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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROINSTITUTO DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM ADMINISTRAÇÃO
COPPEAD/UFRJ
ESTRATÉGIAS DE INVESTIMENTO EM POSIÇÕES DELTA-NEUTRAS:UMA ANÁLISE BASEADA NA AUTO-CORRELAÇÃO TEMPORAL
ALAN FUCHS
MESTRADO EM ADMINISTRAÇÃO
ORIENTADOR: PROF. EDUARDO FACÓ LEMGRUBER
RIO DE JANEIRO – RJ – BRASILAGOSTO DE 2001
ii
ESTRATÉGIAS DE INVESTIMENTO EM POSIÇÕES DELTA-NEUTRAS:UMA ANÁLISE BASEADA NA AUTO-CORRELAÇÃO TEMPORAL
ALAN FUCHS
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO DE PÓS-GRADUAÇÃO EPESQUISA EM ADMINISTRAÇÃO DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DEJANEIRO – COPPEAD/UFRJ COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS ÀOBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M. Sc.) EM ADMINISTRAÇÃO
APROVADA POR:
Prof. Eduardo Facó Lembruber, Ph.D.
Prof. Eduardo Saliby, Ph.D.
Dr. Franklin O. Gonçalves, Ph.D.
RIO DE JANEIRO – RJ – BRASILAGOSTO DE 2001
iii
FICHA CATALOGRÁFICA
FUCHS, AlanEstratégias de Investimento em Posições Delta-Neutras:
Uma Análise Baseada na Auto-Correlação Temporal /Alan Fuchs. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2001.
x, 79p. il.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio deJaneiro, COPPEAD, 2001. Orientador: Eduardo FacóLemgruber
1. Eficiência. 2. Opções 3. Tese (Mestr. –UFRJ/COPPEAD) 4. Eduardo Facó Lemgruber.I. Título
iv
AGRADECIMENTOS
À minha querida esposa Gabriela pelo apoio, amor e incentivos constantes dados ao longo daelaboração deste trabalho;
aos meus pais, que com amor e dedicação me educaram para vencer os desafios da vida;
ao orientador, Prof. Eduardo Facó Lemgruber pela pronta ajuda sempre que solicitado;
aos membros da banca, Prof. Eduardo Saliby e Dr. Franklin O. Gonçalves.
v
RESUMO
FUCHS, Alan. Estratégias de Investimento em Posições Delta-Neutras: Uma AnáliseBaseada na Auto-Correlação Temporal. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio deJaneiro: UFRJ/COPPEAD, 2001. Dissertação (Mestrado em Administração)
Esta pesquisa propõe um teste de eficiência para o mercado brasileiro de opções no
período compreendido entre janeiro de 1997 e maio de 2000. Partindo-se da hipótese de que
as auto-correlações temporais de ordem 1 dos quadrados dos retornos não são iguais quando
calculadas nos dias de retornos negativos e positivos, estratégias de investimento são
construídas objetivando-se ganhos sistemáticos provenientes da formação de portfólios delta-
-neutros, comprados ou vendidos em volatilidade sobre Telebrás PN. Os resultados indicam
que o mercado não consegue valorar de maneira adequada a volatilidade implícita das opções
quando um alto retorno, positivo ou negativo é verificado em determinado pregão. Esta
conclusão é formulada tendo em vista os excessos médios de retorno sobre o CDI obtidos
mediante a manutenção dos portfólios por 1 dia. Os resultados permanecem igualmente
válidos quando custos de transação são considerados.
vi
ABSTRACT
FUCHS, Alan. Estratégias de Investimento em Posições Delta-Neutras: Uma AnáliseBaseada na Auto-Correlação Temporal. Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio deJaneiro: UFRJ/COPPEAD, 2001. Dissertação (Mestrado em Administração)
This research proposes a test of efficiency for the brazilian options market during the
period between January 1997 and May 2000. From the hypothesis that the squared returns
first order temporal autocorrelations are not the same when calculated at the negative and
positive returns days, investment strategies are built with the objective of obtaining
systematic gains derived from the delta-neutral portfolios, buying or selling volatility of
Telebrás PN. The results indicate that the market is not capable of properly value the options
implicit volatility when a high return, positive or negative is observed in itself. This
conclusion is formulated once the medium return excess over the CDI (interbank interest
rates) are verified when the portfolios are sustained for 1 day. The results are still valid when
transaction costs are considered.
vii
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 2.1 - Retornos Diários Telebrás PN Ajustados para Dividendos nos Anos de 1995 e 1996. Exemplos de Clusters de Volatilidade 23
Gráfico 3.1 - Normal 1 x Normal 2 x Mistura de Normais 29
Gráfico 3.2 - Normal (0,1) e Mistura de Normais (0,1) Gerada pelas Normais Apresentadas no Gráfico 3.1 30
Gráfico 4.1. a) Portfólio Delta-Neutro Comprado em Volatilidade 36Gráfico 4.1. b) Portfólio Delta-Neutro Vendido em Volatilidade 36
Gráfico 7.1 - Comparação da Distribuição Empírica dos Retornos Diários de Telebrás PN (1995 e 1996) e sua Modelagem pelas Distribuições Normais e Mistura de 2 Normais 62
viii
LISTA DE TABELAS
Tabela 1.1 - Fontes de Referências Bibliográficas 18
Tabela 6.1 - Valores da Função de Verossimilhança para Combinações dos Parâmetros u e v 51
Tabela 6.2 - Desvios-padrão das Variações das Volatilidades Implícitas e suas Correlações com os Retornos Diários de Telebrás PN. Valores Históricos Separados para os Grupos dos Retornos Positivos e Negativos 52
Tabela 7.1 - Resultados dos Testes Paramétricos das Estratégias de Venda e Compra de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégias 1 e 2) Sem Custo de Corretagem 65
Tabela 7.2 - Resultados dos Testes Paramétricos da Estratégia de Venda de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 1) Sem Custo de Corretagem 65
Tabela 7.3 - Resultados dos Testes Paramétricos da Estratégia de Compra de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 2) Sem Custo de Corretagem 65
Tabela 7.4 - Resultados dos Testes Paramétricos das Estratégias de Venda e Compra de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégias 1 e 2) Com Custo de Corretagem 66
Tabela 7.5 - Resultados dos Testes Paramétricos da Estratégia de Venda de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 1) Com Custo de Corretagem 66
Tabela 7.6 - Resultados dos Testes Paramétricos da Estratégia de Compra de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 2) Com Custo de Corretagem 66
Tabela 7.7 - Resultados dos Testes Não Paramétricos das Estratégias de Venda e Compra de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégias 1 e 2) Sem Custo de Corretagem 67
Tabela 7.8 - Resultados dos Testes Não Paramétricos da Estratégia de Venda de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 1) Sem Custo de Corretagem 67
Tabela 7.9 - Resultados dos Testes Não Paramétricos da Estratégia de Compra de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 2) Sem Custo de Corretagem 67
Tabela 7.10 - Resultados dos Testes Não Paramétricos das Estratégias de Venda e Compra de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégias 1 e 2) Com Custo de Corretagem 68
ix
Tabela 7.11 - Resultados dos Testes Não Paramétricos da Estratégia de Venda de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 1) Com Custo de Corretagem 68
Tabela 7.12 - Resultados dos Testes Não Paramétricos da Estratégia de Compra de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 2) Com Custo de Corretagem 68
Tabela 7.13 - Número de Operações de Investimento Realizadas entre 02/01/1997 e 22/05/2000 Através da Implementação em Conjunto das Estratégias de Venda e Compra de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégias 1 e 2) 69
Tabela 7.14 - Número de Operações de Investimento Realizadas entre 02/01/1997 e 22/05/2000 Através da Implementação da Estratégia de Venda de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 1) 69
Tabela 7.15 - Número de Operações de Investimento Realizadas entre 02/01/1997 e 22/05/2000 Através da Implementação da Estratégia de Compra de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 2) 70
Tabela 7.16 - Número de Médias e Medianas, para Cada uma das Tabelas de Resultados, com P-values Inferiores a 0,025, 0,05 e 0,1 71
x
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 1
CAPÍTULO 1 – Revisão Bibliográfica 31.1 – Introdução 31.2 – A Eficiência do Mercado de Opções 31.3 – O Mercado Brasileiro 61.4 – O Mercado Norte-Americano 91.5 – Conclusões 161.6 – As Estratégias de Investimento 17
CAPÍTULO 2 – A Auto-Correlação Temporal dos Retornos do Quadrados 19
CAPÍTULO 3 – A Mistura de Normais para a Determinação dos Altos Retornos 27
CAPÍTULO 4 - A Formação de Portfólios Delta-neutros e o Cálculo de seu VaR 334.1 – Os Portfólios Delta-Neutros 334.2 – VaR para Portfólios Delta-Neutros 37
CAPÍTULO 5 – Características da Amostra 46
CAPÍTULO 6 – Metodologia 486.1 – Introdução 486.2 – As Estratégias de Investimento 496.3 – A Determinação dos Altos e Baixos Retornos 506.4 – Montante Investido 516.5 – Rentabilidade das Operações 536.6 – Lucratividade das Estratégias 55
CAPÍTULO 7 – Resultados 597.1 – Introdução 597.2 – A Auto-correlação Temporal dos Retornos ao Quadrado 597.3 – A Adequabilidade da Função Mistura de Normais 617.4 – Teste de Acurácia do Modelo de VaR 637.5 – Resultados das Estratégias de Investimento 63
CAPÍTULO 8 – Conclusões 75
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 77
Introdução
A expressão algébrica do conhecido modelo de apreçamento de opções de Black &
Scholes (1973) apresenta como argumentos o preço do ativo-objeto, o preço de exercício e
o prazo de vencimento da opção, a taxa de juros livre de risco e a volatilidade futura
estimada para o ativo-objeto. Com exceção desta última variável, todos os outros
parâmetros podem ser facilmente observados no mercado.
