Impactos em Máquinas Síncronas Durante o Fechamento de ... · Impactos em Máquinas Síncronas Durante o Fechamento de Anel na Recomposição do Sistema de Potência Weberson Carvalho

Impactos em Máquinas Síncronas Durante o Fechamento de Anel na Recomposição do Sistema de

Potência

Weberson Carvalho Moreira

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DE JUIZ DE FORA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA

ELÉTRICA.

Aprovada por:

______________________________________________ Prof. Edimar José de Oliveira, D.Sc. - Orientador - UFJF

_______________________________________________

Nelson Martins, Ph.D. - Cepel

_______________________________________________ Prof. José Luiz Rezende Pereira, Ph.D. - UFJF

_______________________________________________

Prof. Márcio Pinho Vinagre, D.Sc. - UFJF

JUIZ DE FORA, MG – BRASIL JULHO DE 2005

ii

MOREIRA, WEBERSON CARVALHO

Impactos em Máquinas Síncronas Durante o

Fechamento de Anel na Recomposição do Sistema de

Potência [Juiz de Fora] 2005

XI, 100 p. 29,7cm, il. (UFJF, M.Sc.,

Engenharia Elétrica, 2005)

Tese – Universidade Federal de Juiz de Fora

1. Impacto em Eixo de Gerador

2. Recomposição de Sistemas Elétricos de Potência

3. Fluxo de Potência Ótimo

4. Método de Pontos Interiores

5. Decomposição de Benders

I. UFJF II. Título (Série)

iii

À minha amada namorada, Fabiana, aos meus pais, Vicente de Paulo e Nilza,

à minha irmã, Ana Paula.

iv

Agradecimentos

Ao Professor Edimar José de Oliveira pelas valiosas contribuições técnicas em

forma de orientação, assim como pela amizade, compreensão e incentivo ao longo deste

trabalho.

Ao Professor Márcio Pinho Vinagre e ao Professor José Luiz Resende Pereira pelas

discussões técnicas, conselhos e ensinamentos passados durante o curso de pós-graduação.

Aos amigos mestrandos Ângelo Rocha Oliveira, Leonardo Willer Oliveira, Rafael

Montes Fontoura e Thiago Trezza pela maravilhosa convivência, comentários, sugestões,

discussões e incentivo a este trabalho.

Ao LABSPOT (Laboratório de Sistemas de Potência da Faculdade de Engenharia

Elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora), pela disponibilidade de utilização de

recursos computacionais.

A CAPES pelo apoio financeiro para o desenvolvimento desta dissertação.

v

Resumo da Dissertação apresentada à UFJF como parte dos requisitos necessários para a

obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

Impactos em Máquinas Síncronas Durante o Fechamento de Anel na Recomposição do Sistema de Potência


Julho / 2005

Orientador: Edimar José de Oliveira, D.Sc.

Programa: Engenharia Elétrica

Este trabalho apresenta uma nova técnica de redespacho ótimo de potência ativa

para redução dos impactos instantâneos nos eixos dos geradores, causados por

fechamentos de anéis através de pólos de disjuntores de linhas de transmissão, durante o

processo de recomposição do sistema de potência. A técnica proposta utiliza o Método de

Pontos Interiores e modela explicitamente no problema de fluxo de potência ótimo, as

restrições de impactos nos eixos dos geradores no momento do fechamento do anel. O

cálculo desta restrição exige o conhecimento do estado da rede em dois instantes de tempo

distintos. Para tanto, o problema original é dividido em dois subproblemas e resolvido pelo

método de decomposição de Benders. Desta forma, não é necessário o conhecimento da

defasagem angular entre os pólos do disjuntor que efetuará o fechamento do anel,

reduzindo o tempo de tomada de decisão. Resultados são apresentados para um sistema

tutorial e para outros sistemas a fim de demonstrar a eficácia e robustez da metodologia

proposta.

vi

Abstract of Dissertation presented to UFJF as a partial fulfillment of the requirements for

degree of Master of Science (M.Sc.)

Synchronous Machines Impacts During Loop Closure on Power System Restoration


July / 2005

Supervisor: Edimar José de Oliveira, D.Sc.

Department: Electrical Engineering

This work presents a novel optimal active power redispatch technique for

instantaneous impacts reduction in the rotor shafts of synchronous machines, caused by

closing loops through transmission line circuit breakers, during power system restoration

process. The proposed methodology uses the Interior Point Method in which the generator

rotor shafts impacts constraints are explicitly modeled in the proposed optimal power flow.

These constraints calculation demand the knowledge of the network state in two different

instants of time. Thus, the original problem is divided in two sub-problems and solved by

the Benders decomposition method. Then, the previous knowledge of the angular

difference between the circuit breaker poles that will make the loop closure is not required,

reducing the time of decision making. Results are presented for a tutorial system and for

other systems in order to demonstrate the effectiveness and robustness of the proposed

methodology.

vii

Sumário

I Introdução ................................................................................................................. 1 I.1 Considerações Iniciais............................................................................................................ 1 I.2 Objetivo da Dissertação ........................................................................................................ 4 I.3 Publicações Decorrentes da Dissertação ............................................................................ 5 I.4 Estrutura da Dissertação ....................................................................................................... 5

II Análise de Fechamento de Anel........................................................................... 7 II.1 Considerações Iniciais .......................................................................................................... 7 II.2 Importância do SPA............................................................................................................. 7 II.3 Metodologias para Redução do SPA................................................................................ 10 II.4 Critério ONS para Fechamento de Anel ......................................................................... 13 II.5 Metodologia para Determinação do SPA........................................................................ 14 II.6 Conclusões ........................................................................................................................... 16

III Metodologia Proposta........................................................................................18 III.1 Considerações Iniciais....................................................................................................... 18 III.2 Modelo de Otimização ..................................................................................................... 19 III.3 Técnica de Solução............................................................................................................ 22 III.4 Descrição dos Modelos Adotados .................................................................................. 23

III.4.1 Modelagem das Máquinas Síncronas ...................................................................... 23 III.4.2 Modelagem Subproblema 1 ..................................................................................... 26

III.4.2.1 Função Objetivo ................................................................................................ 26 III.4.2.2 Restrições de Balanço de Potência Ativa e Reativa....................................... 28 III.4.2.3 Restrições de Modelagem das Máquinas Síncronas ...................................... 29 III.4.2.4 Restrições de Canalização ................................................................................. 29 III.4.2.5 Estrutura da Matriz Hessiana Subproblema 1 ............................................... 30

III.4.3 Modelagem Subproblema 2 ..................................................................................... 31 III.4.3.1 Restrição ONS para Fechamento de Anel ..................................................... 32 III.4.3.2 Função Objetivo ................................................................................................ 33 III.4.3.3 Representação das Cargas................................................................................. 35 III.4.3.4 Restrições de Balanço de Potência Ativa e Reativa....................................... 36 III.4.3.5 Restrições de Modelagem das Máquinas Síncronas ...................................... 38 III.4.3.6 Estrutura da Matriz Hessiana Subproblema 2 ............................................... 39

III.4.4 Construção do Corte de Benders ............................................................................ 40 III.4.5 Algoritmo de Solução................................................................................................ 43 III.4.6 Exemplo Numérico................................................................................................... 45

viii

III.5 Conclusões ......................................................................................................................... 53 IV Estudo de Casos ..................................................................................................54

IV.1 Considerações Iniciais....................................................................................................... 54 IV.2 Sistema IEEE-14 ............................................................................................................... 55 IV.3 Sistema IEEE-118............................................................................................................. 59 IV.4 Conclusões.......................................................................................................................... 66

V Conclusões .............................................................................................................68 V.1 Considerações Gerais ......................................................................................................... 68 V.2 Principais Contribuições da Dissertação ......................................................................... 69 V.3 Sugestões Para Trabalhos Futuros.................................................................................... 70

A Metodologia Primal-Dual de Pontos Interiores ...............................................71 A.1 Considerações Iniciais ........................................................................................................ 71 A.2 Formulação do Problema de FPO ................................................................................... 71 A.3 Resolução do Problema...................................................................................................... 74 A.4 Atualização das Variáveis ................................................................................................... 77 A.5 Atualização do Parâmetro Barreira e do Gap ................................................................. 78 A.6 Algoritmo de Solução do MPI .......................................................................................... 79

B Decomposição Matemática de Benders ............................................................81 B.1 Considerações Iniciais......................................................................................................... 81 B.2 Formulação Matemática ..................................................................................................... 82

C Sistemas Testes......................................................................................................84 C.1 Considerações Iniciais ........................................................................................................ 84 C.2 Exemplo Numérico ............................................................................................................ 84 C.3 Sistema IEEE-14................................................................................................................. 85 C.4 Sistema IEEE-118............................................................................................................... 86 C.5 Dados de Modelos de Geradores e Reguladores............................................................ 93

Referências Bibliográficas ........................................................................................96

ix

Lista de Figuras

Figura II.1– Fechamento de anel na interligação de áreas geoelétricas..................................... 8

Figura II.2 – Transitório de potência elétrica da máquina síncrona. ....................................... 13

Figura II.3 – Curva de sensibilidade entre potência elétrica e SPA. ........................................ 15

Figura III.1 – Pontos de solução em regime permanente e transitório. ................................. 19

Figura III.2 – Esquema de solução por decomposição de Benders. ....................................... 23

Figura III.3 – Estrutura de um programa de transitório eletromecânico. .............................. 24

Figura III.4 – Máquina vista pela rede de transmissão instante 0+t . ........................................ 25

Figura III.5 – Visualização gráfica da potência ativa injetada. ................................................. 34

Figura III.6 – Representação das cargas no subproblema 2. .................................................... 35

Figura III.7 – Fluxograma algoritmo proposto. ......................................................................... 44

Figura III.8 – Exemplo numérico. ............................................................................................... 45

Figura III.9 – Transitório da potência elétrica inicial na barra 2.............................................. 48

Figura III.10 – Transitório da potência elétrica otimizada na barra 2..................................... 52

Figura IV.1 – Sistema teste IEEE-14........................................................................................... 55

Figura IV.2 – Transitório da potência elétrica na barra 14 inicial............................................ 56

Figura IV.3 – Transitório da potência elétrica na barra 14 otimizado. ................................... 57

Figura IV.4 – Desvio absoluto de geração e corte de carga. .................................................... 57

Figura IV.5 – Injeção fictícia de potência ativa. ......................................................................... 59

Figura IV.6 – Anel elétrico sistema IEEE-118........................................................................... 59

Figura IV.7 – Transitório de potência elétrica barra 24 inicial. ................................................ 60

Figura IV.8 – Transitório de potência elétrica barra 72 inicial. ................................................ 61

Figura IV.9 – Transitório de potência elétrica barra 24 otimizado.......................................... 61

Figura IV.10 – Transitório de potência elétrica barra 72 otimizado. ...................................... 62

x

Figura IV.11 – Injeção fictícia de potência ativa. ....................................................................... 62

Figura IV.12 – Desvio absoluto de geração de potência ativa. ................................................ 63

Figura IV.13 – SPA barras 23-24.................................................................................................. 63

Figura IV.14 – Relação SPA e potência ativa injetada............................................................... 64

Figura IV.15 – Função objetivo mínimo desvio quadrático de geração de potência ativa. . 66

Figura C.1 – Diagrama de blocos regulador de tensão.............................................................. 94

Figura C.2 – Diagrama blocos regulador de velocidade............................................................ 94

Figura C.3 – Diagrama de blocos equação de oscilação eletromecânica. ............................... 95

Figura C.4 – Diagrama de blocos modelo gerador eixo direto. ............................................... 95

Figura C.5 – Diagrama modelo gerador eixo quadratura.......................................................... 95

xi

Lista de Tabelas

Tabela II.1 – Valores de SPA........................................................................................................ 10

Tabela III.1 – Dados exemplo numérico. ................................................................................... 46

Tabela III.2 – Solução subproblema 1 iteração h=1: Exemplo numérico. ............................ 46





Tabela IV.1 – Características dos Sistemas Testes ..................................................................... 54

Tabela IV.2 – Despacho de Geração de Potência Ativa ........................................................... 58

Tabela IV.3 – Despacho de Geração de Potência Ativa ........................................................... 65

Tabela C.1 – Associação modelos de geradores e reguladores Exemplo Numérico. ........... 84

Tabela C.2 – Associação modelos de geradores e reguladores IEEE-14. .............................. 85

Tabela C.3 – Dados de Barra IEEE-14. ...................................................................................... 85

Tabela C.4 – Dados de Geração IEEE14. .................................................................................. 86

Tabela C.5 – Associação modelos de geradores e reguladores IEEE-118............................. 86

Tabela C.6 – Dados de Barra IEEE-118..................................................................................... 88

Tabela C.7 – Dados de Geração IEEE118. ................................................................................ 91

Tabela C.8 – Parâmetros modelos de geradores. ....................................................................... 93

Tabela C.9 – Parâmetros reguladores de tensão......................................................................... 93

Tabela C.10 – Parâmetros reguladores de velocidade. .............................................................. 93

1

Capítulo I

Introdução

I.1 Considerações Iniciais

O aumento da demanda de energia elétrica e a necessidade de maior confiabilidade

dos Sistemas Elétricos de Potência (SEP), bem como a necessidade de redução de custos,

resultou em uma interligação cada vez maior entre os diversos sistemas de geração

existentes. As interligações permitem uma série de vantagens tais como menores reservas

energéticas para atendimento em horários de pico, assistência mútua entre sistemas, assim

como comercialização de energia e melhor aproveitamento da diversidade hidrológica.

Com o aumento da dimensão do sistema, a operação torna-se mais complexa e os

riscos de blecautes na rede aumentam significativamente. Falhas nos sistemas de segurança

de equipamentos, quedas de linhas de transmissão ou saídas inesperadas de geradores são

alguns exemplos de anomalias às quais os sistemas estão sempre sujeitos.

Uma seqüência de eventos em cascata pode conduzir o sistema ao colapso total ou

parcial, afastando-o, portanto, do ponto de operação original e comprometendo o

fornecimento de energia. Quando este fato ocorre, inicia-se imediatamente o processo de

reenergização do sistema, cujo objetivo é atingir, no menor tempo possível, as condições

normais de operação. Esta tarefa é conhecida como recomposição do sistema elétrico de

CAPÍTULO I- INTRODUÇÃO 2

potência [ 1 ].

Em 1987 a PES (Power Engineering Society) do IEEE criou a primeira força tarefa

para tratar do assunto de recomposição do sistema de potência [ 2 ]. O objetivo era fazer

uma revisão das práticas de operação, preparar bibliografias relevantes sobre o tema e

promover o intercâmbio de informações. No mesmo ano, alguns meses mais tarde, uma

segunda força tarefa [ 3 ] fez uma revisão dos principais distúrbios ocorridos entre 1979 e

1983 relatados pelo NERC (North American Reliability Council), identificando os principais

problemas ocorridos durante o período. A aplicabilidade dos programas existentes de

recomposição do sistema também foi brevemente discutida nesta ocasião.

No Brasil, os processos de recomposição adotados pelas empresas e suas evoluções

estão intimamente ligados ao crescimento do sistema elétrico. O sistema da região sul, até a

década de 70, era dependente do recebimento de energia da região sudeste com uma

interligação muito fraca em 230kV [ 4 ][ 5 ]. Esta característica provocou um alto número

de perturbações de grande porte, resultando no surgimento do recurso de alívio de carga

por sub freqüência, para evitar o colapso na região sul. O Grupo Coordenador da

Operação Interligada (GCOI) da região sul sentiu a necessidade de descentralizar os

procedimentos operativos de recomposição, para agilizar o restabelecimento da carga. Nas

empresas das outras regiões o processo continuou centralizado nos centros de operação, a

exceção de Furnas, que iniciou um processo de descentralização em 1982.

Devido aos três grandes colapsos na região sudeste ocorridos em 1984 e 1985, foi

criada uma força tarefa em 1989 para estabelecer a filosofia e os critérios para a

recomposição da malha principal do Sistema Interligado Nacional brasileiro (SIN).

Posteriormente foram implantados estes procedimentos de rede em todas as empresas que

compõem as regiões sul, sudeste e centro-oeste. Mesmo assim, em 1996 e 1997 ocorreram

novos blecautes na região sudeste, fato que motivou revisão e atualização da estratégia de

recomposição.

