II WORKSHOP “MATEMÁTICA NA UMa” MATEMÁTICA E ......MATEMÁTICA E ASTRONOMIA Helena Teixeira 2, José Laurindo Sobrinho 1,2, 3 1Departamento de Matemática da Universidade da

MATEMÁTICA E ASTRONOMIA

Helena Teixeira2 , José Laurindo Sobrinho1,2, 3

1Departamento de Matemática da Universidade da Madeira2Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira

3Instituto de Astrofísica e Ciências do Espaço 12 de junho de 2017

II WORKSHOP “MATEMÁTICA NA UMa”

Índice 1. Breve introdução

2. O Grupo de Astronomia da Universidade da Madeira

3. Determinação da luminosidade do Sol

4. Medição de distâncias pelo método da paralaxe

5. Conclusão

6. Referências

Breve introdução

� Desde cedo, o Homem começou a prestar atenção aocéu e a encontrar padrões nele e na Natureza.

� Esta curiosidade ajudou-o a descobrir a Matemática àmedida que ia conhecendo melhor o mundo à suavolta.

� Hoje, é impossível trabalhar na Astronomia semrecorrer à Matemática pois, de certa maneira, uma nãoexiste sem a outra.

� Esta ligação pode ser explorada na sala de aula comoforma de despertar o interesse e curiosidade porambas as ciências.

� É possível recorrer a exemplos da Astronomia, comomotivação para o Ensino da Matemática ou, no caso doensino da Astronomia, mostrar como a Matemática éfundamental na nossa descrição e compreensão doUniverso.

O Grupo de Astronomia

da Universidade

da Madeira

� Fundado em 2000

� Principais objetivos:

� Ensino;

� Investigação;

� Divulgação da Astronomia.

� No ensino:

� Palestras;

� Sessões de observação;

� Pequenos projetos laboratoriais.

� Atividades decorrem:

� Nas escolas;

� No LAI (Laboratório de Astronomia e Instrumentação) na UMa.


da Universidade

da Madeira

� No Ano Internacional da Astronomia em 2009:

� Cerca de 1000 alunos do 3º Ciclo e Secundário da RAM visitaram oLAI;

� No caso do Porto Santo, o LAI deslocou-se à escola;

� Realizaram-se pequenos projetos na área da Astronomia.

� Atualmente:

� Colaboração com GAS (Gabinete de Apoio à Sobredotação);

� Nos projetos desenvolvidos pelo GAUMa, os alunospodem trabalhar, de uma forma geral:

� Potências de base 10;

� Funções trigonométricas;

� Cálculo de áreas, volumes e perímetros;

� Escalas numéricas lineares ou logarítmicas;

� Conversão entre unidades;

� Análise dimensional.

http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/Semana_astro/Semana13/esff20112013.htm

Palestra "A arquitetura do Universo", 20/11/2013, XIII Semana daAstronomia, Escola Secundária Francisco Franco


da Universidade

da Madeira


da Universidade

da Madeira

http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/Grupo/Divulgacao/Observacoes/obs23042013.htm

Sessão de Observação do Sol no terraço da UMa para alunosdo 8º ano da Escola B+S de Machico (23-04-2013).


da Universidade

da Madeira

http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/AIA2009/Relatorios/Evento023/evento023_rl.htm?Mosaico

Alunos da Escola Salesiana de Artes e Ofícios, durante aexecução do projeto Modelo do Sistema Solar noLaboratório de Astronomia e Instrumentação (LAI) daUma, no âmbito da iniciativa EscoLAI's (09-02-2009)

Determinação da

luminosidade do Sol

� Este projeto pode ser aplicado a partir do 8º ano nas

aulas de:

� Matemática;

� Físico-Química.

� Com esta atividade é possível:

� Trabalhar as potências de base 10;

� Aplicar a notação científica.

Determinação da

luminosidade do Sol

Enunciado:

A luminosidade do Sol mede a energia que o Sol emite

por unidade de tempo, ou seja, mede a potência do Sol.

A radiação solar propaga-se no espaço.

Num ponto situado à distância D do Sol, a radiação ter-se-

á dispersado por uma área igual a 4πD2.

O mesmo acontece com a radiação emitida por uma

lâmpada.