Diversos estudos foram realizados com o objetivo de se testar a eficiência do
mercado de opções. Estas pesquisas procuram avaliar a consistência do valor da
volatilidade implícita das opções negociadas no mercado com o citado modelo de
apreçamento de Black & Scholes (1973). Para isso, são desenvolvidos testes estatísticos
que verificam a ocorrência de ganhos sistemáticos provenientes de operações baseadas em
portfólios “hedging”.
O presente estudo tem como principal objetivo verificar a existência de possíveis
ganhos sistemáticos provenientes de operações de investimento baseadas em portfólios
delta-neutros, comprados ou vendidos em volatilidade, sobre Telebrás PN. Através de uma
análise efetuada no período compreendido entre janeiro de 1997 e maio de 2000, tenta-se
corroborar a hipótese de que o mercado não consegue valorar de maneira adequada a
volatilidade implícita para o dia seguinte a um pregão no qual é observado um alto retorno.
O teste de eficiência é construído mediante a implementação de estratégias de
investimentos baseadas na suposição de que a auto-correlação temporal de ordem 1 dos
retornos ao quadrado de Telebrás PN é positiva para os dias de retorno negativo e próxima
de zero nos dias de retorno positivo. Assim, a probabilidade de se observar um alto retorno
(positivo ou negativo) após um dia de alto retorno negativo é mais alta se comparada à
mesma probabilidade para um dia não precedido por um alto retorno. Por sua vez, quando
é observado no mercado um alto retorno positivo, nada se pode afirmar acerca das chances
de ocorrência de um alto retorno no dia subseqüente.
2
A dissertação é desenvolvida em 8 capítulos. No primeiro é realizada uma revisão
bibliográfica dos principais trabalhos sobre a eficiência do mercado de opções aplicada aos
mercados brasileiro e norte-americano.
No segundo capítulo são discutidas questões referentes à auto-correlação temporal
dos retornos ao quadrado bem como sua utilização para o desenvolvimento das estratégias
de investimento construídas para se testar a eficiência do mercado de opções.
No terceiro capítulo é desenvolvida uma metodologia para a determinação dos altos
retornos baseada na utilização da função de probabilidade gerada a partir da mistura de
duas distribuições normais. A determinação dos altos retornos é de fundamental
importância para a implementação das operações de investimento.
O quarto capítulo apresenta as principais características dos portfólios delta-neutros
formados bem como um modelo de risco (VaR) sobre estas posições. O desenvolvimento
deste modelo ganha importância na medida que, através dele, é determinado o montante a
ser investido nos dias de alto retorno.
As características da amostra de dados utilizada para a construção dos testes
estatísticos são apresentadas no quinto capítulo. No sexto, é desenvolvida a metodologia
que dá suporte à formulação das operações de investimento. No sétimo capítulo são
expostos os resultados do trabalho para que finalmente, no oitavo, sejam apresentadas as
conclusões da pesquisa.
3
Capítulo 1 - Revisão Bibliográfica
1.1 - Introdução
Este capítulo tem como objetivo apresentar os trabalhos e artigos utilizados como
fontes de referência bibliográfica do presente estudo. A seção 1.2 faz uma introdução aos
conceitos e premissas geralmente adotados nos modelos de apreçamento de opções,
abordando, por fim, os aspectos teóricos básicos referentes ao estudo da eficiência do
mercado de opções.
Nas seções 1.3 e 1.4, são apresentados os trabalhos específicos que estudam a
eficiência do mercado de opções aplicada aos mercados brasileiro e norte-americano,
respectivamente. A seção 1.5 busca fazer uma síntese dos trabalhos citados, apresentando,
ao final, a motivação básica desta pesquisa.
A seção 1.6 tem a função de apenas citar os trabalhos que servem de referência ao
desenvolvimento dos argumentos e ferramentas que dão suporte à construção das
estratégias de investimento propostas por este estudo. Uma revisão bibliográfica específica
é realizada em cada um dos capítulos subseqüentes da dissertação.
1.2 – A Eficiência do Mercado de Opções
Diversos estudos na área de finanças vêm sendo realizados com o objetivo de se
verificar a possibilidade de geração de lucros econômicos sistemáticos através da adoção
de regras específicas de investimento em produtos derivativos. O lucro econômico deve ser
entendido como o retorno excessivo do investimento livre de despesas de negociação
associado ao seu nível de risco.
De acordo com a hipótese fraca de eficiência de mercado sugerida por Fama
(1970), os preços das ações devem refletir toda a informação que possa estar contida no
passado histórico dos ativos. Desta forma, nenhum tipo de informação passada observada
nos preços poderia gerar lucros consistentes através da implementação sistemática de
determinada estratégia de investimento.
4
O objetivo deste estudo é, justamente, estender o raciocínio acima para um portfólio
composto por opções. Assim, toda informação passada deveria estar plenamente refletida
nos preços das opções, evitando, desta forma, ganhos sistemáticos com a formação de
carteiras compostas por estes derivativos. Para a análise da questão, atenção especial deve
ser dada ao modelo de apreçamento de opções amplamente utilizado pelo mercado e
desenvolvido originalmente por Fischer Black e Myron Scholes.
Em seu artigo, Black & Scholes (1973) afirmam que, estando as opções
corretamente precificadas pelo mercado, não seria possível auferir, com pleno grau de
certeza, lucros através da formação de portfólios em posições compradas ou vendidas e
seus respectivos ativos.
Ao derivar a fórmula do preço das opções, os autores pressupõem algumas
condições ideais para a ação-objeto e para a opção: a) taxa de juros de curto prazo
conhecida e constante ao longo do tempo; b) os preços das ações seguem uma distribuição
log-normal e a variância dos retornos é constante; c) a ação não paga dividendos ou
qualquer distribuição; d) a ação é do tipo européia; e) não existem custos de transação para
a ação e para a opção; f) é permitido tomar dinheiro a taxa de curto prazo para compra de
qualquer fração do ativo; g) não existem penalidade para vendas a descoberto.
De acordo com estas premissas, o valor das opções dependem apenas dos preços
das ações, do tempo de vencimento e das variáveis consideradas constantes, como a taxa
de juros livre de risco, o preço de exercício da opção e a volatilidade do ativo-objeto. Na
realidade, aperfeiçoamentos posteriores foram feitos ao modelo, adaptando-os, desta
maneira, à realidade de mercado1.
De todas as premissas adotadas originalmente pelo modelo, deve-se dar maior
atenção à questão da variância constante ao longo do tempo. Taylor (1986) conclui em
1 Os modelos posteriores derivados da fórmula original de Black e Scholes incluem, por exemplo, opagamento de dividendos. Além disto, incluem, também, as opções americanas na análise.
5
seus estudos que o comportamento estocástico da volatilidade do ativo-objeto deve ser
levado em conta em um modelo de apreçamento de opções. “Ignorar possíveis mudanças
futuras na volatilidade pode resultar em um sério valor incorreto para a opção.” (Taylor,
1986, p. 233).
Alguns modelos de apreçamento de opções foram posteriormente desenvolvidos
procurando captar mudanças na volatilidade do ativo além de incorporar tendências nos
preços das ações. Estes modelos, no entanto, ganharam pouca popularidade, sendo,
portanto, pouco utilizados pelo mercado.
Segundo Taylor (1986), é bastante provável que a variância estimada através de
modelos econométricos possa ser mais próxima da variância verdadeira se comparada às
estimativas de mercado. Com isso, deve-se considerar a possibilidade de que ganhos
econômicos sistemáticos surjam com a negociação de opções.
Desta forma, supondo que o modelo de apreçamento de opções de Black & Scholes
está correto e que apenas a volatilidade do ativo-objeto não pode ser diretamente observada
pelos agentes de mercado, então, a única possível explicação para possíveis ineficiências
está associada ao fato de que seria possível construir modelos específicos que consigam
estimar ou prever, de forma mais eficiente do que o mercado, o comportamento futuro da
volatilidade dos ativos. A estimativa do mercado para a volatilidade futura do ativo é
refletida através da volatilidade implícita das opções2.
Como já mencionado, a ineficiência pode ser caracterizada quando ganhos
sistemáticos são obtidos para dado nível de risco. De acordo com o modelo de Black &
Scholes, quando portfólios “hedging” são construídos, para pequenas variações do ativo-
objeto seu valor não se altera. Portanto, o risco de mercado nesta situação não existiria,
fazendo com que o ganho justo esperado se igualasse à taxa livre de risco. Caso uma
estratégia de investimento em portfólios “hedging” seja adotada e o ganho sistemático
2 A volatilidade implícita é aquela que faz com que o preço das opções derivado do modelo de Black &Scholes se iguale ao preço observado no mercado.
6
apurado aparente ser maior do que a taxa livre de risco, então seria possível rejeitar a
hipótese de mercado eficiente.