Desenvolveu-se, portanto, a filosofia básica na qual as empresas que possuem os

recursos de geração iniciem a recomposição de forma planejada e estruturada, para que as

energizações forneçam aos operadores das subestações, informações do montante de


geração que poderão disponibilizar para alimentar as cargas a serem restabelecidas na sua

área. Esse processo de recomposição poderá fluir sem a necessidade de comunicação entres

os centros de operação e/ou operadores.

Para que o processo de recomposição atenda as expectativas, torna-se necessário

que sejam observados pelas empresas de geração, transmissão e distribuição envolvidas, os

procedimentos de recomposição na fase fluente e na fase coordenada [ 6 ].

Na fase fluente da recomposição, o sistema está estruturado em um conjunto de

áreas geoelétricas, constituído de usinas, linhas de transmissão e equipamentos onde a

geração é compatível com a carga mínima a ser atendida. Nesta fase, os procedimentos são

descentralizados e efetuados pelos operadores das instalações com um mínimo de troca de

informações entre as instalações e centros de operação, com o qual a mesma se relaciona.

Na fase coordenada, os centros de operação coordenam a interligação de áreas e a

restauração do sistema às condições normais de operação. Os operadores do sistema

encontram neste ponto o complexo problema de fechamento em anel dos sistemas

adjacentes.

O religamento de uma linha de transmissão que fecha um anel elétrico pode causar

torques transitórios nos eixos das máquinas síncronas mais próximas eletricamente. Isto

poderia causar danos permanentes às máquinas, tais como ruptura dos seus eixos e

acoplamentos e / ou retornar o sistema à instabilidade [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ],

prejudicando o andamento do processo de recomposição.

Os impactos a que os geradores estão sujeitos em conseqüência de fechamentos

inadequados de anéis estão diretamente relacionados à diferença angular entre os ângulos

das tensões das barras às quais a linha será conectada. Esta grandeza é referida na literatura

por SPA (Standing Phase Angle).

Os operadores têm uma preocupação muito grande em relação aos valores de SPA

quando do fechamento de linhas. Para evitar fechamentos inadequados, os sistemas são

equipados com um tipo especial de relé, relé de verificação de sincronismo (synchrocheck


relay), que não permite fechamentos com valores de SPA superiores aos previamente

configurados.

Algumas das metodologias disponibilizadas pela literatura propuseram algoritmos

para redução do SPA através do redespacho de geração [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]. No entanto,

todas as metodologias partem do pressuposto do máximo valor de SPA ser conhecido

previamente [ 14 ].

A determinação do valor máximo possível para o SPA é um problema complexo

que envolve simulações em programas de fluxo de potência e em programas de transitórios

eletromecânicos. Além disso, os valores de SPA dependem dos níveis de tensão e do ponto

de operação que o sistema se encontra [ 15 ] e [ 16 ].

Em [ 17 ] foi proposta uma metodologia que utilizava simulações de programa de

fluxo de potência ótimo e de programa de transitório eletromecânico para estimação do

valor máximo para o SPA, baseada no critério estabelecido pelo ONS para fechamento de

anel [ 18 ].

I.2 Objetivo da Dissertação

Dando continuidade aos trabalhos realizados em [ 14 ] e [ 17 ], esta dissertação tem

como objetivo o desenvolvimento de uma metodologia para ajustar os despachos de

geração e os demais recursos do sistema, para que em decorrência de fechamento de anel

no sistema elétrico, durante a recomposição do sistema de potência, o mesmo não cause

impacto excessivo nos eixos dos geradores. Para tanto, a modelagem proposta incorpora as

restrições de impactos nos eixos dos geradores diretamente na formulação do problema de

fluxo de potência ótimo. Em conseqüência, não há necessidade do conhecimento prévio do

valor de SPA.


I.3 Publicações Decorrentes da Dissertação

[ 1 ] WEBERSON C. M., E. J. OLIVEIRA, J. L. R. PEREIRA, N. MARTINS,

“Análise de Fechamento de Anel Via Fluxo de Potência Ótimo Incorporando

Restrições de Impactos nos Eixos dos Geradores”, Resumo aprovado para o VI

SIMPASE – Simpósio de Automação em Energia Elétrica, São Paulo, agosto,

2005.

[ 2 ] N. MARTINS, E. J. DE OLIVEIRA, WEBERSON C. MOREIRA, J. L. R.

PEREIRA, “Re-dispatch to Reduce Rotor Shaft Impacts upon Transmission Line

Re-closure”, Artigo submetido ao IEEE Transactions on Power System, julho,

2005.

I.4 Estrutura da Dissertação

Além deste capítulo, esta dissertação contém mais quatro capítulos e três apêndices.

O capítulo II está dedicado à apresentação dos principais aspectos que envolvem

chaveamento de circuitos no sistema durante a recomposição. São apresentados os

problemas, as metodologias propostas na literatura, bem como os critérios estabelecidos

pelo ONS para fechamentos de anéis.

No capítulo III são descritas a formulação, a modelagem do problema e a

metodologia de solução proposta para o problema de fechamento de anel. Além disso, este

capítulo apresenta um exemplo numérico a fim de ilustrar a método proposto.

No Capítulo IV são apresentados e discutidos os resultados obtidos com a

utilização da metodologia proposta. Para tanto, serão utilizados os sistemas testes IEEE-14

e IEEE-118.

Finalizando, no Capítulo V são apresentadas as principais conclusões do trabalho,

bem como sugestões de trabalhos futuros, tendo em vista os desenvolvimentos realizados


nesta dissertação.

O Apêndice A apresenta os principais aspectos da metodologia primal-dual de

pontos interiores.

O Apêndice B mostra a formulação da decomposição matemática de Benders para

estudos de viabilidade, considerando aplicação para dois subproblemas.

No Apêndice C são apresentados os dados dos sistemas elétricos utilizados nas

simulações deste trabalho.

7

Capítulo II

Análise de Fechamento de Anel

II.1 Considerações Iniciais

Os chaveamentos de circuitos ocorrem freqüentemente durante a recomposição do

sistema de potência. A verificação das condições anteriores ao fechamento é muito

importante, pois fechamentos sem a observação de alguns parâmetros podem causar

distúrbios no sistema, os quais podem complicar o processo de recomposição ou até

mesmo causar danos irreversíveis aos eixos dos geradores, sobretudo quando se trata de

fechamento de anéis.

II.2 Importância do SPA

Tanto na recomposição de cada subsistema ou na interligação das áreas

geoelétricas, na qual pode ocorrer, por exemplo, fechamento em anel, os operadores

enfrentam o problema de excessivo Standing Phase Angle (SPA). O SPA é a diferença entre

os ângulos dos pólos abertos dos disjuntores que realizarão o chaveamento da linha de

transmissão. Para o caso particular de fechamento de anel apresentado na Figura II.1, o

SPA entre as barras i e j será ( )i jθ θ− . O SPA pode ser entendido como a máxima

CAPÍTULO II- ANÁLISE DE FECHAMENTO DE ANEL 8

diferença permitida entre os ângulos de fase das barras que efetuarão o fechamento de uma

linha de transmissão, para que o sistema mantenha-se estável.

Área 1 Área 2

Área 3

iθ jθ

Figura II.1– Fechamento de anel na interligação de áreas geoelétricas.

O conhecimento do SPA é importante, pois este está intimamente relacionado com

o fluxo de potência ativa na linha de transmissão. Quanto maior o seu valor, maior será a

potência ativa que passará pela linha no momento em que esta for fechada. Isto é explicado

pelo acoplamento existente entre as variáveis de potência ativa e ângulo de fase, como pode

ser observado na equação (II.1), quando se despreza a resistência e a capacitância shunt.

( )θ θ⋅

= −i jij i j

ij

V VP sen

x

(II.1)

Onde,

ijP Fluxo de potência ativa da barra i para a barra j;

,i jV V Módulo da tensão nas barras i e j, respectivamente;

,θ θi j Ângulo das tensões das barras i e j, respectivamente;


ijx Reatância do circuito situado entre as barras i e j.

O ideal seria realizar o fechamento de linhas de transmissão com SPA igual a zero.

Isto implicaria em fluxo de potência ativa nulo no circuito, o que seria altamente desejável,

porém é muito difícil e caro de ser alcançado, pois requer grandes desvios de potência

gerada, em relação aos valores de operação normal.

Os fechamentos realizados com altos valores de SPA são extremamente perigosos.

Primeiro porque o alto fluxo de potência ativa no circuito em questão pode causar

acelerações nas máquinas do sistema e, desta forma, fazer com que as proteções das

mesmas atuem, desconectando-as. Dependendo do caso, a saída de uma máquina pode

causar um desligamento em cascata de outras unidades geradoras e conduzir o sistema

novamente ao blecaute, atrasando e complicando o processo de recomposição. Segundo

porque causa elevado impacto mecânico nos eixos dos geradores. Os esforços torsionais

devido a oscilações mecânicas podem provocar danos na vida útil do material do eixo das

máquinas. Estes danos podem provocar a saída do gerador para reparo, computando perda

de geração e conseqüentemente perda de renda, ou caso os impactos sejam bastante

elevados, podem causar danos permanentes aos geradores, podendo chegar ao extremo da

perda do gerador.

Os exemplos mais característicos e conhecidos foram aqueles que aconteceram em

Mohave nos EUA e na Alemanha [ 7 ]. No primeiro, ocorreram duas rupturas de eixo

(1970 e 1971). O eixo da máquina foi submetido a esforços cíclicos caracterizando o efeito

da fadiga1.

O ajuste do sistema para redução do valor do SPA é um processo de difícil solução.

Para auxiliar nesta tarefa, os operadores utilizam as metodologias para redução do SPA.

Algumas destas metodologias são apresentadas no item seguinte.

1 Fadiga: Mudança progressiva, localizada e permanente, na estrutura do material, o qual está sujeito a tensões e esforços flutuantes em alguns ou vários pontos, podendo culminar numa trinca ou ruptura do mesmo [ 19 ].


II.3 Metodologias para Redução do SPA

O excessivo valor do SPA pode ser reduzido por meio de redespacho de geração de

potência ativa de duas ou mais usinas, próximas eletricamente do local onde haverá o

fechamento da linha. Entretanto, a seleção das usinas específicas, as quais apresentam

maior sensibilidade para reduzir o SPA, é limitada pela topologia e restrições do sistema, as

quais são impostas pela estrutura da rede de transmissão e também pelas limitações físicas

dos componentes, além do atendimento das equações de fluxo de potência [ 16 ]. A seleção

e o redespacho de geração são realizados pelos algoritmos de redução de SPA.

Antes destes algoritmos, o processo de redução do SPA era conduzido por

operadores que realizavam regulagens em vários geradores do sistema, baseado em suas

experiências [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]. O procedimento de tentativa e erro, contudo, é indireto e

consome muito tempo, o qual é incompatível com as necessidades de rapidez da

recomposição.

A Tabela II.1 mostra um exemplo de valores de SPA adotados em umas das

interconexões do sistema nordeste dos Estados Unidos, cujos valores dependem do nível

de tensão [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 15 ].

Tabela II.1 – Valores de SPA. Nível de Tensão (kV) SPA (Graus)

≥500 20 230 40 ≤115 60

Baseado nos valores apresentados na Tabela II.1, sugiram diversas metodologias

para redução do SPA aos valores indicados na tabela. Estas metodologias são baseadas em

fluxo de potência convencional e fluxo de potência ótimo. Algumas delas serão

apresentadas a seguir.

Na referência [ 10 ] é proposto um método que expressa o SPA entre duas barras


em termos da combinação linear das mudanças em geração de potência ativa. Baseado na

sensibilidade das barras de geração selecionam-se as barras que permitem os ajustes

necessários para atingir o valor desejado de SPA. A metodologia também considera a

hipótese de se realizar o mínimo corte de carga caso os ajustes na geração não sejam

suficientes.

Foi proposto em [ 9 ] uma metodologia para redução do SPA através de re-

despacho de geração. O método é composto de duas etapas dentre as quais a primeira

estabelece a viabilidade da redução do SPA por meio de ajustes na geração. A segunda

obtém a alternativa ótima de redespacho. Em ambos os estágios são utilizados

programação linear para resolução do problema. Entretanto, esta metodologia não

encontrou aplicação em tempo real por apresentar falhas, sobretudo na forma como o

corte de carga era realizado, além de não representar fielmente o sistema devido às

linearidades assumidas.

Em [ 11 ] o SPA entre duas barras é representado em termos dos fatores de

sensibilidade associados a mudanças na injeção de potência ativa nas barras. A metodologia

baseia-se nos maiores fatores de sensibilidade para determinar os geradores que irão

participar do processo de redução do SPA, os quais são determinados a cada iteração do

algoritmo. As vantagens desta metodologia estão na determinação do número de geradores

necessários para diminuição do SPA e possibilidade de aplicação em tempo real. Em

contrapartida, os desvios de geração não são os mínimos necessários e o algoritmo

apresenta problemas de convergência quando a relação reatância/resistência das linhas de

transmissão é baixa.

Em [ 12 ] é apresentada uma metodologia para redução do SPA a limites aceitáveis

baseado no algoritmo da referência citada anteriormente. A diferença, contudo, está na

forma de cálculo dos fatores de sensibilidade, já que neste trabalho foram utilizadas as

mesmas aproximações do fluxo de carga DC, refletindo, desta forma, em menor tempo de

processamento para chegar aos resultados desejados.

A referência [ 14 ] trata o problema de forma mais rigorosa, através de um

programa de Fluxo de Potência Ótimo (FPO) que utiliza a técnica primal-dual de pontos


interiores para solução. As restrições usuais de FPO são tomadas juntamente com a

restrição de máximo valor de SPA. O objetivo é obter o mínimo desvio de geração de

potência ativa necessário para atender a restrição de SPA. A formulação geral do problema

á apresentada em (II.2):

( )( )

_

min max

. . 0

θ θ

=

≤

≤ ≤

ijij

Min f xs a h x

x x x

(II.2)

( )f x Função objetivo composta dos termos mínimo desvio de geração de potência

ativa e mínimo corte de carga;

( )h x Equações estáticas de fluxo de carga;

θij SPA entre as barras i e j;

_ijθ Valor máximo do SPA;

x Variáveis de otimização;

min max,x x Limites mínimos e máximos das variáveis x, respectivamente.

Esta metodologia identifica de forma clara o mínimo redespacho de geração e

demais recursos do sistema para redução do SPA, impedindo cortes de carga

desnecessários, porém requer o conhecimento prévio do SPA.


II.4 Critério ONS para Fechamento de Anel

O ONS, através das diretrizes e critérios para fechamento de anel [ 18 ], estabelece

que para se fechar um anel na rede de transmissão, deve ser verificado se a variação

instantânea da potência elétrica das máquinas ( p∆ ) é inferior a 50% da potência elétrica

nominal ( nP ). O fechamento do anel será permitido tanto para máquinas hidráulicas

quanto térmicas. A expressão a seguir mostra esta relação:

0 0 0,5t te e np P P P− +∆ = − ≤ × (II.3)

Onde:

0−teP Potência elétrica das máquinas síncronas no instante que precede o

fechamento do anel;

0+teP Potência elétrica das máquinas síncronas no instante imediatamente após o

fechamento do anel;

nP Potência elétrica nominal da máquina síncrona

Graficamente, a equação (II.3) pode ser ilustrada conforme a Figura II.2:

0−teP

0+teP

∆p

t Figura II.2 – Transitório de potência elétrica da máquina síncrona.

O critério do ONS para fechamento de anel mencionado acima é utilizado no

Brasil tanto para máquinas térmicas quanto para máquinas hidráulicas e está associado à


perda de vida útil por fadiga do material do eixo do gerador.

II.5 Metodologia para Determinação do SPA

Todas as metodologias para redução do SPA assumem ser conhecido o seu valor,

ou seja, as metodologias para redução do SPA não podem ser usadas se o valor do SPA

não for conhecido. Os valores de SPA dependem das características do sistema tais como

níveis de tensão, condições de operação e localização do circuito que será conectado. Seus

valores são determinados por simulações em programas de análises dinâmicas e em regime

permanente [ 15 ].

Se o SPA é dependente do ponto de operação do sistema, isto significa que os

valores determinados para um caso podem não ser os recomendáveis para outros casos. As

metodologias que pudessem determinar o valor de SPA para fechamento de linhas de

transmissão para cada caso em particular, de modo que este valor fosse o máximo possível

para a condição atual que o sistema se encontra, poderiam otimizar o processo de

recomposição, pois isto diminuiria os ajustes necessários ao sistema.

