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Algebra 1, algebra

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  • Disciplina

    Estruturas AlgbricasEstruturas AlgbricasEstruturas AlgbricasEstruturas Algbricas

    Coordenador da Disciplina

    Prof. Jos Valter Lopes NunesProf. Jos Valter Lopes NunesProf. Jos Valter Lopes NunesProf. Jos Valter Lopes Nunes

    1 Edio

  • Copyright 2010. Todos os direitos reservados desta edio ao Instituto UFC Virtual. Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquer meio eletrnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, dos autores.

    Crditos desta disciplina

    Coordenao

    Coordenador UAB Prof. Mauro Pequeno

    Coordenador Adjunto UAB Prof. Henrique Pequeno

    Coordenador do Curso Prof. Marcos Ferreira de Melo

    Coordenador de Tutoria Prof. Celso Antnio Silva Barbosa

    Coordenador da Disciplina Prof. Jos Valter Lopes Nunes

    Contedo

    Autor da Disciplina Prof. Jos Othon Dantas Lopes

    Setor TecnologiasDigitais - STD

    Coordenador do Setor Prof. Henrique Sergio Lima Pequeno

    Centro de Produo I - (Material Didtico) Gerente: Ndia Maria Barone

    Subgerente: Paulo Andr Lima / Jos Andr Loureiro

    Transio Didtica Dayse Martins Pereira Elen Cristina S. Bezerra Enoe Cristina Amorim Ftima Silva e Souza Hellen Paula Pereira Jos Adriano de Oliveira Karla Colares

    Viviane S de lima

    Formatao Camilo Cavalcante Elilia Rocha Emerson Mendes Oliveira Francisco Ribeiro Givanildo Pereira Sued de Deus

    Programao Andrei Bosco Damis Iuri Garcia

    Publicao Joo Ciro Saraiva

    Design, Impresso e 3D Andr Lima Vieira Eduardo Ferreira Iranilson Pereira Luiz Fernando Soares Marllon Lima

    Gerentes

    Audiovisual: Andra Pinheiro

    Desenvolvimento: Wellington Wagner Sarmento

    Suporte: Paulo de Tarso Cavalcante

  • SumrioSumrioSumrioSumrio

    Aula 01: Relaes de equivalncia e Operaes Binrias ...................................................................... 01 Tpico 01: Relaes de equivalncia ..................................................................................................... 01 Tpico 02: Operaes Binrias .............................................................................................................. 04

    Aula 02: Os Inteiros .................................................................................................................................. 06 Tpico 01: Induo e o Algoritmo da Diviso ....................................................................................... 06 Tpico 02: A Aritmtica dos Inteiros: Divisibilidade, Nmeros Primos e o Teorema da Aritmtica ... 10

    Aula 03: Grupos ........................................................................................................................................ 14 Tpico 01: Teoria Bsica dos Grupos .................................................................................................... 14 Tpico 02: Subgrupos, Grupos Cclicos e Grupos Quociente ............................................................... 19 Tpico 02: Homomorfismo de Grupos .................................................................................................. 25

    Aula 04: Anis ........................................................................................................................................... 28 Tpico 01: Anis .................................................................................................................................... 28 Tpico 02: Subanis, Ideais e Anel quociente ....................................................................................... 31 Tpico 02: Homorfismo de Anis, Domnio de Integridade Domnio de Fatorao nica .................. 35

    Aula 05: Corpos ......................................................................................................................................... 40 Tpico 01: Teoria Bsica dos corpos. Subcorpos .................................................................................. 40 Tpico 02: Corpo de Fraes e Homomorfismo de Corpo .................................................................... 42

    Aula 06: Polinmio .................................................................................................................................... 45 Tpico 01: Polinmios sobre um anel. Polinmios sobre um corpo. Algortmo da Diviso ................. 45 Tpico 02: MDC, Fatorao e Critrios de irredutibilidade .................................................................. 47

  • TPICO 01: RELAES DE EQUIVALNCIA

    MULTIMDIA

    Ligue o som do seu computador!

    Obs.: Alguns recursos de multimdia utilizados em nossas aulas,

    como vdeos legendados e animaes, requerem a instalao da verso

    mais atualizada do programa Adobe Flash Player. Para baixar a verso

    mais recente do programa Adobe Flash Player, clique aqui! [1]

    PALAVRAS DO COORDENADOR DA DISCIPLINA

    VERSO TEXTUAL

    Ol! Seja vindo a disciplina lgebra Abstrata. Meu nome Jos

    Valter, sou professor do departamento de Matemtica da Universidade

    Federal do Cear e responsvel por esta disciplina. Nosso objetivo aqui

    desenvolver o raciocnio e a habilidade no trato com certas questes

    fundamentais em matemtica a partir do estudo das estruturas

    algbricas. Comearemos com relao de equivalncia em seguida

    mostraremos como as operaes usuais nos conjuntos dos nmeros

    inteiros nos do uma estrutura. Estudaremos grupos, anis, corpos e

    finalmente veremos o anel dos polinmios.

    Voc que j tem a experincia dos semestres anteriores sabe que

    para garantir o sucesso importante o estudo dirio com a tentativa de

    resolver os exerccios propostos no texto. fundamental que voc leve

    suas duvidas ao frum, l voc encontrar os seus colegas e o

    professor-tutor para discutir e ajuda-lo a esclarecer dvidas. Quero

    chamar ateno sobre sua participao no frum e a entrega das

    tarefas, no portflio. Alm de serem parte na avaliao elas tambm

    contam presena.

    Finalmente que ressaltar que nossos tutores e eu estaremos

    sempre ao seu dispor para lhe ajudar a alcanar o seu objetivo. Bom

    trabalho!

    Considere dois conjuntos no vazios A e B. Uma relao de A em B

    uma correspondncia qualquer entre elementos de A e elementos de B.

    Como a correspondncia qualquer pode ocorrer que um elemento de A no

    se relacione com nenhum elemento de B. Pode ocorrer tambm que um

    elemento de A se relacione com um ou mais elementos de B. Se uma relao

    de A em B for representada pela letra R representamos o fato de um

    elemento a A estar relacionado com um elemento b A por aRb ou

    simplesmente por (a,b) R. Esta ltima notao sugere uma identificao da

    relao R com um subconjunto no vazio do produto cartesiano AxB. Muitos

    autores preferem definir uma relao de A em B como sendo um

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 01: RELAES DE EQUIVALNCIA E OPERAES BINRIAS

    1

  • subconjunto no vazio do produto cartesiano AxB. Uma relao de A em A

    chamada simplesmente de relao em A. Muitas vezes, ao invs de letras,

    usamos smbolos, como por exemplo ~, para representar uma relao.

    Estudaremos um tipo de relao especial em um conjunto no vazio A

    chamada de relao de equivalncia em A.

    Definio

    Dado um conjunto no vazio A e uma relao R em A, dizemos que R

    uma relao de equivalncia se satisfaz s seguintes propriedades:

    1) xRx, x A

    2) xRy yRx

    3) xRy e yRz xRz

    A propriedade (1) chamada de propriedade reflexiva.

    A propriedade (2) chamada de propriedade simtrica.

    A propriedade (3) chamada de propriedade transitiva.

    O conjunto Cx = {y A; yRx} chamado de classe de equivalncia de x.

    Temos ento Cx A para todo x A.

    A partir da propriedade reflexiva temos x Cx para todo x A e, portanto

    Cx para todo x A.

    Como Cx A e x Cx para todo x A, temos = A

    Definio

    O conjunto das classes de equivalncia determinadas pela relao de

    equivalncia R em A chamado de conjunto quociente de A por R e

    denotado por A/R. Assim A/R = {Cx; x A}

    TEOREMA 1

    A, temos: ou Cx

    = Cy , ou Cx Cy = .

    A tem-se: ou xRy, ou x no est

    relacionado com y.

    i)Se xRy, vamos mostrar que Cx = Cy

    Se z Cx temos zRx. Como xRy, tem-se, pela propriedade

    transitiva, que zRy e da z Cy. Logo Cx Cy. (*)

    2

  • Por outro lado, se Se z Cy temos zRy. Como xRy, tem-se, pela

    propriedade simtrica, que yRx e da, pela propriedade transitiva,

    temos que zRx e ento z Cx. Logo Cy Cx. (**). De (*) e (**), temos Cx

    = Cy

    i) Se x e y no esto relacionados

    Suponha que Cx Cy e seja z Cx Cy

    Ento z Cx e z Cy. Mas z Cx zRx xRz e z Cy zRy

    Temos ento xRz e zRy. Da, pela propriedade transitiva, xRy, isto

    , x e y esto relacionados, o que contradiz a nossa hiptese. Logo Cx

    Cy = .

    OLHANDO DE PERTO

    O conjunto quociente A/R portanto um subconjunto do conjuntos

    das partes do conjunto A, cuja unio de seus elementos igual ao conjunto

    A e cuja interseo de dois elementos distintos vazia. Qualquer

    subconjunto do conjunto das partes de um conjunto que tenha estas

    propriedades chamado de partio de A. Assim uma relao de

    equivalncia em A determina uma partio do conjunto A.

    EXERCITANDO

    Mostre que toda partio de um conjunto no vazio A determina uma

    relao de equivalncia em A e conclua que podemos identificar as

    relaes de equivalncia em A com as parties de A.

    EXEMPLO

    Seja A={2,3,4,5,6,7,8}. Defina em A a relao R por aRb se a-b

    um inteiro par. Mostre que R uma relao de equivalncia em A e

    encontre A/R

    De fato temos:

    1) xRx, x A pois x-x=0, que um inteiro par

    2) xRy x-y par y-x par yRx

    3) xRy e yRz x-y par e y-x par (x-y)+(y-z)=x-z par xRz.

    Temos C2=C4=C6=C8= {2,4,6,8} e C3=C5=C7 ={3,5,7}. Da

    A/R={{2,4,6,8},{3,5,7}}

    FONTES DAS IMAGENS

    1. http://www.adobe.com/products/flashplayer/

    3

  • TPICO 02: OPERAES BINRIAS

    Dado um conjunto no vazio A, uma operao binria em A uma

    funo do produto cartesiano A x A em A. Se denotarmos essa funo por ,

    denotaremos a imagem do par (a,b) por a b.

    As operaes binrias constituem a base do estudo das estruturas

    algbricas. Nas aulas seguintes estudaremos as estruturas de grupos,

    monides, semi-grupos, anis e corpos.

    Exemplos de operaes binrias so as operaes usuais de adio e

    multiplicao no conjunto dos nmeros inteiros.

    PROPRIEDADES

    COMUTATIVIDADE

    ASSOCIATIVIDADE

    DISTRIBUTIVIDADE

    ELEMENTO NEUTRO

    ELEMENTO INVERSO

    COMUTATIVIDADE

    Dizemos que uma operao em um conjunto A comutativa se ab= ba,

    quaisquer que sejam a e b pertencentes ao conjunto A.

    Exemplo

    Se . e + so as operaes de adio e multiplicao usuais de

    nmeros inteiros sabemos que a+b=b+a e a.b=b.a, quaisquer que sejam os

    inteiros a e b. Portanto . e + so operaes comutativas no conjunto Z,

    dos nmeros inteiros.

    ASSOCIATIVIDADE:

    Dizemos que uma operao em um conjunto A associativa se (ab) c=

    a(bc), quaisquer que sejam a,b e c pertencentes ao conjunto A.

    Exemplo

    Se . e + so as operaes de adio e multiplicao usuais de

    nmeros inteiros sabemos que (a+b)+c=a+(b+c) e (a.b).c=a.(b.c), quaisquer

    que sejam os inteiros a,b e c. Portanto . e + so operaes associativas no

    conjunto Z, dos nmeros inteiros.

    DISTRIBUTIVIDADE

    Se e so duas operaes em um conjunto A, dizemos que a

    operao distributiva em relao operao se a(bc)=(ab) (ac) e

    (bc)a =(ba) (ca), quaisquer que seja a,b e c pertencentes ao conjunto A.

    Exemplo

    Se . e + so as operaes de adio e multiplicao usuais de

    nmeros inteiros sabemos que a.(b+c)=a.b+a.c e (b+c).a=b.a+c.a, quaisquer

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 01: RELAES DE EQUIVALNCIA E OPERAES BINRIAS

    4

  • que sejam os inteiros a,b e c. Portanto a operao . distributiva em

    relao a operao +.

    ELEMENTO NEUTRO

    Seja uma operao em um conjunto A. Se existe um elemento e

    pertencente ao conjunto A, tal que ex=xe=x para todo x pertencente ao

    conjunto A, este elemento e chamado de elemento neutro de A, com relao

    operao

    Observe que o elemento neutro, quando existe, nico. De fato, se e e e

    so elementos neutros de uma operao em um conjunto A temos

    respectivamente ee=e e ee=e. Da e=e.