A maior parte dos trabalhos relacionados ao tema busca, justamente através da
formação de portfólios “hedging” e de um modelo de previsão para a volatilidade futura do
ativo, encontrar ganhos sistemáticos anormais, tentando, assim, caracterizar a ineficiência
de mercado.
1.3 – O Mercado Brasileiro
Alguns estudos voltados para o mercado brasileiro buscam avaliar as possibilidades
de geração de lucros econômicos através de negócios com opções. Torna-se importante
mencionar que estes trabalhos, de alguma forma, procuram criar metodologias que têm
como objetivo averiguar as possíveis diferenças entre os preços derivados do modelo de
Black & Scholes associado a uma estimativa de volatilidade histórica para a ação e os
preços de mercado das opções. Baseadas nestas avaliações, as estratégias de compra e
venda dos derivativos são efetuadas.
Becker e Lemgruber (1989) testam em seu artigo a eficiência do mercado brasileiro
de opções, usando, para isso, o modelo de Black & Scholes aplicado a diversas estratégias
predeterminadas de investimento. O objetivo é verificar os possíveis ganhos de arbitragem
com operações baseadas em portfólios “hedging”. As evidências são obtidas através da
série de preços de opções de compra e das ações correspondentes das empresas
Paranapanema, Petrobrás e Sharp durante o período de 9 meses após fevereiro de 19863.
Dentre as várias estratégias sugeridas, deve-se dar atenção especial à operação de
compra de um portfólio “hedging” e o subseqüente fechamento da posição no dia seguinte.
Os portfólios são estruturados da seguinte forma: usando a fórmula de Black & Scholes, os
preços das opções são calculados com base nas volatilidades dos respectivos ativos-objeto
dos últimos 26 pregões e nos demais parâmetros observados no dia. Supondo que o preço
3 Período de vigência do Plano Cruzado.
7
calculado desta forma está correto, opções subavaliadas pelo mercado são compradas e as
superavaliadas vendidas. Neste mesmo instante, as ações correspondentes são vendidas ou
compradas na proporção correta para a formação do “hedge”.
Para este tipo de estratégia, os resultados indicam que os lucros não foram
diferentes de zero. Quando os custos de transação são considerados, prejuízos
significativos são observados.
Além desta estratégia, outras operações, tais como a manutenção do portfólio por
uma semana e/ou até o vencimento com e sem ajustes de “hedge” diários, são testadas.
Posições apenas nas “calls” com manutenção por 1 dia, por uma semana e até o
vencimento são igualmente avaliadas.
De forma geral, o estudo conclui que o mercado é eficiente, e, para as diversas
estratégias de negociação, os lucros somente foram obtidos antes de serem considerados os
custos de transação. Apenas na operação de posição a descoberto para opções de compra
com manutenção até o vencimento, lucros bastante elevados, após os custos de transação,
foram obtidos. Entretanto, cabe ressaltar que este tipo de estratégia é bastante arriscada,
uma vez que não envolve portfólios com a ação-objeto. Além disto, seus resultados advém
da baixa do mercado observada durante grande parte do período em análise. Caso o
mercado tivesse se comportado de maneira inversa, conseqüentes prejuízos seriam
constatados.
Ramos (1998) analisa em seu trabalho a eficiência do mercado brasileiro de opções
para o período posterior à implantação do Plano Real. O estudo baseia-se em uma amostra
de opções de compra de Telebrás para 14 vencimentos sucessivos, verificando, então, a
possibilidade de ganhos de arbitragem em posições “hedging”.
A metodologia aplicada à pesquisa sugere a formação de portfólios “hedging” no
29º dia útil anterior ao vencimento das opções com rebalanceamento diário, mantendo a
posição delta-neutra até a véspera do vencimento, quando, finalmente, a posição é zerada.
A adoção desta estratégia não implica em posições completamente neutras já que os
8
portfólios são ajustados pela taxa de “hedge” apenas uma vez ao dia e não a cada mudança
de preço do ativo-objeto.
Assim como no estudo de Becker e Lemgruber, Ramos avalia as possibilidades de
realização de arbitragem, optando por posições compradas ou vendidas, através da
associação do modelo de Black & Scholes a um procedimento de estimação para a
volatilidade histórica do ativo. Uma vez calculado o preço justo pelo modelo, uma
comparação posterior com os preços de mercado das opções é realizada. Opções
subavaliadas são compradas e as superavaliadas vendidas, além das respectivas vendas a
descoberto e compras da ação na proporção indicada para o “hedge” do portfólio. O estudo
também procura testar os ganhos de arbitragem através do método de estimação para a
volatilidade futura baseado em uma média das volatilidades implícitas ponderada por seus
respectivos gamas.
O trabalho conclui que os ganhos de arbitragem destacados por Becker e
Lemgruber permanecem somente quando os custos de transação são ignorados.
Adicionalmente, as análises de regressão desenvolvidas evidenciam que não existe relação
entre os ganhos de arbitragem e o conhecimento prévio dos indicadores de liquidez das
opções, corroborando, desta forma, a hipótese de que o mercado de opções de Telebrás no
Brasil é eficiente.
Calôba (2000) propõe em sua pesquisa um método para a previsão da variação
diária da volatilidade implícita de opções através da utilização de redes neurais. Aplicando
esta técnica de previsão às opções sobre Telebrás PN no período entre agosto de 1994 e
novembro de 1996, o autor busca verificar a existência de ganhos anormais através de
operações de compra ou venda de volatilidade por 1 dia.
Uma vez prevista a variação da volatilidade implícita para o dia seguinte através
das redes neurais, um suposto investidor opera no mercado comprando opções e vendendo
delta ativos-objeto (operação de compra de volatilidade) ou vendendo opções e comprando
delta ativos-objeto (venda de volatilidade). A lucratividade destas operações é, então,
apurada dia-a-dia.
9
Cabe ressaltar que, diferentemente dos estudos de Becker e Lemgruber (1989) e
Ramos (1998), Calôba não procura as oportunidades de arbitragem baseado em
discrepâncias entre os preços das opções, derivados da fórmula de Black & Scholes
associada à volatilidade histórica, e os preços de mercado. Na realidade, o autor, através de
uma metodologia específica associada à utilização de redes neurais, tenta provar que é
possível ter um grau satisfatório de sucesso no processo de previsão para o comportamento
da volatilidade implícita para o dia seguinte.
Calcado neste sucesso de previsão, o estudo verifica a possibilidade de obtenção de
lucros econômicos sistemáticos auferidos através das operações em portfólios delta-
neutros. Os resultados da pesquisa indicam que o lucro médio diário é significativamente
positivo, mesmo sendo desconsiderado o período da Crise do México, no qual grandes
lucros com a operação são obtidos. As conclusões permanecem válidas quando os custos
de transação são considerados.
Por fim, o autor argumenta que os lucros anormais obtidos com as operações
efetuadas ao longo de um grande período de tempo não parece representar uma
possibilidade de arbitragem, mas sim um retorno em função de um investimento em
tecnologia aplicado a uma ferramenta de previsão bastante complexa.
1.4 – O Mercado Norte-Americano
Alguns estudos aplicados ao mercado de capitais norte-americano procuram
igualmente verificar a existência de lucros econômicos sistemáticos provenientes de
operação com portfólios “hedging”. Parte das pesquisas, de forma semelhante à
metodologia aplicada aos trabalhos de Becker e Lemgruber (1989) e Ramos (1998),
procura estudar a eficiência de mercado através das operações baseadas nas diferenças
entre os preços de mercado das opções e dos preços derivados do modelo de Black &
Scholes vinculado a uma volatilidade histórica calculada.
10
Mayhew (1995) faz uma revisão bibliográfica dos principais estudos que têm como
objetivo descobrir qual é o melhor estimador para a volatilidade futura dos ativos. As
pesquisas iniciais relatadas pelo citado pesquisador consideram três possibilidades:
volatilidade baseada no histórico dos preços; volatilidade implícita; ou combinação das
duas últimas. O autor mostra, segundo a literatura estudada, que a volatilidade implícita é a
melhor estimativa para a volatilidade futura do ativo.
Cabe ressaltar que, o autor, através de sua revisão bibliográfica, alerta para o fato
de que a volatilidade implícita obtida para um determinado ativo depende do tempo de
vencimento e do preço de exercício da opção usada para a realização dos cálculos4. Desta
forma, são sugeridas algumas técnicas de média ponderada das volatilidades implícitas
obtidas para um mesmo ativo com diversas opções. Mayhew afirma que as evidências
empíricas sugerem o uso da opção “mais próxima do dinheiro”5 para o cálculo da
volatilidade implícita uma vez que esta apresenta um poder de previsão para a volatilidade
futura do ativo tão bom quanto a média ponderada.
Mayhew prossegue sua análise através da revisão de alguns estudos que adotam
uma metodologia mais poderosa para estimar a volatilidade futura baseada no histórico dos
preços. Tais metodologias utilizam dados adicionais como preço máximo do dia, preço
mínimo, de abertura e de fechamento. Em geral, estes estimadores, apesar de serem muito
sensíveis a fatores como falta de liquidez e a diferenças entre ofertas de compra e venda,
possuem um bom poder de estimação para a volatilidade futura do ativo. Isto porque
quando a volatilidade implícita é adicionada de alguma forma ao cálculo destes
estimadores, pouco é acrescentado ao seu poder de previsão.
