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Física 1

Mecânica

Sandra Amato

Instituto de Física - UFRJ

Produto Vetorial

Torque e momento Angular de Uma Partícula

(Rotação de uma partícula) Física 1 1 / 32

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Outline

1 Produto Vetorial

2 Momento Linear

3 Torque e Momento Angular

4 Torque

5 Momento Angular


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Produto Vetorial

Dados dois vetores A e B , o produto vetorial entre eles é

definido como o vetor

C A B

seu módulo é C A B sen

sua direção é perpendicular ao plano formado por A e B

seu sentido é dado pela regra da mão direita.


→ → →

→

.

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Propriedades do Produto Vetorial

seu módulo A B sen representa a área do paralelogramo

definido por A e B

A B B A ‹ não é comutativo.

Se A e B são paralelos ( 0 ou 180 ) ‹ A B 0

consequentemente A A 0

Obedece a propriedade distributiva:

A B C A B A C

tomando o cuidado de preservar a ordem entre A e B :

d

dtA B A

dB

dt

dA

dtB


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Propriedades do Produto Vetorial

k k 0

k

k k

k k

Se temos as componentes dos vetores

A Ax Ay Azk e B Bx By Bzk

A B AyBz AzBy AxBz AzBx AxBy AyBx k


.

^

^

: ^

→ -

n ^ ^

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Exercícios

Calcule o produto vetorial a b entre os vetores a e b onde

1 a 3 k e b 6 2 2 k ;

2 a é o vetor que liga os pontos O e B, e b é o vetor que liga

os pontos A e B do cubo de aresta 1 m da figura.


O

AB

Cath

RikaBad

7/ 32(Rotação de uma partícula) Física 1 7 / 32

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Exercícios

1 Mostre que o módulo do produto triplo

a b c

é o volume do paralelepípedo cujos lados são definidos pelos

vetores a , b e c .

2 Calcule a área da superfície deste paralelepípedo.

3 Considere a , b e c 2 k . Calcule a área

da superfície e o volume do paralelepípedo definido por estes

vetores. Considere as unidades dadas no S.I.


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Momento Linear

O Momento Linear (p) de uma partícula é definido por:

p m v

Podemos expressar a Segunda Lei de Newton para uma

partícula em termos de p:

F m a mdv

dt

d mv

dt

dp

dt


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Momento Linear

Segunda Lei de Newton

Fdp

dtcom p m v

A Resultante das Forças que atuam sobre uma partícula é igual à

taxa de variação do momento linear

grandeza cinemática na translação ‹ Momento Linear

grandeza dinâmica na translação ‹ Força

E na rotação?


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Partindo da Segunda Lei de Newton:

Fdp

dtr F r

dp

dt

notando que:

d r p

dtr

dp

dt

dr

dt

v mv 0

p

r Fd r p

dt

o

dlo

dt

onde o r F é o torque de uma força e

lo r p é o momento angular de uma partícula

ambos em relação a o ‹ dependem do ponto o


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Torque

Torque ou Momento da Força

O r F r F sen

Unidade no S.I. é N.m (é a mesma unidade de trabalho, mas

NÃO é Joule)

O é o torque da força em

relação ao ponto O . Ele muda

se o ponto O mudar.


Direção a r e F Sentido regra da mão direita

(nor dnlo

-

↳→ -

...g.

* qq.t.gg

Baghdad. snap

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Torque

O Torque pode ser visto de duas formas:

F sen r

F r : Somente a componente de F perpendicular à r causa

rotação. A componente só causará uma tensão ou compressão

F r : r é chamado de braço de alavanca da força. Quanto

maior o braço, mais eficaz é a força para produzir rotação

(maçaneta da porta).


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Vetor Torque

r F

O torque é um vetor com direção perpendicular ao plano de

rotação (ou paralela ao eixo de rotação) e sentido dado pela regra

da mão direita.


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Torque Resultante

Se mais de uma força produzir torque sobre um objeto, o torque

resultante será a soma vetorial de cada um deles:

O F1 d1 F2 d2


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Exemplo

Calcule o Torque resultante sobre o cilindro, supondo

F1 5 N ,R1 1 m , F2 15 N , R2 0 5 m . Em que sentido o

cilindro gira?


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Forças Centrais

Um caso particular importante é o de forças centrais.

Se considerarmos o Torque das forças em relação ao ponto O ,

teremos sempre F r ‹O torque de forças centrais em relação ao centro é nulo

Mas relação a O não será.


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Ex: Pêndulo

Uma bola de massa m 0 75 kg está presa a uma das

extremidades de um fio leve de comprimento L 1 25 m. A

outra extremidade do fio está presa a um eixo formando um

pêndulo. Determine o módulo do torque sobre o eixo quando o

fio faz um ângulo de 30 com a vertical.


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Momento Angular de uma partícula

lo r p m r v

lo é um vetor de

módulo: r p sen

que pode ser visto como:

r p ou r p

direção: a r e v

sentido: regra da mão direita

Note que não é necessário que

haja rotação para definirmos lo


SI: kg m / s2

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Conservação do Momento Angular

o

dlo

dt

O torque resultante que age sobre uma partícula é a taxa de

variação com o tempo do momento angular

Atenção: Os dois devem ser definidos em relação à mesma

origem.

Consequência: Se o 0 ‹ lo se conserva !!!!

Como é vetor, significa que se conserva em módulo, direção e

sentido.


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Exemplo: Forças Centrais

Vimos que se a resultante das Forças que atuam sobre um objeto

é central, o Torque em relação ao centro é nulo, pois r F e

r F :

Consequência: O momento Angular em relação ao centro

se conserva ‹ O movimento é plano.


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Gravitação

A observação do céu e a tentativa de entender o movimento doscorpos celestes é uma das atividades mais antigas da humanidade.

