Inferências Geográfica: Inferência Bayesiana Processo ... · ordenadas, selecionando-se a mais desejável ou agrupando-se as melhores para uma avaliação posterior. ... A matriz

Inferências Geográfica:Inferência BayesianaProcesso Analítico HierárquicoClassificação contínua

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Análise Multi-Critério

Classificação continua (Lógica Fuzzy)

Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)



Classificação contínua





n Lógica convencional Paradoxo insolúvel

119900

117700

115500

114400

221100

Muito Muito baixabaixa

abaixo abaixo médiamédia

Acima Acima médiamédia

Muito Muito altaalta

AltoAltomédiamédiabaixabaixa AltaAlta

baixabaixa

Eu sempre minto.

n Áreas com declividade de 9,9% serão classificadas diferentemente de áreas com inclinação de 10,1%, não importando as demais condições




n A análise espacial em SIG será melhor realizada com uso da técnicas de classificação contínua, transformando os dados para o espaço de referência [0,1] e processando-os por combinação numérica, através de média ponderada ou inferência “fuzzy”

n Ao invés de um mapa temático com limites rígidos gerados pelas operações booleanas, obtém-se uma superfície de decisão contínua.

n Isto permite construir cenários (por exemplo, risco de 10%, 20% ou 40%), que indicam os diferentes compromissos de tomada de decisão => maior flexibilidade e um entendimento muito maior sobre os problemas espaciais.



Lógica Fuzzyn Lógica Fuzzy: Introduzida por Lofti Zadeh (1960s), como um

meio de modelar incertezas da linguagem natural

n Fuzzy Logic” é uma extensão da lógica Booleana, que tem sido estendida para manipular o conceito de “verdade parcial”, isto é, valores compreendidos entre “completamente verdadeiro” e “completamente falso”.

0

11

Falso

Verdade

Lógica Boleanaz

FF VV

F(z)

Lógica Fuzzyzz

VVFF

00

11

Falso

Verdade



n Um conjunto Fuzzy (S) é definido matematicamente como:Z : S = (z, f(z))

onde:

ü Z é referido como o “universo de discurso” para o subconjunto Fuzzy S

ü S é o conjunto Fuzzy em Z, expresso pelos pares ordenados [z, f(z)].

ü z ∈ Z, é um elemento do conjunto Z (primeiro elemento do par ordenado).

ü f(z) é uma função que mapeia z em S, variando de 0 a 1 (segundo elemento do par ordenado). Estabelece o grau de verdade:

n O valor Zero (0) é usado para representar a condição de Falsidade,n O valor Um (1) é usado para representar a condição de Verdade,n Valores intermediários são utilizados para representar o grau de

verdade.

“Conjunto Fuzzy”: Definição



Conjuntos Fuzzy: exemplo

ü Exemplo: Altura de Pessoas ü S um conjunto fuzzy ALTO, que responderá a pergunta:ü " a que grau uma pessoa “z” é alta?ü Z : S = (z, f(z)) especialistas

00

11

BAIXO

ALTO

z

f(z)

1.5 2.1

0.50.5

nn Exemplo: ”João é ALTO" = 0.38

≥<<−

≤=

1.2,11.25.16.0/)5.1(

5.1,0)(

zsezsez

zsezf




n Outro exemplo - Declividade

f(z) = 0 se z ≤ α

f(z) = 1/[1+ α(z −β)2] se α < z < β

f(z) = 1 se z ≥ β

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 .025

40

Declividade

Mínimo (α) Máximo (β)

ff(z)(z) = = 0 se z ≤ 0.025

ff(z)(z) = = 1/[1+ 0.025(z −40)2] se α < z < 40

ff(z)(z) = = 1, se z ≥ 40



n Na prática:Realizar mapeamento para espaço [0,1]¨ determinação de valores limites (mínimo e máximo)¨ estabelecer função de mapeamento: linear, quadrática, sigmóide

Mapeamento para fuzzy

Campo deCampo deAmostrasAmostras [0,1][0,1]Grade deGrade de

valoresvalores

f(z)f(z)

SuperfícieSuperfíciecontínuacontínua

Análise Análise MultiMulti--CritérioCritério



Operadores Fuzzy : E

Saída controlada pelo menor valor de pertinência fuzzyocorrendo em cada localização. Operador apropriado quando todas as evidências para uma devem estar presentes para a hipótese ser verdadeira.

µc = MIN (µa, µb, µc, ......)

µA, µB, µC, .. são os valores de pertinência nos mapas

1,000,400,65

0,000,550,70

0,300,600,75

0,000,400,60

0,200,550,75

0,400,650,50

0,000,400,60

0,000,550,70

0,300,600,50

µA µBµc = µA E µA



Operadores Fuzzy : OU

Saída controlada pelo maior valor de pertinência fuzzyocorrendo em cada localização.

