ii - Programa de Engenharia Civil - COPPE/UFRJ · ii simulaÇÃo de fluxo em reservatÓrios sob efeito da compactaÇÃo. leonardo cabral pereira dissertaÇÃo submetida ao corpo docente

ii

SIMULAÇÃO DE FLUXO EM RESERVATÓRIOS SOB EFEITO DA

COMPACTAÇÃO.

Leonardo Cabral Pereira

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO

DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA

CIVIL.

Aprovada por:

________________________________________________

Prof. Breno Pinheiro Jacob, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Leonardo José do Nascimento Guimarães, D.Sc.

________________________________________________

Prof. Webe João Mansur, Ph.D.

________________________________________________

Dr. Antônio Luiz Serra de Souza, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

SETEMBRO DE 2007

iii

PEREIRA, LEONARDO CABRAL

Simulação de Fluxo em Reservatórios sob

Efeito da Compactação [Rio de Janeiro]

2007.

XI, 136 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,

Engenharia Civil, 2007)

Dissertação - Universidade Federal do Rio

de Janeiro, COPPE

1. Geomecânica de Reservatórios

I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )

iv

Para Tia Nilma.

Minha professora preferida.

v

AGRADECIMENTOS

A minha Mariana, que faz a vida ser muito mais feliz.

A meu pai Zé Itamar, minha mãe Nilda e meu irmão Leandro, além de toda minha

maravilhosa família, que pelo seu laço de união sempre me motivaram em meus estudos e

conquistas.

A meu orientador Breno, pela paciência e confiança em mim depositada.

A meu também orientador Leonardo, por todo o conhecimento transmitido.

Aos meus colegas do grupo de simulação do Cenpes, pelas incansáveis respostas às

minhas intermináveis perguntas.

A meu amigo Ikaro, pelo companheirismo e amizade.

A Petrobras pelo investimento no meu crescimento profissional.

vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

SIMULAÇÃO DE FLUXO EM RESERVATÓRIO SOB EFEITO DA

COMPACTAÇÃO.


Setembro/2007

Orientadores: Breno Pinheiro Jacob

Leonardo José do Nascimento Guimarães.

Programa: Engenharia Civil

Este trabalho apresenta resultados da influência da consideração da geomecânica

na simulação de reservatórios. Foram realizadas simulações com o software comercial

STARS® onde foi possível a identificação da relevância dos principais parâmetros

geomecânicos na simulação de fluxo por uma análise de sensibilidade. Além disso, foram

realizadas simulações em um modelo de campo com geometria e características físicas reais

comparando-se os resultados de produção de óleo, produção de água, variação da

permeabilidade e da porosidade entre a simulação dita convencional e a simulação acoplada.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

RESERVOIR SIMULATION WITH

COMPACTION DRIVE EFFECTS


September/2007

Advisors: Breno Pinheiro Jacob

Leonardo José do Nascimento Guimarães.

Department: Civil Engineering

This work presents results illustrating the influence of geomechanics in

reservoir simulation. Simulations with commercial software STARS® were carried out,

which identified the main geomechanical parameters relevant in flow simulation through a

sensitivity analysis, based on a sugar cube (synthetic) model. Moreover, numerical

simulations in a field model with real geometry and characteristics were done. Based on these

results, it was possible to compare values of field permeability and porosity, oil and water

production, considering conventional and coupled simulation.

viii

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO. 1

1.1 CONTEXTO. 1

1.2 MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS. 1

1.3 DESAFIOS DA SIMULAÇÃO ACOPLADA. 3

1.4 HISTÓRICO. 5

1.5 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO. 7

2 COMPACTAÇÃO DE RESERVATÓRIOS. 8

2.1 INTRODUÇÃO 8

2.2 MÉTODOS EMPÍRICOS PARA AVALIAÇÃO DA COMPACTAÇÃO. 10

2.3 CENÁRIOS DE COMPACTAÇÃO NA INDÚSTRIA DO PETRÓLEO. 12

2.3.1 CAMPO DE VALHAL. 13

2.3.2 CAMPO DE SOUTH BELRIDGE. 14

2.3.3 CAMPO DE EKOFISK. 15

2.3.4 COMENTÁRIOS SOBRE OS DIFERENTES CASOS CITADOS. 17

3 FLUXO COM ACOPLAMENTO GEOMECÂNICO: FORMULAÇÃO MATEMÁTICA. 18

3.1 INTRODUÇÃO. 18

3.2 PRINCÍPIOS BÁSICOS - TIPOS DE SIMULADORES NUMÉRICOS DE FLUXO. 19

3.2.1 CLASSIFICAÇÃO PELO TRATAMENTO MATEMÁTICO. 19

3.2.2 CLASSIFICAÇÃO PELO NÚMERO DE FASES. 20

3.3 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE (CONSERVAÇÃO DE MASSA). 21

3.3.1 EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA PARA FLUIDOS. 22

ix

3.3.2 EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA PARA SÓLIDOS. 23

3.4 LEI DE DARCY 25

3.5 EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA PARA FLUXO MONOFÁSICO PARA MEIOS

POROSOS DEFORMÁVEIS. 26

3.6 EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO EM MEIOS POROSOS DEFORMÁVEIS. 29

3.7 COMPORTAMENTO ELASTO-PLÁSTICO. 31

3.7.1 CONDIÇÕES DE ESCOAMENTO. 31

3.7.2 POTENCIAL DE PLASTIFICAÇÃO. 32

3.7.3 MODELOS CONSTITUTIVOS. 34

3.7.4 MODELO DE DRUCKER-PRAGER. 35

4 FLUXO COM ACOPLAMENTO GEOMECÂNICO: IMPLEMENTAÇÃO

COMPUTACIONAL. 40


4.2 TIPOS DE ACOPLAMENTO. 41

4.2.1 ACOPLAMENTO IMPLÍCITO OU TOTALMENTE ACOPLADO. 42

4.2.2 ACOPLAMENTO ITERATIVO. 44

4.2.3 ACOPLAMENTO EXPLÍCITO. 46

4.2.4 PSEUDO ACOPLAMENTO. 48

4.3 ESCOLHA DO TIPO DE ACOPLAMENTO. 50

4.4 DESCRIÇÃO DO ACOPLAMENTO ITERATIVO. 51

5 PROCEDIMENTOS PARA GERAÇÃO DE MODELOS E SIMULAÇÃO DE

RESERVATÓRIOS. 54


5.2 SIMULAÇÃO DE RESERVATÓRIOS - SOFTWARE STARS. 55

5.2.1 COLETA E PREPARAÇÃO DE DADOS 56

x

5.2.2 PREPARAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO 56

5.2.3 AJUSTE DE HISTÓRICO 57

5.2.4 EXTRAPOLAÇÃO 58

5.3 OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS GEOMECÂNICOS PARA SIMULAÇÃO. 60

5.3.1 TENSÕES PRINCIPAIS. 60

5.3.2 PARÂMETROS DE DEFORMABILIDADE E RESISTÊNCIA. 64

6 VERIFICAÇÃO ANALÍTICA DO CÓDIGO STARS. 67


6.2 ENSAIO DE PERMEABILIDADE. 68

6.2.1 SOLUÇÃO NUMÉRICA - STARS. 69

6.2.2 SOLUÇÃO ANALÍTICA - LEI DE DARCY. 70

6.2.3 ANÁLISE COMPARATIVA. 71

6.3 COMPACTAÇÃO DO RESERVATÓRIO. 72

6.3.1 SOLUÇÃO NUMÉRICA - STARS. 72

6.3.2 SOLUÇÃO SEMI-EMPÍRICA. 74

6.3.3 ANÁLISE COMPARATIVA. 74

7 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE SOBRE OS PARÂMETROS GEOMECÂNICOS. 76


7.2 PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS. 77

7.3 METODOLOGIA DE SUPERFÍCIES DE RESPOSTA. 79

7.4 DESCRIÇÃO DO MODELO SINTÉTICO. 81

7.4.1 GEOMETRIA. 81

7.4.2 CARACTERÍSTICAS FÍSICAS. 82

7.4.3 CONTROLE DA SIMULAÇÃO. 84

7.5 PARÂMETROS ENVOLVIDOS NA ANÁLISE DE SENSIBILIDADE. 86

xi

7.6 CASOS ESTUDADOS. 87

7.6.1 CASO 1 - REGIME ELÁSTICO. 87

7.6.2 CASO 2 - REGIME PLÁSTICO. 87

7.6.3 CASO 3 - INFLUÊNCIA DO POSICIONAMENTO DO “CAP”. 88

7.7 METODOLOGIA E RESULTADOS. 89

7.7.1 CASO 1 - REGIME ELÁSTICO. 90

7.7.2 CASO 2 - REGIME PLÁSTICO. 94

7.7.3 CASO 3 - INFLUÊNCIA DO POSICIONAMENTO DO “CAP”. 98

7.8 DISCUSSÕES SOBRE OS RESULTADOS. 100

8 COMPARAÇÃO SIMULAÇÃO CONVENCIONAL X ACOPLADA PARA UM CASO

REAL. 104


8.2 DESCRIÇÃO DO MODELO. 105

8.2.1 GEOMETRIA. 105

8.2.2 CARACTERÍSTICAS FÍSICAS. 107

8.3 METODOLOGIA E RESULTADOS. 109

8.4 DISCUSSÕES SOBRE OS RESULTADOS. 117

9 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES. 124

10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 127

APÊNDICE A 134

xii

Lista de Símbolos

b tensor de forças de massa;

cb compressibilidade total;

E módulo de elasticidade;

k tensor de permeabilidade;

Kh permeabilidade horizontal;

p poro-pressão;

Q a vazão;

S superfície de contorno;

T temperatura;

v velocidade vetorial do material;

vf velocidade do fluido;

vr velocidade da rocha;

Vp volume poroso;

Vb0 volume total inicial;

Vb volume total;

α constante de Biot;

β coeficiente de expansão térmica da rocha;

εv deformação volumétrica;

ψ quantidade física por unidade de massa;

Ω fonte de ψ por unidade de massa;

Γ.n fluxo de ψ por unidade de área;

φ porosidade verdadeira;

φ∗ porosidade do reservatório;

ρf densidade do fluido;

ρr densidade do sólido;

μ viscosidade do fluido;

ν coeficiente de Poisson;

σm tensão total média.

1

1 Introdução.

1.1 Contexto.

A simulação de reservatórios vem tendo um rápido crescimento nas últimas

décadas. Juntamente com a ágil evolução da capacidade dos computadores, muitos

simuladores de reservatórios têm sido desenvolvidos no mercado visando ajudar os

engenheiros a entender os mecanismos envolvidos na produção de hidrocarbonetos.

A aplicação dessas ferramentas é bastante útil para se tentar aumentar o fator de

recuperação dos campos de petróleo. Simuladores e seus recentes desenvolvimentos, tais

como: integração com a elevação e escoamento, otimização e análise de incertezas,

integração com equipamentos de superfície, além da consideração dos efeitos

geomecânicos tem sido muito úteis para a indústria do petróleo.

O foco da presente dissertação considera a geomecânica acoplada ao simulador de

reservatórios, suas características e impactos no resultado final.

1.2 Motivação e Objetivos.

Nos últimos anos, a importância da geomecânica na engenharia de petróleo vem

tendo um reconhecimento cada vez maior. As soluções de simuladores convencionais

ainda não podem explicar alguns fenômenos decorrentes da produção de um reservatório,

tais como: compactação, subsidência, instabilidade de poços, produção de areia, reativação

de falhas, fraturamento hidráulico, entre outros.

Isso porque a simulação dita convencional não incorpora em sua solução mudanças

no estado de tensões da rocha e conseqüentes deformações do maciço quando pressões e

2

temperaturas se alteram durante a produção do campo. Os simuladores convencionais, por

não tomarem conhecimento desses fenômenos, simplificam importantes aspectos ligados

ao problema geomecânico que impactam diretamente na produção do reservatório.

Na abordagem convencional, o único parâmetro mecânico envolvido na simulação

é a compressibilidade da rocha. Esse parâmetro não é suficiente para representar

comportamentos da rocha decorrentes da variação das tensões.

Ainda, a variação do volume poroso devido ao carregamento das camadas

sobrejacentes não pode ser considerada somente ajustando-se o valor da compressibilidade.

Por exemplo, a redução da porosidade em áreas depletadas pode ser alta o suficiente para

ocasionar colapso de poros e alterar significativamente o comportamento do reservatório a

partir de então.

Assim, como objetivo dessa dissertação pretende-se estudar o fenômeno de

compactação de reservatório resolvendo a simulação de fluxo de fluidos de maneira

acoplada com o problema geomecânico.

Além disso, pretende-se ir além da comparação de resultados entre a simulação

convencional e a simulação acoplada. Deseja-se também, levantar questões e apresentar

resultados que esclareçam a importância da geomecânica na simulação de reservatórios.

Para isso mostrou-se um caso de compactação de reservatórios com dados bastante

representativos de um campo real da Petrobras (Campo “X”).

Os modelos estudados nessa dissertação foram construídos utilizando-se o software

comercial STARS (versão 2006), da CMG. Esse simulador utiliza o método de diferenças

finitas para resolução das equações (sendo o módulo geomecânico em elementos finitos),

além de ser tridimensional, térmico e pseudo-composicional (Manual do STARS [1]).

3

1.3 Desafios da Simulação Acoplada.

Apesar da simulação de fluxo com acoplamento geomecânico apresentar inúmeras

aplicações, como mostrado na seção 1.2, a modelagem numérica acoplada destes tipos de

processos físicos tem sido, historicamente, considerada extremamente complexa e

impraticável devido a limitações computacionais. A prática atual é a seguinte: ou se utiliza

processos iterativos, como definido mais adiante na seção 4.2.2, ou um problema

tridimensional acoplado deve ser aproximado por um modelo unidimensional ou

bidimensional.

Por exemplo, em uma simulação de reservatórios convencional, os efeitos de

compactação da rocha e mudanças na porosidade são apenas parcialmente contabilizados

adicionando-se um termo de compressibilidade da rocha na equação da pressão. Assim, a

modelagem de fluxo é totalmente desacoplada dos cálculos geomecânicos.

Outro exemplo é a modelagem de aqüíferos onde o fluxo no meio poroso é

modelado 3D, mas a compactação é tipicamente simulada como um processo 1D. Apesar

do desenvolvimento da teoria da poroelasticidade, por BIOT [2], apresentar os conceitos

fundamentais para uma análise de adensamento tridimensional, cientistas e engenheiros

normalmente utilizam a teoria de adensamento hidrodinâmico unidimensional

(TERZAGHI [3]), cujas condições de contorno e geometria adotadas na maioria dos casos

são insuficientes (excessivamente simples) para descrever o comportamento geomecânico

de aqüíferos e reservatórios.

Os modelos simplificados, tanto desacoplados quanto aproximações

unidimensionais, são apropriados somente sob certas circunstâncias. Eles são inaceitáveis,

entretanto, quando na física modelada estão envolvidos acoplamentos fortes entre o fluxo e

a deformação da rocha. Em reservatórios pouco consolidados, deformações da rocha,

4

mudanças na porosidade e permeabilidade, assim como sua plastificação, não podem ser

totalmente representados apenas por um termo de compressibilidade da rocha. Além disso,

a consideração de adensamento unidimensional normalmente considerada na mecânica de

aqüíferos é motivada pela idéia amplamente difundida de que a compactação acontece

apenas na direção vertical. Porém, fissuras observadas na crosta terrestre indicam que

deformações horizontais podem ser significantes.

Logo, os desafios ainda permanecem, como por exemplo, a modelagem de todo o

campo em escala do modelo geológico. Estes desafios recaem em intensivas demandas de

tempo computacional e armazenamento de memória, que estão atribuídos a

comportamentos não-lineares complexos pelo acoplamento de fluxo em meios porosos e

geomecânico que podem ocasionar dificuldades de convergência; além disso, observações

de campo indicam que apesar da depleção ser um processo local que ocorre somente no

reservatório e no aqüífero, a redistribuição de tensões efetivas ocorre num domínio maior.

Para se obter soluções numéricas confiáveis é preciso se modelar o maior domínio

possível. Foi sugerido por GUTIERREZ & LEWIS [4] e OSORIO et al. [5] que o domínio

do modelo incluísse camadas sobrejacentes (overburdens), subjacentes (underburdens) e

laterais (sideburdens) para uma melhor representação das condições de contorno do

reservatório.

5

1.4 Histórico.

Os primeiros trabalhos em análise acoplada foram na forma de pseudo-acoplamento

(CHIN & BOADE [6]; SULAK et al [7]; FREDRICH et al [8]). CHIN & BOADE [6]

usaram um simulador de reservatórios e um modelo de compactação para estudar a

subsidência do leito marinho no campo de Ekofisk. SULAK et al [7], desenvolveram uma

solução do transiente das tensões baseado no histórico de pressões de simulações de

reservatórios. Suas soluções são usadas para atualização de porosidade e permeabilidade

manualmente.

