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IBGEINSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA

Pós-edital

RACIOCÍNIO LÓGICOESTRUTURAS LÓGICAS

Livro Eletrônico

JOSIMAR PADILHA

Professor do Gran Cursos Online. Ministra aulas presenciais, telepresenciais e online de Matemá-tica Básica, Raciocínio Lógico, Matemática Finan-ceira e Estatística para processos seletivos em concursos públicos estaduais e federais. Além disso, é professor de Matemática e Raciocínio Lógico em várias faculdades do Distrito Federal. É servidor público há mais de 20 anos. Autor de diversas obras e palestrante.

O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para Nome do Concurseiro(a) - 000.000.000-00, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas

Prof. Josimar Padilha

Estruturas Lógicas – Parte 01 .......................................................................5

Apresentação do Professor ...........................................................................5

Desafio .....................................................................................................6

Estruturas Lógicas ......................................................................................7

Sentenças Abertas ......................................................................................9

Sentenças Fechadas ..................................................................................14

Proposições .............................................................................................16

Linguagem da Lógica Formal ......................................................................21

Representação das Proposições ..................................................................22

Operadores ou Conectivos Lógicos ..............................................................24

Estruturas Lógicas – Parte 2 .......................................................................39

Tabelas Verdades – Veretativas ...................................................................40

Tabelas – Verdade ....................................................................................48

Conjunção: “ e, mas” símbolo: ˄.................................................................48

Disjunção: “OU” símbolo: ˅ ........................................................................50

Disjunção Exclusiva: “ OU...OU...” símbolo: ˅ ...............................................53

Condicional: “se..., então...” símbolo: → ......................................................56

Bicondicional: “se, e somente se”símbolo: ↔ ................................................61

Negação ou Modificador lógico símbolo: ¬ ou ~ ............................................69

Estruturas Lógicas – Parte 03 .....................................................................98

Negação de Proposições Compostas ............................................................98

Proposições Logicamente Equivalentes ...................................................... 116

Questões de Concursos ........................................................................... 136





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Estruturas Lógicas


Gabarito ................................................................................................ 143

Questões Comentadas ............................................................................. 144

Comentário do Desafio ............................................................................ 149





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Estruturas Lógicas


ESTRUTURAS LÓGICAS – PARTE 01

Lógica: proposições, valores verdadeiro/falso, conectivos “e” e “ou”, implicação,

negação, proposições compostas, proposições equivalentes.

ESTRUTURAS LÓGICAS:

PARTE 1: Lógica sentencial (ou proposicional). Proposições simples e compos-

tas.

Apresentação do Professor

Olá, aluno(a), tudo bem? Sou o professor e autor Josimar Padilha, e é com grande

alegria que tenho o privilégio de compartilhar esse momento importantíssimo com

você, que pretende ingressar no serviço público. Já tenho mais de 17 anos de

experiência em aulas presenciais e mais de 08 anos em aulas online, possuo mais

de 03 obras escritas, dentre elas podemos citar: “RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO

– Fundamentos e Métodos Práticos, Editora Juspodivm – 3ª - 2019”.

De uma maneira clara, simples e bem objetiva iremos aprender como a banca

FGV exige o assunto indicado nesta aula. Sendo assim vamos abordar alguns

princípios e fundamentos antes de darmos início as questões.

Em caso de dúvidas ou até mesmo alguma sugestão estarei à disposição no

fórum de dúvidas, ok? Saiba que farei o melhor para lhe ajudar a conquistar seu

sonho.

Pensando nisso teremos uma metodologia infalível e estrategista, pois além de

aprendermos os princípios e os fundamentos do assunto deste módulo, sabendo

interpretar suas aplicações nas questões de concursos, iremos aprender os melhores

métodos de resolução, que no decorrer desses 16 anos como professor me dediquei

para que os meus alunos alcançassem seus sonhos no serviço público nos diversos

processos seletivos em todo do Brasil.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Aos finais de cada módulo teremos a auto avaliação com as questões mais

recentes realizadas pela banca examinadora.

No decorrer do nosso estudo, iremos seguir um cronograma didático que tem

dado muito certo, que se trata:

• Exposição do assunto – conceitos – de forma esquematizada;

• Métodos e dicas de resolução rápida;

• Esquemas estratégicos;

• Simulado;

• Questões comentadas;

• Auto avaliação – comentado

Em seu edital, a banca cita que teremos questões relacionadas a tabelas-verdades,

então temos uma questão bem interessante feita pela FGV. Vejamos:

DesafioCadê a saída?

Em cada uma de cinco portas A, B, C, D e E, está escrita uma sentença, conforme

a seguir:

Porta A: “Eu sou a porta de saída.”

Porta B: “A porta de saída é a porta C.”

Porta C: “A sentença escrita na porta A é verdadeira.”

Porta D: “Se eu sou a porta de saída, então a porta de saída não é a por-

ta E”.

Porta E: “Eu não sou a porta de saída”.

Sabe-se que dessas cinco sentenças há uma única verdadeira e que há somente

uma porta de saída. A porta de saída é a porta





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Estruturas Lógicas


a) D.

b) A.

c) B.

d) C.

e) E.

O Comentário está no deste módulo. Boa sorte!

Estruturas Lógicas

Meu(minha) querido(a), para que possamos atingir com excelência os resultados

almejados nessa ciência que é conhecida como ciência do raciocínio, é importante

ressaltar, desde o início, que a lógica formal não se ocupa com os conteúdos

pensados ou com os objetos referidos pelo pensamento, mas apenas com a forma

pura e geral dos pensamentos, expressa através da “linguagem”. O objeto da lógica

é a proposição, que exprime, através da linguagem, os JUÍZOS formulados pelo

pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito.

Sendo assim, daqui em diante não nos será dada a liberdade de interpretarmos

o conteúdo da informação, e sim, a maneira como as informações se relacionam

entre si.

Se eu te falar que na lógica formal o conjunto de proposições abaixo corresponde

a um raciocínio correto, o que você me diria?

“É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é

vegetal, logo, todo cachorro é vegetal.”

Pois bem, o exemplo acima foi retirado de uma prova para delegado da Polícia

Federal, realizada pela banca CESPE, ou seja, não podemos nos prender ao conteúdo,

e sim, à maneira que as proposições se relacionam.





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Estruturas Lógicas


Isso se prende ao fato de estarmos trabalhando com a lógica formal, você sabia

que o raciocínio lógico é uma ramificação da filosofia? Que a ferramenta de trabalho

nesse conteúdo é o “pensamento”, e a maneira que você expressa o pensamento

é fundamental não só para a filosofia em si, mas para as diversas ciências que

integram o nosso mundo?

Curiosidade: um bom advogado é dotado de um raciocínio lógico bem apurado,

em suas defesas que são argumentos lógicos, constituídos de premissas (pensa-

mentos) e uma tese (pensamento). Temos que tais argumentos serão bem cons-

truídos caso haja uma relação de validade entre as premissas e a conclusão. E isso

se dá pela forma, estrutura que o argumento é construído, proporcionando um

raciocínio correto.

Gosto de falar: “quem fica bom em lógica, fica bom em tudo”, risos!!!

Você deve estar se perguntando: “Na lógica formal, como posso ler uma sentença

e não a interpretar?” Bem, vamos lá: às vezes, nos será dada a oportunidade de

interpretar o conteúdo, em que mostrarei a você nas questões comentadas mais à

frente, onde iremos verificar a presença de ferramentas lógicas para que possamos

analisar o conteúdo.

Bem, mãos à obra: vamos aprender, aqui, alguns conceitos que serão impres-

cindíveis para resolução das questões de concursos.

Primeiro conceito: “SENTENÇA”: Expressão de um pensamento completo, são

compostas por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se

declara sobre o sujeito).

Vejamos alguns exemplos do que vem a ser uma sentença.

• André é uma pessoa que se preocupa com o próximo.

• O estudo de raciocínio lógico não é difícil.





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• Que dia você participará de mais uma reunião de estudos?

• Que matéria mais gostosa de estudar!

• Faça com os outros aquilo que gostaria que fizessem com você, seja caridoso.

Dê um exemplo para cada tipo de sentença abaixo:

– Afirmativas;

Sentenças

Ex.:

– Negativas;

Ex.:

– Imperativas;

Ex.:

– Exclamativas;

Ex.:

– Interrogativas.

Ex.:

DICA

É importante ressaltar que o pensamento será uma

sentença quando o mesmo tiver sentido completo,

independentemente do seu tipo.

Vamos, agora, classificar as sentenças quanto a sua interpretação lógica, isto é,

podem ser abertas ou fechadas.

Sentenças Abertas

São aquelas que não podemos determinar o sujeito da sentença. Uma forma

mais simples de identificar uma sentença aberta é quando a mesma não pode ser

nem V (verdadeira) nem F (falsa).





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Estruturas Lógicas


Iremos observar que são chamadas de abertas porque não são passíveis de

interpretação.

“O sujeito é uma variável que pode ser substituída por um elemento arbitrário,

transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V

ou F”.

Observe o exemplo abaixo:

Exemplo: Ela foi a melhor aluna do curso de raciocínio lógico para carreiras tribunais.

Surge a pergunta:

“Por que sentença aberta?”.

Vamos entender o motivo.

Na lógica bivalente, que é o nosso caso, os pensamentos devem ser interpretados

de duas formas, ou seja, podem ser valorados como (VERDADEIRO) ou (FALSO),

conforme os princípios fundamentais da lógica proposicional, que veremos daqui a

pouco.

No exemplo acima, temos um pensamento que não é passível de valoração,

uma vez que não sabemos quem é o sujeito. Desta forma, tais pensamentos são

ditos sentenças abertas.

Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, observe

atentamente os exemplos abaixo e as considerações realizadas:

• “Aquele é juiz do TRT da 1ª Região”, (Quem é ele?)

• Não podemos definir quem é o sujeito, ou até mesmo a qual conjunto ele

pertence.

• “x + 5 = 10”. (Quem é o x? É número? É objeto? O que é?)





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Daí, você me diz:

Professor, o x só pode ser 5, me ensinaram assim nas séries iniciais, pois se

trata de uma equação do 1º grau.

Bem, vamos lá:

Concordo contigo até um certo ponto, pois só podemos dizer que o x é igual a 5

caso estivermos trabalhando com conjuntos numéricos, e indicarmos que x per-

tence a um determinado conjunto numérico, pois, até então, não sabemos do que

se trata a incógnita x.

Para melhor compreensão, o conceito matemático de equação é: “toda sentença

matemática aberta que exprime uma relação de igualdade.”

Que bacana! A matemática nos ajudando a compreender os conceitos lógicos.

Você sabia que a filosofia utilizou os símbolos matemáticos para simbolizar seus

pensamentos? Quando chegarmos em linguagem, você vai ficar surpreso com tantas

novidades que farão você entender de uma vez por todas essa ciência denominada

lógica.

“{x ∈ R/ x > 2}”.( Qual o valor de x?)

Nesse exemplo, sabemos que x pertence ao conjunto dos números reais, po-

rém, não conseguimos definir qual o valor, uma vez que temos uma desigualdade,

ou seja, temos um intervalo de valores como resposta. Neste caso, x pode ser

qualquer número maior que dois, ou seja, não há um sujeito específico.

• Que prova mais difícil! (FRASE EXCLAMATIVA)





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Frases exclamativas são consideradas como sentenças abertas, pois expressam

pensamentos subjetivos, aos quais não temos uma interpretação formal.

É importante ressaltar a seguinte definição: “na comunicação, o elemento

fundamental é a sentença, ou proposição simples, constituída esquematicamente

por um sujeito e um predicado, sempre nas formas afirmativa ou negativa, excluindo-se

as interrogativas e exclamativas”.

Bem, podemos inferir que, segundo a banca, uma frase exclamativa se trata de

uma sentença aberta em que não podemos interpretar de maneira lógica, isto é,

como verdadeira ou falsa.

E se eu lhe dissesse que nem sempre isso que foi dito pela banca é verdade, você

acreditaria? Em quê, Padilha? A afirmação feita pela banca em dizer que toda

sentença exclamativa é uma sentença aberta.

Observe o exemplo de uma questão realizada pela própria banca, em 2008, em

que vamos analisar somente um item da questão, vejamos:

Exemplo:

Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como

verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o

seguinte diálogo:

(1). Você sabe dividir? — Perguntou Ana.

(2). Claro que sei! — Respondeu Mauro.

(3). Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por

três? — Perguntou Ana.





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(4). O resto é dois. — Respondeu Mauro, após fazer a conta.

(5). Está errado! Você não sabe dividir. — Respondeu Ana.

A partir das informações e do diálogo acima, julgue o item que se segue.

A frase (2) é uma proposição.

Analisando a questão, podemos verificar que se trata de uma conversação a ser

analisada, ou seja, a banca nos dá a oportunidade de analisarmos o diálogo, sendo

assim, vejamos:

Ana pergunta a Mauro se ele sabe dividir, o mesmo responde que sim, porém,

o número que Ana indica é o 12.111 (11000 + 1100 + 11), que é divisível por 3,

em que o resto é igual a 0 (zero).

Mauro afirma que o resto é 2 (dois), uma resposta errada.

Após considerarmos o diálogo, segundo o enunciado, algumas frases podem ser

valoradas da seguinte forma:

(1). Você sabe dividir? (Sentença aberta – não possui valoração) — perguntou Ana.

(2). Claro que sei! (Sentença fechada – proposição – pode ser valorada de acordo

com o diálogo) — respondeu Mauro.

(3). Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por

três? (Sentença aberta – não possui valoração) — perguntou Ana.

(4). O resto é dois. (Sentença fechada – proposição – pode ser valorada de acordo

com o diálogo) — respondeu Mauro, após fazer a conta.

(5). Está errado! Você não sabe dividir. (Sentença fechada (verdadeira) – proposição

– pode ser valorada de acordo com o diálogo) — respondeu Ana.

Gostaria que analisássemos apenas a segunda frase, uma vez que as demais serão

vistas mais à frente, ok?

Quando Mauro afirma: “ Claro que sei!”, temos uma sentença exclamativa, porém,

quando temos a oportunidade de analisar o conteúdo, o que não é comum na lógica





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formal, podemos inferir que de acordo com os cálculos realizados, o resto da divi-

são não é 2(dois), e sim, 0(zero), o que faz termos a certeza que ele não sabe

dividir e que, consequentemente, sua frase exclamativa é falsa, isto é, podemos

valorar essa sentença.

Que legal, uma situação em que muitos iriam afirmar que a frase dois seria uma

sentença aberta, o que na verdade não é. Beleza? Gostou?

O nosso objetivo, aqui, é fazer de você um(a) candidato(a) competitivo(a),

e isso só será possível quando soubermos o conteúdo e seus detalhes.

• Você não vai tirar férias este ano de novo? (FRASE INTERROGATIVA)

As frases interrogativas são sempre abertas, pois realmente não temos como

valorá-las. Nas diversas provas realizadas, desde 2008, não vi nenhuma frase in-

terrogativa possuindo valor lógico, isto é, verdadeira ou falsa.

• Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. (FRASE INTER-

ROGATIVA)

As frases imperativas são sempre abertas, pois realmente não temos como va-

lorá-las. Nas diversas provas realizadas desde 2008, não vi nenhuma frase impera-

tiva possuindo valor lógico, isto é, verdadeira ou falsa.

Sentenças Fechadas

Depois de entendermos o que são sentenças abertas, podemos de forma exclu-

dente entender de forma simples as sentenças fechadas.

Bem, podemos definir que se tratam de pensamentos completos, aos quais

podemos determinar o sujeito.





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As sentenças fechadas possuem valoração lógica, isto é, podem ser verdadeiras

ou falsas, porém, nunca ambas.

Aí, você me pergunta:

Josimar, como funciona essa questão de valoração de um pensamento (sentença

fechada)?

Bem, antes de explicar, gostaria de lhe dizer que existem 03(três leis ou princí-

pios) que regem os pensamentos fechados, que daqui a pouco iremos chamar de

proposição.

Quais são esses princípios? Vou descrevê-los, abaixo:

• Princípio do Terceiro excluído;

• Princípio da Não contradição; e

• Princípio da Identidade.

Por enquanto, não vou defini-los, porém, quando falarmos de proposições,

aprofundaremos em seus conceitos e exemplificaremos. Aguarde!

Voltando em valorações lógicas, quero dizer que temos apenas dois valores

para um pensamento, pois estamos trabalhando dentro da lógica bivalente, não

me interessa a validade do pensamento, apenas a sua forma. Isso quer dizer,

novamente, que não iremos valorar os pensamentos pelo conteúdo, a não ser que

a questão nos permita fazer.

Exemplo de sentenças fechadas:

• Mariana foi aprovada em química geral (pode ser V ou F)

• O vereador Vitor não participou do esquema. (pode ser V ou F)





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DICAUm bom indício que o conteúdo está sendo analisado é quando temos a sentença dentro das aspas.Ex.: “Esta frase é falsa”; (sentença aberta).“O governo brasileiro está fragilizado devido à corrupção” (sentença fechada).

Proposições

Pela definição, podemos dizer que proposição é uma sentença (afirmativa ou

negativa) formada por palavras ou símbolos que expressam um pensamento de

sentido completo, as quais se podem atribuir um valor lógico, ou seja, uma valo-

ração (verdadeiro ou falso).

Também podemos falar que esta valoração é chamada de valor-lógico, ou

valor-verdade.

Na verdade, podemos então inferir que as sentenças fechadas são denominadas

de proposições, beleza?

A partir do diagrama que criei abaixo, acredito que possamos ter uma ideia

geral de como entendermos os pensamentos (sentenças):

Vejamos o diagrama (esquema):





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Você deve estar se perguntando: “O que seriam expressões”? Bem, podemos

dizer que são frases que não possuem sentido completo.

Por exemplo: “dois terços”, ou seja, não temos um sujeito e um predicado.

Seria interessante, agora, citarmos quais são os princípios fundamentais da

lógica proposicional na lógica bivalente e defini-los:

• O princípio da identidade afirma que todo o enunciado da forma p ⊃ p é

verdadeiro, ou seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia.

Quer dizer que se um pensamento (proposição) for verdadeiro, então será

sempre verdadeiro.

• O princípio da não contradição afirma que todo o enunciado da forma p

∧¬p é falso, ou seja, todo o enunciado desse tipo é contraditório.

Temos, agora, que um pensamento (proposição) não pode ser verdadeiro e falso,

simultaneamente.

• O princípio do terceiro excluído afirma que todo o enunciado da forma p

∨ ¬ p é verdadeiro, ou seja, todo o enunciado desse tipo é uma tautologia.





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Neste princípio, temos que não possuímos uma terceira valoração, caso exista

deve ser excluída.

Vejamos algumas aplicações para fixarmos os conceitos apresentados:

Neste primeiro momento, não temos muitas questões da banca Iades, porém,

é de suma importância entender os fundamentos, que serão utilizados mais à frente

para resoluções da sua banca, ok?

Questão 1 (FCC/SFASP/AGENTE FISCAL DE RENDAS) Considere as seguintes

frases:

I – Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.

II – (x+y) / 5 é um número inteiro.

III – João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.

É verdade que APENAS.

a) I é uma sentença aberta.

b) II é uma sentença aberta.

c) I e II são sentenças abertas.

d) I e III são sentenças abertas.

e) II e III são sentenças abertas

Letra c.

No item I temos uma sentença aberta, pois não se pode determinar quem foi o

melhor jogador do mundo em 2005, logo a sentença é aberta.





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No item II vários valores podem ser atribuídos a x ou a y para que a razão possua

resultado inteiro. Ex.: x=5 e y= 10, temos ( 5 + 10 ) / 5 = 3 ( 3 pertence aos

inteiros); pode acontecer o mesmo com x= 20 e y=10, temos (20 + 10)= 15 e etc.,

logo a sentença é aberta;

No item III, aí sim, temos uma sentença fechada, pois sabemos determinar quem

é o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000, ou seja, o Sr. João da

Silva.

Questão 2 (FCC/SFASP/AGENTE FISCAL RENDAS/ADAPTADA) Das quatro

frases abaixo, três delas tem uma mesma característica lógica e comum, enquanto

uma delas não tem essa característica.

I – Que belo dia!

II – Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico.

III – O jogo terminou empatado?

IV – Escreva uma poesia.

