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Ideais

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

[email protected]

‡

1

Sumario

2

Capıtulo 1

Ideais

Iremos considerar aqui A um anel comutativo com unidade.

m Definicao 1 (Ideal). Um subconjunto I de A e um ideal de A sse

1. 0A ∈ I

2. Se a, b ∈ I entao a+ b ∈ I, isto e a adicao e fechada em I.

3. Se a ∈ A e b ∈ I entao a.b ∈ I. Chamaremos essa propriedade de absorcao.

Onde 0A e o elemento neutro da adicao do anel A.

b Propriedade 1. {0} e um ideal de A.

ê Demonstracao. Seja B = {0}, entao 0 ∈ B, Se a, b ∈ B, entao a = b = 0 e

0+0 = 0 ∈ B. Sendo a ∈ A e b ∈ B temos a.b ∈ B pois forcosamente b = 0 e a.0 = 0 ∈ B.

Logo satisfaz as tres propriedades, entao e um ideal de A.

$ Corolario 1. A e um ideal de A. Pois 0 ∈ A, a adicao no anel e fechada e para

todos elementos a, b ∈ A tem-se a.b ∈ A, o produto e fechado, logo vale a propriedade de

absorcao.

m Definicao 2 (Ideal gerado por a). Fixe a ∈ A. O conjunto

I(a) = {a.x | x ∈ A}

e chamado de ideal gerado por a.

3

CAPITULO 1. IDEAIS 4

b Propriedade 2. O ideal gerado por um elemento a ∈ A e um ideal de A.

ê Demonstracao. 0 ∈ I(a) pois 0 ∈ A e a.0 = 0 ∈ I(a). Sejam c e d elementos de

I(a) entao existem x1 e x2 em A, tais que c = ax1 e d = ax2, sua soma e

c+ d = ax1 + ax2 = a(x1 + x2︸︷︷︸=x3∈A

) = ax3 ∈ I(a).

Logo se c e d sao elementos de I(a) entao c+ d ∈ I(a). Por fim temos que mostrar que se

c ∈ A e b ∈ I(a) entao c.b ∈ I(a), temos b = ax1 para algum x1 ∈ A, multiplicando por c

segue cb = cax1 = acx1 pois o produto e comutativo, mas como c e x1 sao elementos de

A, segue que cx1 = x2 ∈ A logo cb = ax2 ∈ I(a) assim cb pertence ao ideal I(a).

m Definicao 3 (Ideal gerado por (ak)s1). Sejam os elementos (ak)

s1 ∈ A fixos e s natural.

O conjunto

I(ak)s1 = {

s∑k=1

ak.xk | (xk)s1 ∈ A}

e um ideal de A chamado de ideal gerado por (ak)s1.

ê Demonstracao. Se s = 0 a soma0∑

k=1

ak.xk = 0 e vazia, logo o conjunto contem

apenas o elemento 0 e vimos que {0} e um ideal de A. Seja entao s > 0 natural. Podemos

tomar cada xk = 0 e teremoss∑

k=1

ak.0 = 0

logo o zero pertence ao ideal. Suponha que a e b sejam elementos de I, vamos mostrar

que (a+ b) ∈ I. Se a ∈ I existem elementos (xk)s1 tal que

a =s∑

k=1

ak.xk

se b ∈ I existem elementos (yk)s1 tal que

b =s∑

k=1

ak.yk

, somando ambos, segue

a+ b =s∑

k=1

ak.xk +s∑

k=1

ak.yk =s∑

k=1

(ak.xk + ak.yk) =s∑

k=1

ak (xk + yk)︸︷︷︸=zk

=s∑

k=1

ak.zk


pois cada yk ∈ A e xk ∈ A implica (xk + yk) ∈ A pois a adicao e fechada em A, entao

tomamos xk + yk = zk. Seja c ∈ A e a ∈ I, vamos mostrar que c.a ∈ I, temos que a e da

forma

a =s∑

k=1

ak.yk

com os elementos yk ∈ A, multiplicando por c, segue

ca = cs∑

k=1

ak.yk =s∑

k=1

cak.yk =s∑

k=1

ak. cyk︸︷︷︸=zk∈A

=s∑

k=1

ak.zk

como o produto e fechado em A e temos c ∈ A e yk ∈ A logo c.yk ∈ A, assim ca ∈ I e

mostramos que I e um ideal.

m Definicao 4 (Ideal principal). Seja I ideal de um anel comutativo com unidade.

