IME ITA - .IME ITA. Apostila ITA E 01 Matrizes Uma matriz de ordem nm

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    E 01

    Matrizes Uma matriz de ordem n m , informalmente, uma tabela com n linhas e m colunas, em que linhas so as filas horizontais e colunas so as filas verticais. Com esta idia temos a seguinte representao para a matriz A de ordem n m :

    11 12 1

    21 22 2

    1 2

    m

    m

    n n nm n m

    a a aa a a

    A

    a a a

    =

    .

    O smbolo ija representa o elemento da linha i e coluna j . Uma definio formal para uma matriz : Considerando os conjuntos { }1, 2,...,nI n= e { }1, 2,...,mI m= . Uma matriz A , de ordem n m , uma funo : n mA I I , que associa cada par ordenado ( ),i j a um nmero real ija .

    A notao ( )ij n mA a = representa uma matriz de ordem n m e o elemento ija chamado de termo geral.

    Exemplo: A matriz ( )2 3ijA a = , com 22ija i j= determinada pelo clculo de todos os elementos de acordo com a lei de formao, ou seja:

    211 2 1 1 1a = =

    212 2 1 2 2a = =

    213 2 1 3 7a = =

    221 2 2 1 3a = =

    222 2 2 2 0a = =

    223 2 2 3 5a = =

    desta forma temos:

    2 3

    1 2 73 0 5

    A

    =

    Observaes sobre a linguagem: O conjunto de todas as matrizes reais de ordem n m denotado por ( )n mM

    Na matriz ( )ij n mA a = sequncia ( )1 2, , ,i i ima a a a i - sima linha Na matriz ( )ij n mA a = a sequncia ( )1 2, , ,j j nja a a a j - sima coluna

  • Matemtica

    2

    i-sima linha

    j-sima coluna

    a a a a aa a a a a

    a a a a a

    a a a a a

    j n

    j n

    i i i ij in

    m m m mj mn m n

    11 12 13 1 1

    21 22 23 2 2

    1 2 3

    1 2 3

    ... ...

    ... ...... ... ... ... ... ... ...

    ... ...... ... ... ... ... ... ...

    ... ...H

    GGGGGGG K

    JJJJJJJ

    Sejam ( )ij m nA a = e ( )ij m nB b = duas matrizes reais. Diz-se que as matrizes A e B so iguais, e escreve-se A B= , se, e somente se, ij ija b= , { }1, 2, 3, ...,i m e

    { }1, 2, 3, ...,j n .

    Classificaes de matrizes

    Matriz linha: toda matriz formada por apenas uma linha.

    Matriz coluna: toda matriz formada por apenas uma coluna.

    Matriz retangular: toda matriz de ordem n m com n m .

    Matriz nula: toda matriz com todos os elementos nulos.

    Matriz quadrada: toda matriz de ordem n n . Neste caso dizemos que a matriz de ordem n . Em uma matriz quadrada os elementos da sequncia ( )11 22, , , nna a a formam a diagonal principal e os elementos da sequncia ( )( )1 11 2, , ,n nna a a forma a diagonal secundria.

    Matriz triangular Superior: toda matriz quadrada de ordem n , em que 0ija = se i j> , ou seja, os elementos abaixo da diagonal principal so nulos.

    Matriz triangular Inferior: toda matriz quadrada de ordem n, em que 0ija = se i j< , ou seja, os elementos acima da diagonal principal so nulos.

  • Apostila ITA

    3

    Matriz transposta

    Seja ( )ij n mA a = , a matriz transposta de A , indicada por At , e ( )t ij m nA b = em

    que ij jib a= . Em outros termos, a matriz transposta obtida trocando linha por coluna da matriz original. Exemplo:

    2 3

    1 2 73 0 5

    A

    =

    3 2

    1 32 07 5

    tA

    =

    Observaes: Quando tA A= dizemos que a matriz A simtrica. Quando tA A= dizemos que a matriz A antisimtrica. Operaes com matrizes Adio de matrizes Sejam ( )ij m nA a = e ( )ij m nB b = duas matrizes quaisquer. A soma de A com B , que indicaremos por A B+ , a matriz m n cujo termo geral a bij ij+ , isto :

    A B

    a b a b a ba b a b a b

    a b a b a b

    n n

    n n

    m m m m mn mn m n

    + =

    + + ++ + +

    + + +

    11 11 12 12 1 1

    21 21 22 22 2 2

    1 1 2 2

    ...

    ...... ... ... ...

    ...

    Multiplicao por escalar Dados a matriz ( )ij m nA a = e um nmero real k , o produto indicado por k A , a matriz m n cujo termo geral ijk a , isto :

    11 12 1

    21 22 2

    1 2

    ...

    ...... ... ... ...

    ...

    n

    n

    m m mn m n

    k a k a k ak a k a k a

    k A

    k a k a k a

    =

  • Matemtica

    4

    Multiplicao de matrizes Consideremos as matrizes ( )ij m nA a = e ( )jk n tB b = . O produto de A por B , indicado por A B , a matriz m t cujo termo geral ikc , em que:

    c a b a b a b a bik ij jkj

    n

    i k i k in nk= = + + += . . . .

    11 1 2 2 ... .