A frase que não possui essa característica comum é a

a) IV.

b) III.

c) I.

d) II.

Letra d.

Das frases acima, temos quatro sentenças:

I – Que Belo dia! – Não possui uma interpretação lógica – sentença exclamativa –

não há como valorar.





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II – Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico – sentença afirmativa – há

como valorar.

III – O jogo terminou empatado? – Sentença interrogativa – não há como valorar.

IV – Escreva uma poesia. – Sentença imperativa – não há como valorar.

Dentre as quatro, apenas uma pode ser valorada, logo, temos uma proposição.

Neste caso, trata-se da segunda frase.

Questão 3 (CESPE/BANCO DO BRASIL S.A.) Na lógica de primeira ordem, uma

proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um número

finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são

atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a pro-

posição “Para qualquer x, tem-se que x - 2 > 0” possui interpretação V quando x

é um número real maior do que 2 e possui interpretação F quando x pertence, por

exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}.

Com base nessas informações, julgue os próximos itens.

( )� A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x 2 > x” é verdadeira

para todos os valores de x que estão no conjunto

( )� A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é

verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.

Errado.

O primeiro item está errado, pois quando atribuímos a x o valor de ½, a desigual-

dade torna-se falsa. Por exemplo: “∀ x2 > x = V”

(½)2 > ½ ⇒¼ > ½ (E).





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O segundo item está errado, pois se verificarmos os elementos do conjunto, eles

não são divisíveis por 2 e 3 (ao mesmo tempo). Por exemplo: o número 10 é

divisível por 2, porém, não é divisível por 3. O número 15 é divisível por 3, mas

não é divisível por 2. Logo, o item está errado. Para que o item estivesse certo,

a sentença deveria ser: “Existem números que são divisíveis por 2 ou por 3”.

Questão 4 (CESPE/BANCO DO BRASIL S.A.) A frase “Quanto subiu o percentual

de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma

proposição.

Certo.

O item não é uma proposição, pois não pode ser valorado. É uma sentença interro-

gativa. O item está certo.

Linguagem da Lógica Formal

Curiosidade!

Linguagem da lógica formal?

Você sabia que este assunto tem sido explorado por lógicos e matemáticos desde

os tempos de Aristóteles, mas tomou rumos fascinantes principalmente a partir dos

escritos de Frege, no século XIX. Quando surgiram as primeiras linguagens formais

(Frege, Peano, Russell, Carnap), o ponto de vista dos estudiosos era basicamente

“realista” e “normativo”.

Primeiramente, é importante entender a necessidade de saber ler e escrever na

lógica formal, uma vez que a filosofia utiliza linguagem própria para expressar seus

pensamentos, ou seja, simbolizar as proposições.





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Nessa minha caminhada como professor, nos últimos anos percebi que muitos

alunos possuem muita dificuldade em interpretar as questões, bem como identi-

ficar qual o método mais adequado a ser utilizado na referida questão. Daí me

perguntava, por quê?

A resposta é simples e direta, a pessoa não consegue entender o que está

escrito, logo, fica quase impossível responder.

Muitos alunos me dizem bem assim: - “Padilha, eu usei a minha lógica”, então

lhe faço uma pergunta: “Essa sua lógica estava discriminada no edital?”. Com

certeza a reação não é a melhor possível, lamentável.

Mas, chegou a nossa hora, concorda? Agora, sim, vamos aprender o primeiro

passo na lógica formal, que é saber transcrever da linguagem natural (língua

portuguesa) para a linguagem da lógica formal.

Para iniciarmos, vamos primeiramente falar de proposições simples e compostas,

pois elas que vão fazer parte da construção do raciocínio, inclusive temos que saber

que as proposições possuem representação.

Representação das Proposições

As proposições podem ser representadas por letras, sendo estas maiúsculas ou

minúsculas.

Exemplo:

p: As praias do Rio Grande do Norte trazem uma paz sem limites.

q: O mundo precisa de pessoas que se importam com o próximo.

r: Alunos dedicados conseguem alcançar seus sonhos.

Por mais que pareça simples, teremos, mais à frente, várias questões comen-

tadas de concursos que exigem do(a) candidato(a) a diferença entre proposições





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simples e compostas, e nesses últimos anos, tem aumentado o número de questões.

Diga-se de passagem, temos algumas bem difíceis.

Vamos, então, entender essa diferença.

PROPOSIÇÕES SIMPLES OU BÁSICAS: São as proposições que expressam

apenas um pensamento.

Uma dica legal é você perceber que temos apenas uma ação, ou seja, apenas

um sujeito (podendo ser simples ou composto), um verbo e um predicado.

• Brasília é uma cidade com uma arquitetura admirável.

• João Pedro alcançou uma vaga no concurso dos seus sonhos.

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: podemos defini-las como sendo proposições

que expressam mais de um pensamento. As proposições compostas costumam ser

chamadas de fórmulas proposicionais, ou apenas fórmulas.

Uma dica legal é você perceber que temos mais uma ação, ou seja, apenas um

sujeito (podendo ser simples ou composto), mais de um verbo e um predicado.

A lógica é uma ciência do raciocínio e a matemática nos ensina a entender o uni-

verso.

É importante lembrar que as proposições compostas precisam de uma ferra-

menta denominada de “operador lógico”. O que vêm a ser operadores lógicos?

Vamos, então, para mais uma definição importantíssima nessa nossa caminhada

lógica.

Questão 5 (FUNIVERSA/SAPEJUS-GO/AGENTE DE SEGURANÇA PRISIO-

NAL/2015) Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença bem





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definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, excluindo-se

qualquer outro julgamento, assinale a alternativa em que a sentença apresentada

corresponde a uma proposição.

a) Ele foi detido sem ter cometido crime algum?

b) Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes prisionais.

c) Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem treinados.

d) Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio.

e) Houve fuga de presidiários, que tragédia!

Letra c.

a) Errada. Não pode ser uma proposição por se tratar de uma frase interrogativa;

b) Errada. Não podemos definir qual a penitenciária, logo, temos uma sentença

aberta.

c) Certa. Será uma proposição, uma vez que podemos interpretar de maneira

lógica, ou seja, podemos valorar. Trata-se de uma sentença afirmativa.

d) Errada. Não será proposição, uma vez que se trata de uma sentença imperativa,

ou seja, temos uma sentença aberta.

e) Errada. Não será uma proposição, pois é uma frase exclamativa.

Operadores ou Conectivos Lógicos

Os conectivos lógicos são elementos que operam as proposições simples já

vistas para formarem novas proposições, as proposições compostas.

Vou lhe apresentar um quadro com os operadores lógicos:





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Nesses últimos concursos, observei que tem sido constante alguns termos que

indicam operadores lógicos, principalmente quando se trata do operador condicional.

Vejamos:

Condicional:

“Se...então...” pode ser escrito: quando, quem, aquele, como, todo etc. Na verdade,

pode ser qualquer termo, desde que expresse a ideia de condição.

Conjunção:

“e” pode ter situações que não aparece operador, porém, temos que interpretar

que está implícito. Veja os exemplos retirados de provas recentes: “Não basta a

mulher de César ser honesta, ela precisa parecer honesta”, “Não sou traficante, sou

usuário”. Para resolver os itens, é necessário que o(a) candidato(a) interprete que

se trata de proposição composta, operada por um conectivo de conjunção “e”.

Bicondicional:

“Se, e somente se” pode ser interpretado: “assim como”.

Como sabemos que a nossa ferramenta de trabalho é o pensamento (propo-

sição), devemos ter muito cuidado com a maneira que transcrevemos da linguagem





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natural para a linguagem da lógica formal, pois se simbolizarmos de maneira errônea,

estaremos comprometendo todo o conjunto de pensamentos.

Com essa preocupação e quando chegarmos mais à frente, na análise de um

argumento, poderemos evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das

proposições envolvidas na linguagem da lógica formal.

Os operadores são responsáveis em construir os pensamentos de maneira

formal, então, teremos uma hierarquia quanto à intensidade do operador, isto é,

sua força. Vejamos:

A “ordem de precedência” para os conectivos (traz o sentido principal da frase):

• bicondicional;

• condicional;

• conjunção e disjunção/disjunção exclusiva;

• negação.

Portanto, o conectivo mais “forte” é o bicondicional, e o mais “fraco” é a negação.

Na linguagem da lógica formal, qual a importância dos parênteses e como utilizá-lo?

O uso desse recurso faz-se presente na simbolização das proposições, pois evita

qualquer tipo de ambiguidade. Observe os exemplos a seguir.

I – p → (r ∧ s).

II – (p → r) ∧ s.

III – r → ((p ∧ s) → q).

IV – (r → p) ∧ (s → q).

A proposição I é uma condicional, pois o conectivo principal é o →. A proposição II

é uma conjunção, pois o conectivo principal é o ∧. Então, I e II não têm o mesmo





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significado, apesar de possuírem as mesmas proposições e os mesmos conectivos,

na mesma ordem. O mesmo acontece com os exemplos III e IV.

Há casos em que os parênteses podem ser retirados para que simplifiquem as

proposições colocadas, caso não apareça alguma ambiguidade.

Porém, para que se possa retirar os parênteses, é preciso seguir algumas convenções,

cujas mais importantes são:

A “ordem de precedência” para os conectivos é: ~ depois de ∧, depois de ∨, depois

de →, depois de ↔, esta ordem é crescente. Sendo assim, o elemento mais “fraco”

é ~, e o mais “forte” é o ↔.

Observe a proposição: r ∧ p ↔ s → q

Portanto, essa proposição é bicondicional, e jamais uma condicional ou uma

conjunção. Mas, para que se converta o seu sentido em uma condicional, os parên-

teses são obrigatórios.

((r ∧ p) ↔ s) → q)

Por analogia, podemos ter uma conjunção.

r ∧ (p ↔ (s → q))

O que você acha de várias questões comentadas? Então, vamos lá, para que

você aprenda de forma definitiva os assuntos até aqui apresentados.

É importante conhecer alguns símbolos matemáticos, uma vez que a filosofia –

Lógica Formal – utiliza para sua linguagem.





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Questão 6 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) A sentença “A aprovação em um

concurso é consequência de um planejamento adequado de estudos” pode ser

simbolicamente representada pela expressão lógica P → Q, em que P e Q são

proposições adequadamente escolhidas.





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Errado.

A sentença “A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento

adequado de estudos” corresponde a uma proposição simples, pois temos apenas

um pensamento.

Questão 7 (CESPE/STJ/2015) Designando por p e q as proposições “Mariana tem

tempo suficiente para estudar” e “Mariana será aprovada nessa disciplina”, respec-

tivamente, então a proposição “Mariana não tem tempo suficiente para estudar e

não será aprovada nesta disciplina” é equivalente a ¬p ^ ¬q.

Certo.

A questão exige do(a) candidato(a) uma interpretação quanto à linguagem da ló-

gica formal, isto é, transcrever da linguagem natural para linguagem da lógica

formal.

“Mariana não tem tempo suficiente para estudar (¬p ) e (^) não será aprovada

nesta disciplina (¬q)” é equivalente a escrever a ¬p ^ ¬q.

Questão 8 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) A sentença “A vida é curta e a mor-

te é certa” pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ^ Q, em

que P e Q são proposições adequadamente escolhidas.





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Certo.

A sentença “A vida é curta e a morte é certa” pode ser simbolicamente represen-

tada pela expressão lógica P ^ Q, uma vez que temos uma proposição composta

conjuntiva, podendo ser representada por P ^ Q.

Questão 9 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) A sentença “Somente por meio da

educação, o homem pode crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de

cidadania” pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ^ Q ^ R,

em que P, Q e R são proposições adequadamente escolhidas.

Errado.

A sentença “Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer

e desenvolver um sentimento de cidadania” representa uma proposição simples,

logo, temos sua representação por apenas uma letra, e não conforme o item su-

geriu.

CONSIDERE O DIÁLOGO ABAIXO:

– Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais!

– Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias.

Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a

declaração de Mário.

Questão 10 (CESPE/SERPRO/2013) A declaração de Mário é equivalente a “Se o

indivíduo trabalhar com o que gosta, então ele estará sempre de férias”.





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Certo.

A banca, mais uma vez, exige do(a) candidato(a) uma interpretação quanto a

linguagem da lógica formal. A proposição “Aquele que trabalha com o que gosta

está sempre de férias” tem o mesmo significado de uma proposição condicio-

nal “Se o indivíduo trabalha com que gosta, então ele trabalha com que gosta”.

O item está certo, pois o termo “aquele” tem o mesmo significado do termo “ se...,

então ...”.

Questão 11 (CESPE/SERPRO/2013) “Se o indivíduo estiver sempre de férias,

então ele trabalha com o que gosta” é uma proposição equivalente à declaração de

Mário.

Errado.

De acordo com a proposição (declaração) feita por Mário, temos que se trata de

uma condicional, em que a mesma não possui a propriedade comutativa, ou seja,

P → Q equivalente (não tem o mesmo significado) Q → P.

Aí, você me pergunta: “O que é a propriedade comutativa?”.

Bem, esse assunto será visto mais à frente com profundidade, se trata de uma das

Leis de Equivalências lógicas, porém, vou lhe adiantar que o único operador lógico

que não permite trocar de posição suas proposições simples é o conectivo condicional.

Logo, podemos inferir que:

P → Q ≠ Q → P.

Como sabemos, agora, que não é permitida a comutação, pois as interpretações

não são as mesmas, temos que o item está errado.





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DICAO único operador lógico que não permite trocar de po-sição (comutar) suas proposições simples é o conectivo condicional.P → Q ≠ Q → P.

Questão 12 (CESPE/STF/2013) A sentença: “Um governo efetivo precisa de

regras rígidas, de tribunais que desempenhem suas funções com seriedade e

celeridade e de um sistema punitivo rigoroso” pode ser corretamente representada

pela expressão (P ∧ Q) ∧ R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente

escolhidas.

Errado.

Essa questão é interessante, pois se trata de uma proposição simples, e não

composta, uma vez que temos apenas um verbo que liga o sujeito ao predicado.

É bom ficar esperto(a), pois temos muitas questões dessa forma em que o(a)

aluno(a) pensa que por ser grande a proposição, ela tem que ser composta.

Questão 13 (CESPE/STF/2013) A sentença “um ensino dedicado à formação de

técnicos negligencia a formação de cientistas” constitui uma proposição simples.

Certo.

Temos, novamente, uma sentença que expressa apenas um pensamento e pode

ser interpretada de forma lógica, ou seja, verdadeira ou falsa, logo, é uma

proposição simples.





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Questão 14 (CESPE/STF/2013) A sentença “A indicação de juízes para o STF deve

ser consequência de um currículo que demonstre excelência e grande experiência

na magistratura” pode ser corretamente representada na forma P → Q, em que P e

Q sejam proposições simples convenientemente escolhidas.

Errado.

Novamente uma sentença que expressa apenas um pensamento e pode ser in-

terpretada de forma lógica, ou seja, verdadeira ou falsa. Logo, é uma proposição

simples. A maneira que a banca simbolizou está considerando a proposição como

composta, uma vez que temos a presença de um operador lógico condicional, que

indicaria mais de uma proposição sendo conectada.

Questão 15 (CESPE/SEBRAE/2008) A frase “Pedro e Paulo são analistas do

Sebrae” é uma proposição simples.

Certo.

O item está certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição sim-

ples). Podemos observar que a proposição possui sujeito composto.

Questão 16 (CESPE/SEBRAE/2008) A proposição “João viajou para Paris e Roberto

viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições

simples relacionadas por um conectivo de conjunção.





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Certo.

O item está certo, pois temos duas ideias completas conectadas (operadas) por um

conectivo de conjunção “e”.

Questão 17 (CESPE/PRODEST/TÉCNICO EM INFORMÁTICA/ADAPTADA) Consi-

dere a seguinte lista de frases e julgue o item.

I – Rio Branco é a capital do estado de Rondônia.

II – Qual é o horário do filme?

III – O Brasil é pentacampeão de futebol.

IV – Que belas flores!

V – Marlene não é atriz e Djanira é pintora.

( )� Nesta Lista, há exatamente 4 proposições

Certo.

Nesta questão acima, temos as proposições:

– Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (uma proposição, um pen-

samento).

– Qual é o horário do filme? ( sentença)

– O Brasil é pentacampeão de futebol. (uma proposição, um pensamento).

– Que belas flores! ( sentença)

– Marlene não é atriz e Djanira é pintora. (duas proposições - 2 pensamentos)

Logo, temos 4 proposições.





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Questão 18 (CESPE/STF/TÉCNICO JUDICIÁRIO)

– Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho.

– A resposta branda acalma o coração irado.

– O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem.

– Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade.

Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.

a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo

conectivo de conjunção.

b) A segunda frase é uma proposição lógica simples.

c) A terceira frase é uma proposição lógica composta.

d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.

Letra b.

a) Errado. Uma vez que temos duas sentenças imperativas (não são propo-

sições) ligadas por um conectivo de conjunção, logo, podemos afirmar que não é

uma proposição.

b) Certo. Uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição simples).

c) Errado. Pois temos apenas uma ideia completa (proposição simples).

d) Errado. Uma vez que temos duas proposições simples (pensamentos) conec-

tadas por um conectivo condicional “Se..., então...”.

Questão 19 (CESPE/SEBRAE/ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os

itens subsequentes.

– A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples.





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– A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um

exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas

por um conectivo de conjunção.

Certo.

O primeiro item está certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa

(proposição simples).

O segundo item está certo, pois temos duas ideias completas conectadas (operadas)

por um conectivo de conjunção “e”.

Questão 20 (CESPE/MINISTÉRIO DAS RELAÇÕES EXTERIORES/2008) Proposições

são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não

cabem a elas ambos os julgamentos. As proposições simples são frequentemente

simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, e as proposições compostas são

conexões de proposições simples. Uma expressão da forma A ∧ B é uma proposição

composta que tem valor lógico V quando A e B forem ambas V e, nos demais casos,

será F, e é lida “A e B”. A expressão ¬A, “não A”, tem valor lógico F se A for V,

e valor lógico V se A for F. A expressão A ∨ B, lida como “A ou B”, tem valor lógico

F se ambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é V. A expressão A→B

tem valor lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre outras,

as seguintes leituras: “se A então B”, “A é condição suficiente para B”, “B é condição

necessária para A”. Uma argumentação lógica correta consiste de uma sequência

de proposições em que algumas são premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese,

e as outras, as conclusões, são obrigatoriamente verdadeiras por consequência das

premissas.





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Considerando as informações acima, julgue o item.

Considere a seguinte lista de sentenças:

I – Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores?

II – O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.

III – As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui

são, respectivamente, x e y.

IV – O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.

Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças, apenas uma delas não é

proposição.

Errado.

A primeira sentença é interrogativa, logo, não pode ser valorada, ou seja, é uma

sentença aberta.

A segunda frase é uma proposição, pois pode ser valorada, isto é, verdadeira ou

falsa.

A terceira frase é uma sentença aberta, pois não se sabe o valor de x e y.

A quarta frase é uma proposição, pois possui interpretação lógica.

Para finalizarmos a nossa série de questões desta primeira parte, quero apre-

sentar um comentário de uma questão muito bem-feita pela banca VUNESP.

Vamos lá.

Questão 21 (VUNESP/POLÍCIA CIVIL-SP/2013) Em um reino distante, um homem

cometeu um crime e foi condenado à forca. Para que a sentença fosse executada,





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o rei mandou que construíssem duas forcas e determinou que fossem denomi-

nadas de Forca da Verdade e Forca da Mentira. Além disso, ordenou que na hora

da execução o prisioneiro deveria proferir uma sentença assertiva qualquer. Se a

sentença fosse verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade. Se, por

outro lado, a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira.

Assim, no momento da execução, foi solicitado que o prisioneiro proferisse a sua

asserção. Ao fazer isso, o carrasco ficou completamente sem saber o que fazer e a

execução foi cancelada! Assinale qual das alternativas representa a asserção que o

prisioneiro teria proferido.

a) “Está chovendo forte”.

b) “O carrasco não vai me executar”.

c) “A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus”.

d) “Dois mais dois é igual a cinco”.

e) “Serei enforcado na Forca da Mentira”.

Letra e.

A banca VUNESP exige um conhecimento de sentenças fechadas (proposições) e

sentenças abertas. Uma bela questão em que o examinador soube aplicar de

maneira concreta os princípios fundamentais da lógica proposicional.