Dizemos que I e principal sse existe a ∈ A tal que I = I(a).

$ Corolario 2. O ideal I gerado por um elemento a e um ideal principal, pois pela

definicao existe a tal que I = I(a).

b Propriedade 3. Seja I um ideal. Se a ∈ I entao −a ∈ I.

ê Demonstracao. Se a ∈ I por propriedade de absorcao temos que ca ∈ I para

todo c ∈ A, tomamos entao c = −1, onde 1 e a unidade do anel. logo −a ∈ I.

$ Corolario 3. Se (a, b) ∈ I entao a− b ∈ I pois b ∈ I implica −b ∈ I pela propriedade

anterior e pela propriedade de de fechamento pela adicao segue que (a− b) ∈ I

$ Corolario 4. I = 0 e um ideal principal. Pois I = I(0), no caso

I(0) = {0.x = 0 | x ∈ A} = {0}.

b Propriedade 4. Sejam I um ideal de A e (ck)|nk=1 elementos de I entao

n∑k=1

ck ∈ I.

ê Demonstracao. Por inducao sobre n, se n = 0 a soma e vazia e 0 ∈ I, se n = 1

temos c1 ∈ I. Suponha a validade para n

n∑k=1

ck = d ∈ I


entao vamos provar quen+1∑k=1

ck ∈ I

temos quen+1∑k=1

ck =n∑

k=1

ck + cn+1 = d+ cn+1

como ambos elementos sao de I pela propriedade de fechamento pela adicao segue quen+1∑k=1

ck ∈ I, logo por inducaon∑

k=1

ck ∈ I para todo n natural.

b Propriedade 5. Seja I um ideal de A e d um elemento desse ideal entao I(d) ⊂ I.

ê Demonstracao. I(d) = {dx | x ∈ A}, pela propriedade absorcao do ideal I,

como d ∈ I temos que dx ∈ I, logo todo elemento de I(d) que e da forma dx tambem e

elemento de I, logo I(d) ⊂ I.

Generalizamos o resultado anterior

b Propriedade 6. Seja I um ideal de A e os elementos (dk)|nk=1 pertencentes ao ideal,

entao

I(dk)|nk=1 ⊂ I.

ê Demonstracao.

I(dk)|nk=1 = {n∑

k=1

dkxk | xk ∈ A ∀k ∈ In}

como cada dk ∈ I e xk ∈ A, por absorcao vale dkxk = ck ∈ I e por adicaon∑

k=1

ck ∈ I.

Logo vale a propriedade. Obsersamos que se a soma e vazia tambem vale a propriedade.

⋆ Teorema 1 (Todo ideal I de Z e principal. ).

ê Demonstracao. Se I = {0} entao I e principal. Suponha entao que I = {0},entao existe a = 0 ∈ I e −a ∈ I , com a ou −a positivo, entao o conjunto

S = {x ∈ I | x > 0}

e nao vazio.


Pelo principio da boa ordenacao S tem mınimo, tomaremos d = minS. Temos que

I(d) ⊂ I pela propriedade que ja provamos, agora vamos provar que I ⊂ I(d). Seja entao

a ∈ I, pela divisao euclidiana por d tem-se que a = qd + r com 0 ≤ r ≤ d − 1, como

a ∈ I e qd ∈ I segue que a − qd = r ∈ I , r nao pode ser nenhum valor positivo menor

que d pois d e o menor positivo de I entao segue que r = 0 implicando que a = qd, isto

e a ∈ I(a) logo todo elemento de I tambem e elemento de I(d), mostrando a inclusao

I ⊂ I(d). Como I ⊂ I(d) e I(d) ⊂ I segue que I = I(d).

1.0.1 Domınio principal

m Definicao 5 (Domınio principal). Seja A um domınio, A e um domınio principal sse

todo ideal de A e um ideal principal.