MINKOFF et al. [9] e KOUTSABELOULIS & HOPE [10] apresentaram uma

forma de acoplamento explícito para fluxo multifásico com ou sem efeito térmico. Em

MINKOFF et al. [9], o método de diferenças finitas, bloco centrado, é utilizado para

discretizar as equações de fluxo no reservatório enquanto que a formulação de elementos

finitos é utilizada para o modelo de tensões. No caso em que diferentes grids são utilizados

para cada modelo, algoritmos são necessários para mapear as variáveis primárias de um

campo de equações para o outro.

Trabalhos interessantes sobre acoplamento iterativo podem ser encontrados em

SETTARI & WALTERS [11], TORTIKE & ALI [12] e FUNG et al. [13]. GAI et al. [14]

descreveram modelos de acoplamento iterativo utilizando computação paralela.

LEWIS & SUKIRMAN [15] demonstraram seus estudos numéricos de fluxo

trifásico e tridimensional. O método dos elementos finitos foi aplicado para se obter

soluções simultâneas de deslocamento e pressão. GUTIERREZ & LEWIS [4] descreveram

uma forma de acoplamento implícito para a consideração dos efeitos geomecânicos. Eles

chamaram a atenção para o ponto mais importante do acoplamento implícito, a

6

possibilidade de se utilizar a mesma discretização para ambos os cálculos - fluxo e

geomecânica.

OSORIO et al. [16] desenvolveram um modelo em diferenças finitas,

tridimensional, totalmente acoplado para estudar o efeito da compactação da rocha na

produção do reservatório. STONE et al. [17] integraram um modelo elastoplástico 3D num

simulador de reservatórios comercial. Aplicaram discretização por diferenças finitas nas

equações das tensões. CHIN et al. [18] desenvolveram um modelo de acoplamento

implícito para análise da variação das pressões em reservatórios sujeitos à variações

significativas de tensões.

DEAN et al. [19] incorporaram três técnicas de acoplamento - acoplamento

explícito, acoplamento iterativo e acoplamento implícito - no mesmo programa e

compararam o desempenho de cada método em termos de estabilidade, acurácia e

eficiência computacional.

7

1.5 Organização da Dissertação.

A presente dissertação apresenta uma comparação entre a simulação de

reservatórios convencional e a simulação acoplada, com o foco na influência da

consideração do fenômeno de compactação.

Inicialmente, o Capítulo 2 apresenta os conceitos envolvidos no fenômeno da

compactação, e alguns cenários da sua ocorrência na indústria do petróleo.

No Capítulo 3 estão apresentadas as equações e modelos constitutivos que

governam o problema.

O Capítulo 4 mostra as formas de acoplamento, suas vantagens e desvantagens,

além da formulação existente no software STARS.

O Capítulo 5 descreve procedimentos para geração de modelos de simulação de

reservatórios e, simplificadamente, a obtenção de parâmetros geomecânicos necessários

para a simulação acoplada.

No Capítulo 6 são realizadas verificações analíticas do software STARS.

O Capítulo 7 apresenta os conceitos de planejamento de experimentos, superfície de

resposta e apresenta resultados de uma análise de sensibilidade sobre os parâmetros

geomecânicos.

No Capítulo 8 é feita uma comparação entre a simulação dita convencional e a

simulação acoplada para um caso real.

Finalmente, no Capítulo 9 são apresentadas as conclusões e sugestões para

trabalhos futuros.

8

2 Compactação de Reservatórios.

2.1 Introdução

O problema de compactação de reservatórios devido à produção de fluidos e

conseqüente subsidência do leito marinho (Figura 1) envolve geometrias complexas das

camadas do reservatório, apresentando comportamento não linear com interações com

camadas sobrejacentes (overburdens), subjacentes (underburdens) e laterais (sideburdens).

Os termos subsidência e compactação possuem definições diferentes. Compactação

diz respeito à redução de espessura numa dada formação (diminuição de volume sob

compressão da rocha) e a subsidência se refere a uma diminuição da cota de superfície. O

fenômeno de subsidência ocorre sobre áreas muito maiores que a área no entorno do

reservatório que pode sofrer com a compactação. A diferença entre compactação e

subsidência num dado ponto é determinada basicamente pela profundidade, propriedades

mecânicas das rochas sobre o reservatório e sua área circundante.

Figura 1 – Compactação e Subsidência.

9

As condições de carregamento alteram as condições “in-situ” de poro-pressão, e

essa depleção complica ainda mais o problema. Devido às dificuldades ainda encontradas,

os cálculos de compactação e subsidência são muitas vezes obtidos por métodos empíricos

ou por métodos numéricos, como por exemplo, elementos finitos, mas com simplificações.

Idealmente, uma abordagem numérica requer equações constitutivas tridimensionais que

levam em consideração o comportamento não linear, incluindo colapso de poros, e um

conhecimento detalhado das propriedades da rocha reservatório e das rochas adjacentes.

Entretanto, devido à limitação do conhecimento quanto aos parâmetros dos materiais,

abordagens alternativas são normalmente adotadas na análise desses problemas.

Sendo assim, as simplificações dos métodos empíricos (seção 2.2) bem como os

efeitos das ocorrências de compactação na indústria do petróleo (seção 2.3) são motivações

extras para os estudos propostos nessa dissertação.

10

2.2 Métodos Empíricos para Avaliação da Compactação.

Os métodos empíricos foram bastante utilizados no passado, especialmente pela

incompatibilidade computacional com os modelos sofisticados e as técnicas de simulação

existentes. Com a chegada dos supercomputadores, foi possível o desenvolvimento e o

detalhamento de teorias para modelagem constitutiva e caracterização do comportamento

dos materiais, assim como sua modelagem numérica.

No passado, foi dada maior importância ao cálculo da subsidência da superfície

devido a problemas ocorridos em equipamentos instalados no leito marinho (GEERTSMA

[20] e VAN OPSTAL [21]). Posteriormente, SMITS et al. [22] desenvolveram uma

abordagem semi-empírica para estimar o valor da compactação do reservatório. O valor

total da compactação esperada num determinado estágio de depleção pode ser determinada

pela seguinte equação:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=Δ

)(100)(

e

ei

vv

hihσφ

σφφ (1)

Onde hi é a espessura inicial da camada; com iφ sendo a porosidade inicial; hΔ é

a variação da espessura da camada (compactação); e )( veσφ é a porosidade quando o

estado de tensão )( veσ final é atingido.

Algumas simplificações são admitidas para dedução da Equação (1), entre elas: o

reservatório é dividido em camadas com porosidades e tipos de rocha constantes (rochas

carbonáticas) e a compactação é determinada em qualquer estagio de depleção. A Equação

(1) foi estimada considerando distribuição uniforme de porosidades e distribuição uniforme

de tensões efetivas. Esses aspectos raramente representam as condições do reservatório.

Também não há interação com as camadas adjacentes.

11

Os métodos empíricos apresentam simplificações importantes em termo do

comportamento do material, condições de carregamento e distribuição espacial dos

diferentes tipos de rocha envolvidos na simulação. Normalmente assumem-se materiais

elásticos e homogêneos, condições de carregamento uniformes, e as influências das

camadas adjacentes são desprezadas. Apesar dos resultados finais poderem ser ajustados,

alterando-se determinados parâmetros, esses métodos não são aplicáveis para geometrias

complexas, não linearidade física e carregamentos complexos. Não existem mecanismos

para se incorporar as complexidades acima mencionadas em metodologias empíricas para

se obter resultados mais condizentes com a realidade.

12

2.3 Cenários de Compactação na Indústria do Petróleo.

Água, óleo e gás são fluidos presentes no volume poroso e nas fraturas das rochas

reservatório. Com a depleção e injeção, num reservatório sensível a variação de tensões, a

compactação da rocha pode ocorrer, com conseqüente subsidência da superfície. Sob certas

circunstâncias, a subsidência pode causar impactos violentos na produção e gerenciamento

do reservatório.

Nos itens a seguir serão descritos diferentes cenários de compactação que

ocorreram na indústria do petróleo, e seus respectivos efeitos.

13

2.3.1 Campo de Valhal.

Reservatório com alta porosidade, localizado a 190km da costa, na parte central do

Mar do Norte. O campo foi descoberto em 1975, e seu desenvolvimento começou em

1981. Em 1986, após três anos e meio de produção, ficou nítido que a pressão medida do

reservatório desviava-se significativamente das predições do modelo de reservatórios,

sugerindo a presença de uma fonte adicional de energia (RUDDY et al. [23]). Na metade

de 1986, a subsidência da superfície foi observada por levantamento de satélite, sugerindo

uma compactação significante na região. Estudos de modelagem computacional foram

realizados para o campo de Valhal. COOK & JEWELL [24] verificaram que o fenômeno

de compactação era responsável por 70% da recuperação de hidrocarbonetos, e a

compressibilidade da rocha poderia ser maior que 14105.1 −− psix , enquanto que o valor

utilizado era de 16103 −− psix .

Figura 2 – Campo de Valhal - Local da Subsidência.

14

2.3.2 Campo de South Belridge.

Reservatório de petróleo localizado na Califórnia, arenito inconsolidado, com

espessura de 122 a 183 metros (HANSE et al. [25]). As formações subjacentes são

altamente compressíveis com espessura média de 305 metros. Na década de 80 operadores

do campo verificaram dano em revestimentos de alguns poços. Em janeiro de 1987, após

uma grande tempestade, fissuras na superfície foram observadas. A orientação dessas

fissuras era aproximadamente paralela a direção das tensões horizontais máximas. HANSE

et al. [25] mostraram que os danos nos poços e as fissuras na superfície foram relacionados

a depleção e a resultante compactação do reservatório e subsidência da superfície.

Figura 3 – Campo de South Belridge.

15

2.3.3 Campo de Ekofisk.

Reservatório localizado no Mar do Norte possui uma área de aproximadamente

50km² (HERMANSEN et al. [26]). O campo de Ekofisk possui um sistema extensivo de

fraturas naturais que forma o principal caminho condutivo para a produção de

hidrocarbonetos e injeção de fluidos. A permeabilidade média do campo está em torno de

150mD. A subsidência do leito marinho foi observada no campo em 1984. A subsidência

total medida em fevereiro de 1989 era de aproximadamente 4.3m, e a subsidência esperada

para o ano de 2011 era de 6.1m.

A injeção de água começou em Ekofisk em 1987 e contribuiu com um aumento

significativo nas taxas de produção de óleo.

Inicialmente, acreditava-se que a compactação do reservatório estava relacionada

com o aumento das tensões efetivas proveniente somente da depleção do reservatório.

Após a implementação do sistema de injeção de água no campo, a depleção no reservatório

foi estagnada. Entretanto, as taxas de compactação continuavam constantes.

HERMANSEN et al. [26] sugeriram que a persistência do fenômeno de compactação

indicava um enfraquecimento da rocha quando em contato com a água de injeção. Testes

laboratoriais comprovaram suas suspeitas. A descoberta da subsidência e a compactação

induzida pela injeção de água proveram uma quantidade de esforços visando o

desenvolvimento de métodos para simulação numérica desses processos.

CHIN & PREVOST [27] usaram um modelo em elementos finitos 3D para

demonstrar o efeito da compactação induzida pela injeção de água e sugeriram formas

mais econômicas para projetos de injeção no Mar do Norte.

16

Figura 4 – Campo Ekofisk.

17

2.3.4 Comentários sobre os diferentes casos citados.

(i) Em todos os casos, a compactação como mecanismo de produção não foi

levada em consideração embora responsável pela maior parte da energia.

Isso indica que é muito difícil descrever alguns modelos de reservatórios

sem a correta consideração dos efeitos geomecânicos;

(ii) Compactação e subsidência são fenômenos bastante complicados, que

podem ser causados por mais de um mecanismo. No campo de Ekofisk,

por exemplo, a depleção não foi o único fator responsável pela

compactação. O efeito da não compatibilidade da água da formação com

a água injetada é outro importante fator que nunca poderia ser

quantificado em uma modelagem desacoplada;

(iii) O não acoplamento geomecânico levou a extrapolações ineficientes. No

caso do campo de Valhal, as pressões medidas no reservatório estavam

diferentes das previstas pelo modelo de reservatórios convencional;

(iv) O fenômeno da compactação pode ser favorável e desfavorável no

desempenho do reservatório. Na maioria dos casos pode causar danos aos

equipamentos de superfície. Entretanto, se controlado pode aumentar a

produção do campo consideravelmente.

18

3 Fluxo com Acoplamento Geomecânico: Formulação Matemática.

3.1 Introdução.

O propósito deste Capítulo é de rever algumas equações básicas relacionadas ao

estudo, e apresentar algumas deduções na direção do acoplamento do problema de fluxo

com o comportamento geomecânico.

Assim, o próximo item descreve os princípios básicos e tipos de simuladores

numéricos de fluxo. Em seguida, é apresentada a equação da continuidade com a

conservação de massa para fluidos e para sólidos, a lei de Darcy e a equação para fluxo

monofásico em meios porosos deformáveis, mais adiante a equação de equilíbrio e,

finalmente, descreve-se o comportamento elasto-plástico dos materiais.

19

3.2 Princípios Básicos - Tipos de Simuladores Numéricos de Fluxo.

A simulação numérica de reservatórios é um dos métodos empregados da

engenharia de petróleo para se estimar características e prever um comportamento de

reservatório de petróleo, a exemplo das técnicas de previsão de comportamento baseadas

em balanço de materiais, nas curvas de declínio e na teoria de Buckley-Leverett (ROSA et

al. [28]).

3.2.1 Classificação pelo Tratamento Matemático.

Há diferentes formulações matemáticas para se modelar reservatórios de

hidrocarbonetos que são função das características do próprio reservatório, assim como do

método de recuperação utilizado. Dentre os métodos disponíveis, os mais comuns e

também disponíveis nos simuladores comerciais são:

Modelo Tipo Beta ou Volumétrico: também conhecido como Black-oil, o

tratamento matemático envolve funções da pressão do reservatório. Admite-se que cada

uma das fases (água, óleo e/ou gás) eventualmente presentes no reservatório seja

constituída de um único componente. Considera-se também fases imiscíveis e o gás poder

estar dissolvido no óleo. As incógnitas são as pressões e as saturações.

Modelo Composicional: o tratamento matemático de um modelo composicional

considera não somente a pressão e a temperatura, mas também as composições nas

diversas fases eventualmente presentes no meio poroso. Neste caso, a fase óleo e/ou gás

não é mais admitida como sendo formada por um único componente, como no modelo

black-oil, mas sim pelos vários hidrocarbonetos que compõe o óleo e/ou o gás, tais como

C1, C2, C3, etc.

Modelo Térmico: é utilizado quando se é necessário considerar os efeitos de

variação de temperatura no interior do reservatório, incluindo-se a equação da energia por

20

exemplo, quando se utiliza um método de recuperação secundária como a injeção de vapor,

injeção de água quente ou combustão in-situ.

3.2.2 Classificação pelo Número de Fases.

A simulação de reservatórios também pode ser classificada pelo número de fases

contidas nos poros da rocha, e aparecem listadas a seguir:

Monofásico: quando se considera a presença de uma só fase no reservatório (gás,

óleo ou água no caso de se tratar do estudo de um aqüífero).

Bifásico: quando considera a presença de duas fases, normalmente óleo e água.

Trifásico: quando é considerada a ocorrência de três fases no reservatório (gás, óleo

e água), sendo esta a situação mais comum nos reservatórios brasileiros.

21

3.3 Equação da Continuidade (conservação de massa).

A simulação do comportamento de um reservatório é feita com base na conservação

de massa dos fluidos e espécies contidas nele. No caso de considerar o acoplamento

geomecânico, a rocha reservatório passa a ser deformável e a variação de sua porosidade é

calculada a partir da equação de conservação de massa da fase sólida. Nesta seção deduz-

se a equação de conservação de uma quantidade física genérica, que será aplicada nas

seções seguintes.

Sendo ψ uma quantidade física por unidade de massa, podendo ser escalar, vetorial

ou tensorial, num ponto qualquer pertencente ao volume V no tempo t ; Ω é a fonte de ψ

por unidade de massa; n.Γ é o fluxo de ψ por unidade de área em V . Desta forma a

equação da continuidade para fluxo monofásico no volume V é escrita como (ERINGEN

[29]):

∫∫∫ Γ−Ω=SVV

ndSdVdVdtd .ρρψ (2)

A Equação (2) mostra que a taxa de variação de ψ no volume V é igual a taxa de

variação de ψ devido a produção no volume V menos a taxa de variação de ψ devido ao

fluxo pela superfície de contorno S .