Segundo a questão, existem duas forcas para execução do prisioneiro. Se proferisse

uma sentença verdadeira, ele deveria ser enforcado na forca da verdade, mas, por

outro lado, se a sentença fosse falsa, deveria ser enforcado na forca da mentira.

À primeira vista, temos uma interpretação que tal situação é absurda, porém,

quando analisamos pelo ponto de vista lógico, podemos interpretar que existem

pensamentos passíveis de valoração (V ou F) dentro da lógica bivalente e pensa-

mentos completos que não possuem interpretação, ou seja, sentenças abertas.





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Nesse caso, o prisioneiro ao proferir a sentença deixou o carrasco completamente

sem saber o que fazer, pois aquilo que ele ouviu não proporcionou a execução do

prisioneiro, ou seja, uma sentença que não conduzia a forca da verdade nem a

forca da mentira, sendo, dessa forma, a execução cancelada. Bem, isto se deve ao

fato de que a sentença se tratava de um pensamento completo que não era nem

verdadeiro nem falso, ou seja, uma SENTENÇA ABERTA.

Analisando as opções, devemos encontrar a sentença aberta que o prisioneiro

proferiu, proporcionando sua absolvição.

a) Errada. “Está chovendo forte”. É uma proposição, pois pode ser verdadeira ou

falsa, seria executado de qualquer forma.

b) Errada. “O carrasco não vai me executar”. É uma proposição, pois possui valo-

ração, no caso falsa, seria executado na forca da mentira.

c) Errada. “A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus”. É uma

proposição, pois possui valoração, no caso verdadeira, seria executado na forca da

verdade.

d) Errada. “Dois mais dois é igual a cinco”. É uma proposição, pois possui valora-

ção, no caso falsa, seria executado na forca da mentira.

e) Certa. “Serei enforcado na forca da mentira”. A sentença não é nem verdadeira

e nem falsa. Pois se tentarmos valorar como verdadeira, ela se torna falsa, e se

tentarmos valorar como falsa, se torna verdadeira, ou seja, não possui valoração –

sentença aberta.

Estruturas Lógicas – Parte 2

Estruturas Lógicas – (Tabelas Verdades ou Veretativas): Construção e

aplicações das tabelas-verdade dos operadores: conjunção, disjunção inclusiva,

disjunção exclusiva, condicional, bicondicional e negação. Lógica de primeira ordem.





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Tabelas Verdades – Veretativas

Meu(minha) querido(a), nosso primeiro passo é entender como se constrói uma

tabela-verdade, porém, vamos entender porque se chama tabela-verdade.

As tabelas-verdade apresentam as possíveis interpretações para uma proposi-

ção simples ou composta, sabendo que na lógica bivalente as valorações possíveis,

valores lógicos, que nós temos são:

(V): verdade ou (F): falso

Daí surge a pergunta:

“Só temos esses dois valores?”

Bem, vamos lá. Para que possamos valorar as proposições simples ou compos-

tas, temos que entender que as únicas possibilidades são essas, então, não custa

apresentar a você as 03(três) leis do pensamento ou os princípios fundamentais da

lógica proposicional.

A lógica, como a ciência do raciocínio ou do pensamento, possui exatamente

três leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para

que o pensar se desenvolva de maneira “correta”. Essas leis do pensamento rece-

beram, tradicionalmente, os nomes de princípio de identidade, princípio de contra-

dição (por vezes, princípio de não contradição) e princípio do terceiro excluído.

Há formulações alternativas desses princípios, apropriadas a diferentes contextos.

No nosso caso, as formulações apropriadas são as seguintes:

• O princípio de identidade afirma que se qualquer enunciado é verdadeiro,

então ele é verdadeiro, se for falso, será falso. Não pode estar alternando sua

valoração, isto é, sua interpretação.





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• O princípio da não contradição afirma que nenhum enunciado pode ser

verdadeiro e falso. Do ponto de vista lógico, é impossível uma afirmação ser

simultaneamente verdadeira e falsa.

• O princípio do terceiro excluído afirma que um enunciado ou é verdadeiro,

ou é falso. Não temos como ter um terceiro valor, caso exista, deverá ser

excluído.

Partindo desse pressuposto que um pensamento pode ser ou verdadeiro ou falso,

vamos aprender a construir as tabelas-verdade.

O primeiro passo é sabermos quantas linhas temos para cada tabela, pois bem,

para isso, temos que saber se temos uma proposição simples ou composta.

Em uma proposição composta formada por n variáveis proposicionais, ou seja,

“n” pensamentos simples, a sua tabela verdade possuirá 2n linhas. A base é o nú-

mero 2, por se tratar da lógica bivalente, e “n” significa o número de proposições

simples.

N. de linhas = 2n(Proposições).

Como construir uma tabela verdade?

Vejamos os casos abaixo:

• Quantas linhas possui a tabela verdade da proposição P?

Já vimos que as proposições são representadas por letras, nesse caso, temos

uma variável proposicional, ou seja, “n” é igual a 1. Então, o número de linhas será

dado por:

2 n= 21= 2 linhas.

Sabendo, agora, que temos 02 linhas, podemos construir a tabela:





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P

• Quantas linhas possuem a tabela verdade da proposição composta

P ˄ Q?

Sabendo que as proposições são representadas por letras e que temos, nesse

caso, duas variáveis proposicionais, ou seja, “n” é igual a 2, então o número de

linhas será dado por:

2 n= 22= 4 linhas.

Sabendo agora que temos 04 linhas, podemos construir a tabela em que as

duas primeiras colunas são as proposições simples e a terceira coluna será a pro-

posição composta:

P Q (P ˄ Q)

• Quantas linhas possuem a tabela verdade da proposição composta (P

˄ Q) ˅ R?

Nesse caso, temos que o número de proposições simples, variáveis proposicio-

nais, é igual a 3, ou seja, n = 3, então, o número de linhas:

2 n =2 3= 8 linhas





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P Q R (P ˄ Q) (P ˄ Q) ˅ R

• Quantas linhas possuem a tabela verdade da proposição composta (P

˄ Q) ˅ (R ˄ S)?

Agora, temos que o número de proposições simples, variáveis proposicionais,

é igual a 4, ou seja, n = 4, então, o número de linhas:

2 n =2 4= 16 linhas





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P Q R S (P ˄ Q) (P ˄ Q) (P ˄ Q) ˅ (R ˄ S)

E agora surge outra pergunta:

Como preencher as tabelas?

Vamos aprender como valorar as proposições simples em uma tabela verdade,

ou seja, as primeiras colunas.

Para as tabelas-verdade abaixo, teremos:

• Para 01 (uma) proposição: n=1





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PVF

Preencher a coluna

alternando verdadeira

(V) e uma falsa (F).

• Para 02 (duas) proposições: n=2

P

V V

VVF

F

FF

Q (P ˄ Q)

Alternando

de uma em

uma. V, F, V, F

Alternando

de duas em

duas. V, V depois

F, F...

• Para 03 (três) proposições simples: n=3

PV V V

VV

V

V

V VF

F

F

F F

F

Q R (P ˄ Q) (P ˄ Q) ˅ R

VV

V

F

F

FFF

F

Alternando de quatro em quatro: V, V, V, V, F, F, F, F....

Alternando de duas em duas. V V de-pois FF ....

Alternandode uma em uma: V, F, V, F, V, F....





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• Para 04 (quatro) proposições simples: n=4

P

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

FF

F

F

F

F

F

F

F

Q R S (P ˄ Q) (P ˄ Q) (P ˄ Q) ˅ (R ˄ S)

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

FF

F

Alternandode uma em uma: V, F, V, F, V, F....

Alternando de duas em duas. V V de-pois FF ....

Alternandode quatro em quatro: V, V, V, V, F, F, F, F....

Alternando de oito em oito: V, V, V, V, V, V, V, V, F, F, F, F, F, F, F, F

Agora que aprendemos como preencher a parte inicial da tabela verdade, podemos

dar início às tabelas-verdade para cada um dos operadores lógicos.

Vamos pensar da seguinte maneira. É como se fossem as tabuadas na mate-

mática, para cada operador matemático, você lembra? Tínhamos as tabuadas da

soma, subtração, multiplicação e divisão. Partindo do mesmo princípio, em que

para cada operador lógico, terá sua tabela.





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Antes de darmos início às tabelas para cada operador, vejamos dois exemplos

de concursos do assunto já visto.

Questão 22 (CESPE/TCU) (ADAPTADA) Considere que as letras P, Q e R repre-

sentam proposições e os símbolos ¬ e → são operadores lógicos que constroem

novas proposições e significam não, e, e então, respectivamente. Na lógica pro-

posicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são

avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos.

Com base nessas informações e no texto, julgue o item seguinte.

O número de valorações possíveis para (Q ˄ ¬R) ¬ P é inferior a 9.

Certo.

Como já visto, o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis)

que podem ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a

2n, logo temos: 23 = 8. Sendo assim, temos que 8 é inferior a 9.

Questão 23 (CESPE/TRT-5) Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas,

então o número de linhas da tabela-verdade da proposição (A B) ↔ (C D) será

superior a 15.





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Certo.

Como já visto, o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis)

que podem ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2n,

logo, temos: 24 = 16. Sendo assim, temos que 16 é superior a 15.

Tabelas – Verdade

Conjunção: “ e, mas” símbolo: ˄

Denomina-se conjunção a proposição composta formada por duas proposições

quaisquer que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “e”.

Exemplo:

• A: José trabalha no Tribunal. (1º Conjuntivo)

• B: José mora em Brasília. (2º Conjuntivo)

Tabela Verdade

A B A ˄ B

V V V

V F F

F V F

F F F





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Para que você entenda de uma maneira mais concreta, vamos associar cada

linha da tabela verdade a cada elemento pertencente ao diagrama acima.

No operador conjuntivo (e), só será verdadeiro se os elementos pertencerem à

interseção (área hachurada no diagrama). Isto quer dizer que quando tiver o valor

V (pertence) e quando tiver o valor F (não pertence ao conjunto).

O elemento referente à primeira linha pertence a A e pertence a B, ou seja, se

encontra na interseção, logo, será verdadeiro.

O elemento referente à segunda linha pertence a A e não pertence a B, ou

seja, não se encontra na interseção, logo, será falso.

O elemento referente à terceira linha não pertence a A e pertence a B, ou seja,

não se encontra na interseção, logo, será falso.

O elemento referente à quarta linha não pertence a A e não pertence a B, ou


Resumindo, na conjunção só será verdadeiro se tudo for verdadeiro.

DICAO operador “e” tem o sentido de “ambos”, “simulta-neidade”, “ao mesmo tempo”.O operador “e” em operações de conjuntos dá ideia de “intersecção”, e uma ideia de “multiplicação”.





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Disjunção: “OU” símbolo: ˅

Vamos para o próximo operador lógico e sua tabela verdade. Agora é a nossa

disjunção inclusiva, que é uma proposição composta formada por duas proposições

simples que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “ou”.

Tabela Verdade

P Q P v Q

V V V

V F V

F V V

F F F



No operador disjuntivo (ou), só será verdadeiro se os elementos pertencerem

à união (área hachurada no diagrama). Isto quer dizer que quando tiver o valor V

(pertence) e quando tiver o valor F (não pertence ao conjunto).


encontra na interseção, logo, será verdadeiro.


seja, não se encontra na interseção, logo, será verdadeiro.


não se encontra na interseção, logo, será verdadeiro.





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Resumindo, na disjunção só será verdadeiro se pelos menos uma proposição for

verdadeira.

O operador “ou” tem o sentido de “um ou outro, possivelmente ambos”.

O operador “ou”, em operações de conjuntos, dá ideia de União e uma ideia

de Soma.

Vejamos como o assunto é cobrado em prova. É importante observar que na

tabela verdade construída pela banca, os valores estão invertidos, mas isso não é

problema, pois o que importa é que tenhamos todas as possibilidades.

Questão 24 (FUNIVERSA/POLÍCIA CIVIL-DF) Os valores lógicos – verdadeiro e

falso – podem constituir uma álgebra própria, conhecida como álgebra booleana.

As operações com esses valores podem ser representadas em tabelas-verdade,

como exemplificado abaixo:

A B A e B

Falso Falso Falso

Falso Verdadeiro Falso

Verdadeiro Falso Falso

Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro

As operações podem ter diversos níveis de complexidade e também diversas tabelas-

-verdade.

Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.

I – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A e B e C), são, respecti-

vamente, falsos, falso e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é

falso.





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II – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A ou B ou C), são, respec-

tivamente, falso, verdadeiro e falso, então o valor lógico dessa expressão é

verdadeiro.

III – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [A e (B ou C)], são, respec-

tivamente, falso, verdadeiro e verdadeiro, então o valor lógico dessa expres-

são é verdadeiro.

IV – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [ A ou (B e C)], são, respec-

tivamente, verdadeiro, falso e falso, então o valor lógico dessa expressão

é falso

a) Todas as afirmativas estão erradas.

b) Há apenas uma afirmativa certa.

c) Há apenas duas afirmativas certas.

d) Há apenas três afirmativas certas.

e) Todas as afirmativas estão certas.

Letra c.

Esta questão trata apenas da aplicação da tabela verdade, logo, é importante

copiar as tabelas em uma folha para acompanhar as operações. Com o tempo, por

meio da prática, se tornará comum.

I – Certo. A ^B ^C ⇒ F ^F ^ V = F

No item acima, operamos na conjunção F com F, que será falso e, consequente-

mente, operamos na conjunção com V resultando em F.

II – Certo. A v B v C ⇒ F v V v F = V

No item acima, operamos na disjunção F com V, que será falso.





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III – Errado. [A ^ (B V C)] ⇒ [F ^ ( V v V )] = F

No item acima, operamos a disjunção que está entre parênteses, que será verda-

deiro e, consequentemente, operamos com F pela conjunção, resultando em F.

IV – Errado. [A ou (B e C)] ⇒ [ V v (F ^ F)] = V

No item acima, operamos o que está entre parênteses pela conjunção que será falso

e, consequentemente, operamos pela disjunção, que será verdadeiro.

Disjunção Exclusiva: “ OU...OU...” símbolo: ˅

Temos, agora, o nosso terceiro operador lógico, denominado de disjunção

exclusiva. A proposição composta formada por duas proposições simples que este-

jam ligadas (operadas) pelo conectivo “ou...ou...”

Tabela Verdade

R S R v S

V V F

V F V

F V V

F F F



No operador disjunção (ou..ou..) exclusiva, só será verdadeiro se os elementos

não pertencerem à interseção, ou seja, quando forem exclusivos, pertencerem à





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área hachurada no diagrama. Isto quer dizer que quando tiver o valor V (pertence)

e quando tiver o valor F (pertence ao conjunto).


encontra na interseção, logo, será falso.


seja, não se encontra na interseção, logo, será verdadeiro.


não se encontra na interseção, logo, será verdadeiro.



Resumindo, na disjunção exclusiva só será verdadeiro se os valores das propo-

sições forem diferentes.

Vejamos mais uma questão envolvendo o operador acima:

Questão 25 (ESAF) De três irmãos – José, Adriano e Caio. Sabe-se que ou José é

o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se também que, ou Adriano é o mais

velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos

são, respectivamente:

a) Caio e José.

b) Caio e Adriano.

c) Adriano e Caio.

d) Adriano e José.

e) José e Adriano.





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Letra b.

Agora, iremos utilizar um pouco dos conhecimentos adquiridos no primeiro módulo,

onde tratamos da linguagem.

Iremos simbolizar as proposições acima, para ficar mais fácil.

P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço = V

P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. = V

Obs.:� Você deve ter percebido o sinal de verdade ao final de cada proposição

composta, isto é devido porque partimos de verdades para chegarmos em

uma verdade. Esse raciocínio ficará mais claro nos módulos posteriores,

quando falarmos de inferências lógicas, ok? Por enquanto, vamos ficar por

aqui, pois o nosso foco são as tabelas-verdade.

Aplicando mão da observação acima, temos que todas as proposições são verda-

deiras, logo, iremos valorá-las com “V” e, aplicando a tabela verdade do conectivo

utilizado (ou...ou...) nas proposições P1 e P2, iremos valorando as proposições

simples que as compõem.

Para que os resultados das premissas (P1e P2) sejam verdadeiros, temos que valo-

rar as proposições simples sublinhadas de acordo com a tabela-verdade da disjun-

ção exclusiva. Então, teremos:

F V

P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço. = V

F V

P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. = V

Na proposição composta P1, podemos ter 02 possibilidades de acordo com o opera-

dor “ou...ou...”, isto é, os valores devem ser diferentes, mas se começarmos com F





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e V respectivamente, iremos perceber que chegaremos em uma contradição, logo,

ao colocarmos F e V, conforme ilustrado acima, chegaremos na resposta certa.

Desta forma, podemos concluir que o mais velho é Caio, e o mais moço é Adriano.

DICAO operador “ou...ou...” tem o sentido de “um ou outro, e não ambos”.O operador “ou...ou...” em operações de conjuntos dá ideia de União dos exclusivos e uma ideia da soma dos exclusivos.Quando se utilizar o “ou” no sentido exclusivo, é comum adicionar no final a expressão: “mas não os dois”.

Condicional: “se..., então...” símbolo: →

Agora, é muito importante sua atenção, pois iremos estudar o principal dos

operadores lógicos, ou seja, o CONDICIONAL, isso pela incidência em questões de

concursos públicos e também pela sua complexidade

Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposi-

ções que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “se..., então...”/“quando”,

“ aquele”, “como” etc.

Para melhor compreensão, iremos continuar lançando mão dos conhecimentos

de teoria de conjuntos.

A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas ideias

de natureza lógica, que são fundamentais para a matemática e o desenvolvimen-

to do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica denotada por A → B pode ser

interpretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como A ⊂ B, em que A





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é o conjunto cujos objetos cumprem a condição a, e B é o conjunto cujos objetos

cumprem a condição b.

A B A B

V V V

V F F

F V V

F F V

No operador condicional (Se..., então...), será verdadeiro se os elementos

cumprirem a condição determinada pela inclusão A ⊂ B, ou seja, apenas 03

elementos “a, b e c” podem existir de acordo com o diagrama acima. Vejamos:

O elemento referente à primeira linha indica que se pertence a A, então

pertence a B, ou seja, isso pode acontecer. No diagrama, é representado pelo

elemento a, logo, será verdadeiro.

O elemento referente à segunda linha indica que se pertence a A, então não

pertence a B, ou seja, isso NÃO pode acontecer. No diagrama, não temos elemento

representando essa possibilidade, logo, será falso.

O elemento referente à terceira linha indica que se não pertence a A, então

pertence a B, ou seja, isso pode acontecer. No diagrama, é representado pelo

elemento b, logo, será verdadeiro.

O elemento referente à quarta linha indica que se não pertence a A, então

não pertence a B, ou seja, isso pode acontecer. No diagrama, é representado pelo

elemento c, logo, será verdadeiro.





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Em uma proposição condicional, não existe a possibilidade de termos a primeira

verdadeira e a segunda falsa, então, se sabemos que a primeira é verdadeira,

a segunda, por dedução, deverá ser considerada verdadeira, e se sabemos que a

segunda é falsa, a primeira deverá ser considerada falsa.

Note, também, que: se sabemos que a primeira é falsa, não temos como deduzir

o valor-lógico da segunda e, se sabemos que a segunda é verdadeira, não temos

como deduzir o valor-lógico da primeira. Veja:

É importantíssimo! Temos alguns termos que indicam as proposições simples

em uma proposição condicional. Tem acontecido demais em concursos, em que a

banca não cita o nome do operador, e sim, os termos escritos abaixo:

(AB)↘ConsequenteAntecedente

↘

Além desses termos, é importante guardar as condições que existem nas

proposições condicionais.

Condição suficiente: condição que vai do antecedente para o consequente.

Condição necessária: condição que vai do consequente para o antecedente.

Antecedente Consequente

Vejamos um exemplo simples:

Ex: Se o dia estiver claro, então José vai à praia.

Temos que:

O dia estar claro é condição suficiente para José ir à praia.

ou

José ir à praia é condição necessária para o dia estar claro





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O operador “Se...., então...” dá ideia de inclusão de dois conjuntos, em que, p→ q

⇒ p q.