A referência [ 17 ] propõe uma forma de determinação do valor de SPA máximo

permitido para fechamento de anel baseado nos critérios estabelecidos pelo ONS, ou seja,

o melhor ponto de operação do sistema elétrico que garanta que as oscilações decorrentes

do fechamento do anel permaneçam dentro dos limites recomendados. A metodologia

consiste na simulação combinada em programa de otimização e análise dinâmica.

Na primeira etapa soluciona-se o FPO do Tipo-I no qual o objetivo é encontrar a

mínima diferença angular entre as barras que se pretende fechar o anel. O problema é

formulado como:


( )( )

2

min max

12

. . 0

ij i jMin

s a h xx x x

ρ θ θ−

=≤ ≤

(II.4)

Onde,

θi Ângulo de fase da barra i;

θ j Ângulo de fase da barra j;

ijρ Peso associado à função objetivo mínima diferença angular.

Os resultados obtidos a partir do FPO TIPO-I são utilizados como parâmetro de

entrada no programa de simulação dinâmica. Com os resultados desta simulação dinâmica

verifica-se se alguma máquina ultrapassou o limite estabelecido pelo ONS. Em caso

negativo o valor de SPA atende aos critérios do ONS, em caso afirmativo o processo

continua.

O próximo passo do processo consiste em diminuir ainda mais o SPA. Nesta etapa

uma aproximação linear é assumida para o gráfico do comportamento da potência elétrica

instantânea em relação ao SPA, no qual determina-se o SPA que atende o critério

estabelecido pelo ONS, conforme o gráfico abaixo:

0+teP

θij

Potê

ncia

Elé

trica

SPA Figura II.3 – Curva de sensibilidade entre potência elétrica e SPA.


De posse do novo valor de SPA, resolve-se o FPO do TIPO-II para obtenção do

novo estado do sistema. A diferença em relação ao FPO do TIPO-I está na função

objetivo, que agora é modificada para o mínimo corte de carga. A formulação para o FPO

Tipo-II é:

( )_

min max

. . 0t

ij ij

Mins a h x

x x x

ρ α

θ θ

⋅

=

≤

≤ ≤

(II.5)

Onde,

α Variável de corte de carga que representa fração de carga efetiva na barra;

tρ Peso associado ao corte de carga.

Seguindo o processo, volta-se à preparação dos resultados para posterior simulação

no programa de análise dinâmica. O processo continua até que o valor de SPA

determinado atenda o critério estabelecido pelo ONS, tornando o fechamento do anel

viável.

As desvantagens desta metodologia estão na necessidade de realização de simulação

de dois FPOs diferentes e ainda a necessidade de alguns parâmetros obtidos da simulação

no programa de transitórios eletromecânicos. Além disso, a curva real não é linear

ocasionando com isso a necessidade de várias simulações, o que pode inviabilizar a

aplicação da metodologia.

II.6 Conclusões

Neste capítulo foram apresentados os problemas relacionados aos impactos que o

sistema de potência está sujeito em decorrência de fechamento de anéis elétricos durante a


recomposição, destacando os riscos os quais os geradores estão expostos caso ocorram

fechamentos sem os devidos cuidados, bem como as principais metodologias para

tratamento deste tema.

Diante das exposições feitas neste capítulo, ficou evidente que os impactos nos

eixos dos geradores estão diretamente relacionados ao valor do SPA. Este por sua vez é de

difícil determinação e altamente dependente das condições em que o sistema se encontra.

Além disso, uma vez determinado o SPA é necessário ajustar o sistema para que o mesmo

não seja excedido.

Desta forma, uma metodologia que fosse capaz de determinar os impactos nos

eixos dos geradores e ao mesmo tempo fazer os ajuste necessários para que os mesmos não

fossem maiores que os permitidos, tornaria o fechamento de circuitos independentes dos

valores de SPA e otimizaria o processo.

18

Capítulo III

Metodologia Proposta

III.1 Considerações Iniciais

As metodologias para fechamentos de anéis durante a recomposição do sistema de

potência utilizam como dado de entrada o valor máximo de SPA permitido. No entanto,

um dos grandes problemas é justamente a determinação do valor do SPA, o qual é

dependente das condições que o sistema se encontra. Tendo em vista as dificuldades para

obtenção do valor ótimo do SPA para cada configuração e os riscos de danos ao sistema,

apresenta-se neste trabalho uma nova metodologia que permite a realização desta tarefa

sem necessidade do conhecimento prévio do SPA. Isto é obtido incorporando-se a

restrição dos impactos que o sistema está sujeito diretamente na modelagem de fluxo de

potência ótimo.

A seguir são descritos detalhadamente os conceitos e a técnica de solução utilizados

na elaboração da metodologia proposta neste trabalho.

CAPÍTULO III- METODOLOGIA PROPOSTA 19

III.2 Modelo de Otimização

Conforme exposto no Capítulo II, o ONS estabelece um limite máximo para

variação da potência elétrica instantânea das máquinas do sistema em decorrência de

fechamento de anéis, equação (III.1). Para o levantamento desta restrição, é necessário o

conhecimento do estado do sistema em dois pontos distintos: sistema antes do fechamento

do anel e sistema imediatamente após o fechamento do anel.

0 0 0,5t te e np P P P− +∆ = − ≤ × (III.1)

O conhecimento do estado do sistema antes do fechamento do anel é obtido

através da solução do fluxo de potência em regime permanente, no qual a linha que conecta

o anel elétrico é considerada aberta.

O estado do sistema imediatamente após o fechamento do anel, no entanto, é mais

complexo de se determinar. Isto se deve ao fato de que neste ponto o sistema se encontra

em regime transitório, de forma que a simples inserção da linha que fecha o anel nas

equações estáticas de fluxo de carga, não representaria o ponto desejado, mas forneceria a

solução do fluxo de potência em regime permanente, como pode ser ilustrado na Figura

III.1.

tAnel aberto: regime permanente

Imediatamente após fechar anel:regime transitório

Anel fechado:regime permanente

eP

Figura III.1 – Pontos de solução em regime permanente e transitório.

Os pontos de solução da rede em regime transitório são determinados por

intermédio de programas de análise de transitórios eletromecânicos, no qual a dinâmica do


sistema é representada através modelos que determinam o comportamento do sistema

durante o regime transitório. Para determinação do estado do sistema imediatamente após

o fechamento do anel é necessário considerar na solução do fluxo de potência, as restrições

dinâmicas.

A inserção de restrições da dinâmica de sistemas no FPO é uma técnica que recebe

muitas críticas por elevar extraordinariamente a ordem da matriz de solução, como mostra

as referências[ 20 ], [ 21 ] e [ 22 ] para aplicação de estudos de estabilidade transitória. O

aumento na dimensão do sistema a ser resolvido, deve-se ao fato de ser necessário a

determinação do estado da rede em vários pontos.

Este problema pode ser contornado quando se trata de estudos de fechamento de

anel. Como o impacto nos eixos dos geradores é mensurado através dos pontos antes e

imediatamente após o fechamento do anel, são necessários apenas dois pontos de solução

da rede.

Levando-se em consideração todas as observações anteriormente citadas, a

formulação geral do problema de otimização para fechamento de anel pode ser dada como:

( )( )( )

( )( )( )

min max

. . 00

00

a

a

d

d

ONS

Min f x

s a h xMs xh xMs xR xx x x

==

==

≤ ≤

(III.2)

Onde,

( )f x Função objetivo;

( )ah x Equações estáticas de fluxo de carga da rede antes do fechamento do anel;


( )dh x Equações estáticas de fluxo de carga da rede imediatamente após o

fechamento do anel;

( )aMs x Modelagem das máquinas síncronas antes do fechamento do anel;

( )dMs x Modelagem das máquinas síncronas imediatamente após o fechamento do

anel;

( )ONSR x Restrição do ONS para fechamento de anel (Eq. III.1);

x Variáveis de controle e estado do fluxo de potência;

min max,x x Limites mínimos e máximos das variáveis x, respectivamente.

Os índices “a” e “d” serão utilizados para se denotar as equações e as variáveis que

representam o sistema nos instantes anterior e imediatamente posterior ao fechamento do

anel.

Em linhas gerais, sem ainda entrar no equacionamento, a formulação do FPO

apresentada em (III.2), consiste na solução do fluxo de potência em ambos os instantes de

tempo, ou seja, antes e imediatamente após o fechamento do anel, cujo objetivo é desviar o

mínimo possível do ponto de operação em que o sistema se encontra. A fim de atender as

restrições de impactos máximos permitidos nos eixos dos geradores, adiciona-se ao

problema de FPO as condições estabelecidas pelo ONS.

As equações ( )aMs x e ( )dMs x são as restrições dinâmicas correspondentes às

formulações dos modelos de máquinas síncronas utilizados para a representação da rede

imediatamente após o fechamento do anel. Estas equações serão apresentadas em item

subseqüente.

Observa-se que o modelo de otimização apresentado em (III.2) resulta em um

problema de grande dimensão. Entretanto, a natureza do problema permite a sua solução


por decomposição em dois subproblemas menores, pois existem claramente dois

problemas distintos a serem resolvidos, acoplados por poucas variáveis.

Neste trabalho a opção por decomposição em dois subproblemas foi adotada. A

técnica utilizada para realização da decomposição foi a decomposição matemática de

Benders, cuja formulação é apresentada no Apêndice B.

A decomposição de Benders apresenta algumas vantagens em relação à solução do

problema apresentado em (III.2):

Soluções de subproblemas de otimização de menores dimensões;

Permite a inserção da metodologia em programas comerciais que utilizam a

metodologia de decomposição de Benders;

Facilidade para representação e solução de outras situações de chaveamento

no sistema de potência.

III.3 Técnica de Solução

A solução do problema de fechamento de anel através da decomposição de

Benders pode ser vista como um problema de viabilidade. Isto pode ser facilmente

constatado pela natureza do problema, já que o objetivo é o ajuste ótimo dos recursos do

sistema para que o fechamento do anel seja viável, ou seja, não ultrapasse os limites

máximos estabelecidos pelo ONS.

O esquema de solução do problema de fechamento de anel por meio da

decomposição matemática de Benders, pode ser ilustrado como mostrado na Figura III.2,

tal como foi tratado em [ 29 ] e [ 30 ].


Subproblema 1FPO Linha Aberta

Corte de BendersDecisão sobrecontroles

*x ( )u x

Subproblema 2FPO Linha Fechada

Figura III.2 – Esquema de solução por decomposição de Benders.

Neste esquema, a solução do subproblema 1 fornece a decisão ótima sobre os

ajustes dos controles do sistema ( *x ) para que o subproblema 2 seja viável. Caso a restrição

para fechamento de anel não seja atendida na solução do subproblema 2, uma restrição de

corte de Benders ( ( )u x ) é construída para o subproblema 1. O processo continua até que

o fechamento do anel seja viável. A formulação da decomposição de Benders para

viabilidade considerando dois subproblemas é apresentada no Apêndice B.

III.4 Descrição dos Modelos Adotados

Nesta seção serão descritos os modelos das máquinas síncronas adotados, bem

como a formulação de cada subproblema utilizado na metodologia de solução por

decomposição de Benders.

III.4.1 Modelagem das Máquinas Síncronas

A simulação da dinâmica do sistema elétrico de potência envolve o processo de

solução interativa entre a máquina e a rede. A Figura III.3 mostra como é a estrutura básica

de um programa de simulação de transitórios eletromecânicos. Neste diagrama os blocos

Equação Mecânica, Máquina e Regulador de Tensão são modelados por equações

diferenciais. Os blocos Transformação de Coordenadas e Rede de Transmissão são

modelados por equações algébricas.


EquaçãoMecânica

Máquina

Reguladorde Tensão

Redede

Transmissão

Transformação coordenadas

"E δ∠

eP

RegV

I

RefV Figura III.3 – Estrutura de um programa de transitório eletromecânico.

Quando ocorre um desequilíbrio de potência no sistema (entrada ou saída de linha,

rejeição de carga, etc...) este começa a oscilar e se for estável, atinge um novo ponto de

regime.

No instante imediatamente após o fechamento do anel o valor da tensão

subtransitória não pode variar instantaneamente por ser proporcional ao enlace de fluxo2

subtransitório. As máquinas do sistema são vistas pela rede como uma fonte de tensão

constante ( "E ∠δ ) atrás da reatância subtransitória ( "x d ), cujo valor é calculado pelas

condições pré-fechamento. Isto permite uma simplificação no diagrama da Figura III.3,

como mostra a Figura III.4. É importante ressaltar que esta simplificação é válida apenas

para o instante 0+t .

2 Enlace de fluxo: O enlace de fluxo por segundo, definido como o produto da indutância do enrolamento pela corrente que neste circula, é muito utilizado no equacionamento dos modelos das máquinas síncronas, devido às simplificações das equações e a facilidade para representação do fenômeno da saturação.


Máquina

i iV θ∠"ix d

"i iE δ∠

Redede

Transmissão

i iPG jQG+

Figura III.4 – Máquina vista pela rede de transmissão instante 0+t .

Escrevendo a equação de potência injetada para o circuito mostrado na Figura III.4,

considerando que ( )i iconj PG jQG+ e ( )i iconj V θ∠ denotam o conjugado da potência

aparente e da tensão na barra de geração, respectivamente, tem-se:

( ) ( )"

"i i i i

i i i ii

E Vconj PG jQG conj Vjx dδ θ

θ ∠ − ∠

+ = ∠ ⋅

(III.3)

Onde:

"iE Magnitude da tensão atrás da reatância subtransitória do gerador i;

iδ Valor ótimo do ângulo da tensão atrás da reatância subtransitória do

gerador i;

iV Magnitude da tensão da barra de conexão do gerador i;

iθ Ângulo da tensão da barra de conexão do gerador i;

"ix d Reatância subtransitória do gerador i.

Separando em parte real e imaginária a equação (III.3), obtém-se expressões


algébricas para as potências ativa e reativa que representam os geradores no instante

imediatamente após o fechamento do anel:

( )" " sen 0i i i i i iPG x d E V δ θ⋅ − ⋅ ⋅ − = (III.4)

( ) 2" " cos 0i i i i i i iQG x d E V Vδ θ⋅ − ⋅ ⋅ − + = (III.5)

Assim, quando as equações (III.4) e (III.5) são inseridas na formulação do

subproblema 1, determina-se a tensão atrás da reatância subtransitória. Por outro lado,

quando estas mesmas equações são inseridas na formulação do subproblema 2 e os valores

da tensão atrás da reatância subtransitória são mantidos fixos e iguais aos calculados no

subproblema 1, tem-se que o fluxo de potência calculado representa o ponto

imediatamente após o fechamento do anel.

III.4.2 Modelagem Subproblema 1

O subproblema 1 consiste em determinar o estado da rede antes do fechamento, ou

seja, determinar o estado da rede considerando a linha que fecha o anel desligada. O

subproblema antes da conexão do anel pode ser formulado como:

( )( )( )

min max

. . 00

a

a

Min f x

s a h xMs xx x x

==

≤ ≤

(III.6)

A seguir serão apresentadas as características da função objetivo e de cada uma das

restrições que fazem parte da formulação.

III.4.2.1 Função Objetivo

A função objetivo referente ao subproblema 1, originalmente, corresponde apenas


a minimização dos desvios de geração de potência ativa. Portanto, o desejável é alterar o

mínimo possível os despachos de geração do sistema:

( )201

12∈Ω

ρ −∑ng

k kk

PGa PG (III.7)

Onde:

Ωng Conjunto de barras que contêm gerador;

kPGa Potência ativa gerada na barra k;

0kPG Potência ativa no gerador k para o ponto de operação inicial;

1ρ Peso associado ao desvio de potência ativa gerada. Neste trabalho foi adotado

10.

Nem sempre os desvios de geração são suficientes para convergir o problema,

principalmente nos sistemas em fase de recomposição coordenada, de forma que para

evitar possíveis problemas de inviabilidade, adiciona-se o corte de carga na função objetivo:

( )201 2

12∈Ω ∈Ω

ρ − + ρ ⋅α∑ ∑ng c

k k tk t

PGa PG (III.8)

Onde:

Ωc Conjunto de barras selecionadas para o corte de carga;

tα Fração de carga efetiva na barra t;

2ρ Peso associado ao desvio para corte de carga. Neste trabalho foi adotado 15.

