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1 CURSOS ONLINE PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES www.pontodosconcursos.com.br Aula 2 – Matemática Pacote para Iniciantes RAZÃO E PROPORÇÃO . ................................................................................................................ 2 GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. .............................................. 21 REGRA DE TRÊS. ......................................................................................................................... 23 Expressões Algébricas . .............................................................................................................. 29 Monômios ou termos algébricos . ............................................................................................. 31 Monômios ou termos semelhantes . ......................................................................................... 32 Operações com monômios . ...................................................................................................... 32 Polinômios . ................................................................................................................................ 33 Polinômios com uma variável . .................................................................................................. 34 Operações com polinômios. ...................................................................................................... 34 Divisão de polinômios por binômios do 1º grau . ...................................................................... 37 Produtos Notáveis . .................................................................................................................... 41 Problemas do primeiro grau . .................................................................................................... 47 Equação do 2º grau . .................................................................................................................. 66 Relações de Girard . ................................................................................................................... 74 Relação das questões comentadas . .......................................................................................... 80 Gabaritos . .................................................................................................................................. 96

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Aula 2 – Matemática ­ Pacote para IniciantesRAZÃO E PROPORÇÃO. ................................................................................................................ 2

GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. .............................................. 21

REGRA DE TRÊS. ......................................................................................................................... 23

Expressões Algébricas . .............................................................................................................. 29

Monômios ou termos algébricos . ............................................................................................. 31

Monômios ou termos semelhantes . ......................................................................................... 32

Operações com monômios . ...................................................................................................... 32

Polinômios. ................................................................................................................................ 33

Polinômios com uma variável . .................................................................................................. 34

Operações com polinômios. ...................................................................................................... 34

Divisão de polinômios por binômios do 1º grau . ...................................................................... 37

Produtos Notáveis. .................................................................................................................... 41

Problemas do primeiro grau . .................................................................................................... 47

Equação do 2º grau . .................................................................................................................. 66

Relações de Girard . ................................................................................................................... 74

Relação das questões comentadas . .......................................................................................... 80

Gabaritos . .................................................................................................................................. 96

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Olá pessoal!

Vamos começar a segunda aula do nosso curso de Matemática do Pacote para Iniciantes. De acordo com a nossa programação:

Razão e proporção, divisão proporcional, regra de três simples e composta. Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum. Álgebra. Expressões algébricas, produtos notáveis. Problemas envolvendo equações do 1º grau e sistema de equações. Equação do segundo grau.

Decidi alterar um pouquinho a nossa programação. Deixei a teoria e os exercícios de Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum para a próxima aula. Empolguei-me e a aula ficou um pouco grande.. rss.. Em minha opinião, resolver inúmeros exercícios é condição sine qua non para aprender bem Matemática. Assim, recomendo que você tente resolver as questões referentes aos problemas do 1º grau (35 a 52) antes de estudar as soluções detalhadas por mim.

Bom, vamos começar que a estrada será longa. Aproveitem o nosso fórum para sanar todas as suas dúvidas e enviar sugestões.

RAZÃO E PROPORÇÃO

Razão de um número a para um número b, sendo b diferente de zero, é o quociente de a por b.

Denotamos por a : b = a / b a razão entre os números a e b. O número a é chamado de antecedente e o número b de consequente.

O conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois números.

Há, por exemplo, um tipo especial de razão: a escala.

A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e as correspondentes distâncias reais. Escala é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

real MedidaMedida do desenho Escala =

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre d c e

ba é a

igualdade: dc

ba = . Podemos escrever

/ /

Com a notação da esquerda, dizemos que a e c são os antecedentes; b e d são os conseqüentes.

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Com a notação da direita, dizemos que a e d são os extremos, e que b e c são os meios.

Em toda proporção, é válida a seguinte propriedade (chamada de Propriedade Fundamental das Proporções): o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

· ·

Por exemplo,

4 6

8 12 6 · 8 4 · 12 48

É importantíssima a seguinte propriedade: A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu consequente.

Por exemplo,

4 6

812

4 86 12

1218

Ou seja, podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das frações e somando os denominadores. Utilizaremos diversas vezes esta propriedade na resolução de questões envolvendo divisão proporcional.

Isso é o básico que devemos saber para resolver questões sobre razões, proporções e divisão proporcional. Ao longo da resolução das questões, colocarei mais algumas propriedades e definições.

01. (Pref. de Barueri 2006/CETRO) A definição de densidade demográfica é dada pela razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. Pedro fez uma pesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a densidade demográfica da região onde mora. Ele conseguiu, junto à prefeitura, as seguintes informações: a área da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade de pessoas que residiam na localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas informações, ele concluiu que a densidade demográfica de sua cidade é de:

(A) 57 habitantes / km2

(B) 58 habitantes / km2

(C) 59 habitantes / km2

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(D) 15 habitantes / km2

(E) 155 habitantes / km2

Resolução

De acordo com o enunciado,

á ú

á ã

151.107 2.651

á 57 /

Letra A

02. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) Em uma fábrica trabalham 216 funcionários, sendo que 135 são do sexo masculino e 81 pertencem ao sexo feminino. Calcule a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino.

(A) 4/3

(B) 3/5

(C) 3/7

(D) 2/5

(E) 5/3

Resolução

Para calcular a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino basta dividir o número de homens pelo número de mulheres.

13581

4527

159

53

A fração 135/81 foi simplificada por 3, por 3, e por 3. Se você já tivesse percebido que 135 e 81 são divisíveis por 27, poderia ter simplificado direto.

Letra E

03. (AFC 2002/ESAF) Os números A, B e C são inteiros positivos tais que A < B < C. Se B é a média aritmética simples entre A e C, então necessariamente a razão (B - A) / (C - B) é igual a:

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a) A / A

b) A / B

c) A / C

d) B / C

e) - (B/B)

Resolução

Se B é a média aritmética entre A e C, podemos escrever:

Queremos calcular o valo r de (B - A) / (C - B):

2 2 2

2

2

1

Analisando as alternativas, temos que

1

Portanto, a resposta é a letra A.

04. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) A razão entre o comprimento e a largura de um retângulo é 3/2. Sabendo que a largura é 10 cm, qual é a área desse retângulo em centímetros quadrados?

(A) 120

(B) 150

(C) 80

(D) 180

(E) 340

Resolução

Algebricamente, a frase “A razão entre o comprimento e a largura de um retângulo é 3/2” pode ser escrita como

32

Como a largura é igual a 10 cm, temos que

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10 32

Lembrando que o produto dos meios é igual a produto dos extremos,

2 · 3 · 10

2 · 30

15

A área do retângulo é o produto do comprimento pela largura, assim:

· 15 · 10 150

Letra B

05. (Pref. Rio Claro 2006/CETRO) Em uma proporção contínua, a terceira proporcional dos números 1 e 5 é igual a

(A) 15.

(B) 20.

(C) 25.

(D) 30.

(E) 35.

Resolução

Uma proporção é contínua quando os meios são iguais. Ou seja, é uma proporção do tipo

E o número c é chamado de terceira proporcional dos números a e b.

Assim,

1 5

5

1 · 5 · 5

25

Portanto, 25 é a terceira proporcional dos números 1 e 5.

Letra C

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O momento é oportuno para lembrar que na proporção

O número d é a quarta proporcional dos números a, b, c.

06. (EBDA 2006/CETRO) A razão entre dois segmentos de reta x e y é 2/5, então a razão entre o quíntuplo do segmento x e a metade do segmento y é igual a:

(A) 1/2

(B) 1/4

(C) 4

(D) 2

(E) 4/5

Resolução

Pelo enunciado, podemos escrever que

25

Queremos calcular a seguinte razão:

5

2

Lembre-se que para dividir frações, repetimos a fração do numerador, invertemos a fração do denominador e multiplicamos. Dessa forma,

5

25 ·

2 10 · 10 ·

2 5

205 4

Letra C

07. (Câmara Municipal de Araçatuba 2008/CETRO) Um carro faz, na cidade, 14 Km por litro de combustível. No tanque do carro cabem, ao todo, 40 litros de combustível, portanto, na cidade, ele consegue andar, com um tanque cheio,

(A) 360 Km.

(B) 420 Km.

(C) 460 Km.

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(D) 560 Km.

(E) 600 Km.

Resolução

A razão entre a quantidade de quilômetros rodados e a quantidade de litros de combustível é constante e igual a 14 quilômetros por um litro.

Assim,

40

14 1

Sabemos que em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Dessa forma,

· 1 14 · 40

560

Letra D

08. (Pref. Taquarivaí 2006/CETRO) Na proporção x/y = 2/5. Sabendo-se que x+y=49, o valor de x e y será de:

(A) x = 20; y = 29

(B) x = 14; y = 35

(C) x = 29; y = 20

(D) x = 35; y = 14

(E) x = 15; y = 34

Resolução

25

Dica: É preferível que você coloque as incógnitas no numerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocando os meios de lugar, ou trocando os extremos. Por exemplo, podemos trocar o y com o 2. Essa troca é válida porque o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e a ordem dos fatores não altera o produto.

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Assim, a mesma proporção pode ser escrita como

2

Vamos agora utilizar uma propriedade que mencionei no início da aula.

5

Podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das frações e somando os denominadores.

2 5 2 5

497 7

Dessa forma,

2 7 14 5 7 35

Letra B

09. (CRP 4ª 2006/CETRO) Considere dois números x e y que sejam diretamente proporcionais a 8 e 3 e cuja diferença entre eles seja 60. Determine o valor de ( x + y ). (A) 92 (B) 123 (C) 132 (D) 154 (E) 166

Resolução

Se os números x e y são diretamente proporcionais a 8 e 3, podemos escrever

8 3

E da mesma forma que podemos “prolongar” a proporção somando os numeradores e os denominadores, podemos também subtrair. Assim,

8 3 8 3

605 12

8 12 96 3 12 36

Portanto,

96 36 132

Letra C

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10. (Pref. Pinheiral 2006/CETRO) Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes, é de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa é:

(A) 25%

(B) 30%

(C) 33%

(D) 38%

(E) 40%

Resolução

Se a razão entre o número de moças e o de rapazes é 3/2, então

32

Falamos anteriormente que é preferível que você coloque as incógnitas no numerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocando os meios de lugar, ou trocando os extremos.

3 2

Queremos saber o percentual de rapazes. Podemos supor que o total de pessoas é igual a 100. Se o total de pessoas (m+r) for igual a 100, então quantos serão rapazes?

3

2 3 2 100

5 20

2 20 40

Ou seja, se fossem 100 pessoas no total, 40 seriam rapazes. Portanto, o percentual de rapazes é 40%.