Uma observação muito importante para o conectivo condicional é que o mesmo não

pode (comutar), ou seja, se eu falar: “Se estudo, então eu passo”, não é o mesmo

que falar: “ Se eu passei, então estudei”. Do ponto de vista lógico, essas duas pro-

posições não possuem as mesmas interpretações, isto é, as valorações nas tabelas-

-verdade são diferentes. Isso fica claro com os valores expressos nas linhas 2 e 3.

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Outra demonstração é por meio dos diagramas, onde temos:

p → q ≠ q → p

Resumindo, na condicional só será FALSO se tivermos verdade no antecedente

e falso no consequente.

Uma brincadeira que gosto de fazer é a seguinte: V→F (Vera Fischer).





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Questão 26 (ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é

florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:

a) O jardim é florido e o gato mia;

b) O jardim é florido e o gato não mia;

c) O jardim não é florido e o gato mia;

d) O jardim não é florido e o gato não mia;

e) Se o passarinho canta então o gato não mia

Letra c.

Partindo do princípio de que todas as proposições são verdadeiras, temos:

v v

P1: O jardim não é florido O gato mia (V)

F F

P2: O jardim é florido o passarinho não canta (V)

P3: O passarinho canta (V)

Para que possamos fazer essa questão, uma boa sugestão é que iniciemos pela

proposição simples (P3) como verdadeira.

Partindo da premissa P3 como (V), temos as seguintes valorações para as demais

proposições simples, de acordo com a tabela verdade da condicional, analisando as

respostas:

Se a proposição P3 é verdadeira, então o consequente de P2 será falso. Se o

consequente de P2 é falso, então o antecedente será falso.





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Se o antecedente da proposição P2 é falso, então o antecedente da proposição P1

é verdadeiro.

Dessa forma, temos as valorações das proposições simples, agora, é só procurar

a resposta, e o importante é perceber que nas alternativas temos o operador de

conjunção, que deverá ser também analisado.

a) Errado. O jardim é florido e o gato mia.

F ^V = F

b) Errado. O jardim é florido e o gato não mia.

F ^ F = F

c) Certo. O jardim não é florido e o gato mia.

V ^ V = V

d) Errado. O jardim não é florido e o gato não mia.

V ^ F = F

e) Errado. Se o passarinho canta, então o gato não mia.

V → F = F

Obs.:� Você percebeu que tivemos que analisar cada uma das opções para encontrar

o item verdadeiro.

Bicondicional: “se, e somente se”símbolo: ↔

Temos, agora, o operador bicondicional, que será identificado pelo termo “se,

e somente se”. A proposição composta formada por duas proposições que estejam

ligadas por esse conectivo.

Vejamos um exemplo.

Exemplo:

A: Gosto de lógica analítica.

B: Gosto de estatística inferencial.





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A proposição bicondicional ‘A se, e somente se, B’ pode ser escrita como:

A ↔ B: Gosto de lógica analítica se, e somente se, gosto de estatística inferencial.

Quando declaramos uma proposição bicondicional, devemos de acordo com os

axiomas da lógica aceitar como verdadeiro que: Se é verdade que “gosto de lógica

inferencial”, obrigatoriamente, é verdade que “gosto de estatística inferencial”.

Se for verdade que gosto de estatística inferencial, obrigatoriamente, é verdade

que gosto de lógica analítica. Se for falso que gosto de lógica inferencial, obrigato-

riamente é falso que gosto de estatística inferencial e, se é falso que gosto de esta-

tística inferencial, obrigatoriamente, é falso que gosto de lógica analítica. Qualquer

outra possibilidade representa um conjunto vazio. A tabela e o diagrama abaixo

representam esta situação.

A B A ↔ B

V V V

V F F

F V F

F F V

No operador bicondicional (se, e somente se), será verdadeiro se os elementos

cumprirem a condição determinada pela inclusão (A ⊂ B) ∩ (B ⊂ A), ou seja,

os conjuntos são iguais, pois o conjunto A está contido em B e, simultaneamente,

B está contido em A, conforme o diagrama acima. Vejamos como interpretar as

tabelas:





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O elemento referente à primeira linha indica que se pertence ao conjunto A,

então pertence ao conjunto B, ou seja, isso acontece uma vez que os conjuntos são

iguais. No diagrama, é representado pelo elemento “a”, logo, será verdadeiro.

O elemento referente à segunda linha indica que se pertence a A, então não

pertence a B, ou seja, isso NÃO pode acontecer, uma vez que os conjuntos são

iguais. No diagrama, não temos elemento representando essa possibilidade, logo,

será falso.

O elemento referente à terceira linha indica que se não pertence a A, então

pertence a B, ou seja, isso NÃO pode acontecer, uma vez que os conjuntos são

iguais. No diagrama, não temos elemento representando essa possibilidade, logo,

será falso.

O elemento referente à quarta linha indica que se não pertence a A, então não

pertence a B, ou seja, isso acontece uma vez que os conjuntos são iguais. No

diagrama, é representado pelo elemento “b”, logo, será verdadeiro.

Obs.:� Na proposição bicondicional, se a primeira das duas proposições simples que

a compõem for verdadeira, a segunda será verdadeira, e se a primeira for

falsa, a segunda será falsa.

V V

FF

Quando temos:





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P → Q P Q

e

Q P Q P

Logo, P=Q P⇔Q

Uma aplicação deste conceito:

Questão 27 (FCC/TRF-1) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos

livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo,

a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.

b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.

c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.

d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.

e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa

Letra c.

Considerando as proposições:

Se todos nossos atos têm causas, então não há atos livres.

Se não há atos livres, então todos nossos atos têm causas.

Tomando como proposições:

P: Todos nossos atos tem causas.

Q: Não há atos livres.

(P→Q) ^( Q→P) podemos inferir que P ↔ Q.

Podemos perceber que a questão comuta (troca de posição) as proposições

simples P e Q, em que podemos concluir que 2 (duas) condicionais produzem

uma bicondicional.





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“Todos os nossos atos tem causas se e somente se não há atos livres.”

Dessa ideia, temos mais um conceito a ser mostrado, que é o seguinte:

P é condição necessária e suficiente para Q.

Temos as duas condições, simultaneamente, pois se trata de uma bicondicional.

DICATemos que observar que em muitas questões de concursos públicos os conectivos lógicos: condicional e bicondicional são expressões não em uma linguagem formal (seu significado), mas por meio de condições impostas às proposições simples que compõem uma sentença composta.

Questão 28 (EPPGG/MP/ESAF) Carlos não ir ao Canadá é condição necessária

para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para

Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para

Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre

ir à Alemanha. Portanto:

a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à

Alemanha.

b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.

e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

Letra c.

Primeiramente, vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos

a uma conclusão verdadeira.





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É importante que você já saiba as tabelas-verdade anteriores, pois iremos utilizá-las.

cc

(F) (F)

P1: Alexandre ir à Alemanha Carlos não ir ao Canadá (V)

(V) (V)

P2: Helena não ir à Holanda Carlos ir ao Canadá (V)

(F) (V)

P3: Carlos não ir ao Canadá Alexandre não ir à Alemanha(V)

(F) (F)

P4: Helena ir à Holanda Alexandre ir à Alemanha (V)

Logo, partindo de que todas as proposições são verdadeiras e utilizando as tabelas-

-verdade, valoramos as proposições simples.

Nesse momento, só quero que você se importe com a construção das proposições,

pois quanto as valorações, veremos uma maneira mais prática de preencher.

Depois de valorada a proposição acima novamente, chamo a atenção para observar

que nas opções temos operadores lógicos, que devem ser levados em conta.

Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma opção verdadeira,

temos:

a) Errada. Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai

à Alemanha.

V – ^ F ^ V = F

b) Errada. Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à

Alemanha.

F ^ V ^V = F

c) Certa. Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à

Alemanha.

V – ^ V ^V = V





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d) Errada. Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à

Alemanha.

F ^ F ^ F = F

e) Errada. Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à

Alemanha.

F ^F ^ F = F

Questão 29 (ESAF/TÉCNICO) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para

Carmem cantar e condição suficiente para Denise dançar. Sabe-se, também, que

Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando

Carmem canta,

a) Denise não dança ou Ana não chora.

b) Nem Beto bebe nem Denise dança.

c) Beto bebe e Ana chora.

d) Beto não bebe ou Ana não chora.

e) Denise dança e Beto não bebe.

Letra c.

Observe que as proposições abaixo são construídas por intermédio das condições

estudadas, logo, fique atento(a) a: condição suficiente, condição necessária e a

condição necessária e suficiente.

Primeiramente, vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos

a uma conclusão verdadeira.

P1: Carmem cantar Beto beber (V)

P2: Beto beber Denise dançar (V)





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P3: Denise dançar ↔ Ana chorar (V)

P4: Carmem cantar (V)

Partindo de que todas as proposições são verdadeiras e utilizando as tabelas-

-verdade da condicional e bicondicional, valoramos as proposições simples. Uma

dica é você começar sempre de uma proposição simples, caso tenhamos.

(V) (V)

P1: Carmem cantar Beto beber (V)

(V) (V)

P2: Beto beber Denise dançar (V)

(V) (V)

P3: Denise dançar ↔ Ana chorar (V)

(V)

P4: Carmem cantar (V)

Com valores adquiridos por intermédio das tabelas-verdade, que nessa altura do

campeonato você já sabe, podemos analisar os itens propostos pela questão para

se chegar a uma opção verdadeira, vejamos:

(F) v (F) = F

a) Errada. Denise não dança ou Ana não chora

(F) v (F) = F

b) Errada. Nem Beto nem Denise dançam

(V) ^ (V) = V

c) Certa. Beto bebe e Ana chora

(F) ^ (F) = F

d) Errada. Beto não bebe e Ana não chora

(V) ^ (F) = F

e) Errada. Denise dança e Beto não bebe.





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Negação ou Modificador lógico símbolo: ¬ ou ~

p ~ p ou ¬ p

V F

F V

Bem, até que enfim, o nosso último operador lógico.

O “não” é chamado de modificador lógico porque ao ser inserido em uma

proposição, muda seu valor lógico, ou seja, faz a negação da proposição. Quando

formos representar a negação de uma proposição, vamos usar o sinal de til (~) ou

(¬), antes da letra que representa a proposição.

As maneiras que aparecem nas provas, fique ligado(a)!

Proposição p Proposição ¬p

A corrupção tem destruído o País.

A corrupção não tem destruído o País.

Não é verdade que a corrupção tem destruído o País.

É falso que a corrupção tem destruído o País.

Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição ¬p,

é falsa. Veja:

Se a proposição... tem valor lógico...

A morte é certa Verdadeiro

então a proposição... tem valor lógico...

A morte não é certa Falso

Se uma proposição ¬p é verdadeira, então a sua negação, proposição p,

é falsa. Veja:

Se a proposição... tem valor lógico...

A vida não é curta. Verdadeiro

então a proposição... tem valor lógico...

A vida é curta. Falso





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Questão 30 (IADES/CEITEC S.A./ANALISTA ADMINISTRATIVO E OPERACIONAL

ARQUIVOLOGIA/2016) Considerando que ambos os valores lógicos das propo-

sições p e q são F (Falsidade), a proposição cujo valor lógico corresponde a V

(Verdade) é

a) p ∧ ~ q.

b) p ∨ q.

c) p ∨ (p ∨ q).

d) ~ p ∧ (p ∧ q).

e) ~ p ∧ ~ q.

Letra e.

Valorando as proposições simples p = F e q = F, iremos aplicar em cada uma das

alternativas a seguir:

a) Errada. p (F) ∧ ~ q(F) = F

F ∧ V = F

b) Errada. p(F) ∨ q(F) = F

c) Errada. p (F) ∨ (p (F) ∨ q(F) ).

F V (F) = F

d) Errada. ~ p(F) ∧ (p(F) ∧ q(F))

V ∧ F = F

e) Certa. ~ p (F) ∧ ~ q(F)

V ∧ V = V





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Questão 31 (IADES/CRESS-MG/AUXILIAR ADMINISTRATIVO/2016) Assinale a

alternativa que apresenta uma proposição verdadeira.

a) Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais, e Rio de Janeiro é a capital do Brasil.

b) Ouro Preto é uma cidade litorânea ou Sete Lagoas é um município paulista.

c) Se Sabará está na Argentina, então 2 x 3 = 5.

d) Minas Gerais está na Região Nordeste se, e somente se, 2 x 3 = 6.

e) Juiz de Fora está no estado do Rio de Janeiro, e Belo Horizonte foi a primeira

capital de Minas Gerais.

Letra c.

De maneira similar à questão anterior, iremos valorar cada uma das proposições

simples e aplicar a tabela-verdade de acordo com o conectivo lógico envolvido.

Vejamos:

a) Errada. Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais (V) ^ Rio de Janeiro é a

capital do Brasil (F) = F

b) Errada. Ouro Preto é uma cidade litorânea (F) V Sete Lagoas é um município

paulista (F) = F

c) Certa. Sabará está na Argentina (F) → 2 x 3 = 5(F) = V

d) Errada. Minas Gerais está na Região Nordeste (F) ↔ 2 x 3 = 6 (V) = F

e) Errada. Juiz de Fora está no estado do Rio de Janeiro (F) ^ Belo Horizonte foi a

primeira capital de Minas Gerais (F) = F

Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas

e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue os itens a seguir a respeito de

lógica proposicional.





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P Q R

1 V V V

2 F V V

3 V F V

4 F F V

5 V V F

6 F V F

7 V F F

8 F F F

A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P,

Q e R representam proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente,

aos valores lógicos verdadeiros e falsos. Com base nessas informações e utilizando

os conectivos lógicos usuais, julgue os itens subsecutivos.

Questão 32 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) A última coluna da tabela–verdade

referente à proposição lógica P V (Q↔ R) quando representada na posição horizontal

é igual a

1 2 3 4 5 6 7 8

P V (Q ↔ R) V V V F V F V V

Certo.

Vamos construir a tabela-verdade:

P Q R Q ↔ R P V (Q ↔ R)

V V V V V

F V V V V

V F V F V





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F F V F F

V V F F V

F V F F F

V F F V V

F F F V V

Observe que na 4ª coluna temos uma bicondicional operando as proposições da 2ª

e 3ª colunas. Na bicondicional, só será verdade se os valores forem iguais.

Observe que na 5ª e última coluna iremos operar a 1ª com a 4ª coluna com o

conectivo de disjunção (ou), em que para ser verdade, basta uma verdade.

Questão 33 (CESPE/MEC/TEMPORÁRIO/2015) A última coluna da tabela–verdade

referente à proposição lógica P → (Q ̂ R) quando representada na posição horizontal

é igual a

1 2 3 4 5 6 7 8

P → (Q ^ R) V V F F V F V V

Errado.

P Q R Q ^ R P → (Q ^ R)

V V V V V

F V V V V

V F V F F

F F V F V

V V F F F

F V F F V

V F F F F

F F F F V





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Observe que na 4ª coluna temos uma conjunção operando as proposições da 2ª e

3ª colunas. Na conjunção só será verdade se os valores forem verdadeiros.

Observe que na 5ª coluna temos uma condicional operando as proposições da 1ª

e 4ª colunas. Na condicional só será falsa se o antecedente for verdadeiro e o

consequente for falso.

O casal Cássio e Cássia tem as seguintes peculiaridades: tudo o que Cássio diz às

quartas, quintas e sextas–feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ele nos

outros dias da semana; tudo o que Cássia diz aos domingos, segundas e terças-

-feiras é mentira, sendo verdade o que é dito por ela nos outros dias da semana.

A respeito das peculiaridades desse casal, julgue os itens subsecutivos.

Questão 34 (CESPE/MI/2013) Se, em certo dia, ambos disserem “Amanhã é meu

dia de mentir”, então essa afirmação terá sido feita em uma terça-feira.

Certo.

Vamos construir uma tabela para que possamos visualizar melhor a situação.

Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo

Cássio V V F F F V V

Cássia F F V V V V F

Se analisarmos a terça feira segundo o item propõe, temos que:

Cássio na terça–feira (fala a verdade) diz: “Amanhã é meu dia de mentir”, se

ele fala a verdade nesse dia, então deverá mentir na quarta–feira, o que realmente

acontece, segundo podemos observar no quadro acima.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Cássia na terça–feira (fala mentira) diz: “Amanhã é meu dia de mentir”, se ela

fala mentiras nesse dia, então deverá falar a verdade na quarta–feira, o que real-

mente acontece, segundo podemos observar no quadro acima.

Questão 35 (CESPE/MI/2013) Na terça–feira, Cássia disse que iria ao super-

mercado no sábado e na quarta–feira, que compraria arroz no sábado. Nesse

caso, a proposição “Se Cássia for ao supermercado no sábado, então comprará

arroz” é verdadeira.

Certo.

De acordo com a tabela, podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a

pessoa está falando a verdade e quando ela está mentindo.




A proposição: “Cássia foi ao supermercado no sábado será falsa (F)”, pois foi dito

em uma terça–feira.

A proposição: “comprará arroz será verdadeira (V)”, pois foi dito em uma quarta-

-feira.

Valorando as proposições, podemos aplicar na proposição composta abaixo:

“Cássia foi ao supermercado no sábado (F) → comprar arroz (V) = VERDADEIRO.

Questão 36 (CESPE/MI/2013) Se, em uma sexta–feira, Cássio disser a Cássia:

“Se eu te amasse, eu não iria embora”, será correto concluir que Cássio não ama

Cássia.





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Estruturas Lógicas


Errado.

De acordo com a tabela, podemos valorar as proposições, pois sabemos quando a

pessoa está falando a verdade e quando ela está mentindo.




Em uma sexta–feira, segundo a tabela acima, temos que Cássio mente, logo,

a afirmação dita por ele deve ser valorada como falsa.

Cássio: “Se eu te amasse, eu não iria embora” = F

Temos uma proposição composta condicional, e para que ela seja falsa, o antece-

dente tem que ser verdadeiro e o consequente falso, assim:

Cássio: eu te amasse(V) → eu não iria embora (F) = F

Dessa forma, Cássio ama Cássia e vai embora.

Questão 37 (CESPE/TRE–RJ/2012) Se as proposições “Eu não registrei minha

candidatura dentro do prazo” e “Não poderei concorrer a nenhum cargo nessas

eleições” forem falsas, também será falsa a proposição P, independentemente do

valor lógico da proposição “Eu serei barrado pela lei da ficha limpa”.

Errado.

Simbolizando convenientemente a proposição P, temos:

(BFL ¬ C E) ∧ (¬ RC ¬ C C)

Primeira possibilidade:

Tomando a proposição “Eu serei barrado pela lei da ficha limpa” como V (verdadeira).





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(V F) ∧ (F V/F ) = F

F ∧ V = F

Segunda possibilidade:

Tomando a proposição “Eu serei barrado pela lei da ficha limpa” como F (falsa).

( F F) ∧ (F V/F ) = F

V ∧ V = V

Podemos concluir que a proposição P pode ser verdadeira ou falsa.

Questão 38 (CESPE/INSS/2008) Para a simbolização apresentada acima e seus

correspondentes valores lógicos, a proposição B → C é V.

Errado.

Podemos, nessa questão, valorar as proposições de acordo com o art. 5º da

Constituição Federal, ou seja, nesse caso, temos que interpretar o conteúdo da

informação.

A: A prática do racismo é crime afiançável. = (proposição falsa).

B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. = (proposição

verdadeira)

C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será

extraditado. = (proposição falsa)

Tabela do operador condicional (relembrando!):

P Q P → Q

V V V

V F F

F V V

F F V





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Estruturas Lógicas


Aplicando os axiomas da lógica (tabelas–verdade) vistos anteriormente, temos que

a proposição implicativa (condicional) B → C, segundo os valores dados acima:

B → C; V → F é Falsa.

Questão 39 (CESPE/INSS/2008) De acordo com a notação apresentada acima,

é correto afirmar que a proposição (¬A) ∨ (¬C) tem valor lógico F.

Errado.

Valorando as proposições de acordo com o art. 5º da Constituição Federal, temos:

A: A prática do racismo é crime afiançável. = (proposição falsa)

B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. = (proposição

verdadeira)

C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será

extraditado. = (proposição falsa)

Tabela do operador disjuntivo (relembrando):

P Q P ∨ Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Aplicando os axiomas da lógica (tabelas–verdade), temos que a proposição

disjuntiva (¬A) ∨ (¬C), segundo os valores dados acima:

(¬A) ∨ (¬C)

(¬F) ∨ (¬F)

(V) ∨ (V) é verdadeiro.