    Exemplo

    Se . e + so as operaes de adio e multiplicao usuais de

    nmeros inteiros temos 1.x=x.1=x e 0+x=x+0=x para todo nmero inteiro x.

    Assim 1 o elemento neutro de Z com relao operao . e 0 o elemento

    neutro de Z com relao operao +.

    ELEMENTO INVERSO

    Seja uma operao em um conjunto A, para a qual existe o elemento

    neutro e.

    Dado um elemento a, pertencente ao conjunto A, dizemos que a

    invertvel com relao operao se existir a pertencente ao conjunto A,

    tal que aa=aa=e. Neste caso o elemento a chamado de inverso do

    elemento a, com relao operao .

    Exemplo

    Com relao operao produto usual nos inteiros os nicos elementos

    invertveis so 1 e -1.

    EXERCITANDO

    Mostre que se a um elemento invertvel ento seu inverso nico.

    FRUM

    Discuta, no Frum da Aula 1, com os colegas ou com o professor tutor,

    as dvidas sobre os exerccios ou sobre a matria da Aula 1. Lembre que

    sua participao no Frum vale presena e nota de avaliao.

    ATIVIDADE DE PORTFLIO

    Poste no Portflio da Aula 1, a soluo do exercitando do Tpico 1, no

    Texto, e dos exerccios 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 e 10 da lista de exerccios da aula 1

    que se encontra no material de apoio e que voc pode obter no link Aula 1

    (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.).

    FONTES DAS IMAGENS

    Responsvel: Prof. Jos Valter Lopes Nunes

    5

  • TPICO 01: INDUO E O ALGORITMO DA DIVISO

    No faremos aqui a construo axiomtica dos conjuntos numricos

    N={1,2,3, ...} , Z={ 0, 1, 2, 3, ... } e Q={m/n; m,n Z e n0}, R e C

    respectivamente dos nmeros naturais, inteiros, racionais, reais e

    complexos.

    Admitiremos conhecidas as propriedades elementares destes conjuntos

    e das operaes usuais de adio e multiplicao definidas nos mesmos.

    Dentre as propriedades elementares das operaes adio e multiplicao

    destacamos, dentre outras, a associatividade, a comutatividade, a

    distributividade da multiplicao em relao adio e a existncia de

    elementos neutros. Destacamos tambm, e admitiremos, as propriedades

    relativas ordem natural existente nestes conjuntos.

    Alm disso, a seguinte propriedade dos inteiros ser considerada como

    axioma e ser chamado de Axioma da boa ordem. Todos os outros

    resultados sero demonstrados a partir deste axioma e das propriedades

    elementares das operaes de adio e multiplicao.

    Axioma da Boa Ordem:

    Todo conjunto no vazio de inteiros positivos possui um menor

    elemento.

    Usando o axioma da boa ordem provaremos o princpio da induo.

    1 Princpio da Induo

    Seja T um subconjunto do conjunto dos nmeros naturais com as

    seguintes propriedades:

    i. 1 T

    ii. Se n T ento n+1 T.

    Ento T= N

    DEMONSTRAO

    Suponha que Logo o conjunto N-T um subconjunto no

    vazio dos inteiros positivos e, portanto, pelo axioma da boa ordem,

    N-T possui um menor elemento t. Temos t>1, pois da . Por

    outro lado, como t o menor elemento de N-T, t-1 no pertence a N-T

    da . Por (ii) , o que um absurdo.

    Logo T=N.

    EXEMPLO

    Mostre que

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 02: OS INTEIROS

    6

  • Seja ento T conjunto dos elementos de N para os quais a

    igualdade verdadeira. Vamos mostrar que T=N

    Como temos

    Se ento e dai

    o que implica

    Portanto, pelo 1 princpio da induo, T=N.

    EXERCITANDO 1

    Mostre que se considerarmos, ao invs dos nmeros naturais, o

    subconjunto dos inteiros S={k, k+1, k+2, ...} e T um subconjunto de S tal

    que k T e ( n T n+1 T ), ento T=S. Isso mostra que o 1 princpio

    da induo pode ser generalizado.

    2 Princpio da Induo:

    Seja T um subconjunto do conjunto dos nmeros inteiros no negativos

    com as seguintes propriedades:

    i. 1 T

    ii. Se 1,2,...,n pertencem a T ento n+1 T

    Ento T= N

    Demonstrao: exerccio (anloga ao 1 princpio).

    EXERCITANDO 2

    Mostre que o 2 princpio da induo tambm pode ser generalizado.

    Mais precisamente, mostre que, se considerarmos, ao invs dos nmeros

    naturais, o subconjunto dos inteiros S={k, k+1, k+2, ...} e T um

    subconjunto de S tal que k T e ( k, k+1,...,n T n+1 T ), ento T=S.

    O 2 princpio da induo apenas uma variante do 1 princpio. Na

    verdade os dois princpios so equivalentes e podemos cham-los

    simplesmente de Princpio da Induo. As propriedades (i) e (ii) so

    chamadas de hipteses de induo.Na maioria das situaes aplicamos o 1

    princpio, porm, em certas ocasies, precisamos aplicar o 2 princpio e

    portanto devemos nos familiarizar com as duas verses. Na verdade a

    aplicao do 2 princpio ser necessria quando para mostrarmos que k+1

    T necessitamos no somente do fato de k T, mas que elementos

    precedentes tambm pertenam a T.

    Como aplicao do 2 princpio de induo provaremos o algoritmo da

    diviso.

    Teorema 1 (algoritmo da diviso)

    7

  • Sejam m e n inteiros no negativos e m>0. Ento existem inteiros no

    negativos q e r, unicamente determinados tais que n=qm+r e 0 r < m.

    DEMONSTRAO

    Se n=0 tomamos q=r=0 ento o resultado vale.

    Suponhamos que n>0. Usaremos induo sobre n.

    Suponha n=1, se m=1 temos 1 = 1.1+0 e ento q=1 e r=0. Se m>1,

    temos 1=0.1+1 e ento q=0 e r=1< m

    Suponha que o resultado seja vlido para 1,2,...,n. Vamos mostrar

    que o resultado vale para n+1. Se n+ 1< m temos

    n+1=0.m+(m+(n+1) e ento q=0 e r=n+1< m. Se temos

    e da o resultado vale para n+1-m e assim

    com . Da temos . Tomando

    temos n+1=qm+r com ,

    que o que queramos demonstrar. Observe que tivemos que usar o

    segundo princpio pois usamos a

    validade do resultado no para n mais sim para n+1-m, o qual menor

    que n+1 e portanto menor ou igual a n.

    Mostraremos agora a unicidade. Suponha que

    .

    Temos ento

    De (I), (II) e (III) temos o que no pode ocorrer pois

    inteiro e m>o. Logo

    Como temos Como m>o temos

    Corolrio: Sejam m e n inteiros no negativos e m>0. Existe um

    nico mltiplo qm de m tal que qmn

  • costuma ser atribudo a Arquimedes e chamado de Princpio de

    Arquimedes.

    FONTES DAS IMAGENS

    Responsvel: Prof. Jos Valter Lopes Nunes

    Universidade Federal do Cear - Instituto UFC Virtual

    9

  • TPICO 02: A ARITMTICA DOS INTEIROS: DIVISIBILIDADE, NMEROS PRIMOS E O TEOREMA FUNDAMENTAL DAARITMTICA

    Agora estudaremos algumas propriedades especficas dos Inteiros, as

    quais chamaremos de propriedades aritmticas.

    DIVISIBILIDADE

    No algoritmo da diviso, os nmeros m, n, q e r so chamados

    respectivamente de divisor, dividendo, quociente e resto. O algoritmo da

    diviso na verdade nos garante que nos inteiros possvel efetuar a diviso

    de um nmero inteiro n por um inteiro no nulo m, obtendo q como

    resultado dessa diviso (o quociente) e r como resto.

    OBSERVAO

    Quando o resto zero dizemos que m divide n, ou que n divisvel por

    m ou ainda, que n mltiplo de m.

    Propriedades da diviso:

    i) a\0, a\a e a\a a Z

    ii) 1\a e -1\a aZ

    iii) Se a\b ento a\bx xZ.

    iv) Se a\b e a\c ento a\(b+c)

    v) Se a\b e b\c ento a\c

    vi) Se a\b e c\d ento ac\bd

    vii) Se a/b e b\a ento a =b

    viii) Se a\(b+c) e a\b ento a\c

    Demonstrao: Exerccio

    Teorema 1: se a e b so inteiros com b0 e a\b ento |a||b|

    Demonstrao: Exerccio

    Corolrio: Se b0 ento o conjunto dos divisores de b finito.

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 02: OS INTEIROS

    10

  • Demonstrao: Exerccio

    Definio: Dizemos que um nmero inteiro d um divisor comum

    dos inteiros a e b se d\a e d\b. Dizemos que um inteiro m um mltiplo

    comum de a e b se a\m e b\m.

    O fato de o conjunto dos divisores de um inteiro no nulo ser finito nos

    garante que, dados dois inteiros a e b no ambos nulos, o conjunto dos

    divisores comuns finito e, portanto tem um maior elemento. Este maior

    elemento chamado de mximo divisor comum de a e b e denotado por

    MDC(a,b) ou simplesmente (a,b).

    O menor mltiplo comum positivo de a e b chamado de mnimo

    mltiplo comum de a e b e denotado por MMC(a,b) ou simplesmente

    [a,b]

    Definio: dizemos que dois inteiros a e b so relativamente primos

    se MDC(a,b)=1

    Teorema:2 Se d o mximo divisor comum de dois inteiros no

    ambos nulos a e b ento existem inteiros m e n tais que ma+nb=d.

    DEMONSTRAO

    Seja B o conjunto das combinaes lineares ma+nb onde m e n

    so inteiros. claro que B contm inteiros positivos, inteiros negativos

    e tambm o zero. Vamos escolher m0 e n0 tais que c=m0a+n0b seja o

    menor inteiro positivo de B. Afirmamos que c\a. De fato, se c no

    divide a, pelo algoritmo da diviso, existe inteiros q e r tais que a=qc+r

    com 0 < r < c. Da r = a qc = a q(m0a+n0b)=(1-qn0)a+(-qm0)b e

    portanto r B o que uma contradio pois 0 < r < c e c o menor

    inteiro positivo de B. Logo c\a. Analogamente mostra-se que c/b.

    Assim temos c\a e c\b o que implica cd, pois d o mximo divisor

    comum de a e b. Por outro lado como d um divisor comum de a e b

    temos a=k1d e b=k2d. Como c=m0a+n0b temos c=m0k1d+n0k2d e

    da c=(m0k1+n0k2)d, o que implica que d\c e da dc, pois c e d so

    positivos. De cd e dc tem-se c=d e da existem inteiros m=m0 e n=

    n0 tais que ma+nb=d

    Teorema 3: Se a\bc e MDC(a,b)=1 ento a\c

    Demonstrao: exerccio.

    11

  • Teorema 4: Se a e b so inteiros tais que a = qb +r , onde q e r so

    inteiros, ento

    MDC(a,b)=MDC(b,r)

    Demonstrao: exerccio

    Corolrio (Algoritmo de Euclides):

    Sejam r0=a e r1=b inteiros no negativos com b 0. Se o algoritmo da

    diviso for aplicado sucessivamente para obter rj = qj+1rj+1+rj+2 com 0

    rj+21 chamado de primo se seus nicos

    divisores positivos so 1 e p. Um nmero n>1 que no primo chamado

    de composto.

    Teorema 5: Se p um nmero primo e p\ab ento p\a ou p\b

    DEMONSTRAO: EXERCCIO

    Suponha que p no divide a. Ento MDC(a,p)=1 e da, pelo

    Teorema 3, temos p\b. Logo p\a ou p\b.

    Teorema 6 (Teorema Fundamental da Aritmtica):

    Todo nmero inteiro maior que 1 pode ser representado de modo

    nico, a menos da ordem dos fatores, como um produto de nmeros

    primos.

    12

  • Demonstrao: exerccios

    Teorema 7:

    Se n = ento o conjunto dos divisores positivos de n o

    conjunto de todos os nmeros da forma , 0 ci ai, i=1,2,...,r

    Demonstrao: exerccio

    Se p1=2, p2=3, p3=5... ,pk= k-simo primo ento podemos escrever todo

    inteiro positivo n na forma n = , 0 ai

    Neste caso, os divisores de n sero da forma , 0 ci ai . Observe que

    todos estes produtos so finitos pois o nmero de fatores primos de qualquer

    inteiro finito.

    Teorema 8:

    Se dois inteiros positivos a e b possuem fatoraes a = e b

    = ento MDC(a,b) = onde di= mn{ai,bi} e MMC(a,b)

    = onde ci= mx{ai,bi}

    Demonstrao: exerccio.