Mayhew também aborda em sua revisão bibliográfica as pesquisas que descrevem
as séries temporais dos ativos através do uso de modelos generalizados auto-regressivos de
heterocedasticidade condicional (GARCH). Especial atenção deve ser dada ao estudo de
4 O padrão da volatilidade implícita ao longo do tempo para o vencimento da opção é conhecido como“estrutura a termo das volatilidades implícitas” e o padrão em função do preço de exercício é chamado de“smile da volatilidade”. Este último termo também é comumente usado para descrever os dois tipos depadrões.
11
Noh, Engle e Kane. Nesta pesquisa, é feita uma comparação entre o poder de previsão da
volatilidade implícita e da volatilidade derivada de um modelo GARCH. Esta análise é
realizada confrontando-se os retornos obtidos com portfólios delta-neutros, comprados e
vendidos em volatilidade, baseados no valor justo das opções calculados com os dois
estimadores de volatilidade. Os resultados mostram que a estratégia baseada no modelo
GARCH apresenta maiores retornos do que as baseadas na volatilidade implícita.
Segundo Mayhew, embora o debate ainda esteja aberto, as evidências apontam que,
para prever a volatilidade futura, a volatilidade implícita parece ser mais útil do que a
histórica. Modelos de séries temporais que incorporam as duas aparentam ser uma boa
alternativa para o futuro.
Dois trabalhos pioneiros que testam a eficiência do mercado de opções negociadas
na Bolsa de Opções de Chicago devem ser destacados: a pesquisa desenvolvida por Dan
Galai (1977) e o estudo apresentado por Chiras & Manaster (1978).
Galai (1977), utilizando os modelos de Black & Scholes e o CAPM6 procura testar
a eficiência do mercado de opções no período de 26 de abril de 1973 a 30 de novembro de
1973, verificando, para isso, a possibilidade de realização de lucros anormais dado o nível
de risco dos investimentos. Os testes são divididos em duas partes. Na primeira, o autor
examina a habilidade de uma regra específica de operação para separar investimentos
lucrativos e não lucrativos. Com este objetivo, testes ex-post são realizados, ou seja, as
operações de investimento são feitas com base no conhecimento antecipado dos preços de
fechamento das opções. Este teste indica o poder da regra utilizada e a acurácia do modelo
para explicar os preços observados.
Na segunda parte, testes ex-ante são efetuados. Estes testes efetivamente verificam
a eficiência do mercado já que as operações de investimento somente são realizadas no dia
seguinte à observação dos preços de fechamento das opções que servem de base para a
5 A opção “mais próxima do dinheiro” é aquela que, caso exercida imediatamente, irá gerar um fluxo decaixa mais próximo de zero.
12
decisão da compra ou venda dos portfólios. Nesta situação, é perfeitamente possível que
um investidor, replicando as estratégias propostas, obtenha os resultados encontrados.
6 O modelo CAPM (Capital-Asset-Pricing-Model) desenvolvido por Sharpe e Lintner é amplamentediscutido na literatura especializada.
13
Tanto os testes ex-ante como os ex-post obedecem a mesma lógica. Com base em
uma volatilidade histórica estimada, os preços de mercado são comparados com os preços
derivados do modelo de Black & Scholes. As opções são compradas quando o preço de
mercado está abaixo do preço indicado pelo modelo e vendidas quando o inverso ocorre.
Neste mesmo instante são vendidas ou compradas posições na ação correspondente de tal
forma que o “hedge” seja efetuado. Ao desenvolver os testes o autor faz uma análise de
sensibilidade variando a taxa de juros livre de risco e a forma de cálculo da volatilidade
histórica, medindo, por fim, o impacto destas variações nos resultados. Questões como
custo de transação e efeito dos dividendos sobre as opções são igualmente levadas em
conta.
Um aspecto bastante interessante desta pesquisa diz respeito à questão do risco das
operações realizadas. Regressões lineares dos ganhos obtidos em relação à variação do
índice de mercado indicam a inexistência de correlação, com significância estatística, entre
estas duas variáveis7. Desta forma, supondo a validade do modelo CAPM, as operações de
investimento não estariam incorrendo em risco sistemático e, como o risco não sistemático
pode ser diversificado, o prêmio de risco destas operações deveria igualar-se a taxa de
juros livre de risco. Portanto, quando o ganho médio das operações é significativamente
superior à taxa de juros livre de risco multiplicada pelo valor investido nos portfólios,
então, diz-se que o mercado de opções é não eficiente.
A pesquisa propõe a realização de testes semelhantes através da formação de
portfólios conhecidos como “spreads” somente compostos por opções de vencimentos
diferentes. O autor alega que, desta forma, questões vinculadas ao não sincronismo entre as
bolsas de Chicago e Nova York e a elevados custos transacionais poderiam ser eliminadas.
De forma geral a pesquisa chega as seguintes conclusões: a) as estratégias baseadas
no modelo de Black & Scholes têm boa performance nos testes de “hedge” ex-post; b) o
mercado parece ser não eficiente para os “market makers” uma vez que o lucro das
operações, apesar de usualmente ser não significativo, mostra uma forte tendência de ser
14
positivo. Para os não membros da bolsa, quando os custos de transação são considerados,
os ganhos anormais deixam de ser consistentes; c) os resultados são robustos quando os
parâmetros são alterados; d) o ajuste para dividendos deve ser considerado na elaboração
dos modelos; e) os teste com as estratégias de “spreads” obtêm resultados similares aos
alcançados com as estratégias de “hedge”.
Outro trabalho pioneiro, desta vez desenvolvido por Chiras & Manaster (1978),
procura testar a eficiência do mercado de opções negociadas na Bolsa de Opções de
Chicago no período compreendido entre junho de 1973 a abril de 1975 através da
utilização do modelo de apreçamento de opções de Black & Scholes ajustado para
dividendos. A pesquisa baseia-se no argumento de que o verdadeiro desvio-padrão do
retorno de uma ação é único e, com isso, a presença de múltiplas volatilidades implícitas
encontradas nas opções negociadas no mercado indica que as mesmas não estão em
equilíbrio.
O trabalho inicialmente propõe a construção de uma volatilidade implícita de
equilíbrio que seria calculada por meio de uma média ponderada das diversas volatilidades
implícitas obtidas das opções negociadas sobre uma mesma ação. Os índices de
ponderação devem refletir as elasticidades dos preços das opções em relação às mudanças
nos valores de suas volatilidades implícitas.
Na primeira etapa da pesquisa os autores procuram testar a hipótese de que esta
volatilidade obtida seria uma melhor estimativa para a volatilidade futura da ação se
comparada à volatilidade histórica. Através de regressões lineares chega-se à conclusão de
que a média ponderada das volatilidades implícitas consegue explicar as variações da
volatilidade futura da ação de forma mais eficiente do que a volatilidade histórica.
Com estes resultados iniciais os autores partem para o teste de eficiência de
mercado, simulando, para isso, operações com portfólios delta-neutros isentos de risco de
mercado para pequenas variações da ação. As opções escolhidas são aquelas que
7 A hipótese do β do modelo CAPM ser igual a 0 não é rejeitada para diversos níveis de significância
15
apresentam volatilidade implícita com discrepância de pelo menos 10% em valor sobre a
volatilidade ponderada calculada. As opções com volatilidade implícita superavaliada
ficam em posição vendida e as com volatilidade subavaliada em posição comprada. O
portfólio delta-neutro é formado com a compra ou venda simultânea das ações em
quantidades determinadas por suas respectivas taxas de “hedge”. O rebalanceamento dos
portfólios é feito diariamente e a posição é zerada ao final de 1 mês a partir da data de
início da operações.
O resultado dos investimentos é, então, apurado e, sendo o mercado eficiente, o
valor médio esperado com as operações deveria ser próximo de zero.8 Supondo que a
opção volte, dentro do período de 1 mês, para seu valor justo calculado com a volatilidade
ponderada, a pesquisa mostra que os ganhos previstos poderiam ser atribuídos a dois
fatores: a descontinuidade dos negócios e a ineficiência do mercado. Os ganhos reais
observados seriam atribuídos a estes dois fatores somados a um terceiro, associado a
possíveis erros do modelo de cálculo da volatilidade justa.
O estudo conclui que o mercado foi ineficiente dentro do período estudado tendo
em vista que os lucros das operações, já descontados dos custos de transação, podem ser
considerados anormais. Além disto, uma vez observada a diferença entre os ganhos
previstos e os reais observados, o modelo para o cálculo da volatilidade ponderada pode
ser considerado satisfatório, com exceção de sua aplicabilidade às opções previamente
identificadas como possíveis candidatas a uma superavaliação.9
Outros estudos aplicados ao mercado norte-americano buscam uma forma
alternativa de prever a volatiliade implícita para o dia seguinte e, baseados nesta previsão,
testam a eficiência de mercado com operações de volatilidade em portfólios delta-neutros.
Dentre as pesquisas, destaca-se o trabalho de Harvey & Whaley (1992) no qual um estudo
estatística.8 O valor do lucro esperado não é exatamente igual a zero uma vez que uma taxa livre de risco deve serobtida sobre o valor líquido de investimento nos portfólios. Uma vez que o período de análise (1 mês) ébastante curto, esta discrepância é desprezada no estudo.9 O modelo de apreçamento de opções de Black & Scholes supõe continuidade dos retornos dos ativos. Estapremissa pode provocar grandes distorções quando opções muito próximas do vencimento são avaliadas umavez que o mercado considera a possibilidade de saltos dos retornos.