$ Corolario 5. Z e um Domınio principal.

b Propriedade 7. Sejam a ∈ A e I(a) um ideal de A, entao a ∈ I(a).

ê Demonstracao. Temos que 1.a = a ∈ I por propriedade de absorcao.

b Propriedade 8. Sejam a e b nao nulos de A entao

I(a) = I(b)

sse a|b e b|a.

ê Demonstracao. Com a e b nao nulos e I(a) = I(b) temos que a ∈ I(a) logo

a ∈ I(b), como I(b) e conjunto com elementos do tipo b.x com x ∈ A, entao existira

s ∈ A tal que bs = a logo b|a, da mesma maneira como b ∈ I(b) segue b ∈ I(a) como os

elementos de I(a) sao da forma a.x com x ∈ A segue que existe t ∈ A tal que at = b daı

a|b.Agora supondo que a|b e b|a. Como a|b temos que b = as para algum s = 0 em A

e como b|a tem-se que a = bt para algum t = 0 ∈ A. Tomemos entao I(a) e I(b), os

elementos de I(a) sao da forma ax com x ∈ A e os elementos de I(b) sao da forma by com

y ∈ A. Como a = bt segue que os elementos de I(a) sao ax = btx = by logo pertencem

a I(b) e como b = as segue que os elementos de I(b) sao da forma by = a(sy) = ax logo

pertencem a I(a). Tem-se entao que I(a) ⊂ I(b) e I(b) ⊂ I(a) logo I(a) = I(B).


$ Corolario 6. Com a e b nao nulos, temos que I(a) = I(b) sse a e b sao associados.

$ Corolario 7. Em Z temos que I(a) = I(b) sse a = ±b.

b Propriedade 9. Sejam (ak)|sk=1 ∈ A e o ideal I(ak)|sk=1 entao cada ak ∈ I(ak)|sk=1.

ê Demonstracao. Um elemento x do ideal I(ak)|sk=1 e da forma

x =s∑

k=1

xkak

para xk ∈ A. Seja t um indice arbitrario em Is entao abrimos o somatorio

z =t−1∑k=1

xkak + xtat +s∑

k=t+1

xkak

tomamos todos valores 0 apra xk no primeiro somatorio e o mesmo para o ultimo so-

matorio, tomamos tambem xt = 1 logo z = xt ∈ I(ak)|sk=1 provando que esse elemento

arbitrario pertence ao ideal.

b Propriedade 10. Sejam A um domınio principal e (ak)|sk=1 ∈ A com pelo menos

um elemento nao nulo. Existe d ∈ A um maximo divisor comum de (ak)|sk=1 e vale

d ∈ I(ak)|sk=1, isto e , existem xk ∈ A tal que

d =s∑

k=1

xkak.

ê Demonstracao. Como o domınio e principal tomando o ideal I(ak)|sk=1 segue que

existe d ∈ A tal que I(ak)|sk=1 = I(d). Alem disso d = 0, pois temos um gerador do ideal

nao nulo e ele esta no ideal, assim d tem que ser diferente de zero, pois caso contrario o

ideal seria o ideal {0} e nao o e.

Como cada ak ∈ I(ak)|sk=1 = I(d) seque que existe yk ∈ A tal que ak = ykd, logo d|akcom k ∈ In. Seja agora c ∈ A tal que c|ak para todo k ∈ In entao existem (uk)|sk=1 tal

que ak = uk.c, como d pertence ao ideal I(ak)|sk=1, existem (xk)|sk=1 ∈ A tal que

d =s∑

k=1

xkak =s∑

k=1

xkuk.c = c (s∑

k=1

xkuk)︸︷︷︸=p∈A.

logo c|d implicando que c|d, assim d e um mdc de (ak)|sk=1.


$ Corolario 8 (Existencia de MDC). Dados (ak)|sk=1 ∈ Z com pelo menos um nao nulo,

existe o MDC(ak)|sk=1.

b Propriedade 11. Sejam I e J ideais de A. Entao I ∩ J e um ideal de A.

ê Demonstracao. 0 ∈ I ∩ J pois 0 ∈ I e 0 ∈ J logo pertence a interseccao. Sejam

a e b ∈ I ∩ J entao a e b ∈ I e a e b ∈ J , daı a + b ∈ I e a + b ∈ J de onde segue que

a+ b ∈ I ∩ J.