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Questão 40 (CESPE/PRF/AGENTE DE POLÍCIA) Em um posto de fiscalização da

PRF, cinco veículos foram abordados por estarem com alguns caracteres das placas

de identificação cobertos por uma tinta que não permitia o reconhecimento, como

ilustradas abaixo, em que as interrogações indicam os caracteres ilegíveis.

Os policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte informação: se todas

as três letras forem vogais, então o número, formado por quatro algarismos, é par.

Para verificar se essa informação está correta, os policiais deverão retirar a tinta

das placas.

a) I, II e V.

b) I, III e IV.

c) I, III e V.

d) II, III e IV.

e) II, IV e V.

Letra c.

A questão em lide é superinteressante, pois se refere à aplicação de conceitos de

lógica proposicional, aplicação de tabelas-verdade, em que devemos primeiramente

interpretar uma sentença.

No comando, o trecho: “Os policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte

informação: se todas as três letras forem vogais, então o número, formado

por quatro algarismos, é par” será interpretada do ponto de vista lógico. Sendo

assim, temos uma proposição composta condicional.





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Representação da proposição:

P: todas as três letras forem vogais.

Q: o número formado por quatro algarismos, é par.

A proposição P → Q é verdadeira de acordo com os axiomas da lógica, ou seja, sua

tabela–verdade( relembrando):

P Q P → QV V V

V F F

F V V

F F V

Segundo o comando da questão, temos ainda o trecho: “Para verificar se essa

informação está correta, os policiais deverão retirar a tinta das placas”, ou seja, com

auxílio das placas, verificaremos se a informação é verdadeira.

De acordo com a placa acima, as sentenças serão valoradas:

[todas as três letras forem vogais] [o número formado por quatro algarismos é par]

V V/F (?) = V/F(?)

A primeira sentença é verdadeira e a segunda sentença (aberta) não é verdadeira

nem falsa, assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um

resultado que não é nem verdadeiro, nem falso, logo, temos de retirar a tinta

da placa para verificar se a sentença é verdadeira.





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[todas as três letras forem vogais] [o número formado por quatro algaris-mos é par]

F V =V

A primeira sentença é falsa e a segunda é verdadeira, assim, operando os valores

pelo conectivo condicional, temos um resultado que é verdadeiro, logo, não é

necessário retirar a tinta dos caracteres ilegíveis para verificar se a sentença

é verdadeira.



V/F(?) V/F(?) = V/F(?)

A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é uma

sentença aberta (não é falsa nem verdadeira), assim, operando os valores pelo

conectivo condicional, temos um resultado que é indeterminado (nem verdadeiro

nem falso), logo, é necessário retirar a tinta dos caracteres ilegíveis para

verificar se a sentença é verdadeira.





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Estruturas Lógicas




V/F(?) V = V

A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é verda-

deira, assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado

verdadeiro independente do valor da primeira sentença (antecedente), logo, não

é necessário retirar a tinta dos caracteres ilegíveis para verificar se a

sentença é verdadeira.


[todas as três letras forem vogais] →[o número formado por quatro algaris-mos é par]

V/F(?) → F = V/F(?)

A primeira sentença é aberta (não é falsa nem verdadeira) e a segunda é falsa,

assim, operando os valores pelo conectivo condicional, temos um resultado que

não é nem verdadeiro, nem falso, logo, é necessário retirar a tinta dos carac-

teres ilegíveis para verificar se a sentença é verdadeira.





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Questão 41 (CESPE/TRE-PE/2016) Considerando que p, q, r e s sejam proposi-

ções nas quais p e s sejam verdadeiras e q e r sejam falsas, assinale a opção em

que a sentença apresentada seja verdadeira.

a) ~(p ∨ r) ∧ (q ∧ r) ∨ q

b) ~s ∨ q

c) ~(~q ∨ q)

d) ~[(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ r) ∧ (~r ∧ s)] ∨ (~p ∨ s)

e) (p ∧ s) ∧ (q ∨ ~s)

Letra d.

Sabendo que p, q, r e s sejam proposições nas quais p e s sejam verdadeiras

e q e r sejam falsas, iremos substituir as valorações nas alternativas e encontrar

uma sentença verdadeira.

~(p ∨ r) ∧ (q ∧ r) ∨ q

~(V ˅ F) ˄ (F ˄ F) ˅ F

~( V) ˄ ( F) ˅ F

F ˄ F ˅ F = F

~s ˅ q

~(V) ˅ (F)

F ˅ F = F

~(~q ˅ q)

~(V ˅ F)

~( V) = F

~[(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ r) ˄ (~r ˄ s)] ˅ (~p ˅ s)

~( ( F ˅ F) ˄ (V ˅ F) ˄ ( V ˄ V)) ˅ ( F ˅ V)





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~( F ˄ V ˄ V )

~( F) = V

Questão 42 (CESPE/DPU/ANALISTA/2016) Um estudante de direito, com o obje-

tivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava,

por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vincu-

lava por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava,

por exemplo:

P: Cometeu o crime A.

Q: Cometeu o crime B.

R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.

S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.

Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B,

lembrou que ele era inafiançável.

Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.

Caso as proposições R e S se refiram à mesma pessoa e a um único crime, então,

independentemente das valorações de R e S como verdadeiras ou falsas, a propo-

sição R ∧ S → Q será sempre falsa.

Errado.

Dadas as proposições:








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Sabendo que as proposições R e S se referem à mesma pessoa, temos uma

contradição, ou seja, a proposição R ∧ S será sempre falsa, pois quando R for

verdadeiro, S será falso, e vice-versa.

A proposição R ∧ S → Q é uma condicional, logo, se o antecedente “R ∧ S” é sempre

falso, podemos inferir, independentemente do valor lógico da proposição Q (V/F),

que a proposição composta será sempre verdadeira.

Questão 43 (CESPE/DPU/ANALISTA/2016) Um estudante de direito, com o obje-

tivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava,

por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vincu-

lava por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava,

por exemplo:

P: Cometeu o crime A.




Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B,

lembrou que ele era inafiançável.

Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.

A proposição “Caso tenha cometido os crimes A e B, não será necessariamente

encarcerado nem poderá pagar fiança” pode ser corretamente simbolizada na forma

(P ∧ Q) → ((~R) ∨ (~S)).

Errado.

Na proposição composta condicional, o consequente está simbolizado erradamente,

pois o operador lógico não é uma disjunção (ou), e sim, uma conjunção (e).





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Questão 44 (VUNESP/PC-SP/2013) André tem um conjunto de cartas. Cada carta

tem apenas um número em uma das faces e a foto de apenas um animal na outra.

André dispôs quatro cartas sobre a mesa com as seguintes faces expostas: cisne,

gato, número 7 e número 10, como se mostra:

André disse: “Se na face de uma carta há número par, então no verso há um animal

mamífero”.

Para verificar se a afirmação de André está correta, é

a) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e C.

b) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e C.

c) suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e D.

d) suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e D.

e) necessário que se verifiquem os versos das quatro cartas.

Letra c.

A questão trata de uma aplicação de tabela-verdade em que devemos analisar a

proposição condicional:

P: “Se na face de uma carta há um número par, então no verso há um animal ma-

mífero”.

De acordo com a tabela-verdade da condicional, temos:

P Q P → Q

V V V





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V F F

F V V

F F V

Quando a questão pergunta quais cartas devem ser viradas para que a afirmação

seja verdadeira, temos que verificar qual situação não torna a proposição P

verdadeira:

Figura A:

Valorando as proposições simples que compõem a proposição P, temos:

P: [face de uma carta há um número par (V/F)] → [no verso há um animal

mamífero”(F)] = (F/V)

Neste caso, temos que virar a carta A, pois não temos a certeza de que a

proposição P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela

pode ser verdadeira ou falsa.

Figura B:


P: [face de uma carta há um número par (V/F)] → [no verso há um animal

mamífero” (V)] = (V)

Neste caso, não precisamos virar a carta B, pois temos a certeza que a proposição

P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela sempre será

verdadeira.





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Figura C:


P: [face de uma carta há um número par (F)] → [no verso há um animal mamífero”

(V/F)] = (V)

Neste caso, não precisamos virar a carta C, pois temos a certeza que a proposição

P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela sempre será

verdadeira.

Figura D:


P: [face de uma carta há um número par (V)] → [no verso há um animal mamífe-

ro” (V/F)] = (V/F)

Neste caso, temos que virar a carta D, pois não temos a certeza que a proposi-

ção P é verdadeira, ou seja, segundo as valorações acima, temos que ela pode ser

verdadeira ou falsa.

Questão 45 (CESPE/SEFAZ-RS/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADUAL/2019)

Texto 1A10-I

No exercício de suas atribuições profissionais, auditores fiscais sempre fazem afir-

mações verdadeiras, ao passo que sonegadores sempre fazem proposições falsas.





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Saulo, sonegador de impostos, fez a seguinte afirmação durante uma audiência

para tratar de sua eventual autuação: “como sou um pequeno comerciante, se

vendo mais a cada mês, pago meus impostos em dia”.

Nessa situação hipotética, considerando as afirmações estabelecidas no texto

1A10-I, assinale a opção que apresenta uma afirmação verdadeira.

a) “Saulo não é um pequeno comerciante”.

b) “Saulo vende mais a cada mês”.

c) “Saulo não vende mais a cada mês”.

d) “Saulo paga seus impostos em dia”.

e) “Se Saulo vende mais em um mês, paga seus impostos em dia”.

Letra b.

É importante observar que o texto afirma que os auditores sempre fazem afirmações

verdadeiras, ao passo que sonegadores sempre fazem afirmações falsas. Dessa

forma, podemos concluir que a frase feita por Saulo é falsa, uma vez que ele é

sonegador.

Nas questões de lógica de primeira ordem, é de suma importância sabermos trans-

crever da linguagem natural (português) para a linguagem da lógica formal. Sendo

assim, vamos simbolizar a afirmação de Saulo: “como sou um pequeno comerciante,

se vendo mais a cada mês, pago meus impostos em dia”.

Temos uma proposição condicional:

“Se sou um pequeno comerciante e se vendo mais a cada mês, então pago meus

impostos em dia”.

Simbolizando:





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PC = pequeno comerciante

VM = vendo mais a cada mês

PI = pago meus impostos em dia

(PC ˄ VM) (PI) = F ( falsa).

Aplicando a tabela- verdade da condicional, temos que o antecedente é verdadeiro

e o consequente é falso, isso em uma proposição condicional para que seja falsa.

Dessa forma, podemos concluir que Saulo:

PC = pequeno comerciante (V)

VM = vendo mais a cada mês (V)

PI = pago meus impostos em dia (F)

Questão 46 (IF-MS/PEDAGOGO/2019) Sejam dadas as proposições simples a

seguir.

A: Campo Grande é a capital de Mato Grosso do Sul.

B: Jair Bolsonaro foi eleito Presidente do Brasil nas eleições de 2018.

Considerando os valores lógicos de A e B, pode-se afirmar que:

a) a condicional A → B é verdadeira.

b) a bicondicional A ↔ B é falsa.

c) a conjunção (e) entre ambas é falsa.

d) a disjunção (ou) entre ambas é falsa.

e) a disjunção exclusiva (ou...ou) é verdadeira.





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Letra a.

Valorando as proposições A e B:

A: Campo Grande é a capital de Mato Grosso do Sul = Verdadeiro

B: Jair Bolsonaro foi eleito Presidente do Brasil nas eleições de 2018 = Verdadeiro

Aplicando os valores e as tabelas-verdade, teremos:

a) Certa. V → V = V

b) Errada. V ↔ V = V

c) Errada. V ^V = V

d) Errada. V ˅ V =V

e) Errada. V ˅ V = F

Questão 47 (CESPE/SEFAZ-RS/TÉCNICO TRIBUTÁRIO DA RECEITA ESTADUAL/2018)

Considere que as seguintes proposições sejam verdadeiras.

“Se José pagou o IPVA ou o IPTU, então ele comprou o apartamento e vendeu a

casa”.

“José não comprou o apartamento”.

Nessa situação, é correto inferir que

a) “José pagou somente um dos dois impostos, mas não é possível determinar qual

deles”.

b) “José pagou os dois impostos, mas ele não vendeu a casa”.

c) “José não pagou o IPVA, mas pagou o IPTU”.

d) “José não pagou o IPTU, mas pagou o IPVA”.

e) “José não pagou o IPVA nem o IPTU”.





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Letra e.

Representando as proposições simples:

IPVA: José pagou IPVA

IPTU: José pagou IPTU

CA: José comprou apartamento

VC: José comprou a casa

Simbolizando as proposições (premissas) de acordo com a linguagem da lógica

formal e partindo de que todas são verdadeiras, temos:

Partindo da Premissa 2 como verdadeira, podemos inferir que:

José não pagou IPVA, José não pagou IPTU, José não comprou apartamento e não

podemos valorar por quanto José vende a casa(?).

Questão 48 (POLÍCIA CIVIL/ESCRIVÃO/2018) Considere as afirmações:

– Se Ana é costureira, então Bruno não é pedreiro.

– Se Bruno não é pedreiro, então César é servente.

– Se César é servente, então Débora não é faxineira.

– Se Débora não é faxineira, então Eliana é cozinheira.

– Se Eliana é cozinheira, então Francisco não é mecânico.

– Francisco é mecânico.





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A partir dessas afirmações, é correto concluir que

a) Eliana é cozinheira.

b) Bruno não é pedreiro.

c) Débora não é faxineira.

d) César não é servente.

e) Ana é costureira.

Letra d.

Simbolizando as proposições (premissas) de acordo com a linguagem da lógica

formal e partindo de que todas são verdadeiras, temos:

P1: Ana é costureira (F) → Bruno não é pedreiro. (F) = V

P2: Bruno não é pedreiro (F)→ César é servente. (F) = V

P3: César é servente (F)→ Débora não é faxineira. (F) = V

P4: Débora não é faxineira (F) → Eliana é cozinheira. (F) = V

P5: Eliana é cozinheira (F) → Francisco não é mecânico. (F) = V

P6: Francisco é mecânico. = V

Aplicando os axiomas segundo as tabelas-verdade, temos que César ser servente

é falso, isto é, ele não é servente.

É importante ressaltar que temos uma proposição simples (P6), logo, iremos começar

por ela. As demais proposições serão valoradas a partir de P6, e de acordo com os

conectivos lógicos em cada uma das premissas.

Questão 49 (ESCRIVÃO DE POLÍCIA CIVIL/2018) Considere falsa a afirmação

“Cristiano é policial militar e Ana é policial civil” e verdadeira a afirmação “se

Cristiano é policial militar, então Ana é policial civil”.





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Nessas condições, é necessariamente

a) falsidade que Ana é policial civil.

b) verdade que Cristiano e Ana são policiais civis.

c) verdade que Ana é policial civil.

d) falsidade que Cristiano é policial militar.

e) verdade que Cristiano é policial militar.

Letra d.

Temos uma questão de aplicação de tabela-verdade. Vamos simbolizar cada uma

das proposições (afirmações) com seus respectivos conectivos lógicos e valoração

já determinada pelo comando da questão, vejamos:

P1: CPM ^ APC = F

P2: CPM → APC = V

Para as proposições acima, temos duas possibilidades de valorações, conforme os

conectivos.

1ª possibilidade:

P1: CPM(F) ^ APC(V) = F

P2: CPM(F) → APC(V) = V

2ª possibilidade:

P1: CPM(F) ^ APC(F) = F

P2: CPM(F) → APC(F) = V

Para as duas possibilidades, temos que será sempre falso que Cristiano é policial

militar.

Questão 50 (INVESTIGADOR DE POLÍCIA CIVIL/2018) Considere verdadeiras as

três afirmações seguintes:





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Estruturas Lógicas


– Ou Marta não é enfermeira, ou Clarice não é médica.

– Se Douglas não é professor, então Clarice é médica.

– Paulo é diretor ou Douglas não é professor.

Sabendo que Marta é enfermeira, a afirmação que possui um valor lógico verda-

deiro é

a) se Clarice não é médica, então Marta não é enfermeira.

b) se Marta é enfermeira, então Douglas não é professor.

c) Paulo é diretor e Douglas não é professor.

d) Clarice é médica ou Paulo não é diretor.

e) se Clarice é médica, então Douglas não é professor.

Letra e.

Temos uma questão de inferência lógica, em que iremos simbolizar as premissas e

considerar que a proposição “Marta é enfermeira” é verdadeira, conforme indicado

pelo comando da questão.

Vejamos:

P1: ~ME (F) V ~CM (V) = (V)

P2: ~DP (F) → CM (F) = (V)

P3: PD (V) V ~DP (F) = (V)

P4: ME = (V)

Agora, iremos valorar as proposições em cada uma das opções para encontrar

aquela que é verdadeira.

Se Clarice não é médica (V), então Marta não é enfermeira (F). = F

Se Marta é enfermeira (V), então Douglas não é professor (F). =F

Paulo é diretor (V) e Douglas não é professor (F). = F





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Clarice é médica (F) ou Paulo não é diretor (F) = F

Se Clarice é médica (F), então Douglas não é professor (F) = V

Questão 51 (INVESTIGADOR DE POLÍCIA CIVIL/2018) Considere as afirmações

e o respectivo valor lógico de cada uma.

I – Se Antônio canta bem, então Bruna não é atriz. VERDADEIRA

II – Carlos é dançarino ou Bruna não é atriz. FALSA

III – Daniela organiza tudo ou Antônio canta bem. VERDADEIRA

IV – Se Fernando não trouxe o almoço, então Daniela não organiza tudo. VERDA-

DEIRA

A partir dessas afirmações, é correto concluir que

a) Fernando trouxe o almoço ou Antônio canta bem.

b) Carlos é dançarino e Fernando trouxe o almoço.

c) Carlos não é dançarino e Daniela não organiza tudo.

d) Ou Daniela organiza tudo ou Bruna é atriz.

e) Bruna não é atriz e Fernando não trouxe o almoço.

Letra a.

Nessa questão, temos uma inferência lógica, em que iremos simbolizar as proposições

e, em seguida, aplicar as tabelas-verdade, conforme as valorações dadas no

comando:

P1: ACB (F) → ~BA(F) = V

P2: CD (F) ˅ ~BA (F) = F

P3: DOT (V) v ACB (F) = V

P4: ~FA (F) → ~DOT (F) = V





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Estruturas Lógicas


Para resolução, é importante iniciar pela segunda proposição, pois no conectivo

“ou”, para ser falso, só se ambas as proposições forem falsas.

Analisando as alternativas segundo os operadores lógicos, temos:

a) Certa. Fernando trouxe o almoço (V) ou Antônio canta bem (F). = V

b) Errada. Carlos é dançarino (F) e Fernando trouxe o almoço (V). = F

c) Errada. Carlos não é dançarino (V) e Daniela não organiza tudo (F). = F

d) Errada. Ou Daniela organiza tudo (V) ou Bruna é atriz (V). = F

e) Errada. Bruna não é atriz (F) e Fernando não trouxe o almoço (F). = F

Questão 52 (CESPE/PC-MA/INVESTIGADOR DE POLÍCIA/2018) A proposição:

A qualidade da educação dos jovens sobe ou a sensação de segurança da sociedade

diminui.

A quantidade de linhas da tabela-verdade correspondente à proposição é igual a

a) 32.

b) 2.

c) 4.

d) 8.

e) 16.

Letra c.

Na lógica bivalente, segundo os princípios fundamentais da lógica proposicional,

temos que uma proposição será verdadeira ou falsa, não admitindo um terceiro

valor. O número de valorações possíveis para uma proposição, sendo ela simples

ou composta, será dada por:





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Estruturas Lógicas


N. de linhas = 2n, em que o “n” representa o número de proposições simples.

A proposição: “A qualidade da educação dos jovens sobe ou a sensação de segu-

rança da sociedade” é formada por 02 pensamentos, isto é, por duas proposições

simples.

2 proposições, n. de linhas será calculado por: 2 (n. de proposições) = 22 = 4.

A quantidade de linhas da tabela-verdade correspondente à proposição é igual a 4.