Num ponto situado à distância d da lâmpada, a radiação

ter-se-á dispersado por uma área igual a 4πd2.

Determinação da

luminosidade do Sol

Haverá uma distância d para a qual a energia recebida da

lâmpada é equivalente à recebida do Sol sendo, nesse

caso, válida a relação:

onde L é a luminosidade (potência) do Sol e p é a potência

da lâmpada.

Sabendo os valores de p, L e D, podemos determinar a

luminosidade do Sol:

Determinação da

luminosidade do Sol

Material:

� Lâmpadas incandescentes com potências diferentes;

� Extensão elétrica com suporte para lâmpada;

� Régua ou fita métrica;

� Máquina de calcular.

Execução:

� Tomar nota do valor da potência p da lâmpada;

� Acender a lâmpada e ver a que distância d da mão se

sente um calor equivalente ao que recebemos do Sol

num dia de Verão;

� Medir essa distância com a fita métrica;

� Repetir o procedimento para as outras lâmpadas.

Determinação da

luminosidade do Sol

Tratamento de dados:

� Calcular a potência do Sol em cada um dos casos

considerados;

� Determinar a média de todos os valores obtidos;

� Comparar com o valor tabelado para a luminosidade do

Sol.

Dados:

� Distância Terra-Sol: D = 1UA ≈ 150 milhões km;

� Luminosidade solar: L= 3.9 × 1026 J/s = 3.9 × 1026 W

Determinação da

luminosidade do Sol

Alunos da Escola B+S de Machico a trabalhar no projeto"estimativa da luminosidade do Sol”, durante a visita aoLaboratório de Astronomia e Instrumentação daUniversidade da Madeira, no âmbito da iniciativa EscoLAI's.Data: 16-03-2009

© 2009 GAUMa [http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/AIA2009/Relatorios/Evento054/evento054_rl.htm?Mosaico]

Determinação da

luminosidade do Sol

Valores obtidos por alunos do GAS no dia 01-03-2017:

� Potência da lâmpada utilizada: p = 100 w

Distância àlâmpada (cm)

Luminosidade do Sol (J/s)

Erro relativo (%)

13.0 1.33 x 1026 66

14.0 1.15 x 1026 71

18.3 6.72 x 1025 83

9.8 2.34 x 1026 40

Determinação da

luminosidade do Sol

Valores obtidos por alunos da Escola B+S do Porto Moniz no

dia 26-01-2009 no LAI no âmbito da iniciativa EscoLAI’s:

© 2009 GAUMa [http://www3.uma.pt/Investigacao/Astro/AIA2009/Relatorios/Evento014/evento014_rl.htm?Mosaico]

Determinação da

luminosidade do Sol

Espetro eletromagnético

λ mais baixo λ mais alto

λ - comprimento de onda

http://imagine.gsfc.nasa.gov/science/toolbox/emspectrum1.html

Determinação da

luminosidade do Sol

Temperatura

� Um corpo negro é, por definição, um corpo que absorve toda

a radiação nele incidente.

� A radiação emitida por um corpo negro depende apenas da

sua temperatura e não da radiação incidente sobre ele.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/bbrc.html

Determinação da

luminosidade do Sol

Relação entre cor e temperatura

� A cor de uma estrela está diretamente relacionada com a sua

temperatura superficial.

https://docs.kde.org/trunk5/en/kdeedu/kstars/ai-colorandtemp.html

Determinação da

luminosidade do Sol

� A atmosfera da Terra bloqueia parte da radiação IV do

Sol. Existem, contudo, algumas janelas situadas junto

aos comprimentos de onda IV mais baixos, onde a

emissão IV é mais intensa (ver curva do corpo negro).

http://atomictoasters.com/2012/01/x-ray-telescopes/

http://www.atmo.arizona.edu/students/courselinks/fall14/atmo170a1s3/online_class/week_5/

Determinação da

luminosidade do Sol

� As estrelas seguem, aproximadamente, a emissão do

corpo negro.

http://ircamera.as.arizona.edu/NatSci102/NatSci102/lectures/sun.htm

Determinação da

luminosidade do Sol

� Luminosidade (L) - quantidade energia emitida pela

estrela por unidade de tempo.

� Brilho aparente (b) - quantidade de energia que

atravessa a unidade de área por unidade de tempo a

uma determinada distância (d) da estrela.