16
bastante aprofundado sobre previsão de volatilidade implícita das opções sobre o índice
S&P 100 para o dia seguinte é realizado. Os dados referem-se aos anos de 1983 a 1989.
Uma regressão linear múltipla é realizada com o objetivo de se prever a variação da
volatilidade implícita das opções sobre o S&P 100 de um dia para o outro. A variação é
calculada tendo como base de referência a volatilidade implícita da opção “mais no
dinheiro” obtida por um modelo binomial ajustado para dividendos.
As variáveis independentes escolhidas pelo autor seguem algumas sugestões de
diversas fontes bibliográficas citadas no artigo. São elas: a) variável Dummy para
Segunda-feira; b) variável Dummy para Sexta-feira; c) retorno do S&P 100 no dia anterior;
d) mudança na volatilidade implícita da opção de compra nos dois dias anteriores; e)
variação na volatilidade implícita da opção de venda nos dois dias anteriores; f) mudança
na taxa de debêntures Baa-Aaa no dia anterior; g) mudança, no dia anterior, na taxa de
spread entre Aaa e T-bill de 90 dias; h) mudança na taxa da T-bill de 90 dias no dia
anterior; i) variação da base, no dia anterior, do contrato futuro sobre o índice S&P 500
mais próximo do vencimento.
Os resultados da regressão mostram-se bastante satisfatórios. O coeficiente de
correlação ajustado (R2) para as variações das volatilidades das opções de compra é igual a
0,228 enquanto que o valor para as de venda é de 0,207. Testes estatísticos indicam que
estes dois valores são significativamente diferentes de zero e que, portanto, a regressão
possui poder explicativo para as mudanças na volatilidade implícita para o dia seguinte.
Além disto, para as opções de compra, em 60,4% dos casos o sentido da mudança da
volatilidade implícita foi corretamente previsto pelo modelo. O mesmo valor para as
opções de venda foi de 53,5%.
Os testes t efetuados para cada uma das variáveis independentes indicam que
algumas não possuem relevante poder explicativo. Desta maneira, a mudança na taxa de
debêntures Baa-Aaa no dia anterior, a mudança, no dia anterior, na taxa de spread entre
Aaa e T-bill de 90 dias e a mudança, no dia anterior, na taxa da T-bill de 90 dias foram
descartadas para efeito de previsão da volatilidade no dia seguinte.
17
A partir das previsões feitas mediante o uso da regressão, operações de compra ou
venda de volatilidade por 1 dia com portfólios delta-neutros são realizadas10. As posições
são fechadas no dia subseqüente, caso haja uma mudança no sentido de variação da
volatilidade implícita prevista para o pregão seguinte, ou ajustadas para que portfólios
delta-neutro possam ser mantidos.
A pesquisa conclui que, apesar de ser possível construir um modelo de previsão
parcial para a volatilidade no dia seguinte, quando custos de transação são levados em
conta, os ganhos obtidos com as operações de arbitragem são perdidos.
1.5 – Conclusões
A análise agregada das pesquisas voltadas para o mercado brasileiro e norte-
americano pode ser dividida em dois grupos. O primeiro grupo de estudos11 busca as
oportunidades de arbitragem baseado na discrepância entre a volatilidade histórica e a
implícita. Pode-se dizer que, para os dois mercados, quando os custos de transação são
considerados, as estratégias de investimento mostraram-se pouco promissoras.
O segundo grupo de pesquisas12 procura as oportunidades de arbitragem através de
algum modelo alternativo de previsão da volatilidade para o dia seguinte. Para o mercado
norte-americano, os resultados demonstram que as oportunidades de ganhos anormais
somente são verificadas no estudo pioneiro desenvolvido por Chiras & Manaster (1978).
Uma possível explicação pode estar relacionada ao fato de que os dados utilizados para o
desenvolvimento desta pesquisa referem-se a um mercado em início de operação, portanto
sujeito a oportunidades de ganhos de arbitragem temporárias.
10 Uma vez que os custos de transação envolvidos na compra e venda de um portfólio composto por umacesta de ações equivalente ao índice S&P 100 são proibitivos, os autores optam por fazer o “hedge” dosportfólios através de contratos futuros de S&P 500.11 Grupo formado pelos trabalhos de Becker e Lemgruber (1989), Ramos (1998), Galai (1977) e por partedos estudos revistos por Mayhew (1995).12 Grupo formado pelos trabalhos de Calôba (2000) e Harvey & Whaley (1992) e Chiras & Manaster (1978).
18
A análise das demais pesquisas voltadas ao mercado norte-americano indica que os
ganhos anormais desaparecem quando os custos de transação são considerados. É
importante mencionar que estes trabalhos baseiam-se em modelos específicos de previsão
da volatilidade futura. Assim sendo, nada impede que resultados contrários sejam obtidos
em estudos apoiados no desenvolvimento de modelos alternativos.
Já para o mercado brasileiro, os resultados recentes obtidos por Calôba (2000)
apontam para a existência de um certo grau de ineficiência no mercado de opções. Isto
porque, mediante a utilização de uma ferramenta específica de previsão para a volatilidade
no dia seguinte, foi possível encontrar lucros anormais com as operações efetuadas.
Estes resultados servem de motivação à realização de novas pesquisas que estejam
baseadas na utilização de ferramentas alternativas para a previsão do comportamento
futuro das volatilidades implícitas das opções negociadas no mercado brasileiro. Através
de modelos específicos, estes estudos devem buscar novas oportunidades de arbitragem,
tentando, assim, corroborar a hipótese da ineficiência do mercado de opções.
O mercado pode ser considerado ineficiente uma vez que o lucro obtido com uma
regra específica de investimento é considerado anormal, ou seja acima do lucro esperado
dado o nível de risco da operação.
O presente estudo procura, através de uma argumentação específica baseada na
auto-correlação temporal dos retornos ao quadrado, prever o comportamento futuro da
volatilidade implícita das opções em determinadas circunstâncias. O poder de previsão é
então medido por meio da análise dos lucros e dos riscos associados à realização das
operações de compra e venda de volatilidade com portfólios delta-neutros.
1.6 – As Estratégias de Investimento
As estratégias de investimento propostas pelo estudo têm por objetivo tentar gerar
ganhos anormais para um investidor. Caso isto ocorra, pode-se corroborar a hipótese da
ineficiência do mercado de opções brasileiro em dado período. Estas estratégias baseiam-se
em argumentos e ferramentas de decisão específicos discutidos mediante uma revisão
19
bibliográfica minuciosa realizada ao longo dos capítulos subseqüentes. Desta forma, nesta
seção, as respectivas referências são apenas citadas.
No capítulo 2 é estudada a auto-correlação temporal dos retornos ao quadrado. A
pesquisa apoia-se em algumas fontes de referência bibliográfica. São elas: RiskMetrics:
Technical document (1996), Taylor (1986), Fama (1965), McLeod & Li (1983) e McClave
& Benson & Sincich (1998). O capítulo 3 introduz a função de probabilidade derivada da
mistura de duas normais, mostrando, por fim, sua utilização para a determinação dos altos
retornos. Para tanto, as seguintes fontes de referência são utilizadas: Kon (1984), Hull &
White (1998), Hamilton (1991), Finger & Kim (2000), Kim & Kon (1994) e Peters &
Summers (1973).
No capítulo 4 são abordadas questões específicas envolvendo a formação de
portfólios delta-neutros e o cálculo de seu VaR. As fontes de referência bibliográfica
utilizadas são: Hull (2000), Jorion (1998), Picanço (2000), Kupiec (1995), Malz (2000) e
Taylor (1986). Por fim, para se chegar às conclusões no que se refere à rentabilidade média
obtida com as estratégias de investimento, além dos testes de hipótese tradicionais para
médias, é utilizado um teste não paramétrico apresentado em McClave, Benson, Sincich
(1998, pp. 869-872).
A Tabela 1.1 fornece um panorama da literatura utilizada como fonte de referência
bibliográfica, associando os trabalhos a cada capítulo da dissertação.
Tabela 1.1Fontes de Referências Bibliográficas
Capítulos Referências Bibliográficas
Capítulo 1 - Revisão BibliográficaFama (1970), Becker e Lemgruber (1989), Ramos(1998), Calôba (2000), Mayhew (1995), Galai (1977),Chiras & Manaster (1978), Harvey & Whaley (1992)
Capítulo 2 – A Auto-correlaçãoTemporal dos Retornos ao Quadrado
RiskMetrics: Technical document (1996), Taylor (1986),Fama (1965), McLeod & Li (1983), McClave & Benson& Sincich (1998)
Capítulo 3 - A Mistura de Normais paraa Determinação dos Altos Retornos
Kon (1984), Hull & White (1998), Hamilton (1991),Finger & Kim (2000), Kim & Kon (1994), Peters &Summers (1973)
20
Capítulo 4 - A Formação de PortfóliosDelta-neutros e o Cálculo de seu VaR
Hull (2000), Jorion (1998), Picanço (2000), Kupiec(1995), Malz (2000), Taylor (1986)
Capítulo 6 - Metodologia McClave & Benson & Sincich (1998)
19
Capítulo 2 – A Auto-correlação Temporal dos Retornos ao Quadrado
Os resultados empíricos de diversos estudos tais como Fama (1965) e Taylor (1986,
pp. 52-55) apontam para a existência de auto-correlação de ordem 1 (correlação temporal
defasadas em 1 dia) dos retornos de ações ao quadrado.