Estruturas Lógicas – Parte 03

ESTRUTURAS LÓGICAS: Equivalências lógicas, Leis de Morgan e Lógica de

primeira ordem.

Conceitos, demonstrações e aplicações. Verifica se duas proposições, simples

ou compostas, são a negação da outra por meio de tabelas-verdade, bem como por

métodos, técnicas e estratégicas eficazes, que facilitarão nas resoluções de questões.

Quanto a proposições logicamente equivalentes, serão apresentadas as suas leis,

demonstrando cada uma delas para que você entenda perfeitamente o conteúdo,

uma vez que é um assunto constante nos processos seletivos, independente da

banca. Serão apresentadas algumas resoluções inéditas por aplicação de teoria de

conjuntos, métodos inovadores para facilitar e reduzir em mais de 90% o tempo

de resolução.

Negação de Proposições Compostas

Como já vimos antes, uma proposição é a expressão de um pensamento

completo que pode ser valorado, ou seja, ser verdadeiro ou falso. No caso de uma

proposição composta, podemos construir sua tabela verdade de acordo com o

número de proposições simples, assunto já visto em módulos anteriores.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Na língua corrente, português, sabemos que possuímos os advérbios de negação

“não, nem, nunca, jamais, de modo algum, de forma nenhuma, tampouco, ...” que

modificam o sentido da proposição. Na lógica formal, temos uma outra interpre-

tação quanto à negação, o que traz algumas dúvidas no início, pois o estudante

analisa como se fosse do ponto de vista comum, e, na verdade, não é assim.

Para que duas proposições sejam opostas, temos o seguinte raciocínio: uma

proposição é a negação da outra quando são formadas pelas mesmas proposições

simples e os resultados das tabelas-verdade são contrários, ou seja, o nosso refe-

rencial para que duas proposições sejam opostas não é o que está escrito, e sim,

os resultados de suas tabelas-verdade. Não podemos esquecer que as proposições

simples que formam as proposições compostas devem ser as mesmas, e que os

resultados de suas tabelas sejam totalmente opostos.

Vejamos, abaixo, as principais negações utilizadas nas provas de concursos

públicos:

AFI

RM

AÇ

ÃO

A B A ∧ B A ∨ B A→B A↔B

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

NEG

AÇ

ÃO

¬A ¬B ¬A ∨ ¬B ¬A ∧ ¬B A ∧ ¬B(A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A) ouA ∨ B

F F F F F F

F V V F V V

V F V F F V

V V V V F F

Podemos observar os resultados das tabelas-verdade das proposições compostas:

• A ∧ B e ¬A ∨ ¬B: valorações totalmente contrárias;

• A ∨ B e ¬A ∧ ¬B: valorações totalmente contrárias;





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Estruturas Lógicas


• A B e A ∧ ¬B: valorações totalmente contrárias;

• A ↔ B e (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A) ou A ∨ B: valorações totalmente contrárias.

É importante ressaltar que podemos ter inúmeras negações, uma vez que podemos

construir enésimas tabelas-verdade, porém, para concursos públicos, se você

souber as quatro acima, é o suficiente.

Para melhor assimilação, vejamos alguns exemplos de negações de proposições

compostas.

AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO

P ∧ QEx.: O Brasil possui uma economia forte e é um grande produtor de mer-cadorias.

¬P ∨ ¬QEx.: O Brasil não possui uma economia forte ou não é um grande produtor de mercadorias.

P ∨ QEx.: As leis brasileiras são ineficazes ou as pessoas não respeitam suas leis.

¬P ∧ ¬QEx.: As leis brasileiras são eficazes e as pessoas respeitam suas leis.

P QEx.: Se o cidadão for educado, então a sociedade alcançará sua autonomia.

P ∧ ¬QEx.: O cidadão é educado e a sociedade não possui sua autonomia.

P ↔ QEx.: Eu te darei um beijo, se e somente, eu ficar apaixonado por você.

(P ∧ ¬Q) ∨ (Q ∧ ¬P)Ex.: Eu te darei um beijo e não fico apaixonado por você, ou fico apaixonado por você e não te darei um beijo.OUOu eu te darei um beijo, ou eu ficarei apaixonado por você.

DICANo exemplo, letra “b” acima, você deve estar se per-guntando: a proposição P: As leis brasileiras são ine-ficazes, e Q: As pessoas não respeitam suas leis, não





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


possuem o símbolo de negação, uma vez que as sen-tenças são negativas.Quero deixar claro que uma proposição pode ser uma afirmação ou uma negação, logo, não fique limitado pensando que, se uma frase é uma negação, será ne-cessário na simbologia colocar o símbolo (~ ou ¬) de negação.Em concursos recentes, isso tem sido frequente, e muitos alunos têm errado, pois pensam que porque a sentença tem uma negação, se torna necessário um símbolo de negação, o que não é verdade, uma vez que se você tiver uma negação, é só fazer sua afirmação, que é o contrário.

Questão 53 (IBFC/2017) Considerando a frase “João comprou um notebook e não

comprou um celular”, a negação da mesma, de acordo com o raciocínio lógico

proposicional é:

a) João não comprou um notebook e comprou um celular.

b) João não comprou um notebook ou comprou um celular.

c) João comprou um notebook ou comprou um celular.

d) João não comprou um notebook e não comprou um celular.

e) Se João não comprou um notebook, então não comprou um celular.

Letra b.

Como já vimos, duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando

são formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


-verdade são contrárias. Nesse caso, vamos simbolizar a proposição acima para

que você entenda melhor:

A: João comprou um notebook

B: João não comprou um celular

A ^ B: “João comprou um notebook e não comprou um celular”.

Representando adequadamente as proposições, podemos demonstrar por

tabela:

A B ¬A ¬B A ^ B ¬A ∨ ¬B

V V F F V F

V F F V F V

F V V F F V

F F V V F V

Podemos inferir que a proposição:

¬A ∨ ¬B: “João não comprou um notebook ou comprou um celular”.

De uma forma prática e fácil, podemos pensar o seguinte: nego cada uma

das proposições e o conectivo “e” vira “ou”.

Questão 54 (IBFC/2017) De acordo com a equivalência lógica, a negação da frase

“Ana é dentista ou não fez universidade” é:

a) Ana não é dentista ou fez universidade

b) Ana não é dentista e não fez universidade

c) Ana não é dentista e fez universidade

d) Ana é dentista ou fez universidade

e) Se Ana é dentista, então não fez universidade.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Letra c.

Como já vimos, duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando

são formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-

-verdade são contrárias. Nesse caso, vamos simbolizar a proposição acima para

que você entenda melhor:

A: Ana é dentista

B: Ana não fez universidade

A ∨ B: “Ana é dentista ou não fez universidade”


tabela:

A B ¬A ¬B A ∨ B ¬A ^ ¬B

V V F F V F

V F F V V F

F V V F V F

F F V V F V


¬A ^¬B: “Ana não é dentista e fez universidade”.


das proposições e o conectivo “ou” vira “e”.

Questão 55 (IBFC/2016) A negação da frase “O Sol é uma estrela e a Lua não é

um planeta”, de acordo com a equivalência lógica, a frase é:

a) O Sol não é uma estrela e a Lua é um planeta.

b) O Sol não é uma estrela ou a Lua não é um planeta.





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Estruturas Lógicas


c) O Sol é uma estrela ou a Lua é um planeta.

d) O Sol é uma estrela ou a Lua não é um planeta.

e) O Sol não é uma estrela ou a Lua é um planeta.

Letra e.

Mais uma vez temos que duas proposições são compostas, uma é a negação da

outra, quando são formadas pelas mesmas proposições simples, e os resultados de

suas tabelas-verdade são contrárias. Nesse caso, vamos simbolizar a proposição

acima para que você entenda melhor:

A: Sol é uma estrela

B: Lua não é um planeta

A ^ B: “O Sol é uma estrela e a Lua não é um planeta”


tabela:

A B ¬A ¬B A ^ B ¬A ∨ ¬B

V V F F V F

V F F V F V

F V V F F V

F F V V F V


¬A ∨ ¬B: “O Sol não é uma estrela ou a Lua é um planeta”.


das proposições e o conectivo “e” vira “ou”.

Questão 56 (CESPE/MPENAP/2015) Considerando a proposição P: “Se João se

esforçar o bastante, então João conseguirá o que desejar”, julgue os itens a seguir.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


A negação da proposição P pode ser corretamente expressa por “João não se esforçou

o bastante, mas, mesmo assim, conseguiu o que desejava”.

Errado.

Você deve ter percebido que nessas primeiras questões temos mostrado também

por tabelas-verdade, porém, é interessante você guardar as leis, ok? Mas estou

colocando sempre as tabelas para que você não se esqueça das tabelas, que serão

fundamentais nos próximos módulos.

A B ¬ A ¬ B A → B ¬ A ^ B

V V F F V F

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V F

Temos que as duas últimas colunas não produzem resultados contrários.

A negação da condicional é A → B igual a A ^ ¬ B

Questão 57 (CESPE/ANTAQ 2014) Uma negação correta da proposição “Acredito

que estou certo” seria “Acredito que não estou certo”.

Errado.

É uma proposição simples, em que possuímos um sujeito e um predicado, logo,

é importante ressaltar que a ideia é negar o sentido principal da frase, isto é, a ação

do sujeito, logo, a negação certa será: “não acredito que estou certo”.





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Questão 58 (CESPE/TCDF/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/2014) A

negação da proposição “O tribunal entende que o réu tem culpa” pode ser expressa

por “O tribunal entende que o réu não tem culpa”.

Errado.

A proposição “o tribunal entende que o réu tem culpa” é uma proposição simples

em que possuímos um sujeito e um predicado, logo, é importante ressaltar que a

ideia é negar o sentido principal da frase, isto é, a ação do sujeito. Desta forma,

a negação será: “O tribunal não entende que o réu tem culpa”.

Questão 59 (CESPE/TCDF/ANALISTA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/2014)

A negação da proposição “Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética”

pode ser expressa por “Um empresário não tem atuação antieconômica ou não tem

atuação antiética”.

Errado.

No item acima, temos uma proposição composta disjuntiva em que a negação

de A ˅ B será (¬A ˄ ¬ B), uma vez que essas duas proposições são formadas pelas

mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são contrários.

Desta forma, vamos conferir se o item está de acordo:

Afirmação: “Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética.”

Negação: “Um empresário não tem atuação antieconômica e não tem atuação

antiética”.





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Estruturas Lógicas


Considere a proposição P a seguir.

P: Se não condenarmos a corrupção por ser imoral ou não a condenarmos por

corroer a legitimidade da democracia, a condenaremos por motivos econômicos.

Tendo como referência a proposição apresentada, julgue os itens seguintes.

Questão 60 (CESPE/TCDF/TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA/2014) A

negação da proposição “Não condenamos a corrupção por ser imoral ou não conde-

namos a corrupção por corroer a legitimidade da democracia” está expressa corre-

tamente por “Condenamos a corrupção por ser imoral e por corroer a legitimidade

da democracia”.

Certo.

O item está de acordo, uma vez que a negação da proposição:

“Não condenamos a corrupção por ser imoral ou não condenamos a corrupção por

corroer a legitimidade da democracia.” (¬ A ˅¬ B)

“Condenamos a corrupção por ser imoral e por corroer a legitimidade da democra-

cia”. ( A ˄ B)

Questão 61 (CESPE/MPU/2013) A negação da proposição “A licitação anterior não

pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa

por “A licitação anterior somente poderá ser repetida com prejuízo para a adminis-

tração”.

Errado.

É importante ressaltar que se trata de uma proposição simples, ou seja, apenas

com pensamento. Desta forma, a negação da proposição será: “A licitação anterior





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Estruturas Lógicas


pode ser repetida sem prejuízo para a administração”. Devemos negar o pensa-

mento principal.

Questão 62 (CESPE/MPU/2013) A negação da proposição “Não apareceram inte-

ressados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a admi-

nistração” está corretamente expressa por “Apareceram interessados na licitação

anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração”.

Certo.

Duas proposições compostas, uma é a negação da outra, quando são formadas

pelas mesmas proposições simples, e os resultados de suas tabelas-verdade são

contrárias. Nesse caso, temos: ¬A ˄ ¬B e sua negação A ˅ B.

Representando adequadamente as proposições, temos:

A B ¬A ¬B A ∨ B ¬A ^ ¬B

V V F F V F

V F F V V F

F V V F V F

F F V V F V

Questão 63 (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2012) Um jovem, ao ser flagrado no

aeroporto portando certa quantidade de entorpecentes, argumentou com os policiais

conforme o esquema a seguir:

Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário.

Premissa 2: Se eu fosse traficante, estaria levando uma grande quantidade de

droga e a teria escondido.





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Estruturas Lógicas


Premissa 3: Como sou usuário e não levo uma grande quantidade, não escondi a

droga.

Conclusão: Se eu estivesse levando uma grande quantidade, não seria usuário.

Considerando a situação hipotética apresentada acima, julgue o item a seguir.

A proposição correspondente à negação da premissa 2 é logicamente equivalente a

“Como eu não sou traficante, não estou levando uma grande quantidade de droga

ou não a escondi”.

Certo.

Temos uma proposição condicional A B, que a negação será A ^ ~B.

[(eu fosse traficante)] [(estaria levando uma grande quantidade de droga ^ a

teria escondido)]

Afirma o antecedente e nega o consequente, logo, temos como negação a proposição:

“Sou traficante e não estou levando uma grande quantidade de drogas ou não teria

escondido”.

É importante aprendermos as negações abaixo, uma vez que são comuns nas pro-

vas de concursos, vejamos:

NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA


X > A X ≤ A

X < A X ≥ A

X = A X ≠ A





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X – > AV

[X < A ou X = A]F ∨ F

Se temos que se X > A é verdadeiro, então X < A é falso.

X – < AV

[X > A ou X = A]F ∨ F

Se temos que se X < A é verdadeiro, então X > A é falso.

X – = AV

X – ≠ AF

Se temos que se X = A é verdadeiro, então X ≠ A é falso.

Exemplo:

Com relação à lógica formal, julgue o item subsequente.

A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.

A negação da sentença “2 + 5 = 9” é “2 + 5 ≠ 9”, sendo assim, temos que o item

está errado.

Questão 64 (VUNESP/TJ-SP/ADMINISTRADOR/2019) Considere a seguinte

afirmação: Se Ana e Maria foram classificadas para a segunda fase do concurso,

então elas têm chance de aprovação. Assinale a alternativa que contém uma negação

lógica para essa afirmação.

a) Se Ana e Maria não foram classificadas para a segunda fase do concurso, então

elas não têm chance de aprovação.

b) Ana ou Maria não têm chance de aprovação e não foram classificadas para a

segunda fase do concurso.

c) Se Ana ou Maria não têm chance de aprovação, então elas não foram classifica-

das para a segunda fase do concurso.

d) Ana e Maria foram classificadas para a segunda fase do concurso, mas elas não

têm chance de aprovação.





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Estruturas Lógicas


e) Se Ana ou se Maria, mas não ambas, não foi classificada para o concurso, então

ela não tem chance de aprovação.

Letra d.

A negação de proposições compostas é um assunto muito importante em concursos

públicos, devido à sua grande incidência. Sendo assim, é importante guardar as leis

de negações, que estão no final deste capítulo.

A afirmação dada na questão é uma proposição condicional, em que sua negação

é dada da seguinte forma: mantém o antecedente e nega o consequente, ou seja,

P→Q tem como negação P∧~ Q.

Podemos representar a declaração “Se Ana e Maria foram classificadas para a

segunda fase do concurso, então elas têm chance de aprovação”.

P: Ana e Maria foram classificadas para a segunda fase do concurso; P: antecedente

Q: elas têm chance de aprovação; Q: consequente

~Q: elas não têm chance de aprovação.

Negação

[P → Q] [P ∧~ Q]

Questão 65 (VUNESP/TJ-SP/ENFERMEIRO JUDICIÁRIO/2019) “Gosto de ouvir

clássicos e amo cantar forró ou troco isso por uma praia”. Uma afirmação que

corresponda a uma negação lógica dessa afirmação é

a) Não gosto de ouvir clássicos e amo cantar forró, e troco isso por uma praia.

b) Gosto de ouvir clássicos e não amo cantar forró, e troco isso por uma praia.

c) Não gosto de ouvir clássicos e não amo cantar forró ou não troco isso por

uma praia.





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Estruturas Lógicas


d) Não gosto de ouvir clássicos ou não amo cantar forró, e não troco isso por

uma praia.

e) Gosto de ouvir clássicos e amo cantar forró e não troco isso por uma praia.

Letra d.


públicos, devido à sua grande incidência. Sendo assim, é importante guardar as leis

de negações, que estão no final deste capítulo

Duas proposições compostas, uma será a negação da outra quando forem formadas

pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade forem

contrárias.

Afirmação NegaçãoP∧ Q V RGosto de ouvir clássicos e amo cantar forró, ou troco isso por uma praia

~P ∨~ Q ∧~ RNão gosto de ouvir clássicos ou não amo cantar forró, e não troco isso por uma praia

É importante ressaltar que podemos ter proposições simples afirmativas ou nega-

tivas, desta forma, uma maneira prática de negarmos uma proposição composta

disjuntiva ou conjuntiva é: negamos as proposições simples e trocamos a disjunção

“ou” por uma conjunção “e”, e vice-versa.

A negação de “gosto de ouvir clássicos e amo cantar forró ou troco isso por uma

praia” é “não gosto de ouvir clássicos ou não amo cantar forró, e não troco isso por

uma praia”.

Questão 66 (VUNESP/TJ-SP/CONTADOR JUDICIÁRIO/2019) A negação lógica

da afirmação – “Se acabou a energia elétrica ou não tive tempo, então fui trabalhar

com a roupa amassada” –, é:





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


a) Acabou a energia elétrica, e não tive tempo, e não fui trabalhar com a roupa

amassada.

b) Se não acabou a energia elétrica e tive tempo, então não fui trabalhar com a

roupa amassada.

c) Se não fui trabalhar com a roupa amassada, então tive tempo e não acabou a

energia elétrica.

d) Não acabou a energia elétrica e tive tempo, e fui trabalhar com a roupa amassada.

e) Acabou a energia elétrica ou não tive tempo, e não fui trabalhar com a roupa

amassada.

Letra e.

Importante ressaltar que a declaração é uma proposição condicional, em que sua

negação é dada da seguinte forma: mantém o antecedente e nega o consequente,

ou seja, P→Q tem como negação P∧~ Q. A negação de proposições compostas é um

assunto muito importante em concursos públicos, devido à sua grande incidência.

Sendo assim, não se esqueça de guardar as leis de negações que estão no final

deste capítulo.

Podemos representar a declaração ‘se acabou a energia elétrica ou não tive tempo,

então fui trabalhar com a roupa amassada’.

P: acabou a energia.

Q: Não tive tempo.

R: Fui trabalhar com roupa amassada.

[P ∨ Q]: antecedente

R: consequente

Negação

[P ∨ Q] → R [P ∨ Q] ∧ ~ R





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Estruturas Lógicas


Questão 67 (FCC/AFAP/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO DE FOMENTO/2019)

A negação da afirmação condicional “Se Carlos não foi bem no exame, vai ficar em

casa” é:

a) Se Carlos for bem no exame, vai ficar em casa.

b) Carlos foi bem no exame e não vai ficar em casa.

c) Carlos não foi bem no exame e vai ficar em casa.

d) Carlos não foi bem no exame e não vai ficar em casa.

e) Se Carlos não foi bem no exame então não vai ficar em casa.

Letra d.

Nota do autor: é importante ressaltar que a declaração é uma proposição condicional,

em que sua negação é dada da seguinte forma: mantém o antecedente e nega o

consequente, ou seja, P→Q tem como negação P∧~ Q.

Podemos representar a declaração “se Carlos não foi bem no exame, vai ficar

em casa”

P: Carlos não foi bem no exame; P: antecedente

Q: ficar em casa; Q: consequente

~Q: não vai ficar em casa

Negação

[P →Q] [P ∧~ Q]

Questão 68 (IBADE/CÂMARA DE PORTO VELHO-RO/ANALISTA DE TECNOLOGIA

E INFORMÁTICA/2018) A negação lógica da sentença “se estou de dieta, então

fecho a boca” é:





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Estruturas Lógicas


a) Se não estou de dieta, então não fecho a boca.

b) Se estou de dieta, então não fecho a boca.

c) Estou de dieta e não fecho a boca.

d) Se fecho a boca, então estou de dieta.

e) Estou de dieta ou não fecho a boca.