Seja agora a ∈ I ∩ J e c ∈ A, entao vamos mostrar que c.a ∈ I ∩ J , primeiro, se

a ∈ I ∩ J entao a ∈ I e a ∈ J daı ca ∈ I e ca ∈ J por absorcao que implica ca ∈ I ∩ J.

b Propriedade 12. Sejam (Ik)|nk=1 ideais de A entao

B =n∩

k=1

Ik

e um ideal de A.

ê Demonstracao. 0 ∈ B pois (0 ∈ Ik)|nk=1 . Seja a ∈ B entao (a ∈ Ik)|nk=1 e

seja b ∈ B entao (b ∈ Ik)|nk=1, logo (a + b ∈ Ik)|nk=1 por propriedade de fechamento, logo

a+ b ∈ B.

Seja a ∈ B entao (a ∈ Ik)|nk=1 , temos tambem que (ca ∈ Ik)|nk=1 por absorcao logo

c ∈ B.

b Propriedade 13. Sendo I e J ideais de A e definido

I + J = {x+ y | x ∈ I, y ∈ J}

entao I + J e um ideal.

ê Demonstracao. 0 ∈ I e 0 ∈ J daı fazendo x = y = 0 segue 0 ∈ I + J. Seja

a ∈ I + J = e b ∈ I + J , temos que mostrar que a + b ∈ I + J . Se a ∈ I + J = entao

a = x1 + y1 com x1 ∈ I e x2 ∈ J e com b ∈ I + J temos b = x2 + y2 com x2 ∈ I e y2 ∈ J ,

somando tem-se

a+ b = (x1 + y1) + (x2 + y2) = (x1 + x2)︸︷︷︸=x3∈I

+(y1 + y2)︸︷︷︸=y3∈J

= x3 + y3 ∈ I + J.

Seja a ∈ I + J e c ∈ A vamos mostrar que ca ∈ I + J , a = x1 + y1 para x1 ∈ I e

y1 ∈ J , logo

ca = cx1 + cy1

onde por absorcao cx1 ∈ I e cy1 ∈ J logo ca ∈ I + J.


b Propriedade 14. Sejam Ik ideias de A para k ∈ [1, n]N e o conjunto

n∑k=1

Ik = {n∑

k=1

xk | xk ∈ Ik}

entaon∑

k=1

Ik e um ideal de A.

ê Demonstracao. 0 ∈n∑

k=1

Ik pois 0 ∈ Ik para cada k daı podemos tomar xk = 0

e temosn∑

k=1

0 = 0. Seja a ∈n∑

k=1

Ik e b ∈n∑

k=1

Ik, vamos mostrar que a + b ∈n∑

k=1

Ik. Se

a ∈n∑

k=1

Ik existe uma sequencia (xk ∈ Ik)|nk=1 tal que

a =n∑

k=1

xk

e b ∈n∑

k=1

Ik implica que existem (yk ∈ Ik)|nk=1 tal que

b =n∑

k=1

yk

, somando ambas segue

a+ b =n∑

k=1

(yk + xk)︸︷︷︸=zk∈Ik

=n∑

k=1

zk︸︷︷︸∈Ik

∈n∑

k=1

Ik

logo vale a propriedade.

Seja agora a ∈n∑

k=1

Ik e c ∈ A, vamos mostrar que ca ∈n∑

k=1

Ik. Como a ∈n∑

k=1

Ik existe

(xk ∈ Ik)|nk=1, tal que

a =n∑

k=1

xk

multiplicando por c

ca =n∑

k=1

cxk︸︷︷︸=yk∈Ik

=n∑

k=1

yk ∈n∑

k=1

Ik

logon∑

k=1

Ik e ideal de A.


m Definicao 6 (Ideal primo). Seja A um anel comutativo com unidade. Um ideal P

de A, P = A, e um ideal primo sse, se a, b ∈ A e a.b ∈ P , entao a ∈ P ou b ∈ P .

m Definicao 7 (Ideal maximal). Um ideal M de A, M = A, e um ideal maximal, sse

para qualquer ideal I de A, tal que M ⊂ I ⊂ A e M = I tem-se I = A.