µc = Max (µa, µb, µc, ......)


1,000,400,65

0,000,550,70

0,300,600,75

0,000,400,60

0,200,550,75

0,400,650,50

1,000,400,65

0,200,550,75

0,400,650,75

µA µBµc = µA OU µA



Operadores Fuzzy: Produto algébrico

µc = µi

onde µi é a função de pertinência para o i-ésimo mapa

O valor dessa função combinada µ tende a ser muito pequeno, produto de

valores entre 0 e 1. A saída é sempre menor que a menor contribuição.

∏=

n

i 1

1,000,400,65

0,000,550,70

0,300,600,75

0,000,400,60

0,200,550,75

0,400,650,50

0,000,160,39

0,000,300,52

0,120,390,37

µA µB µc



Operadores Fuzzy: Soma algébrica

µc = 1- (1-µi)

Nessa operação o resultado é sempre maior, ou igual, a maior contribuição

do valor de pertinência fuzzy. Duas evidências pesam mais do que cada

uma individualmente. Por exemplo, a soma algébrica fuzzy de (0,75 e 0,50)

é 1 – ( 1-0,75)*(1- 0,50), que é igual a 0,875 .

∏=

n

i 1

0,000,600,35

1,000,450,30

0,700,400,25

1,000,600,40

0,800,450,25

0,600,350,50

0,000,360,14

0,800,200,07

0,420,140,12

1,000,840,86

0,800,790,92

0,580,860,87

1 - µA

1 - µB1 - µA

µc(1 - µi)∏=

2

1i



Exemplo Fuzzy em Legal



Exemplo: Transformação Fuzzy

{//DeclaraçãoNumerico cromo ("Amostras");Numerico cromofuzzy ("Cromo_Fuzzy");

//Instanciaçãocromo = Recupere ( Nome= "Teores_Cromo" );cromofuzzy = Novo (Nome = "Cromo_Fuzzy", ResX=30, ResY=30, Escala=50000, Min=0,

Max=1);//Operação

cromofuzzy = (cromo < 0.20) ? 0 :(cromo > 1.855) ? 1 : 1/(1 + (0.424 * ((cromo - 1.855)^2)));

}

variável = expressao_booleana ? expressao1 : (bool ? Exp1 : exp2) ;

expressao2

expressao1







Suporte à Decisão - Conceitos Básicosè Decidir é escolher entre alternativas.

n Podemos encarar o processo de manipulação de dados num sistema de informação geográfica como uma forma de produzir diferentes hipóteses sobre o tema de estudo.

n O conceito fundamental dos vários modelos de tomada de decisão é o de racionalidade.

Onde è indivíduos e organizações seguem um comportamento de escolha entre alternativas, baseado em critérios objetivos de julgamento, afim de satisfazer um nível pré-estabelecido de aspirações.



Suporte à Decisão - Conceitos Básicos

n Um modelo racional de tomada de decisão preconiza quatro passos:

¨ Definição do problema: formular o problema como uma necessidade de chegar a um novo estado.

¨ Busca de alternativas: estabelecer as diferentes alternativas (aqui consideradas como as diferentes possíveis soluções do problema) e deter minar um critério de avaliação.

¨ Avaliação de alternativas: cada alternativa de resposta é avaliada.

¨ Seleção de alternativas: as possíveis soluções são ordenadas, selecionando-se a mais desejável ou agrupando-se as melhores para uma avaliação posterior.



A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico

n Quando temos diferentes fatores que contribuem para a nossa decisão, como fazer para determinar a contribuição relativa de cada um ?

n Thomas Saaty (1978) propôs, uma técnica de escolha baseada na lógica da comparação pareada, denominada Técnica AHP.

n Neste procedimento, os diferentes fatores que influenciam a tomada de decisão são comparados dois-a-dois, e um critério de importância relativa é atribuído ao relacionamento entre estes fatores, conforme uma escala pré-definida.




Escala de Valores AHP para Comparação PareadaEscala de Valores AHP para Comparação Pareada

2,4,6,8 Valores intermediários entre julgamentos - possibilidade de compromissos adicionais.



AHP- Exemplo: Decidir sobre a compra de um SIGDecidir sobre a compra de um SIG

Fatores importantes: Fatores importantes: hardwarehardware, , softwaresoftware, , serviço de vendasserviço de vendas



Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware

11/61/8Sistema 3

611/4Sistema 2

841Sistema 1

Sistema 3Sistema 2Sistema 1Hardware

A matriz apresentada reflete o fato que o Sistema 1 émoderadamente / essencialmente preferido em relação ao Sistema 2, e têm uma importância demonstrada / extremacom relação ao Sistema 3.

Passo 1-Importância relativa dos fatores entre sistemas.