Letra c.

Nota do autor: importante ressaltar que a declaração é uma proposição condicio-

nal, em que sua negação é dada da seguinte forma: mantém o antecedente e nega

o consequente, ou seja, P→Q tem como negação P∧~ Q.

Podemos representar a declaração “se estou de dieta, então fecho a boca”

P: Estou de dieta; P: antecedente

Q: Fecho a boca; Q: consequente

Negação

[P → Q] [P ∧~ Q]

Questão 69 (FGV/SEFIN-RO/CONTADOR/2018) Considere a sentença

“Se Arquimedes é torcedor do Ji-Paraná, então Sócrates é torcedor do Rondonien-

se”.

A negação lógica dessa sentença é:

a) “Se Arquimedes é torcedor do Ji-Paraná, então Sócrates não é torcedor do Ron-

doniense”.

b) “Se Arquimedes não é torcedor do Ji-Paraná, então Sócrates é torcedor do Ron-

doniense”.

c) “Se Arquimedes não é torcedor do Ji-Paraná, então Sócrates não é torcedor do

Rondoniense”.





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Estruturas Lógicas


d) “Arquimedes é torcedor do Ji-Paraná e Sócrates não é torcedor do Rondoniense”.

e) “Arquimedes é torcedor do Ji-Paraná ou Sócrates não é torcedor do Rondoniense”.

Letra d.

Temos uma questão que trata de estruturas lógicas, especificamente, uma negação

de proposições compostas. Sabemos que em duas proposições compostas, uma

será a negação da outra quando são formadas pelas mesmas proposições simples

e os resultados de suas tabelas-verdade são contrárias. Sendo assim, temos que a

proposição: “Se Arquimedes é torcedor do Ji-Paraná, então Sócrates é torcedor do

Rondoniense” é uma proposição condicional, logo: (A →B), a negação será: (A ̂ ~B),

ou seja, mantém o antecedente e nega o consequente.

Logo, teremos: “Se Arquimedes é torcedor do Ji-Paraná, então Sócrates é torcedor

do Rondoniense” possui sua negação “Arquimedes é torcedor do Ji-Paraná e Sócrates

não é torcedor do Rondoniense”.

Proposições Logicamente Equivalentes

Agora, vamos tratar de equivalências lógicas, logo, vamos ver qual é a definição:

duas proposições compostas são ditas equivalentes quando são formadas pelas

mesmas proposições simples e os resultados das tabelas-verdade são idênticos.

Bem tranquilo, ok? Na verdade, é como se tivéssemos o pensamento contrário do

tópico anterior, ou seja, enquanto na negação temos tabelas-verdade contrárias,

aqui na equivalência devemos possuir tabelas-verdade idênticas.

Considerando A e B proposições compostas, representamos simbolicamente

A ⇔ B, em que o símbolo ⇔ significa equivalente.





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Estruturas Lógicas


A ⇔ BA ⇔ B

É importante nas provas de concursos públicos guardar algumas leis, ou seja,

proposições compostas logicamente equivalentes que estão sempre presentes.

Principais leis de equivalências lógicas:

• Leis Associativas

– (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C).

– (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C).

Demonstração: (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C).

A B C (A∧B) (A∧B) ∧C B∧C A∧(B∧C)

V V V V V V V

V V F V F F F

V F V F F F F

V F F F F F F

F V V F F V F

F V F F F F F

F F V F F F F

F F F F F F F

Exemplo:

(A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C)

A: Ronaldo é um aluno comportado.

B: Ronaldo é um aluno educado.

C: Ronaldo passa em concurso público.

(A ∧ B) ∧ C A ∧ (B ∧ C)

José é um aluno comportado e educado, e passa em concurso público.

José é um aluno comportado, e edu-cado e passa em concurso público.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


(A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C)

A: João é um professor esforçado.

B: José é um aluno dedicado.

C: Josias gosta de estudar.

(A ∨ B) ∨ C A ∨ (B ∨ C)

João é um professor esforçado ou José é um aluno dedicado, ou Josias gosta de estudar.

João é um professor esforçado ou José é um aluno dedicado ou Josias gosta de estudar.

Obs.:� Podemos observar que na lei associativa são utilizados os operadores “e”

e “ou”, os parênteses mudam de posição, porém, temos as mesmas inter-

pretações (mesmos valores nas tabelas-verdade).

Quase não acontece em provas de concursos públicos.

• Leis Distributivas (importante guardar essa lei)

Vamos construir as tabelas-verdade das leis distributivas para que você possa

entender o motivo de elas serem equivalentes. Claro que nas provas você deve

saber essas leis, pois só estou utilizando as tabelas para aproveitar e treinar um

pouco mais as suas construções.

Veremos, mais à frente, algumas resoluções bem práticas e rápidas por teoria

de conjuntos.

Vamos lá para as demonstrações:

• A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

• A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Demonstração: A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


A B C B ∨ C A ∧(B ∨C) A ∧B A ∧C (A ∧B) ∨(A ∧C)

V V V V V V V V

V V F V V V F V

V F V V V F V V

V F F F F F F F

F V V V F F F F

F V F V F F F F

F F V V F F F F

F F F F F F F F

Exemplo:

A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

A: Renato gosta de lógica.

B: Renato gosta de português.

C: Renato gosta de matemática.

A ∧ (B ∨ C) (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

Renato gosta de lógica e Renato gosta de portu-guês ou matemática

Renato gosta de lógica e Português ou Renato gosta de lógica e matemática

A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

A: Renato gosta de lógica.

B: Renato gosta de português.

C: Renato gosta de matemática.

A ∨ (B ∧ C) (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

Renato gosta de lógica ou Renato gosta de por-tuguês e matemática

Renato gosta de lógica ou português e Renato gosta de Lógica ou matemática





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


• Lei da Dupla Negação

É importante ressaltar que, na língua portuguesa, quando negamos duas vezes,

estamos ratificando a negação, porém, do ponto de vista lógico, não é bem assim,

isto é: Na lógica formal, se negamos duas vezes, na verdade estamos afirmando.

~(~A) ⇔ A

Demonstração: ~(~A) ⇔ A

A ~A ~(~A)

V F V

F V F

Exemplo:

Proposições Proposições equivalentes

Não é verdade que Reginaldo Aranha não é policial. Reginaldo Aranha é policial.

Veremos, agora, a lei de equivalência mais importante, ou seja, aquela que mais

aparece nas provas de concursos públicos, independente da banca examinadora.

• Equivalência da Condicional

− (A B ⇔ ~A ∨ B)

− (A B ⇔ ~B ~A) – Contra positiva ou contra recíproca

− A B ⇔ ~A ∨ B

Demonstração: A B ⇔ ~A ∨ B

A B ~A AB ~A ∨ B

V V F V V

V F F F F





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


F V V V V

F F V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as

linhas, logo, as proposições A → B e ~A ∨ B são proposições logicamente equiva-

lentes, isto é: A → B ⇔ ~A ∨ B.

Exemplo:

A proposição “Se André é um aluno dedicado, então André passa no concurso” é o

mesmo que “André não é dedicado ou André passa no concurso”.

• A B ⇔ ~B ~A (teorema da contra recíproca ou contrapositiva)

Demonstração: A B ⇔ ~B ~A

A B ~A ~B A B ~B ~A

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V


linhas, logo, são proposições logicamente equivalentes, isto é:

A B ⇔ ~B ~A

Essa relação é chamada de teorema contra recíproco.

Exemplo:

Dizer que:

Se a economia brasileira está em crise, então o poder aquisitivo do brasileiro fica

comprometido.

É logicamente equivalente a dizer que:





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Se o poder aquisitivo do brasileiro não fica comprometido, então a economia

brasileira não está em crise.

Obs.:� Uma relação existente entre as equivalências condicionais é dada pela inter-

secção das sentenças

� A B ⇔ ~A ∨ B e

� A B ⇔ ~B ~A ,

� Em que podemos concluir: A ∨ B ⇔ ~A B ou A ∨ B ⇔ ~B A.

Vejamos, na tabela abaixo:

A B ~A ~B A ∨ B ~A B ~B A

V V F F V V V

V F F V V V V

F V V F V V V

F F V V F F F

As três últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as

linhas, logo, as proposições A ∨ B, ~A B e ~B A são proposições logicamente

equivalentes, isto é:

A ∨ B ⇔ ~A B,

A ∨ B ⇔ ~B A e

~A B ⇔ ~B A.

Exemplos:

Proposição Proposição equivalente

Se Enny tomar remédio, ela vai ficar boa. Enny não toma remédio ou fica boa.

Clara anda ou corre. Se Clara não anda, então Clara corre.





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Estruturas Lógicas


• Lei de Augustus De Morgan (importante guardar essa lei)

− ~(A ∧ B) ⇔ (~A) ∨(~B)

Demonstração: ~(A ∧ B) ⇔ (~A) ∨ (~B)

A B A ∧ B ~(A ∧ B ) ~A ~B (~A) ∨ (~B)

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V


linhas, logo, as proposições ~(A ∧ B) e (~A) ∨ (~B) são proposições logicamente

equivalentes, isto é: ~(A ∧ B) ⇔ ~A ∨ ~ B.

– ~(A ∨ B) ⇔ (~A) ∧ (~B)

Demonstração: ~(A ∨ B) ⇔ (~A) ∧ (~B)

A B A ∨ B ~(A ∨ B ) ~A ~B (~A) ∧ (~B)

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V


linhas, logo, as proposições ~(A ∨ B) e (~A) ∧ (~B) são proposições logicamente

equivalentes, isto é: ~(A ∨ B) ⇔ ~A ∧ ~B.

• Equivalência da Bicondicional

[(A B) ∧ (B A)] ⇔ [A ↔ B]





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Demonstração

A B AB BA (AB) ∧ (BA) A ↔ B

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V


linhas, logo, as proposições [(A B) ∧ (B A) e [A B] são logicamente equiva-

lentes.

• Lei Comutativa

Como já visto ao estudarmos as tabelas-verdade, foi comentado que os conecti-

vos: conjuntivo, disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a proprie-

dade comutativa, isto é, ao trocarmos a ordem das proposições simples, os resul-

tados das tabelas-verdade permanecem idênticos.

Com relação ao conectivo condicional, não ocorre o mesmo, uma vez que os

resultados de suas tabelas-verdade não serão os mesmos. Resumindo, o conectivo

condicional não possui a propriedade comutativa.

(A) ∧ (B) ⇔ (B) ∧ (A)

(A) ∨ (B) ⇔ (B) ∨ (A)

(A) (B) ⇔ (B) ↔ (A)

(A) ∨ (B) ⇔ (B) ∨ (A)

(A) (B) ⇔ (B) (A)

COMUTAM

NÃO COMUTAM

Nas últimas provas de concursos públicos, vimos a importância das equivalências

lógicas, aparecendo com maior frequência. Dessa forma, sugiro que guarde as leis





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


de equivalências lógicas, porém, iremos ver algumas questões comentadas e irei

apresentar você algumas resoluções por teoria de conjuntos, veja a seguir:

Questão 70 (ESAF/ANEEL/TÉCNICO ADMINISTRATIVO/2006) Se Elaine não

ensaia, Elisa não estuda. Logo,

a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.

b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.

c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.

d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.

e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.

Letra e.

Dada a proposição, temos:

Elaine não ensaia Elisa não estuda.

O antecedente (Elaine não ensaia) é condição suficiente para o consequente (Elisa

não estuda).

O consequente (Elisa não estuda) é condição necessária para o antecedente (Elaine

não ensaia).

Segundo os itens da questão, não temos nenhum que esteja de acordo com o

comentário realizado anteriormente.

O que fazer?

Percebemos que as respostas propostas pela ESAF não satisfazem a proposição:

Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Sendo assim, podemos concluir que não foi

utilizada esta proposição, porém, será usada outra proposição logicamente equiva-

lente à dada pelo enunciado da questão.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


A lei condicional, contrapositiva, possui as condições que a questão exige.

Aplicando a lei condicional:

Elaine não ensaia → Elisa não estuda ⇔ Elisa estuda → Elaine ensaia

Agora, sim, temos que:

I – Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar.

II – Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.

Questão 71 (TJ-SP/ADMINISTRADOR/2019) Considere a seguinte afirmação:

Se Ana e Maria foram classificadas para a segunda fase do concurso, então elas

têm chance de aprovação. Assinale a alternativa que contém uma negação lógica

para essa afirmação.

a) Se Ana e Maria não foram classificadas para a segunda fase do concurso, então

elas não têm chance de aprovação.

b) Ana ou Maria não têm chance de aprovação e não foram classificadas para a

segunda fase do concurso.

c) Se Ana ou Maria não têm chance de aprovação, então elas não foram classifica-

das para a segunda fase do concurso.

d) Ana e Maria foram classificadas para a segunda fase do concurso, mas elas não

têm chance de aprovação.

e) Se Ana ou se Maria, mas não ambas, não foi classificada para o concurso, então

ela não tem chance de aprovação.

Letra d.


públicos devido à sua grande incidência. Sendo assim, é importante guardar as leis

de negações que estão no final deste capítulo.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


A afirmação dada na questão é uma proposição condicional, em que sua negação

é dada da seguinte forma: mantém o antecedente e nega o consequente, ou seja,

P→Q tem como negação P∧~ Q.

Podemos representar a declaração “Se Ana e Maria foram classificadas para a

segunda fase do concurso, então elas têm chance de aprovação”.

P: Ana e Maria foram classificadas para a segunda fase do concurso; P: antecedente

Q: elas têm chance de aprovação; Q: consequente

~Q: elas não têm chance de aprovação.

Negação

[P →Q] [P ∧~ Q]

Questão 72 (TJ-SP/ENFERMEIRO JUDICIÁRIO/2019) “Gosto de ouvir clássicos e

amo cantar forró ou troco isso por uma praia”. Uma afirmação que corresponda a

uma negação lógica dessa afirmação é

a) Não gosto de ouvir clássicos e amo cantar forró, e troco isso por uma praia.

b) Gosto de ouvir clássicos e não amo cantar forró, e troco isso por uma praia.

c) Não gosto de ouvir clássicos e não amo cantar forró ou não troco isso por uma

praia.

d) Não gosto de ouvir clássicos ou não amo cantar forró, e não troco isso por uma

praia.

e) Gosto de ouvir clássicos e amo cantar forró e não troco isso por uma praia.

Letra d.








RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas




contrárias.

Afirmação Negação

P∧ Q V RGosto de ouvir clássicos e amo cantar forró, ou troco isso por uma praia

~P ∨~ Q ∧~ RNão gosto de ouvir clássicos ou não amo cantar forró, e não troco isso por uma praia

É importante ressaltar que podemos ter proposições simples afirmativas ou nega-

tivas, desta forma, uma maneira prática de negarmos uma proposição composta

disjuntiva ou conjuntiva é: negamos as proposições simples e trocamos a disjunção

“ou” por uma conjunção “e”, e vice-versa.

A negação de “gosto de ouvir clássicos e amo cantar forró ou troco isso por uma

praia” é “não gosto de ouvir clássicos ou não amo cantar forró, e não troco isso por

uma praia”.

Questão 73 (TJ-SP/CONTADOR JUDICIÁRIO/2019) A negação lógica da afirmação

– “Se acabou a energia elétrica ou não tive tempo, então fui trabalhar com a roupa

amassada” –, é:

a) Acabou a energia elétrica, e não tive tempo, e não fui trabalhar com a roupa

amassada.

b) Se não acabou a energia elétrica e tive tempo, então não fui trabalhar com a

roupa amassada.

c) Se não fui trabalhar com a roupa amassada, então tive tempo e não acabou a

energia elétrica.

d) Não acabou a energia elétrica e tive tempo, e fui trabalhar com a roupa amassada.

e) Acabou a energia elétrica ou não tive tempo, e não fui trabalhar com a roupa

amassada.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Letra e.



ou seja, P→Q tem como negação P∧~ Q. A negação de proposições compostas é um

assunto muito importante em concursos públicos, devido à sua grande incidência.

Sendo assim, não se esqueça de guardar as leis de negações que estão no final

deste capítulo.

Podemos representar a declaração ‘se acabou a energia elétrica ou não tive tempo,

então fui trabalhar com a roupa amassada’.

P: acabou a energia.

Q: Não tive tempo.

R: Fui trabalhar com roupa amassada.

[P ∨ Q]: antecedente

R: consequente

Negação

[P ∨ Q] → R [P ∨ Q] ∧ ~ R

Questão 74 (AFAP/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO DE FOMENTO/2019) A negação

da afirmação condicional “Se Carlos não foi bem no exame, vai ficar em casa” é:

a) Se Carlos for bem no exame, vai ficar em casa.

b) Carlos foi bem no exame e não vai ficar em casa.

c) Carlos não foi bem no exame e vai ficar em casa.

d) Carlos não foi bem no exame e não vai ficar em casa.

e) Se Carlos não foi bem no exame então não vai ficar em casa.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Letra d.



ou seja, P→Q tem como negação P∧~ Q.

Podemos representar a declaração “Se Carlos não foi bem no exame, vai ficar em

casa”.

P: Carlos não foi bem no exame; P: antecedente

Q: ficar em casa; Q: consequente

~Q: não vai ficar em casa

Negação

[P →Q] [P ∧~ Q]

Questão 75 (PREFEITURA DE SÃO PAULO-SP/2018) Uma afirmação logicamente

equivalente à afirmação: “Se planto no tempo certo, então a colheita é melhor”, é:

a) Ou planto no tempo certo ou a colheita é melhor.

b) Não planto no tempo certo e a colheita é melhor.

c) Se não planto no tempo certo, então a colheita não é melhor.

d) A colheita é melhor ou não planto no tempo certo.

e) Se a colheita é melhor, então planto no tempo certo.

Letra d.

A proposição composta é uma proposição condicional, assim, temos duas possíveis

equivalências lógicas:

¬B ¬A (Contrapositiva)

¬ A ˅ B{A B





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


A → B é equivalente a ~ B → ~ A (contrapositiva)

A → B é equivalente a ~ A v B.

Dessa forma, a equivalência de “se planto no tempo certo, então a colheita é

melhor” pode ser:

“Se a colheita não é melhor, então não planto no tempo certo”.

Ou

“Não planto no tempo certo ou a colheita é melhor” ou “A colheita é melhor ou não

planto no tempo certo” (podemos comutar na proposição disjuntiva).

Questão 76 (PREFEITURA DE SÃO PAULO-SP/2018) Uma negação lógica da

afirmação: “Se a noite vira dia, então o animal da noite volta para a toca” é:

a) A noite vira dia e o animal da noite não volta para a toca.

b) A noite não vira dia ou o animal da noite não volta para a toca.

c) Se o animal da noite volta para a toca, então a noite vira dia.

d) Se a noite não vira dia, então o animal da noite não volta para a toca.

e) Se o animal da noite não volta para a toca, então a noite não vira dia.

Letra a.




Podemos representar a declaração “Se a noite vira dia, então o animal da noite

volta para a toca”

P: A noite vira dia; P: antecedente

Q: O animal da noite volta para a toca; Q: consequente





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Negação

[P → Q] [P ∧~ Q] (A noite vira dia e o animal da noite não volta para a toca)

Questão 77 (SEFAZ-RS/TÉCNICO TRIBUTÁRIO DA RECEITA ESTADUAL/2018)

A negação da proposição “O IPTU, eu pago parcelado; o IPVA, eu pago em parcela

única” pode ser escrita como

a) “Eu não pago o IPTU parcelado e não pago o IPVA em parcela única”.

b) “Eu não pago o IPTU parcelado e pago o IPVA parcelado”.

c) “Eu não pago o IPTU parcelado ou não pago o IPVA em parcela única”

d) “Eu pago o IPTU em parcela única e pago o IPVA parcelado”.

e) “Eu pago o IPTU em parcela única ou pago o IPVA parcelado”.

Letra c.



contrárias. Importante também interpretar que temos uma proposição conjuntiva,

ou seja, o conectivo “e” está implícito.