Os valores dos pesos associados ao mínimo desvio de geração de potência ativa

devem ser menores que os pesos relacionados ao mínimo corte de carga, pois é preferível


desviar a geração do que cortar carga.

III.4.2.2 Restrições de Balanço de Potência Ativa e Reativa

As restrições de balanço de potência ativa e reativa são as equações estáticas de

fluxo de carga, as quais são formuladas de forma que o somatório das potências injetadas

em uma barra seja iguais a zero:

( )1 0∈Ω

− −α ⋅ − =∑i

i i i ijj

PGa PL Pa (III.9)

( )1 0∈Ω

− −α ⋅ − =∑i

i i i ijj

QGa QL Qa (III.10)

Onde:

Ωi Conjunto de barras conectadas diretamente a barra i;

,ij ijPa Qa Fluxo de potência ativa e reativa no circuito i-j, respectivamente, dados pelas

expressões (III.11) e (III.12);

,i iPL QL Carga ativa e reativa da barra i, respectivamente.

As expressões gerais para o fluxo de potência ativa e reativa nos circuitos são

apresentas a seguir:

( ) ( ) ( )( ) ( )

2cosij ij i ij ij i j ij ij ij

ij i j ij ij ij

Pa t V g t V V g

t V V b sen

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ θ + ϕ +

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ θ + ϕ

(III.11)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2cossh

ij ij i ij ij ij i j ij ij ij

ij i j ij ij ij

Qa t V b b t V V b

t V V g sen

= − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ θ + ϕ +

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ θ + ϕ

(III.12)

Onde:


ijt Tape de transformador circuito i-j;

ijg Condutância série circuito i-j;

ijb Susceptância série circuito i-j

shijb Susceptância shunt circuito i-j;

ijϕ Ângulo de dafasagem circuito i-j

ijθ Diferença entre os ângulos das tensões nodais i e j, respectivamente.

Nas equações (III.11) e (III.12), no caso de linhas de transmissão, 1ijt = e 0ijϕ = .

Para transformadores em fase, 0shijb = e 0ijϕ = . Para defasadores puros, 0sh

ijb = 1ijt = .

Finalmente, para os defasadores, 0shijb = .

III.4.2.3 Restrições de Modelagem das Máquinas Síncronas

As equações (III.4) e (III.5) são inseridas no FPO antes do fechamento permitindo

o cálculo da tensão atrás da reatância subtransitória das máquinas. Reescrevendo-as

considerando as variáveis associadas ao subproblema 1, tem-se:

( )" " sen 0δ θ⋅ − ⋅ ⋅ − =PGa x d E Va a (III.13)

( )" " 2cos 0δ θ⋅ − ⋅ ⋅ − + =QGa x d E Va a Va (III.14)

Onde “a” é o índice correspondente à condição de operação antes do fechamento

do anel.

III.4.2.4 Restrições de Canalização

As limitações impostas a uma variável ou a um conjunto de variáveis do sistema

correspondem às restrições de desigualdade. Estas restrições refletem limites de operação


dos equipamentos ou alguma política operativa específica. Estas restrições podem ser

classificadas em: restrições físicas (são restrições impostas pelas limitações da capacidade

dos componentes do sistema), restrições operacionais (a operação do sistema impõe limites

que devem ser considerados na modelagem) e as restrições funcionais (modela-se uma

função das variáveis de otimização, em geral esta restrição é mais severa que as anteriores).

As formulações das restrições de canalização para o subproblema 1 são:

min max

min max

min max

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

i i i

i i i

i i i

PGa PGa PGa

QGa QGa QGa

Va Va Va

(III.15)

Onde:

min max,i iPGa PGa Limite superior e inferior da potência ativa gerada, respectivamente;

min max,i iQGa QGa Limite superior e inferior da potência reativa gerada, respectivamente;

min max,i iVa Va Limite superior e inferior da tensão de barra, respectivamente.

III.4.2.5 Estrutura da Matriz Hessiana Subproblema 1

Este item mostra a estrutura da matriz hessiana para o subproblema 1. É

importante destacar que esta estrutura é adequada para aplicação em programas comerciais.

Para apresentação da estrutura da matriz hessiana relacionada ao subproblema 1,

considere um sistema fictício de duas barras. Suponha que a geração esta localizada na

barra “i” e que existe uma linha que conecta esta barra à barra “j” (barra de carga). Diante

destas considerações a matriz hessiana do subproblema 1 é apresentada abaixo:


"

"

i i j i i i i j j j j i i i i

i

i

i

i

i

i

i

j

j

j

j

i

i

i

i

PG QG p V q p V q p E qPG H J JQG H J J

H J JH J H J H J H J H J H J

p J J J J J J JV H J H J H J H J H J H Jq J J J J J J J

H J H J H J H Jp J J J J JV H J H J H J H Jq J J J J J

H J H J H J H Jp J J J J JE H J H J H J H Jq J J J J J

α θ λ λ θ λ λ δ π π

αθλ

λθλ

λδπ

π

(III.16)

Onde,

H Representa as derivadas de segunda ordem da função Lagrangeana em

relação às variáveis primais do problema;

J Representa as derivadas de segunda ordem da função Lagrangeana em

relação às variáveis primais e duais do problema; corresponde aos elementos

da matriz Jaconiana do problema de fluxo de carga.

III.4.3 Modelagem Subproblema 2

O subproblema 2 consiste, basicamente, em determinar o estado da rede depois do

fechamento, sendo necessário solucionar as equações de rede considerando conectada a

linha que fecha o anel. Para encontrar o ponto imediatamente após o fechamento do anel,

torna-se necessário resolver as equações de rede considerando-se as barras internas que

representam as máquinas do sistema com tensão e ângulo fixos nos valores calculados no

subproblema 1, conforme mostrado no item III.4.1.


Desta forma, a formulação do subproblema 2 será:

( )( )( )( )

min max

. . 00

d

d

ONS

Min f x

s a h xMs xR xx x x

==

≤ ≤

(III.17)

A seguir serão descritas cada uma das equações que fazem parte do problema

(III.17).

III.4.3.1 Restrição ONS para Fechamento de Anel

A restrição do ONS para fechamento de anéis no sistema de transmissão estabelece

um limite para a variação instantânea da potência elétrica nos geradores do sistema. O

cálculo desta restrição, portanto, exige o conhecimento do estado da rede no instante que

precede o fechamento e no instante após o mesmo.

Considerando as variáveis associadas aos subproblemas 1 e 2 e reescrevendo a

equação (II.3), tem-se:

* 0,5ii i nPGa PGd P− ≤ × (III.18)

Que é equivalente a:

( )* 0,5ii i n iPGd PGa P glπ≥ − × (III.19)

( )* 0,5ii i n iPGd PGa P guπ≤ + × (III.20)

Onde:


*iPGa Valor ótimo da potência ativa gerada na barra i no subproblema 1. Este valor

é constante no subproblema 2;

iPGd Potência ativa gerada na barra i no subproblema 2;

niP Potência elétrica nominal da máquina i;

,l ui ig gπ π Coeficientes de Lagrange associados às restrições de variação da potência

elétrica instantânea, correspondentes aos limites inferiores e superiores,

respectivamente.

III.4.3.2 Função Objetivo

O ponto de solução do subproblema 2 é obtido considerando-se a tensão e o

ângulo da barra interna das máquinas fixos. Nestas condições, a solução pode impor um

valor de potência elétrica para as máquinas do sistema maior que o valor máximo permitido

pelo ONS. Com esta restrição ativa, as equações de rede não apresentam solução. Isto se

deve ao fato do ponto de solução da rede, em tais condições, estar fora da região viável

delimitada pela restrição do ONS.

Para garantir a convergência do subproblema 2, é necessário adicionar ao valor da

potência elétrica delimitada pela restrição do ONS, um valor fictício de potência de modo a

viabilizar a solução imposta pela rede.

Este valor fictício de potência será denominado potência ativa injetada ( )Pinj e

corresponde à diferença entre a potência elétrica instantânea e o valor máximo permitido.

Graficamente a potência ativa injetada pode ser representada como mostra a Figura III.5.


*PGa

* 0,5 nPGa P+ ×Pinj

PGd

t Figura III.5 – Visualização gráfica da potência ativa injetada.

Caso a variável de potência ativa injetada não fosse considerada, o sistema não

apresentaria solução, pois não existiria valor de potência ativa gerada que atendesse,

respectivamente, a restrição do ONS, a equação de balanço de potência ativa e a equação

que modela a máquina síncrona.

A variável “potência ativa injetada” pode possuir valor positivo ou negativo e por

esse motivo aparece de forma quadrática na função objetivo. A função objetivo no

subproblema 2 é, portanto:

23

12∈Ω

ρ ⋅∑ng

kk

Pinj (III.21)

Onde:

kPinj Potência ativa injetada na barra geradora k;

3ρ Peso associado à mínima injeção de potência ativa. Neste trabalho foi adotado

o valor de 100.

É importante ressaltar que se a injeção de potência ativa for menor que uma

tolerância de 1 MW, significa que a restrição do ONS foi atendida, ou seja, nenhum

gerador extrapolou o limite máximo de potência elétrica. Portanto, este critério é adotado

para apontar a convergência do processo global de otimização.


III.4.3.3 Representação das Cargas

As cargas no subproblema 2 são representadas por impedância constante. Para se

determinar o valor da impedância de carga é necessário converter o valor da potência de

carga obtida do subproblema 1 para impedância constante. A Figura III.6 ilustra este

procedimento. As valores indexados por “asterisco” denotam o valor ótimo das variáveis

calculados no subproblema 1.

( )*1 i iSα− ⋅

* *i iVa aθ∠ * *

i iVa aθ∠

iZ⇔

Potência Constante Impedância Constante Figura III.6 – Representação das cargas no subproblema 2.

Considerando-se que ( )( )*1 i iconj Sα− ⋅ denota o conjugado da potência aparente

da carga do subproblema 1, da teoria de circuitos lineares tem-se que:

( )( )2

**1 ii i

i

Vaconj SZ

α− ⋅ =

(III.22)

Onde:

*iα Valor ótimo do corte de carga na barra i, obtido no subproblema 1;

iS Potência aparente da carga da barra i;

*iVa Valor ótimo da magnitude da tensão na barra de carga i, obtido no

subproblema 1;


iZ Impedância da carga da barra i.

Reescrevendo-se a equação (III.22) obtém-se:

( ) ( ) ( )2* *1 i i i i i iPL j QL Va g j bα− ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ (III.23)

Onde,

ig Condutância da carga conectada na barra i;

ib Susceptância da carga conectada na barra j.

Identificando as partes real e imaginária na equação (III.22), tem-se:

( )2

*

*

1 i ii

i

PLg

Va

α− ⋅=

(III.24)

( )2

*

*

1 i ii

i

QLb

Va

α− ⋅=

(III.25)

As equações (III.24) e (III.25) modelam a carga no subproblema 2. Uma

observação importante é que as cargas são dependentes dos valores de tensão e do corte de

carga obtidos no subproblema 1.

III.4.3.4 Restrições de Balanço de Potência Ativa e Reativa

As equações de balanço de potência ativa e reativa do subproblema 2 são

equivalentes as do subproblema 1, a menos da variável de potência ativa injetada e da

representação das cargas.


Para o caso da potência ativa injetada, esta aparece somando-se ao valor da

potência ativa gerada no subproblema 2 na equação de balanço de potência ativa.

Para a carga, a potência ativa e reativa consumida pela respectiva admitância são

dadas pelas expressões (III.26) e (III.27), respectivamente:

( )2

*2 2

*

1 i ii i i i

i

PLPLd g Vd Vd

Va

α− ⋅= ⋅ = ⋅

(III.26)

( )2

*2 2

*

1 i ii i i i

i

QLQLd b Vd Vd

Va

α− ⋅= ⋅ = ⋅

(III.27)

Assim, as equações de balanço de potência ativa e reativa são dadas por:

( ) ( )0i

i i i ij ij

PGd Pinj PLd Pd p∈Ω

+ − − = λ∑ (III.28)

( )0i

i i ij ij

QGd QLd Qd q∈Ω

− − = λ∑ (III.29)

Onde:

,i iPLd QLd Carga ativa e reativa no subproblema 2;

iQGd Potência reativa gerada no subproblema 2;

,ij ijPd Qd Fluxo de potência ativa e reativa no circuito i-j, respectivamente no

subproblema 2;

,i ip qλ λ Coeficiente de Lagrange associado às equações de balanço de potência ativa

e reativa, respectivamente.


III.4.3.5 Restrições de Modelagem das Máquinas Síncronas

Como foi mencionado nas seções anteriores, para se encontrar o ponto de solução

do sistema imediatamente após o fechamento do anel, é necessário considerar fixos os

valores das tensões e ângulos das barras fictícias que representam as máquinas. Assim, as

equações que modelam as máquinas síncronas do sistema no subproblema 2 são:

( ) ( ) ( )* *" " sen 0i i i i i i i iPGd Pinj x d E Vd d p+ ⋅ − ⋅ ⋅ δ − θ = π (III.30)

( ) ( )* * 2" " cos 0i i i i i i i iQGd x d E Vd d Vd q⋅ − ⋅ ⋅ δ − θ + = π (III.31)

Onde:

*"iE Valor ótimo da tensão atrás da reatância subtransitória calculado no

subproblema 1;

*iδ Valor ótimo do ângulo da tensão atrás da reatância subtransitória, calculado

no subproblema 1;

,i ip qπ π Coeficientes de Lagrange associados às restrições que representam as

máquinas síncronas, parte ativa e reativa, respectivamente.

Uma observação importante a respeito da solução do subproblema 2, está em

relação à referência angular do mesmo. No subproblema 1, para resolver o problema de

singularidade da matriz de solução, elimina-se uma equação do conjunto de equações

considerando-se um ângulo de tensão de barra fixo, o qual torna-se a referência angular do

sistema. A referência angular no subproblema 1 continua para o subproblema 2, devido aos

ângulos das tensões das barras internas que representam as máquinas serem considerados

fixos. Esta se chama referência síncrona do sistema.


III.4.3.6 Estrutura da Matriz Hessiana Subproblema 2

Para permitir a visualização da matriz hessiana do subproblema 2 assuma

novamente um sistema de duas barras (“i” e “j”). A estrutura da matriz hessiana do

subproblema 2 para este caso está mostrada na equação (III.32).

"

"

1

1

i i i i i i i j j j j i i i i

i

i

i

i

i

i

i

j

j

j

j

i

i

i

i

PG QG Pinj p V q p V q p E qPG H J JQG H J JPinj H J j

H J H J H J H J J Jp J J J J J JV H J H J H J H J J Jq J J J J J

H J H J H J H Jp J J J JV H J H J H J H Jq J J J J

p J j J JEq J J J

θ λ λ θ λ λ δ π π

θλ

λθλ

λδπ

π

(III.32)

Observe que as variáveis do subproblema 1 consideradas constantes no

subproblema 2 são tratadas diferentemente para cada caso. Para as variáveis que modelam

os geradores do sistema, o artifício utilizado para mantê-las inalteradas neste subproblema

foi zerar a linha e a coluna correspondentes às mesmas na matriz e colocar o número um

na diagonal, parte hachurada da matriz (III.32)

Para a potência ativa gerada no subproblema 1 o valor foi considerado diretamente

na restrição de desigualdade que é tratada pelo método de pontos interiores. Para o corte

de carga e a tensão das barras representadas por impedância constante estes valores foram

considerados diretamente na montagem da restrição de balanço de potência ativa e reativa.

É importante ressaltar que a estrutura da matriz hessiana do subproblema 2 é


praticamente a mesma do subproblema 1, de forma que uma mesma rotina de ordenação e

solução de sistemas lineares pode ser utilizada para montagem e solução de ambos os

subproblemas.

III.4.4 Construção do Corte de Benders

A injeção de potência ativa no subproblema 2 mostra que a decisão de operação do

subproblema 1 não é viável para fechamento do anel. Sempre que isto ocorre, é produzido

o corte de Benders que por sua vez é inserido como restrição no subproblema 1.

As variáveis que recebem corte de Benders são aquelas que passam constantes para

o subproblema 2, ou seja, tensão e ângulo da fonte de tensão atrás da reatância

subtransitória, o corte de carga, a potência ativa gerada e a tensão das barras de carga.