Aplicando o teorema do divergente ao último termo do lado direito da Equação (2)

tem-se:

∫∫ Γ∇=ΓVS

dVndS .. (3)

Utilizando-se o teorema de Reynolds (LIN & SEGEL [30]) no termo do lado

esquerdo da Equação (2), tem-se, sendo v a velocidade vetorial do material:

22

∫∫∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∇+∇+

∂∂

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∇+

∂∂

=VVV

dVvvt

dVvt

dVdtd .)()(.)().()( ρψρψρψρψρψρψ (4)

Substituindo as Equações (3) e (4) na Equação (2), tem-se:

0..)()(.)(∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ Ω−Γ∇+∇+∇+

∂∂

V

dVvvt

ρρψρψρψ (5)

Sendo a Equação (5) válida para qualquer sub-região do volume V , o integrando

desaparece e fica-se com a seguinte equação:

0..)()(.)(=Ω−Γ∇+∇+∇+

∂∂ ρρψρψρψ vv

t (6)

A Equação (6) é aplicável em qualquer ponto do meio poroso.

3.3.1 Equação da Conservação de Massa para Fluidos.

Nesta seção aplica-se a lei da conservação de massa a um meio contendo uma única

fase.

A porosidade φ é definida como a razão entre o volume poroso (void or pore

volume) e o volume total (bulk volume). Um meio poroso contém volume poroso, volume

de sólidos e volume total (Figura 5).

23

Figura 5 – Esqueleto de uma rocha porosa.

Considerando-se φψ = ; 0=Ω ; Q−=Γ∇. ; fvv = e fρρ = , sendo: Q a vazão;

fv a velocidade do fluido e fρ a densidade do fluido. Substituindo esses termos na

Equação (6) tem-se:

0.)()(.)(

=−∇+∇+∂

∂Qvv

t fffff φρφρ

φρ (7)

Que pode ser escrita como:

0)()(

=−∇+∂

∂Qv

t fff φρ

φρ (8)

3.3.2 Equação da Conservação de Massa para Sólidos.

A equação da Conservação de Massa para sólidos pode ser obtida de maneira

similar considerando-se φψ −= 1 ; 0=Ω ; 0. =Γ∇ ; rvv = e rρρ = , sendo: rv a

velocidade da rocha e rρ a densidade do sólido. Substituindo esses termos na Equação (6)

tem-se:

0.)1(])1[(.])1[(

=∇−+−∇+∂

−∂rrrr

r vvt

ρφρφρφ (9)

24

Que pode ser escrita como:

0))1([])1[(=−∇+

∂−∂

rrr v

tφρ

ρφ (10)

Sendo rv a incógnita do problema geomecânico.

25

3.4 Lei de Darcy

Para complementar a equação de balanço de massa das fases fluidas é necessária

uma relação entre o gradiente de pressão e a velocidade do fluido. A lei de Darcy rege o

transporte de fluido no meio poroso. A lei relaciona a velocidade aparente do fluido com

gradientes de pressão através da equação:

).( bpkv fρμ

−∇−= (11)

Onde: k é o tensor de permeabilidade; p é a poro-pressão; μ é a viscosidade do

fluido e b é o tensor de forças de massa.

Para meios porosos deformáveis, a velocidade na Equação de Darcy (também

chamada de velocidade superficial, que é a velocidade do fluido com relação à fase sólida)

foi relacionada com a velocidade do fluido fv e a velocidade da rocha rv (HART &

JOHN [31]). A velocidade rv é a velocidade da fase sólida com relação à configuração de

referência (rocha indeformada).

)( rf vvv −= φ (12)

Ou seja, a velocidade de Darcy é uma velocidade relativa (com relação à fase

sólida) e a velocidade total do fluido é dada por:

)( rf vvv +=φ

(13)

26

3.5 Equação da Conservação de Massa para Fluxo Monofásico para

Meios Porosos Deformáveis.

Aplicando-se as Equações (11) e (12) na Equação (8) tem-se:

ffrrffff Qvvbpk

t=∇+∇+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∇∇−

∂

∂)(..).(

)(φρφρρ

μρ

φρ (14)

Sendo )(.)()( •∇+•∂∂

=• vtDt

D (15)

A derivada material com relação à velocidade do fluido (LAI et al. [32]).

Onde v é a velocidade do meio poroso e é igual a rv .

Usando-se a Equação (15) no primeiro termo da Equação (10) tem-se:

)]1([.)]1([)]1([ φρφρφρ −∇−−=−∂∂

rrrr vDtD

t (16)

Usando-se a Equação (15) no segundo termo da Equação (10) tem-se:

rrrrrr vvv .)1()]1([.])1(.[ ∇−+−∇=−∇ φρφρφρ (17)

Substituindo-se a Equação (17) e a Equação (16) na Equação (10) tem-se:

0.)1()]1([ =∇−+− rrr vDtD φρφρ (18)

Com a Equação acima pode se obter o divergente da velocidade da rocha.

)1(

)]1([.

φρ

φρ

−

−=∇

r

r

rDtD

v (19)

Considerando a rocha incompressível (isto é, densidade rρ e volume rV

constantes) a Equação (19) pode ser simplificada como:

DtDvr

φφ)1(

1.−

=∇ (20)

27

Pela definição de porosidade verdadeira (true porosity):

b

p

VV

=φ (21)

Isso conduz a:

DtDV

V

VDt

DVVDt

D b

b

pp

b2

1−=

φ (22)

Substituindo-se as Equações (21) e (22) na Equação (20) tem-se:

DtDV

Vv b

br

1. =∇ (23)

Sabendo-se que a deformação volumétrica é definida como:

b

bv V

DV−=ε (24)

Substituindo-se a Equação (24) na Equação (23) tem-se:

DtD

v vr

ε−=∇. (25)

A Equação (25) é chamada de equação da compatibilidade na Mecânica dos

Sólidos. Substituindo-se a Equação (25) na Equação (14) e aplicando-se a Equação (15) no

primeiro e no último termo do lado esquerdo da Equação (14) tem-se:

fv

ffff QDt

Dbpk

DtD

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∇∇−

εφρρ

μρφρ ).()( (26)

A Equação (26) mostra a interação entre fluido e rocha pela poro-pressão e pela

deformação volumétrica vε . Num simulador dito “convencional”, o último termo do lado

esquerdo da Equação (26) é ignorado devido a consideração de que o volume total (bulk

volume), vide Figura 5, não varia com o tempo. Sem o acoplamento, a chamada porosidade

verdadeira (true porosity) é substituída pela porosidade do reservatório (reservoir porosity)

28

0*

b

p

V

V=φ . Por definição, a porosidade do reservatório *φ é a razão entre o volume poroso

em determinado instante de tempo pV e o volume total inicial 0bV , enquanto que a

porosidade verdadeira é a razão entre o volume poroso em determinado instante de tempo e

o volume total calculado no mesmo instante de tempo (Equação (21)). Num simulador

convencional, a porosidade é estritamente função da pressão e da temperatura, somente

porque as tensões não são parte da solução.

29

3.6 Equação de Equilíbrio em Meios Porosos Deformáveis.

A equação de equilíbrio em meios porosos deformáveis pode ser desenvolvida da

seguinte forma:

Considerando-se rv)1( φψ −= ; b=Ω ; σ=Γ ; rvv = e rρρ = , sendo: σ o tensor

das tensões e b força de massa, e substituindo-se na Equação (6) tem-se:

0..])1([])1([.])1([

=−∇+∇−+−∇+∂−∂

bvvvvt

vrrrrrrr

rr ρσφρφρφρ (27)

Rearranjando a Equação (27), tem-se:

0])1(.[)]1([)1(. =−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −∇+

∂−∂

+−+∇ bvt

vDt

Dvrrr

rr

rr ρφρ

φρφρσ (28)

Na Equação (28) as parcelas que estão entre colchetes, que representam o terceiro

termo da equação, já foram deduzidas (Equação (10)) e representam a conservação de

massa local para um sólido, podem ser retiradas da equação. Ainda, a força de inércia,

segundo termo da equação, é considerada somente quando se estuda problemas dinâmicos

em escalas de tempo muito pequenas (milisegundos ou microsegundos) como propagação

de ondas ou interações fluido-estruturas. Em problemas de fluxo com acoplamento

geomecânico, a escala de tempo é maior (dias ou anos); a força de inércia, por sua vez, é

muito pequena e pode ser desprezada. Logo, a equação de equilíbrio para um sólido (rocha,

por exemplo) pode ser escrita como:

0. =−∇ brρσ (29)

O tensor das tensões σ representa as tensões totais atuantes no sistema. Entretanto,

em um meio poroso, somente uma parte dessa tensão total, chamada tensão efetiva

(TERZAGHI [3]) afeta o comportamento mecânico (deformabilidade e resistência). A

tensão total σ e a tensão efetiva 'σ são relacionadas por BIOT [2]:

30

pIασσ += ' (30)

Onde o parâmetro α é chamado de constante de Biot e possui o valor entre a

porosidade e 1 (hum); p é a poro-pressão e I a matriz identidade. Em rochas

inconsolidadas, α possui valor próximo de 1 (hum) (TERZAGHI [3]). A Figura 6 ilustra a

relação entre a tensão total σ , a poro-pressão p e a tensão efetiva 'σ .


0).( ' =−+∇ bpI rρασ (31)

As Equações (26) e (31) mostram a interação entre sólido e fluido, pelas tensões,

deformações e poro-pressões. Essas variáveis podem ser obtidas simultaneamente ou

separadamente, dependendo do tipo de acoplamento utilizado.

Figura 6 – Representação da Equação de Biot.

31

3.7 Comportamento Elasto-plástico.

Os problemas geomecânicos são usualmente tratados através das teorias da

elasticidade e da plasticidade. A teoria da elasticidade é utilizada em problemas

relacionados com a determinação de tensões e deformações quando não existe ruptura

envolvida. Para estados de tensões uniaxiais, como tração e compressão simples, o

comportamento plástico de um material pode ser definido apenas pelo valor de tensão de

escoamento. No entanto, para a definição desse comportamento em estados de tensões

multiaxiais deve-se especificar uma condição de escoamento inicial, definindo o regime

elástico do material; uma lei de endurecimento ou enfraquecimento, usada para estabelecer

as condições dos estados plásticos subseqüentes, além de uma lei de escoamento plástico,

que dá a direção das deformações plásticas em função do estado de tensões efetivas e do

potencial de plastificação do material.

A teoria apresentada nessa seção foi baseada em (POTTS & ZDRAVKOVIC [33]).

3.7.1 Condições de Escoamento.

É necessário caracterizar a transição da fase elástica para a fase plástica. Isso será

efetuado através de uma condição de escoamento inicial. A condição de escoamento pode

ser definida através da função F , denominada função de plastificação, dependente do

estado de tensões efetivas 'σ cujo tamanho varia em função dos parâmetros de estado κ .

Para plasticidade perfeita κ é constante e representa a magnitude da tensão de

escoamento. Para plasticidade com endurecimento e amolecimento κ varia com as

deformações plásticas representado como as magnitudes das tensões variam no

escoamento. O escoamento plástico ocorrerá quando:

0),( ' =κσF (32)

32

Estados de tensões para os quais 0),( ' <κσF correspondem a comportamentos

elásticos, e 0),( ' >κσF não tem significado físico. Como o estado de tensão em um ponto

fica definido através dos seis componentes do tensor das tensões, temos para a condição de

escoamento:

0),,,,,( '''''' =yzxzxyzyxF τττσσσ (33)

Estando ligada ao comportamento físico do material, a função de escoamento deve

independer do referencial adotado e, portanto, pode ser representada em função das tensões

principais 0),,( '3

'2

'1 =σσσF , ou ainda, em função dos invariantes das tensões

0),,( 321 =IIIF . A representação da função de escoamento no lugar das tensões 'σ ,

conduz à superfície de escoamento: lugar geométrico dos pontos que representam estados

de tensão correspondentes ao início das deformações plásticas e constitui a fronteira do

domínio que limita internamente estados de tensões correspondentes às deformações

elásticas (Figura 7).

Figura 7 – Domínio Elástico.

3.7.2 Potencial de Plastificação.

Para uma condição uniaxial, o local onde ocorrem as deformações plásticas está na

mesma direção das tensões impostas. Contudo, a situação se torna mais complexa em um

33

caso multiaxial, devido a existência de seis componentes de tensões e deformações. Para se

estabelecer a direção da deformação plástica em qualquer estado de tensões, considera-se

como hipótese a existência de um potencial P que caracteriza a lei de escoamento através

da seguinte relação:

i

pi

mPσ

σε∂

∂Λ=Δ

}){},({ '

(34)

Onde piεΔ representa os seis componentes do incremento da deformação plástica, P

é a função do potencial de plastificação e Λ é um multiplicador escalar. E }{m é um vetor

de parâmetros de estado. A função obtém a forma:

0}){},({ ' =mP σ (35)

A Equação 34 é representada graficamente na Figura 8, o segmento de potencial de

plastificação é desenhado nos eixos principais de tensões. Devido à consideração dos eixos

de tensões impostas e incrementos de deformações plásticas serem coincidentes é possível

desenhar as duas componentes no mesmo eixo. O vetor normal a superfície de potencial de

plastificação no estado de tensão indica a direção da deformação. A magnitude da

deformação é controlada pelo escalar Λ . Isto pode ser visto na Figura 8, onde o potencial

de plastificação é representado em duas dimensões 31 σσ − , considerando 2σ igual a zero.

Figura 8 – Potencial de plastificação.

34

Para se favorecer simplificações é introduzida a consideração de que a função

potencial de plastificação é igual à superfície de fluência ),(),( '' κσσ FmP = . Neste caso

a lei de escoamento é chamada associativa. Quando se trabalha com funções distintas para

o potencial de plastificação e superfície de fluência, denomina-se lei de escoamento não

associada. A formulação da matriz constitutiva elasto-plástica encontra-se no Apêndice A.

3.7.3 Modelos Constitutivos.

Os critérios de escoamento mais usados são representados no espaço das tensões

principais conforme ilustra a Figura 9. Os critérios de Tresca e Von Mises são aplicados a

argilas saturadas sob condições não-drenadas. Os critérios de Drucker-Prager e Von Mises

são regularizações (suavizações) dos critérios de Mohr-Coulomb e Tresca,

respectivamente, eliminando os pontos de singularidade destes últimos e assim são de mais

fácil implementação numérica. Os critérios de Tresca e Von Mises são casos particulares

dos critérios de Mohr-Coulomb e Drucker-Prager, respectivamente, para a condição 0=φ .

Figura 9 – Superfícies de Escoamento no espaço das tensões principais: a) Drucker-Prager e Von Mises; b) Mohr-Coulomb e Tresca.

A Figura 10 mostra a interseção das superfícies de escoamento de Mohr-Coulomb,

Drucker-Prager e Tresca estendido com o plano π . Observou-se os três critérios através de

35

dados experimentais e conclui-se que o critério de Mohr –Coulomb é o que melhor prevê a

ruptura ou escoamento do solo. Apesar disso, o critério de Drucker-Prager é muito usado

por sua simplicidade, pois é função apenas de dois invariantes das tensões, enquanto que o

critério de Mohr-Coulomb necessita de ser definido em função de três invariantes. O

software STARS, utilizado nesse trabalho, apresenta uma formulação de um “Cap Model”

associado ao modelo de Drucker-Prager.

Figura 10 – Seção do plano π com as superfícies de escoamento de Drucker-Prager, Tresca Estendido e Mohr-Coulomb.

3.7.4 Modelo de Drucker-Prager.

No modelo de Mohr-Coulomb (POTTS & ZDRAVKOVIC [33]) se observa cantos

agudos quando se traça a função no espaço das tensões efetivas principais. Esses cantos

implicam em singularidades nas funções de fluência. Em particular, quanto às derivadas

parciais necessárias para definição da matriz elasto-plástica. Essas singularidades podem

ser tratadas, com uma análise em elementos finitos, por exemplo, ou pela adoção de

funções que suavizam os cantos da superfície de Mohr-Coulomb. Uma das soluções mais

36

comuns de se adotar é a de uma função que envolva a superfície de plastificação de Mohr-

Coulomb como mostrado na Figura 11. Essa superfície foi proposta por Drucker-Prager.

Essa simplificação é quando se adota uma função que traça um cone cilíndrico no espaço

das tensões principais. A superfície de plastificação fica:

0´´tan

´}){},({ ' =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= jpMpcJkF

ϕσ (36)

Sendo a coesão, ´c , e o ângulo de atrito, ´ϕ , parâmetros do material e a função

escrita em função dos invariantes das tensões ´p e J . jpM é uma constante do material.