⋆ Teorema 2. Seja k um corpo. K[x] e um domınio principal.

ê Demonstracao. Se I = {0}, temos que I e principal. Vamos considerar entao

que I = {0}. Vamos tomar o conjunto S = {δf(x), f(x) = 0 | f(x) ∈ I}, pelo principio

da boa ordenacao S tem menor elemento que vamos chamar de n, seja p(x) ∈ S com

δp(x) = n, note que p(x) ∈ I e p(x) = 0. Proposicao I{p(x)} = I, para demonstrar isso,

vamos demonstrar duas inclusoes, I{(p(x)} ⊂ I e I ⊂ I{(p(x)}.I{(p(x)} ⊂ I , I{(p(x)} e o ideal gerado por P (x), logo I(p(x)) = p(x).g(x) com

g(x) ∈ K[x], como p(x) ∈ k[x] pela propriedade de absorcao do ideal, temos p(x).g(x) ∈ I,

pois p(x) ∈ I.

Vamos mostrar agora que I ⊂ I{(p(x)}. Tome f(x) ∈ I e a divisao euclidiana de f(x)

por p(x), existindo assim g(x) e r(x) com δp(x) > r(x) tal que f(x) = p(x).g(x) + r(x),

assim r(x) = f(x) − p(x).g(x) ∈ I, pois p(x).g(x) ∈ I por propriedade do ideal e como

f(x) ∈ I a soma f(x) − p(x).g(x) ∈ I, assim r(x) ∈ I e r(x) = 0, pois se fosse diferente

de zero comprometeria a minimalidade do grau de p(x) que foi tomada a principio, com

isso temos f(x)−p(x).g(x) = 0 , f(x) = p(x).g(x), logo todo f(x) ∈ I e gerado pelo ideal

I[p(x)], assim I ⊂ I{(p(x)} e I = I[p(x)].

m Definicao 8 (Elemento primo). Seja A um domınio. Um elemento p ∈ A nao-

invertıvel e dito primo sse a, b ∈ A e p|a.b entao p|a ou p|b.

b Propriedade 15. p e primo, sse o ideal I(p) e primo.

b Propriedade 16. No domınio principal dos inteiros o ideal {0} e primo e nao e

maximal.

$ Corolario 9. No domınio principal R[x] os ideais maximais sao I(x− a) onde a ∈ R

ou I(x2 + bx+ c), tais que b, c ∈ R e b2 − 4ac < 0.

$ Corolario 10. No domınio principal C[x] os ideais maximais sao I(x−a) onde a ∈ C.


$ Corolario 11. Em K[x], onde K e corpo, os ideais I(x− a), com a ∈ K sao sempre

maximais.

b Propriedade 17. Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Se M e um ideal

maximal, entao M e um ideal primo.

ê Demonstracao. SejaM um ideal maximal de A. Sejam a, b ∈ A, tais que a.b ∈ M

e a /∈ M. Vamos mostrar que b ∈ M . Consideremos o ideal I = M + I(a). Temos que

M ⊂ M + I(a) propriamente, como M e maximal entao A = M + I(a). Assim existem

m ∈ M e x ∈ A, tais que

1 = m+ x.a

, multiplicando por b tem-se

b = bm+ xa.b ∈ M

pois ambas parcelas na segunda igualdade sao elementos de M .

1.1 Domınios principais e fatoracao unica

Vamos considerar sempre A como um anel comutativo com unidade.

m Definicao 9 (Elemento irredutıvel). a e irredutıvel ⇔ b|a entao b ∈ A∗ ou b = ua

onde u ∈ A∗. Isto e, a e irredutıvel ⇔ os unicos elementos que dividem a sao os elementos

invertıveis ou associados.

$ Corolario 12. Em um corpo todos elementos nao nulos sao irredutıveis, pois dado a

nao nulo entao, todo elemento b = 0 divide a, porem b e invertıvel.

m Definicao 10 (Elemento redutıvel). a e redutıvel ⇔ existem b e c nao invertıveis

tais que a = b.c.

m Definicao 11 (Cadeia crescente). Uma cadeia crescente de conjunto e uma sequencia

de conjunto (An), tal que Ak ⊂ Ak+1.

m Definicao 12 (Sequencia estacionaria). Uma sequencia de conjunto (Ak) e dita

estacionaria, se existe m ∈ N , tal que n > m, vale An = Am.


b Propriedade 18. Dada uma cadeia crescente de ideais (In) entao I =∞∪k=1

Ik e um

ideal.