Letra E

11. (PRODESP 2003/CETRO) Se a razão entre dois números é 5 e a soma entre eles é 30, pode-se afirmar que a diferença entre eles é

(A) 10

(B) 12

(C) 15

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(D) 20

(E) 25

Resolução

Sejam x e y os números.

5 5

Como a soma deles é 30,

30

5 30 6 30 5

Como 5 , ã

A diferença entre eles é 25 – 5 = 20.

5 · 5 25

Letra D

12. (Pref. Estância Turística de Embu 2006/CETRO) Paulo tem três filhos, Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos e Renato de 25 anos. Paulo pretende dividir R$ 3.000,00 para os três filhos em valores proporcionais as suas idades. É correto afirmar que o valor que Rodrigo deve receber é:

(A) R$ 1.500,00

(B) R$ 1.250,00

(C) R$ 1.000,00

(D) R$ 750,00

(E) R$ 500,00

Resolução

Queremos dividir R$ 3.000,00 em três partes diretamente proporcionais a 15, 20 e 25 anos, que são as idades de Rodrigo, Ricardo e Renato, respectivamente.

Assim,

15 20 25

Obviamente 3.000.

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Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemos prolongar a proporção.

15 20 25

15 20 25 3.000

60 50

Temos então:

15 50 15 · 50 750

Letra D

13. (Pref. de Mairinque 2009/CETRO) Três técnicos receberam, ao todo, por um serviço R$3.540,00. Um deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que a divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o técnico que trabalhou mais dias recebeu

(A) R$590,00.

(B) R$680,00.

(C) R$1.180,00.

(D) R$1.770,00.

(E) R$2.420,00.

Resolução

Devemos dividir R$ 3.540,00 em partes diretamente proporcionais a 2,4 e 6 dias. Assim, temos a seguinte proporção:

2

4 6

Obviamente, a soma das três partes (a+b+c) é igual a R$ 3.540,00. Dessa forma,

2

4

6 2 4 6 12 2953.540

O técnico que mais trabalhou (6 dias) recebeu

6 295 6 · 295 1.770

Letra D

14. (TCM SP 2006/CETRO) Uma gratificação de R$ 5.280,00 será dividida entre três funcionários de uma empresa na razão direta do número de filhos e

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na razão inversa das idades de cada um. André tem 30 anos e possui 2 filhos; Bruno com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. É correto que o mais velho receberá

(A) R$1 200,00.

(B) R$1 280,00.

(C) R$1 600,00.

(D) R$2 200,00.

(E) R$2 400,00.

Resolução

Temos agora uma divisão diretamente proporcional ao número de filhos e inversamente proporcional às idades.

Em divisões desse tipo, a proporção tomará a seguinte forma:

No nosso exemplo, a divisão será diretamente proporcional a 2, 3 e 6 (ficam no numerador) e será inversamente proporcional a 30, 36 e 48 (ficam no denominador).

230

336

648

Podemos simplificar as frações:

115

112

18

Podemos facilitar nossas vidas adotando o seguinte procedimento:

Sempre que numa proporção houver frações nos denominadores, devemos calcular o m.m.c dos denominadores das frações.

No caso, o m.m.c. entre 8,12 e 15 é igual a 120. Devemos agora dividir 120 por 15 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 12 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 8 e multiplicar por 1.

8 10 15

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Agora temos uma proporção muito parecida com às dos quesitos anteriores. Devemos somar os numeradores e os denominadores.

8 10

15 8 10 15 5.280

33 160

O mais velho, Carlos, receberá:

15 160 15 · 160 2.400

Letra E

15. (FCC-- TRF-1a-Região 2001) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é

(A) 48

(B) 50

(C) 52

(D) 54

(E) 56

Resolução

Temos novamente uma divisão diretamente proporcional às idades e divisão inversamente proporcional aos tempos de serviços.

A proporção terá a seguinte forma:

27 429 3

a b=

O m.m.c entre 3 e 9 é igual a 9. Para facilitar nossas vidas, devemos dividir 9 por 3 e multiplicar por 27, resultando 81. Devemos dividir 9 por 9 e multiplicar por 42, resultando 42.

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164 4 81 42 81 42 123 3a b a b+= = = =

+

4 81 108 34 42 56 3

108 56 52

a

b

a b

= ⋅ =

= ⋅ =

− = − =Letra C

16. (Vestibular FGV 2003) Em uma sala de aula, a razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é: A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50

Resolução

A razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4, logo:

34

3 4 3 4 7

Portanto, n é um número divisível por 7. Dentre as alternativas, o único número divisível por 7 é 49.

Letra D

17. (ESAF) Ao dividir a quantia de R$ 10.000,00 em duas partes inversamente proporcionais a 2 e 3, nessa ordem, a primeira e a segunda parte são, respectivamente:

a) R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00

b) R$ 6.000,00 e R$ 4.000,00

c) R$ 5.000,00 e R$ 5.000,00

d) R$ 8.000,00 e R$ 2.000,00

e) R$ 2.000,00 e R$ 8.000,00

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Resolução

Quando a divisão for inversamente proporcional, a proporção seguirá a seguinte forma:

Temos então que:

12

13

O m.m.c. entre 2 e 3 é 6. Assim, devemos dividir 6 por 2 e multiplicar por 1 (obtemos 3). Dividimos 6 por 3 e multiplicamos por 1 (obtemos 2).

3

2 3 2 10.000

5 2.000

Assim,

3 2.000 6.000

2 2.000 4.000

Letra B

18. (AFC/CGU 2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:

a) 40°

b) 70°

c) 75°

d) 80°

e) 90°

Resolução

Sejam a,b,c os ângulos do triângulos. Veremos na aula de geometria que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Portanto, 180 .

2

3

4 2 3 4 180

9 20

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O maior ângulo é c.

4 20 80

Letra D

19. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio?

a) 80

b) 100

c) 120

d) 160

e) 180

Resolução

Digamos que a renda do filho mais novo seja igual a 1. Portanto a renda do filho mais velho será igual a 2 e a renda do filho do meio será igual a 3.

Temos a seguinte proporção:

O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 1 é igual a 6. Podemos desenvolver a proporção da seguinte maneira: dividimos pelo denominador e multiplicamos pelo numerador (com as frações que se encontram no denominador). Por exemplo, olhe para a primeira fração: 3/2. Dividimos 6 (m.m.c.) por 2 e multiplicamos por 3. Obtemos o número 9. A segunda fração: 6 dividido por 3, vezes 2: obtemos o número 4. Finalmente a última fração: 6 dividido por 1, vezes 2: obtemos o número 12. A proporção ficará:

Temos uma divisão diretamente proporcional aos números 9, 4 e 12.

Assim, o filho do meio receberá 4 x 20 = 80 alqueires.

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Letra A

20. (TJPA 2006/CESPE-UnB)

O mapa do estado do Pará ilustrado acima está desenhado na escala 1:17.000.000, ou seja, uma distância de 1 cm no mapa corresponde à distância real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao medir, com a régua, a distância no mapa entre Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7 cm. Com base apenas nessas informações, é correto o estudante concluir que a distância real, em linha reta, entre essas duas cidades é

A) inferior a 1.000 km.

B) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km.

C) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km.

D) superior a 1.150 km.

Resolução

A escala de um mapa é, por definição:

A escala do mapa é de 1: 17.000.000 e a medida encontrada no desenho entre

as duas cidades é de 6,7 cm.

117.000.000

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Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

17.000.000 ·

17.000.000 · 6,7

113.900.000

Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro.

Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km).

Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

km hm dam m dm cm mm

Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 10 a cada passagem.

Como queremos expressar 113.900.000 cm em quilômetros, devemos dividir esta medida por 100.000 (5 casas correspondem a 5 zeros).

113.900.000 113.900.000

100.000 1.139

C) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km.

Letra C

21. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Alexandre, Jaime e Vítor são empregados de uma empresa e recebem, respectivamente, salários que são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, após efetuar os cálculos, conclui-se corretamente que

A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime.

B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00.

C) o salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00.

D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre.

Resolução

Digamos que os salários de Alexandre, Jaime e Vítor são, respectivamente, iguais a , .

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Como esses valores são diretamente proporcionais a 5,7 e 9. Podemos escrever a seguinte proporção:

5

7

Sabemos também que a soma dos salários dos 3 empregados é igual a

9

R$ 4.200,00. Prolongaremos a proporção somando os antecedentes e somando os consequentes.

5

7 9 5 7 9 4.200

21 200

Assim:

5 · 200 1.000

7 · 200 1.400

Vejamos cada uma das alternativas de per si.

9 · 200 1.800

A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime. (VERDADEIRO)

1.000 1.800 2.800 2

B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00. (FALSO)

1.000 1.200

C) o salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00.

1.400 1.600

D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre. (FALSO).

O salário de Vítor é 80% maior do que o de Alexandre

Letra A

22. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Antônio era viúvo e tinha três filhos: um com 13 anos, outro com 14 anos e, o mais velho, com 18 anos. Um dia, Antônio chamou seus filhos e disse que tinha feito seu testamento deixando para eles a quantia que tinha acumulado na caderneta de poupança.

“Quando eu morrer”, disse ele, “o montante deverá ser dividido em partes diretamente proporcionais às idades de vocês no dia de minha morte”.

Antônio morreu cinco anos depois desse dia e, na caderneta de poupança, havia exatos R$ 450.000,00. A quantia que o filho mais velho recebeu foi:

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a) R$ 142.500,00

b) R$ 154.000,00

c) R$ 165.500,00

d) R$ 168.000,00

e) R$ 172.500,00

Resolução

Cinco anos depois da realização do testamento os filhos têm 18, 19 e 23 anos. Devemos, portanto, dividir R$ 450.000,00 em partes diretamente proporcionais a 18, 19 e 23. Temos a seguinte proporção:

18 19 23

Obviamente 450.000.

Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemos prolongar a proporção.

18 19

23

18 19 23 450.000

60 7.500

O mais velho recebeu 23 7.500 172.500 .

Letra E

GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas sequências de números são ditas diretamente proporcionais se o quociente entre os elementos correspondentes for constante.

Ou seja, as sequências ( , , … , e ( , , … , são diretamente proporcionais se

O número k é a chamada constante de proporcionalidade.

Duas sequências de números são ditas inversamente proporcionais se o produto entre os elementos correspondentes for constante.

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Ou seja, as sequências ( , , … , e ( , , … , são inversamente proporcionais se

· · ·

O número k é a chamada constante de proporcionalidade.