Esta forma de função de plastificação é frequentemente chamada por Drucker-Prager ou

função de Von Mises estendido. Para uso deste modelo se relaciona jpM com o ângulo de

atrito, ´ϕ . O modelo de Drucker-Prager é comparado com o de Mohr-Coulomb na Figura

11, no plano octaédrico.

Figura 11 – Superfície de plastificação de Drucker-Prager: Espaço das tensões principais e plano octaédrico.

Assumindo que )(θjpM é igual a )(θg (POTTS & ZDRAVKOVIC [33]), assume-

se um valor constante para o número de lode, )(θ . Considerando o ângulo de lode

°= 30θ , tem-se uma circunferência circunscrita como representado na Figura 11. Este

37

ângulo tem especial valor na geotecnia devido ao estado triaxial de compressão poder ser

obtido em laboratório. Igualando )()( θθ gM jp = , e atribuindo o valor do ângulo de lode

obtém-se:

´3´3230

ϕϕθ

sensenM jp −

=°−= (37)

O modelo é contemplado com a adoção de um potencial de plastificação não

associado.

0´´´´tan

´}){},({ ' =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= PP

jpcPPjp

jpc Mpp

M

MpcJmP

ϕσ (38)

Onde PPjpM é relacionado à função potencial de plastificação. Se jp

PPjp MM = a

função de plastificação e o potencial de plastificação são iguais e o modelo passa a ser

associado. A Figura 12 mostra os parâmetros citados.

Figura 12 – Relação entre a função de plastifiacação e o potencial de plastificação.

O software STARS apresenta em sua formulação alguns modelos constitutivos

consagrados na literatura. O modelo constitutivo utilizado nessa dissertação é um “cap

38

model”, utilizado somente para casos de plastificação perfeita (Apêndice A) e associado ao

modelo de Drucker-Prager descrito. A superfície de “cap” possui um formato elíptico

(Manual do STARS [1]) como representado na Figura 13.

Figura 13 – Modelo de “cap” utilizado.

Onde 1I é o primeiro invariante das tensões efetivas e 2J o segundo invariante das

tensões efetivas (desviadoras).

Como visto na Figura 13, a superfície de ruptura pode ser dividida em três

superfícies: a superfície de ruptura de Drucker-Pager, expressa pela função 1F ; a superfície

de ruptura do “cap” elíptico, representada pela função 2F e o plano de resistência a tração

expresso pela função 3F . Como já foi mencionado, esse modelo constitutivo é aplicado

somente a materiais com plastificação perfeita e acoplado ao critério de ruptura de

Drucker-Prager. As funções mencionadas são definidas nas Equações (39), (40) e (41).

0211 =−+= kJIF α (39)

( ) ( ) 02)(2

22)(12 =−−+−= κκ χ LJRLIF (40)

TIF −= 13 (41)

39

Onde κκ =)(L para 0>κ e χ define a localização do “cap” dependente da

deformação volumétrica plástica pkkε e é definida como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

WD

pkkε

χ 1ln1 (42)

40

4 Fluxo com Acoplamento Geomecânico: Implementação Computacional.

4.1 Introdução.

Este Capítulo apresenta aspectos envolvidos na implementação computacional de

procedimentos de solução de problemas de fluxo com acoplamento geomecânico.

Primeiramente, serão apresentadas as formas de acoplamento, com suas respectivas

vantagens e desvantagens, além de indicações de quando se deve utilizar cada tipo

acoplamento. Finalmente, descreve o processo de acoplamento iterativo existente no

STARS.

41

4.2 Tipos de Acoplamento.

Apesar dos recentes avanços, a implementação de procedimentos da solução de

interação entre o fluxo no reservatório e a deformação da rocha ainda oferece muitas

dificuldades, tais como acurácia, convergência e eficiência computacional.

A nomenclatura dos métodos de acoplamento é definida diferentemente por

diversos autores. SETTARI & WALTERS [11] discutiram métodos que vêm sendo usados

para combinar poroelasticidade e cálculos de fluxo multifásicos. Baseados no grau de

acoplamento, eles categorizaram esses métodos em: desacoplado, acoplamento explícito,

acoplamento iterativo e acoplamento implícito ou totalmente acoplado. Os itens a seguir

apresentam uma descrição de cada uma destas categorias de acoplamento.

42

4.2.1 Acoplamento Implícito ou Totalmente Acoplado.

Neste tipo de acoplamento (Figura 14), variáveis de fluxo (por exemplo, pressão) e

respostas geomecânicas (deslocamentos, por exemplo) são calculadas simultaneamente

através de um sistema de equações com pressões, temperatura e deslocamentos como

incógnitas. O método é chamado de totalmente acoplado desde que todo sistema seja

discretizado em um único domínio e resolvido simultaneamente.

Figura 14 – Acoplamento Implícito.

4.2.1.1 Vantagens.

(i) O modelo de reservatório utiliza os volumes e porosidades atualizadas

nos seus cálculos;

(ii) Somente uma matriz é construída para se resolver o sistema de equações;

(iii) Não são necessárias iterações de acoplamento entre modelo geomecânico

e o modelo do reservatório.

(iv) São capazes de resolver problemas de alto grau de acoplamento entre o

fluxo de fluidos e a geomecânica do reservatório

43

4.2.1.2 Desvantagens.

(i) Alto custo computacional;

(ii) O acoplamento é feito com um simulador de reservatório específico.

Várias modificações são necessárias para o acoplamento do modelo

geomecânico com outro simulador de reservatórios;

(iii) Difícil controle da convergência, especialmente quando se lida com

fluxos multifásicos e não-linearidades físicas e geométricas;

(iv) O mesmo tipo de método numérico deve ser utilizado, como por

exemplo, diferenças finitas (OSORIO [5]) ou elementos finitos

(TORTIKE & ALI [34]), para se resolver o sistema de equações.

Discretizações mistas podem ser utilizadas (DEAN [35]), entretanto, são

de difícil implementação.

44

4.2.2 Acoplamento Iterativo.

Neste tipo de acoplamento, variáveis de fluxo e geomecânicas são resolvidas

separadamente e sequencialmente por um simulador de reservatórios e um módulo

geomecânico. A conexão é feita para transferir informações essenciais entre os simuladores

(Figura 15). A iteração de acoplamento é controlada por um critério de convergência

normalmente baseados nas mudanças de pressão e tensão entre as duas últimas iterações da

solução.

Figura 15 – Acoplamento Iterativo.

4.2.2.1 Vantagens.

(i) O módulo geomecânico pode ser facilmente acoplado com qualquer

simulador de reservatórios e vice e versa com pequenas alterações no

código;

45

(ii) Sendo as variáveis de fluxo e as variáveis geomecânicas resolvidas

separadamente, os critérios de convergência podem ser controlados mais

facilmente;

(iii) A solução dessa forma de acoplamento é capaz de fornecer os mesmos

resultados da simulação totalmente acoplada, desde que ambos os

simuladores convirjam;

(v) Utilização de métodos numéricos independentes, por exemplo, diferenças

finitas para as equações de fluxo e elementos finitos para as equações

geomecânicas;


(i) Num simulador de reservatórios, o volume total das células é assumido

constante. Para se obter uma solução correta deve-se alterar a porosidade

utilizada no simulador de reservatórios;

(ii) O tempo computacional pode ser bastante elevado devido a problemas

de convergência entre os módulos;

46

4.2.3 Acoplamento Explícito.

Este tipo de acoplamento (Figura 16) é a forma mais fraca para a comunicação

entre o fluxo no reservatório e as deformações. É conhecido como “one way coupling”

(MINKOFF et al. [9]) desde que a informação seja levada somente do simulador de

reservatórios para o módulo geomecânico. Isso significa que mudanças de poro-pressão

induzem a alterações nas tensões e deformações do campo, mas o inverso não acontece.

Figura 16 – Acoplamento Explícito.

4.2.3.1 Vantagens.

(i) É um método de acoplamento rápido. Essa abordagem fornece uma

aproximação da resposta geomecânica devido à variação de pressões no

reservatório;

(ii) As soluções obtidas por um simulador de reservatórios e pelo módulo

geomecânico normalmente convergem desde que não haja iterações entre

eles e que a informação geomecânica não seja utilizada pelo simulador de

fluxo;

47

(iii) Os dois pacotes de softwares não precisam rodar simultaneamente;

(iv) É possível a misturas de metodologias numéricas.


(i) O acoplamento é muito menos preciso sabendo-se que a informação

geomecânica não influencia a solução de fluxo no reservatório;

(ii) Os resultados podem ser pouco confiáveis se o reservatório é fortemente

afetado pelas deformações, como por exemplo, o efeito de compactação

(SULAK et al. [7]).

48

4.2.4 Pseudo Acoplamento.

Este termo de acoplamento foi definido para os métodos simplificados de se

introduzir a geomecânica nos simuladores de reservatórios. Nesta forma de acoplamento

(Figura 17), o simulador de reservatórios pode calcular algumas respostas geomecânicas,

como compactação e variações na tensão horizontal, por simples relações entre

porosidades e deslocamentos verticais e entre porosidades e tensões, respectivamente.

A porosidade e permeabilidade absoluta são normalmente atualizadas, por modelos

empíricos, como função da pressão (ITO et al [36]), ou através de tabelas de porosidade e

permeabilidade versus pressão (IMEX [37]). Para se obter as respostas geomecânicas

assume-se tensão vertical constante, deformações horizontais nulas e materiais elásticos e

isotrópicos.

Figura 17 – Pseudo Acoplamento.

4.2.4.1 Vantagens.

(i) Não é necessário um módulo geomecânico. O próprio simulador de

reservatórios pode prever alguns comportamentos, como compactação e

tensões horizontais;

49

(ii) Os dados obtidos de testes de campo podem ser facilmente ajustados com

os parâmetros dos modelos empíricos;

(iii) O método economiza tempo e esforço computacional por não necessitar

de um módulo geomecânico;

(iv) Dentre os métodos de acoplamento, é o mais rápido para se fazer ajuste

de histórico (YANG et al. [38]).


(i) O método simplifica a física do processo de acoplamento;

(ii) O método não fornece informações das tensões de cisalhamento, as quais

afetam fortemente danos em revestimento de poços;

(iii) Os resultados podem ser irrelevantes por considerar somente deformação

vertical;

(iv) As funções introduzidas no simulador para representar os efeitos

geomecânicos não têm relação direta com ensaios de laboratório.

50

4.3 Escolha do Tipo de Acoplamento.

Em geral, o acoplamento iterativo é o método mais utilizado e possui uma grande

gama de aplicações, tais como: acoplamento entre fluxo compressível e deformações

estruturais (TRAN et al. [39]); acoplamento entre um simulador de reservatórios e um

módulo de traçadores (STARS-IFE); acoplamento de um simulador de reservatórios e

facilidades de superfície (IMEX-FORGAS), etc.

Apesar de o método explícito ser o tipo de acoplamento mais fraco dentre os quatro

citados, ele ainda pode ser utilizado em reservatórios de gás onde a compressibilidade do

gás é muito maior que a compressibilidade da rocha. Consequentemente, o balanço de

massa é controlado, principalmente, pelas pressões no gás e a variação das tensões deixa de

ser significativas.

Por outro lado, o acoplamento iterativo ou o acoplamento implícito são

recomendados quando a compressibilidade da rocha afeta significativamente o balanço de

materiais, tais como fenômenos de compactação e subsidência ou ainda para

comportamentos não-lineares presentes na rocha. Se o ajuste de histórico é a prioridade do

projeto, o tempo é curto e fenômenos como compactação do reservatório não são

importantes, o pseudo-acoplamento é o mais indicado.

Por essas razões, nessa dissertação será empregado o acoplamento iterativo

presente no STARS.

51

4.4 Descrição do Acoplamento Iterativo.

O procedimento descrito neste item segue os algoritmos utilizados no software

STARS (Manual do STARS [1]) da CMG, empregados nessa dissertação. Acoplamento

iterativo que atualiza porosidade e permeabilidade no simulador de fluxo.

O acoplamento entre a deformação do meio poroso e o fluxo no reservatório

acontece de forma seqüencial, ou seja, os cálculos se alternam passando informações de

um modelo para o outro (geomecânico para fluxo e vice-versa). O modelo de fluxo atualiza

as pressões e temperaturas num intervalo especificado. O módulo geomecânico atualiza as

deformações em função das pressões e temperaturas provenientes. Para completar o loop, o

módulo geomecânico envia a informação do cálculo da nova deformação de volta para o

modelo de fluxo para ser utilizada no passo de tempo seguinte. A informação é transmitida

do simulador de fluxo para o modulo geomecânico via condições de contorno de pressão e

temperatura. Entretanto, não é obvio como o módulo geomecânico alimenta o modelo de

fluxo.

Um simulador de fluxo convencional calcula a porosidade como função da pressão

e da temperatura, de tal forma que o volume poroso e o balanço de massa sejam

conservados entre dois intervalos de tempo (time steps) subseqüentes. Aqui, “conservado”

significa que a porosidade no início de um time step é igual à porosidade no final do time

step anterior nas referentes pressões e temperaturas. Quando a função porosidade ),( Tpϕ

não varia com o tempo, balanço de materiais está assegurado.

Entretanto, a função porosidade pode variar entre time steps permanecendo a

conservação de massa. Sendo np e nT as soluções de um bloco para o time step ""n que

usa a função porosidade ),( Tpnϕ . O próximo time step, "1" +n , começa com npp = e

nTT = , mas tendo uma diferente função porosidade ),(1 Tpn+ϕ . A porosidade e o balanço

52

de massa serão conservados entre dois time steps se ),(),( 1 TpTp nn += ϕϕ . Entretanto, nϕ

e 1+nϕ podem ter derivações diferentes no que diz respeito às variáveis p e T em npp =

e nTT = .

A deformação volumétrica causada pela consideração do acoplamento geomecânico

é expressa no simulador de fluxo através da mudança de parâmetros na função porosidade.

Esses parâmetros são mantidos constantes durante a convergência de um time step, mas são

atualizadas entre os time steps mantendo-se conservados a porosidade e o balanço de

materiais. A atualização do módulo geomecânico é computada para cada bloco do grid de

simulação, sendo os parâmetros da função porosidades variáveis por bloco.

O acoplamento utilizado nos casos estudados nessa dissertação apresenta a variação

da porosidade sendo função da pressão, temperatura, e da tensão total média, seguindo a

fórmula (Manual do STARS [1]):

))(())(( 221121 nn

onn TTaccppacc −++−++=+ φφ (43)

Onde,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

dpdTV

dpd

cVdp

dVV

c pm

bbp

bo β

σα0

1 (44)

β01b

p

VV

c = (45)

bb

b cVV

c α02 −= (46)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= bcEfactora αν )1(9

21 (47)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= βν )1(9

22

Efactora (48)

53

Sendo, bc a compressibilidade total, E o módulo de elasticidade, 0bV o volume

total inicial, bV o volume total, α a constante de Biot, ν o coeficiente de Poisson, pV o

volume poroso, mσ a tensão total média, β o coeficiente de expansão térmica da rocha e

factor é uma variável dependente das condições de contornos impostas ao problema.

Por exemplo, para 0=factor o reservatório é impedido de se deslocar apenas na

sua base e movimentos liberados nas outras direções (Tipo 1). Se o reservatório é impedido

de se deslocar lateralmente e é livre para deslocamentos verticais (Tipo 2), 1=factor . Se

o reservatório possui condições de contorno em todas as direções, tem-se

)21/()1( υυ −−=factor . A Figura 18 ilustra essas condições.

Figura 18 – Condições de Contorno.

54

5 Procedimentos para Geração de Modelos e Simulação de Reservatórios.

5.1 Introdução.

Neste Capitulo serão mostrados princípios básicos da simulação de reservatório.

Em seguida apresenta-se alguns conceitos importantes relacionados à geomecânica de

reservatórios.

55

5.2 Simulação de Reservatórios - Software STARS.

O esquema mostrado na Figura 19 fornece uma idéia da importância do uso da

simulação numérica no estudo de reservatórios. O uso de simulador numérico permite a

obtenção de informação sobre o desempenho de um campo ou reservatório sob diversos

esquemas de produção, de modo que podem ser determinadas as condições ótimas para se

produzir esse campo ou reservatório (ROSA et al. [28]).

Figura 19 – Aplicações de simuladores numéricos de reservatórios.

As etapas normalmente seguidas na execução de um estudo de reservatório,

utilizando simuladores numéricos, podem ser resumidas no esquema apresentado na Figura

20.

56

Figura 20 – Etapas de um estudo de reservatório usando um simulador numérico.