ê Demonstracao.

� 0 pertence a cada ideal, entao pertence a uniao.

� Sejam a, b ∈ I, entao existem n,m ∈ N tal que a ∈ In e b ∈ Im, tomando s > n+m

tem-se In e Im como subconjuntos de Is e daı a+ b ∈ Is implicando que a+ b ∈ I.

� Sendo a ∈ I e c ∈ A entao existe n tal que a ∈ In e daı ca ∈ In o que implica

c.a ∈ I.

m Definicao 13 (Anel noetheriano). Um anel A e dito notheriano, se toda cadeia

crescente de ideais em A e estacionaria.

b Propriedade 19. Em um domınio principal, toda cadeia crescente de ideais e esta-

cionaria.

ê Demonstracao. Seja I =∞∪k=1

Ik a cadeia crescente de ideais (que e um ideal pelo

que ja demonstramos). Como A e um domınio principal tem-se que I = I(d) para algum

d ∈ I, logo existe n ∈ N tal que d ∈ In, tem-se tambem que In = I(d), daı segue que

I(d) = In ⊂ Im∀m > n como nessas mesmas condicoes tem-se Im ⊂ I(d) entao Im = I(d)

para todo m > n.

b Propriedade 20. Todo elemento nao nulo e nao invertıvel de um domınio principal

possui um divisor irredutıvel.

ê Demonstracao. Seja a = 0 ∈ A nao invertıvel, se a e irredutıvel, ok! pois a|a.Se nao a e redutıvel logo tem um divisor a1 tal que a1 e nao invertıvel e nao associado de

a, assim a = a1.b1, onde b1 nao e invertıvel, logo

I(a) ( I(a1) ⊂ A

se a1 e irredutıvel terminamos, pois a1|a, se nao entao a1 tem divisor a2 em A daı

I(a) ( I(a1) ( I(a2) ⊂ A


podemos continuar o processo ate que para algum n, temos an irredutıvel e portanto an

e divisor irredutıvel de a, pois se nao obterıamos uma cadeia infinita crescente de ideais

nao estacionarios o que contradiz a propriedade ja demonstrada .

m Definicao 14 (Domınio de fatoracao unica). Um domınio A e dito domınio de

fatoracao unica ⇔ todo elemento nao nulo e e nao invertıvel se fatora como produto finito

de elementos irredutıveis.

m Definicao 15 (Elemento primo). Seja A um anel comutativo com unidade , a ∈ A

nao nulo e nao invertıvel e dito primo ⇔ se a|(b.c) entao a|b ou a|c.

$ Corolario 13. Corpos nao possuem elementos primos , pois todo elemento e invertıvel

ou nulo.

b Propriedade 21. Seja A um domınio. Se p ∈ A e primo entao p e irredutıvel.

ê Demonstracao. Suponha que a|p, entao p = a.c, como p|a.c por p ser primo

entao p|a ou p|c, supondo ser perda de generalidade que p|a entao a = p.t e daı p = p.t.c

por lei do corte segue t.c = 1 entao c e invertıvel, o que prova que p e irredutıvel.

b Propriedade 22. Sejam A um domınio principal, p ∈ A um elemento irredutıvel,

entao p e primo.

ê Demonstracao. Suponha que p|b.c e p |b vamos mostrar que p|c.Considere o ideal I(b, p) = I p e b pertencem ao ideal, entao ele e nao vazio e possui

elemento nao nulo . Como A e principal, existe d = 0 tal que I = I(d). Tem-se que d|be d|p, como p e irredutıvel os divisores dele sao invertıveis ou associados. Supondo que d

seja associado, entao existe u invertıvel tal que p = d.u, daı b ∈ I = I(d) = I(u.p) logo

existe t tal que b = tup, implicando que p|b o que contraria nossa hipotese, entao d tem

que ser invertıvel em A, daı I(d) = I(b, p) e 1 ∈ I(b, p) logo existem x e y em A tais que

1 = xb+ yp

multiplicando por c tem-se c = xcb + cyp, como p|p e p|cb entao p|c como querıamos

demonstrar .


