ser escrita como:
(2.60)
Onde N o nmero de ns. As matrizes e so conhecidas como matrizes
de
influncia ambas de ordem 2x2N (para problemas planos) e so dadas
por:
| |
(2.61)
| |
(2.62)
Ao criar a seguinte notao:
(2.63)
a equao (2.60), que representa a contribuio do n i, pode ser
escrita da seguinte
maneira:
(2.64)
Ao realizar a soma das contribuies de todos os ns, o resultado
pode ser agrupado
em forma matricial resultando no seguinte sistema de equaes
lineares global:
(2.65)
Nota-se que ci uma srie de matrizes de ordem 2x2 dispostas ao
longo da diagonal
principal de H.
Os vetores U e P representam todos os valores de deslocamentos e
foras de superfcie
antes de aplicar as condies de contorno. Essas condies podem ser
introduzidas
rearranjando as matrizes H e G, trocando convenientemente suas
colunas, de modo que todos
41
os valores desconhecidos sejam colocados no vetor X no membro
esquerdo. Assim chega-se
ao sistema final:
(2.66)
Nota-se que B foi incorporado a F. Resolvendo o sistema linear
acima os valores de
contorno ficam totalmente determinados. (BREBBIA; DOMINGUEZ,
1992)
2.8 PONTOS INTERNOS
De posse dos valores dos deslocamentos e foras de superfcie ao
longo de todo o
contorno, pode-se utilizar a expresso de Somigliana para
encontrar o deslocamento em
qualquer ponto interno. Sua formulao discreta dada por:
{
}
{
}
{
}
(2.67)
Nessa equao, representa o contorno correspondente ao elemento j
enquanto i
um ponto interno. Pode-se ainda escrever a equao acima da
seguinte maneira:
(2.68)
Os termos Hij e Gij consistem em integrais ao longo dos
elementos. Essas integrais no
contem nenhuma singularidade e podem ser calculadas usando
integrao numrica. Termos
como Bis, entretanto contm singularidade (pois so integrais de
domnio e i agora pertence
ao domnio) e necessitam de cuidado especial.
Para meios isotrpicos a tenso interna pode ser calculada
diferenciando os
deslocamentos em pontos internos e introduzindo a deformao
correspondente na relao
tenso-deformao.
(2.69)
Depois de realizar as derivaes da equao integral chega-se a:
42
[
]
[
(
)]
[
]
(2.70)
Todas as derivadas so tomadas nos pontos internos considerados,
que correspondem a
pontos de colocao da soluo fundamental. Tomando as derivadas
correspondentes da
soluo fundamental, a equao acima pode ser escrita como:
(2.71)
Em que as componentes dos tensores de terceira ordem Dkij e Skij
no espao
bidimensional so:
[ ( ) ] (2.72)
{
[ ( ) ]
( ) ( )
}
(2.73)
A equao (2.71) pode ser discretizada em uma soma finita de
elementos sobre o
contorno assumindo as correspondentes funes aproximadoras para
uk e pk.
Os valores obtidos para tenses internas usando a formulao acima
so em geral mais
precisos que aqueles obtidos por outros mtodos numricos com
discretizao similar. O
mesmo pode ser dito dos deslocamentos internos calculados por
(2.67). Entretanto, quando o
ponto interno situa-se muito prximo do contorno deve-se utilizar
tcnicas especiais de
integrao para manter o resultado preciso, devido ao pico de
singularidade da soluo
fundamental. (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992)
2.9 DESCONTINUIDADE EM PONTOS DE CANTO
43
Quando um n localizado em um ponto onde o contorno no suave (no
caso
bidimensional, seria um ponto de canto ou encontros de lados com
angulosidades diferentes)
uma descontinuidade de foras de superfcie ocorre nesse
ponto.
Uma maneira de contornar esse problema utilizar elementos
descontnuos, que ser
adotado neste trabalho, que consiste em deslocar ao longo do
elemento, os ns que encontram
ou deveriam encontrar nos cantos. A Figura 2.6 ilustra a
situao.
Figura 2.6 Esquema para ponto de canto (Brebbia, Telles, Wrobel,
1984)
Essa estratgia permite a determinao das foras de superfcie
utilizando o
procedimento comum e possui a vantagem de melhor representar
cantos com concentrao de
tenses. Quando usado para modelar singularidades com elementos
de contorno, como em
mecnica da fratura, por exemplo, os resultados convergem bem
para a soluo. (BREBBIA;
DOMINGUEZ, 1992)
2.10 TRATAMENTO DE INTEGRAIS NO DOMNIO
As integrais de domnio so muito importantes em elementos de
contorno, pois so
elas que representam os efeitos de foras de campo como fora
gravitacional (caso do peso
prprio) e foras trmicas por exemplo. Mas, alm disso, por meio
delas pode-se representar
os efeitos de no linearidades como o caso a ser abordado pelo
presente trabalho.