5.2.1 Coleta e preparação de dados

Inicialmente tem-se uma fase de coleta e preparação de dados, quando se procura

armazenar e interpretar todos os dados disponíveis do reservatório em questão, incluindo

dados sobre a geologia, rocha, fluidos, testes de formação, produção e completação de

poços (quando existirem). Quanto maior a quantidade dos dados, mais confiável será o

modelo.

5.2.2 Preparação do modelo numérico

Após a coleta e preparação dos dados, a etapa seguinte consiste na construção do

modelo numérico propriamente dito. Para isso faz-se inicialmente o lançamento do grid ou

malha, ou seja, constrói-se um arcabouço para ser preenchido com as informações

necessárias. Esta etapa consiste em dividir o reservatório em várias células, conectadas

entre si, cada uma delas funcionando como um reservatório, conforme a Figura 21.

57

Figura 21 – Malha utilizada na simulação numérica de um reservatório.

Para cada célula em que foi dividido o reservatório devem ser fornecidos os dados

necessários para compor o modelo numérico, tais como porosidade, permeabilidade,

espessura, curvas de permeabilidade relativa, propriedades PVT, etc. Além disso, é

necessário informar dados do poço, tais como geometria, localização e controle.

5.2.3 Ajuste de histórico

Etapa de validação cujo principal objetivo é ajustar o modelo numérico de forma

que este consiga representar os dados dinâmicos observados durante a fase de produção do

poço. O ajuste de histórico consiste em calcular o comportamento passado do reservatório

e comparar com o histórico do campo ou reservatório (produção de água, gás e óleo, dados

de pressão, etc.). Se a concordância não é satisfatória, dados como permeabilidade

absoluta, permeabilidade relativa, porosidade, etc.,são variados de uma simulação para a

outra até que o ajuste seja considerado adequado.

Se os dados disponíveis para criação do modelo forem adequados, provavelmente

um bom ajuste de histórico será obtido e o modelo poderá ser usado para realizar previsões

confiáveis em relação ao seu comportamento futuro. Se os dados forem incompletos ou

suspeitos, o modelo numérico poderá ser usado somente para comparações

58

semiquantitativas de resultados dos diferentes modos de operação do reservatório. A

precisão da simulação pode ser melhorada pelo ajuste de histórico.

5.2.4 Extrapolação

Ajustado o histórico, a próxima etapa é a utilização do modelo para se prever o

comportamento futuro do reservatório. Durante essa etapa, as vazões dos poços não são

mais impostas como na etapa de ajuste de histórico. Normalmente, os poços produzirão

com pressões de fluxo especificadas, obtendo-se então as suas vazões através do uso do

modelo numérico alimentado no simulador de fluxo.

Quando um modelo numérico, após um ajuste de histórico é usado para se prever o

desempenho futuro de um reservatório, não significa que a previsão fornecerá resultados

próximos do comportamento real. Em geral, quanto mais longo o histórico, mais digna de

confiança é a previsão.

Entretanto, o ajuste de histórico é um problema de regressão com múltiplas

soluções, onde diferentes modelos com diferentes combinações de valores dos parâmetros

podem representar de forma satisfatória os dados de produção.

Outra questão que deve ser considerada é a natureza de incerteza do problema. Os

dados disponíveis para construção do modelo de reservatório são: dados areais de sísmica,

que normalmente não tem nitidez necessária para o detalhamento interno do reservatório; e

dados pontuais dos poços, que são interpolados para o restante do reservatório, mas que

podem não ser representativos.

Os ambientes de incertezas (principalmente geológicas) além de conhecimento de

poucos dados que podem não ser representativos do reservatório como um todo tornam o

resultado não determinístico. Desta forma são realizadas previsões probabilísticas e

estudos de diferentes cenários para considerar as incertezas do problema.

59

Esse conjunto de incertezas nos faz acreditar na seguinte premissa: O

ACOPLAMENTO GEOMECÂNICO SÓ DEVE SER REALIZADO QUANDO SE

ACREDITA NO MODELO DE SIMULAÇÃO.

60

5.3 Obtenção dos Parâmetros Geomecânicos para Simulação.

Os parâmetros geomecânicos a serem utilizados na simulação podem ser divididos

em dois conceitos, são eles: tensões principais (magnitude e direção) e parâmetros de

resistência. Os parâmetros e seus respectivos ensaios e/ou métodos de obtenção serão

descritos nessa seção de maneira simplificada, maiores informações sobre esses conceitos

podem ser obtidos nas referências (CAPUTO [40]), (GOODMAN [41]) e (GARCIA [42]).

Outros métodos de obtenção dos parâmetros citados existem, mas não serão discutidos

nessa dissertação

5.3.1 Tensões Principais.

Seja um estado de tensões definido pela matriz:

xyzzzyzx

yzyyx

xzxyx

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=στττστττσ

Τ

Num outro sistema ',',' zyx teríamos TRΤRΤ' ..= . Verifica-se que, sendo Τ uma

matriz simétrica, existe certo sistema ',',' zyx tal que:

''''

'

'

000000

'

zyxz

y

x

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

σσ

σΤ

Existem, então, no ponto em estado tensional, 3 planos ortogonais em que não

atuam tensões cisalhantes (planos ou facetas principais); as direções das suas normais (ou

seja as direções ',',' zyx ) são as direções principais; e as tensões normais ''' ,, zyx σσσ são

as tensões principais, conhecidas como 321 ,, σσσ .

61

5.3.1.1 Direção das Tensões Principais.

Na engenharia de petróleo segue-se a seguinte hipótese: a tensão vertical é

considerada uma tensão principal, logo, no plano horizontal existe duas tensões principais,

que são chamadas de tensão horizontal máxima e tensão horizontal mínima.

Para determinação das direções das tensões horizontais máximas e mínimas pode-se

utilizar perfis imagem (Figura 22).

Figura 22 - Visualização de fraturas induzidas no perfil imagem.

Os perfis imagem são capazes de indicar zonas de breakouts e de fraturas induzidas

na fase de perfuração (paralelas a direção da tensão horizontal máxima). Dos perfis

disponíveis, pode-se destacar os acústicos e os elétricos (melhor resolução). O método de

breakouts baseia-se no mapeamento por perfil imagem ou caliper de regiões do poço onde

ocorrem rupturas por cisalhamento da parede (Figura 23). A direção dos breakouts é

ortogonal a direção da tensão horizontal máxima.

62

Figura 23 – Breakouts, rupturas por cisalhamento.

5.3.1.2 Magnitude das Tensões Principais.

A tensão vertical é facilmente obtida integrando-se os valores de densidade (obtida

através dos perfis de densidade - Figura 24), sendo zρ , a massa especifica ao longo da

profundidade.

Figura 24 – Tensão vertical: integração do perfil de densidade.

63

Os métodos mais utilizados para determinação da magnitude das tensões principais,

na indústria do petróleo, são baseados no fraturamento hidráulico da rocha, são eles: Step

rate test; Formation Limit Test (FIT); Leak-off test (LOT) e Leak-off test estendido

(XLOT).

A Figura 25 apresenta o resultado de um Leak-off test estendido.

Figura 25 – Leak-off test estendido.

Pressão de quebra (FBP): Ponto onde ocorre a ruptura da formação por tração em

função do aumento da pressão.

Pressão de propagação (FPP): É a pressão de fundo com que a fratura se propaga.

Pressão instantânea de fechamento (ISIP): É a pressão que se estabelece na entrada

da fratura assim que é parado o bombeio.

Pressão de fechamento (FCP): Pressão na qual a fratura se fecha. O valor desta

pressão é tomado como sendo o módulo da tensão horizontal mínima.

A magnitude da tensão horizontal máxima pode ser simplificadamente obtida por:

tecthH σσσ += ; as tensões tectônicas ( tectσ ) fazem com que as tensões maiores sejam

diferentes das menores (anisotropia) e eventualmente maiores que a tensão vertical. Em

64

bacias ditas relaxadas, onde o tectonismo não atua, as tensões horizontais máxima e

mínima podem ser consideradas iguais.

5.3.2 Parâmetros de Deformabilidade e Resistência.

A teoria da elasticidade linear é baseada no comportamento elástico dos materiais,

ou seja, na proporcionalidade entre as tensões σ e as deformações ε , segundo a lei de

Hooke. A razão εσ=E denomina-se módulo de elasticidade ou módulo de Young. A

correspondente expansão lateral do material terá por valor εσυε −=l , onde υ é o

coeficiente de Poisson. A constante de Biot, apresentada na Equação (30), é definida por

skk−= 1α . Ela representa a relação entre os módulos de compressibilidade da matriz

rochosa ( k ) e o módulo de compressibilidade dos grãos ( sk ). O coeficiente de Biot é uma

constante criada para considerar que a pressão de poros poderia também afetar a

deformação das rochas.

A teoria da plasticidade é a designação dada ao estudo matemático, com base

experimental, das relações tensão-deformação dos corpos que sofrem deformações

plásticas, isto é, deformações que permanecem, mesmo quando cessadas as causas que as

determinaram. Os critérios de ruptura (passagem do regime elástico para o plástico), com

base em especulações teóricas ou em informações experimentais, estabelecem as condições

de ruptura dos materiais. Vários são os critérios existentes.

O critério de Mohr-Coulomb é na realidade um caso particular do critério de Mohr

(CAPUTO [40]). Segundo esse critério, haverá ruptura do maciço (de características c e

φ , coesão e ângulo de atrito interno) quando em cada ponto ao longo da superfície de

ruptura (Figura 26) a tensão de cisalhamento iguala a resistência ao cisalhamento, isto é,

quando: φσττ tgcr .+== .

65

Figura 26 – Critério de ruptura de Mohr - Coulomb.

Sob a denominação genérica de atrito interno, inclui-se não somente o “atrito

físico” entre suas partículas, como o “atrito fictício” proveniente do entrosamento de suas

partículas, no solo, não existe uma superfície nítida de contato, há uma infinidade de

contatos pontuais. Quanto à coesão, distingue-se a “coesão aparente” e a “coesão

verdadeira”. A primeira, resultante da pressão capilar da água contida nos poros, e que age

como se fosse uma pressão externa. A segunda é devida a forças eletroquímicas de atração

das partículas.

5.3.2.1 Magnitude dos Parâmetros de Resistência.

Os parâmetros de resistência podem ser obtidos através de ensaios laboratoriais.

Mas essa prática ainda é pouco adotada na indústria do petróleo. Mesmo que pudessem ser

realizados ensaios para os testemunhos de todos os poços perfurados no campo ainda

teríamos uma aproximação significante: esses ensaios são locais e interpolações podem

não representar a realidade do campo.

Quando não se tem ensaios que determinam os valores dos parâmetros de

resistência necessários para uma simulação com acoplamento geomecânico, pode-se

utilizar de artifícios analíticos, baseados em perfis corridos nos poços. São equações que

correlacionam os parâmetros de resistência a respostas dos perfis (sônicos,

66

principalmente). Essas correlações podem ser obtidas em (Relatório GMI [43]), e não serão

descritas nessa dissertação.

67

6 Verificação Analítica do Código Stars.

6.1 Introdução.

Neste Capítulo apresenta-se a comparação de resultados analíticos com os

fornecidos por simulações numéricas empregando o software STARS.

Vale observar que o software STARS já é amplamente utilizado pela indústria do

petróleo em simulações térmicas e com acoplamento geomecânico, de modo que o objetivo

deste Capítulo não é validar o código nem simular ensaios de laboratório, e sim fazer

comparações com soluções analíticas, para posteriormente utilizá-lo em estudos mais

aprofundados.

68

6.2 Ensaio de Permeabilidade.

O procedimento de um ensaio de permeabilidade pode ser obtido em SOARES, et

al.[44] e não fará parte do escopo dessa dissertação. O resultado do ensaio de

permeabilidade pode ser mostrado na forma da Tabela 1.

Tabela 1 - Resultado do ensaio de permeabilidade.

As colunas 3 e 4 da Tabela 1 são os parâmetros de entrada para o simulador, pela

palavra chave GPERMVL. Desta forma comparou-se a formulação analítica (Lei de Darcy)

com a formulação numérica (STARS), e obtiveram-se os resultados expostos nas seções

seguintes.

69

6.2.1 Solução Numérica - STARS.

A Figura 27 apresenta o modelo criado no STARS.

Figura 27 – Modelo para comparação com ensaio de permeabilidade.

O modelo simula um fluxo monofásico unidimensional. Foi alocado um poço

injetor em uma extremidade e um poço produtor na outra extremidade. As características

do modelo são as seguintes: monofásico, água, com viscosidade de cP4,0 ou sPax .104 4− ;

fluxo constante com vazão estabelecida de dbbl /10 ou smx /1084,1 35− ; área aberta ao

fluxo igual a 2100 ft ou 229,9 m ; comprimento ft290 ou m39,88 . A análise neste caso é

direta: com a permeabilidade ( mD39 ) e o estado de tensões como dado de entrada, definir

o PΔ que será utilizado na análise inversa da seção 6.2.2.

Desta forma foram realizados dois casos. O primeiro representando a condição

inicial (explícita na primeira linha da Tabela 1), ou seja, estado de tensões igual a psi1500

(Caso 1), e o segundo representando a influência do estado de tensões na permeabilidade

(segunda linha da Tabela 1), ou seja, estado de tensões igual a psi6500 (Caso 2).

As Figuras 28 e 29 mostram os respectivos resultados para o primeiro e segundo

casos quanto ao PΔ aplicado no modelo.

70

Figura 28 - Condição Inicial: 1500psi.

Figura 29 – Condição 2: 6500psi.

Desta forma, os PΔ obtidos foram:

Caso 1 - psiPP 1,2645,190026,19266 =Δ→−=Δ ou PaP 875,1820905=Δ ;

Caso 2 - psiPP 2,2945,190027,19296 =Δ→−=Δ ou PaP 123,2028438=Δ

6.2.2 Solução Analítica - Lei de Darcy.

A Lei de Darcy, na sua forma simplificada, pode ser definida segundo a Equação

49.

LAPKQ

w ΔΔ

=..

μ (49)

71

Sendo Q a vazão; K a permeabilidade absoluta; rwK a permeabilidade relativa à

água; PΔ o diferencial de pressão, wμ a viscosidade da água e A a área aberta ao fluxo.

De acordo com os resultados obtidos na seção 6.2.1 pode ser realizada uma análise

inversa para o cálculo da permeabilidade absoluta K , a Equação 49 fica:

APLQK w .

..ΔΔ

= μ (50)

Substituindo valores na Equação 50 em unidades SI, obtém-se:

Caso 1 - 2141

451 108457,3

29,9875,182090539,8810.410.84,1 mxK

xxxK −−− =→= ou

mDK 97,381 = ;

Caso 2 - 2142

452 104523,3

29,9123,202843839,8810.410.84,1 mxK

xxxK −−− =→= ou

mDK 98,342 = .

6.2.3 Análise Comparativa.

Os resultados da análise comparativa foram considerados bons. A Tabela 2 mostra

os erros relativos encontrados.

Tabela 2 – Análise comparativa: analítico x numérico.

K - Ensaio (mD) K - Análise Inversa (mD) Erro Relativo (%) Condição Inicial 40 38,97 2,575 Condiçao Final 36 34,98 2,575

O simulador respondeu de forma eficaz quando solicitado o comando GPERMVL, o

que aumenta ainda mais a confiança no simulador. Esta linha de comando também será

utilizada nos demais casos estudados nessa dissertação.

72

6.3 Compactação do Reservatório.

A compactação de reservatórios é um fenômeno que já foi bastante estudado (seção

2.3) e influencia significativamente a produção do campo e a manutenção dos

equipamentos de superfície. Esta seção visa comparar a simulação da compactação de um

reservatório sintético utilizando-se o software STARS com a abordagem semi-empírica

desenvolvida por SMITH et al. [22] que foi descrita na seção 2.2.

6.3.1 Solução Numérica - STARS.

A Figura 30 mostra o modelo criado com o software.

Figura 30 – Modelo 3D para cálculo da compactação.

O modelo é tridimensional 3x3x3, ou seja, 3 células na direção “ x ”, 3 células na

direção “ y ” e 3 na direção “ z ”. As dimensões são mDx 100= ou ftDx 328= ;

mDy 100= ou ftDy 328= e mDz 33,3= ou ftDz 93,10= . As características físicas do

modelo estão definidas na seção 7.4.2.

Foram alocados poços produtores em todas as células, produzindo a vazão

constante para simular uma depleção uniforme por camadas. O modelo apresenta

73

porosidade inicial constante e igual a 3,0 e permeabilidades iguais a: mDKx 39= ,

mDKy 39= e mDKz 9,3= . O modelo foi inicializado com a tensão vertical constante no

valor de psiv 3515=σ . As condições de contorno estão representadas na Figura 31.

Figura 31 – Condições de contorno para cálculo da compactação.