O efeito desta auto-correlação implica em maiores chances de se observar um alto
retorno, positivo ou negativo, em determinado dia quando este é precedido por um pregão
no qual se verificou uma forte oscilação no preço do ativo. Portanto, sendo este fato
verdadeiro, é de se esperar que a volatilidade implícita das opções cresça quando um dia de
alto retorno é observado.
É interessante notar que a auto-correlação dos quadrados dos retornos diários
contínuos de uma ação pode ser significativamente diferente de zero apesar da constatação
da inexistência de auto-correlação dos retornos. Segundo o RiskMetrics (1996, p. 59), a
literatura acadêmica costuma utilizar a auto-correlação dos retornos ao quadrado para
mostrar a dependência entre os retornos diários. Desta forma, não se pode afirmar que os
retornos diários de uma ação são independentes através da simples constatação da
inexistência de auto-correlação temporal da série.
Para a realização de um teste de hipótese que tenha por objetivo verificar a
existência de auto-correlação de ordem 1 dos retornos ao quadrado, é necessário, a priori,
determinar uma distribuição de probabilidade para o parâmetro testado. Entretanto, antes
de ser realizado uma análise minuciosa das questões referentes à auto-correlação dos
retornos ao quadrado, torna-se importante entender melhor as características da auto-
correlação dos retornos diários das ações.
Segundo Taylor (1986, p. 24), uma série temporal de retornos diários pode ser
usada para estimar a auto-correlação do processo gerador das observações quando a
20
premissa de que o processo é estacionário é adotada1. Neste caso, a auto-correlação de
ordem p pode ser estimada pela seguinte auto-correlação amostral:
( )( )( )∑
∑
=
−
=+
−
−−= n
tt
pn
tptt
p
rr
rrrrx
1
2
1 , 1≥p
O estimador xp , que pode ser considerado como o valor realizado de uma variável
aleatória ( )( ) ( )2∑∑ −−−= + RRRRRRX tpttp , é normalmente usado para se testar
hipóteses acerca da auto-correlação teórica pρ . De acordo com Taylor (1986, p. 48),
fórmulas alternativas são utilizadas por alguns autores com o objetivo de se eliminar o viés
causado pelo fato de existir um maior número de termos no denominador do que no
numerador. De qualquer forma, quando longas séries temporais são analisadas, o efeito do
viés torna-se desprezível.
A distribuição de Xp é conhecida para grandes amostras geradas por processos
lineares. Um processo estocástico é linear quando sua variável aleatória pode ser
determinada por uma combinação linear das variáveis presentes e passadas geradas por um
processo conhecido como “Strict White Noise”. Ao mesmo tempo, um processo
estocástico é conhecido como “Strict White Noise” quando suas variáveis aleatórias são
independentes e têm a mesma distribuição.
Como já mencionado anteriormente, não se pode afirmar que duas variáveis são
independentes simplesmente pelo fato delas não serem correlacionadas. Por outro lado,
quando as variáveis são independentes, então pode-se dizer que não são correlacionadas.
Um processo estocástico é chamado de “White Noise” quando é estacionário e não
correlacionado. Todo os processos “Strict White Noise” são também “White Noise”.
1 Um processo é dito estacionário quando os momentos da distribuição geradora das observações não sealteram ao longo do tempo.
21
Taylor (1986, p. 25) mostra que, para processo lineares, Xp é assintoticamente
distribuída por uma função normal com média igual a zero e variância igual a 1/n , onde n
é o tamanho da amostra. Resultados para processos não lineares não são conhecidos.
A partir desta distribuição assintótica, testes de hipóteses podem ser construídos.
Estes testes apresentam a seguinte estrutura:
0:0:
1
0
≠=
ρρ
HH
Taylor (1986, p. 25) alerta para a relevância de uma ampla compreensão das
premissas do teste. A partir destas premissas, conclusões apropriadas podem ser obtidas.
Em primeiro lugar, é importante mencionar que a distribuição anteriormente exposta não é
válida para processos não lineares, mesmo que estes sejam “White Noise”2. Desta forma,
se o teste de hipótese construído indicar que a auto-correlação amostral é
significativamente diferente de zero, então, não se pode rejeitar corretamente a hipótese de
que as variáveis não são correlacionadas. O máximo que pode ser dito é que as variáveis
não são independentes e identicamente distribuídas. Em segundo lugar, não é necessário
que as variáveis aleatórias estudadas tenham distribuição normal para que o teste continue
válido. A única premissa necessária acerca da distribuição das variáveis é a de que elas
possuam variância finita.
Sendo assim, o teste de hipótese não oferece uma resposta definitiva sobre a auto-
correlação temporal dos retornos diários quando a hipótese nula é rejeitada. Na realidade o
teste fornece uma indicação do tipo de processo gerador dos retornos. Uma vez rejeitada a
hipótese nula, então diz-se que o processo não é “Strict White Noise” com variância finita,
nada podendo ser afirmado acerca da auto-correlação dos retornos. No entanto, sendo a
hipótese nula aceita, há fortes indícios de que as variáveis aleatórias observadas são
independentes e conseqüentemente não correlacionadas.
Para que a hipótese de um processo “Strict White Noise” com variância finita possa
ser testada com mais eficiência, Taylor (1986, p. 52) sugere a idéia de transformar os
2 Para processos não lineares, a variância de Xp pode ser muito superior a 1/n.
22
retornos para posteriormente calcular a auto-correlação amostral. O autor afirma que se
uma variável aleatória Rt é “Strict White Noise”, então R2t também será. Além disto,
mostra que o erro-padrão do coeficiente calculado com o quadrado dos retornos será igual
ao erro-padrão calculado com os retornos caso estes apresentem kurtose finita.
O estimador para a auto-correlação dos retornos ao quadrado é, então, definido:
( )( )( )∑
∑
=
−
=+
−
−−= n
tt
pn
tptt
p
rr
rrrry
1
222
1
2222
, 1≥p
Na realidade, supondo média zero para os retornos diários3, o estimador refere-se à
auto-correlação da variância dos retornos diários das ações. A relação entre o quadrado dos
retornos e a variância pode ser facilmente observada através da própria definição de
variância:
( )[ ] ( ) ( )[ ]2222ttttt rErErErE −=−=σ
Supondo que a média dos retornos diários é igual a zero, tem-se que ( ) 0=trE , logo
( )22tt rE=σ . Com isso, yp poderia ser assim definido:
( )( )
( )∑
∑
=
−
=+
−
−−= n
tt
pn
tptt
p
r
rry
1
222
1
2222
σ
σσ , 1≥p
Taylor (1986, p. 55) diz em seu estudo que uma possível explicação para a auto-
correlação dos retornos ao quadrado pode estar diretamente relacionada a uma mudança na
variância dos retornos.
3 Segundo os resultados empíricos obtidos pelo RiskMetrics (1996, p. 91), é perfeitamente plausível adotar ovalor zero como sendo a média dos retornos diários contínuos de uma ação.
23
Através do gráfico abaixo, é possível verificar que os retornos diários de Telebrás
PN nos anos de 1995 e 1996 podem ser agrupados em “clusters”4 de volatilidade
demarcados pelas elipses. Isto ratifica a hipótese de que, uma vez iniciado um período de
alta volatilidade, então, existe uma forte tendência de que esta volatilidade persista por
algum tempo.
Gráfico 2.1Retornos Diários Telebrás PN Ajustados para Dividendos nosAnos de 1995 e 1996. Exemplos de Clusters de Volatilidade
As estatísticas que se referem à auto-correlação do quadrado dos retornos têm sido
alvo de discussões em diversos estudos.
O RiskMetrics (1996, p. 62) utiliza a estatística Box-Ljung para testar a auto-
correlação dos retornos diários contínuos ao quadrado, apesar de admitir que o intervalo de
confiança gerado pelo teste pode não ser apropriado uma vez que os dados utilizados não
se referem aos retornos diários, mas sim a seus quadrados. A estatística BL(p) têm
distribuição assintótica 2χ com p graus de liberdade e é assim definida:
4 Termo normalmente traduzido como agrupamento.
24
∑= −
+=p
k
k
knnnpBL
1
2
)2()(ρ
,
onde,p = número de dias decorridos entre dois retornos (auto-correlação de maior ordem)n = número de dados da amostra
McLeod & Li (1983) mostram que a estatística Box-Ljung aplicada ao quadrado
dos retornos somente apresenta distribuição assintótica 2χ com p graus de liberdade
quando os retornos testados são independentes. Desta forma, quando a hipótese nula é
rejeitada, o máximo que pode ser concluído é que os retornos não são independentes.
Conclusões acerca da auto-correlação dos quadrados dos retornos não podem ser obtidas.
De qualquer forma, este teste torna-se bastante útil quando as várias ordens de auto-
correlação temporal precisam ser testadas em conjunto. É importante lembrar que a
presente pesquisa tem por objetivo estudar apenas a auto-correlação de ordem 1 (p = 1) dos
retornos ao quadrado. Desta maneira, uma vez que o teste apresenta as mesmas
deficiências apontadas por Taylor (1986), sua aplicação no presente estudo não traz
nenhum ganho adicional de informação.