44
2.10.1 Considerao das tenses iniciais
Em certos problemas de engenharia existe a presena de campos de
tenso ou
deformao antes da atuao do carregamento externo. Essas tenses
(correspondentes
deformaes) so chamadas de tenses iniciais e podem ser
consideradas nas formulaes do
MEC como descreve-se a seguir.
Sendo:
tenso elstica
tenso total atuante
tenso inicial
Pode-se escrever que a tenso elstica :
(2.74)
Escrevendo a equao inicial, levando em considerao a soluo
fundamental agindo
na direo l, pode-se escrever:
( )
(2.75)
Integrando por partes uma vez, vem:
(2.76)
Nota-se que a integrao por partes deve ser feita sobre e no pois
o campo de
tenses atuante deve estar relacionado com os deslocamentos
totais.
Substituindo a equao (2.74) pode-se fazer:
(2.77)
Utilizando as propriedades de simetria e integrando por partes
novamente chega-se a:
45
(2.78)
Substituindo a soluo fundamental em (2.78) fica:
(2.79)
Isto mostra que as tenses iniciais (e similarmente deformaes
iniciais) podem ser
tratadas de maneira similar s foras de domnio, bk, embora
geralmente seja difcil a
transformao de integrais de no domnio em integrais de contorno.
(BREBBIA;
DOMINGUEZ, 1992)
2.11 MTODO DA SUBTRAO DE SINGULARIDADE
A soluo fundamental de Kelvin apresenta tipos distintos de
singularidades, que faz
com que a funo no tenha valor finito sobre os pontos fonte, o
que a princpio torna-se um
problema ao realizar a integral de linha, no sentido de Riemann,
sobre o elemento. Entretanto,
a existncia dessa singularidade pode ser contornada tomando
partido dos preceitos de
regularizao de integrais.
Uma maneira de avaliao analtica de integrais singulares, que
aparece correntemente
nas formulaes MEC consiste em realizar um processo limite da
seguinte maneira:
Seja uma integral imprpria
(2.80)
cujo integrando se torna infinito para um valor a no intervalo
de integrao,
| | (2.81)
A integral (2.80) pode ser reescrita da seguinte maneira,
46
(2.82)
A esse limite dado o nome de Valor Principal de Cauchy (VPC) e a
integral
designada por Integral no sentido de Cauchy. (KREYSZIG,
2006)
Segundo Aliabadi (2002), uma clssica maneira de tratar ncleos de
integrao
singulares consiste em subtrair o ponto de singularidade dando
origem a um novo ncleo
regular e a uma nova integral, ainda singular:
[ ]
(2.83)
Nessa equao, necessita ter a mesma singularidade de porm, de
uma
forma mais simples, pode ser integrada analiticamente. Deste
modo o ncleo [ ]
pode ser calculado computacionalmente por meio de quadraturas
numricas. A essa tcnica
d-se o nome Mtodo de Subtrao da Singularidade (MSS).
Segundo este conceito, Kzam (2009) realiza a subtrao das
singularidades presentes
nas solues fundamentais, de ordens como , e , em que as
integrais
singulares remanescentes so avaliadas sobre um elemento de
geometria reta tangente no
ponto fonte singular. Esse procedimento, que foi utilizado no
presente trabalho, descrito a
seguir.
Suponha-se um elemento curvo de ordem superior. Pretende-se
calcular uma
integral imprpria cujo ponto de singularidade pertence ao
elemento. O ponto de
singularidade (ponto fonte) ser designado por sua coordenada
adimensional 0.
Em termos gerais, a coordenada cartesiana de qualquer ponto do
elemento pode ser
escrita de duas maneiras. Uma delas j foi utilizada na definio
do Jacobiano, e leva em
considerao as coordenadas nodais do elemento.
(2.84)
Regular Singular Singular
47
A outra maneira seria tomar partido dos preceitos de
continuidade e fazer uma
expanso em srie de Taylor nas vizinhanas do ponto fonte
(singular). Tomando = 0
como representante do raio da expanso enquanto que, o( ) os
termos de ordem superior, vem:
(2.85)
Desconsiderando os termos de ordem superior, a equao acima pode
ser reescrita da
seguinte forma:
(2.86)
que segundo a Geometria Analtica representa a equao de uma reta,
tangente ao elemento
curvo exatamente no ponto fonte. Como o intervalo de variao para
a coordenada
adimensional [-1,+1] pode-se construir nesta reta um elemento
auxiliar de dimenses finitas,
conforme ilustra a Figura 2.7.