Critérios objetivos

Sistema 1 è Sistema 1 = 1 Sistema 2 è Sistema 3 = 6Sistema 2è Sistema 1 = 1/4 Sistema 3 è Sistema 2 = 1/6Sistema 3è Sistema 1 = 1/8




11/61/8Sistema 3

155,1671,375Total

611/4Sistema 2

841Sistema 1


Passo 2-Normalizar colunas

0,0670,0320,091Sistema 3

0,4000,1940,182Sistema 2

0,5330,7740,727Sistema 1

Hardware



Matriz de Comparação Par-a-Par - Fatores

0,063(0,091+0,032+ 0,067)/3 =Sistema 3

0,259(0,182+0,194+0,400)/3 =Sistema 2

0,678(0,727+ 0,774+0,533)/3 =Sistema 1

Vetor de MédiaCálculo da médiaHardware

Passo 3- Média de cada linha normalizadaØ representa as prioridades para as três opções alternativas, em relação ao fator Hardware (pesos do fator hardware de cada sistema

0,0960,2510,653Serviço de ven.

0,7370,1860,077Software0,0630,2590,678hardware

Sistema 3Sistema 2Sistema 1FatorMatriz de avaliação dos três fatores



Matriz de Comparação de Fatores

11/65Serviço de ven.

7,201,29214Total

618Software1/51/81hardware

Serviço de ven.SoftwarehardwareFator

Passo 4-Importância relativa entre os fatores.

0,1390,1290,357Serviço vendas.

0,8330,7740,571Software

0,0280,0970,072hardwareFator Matriz normalizada



Matriz de Comparação de FatoresPasso 5-

Pesos dos fatores.

Fator Matriz normalizada

0,208(0,357 + 0,129 + 0,139)/3 =Serviço vendas.

0,726(0,57 + 0,774 + 0,833)/3 =Software

0,066(0,072 + 0,097 + 0,028)/3 =hardware

Vetor de MédiaCálculo da pesosFator

0,559(0,066*0,063 + 0,726*0,737 + 0,208*0,096)=Sistema 3

0,204(0,066*0,259 + 0,726*0,186 + 0,208*0,251)=Sistema 2

0,236(0,066*0,678 + 0,726*0,077 + 0,208*0,653)=Sistema 1

O sistema de maior peso, considerando os fatores utilizados, é osistema 3. Então o mais adequado para aquisição



Consistência da seleção realizadaPara aceitar o resultado deste processo, é necessário conhecer se há consistência na comparação pareada realizada. Neste caso oparâmetro para avaliar isto é denominado Razão de consistência

Passo 1: Considere que os critérios atribuídos ao fator Hardware (tabela abaixo) foi justo

11/61/8Sistema 3

611/4Sistema 2

841Sistema 1


0,063Sistema 30,259Sistema 20,678Sistema 1

Vetor de MédiaHardware



Razão de consistênciaPasso 2: Calcula-se o vetor soma ponderada

1,000 4,000 8,000 0,6780,250 1,000 6,000 * 0,2590,125 0,167 1,000 0,063

=

1,000*0,678 + 4,000*0,259 + 8,000*0,063 = 2,218

0,250*0,678 + 1,000*0,259 + 6,000*0,063 = 0,807 0,125*0,678 + 0,167*0,259 + 1,000*0,063 = 0,191

2,218/0,6780,807/0,2590,191/0,063

3,2713,1163,032

=Vetor de consistência =

Passo 3 : Calcula-se o vetor de consistência

Passo 4 : Calcula-se o valor médio do vetor de consistência

µ = (3,0271 + 3,116 + 3,032)/3 = 3,140



Razão de consistênciaA razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é estimada pela expressão: RC = IC/IR

Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice aleatórioconforme tabela abaixo.

RC = IC/IR = 0,070/0,58 = 0,12Segundo o método desenvolvido por ss, o valor de

RC deve ser menor que 0,10 para que a decisão seja consistente

IC = (µ -n) / (n-1) onde n é o numero de fatoresIC = (3,140 –3) / (3-1) = 0,070

1,3271,418

1,1250,904

1,246

0,5830,002IRn



Exemplo : potenciais à prospecção de Cromo.

Superfícies normalizadas

Critério de importância relativa





Vetor de pesos

Calculando-se a Razão de consistência, conforme mostrado anteriormente chega-se : RC = IC/IR = 0,00695/0,58 = 0,012

Como o valor de RC < 0,10 conclui-se que a decisão foi consistente

O mapa final de potencialidade de cromo é obtidoMapa_pot_Cromo =

0,3338*mapa_cromo + 0,0754*mapa_cobalto + 0,5907*mapa_geologia



Passos do AHP

n Passo 1:¨ Comparar os critérios dois-a-dois

n Passo 2:¨ Determinar vetor de consistência dos criterios ¨ Estimar Razão de consistência.

n Consistente se a Razão de consistência tiver probabilidade menor do que 10%

n Passo 3:¨ Produzir os pesos (soma = 1.0) ¨ Fazer uma inferência por média ponderada



n Interface




Abordagem Bayesiana



Abordagem BayesianaPrincipal conceito: Probabilidade a priori e a posteriori

Ocorrência de chuva no dia seguinte dado que a média 80 dias de chuva por ano no local.