    Corolrio: MDC(a,b).MMC(a,b)=ab

    Demonstrao: exerccio.

    FRUM

    Discuta, no Frum da Aula 2, com os colegas ou com o professor

    tutor, as dvidas sobre os exerccios ou sobre a matria da Aula 2. Lembre

    que sua participao no Frum vale presena e nota de avaliao.

    ATIVIDADE DE PORTFLIO

    Poste no Portflio da Aula 2, a soluo dos exercitando 1, 2 e 3 do

    Tpico 1, no Texto, e dos exerccios 1, 3, 4, 7, 8 e 9 da lista de exerccios da

    Aula 2 que se encontra no material de apoio e que voc pode obter no link

    Aula 2 (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.).

    FONTES DAS IMAGENS

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    13

  • TPICO 01: TEORIA BSICA DOS GRUPOS

    SEMIGRUPOS

    A estrutura algbrica (G, ) chamada de SEMIGRUPO se uma

    operao associativa, isto , se (x y) z = x (yz) para todo x,y,z G

    MONOIDE

    A estrutura algbrica (G, ) chamada de MONIDE se for

    associativa e possuir elemento neutro, isto , se:

    i) (xy) z = x (yz) para todo x,y,z G.

    ii) Existe e G tal que ex = xe = x para todo x G.

    GRUPO

    A estrutura algbrica (G, ) chamada de GRUPO se for

    associativa, possuir elemento neutro e todo elemento de G for invertvel,

    isto , se:

    i) (xy) z = x (yz) para todo x,y,z G.

    ii) Existe e G tal que ex = xe = x para todo x G.

    iii) Para todo x G existe x G tal que xx= xx = e.

    Se, alm de (i),(ii) e (iii), tivermos xy = yx para todo x,y G, dizemos

    que (G,) um grupo comutativo ou abeliano.

    Iniciaremos agora o estudo das estruturas algbricas. Uma estrutura

    algbrica um conjunto no vazio munido de uma ou mais operaes,

    satisfazendo determinadas propriedades. A estrutura algbrica constituda

    do conjunto no vazio G munido das operaes 1, 2, ... , n ser denotada por

    (G, 1, 2, ... , n )

    Neste captulo lidaremos com estruturas algbricas constitudas de

    um conjunto no vazio G munido de uma nica operao. As estruturas

    mais importantes deste tipo so os SEMIGRUPOS,os MONIDES e os

    GRUPOS. Estudaremos mais detalhadamente a estrutura de GRUPO.

    DEFINIES

    Obviamente todo monide semigrupo e todo grupo monide e

    tambm semigrupo.

    Quando trabalhamos com mais de uma estrutura algbrica comum

    representarmos o elemento neutro de um grupo (G, ) por , para

    diferenci-lo dos elementos neutros das demais estruturas algbricas com as

    quais estamos trabalhando.

    OBSERVAO

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 03: GRUPOS

    14

  • comum, quando no h nenhum risco de ambigidade, representar

    o grupo (G, ) simplesmente por G. Assim quando nos referimos ao grupo

    G ficar subentendido que estamos nos referindo ao grupo (G, ), isto , ao

    conjunto G munido de uma operao , satisfazendo aos trs axiomas da

    estrutura algbrica que chamamos de grupo.

    Definio

    A ordem de um grupo (G, ) o nmero de elementos do conjunto G.

    Denotaremos a ordem de (G, ) por |G| O grupo (G, ) dito ser finito se o

    conjunto G for finito. Se G for um conjunto infinito o grupo (G, ) dito ser

    infinito

    EXEMPLOS

    1) Considerando os conjuntos N,Z,Q,R e C respectivamente dos

    nmeros naturais, inteiros, racionais, reais e complexos e as

    operaes usuais de adio + e multiplicao . , temos:

    1. (N,+) um semigrupo, mas no um monide nem tampouco

    um grupo

    1. (Z,.) um monide mas no um grupo

    1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+), (Q-{0},), (R -{0},) e (C-{0},) so

    grupos comutativos

    2) O conjunto {x R, x>0} dos reais positivos munido da

    multiplicao usual um grupo.

    3) O conjunto das matrizes mxn, com entradas inteiras, munido

    da operao adio usual de matrizes um grupo comutativo

    4) O conjunto das matrizes nxn (n>1), de determinante no nulo,

    com entradas inteiras, munido da operao multiplicao usual de

    matrizes um grupo no comutativo

    5) Dados os grupos (G1, 1), (G2, 2),..., (Gn, n). Considere o

    produto cartesiano G1xG2x...xGn munido da operao definida

    componente a componente por (a1, a2,...,an) (b1, b2,...,bn)= (a1 1 b1,

    a2 2 b2 ,..., an n bn). Ento (G1xG2x...xGn, ) um grupo, chamado

    de Produto Direto dos grupos (G1, 1), (G2, 2),..., (Gn, n).

    (G1xG2x...xGn, ) comutativo se e somente se (G1, 1), (G2, 2),...,

    (Gn, n) so todos comutativos.

    6) Seja A um conjunto no vazio e SA o conjunto de todas as

    funes bijetivas de A em A. Se 0 a composio de funes ento

    (SA,0) um grupo, chamado de grupos das permutaes de A. Se A

    possui n elementos ento a ordem de (SA,0) n!

    EXERCITANDO

    15

  • Mostre que, se A possuir mais de um elemento, o grupo ( , )no

    comutativo.

    PROPRIEDADES ELEMENTARES DOS GRUPOS

    1. O elemento neutro de um grupo nico:

    Demonstrao:

    Se e e e so elementos neutros de (G, ), ento e = ee= e

    Cada elemento de um grupo possui um nico inverso.

    Demonstrao:

    se a e a so inversos de a ento a = ae =a (aa)= (a a) a = e a = a

    (a) = a para todo aG

    Demonstrao:

    Segue-se direto da definio, isto , do fato de a a = a a = e

    (a b)= b a para todo a,b G

    Demonstrao:

    (ab) (b a)= a (b (b a))= a ((b b) a)) = a (e a) =a a=e. Logo

    (a b)= b a

    Analogamente (ba) (ab)=e

    Em um grupo (G, ) valem as leis do cancelamento, isto , a b = a c b =

    c e b a = c a b = c

    Demonstrao: a b = a c a (a b) = a (a c) (a a) b = (a a) c )

    e b = e c b = c.

    Analogamente mostra-se que, b a = c a b = c.

    Para quaisquer elementos a,b G as equaes ax = b e ya = b tm soluo

    nica.

    Demonstrao: ax = b a (a x) = a b (a a) x = a b e x =

    a b x = a b

    o que demonstra a existncia (x = a b) e unicidade da soluo da equao

    a x = b.

    Analogamente mostra-se que a equao y a = b possui uma nica soluo, a

    saber y = b a.

    Definio: Seja (G, ) um grupo, a1,a2,...,an elementos de G e n um

    inteiro > 1. Definimos a1a2...an indutivamente por: a1a2...an =

    (a1a2...an-1) an

    Se a1= a2 =...= an = a, o elemento a1a2...an ser denotado por an ou por

    na. A notao an chamada de notao multiplicativa e a notao na

    chamada de notao aditiva. Daremos preferncia notao multiplicativa.

    A notao aditiva ser usada nos casos em que ela for mais conveniente,

    conforme veremos na sequncia da teoria.

    16

  • PARADA OBRIGATRIA

    Notao: comum representarmos o elemento neutro e por 1

    quando usamos a notao multiplicativa e por 0 quando usamos a

    notao aditiva. Da mesma forma costuma-se representar o inverso a do

    elemento a por a-1 quando usamos a notao multiplicativa e por - a

    quando usamos a notao aditiva. Tambm comum, quando

    trabalhamos com a notao multiplicativa, usarmos o smbolo . para

    representar a operao e quando trabalhamos com a notao aditiva

    usarmos o smbolo + para representar a operao. Assim, na notao

    multiplicativa, comum usarmos a.b ou ab ao invs de ab e, na notao

    aditiva, a+b o invs de ab

    GENERALIZAO DAS NOTAES AN E NA PARA N INTEIRO

    Considerando a notao multiplicativa, j definimos an para n inteiro

    >1. Agora definimos a1=a, a0=e e an= (a-1)-n se n -1

    No caso da notao aditiva, devemos ter ento: 1a=a, 0a=e e na = (-n)

    (-a) se n -1

    Teorema 1: Sejam (G , ) um grupo no qual usamos a notao

    multiplicativa. Ento, para quaisquer a, b G, e quaisquer m, n Z temos:

    1. am an = am+n , isto , am . an = am+n

    2. (an)-1 = a-n

    3. (am)n = amn

    4. Se G um grupo comutativo ento (a b)n = an bn , isto , (a . b)n = an .

    bn

    Deixamos a demonstrao como exerccio.

    DICAS

    Prove cada item, primeiramente para n N, por induo sobre n

    (considerando um valor fixo e genrico para m, quando for o caso). Em

    seguida, prove cada item para n < 0. Para isto, ser necessrio ainda

    provar o item 1, para m N, por induo sobre m.

    Esta proposio pode ser enunciada na notao aditiva, do seguinte

    modo:

    Teorema 1: Sejam (G , ) um grupo no qual usamos a notao aditiva.

    Ento, para quaisquer a; b G, e quaisquer m, n Z temos:

    1. mana=(m+n)a , isto , ma+na=(m+n)a

    2. (na)=(-n)a

    3. m(na) = (mn)a

    17

  • 4. Se G um grupo comutativo ento n(a b) = na nb, isto , n(a + b) =

    na + nb

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    18

  • TPICO 02: SUBGRUPOS, GRUPOS CCLICOS E GRUPOS QUOCIENTE

    DEFINIO: Sejam (G, ) um grupo e H um subconjunto de G.

    Dizemos que H um subgrupo de (G, ) se:

    (1) a,b H temos a b H

    (2) (H, ) um grupo.

    TEOREMA 1. Sejam (H, ) um grupo e H um subgrupo de G.

    (1) Se eG e eH so os elementos neutros de (G, ) e (H, ),

    respectivamente,ento eG = eH.

    (2) Para cada x H, sejam xe x os elementos inversos de x em G e em

    H,respectivamente. Ento x = x

    DEMONSTRAO

    (1) Temos eG eH = eG e eH eH = eH. Da eG eH = eH eH e ,

    pela lei do cancelamento, eG = eH .

    (2) Temos x x = eG e x x=eH. Como eG = eH temos x x =

    x x e , pela lei do cancelamento, x = x

    TEOREMA 2. Sejam (G, ) um grupo e H um subconjunto de G. Seja e

    G o elemento neutro de (G, ). Para cada a G, seja a o inverso de a Ento

    H um subgrupo de G se, e somente se, satisfaz s seguintes condies:

    (1) E H

    (2) E Ha, b H, tEM-SE A B H

    (3) A H, TEM-SE A H.

    DEMONSTRAO

    Se H um subgrupo de G ento (2) vale por (1) da definio de

    subgrupo. Como (H, ) um grupo valem (1) e (3). Logo (1), (2) e (3)

    so verdadeiras.

    Reciprocamente, suponha que (1), (2) e (3) sejam verdadeiras. Por

    (2) vale (1) da definio de subgrupo. associativa em G, pois j o

    em G. De (1) temos e H e de (3) cada elemento a H tem inverso

    tambm em H. Logo (H, ) um grupo. Portanto H um subgrupo de

    G.

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 03: GRUPOS

    19

  • TEOREMA 3. Seja (G, ) um grupo de elemento neutro e. Para cada a

    G, seja a G seu inverso na operao . Seja H um subconjunto de G.

    Ento H um subgrupo de G se, e somente se, satisfaz s seguintes

    condies:

    (1) H

    (2) a, b H, tem-se a b H

    DEMONSTRAO

    Se H um subgrupo de G ento e H e, portanto, H . Portanto vale (1).

    Sejam a, b H. Como H subgrupo de G, temos ento que b H e, pelo

    fechamento, a b H. Portanto, vale (2).

    Reciprocamente, suponha que (1) e (2) sejam verdadeiras. A

    associatividade Por (1) existe a H e, por (2), a a= e H. vale (1) da

    definio de subgrupo. associativa, pois j o em G.

    De (1) temos e H e de (3) cada elemento a H tem inverso tambm em

    H. Logo (H, ) um grupo. Portanto, H um subgrupo de G.

    EXEMPLOS

    1. Qualquer que seja o grupo (G, *), G e {e} so subgrupos de G, os quais so chamados de subgrupos triviais ou subgrupos prprios de G2. Z subgrupo dos grupos (Q,+) , (R,+) e (C,+).3. Q subgrupo dos grupos (R,+) e (C,+). 4. R subgrupo do grupo (C,+).5. O conjunto dos inteiros pares um subgrupo de (Z,+).6. Q-{0} subgrupo dos grupos (R-{0},) e (C-{0},).7. R-{0} subgrupo do grupo (C-{0},). 8. {-1.1} um subgrupo de (Q-{0},).