Figura 2.7 Configurao do elemento reto auxiliar
Sobre o elemento auxiliar, a posio do ponto de coordenada em
relao ao ponto de
tangncia fica definida pelo vetor , da seguinte maneira:
(2.87)
sendo ei versores cartesianos e ri as componentes do vetor .
Como a equao (2.86) vale para o elemento reto, pode-se
fazer:
48
(2.88)
A distncia de qualquer ponto de coordenada ao ponto de
singularidade fica
denotada por:
| |
(2.89)
| | (2.90)
A equao acima representa o raio calculado sobre o elemento
auxiliar e tem
fundamental importncia na subtrao da singularidade, pois no
limite, com tendendo a
zero, os valores funcionais calculados sobre o elemento curvo se
confundem com aqueles
calculados sobre o elemento reto, logo se subtrados, resultam
zero.
Desconsiderando os efeitos das foras de domnio, a equao integral
de contorno
(2.44) pode ser escrita da seguinte maneira:
dpudupuc klkklki
k
i
lk
** (2.91)
O trao presente na integral de linha simboliza a presena de um
ncleo singular que
pode ser tratado segundo senso de Cauchy. Nessas integrais as
singularidades so de ordem
e conforme ser mostrado.
Toma-se o termo referente a u* na equao (2.91), restrito ao
contorno que contenha a
singularidade, j. Procedendo transformao de coordenadas, de
cartesianas para
adimensionais, e substituindo a aproximao referente s foras de
superfcie, fica:
[
]
(2.92)
Aqui, as variveis dependentes de foram evidenciadas por
clareza.
Substituindo na equao acima resulta em:
49
[ [ ]
]
(2.93)
Nessa equao, [ ] e [ ] so
constantes definidas de modo a facilitar a notao.
O termo integral contendo a constante u2 regular e pode ser
integrado
numericamente. Entretanto, o termo que contm u1 apresenta
singularidade logartmica e por
esse motivo deve sofrer uma regularizao por meio do MSS. Para
tanto,
[ ]
[ ]
(2.94)
[ ]
[ ]
Em que
uma expanso em srie das funes de
forma nas vizinhanas do ponto de singularidade. Para
singularidades da ordem e
, apenas o termo constante da expanso suficiente para garantir a
regularizao. O
termo | | o raio definido sobre o elemento auxiliar conforme j
definido.
Pode-se notar a semelhana da natureza da singularidade dos
termos integrais adicionados e
ainda, tal insero no altera a igualdade, mas sim, regulariza o
ncleo singular. Assim a
equao (2.94) fica:
[ ]
[ ]
(2.95)
[ ] [ ]
Pode ser verificado que o termo entre chaves na expresso acima
possui valor
limitado, logo regular, no limite quando (isso implica que e
,
simultaneamente). Quanto a ultima integral que ainda permanece
singular, procede-se a
integrao no sentido de Cauchy resultando em:
50
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
(2.96)
A expresso final, que pode ser implementada computacionalmente,
para o clculo do
termo referente a u* da equao (2.91) dado por:
{ [ ] [ ] }
[ ]
[ ] [ ]
(2.97)
Procedendo de maneira semelhante o termo referente a p*
fica:
(
| | )
[ ]
(2.98)
Em que,
51
Alguns cuidados devem ser tomados caso se utilize elementos
contnuos, pois nesse caso
. Para tanto, basta eliminar a expresso que conteria o logaritmo
nulo, pois esse o
resultado obtido ao ser realizado novo limite pelo senso de
Cauchy.
As expresses (2.97) e (2.98) permitem o uso de quadraturas desde
que se tenha a precauo
de escolher um nmero de pontos de integrao tal que nenhum ponto
de integrao coincida
com o ponto fonte, pois nesse caso ter-se-ia uma situao de , o
que anularia os
raios r e r* gerando um mau condicionamento do sistema de
equaes.
52
MECNICA DA FRATURA APLICADA AO CONCRETO 3
Em breves palavras pode-se dizer que a Mecnica da Fratura o ramo
da Mecnica
dos Materiais que trata do comportamento mecnico de meios
fraturados, analisando os
mecanismos de falha, ocorrncia, estabilidade e propagao de
fissuras no domnio de
interesse.
Os mecanismos que causam as falhas nos materiais so associados
natureza do
prprio material ou s suas condies de utilizao. Pode-se dizer que
essencialmente dois
mecanismos levam os materiais falha sendo eles o de ruptura
frgil e o de ruptura dctil. A
maneira (macroscopicamente) utilizada para identificar esse
comportamento a realizao de
um ensaio de trao (ou compresso) uniaxial. Nesse ensaio caso a
ruptura do material se d
de forma brusca, diz-se que o material frgil. Caso a ruptura
ocorra precedida pela
manifestao de apreciveis deformaes plsticas, diz-se que o
material dctil.