As Figuras 32 e 33 mostram os resultados em termos da variação da porosidade e

da compactação calculada pelo simulador, respectivamente.

Figura 32 – Variação da porosidade pelo efeito geomecânico.

74

Figura 33 – Cálculo da compactação pelo efeito geomecânico.

6.3.2 Solução Semi-Empírica.

Como mostrado na seção 2.2, o valor total da compactação esperada num

determinado estágio de depleção pode ser determinada pela seguinte equação:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=Δ

)(100)(

e

ei

vv

hihσφ

σφφ (51)

Substituindo-se os valores na Equação 51, obtém-se:

fthh 26,12,271002,27308,32 =Δ→⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

=Δ

6.3.3 Análise Comparativa.

Vale ressaltar que a coincidência dos valores das análises semi-empirica e numérica

não é valida para qualquer estágio de depleção do modelo. No caso descrito nessa

75

dissertação, a proximidade com o resultado semi-empirico foi atingida com uma depleção

de psi10000 ou 2703 cmkgf . A Tabela 3 mostra as diferenças encontradas.

Tabela 3 – Análise comparativa: semi-empírico x simulador.

Delta h (ft)- Equação Delta h (ft)- Simulador Erro Relativo (%) Resultado 1,26 1,24 1,59

76

7 Análise de Sensibilidade sobre os Parâmetros Geomecânicos.

7.1 Introdução.

Neste Capítulo serão apresentados os conceitos de planejamento de experimentos e

superfície de resposta. Em seguida será descrito o modelo sintético, com suas

características físicas, geometria e o controle das simulações realizadas. Posteriormente

serão apresentados os parâmetros envolvidos, os casos estudados e, finalmente, serão

mostrados os resultados com discussões relevantes.

77

7.2 Planejamento de Experimentos.

O planejamento de experimentos é uma técnica estatística amplamente utilizada em

outras áreas das ciências exatas e humanas, como química e biologia, que tem como

princípio obter o máximo de informação usando o menor número de experimentos

possível, variando todos os parâmetros de incerteza simultaneamente. No caso da

engenharia de reservatórios, o processo físico é substituído pela simulação de fluxo,

tornando o experimento numérico. Portanto, o planejamento de experimentos corresponde

a um grupo específico de simulações de fluxo em reservatório que cobre o domínio de

incertezas de forma otimizada. Existem vários tipos de planejamentos já conhecidos e

tabulados. O tipo de planejamento de experimentos a ser utilizado deve ser escolhido

considerando o objetivo do estudo. A utilização do planejamento de experimentos pode

contribuir com o desenvolvimento industrial pela otimização das grandezas de interesse, da

determinação dos fatores influentes sobre essas grandezas, eventualmente das suas

interações e pela minimização dos efeitos da variabilidade sobre o desempenho de um

processo ou de um produto (NETO et al.[45]).

Este planejamento permite ao experimentador melhorar as performances dos

produtos e processos, atenuar a sensibilidade de seus elementos a fatores que não podem

ser controlados e reduzir os custos de desenvolvimento e de fabricação.

O planejamento de experimento possui como principais vantagens:

• Diminuição do número de ensaios / simulações;

• Estudo de um número considerável de fatores;

• Detecção das interações entre os fatores;

• Detecção dos níveis ótimos;

• Melhoria da precisão dos resultados;

78

• Otimização dos resultados.

O objetivo deste trabalho é utilizar o planejamento de experimentos para

efetuar a análise dos parâmetros que possuem maior influência na produção final do

campo (Np), através da variação dos parâmetros geomecânicos, tais como: módulo de

elasticidade, coeficiente de Poisson, coeficiente de Biot, ângulo de atrito, coesão e posição

do “cap” (vide seção 3.7.4), com base nesta análise, prever melhor a influência dos

parâmetros geomecânicos na simulação de fluxo, comparando-se a produção final do

campo.

79

7.3 Metodologia de Superfícies de Resposta.

Nas diversas áreas de pesquisa, como, por exemplo, a Engenharia de Reservatórios,

os pesquisadores freqüentemente se deparam com o problema de relacionar a influência de

variáveis quantitativas que afetam uma ou mais variável-resposta. Na maioria das vezes, o

relacionamento desejado entre resposta e fatores é aquele que determina uma combinação

dos níveis dos fatores, que dão uma resposta ótima.

A metodologia de superfície de resposta é essencialmente um conjunto de técnicas

estatísticas usadas em pesquisas, com a finalidade de determinar as melhores condições e

dar maior conhecimento sobre a natureza de certos fenômenos. A superfície é construída a

partir dos resultados das simulações do planejamento de experimentos, que procura

relacionar respostas com os níveis de fatores quantitativos que afetam as mesmas (NETO

et al.[45]). Esse relacionamento entre respostas e níveis de fatores procura, entre outros,

atingir um dos seguintes objetivos: estabelecer uma descrição de como uma resposta é

afetada por um número de fatores em alguma região de interesse; estudar e explorar a

relação entre várias respostas e extremos obrigatórios; localizar e explorar a vizinhança de

resposta máxima ou mínima.

Finalmente, o modelo de superfície de resposta é rápido e pode substituir os

resultados do simulador (muito mais demorados de se obter) com razoável precisão, em

certo domínio de variação dos parâmetros. O modelo pode ser utilizado, por exemplo, para

se encontrar os valores de variáveis de interesse, tais como produção acumulada (Np) e

vazão de óleo (Qo). Como exemplos de superfícies de resposta, têm-se as superfícies

lineares (Figura 34), que para serem construídas são utilizados somente os resultados das

simulações com variáveis nos níveis mínimo e máximo (-1,1), e superfícies quadráticas

(Figura 35) que para sua construção utiliza-se resultados de simulações com variáveis nos

80

níveis mínimo, máximo e médio. O software COUGAR foi utilizado para a construção da

superfície de resposta com a técnica de planejamento de experimentos (NETO et al.[45]).

Figura 34 – Exemplo de uma superfície de resposta linear.

Figura 35 – Exemplo de uma superfície de resposta quadrática.

81

7.4 Descrição do Modelo Sintético.

O modelo sintético foi construído utilizando-se o software comercial STARS, da

CMG (Manual do STARS [1]), simulador numérico tridimensional, térmico, que utiliza

diferenças finitas para resolução das equações de fluxo e elementos finitos para resolução

das equações da mecânica dos sólidos (módulo geomecânico).

O arranjo construído representa células de repetição, que serão refletidas nos eixos

ordenados ( X e Y ) de modo a se obter a malha completa do reservatório. Foi considerado

o sistema five-spot (Figura 36), e modelado 41 do sistema.

Figura 36 – Malha five-spot.

7.4.1 Geometria.

O reservatório modelado tem formato de uma “caixa de sapato”, com 15 (quinze)

células na direção X , 15 (quinze) células na direção Y e 11 (onze) células na direção Z

(Figura 37), sendo as dimensões das células ( xD , yD e zD ), utilizando-se o sistema “field”

de unidades (Tabela 4), iguais a ft181 , ft181 e ft20 , respectivamente. O topo do

reservatório está a ft25230 ou m7690 de profundidade. Os poços são verticais e o

diâmetro, tanto do poço produtor quanto do injetor, é de m216,0 . As condições de

contorno estão representadas na Figura 31.

82

Figura 37 – Geometria do reservatório.

Tabela 4 – Sistemas de unidades.

Variável ou Parâmetro Field Darcy Petrobras Americano Comprimento ft cm m ft Massa lb g kg lb Temperatura F K C F Tempo d s h h Permeabilidade md Darcy md md Pressão psi atm kgf/cm² psi Viscosidade cp cp cp cp Vazão de Óleo bbl³/d cm³/s m³/d bbl/d Vazão de Gás ft³/d cm³/s 10³ m³/d 10³ ft³/d Volume bbl cm³ m³ bbl

7.4.2 Características Físicas.

O modelo possui porosidade (φ ) constante e igual a 2,0 . As permeabilidades

horizontais ( xK e yK ) são iguais a mD40 , enquanto que a permeabilidade na direção

vertical foi especificada com mD4 . O modelo é trifásico, mas a pressão de bolha não é

atingida, logo, o gás não sai de solução, estando presentes somente as fases óleo e água.

Sendo o STARS um software com representação dos fluidos na forma pseudo-

composicional, suas características de PVT não são definidas da forma convencional,

como num modelo black-oil por exemplo. Encontra-se definido no Manual do STARS [1]

as linhas de comando necessárias para definição dos fluidos na forma pseudo-

83

composicional. Têm-se algumas complicações importantes quando se considera esse tipo

de abordagem, como, por exemplo, a variação da viscosidade somente com a temperatura,

ou seja, não se altera a viscosidade dos fluidos com a variação de pressão.

Desta forma, vislumbra-se uma dificuldade encontrada para definição dos fluidos

para simulação com acoplamento geomecânico com o software da CMG: o módulo

geomecânico foi desenvolvido acoplado ao simulador térmico da CMG, haja vista a

importância do fenômeno em campos com injeção cíclica de vapor, mas no caso da

maioria dos modelos de reservatórios, onde a abordagem utilizada é black-oil para

definição dos fluidos, a variação de temperatura é menos importante. O ideal seria o

módulo geomecânico também se comunicar com o Imex, simulador black-oil da CMG.

Nessa dissertação foi utilizado um método descrito em PRAIS et al. [46] para

“transformação de um fluido black-oil em pseudo-composicional”.

Ainda com as características do modelo, a viscosidade do óleo foi definida como

cP38,14 , a viscosidade da água igual a cP4,0 e a saturação de óleo inicial ( oiS ) igual a

68,0 . As curvas de permeabilidades relativas estão definidas na Tabela 5 e Figura 38.

Tabela 5 – Dados de permeabilidades relativas.

Sw Krw Kro 0,320 0,000 0,700 0,342 0,000 0,600 0,363 0,000 0,510 0,385 0,001 0,430 0,406 0,002 0,358 0,428 0,005 0,295 0,449 0,008 0,240 0,471 0,013 0,192 0,492 0,019 0,151 0,514 0,027 0,116 0,535 0,038 0,088 0,557 0,050 0,064 0,578 0,065 0,045 0,600 0,082 0,030 0,621 0,103 0,019 0,643 0,127 0,011 0,664 0,154 0,006

84

0,686 0,184 0,002 0,707 0,219 0,001 0,729 0,257 0,000 0,750 0,300 0,000 1,000 1,000 0,000

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Sw

Per

mea

bilid

ade

Rel

ativ

a

Krw Kro

Figura 38 – Curvas de Permeabilidade Relativa.

7.4.3 Controle da Simulação.

A manutenção da pressão é uma prática comum no desenvolvimento de

reservatórios de petróleo e apresenta algumas vantagens, entre elas a manutenção do estado

de sub-saturação do reservatório, pois isso evita a liberação de gás associado e o aumento

rápido da razão gás-óleo (RGO) dos produtores. Como citado anteriormente, são definidos

dois poços verticais, um injetor e um produtor. O controle desses poços no simulador

numérico é realizado da seguinte maneira: inicialmente, são definidas completações em

todas as células ativas dos poços e estão fechadas no inicio da simulação. O controle do

poço produtor é definido, primeiramente, com vazão máxima de dSTB /3000 , e não

atingindo essa condição, com pressão mínima no fundo do poço de psi1000 . O poço

85

injetor tem como primeiro controle a vazão máxima, em condições de reservatório de

dbbl /3000 .

O tempo de simulação é de anos30 , sendo seu início em 2008/12/31 . Após

inicialização do modelo e estabilização das pressões, abre-se o poço produtor em

2009/06/30 . A produção se inicia e o reservatório atinge um estágio avançado de

depleção. Em 2013/12/31 abre-se o poço injetor, permanecendo ambos abertos até o final

da simulação, em 2039/12/31 . O motivo de uma depleção tão elevada é a intenção de se

melhor observar o efeito da geomecânica na simulação.

Deve sempre se manter o mesmo controle de poço durante toda a simulação para

todas as simulações realizadas para obtenção de uma superfície de resposta com precisão

aceitável para o tipo de aplicação em questão.

86

7.5 Parâmetros Envolvidos na Análise de Sensibilidade.

Os ranges dos parâmetros foram definidos de forma a abrager o maior número de

reservatórios encontrados nas bacias brasileiras. A variação dos parâmetros, que será

interpretada pelo software COUGAR, para realização da análise de sensibilidade está

definida na Tabela 6.

Tabela 6 – Parâmetros geomecânicos envolvidos na simulação.

87

7.6 Casos Estudados.

Foram feitas três análises de sensibilidade considerando o modelo constitutivo

citado na seção 3.7.4, descritas a seguir.

7.6.1 Caso 1 - Regime Elástico.

Neste primeiro caso, todas as simulações foram mantidas no regime elástico. O

estado isotrópico de tensões efetivas inicial era de psihHv 3515''' === σσσ e o parâmetro

que define a posição do “cap” foi fixado em psi100000 , desta forma nenhuma das

simulações atingiu o regime plástico (Figura 39). Os demais parâmetros foram

especificados de acordo com os ranges definidos na Tabela 6.

Figura 39 - Regime Elástico: Superfície de fluência não é atingida em nenhum momento da simulação.

7.6.2 Caso 2 - Regime Plástico.

No segundo caso, todas as simulações atingiram a superfície de fluência. O estado

isotrópico de tensões efetivas inicial era de psihHv 3515''' === σσσ e o parâmetro que

define a posição do “cap” foi fixado em psi4000 , desta forma, em todas as simulações o

88

regime plástico foi atingido (Figura 40). Os demais parâmetros foram especificados de

acordo com os ranges definidos na Tabela 6.

Figura 40 - Regime Plástico: Superfície de fluência é atingida em algum momento da simulação.

7.6.3 Caso 3 - Influência do posicionamento do “cap”.

Nesse terceiro estudo teve-se como objetivo analisar a influência do

posicionamento do “cap”. A posição do fechamento da superfície de ruptura tem sido

muito estudada, e algumas metodologias já foram sugeridas por SOARES [47], apesar

disso, esse é um parâmetro de difícil obtenção, devido a sua incerteza e, principalmente,

por tornar complicada a sua extrapolação para regiões do reservatório que não apresentam

plugs para ensaios, sendo assim, motivou a realização desse terceiro caso. Os únicos

parâmetros avaliados nesse estudo foram a coesão e o posicionamento do “cap”, seguindo

a variação da Tabela 6.

89

7.7 Metodologia e Resultados.

Nesta seção será descrita a metodologia, passo a passo, utilizada para os três casos

descritos anteriormente, para a obtenção dos resultados.

(i) Primeiro Passo: Construção do modelo de reservatórios, com as

características definidas na seção 7.4, utilizando-se o software STARS.

(ii) Segundo Passo: Planejamento de experimentos, utilizando a metodologia

de superfície quadrática e face centrada. Utilizou-se o software Cougar

que, com a variação de cinco parâmetros (casos 1 e 2) e de dois

parâmetros (caso 3) “escolheu” 27 simulações para os primeiros casos e

9 simulações para o caso 3. Em média, cada simulação demorava 12

(doze) minutos, no caso em que não era atingida a superfície de fluência

e 30 (trinta) minutos para aquelas que atingiam.

(iii) Terceiro Passo: Geração da superfície de resposta, considerando a

produção final ( Np ) como parâmetro de saída. Validação da superfície

de resposta comparando-se com os resultados da simulação.

Apresentação dos resultados em termos de produção acumulada ( Np ),

corte de água (Wc ) e variação média de porosidade ( φΔ )

(iv) Quarto Passo: Análise crítica dos resultados na forma de produção

acumulada ( Np ), corte de água (Wc ) e variação média de porosidade

( φΔ ). Sempre se comparando com a simulação convencional, que

considera somente a compressibilidade da rocha como parâmetro de

resistência.

90

Esse procedimento será apresentado para cada caso separadamente até o terceiro

passo, e, ao final, será feita uma discussão global dos resultados da análise de sensibilidade

da influência dos parâmetros geomecânicos na simulação de fluxo.

7.7.1 Caso 1 - Regime Elástico.

Os parâmetros variáveis foram definidos no arquivo de entrada do simulador pela

expressão “$ (parâmetro)”. Esta é a forma que o software Cougar entende que naquele

local ele irá identificar o parâmetro a ser avaliado e substituir o valor de acordo com os

valores definidos na Figura 41.

Figura 41 – Cougar: Controle de parâmetros.

A validação da superfície de resposta é um dos fatores mais importantes de um

estudo de análise de sensibilidade, sendo assim, parâmetros estatísticos como acurácia e

predição são de extrema relevância para essa confirmação. A Figura 42 apresenta a

validação.

91

Figura 42 – Comparação: valores simulados x superfície de resposta.