    9. Seja (G, ) um grupo e a G. O conjunto {an; nZ} um subgrupo de (G, ),o qual denotaremos por 10. O conjunto dos nmeros complexos cujo valor absoluto 1 um subgrupo de (C-{0},)11. Fixado nZ o conjunto {nz; z Z } um subgrupo de (Z,+) o qual denotaremos por nZ

    EXERCITANDO 1

    Mostre que todo subgrupo de (Z,+) da forma nZ para algum nZ

    GRUPOS CCLICOS

    TEOREMA 4 .

    Se H1,H2,...,Hn so subgrupos de um grupo (G, ) ento H1H2 ...Hn

    tambm um subgrupo de (G, ). Este resultado tambm vlido para

    uma quantidade infinita de subgrupos.

    DEMONSTRAO: EXERCCIO

    20

  • DEFINIO: Seja (G, ) um grupo e S um subconjunto de G.

    Definimos o subgrupo de G gerado por S como sendo a interseo de todos

    os subgrupos de G que contm S. Denotaremos este subgrupo por .

    Particularmente se S for finito, isto se S={a1,a2,...,an} denotaremos o

    subgrupo gerado por S por < a1,a2,...,an >. Se S={a} o subgrupo gerado por

    S chamado de subgrupo cclico de G gerado por a.

    TEOREMA 5: Se (G, ) um grupo e aG ento < a >={an; nZ }

    DEMONSTRAO

    Desde que aman=am+n temos que x.y{an; nZ} para todo x,y

    {an; nZ}. Temos tambm e=a0{an; nZ}. Se xH temos x=as e

    ento x=a-s{an; nZ}.Portanto

    {an; nZ} um subgrupo de (G, ). Por outro lado qualquer subgrupo

    de (G, ) que contenha o elemento a dever conter, pelos axiomas de

    grupo, todos os elementos da forma an, nZ, e, portanto dever conter

    {an; nZ}.

    Logo {an; nZ}=

    DEFINIO: a ordem de um elemento a de um grupo (G, ) a ordem

    do subgrupo < a >. Denotaremos a ordem de a por o(a). Assim o(a)= |< a >

    |

    EXERCITANDO 2

    Mostre que se um elemento a tem ordem finita ento sua ordem

    igual ao menor inteiro positivo n tal que an=e. Da conclua que se no

    existir um inteiro positivo n tal que an=e ento a tem ordem infinita.

    DEFINIO: Um grupo (G, ) chamado de finitamente gerado se

    existirem a1, a2, ..., an G tais que G=< a1,a2,...,an >. Neste caso os elementos

    a1, a2, ..., an so chamados de geradores de G. Particularmente, se G= < a >

    para algum aG, (G, ) chamado de grupo cclico gerado por a. Assim se

    (G, .) cclico gerado por a, temos: o(a)=|G|; G={e,a,a2,...,an-1} se G for

    finito de ordem n e G={e,a,a-1, a2,a-2,...,ak, a-k,...} se G for infinito.

    TEOREMA 6: Todo grupo cclico comutativo.

    DEMONSTRAO: EXERCCIO

    (1) ({-1.1},) cclico gerado por -1

    (2) O grupo (Z,+) cclico. 1 e -1 so geradores (Z,+)

    21

  • GRUPO QUOCIENTE

    Seja (G, *) um grupo e H um subgrupo de (G, *). Definimos a relao

    ~1 em G por a ~1 b b*aH.

    Temos:

    a ~1 a pois a*a= e H

    a ~1 b b*aH (b*a)=(a) *b=a*bH b ~1 a

    Se a ~1 b e b ~1 c ento b*aH e c*bH e da (c*b) * (b*a) = c*(b *

    (b*a))= c*((b * b)*a)= c*(e*a)= c*aH. Logo a ~1 c

    Assim ~1 uma relao de equivalncia em G.

    Dado a G temos Ca={x G; a ~1 x} = {x G; x*aH } ={x G;

    x*a=hH}={x G; x=h*a,hH}={h*a,hH} que denotaremos por H*a. O

    conjunto H*a chamado de classe lateral direita de H.

    Analogamente se definimos a relao ~2 em G por a~2b a*b H

    mostra-se que ~2 uma relao de equivalncia em G e Ca={a*h; h H},

    que denotaremos por a*H. O conjunto a*H chamado de classe lateral

    esquerda de H.

    EXERCITANDO 3

    Se H um subgrupo de (G, *) e a G mostre que |a*H|=|H*a|=|H|

    O fato de a classe de equivalncia de qualquer elemento a , tanto

    relativamente a ~1 como a ~2 ter |H| elementos implica|G|=|H|.

    |G/~1|=|H|. |G/~2| e assim os conjuntos quocientes G/~1 e G/~2 tm a

    mesma ordem a qual ser denotada por [G:H] e chamada de ndice de H

    em G

    TEOREMA 7 (TEOREMA DE LAGRANGE):

    Se (G, *) um grupo e H um subgrupo de (G, *) ento |G|=|H|. [G:H].

    Em particular, Se (G, *) um grupo finito ento |H| e [G:H]so divisores

    de |G|

    DEFINIO: (G, *) um grupo e H um subgrupo se G. Se a*H=H*a para

    todo aG os conjuntos quocientes G/~1 e G/~2 so iguais e sero

    denotados por G/H. Neste caso dizemos que H um subgrupo normal de

    G. Observe que se (G, *) for comutativo ento todo subgrupo de G

    normal.

    22

  • DEFINIO: Seja (G, *) um grupo e L e M dois subconjuntos de G.

    Definimos LM ={l*m; lL e mM}

    Obviamente LM tambm um subconjunto de G, que chamaremos de

    produto dos conjuntos L e M

    Observe que este produto associativo: de fato L(MN)={ l *(m*n);

    lL, mM e nM}={ (l *m)*n; lL, mM e nM}=(LM)N

    TEOREMA 8: Se H um subgrupo normal de grupo (G, *) ento o

    produto das classes H*a e H*b a classe H* (a*b), isto , (H*a)(H*b)=H*

    (a*b). Com esta operao G/H um grupo, que chamamos de grupo

    quociente de G por H

    DEMONSTRAO

    Como H subgrupo normal de G temos aH=Ha e da a h2=h3

    a para algum h3 H. Assim x= h1(( h3 a)b)= h1( h3(ab))=

    (h1h3)(ab). Temos h1h3=h H e da x = h(ab) e portanto x H

    (ab). Logo (Ha)(Hb) H (ab) (I)

    Reciprocamente, se x H (ab) temos x = h(ab) com h H

    Assim x = (ha)b) = (ha) (e b) com (ha) Ha e (e b) Hb. Da x

    (Ha)(Hb). Logo H (ab) (Ha)(Hb) (II)

    De (I) e (II) temos (Ha)(Hb)=H(ab)

    Assim acabamos de definir uma operao no conjunto quociente G/H.

    Vamos agora verificar os axiomas de grupo:

    A associatividade j verdadeira para produto de subconjuntos.

    A classe He=H o elemento neutro, pois (Ha) (He)=H (ae)=Ha e

    (He)(Ha)=H(ea)=Ha para toda classe Ha G/H

    Dada Ha G/H temos Ha G/H e (Ha) (Ha)=H(aa)=He=H e

    (Ha)(Ha)=H (aa)=He=H. Assim (Ha) = Ha

    Portanto G/H munido deste produto um grupo.

    Observe que, se G for comutativo ento o grupo quociente G/H

    tambm ser comutativo

    EXEMPLOS

    Dado nZ considere o subgrupo nZ do grupo (Z,+). Este subgrupo

    normal, pois (Z,+) comutativo. Temos ento a relao de

    equivalncia ~ em Z dada por a ~ b b+(-a)nZ, isto , b-anZ .

    A classe de um elemento aZ nZ+a = {nz+a; zZ}. Definindo ento

    no conjunto quociente Z/nZ a operao, representada pelo smbolo

    +, dada por (nZ+a)+( nZ+b)= nZ+(a+b) obtemos o grupo quociente

    (Z/nZ,+), que denotaremos por (Zn,+) ou simplesmente por Zn

    Vamos agora mostrar que Zn um grupo comutativo com n elementos

    De fato. Observe que, de acordo com a definio de ~ temos a ~ b

    b-a mltiplo de n e assim dois elementos esto relacionados (isto

    esto na mesma classe), se e somente se deixam o mesmo resto

    quando divididos por n. Como os possveis restos na diviso por n so

    23

  • 0,1,2,...,n-1 teremos exatamente n classes de equivalncia e portanto

    cada inteiro pertencer a exatamente uma das classes nZ+0= nZ,

    nZ+1, nZ+2,..., nZ+(n-1), que denotaremos respectivamente por , , , ...

    ,.. Assim Zn = { , , , ... , }

    Como (Z,+) comutativo Zn tambm comutativo.

    EXERCITANDO 4

    Mostre que (Zn,+) um grupo cclico gerado pelos tais que m

    relativamente primo com n e, portanto (Zn,+) possui (n) geradores.

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    24

  • TPICO 03: HOMOMORFISMO DE GRUPOS

    ITEM 01

    f(eG) = eH

    Demonstrao:

    f(eG) = f(eGeG) = f(eG) wf(eG), isto , f(eG) w eH = f(eG) wf(eG). Usando

    a lei do cancelamento temos f(eG) = eH

    ITEM 02

    f(x) = (f(x)) .

    Demonstrao:

    f(x) wf(x) = f(xx)=f(eG)=eH .Analogamente f(x) wf(x) = eH. Logo f(x) =

    (f(x))

    HOMOMORFISMO DE GRUPOS

    Definio: Dados dois grupos (G, ) e (H, ) dizemos que uma

    aplicao f: G H um homomorfismo de grupos se f(x y) = f(x) f(y)

    para todo x,y G.

    Definio: O conjunto dos elementos x G tais que f(x) = eH

    chamado de ncleo de f e ser denotado por Ker f.

    muito comum usar a notao multiplicativa para dois grupos,

    omitindo os smbolos das operaes, escrevendo f(x y) = f(x)f(y) ao invs de f

    (x y) = f(x) f(y), ficando assim subentendido que, no domnio estamos

    trabalhando com a operao e no contradomnio com a operao . Usa-

    se tambm 1G e 1H para representar os elementos neutros de (G, ) e de (H, )

    respectivamente.

    PROPRIEDADES DOS HOMOMORFISMOS DE GRUPOS

    Considere os grupos (G, ) e (H, ) e um homomorfismo de grupos f: G

    H. Ento valem as seguintes propriedades:

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 03: GRUPOS

    25

  • ITEM 03

    O ncleo de f um subgrupo normal de G

    Demonstrao:

    1) Se x,yKerf temos f(x)=f(y)=eH e da f(xy)=f(x) wf(y)= eHweH= eH.

    Logo xyKerf.

    2) f(eG) = eH e da eGKerf

    3) Se xKerf temos F(x)=eH. Como f(x) = (f(x)) temos f(x) = (eH)= eH.

    Logo xKerf

    Mostramos ento que Kerf um subgrupo de G.

    Vamos mostrar agora que kerf subgrupo normal de G, isto , que (kerf) a

    = a(kerf) para todo aG

    De fato, se x (kerf) a tem-se x=na para algum nKerf.

    Como na = e(na)= (aa)(na)= a(a(na)) temos x= a(a(na))

    Por outro lado f(a(na))=f(a) wf(na)= f(a) w (f(n) wf(a))= f(a) w (eHwf

    (a))= f(a) w f(a)= f(a a)= f(eG)=eH. Da a(na) = mKerf

    Logo x = am, com mKerf e assim xa(kerf). Provamos ento que

    (kerf) a a(kerf). De forma anloga mostra-se que a(kerf)(kerf) a e

    portanto temos a igualdade (kerf) a = a(kerf), o que mostra que kerf

    subgrupo normal de G.

    ITEM 04

    f injetiva Ker f = {eG}

    Demonstrao:

    Temos xKerf f(x)= eH.= f(eG).

    Se f for injetiva ento xKerf x = eG. Da Ker f = {eG}

    Reciprocamente suponha que Ker f = {eG}. Se f(a) = f(b) temos f(a) w (f

    (b))= eH .

    f(a) w(f(b))= eH f(a)wf(b)= eH f(ab)= eH ab Kerf ab= eG

    a=b. Logo f injetiva

    ITEM 05

    A imagem de f, que denotaremos por Im f, um subgrupo de H.