¨ probabilidade a priori : P(chuva) = 80/365 Refinamento: dada uma certa época do ano

¨ a posteriori : Fator época do ano (Fépoca do ano)

n P(chuva | época do ano) = P(chuva) * (Fépoca do ano)

¨ Outras evidências: choveu ontem, choveu hoje

¨ P(chuva|evidência) = P(chuva) * (Fépoca do ano) * Fdia anterior * Fdia hoje

1

2

1 pode ser tratado com a priori em relação a 2



Abordagem Bayesiana - Exemplos

Ex. 1 – prospecção mineralAnomalia geoquímica de zinco è > 250 ppm

Prob. A priori > 250 ppmFatores (a posteriori)Mapa geológico

rocha A e B è favorávelrocha C e D è desfavorável

Intensidade de assinatura geofísicaTipo de vegetaçãoBaseado em conhecimento (Especialista pondera as evidências)Baseado em dados (dados históricos suficientes)

Ex. 2 – diagnostico médicoCombinação de sintomas clínicos

Ex. 2 – Distribuição espacial de epicentros sísmicos.Combinação



Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicação

1- Considere o problema de se encontrar depósitos de um determinado mineral em uma região que possui uma área de 10.000 km2, e que já tenham sido identificados 200 depósitos nesta região.

2- A area foi dividida em celulas de 1 km2 e ocorre somente 1 deposito em cada celula.

Notação è N{} = contagem de unidadesN{R} = 10.000 unidades de áreaN{D} = 200 depósitos conhecidos

com área de 1 km2.Densidade de depositosN{D}/N{R} = 200/10000=0.02

probabilidade a priori P{D} = N{D}/N{R} = 0.02

R

A




Nova evidencia:Observou-se em mapa de anomalia magnética da região, que 180

dos 200 depósitos conhecidos ocorreram dentro da área de anomalia.

P{D / A} > 0.02 P{D / A} < 0.02

Dado esta evidência, a probabilidade pode ser expressa por:

R

A

RA

DR ∩ A

A ∩ D

A ∩ D

D ∩ A



Técnica Bayesiana

P{D / A}é a probabilidade condicional de um deposito ‘D’ dado que a

célula está dentro da área de anomalia ‘A’.

RA

DR ∩ A

A ∩ D

A ∩ D

D ∩ A

P{D∩A} = N{D∩A} / N{R}é a proporção da área total

onde ocorre simultaneamente deposito e anomalia.

P{A} = N{A} / N{R}



Técnica Bayesiana RA

DR ∩ A

A ∩ D

A ∩ D

D ∩ AP{D / A} = 180 / 3600 = 0,05

P{D} = 0.02P{D / A} = 2,5 vezes maior que P{D}

N{R} (10000)N{A} (6400)N{A} (3600)

D (9800)N{D∩A} (1)N{D∩A} (3420)Não Depósito (D)

D (200)N{D∩A} (20)N{D∩A} (180)Depósito (D)

Não Anomalia (A)Anomalia (A)

Usando-se esta evidência, a exploração de novos depósitos do mesmo tipo, será muito mais eficiente e com uma área de pesquisa reduzida de 10.000 km2 para 3.600 km2 .



Técnica Bayesiana

P (posteriori) = P(priori) * (Fevidência)

Pode-se expressar P{ D / A} em termos da P(priori) mais fator multiplicativo.

Qual a probabilidade de uma célula estar na região de anomalia ‘A’, dado que esta célula contém um deposito?

P{A / D} = 180/200=0.9

Dado que: P{A∩D} = P{D∩A}

Probabilidade a posteriori de um depósito, dado que a célula esta na área de anomalia

P(priori) * (Fatorevidência)



Técnica Bayesiana

P{A / D} = 180/200=0.9

P{D / A} = 0,02 * 2,5 = 0,05

0,9/0,36 = 2,5 è fator multiplicativo

P{A} = N{A} / N{R} = 3600 / 10000 = 0,36

A presença de anomalia magnética, faz com que a probabilidade de deposito seja 2.5 vezes maior do que a probabilidade a priori.



Técnica Bayesiana

Probabilidade a posteriori da ocorrência de um deposito, dada a ausência da anomalia.

P{A} = (10000-3600)/10000=0.64

P{A / D} = 20/200=0.1

= 0,1/0,64 = 0,15625 è

A probabilidade a posteriori da ocorrência de depósitos em posições onde não há anomalia magnética é 0.15625 vezes menor do que a probabilidade a priori.