23. (AFC-STN 2000/ESAF) Em um processo de fabricação, o custo total é inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quando são produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando forem produzidas 12 unidades, o custo total será igual a:

a) 625/25

b) 625/24

c) 625/16

d) 625/15

e) 625/12

Resolução

Chamemos a grandeza custo de C e a grandeza quantidade produzida de Q. Sabemos que o custo total é inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas.

Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, o produto entre os valores correspondentes é constante. Assim,

· ·

225 · 5 · 12

225 · 25

Podemos simplificar 225 e 144 por 9.

144

25 · 25

16 62516

Letra C

24. (Vestibular FGV 2002) Uma variável y é inversamente proporcional ao quadrado de outra variável x. Para x = 3, y vale 15. Então, se x = 4, y deverá valer:

a) 1/16

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b) 15/16

c) 45/16

d) 135/16

e) 625/16

Resolução

Grandezas inversamente proporcionais variam a produto constante.

· ·

15 · 3 · 4

135 16 ·

13516

Letra D

REGRA DE TRÊS

Chama-se “Regra de Três” a certos problemas nos quais, sendo dados valores de várias grandezas, sempre em número ímpar de, no mínimo três, propôs-se determinar o valor de uma, e somente uma grandeza desconhecida.

Lembremos que para resolver questões de Regra de Três, devemos construir uma tabela agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. Em seguida devemos determinar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. O último passo é montar a proporção.

25. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma torneira aberta completamente enche um recipiente de 40 litros em 33 segundos, em quanto tempo esta mesma torneira, aberta completamente, encherá um reservatório de 1.240 litros?

(A) 13minutos e 15 segundos

(B) 14 minutos e 10 segundos

(C) 10 minutos e 14 segundos

(D) 20 minutos

(E) 17 minutos e 3 segundos

Resolução

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Litros Segundos 40 33

1.240 x

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Aumentando a quantidade de litros do reservatório, o tempo para enchê-lo também aumentará. Portanto as grandezas são diretamente proporcionais. Colocamos uma seta no mesmo sentido.

Litros Segundos 40 33

1.240 x

401.240

33

40 · 33 · 1.240

33 · 1.240

40 1.023 .

Dividindo por 60 (para passar para minutos), 1.023 segundos = 17 minutos e 3 segundos.

Letra E

26. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12h. Outra pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

Resolução

Digamos que a eficiência de x tenha valor numérico igual a 100. Portanto, a eficiência de y será 150.

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Eficiência Horas 100 12 150 x

Observe que, porque y é mais eficiente do que x, y gastará menos horas do que x. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Colocaremos uma seta para cima.

Eficiência Horas 100 12 150 x

Na montagem da proporção, deveremos inverter a coluna da eficiência.

150100

12

150 1.200

8 .

Letra E

27. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma fábrica de motocicletas demora 10 dias de trabalho, numa jornada de 9 horas por dia, para produzir 250 motocicletas. Quantos dias serão necessários para produzir 300 motocicletas, trabalhando 12 horas por dia?

(A) 12 dias

(B) 10 dias

(C) 15 dias

(D) 9 dias

(E) 6 dias

Resolução

Dias Horas por dia Motocicletas 10 9 250 x 12 300

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Antes de começar a resolução, podemos simplificar os números que estão na mesma coluna. Podemos simplificar 9 e 12 por 3. Podemos simplificar 250 e 300 por 50.

Dias Horas por dia Motocicletas 10 3 5 x 4 6

Aumentando a quantidade de horas trabalhadas por dia, a quantidade de dias diminuirá (seta para cima, pois as grandezas são inversamente proporcionais). Aumentando o número de motocicletas a serem produzidas, o número de dias aumentará (seta para baixo, pois as grandezas são diretamente proporcionais).

Dias Horas por dia Motocicletas 10 3 5 x 4 6

A proporção ficará:

10 ·

56

10

2018

20 180 9 .

Letra D

28. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Considere que uma equipe formada por 5 empregados cataloga 360 livros em 2 horas. Nesse caso, o número de livros a mais que poderão ser catalogados por uma equipe formada por 7 empregados que trabalhem durante 2 horas, com a mesma eficiência da equipe anterior, é igual a

A) 118.

B) 124.

C) 138.

D) 144.

Resolução

Vamos resumir os dados da questão em uma tabela.

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Empregados Livros Horas 5 360 2 7 x 2

Ora, já que a quantidade de horas nas duas situações é a mesma, podemos concluir que esta não vai influenciar no resultado.

Empregados Livros 5 360 7 x

Aumentando a quantidade de empregados, a quantidade de livros catalogados também aumentará (as grandezas são diretamente proporcionais).

5 7

360

5 · 7 · 360

7 · 360

A questão pergunta quantos livros a mais poderão ser catalogados:

5 504

504 360 144

Letra D

(TJBA 2003/CESPE-UnB) Considerando que os servidores de uma repartição pública sejam igualmente eficientes, julgue os itens que se seguem.

29. Se 7 deles analisam 42 processos em um dia, então 5 servidores analisarão, em um dia, menos de 35 processos.

Resolução

Servidores Processos em um dia 7 42 5 x

Diminuindo a quantidade de servidores, a quantidade de processos analisados em um dia também diminuirá. Desta forma, as grandezas são diretamente proporcionais.

7 5

42

7 5 · 42

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7 210

30

Poderíamos ter pensado da seguinte maneira:

Se 7 deles analisam 42 processos, então 1 servidor analisa 6 processos (42/7=6). Ora, se 1 servidor analisa 6 processos, então 5 servidores analisam 30 processos (5 x 6 = 30).

O item está certo.

30. Se 20 servidores, trabalhando 4 horas por dia, levam 6 dias para concluir determinada tarefa, então serão necessários menos de 6 servidores para completarem, em 12 dias, a mesma tarefa, trabalhando 8 horas por dia.

Resolução Servidores Horas por dia Dias

20 4 6 x 8 12

Podemos simplificar as colunas. A segunda coluna é simplificável por 4 e a terceira coluna é simplificável por 6.

Servidores Horas por dia Dias 20 1 1 x 2 2

Aumentando a quantidade de horas trabalhadas (aumentando a carga horária), a quantidade de servidores pode diminuir. As grandezas são inversamente proporcionais.

Servidores Horas por dia Dias 20 1 1 x 2 2

Aumento o prazo, ou seja, aumentando a quantidade de dias, a quantidade de servidores pode diminuir. As grandezas são inversamente proporcionais.

Servidores Horas por dia Dias 20 1 1 x 2 2

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20

21 ·

21

20 4

O item está certo.

4 20 5

Expressões Algébricas

Uma pessoa ganha R$ 30,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa pessoa ganharáapós alguns dias de trabalho, podemos escrever a seguinte expressão algébrica:

30 ·

A letra representa o número de dias trabalhados.

Desta maneira:

Se então a pessoa ganhará , 30 · 90 .

Se , então a pessoa ganhará 30 · 210 .

Se , então a pessoa ganhará 30 · 450 .

Observe que a letra foi substituída por vários números, ou seja, foi variando. Por essa razão,dizemos que é a variável.

Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável. Vejamos alguns exemplos:

3 4 ã á :

2 5 ã ê á : , .

Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, devemos seguir os seguintes passos:

1) Substituir as letras pelos números reais dados.2) Efetuar as operações indicadas, seguindo esta ordem:

IMPORTANTE

Temos o costume de não escrever o sinal de multiplicação entre umnúmero e uma letra ou entre duas letras.

3 · Escreve‐se 3

2 · · Escreve‐se 2

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I‐ Potenciação e radiciaçãoII‐ Multiplicação e divisãoIII‐ Adição e subtração

Exemplo: Calcular o valor numérico de 3 2 5 para 2 4.

Basta “trocar” por 2 e por 4.

Exemplo: Calcular o valor numérico de

3 · 2 2 · 4 5 · 2 · 4 6 8 40 38

2 2 3 para 3.

2 · 3 2 · 3 3 2 · 9 6 3 27

Exemplo: Calcular o valor numérico de 3 2 5 para 2/3.

3 · 23

2 · 23

5 3 · 49

4 3

5 4 3

4 3

5 4 4 15

3 73

Exemplo: Calcular o valor numérico de– √

para 2, 10 12.

10 10 4 · 2 · 122 · 2

10 √100 964

10 √44

10 24

3

IMPORTANTE

Utilizamos parênteses quando substituímos letras por números negativos.

IMPORTANTE

Utilizamos parêntesis quando substituímos letras por frações.

53 3

5 0

?

IMPORTANTE

Nem sempre é possível calcular o valor numérico de algumas expressões para

determinados valores.

Por exemplo, calcule o valor numérico da expressão para 3.

Lembre‐se que não existe divisão por zero!

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31. (ANEEL 2006/ESAF) Se

0, então é necessariamente verdade que:

a) b)

2 200 200

c)

2 200 200

d)

2 200 200

e) 0 0

0 200

Resolução

Em qualquer fração, o denominador obrigatoriamente deve ser diferente de zero. Portanto,

200 0

200

Para que a expressão acima seja igual a zero, o numerador deve ser igual a 0.

2 200 0

2 200

Letra C

Monômios ou termos algébricos

Um monômio ou termo algébrico é um número ou um produto de números em que algunsdeles são representados por letras.

Exemplos:

5

2 5

11

2 2 12 1

3

IMPORTANTE

É de uso comum em álgebra usar notações do tipo para expressões algébricas.

Quando aparecer algo do tipo “calcule 2 , isto significa que devemos calcular o valonumérico da expressão para 2.

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Observe que nestas expressões não aparecem adições nem subtrações.

Em um monômio, destacamos o coeficiente e a parte literal.

Nos nossos exemplos:

5

Monômios ou termos semelhantes

Monômios semelhantes ou termos semelhantes são aqueles que possuem a mesma parteliteral.

Exemplos:

4 √3 são termos semelhantes.

5 3 são termos semelhantes.

2 3 são termos semelhantes.

3 7 não são termos semelhantes.

Operações commonômios

Vamos aprender como calcular a soma, diferença, produto e quociente de monômios.

Vejamos um exemplo: 2 5 2 5 7

Devemos somar (ou subtrair) os coeficientes e repetir a parte literal.

Número Letras

Coeficiente: 5

Coeficiente:

Coeficiente: 1

Parte literal:

Parte literal:

Parte literal:

IMPORTANTE

Em álgebra, significa 1 · e –significa 1 · .

Lembre‐se que a multiplicação écomutativa, portanto não importaa ordem das letras!