    Demonstrao: Exerccio

    ITEM 06

    Se G um subgrupo de G, ento f(G) um subgrupo de H.

    Demonstrao: Exerccio

    ITEM 07

    Se H um subgrupo de H ento f -1(H) um subgrupo de G, que

    contm Ker f.

    Demonstrao: Exerccio

    ITEM 08

    Se f:G H e g: H T so homomorfismos de grupos ento gof:G T

    tambm um homomorfismo de grupos.

    Demonstrao: Exerccio

    26

  • Definio: Um homomorfismo injetivo chamado de

    monomorfismo. Um homomorfismo sobrejetivo chamado epimorfismo.

    Um homomorfismo bijetivo chamado de isomorfismo. Se existe um

    isomorfismo f: G H entre os grupos (G, ) e (H, ) dizemos que estes

    grupos so isomorfos e denotamos este fato por G H. Grupos isomorfos

    so indistinguveis no ponto de vista algbrico.

    EXEMPLOS

    1) Se (G, *) e (H, w) so grupos, a funo f:GH dada por f(x) =

    eH para todo xG um homomorfismo, chamado de homomorfismo

    trivial.

    2) Se (G, *) e (H, w) so grupos, a funo f:GH dada por f(x) =

    eH para todo xG um homomorfismo, chamado de homomorfismo

    trivial.

    3) A funo exponencial xex um homomorfismo do grupo

    aditivo dos nmeros reais no grupo multiplicativo dos nmeros reais

    positivos.

    4)Seja (G, *) um grupo e aG. A funo fa:GG dada por fa(x)

    =a*x um isomorfismo de G em G e portanto pertence a SG.

    5) Seja (G, *) um grupo e aG. A funo f: ZG dada por f(n)=

    na um homomorfismo de (Z,+) em (G, *). Se G for cclico e a for um

    gerador de G a funo f ser um epimorfismo.

    6) Se H um subgrupo normal do grupo (G, *) ento a funo

    f:GG/H dada por f(x)=H*x um homomorfismo, chamado de

    homomorfismo cannico.

    Teorema 2 (Teorema Fundamental dos homomorfismos de

    grupos): Se f: G H um homomorfismo entre os grupos (G, ) e (H, )

    ento G/Kerf G Imf

    FRUM

    Discuta, no Frum da Aula 3, com os colegas ou com o professor

    tutor, as dvidas sobre os exerccios ou sobre a matria da Aula 3. Lembre

    que sua participao no Frum vale presena e nota de avaliao.

    ATIVIDADE DE PORTFLIO

    Poste no Portflio da Aula 3, a soluo dos exercitando 1, 2, 3 e 4 do

    Tpico 2, no Texto, e dos exerccios 1, 3, 5, 6, 8 e 10 da lista de exerccios

    da Aula 3 que se encontra no material de apoio e que voc pode obter no

    link Aula 3 (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.).

    FONTES DAS IMAGENS

    27

  • TPICO 01: ANIS

    DEFINIO: Seja A um conjunto munido de duas operaes, as quais

    chamaremos de adio e multiplicao e denotaremos respectivamente por

    + e . Dizemos que a estrutura algbrica (A,+, .) um anel se os

    seguintes axiomas so satisfeitos:

    A estrutura algbrica (A,+) um grupo comutativo

    A estrutura algbrica (A, .) um semigrupo, isto , x.(y.z) = (x.y).z, x.y,z A

    A operao . distributiva em relao operao +, isto , x.(y+z) = x.y+x.z e (y+z).x = y.x+z.x, x.y,z A

    Se, alm de (1), (2) e (3), tivermos x.y = y.x para todo x,y A, dizemos que

    (A,+, .) um anel comutativo.

    Se, alm de (1),(2) e (3), a estrutura algbrica (A, .) possuir elemento

    neutro dizemos que (A,+, .) um anel com unidade.

    OBSERVAO

    Por coerncia usa-se a notao aditiva para a operao + e a notao

    multiplicativa para a operao .. Assim

    i) Representaremos o elemento neutro da adio por 0" e o elemento

    neutro da multiplicao, quando existir, por 1. Quando trabalhamos com

    mais de uma estrutura algbrica comum representarmos estes elementos

    neutros 0A e 1A respectivamente.

    ii) O inverso aditivo de um elemento a A ser representado por a e

    o inverso multiplicativo, quando existir, ser representado por a-1.

    Usaremos a notao a b para representar a+(b)

    iii) Em geral escreveremos ab ao invs de a.b

    iv) a+a+...+a (n vezes) ser denotado por na e a.a.....a(n vezes) ser

    denotado por an

    comum, quando no h nenhum risco de ambigidade, representar o

    anel (A,+, .) simplesmente por A. Assim quando nos referimos ao anel A

    ficar subentendido que estamos nos referindo ao anel (A,+, .)), isto , ao

    conjunto A munido das operaes + e . satisfazendo aos axiomas da

    estrutura algbrica que chamamos de anel.

    EXEMPLOS

    1) Considerando os conjuntos Z,Q,R e C respectivamente dos inteiros,

    racionais, reais e complexos e as operaes usuais de adio + e

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 04: ANIS

    28

  • multiplicao , as estruturas algbricas (Z,+, ) , (Q,+ , ) , (R,+, ),

    (C,+, ), so anis comutativos com unidade

    2) O conjunto M das matrizes nxn, com entradas inteiras, munido das

    operaes usuais de adio e multiplicao de matrizes um anel no

    comutativo com unidade.

    3) Se n um inteiro ento (nZ,+, ) um anel comutativo. Se n=0, nZ=

    {0} e ({0},+, ) chamado de anel nulo e, neste caso, temos um anel

    comutativo com unidade, no qual 1=0. Se n=1 temos nZ = Z. Se |n| >

    1, (nZ,+, ) um anel comutativo sem unidade.

    4) Dados os anis (A1, +1, .1), (A2, +2, .2),..., (An, +n ,.n). Considere o

    produto cartesiano A1xA2x...xAn munido das operaes + e .

    definidas componente a componente por (a1, a2,...,an) + (b1, b2,...,bn)=

    (a1 +1 b1, a2 +2 b2 ,..., an +n bn) e (a1, a2,...,an).(b1, b2,...,bn)= (a1 .1 b1,

    a2 .2 b2 ,..., an .n bn). Ento (A1xA2x...xAn, +, ) um anel, chamado de

    Produto Direto dos anis (A1, +1, .1), (A2, +2, .2),..., (An, +n , .n). O

    anel (A1xA2x...xAn, +, ) comutativo se e somente se (A1, +1, .1), (A2,

    +2, .2),..., (An, +n ,.n) so todos comutativos.

    DEFINIO: Se A um anel com unidade, os elementos de A que

    possuem inverso multiplicativo so chamados de elementos invertveis de

    A ou unidades de A. Neste caso o conjunto das unidades de A ser

    denotado por U(A) ou A*

    fcil ver que para os anis (Z,+, .) , (Q,+ , .) , (R,+, .), (C,+, .) temos

    U( Z)={-1,1}, U(Q)= Q-{0}, U(R)= R-{0}, U(C)= C-{0}.

    TEOREMA 1: Se (A,+, .) um anel com unidade ento . uma

    operao em

    U(A) e (U(A), .) um grupo

    Demonstrao: Exerccio

    PROPRIEDADES ELEMENTARES DOS ANIS:

    Em um anel (A,+, .) valem as seguintes propriedades:

    CLIQUE AQUI

    Como (A,+) um grupo, valem as leis de cancelamento para a

    adio; o elemento neutro aditivo nico; o inverso aditivo nico e

    (a) = a, a A

    a.0 = 0.a = 0, a A

    Demonstrao:

    Utilizando a distributividade temos a.0 = a(0+0) = a.0+a.0. pelo

    cancelamento da adio temos que a.0 = 0. Analogamente 0.a = 0.

    a(b) = (a)b = (ab), a,b A

    29

  • Demonstrao:

    Inicialmente mostraremos que a(b) = (ab), isto , que a(b) o

    inverso aditivo de ab.

    Para isto basta mostrar que a(b) + ab = 0. De fato a(b) + ab = a

    (b + b) = a.0 = 0.

    Analogamente mostra-se que (a)b = (ab).

    (a)(b) = ab, a,b A

    Demonstrao:

    Usando a propriedade 3 temos (a)(b) = [a(b)] = [ab] = ab

    (pois (a) = a, a A)

    Se (A,+, .) um anel com unidade 1 ento:

    (1)a = a, a A

    Demonstrao:

    Usando a propriedade 3 temos (1)a = (1a) = - a (pois 1a=a, a A)

    (1)(1) = 1

    Demonstrao:

    Direto da propriedade 4

    O elemento neutro da multiplicao nico.

    Demonstrao:

    Se 1 e c so elementos neutros da multiplicao temos 1= 1c = c

    O inverso multiplicativo de um elemento, quando existir, nico,

    Demonstrao:

    Se a e a so inversos multiplicativos de a temos aa=aa= aa =a a=1

    e ento a=a1=a(aa)=(aa)a=1 a=a

    EXERCITANDO

    Dado um anel (A,+, .), mostre que 1=0 se e semente se A o anel nulo.

    FONTES DAS IMAGENS

    Responsvel: Prof. Jos Valter Lopes Nunes

    Universidade Federal do Cear - Instituto UFC Virtual

    30

  • TPICO 02: SUBANIS, IDEAIS E ANEL QUOCIENTE

    SUBANIS

    DEFINIO: Sejam (A,+, .) um anel e S um subconjunto de A.

    Dizemos que S um subanel de (A,+, .) se:

    (1) a,b A temos a + b e ab pertencem a S

    (2) (S,+, .) um anel.

    TEOREMA 1. Sejam (A,+, .) um anel e S um subconjunto de A.

    Ento S um subanel de A se, e somente se, satisfaz s seguintes

    condies:

    (1) 0 S

    (2) a, b S, a - b e ab pertencem a S

    DEMONSTRAO

    Se S um subanel de (A,+, .) ento (S,+, .) um anel. Assim 0 S

    e b S tem=se - b S. Da a, b S temos a b=a+(-b) e ab

    pertencem a S. Logo (1) e (2) so verdadeiras.

    Reciprocamente, suponha que (1) e (2) sejam verdadeiras. Ento

    b S, como 0 S, temos 0 b= 0+(-b)=- b S. Assim a, b S

    temos a, -b S e, por (2), a-(-b) = a+(-(-b))=a+b S. Portanto a,b S

    temos a + b e ab pertencem a S.

    + associativa em S pois j o em A. De (1) temos 0 S. Como

    b S, tem-se - b S e + comutativa em S, pois comutativa em A,

    conclumos que (S,+) um grupo comutativo. Como . associativa

    em A e distributiva em relao a + em A tambm ser associativa

    em S e distributiva em relao a + em S. Portanto (S,+, .) um anel.

    Logo S um subanel de (A,+, .)

    TEOREMA 2. Se S1,S2,...,Sn so subanis de um anel (A, *, . ) ento S1

    S2... Sn tambm um subanel de (A, *, .). Este resultado tambm

    vlido para uma quantidade infinita de subanis.

    DEMONSTRAO: EXERCCIO

    DEFINIO: Seja (A, *, . ) um anel e S um subconjunto de A.

    Definimos o subanel de A gerado por S como sendo a interseo de todos

    os subanis de A que contm S. Denotaremos este subanel por < S >.

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 04: ANIS

    31

  • Particularmente se S for finito, isto se S={a1,a2,...,an} denotaremos o

    subanel gerado por S por < a1,a2,...,an >.

    EXEMPLOS

    (1) Qualquer que seja o anel (A, *, ) , A e {0} so subanis de A , os

    quais so chamados de subanis triviais de A

    (2) Z subanel dos anis (Q,+, ) , (R,+ , ) e (C,+ , ).

    (3) Q subanel dos anis (R,+, ) e (C,+, . ).

    (4) R subanel do anel (C,+ . ).

    (5) O conjunto dos inteiros pares um subanel de (Z,+ , ).

    (6) Fixado nZ o conjunto {nz; zZ} um subanel de (Z,+, ) o qual

    denotaremos por nZ

    IDEAIS

    DEFINIO: Sejam (A,+, .) um anel e I um subconjunto de A.

    Dizemos que I um Ideal de (A,+, .) se:

    (1) I um subgrupo de (A,+)

    (2) Se a A e x I ento ax I e xa I

    EXEMPLOS

    (1) O conjunto dos inteiros pares um Ideal de (Z,+ , .).

    Fixado n Z o conjunto {nz;z Z} um Ideal de (Z,+, .) o qual

    denotaremos por nZ

    EXERCITANDO

    Mostre que todo Ideal de (Z,+ , .) da forma nZ para algum n Z

    TEOREMA 3.