$ Corolario 14. Entao em qualquer domınio elementos primos sao irredutıveis e em

domınios principais um elemento e primo ⇔ e irredutıvel, isto e, em domınios principais

ser primo e ser irredutıvel e equivalente.

b Propriedade 23. Nos domınios principais, todo ideal gerado por um elemento irre-

dutıvel e um ideal maximal.

ê Demonstracao. Seja M = pA onde p e irredutıvel, consideramos I ideal de A tal

que M = pA I , vamos mostrar que I = A. Como M = pA I, existe a ∈ I tal que

a M = pA, logo a nao e multiplo de p, como p e primo temos mdc(p, a) = 1, daı existem

x, y ∈ A tais que

1 = xp+ ya, xp ∈ M ⊂ I, ya ∈ I

daı 1 ∈ I e portanto I = A.

Seja A um anel comutativo com unidade

b Propriedade 24. P e um ideal primo de A ⇔ A/P e um domınio.

ê Demonstracao.

⇒). Seja P ideal primo de A, tem-se P = A, entao A/P e anel comutativo com

unidade. Sejam a, b ∈ A tais que a.b = 0 entao

a.b = a.b = 0

⇔ a.b ≡ 0 mod P ⇔ a.b ∈ P. Como P e um ideal primo vale a ∈ P ou b ∈ P de onde

segue a = 0 ou b = 0 logo A/P e domınio.

⇐). Seja A/P domınio. entao A/P e anel comutativo com unidade, logo P ⊂ A

propriamente. Sejam a, b ∈ A tais que a.b ∈ P entao 0 = ab = ab como A/P e domınio

tem-se a = 0 ou b = 0 implicando a ∈ P ou b ∈ P logo P e ideal primo.

b Propriedade 25. M e um ideal maximal de A ⇔ A/M e um corpo.

ê Demonstracao. ⇒). Seja M um ideal maximal de A assim M e ideal primo e

A/M e um domınio. Precisamos mostrar apenas que todo a = 0 em A/M tem inverso.

Como a = 0 segue a /∈ M e M ⊂ M + I(a) propriamente, logo A = M + I(a), assim

existe m ∈ M e x ∈ A tais que 1 = m+ xa, em classe modulo M segue

1 = m+ xa = xa


implicando que a e invertıvel em A/M com inverso x.

⇐). Seja A/M corpo, entao A/M e domınio e M e ideal primo, logo M = A. Seja I

ideal de A tal que M ⊂ I ⊂ A ,m propriamente, tome x ∈ I tal que x /∈ M entao x = 0

e existe y ∈ A/M tal que

1 = xy

logo existe m ∈ M tal que 1 − xy = m, 1 = m + xy ∈ I implicando I = A, assim M e

ideal maximal.

b Propriedade 26. Sejam p, (pk)n1 elementos primos do domınio A. Se p|(

n∏k=1

pk) entao

p e associado de pt para algum t.

ê Demonstracao. Por inducao sobre n. Para n = 1, p|p1 entao existe t tal que

p1 = t.p, como p1 e irredutıvel e p e nao invertıvel entao t e invertıvel. Supondo a validade

para n, vamos provar para n+1. Se p|(n+1∏k=1

pk) entao p|(n∏

k=1

pk) ou p|pn+1, no primeiro caso

algum pt com t ∈ In e associado de p, no segundo pn+1 e associado de p .

1.1.1 Fatoracao unica em domınios principais

⋆ Teorema 3 (Fatoracao unica em domınios principais). Todo domınio principal e um

domınio de fatoracao unica.

ê Demonstracao. Sejam A um domınio principal e a ∈ A um elemento nao nulo

e nao invertıvel. Pelo que ja demonstramos a possui pelo menos um divisor irredutıvel

p1 ∈ A, logo existe a1 ∈ A tal que

a = a1p1

vale que a1 = 0, se a1 e nao invertıvel tem-se novamente que

a1 = a2p2

e daı

a = a2p2p1.