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Observe que só podemos “simplificar” monômios semelhantes. Desta maneira, não podemossimplificar a expressão 2 3 porque os termos 2 e 3 não são termos semelhantes.

Simplifique a expressão 2 3 4 3 5 .

Resolução

Observe que 2 3 5 e que 3 5 2 .

2 3 4 3 5 5 4 2 .

A expressão não pode mais ser simplificada porque 5 , 4 2 não são termossemelhantes.

Para multiplicar monômios, devemos multiplicar os coeficientes e multiplicar as partes literais.Lembre‐se que para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e somamos osexpoentes e para dividir potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos osexpoentes.

Exemplo: Simplifique a expressão 2 · 3 .

2 · 3 2 · 3 · · · · 6

Exemplo: Simplifique a expressão 8 4 .

8 4 84

2 2

Polinômios

Polinômio é um monômio ou a soma de monômios não‐semelhantes.

São exemplos de polinômios:

3 14

2 3

2 3 9

2 3

IMPORTANTE

Lembre‐se que quando o expoente não é escrito, consideramos que o expoente é igual a 1.

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Quando um polinômio apresenta termos semelhantes, devemos simplificá‐los.

Exemplo:

Este polinômio foi escrito na sua forma mais simples.

3 5 4 7 5

Se o polinômio não tiver termos semelhantes, ele pode receber alguns nomes especiais:

ô 1

ô 2

Exemplo:

ô 3

7 5 é um binômio.

Os polinômios com mais de três termos não têm nome especial.

Polinômios com uma variável

É o polinômio que apresenta uma única letra como variável.

Exemplos:

5 2 7

Geralmente os polinômios são apresentados segundo as potências decrescentes da variável.

3 5 8

5 2 7 polinômio ordenado

3 5 8 polinômio não‐ordenado

Quando um polinômio estiver ordenado e estiver faltando uma ou mais potências da variável,dizemo que os coeficientes desses termos são zero e o polinômio é dito incompleto.

5 2 7 5 2 0 7

Operações com polinômios

Vamos adicionar dois polinômios:

3 6 8 2 8 5 3 6 8 2 8 5 5 2 3

Vamos subtrair dois polinômios:

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3 6 8 2 8 5 3 6 8 2 8 5 14 13

Para multiplicar um monômio polinômio devemos multiplicar todos os termos do polinômiopelo monômio utilizando a propriedade distributiva da multiplicação.

3 · 2 8 5 3 · 2 3 · 8 3 · 5 6 24 15

Para multiplicar um polinômio por outro polinômio devemos multiplicar cada termo doprimeiro polinômio por todos os termos do segundo e, se possível, reduzir os termossemelhantes

3 5 · 2 4 3 · 2 3 · 4 5 · 2 5 · 4 6 12 20

2 3 · 3 4 2 · 3 2 · 4 3 · 3 3 · 4 6 8 9 12 6 12

Para dividir um polinômio por um monômio devemos dividir cada termo do polinômio pelo monômio.

8 6 4 2

4 3 2

Vamos mostrar através de um exemplo a regra prática para efetuar a divisão de polinômios.

Devemos trocar os sinais dostermos do segundo par deparênteses.

Os polinômios devem estarordenados segundo as

potências decrescentes davariável.

15 29 33 28 3 4

Termo de maiorgrau

Termo de maiorgrau

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O primeiro passo é dividir o primeiro termo do dividendo (de maior grau) 15 pelo primeiro termo (de maior grau) do divisor 3 . Obtemos 5 .

153

5

O próximo passo é multiplicar 5 pelos termos do divisor, colocando o resultado com o sinal trocado abaixo do dividendo. Adicionamos os termos semelhantes e baixamos os termos seguintes.

5 · 3 4 15 20 .

Repetimos todo o processo com o resto parcial. Dividimos 9 por 3 e obtemos 3 . Multiplicamos 3 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o resultado abaixo do resto parcial.

Dividimos o primeiro termo 21 pelo primeiro termo do divisor 3 . Obtemos 7, em seguida multiplicamos 7 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o resultado abaixo do resto parcial.

Quando o resto é zero (como o nosso exemplo), dizemos que a divisão é exata. Desta forma, o polinômio 15 29 33 28 é divisível pelo polinômio 3 4.

Observe a seguinte relação importantíssima:

15 29 33 28 3 4

5

9 33 28

15 29 33 28 3 4

515 20

5 3

9 33 28

15 20

15 29 33 28 3 4

9 1221 28

21 28

5 3 7

9 129 33 28

15 20

15 29 33 28 3 4

21 280

Quociente

Resto

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·

No nosso caso,

Exemplo: Obtenha o polinômio que, dividido por

15 29 33 28 5 3 7 · 3 4 0

2 , dá o quociente 1 e resto 4.

Ora, sabemos que ·

·

1 · 2 4

2 2 4

2

Portanto, o dividendo é 2.

Observação: O grau do resto é sempre menor que o grau do divisor. Desta forma, se o divisoré do 2º grau, então o divisor é, no máximo, do 1º grau. Se o divisor é do 6º grau, então oresto é, no máximo, do 5º grau.

Divisão de polinômios por binômios do 1º grau

Vamos dar algumas dicas em casos onde ocorre a divisão de polinômios por binômios doprimeiro grau.

Considere um polinômio qualquer . Por exemplo

Queremos obter o resto da divisão deste polinômio pelo binômio

4 2 4 3

2 4.

Há uma maneira muito fácil de calcular o resto da divisão de qualquer polinômio por umbinômio do 1º grau. Devemos seguir os seguintes passos:

i) Igualar o binômio do primeiro grau a 0 e resolver a equação.

2 4 0

2 4

2

ii) Calcular o valor numérico em do valor obtido.

Isto significa que o resto da divisão de

2 4 · 2 2 · 2 4 · 2 3 32 8 8 3 51

4 2 4 3 por 2 4 é 51.

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Muito fácil, não?

Esta dica que acabamos de aprender tem um nome: Teorema do Resto.

Entender o teorema do resto é bem fácil.

Nós vimos acima que: · .

Ou, em símbolos:

rQ d D + ⋅=

Esta igualdade vale sempre!!!

Ou seja, para qualquer valor de x que você usar, esta igualdade vai valer.

Neste caso especial que estamos estudando, “d” tem grau 1. Consequentemente, r tem grauzero (pois seu grau é sempre menor que o grau do divisor). Ou seja, r é um número.

Seja k o número que torna nulo o divisor.

Quando fazemos x = k, temos:

rkk d k Q D +⋅= ) (( ) ( )

rk Qk D + ⋅= 0 )(( )

r kD =)(

Por isso que, para achar o valor do resto, basta calcular D(k), onde k é o número que tornanulo o divisor.

Exemplo: Determine o valor de de modo que 2 2 1 4seja divisível por 3.

Resolução

Para que 2 2 1 4 seja divisível por 3 o resto da divisãodeve ser zero, ou seja, a divisão deve ser exata.

E como se calcula o resto da divisão?

Primeiro, devemos igualar o divisor 3 a zero.

3 0

3

Para calcular o resto da divisão, devemos calcular 3 , ou seja, devemos substituir por 3.

3 2 · 33 2 · 32 1 · 3 4 54 9 18 3 3 4

65 6

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Como o resto da divisão deve ser zero:

6 65 0

6 65

656

32. (AFRFB 2009 ESAF) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a:

a) 13 7 4 4

x +

b) 7 13 4 4

x −

c) 7 13 4 4

x +

d) 13 13 4 4

x− −

e) 13 7 4 4

x− −

Resolução

5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3).

Para calcular o resto da divisão de um polinômio f por 1 , devemos fazer o seguinte:

i) Resolver a equação 1 0Portanto, 1.

ii) Calcular o valor numérico de para 1.

Portanto, o resto é 1 . Como este resto é igual a 5, então 1 5.

Para calcular o resto da divisão de um polinômio f por 3 , devemos fazer o seguinte:

i) Resolver a equação 3 0Portanto, 3.

ii) Calcular o valor numérico de para 3.

Portanto, o resto é 3 . Como este resto é igual a 2, então 3 2.

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Conclusão: (1) 5 f = e ( 3) 2f − = − .

Queremos calcular o resto da divisão do polinômio pelo produto 1 · 3 . Observe que o polinômio 1 · 3 é do segundo grau, porque 1 · 3 2 3. Vimos anteriormente que se o divisor é do segundo grau, então o resto é, no máximo, do primeiro grau. Portanto, o resto é do tipo .

Sejam q e r a x b= ⋅ + , respectivamente, o quociente e o resto da divisão de f por

( 1)( 3) x x − + . Lembre-se que:

·

( 1)( 3) ( )f q x x ax b= ⋅ − + + + .

Tomemos os valores numéricos desses polinômios em 1 e – 3.

1 1 · 1 1 · 1 3 · 1

Observe que 1 1 0, 1 · 1 1 · 1 3 0. Assim, 1 . Como 1 5, temos que 5.

3 3 · 3 1 · 3 3 · 3

Observe que 3 3 0, 3 · 3 1 · 3 3 0. Assim, 3 3 . Como 3 2, temos que 3 2.

Temos um sistema linear:

5

Da primeira equação temos que

3 2

5 .

Da segunda equação temos que 3 2.

Portanto, 3 2 5 .

3 5 2

4 7

74

Como 5

5 74

20 74

134

74

a = e 134

b = .

Sabemos que o resto é , portanto:

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Resposta: 7 4

13 r4

x= + .

Letra C

Produtos Notáveis

Há alguns produtos de polinômios que ocorrem com muita frequência na álgebra e que sãochamados de produtos notáveis.

Quadrado da soma de dois termos

· 2

2

Concluímos que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeirotermo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais oquadrado do segundo termo.

2 · ·

Exemplo: Desenvolva

2 3 .

Resolução

2 4

2 · · 2 · 2 · 3 12

3 9

Resposta:

Exemplo:

2 3 4 12 9

Desenvolva 4 2 .

Resolução

4 16 ·

2 · · 2 · 4 3 · 2 16 3

2 4

Resposta: 4 2 16 16 4

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Quadrado da diferença de dois termos

· 2

2

Concluímos que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado doprimeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo,mais o quadrado do segundo termo.

Exemplo: Desenvolva

2 · ·

4 3 .

Resolução

4 16

2 · · 2 · 4 · 3 24

3 9

Resposta:

Produto

4 3 16 24 9

da soma pela diferença de dois termos

·

·

Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadradodo primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

· 2 2

ã , ú .

ã , ú .

IMPORTANTE

Note que

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Exemplo: Desenvolva 2 3 · 2 3 .