P ∧ QO IPTU, eu pago parcelado; o IPVA, eu pago em parcela única

~P ∨~ QEu não pago o IPTU parcelado ou não pago o IPVA em parcela única

Volto a ressaltar que podemos ter proposições simples afirmativas ou negativas,

desta forma, uma maneira prática de negarmos uma proposição composta disjun-

tiva ou conjuntiva é: negamos as proposições simples e trocamos a disjunção “ou”

por uma conjunção “e”, e vice-versa.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Questão 78 (PREFEITURA DE MARICÁ-RJ/2018) A negação lógica da afirmação

condicional “se Ana adoece, então Pedro fica triste” é:

a) se Ana não adoece, Pedro não fica triste.

b) se Ana adoece, então Pedro não fica triste.

c) Ana adoece ou Pedro não fica triste.

d) Ana adoece e Pedro não fica triste.

e) se Pedro fica triste, Ana adoece.

Letra d.




Podemos representar a declaração “se Ana adoece, então Pedro fica triste”.

P: Ana adoece; P: antecedente

Q: Pedro fica triste; Q: consequente

Negação

[P →Q] [P ∧~ Q] (Ana adoece e Pedro não fica triste)

Questão 79 (PC-SP/AGENTE POLICIAL/2018) Considere a afirmação: “Mateus

não ganha na loteria ou ele compra aquele carrão”. Uma afirmação equivalente a

essa afirmação é:

a) Mateus ganha na loteria e não compra aquele carrão.

b) Ou Mateus não compra aquele carrão ou ele não ganha na loteria.

c) Mateus ganha na loteria ou ele compra aquele carrão.

d) Se Mateus ganha na loteria, então ele compra aquele carrão.

e) Se Mateus não ganha na loteria, então ele não compra aquele carrão.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Letra d.



contrárias. Importante também interpretar que temos uma proposição conjuntiva,

ou seja, o conectivo “e” está implícito.


~P ∧ QMateus não ganha na loteria ou ele compra aquele carrão

P ∨~ Q ⇔ P → Q (equivalentes)Mateus ganha na loteria ou não compra aquele carrãoouSe Mateus ganha na loteria, então ele compra aquele carrão

Volto a ressaltar que podemos ter proposições simples afirmativas ou negativas,

desta forma, uma maneira prática de negarmos uma proposição composta disjun-

tiva ou conjuntiva é: negamos as proposições simples e trocamos a disjunção “ou”

por uma conjunção “e”, e vice-versa.

Nessa questão, temos a negação mais convencional, porém, a banca fez uma

equivalência do que seria a resposta. Achei bacana, pois além de exigir conheci-

mento de negações, o(a) candidato(a) deve saber também equivalências lógicas.

Questão 80 (PM-PB/2018) A negação da frase “Marcos é jogador de futebol e

Ana é ciclista” é:

a) Marcos não é jogador de futebol e Ana não é ciclista.

b) Marcos não é jogador de futebol ou Ana não é ciclista.

c) Marcos não é jogador de futebol ou Ana é ciclista.

d) Marcos não é jogador de futebol se, e somente se, Ana não é ciclista.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Letra b.






contrárias.

Representando as proposições simples por “p” e “q”, e sabendo que temos uma

proposição composta conjuntiva “ p ˄ q”, basta aplicarmos o seguinte pensamento:

negamos as proposições simples e, de uma maneira prática, trocamos a conjunção

“e” por uma disjunção “ou”.

p = Marcos é jogador de futebol

q = Ana é ciclista

A negação é dada por “~p ou ~q”, ou seja: Marcos NÃO é jogador de futebol OU

Ana NÃO é ciclista.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


QUESTÕES DE CONCURSOS

Questão 1 (CRF-TO/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO/2019) Assinale a alternativa

que corresponde à negação lógica da proposição: “Pedro não é farmacêutico e João

não é analista de sistemas”.

a) Pedro é farmacêutico ou João é analista de sistemas.

b) Pedro não é farmacêutico ou João não é analista de sistemas.

c) Se Pedro é farmacêutico, então João é analista de sistemas.

d) Pedro é farmacêutico e João é analista de sistemas.

e) Pedro é farmacêutico ou não é analista de sistemas.

Questão 2 (CAU-AC/AUXILIAR ADMINISTRATIVO/2019)

Para construir a tabela verdade da proposição ~ (p ˅ ~q), um estudante montou o

quadro apresentado.

Ao se preencher completamente e corretamente a tabela, o número de F encontrado

na última coluna é igual a

a) 1.

b) 3.

c) 4.

d) 0.

e) 2.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Questão 3 (CAU-AC/AUXILIAR ADMINISTRATIVO/2019) Considere as proposições

a seguir.

p: Ricardo é arquiteto;

q: Fernando é acriano.

A proposição “Ricardo não é arquiteto e Fernando é acriano” é representada por

a) ~p ∨ ~q.

b) ~p ∧ ~q.

c) ~p ∨ q.

d) ~p ∧ q.

e) p ∧ ~q.

Questão 4 (CAU-RO/ARQUITETO E URBANISTA/2018) João é arquiteto e Maria

é engenheira civil. Ambos trabalham no CAU/RO. Considerando as informações

apresentadas, assinale a alternativa que indica uma proposição com valor lógico

verdadeiro.

a) João é arquiteto e Maria não é engenheira civil.

b) Se João não é arquiteto, então Maria é engenheira civil.

c) Se João é arquiteto, então Maria não é engenheira civil.

d) João não é arquiteto ou Maria não é engenheira civil.

e) João não é arquiteto e Maria não é engenheira civil.

Questão 5 (IGEPREV-PA/ANALISTA DE INVESTIMENTOS/2018) Considere as

proposições a seguir.

P: trabalhar mais de 30 anos;

Q: aposentar-se com salário integral;

R: ser mulher.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


A sentença lógica (P˄R) → Q significa que

a) Aposentar-se com salário integral é necessário para ser mulher e trabalhar mais

de 30 anos.

b) Aposentar-se com salário integral é suficiente para ser mulher e trabalhar mais

de 30 anos.

c) Ser mulher ou trabalhar mais de 30 anos é necessário para aposentar-se com

salário integral.

d) Ser mulher e trabalhar mais de 30 anos é necessário para aposentar-se com

salário integral.

e) Ser mulher ou trabalhar mais de 30 anos é suficiente para aposentar-se com

salário integral.

Questão 6 (SES-DF/ADMINISTRADOR/2018) Considere as proposições a seguir.

P: Estudar matemática;

Q: Aprender matemática;

R: Gostar de matemática.

A sentença Q→(P ˅ R) significa, a respeito da matemática, que

a) aprender é necessário para gostar ou estudar.

b) gostar e estudar são suficientes para aprender.

c) aprender e gostar são necessários para estudar.

d) aprender é suficiente para gostar e estudar.

e) gostar ou estudar são necessários para aprender.

Questão 7 (FGV/AL-RO/ASSISTENTE LEGISLATIVO TÉCNICO EM INFORMÁTI-

CA/2018) Considere a afirmação:

“Eu recebi o boleto e não paguei”.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


A negação lógica dessa afirmação é

a) “Eu não recebi o boleto e não paguei.”

b) “Eu não recebi o boleto e paguei.”

c) “Eu recebi o boleto e paguei.”

d) “Eu não recebi o boleto ou não paguei.”

e) “Eu não recebi o boleto ou paguei.”

Questão 8 (FGV/AL-RO/ANALISTA LEGISLATIVO ADMINISTRAÇÃO/2018) A

negação lógica da sentença “Se como demais, então passo mal” é

a) “Se não como demais, então não passo mal”.

b) “Se não como demais, então passo mal”.

c) “Como demais e não passo mal”.

d) “Não como demais ou passo mal”.

e) “Não como demais e passo mal”.

Questão 9 (FGV/TJ-SC/OFICIAL DE JUSTIÇA E AVALIADOR/2018) Uma sentença

logicamente equivalente à sentença “Se Pedro é torcedor da Chapecoense, então

ele nasceu em Chapecó” é:

a) Se Pedro não é torcedor da Chapecoense, então ele não nasceu em Chapecó.

b) Se Pedro nasceu em Chapecó, então ele é torcedor da Chapecoense.

c) Pedro é torcedor da Chapecoense e não nasceu em Chapecó.

d) Pedro não é torcedor da Chapecoense ou nasceu em Chapecó.

e) Pedro é torcedor da Chapecoense ou não nasceu em Chapecó.

Questão 10 (FGV/BANESTES/ANALISTA EM TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO/2018)

Considere a sentença “Joana gosta de leite e não gosta de café”. Sabe-se que a

sentença dada é falsa.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Deduz-se que:

a) Joana não gosta de leite e não gosta de café.

b) Se Joana gosta de leite, então ela não gosta de café.

c) Joana gosta de leite ou gosta de café.

d) Se Joana não gosta de café, então ela não gosta de leite.

e) Joana não gosta de leite ou não gosta de café.


Considere a sentença: “Se Emília é capixaba, então ela gosta de moqueca”. Um

cenário no qual a sentença dada é falsa é:

a) Emília é carioca e não gosta de moqueca.

b) Emília é paulista e gosta de moqueca.

c) Emília é capixaba e não gosta de moqueca.

d) Emília é capixaba e gosta de moqueca.

e) Emília é mineira e gosta de moqueca.


A negação lógica da sentença “Paulo torce pelo Vasco ou é carioca” é:

a) Paulo não torce pelo Vasco ou não é carioca.

b) Paulo torce pelo Vasco ou não é carioca.

c) Se Paulo torce pelo Vasco, então é carioca.

d) Paulo não torce pelo Vasco e não é carioca.

e) Se Paulo é carioca, então não torce pelo Vasco.


Considere a sentença: “Se Carla gosta de peixe, então Carla sabe nadar”. Uma

sentença logicamente equivalente à sentença dada é:





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


a) Se Carla sabe nadar, então Carla gosta de peixe.

b) Se Carla não sabe nadar, então Carla não gosta de peixe.

c) Se Carla não gosta de peixe, então Carla não sabe nadar.

d) Carla gosta de peixe e sabe nadar.

e) Carla gosta de peixe ou não sabe nadar.

Questão 14 (FGV/PREFEITURA DE CUIABÁ-MT/PROFISSIONAL DE NÍVEL SUPERIOR

CONTADOR/2015) São verdadeiras as seguintes afirmações de Tiago:

– Trabalho ou estudo.

– Vou ao escritório ou não trabalho.

– Vou ao curso ou não estudo.

Certo dia, Tiago não foi ao curso.

É correto concluir que, nesse dia, Tiago

a) estudou e trabalhou.

b) não estudou e não trabalhou.

c) trabalhou e não foi ao escritório.

d) foi ao escritório e trabalhou.

e) não estudou e não foi ao escritório.

Questão 15 (FGV/AL-MA/ASSISTENTE LEGISLATIVO/2013) Três amigos, Antônio,

Roberto e Sérgio, são torcedores do Moto Club, do Maranhão e do Sampaio Corrêa,

não necessariamente nesta ordem. Cada um deles torce por um desses três clubes

e não há dois deles que torçam pelo mesmo clube.

Além disso, sabe-se que:

I – Se Roberto não torce pelo Moto Club, então Sérgio torce pelo Maranhão.

II – Roberto não torce pelo Moto Club ou Antônio não torce pelo Sampaio Corrêa.

III – Se Sérgio não torce pelo Maranhão, então Antônio torce pelo Sampaio Corrêa.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


Logo, Antônio, Roberto e Sérgio são torcedores, respectivamente, de

a) Moto Club, Maranhão e Sampaio Corrêa.

b) Moto Club, Sampaio Corrêa e Maranhão.

c) Sampaio Corrêa, Maranhão e Moto Club.

d) Sampaio Corrêa, Moto Club e Maranhão.

e) Maranhão, Moto Club e Sampaio Corrêa.

Questão 16 (FGV/MPE-MS/TÉCNICO II ADMINISTRATIVO/2013) Um contra-

exemplo para uma determinada afirmativa é um exemplo que a contradiz, isto é,

um exemplo que torna a afirmativa falsa.

No caso de afirmativas do tipo “SE antecedente ENTÃO consequente”, um contra-

exemplo torna o antecedente verdadeiro e o consequente falso.

Um contraexemplo para a afirmativa “SE x é múltiplo de 7

ENTÃO x é um número ímpar” é:

a) x = 7

b) x = 8

c) x = 11

d) x = 14

e) x = 21





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


GABARITO

1. a

2. b

3. d

4. b

5. a

6. e

7. e

8. c

9. d

10. d

11. c

12. d

13. b

14. d

15. b

16. d





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Estruturas Lógicas


QUESTÕES COMENTADAS

Questão 1 (CRF-TO/ASSISTENTE ADMINISTRATIVO/2019) Assinale a alternativa

que corresponde à negação lógica da proposição: “Pedro não é farmacêutico e João

não é analista de sistemas”.

a) Pedro é farmacêutico ou João é analista de sistemas.

b) Pedro não é farmacêutico ou João não é analista de sistemas.

c) Se Pedro é farmacêutico, então João é analista de sistemas.

d) Pedro é farmacêutico e João é analista de sistemas.

e) Pedro é farmacêutico ou não é analista de sistemas.

Letra a.

Temos uma proposição composta formada por uma conjunção “e”, assim, para que

possamos negar, basta negarmos cada um dos conjuntivos e trocar o “e” pelo “ou”.

A negação será “Pedro é farmacêutico ou João é analista de sistemas”. Essas duas

proposições, são uma a negação da outra, pois produzem tabelas-verdade opostas.

Questão 2 (CAU-AC/AUXILIAR ADMINISTRATIVO/2019)

Para construir a tabela verdade da proposição ~ (p ˅ ~q), um estudante montou o

quadro apresentado.





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Estruturas Lógicas


Ao se preencher completamente e corretamente a tabela, o número de F encontrado

na última coluna é igual a

a) 1.

b) 3.

c) 4.

d) 0.

e) 2.

Letra b.

Basta preenchermos a tabela-verdade abaixo, conforme aprendemos durante nossa

aula. Sugiro que você escreva todas as tabelas-verdade em uma folha branca para

fazer as questões. Com o tempo, você irá perceber que serão comuns os valores

das tabelas. O segredo é treinar, ok?

Preenchendo a tabela:

Questão 3 (CAU-AC/AUXILIAR ADMINISTRATIVO/2019) Considere as proposições

a seguir.

p: Ricardo é arquiteto;

q: Fernando é acriano.

A proposição “Ricardo não é arquiteto e Fernando é acriano” é representada por

a) ~p ∨ ~q.

b) ~p ∧ ~q.





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


c) ~p ∨ q.

d) ~p ∧ q.

e) p ∧ ~q.

Letra d.

A proposição será representada por ~p ^ q.

Questão 4 (CAU-RO/ARQUITETO E URBANISTA/2018) João é arquiteto e Maria

é engenheira civil. Ambos trabalham no CAU/RO. Considerando as informações

apresentadas, assinale a alternativa que indica uma proposição com valor lógico

verdadeiro.

a) João é arquiteto e Maria não é engenheira civil.

b) Se João não é arquiteto, então Maria é engenheira civil.

c) Se João é arquiteto, então Maria não é engenheira civil.

d) João não é arquiteto ou Maria não é engenheira civil.

e) João não é arquiteto e Maria não é engenheira civil.

Letra b.

Sabemos que as proposições são verdadeiras:

P1: João é arquiteto (V) ^ Maria é engenheira civil (V) = V

P2: Ambos trabalham no CAU/RO = (V)

Agora, como sabemos os valores das proposições simples, iremos analisar os itens

para encontrar qual deles será verdadeiro.

a) Errada. João é arquiteto (V) e Maria não é engenheira civil (F). = F

b) Certa. Se João não é arquiteto (F), então Maria é engenheira civil (V). = V

c) Errada. Se João é arquiteto (V), então Maria não é engenheira civil. (F) = F





RACIOCÍNIO LÓGICO

Estruturas Lógicas


d) Errada. João não é arquiteto (F) ou Maria não é engenheira civil (F). = F

e) Errada. João não é arquiteto (F) e Maria não é engenheira civil (F) = F

Questão 5 (IGEPREV-PA/ANALISTA DE INVESTIMENTOS/2018) Considere as

proposições a seguir.

P: trabalhar mais de 30 anos;

Q: aposentar-se com salário integral;

R: ser mulher.

A sentença lógica (P ˄ R) → Q significa que

a) Aposentar-se com salário integral é necessário para ser mulher e trabalhar mais

de 30 anos.

b) Aposentar-se com salário integral é suficiente para ser mulher e trabalhar mais

de 30 anos.

c) Ser mulher ou trabalhar mais de 30 anos é necessário para aposentar-se com

salário integral.

d) Ser mulher e trabalhar mais de 30 anos é necessário para aposentar-se com

salário integral.

e) Ser mulher ou trabalhar mais de 30 anos é suficiente para aposentar-se com

salário integral.

Letra a.

Como visto em nossa aula, do antecedente “ (P ˄ R)” para o consequente “Q”,

a condição é suficiente; e do consequente “Q” para o antecedente “ (P ˄ R)”,

a condição será necessária.

Dessa forma, podemos inferir que:

“Trabalhar mais de 30 anos e ser mulher é condição suficiente para se aposentar

com salário integral”; ou





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Estruturas Lógicas


“Aposentar-se com salário integral é necessário para ser mulher e trabalhar mais

de 30 anos”.

Questão 6 (SES-DF/ADMINISTRADOR/2018) Considere as proposições a seguir.

P: Estudar matemática;

Q: Aprender matemática;

R: Gostar de matemática.

A sentença Q→(P ˅ R) significa, a respeito da matemática, que

a) aprender é necessário para gostar ou estudar.

b) gostar e estudar são suficientes para aprender.

c) aprender e gostar são necessários para estudar.

d) aprender é suficiente para gostar e estudar.

e) gostar ou estudar são necessários para aprender.

Letra e.

Tomando como base a questão anterior, podemos afirmar que:

Aprender matemática é condição suficiente para estudar ou gostar de matemática; ou

Gostar ou estudar são necessários para aprender.





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Estruturas Lógicas


COMENTÁRIO DO DESAFIO

Resposta do Desafio:

Porta A: “Eu sou a porta de saída.”

Porta B: “A porta de saída é a porta C.”

Porta C: “A sentença escrita na porta A é verdadeira.”

Porta D: “Se eu sou a porta de saída, então a porta de saída não é a porta E”.

Porta E: “Eu não sou a porta de saída”.

Sabe-se que dessas cinco sentenças, há uma única verdadeira, e que há somente

uma porta de saída. A porta de saída é a porta:

Conforme o enunciado, temos que apenas uma sentença é verdadeira, logo,

tenho uma estratégia bem interessante, se observarmos a sentença escrita na

porta D, que é uma condicional, sabemos que existe apenas uma possibilidade

para que uma proposição condicional seja falsa, que é, o antecedente verdadeiro

e o consequente falso. Logo, vamos tentar essa possibilidade. Se der certo, damos

continuidade, porém, se não der certo, a sentença escrita na porta D é verdadeira

e, consequentemente, as demais são falsas, conforme o comando da questão.

Vamos lá!

1ª POSSIBILIDADE: A SENTENÇA da porta D SER FALSA.

Porta D: Eu sou a porta de saída (V) → a porta de saída não é a porta E (F) = F

Podemos inferir que segundo os valores dados, as proposições (antecedente

e consequente): Eu sou a porta de saída (V) e a porta de saída não é a porta E

(F), teremos um problema, pois teremos duas portas de saída, ou seja, a porta

D e a porta E, uma vez que quando se fala “a porta de saída não é a E” é falsa,

nos deparamos com uma dupla negação, que do ponto de vista lógico, temos uma





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afirmação. Assim, a sentença da porta D não pode ser falsa, logo, será verdadeira,

e acabamos de encontrar a única sentença verdadeira da questão, sendo as outras

obrigatoriamente falsas.

2ª Possibilidade: A sentença ser verdadeira.

Porta A: “Eu sou a porta de saída.” = F

Porta B: “A porta de saída é a porta C.” = F

Porta C: “A sentença escrita na porta A é verdadeira.” = F

Porta D: “Se eu sou a porta de saída (F), então a porta de saída não é a porta

E (F) ”. =V

Porta E: “Eu não sou a porta de saída”. =F

Conforme as valorações das sentenças em cada porta, podemos inferir que pela

sentença da porta E, que é uma dupla negação, pois é falso que ela não é a porta

de saída, logo ela é a porta de saída.

Resposta: Letra e.

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