    Observao: Para que o produto de matrizes seja possvel necessrio que o nmero de colunas da primeira matriz seja igual ao nmero de linhas da segunda matriz. A matriz identidade de ordem n , denotada por nI , a matriz quadrada na qual todos os elementos da diagonal principal so iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0 , ou seja:

    1 0 00 1 00 0 00 0 1

    n

    n n

    I

    =

    Propriedades

    1. Para a adio de matrizes temos ( ), , n mA B C M : A adio de matrizes associativa : ( ) ( )A B C A B C+ + = + + A adio de matrizes comutativa : A B B A+ = + A adio de matrizes admite elemento neutro: Existe uma matriz ( )n mO M R tal

    que A O O A A+ = + = . Existe matriz oposta: Para toda matriz ( )m nA M R , existe uma matriz indicada

    por A , tambm de ordem n m , chamada matriz oposta de A , tal que ( ) ( )A A A A O+ = + = .

    2. Para a multiplicao por escalar temos 1 2,k k e ( ), n mA B M ( ) ( )1 2 1 2k k A k k A = ( )1 2 1 2k k A k A k A+ = + ( )1 1 1k A B k A k B + = + 3. Para a multiplicao de matrizes temos ( )m nA M , ( )n pB M e

    ( )p qC M

  • Apostila ITA

    5

    A multiplicao de matrizes associativa: ( ) ( )A B C A B C = . ( )t t tA B B A = . Vale a propriedade distributiva esquerda: ( )A B C A B A C + = + . Vale a propriedade distributiva direita: ( )B C A B A C A+ = + . Existe elemento neutro: n mA I I A A = = . 1 1 1( ) ( ) ( )k A B A k B k A B = = .

    Exerccios

    01. (UFG) Sejam as matrizes 21

    1627 4

    aA

    =

    e 32 9b

    Ba c

    =

    . Para que elas sejam

    iguais, deve-se ter: a) 3a = e 4b c= = b) 3a = e 4b c= = c) 3a = e 4b c= = d) 3a = e 4b c= = e) 3a = e 2 4b c= =

    02. (UFBA) Se

    =3214

    P e

    =

    4523

    Q , a matriz transposta de QP 2 :

    a)

    113

    810 b)

    55122

    c)

    1171

    d)

    5582

    e)

    83

    1110

    03. (SANTA CASA - SP) Se a matriz

    1310

    1122

    yxyx simtrica, ento o valor

    de x y+ : a) 3 b) 1 c) 0 d) 2 e) 3

  • Matemtica

    6

    04. (SANTA CASA - SP) Se uma matriz quadrada A tal que AAt = ela chamada anti-simtrica. Sabe-se que M anti-simtrica e,

    3382

    ...2

    ......4

    +

    +=

    ccbba

    aM

    Os termos a12 , a13 e a23 da matriz M valem respectivamente: a) 4 , 2 e 4 . b) 4 , 2 e 4 . c) 4 , 2 e 4 . d) 2 , 4 e 2 . e) n.d.a.

    05. (FATEC) Sabe-se que as ordens das matrizes A , B e C so, respectivamente,

    3 r , 3 s e 2 t . Se a matriz ( )A B C de ordem 3 4 , ento r s t+ + igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

    06. (FATEC) Uma indstria automobilstica produz carros X e Y nas verses standart,

    luxo e superluxo. Peas A , B e C so utilizadas na montagem desses carros. Para um certo plano de montagem, dada a seguinte informao:

    Carro X Carro Y Pea A 4 3 Pea B 3 5 Pea C 6 2

    Standard Luxo Superluxo Carro X 2 4 3 Carro Y 3 2 5

    Em termos matriciais, temos:

  • Apostila ITA

    7

    matriz pea-carro

    4 33 56 2

    =

    matriz carro-verso2 4 33 2 5

    =

    .

    A matriz pea-verso :

    a)

    17 22 2721 28 3418 28 22

    b)

    17 22 2721 34 2218 28 28

    c)

    17 22 2721 22 2818 34 28

    d)

    17 22 2721 22 3418 28 28

    e)

    17 22 2721 28 2818 34 22

    07. (FUVEST) Considere as matrizes:

    ( )ijaA = , 74 , definida por jiaij = ; ( )ijbB = , 97 , definida por ibij = ; ( )ijcC = , ABC = .

    O elemento 63c : a) 112 . b) 18 . c) 9 . d) 112. e) no existe.

    08. (ITA) Sejam A , B e C matrizes reais quadradas de ordem n e nO a matriz nula tambm de ordem n . Considere as afirmaes: I. BAAB = II. CBACAB ==

    III. nn OAOA ==2

    IV. ( ) ( )BCACAB = V. ( )

    222 2 BABABA += Ento podemos afirmar que: a) apenas a I falsa. b) apenas a IV verdadeira. c) V verdadeira. d) II e III so verdadeiras. e) III e IV so verdadeiras.

  • Matemtica

    8

    E 02

    Operao Elementar Sobre Linhas Uma operao elementar sobre linhas de uma matriz ( )m nA M qualquer

    uma das transformaes: multiplicao de uma linha de A por uma constante real no nula k ; permuta de duas linhas de A ; substituio da r - sima linha de A por uma linha formada pela soma da r -

    sima linha com k vezes a s - sima linha, sendo k um escalar arbitrrio e r s .

    Exemplo: Sendo 2 3

    2 3 57 11 13

    A

    =

    , temos:

    A multiplicao da primeira linha por 2 3

    4 6 52 :

    7 11 13

    .

    A permuta da primeira com a segunda linha: 2 3

    7 11 132 3 5

    .

    A substituio da primeira linha pela primeira linha soma da primeira linha com

    duas vezes a segunda linha: 2 3

    16 25 317 11 13

    Cada operao elementar sobre linhas de uma matriz A pode ser representada pela multiplicao por uma matriz quadrada, observe: A multiplicao da primeira linha por 2 :

    2 2 2 3 2 3

    2 0 2 3 5 4 6 100 1 7 11 13 7 11 13

    =

    .

    A permuta da pri