Vamos mostrar que tal processo tem que parar apos um numero finito de passos, isto e,

existe n tal que an e invertıvel. Se (an) fossem nao invertıveis como an+1|an entao an e

an+1 nao seriam associados, terıamos entao uma cadeia crescente de ideais I(ak) I(ak+1)


nao estacionaria o que contradiz o que ja provamos. Portanto para algum n, an = u e

irredutıvel e

a = un∏

k=1

pk

com cada fator irredutıvel, logo primos.

Vamos demonstrar a unicidade da fatoracao por inducao sobre n. Para n = 1,

p1 =m∏k=1

qk com p1, (qk)m1 irredutıveis logo primos. Como p1|

m∏k=1

qk, entao (sem perda

de generalidade), p1 e associado de q1, logo p1 = wq1 com w invertıvel, entao wq1 =m∏k=1

qk

e por cancelamento terıamos w =m∏k=2

qk que e impossıvel para m ≥ 2, portanto m = 1 e

p1 = wq1. Supondo n ≥ 2 e a unicidade da fatoracao valida para n , vamos mostrar para

n+ 1. Suponhan+1∏k=1

pk =m∏k=1

qk

com (pk)n1 e (qk)

m1 irredutıveis, daı segue que pn+1|

m∏k=1

qk e (sem perda de generalidade)

pn+1|qm, isto e, pn+1 = wqm, como w e invertıvel, entao

(n∏

k=1

pk)wqm =m∏k=1

qk ⇔

(n∏

k=1

pk)w =m−1∏k=1

qk

por hipotese de inducao n = m − 1 e daı n + 1 = m. Repetindo procedimento podemos

concluir que cada pk e associado de qk .

$ Corolario 15. Todo numero inteiro e produto de uma quantidade finita de irredutıveis,

agrupamos os irredutıveis, que sao primos sobre o mesmo produtorio e chegamos que

z = un∏

k=1

pαkk

onde u = 1 ou −1.


1.2 Propriedades do domınio principal Z.

b Propriedade 27. Dados a = ur∏

k=1

pαkk e b = w

m∏k=1

pβk

k onde u e w sao invertıveis

podemos tomar n = max{r,m} e escrever a = u

n∏k=1

pαkk e b = w

n∏k=1

pβk

k , possivelmente

completando os produtorios com expoentes zero. Vale entao que

mdc(a, b) =n∏

k=1

pckk

onde ck = min{αk, βk} e

mmc(a, b) =n∏

k=1

pvkk

onde vk = max{αk, βk}.

ê Demonstracao.

m Definicao 16 (Primos entre si). Sejam A um domınio principal e a, b ∈ A com pelo

menos um deles nao nulo. Dizemos que a e b sao primos entre se sse mdc(a, b) = u onde

u e invertıvel. Em z tomamos u = 1.

m Definicao 17. Numeros inteiros n > 1 que nao sao primos sao chamados de com-

postos.

b Propriedade 28. Se n e composto entao existe p primo tal que p|n e n ≥ p2.

ê Demonstracao. Podemos escrever n = q.m onde q ≤ m e q e primo , daı

q2 ≤ qm = n.

1.2.1 Equacao diofantina ax+ by = n.

b Propriedade 29. Seja d = mdc(a, b). A equacao ax + by = n admite solucao em Z

sse d|n.

ê Demonstracao. ⇒. Sejam x0 e y0 ∈ Z tais que ax0 + by0 = n, como d|a e d|bentao d|(ax0 + by0) = n , d|n. ⇐ . Existem x0 e y0 tais que ax0 + by0 = d, com d|n entao

existe t tal que n = td, multiplicando por t tem-se atx0 + bty0 = td = n logo a equacao

tem solucao.


$ Corolario 16. Se mdc(a, b) |n entao ax+ by = n nao possui solucao.

b Propriedade 30. Sejam x0, y0 uma solucao da equacao ax+ by = n e d = mdc(a, b),

entao x, y e uma solucao da equacao ax + by = n sse x = x0 +bt

de y = y0 −

at

dpara

algum t ∈ Z.

ê Demonstracao.

Documents

ideais (1).pdf