Medição de distâncias

pelo método de paralaxe

� Este projeto pode ser aplicado a partir do 9º ano nas

aulas de:

� Matemática.

� Com esta atividade é possível:

� Trabalhar a trigonometria do triângulo retângulo;

� Resolver problemas diferentes dos dos manuais escolares;

� Estruturar o raciocínio lógico-matemático.



� Existem técnicas diferentes para estimar a distância de

uma estrela à Terra.

� Uma dessas técnicas consiste em fazer duas fotos de

uma estrela com seis meses de intervalo, ou seja, a

partir de dois pontos opostos da órbita da Terra.

� Após serem feitas essas observações, é possível

verificar o quanto a estrela se desloca (aparentemente)

em relação a outros objetos muito mais distantes

como, por exemplo, estrelas ou galáxias.

� A esta técnica chamamos de método de paralaxe.



Ângulo de Paralaxe

• O ângulo de paralaxe de uma estrela é metade da

amplitude do ângulo formado entre as linhas que ligam

a estrela aos extremos da base de observação.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/astro/para.html



Enunciado

� Observa o esquema da determinação da distância de

uma estrela à Terra. Escreve uma expressão que

relacione a distância da estrela à Terra, representada

por d, a amplitude do ângulo de paralaxe (α), as

amplitudes dos ângulos das observações (β e δ) e o

diâmetro da órbita da Terra (b).

Teixeira, H. I. A. (2013)



, onde



Enunciado

� A estrela Proxima Centauri é a segunda estrela mais

próxima da Terra e a mais próxima do Sol. O seu ângulo

de paralaxe é, aproximadamente, 0.000107º.

Determina a que distância a estrela se encontra da

Terra, apresentando a tua resposta em unidades

astronómicas.

.



Enunciado

� Fora da sala, deverás escolher um objeto alvo que esteja mais oumenos à altura da tua cabeça e a cerca de 3 a 4 metros de ti. Deseguida, deverás escolher outro objeto bem mais distante ealinhado com o objeto alvo. Este será o teu objeto de referência.

� Depois, deverás marcar no chão os dois extremos de umsegmento de reta com 1 metro de comprimento (b) e que sejaperpendicular à direção definida pelos dois objetos queescolheste, no ponto médio desse segmento de reta. Esta será atua base de medição.

� Agora, num dos extremos da tua base, mede o ângulo entre oalvo e a referência utilizando o medidor de ângulos queconstruíste e regista no retângulo abaixo. Repete este passo nooutro extremo.

� O ângulo de paralaxe (α) é metade do valor absoluto dadiferença desses dois ângulos e o teu objetivo é calcular adistância entre ti e o alvo (d).

� Após as tuas medições e os teus cálculos, confirma o resultadomedindo a distância com a fita métrica.



Material

� Medidor de ângulos e “pointer”;

� Cartolina;

� Tesoura;

� Cola;

� Canivete;

� Rolha de cortiça;

� X-ato;

� Régua metálica;

� Um pionés (alfinete de cabeça chata e grande);

� Fita métrica (10-25m);

� Fita adesiva larga (tipo encomenda).



Construção do medidor de ângulos

� Com o canivete, cortar uma “fatia” da rolha de cortiça

com 1cm de espessura ;

� Recortar ambas as partes da figura em anexo pela linha

tracejada (ver bem por onde vai ser antes de começar a

cortar!): agora estão separados o medidor de ângulos e

o “pointer” (apontador);

� Colar ambas as partes em cartolina e recortar à volta;

� Marcar primeiro com o x-ato (usando a régua metálica)

e depois dobrar para cima, pelo ponteado grosso: o

extremo da seta do medidor de ângulos; as três dobras

do apontador (como marcadas; uma delas é uma seta

também);



� Atravessar o pionés pelo local marcado no apontador,

depois pelo local marcado no medidor de ângulos e,

finalmente, enterrá-lo num pedaço de rolha de cortiça;

� Executar a experiência conforme descrita no

enunciado.