O material tratado pelo presente trabalho o concreto, que possui
estrutura
heterognea constituda pela mistura entre materiais inertes
(agregados), aglomerante
(normalmente o cimento e adies) e gua. Suas fases internas podem
ser divididas
didaticamente em: matriz pasta, o agregado e a zona de transio
de interface. Esta ltima
caracterizada por uma regio de menor resistncia devido alta
concentrao de vazios que se
formam devido ao processo de exudao interna. Normalmente o uso
de aditivos redutores de
gua pode contribuir para inibio da exudao e consequentemente
aumento da resistncia
global a compresso (MEHTA; MONTEIRO, 2008).
Alm da zona de transio, o material como um todo apresenta
descontinuidades como
poros, ar incorporado ou ainda fissuras devido a processos de
retrao e secagem, que so
inerentes ao material e assim esto presentes mesmo antes da
estrutura sofrer qualquer
solicitao mecnica.
Somando-se natureza fraturada do material, que seria um motivo
coerente para sua
aplicao, os conceitos da Mecnica da Fratura conseguem explicar
com base em slidos
princpios fsicos vrios comportamentos apresentados pelo
concreto, que anteriormente eram
estabelecidos empiricamente. Nos prximos itens alguns aspectos
frequentemente observados
sero suscintamente comentados luz dos olhos da Mecnica da
Fratura.
53
3.1 COMPORTAMENTO DO CONCRETO TRAO
O comportamento tpico do concreto simples em um ensaio de trao
direta, sob
deformao controlada, mostrado na Figura 3.1. O material
inicialmente apresenta uma
resposta aproximadamente elstica linear at atingir o ponto A. Em
seguida o material desvia-
se ligeiramente do comportamento linear at que atinge a carga
mxima (ponto B) chamada
de resistncia a trao do concreto (ft). Em seguida nota-se um
aumento de deformao
seguido por uma diminuio da capacidade resistente do material
(regio BCD). Essa
caracterstica representada pelo trecho ps-pico chamada de
amolecimento ou softening.
Os materiais que apresentam considervel encruamento no regime
pr-pico e amolecimento
no regime ps-pico podem ser chamados de materiais quase frgeis,
que tem como exemplo
alm do concreto, algumas rochas, cermicas e tambm materiais
compsitos.
Figura 3.1 Resposta tpica do concreto sob ensaio de trao direta
(KARIHALOO, 1995)
A explicao para o amolecimento dada pela Mecnica da Fratura
baseada no
conceito de localizao das microfissuras, sua propagao e ainda o
intertravamento dos
agregados grados. De maneira geral pode-se dizer que at o ponto
A as fissuras,
naturalmente presentes, apresentam influncia desprezvel no
comportamento global. Do
ponto A em diante as fissuras presentes comeam a se estender
tanto na zona de transio
54
quanto na matriz pasta de cimento. No trecho de ramo descendente
as fissuras se conectam
formando macrofissuras, que tem carter localizado. Ao processo
de unio entre fissuras d-se
o nome coalescncia. Com o avano da deformao a macrofissura
propaga e leva ruptura
fsica do corpo de concreto (KARIHALOO,1995).
3.2 COMPORTAMENTO DO CONCRETO A COMPRESSO
O comportamento do concreto simples quando solicitado por foras
compressivas, sob
controle de deformao, similar ao item anterior. Observa-se uma
forte influncia das
fissuras internas na resistncia global do material. O diagrama
tenso-deformao tpico de
um ensaio de compresso centrada mostrado na Figura 3.2.
Figura 3.2 Diagrama tenso x deformao tpico do concreto (CHEN
& HAN, 1988)
Simplificadamente pode-se dizer que at 30% da resistncia
compresso axial, ,
tem-se um comportamento predominantemente elstico linear, pois
cargas nessa faixa no
afetam significativamente as microfissuras presentes na zona de
transio.
Para faixa de tenses no intervalo entre 30% a 50% de , inicia-se
a extenso das
fissuras presentes na zona de transio devido concentrao de
tenses nas extremidades das
fissuras. Diz-se que esse trecho apresenta propagao estvel (ou
regime subcrtico) de
55
fissuras, pois mantido o carregamento constante no ocorre
propagao espontnea das
fissuras.
No intervalo de carregamento entre 50% a 75% de , comea a
ocorrer extenso das
microfissuras presentes na matriz aglomerante e, aliada rpida
propagao das fissuras da
zona de transio, tende a tornar o sistema instvel.
A propagao das fissuras no concreto torna-se instvel para
carregamentos superiores
a 75%