P{D / A} = 0.2*0.15625 = 0.003125

Baseado em uma única fonte de evidência, podemos reduzir a área de pesquisa de 10.000 km2 para 3600 km2, porque a chance de se encontrar depósito onde não há anomalia é significativamente menor (50 vezes) do que onde há anomalia.



Inferências Geográfica:Inferência BayesianaProcesso Analítico HierárquicoClassificação contínua




Classificação continua (Lógica Fuzzy)









n Lógica convencional Paradoxo insolúvel

119900

117700

115500

114400

221100

Muito Muito baixabaixa

abaixo abaixo médiamédia

Acima Acima médiamédia

Muito Muito altaalta

AltoAltomédiamédiabaixabaixa AltaAlta

baixabaixa

Eu sempre minto.

n Áreas com declividade de 9,9% serão classificadas diferentemente de áreas com inclinação de 10,1%, não importando as demais condições




n A análise espacial em SIG será melhor realizada com uso da técnicas de classificação contínua, transformando os dados para o espaço de referência [0,1] e processando-os por combinação numérica, através de média ponderada ou inferência “fuzzy”

n Ao invés de um mapa temático com limites rígidos gerados pelas operações booleanas, obtém-se uma superfície de decisão contínua.

n Isto permite construir cenários (por exemplo, risco de 10%, 20% ou 40%), que indicam os diferentes compromissos de tomada de decisão => maior flexibilidade e um entendimento muito maior sobre os problemas espaciais.



Lógica Fuzzyn Lógica Fuzzy: Introduzida por Lofti Zadeh (1960s), como um

meio de modelar incertezas da linguagem natural

n Fuzzy Logic” é uma extensão da lógica Booleana, que tem sido estendida para manipular o conceito de “verdade parcial”, isto é, valores compreendidos entre “completamente verdadeiro” e “completamente falso”.

0

11

Falso

Verdade

Lógica Boleanaz

FF VV

F(z)

Lógica Fuzzyzz

VVFF

00

11

Falso

Verdade



n Um conjunto Fuzzy (S) é definido matematicamente como:Z : S = (z, f(z))

onde:

ü Z é referido como o “universo de discurso” para o subconjunto Fuzzy S

ü S é o conjunto Fuzzy em Z, expresso pelos pares ordenados [z, f(z)].

ü z ∈ Z, é um elemento do conjunto Z (primeiro elemento do par ordenado).

ü f(z) é uma função que mapeia z em S, variando de 0 a 1 (segundo elemento do par ordenado). Estabelece o grau de verdade:

n O valor Zero (0) é usado para representar a condição de Falsidade,n O valor Um (1) é usado para representar a condição de Verdade,n Valores intermediários são utilizados para representar o grau de

verdade.

“Conjunto Fuzzy”: Definição




ü Exemplo: Altura de Pessoas ü S um conjunto fuzzy ALTO, que responderá a pergunta:ü " a que grau uma pessoa “z” é alta?ü Z : S = (z, f(z)) especialistas

00

11

BAIXO

ALTO

z

f(z)

1.5 2.1

0.50.5

nn Exemplo: ”João é ALTO" = 0.38

≥<<−

≤=

1.2,11.25.16.0/)5.1(

5.1,0)(

zsezsez

zsezf




n Outro exemplo - Declividade

f(z) = 0 se z ≤ α

f(z) = 1/[1+ α(z −β)2] se α < z < β

f(z) = 1 se z ≥ β

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 .025

40

Declividade

Mínimo (α) Máximo (β)

ff(z)(z) = = 0 se z ≤ 0.025

ff(z)(z) = = 1/[1+ 0.025(z −40)2] se α < z < 40

ff(z)(z) = = 1, se z ≥ 40



n Na prática:Realizar mapeamento para espaço [0,1]¨ determinação de valores limites (mínimo e máximo)¨ estabelecer função de mapeamento: linear, quadrática, sigmóide

Mapeamento para fuzzy

Campo deCampo deAmostrasAmostras [0,1][0,1]Grade deGrade de

valoresvalores

f(z)f(z)

SuperfícieSuperfíciecontínuacontínua

Análise Análise MultiMulti--CritérioCritério



Operadores Fuzzy : E

Saída controlada pelo menor valor de pertinência fuzzyocorrendo em cada localização. Operador apropriado quando todas as evidências para uma devem estar presentes para a hipótese ser verdadeira.

µc = MIN (µa, µb, µc, ......)


1,000,400,65

0,000,550,70

0,300,600,75

0,000,400,60

0,200,550,75

0,400,650,50

0,000,400,60

0,000,550,70

0,300,600,50

µA µBµc = µA E µA



Operadores Fuzzy : OU

Saída controlada pelo maior valor de pertinência fuzzyocorrendo em cada localização.

µc = Max (µa, µb, µc, ......)