Alunos do 9ºano da Escola B+S Ângelo Augusto da Silva aconstruírem um medidor de ângulos, no âmbito da atividadeexploratória/investigativa “Aplicações da Trigonometria naAstronomia: Paralaxe e a distância de uma estrela à Terra”, 20-05-2013




Alunos do 9ºano da Escola B+S Ângelo Augusto da Silva amarcarem a sua base de medição, no âmbito da atividadeexploratória/investigativa “Aplicações da Trigonometria naAstronomia: Paralaxe e a distância de uma estrela à Terra”, 20-05-2013




Alunos do 9ºano da Escola B+S Ângelo Augusto da Silva adeterminarem os ângulos, no âmbito da atividadeexploratória/investigativa “Aplicações da Trigonometria naAstronomia: Paralaxe e a distância de uma estrela à Terra”, 20-05-2013




Aluna do 9ºano da Escola B+S Ângelo Augusto da Silva a calcularanaliticamente o ângulo de paralaxe e a distância ao objeto alvono âmbito da atividade exploratória/investigativa “Aplicações daTrigonometria na Astronomia: Paralaxe e a distância de umaestrela à Terra”, 20-05-2013




Alunos do 9ºano da Escola B+S Ângelo Augusto da Silva aconfirmarem as distâncias que calcularam, no âmbito daatividade exploratória/investigativa “Aplicações daTrigonometria na Astronomia: Paralaxe e a distância de umaestrela à Terra”, 20-05-2013




b (m) β (°) δ (°) α (°) d (m)

2.83 135 110 12.5 12.8

2.83 127 110 8.5 18.9

Valores obtidos por alunos do GAS no dia 29-03-2017:

Sabendo: e

Conclusão � Ambos os projetos são uma forma diferente e

interessante de trabalhar alguns conceitos

matemáticos lecionados nas escolas.

� Permitem mostrar a aplicabilidade da Matemática no

nosso dia a dia e nas outras ciências e que o que

aprendem na aula de Matemática é, efetivamente,

utilizado fora da sala de aula, no “mundo dos adultos”.

� Alguns alunos interessam-se pela Astronomia, mas

quase nunca têm contacto com esta ciência.

� O facto da Astronomia estar associada à Matemática é

uma mais valia para a aprendizagem dos alunos.

� É possível cativar alunos, motivá-los para a Matemática

e obter bons resultados quando eles são protagonistas

nestas experiências.

Referências [1] Teixeira, H. I. A. (2013). Tese de Mestrado (Aplicações da

trigonometria do 3º ciclo na Astronomia), Universidade da

Madeira, disponível em: http://hdl.handle.net/10400.13/588.

[2] Teixeira, H. I. A., Sobrinho, J. L. G. e Drumond, C. (2014).

Aplicações da Trigonometria na Astronomia: Medição de

Distâncias pelo Método de Paralaxe. 1ª Conferência de

Professores EspAciais – ESERO PT, 14 e 15 de novembro de

2014, Pavilhão do Conhecimento – Ciência Viva, Lisboa.

[3] Sobrinho, J. L. G. e Augusto, P. (2012). Astronomy Week in

Madeira, Portugal. Communicating Astronomy with the

Public Journal, Vol. 12, pp. 24-27.

[4] Sobrinho, J. L. G., Augusto, P., A. Andrade, I., Teixeira, H. I.

A., et al. (2016). Grupo de Astronomia da Universidade da

Madeira, Relatório de atividades: maio 2013 – abril 2016 – 83

pp.

Referências [5] Sobrinho, J. L. G., Augusto, P., A. Andrade, I., Teixeira,

H. I. A., et al. (2013). Grupo de Astronomia da

Universidade da Madeira, Relatório de atividades:

setembro 2010 – abril 2013 – 111 pp.

[6] Augusto, P., Sobrinho, J. G. L. e Andrade, I. (2010). The

regional IYA09 at the Autonomous Region of Madeira.

JENAM2010: The European Week of Astronomy and

Space Science, Lisboa, 6 – 10 setembro 2010.

[7] Augusto, P., Sobrinho, J. G. L. e Andrade, I. (2012). O

Ano Internacional da Astronomia 2009 na Região

Autónoma da Madeira: uma epopeia de três anos e meio.

Relatório elaborado para a FCT – Ciência Viva – 183 pp.

[8]

http://www3.uma.pt/Investigação/Astro/Grupo/Publicaco

es/publicacoes.htm

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