2 4

3 9

Resposta:

Cubo da soma de dois termos

2 3 · 2 3 4 9

Para calcular basta multiplicar por

·

2 ·

2 2

Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três

3 3

vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo

vezes o quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo.

3 · · 3 · ·

Exemplo: Desenvolva 2 3 .

Resolução

2 8

3 · · 3 · 2 · 3 36

3 · · 3 · 2 · 3 54

3 27

Resposta:

Cubo da diferença de dois termos

2 3 8 3 36 2 54 2 27 3

Para calcular basta multiplicar por

·

2 ·

2 2

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Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo,menos três

3 3

vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, mais três vezes o primeiro termo

vezes o quadrado do segundo termo,menos o cubo do segundo termo.

3 · · 3 · ·

Exemplo: Desenvolva 3 4

Resolução

3 27

3 · · 3 · 3 · 4 108

3 · · 3 · 3 · 4 144

4 64

Resposta: 3 4 27 3 108 2 144 64

33. (Pref. de São Gonçalo/RJ 2007/CEPERJ) Dois números a e b são tais que 6 e

.

Então, é igual a:

a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24

Resolução

1

1

45

Dica: sempre que tivermos frações em uma equação, devemos multiplicar todos os termos pelo m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores. No caso,

, , 5 5

Vamos multiplicar o primeiro termo por 5 .

1 · 5 5

Vamos multiplicar o segundo termo por 5 .

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1 · 5 5

Finalmente, multiplicar o último termo por 5 .

4 5 · 5 4

E equação ficará assim:

5 5 4

Colocando o número 5 em evidência:

5 · 4

Como o enunciado nos informou que 6:

4 5 · 6

4 30

Agora vamos ao que nos interessa: calcular o valor de

7,5

Vamos utilizar um artifício muito comum em questões deste tipo. Notou a semelhança da expressão com a expressão ?

ã , ú .

ã , ú .

Pois bem, esta expressão é muito famosa em Matemática. É tão famosa e útil que é chamada de produto notável.

Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão:

Você está lembrado qual é o valor de

2

? O enunciado nos informou que .E o valor de , você está lembrado? Nós já calculamos e descobrimos que , .

2

2 · ,

36 15

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36 15

21

Portanto, 21.

Letra D

34. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Sabendo-se que: 2 e 1/2, vale:

a) 5 b) 5/2 c) 2/5 d) 3 e) 1/2

Resolução

Questão muito parecida com a questão anterior. Mesma banca, 3 anos depois... A banca foi gentil e agressiva simultaneamente. Gentil porque forneceu diretamente os valores de e de . Agressiva porque trocou o expoente da expressão pedida. Para calcular vamos ter um pouco mais de trabalho.

A conversa é bem parecida com a da questão passada.

Notou a semelhança da expressão com a expressão ?

ã , ú .

ã , ú .

Pois bem, esta expressão é muito famosa em Matemática. É tão famosa e útil que é chamada de produto notável.

Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão:

“Nunca vou lembrar-me deste desenvolvimento na hora da prova!”

3 3

Calma... Há uma saída: utilizar a força braçal!

Para calcular basta multiplicar por

·

2 ·

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2 2

3 3

Bom, vamos voltar ao problema. Queremos calcular o valor de .

Observe as duas parcelas do meio no segundo membro:

3 3

Podemos colocar a expressão

3 3

3 em evidência.

Voltando ao produto notável:

3 3 3 ·

3 3

3 ·

Sabendo que / :

3 ·

3 · ·

8 3

5.

Letra A

Vamos agora resolver uma série de exercícios em que tenhamos que construir umaequação do 1º grau ou um sistema de equações.

Problemas do primeiro grau

35. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de está entre:

a) 30 e 35 b) 35 e 40 c) 40 e 45 d) 45 e 50 e) 50 e 55

Resolução

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Considere um número real .

Multiplicando-o por 2, obtemos 2 · .

Somando 1 ao resultado, obtemos 2 · 1.

Em seguida, multiplicamos o resultado por 3. Assim, tem-se 3 · 2 · 1 .

Finalmente subtrai-se 5 e obtemos: 3 · 2 · 1 5.

Este resultado é igual a 220.

Vamos aplicar a propriedade distributiva.

3 · 2 · 1 5 220

6 · 3 5 220

6 2 220

6 220 2

6 222 222

6 37

Letra B

36. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, em seguida divida por 3, multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, o valor de é:

a) um número múltiplo de 7. b) um número entre 30 e 40. c) um número par. d) um número cuja soma dos dígitos é 10. e) um número primo.

Resolução

Multiplicando o número obtemos 4 · .

Em seguida some 31 4 · 31.

Depois divida por 3

Multiplique por 5 5 ·

Subtraia 23 5 · 23

O resultado é igual a 222.

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5 · 4 31

3 23 222 5 · 4 31

3 222 23

5 · 4 31

3 245 4 31

3 245

5

4 313 49 4 31 3 · 49

4 31 147 4 147 31

4 116 116

4 29

Como o número 29 é primo (número primo é aquele que possui apenas dois divisores naturais).

Letra E

37. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema

0,3 1,2 2,40,5 0,8 0,9

O valor de é:

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) 2/3

Resolução

Para deixar o sistema um pouco mais “limpo”, podemos multiplicar as duas equações por 10 com o intuito de eliminar as casas decimais.

0,3 1,2 2,4 · 100,5 0,8 0,9 · 10

3 12 24

Olhemos para a primeira equação:

5 8 9

Podemos, para simplificar, dividir ambos os membros da equação por 3.

3 12 24

4 8

8 4

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Vamos substituir esta expressão na segunda equação. Ou seja, trocaremos por 8 4 .

5 8 9

5 · 8 4 8 9

40 20 8 9

28 9 40

Multiplicando os dois membros da equação por

28 49

1 :

28 49 4928

Vamos simplificar esta fração por 7. Para simplificar, devemos dividir o numerador e o denominador por 7.

49/7 28/7

74

Como 8 4 :

8 4 · 74 8 7 1

Letra A

38. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Resolução

Digamos que o homem caridoso possua reais e que existam mendigos.

Vejamos a primeira situação. “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00.”

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O homem entrega 5 reais para cada um dos mendigos. Portanto, ele gastou 5reais. Ele ainda ficou com 3 reais. Desta forma, a quantia que o homem possui é igual a 5 3 .

5 3

“Se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00.”

O homem possui reais. Se ele tivesse mais R$ 5,00, então ele teria 5 reais. Esta quantia daria para entregar exatamente 6 reais para cada um dos mendigos.

5 6

6 5

Ora, se 5 3 e 6 5, então 5 3 6 5

5 3 6 5

5 6 5 3

8

8

São 8 mendigos.

Letra D

39. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje, calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe.

a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

Resolução

Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z... Pois ao terminar a questão você terá que procurar quem é x,y,z...

Por exemplo: a idade de João é J, a idade da mãe é M e a idade do pai é P.

Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Assim, . Assim, 2 · .

Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai.

Ora, há quatros anos, João tinha (J – 4) anos e o seu pai tinha (P – 4) anos. A idade João era a terça parte da idade de seu pai.

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ã

·

·

·

A soma das idades dos três é 100 anos hoje.

·

· ·

·

Assim, a mãe de João tem · .

O pai de João tem · · .

O pai de João é 10 anos mais velho do que a sua mãe.

Letra B

40. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. Sabendo-se que, hoje, a idade do último irmão que nasceu é a metade da idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais velho está com idade igual a

a) 18 anos. b) 20 anos. c) 22 anos. d) 24 anos. e) 26 anos.

Resolução

Considere que o irmão mais novo tem anos. Portanto, as idades dos outros irmãos são iguais a 3, 6, 9 12.

A idade do irmão mais novo é a metade da idade do irmão mais velho.

ã ã

2

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12

2

2 12

Assim, as idades dos irmãos são 12, 15, 18, 21, 24.

12

O irmão mais velho está com 24 anos.

Letra D

41. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 o triplo da idade que tinha em 1994. Essa pessoa tem hoje:

a) 22 anos. b) 23 anos. c) 24 anos. d) 25 anos. e) 26 anos.

Resolução

Prestemos atenção ao fato de que a prova foi realizada no ano de 2009. Digamos que a pessoa tenha anos em 2009. Dessa maneira, terá 3 anos em 2012 e 15anos em 1994. Isso porque 2012 – 2009 = 3 e 2009 – 1994 = 15.

Ano 1994 2009 2012

Idade 15 3

A idade da pessoa em 2012 é o triplo da idade da mesma pessoa em 1994.

2012 3 · 1994

3 3 · 15

3 3 45

3 45 3

2 48

24

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Letra C

42. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o:

a) 8 b) 12 c) 18 d) 22 e) 24

Resolução

Se o primeiro número par for ,então os próximos números pares sucessivos serão 2, 4 6. A soma destes 4 números deve ser igual a 68.

2 4 6 68

4 12 68

4 56 14

Desta maneira, se na primeira prateleira há 14 pacotes, nas outras prateleiras haverá 16, 18 e 20 pacotes.

Letra C

43. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e consecutivos têm por soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um quociente igual a:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Resolução

Seja x o primeiro número par. Os próximos números pares serão x+2 e x+4. A soma dos três é igual a 90. Assim,

· ·

O quociente da divisão de 28 por 7 é igual a 4.

Letra C

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44. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?

a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas

Resolução

Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e tempo. A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de tempo.

A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora.

Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora.

A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora.

O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneiraenche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas.

Cada parte representa do tanque.

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Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão:

124

148

2 148

348

116

Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em horas, em 1 hora encherão 1/x.

Assim:

1

116

16 .Letra E

Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo?

Considere que um objeto execute um serviço em horas, outro objeto execute um serviço o mesmo serviço em horas, outro objeto execute o mesmo serviço em horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos executem o serviço em horas. Temos a seguinte relação:

1

1

1

No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em .

124

148

1

2 148

1

348

1

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

3 · 1 · 48

483 16 .

45. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que,

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sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em

a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas.

Resolução

Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha em horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas.

1 5

1

13

1

1 3

1 5

1

5 315

1

215

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

2 · 1 · 15

15 2 7,5 7 30

Letra B

46. (ANEEL 2004/ESAF) Para 5, a simplificação da expressão

10 5025 5

é dada por:

a) 2b) 2c) 5d) 5 e)

Resolução

25

Vejamos o numerador:

10 50 10 · 5

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Vejamos o denominador:

25 5 5 · 5 5 · 5

Desta forma:

10 5025 5

10 · 55 · 5

Como 5, podemos cortar os fatores 5 .