De acordo com a exposição feita no Apêndice B, o corte de Benders é montado

segundo a expressão a seguir:

* * * *2 2 2x xE x w E xπ π⋅ ⋅ ≥ + ⋅ ⋅ (III.33)

Onde,

*2w Valor da função objetivo obtido do subproblema 2;

*2π Coeficiente de Lagrange das equações do subproblema 2 onde aparecem as

variáveis que recebem corte;

xE Derivada parcial das equações onde aparecem as variáveis que recebem

corte em relação às mesmas;

*x Valor constante das variáveis que recebem corte calculada no subproblema

1;


x Variáveis que recebem corte.

O valor da função objetivo do subproblema 2 é calculado a partir da equação

(III.21), como mostra a expressão a seguir:

( )2*2 3

*12

ngkkw Pinj

∈Ω

= ρ ⋅∑ (III.34)

Os termos *2 xE⋅π serão chamados de coeficiente do Benders ( )CBen e calculados

separadamente para cada variável que recebe o corte:

Tensão atrás da reatância subtransitória

Derivando as equações (III.30) e (III.31) em relação a *"iE e multiplicando cada

uma por seus respectivos coeficientes de Lagrange, obtém-se:

( ) ( )"* * * * * * * *cos

ii i i i i i i iECBen Vd sen d p Vd d qδ θ π δ θ π= − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ (III.35)

Ângulo da tensão atrás da reatância subtransitória

Derivando as equações (III.30) e (III.31) em relação a *iδ e multiplicando cada uma

por seus respectivos coeficientes de Lagrange, obtém-se:

( ) ( )* *" * * * * " * * * *cosi i i i i i i i i i iCBen E Vd d p E Vd d qδ δ θ π δ θ π= − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅sen

(III.36)

Corte de carga

Substituindo as equações (III.26) e (III.27) respectivamente em (III.28) e (III.29),

derivando-as em relação a *iα e multiplicando cada uma por seus respectivos coeficientes

de Lagrange, obtém-se:


2 2* * * *2 2* *ii i

i i i ii i

PL QLCBen Vd p Vd qVa Va

α λ λ= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (III.37)

Tensão das barras de Carga

Substituindo as equações (III.26) e (III.27) respectivamente em (III.28) e (III.29),

derivando-as em relação a *iVa e multiplicando cada uma por seus respectivos coeficientes

de Lagrange, obtém-se:

( ) ( )* *2 2* * * *

3 3* *

1 12

i

i i i iV i i i i

i i

PL QLCBen Vd p Vd q

Va Va

α αλ λ

− ⋅ − ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

(III.38)

Potência ativa gerada

Derivando as equações (III.19) e (III.20) em relação a *iPGa e multiplicando cada

uma por seus respectivos coeficientes de Lagrange, obtém-se:

Pgi i iCBen gl gu= −π − π (III.39)

A restrição de corte de Benders é então dada pela seguinte fórmula:

"E i i i V i Pg ii ii i i

CBen E CBen CBen CBen Va CBen PGaδ αδ α ω⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥ (III.40)

Onde:

** " * *2

* *i i i

i i

E i i i

V i Pg i

w CBen E CBen CBen

CBen Va CBen PGa

δ αω δ α= + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

⋅ + ⋅

(III.41)


A restrição de desigualdade pode ser convertida para uma restrição de igualdade

através da inserção de uma variável de folga, conduzindo a:

"

0cb E i i i

V i Pg i

i i i i

i i

y CBen E CBen CBen

CBen Va CBen PGaδ αδ α

ω

− ⋅ − ⋅ − ⋅ −

⋅ − ⋅ + =

(III.42)

Onde:

cbiy Variável de folga associada à restrição de corte de Benders.

A equação (III.42) representa o corte de Benders e será introduzida na formulação

do subproblema 1 sempre que houver injeção de potência ativa no subproblema 2. Esta

equação contém as informações necessárias para a decisão a ser tomada no subproblema 1.

A formulação do subproblema 1 considerando a restrição de corte de Benders é

dada por:

( )( )

( )min max

"

. . 00

0

a

a

cb E i i icb

V i Pg i

i i i ii

i i

Min f x

s a h xMsx x xy CBen E CBen CBen

CBen Va CBen PGaδ αδ α

λω

==≤ ≤

− ⋅ − ⋅ − ⋅ −

⋅ − ⋅ + =

(III.43)

A dimensão da matriz de solução do subproblema 1 considerando o corte de

Benders aumenta em duas novas linhas e colunas, as quais correspondem às variáveis de

folga ( )cbiy e ao coeficiente de Lagrange associado ( )cbi

λ .

III.4.5 Algoritmo de Solução

O fluxograma do algoritmo proposto para solução do problema de fechamento de


anel utilizando decomposição de Benders é apresentado na Figura III.7.

O algoritmo consiste primeiramente na solução do subproblema 1. Na primeira vez

que o subproblema 1 é resolvido, a restrição correspondente ao corte de Benders não é

considerada na formulação.

FPOlinha aberta

FPOlinha conectada

Max hiPinj ≤ ε

Imprima os Resultados

Sim

Construir corte de Benders

Incrementar o contador deIterações

Não

1h h= +

Inicialização

1h =

Subproblema 1

Subproblema 2

Figura III.7 – Fluxograma algoritmo proposto.

Os valores obtidos na solução do subproblema 1 correspondentes ao corte de

carga, a tensão e ângulo atrás da reatância subtransitória, tensão nas barras de carga

representadas por impedância constante e de geração são passados para o subproblema 2, o

qual é formulado considerando estes valores constantes.


Da solução do subproblema 2 obtém-se o estado da rede no instante

imediatamente após o fechamento do anel. Caso ocorra injeção de potência ativa nas barras

de geração maior que uma tolerância, significa que a restrição do ONS não foi atendida.

Neste caso, será construído o corte de Benders cuja formulação é dada pela equação

(III.42), o qual será inserido na formulação do subproblema 1 como uma restrição

adicional.

Assim, será resolvido novamente o subproblema 1 com o corte de Benders e em

seguida novamente o subproblema 2, continuando o processo. Isto ocorre, conforme o

fluxograma da Figura III.7, até que a injeção de potência ativa seja menor que a tolerância

adotada, convergindo o problema.

III.4.6 Exemplo Numérico

Nesta seção, a metodologia proposta é utilizada para realizar o ajuste dos

parâmetros de um sistema exemplo de três barras. O sistema é apresentado na Figura III.8

e será utilizado como exemplo ilustrativo para apresentação dos principais aspectos da

metodologia proposta. Os demais dados do sistema são apresentados na Tabela III.1. A

linha escolhida para realizar o fechamento do anel será a de menor reatância, a LT1-2. A

barra escolhida para referência angular será a barra 1.

~ ~1 2

3

1pu

0,6j pu 0,6j pu

0,2j pu

Figura III.8 – Exemplo numérico.


Tabela III.1 – Dados exemplo numérico. Geração (pu)

Ativa Reativa

Limite de Tensão (pu) Barra

Mínimo Máximo Inicial Mínimo Máximo "x d

Mínimo Máximo

1 0 0,8 0,65 -∞ ∞ 0,20 2 0 0,5 0,35 -∞ ∞ 0,10 3 --- --- --- --- --- ---

0,95 1,05

Subproblema 1 – Iteração h=1

Seguindo as etapas de solução da metodologia proposta, como ilustrado no

fluxograma da Figura III.7, a solução do subproblema 1 é obtida e apresentada na Tabela

III.2. Observa-se que solução do sistema será o próprio ponto de funcionamento inicial do

sistema (caso base), pois a função objetivo de mínimo desvio de geração de potência ativa

conduz aos valores de geração iguais aos valores iniciais apresentados na Tabela III.1,

como era esperado.

Tabela III.2 – Solução subproblema 1 iteração h=1: Exemplo numérico.

Barra PGa QGa "E δ Va aθ α

1 0,65 0,2241 1,074 0,1186 1,0227 0 --- 2 0,35 0,1266 1,035 -0,1573 1,0216 -0,1905 --- 3 --- --- --- --- 0,9693 -0,4043 0


Para solução do subproblema 2, algumas variáveis obtidas no subproblema 1 são

mantidas constantes. É o caso da potência ativa gerada que será utilizada para montagem da

restrição do ONS de máximo impacto permitido nos eixos dos geradores, equações (III.19)

e (III.20). Substituindo nestas equações os valores de geração e de potência nominal para

ambos os geradores, obtém-se:


*

1 1

2 2

*

1 1

2 2

0,50,65 0,5 0,8 1,050,35 0,5 0,5 0,60

0,50,65 0,5 0,8 0,250,35 0,5 0,5 0,10

n

n

PGd PGa PPGd PGdPGd PGd

PGd PGa PPGd PGdPGd PGd

≤ + ×

≤ + × → ≤

≤ + × → ≤

≥ − ×

≥ − × → ≥≥ − × → ≥

(III.44)

Como a carga neste subproblema é representada por impedância constante, o seu

valor será dependente da tensão de ambos os subproblemas. O valor da potência

consumida pela impedância de carga é obtido conforme a equação (III.26), resultando em:

( ) ( )( )

2 22

2

*3 3

3 3 32*3

3 3

1 1 0 1

0,9693

PLPLd Vd Vd

Va

PLd Vd

α− ⋅ − ⋅= ⋅ = ⋅

∴ = ⋅1,0643

(III.45)

Para representação das máquinas síncronas no momento do fechamento do anel, os

valores de tensão e ângulo da fonte de tensão atrás da reatância subtransitória também são

considerados fixos. Desta forma, a tensão e o ângulo da fonte de tensão permanecem

inalterados durante o processo iterativo do subproblema 2.

Assim, resolvendo-se o subproblema 2, obtém-se:

Tabela III.3 – Solução subproblema 2 iteração h=1: Exemplo numérico. Pinj Vd dθ pλ lgπ ugπ pπ qπ

1 0 1,0167 -0,0686 -4,918 0 -0,033 24,754 -0.446 2 -0,119 1,0180 -0,1556 -9,327 11,857 0 -25,297 -3.889 3 --- 0,9683 -0,4212 -5,728 --- -- --- ---

Pode-se observar a partir dos resultados apresentados na Tabela III.3, que a injeção

de potência ativa na barra 2 é maior que a tolerância de 10-2 adotada. Isto significa que a


restrição do ONS não foi atendida.

Simulações da dinâmica do sistema também foram realizadas utilizando-se o

programa ANATEM [ 25 ] para confirmar o resultado. Para tanto, foram utilizados os

dados das máquinas e reguladores apresentados no Apêndice C. O transitório da potência

elétrica da barra 2, que foi a barra que violou o limite do ONS, é mostrado na Figura III.9.

Observe que a linha que fecha o anel foi conectada no sistema no instante 0,5s.

0 1 2 3-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Barra 2 - Inicial

Tempo(s)

Pot.

Elét

rica(

pu)

Limite ONS

2Pinj

Figura III.9 – Transitório da potência elétrica inicial na barra 2.

Como ocorreu injeção de potência no subproblema 2, é necessário montar o corte

de Benders. Para este sistema o corte de Benders será:

" "1 1 2 1 2

3 3 1 2

" " 1 21 2

3 3 1 20

cb

V

E E

Pg Pg

y CBen E CBen E CBen CBen

CBen CBen Va CBen PGa CBen PGaδ δ

α

δ δ

α ω

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ +

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + =

(III.46)

Com,


( )

" "1 2 1 2

3

2

1

" " 1 21 2

3 3 3 1 21 2

* * * *

* * * *

*1 1002

V

E E

Pg Pg

CBen E CBen E CBen CBen

CBen CBen Va CBen PGa CBen PGa

Pinj

δ δ

α

ω δ δ

α

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

⋅ ⋅

(III.47)

De acordo com a equação, o coeficiente de Benders para a tensão atrás da reatância

subtransitória é dado por:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

"1

"2

1,0167 sen 0,1186 0,0686 24.754

1,0167 cos 0,1186 0,0686 0,446 4,238

1,0180 sen 0,1573 0,1556 25,297

1,0180 cos 0,1573 0,1556 3,889 3,915

E

E

CBen

CBen

= ⋅ + ⋅ −

⋅ + ⋅ − = −

= − ⋅ − + ⋅ − −

⋅ − + ⋅ − =

−

(III.48)

Para o ângulo atrás da reatância subtransitória, o coeficiente de Benders será:

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1

2

1,074 1,0167 cos 0,1186 0,0686 24,754

1,074 1,0167 sen 0,1186 0,0686 0,446 26,648

1,035 1,0180 cos 0,1573 0,1556 25,297

1,035 1,0180 sen 0,1573 0,1556 3,889 26,661

CBen

CBen

δ

δ

= − ⋅ ⋅ + ⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅ − = −

= − ⋅ ⋅ − + ⋅ − +

⋅ ⋅ − + ⋅ − =

(III.49)

No caso do corte de carga, o coeficiente de Benders é dado por:

( )223

10,9683 5,728 5,7160,9693

CBenα = ⋅ ⋅ − = − (III.50)

Para a tensão da barra de carga, tem-se:


( ) ( )3 3

1 0 12 0,9683 5,728 11,795

0,9693VCBen

− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ − = −

(III.51)

Finalmente, para a potência ativa gerada o coeficiente de Benders é dado por:

( )1

2

0 0,033 0,033

11,857 0 11,857

Pg

Pg

CBen

CBen

= − − − =

= − − = −

(III.52)

De posse dos coeficientes de Benders, a equação (III.47) é calculada como:

( )

( )2

4,238 1,074 3,915 1,035 26,648 0,1186 26,661 0,15735,716 0 11,795 0,9693 0,033 0,65 11,857 0,35

1 100 0,1186 22,6952

ω = − × + × − × + × − +

− × − × + × − × +

⋅ ⋅ − = −

(III.53)

Substituindo os valores na equação (III.46) e reescrevendo-a, obtém-se:

" "1 1 2 1 2

3 3 1 2

4,238 3,915 26,648 26,6615,716 11,795 0,033 11,857

22,695 0

cby E EVa PGa PGa

δ δα

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

− =

(III.54)

Esta equação é o corte de Benders e será inserida na formulação do subproblema 1.


Resolvendo novamente o subproblema 1 considerando a equação (III.54) na

formulação obtém-se os resultados mostrados na Tabela III.4. Pode-se observar que as

informações contidas na restrição de corte de Benders modificaram a solução do problema,

fazendo com que as gerações de potência ativa desviassem dos valores do caso base.


Tabela III.4 – Solução subproblema 1 iteração h=2: Exemplo numérico. Barra PGa QGa "E δ Va aθ α

1 0,636 0,263 1,097 0,1117 1,0397 0 --- 2 0,364 0,085 0,996 -0,1224 0,9864 -0,1594 --- 3 --- --- --- --- 0,9603 -0,3921 0


Resolvendo novamente o subproblema 2 obtém-se os resultados apresentados na

Tabela III.5. Pode-se observar que o valor da potência ativa injetada (parte hachurada da

tabela) diminuiu bastante, mas ainda está maior que a tolerância de convergência.

Tabela III.5 – Solução subproblema 2 iteração h=2: Exemplo numérico. Pinj Vd dθ pλ lgπ ugπ pπ qπ

1 0 1,0164 0 -2,073 0 0 10,374 -0,436 2 0,0518 0,9934 -0,1594 -4,021 5,184 0 -11,628 -2,035 3 --- 0,9550 -0,3921 -2,392 --- -- --- ---

É necessário, portanto, construir outro corte de Benders que será inserido no

subproblema 1 juntamente com o corte gerado anteriormente. Levando-se em conta os

resultados obtidos, a restrição de corte de Benders será:

" "2 1 2 1 2

3 3 1 2

1,315 2,094 11,489 11,4892,365 4,927 0,002 5,183

8,530 0

cby E EVa PGa PGa

δ δα

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

− =

(III.55)

Continuando o processo iterativo de solução, o problema alcança a convergência

após 4 iterações (h=4). Os valores da última iteração para o subproblema 1, os quais

fornecem os ajustes dos recursos do sistema para atender a restrição o ONS, são

apresentados na Tabela III.6:


Tabela III.6 – Solução subproblema 1 iteração h=4: Exemplo numérico. Barra PGa QGa "E δ Va aθ α

1 0,625 0,285 1,109 0,1079 1,0478 0 --- 2 0,374 0,065 0,974 -0,0989 0,9664 -0,1386 --- 3 --- --- --- --- 0,9543 -0,3847 0

Com o objetivo de mostrar a restrição do ONS na convergência do processo, a

mesma foi escrita em (III.56) a partir dos valores da Tabela III.6, para o gerador da barra

dois.