Outro procedimento bastante difundido quando o objetivo é testar a auto-correlação
de ordem 1 de uma série temporal é o Durbin-Watson (McClave & Benson & Sincich,
1998, p. 778). Este teste é normalmente utilizado para se verificar a existência de auto-
correlação entre resíduos de uma série temporal. Sua premissa básica é a de que os
resíduos são normalmente distribuídos. A aplicação deste teste ao quadrado dos retornos
não é recomendada uma vez que a premissa de normalidade é dificilmente aceita.
Apesar das dificuldades mencionadas para se obter um teste eficiente que possa
fornecer resultados definitivos acerca da auto-correlação dos quadrados dos retornos
diários contínuos de uma ação, algumas conclusões podem ser obtidas. O teste mais
coerente a ser utilizado parece ser o proposto por Taylor (1986) dada sua facilidade de
implementação. Sendo a hipótese nula aceita, então pode-se dizer com dado nível de
25
confiança5 que os retornos ao quadrado não são auto-correlacionados. Entretanto, sendo a
hipótese nula rejeitada, não se pode afirmar com o mesmo nível de confiança que os
retornos ao quadrado não são auto-correlacionados. De qualquer forma, através de uma
análise do valor encontrado para a auto-correlação amostral, algumas informações podem
ser obtidas.
Sendo este valor bastante diferente de zero, pode-se dizer, com algum nível de
confiança, que os retornos ao quadrado são auto-correlacionados O conceito de bastante
deve estar baseado em uma análise qualitativa e não em uma quantitativa, uma vez que,
neste caso, não é possível se obter com precisão a variância amostral associada a um teste
de hipótese da auto-correlação do quadrado dos retornos. O que se sabe é que esta
variância é maior do que 1/n. Esta análise qualitativa deve ser realizada tendo-se em mente
que os maiores e os menores valores possíveis para a auto-correlação são, respectivamente,
1 e –1.
Uma análise pouco usual da auto-correlação amostral é proposta pelo presente
estudo - o cálculo da auto-correlação temporal de ordem 1 dos retornos ao quadrado
quando estes são dividido em dois grupos: os retornos positivos e os negativos. Os valores
para as auto-correlações amostrais são dados pelas seguintes expressões:
( )( )( ) ( )∑∑
∑
=++
=
−
=++
−−
−−=
n
ttt
n
ttt
n
ttttt
positivos
rrrr
rrrry
1
221
21
1
222
1
1
21
21
22
1 , se rt < 0, então t = t +1.
( )( )( ) ( )∑∑
∑
=++
=
−
=++
−−
−−=
n
ttt
n
ttt
n
ttttt
negativos
rrrr
rrrry
1
221
21
1
222
1
1
21
21
22
1 , se rt ≥ 0, então t = t +1.
Cabe ressaltar que, no grupo dos retornos positivos, apesar de todos os rt serem
maiores ou iguais a zero, os retornos dos dias imediatamente posteriores (rt+1) podem
apresentar quaisquer valores. O mesmo raciocínio aplica-se ao grupo dos retornos
5 Nível de confiança determinado no teste de hipótese.
26
negativos. Além disto, os denominadores nas fórmulas que determinam as auto-
correlações amostrais não podem ser simplesmente iguais a ( )∑=
−n
tt rr
1
222 , como no caso da
expressão de auto-correlação inicialmente proposta no capítulo. Isto porque, sendo a
correlação entre duas variáveis x e y definida pela expressão ( )yx
yxyxCov
ρρρ ,
, = e, uma vez
que os retornos são divididos em dois grupos (retornos positivos e negativos), o conjunto
dos retornos rt não é igual ao conjunto dos rt+1, logo yx ρρ ≠ .
Como será visto mais adiante nos resultados da pesquisa, a análise empírica dos
retornos de Telebrás PN entre janeiro de 1995 e dezembro de 1996 indica a existência de
auto-correlação temporal de ordem 1 para os dias de retornos negativos e a inexistência de
auto-correlação (é aceita a hipótese nula com 5% de significância de que a auto-correlação
é igual a 0) para os dias de retornos positivos.
Com isso, a probabilidade de se observar um alto retorno (positivo ou negativo)
após um dia de alto retorno negativo6 é mais alta se comparada à mesma probabilidade
para um dia não precedido por um alto retorno. Por sua vez, quando se verifica no mercado
um alto retorno positivo, nada se pode afirmar acerca das chances de ocorrer um alto
retorno no dia seguinte.
A grande questão é saber se o mercado incorpora este efeito no preço das opções.
Para isso, em um dia de alto retorno negativo, o mercado deveria aumentar a volatilidade
implícita das opções ou não reduzi-las de forma drástica e, em dias de alto retorno positivo,
nenhum aumento substancial ou até mesmo uma queda na volatilidade deveria ser
observada. Baseadas nesta argumentação, as estratégias de investimento a serem testadas
pelo estudo procuram atuar justamente nos dias em que são notados comportamentos dos
retornos e das variações de volatilidade implícita de forma oposta aos acima citados.
6 No capítulo 3 serão discutidos os critérios para a determinação dos dias de alto retorno.
27
Capítulo 3 - A Mistura de Normais para a Determinação dos Altos Retornos
Há muitos anos, pesquisadores da área de finanças têm se preocupado em entender
e modelar o comportamento das ações no mercado financeiro. A premissa mais
conveniente adotada pela teoria financeira diz que os retornos contínuos dos ativos são
gerados por distribuições normais com parâmetros estacionários ao longo do tempo. Uma
vez que a distribuição normal é estável com a adição de suas variáveis aleatórias, qualquer
portfólio formado por ativos negociados no mercado também poderia ser modelado por
outra distribuição normal. Esta propriedade é igualmente válida quando a modelagem é
feita com parâmetros não estacionários. Apenas, neste caso, uma sofisticação nos cálculos
do modelo é requerida.
Entretanto, já em estudos pioneiros como os de Fama (1965), evidências indicam
que as distribuições dos retornos contínuos diários das ações diferem substancialmente de
amostras derivadas da curva normal. Os resultados empíricos indicam a presença de
distribuições leptocúrticas1, assimetria e “volatility clustering”2.
Kim & Kon (1994) sugerem em seu artigo algumas especificações de modelos
econométricos que visam explicar as características mais comumente observadas nas
distribuições empíricas dos retornos diários de ações. O estudo, baseado nos principais
índices de mercado de ações norte-americano compreendidos no período de 1962 a 1990,
indica os seguintes modelos, do melhor para o pior, como candidatos: (1) modelos de
dependência intertemporal, (2) Student t, (3) mistura generalizada de distribuições
normais, (4) Poisson jump, (5) normal estacionária.
Kon (1984) propõe e testa a mistura discreta generalizada de normais como uma
distribuição a ser utilizada para a modelagem dos retornos contínuos diários de ações e
índices. Neste modelo, cada retorno é uma observação independente derivada de uma das
inúmeras distribuições normais consideradas. Em tese, este modelo pode acomodar as
mudanças estruturais e cíclicas dos parâmetros das distribuições empíricas,
conseqüentemente explicando a assimetria e a kurtose das observações.
1 Possuem caudas maiores se comparadas à normal, tendo o coeficiente de kurtose maior do que 3.2 Termo normalmente traduzido como agrupamentos de volatilidade.
28
O autor, através de estimações dos parâmetros da distribuição por máxima
verossimilhança, conclui que, para uma amostra de 30 ações e 3 índices, 7 ações podem ser
modeladas por uma mistura de 4 normais, 11 ações por uma mistura de 3 normais e 12
ações por uma mistura de 2 normais. Os 3 índices poderiam ser modelados por uma
mistura de 3 normais.
Deve-se considerar inicialmente, devido à simplificação estatística, a mistura de
apenas duas normais como a distribuição a ser utilizada para modelar os retornos diários
contínuos das ações. A idéia que está por trás desta distribuição é a de que os retornos
diários de um ativo podem ser gerados por duas distribuições normais com médias e
desvios-padrão distintos. A primeira normal captura os movimentos mais freqüentes de
variação dos preços e a segunda procura modelar os dias de choques (fortes oscilações).
Como não é possível conhecer o retorno de dias futuros, considera-se que a probabilidade
de o retorno ser gerado pela primeira normal (de menor variância) é igual a p e que,
portanto, a probabilidade de o retorno ser gerado pela segunda normal (de maior variância)
é igual a 1 - p.
Uma simplificação adicional ao modelo pode ser atribuída. Segundo o RiskMetrics
(1996), é possível considerar a média da distribuição dos retornos diários de ações iguais a
zero. Desta forma, o modelo é testado inicialmente com as médias das duas normais
geradoras da mistura sendo iguais a zero. Esta simplificação visa facilitar o método de
estimação dos parâmetros da distribuição.
A modelagem dos retornos diários através da mistura de apenas duas normais
apresenta uma característica singular. Uma vez que o retorno de uma ação em determinado
dia pode ter sido gerado, com dada probabilidade, por uma das duas normais, é possível
classificar o módulo da variação de preços, a posteriori, como sendo grande ou pequeno.
Isto torna-se viável mediante à escolha de uma probabilidade específica como fronteira.
Caso a probabilidade de o retorno ter sido gerado pela normal de maior variância
ultrapasse o valor pré-estabelecido, então, este retorno é caracterizado como sendo alto, em
módulo. Para o caso inverso, diz-se, então, que a variação de preços foi pequena.