10 5025 5

10 · 55 · 5

10 5 2

Dê uma olhada nas alternativas. A resposta não depende do valor de x. Portanto, podemos escolher um valor arbitrário para x. Vamos, por exemplo, substituir x por 1.

10 5025 5

10 · 1 5025 5 · 1

10 5025 5

4020 2

Bem melhor, não?

Letra A

47. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia que Carlos tinha inicialmente era de:

a) 12 reais b) 15 reais c) 18 reais d) 20 reais e) 24 reais

Resolução

Uma dica: procure sempre utilizar letras que façam referência ao nome das pessoas envolvidas. Esqueça essa “mania” de sempre usar x,y,z...

No nosso caso, Carlos tem reais e Márcio tem reais.

1ª informação: Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui.

Já que Márcio possui reais, Carlos dará reais para Márcio. Vejamos o que acontece com as quantias de cada um:

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Carlos Márcio Início

Carlos dá reais para Márcio

É óbvio notar que se Carlos dá reais para Márcio, então Carlos perde reais e Márcio ganha

1ª informação: Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui.

.

Atualmente, Carlos possui . Portanto, Márcio dará a Carlos .

Carlos Márcio Início

Carlos dá reais para

Márcio

Márcio dá ( reais a

Carlos

As duas quantias são iguais a 16 reais.

2 2 16

Olhemos para a primeira equação:

3 16

Podemos dividir os dois membros da equação por 2.

2 2 16

8

8

Vamos substituir esta expressão na segunda equação.

3 16

3 8 16

3 8 16

2 16 8 2 24 12

Como 8:

12 8 20 .

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Letra D

48. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a:

a) R$ 214,00 b) R$ 252,00 c) R$ 278,00 d) R$ 282,00 e) R$ 296,00

Resolução

Vamos montar uma tabela com a evolução da quantia que cada pessoa possui.

Alice Bela Cátia Início 36

Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui.

Para que Bela duplique sua quantia, ela deve receber reais. Para que Cátia duplique sua quantia, ela deve receber 36 reais.

Alice Bela Cátia 36

36 2 36 36 72

Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui.

Para que Alice duplique sua quantia, ela deve receber 36. Para que Cátia duplique a sua quantia, ela deve receber 72 reais.

Alice Bela Cátia 2 · 36 2 36 72 2 · 72 144

Manipulando a expressão da quantia de Bela:

Alice Bela Cátia 2 · 36 3 36 2 · 72 144

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Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui.

Para que Alice duplique a sua quantia, ela deve receber 2 · 36 . Para que Bela duplique a sua quantia, ela deve receber 3 36.

Cátia possuía 144 reais. Como deu 2 · 36 para Alice e 3 36 para Bela, então ficou com:

No final, Cátia ficou com 36 reais. Portanto,

144 2 · 36 – 3 36

144 2 · 36 – 3 36 36

144 2 2 72 3 36 36

Multiplicando os dois membros por

216

1 :

A quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a:

216

216 36 252Letra B

49. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui?

a) R$ 42,00 b) R$ 31,00 c) R$ 25,00 d) R$ 28,00 e) R$ 47,00

Resolução

Vamos assumir que Rui possui reais e que Pedro possui reais.

“Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará.”

Se Pedro der 1/5 do seu dinheiro, ficará com 4/5 da sua quantia.

Ou seja, se Pedro possuía , ficará com · .

Rui receberá 1/5 da quantia de Pedro. Como Rui possuía , ficará com · .

Sabemos que a quantia que Rui fica é o dobro da quantia de Pedro.

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15

· 2 ·45

·

15

· 8 5

·

85

·1 5

·

75

·

5 7

Rui diz a Pedro:

“Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais.”

Pedro ficará com 6 reais e Rui ficará com 6 reais. Estas duas quantias devem ser iguais.

6 6

12

Substituindo esta expressão na equação obtida acima:

5 7

5 7 · 12

5 7 84

2 84 2 84 42 .

Letra A

50. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. Então Carlos pagou:

a) R$150,00 b) R$200,00 c) R$250,00 d) R$300,00 e) R$350,00

Resolução

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Vamos utilizar as letras , , para indicar as quantias pagas por Antônio, Bruno e Carlos, respectivamente.

1ª informação Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00.

6002ª informação Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram.

2

3ª informação Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram.

3

3

Voltemos à primeira equação:

600

Sabemos que . Portanto,

600

3 600

200

Vamos utilizar o mesmo artifício com a terceira informação.

Sabemos que e que 600.

600

4 600

150 600

200 150 600

350 600

250

Letra C

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51. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo há um número escondido.

Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos quadradinhos sombreados.

16 21 11

O número que está no primeiro quadradinho é:

a) 3 b) 5 c) 8 d) 11 e) 13

Resolução

Chamemos o número escondido no primeiro quadrado de , o segundo número de e o terceiro de .

Concluímos que:

16 21 11

Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um sistema com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas das três incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte:

i) Escolha a incógnita que você quer calcular. ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você. iii) Some as três equações.

Como queremos calcular o número do primeiro quadradinho, então a incógnita escolhida é .

A equação que não aparece o é a terceira. Portanto, vamos multiplicar os dois membros da terceira equação por -1.

16

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21 11

Ao somar as três equações, serão cancelados.

Ficamos com:

16 21 11

2 26

13

Letra E

52. (Assistente Administrativo – SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y e Z, trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural. Considere que, em certo período, a soma dos comprimentos dos dutos montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O comprimento dos dutos montados pela equipe

(A) X foi 4 200 m. (B) X foi 4 500 m. (C) Y foi 3 500 m. (D) Y foi 3 900 m. (E) Z foi 5 000 m.

Resolução

De acordo com o enunciado temos:

8,2 8,9

9,7

O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte:

i) Escolha a incógnita que você quer calcular. ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você. iii) Some as três equações.

Vamos multiplicar a última equação por 1 .

8,2 8,9

9,7

o somar as três equações, serão cancelados.

Ficamos com:

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8,2 8,9 9,7

2 7,4

3,7

Substituindo este valor na primeira equação:

3,7 8,2

4,5

Como 8,9:

3,7 8,9

5,2

Desta maneira, comprimento dos dutos montados pela equipe:

foi 4,5 4.500

foi 3,7 3.700

foi 5,2 5.200

Letra B

Equação do 2º grau

Denomina-se equação do 2º grau toda equação na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Para calcular os possíveis valores que satisfazem a equação acima, devemos utilizar a fórmula abaixo:

2 4 2

b b acxa

− ± −=

Denominamos discriminante o número real 2 bΔ = 4ac − , podemos reescrever a fórmula resolutiva da equação do segundo grau da seguinte maneira,

2bx

a− ± Δ

=

Resolva as equações abaixo:

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( )

2

2

) 2 10 12 0 2, 10, c 12

10 4 2 12 4

( 10) 4 10 2 2 2 4

2 ou 3{2;3}

a x xa b

x

x xS

− + == = − =

Δ = − − ⋅ ⋅

Δ =

− − ± ±= =

⋅= ==

( )

2

2

b) 6 9 0 1, 6, c 9

6 4 ( 1) ( 9) 0

6 0 6 0 2 ( 1) 2

3 ou 3{3}

x xa b

x

x xS

− + − == − = = −

Δ = − ⋅ − ⋅ −

Δ =

− ± − ±= =

⋅ − −= ==

( )

2

2

) 4 7 0 1, 4, c 7

4 4 1 7 12

12

c x xa b

RS φ

− + == = − =

Δ = − − ⋅ ⋅

Δ = −

Δ = − ∉=

Observe que no terceiro exemplo o discriminante é negativo. Em casos como este, oconjunto solução sempre será o conjunto vazio, isto porque as raízes quadradas de númerosnegativos não podem ser calculadas com números reais.

Observando os exemplos acima resolvidos, verificamos que há três casos a considerar.

0 Duas raízes reais e distintas 0 Duas raízes reais e iguais 0 Não há raízes reais

Δ > ⇔Δ = ⇔Δ < ⇔

53. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0

a) (1,-1) b) (-7,-1) c) (7,1) d) (-7,1) e) (-1,0)

Resolução

Considere uma equação do 2º grau 0, com 0. As raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula

√ 4

2

Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo,

8 8 4 · 1 · 7

2 · 1

8 √64 28

2

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8 6

2

Assim, x = 7 ou x = 1.

Letra C

54. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0

a) S={-2,2,-3,3} b) conjunto vazio c) S={-2,-3} d) S={2,3} e) S={-2,-3,-1,1}

Resolução

A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará

13 36 0

Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = 13 e c = 36) devemos utilizar a seguinte fórmula:

√ 4

2

13 √13 4 · 1 · 36

2 · 1

13 √169 144

2

13 5

2

Assim,

13 5

2 4ou

13 5

2 9

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Como x2=y, então x2 = -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real que elevado ao quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao quadrado é não-negativo) ou x2 = -9 (x não pertence aos reais pelo mesmo motivo). Assim, o conjunto-solução da equação é o conjunto vazio.

Letra B

55. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a

a) 0 b) 16 c) 9 d) 49 e) 25

Resolução

A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará

25 144 0

Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = -25 e c = 144) devemos utilizar a seguinte fórmula:

√ 4

2

25 25 4 · 1 · 144

2 · 1

25 √625 576

2

25 7

2

Assim,

25 7

2 16ou

25 7

Como x2=y, então x2 = 16 ou x2 = 9.

2 9

16 9

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A soma de todas as raízes da equação é

4 4 3 3

4 4 3 3 0.

Letra A

56. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de

1 156

é igual a:

a) 6b) 2c) 1d) 6e) 13

Resolução

Vamos utilizar um artifício para facilitar os cálculos. Fazendo , a equação ficará:

1 156

· 1 156

156

156 0

√ 4

2 1 1 4 · 1 · 156

2 · 1 1 √625

2 1 25

2

1 25

2 13 ou 1 25

2 12

i) 13

13

13 0

1 √1 4 · 1 · 13

2 · 1 1 √ 51

2

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Como o problema pede para trabalhar com raízes reais, não podemos continuar neste caso, pois a raiz quadrada de 51 não é um número real.

ii) 12

12

12 0

1 1 4 · 1 · 12

2 · 1 1 7

2

1 7

2 4 1 7

2 3

A soma dos valores reais de x é igual a 4 3 1.

Letra C

57. (TFC 2000/ESAF) Determinar de modo que a equação 4 4 1 0 tenha duas raízes iguais:

a) 0b) c)

8 0 8

d) e)

8 0

Resolução

0 8

Uma equação do tipo 0 tem raízes iguais se e somente se o discriminante Δ 4 for igual a 0.