2 2

2 2

0,374 0,5 0,5 0,624

0,374 0,5 0,5 0,124

PGd PGd

PGd PGd

≤ + × → ≤

≥ − × → ≥

(III.56)

Pode-se observar na Figura III.10, que o valor instantâneo da potência elétrica no

instante do fechamento do anel não ultrapassa o valor máximo permitido.

0 1 2 3

0,15

0,25

0,35

0,45

Barra 2 - Otimizado

Tempo(s)

Pot.

Elét

rica(

pu)

Limite ONS

Figura III.10 – Transitório da potência elétrica otimizada na barra 2.

Foram necessários três cortes de Benders para o sistema alcançar a convergência.

Os três cortes montados são mostrados nas equações (III.57).


" "1 1 2 1 2

3 3 1 2

" "2 1 2 1 2

3 3 1 2

3

4,238 3,915 26,648 26,6615,716 11,795 0,033 11,857

22,695 0

1,315 2,094 11,489 11,4892,365 4,927 0,002 5,183

8,530 0

0,505

cb

cb

cb

y E EVa PGa PGa

y E EVa PGa PGa

y

δ δα

δ δα

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ +

− =

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

− =

+ " "1 2 1 2

3 3 1 2

1,044 5,270 5,2701,062 2,223 0,002 2,396

3,656 0

E EVa PGa PGa

δ δα

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

− =

(III.57)

III.5 Conclusões

Neste Capítulo foi apresentada uma nova proposta para realização do fechamento

de anéis durante a recomposição do sistema elétrico de potência. A metodologia é baseada

em fluxo de potência ótimo com solução através do algoritmo primal-dual de pontos

interiores e decomposição matemática de Benders. O método proposto permite a

representação do sistema antes e imediatamente após o fechamento do anel através da

incorporação de restrições da dinâmica do sistema. Desta forma, a restrição de máximo

impacto permitido aos eixos dos geradores é considerada diretamente na formulação, não

dependendo do conhecimento prévio do valor de SPA.

Um simples exemplo numérico também foi apresentado com o objetivo de ilustrar

os passos e algumas características do algoritmo proposto. Adicionalmente, as simulações

dinâmicas mostraram o comportamento desejado, o qual foi obtido pela metodologia

proposta.

54

Capítulo IV

Estudo de Casos

IV.1 Considerações Iniciais

Apresenta-se neste capítulo simulações em sistemas elétricos de potência

utilizando-se a metodologia proposta. Para tanto, serão utilizados como sistemas testes o

sistema IEEE-14 e o sistema IEEE-118 [ 24 ]. As principais características destes sistemas

são apresentadas na Tabela IV.1, sendo os dados completos apresentados no Apêndice C.

Tabela IV.1 – Características dos Sistemas Testes

Sistema Barras Geradores Circuitos

IEEE-14 14 7 20 IEEE-118 118 49 186

As simulações dos sistemas apresentados na Tabela IV.1 foram conduzidas

utilizando-se o software Matlab versão 6.1, no qual a metodologia proposta foi

implementada. Utilizou-se também o programa de simulação de transitórios

eletromecânicos Anatem [ 25 ] do Centro de Pesquisas de Energia Elétrica, Cepel, para

realização das simulações dinâmicas como forma de visualização e comprovação dos

resultados.

CAPÍTULO IV- ESTUDO DE CASOS 55

Destaca-se que os parâmetros utilizados para simulação dinâmica foram obtidos de

dados típicos de máquinas, de forma que as configurações e os ajustes dos reguladores do

sistema apresentados no Apêndice C, não fazem parte do escopo deste trabalho.

IV.2 Sistema IEEE-14

Primeiramente, será considerado para análise, utilizando a metodologia proposta, o

sistema IEEE-14. O diagrama unifilar deste sistema é apresentado na Figura IV.1.

1 2 3

6

12

7

8

1413

45

11 10

9

~

~

S

S

S

S

~

Figura IV.1 – Sistema teste IEEE-14.

Para obtermos uma condição para proporcionar o fechamento de anel, algumas

modificações foram feitas no sistema original. Foi considerado que a linha de transmissão

localizada entre as barras 13 e 14 (LT13-14) encontra-se desligada. Também foram

acrescentados no sistema um gerador na barra 13 e um compensador síncrono na barra 14.

Outra modificação foi em relação à carga ativa na barra 14, a qual foi considerada igual a


74MW.

Inicialmente, considere que o ponto de operação em que o sistema se encontra

antes de se fechar o anel, seja o mesmo apresentado no Apêndice C. Este ponto de

operação será denominado caso base. Nesta condição operacional, foram conduzidas as

simulações dinâmicas no programa de transitórios eletromecânicos para fechamento da

LT13-14 no instante t = 0,5s. Constatou-se que a máquina que sofreu o maior impacto, foi o

gerador da barra 14. A Figura IV.2 mostra a curva de variação da potência elétrica nesta

máquina.

Figura IV.2 – Transitório da potência elétrica na barra 14 inicial.

Observe que houve uma variação instantânea absoluta da potência elétrica de

65,5MW no momento do chaveamento da LT13-14. Este valor está acima do limite

estabelecido pelo ONS, que para este caso é de 50MW. Pode-se concluir, desta forma, que

o sistema encontra-se em um ponto de operação que não é apropriado para o fechamento

do anel, já que nestas condições haveria uma violação de 15,5MW do limite do ONS.

Utilizando-se a metodologia, considerando como dado de entrada o ponto de

operação caso base, obtêm-se os novos ajustes dos recursos e controles do sistema. Para

este caso, a técnica proposta, através do mínimo redespacho de geração e do mínimo corte

de carga, conduziu o sistema a um novo ponto de operação, o qual garante que a variação

instantânea da potência elétrica nas barras de geração permaneça dentro dos limites. A

Figura IV.3 mostra a variação da potência elétrica na barra 14 (maior variação)


considerando o novo ponto de operação obtido.

Figura IV.3 – Transitório da potência elétrica na barra 14 otimizado.

A Figura IV.4 mostra o desvio absoluto de geração de potência ativa e o corte de

carga durante o processo iterativo de Benders. Pode-se observar que o corte de carga é

menor do que o desvio de geração de potência ativa. Este resultado era esperado, pois o

peso associado à função objetivo mínimo desvio de geração de potência ativa é menor que

o peso da função objetivo mínimo corte de carga.

1 2 3 4 5 60

10

20

30

40

50

Iteração Benders

MW

Desvio Absoluto GeraçãoAtiva

Corte de Carga

Figura IV.4 – Desvio absoluto de geração e corte de carga.

Ainda em relação à Figura IV.4, observa-se que tanto o corte de carga quanto o

desvio de geração na primeira iteração do processo iterativo de Benders são iguais a zero,

mostrando que o sistema utilizado como dado de entrada para a metodologia proposta é


realmente um caso convergido representante de ponto atual de operação.

A seguir é mostrado a Tabela IV.2 que compara a geração de potência ativa do caso

base e a geração otimizada pela metodologia. O maior desvio de geração aconteceu no

gerador da barra 13 que é o mais próximo ao anel.

Tabela IV.2 – Despacho de Geração de Potência Ativa Geração (MW)

Barra Inicial Otimizada

Desvio Absoluto de

Geração (MW)

1 173,40 170,88 2,52 2 92,30 104,10 11,80 3 0 0 0 6 0 0 0 8 0 0 0 13 80,80 55,05 25,75 14 0 0 0 ∑ 346,50 330,03 40,07

A Figura IV.5 mostra a variação da potência ativa fictícia injetada na barra 14

durante o processo iterativo de solução. Os valores da potência ativa injetada representam a

violação da potência elétrica da máquina em relação ao limite estabelecido pelo ONS.

Observe que esta se torna nula no final do processo iterativo, indicando que a variação

instantânea da potência elétrica está dentro dos valores estabelecidos.


Figura IV.5 – Injeção fictícia de potência ativa.

IV.3 Sistema IEEE-118

Para o sistema padronizado de 118 barras do IEEE, foi escolhida para estudo a

LT23-24 que conecta em anel as barras 23, 24, 72, 71 e 70. A Figura IV.6 mostra uma visão

parcial do sistema em questão, destacando o lugar onde está localizada a linha sob estudo.

23 24 72 71 73

70 75 77

74 69 68

20

113

15

2221

25 32

2726

19

34

Figura IV.6 – Anel elétrico sistema IEEE-118.


Considere como caso base o ponto de operação apresentado no Apêndice C, no

qual a LT23-24 está desligada. Nesta condição de operação, foi simulado o fechamento do

anel, conectando a LT23-24 no instante t = 0,5s. Para este caso, as máquinas que sofreram

maior impacto foram os geradores das barras 24 e 72.

A Figura IV.7 e a Figura IV.8 apresentam o transitório de potência elétrica nestas

barras. Pode-se observar que em ambos os casos a variação instantânea da potência elétrica

está acima do limite estabelecido pelo ONS, que para este caso é de 137,02MW para a barra

24 e de 72,74MW para a barra 72.

Figura IV.7 – Transitório de potência elétrica barra 24 inicial.

Pode-se concluir que na condição de operação em que o sistema se encontra o

fechamento do anel não é possível, visto que os limites do ONS estão sendo excedidos.

Utilizando-se a metodologia proposta, um novo ponto de operação é determinado através

do redespacho de potência ativa. As simulações dinâmicas da potência elétrica para os

geradores das barras 24 e 72 são apresentadas nas figuras a seguir. Observe que a variação

instantânea da potência elétrica para ambos os geradores estão dentro do limite

recomendado.


Figura IV.8 – Transitório de potência elétrica barra 72 inicial.

Figura IV.9 – Transitório de potência elétrica barra 24 otimizado.


Figura IV.10 – Transitório de potência elétrica barra 72 otimizado.

A Figura IV.11 mostra a injeção fictícia de potência ativa nas barras 24 e 72 durante

o processo iterativo da decomposição de Benders. A metodologia conduz os ajustes no

sistema considerando simultaneamente as violações em ambos os geradores.

Figura IV.11 – Injeção fictícia de potência ativa.

Para este caso, apenas o redespacho de potência ativa foi suficiente para a

determinação do novo ponto de operação que atendesse o critério do ONS. A Figura IV.12

mostra os desvios absoluto de geração de potência ativa durante o processo iterativo de

Benders. O problema convergiu com um desvio de geração de 187,9MW.


2 4 6 8 100

50

100

150

200

Iteração Benders

MW

Desvio Absoluto GeraçãoAtiva

Figura IV.12 – Desvio absoluto de geração de potência ativa.

A variação do SPA, ou seja, a variação do ângulo das tensões de barra entre os

terminais da LT23-24 considerando esta desconectada, é apresentada na Figura IV.13. O

valor do SPA diminui conforme o sistema caminha para a convergência, permanecendo

praticamente inalterado nas últimas iterações. Apesar do valor do SPA não se alterar a

partir da sétima iteração, ainda ocorrem violações do critério do ONS. Isto mostra que um

mesmo valor de SPA pode apresentar, dependendo do ponto de operação do sistema,

variações diferentes de potência elétrica nas máquinas.

2 4 6 8 10

15202530354045

Iteração Benders

Gra

us

SPA Barras 23-24

Figura IV.13 – SPA barras 23-24.

Para permitir uma melhor visualização das observações realizadas no parágrafo

anterior, observe o gráfico apresentado na Figura IV.14 no qual estão relacionados os SPA


e as injeções fictícias de potência ativa. Pode-se observar que um mesmo valor de SPA

implica em violações diferentes do limite estabelecido pelo ONS para variação instantânea

da potência elétrica nas máquinas (Pinj). Assim considerar o máximo valor de SPA como

critério para realização de fechamento de anéis pode conduzir a um ponto de operação que

não atenda os limites de máxima variação instantânea da potência elétrica. A técnica

proposta neste trabalho não apresenta este problema, pois considera os impactos

instantâneos nos eixos das máquinas diretamente na formulação.

Figura IV.14 – Relação SPA e potência ativa injetada.

Uma outra simulação foi realizada com o sistema IEEE-118 barras considerando o

número reduzido de geradores para desvio de geração de potência ativa. O sistema

originalmente possui 49 geradores passíveis para redespacho de geração. Com o objetivo de

realizar uma análise permitindo um número menor de geradores com redespacho, foram

selecionados os quinze geradores mais próximos eletricamente do anel. Aos demais

geradores não foram permitidos variar a geração de potência ativa durante o processo

iterativo.

A Tabela IV.3 mostra os despachos de geração do caso base para os geradores

selecionados, ponto de operação cujo fechamento do anel viola os limites de potência

elétrica estabelecido pelo ONS, e para os pontos de operação obtidos pela metodologia

considerando quinze, dez e cinco geradores livres com redespacho.


Tabela IV.3 – Despacho de Geração de Potência Ativa Número de Geradores com Redespacho

Barra Caso Base 15 10 5

24 67,0 28,5 26,7 21,3 72 36,7 14,2 14,1 15,8 26 168,8 177,4 180,1 195,5 25 130,3 139,8 142,6 158,3 73 21,3 14,2 15,6 24,1 70 28,5 24,6 26,2 28,5 32 29,9 39,8 42,7 29,9 69 433,8 433,5 433,9 433,8 27 21,0 30,9 33,8 21,0 31 36,8 46,1 49,0 36,8 74 29,0 26,7 29,0 29,0 18 30,7 38,4 30,7 30,7 15 30,7 38,4 30,7 30,7 19 30,7 38,4 30,7 30,7 80 323,8 323,7 323,8 323,8

A Figura IV.15 mostra os gráficos da função objetivo mínimo desvio quadrático de

geração de potência ativa considerando os pontos de operação caso base, assim como os

pontos de operação fornecidos pela metodologia, considerando apenas alguns geradores

livres para redespacho. Observe que quanto menor o número de geradores livres para

redespacho, maior o valor da função objetivo.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

Minimo Desvio Quadrático de Geração Potência Ativa

Iteração Benders

$/pu

2

4915

10

5

Figura IV.15 – Função objetivo mínimo desvio quadrático de geração de potência

ativa.

IV.4 Conclusões

Neste capítulo foram apresentados os resultados das simulações realizadas em

sistemas elétricos de potência utilizando-se a metodologia proposta. O objetivo das

simulações foi mostrar o comportamento da metodologia apresentada neste trabalho

quando submetida a fechamento de anéis no sistema de transmissão.

A partir da observação dos resultados, constatou-se que o método é eficiente para

obtenção do ponto de operação pré-fechamento, que por sua vez é obtido com o mínimo

desvio do ponto original de operação, de modo que os impactos nos eixos das máquinas

permaneçam dentro dos limites recomendados pelo ONS.

Em relação à seleção dos geradores mais sensíveis para proporcionar o fechamento

do anel elétrico com segurança, este não contemplado neste trabalho. As análises realizadas


permitem concluir que o ponto de operação encontrado, com número reduzido de

geradores, tem a vantagem de possibilitar um número menor de unidades geradoras a

serem ajustadas, apesar de ser um ponto com maior desvio quadrático de geração de

potência ativa.

68

Capítulo V

Conclusões

V.1 Considerações Gerais

Este trabalho apresentou uma metodologia baseada em fluxo de potência ótimo,

formulada pelo algoritmo primal-dual de pontos interiores e decomposição matemática de

Benders, para ajuste dos controles e recursos do sistema a fim de que, por ocorrência de

fechamento de anel na rede de transmissão, os esforços torsionais nos eixos dos geradores

permaneçam dentro dos limites recomendados pelo ONS.

A metodologia utiliza como parâmetro para variação máxima permitida para

potência elétrica instantânea, o critério estabelecido pelo ONS. Para o seu cálculo foi

necessário adicionar as restrições usuais de fluxo de potência ótimo, novas restrições

correspondentes à modelagem das máquinas síncronas. A finalidade destas restrições foi

permitir a representação do sistema nos instantes antes e imediatamente após o fechamento

do anel. Esta técnica apresentou ótimo desempenho, sobretudo em relação à utilização

juntamente com a decomposição de Benders.