1,000,400,65

0,000,550,70

0,300,600,75

0,000,400,60

0,200,550,75

0,400,650,50

1,000,400,65

0,200,550,75

0,400,650,75

µA µBµc = µA OU µA



Operadores Fuzzy: Produto algébrico

µc = µi

onde µi é a função de pertinência para o i-ésimo mapa

O valor dessa função combinada µ tende a ser muito pequeno, produto de

valores entre 0 e 1. A saída é sempre menor que a menor contribuição.

∏=

n

i 1

1,000,400,65

0,000,550,70

0,300,600,75

0,000,400,60

0,200,550,75

0,400,650,50

0,000,160,39

0,000,300,52

0,120,390,37

µA µB µc



Operadores Fuzzy: Soma algébrica

µc = 1- (1-µi)

Nessa operação o resultado é sempre maior, ou igual, a maior contribuição

do valor de pertinência fuzzy. Duas evidências pesam mais do que cada

uma individualmente. Por exemplo, a soma algébrica fuzzy de (0,75 e 0,50)

é 1 – ( 1-0,75)*(1- 0,50), que é igual a 0,875 .

∏=

n

i 1

0,000,600,35

1,000,450,30

0,700,400,25

1,000,600,40

0,800,450,25

0,600,350,50

0,000,360,14

0,800,200,07

0,420,140,12

1,000,840,86

0,800,790,92

0,580,860,87

1 - µA

1 - µB1 - µA

µc(1 - µi)∏=

2

1i



Exemplo Fuzzy em Legal



Exemplo: Transformação Fuzzy

{//DeclaraçãoNumerico cromo ("Amostras");Numerico cromofuzzy ("Cromo_Fuzzy");

//Instanciaçãocromo = Recupere ( Nome= "Teores_Cromo" );cromofuzzy = Novo (Nome = "Cromo_Fuzzy", ResX=30, ResY=30, Escala=50000, Min=0,

Max=1);//Operação

cromofuzzy = (cromo < 0.20) ? 0 :(cromo > 1.855) ? 1 : 1/(1 + (0.424 * ((cromo - 1.855)^2)));

}

variável = expressao_booleana ? expressao1 : (bool ? Exp1 : exp2) ;

expressao2

expressao1







Suporte à Decisão - Conceitos Básicosè Decidir é escolher entre alternativas.

n Podemos encarar o processo de manipulação de dados num sistema de informação geográfica como uma forma de produzir diferentes hipóteses sobre o tema de estudo.

n O conceito fundamental dos vários modelos de tomada de decisão é o de racionalidade.

Onde è indivíduos e organizações seguem um comportamento de escolha entre alternativas, baseado em critérios objetivos de julgamento, afim de satisfazer um nível pré-estabelecido de aspirações.



Suporte à Decisão - Conceitos Básicos

n Um modelo racional de tomada de decisão preconiza quatro passos:

¨ Definição do problema: formular o problema como uma necessidade de chegar a um novo estado.

¨ Busca de alternativas: estabelecer as diferentes alternativas (aqui consideradas como as diferentes possíveis soluções do problema) e deter minar um critério de avaliação.

¨ Avaliação de alternativas: cada alternativa de resposta é avaliada.

¨ Seleção de alternativas: as possíveis soluções são ordenadas, selecionando-se a mais desejável ou agrupando-se as melhores para uma avaliação posterior.




n Quando temos diferentes fatores que contribuem para a nossa decisão, como fazer para determinar a contribuição relativa de cada um ?

n Thomas Saaty (1978) propôs, uma técnica de escolha baseada na lógica da comparação pareada, denominada Técnica AHP.

n Neste procedimento, os diferentes fatores que influenciam a tomada de decisão são comparados dois-a-dois, e um critério de importância relativa é atribuído ao relacionamento entre estes fatores, conforme uma escala pré-definida.




Escala de Valores AHP para Comparação PareadaEscala de Valores AHP para Comparação Pareada

2,4,6,8 Valores intermediários entre julgamentos - possibilidade de compromissos adicionais.



AHP- Exemplo: Decidir sobre a compra de um SIGDecidir sobre a compra de um SIG

Fatores importantes: Fatores importantes: hardwarehardware, , softwaresoftware, , serviço de vendasserviço de vendas




11/61/8Sistema 3

611/4Sistema 2

841Sistema 1


A matriz apresentada reflete o fato que o Sistema 1 émoderadamente / essencialmente preferido em relação ao Sistema 2, e têm uma importância demonstrada / extremacom relação ao Sistema 3.

Passo 1-Importância relativa dos fatores entre sistemas.