Os valores de acurácia e predição foram de 993,0 e 942,0 , respectivamente. Esses

valores próximos a hum representam uma excelente validação da superfície de resposta.

Sendo assim, a discussão sobre os resultados a seguir é válida.

O gráfico apresentado na Figura 43 é de suma importância e é um dos principais objetivos

dessa dissertação: determinar os parâmetros mais relevantes, ou seja, os que causam mais

impactos na simulação de fluxo. Essa contribuição pode direcionar a obtenção dos dados

geomecânicos para acoplamento na simulação de reservatórios. Esse gráfico mostra as

percentagens de contribuição dos parâmetros variáveis na superfície de resposta.

92

Figura 43 – Porcentagens de influência na superfície de resposta.

Como era de se esperar, sabendo-se que a superfície de fluência não foi tocada em

nenhuma das 27 simulações rodadas para esse caso, os parâmetros de Mohr-Coulomb,

coesão (coe) e ângulo de atrito (fricangle) se mostraram irrelevantes. Enquanto isso, os

parâmetros de resistência, módulo de elasticidade (elast) e coeficiente de Poisson (poisson)

apresentaram significativa influência na produção acumulada com porcentagens de

influência iguais a 36% e 22%, respectivamente.

Foram traçados gráficos de produção acumulada ( Np ), corte de água (Wc ) e

variação de porosidade ( φΔ ) versus tempo. Dentre as 27 simulações, foi escolhida a mais

impactante, no quesito produção acumulada de óleo. Traçaram-se, então, gráficos

comparativos entre os resultados da simulação convencional e os resultados com o

acoplamento geomecânico.

93

Figura 44 – Produção acumulada de óleo.

Figura 45 – Corte de água.

94

Figura 46 – Porosidade.

7.7.2 Caso 2 - Regime Plástico.

O mesmo procedimento foi seguido para o caso dois, sendo os parâmetros

escolhidos os mesmos apresentados na Figura 41. A única diferença, como já foi

mencionada na seção 7.6.2, é a definição da posição do “cap” em psi4000 , situação esta,

suficiente para garantir que em todas as simulações a superfície de fluência fosse atingida.

A superfície de resposta também apresentou um bom resultado, como pode ser

visto na Figura 47.

95

Figura 47 – Comparação: valores simulados x superfície de resposta.

Os valores de acurácia e predição, nesse caso, foram de 952,0 e 673,0 ,

respectivamente. Esses valores apresentaram uma menor aproximação do valor unitário,

que pode ser explicado pela tentativa de se representar um problema altamente não-linear

por uma superfície de resposta quadrática. Mesmo assim, a discussão sobre os resultados é

pertinente.

Como já foi dito, o gráfico apresentado na Figura 48 é de suma importância e é um

dos principais objetivos dessa dissertação: determinar os parâmetros mais relevantes, ou

seja, os que causam mais impactos na simulação de fluxo, agora levando em consideração

que os parâmetros que delimitam a posição da superfície de fluência (coesão e ângulo de

atrito) estarão sendo avaliados.

96

Figura 48 – Porcentagens de influência na superfície de resposta.

Percebe-se que a coesão, com %18 de influência na superfície de resposta, foi o

parâmetro mais importante, diferentemente do que ocorreu no caso 1. Isso se deve ao fato

de que a plastificação em determinadas regiões do reservatório pode ser determinante na

obtenção de resultados mais realistas.

Foram traçados gráficos de produção acumulada ( Np ), corte de água (Wc ) e

variação de porosidade ( φΔ ) versus tempo. Dentre as 27 simulações, foi escolhida a mais

impactante, no quesito produção acumulada de óleo. Traçaram-se, então, gráficos

comparativos entre os resultados da simulação convencional e os resultados com o

acoplamento geomecânico - regime elástico e acoplamento geomecânico - regime plástico.

97

Figura 49 – Produção acumulada de óleo.

Figura 50 – Corte de água.

98

Figura 51 – Porosidade.

7.7.3 Caso 3 - Influência do posicionamento do “cap”.

Pode-se afirmar que o parâmetro de fechamento da superfície de ruptura é o de

mais difícil determinação. Sendo assim foi questionado, neste caso, qual é a importância

desse parâmetro na simulação acoplada. As diferenças apresentadas entre os casos 1 e 2,

visualizadas nos gráficos das seções 7.7.1 e 7.7.2 explicitam a interferência desse

parâmetro no resultado das simulações. Os demais parâmetros geomecânicos envolvidos

nas simulações foram mantidos fixos da seguinte maneira: módulo de elasticidade igual a

psiE061 ; coeficiente de Poisson igual a 3,0 ; ângulo de atrito no valor de o30 e

coeficiente de Biot igual a 0,1 .

Os valores estatísticos de controle da qualidade da superfície de resposta foram

muito baixos, logo, esta não possui nenhuma relevância. Mais uma vez, é válido relembrar

99

que a não linearidade do problema dificulta a técnica de planejamento de experimentos e

conseqüente formulação da superfície de resposta.

Na Figura 52 é mostrado um gráfico comparativo em termos de produção

acumulada ( Np ) das duas curvas extremas observadas com a variação do parâmetro

“gcaploc” de acordo com a Tabela 6.

Figura 52 – Produção Acumulada de Óleo.

100

7.8 Discussões sobre os Resultados.

Os resultados apresentados na seção 7.7 são bastante relevantes e cumprem o

principal objetivo dessa dissertação que é entender e analisar a influência do acoplamento

geomecânico na simulação de fluxo. A análise de sensibilidade nos permite concluir uma

série de fatores até então pouco discutidas na literatura nacional. O entendimento da

influência desses parâmetros nos possibilita contribuir para tomada de decisões no que diz

respeito à obtenção de dados geomecânicos em determinado reservatório. Essa

contribuição é proveniente dos resultados apresentados nas Figuras 43 e 48 onde se

reconhece aqueles parâmetros que realmente causam algum efeito no resultado da

simulação.

Por exemplo, numa situação onde se conhece o estado de tensões do campo, além

dos parâmetros de resistência da rocha reservatório, e, sabe-se que os estágios de depleção

dificilmente estabelecerão a ruptura do material (Regime Elástico), a determinação, via

ensaios ou correlações, do módulo de elasticidade e do coeficiente de Poisson já serão

suficientes para a realização da simulação acoplada. Mas o desconhecimento da superfície

de ruptura da rocha-reservatório (coesão e ângulo de atrito) pode dificultar estudos mais

aprofundados.

A posição do “cap” se mostrou um parâmetro de suma influência na simulação, mas

sua variação causa problemas para criação da superfície de resposta, além de alguns

problemas numéricos que impactam negativamente na convergência da simulação.

Analisando, agora, as curvas de produção apresentadas nas Figuras 44 e 49. Nota-se

um considerável aumento na produção de óleo acumulada o que nos leva, neste caso, a

uma interpretação de que o efeito de compactação da rocha reservatório é o responsável

por esse aumento. Essa interpretação será detalhada com o auxílio da Figura 53, que

101

apresenta, dividindo-se em dois eixos as produções de óleo acumuladas e as respectivas

variações nas vazões de óleo.

Figura 53 – Vazão de óleo e produção acumulada.

A Figura 53 apresenta, juntamente com a produção acumulada de óleo em cada

caso analisado, as respectivas vazões de óleo. As linhas em vermelho apresentam os

resultados da simulação dita convencional, enquanto que as linhas azuis e verdes mostram

os resultados da simulação acoplada no regime elástico e plástico, respectivamente. A

numeração indica o local onde alguns fenômenos importantes ocorreram.

O ponto 1 do gráfico localiza o instante em que a rocha reservatório atinge a

superfície de fluência, ou seja, plastifica. Nesse momento a vazão de óleo (linha verde)

apresenta um pico que pode ser explicado pela deformação excessiva decorrente da

plastificação do material e conseqüente expulsão dos fluidos presentes no volume poroso.

A diferença entre as curvas de vazão da simulação convencional e do acoplamento ainda

102

no regime elástico é devida às deformações, aqui em menor intensidade, responsáveis pela

compactação e conseqüente aumento na vazão de produção.

Como já foi dito anteriormente o poço injetor é aberto em 2013/12/31 , justamente

o instante onde a inclinação das curvas de vazão muda bruscamente. No ponto 2 percebe-

se uma sutil diferença entre as inclinações das curvas de vazão. Essa diferença está

associada ao comportamento apresentado na Figura 51. Lá, a porosidade média do

reservatório mesmo quando a pressão está sendo restabelecida não aumenta novamente

pela ocorrência do colapso de poros. Fenômeno este, que pode acarretar problemas sérios

de estabilidade de poços, e afetando substancialmente o fator de recuperação. Logo, o

fenômeno de colapso de poros pode ser irreversível e prejudicar a produção do campo.

Ainda na Figura 51, tem-se uma considerável diferença, mesmo ainda com a rocha em

regime elástico, na variação da porosidade média, ou seja, a variação de porosidade e

permeabilidade no reservatório devido à produção são fenômenos importantes e

considerados de forma extremamente simplificada na simulação convencional.

O ponto 3 apresentado na Figura 53 está associado com a chegada de água no poço

produtor. A diferença de aproximadamente 10 meses é explicada pela Equação 13, que

mostra que a velocidade aparente (velocidade da frente de água) está diretamente ligada a

porosidade, e com esta diminuindo, a velocidade da frente aumenta e, consequentemente, a

água chega mais rápido ao poço produtor. Seguindo o gráfico da Figura 53, o ponto 4 nos

mostra a interferência da variação de permeabilidade nos resultados. Com o aumento das

tensões efetivas e conseqüentes deformações, a permeabilidade diminui e é capaz de

reduzir a vazão de óleo do reservatório em produção.

Em termos quantitativos, o aumento da produção, considerando o acoplamento

geomecanico, esteve na ordem de %3,4 considerando a rocha no regime elástico e %2,13

considerando atingido o regime plástico.

103

Vale ressaltar, que nesse caso tivemos um ganho de produção, pois o fenômeno da

compactação foi mais importante que o da variação da permeabilidade com as tensões.

Esses fenômenos se sobrepõem e o resultado pode vir a ser de perda de produção,

dependendo das características do reservatório e principalmente da magnitude dos

parâmetros geomecânicos.

104

8 Comparação Simulação Convencional x Acoplada para um Caso Real.

8.1 Introdução.

Neste Capítulo será feito um estudo comparativo, entre a simulação convencional e

a simulação com acoplamento geomecânico, do “Campo X” da Petrobras.

Além das influências na produção acumulada de óleo e variação de

permeabilidades, serão mostrados outros resultados, às vezes não conseguidos pela

simulação convencional, tais como a variação do estado de tensões e deslocamentos no

decorrer da produção do campo. A visualização da influência da simulação acoplada num

campo com geometria e características reais promove uma contribuição significativa para

utilização da metodologia em questão.

105

8.2 Descrição do Modelo.

O modelo aqui apresentado é derivado de um modelo de simulação do “Campo X”

da Petrobras. O modelo original está representado no software ECLIPSE (Manual do

ECLIPSE [48]) da Schlumberger. A sua conversão para o software STARS implica em

alterações significativas, principalmente, com relação à caracterização de fluidos. Como já

foi dito anteriormente, o software Stars utiliza uma formulação pseudo-composicional dos

fluidos, e a conversão de um modelo black-oil requer algumas considerações que podem

ser encontradas em (PRAIS, et al. [46]). Tendo em vista a utilização de dados considerados

confidenciais, a exposição dos mesmos será feita de maneira simplificada.

8.2.1 Geometria.

A partir do modelo original, “recortou-se” uma região que possuía características

compatíveis ao simulador. Ressalta-se, neste momento, algumas limitações, quanto a

geometria das malhas, do software STARS: o módulo geomecânico não suporta

refinamento local de malhas, não permite a representação de falhas geométricas, além de

não aceitar nós não coincidentes em sua geometria. Essas limitações tornam complicados

estudos mais realistas, principalmente em campos da Petrobras, cujos modelos de

simulação apresentam grande número de falhamentos geológicos. A Figura 54 apresenta a

geometria final da malha.

106

Figura 54 – Geometria do “Campo X”.

A geometria exposta representa uma parcela localizada a nordeste do modelo

original. Esse “pedaço” do campo foi escolhido por apresentar características adequadas e

não infringir as limitações do simulador. As condições de contorno no modelo de fluxo

serão explicadas com auxílio da Figura 54. A face 1 representa uma falha impermeável

oriunda do modelo original. Na face 2 limitou-se a região que interfere na produção do

poço produtor. As faces 3 e 4 são alimentadas por um aqüífero também proveniente do

modelo original. As condições de contorno de deslocamento (módulo geomecânico) estão

apresentadas na Figura 55.

107

Figura 55 – Condições de Contorno: “Campo X”.

Vale ressaltar que essas condições de contorno não são ideais para a análise do

problema. O ideal seria a representação das camadas adjacentes ao reservatório

(overburden, underburden e sideburden) e aplicar as restrições de deslocamento de forma

que as condições de contorno não influenciassem o resultado. No caso, como não se obteve

os dados geomecânicos para caracterização dessas regiões utilizou-se as condições de

contorno apresentadas na Figura 55, que restringe a movimentação vertical da base do

reservatório, mas libera a movimentação lateral do reservatório.

8.2.2 Características Físicas.

Como mencionado anteriormente, a confidencialidade das informações permitem a

explanação dos dados apenas de forma simplificada.

O modelo possui porosidade (φ ) na faixa de 17 a %20 . O modelo é isotrópico

quanto a suas permeabilidades horizontais ( xK e yK ) e estas variam entre 3 a mD50 ,

enquanto que a permeabilidade na direção vertical ( zK ) foi especificada como 10/1 da

108

permeabilidade horizontal. O modelo é trifásico, mas a pressão de bolha não é atingida,

logo, o gás não sai de solução, estando presentes somente as fases óleo e água.

Ainda com as características do modelo, a viscosidade do óleo foi definida como

cP38,14 , a viscosidade da água igual a cP4,0 . A pressão estática do reservatório está em

torno de psi20000 , a lâmina d’água está em torno de m2470 ou ft8100 . A temperatura

do reservatório está em torno de Co118 e a profundidade total verticalizada na ordem de

m8600 ou ft28200 . As curvas de permeabilidades relativas estão definidas na Tabela 5 e

Figura 38.

O controle do poço produtor é definido, primeiramente, com vazão máxima de

dbbl /8000 , e não atingindo essa condição, com pressão mínima no fundo do poço de

psi8000 . O tempo de simulação é de anos30 , sendo seu início em 2008/12/31 . Após

inicialização do modelo e estabilização das pressões, abre-se o poço produtor em

2009/06/30 , mantendo-o aberto até o final da simulação em 2039/12/31 .

109

8.3 Metodologia e Resultados.

Foram feitas simulações, em regime elástico, considerando a geometria e

características físicas descritas nas seções 8.2.1 e 8.2.2, com duas diferentes abordagens. A

primeira considera a compressibilidade da rocha como único parâmetro de caracterização,

senda essa, obtida diretamente do modelo de simulação original do campo. A segunda

abordagem vai um pouco além, e utiliza o módulo geomecânico, alterando-se os valores da

porosidade e permeabilidades absolutas no decorrer da produção.

Os resultados podem ser divididos em duas etapas. Na primeira etapa, será

analisada a influência da “força” do aqüífero na produção final de óleo e de água,

comparando-se as abordagens 1 e 2 definidas no parágrafo anterior. Essa “força” é

controlada alterando-se a espessura do aqüífero. Foram definidas três razões, sempre em

relação ao valor da espessura do modelo original, são elas: 100%; 50% (denominado

“aqüífero fraco”) e 1% (denominado “sem aqüífero”). A segunda etapa apresentará a

variação dos valores de permeabilidade absoluta durante a produção juntamente com

análises estruturais de variações de tensão e deformação no reservatório. Essa análise é de

suma importância, pois, normalmente, não é levada em consideração nas metodologias

ditas convencionais. Serão apresentados gráficos e mapas considerados relevantes para

discussões, são eles, para a primeira etapa de discussão:

a) Curva de produção acumulada de óleo;

b) Valores da produção acumulada de óleo ao final da simulação;

c) Curvas da diferença relativa na produção acumulada de óleo versus

tempo considerando as três “forças” do aqüífero. Simulação

Convencional x Simulação Acoplada ((Cr – Geomech)/Geomech));

d) Gráfico da produção acumulada de água;

110

e) Valores da produção acumulada de água ao final da simulação;

f) Curvas da diferença relativa na produção acumulada de água versus

tempo considerando as três “forças” do aqüífero. Simulação

Convencional x Simulação Acoplada ((Cr – Geomech)/Geomech));

Na segunda etapa, será analisado somente o caso derivado do modelo original, sem

qualquer alteração, com o acoplamento geomecânico. Serão discutidos os seguintes

resultados:

g) Gráfico da variação da permeabilidade horizontal com a profundidade e

com o tempo (nas células do poço produtor);

h) Gráfico da variação da porosidade com a profundidade e com o tempo

(nas células do poço produtor);

i) Mapa da variação de permeabilidades horizontais no topo do

reservatório;

j) Mapa da deformação volumétrica no topo do reservatório;

k) Mapa de variação das tensões cisalhantes no plano XY, na base do

reservatório;

l) Mapa dos deslocamentos na direção Y, na base do reservatório.