O método proposto tem como grande vantagem em relação às metodologias

disponibilizadas pela literatura, a forma como são tratados os impactos nos eixos dos

geradores. Diferentemente dos algoritmos existentes, os quais utilizam a redução do SPA

CAPÍTULO V- CONCLUSÕES 69

para indiretamente reduzir os impactos nas máquinas, a técnica proposta representa

diretamente as restrições de esforços torsionais na formulação. Desta forma, não há

necessidade do conhecimento prévio do SPA.

A utilização do peso da função objetivo de mínimo desvio quadrático de potência

ativa menor que o peso associado ao mínimo corte de carga, proporcionou ajuste dos

sistemas com prioridade para o redespacho de geração, realizando o corte de carga somente

se extremamente necessário.

Os resultados apresentados pela metodologia foram de excelente qualidade, sempre

mostrando valores idênticos aos obtidos pelo programa de simulação de transitório

eletromecânico.

Finalizando, acredita-se que esta ferramenta poderá vir a preencher uma importante

uma lacuna na operação em tempo real, identificando de forma clara, o mínimo redespacho

de geração e demais ajustes nos recursos do sistema, impedindo cortes de carga

desnecessários e agilizando o processo de recomposição.

V.2 Principais Contribuições da Dissertação

As principais contribuições desta dissertação podem ser resumidas nos seguintes

tópicos:

Aplicação da metodologia primal-dual de pontos interiores na resolução do

fluxo de potência ótimo, a qual permite incluir as não linearidades

referentes aos sistemas elétricos de potência;

Utilização da decomposição matemática de Benders para solução de

problemas de grande dimensão;

Utilização de modelos de máquinas síncronas válidos para representação do

CAPÍTULO V- CONCLUSÕES 70

instante imediatamente após o fechamento de anel no fluxo de potência

ótimo, com a finalidade de possibilitar o cálculo da restrição de impacto aos

eixos dos geradores.

V.3 Sugestões Para Trabalhos Futuros

Apresenta-se a seguir algumas sugestões para serem desenvolvidas em trabalhos

futuros visando dar continuidade a esta tese:

Desenvolvimento de técnicas para seleção dos geradores mais sensíveis para

realização do redespacho de potência ativa, para que este ocorra no menor

número de geradores possível;

Determinação de qual o lado da linha de transmissão que fecha o anel

elétrico deve ser energizado primeiro, a fim de minimizar os ajustes no

sistema elétrico;

Incorporação da restrição de ângulo do relé de verificação de sincronismo

na metodologia proposta;

Utilização do método proposto para estudos de outras contingências do

sistema, tais como, entrada de linha, perda de geração, etc;

Implementação em programa de FPO comercial ou em linguagem de

programação de alto desempenho, para verificação do comportamento da

metodologia em sistemas de grande porte.

71

Apêndice A

Metodologia Primal-Dual de Pontos Interiores

A.1 Considerações Iniciais

Este apêndice descreve os aspectos computacionais da metodologia primal-dual de

pontos interiores [ 26 ][ 27 ] na resolução de problemas de fluxo de potência ótimo (FPO).

A motivação desta aplicação deve-se ao bom desempenho mostrado pelos métodos de

pontos interiores em programação linear de grande porte, assim como em programação

quadrática e convexa. O algoritmo implementado resolve o sistema de equações resultante

da formulação primal-dual pelo método de Newton-Raphson com critérios específicos de

convergência e ajuste do parâmetro barreira.

A.2 Formulação do Problema de FPO

Um problema de FPO pode ser formulado como genericamente como:

APÊNDICE A- METODOLOGIA PRIMAL-DUAL DE PONTOS INTERIORES 72

( ).( ) 0 ( )

( )

Min f xs ah xl x u

λπ

=≤ ≤

(A.1)

Onde,

( )f x Função objetivo;

( )h x Restrições referentes às equações de balanço de potência e as restrições

funcionais;

,l u Limites inferiores e superiores sobre as variáveis de controle, variáveis de

estado e folgas associadas às restrições funcionais.

Com a inclusão de variáveis de folga nas restrições de canalização, o sistema resulta

(A.1) no equivalente a:

( ).( ) 0 ( )

( )( )

, 0

l

u

Min f xs ah xx sl lx su usl su

λπ

π

=− =

+ =

≥

(A.2)

Pode ser observado que as restrições de desigualdade que aparecem são do tipo

(“≥0”), ou seja, as restrições de desigualdade originais foram transformadas em variáveis

não negativas, sendo tratadas através de penalização interna. Desta forma, este tipo de

restrição pode ser incluída ao problema através de uma função penalidade conhecida como

barreira logarítmica ( )ln( )−∑ s . Com a inclusão da função barreira logarítmica, o

problema original é transformado em uma seqüência de problemas parametrizados pelo

parâmetro barreira ( )µ . Assim, o problema primal (A.2) é escrito como:


1 1( ) ln( ) ln( )

.( ) 0 ( )

( )( )

n n

i ii i

l

u

Min f x sl su

s ah xx sl lx su u

µ µ

λπ

π

= =

− −

=− =

+ =

∑ ∑

(A.3)

Onde,

n Número de variáveis que possuem restrições de canalização.

Observe que para cada valor do parâmetro barreira, tem-se um novo problema de

otimização. Resolver (A.3) é equivalente a achar um ponto no interior da região de solução.

O conjunto de pontos obtidos para cada valor de µ define a trajetória de convergência no

interior da região viável em relação às restrições de canalização.

A condição de otimalidade do problema original (A.2) será alcançada quandoµ =0.

Por este motivo, durante o processo iterativo, deve ser imposto um decréscimo do

parâmetro barreira ( 1k kµ µ+ < ) de tal forma que:

0→ →+∞k kµ quando

Assim, quando 0µ = , a função objetivo do problema (A.3) torna-se a função

objetivo do problema que se deseja resolver, ou seja, torna-se o problema (A.1).Os

processos adotados para o decrescimento do parâmetro barreira dão origem a varias

metodologias de pontos interiores. Nesta dissertação, será abordada a metodologia primal-

dual de pontos interiores.

Com o objetivo de transformar um determinado problema de otimização sujeito a

apenas restrições de igualdade (A.3) em um problema de otimização sem restrições, utiliza-

se a função Lagrangeana ( L ). Esta função é originada através de uma combinação linear

entre as restrições do problema (A.3), onde os coeficientes desta combinação são os

coeficientes de Lagrange ( , l ueλ π π ). Assim, a função Lagrangeana referente ao problema


.(A.3) pode ser escrita como:

1 1( ) ln( ) ln( ) . ( ) .( ) .( )

n nT T T

i i l ui i

L f x sl su h x x sl l x su uµ µ λ π π= =

= − − − − − − − + −∑ ∑ (A.4)

A.3 Resolução do Problema

Para atingir a otimalidade do problema (A.4), deve-se derivar a equação

Lagrangeana em relação as suas variáveis ( primais e duais ) e igualar a zero. Fazendo isto

tem-se:

( )xL∇ 1 2( ) ( ) 0T T Tf x h xλ π π∇ − ∇ − − = (A.5)

( )Lλ∇ ( ) 0h x = (A.6)

( )l

Lπ∇ 0x sl l− − = (A.7)

( )u

Lπ∇ 0x su u+ − = (A.8)

( )slL∇ l le Sµ π= (A.9)

( )suL∇ u ue Sµ π= − (A.10)

Onde,

l uS e S Matrizes diagonais cujos elementos diagonais são as componentes dos vetores

sl e su respectivamente e eT = [1,...,1].

Estas seis equações vetoriais determinam a otimalidade do problema (A.3). Observe

que os critérios do sinal de πl e πu são deduzidos de (A.9) e (A.10), dada a positividade de


, ,l uS S µ . Aplicando a método de Newton-Raphson ao sistema de equações (A.5) a (A.10)

para a determinação de , , , ,x sl su lλ π∆ ∆ ∆ ∆ ∆ e uπ∆ tem-se:

2 2( ( ) ( )) ( ) l uf x h x x h x tλ λ π π∇ − ∇ ∆ −∇ ∆ −∆ −∆ = − (A.11)

( ) ( )Th x x h x∇ ∆ = − (A.12)

( )l lx s x s l∆ −∆ = − − − (A.13)

( )ux s x su u∆ + ∆ = − + − (A.14)

( )l l l l l ls S e Sπ µ π−Π ∆ − ∆ = − − (A.15)

( )u u u u u us S e Sπ µ πΠ ∆ − ∆ = − + (A.16)

onde,

el uΠ Π Matrizes diagonais cujos elementos diagonais são as componentes dos vetores

l ueπ π respectivamente;

t ( ) ( ) .Tl ut f x h xλ π π= ∇ − ∇ − −

Considerando em (A.13) e (A.14) que os pontos são viáveis, isto é, que as variáveis

estejam dentro da região de solução, tem-se que:

0ls x∆ −∆ = (A.17)

0us x∆ + ∆ = (A.18)

Substituindo as equações acima em (A.15) e (A.16), obtém-se:


11 1( )l l lS e S xπ µ π−∆ = + − −Π ∆ (A.19)

1( )u u u u uS e S xπ µ π−∆ = − − −Π ∆ (A.20)

Substituindo as equações (A.9) e (A.10) nas equações (A.19) e (A.20)

respectivamente, tem-se:

1( )l l lS xπ −∆ = + −Π ∆ (A.21)

1( )u u uS xπ −∆ = Π ∆ (A.22)

Com estas substituições, as incógnitas do problema são ex λ∆ ∆ . Substituindo as

expressões de el uπ π∆ ∆ em (A.11), tem-se:

2 2 1 11( ( ) ( ) ) ( )T

l l u uf x h x S S x h x Zλ π λ− −∇ − ∇ ∆ + Π − Π ∆ −∇ ∆ = (A.23)

Com,

1 1( ( ) ( )) ( )Tl uZ f x h x S e S eλ µ − −= − ∇ − ∇ + − (A.24)

Desta forma, o sistema a ser resolvido, dado pelas equações (A.12) e (A.24), é

equivalente a:

( )0

T x ZH Jh xJ λ

∆ − = ∆−

(A.25)

Com,

2 2 1 1( ) ( )Tl l u uH f x h x S Sλ − −= ∇ − ∇ + Π − Π (A.26)


( )J h x= ∇ (A.27)

Uma vez calculados xe λ∆ ∆ , os vetores l us e s∆ ∆ são obtidas a partir de (A.17) e

(A.18) e os vetores l ueπ π∆ ∆ são obtidos a partir de (A.21) e (A.22). Observe que H e Z

representam a Hessiana e o Jacobiano da função Lagrangeana associada ao problema

somente com restrições de igualdade e mais um termo contendo informações

correspondentes ao termo barreira sendo: ( 1 1l l u uS S− −Π − Π ) em H e 1 1( )l uS e S eµ − −− em Z

A.4 Atualização das Variáveis

Diferentemente do fluxo de potência convencional, os incrementos obtidos pela

resolução do sistema (A.25) não são incrementados diretamente em sua respectivas

variáveis. Assim, é calculado um passo de otimização (αp) para as variáveis primais e um

passo (αd) para as variáveis duais, dados pelas expressões:

0 0min min , min ,1

| | | |l u

p s sl u

s ss s

α∆ < ∆ <

= ∆ ∆

(A.28)

0 0min min , min ,1

| | | |l u

dl u

π π

π πα

π π∆ < ∆ <

= ∆ ∆

(A.29)

Estes passos têm por objetivo não deixar que nenhuma variável, primal ou dual,

tenha um valor de incremento (∆ ) que a faça violar suas restrições de canalização. Assim,

calculados os passos de otimização, atualiza-se as variáveis primais e duais do problema,

determinando o próximo ponto da trajetória, onde é utilizado um fator de redução ( )σ de

passo para evitar singularidades na barreira logarítmica, o valor utilizado na prática para este

fator é de 0,99995.

Depois de resolvido o sistema (A.25), utiliza-se as expressões (A.17) e (A.18) para


determinar os s∆ e através de (A.21) e (A.22), obtém-se os π∆ . Então, os novos valores

de , ,x s eλ π podem ser calculados por:

1k kpx x xσα+ = + ∆ (A.30)

1k kps s sσα+ = + ∆ (A.31)

1k kdλ λ σα λ+ = + ∆ (A.32)

1k kpπ π σα π+ = + ∆ (A.33)

A.5 Atualização do Parâmetro Barreira e do Gap

Para o processo de otimização convergir para uma resposta correta o parâmetro µ

que multiplicada a função barreira logarítmica deve tender a zero no decorrer das iterações,

logo ele deve ser atualizado a cada iteração segundo as equações abaixo:

l ugap sl suπ π= ⋅ − ⋅∑ ∑ (A.34)

( )0 12gapn

µ β β= ⋅ < < (A.35)

O valor do gap é um parâmetro de “distância” das variáveis em relação à solução

ótima do problema. Assim, o valor da gap vai decrescendo durante o processo e é mínimo

quando a solução ótima é alcançada.

O parâmetro β tem como objetivo modificar a direção de busca e com isso, reduzir

o número de iteração do FPO. O valor ótimo de β depende do sistema considerado e das


condições iniciais do problema. Assim, nesta dissertação optou-se pela utilização de um

valor fixo β = 0,1, uma vez que este valor é muito utilizado na prática [ 28 ].

A.6 Algoritmo de Solução do MPI

O algoritmo de solução resultante dos passos descritos anteriormente pode ser

resumido como:

1 Inicialização das variáveis primais e duais.

2 Montagem da função Lagrangeana (A.4).

3 Cálculo dos termos da matriz Hessiana (A.26) e (A.27) e dos termos do vetor

independente (A.6) e (A.24).

4 Resolução do sistema de equações (A.25).

5 Cálculo do passo primal (A.28) e dual (A.29).

6 Atualização das variáveis do problema (A.30) a (A.33).

7 Cálculo do gap (A.34) e atualização do parâmetro barreira (A.35).

8

Teste de otimalidade:

Se ( 45.10µ −≤ , 45.10gap −≤ , 1 , 1p MW q MW∆ ≤ ∆ ≤ ) PARE

Senão VOLTE ao passo 2.

Onde:

p∆ Resíduo do balanço de potência ativa em cada barra do sistema


q∆ Resíduo do balanço de potência reativa em cada barra do sistema.

Se o valor do gap se torna maior que um valor máximo ( 81 10× ), o processo

iterativo deve ser interrompido, indicando que o problema é provavelmente inviável ou mal

condicionado.

81

Apêndice B

Decomposição Matemática de Benders

B.1 Considerações Iniciais

A decomposição matemática de Benders é uma metodologia para solução de

problemas de múltiplas variáveis e de dimensões elevadas. A solução clássica destes

problemas, considerando todas as variáveis simultaneamente, exige um grande esforço

computacional, inviabilizando, desta forma, tal procedimento. Esta decomposição consiste

no particionamento das variáveis dividindo o problema original em subproblemas de

menores dimensões e estabelecendo um fluxo de informações entre eles [ 31 ] [ 32 ].

A decomposição de Benders é aplicada em diversos estudos de otimização nos

quais se pretende otimizar um índice de desempenho ou obter uma solução viável. Dentre

os estudos em que o objetivo é obter uma solução ótima, cita-se o problema de

coordenação hidrotérmica cuja finalidade é otimizar o uso dos recursos energéticos. Dentre

os estudos de viabilidade destaca-se o problema de análise de contingência em sistemas

elétricos de potência cuja finalidade é determinar as ações de ajustes e investimentos

necessários para garantir a operação viável do sistema, quando submetido a distúrbios ou

falhas. Neste apêndice é mostrada apenas a formulação da decomposição de Benders para

APÊNDICE B- DECOMPOSIÇÃO MATEMÁTICA DE BENDERS 82

estudos de viabilidade, que é a aplicação abordada neste trabalho.