4 4 1 0

4 4 · 4 · 1 0

8 16 16 16 0

8 0

Vamos colocar em evidência.

· 8 0

Devemos pensar o seguinte: quando é que multiplicamos dois números e o resultado é igual a 0? Quando qualquer um dos fatores for igual a 0.

Portanto, 0 8 0

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Ou seja, 0 8.

Letra B

58. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é:

a) 42 b) 45 c) 48 d) 50 e) 52

Resolução

De acordo com o enunciado, 4 1.845.

Vamos calcular o discriminante:

4 1.845 0

Temos que calcular a raiz quadrada de 7.396.

Δ 4 4 4 · 1 · 1.845 7.396

Observe o seguinte fato:

50 2.500

60 3.600

70 4.900

80 6.400

90 8.100

Como 6.400 7.396 8.100, então a raiz quadrada de 7.396 é um número que está entre 80 e 90. Como o algarismo das unidades de 7.396 é igual a 6 concluímos que a raiz quadrada só pode ser 84 ou 86 (isto porque 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36).

Deu errado... Só pode ser 86!

84 7.056

86 7.396

Voltando à equação:

4 1.845 0

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4 86

2 · 1 4 86

2

Como x representa o número de soldados, obviamente 0, portanto, devemos utilizar apenas o + na fórmula.

x 4 86

2 45 soldados

Letra B

59. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi:

a) 16 b) 18 c) 21 d) 25 e) 27

Resolução

Digamos que há funcionários e que cada um arquivará processos.

O total de processos é dado pelo produto do número de funcionários pelo número de processos que cada um arquivará. Desta forma:

· 108

108

No dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto.

Ou seja, cada um dos 2 funcionários arquivará 9 processos.

2 · 9 108

· 9 2 18 108

Sabemos que · 108, logo:

108 9 2 18 108

108 9 2 18 108 0

9 2 18 0

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Vamos substituir o valor de por .

9 2 · 108

18 0

9 216

Vamos multiplicar os dois membros da equação por

18 0

.

9 · 216

· 18 · 0 ·

Para simplificar as contas, vamos dividir os dois membros por 9.

9 18 216 0

2 24 0

√ 4

2 2 2 4 · 1 · 24

2 · 1 2 10

Como o número de funcionários é positivo, devemos utilizar apenas o +.

2

2 10

2 122

6 funcionários.

108

108

6 18 á

Essa é a situação inicial: 6 funcionários, cada um arquiva 18 processos. Faltaram 2 funcionários, portanto apenas 4 funcionários trabalharam. Cada um deles arquivou 9 processos a mais, portanto, cada um deles arquivou 27 processos.

Letra E

Relações de Girard

Vamos resolver a equação 12 10 2 0.

Considerando a notação usual 0, temos que 12, 10 2.

√ 4

2 10 10 4 · 12 · 2

2 · 12

10 2

24

Assim:

10 2

24 1224

12

10 224

824

13

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Vamos calcular a soma das raízes:

12

1 3

3 26

56

Vamos calcular o produto das raízes:

· 12 ·

1 3

16

Pronto! Todo este trabalho para calcular a soma e o produto das raízes da equação do segundo grau. Será que existe uma forma mais rápida? Sim... Existe! É sobre este assunto que falaremos agora: As Relações de Girard.

São duas fórmulas que nos ajudam a calcular a soma e o produto.

Vejamos: Chamaremos de as raízes da equação 0.

Desta maneira:

1 2 e 2 2

b bx xa a

− + Δ − − Δ= =

Vamos multiplicar e somar estes dois números:

Vamos voltar ao nosso exemplo:

12 10 2 0.

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Pois bem, de acordo com as relações de Girard, a soma das raízes é dada por:

12, 10 2

10

12 1012

56

O produto das raízes é dado por:

2

12 16

60. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é:

a) - 7 b) - 2 c) 1 d) - 1 e) 7

Resolução

Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 0, com 0 cujas raízes podem ser calculadas com o auxílio da

seguinte fórmula

√ 4

2

A soma das raízes dessa equação é dada por

e o produto das raízes é dado por

Voltemos ao problema. Na equação mx2 – 7x + 10 = 0, temos que a = m, b = - 7 e c = 10.

A soma das raízes é igual a 7, logo

7

7

7

7 7

1

Letra C

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61. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a:

a) -2 b) -1 c) 5 d) 7 e) 2

Resolução

Na questão anterior vimos que na equação 0, a soma das raízes é dada por

e o produto das raízes é dado por

Na equação dada, temos que a = 5, b = -10 e c = 2m – 4.

Como a soma das raízes é igual ao produto das raízes,

10 2 4

2 4 10

2 14

7

Letra D

62. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é:

a) 2,4 b) 2,1 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2

Resolução

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Sejam x1 e x2 as raízes da equação dada. Temos que a = 2, b = m e c = 1.

O texto nos informa que uma raiz é o dobro da outra. Ou seja, x1 = 2x2.

Sabendo os valores de “a” e “c”, temos condições de calcular o produto das raízes.

· Como x1 = 2x2,

2 · · 12

Como as raízes são positivas, então

14

12

Consequentemente

Assim, a soma das raízes será igual a

2 · 2 · 12

1

1 12

2 12

3 2

1,5

Letra D

63. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) A equação 0 possui raízes 3 e 5. Então, é igual a:

a) 7 b) 10 c) 15 d) 19 e) 23

Resolução

Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 0, com 0.

A soma das raízes dessa equação é dada por

e o produto das raízes é dado por

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Sabemos que 1. Como as duas raízes são 3 e 5, então a soma das raízes é 3 5 8 e o produto das raízes é 3 5 15.

1 8

8

1

15

15

8 15 7

Letra A

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Relação das questões comentadas

01. (Pref. de Barueri 2006/CETRO) A definição de densidade demográfica é dada pela razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. Pedro fez uma pesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a densidade demográfica da região onde mora. Ele conseguiu, junto à prefeitura, as seguintes informações: a área da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade de pessoas que residiam na localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas informações, ele concluiu que a densidade demográfica de sua cidade é de:

(A) 57 habitantes / km2

(B) 58 habitantes / km2

(C) 59 habitantes / km2

(D) 15 habitantes / km2

(E) 155 habitantes / km2

02. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) Em uma fábrica trabalham 216 funcionários, sendo que 135 são do sexo masculino e 81 pertencem ao sexo feminino. Calcule a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino.

(A) 4/3

(B) 3/5

(C) 3/7

(D) 2/5

(E) 5/3

03. (AFC 2002/ESAF) Os números A, B e C são inteiros positivos tais que A < B < C. Se B é a média aritmética simples entre A e C, então necessariamente a razão (B - A) / (C - B) é igual a:

a) A / A

b) A / B

c) A / C

d) B / C

e) - (B/B)

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04. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) A razão entre o comprimento e a largura de um retângulo é 3/2. Sabendo que a largura é 10 cm, qual é a área desse retângulo em centímetros quadrados?

(A) 120

(B) 150

(C) 80

(D) 180

(E) 340

05. (Pref. Rio Claro 2006/CETRO) Em uma proporção contínua, a terceira proporcional dos números 1 e 5 é igual a

(A) 15.

(B) 20.

(C) 25.

(D) 30.

(E) 35.

06. (EBDA 2006/CETRO) A razão entre dois segmentos de reta x e y é 2/5, então a razão entre o quíntuplo do segmento x e a metade do segmento y é igual a:

(A) 1/2

(B) 1/4

(C) 4

(D) 2

(E) 4/5

07. (Câmara Municipal de Araçatuba 2008/CETRO) Um carro faz, na cidade, 14 Km por litro de combustível. No tanque do carro cabem, ao todo, 40 litros de combustível, portanto, na cidade, ele consegue andar, com um tanque cheio,

(A) 360 Km.

(B) 420 Km.

(C) 460 Km.

(D) 560 Km.

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(E) 600 Km.

08. (Pref. Taquarivaí 2006/CETRO) Na proporção x/y = 2/5. Sabendo-se que x+y=49, o valor de x e y será de:

(A) x = 20; y = 29

(B) x = 14; y = 35

(C) x = 29; y = 20

(D) x = 35; y = 14

(E) x = 15; y = 34

09. (CRP 4ª 2006/CETRO) Considere dois números x e y que sejam diretamente proporcionais a 8 e 3 e cuja diferença entre eles seja 60. Determine o valor de ( x + y ). (A) 92 (B) 123 (C) 132 (D) 154 (E) 166

10. (Pref. Pinheiral 2006/CETRO) Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes, é de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa é:

(A) 25%

(B) 30%

(C) 33%

(D) 38%

(E) 40%

11. (PRODESP 2003/CETRO) Se a razão entre dois números é 5 e a soma entre eles é 30, pode-se afirmar que a diferença entre eles é

(A) 10

(B) 12

(C) 15

(D) 20

(E) 25

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12. (Pref. Estância Turística de Embu 2006/CETRO) Paulo tem três filhos, Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos e Renato de 25 anos. Paulo pretende dividir R$ 3.000,00 para os três filhos em valores proporcionais as suas idades. É correto afirmar que o valor que Rodrigo deve receber é:

(A) R$ 1.500,00

(B) R$ 1.250,00

(C) R$ 1.000,00

(D) R$ 750,00

(E) R$ 500,00

13. (Pref. de Mairinque 2009/CETRO) Três técnicos receberam, ao todo, por um serviço R$3.540,00. Um deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que a divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o técnico que trabalhou mais dias recebeu

(A) R$590,00.

(B) R$680,00.

(C) R$1.180,00.

(D) R$1.770,00.

(E) R$2.420,00.

14. (TCM SP 2006/CETRO) Uma gratificação de R$ 5.280,00 será dividida entre três funcionários de uma empresa na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada um. André tem 30 anos e possui 2 filhos; Bruno com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. É correto que o mais velho receberá

(A) R$1 200,00.

(B) R$1 280,00.

(C) R$1 600,00.

(D) R$2 200,00.

(E) R$2 400,00.