Critérios objetivos

Sistema 1 è Sistema 1 = 1 Sistema 2 è Sistema 3 = 6Sistema 2è Sistema 1 = 1/4 Sistema 3 è Sistema 2 = 1/6Sistema 3è Sistema 1 = 1/8




11/61/8Sistema 3

155,1671,375Total

611/4Sistema 2

841Sistema 1


Passo 2-Normalizar colunas

0,0670,0320,091Sistema 3

0,4000,1940,182Sistema 2

0,5330,7740,727Sistema 1

Hardware



Matriz de Comparação Par-a-Par - Fatores

0,063(0,091+0,032+ 0,067)/3 =Sistema 3

0,259(0,182+0,194+0,400)/3 =Sistema 2

0,678(0,727+ 0,774+0,533)/3 =Sistema 1

Vetor de MédiaCálculo da médiaHardware

Passo 3- Média de cada linha normalizadaØ representa as prioridades para as três opções alternativas, em relação ao fator Hardware (pesos do fator hardware de cada sistema

0,0960,2510,653Serviço de ven.

0,7370,1860,077Software0,0630,2590,678hardware

Sistema 3Sistema 2Sistema 1FatorMatriz de avaliação dos três fatores



Matriz de Comparação de Fatores

11/65Serviço de ven.

7,201,29214Total

618Software1/51/81hardware

Serviço de ven.SoftwarehardwareFator

Passo 4-Importância relativa entre os fatores.

0,1390,1290,357Serviço vendas.

0,8330,7740,571Software

0,0280,0970,072hardwareFator Matriz normalizada



Matriz de Comparação de FatoresPasso 5-

Pesos dos fatores.

Fator Matriz normalizada

0,208(0,357 + 0,129 + 0,139)/3 =Serviço vendas.

0,726(0,57 + 0,774 + 0,833)/3 =Software

0,066(0,072 + 0,097 + 0,028)/3 =hardware

Vetor de MédiaCálculo da pesosFator

0,559(0,066*0,063 + 0,726*0,737 + 0,208*0,096)=Sistema 3

0,204(0,066*0,259 + 0,726*0,186 + 0,208*0,251)=Sistema 2

0,236(0,066*0,678 + 0,726*0,077 + 0,208*0,653)=Sistema 1

O sistema de maior peso, considerando os fatores utilizados, é osistema 3. Então o mais adequado para aquisição



Consistência da seleção realizadaPara aceitar o resultado deste processo, é necessário conhecer se há consistência na comparação pareada realizada. Neste caso oparâmetro para avaliar isto é denominado Razão de consistência

Passo 1: Considere que os critérios atribuídos ao fator Hardware (tabela abaixo) foi justo

11/61/8Sistema 3

611/4Sistema 2

841Sistema 1


0,063Sistema 30,259Sistema 20,678Sistema 1

Vetor de MédiaHardware



Razão de consistênciaPasso 2: Calcula-se o vetor soma ponderada

1,000 4,000 8,000 0,6780,250 1,000 6,000 * 0,2590,125 0,167 1,000 0,063

=

1,000*0,678 + 4,000*0,259 + 8,000*0,063 = 2,218

0,250*0,678 + 1,000*0,259 + 6,000*0,063 = 0,807 0,125*0,678 + 0,167*0,259 + 1,000*0,063 = 0,191

2,218/0,6780,807/0,2590,191/0,063

3,2713,1163,032

=Vetor de consistência =

Passo 3 : Calcula-se o vetor de consistência

Passo 4 : Calcula-se o valor médio do vetor de consistência

µ = (3,0271 + 3,116 + 3,032)/3 = 3,140



Razão de consistênciaA razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é estimada pela expressão: RC = IC/IR

Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice aleatórioconforme tabela abaixo.

RC = IC/IR = 0,070/0,58 = 0,12Segundo o método desenvolvido por ss, o valor de

RC deve ser menor que 0,10 para que a decisão seja consistente

IC = (µ -n) / (n-1) onde n é o numero de fatoresIC = (3,140 –3) / (3-1) = 0,070

1,3271,418

1,1250,904

1,246

0,5830,002IRn





Critério de importância relativa





Vetor de pesos

Calculando-se a Razão de consistência, conforme mostrado anteriormente chega-se : RC = IC/IR = 0,00695/0,58 = 0,012

Como o valor de RC < 0,10 conclui-se que a decisão foi consistente

O mapa final de potencialidade de cromo é obtidoMapa_pot_Cromo =

0,3338*mapa_cromo + 0,0754*mapa_cobalto + 0,5907*mapa_geologia



Passos do AHP

n Passo 1:¨ Comparar os critérios dois-a-dois

n Passo 2:¨ Determinar vetor de consistência dos criterios ¨ Estimar Razão de consistência.

n Consistente se a Razão de consistência tiver probabilidade menor do que 10%

n Passo 3:¨ Produzir os pesos (soma = 1.0) ¨ Fazer uma inferência por média ponderada



n Interface




Abordagem Bayesiana



Abordagem BayesianaPrincipal conceito: Probabilidade a priori e a posteriori

Ocorrência de chuva no dia seguinte dado que a média 80 dias de chuva por ano no local.