B.2 Formulação Matemática

Seja um problema de otimização não-linear da forma:

1 1 2 2

1 1 1

2 2 2

Min ( , ) ( )s.a. ( , )

( , )

f x y f yg y x bg y x b

+≥≥

(B.1)

Este problema pode ser particionado em dois subproblemas, como segue:

Subproblema 1:

1 1

1 1 1

Min ( , )s.a. ( , )

f x yg y x b≥

(B.2)

Subproblema 2:

( )

*2 2

*2 2 2 2

Min ( , )s.a. ( , )

f x y

g y x b π≥

(B.3)

Onde:

1 1( , )f x y Função objetivo do subproblema 1;

2 2( , )f x y Função objetivo do subproblema 2;

1 2,y y Conjunto de variáveis com valores diferentes nos subproblemas 1 e 2,

respectivamente;

APÊNDICE B- DECOMPOSIÇÃO MATEMÁTICA DE BENDERS 83

x Conjunto de controles presentes no subproblema 1;

*x Conjunto de parâmetros do subproblema 2, determinados no subproblema 1;

2π Coeficiente de Lagrange associado ao subproblema 2;

1 1( , )g y x Conjunto de restrições do subproblema 1;

2 2( , )g y x Conjunto de restrições do subproblema 2;

Da execução do subproblema 2, monta-se uma restrição que deve ser adicionada ao

subproblema 1. Esta restrição é denominada corte de Benders, mostrada a seguir:

* * * *2 2 2x xE x w E xπ π⋅ ⋅ ≥ + ⋅ ⋅ (B.4)

Onde:

*2π Valor do coeficiente de Lagrange obtido do subproblema 2;

xE Derivada parcial da restrição *2 2( , )g y x em relação a *x ;

*2w Valor da função objetivo obtido do subproblema 2;

Sendo assim, o conjunto de equações (B.2) com o corte de Benders assume a

forma:

1 1

1 1 1* * * *2 2 2

Min ( , )s.a. ( , )

x x

f x yg y x b

E x w E xπ π

≥

⋅ ⋅ ≥ + ⋅ ⋅

(B.5)

84

Apêndice C

Sistemas Testes

C.1 Considerações Iniciais

Apresenta-se neste apêndice os dados dos sistemas elétricos de potência utilizados

nesta dissertação para validar a metodologia proposta. São apresentados para cada sistema,

com exceção do exemplo numérico, cujos dados foram apresentados no Capítulo III, dois

conjuntos de dados: os dados de barra e os dados de geração. Adicionalmente, são

apresentados os parâmetros dos modelos de geradores, reguladores de tensão e reguladores

de velocidade utilizados nas simulações dinâmicas.

C.2 Exemplo Numérico

Tabela C.1 – Associação modelos de geradores e reguladores Exemplo Numérico. Barra Modelo Gerador Regulador Tensão Regulador Velocidade

1 1 1 2 2 2 1 2

Os parâmetros dos geradores e reguladores enumerados na Tabela C.1 são

APÊNDICE C- SISTEMAS TESTES 85

apresentados no item C.5.

C.3 Sistema IEEE-14

Tabela C.2 – Associação modelos de geradores e reguladores IEEE-14. Barra Modelo Gerador Regulador Tensão Regulador Velocidade

1 5 3 2 2 3 1 1 3 3 1 1 6 3 1 1 8 3 1 1 13 3 1 1 14 4 2 1

Tabela C.3 – Dados de Barra IEEE-14. Barra Tensão (pu) Ângulo (Graus) Carga Ativa

(MW) Carga Reativa

(MVAr)

1 1,0204 0,0 --- --- 2 1,0174 -3,9 21,7 12,7 3 0,9907 -12,6 94,2 19,0 4 0,9812 -9,8 47,8 -3,9 5 0,9871 -7,7 7,6 1,6 6 1,0271 -8,7 11,2 7,5 7 1,0050 -15,3 --- --- 8 1,0172 -15,8 --- --- 9 1,0017 -17,8 29,5 -2,4 10 0,9952 -16,5 9,0 5,8 11 1,0036 -12,8 3,5 1,8 12 1,0108 -8,1 6,1 1,6 13 1,0164 -6,6 13,5 5,8 14 0,9737 -27,8 74,0 5,0


Tabela C.4 – Dados de Geração IEEE14. Barra Ativa (MW) Reativa

(MVAr) PG Nom.

(MW) QG Min. (MVAr)

QG Max. (MVAr)

1 173,4 -27,8 250 -999,9 999,9 2 92,3 49,9 200 -40,0 50,0 3 0 39,9 200 0 40,0 6 0 22,7 200 -6,0 24,0 8 0 5,9 200 -6,0 24,0 13 80,8 -27,1 200 -999,0 999,0 14 0 55,4 100 -999,0 999,0

C.4 Sistema IEEE-118

Tabela C.5 – Associação modelos de geradores e reguladores IEEE-118. Barra Modelo Gerador Regulador Tensão Regulador Velocidade

1 8 1 1 4 10 1 1 6 7 1 1 8 10 1 1 10 9 1 1 12 7 1 1 15 6 1 1 18 6 1 1 19 7 1 1 24 6 1 1 25 10 1 1 26 11 1 1 27 6 1 1 31 6 1 1 32 6 1 1 34 7 1 1 36 7 1 1 40 6 1 1 42 7 1 1 46 6 1 1


49 10 1 1 54 6 1 1 55 7 1 1 56 6 1 1 59 7 1 1 61 7 1 1 62 7 1 1 65 10 1 1 66 11 1 1 69 13 1 1 70 6 1 1 72 6 1 1 73 6 1 1 74 7 1 1 76 7 1 1 77 6 1 1 80 11 1 1 85 7 1 1 87 7 1 1 89 10 1 1 90 10 1 1 91 6 1 1 92 7 1 1 99 6 1 1 100 12 1 1 103 12 1 1 104 10 1 1 105 10 1 1 107 10 1 1


Tabela C.6 – Dados de Barra IEEE-118. Barra Tensão (pu) Ângulo (Graus) Carga Ativa

(MW) Carga Reativa

(MVAr)

1 0,9796 -32,8 51,0 27,0 2 0,9883 -32,3 20,0 9,0 3 0,9858 -32,6 39,0 10,0 4 1,0097 -30,7 30,0 12,0 5 1,0079 -30,5 0 0 6 1,0027 -31,5 52,0 22,0 7 1,0016 -31,6 19,0 2,0 8 0,9909 -28,4 0 0 9 1,0155 -28,4 0 0 10 1,0024 -28,2 0 11 0,9966 -31,5 70,0 23,0 12 1,0018 -31,4 47,0 10,0 13 0,9813 -31,5 34,0 16,0 14 0,9967 -30,6 14,0 1,0 15 0,9884 -26,9 90,0 30,0 16 0,9932 -30,2 25,0 10,0 17 1,0020 -25,2 11,0 3,0 18 0,9903 -26,1 60,0 34,0 19 0,9852 -26,0 45,0 25,0 20 0,9656 -23,9 18,0 3,0 21 0,9565 -21,3 14,0 8,0 22 0,9575 -17,6 10,0 5,0 23 0,9752 -10,9 7,0 3,0 24 0,9763 -2,1 0 0 25 1,0058 -14,9 0 0 26 0,9747 -16,4 0 0 27 0,9789 -22,7 62,0 13,0 28 0,9764 -24,1 17,0 7,0 29 0,9816 -24,8 24,0 4,0 30 0,9783 -21,9 0 0 31 0,9865 -24,6 43,0 27,0 32 0,9769 -22,1 59,0 23,0 33 0,9905 -25,3 23,0 9,0


34 1,0078 -22,1 59,0 26,0 35 1,0052 -22,3 33,0 9,0 36 1,0053 -22,3 31,0 17,0 37 1,0124 -21,8 0 0 38 0,9695 -18,9 0 0 39 0,9999 -22,2 27,0 11,0 40 1,0032 -21,5 20,0 23,0 41 0,9949 -21,3 37,0 10,0 42 0,9993 -18,2 37,0 23,0 43 0,9859 -20,9 18,0 7,0 44 0,9728 -16,6 16,0 8,0 45 0,9774 -14,2 53,0 22,0 46 1,0161 -10,7 28,0 10,0 47 1,0146 -9,1 34,0 0 48 1,0092 -9,8 20,0 11,0 49 1,0151 -9,1 87,0 30,0 50 1,0056 -11,2 17,0 4,0 51 0,9905 -13,8 17,0 8,0 52 0,9858 -14,8 18,0 5,0 53 0,9888 -15,7 23,0 11,0 54 1,0069 -14,9 113,0 32,0 55 1,0012 -15,0 63,0 22,0 56 1,0027 -14,9 84,0 18,0 57 1,0009 -13,7 12,0 3,0 58 0,9935 -14,6 12,0 3,0 59 1,0041 -12,9 277,0 113,0 60 1,0038 -9,6 78,0 3,0 61 1,0059 -8,8 0 0 62 1,0045 -9,0 77,0 14,0 63 0,9778 -9,8 0 0 64 0,9871 -8,2 0 0 65 0,9918 -4,9 0 0 66 1,0332 -4,6 39,0 18,0 67 1,0136 -7,4 28,0 7,0 68 0,9910 -3,0 0 0 69 1,0346 0,0 0 0


70 1,0054 -2,8 66,0 20,0 71 1,0150 -1,3 0 0 72 1,0139 3,7 0 0 73 1,0268 -0,7 0 0 74 0,9797 -4,5 68,0 27,0 75 0,9863 -4,3 47,0 11,0 76 0,9705 -5,5 68,0 36,0 77 1,0086 -3,0 61,0 28,0 78 1,0029 -3,4 71,0 26,0 79 1,0027 -3,2 39,0 32,0 80 1,0303 -1,5 30,0 26,0 81 0,9857 -2,4 0 0 82 0,9867 -3,3 54,0 27,0 83 0,9852 -2,9 20,0 10,0 84 0,9880 -1,8 11,0 7,0 85 0,9963 -1,0 24,0 15,0 86 0,9944 -0,2 21,0 10,0 87 1,0096 3,5 0 0 88 0,9996 -0,2 48,0 10,0 89 1,0151 2,3 0 0 90 0,9961 0,5 78,0 42,0 91 1,0009 1,3 0 0 92 1,0104 0,9 65,0 10,0 93 1,0028 -0,1 12,0 7,0 94 1,0027 -0,6 30,0 16,0 95 0,9885 -1,9 42,0 31,0 96 0,9946 -2,4 38,0 15,0 97 1,0076 -2,3 15,0 9,0 98 1,0242 -1,3 34,0 8,0 99 1,0173 1,7 0 0 100 1,0363 2,2 37,0 18,0 101 1,0127 0,8 22,0 15,0 102 1,0105 0,8 5,0 3,0 103 1,0320 1,8 23,0 16,0 104 1,0221 0,7 38,0 25,0 105 1,0181 0,0 31,0 26,0


106 1,0163 -0,7 43,0 16,0 107 1,0328 -1,4 28,0 12,0 108 0,9991 -1,0 2,0 1,0 109 0,9916 -1,4 8,0 3,0 110 0,9754 -2,2 39,0 30,0 111 0,9762 -2,2 0 0 112 0,9622 -3,0 25,0 13,0 113 0,9994 -24,8 0 0 114 0,9731 -22,9 8,0 3,0 115 0,9728 -23,0 22,0 7,0 116 0,9913 -3,0 0 0 117 0,9861 -32,9 20,0 8,0 118 0,9725 -5,3 33,0 15,0

Tabela C.7 – Dados de Geração IEEE118. Barra Ativa (MW) Reativa

(MVAr) PG Nom.

(MW) QG Min. (MVAr)

QG Max. (MVAr)

1 31,56 6,69 180 -5,0 15,0 4 21,67 50,62 217 -300,0 300,0 6 30,87 20,05 108 -13,0 50,0 8 11,51 -157,38 217 -300,0 300,0 10 9,15 -105,91 200 -147,0 200,0 12 107,78 73,13 108 -35,0 120,0 15 30,72 12,89 72 -10,0 30,0 18 30,66 23,92 72 -16,0 50,0 19 30,72 10,43 108 -8,0 24,0 24 67,02 -17,59 160 -300,0 300,0 25 130,32 0,25 180 -47,0 140,0 26 168,84 -37,35 324 -1000,0 1000,0 27 21,02 5,82 72 -300,0 300,0 31 36,82 35,47 72 -300,0 300,0 32 29,85 14,19 72 -14,0 42,0 34 30,19 9,10 108 -8,0 24,0 36 30,21 8,59 108 -8,0 24,0 40 11,07 39,34 72 -300,0 300,0


42 10,99 11,51 108 -300,0 300,0 46 49,37 34,05 72 -100,0 100,0 49 216,77 4,02 217 -85,0 210,0 54 71,77 96,89 72 -300,0 300,0 55 29,72 7,79 108 -8,0 23,0 56 29,69 3,68 72 -8,0 15,0 59 107,77 71,38 108 -60,0 180,0 61 107,77 2,30 108 -100,0 300,0 62 29,25 -2,68 108 -20,0 20,0 65 216,77 37,21 217 -67,0 200,0 66 323,77 -37,72 324 -67,0 200,0 69 433,77 -56,08 434 -300,0 300,0 70 28,48 18,04 72 -10,0 32,0 72 36,74 5,35 72 -100,0 100,0 73 21,32 24,78 72 -100,0 100,0 74 29,00 3,90 108 -6,0 09,0 76 29,38 18,11 108 -8,0 23,0 77 29,03 44,24 72 -20,0 70,0 80 323,77 72,81 324 -165,0 280,0 85 10,26 10,18 108 -8,0 23,0 87 31,66 1,87 108 -100,0 1000,0 89 216,77 18,64 217 -210,0 300,0 90 10,21 16,98 217 -300,0 300,0 91 18,93 -10,01 72 -100,0 100,0 92 27,79 2,93 108 -3,0 09,0 99 10,07 -35,34 72 -100,0 100,0 100 279,61 82,27 400 -50,0 155,0 103 82,62 32,60 400 -15,0 40,0 104 41,74 16,27 217 -8,0 23,0 105 45,58 17,40 217 -8,0 23,0 107 13,26 29,09 217 -200,0 200,0


C.5 Dados de Modelos de Geradores e Reguladores

A seguir são apresentados os parâmetros dos geradores e reguladores utilizados nas

simulações dinâmicas. O diagrama de blocos dos respectivos modelos também são

mostrados no final deste item. Maiores detalhes podem ser encontrados em [ 33 ].

Tabela C.8 – Parâmetros modelos de geradores. Tipo Ld Lq L’d L”d L1 T’d0 T”d0 T”q0 H MVA

1 94,6 62,1 31 20 20,2 8,13 0,048 0,140 3,58 100 2 94,6 62,1 31 10 20,2 8,13 0,048 0,140 3,58 100 3 94,6 62,1 31 27,4 20,2 8,13 0,048 0,140 3,58 110 4 185 115 45 20 10 10 0,08 0,2 2 100 5 186,3 183,3 34,3 28,7 20,9 5,36 0,42 0,253 3,02 200 6 94,6 62,1 31 14 20,2 8,13 0,048 0,140 3,58 72 7 107 68,9 32 28 15,6 3,26 0,03 0,065 4,226 108 8 106 63 33 24,5 21 5,4 0,08 0,12 5,05 180 9 106 63 33 24,5 21 5,4 0,08 0,12 5,05 200 10 106 63 33 24,5 21 5,4 0,08 0,12 5,05 217 11 102 76,2 33,6 28 17,9 7,92 0,06 0,09 4,00 324 12 102 76,2 33,6 23 17,9 7,92 0,06 0,09 4,00 400 13 102 76,2 33,6 23 17,9 7,92 0,06 0,09 4,00 434

Tabela C.9 – Parâmetros reguladores de tensão. Tipo Ka Ke Kf Kp Ki Kg Tq Ta Te Tf1 Tf2

1 25 -0,05 0,08 0 1 1 0 0,2 0,5 1 0 2 25 -0,014 0,0545 0 1 1 0 0,1 0,1 2,18 0 3 400 1,0 0,06 0 1 1 0 0,05 0,92 1 0

Tabela C.10 – Parâmetros reguladores de velocidade. N° R Rp At Qnl Tw Tr Tf Tg Lmn Lmx Dtb D Pbg Pbt

1 0,05 0,501 1,233 0,08 1,5 5 0,05 0,5 0 0,914 0,233 1 1 1 2 0,02 0,101 0,233 0,08 1,5 5 0,05 0,5 0,05 0,914 0,233 1 1 1


Figura C.1 – Diagrama de blocos regulador de tensão.

Figura C.2 – Diagrama blocos regulador de velocidade.


Figura C.3 – Diagrama de blocos equação de oscilação eletromecânica.

Figura C.4 – Diagrama de blocos modelo gerador eixo direto.

Figura C.5 – Diagrama modelo gerador eixo quadratura.

96

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