15. (FCC-- TRF-1a-Região 2001) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é

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(A) 48

(B) 50

(C) 52

(D) 54

(E) 56

16. (Vestibular FGV 2003) Em uma sala de aula, a razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é: A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50

17. (ESAF) Ao dividir a quantia de R$ 10.000,00 em duas partes inversamente proporcionais a 2 e 3, nessa ordem, a primeira e a segunda parte são, respectivamente:

a) R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00

b) R$ 6.000,00 e R$ 4.000,00

c) R$ 5.000,00 e R$ 5.000,00

d) R$ 8.000,00 e R$ 2.000,00

e) R$ 2.000,00 e R$ 8.000,00

18. (AFC/CGU 2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:

a) 40°

b) 70°

c) 75°

d) 80°

e) 90°

19. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três

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filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio?

a) 80

b) 100

c) 120

d) 160

e) 180

20. (TJPA 2006/CESPE-UnB)

O mapa do estado do Pará ilustrado acima está desenhado na escala 1:17.000.000, ou seja, uma distância de 1 cm no mapa corresponde à distância real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao medir, com a régua, a distância no mapa entre Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7 cm. Com base apenas nessas informações, é correto o estudante concluir que a distância real, em linha reta, entre essas duas cidades é

A) inferior a 1.000 km.

B) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km.

C) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km.

D) superior a 1.150 km.

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21. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Alexandre, Jaime e Vítor são empregados de uma empresa e recebem, respectivamente, salários que são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, após efetuar os cálculos, conclui-se corretamente que

A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime.

B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00.

C) o salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00.

D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre.

22. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Antônio era viúvo e tinha três filhos: um com 13 anos, outro com 14 anos e, o mais velho, com 18 anos. Um dia, Antônio chamou seus filhos e disse que tinha feito seu testamento deixando para eles a quantia que tinha acumulado na caderneta de poupança.

“Quando eu morrer”, disse ele, “o montante deverá ser dividido em partes diretamente proporcionais às idades de vocês no dia de minha morte”.

Antônio morreu cinco anos depois desse dia e, na caderneta de poupança, havia exatos R$ 450.000,00. A quantia que o filho mais velho recebeu foi:

a) R$ 142.500,00

b) R$ 154.000,00

c) R$ 165.500,00

d) R$ 168.000,00

e) R$ 172.500,00

23. (AFC-STN 2000/ESAF) Em um processo de fabricação, o custo total é inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quando são produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando forem produzidas 12 unidades, o custo total será igual a:

a) 625/25

b) 625/24

c) 625/16

d) 625/15

e) 625/12

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24. (Vestibular FGV 2002) Uma variável y é inversamente proporcional ao quadrado de outra variável x. Para x = 3, y vale 15. Então, se x = 4, y deverá valer:

a) 1/16

b) 15/16

c) 45/16

d) 135/16

e) 625/16

25. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma torneira aberta completamente enche um recipiente de 40 litros em 33 segundos, em quanto tempo esta mesma torneira, aberta completamente, encherá um reservatório de 1.240 litros?

(A) 13minutos e 15 segundos

(B) 14 minutos e 10 segundos

(C) 10 minutos e 14 segundos

(D) 20 minutos

(E) 17 minutos e 3 segundos

26. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12h. Outra pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

27. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma fábrica de motocicletas demora 10 dias de trabalho, numa jornada de 9 horas por dia, para produzir 250 motocicletas. Quantos dias serão necessários para produzir 300 motocicletas, trabalhando 12 horas por dia?

(A) 12 dias

(B) 10 dias

(C) 15 dias

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(D) 9 dias

(E) 6 dias

28. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Considere que uma equipe formada por 5 empregados cataloga 360 livros em 2 horas. Nesse caso, o número de livros a mais que poderão ser catalogados por uma equipe formada por 7 empregados que trabalhem durante 2 horas, com a mesma eficiência da equipe anterior, é igual a

A) 118.

B) 124.

C) 138.

D) 144.

(TJBA 2003/CESPE-UnB) Considerando que os servidores de uma repartição pública sejam igualmente eficientes, julgue os itens que se seguem.

29. Se 7 deles analisam 42 processos em um dia, então 5 servidores analisarão, em um dia, menos de 35 processos. 30. Se 20 servidores, trabalhando 4 horas por dia, levam 6 dias para concluir determinada tarefa, então serão necessários menos de 6 servidores para completarem, em 12 dias, a mesma tarefa, trabalhando 8 horas por dia.

31. (ANEEL 2006/ESAF) Se

0, então é necessariamente verdade

que: a) b)

2 200 200

c)

2 200 200

d)

2 200 200

e) 0 0

0 200

32. (AFRFB 2009 ESAF) Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a:

a) 13 7 4 4

x +

b) 7 13 4 4

x −

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c) 7 13 4 4

x +

d) 13 13 4 4

x− −

e) 13 7 4 4

x− −

33. (Pref. de São Gonçalo/RJ 2007/CEPERJ) Dois números a e b são tais que 6 e

.

Então, é igual a:

a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24

34. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Sabendo-se que: 2 e 1/2, vale:

a) 5 b) 5/2 c) 2/5 d) 3 e) 1/2

35. (RIOPREVIDÊNCIA 2010/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 2, em seguida some 1, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado foi 220, o valor de está entre: a) 30 e 35 b) 35 e 40 c) 40 e 45 d) 45 e 50 e) 50 e 55

36. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Considere um número real e faça com ele as seguintes operações sucessivas: multiplique por 4, depois some 31, em seguida divida por 3, multiplique por 5 e subtraia 23. Se o resultado foi 222, o valor de é: a) um número múltiplo de 7. b) um número entre 30 e 40. c) um número par. d) um número cuja soma dos dígitos é 10. e) um número primo.

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37. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) No sistema

0,3 1,2 2,40,5 0,8 0,9

O valor de é:

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) 2/3

38. (TCE-RN 2000/ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

39. (Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Se a soma das idades dos três é 100 anos hoje, calcule quantos anos o pai de João é mais velho que sua mãe. a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

40. (AFC/SEPLAG-GDF 2009/FUNIVERSA) A diferença entre as idades de dois irmãos é de três anos. Após três anos do nascimento do segundo, nasceu o terceiro e assim foi acontecendo até se formar uma família com cinco irmãos. Sabendo-se que, hoje, a idade do último irmão que nasceu é a metade da idade do primeiro irmão nascido, é correto afirmar que, hoje, o irmão mais velho está com idade igual a a) 18 anos. b) 20 anos. c) 22 anos. d) 24 anos. e) 26 anos.

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41. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Uma pessoa terá no ano de 2012 o triplo da idade que tinha em 1994. Essa pessoa tem hoje: a) 22 anos. b) 23 anos. c) 24 anos. d) 25 anos. e) 26 anos.

42. (TRF 1ªR 2001/FCC) No almoxarifado de certa empresa há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a 4 números pares sucessivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o: a) 8 b) 12 c) 18 d) 22 e) 24

43. (Prefeitura Municipal de Arujá 2006/CETRO) Três números pares e consecutivos têm por soma 90. A divisão do menor deles por 7 nos dá um quociente igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

44. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?

a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas

45. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas.

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46. (ANEEL 2004/ESAF) Para 5, a simplificação da expressão

10 5025 5

é dada por:

a) 2b) 2c) 5d) 5 e) 25

47. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Carlos e Márcio são irmãos. Carlos dá a Márcio tantos reais quantos Márcio possui e, em seguida, Márcio dá a Carlos tantos reais quantos Carlos possui. Se terminaram com 16 reais cada um, a quantia que Carlos tinha inicialmente era de:

a) 12 reais b) 15 reais c) 18 reais d) 20 reais e) 24 reais

48. (SERPRO 2001/ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a: a) R$ 214,00 b) R$ 252,00 c) R$ 278,00 d) R$ 282,00 e) R$ 296,00

49. (CEAGESP 2006/CONSULPLAN) Rui diz a Pedro: Se você me der 1/5 do dinheiro que possui, eu ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, se eu lhe der R$ 6,00 do meu dinheiro, nós ficaremos com quantias iguais. Quanto de dinheiro possui Rui? a) R$ 42,00 b) R$ 31,00 c) R$ 25,00 d) R$ 28,00 e) R$ 47,00

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50. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) Antônio, Bruno e Carlos compraram um barco por R$ 600,00. Antônio pagou a metade do que os outros dois juntos pagaram. Bruno pagou a terça parte do que os outros dois juntos pagaram. Então Carlos pagou:

a) R$150,00 b) R$200,00 c) R$250,00 d) R$300,00 e) R$350,00

51. (EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Em cada quadradinho da figura abaixo há um número escondido.

Nas figuras a seguir, está escrita, abaixo de cada uma, a soma dos números dos quadradinhos sombreados.

16 21 11

O número que está no primeiro quadradinho é:

a) 3 b) 5 c) 8 d) 11 e) 13

52. (Assistente Administrativo – SERGIPE GAS 2010/FCC) Três equipes, X, Y e Z, trabalham em obras de canalização e distribuição de gás natural. Considere que, em certo período, a soma dos comprimentos dos dutos montados por X e Y foi 8,2 km, por Y e Z foi 8,9 km e por X e Z foi 9,7 km. O comprimento dos dutos montados pela equipe

(A) X foi 4 200 m. (B) X foi 4 500 m. (C) Y foi 3 500 m. (D) Y foi 3 900 m. (E) Z foi 5 000 m.

53. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0

a) (1,-1) b) (-7,-1) c) (7,1) d) (-7,1) e) (-1,0)

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54. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0

a) S={-2,2,-3,3} b) conjunto vazio c) S={-2,-3} d) S={2,3} e) S={-2,-3,-1,1}

55. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a

a) 0 b) 16 c) 9 d) 49 e) 25

56. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de

1 156

é igual a:

a) 6b) 2c) 1d) 6e) 13

57. (TFC 2000/ESAF) Determinar de modo que a equação 4 4 1 0 tenha duas raízes iguais:

a) 0b) c)

8 0 8

d) e)

8 0 0 8

58. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é:

a) 42 b) 45 c) 48 d) 50 e) 52

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59. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi:

a) 16 b) 18 c) 21 d) 25 e) 27

60. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é:

a) - 7 b) - 2 c) 1 d) - 1 e) 7

61. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a:

a) -2 b) -1 c) 5 d) 7 e) 2

62. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é:

a) 2,4 b) 2,1 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2

63. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) A equação 0 possui raízes 3 e 5. Então, é igual a:

a) 7 b) 10 c) 15 d) 19 e) 23

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Gabaritos01. A02. E03. A04. B05. C06. C07. D08. B09. C10. E11. D12. D13. D14. E15. C16. D17. B18. D19. A20. C21. A22. E23. C24. D25. E26. E27. D28. D29. Certo30. Certo31. C32. C33. D34. A35. B36. E37. A38. D39. B40. D41. C42. C43. C44. E

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45. B46. A47. D48. B49. A50. C51. E52. B53. C54. B55. A56. C57. B58. B59. E60. C61. D62. D63. A