Ptolomeu - 200 AC - órbitascirculares em torno da TerraCopérnico - 1543 - modeloheliocêntricoTycho Brahe - 1546-1601 - Tomoudados extremamente precisosKepler - 1618 - Três Leis de Keplercom base nos dados de BraheGalileo - 1609 - Usou o telescópio,observou 4 satélites de JúpiterNewton - 1687 - Lei da GravitaçãoUniversal

(Vetores) Física 1 3 / 33

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Leis de Kepler

Primeira Lei de KeplerAs órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são elipses,com o Sol em um dos focos.


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Elipse

Uma elipse é o conjunto depontos cujas somas dasdistâncias desses pontos aosfocos é constante.

Sendo a o semieixo maior e c a semidistância focal, definimos aexcentricidade

eca

Se e 0 ‹ círculo.Quanto maior e mais achatada é a elipse.


c< >

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Sistema Solar

Planeta Semieixo Período e Inclinaçãomaior (UA) (anos) ( )

Mercúrio 0,39 0,24 0,21 7,00Vênus 0,72 0,62 0,01 3,39Terra 1,00 1,00 0,02 0,00Marte 2,77 1,88 0,09 1,85Júpiter 5,20 11,86 0,05 1,30Saturno 9,54 29,46 0,06 2,49Urano 19,19 84,07 0,05 0,77Netuno 30,06 164,80 0,01 1,77Plutão 39,60 248,60 0,25 17,15

1UA 1 5 1011m 1 5 108km 4000 Distancia Terra Lua

Distância Terra-Lua: 384.400 km(Vetores) Física 1 6 / 33

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Leis de Kepler

Segunda Lei de KeplerO raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais emtempos iguais

Isto significa que quando está na posição mais próxima do Sol(periélio) o planeta se desloca mais rapidamente do que quandoestá na posição mais afastada (afélio)


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A 2a Lei de Kepler e a Cons. do Momento Angular

A Força Gravitacional é uma força central, portanto:

l Mpr v constanteLembrando que r dr é a área do paralelogramo formado peloslados r e dr e observando que a área dA varrida pelo vetor r émetade da do paralelogramo:

dA12

r dr12

r vdtL

2Mpdt

dAdt

L2Mp

constante(Vetores) Física 1 15 / 33

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Exemplos

Qual o momento angular desses dois objetos em relação ao ponto

O?



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Exemplos

Uma partícula de massa m 2 kg, tem vetor posição de módulo

3m e velocidade de módulo v 4 m/s. Sobre ele atua uma força

F de módulo 2N. Quais são, em relação ao ponto O :

a) o momento angular da partícula

b) o torque exercido sobre ela



m = 2kg 15>1 = 3m IT 1=4 wls 1 El = IN^

I>

= m 5'

× T'

= 2×3×4 sen 30 = 12 kg nits k

E÷ = T ×

E'

= 3×2 sent = 3 Nm £

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Exercícios

O vetor posição de uma partícula de massa 2 kg em relação a um

observador inercial fixo num ponto O é dado por

r 2 t2

t t4k , onde todas as unidades empregadas estão

no S.I. (a) Qual é a força resultante que age sobre esta partícula?

(b) Qual é o torque desta força em relação a O? (c) Qual é o

momento angular desta partícula em relação a O? (d) Verifique

se a segunda lei de Newton para as rotações é válida neste caso.



m = 2kgI = 2+2 : +tj+t' ti

T'

=4ti+ij+4t3k

Fi = 4i + r2t2£

a) F= mop =

8 a +24 ttk

b) 8=5 '×F=|iJM,

)= 2gpa+(ptIYJ- 8th

Its t t-

40198 O 24£

e) I'

. ist'

= a j k

|zt2t ts,|=6t'i - 8Ej -

4£21

8 t 2 8 t

d) dµ¥= 24 Ei- Got 'j -

8th

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Exercícios

Um projétil de massa m é lançado com uma velocidade vi que

faz um ângulo com a direção horizontal. Tomando como origem

do sistema de coordenadas o ponto de lançamento O , calcule o

momento angular do projétil em relação a O como função do

tempo. Calcule o torque da força resultante sobre este corpo em

relação ao mesmo ponto, e verifique se

dL0

dt0



a) I'

. = m I × ii

ii = ( v. corot ) i + ( v. snot -

ztg E) jI

'

= Hcore ) i + ( t.su - gt ) f

I × I = Kimmocorot - v. who gt'

) li - ( ii sue corot -

mix ii = -ms gEu

.ww Is at g

a v. wo ) ti

b) E'

= I ×F

'

F= - mg IZ = - mg v. corot K

7

e) of = - m gt v. cow kdt

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Desafio

Um pêndulo cônico é constituído por uma bola de massa m presa

à extremidade de um fio de comprimento d , amarrado a um

suporte fixo no laboratório. O pêndulo gira com velocidade

constante, com o fio fazendo um ângulo constante com a

vertical. Qual é o momento angular L0 da bola em relação ao

ponto de sustentação O? Mostre diretamente que a taxa de

variação de L0 em relação ao tempo é medida pelo torque em

relação a O das forças que agem sobre a bola.


gets[ = mw Roe cos x I +

mw r2 £

^

z

"i


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Desafio

Um objeto espacial, A, de massa m , aproxima-se de uma estrela

B que permanece fixa. Inicialmente, quando A está muito

distante de B (r ), A tem velocidade de módulo v0 dirigida

ao longo da linha mostrada na figura. A distância entre esta

linha e B é D . O objeto A desvia-se de sua trajetória inicial

devido à presença de B, e move-se segundo a trajetória indicada

na figura. A menor distância entre esta trajetória e B é d .

Deduza a massa de B em termos das quantidades dadas e da

constante G da gravitação.


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