    Todo ideal de (A,+, .) um subanel de (A,+, .).

    DEMONSTRAO

    Seja I um ideal do anel (A,+, .)

    Como I um subgrupo aditivo de (A,+) temos a + b I a,b A.

    Como a A e x I ax I e I A, temos ax I a,b I temos a + b

    e ab pertencem a I.

    Temos que I um subgrupo aditivo de (A,+). Como a associatividade

    de . e a distributividade de . em relao a + valem em A, tambm

    valem em I, que um subconjunto de A. Logo (I,+, .) um anel.

    Portanto I um subanel de (A,+, .)

    Observe que nem todo subanel de um anel (A,+, .) um ideal de

    (A,+, .). Por exemplo, Z subanel, mas no um Ideal do anel (Q,+, .)

    32

  • TEOREMA 4. Se I1,I2,...,In so ideais de um anel (A, *, . ) ento I1

    I2... In tambm um ideal de (A, *, .). Este resultado tambm vlido

    para uma quantidade infinita de ideais.

    DEMONSTRAO: EXERCCIO

    DEFINIO: Seja (A, *, . ) um anel e S um subconjunto de A.

    Definimos o ideal de A gerado por S como sendo a interseo de todos os

    ideais de A que contm S. Denotaremos este subanel por < S >.

    Particularmente se S for finito, isto se S={a1,a2,...,an} denotaremos o ideal

    gerado por S por < a1,a2,...,an >.

    TEOREMA 5. Se A um anel comutativo com unidade ento o ideal <

    a1,a2,...,an > dado por < a1,a2,...,an > ={x1a1+x2a2+...+xnan; x1,x2,...,xn A}

    o qual denotamos por Ra1+Ra2+...+Ran. Particularmente < a >={xa; x

    R}, que denotaremos por Ra

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    ANEL QUOCIENTE:

    Seja (A,+, .) um anel e I um ideal de (A,+, .). Temos que I um subgrupo

    de (A,+). Como (A,+) comutativo, I um subgrupo normal de (A,+). Da

    A/I munido da operao + definida por (I+a)+(I+b) = I+(a+b)

    automaticamente um grupo comutativo. Queremos agora definir uma

    estrutura de anel em A/I. Nada mais natural do que definirmos em A/I a

    multiplicao (I+a).(I+b) por I+ab. Precisamos entretanto mostrar isto tem

    significado, isto , que esta operao est bem definida. Em outras palavras,

    precisamos mostrar que se I+a = I+b e I+c=I+d ento (I+a).(I+c) = (I+b).

    (I+d), isto . I+(ac)=I+(bd). De fato I+a = I+b a=u+b, com uI e I+c = I+d

    c=v+d, com v I. Assim ac=(u+b)(v+d)=uv+ud+bv+bd. Com I um ideal

    uv I, ud I e bv I e, portanto uv+ud+bv=w I. Ento ac=w+bd, w I e da

    ac I+bd, o que implica I+(ac)=I+(bd). Portanto . uma operao em A/I.

    Deixamos como exerccio as demonstraes de que . associativa e

    distributiva em relao a +, o que torna (A/I,+, .) um anel, o qual

    chamado de anel quociente de A pelo ideal I.

    OBSERVAO

    Observe que, para construirmos o anel quociente precisamos

    fortemente do fato de I ser um ideal de A. Assim os ideais fazem, na

    construo do anel quociente, o mesmo papel que os subgrupos normais

    fazem na construo dos grupos quocientes.

    EXEMPLOS

    Dado nZ considere o ideal nZ do anel (Z,+, .). J definimos o

    grupo quociente (Z/nZ,+), que denotamos por (Zn,+) ou simplesmente

    33

  • por Zn={ }. O anel quociente (Z/nZ,+, .), que tambm

    representaremos por Zn, obtido definindo , um anel

    comutativo com unidade.

    FONTES DAS IMAGENS

    Responsvel: Prof. Jos Valter Lopes Nunes

    Universidade Federal do Cear - Instituto UFC Virtual

    34

  • TPICO 03: HOMORFISMO DE ANIS, DOMNIO DE INTEGRIDADE DOMNIO DE FATORAO NICA

    HOMOMORFISMO DE ANIS:

    DEFINIO: Dados dois anis (A, +, .) e (R, +, .) dizemos que uma

    aplicao f: A R um homomorfismo de anis se f(x + y) = f(x) +f(y) e f

    (x.y) = f(x).f(y) para todo x,y A.

    DEFINIO: O conjunto dos elementos x A tais que f(x) = 0

    chamado de ncleo de f e ser denotado por Ker f.

    PROPRIEDADES DOS HOMOMORFISMOS DE ANIS:

    Considere os anis (A, +, .) e (R, +, .) e um homomorfismo de grupos f: A

    R. Ento valem as seguintes propriedades:(clique aqui para abrir)

    1) f(0) = 0

    Demonstrao:

    f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0), isto , f(0) = f(0)+f(0). Usando a lei do

    cancelamento temos f(0) = 0

    2) f(-x) = -f(x) .

    Demonstrao:

    f(-x)+f(x) = f((-x)+x)=f(0)=0. .Analogamente f(x)+f(-x) = 0. Logo f

    (-x) = -f(x)

    3) O ncleo de f um ideal de A

    Demonstrao:

    i)Se x,y Kerf temos f(x)=f(y)=0 e da f(x+y)=f(x)+f(y)= 0+0= 0.

    Logo x+y Kerf.

    ii)f(0) = 0 e da 0 Kerf

    iii)Se xKerf temos f(x)=0. Como f(-x) = - f(x) temos f(-x) = -0= 0.

    Logo -x Kerf

    Mostramos ento que Kerf um subgrupo de (A,+).

    Sejam agora a A e x Kerf . Temos f(ax) =f(a)f(x)=f(a).0=0 e f(xa)

    =f(x)f(a)=0.f(a)=0.

    Logo ax e xa pertencem a kerf

    Conclumos, portanto que kerf um ideal de A.

    4) f injetiva Ker f = {0}

    Demonstrao: exerccio (anloga ao caso de homomorfismo de

    grupos)

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 04: ANIS

    35

  • 5) A imagem de f , que denotaremos por Im f, ou f(A), um subanel

    de R.

    Demonstrao: Exerccio

    6)Se S um subanel de A, ento f(S) um subanel de R.

    Demonstrao: Exerccio

    7)Se S um ideal de A, ento f(S) um ideal de R.

    Demonstrao: Exerccio

    8)Se S um subanel de R ento f -1(S) um subanel de A que

    contm Ker f.

    Demonstrao: Exerccio

    9) Se S um Ideal de R ento f -1(S) um Ideal de A que contm

    Ker f.

    Demonstrao: Exerccio

    10) Se A um anel com unidade e 1 o elemento neutro da

    multiplicao ento f(A) um anel com unidade e o elemento neutro da

    multiplicao f(1)

    Demonstrao: Exerccio

    11) Se A um anel com unidade ento R no necessariamente

    possui unidade

    Demonstrao: Exerccio

    12) Se f:G H e g: H T so homomorfismos de anis ento gof:G

    T tambm um homomorfismo de anis.

    Demonstrao: Exerccio

    DEFINIO: Um homomorfismo injetivo chamado de

    monomorfismo. Um homomorfismo sobrejetivo chamado epimorfismo.

    Um homomorfismo bijetivo chamado de isomorfismo. Se existe um

    isomorfismo f: G H entre os grupos (G, *) e (H, ) dizemos que estes

    grupos so isomorfos e denotamos este fato por G H. Grupos isomorfos

    so indistinguveis no ponto de vista algbrico.

    EXEMPLOS

    (1) Se (A, +, .) e (R, +, .)so anis, a funo f:AR dada por f(x) =

    0 para todo x A um homomorfismo, chamado de homomorfismo

    trivial.

    (2) Se (A, +, .) um anel a funo identidade xx um

    isomorfismo de A em A

    (3) Se I um ideal do anel (A, +, .) ento a funo f:AA/I dada

    por f(x)=H+x um homomorfismo, chamado de homomorfismo

    cannico.

    36

  • TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL DOS HOMOMORFISMOS

    DE ANIS): Se f: A R um homomorfismo entre os anis (A, +, .) e (R,

    +, .) ento A/Kerf G Imf

    DEMONSTRAO: Exerccio (anloga demonstrao do 1 teorema

    dos isomorfismos de grupos)

    DOMNIO DE INTEGRIDADE:

    Em um anel possvel que tenhamos a,b 0 e ab=0.

    DEFINIO: Seja (A, +, .) um anel e a A. Dizemos que a divisor de

    zero se existir b 0, b A, tal que ab=0

    DEFINIO: Um domnio de integridade ou simplesmente domnio

    um anel no nulo, comutativo, com unidade e sem divisores de zero no

    nulos.

    EXEMPLOS

    O anel (Z,+,.) um domnio de integridade.

    TEOREMA 2: O anel Zn um domnio de integridade se e somente se

    n for primo.

    Demonstrao: Exerccio

    TEOREMA 3: Se x um elemento no nulo de um domnio de

    integridade (A,+, .), ento xy=xz y=z

    Demonstrao: Exerccio

    DEFINIO: Se A um anel comutativo e a,b A, dizemos que a

    divide b, ou que b divisvel por a, se existe cA tal que b=ac. O fato de a

    dividir b ser denotado por a\b.

    Se A um anel comutativo, temos as seguintes propriedades:

    i) Seja A um domnio de integridade, a,bA e a0. Se a\b ento existe um

    nico elemento c tal que b=ac. Este elemento c ser denotado por b/a

    ii) a\0 , aA

    iii) Se a\b ento a\bx xA,

    iv) Se a\b e a\c ento a\(b+c)

    v) Se a\b e b\c ento a\c

    37

  • vi) Se A um anel com unidade ento um elemento aA uma unidade de A

    se, e somente se, a\1

    DEFINIO: Se A um anel comutativo com unidade, um elemento a

    A dito ser associado a um elemento b A se a=bu, onde u uma

    unidade de A

    TEOREMA 4: Se A um anel comutativo com unidade, a relao em A

    definida por a~b se, e somente se, a associado a b, uma relao de

    equivalncia em A

    DEMONSTRAO

    i) Temos a=a.1 e da a associado a a. Logo a~a

    ii) Se a~b ento a=bu, onde u uma unidade de A. Da au =(bu)

    u=b(uu)=b1=b onde u uma unidade de A. Da b~a

    iii) Se a~b e b~c ento a=bu, onde uma unidade de A e b=cv,

    onde v uma unidade de A. Assim a=c(vu)=c(vu) onde vu uma

    unidade de A. Logo a~c

    Devido a propriedade simtrica da relao ~, ao invs de falarmos que

    a associado a b ou que b associado a a, diremos simplesmente que a e b

    so associados .

    TEOREMA 5: Se A um domnio de integridade, ento a\b e b\a se e

    somente se a e b so associados.

    DEMONSTRAO

    Se a\b e b\a ento b= ac e a=bd. Da b1=b=(bc)d=b(cd). Como

    b0 (pois b\a) e A um domnio de integridade, podemos cancelar b

    em b1=b(cd) e, portanto 1=cd e ento c e d so unidades de A. Logo a e

    b so associados. A recproca imediata.

    EXERCITANDO 1

    Se A um anel comutativo com unidade e a\b, mostre que o ideal

    gerado por a contm o ideal gerado por b.

    EXERCITANDO 2

    Se A um domnio de integridade mostre que dois elementos so

    associados se e somente se geram o mesmo ideal.

    DEFINIO: Um elemento b pertencente a um domnio de

    integridade a chamado de irredutvel se b0, b no uma unidade e se

    38

  • c\b implica c um unidade ou associado a b. Se b no irredutvel

    dizemos que b redutvel.

    DEFINIO: um elemento p0 de um domnio de integridade A dito

    ser primo se p no uma unidade e se p\ab implica p\a ou p\b.

    DOMNIO DE FATORAO NICA

    DEFINIO: Um domnio de integridade (A,+, .) chamado de

    domnio fatorao nica se cada elemento no nulo ou uma unidade ou

    pode ser escrito de modo nico, a menos da ordem dos fatores, como um

    produto de elementos irredutveis.

    EXEMPLOS

    O anel dos inteiros um domnio de fatorao nica

    TEOREMA 6: Se A um domnio de fatorao nica ento todo

    elemento irredutvel primo.

    DEMONSTRAO

    Seja p um elemento irredutvel de A. Vamos mostrar que p

    primo. Suponha ento que p\ab e p a. Sejam a=p1p2 ... pn e b= q1q2 ...

    qm as fatoraes nicas de a e b como produto de irredutveis. Ento

    p1p2 ... pnq1q2 ... qm a fatorao nica de ab. Como p\ab temos ab=pc.