Ao final desse Capítulo, na seção de discussões sobre os resultados, será

apresentada uma simulação considerando que a superfície de fluência tenha sido tocada, ou

seja, foi atingida, no “cap” a superfície de ruptura do material. O objetivo dessa simulação

é de se ressaltar a importância de se determinar a “posição do cap” mostrando a diferença

da variação da permeabilidade com a depleção do reservatório comparando-se essa

simulação com a que não atingiu a superfície de ruptura (regime elástico x plástico).

111

Figura 56 – Produção acumulada de óleo: “Campo X”.

Figura 57 – Produção acumulada de óleo ao final da simulação: “Campo X”.

112

Figura 58 – Diferença na produção de óleo: Compressibilidade da rocha x Geomecânica.

Figura 59 – Produção acumulada de água: “Campo X”.

113

Figura 60 – Produção acumulada de água ao final da simulação: “Campo X”.

Figura 61 – Diferença na produção de água: Compressibilidade da rocha x Geomecânica.

114

Figura 62 – Variação do perfil de permeabilidades com a produção.

Figura 63 – Variação do perfil de porosidade com a produção.

115

Figura 64 – Permeabilidade horizontal (mD) do topo do reservatório ao final da simulação.

Figura 65 – Deformação volumétrica do topo do reservatório ao final da simulação.

116

Figura 66 – Tensões Cisalhantes (psi) na base do reservatório ao final da simulação.

Figura 67 – Deslocamentos na direção Y (ft) na base do reservatório ao final da simulação.

117

8.4 Discussões sobre os Resultados.

Na seção 8.3 foram apresentados os resultados considerados mais relevantes para

discussões. Esses resultados foram divididos em duas etapas com o objetivo de se entender

melhor os fenômenos de maior impacto na simulação de reservatórios quando se utiliza a

simulação acoplada.

Na primeira etapa de discussões são apresentados os efeitos do acoplamento

geomecânico nas produções de água e óleo do campo. Com as variações de porosidade e

permeabilidade em função da variação das tensões, fatores não considerados na simulação

convencional, as vazões de produção de óleo são alteradas e diferenças, na ordem de 4%,

como mostrado na Figura 58, aparecem. Um fato interessante que pode ser observado é a

inversão do gráfico quando se diminui a “força” do aqüífero. Este fato pode estar associado

ao diferencial de pressão aplicado na matriz rochosa quando não se tem uma significativa

atuação do aqüífero. A deformação volumétrica está diretamente relacionada ao aumento

das tensões efetivas nos grãos da rocha, sendo assim, com um maior declínio da pressão,

esta deformação acontecerá com maior intensidade e expulsará os líquidos ainda existentes

nos poros da rocha.

Quando se analisa os resultados de produção acumulada de água, as diferenças

entre a simulação convencional e a simulação acoplada são maiores. Como pode ser visto

nas Figuras 59, 60 e 61 as diferenças atingem a ordem de 30%. Essa diferença pode

auxiliar na explicação da dificuldade para a realização do ajuste de histórico de produção

de determinado campo. Umas das práticas mais convencionais para realização do ajuste de

histórico é a de se honrar a vazão de óleo, ou seja, especificar nos poços do modelo qual é

a vazão de produção de óleo medida no campo, e a partir de então, buscar o ajuste da

pressão, da produção de água, e eventualmente de gás. A diferença dos resultados entre a

118

simulação convencional e acoplada na produção de água indica que fenômenos

geomecânicos, como a compactação, por exemplo, são capazes também de explicar

discrepâncias nos ajustes de histórico dos campos. Vale ressaltar a incerteza na

determinação das propriedades físicas e geométricas do aqüífero. A manutenção de pressão

sempre foi associada à atuação do aqüífero, ou a presença de poços injetores. Com esses

resultados é nítida a contribuição do fenômeno da compactação em regiões depletadas,

apesar de ser vista apenas de forma qualitativa. A quantificação dessa parcela de

contribuição ainda é de difícil obtenção, e segue como futuros passos do presente estudo. A

Figura 68 apresenta a diferença na manutenção da pressão média do reservatório nos casos

com e sem geomecânica (aqüífero 100%).

Figura 68 – Pressão Média do Reservatório.

A segunda parte dos resultados tem como objetivo evidenciar respostas que podem

ser obtidas com a análise acoplada e, consequentemente, auxiliar na explicação dos

119

fenômenos ocorridos durante a produção do campo. Campo de tensões e deslocamentos,

além da variação da permeabilidade e porosidade durante a produção são resultados apenas

conseguidos quando se inclui a abordagem geomecânica na simulação. Existem alguns

artifícios, que podem ser chamados de pseudo-acoplamento, existentes nos simuladores

convencionais que associam a permeabilidade e a porosidade à variação de pressão. Outro

objetivo seria a determinação dessas relações que serviriam como dados de entrada na

simulação convencional.

As Figuras 62 e 63 mostram, respectivamente, um perfil de permeabilidade nas

células do poço variando com o tempo e um perfil de porosidade também nas células

completadas variando no tempo. Esses gráficos apresentam a importância e relevância da

consideração da variação da porosidade e permeabilidade com a produção do campo.

Ensaios de laboratório comprovam a variação da permeabilidade com o estado de tensões

de confinamento da amostra, mas essas variações não são consideradas na etapa de

extrapolação (vide seção 5.2.4). Em estágios de depleção elevados, a não consideração

desses aspectos podem não estar representando corretamente a realidade e,

consequentemente, mascarando os resultados da simulação.

Como pode ser visto nas Figuras 64 e 65 a região próxima ao poço produtor

apresenta significativas alterações nos valores de permeabilidade absoluta relacionadas às

variações da deformação volumétrica. Esses mapas mostram os limites do modelo que

mais respondem a variação de pressão, ou seja, apresentam maiores deformações no

maciço rochoso. Apesar de não ser o foco da presente dissertação, as Figuras 66 e 67

apresentam as variações nos campos de tensões e deslocamentos do campo ao final da

simulação. Esses mapas são de extrema importância para determinação de possíveis

regiões onde possa ocorrer reativação de falhas, por exemplo. Considerando as condições

de contorno definidas na seção 8.2.1, os deslocamentos próximos ao plano da falha são

120

mais evidentes e alertam para um possível controle nas vazões de injeções do campo.

Apesar de ter sido simulado apenas pela presença do aqüífero, o fluxo na região do plano

da falha causou uma variação de tensões e conseqüentes deslocamentos significativos que

justificam uma precaução com os controles de vazão de futuros poços injetores.

Como fora mencionado anteriormente, outro objetivo da simulação acoplada seria a

determinação de parâmetros mais realistas que possam ser empregados em simuladores

convencionais na forma de um pseudo-acoplamento. A Figura 69 mostra uma correlação

entre pressão e permeabilidade obtida como resultado da simulação acoplada. Essa

correlação poderia ser utilizada como parâmetro de entrada na simulação convencional.

Figura 69 – Correlação pressão x permeabilidade.

Sendo )(tKh a variação da permeabilidade horizontal com o tempo, )0(Kh a

permeabilidade inicial, )(tP a variação da pressão no decorrer da simulação e )0(P o

valor da pressão inicial. Outra correlação pode ser obtida para a variação da porosidade

com a pressão, mostrada na Figura 70.

121

Figura 70 – Correlação pressão x porosidade.

Apesar da não disponibilidade de dados no que diz respeito à posição do “cap”, foi

realizada uma simulação considerando que a superfície de ruptura fora tocada. Essa

simulação apresentou resultados representativos apresentados nas Figuras 71 e 72.

122

Figura 71 – Deformação plástica no topo do reservatório ao final da simulação.

A Figura 71 apresenta o mapa de topo do reservatório. A região próxima do poço

produtor apresentou deformações plásticas. Essas deformações não causaram impacto,

neste caso, nas produções finais de óleo e água do campo, por serem relativamente

pequenas. Em contrapartida, verificando-se a região próxima ao poço produtor notou-se

uma diferença com relação à variação da permeabilidade em função da pressão (Figura 72)

123

Figura 72 - Correlação pressão x permeabilidade próximo ao poço produtor.

Foi traçado o mesmo gráfico apresentado na Figura 69, agora se comparando as

correlações de permeabilidade versus pressão das simulações em regime elástico e em

regime plástico. Percebe-se uma nítida diferença que é explicada pela plasticidade ocorrida

nas células próximas ao poço.

Essa informação mostra a clara necessidade de se estabelecer a superfície de

ruptura através de ensaios de laboratório, e utilizá-la corretamente na simulação de

reservatórios.

124

9 Conclusões e Recomendações.

A presente dissertação apresentou resultados obtidos de simulações numéricas

acopladas, ou seja, considerando os efeitos geomecânicos na simulação de fluxo. Vale

ressaltar que simulações acopladas ainda são pouco estudadas e as simplificações adotadas

apontam para a dificuldade da sua realização. O software utilizado no trabalho, apesar de

ser bastante completo quanto aos modelos constitutivos implementados, apresenta sérias

limitações, principalmente no que diz respeito às geometrias que podem ser discretizadas.

A diferença do método numérico utilizado para resolução das equações (diferenças finitas

para o cálculo do fluxo no reservatório e elementos finitos para o cálculo das tensões e

deformações atuantes na rocha) causa problemas sérios de compatibilidade de malhas.

Apesar das limitações mencionadas, foram realizadas comparações analíticas que

mostraram a coerência do simulador numérico utilizado. Em seguida foi apresentada uma

análise de sensibilidade dos parâmetros geomecânicos que podem ser considerados na

simulação de fluxo. Essas análises foram capazes de indicar quais parâmetros devem ser

determinados de forma mais precisa antes da realização de uma simulação acoplada. No

caso, o módulo de elasticidade foi o parâmetro mais influente quando se realiza simulações

ainda no regime elástico, e deve-se ter uma atenção especial para sua determinação, seja

por correlações da literatura ou por ensaios laboratoriais. Foram apresentados gráficos que

representam claramente o colapso de poros, fenômeno este desprezado pela simulação

convencional. Percebe-se ainda a significativa diferença dos resultados quando se atinge a

plasticidade. Desta forma, deve-se atentar para a determinação da superfície do “cap”, que

raramente é incluída nas análises poroelastoplásticas. Para isso necessita-se da realização

125

de ensaios de compressão hidrostática em amostra das rochas reservatórios e das camadas

adjacentes.

Mostrou-se ainda, num modelo de geometria e características físicas reais que a

consideração do acoplamento geomecânico na simulação de reservatórios pode explicar

alguns fenômenos discutidos com outras visões. A atuação de aqüíferos, muitas vezes

incorporados nos modelos de simulação para ajustes das pressões do campo podem estar

mascarando a energia destinada ao reservatório pelo fenômeno de compactação da rocha.

A parcela de manutenção da pressão devido à deformação volumétrica da rocha

reservatório é evidente e vem sendo desprezada nas simulações ditas convencionais. Ainda

se comparando as simulações convencionais com as acopladas, percebeu-se diferenças

consideráveis principalmente na produção de água, fato esse que é fisicamente dedutível

quando se considera a modelagem acoplada. A deformação causada é capaz de expulsar os

líquidos ainda existentes nos poros, e, pela viscosidade consideravelmente mais baixa, a

água é quem receberá a maior parcela dessa energia. Vale ressaltar também o tempo de

simulação do modelo em questão, enquanto que a simulação acoplada levava vinte

minutos, quando se ativava a chave do módulo geomecânico no Stars as simulações

passavam a levar cerca de seis horas.

Atualmente, nos simuladores convencionais, é possível a realização de um pseudo-

acoplameto. Este acoplamento é feito ajustando uma curva de permeabilidade versus

pressão e/ou uma curva de porosidade versus pressão. Considerando regime elástico, esse

ajuste pode ser feito por uma reta, que de uma maneira pouco realista estará incorporando

o efeito da compactação na simulação. Mas, foi mostrado que quando, em determinada

região do campo, a superfície de fluência é atingida essa correlação deixa de ser linear e,

no caso, próximo às células completadas passa a ser cúbica. Sendo assim a simulação

acoplada continua sendo necessária, mesmo que localmente nas regiões mais depletadas ou

126

pressurizadas, até mesmo para determinação das correlações acima mencionadas. De

qualquer maneira, as variações de porosidade e permeabilidade, com a depleção e/ou

pressurização do reservatório, são fenômenos decorrentes e devem sempre ser

considerados.

Como sugestões para trabalhos futuros seguem os seguintes itens:

(i) Influência da geomecânica na sísmica 4D;

(ii) Consideração dos efeitos geomecânicos na simulação para ajuste de

histórico;

(iii) Simulações em reservatórios carbonáticos com modelos de dupla

porosidade e dupla permeabilidade;

(iv) Variações das propriedades da rocha em reservatórios com injeção de vapor.

127

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134

Apêndice A

Formulação da Matriz Elasto-Plástica:

Tendo definido os ingredientes básicos para a formulação de um modelo elasto-

plástico, a relação entre os incrementos de tensões e deformações é caracterizada como:

}]{[}{ ' εσ Δ=Δ epD (52)

Onde ][ epD é a matriz constitutiva elasto-plástica e }{ 'σΔ o incremento total de

tensões efetivas. O incremento total de deformações pode ser dividido em duas parcelas:

}{}{}{ pe εεε Δ+Δ=Δ (53)

Sendo }{ eεΔ a parcela que representa as deformações elásticas e }{ pεΔ a parcela

que representa as deformações plásticas.

O incremento de tensão, }{ 'σΔ , é relacionado com o incremento total de

deformação elástica, }{ eεΔ , pela matriz constitutiva elástica, ][D :

}]{[' eD εσ Δ=Δ (54)

Combinando-se as Equações (53) e (54), obtém-se:

}{}]({[' εεσ Δ−Δ=Δ pD (55)

O incremento de deformação plástica, }{ pεΔ , está relacionado com a lei de

escoamento, sendo representado por:

''

' }){},({}{ σσ

σε Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂Λ=Δ

mPp (56)

Onde Λ é um escalar, denominado multiplicador plástico. Substituindo a Equação

(56) na Equação (55), tem-se:

135

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂Λ−Δ=Δ '

'' }){},({][}]{[

σσεσ mPDD (57)

Quando o material atinge a superfície de fluência, a condição de consistência

0}){},({ ' =kdF σ é satisfeita, que expandida gera:

0}{}){},({}{}){},({}){},({'

''

'' =Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂= k

kkFkFkdF

TTσσ

σσσ (58)

A Equação (58) é considerada como condição de consistência, e pode ser escrita

como:

T

T

kF

kk

kF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

−=Δ

'

'

'

'

}){},({

}{}){},({

}{

σσ

σ

σ (59)

Combinando as Equações (57) e (59), o parâmetro escalar é obtido.

AmPDkF

DkF

T

T

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

=Λ

'

'

'

'

'

'

}){},({][}){},({

}]{[}){},({

σσ

σσ

εσ

σ

(60)

Onde,

}{}){},({1 '

kk

kFAT

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂Λ

−=σ (61)


AmPDkF

DkFmPDD T

T

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

−Δ=Δ

'

'

'

'

'

'

'

'

'

}){},({][}){},({

}]{[}){},({}){},({][}]{[}{

σσ

σσ

εσ

σσ

σ

εσ (62)

Comparando-se as Equações (52) e (62) tem-se a matriz constitutiva elasto-plástica:

136

AmPDkF

DkFmPDDD T

T

p

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

−=

'

'

'

'

'

'

'

'

}){},({][}){},({

][}){},({}){},({][][][

σσ

σσ

σσ

σσ

ε (63)

A forma do parâmetro A depende do tipo de plasticidade. Para plasticidade perfeita,

o parâmetro de estado, κ , não varia, e, consequentemente, 0=A . O presente trabalho

utilizou um modelo constitutivo de plastificação perfeita, na reta de Mohr-Coulomb e

endurecimento na superfície do “cap”.

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ii - Programa de Engenharia Civil - COPPE/UFRJ · ii simulaÇÃo de fluxo em reservatÓrios sob efeito da compactaÇÃo. leonardo cabral pereira dissertaÇÃo submetida ao corpo docente