¨ probabilidade a priori : P(chuva) = 80/365 Refinamento: dada uma certa época do ano

¨ a posteriori : Fator época do ano (Fépoca do ano)

n P(chuva | época do ano) = P(chuva) * (Fépoca do ano)

¨ Outras evidências: choveu ontem, choveu hoje

¨ P(chuva|evidência) = P(chuva) * (Fépoca do ano) * Fdia anterior * Fdia hoje

1

2

1 pode ser tratado com a priori em relação a 2



Abordagem Bayesiana - Exemplos

Ex. 1 – prospecção mineralAnomalia geoquímica de zinco è > 250 ppm

Prob. A priori > 250 ppmFatores (a posteriori)Mapa geológico

rocha A e B è favorávelrocha C e D è desfavorável

Intensidade de assinatura geofísicaTipo de vegetaçãoBaseado em conhecimento (Especialista pondera as evidências)Baseado em dados (dados históricos suficientes)

Ex. 2 – diagnostico médicoCombinação de sintomas clínicos

Ex. 2 – Distribuição espacial de epicentros sísmicos.Combinação




1- Considere o problema de se encontrar depósitos de um determinado mineral em uma região que possui uma área de 10.000 km2, e que já tenham sido identificados 200 depósitos nesta região.

2- A area foi dividida em celulas de 1 km2 e ocorre somente 1 deposito em cada celula.

Notação è N{} = contagem de unidadesN{R} = 10.000 unidades de áreaN{D} = 200 depósitos conhecidos

com área de 1 km2.Densidade de depositosN{D}/N{R} = 200/10000=0.02

probabilidade a priori P{D} = N{D}/N{R} = 0.02

R

A




Nova evidencia:Observou-se em mapa de anomalia magnética da região, que 180

dos 200 depósitos conhecidos ocorreram dentro da área de anomalia.

P{D / A} > 0.02 P{D / A} < 0.02

Dado esta evidência, a probabilidade pode ser expressa por:

R

A

RA

DR ∩ A

A ∩ D

A ∩ D

D ∩ A



Técnica Bayesiana

P{D / A}é a probabilidade condicional de um deposito ‘D’ dado que a

célula está dentro da área de anomalia ‘A’.

RA

DR ∩ A

A ∩ D

A ∩ D

D ∩ A

P{D∩A} = N{D∩A} / N{R}é a proporção da área total

onde ocorre simultaneamente deposito e anomalia.

P{A} = N{A} / N{R}



Técnica Bayesiana RA

DR ∩ A

A ∩ D

A ∩ D

D ∩ AP{D / A} = 180 / 3600 = 0,05

P{D} = 0.02P{D / A} = 2,5 vezes maior que P{D}

N{R} (10000)N{A} (6400)N{A} (3600)

D (9800)N{D∩A} (1)N{D∩A} (3420)Não Depósito (D)

D (200)N{D∩A} (20)N{D∩A} (180)Depósito (D)

Não Anomalia (A)Anomalia (A)

Usando-se esta evidência, a exploração de novos depósitos do mesmo tipo, será muito mais eficiente e com uma área de pesquisa reduzida de 10.000 km2 para 3.600 km2 .



Técnica Bayesiana

P (posteriori) = P(priori) * (Fevidência)

Pode-se expressar P{ D / A} em termos da P(priori) mais fator multiplicativo.

Qual a probabilidade de uma célula estar na região de anomalia ‘A’, dado que esta célula contém um deposito?

P{A / D} = 180/200=0.9

Dado que: P{A∩D} = P{D∩A}

Probabilidade a posteriori de um depósito, dado que a célula esta na área de anomalia

P(priori) * (Fatorevidência)



Técnica Bayesiana

P{A / D} = 180/200=0.9

P{D / A} = 0,02 * 2,5 = 0,05

0,9/0,36 = 2,5 è fator multiplicativo

P{A} = N{A} / N{R} = 3600 / 10000 = 0,36

A presença de anomalia magnética, faz com que a probabilidade de deposito seja 2.5 vezes maior do que a probabilidade a priori.



Técnica Bayesiana

Probabilidade a posteriori da ocorrência de um deposito, dada a ausência da anomalia.

P{A} = (10000-3600)/10000=0.64

P{A / D} = 20/200=0.1

= 0,1/0,64 = 0,15625 è

A probabilidade a posteriori da ocorrência de depósitos em posições onde não há anomalia magnética é 0.15625 vezes menor do que a probabilidade a priori.

P{D / A} = 0.2*0.15625 = 0.003125

Baseado em uma única fonte de evidência, podemos reduzir a área de pesquisa de 10.000 km2 para 3600 km2, porque a chance de se encontrar depósito onde não há anomalia é significativamente menor (50 vezes) do que onde há anomalia.



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