    Seja c=t1t2... ts a fatorao nica de c, como produto de elementos

    irredutveis. Como a fatorao nica um associado de p, digamos pu,

    deve aparecer entre os p1, p2, ... , pn, q1, q2 , ... ,qm. Como p a nenhum

    associado a p pode aparecer entre os p1, p2, ... , pn. Assim pu deve est

    entre os q1, q2 , ... ,qm e da p\b. Logo p primo.

    FRUM

    Discuta, no Frum da Aula 4, com os colegas ou com o professor

    tutor, as dvidas sobre os exerccios ou sobre a matria da Aula 4. Lembre

    que sua participao no Frum vale presena e nota de avaliao.

    ATIVIDADE DE PORTFLIO

    Poste no Portflio da Aula 4, a soluo do exercitando do Tpico 1 , do

    exercitando do Tpico 2 , dos exercitando 1 e 2 do Tpico 3, no Texto, e

    dos exerccios 1, 2, 4, 6, 7 e 9 da lista de exerccios da Aula 4 que se

    encontra no material de apoio e que voc pode obter no link Aula 4 (Visite

    a aula online para realizar download deste arquivo.).

    39

  • TPICO 01: TEORIA BSICA DOS CORPOS. SUBCORPOS

    DEFINIO

    Seja K um conjunto no vazio munido de duas operaes, as quais

    chamaremos de adio e multiplicao e denotaremos respectivamente por

    "+" e "." (Por coerncia usa-se a notao aditiva para a operao "+" e a

    notao multiplicativa para a operao "."). Dizemos que a estrutura

    algbrica (K,+, .) um corpo se os seguintes axiomas so satisfeitos:

    (1).A estrutura algbrica (K,+) um grupo comutativo

    (2).A estrutura algbrica (K-{0}, .) um grupo comutativo.

    (3).A operao "." distributiva em relao operao "+", isto :

    x.(y+z) = x.y+x.z x.y,z K

    OBSERVAO

    comum, quando no h nenhum risco de ambiguidade, representar

    o corpo (K,+, .) simplesmente por K. Assim quando nos referimos ao corpo

    K ficar subentendido que estamos nos referindo ao corpo (K,+, .), isto ,

    ao conjunto K munido das operaes "+" e "." satisfazendo aos axiomas da

    estrutura algbrica que chamamos de corpo.

    EXEMPLOS

    1) Considerando os conjuntos Q, R e C respectivamente dos

    racionais, reais e complexos e as operaes usuais de adio '+' e

    multiplicao '.' , as estruturas algbricas (Q,+ , .) , (R,+, .), (C,+, .), so

    corpos

    2) Se n um inteiro primo ento Zn um corpo.

    3) Se Q(3)= {a+b3; a,b Q} ento (Q(3), +, .) um corpo.

    PROPRIEDADES ELEMENTARES DOS CORPOS:

    Todo corpo um anel comutativo com unidade e portanto valem todas

    as propriedades de anel.

    TEOREMA 1: Os nicos ideais de um corpo so os triviais

    DEMONSTRAO: EXERCCIO

    TEOREMA 2:Todo corpo um domnio de integridade

    DEMONSTRAO: EXERCCIO

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 05: CORPOS

    40

  • TEOREMA 3:Todo domnio de integridade finito um corpo.

    DEMONSTRAO: EXERCCIO

    EXERCITANDO

    D exemplo de um domnio de integridade que no um corpo

    DEFINIO: Sejam (K,+, .) um anel e S um subconjunto de K.

    Dizemos que S um subcorpo de (K,+, .) se: a,b A temos a + b e ab

    pertencem a S e (S,+, .) um corpo. Se S um subcorpo de K e SK

    dizemos que S um subcorpo prprio de K

    DEFINIO: Dizemos que K uma extenso de S se S um subcorpo

    de K.

    TEOREMA 4. Sejam (K,+, .) um anel e S um subanel de K contendo

    pelo menos dois elementos.

    Ento S um subcorpo de K se, e somente se, o inverso de todo

    elemento no nulo de S pertence a S.

    Demonstrao: evidentemente se S um subcorpo ento inverso de

    todo elemento no nulo de S pertence a S.

    Reciprocamente, suponha que o inverso de todo elemento no nulo de

    S pertence a S. Como S possui mais de um elemento S-{0}

    Como S subanel de K, S subgrupo de (K,+) e stS-{0} s,t

    S-{0}. Como, por hiptese, s-1S para todo elemento no nulo sS, tem-

    se ts-1S s,t S-{0}. Logo (S-{0}, . ) um grupo e portanto (S,+, .) um

    corpo.

    TEOREMA 5. Se K1,K2,...,Kn so subcorpos de um corpo (K, +, . )

    ento K1K2... Kn tambm um subcorpo de (K, +, .). Este resultado

    tambm vlido para uma quantidade infinita de subcorpos.

    DEMONSTRAO: EXERCCIO

    EXEMPLOS

    (1) Qualquer que seja o corpo (K, +, . )) , K subcorpo de K.

    (2) Q subcorpo dos corpos (R,+, .) e (C,+, . ).

    3) R subcorpo do corpo (C,+ . .).

    FONTES DAS IMAGENS

    Responsvel: Prof. Jos Valter Lopes Nunes

    41

  • TPICO 02: CORPO DE FRAES E HOMOMORFISMO DE CORPO

    CORPO DE FRAES:

    Seja (D,+, .) um domnio de integridade. Definimos, no produto

    cartesiano DxD-{0}, a relao "~" dada por (a,b)~(c,d) se e somente se

    ad=bc. Afirmamos que "~" uma relao de equivalncia.

    De fato:

    1. (a,b)~(a,b) pois ab=ba2. (a,b)~(c,d) ad=bc cb=da (c,d)~(a,b)3. (a,b)~(c,d) e (c,d)~(e,f) ad=bc e cf=de (ad)f=(bc)f e b(cf)=b(de) (ad)f =b(de). Usando a comutatividade e a associatividade da multiplicao temos d(af)=d(be). Como d0 e D um domnio de integridade temos af=be e ento (a,b)~(e,f)

    NOTAO: representaremos a classe de (a,b) por a/b e o conjunto

    quociente por Q.

    LEMA 1: Se (a,b)~(r,s) e (c,d)~(u,v) ento (ad+bc,bd)~(rv+su, sv)

    DEMONSTRAO: EXERCCIO

    DEFINIO: Se a/b e c/d pertencem a Q definimos a/b + c/d =

    (ad+bf)/bd, que um elemento de Q pois bd0 j que b e d so diferentes

    de zero e D um domnio de integridade. Pelo lema 1, a operao "+" est

    bem definida

    LEMA 2: Se (a,b)~(r,s) e (c,d)~(u,v) ento (ac,bd)~(ru, sv)

    DEMONSTRAO: EXERCCIO

    DEFINIO: Se a/b e c/d pertencem a Q definimos a/b . c/d = ac/bd,

    que um elemento de Q pois bd0 j que b e d so diferentes de zero e D

    um domnio de integridade. Pelo lema 2, a operao "." est bem definida

    TEOREMA 1: O conjunto Q, munido das operaes "+" e "." ,definidas

    acima, um corpo, o qual chamado de corpo de fraes de D.

    DEMONSTRAO: EXERCCIO

    Considere a funo f: D Q definida por f(a)=a/1. Mostra-se facilmente

    que f um homomorfismo injetivo e da D isomorfo ao subanel f(D) de Q.

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 05: CORPOS

    42

  • Assim, no ponto de vista algbrico, podemos considerar D como um subanel

    de Q, e o que faremos a partir de agora.

    Considerando D como sendo o anel dos inteiros obtemos seu corpo de

    fraes como sendo o corpo dos nmeros racionais.

    HOMOMORFISMO DE CORPOS:

    DEFINIO: Dados dois corpos (K, +, .) e (L, +, .) dizemos que uma

    aplicao f: K L um homomorfismo de corpos se f(x + y) = f(x) +f(y) e f

    (x y) = f(x) f(y) para todo x,y K.

    Proposio: Se (K, +, .) e (L, +, .) so corpos e f: K L um

    homomorfismo de corpos. Ento f(x)=0 xK ou f injetiva.

    DEMONSTRAO

    Olhando f como homomorfismo de anis (K, +, .) e (L, +, .) o kerf

    um ideal do anel (K, +, .), Como K corpo seus nicos ideais so K e

    {0}. Se kerf =K ento f(x)=0 xK. Se kerf = {0} f injetiva.

    Conclumos ento, a partir da proposio acima, que os nicos

    endomorfismos interessantes de um corpo K so os automorfismos.

    EXEMPLOS

    Se (K, +, .) um corpo a funo identidade xx um

    automorfismo de K

    Considere o corpo (Q(3), +, .). A funo f: Q(3) Q(3)

    definida por f (a+b3 )= a-b3 um automorfismo de Q(3)

    TEOREMA 2: O conjunto de todos os automorfismos de um corpo K,

    com a operao composio de funes, um grupo

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    TEOREMA 3: Se L uma extenso de K ento os automorfismos de L

    que fixam os elementos de K, com a operao composio de funes, um

    grupo, chamado de grupo dos automorfismos de L sobre K

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    FRUM

    Discuta, no Frum da Aula 5, com os colegas ou com o professor

    tutor, as dvidas sobre os exerccios ou sobre a matria da Aula 5. Lembre

    que sua participao no Frum vale presena e nota de avaliao.

    ATIVIDADE DE PORTFLIO

    43

  • Poste no Portflio da Aula 5, a demonstrao dos teoremas 1, 2, 3 e 5

    do Tpico 1 , no Texto, e a soluo dos exerccios 1, 2, 4, 6, 8 e 10 da lista

    de exerccios da Aula 5 que se encontra no material de apoio e que voc

    pode obter no link Aula 5 (Visite a aula online para realizar download

    deste arquivo.).

    FONTES DAS IMAGENS

    Responsvel: Prof. Jos Valter Lopes Nunes

    Universidade Federal do Cear - Instituto UFC Virtual

    44

  • TPICO 01: POLINMIOS SOBRE UM ANEL. POLINMIOS SOBRE UM CORPO. ALGORITMO DA DIVISO

    Seja R um anel. O conjunto das expresses formais f(x) do tipo com ai

    R e n N, na indeterminada x, ser denotado R[x]. Os ai.i=0,1,...,n, so

    chamados de coeficientes de f(x). Cada f(x) R[x] chamado de polinmio

    com coeficientes em R. Se an0, dizemos que f(x) tem grau n e o coeficiente

    an chamado de coeficiente lder de f(x). Usaremos a notao gr f(x) para

    denotar o grau do polinmio f(x). Se todos os coeficientes de f(x) so nulos f

    (x) chamado de polinmio nulo. No definiremos o grau de um polinmio

    nulo. Se R um anel com unidade e an = 1 dizemos que f(x) mnico. Os

    polinmios do tipo f(x) = a0 so chamados de polinmios constantes.

    Se f(x) = anxn + an-1x

    n-1 + ... + a1x + a0 e g(x) = bmxm + bm-1x

    m-1 + ... + b1x

    + b0

    ento f(x)=g(x) se e somente se ai=bi i{0,1,...,n}.

    Dados f(x)= an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 e g(x)= bm xm + bm-1 xm-1 + ... + b1

    x + b0 pertencentes a R[x] definimos as operaes + e . em R[x] por:

    i) f(x)+g(x) = (as + bs)xs + (as-1 + bs-1) x

    s-1 + ... + (a1 + b1) x + (a0+ b0)

    onde ai = 0 para todo i > n e bi = 0 pata todo i > m.

    f(x).g(x)= cm+nxm+n + cm+nx

    m+n + ... + c0, onde ck=akb0+ak-

    1b1+...+a1bk-1+a0bk para k=0,...,m+n

    A partir destas definies temos gr (f(x)+g(x)) mx {gr f(x), gr g(x)} e,

    se R um domnio de integridade, gr (f(x).g(x)) = gr f(x) + gr g(x).

    TEOREMA 1: Com as operaes definidas acima R[x] um anel. Se R

    um anel com unidade ento R[x] tambm um anel com unidade. Se R

    um domnio de integridade ento R[x] tambm um domnio de

    integridade. Particularmente, se K um corpo ento K[x] domnio de

    integridade.

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    DEFINIO: O anel R[x] chamado anel dos polinmios com

    coeficientes em R ou anel dos polinmios sobre R.

    A funo g: RR[x] que a cada a0R associa o polinmio constante f(x)

    = a0 obviamente um homomorfismo injetivo, e da R isomorfo ao subanel

    g(R) dos polinmios constantes de R[x]. Assim, no ponto de vista algbrico,

    podemos considerar R como um subanel de R[X], e o que faremos a partir

    de agora. A partir destas consideraes e das propriedades das operaes de

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 06:POLINMIO

    45

  • R[x] mostra-se facilmente que o conjunto das unidades de R[x] coincide com

    o conjunto das unidades de R, isto , U(R[x])= U(R).

    EXEMPLOS

    1. 3x2+ 4x + 1 um polinmio em Z[X], de grau 2.

    2. X3+ x - 3 um polinmio em Z[X], mnico e de grau 3.

    3. f(x) = x2+1 e h(x) = 2x+4 so polinmios em Z[x]. Temos f(x)+g(x)=

    x2+2x+5 e f(x).g(x)= 2x3+4x2+2x+4

    Seja R um anel. Uma funo g:R R chamada de funo polinomial

    se existir um polinmio f(x)= an xn + an-1 x

    n-1 + ... + a1 x + a0 R[x] tal que,

    b R, g(b)= an bn + an-1 b

    n-1 + ... + a1 b + a0 . Assim cada polinmio f(x)= an

    xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 R[x] pode ser obviamente associado a uma

    funo f de R em R, cujo valor em qualquer bR an bn + an-1 b

    n-1 + ... + a1 b

    + a0. Usaremos f para representar tanto a funo como o polinmio e

    escreveremos f(b)= an bn + an-1 b

    n-1 + ... + a1 b + a0. Se f(b)=0 dizemos que b

    um zero de f ou uma raiz da equao funcional f(x) =0 Em particular, se f o

    polinmio nulo, ento todo elemento de R um zero de f.

    TEOREMA 2: Seja A um anel com unidade. Se f(x),g(x) A[x] , com g

    (x) mnico, ento existem q(x),r(x) A[x] tais que f(x)=q(x)g(x)+r(x) com

    r(x) = 0 ou gr r < gr g

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    COROLRIO: Seja A um anel com unidade. Se f(x)A[x] ento para

    todo polinmio x-aA[x] existe q(x)A[x] tal que f(x)=(x-a)q(x)+f(a).

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    TEOREMA 3: (algortmo da diviso)Seja K um corpo. Se f(x),g(x) K

    [x] ento existem q(x),r(x) K[x], unicamente determinados, tais que f(x)

    =q(x)g(x)+r(x) com r(x) = 0 ou gr r < gr g

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    COROLRIO 1: (teorema da fatorao) Sejam K um corpo, f(x)K[x] e

    aK. Ento f divisvel por x-a se, e somente se , a um zero de f.

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    TEOREMA 4: Se K um corpo ento um polinmio de grau n em K[x]

    tem no mximo n zeros.

    46

  • TPICO 02: MDC, FATORAO E CRITRIOS DE IRREDUTIBILIDADE

    A partir da validade do algoritmo da diviso em K[x], onde K um

    corpo, podemos desenvolver a teoria da divisibilidade em K[x] exatamente

    com foi feita nos inteiros.

    TEOREMA1: Seja I um ideal de K[x]. Ento existe gK[x] tal que g

    gera I.

    DEMONSTRAO

    Suponhamos que I um ideal no nulo. Seja g um polinmio de

    menor grau em I. A existncia de g garantida pelo princpio da boa

    ordenao. Afirmamos que g gera I. De fato, seja f um elemento

    qualquer de I. Pelo algoritmo da diviso existem q e r em K[x] tais que

    f = qg+r e r=0 ou gr r < gr g. Temos ento r = f - qg e da r I, o que

    implica r=0, pois gr g mnimo em I. Logo f = qg e portanto g gera I.

    Desta demonstrao segue-se que qualquer polinmio de I, de

    grau mnimo, gera I. Assim, se g um gerador de I ento cg tambm

    um gerador de I qualquer que seja a constante c. A recproca

    verdadeira, isto , se um polinmio gera I ele tem grau mnimo. De

    fato seja h um outro gerador de I. Se g um polinmio de grau mnimo

    que gera I. Temos , pelo fato de h ser gerador, g=qh. Da gr g = gr q +

    gr h e portanto gr h gr g. Como g um polinmio de grau mnimo de

    I, gr g gr h. Logo gr h = gr g e assim h tambm um polinmio de

    grau mnimo de I. Ademais, h=cg onde c uma constante, pois g gera I

    e gr h = gr g.

    Se um gerador de I ento um gerador

    mnico de I. Desta forma todo ideal de K[x] tem um gerador mnico. Alm

    disso tal gerador determinado de modo nico.

    DEFINIO: Sejam f e g so polinmios no ambos nulos em K[x].

    Um polinmio h K[x] dito ser um Mximo Divisor comum (MDC) de f e g

    se h\f, h\g e, se t divide f e g, ento t\h.

    Como h\0 para todo h K[x], segue-se que, se f um polinmio no

    nulo em K[x], ento f um MDC de 0 e f.

    TEOREMA 2: Sejam f e g polinmios no ambos nulos de K[x]. Ento

    um polinmio hK[x] um MDC de f e g se, e somente se, h um gerador

    do ideal (f,g).

    DEMONSTRAO

    ESTRUTURAS ALGBRICAS

    AULA 06:POLINMIO

    47

  • Suponha que h um MDC de f e g. Se t um gerador do ideal

    f,g ento t=uf+vg. Como h\f e h\g temos h\t. Como f,g f,g e t

    um gerador temos t\f e t\g e da t/h.

    Como h\t , t\h e K[x] um domnio de integridade, temos que h e

    t so associados e portanto geram o mesmo ideal. Portanto h um

    gerador de (f,g).

    Reciprocamente, suponha que h um gerador de f,g. Como f

    pertence ao ideal gerado por f e g existe um polinmio q em K[x] tal

    que f=qh e assim h\f. Analogamente h\g. Se t um polinmio em K[x],

    que divide f e g, temos f=th1 e g=th2 . Desde que h pertence ao ideal

    gerado por f e g temos Logo

    t\h. Portanto h um MDC de f e g.

    Como os geradores do ideal (f,g) so da forma ch, onde c constante e h

    um gerador, um MDC de f e g determinado a menos de uma constante

    multiplicativa no nula. O fato de existir um gerador para o ideal (f,g)

    garante a existncia do MDC de f e g, quaisquer que sejam f e g pertencentes

    a k[x]. O fato de existir um gerador mnico garante a existncia de um MDC

    mnico, o qual ser unicamente determinado e denotado por MDC

    (f,g).Temos ento o corolrio seguinte.

    COROLRIO: Seja K um corpo. Se f e g so polinmios no ambos

    nulos em K[x], ento existe um MDC de f e g e, alm disso, se h um MDC

    de f e g, existem polinmios u e v em K[x] tais que uf+vg=h

    TEOREMA 3: Seja K um corpo.

    i) MDC(f,g)=1se, e somente se, existem polinmios u e v em K[x] tais

    que uf+vg=1

    ii) Se f\gh e MDC(f,g)=1 ento f\h

    iii) Todo elemento irredutvel de K[x] primo

    DEMONSTRAO

    1. Se MDC(f,g)=1 ento, pelo corolrio anterior, existem polinmios u e v em K[x] tais que uf+vg=1.Reciprocamente, Se existem polinmios u e v em K[x] tais que uf+vg=1 e d\f e d\g ento d\1, isto , d uma unidade. Portanto MDC(f,g)=1.2. MDC(f,g)=1 implica que existem polinmios u e v em K[x] tais que uf+vg=1 e da ufh+vgh=h. Da f\h pois f\f e f\gh3. Se f um elemento irredutvel de K[x] , f\gh e f no divide g. Para mostrar que f primo, basta mostrar que f\h. Para isto, pelo item (ii), basta mostrar que MDC(f,g)=1. De fato suponhamos que u um divisor comum de f e g. Como f irredutvel, u\f implica que u uma unidade ou u associado a f. Mas u no pode ser associado a f pois, neste caso, como u\g, f dividiria g. Ento u uma unidade e da MDC(f,g)=1. Logo f primo.

    48

  • TEOREMA 4: Todo polinmio de grau 1 em K[x] pode ser expresso

    como um produto p1 , p2 ... pn de polinmios irredutveis. Neste produto os

    polinmios p1 , p2 , ... , pn so determinados de modo nico, a menos da

    ordem e de eventuais fatores constantes no nulos.

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    A definio de MDC generalizada naturalmente para mais de dois

    polinmios no nulos:

    DEFINIO: Se f1,f2,...,fn so polinmios no nulos em K[x]. Um

    polinmio hK[x] dito ser um Mximo Divisor comum (MDC) de

    f1,f2,...,fn se h\f1, h\f2,...,h\fn e, se t divide os polinmios f1,f2,...,fn, ento

    t\h.

    TEOREMA 5: Sejam f1,f2,...,fn polinmios no nulos de K[x]. Se h um

    gerador do ideal (f1 ,f2 , , fn) gerado por f1,f2,...,fn ento h um MDC de

    f1,f2,...,fn

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    DEFINIO: polinmios f1,f2,...,fn para os quais 1 um MDC so

    chamados primos entre si.

    Vamos agora estudar a fatorao em A[x], onde A um domnio de

    fatorao nica. Para isso precisamos de alguns resultados, os quais

    apresentamos em seguida.

    TEOREMA 6: Seja A um domnio de fatorao nica e Q seu corpo de

    quocientes. Sejaf(x)= anxn+ an-1x

    n-1...+a1,x+a0A[x]. . Se f tem uma raiz no

    nula a/b Q e (a,b)=1 ento a\a0 e b\an.

    DEMONSTRAO

    Se f tem uma raiz no nula a/bQ ento f(a/b)= an(a/b)n+an-1(a/b)

    n-1+...+a1(a/b)+a0=0 e da bn f(a/b) =

    anan+an-1a

    n-1b+...+a1abn-1+a0b

    n=0.

    Temos ento:

    i) anan= - (an-1a

    n-1b+...+a1abn-1+a0b

    n)= - b((an-

    1an-1+...+a1ab

    n-2+a0bn-1) e da b\ana

    n. Como MDC(a,b)=1 temos b\an

    49

  • ii) a0bn = -(ana

    n+an-1an-1b+...+a1ab

    n-1) = - a

    (anan-1+an-1a

    n-2b+...+a1bn-1) e da a/a0b

    n. Como MDC(a,b)=1 temos

    a\a0

    EXEMPLO

    O polinmio x3+x+5 irredutvel em Q[x].

    De fato, como o grau deste polinmio 3 ele ser irredutvel em Q

    [x] se e somente se tiver uma raiz em Q. Por outro lado x3+x+5Z[x] e

    Q o corpo de fraes do anel dos inteiros Z. Pelo Teorema acima os

    possveis zeros deste polinmio em Q seriam 1e 5. Como estes

    nmeros no so zeros de x3+x+5 este polinmio no possui zeros em

    Q e ento irredutvel em Q[x].

    EXEMPLO

    O polinmio 3x+6 irredutvel em Q[x], mas no irredutvel em

    Z[x]. Como o grau de 3x+6 1 toda fatorao deste polinmio

    envolver um polinmio constante no nulo e um polinmio de grau 1.

    Como todo polinmio constante no nulo uma unidade de Q[x],

    3x+6 irredutvel em Q[x]. Por outro lado como 3x+6= 3(x+2) e,

    como 3 e x+2 so irredutveis em Z[x], 3x+6 redutvel em Z[x].

    DEFINIO: Seja A um domnio de fatorao nica. Um polinmio

    A[x] chamado primitivo se no uma unidade e se os

    nicos divisores comuns dos seus coeficientes so as unidades. Assim se f

    irredutvel em A[x] ento f primitivo.

    TEOREMA 7: Seja A um domnio de fatorao nica e fA[x] . Ento

    existe dA e um polinmio primitivo gA[x] tal que f =dg. Alm disso se

    f=dg=bh onde g e h so polinmios primitivos de A[x] e d,bA, ento d e b

    so associados em D e g e h so associados em A[x].

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    TEOREMA 8 (GAUSS): Sejam A um domnio de fatorao nica e Q

    seu corpo de fraes. Seja f um polinmio primitivo no constante em A

    [x]. Ento f redutvel em A[x] se, e somente se, f redutvel em Q[x].

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    EXERCITANDO: mostre que o polinmio x3+3x+1 irredutvel em Q[x].

    COROLRIO: Seja A um domnio de fatorao nica. Se f um

    polinmio irredutvel em A[x] ento f primo em A[x].

    50

  • DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    TEOREMA 9: Se A um domnio de fatorao nica ento A[x]

    tambm um domnio de fatorao nica.

    DEMONSTRAO: EXERCCIO.

    TEOREMA 10 (CRITRIO DE IRREDUTIBILIDADE DE

    EINSENSTEIN): Seja A um domnio de fatorao nica e Q seu c