29
Frente a esta característica, a mistura de duas normais é testada como distribuição
para os retornos diários de Telebrás PN nos anos de 1996 e 1997. Para tanto, o teste para
adequabilidade de ajustamento de Kolmogorov-Smirnov é utilizado3.
Baseada no formato proposto por Hull & White (1998), a modelagem da
distribuição é descrita a seguir. Cabe ressaltar que, em seu artigo, os autores adotam
variância condicional para a distribuição, enquanto que, neste estudo, o modelo de
variância constante é utilizado. Os retornos diários contínuos (rt) são gerados pela mistura
de duas normais da seguinte forma:
),0(N)1(),0(N σσ vpuprt ×−+×≈ , onde
rt = retorno diário contínuo em tp = probabilidade da primeira normal1- p = probabilidade da segunda normaluσ = desvio-padrão da primeira normalvσ = desvio-padrão da segunda normalσ = desvio-padrão de toda a distribuição
No gráfico 3.1, pode-se visualizar um exemplo de uma função de probabilidade de
massa mistura de normais com parâmetro p = 0,8. A normal 1 tem média 0 e desvio-padrão
igual a 0,70. A normal 2 tem média 0 e desvio-padrão igual a 1,74. A mistura de normais
tem média igual a 0 e desvio-padrão igual a 1.
Gráfico 3.1Normal 1 x Normal 2 x Mistura de Normais
3 Para maiores detalhes ver: PETERS, W. S., SUMMERS, G. W. Análise Estatística e Processo Decisório.FGV, Ed. da Universidade de São Paulo, 1973.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-4 -3,7
-3,4
-3,1
-2,8
-2,5
-2,2
-1,9
-1,6
-1,3 -1 -0,
7-0,
4-0,
1 0,2 0,5 0,8 1,1 1,4 1,7 2 2,3 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8
Desvios
f(x)
Normal 1Normal 2Mistura de Normais
30
É relevante saber que não se está supondo um processo no qual o retorno está sendo
gerado por normais diferentes dependendo do dia, mas sim por uma única família de novas
distribuições que dependem dos parâmetros p, u, v e σ. Através do gráfico 3.2 é possível
visualizar que a função de probabilidade gerada pela mistura de normais não é uma curva
normal4, apresentando características diferenciadas, como, por exemplo, caudas mais
“gordas”.
Gráfico 3.2Normal (0,1) e Mistura de Normais (0,1) gerada pelas
Normais Apresentadas no Gráfico 3.1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-4
-3,7
-3,4
-3,1
-2,8
-2,5
-2,2
-1,9
-1,6
-1,3 -1
-0,7
-0,4
-0,1 0,2
0,5
0,8
1,1
1,4
1,7 2
2,3
2,6
2,9
3,2
3,5
3,8
Desvios
f(x) Normal
Mistura de Normais
A variância da distribuição mistura de normais é dada por:2222 )1( σσ vppu −+
e como esta variância deve ser igual a σ2, os parâmetros da distribuição devem seguir a
seguinte relação:
1)1( 22 =−+ vppu
O passo seguinte é calcular os parâmetros da distribuição que melhor se encaixa aos
retornos históricos de 1995 e 1996. O método de estimação por máxima verossimilhança é
a abordagem natural a ser utilizada. Através deste método, encontra-se os valores de u, v e
p que maximizam a função de verossimilhança definida como:
4 Neste exemplo as duas funções de probabilidade têm média 0 e desvio-padrão igual a 1.
31
( ) ∑
×−+
×=
i
ttt
rNp
rNprLR
σσσ 21 )1(ln, , onde
N1 = normal com média 0 e desvio-padrão uN2 = normal com média 0 e desvio-padrão v
No entanto, Hamilton (1991) aponta algumas dificuldades do método de máxima
verossimilhança tais como instabilidade, soluções não-globais e não-convergência. Sendo
assim, métodos de estimação por máxima verossimilhança Quasi-Bayesianos são
propostos. Estes métodos exigem uma estimativa prévia dos parâmetros da distribuição a
ser determinada.
Apesar dos problemas mencionados por Hamilton, optou-se por manter a máxima
verossimilhança como método de estimação dos parâmetros da distribuição. Isto porque,
uma vez que as médias das duas normais geradoras da mistura são estabelecidas como
sendo 0 e que existe uma relação entre p, u e v a ser respeitada, basta estimar dois
parâmetros (u e p) para que a distribuição esteja definida (v estará automaticamente
estimado). Com isso, encontrar valores de “chutes” iniciais que estejam próximos dos
valores finais verdadeiros a serem estimados torna-se uma tarefa mais fácil quando apenas
dois parâmetros são requeridos.
Com este objetivo, gera-se uma tabela com valores de u e p variando de 0,1 a 0,9 e,
para cada combinação dos dois parâmetros, um valor que corresponde à função de
verossimilhança. Os valores de u e p usados como valores iniciais serão aqueles que
maximizam o valor de uma das células da tabela.
Uma vez encontrados os valores iniciais para u e p, utiliza-se um método de
maximização não-linear (neste estudo foi utilizado o Solver do Excel®) para que os valores
finais estimados dos dois parâmetros sejam, finalmente, obtidos.
32
Neste momento, estando a distribuição parametrizada, o teste para adequabilidade
de ajustamento de Kolmogorov-Smirnov é realizado. O nível de significância escolhido
para a aceitação ou rejeição da hipótese nula5 é de 5%.
Por fim, uma vez aceita a hipótese nula, é possível utilizar a distribuição gerada
pela mistura de duas normais como ferramenta para a determinação dos dias de grande
oscilação de preços. Finger & Kim (2000), baseados na Regra de Bayes, apresentam em
seu trabalho o cálculo da probabilidade de um retorno, após sua observação, ter sido
gerado por uma das duas normais da mistura. A seguir é apresentada a probabilidade
)( trα de o retorno ter sido gerado pela normal de maior variância.
( )( ) ( )vrNpurpN
vrNpr
tt
tt ,0)1(,0
,0)1()(
−+−
=α
Desta forma, para cada dia t, é possível associar o retorno à sua probabilidade de ter
sido gerado pela normal de maior variância. Uma vez estabelecida uma probabilidade
como valor de fronteira, diz-se, então, que o retorno de determinado dia é alto, em módulo,
quando a probabilidade )( trα for maior do que o valor limite pré-estabelecido. De forma
análoga, diz-se que um retorno observado em determinado dia é baixo, em módulo, quando
a probabilidade )( trα for menor do que o valor limite pré-estabelecido.
Assim, torna-se possível, após a observação dos retornos diários, caracterizá-los
como sendo altos ou baixos em módulo. Caso um determinado retorno seja considerado
alto, faz-se, então, uma análise do comportamento da volatilidade implícita da opção de
compra do ativo-objeto para finalmente decidir se neste dia deve ser realizada a operação
envolvendo portfólios “hedging” que se adeque à estratégia de investimento proposta pelo
estudo6.
5 Hipótese que estabelece a mistura de normais como a distribuição dos retornos de Telebrás PN nos anos de1996 e 1997.6 As estratégias de investimento serão discutidas no capítulo 6.
33
Capítulo 4 - A Formação de Portfólios Delta-neutros e o Cálculo de seu VaR
4.1 – Os Portfólios Delta-neutros
O delta de uma opção é definido como a taxa instantânea de variação do preço do
derivativo em relação ao ativo-objeto. De maneira semelhante, o delta de um portfólio
composto por opções sobre o mesmo ativo-objeto cujo preço é S é definido como:
S∂Π∂=∆ ,
onde Π é o valor do portfólio.
Segundo Hull (2000, p. 312), o delta de uma opção de compra européia que não paga
dividendos é dado pela expressão1:
)( 1dN=∆ , sendo ( ) ( )
TTrXSd
σσ 2ln 2
01
++= ,
onde,
N(x) = Função de probabilidade normal acumulada.S0 = valor do ativo-objeto.X = preço de exercício da opção.r = taxa de juros contínua.σ = volatilidade do ativo obtida com retornos contínuos.T = tempo para vencimento da opção medido em anos.
O delta de um portfólio pode ser obtido através dos deltas dos ativos que compõe a
carteira. A fórmula do delta de um portfólio composto por n ativos é dada pela seguinte
expressão:
∑=
∆=∆n
iiiw
1
onde wi representa a quantidade do ativo i e i∆ o delta do ativo i.
Por definição, o delta de uma ação é igual a 1. Isto porque a taxa instantânea de
variação2 de uma ação em relação a ela mesma é igual a 1.
1 Como no mercado brasileiro as opções são protegidas contra dividendos, esta mesma expressão é válidapara a obtenção do delta.2 Derivada de ordem 1.
34
Outra definição importante refere-se ao termo delta-neutro: “Um portfólio com o
delta igual a zero de tal forma que não há sensibilidade a pequenas variações do preço do
ativo correspondente.” (Hull, 2000, p. 662). Portanto, ao se construir portfólios delta-
-neutros (∆ = 0), o que se está buscando, na realidade, é uma proteção contra variações,
positivas ou negativas, no preço do ativo-objeto. Cabe ressaltar que esta proteção somente
é eficaz para pequenas variações no preço. Como o delta muda de valor no momento em
que o preço do ativo oscila, para uma proteção completamente eficaz, um rebalanceamento
da carteira se faz necessário para cada mudança de preço do ativo-objeto. Na prática, este
rebalanceamento instantâneo torna-se inviável devido aos altos custos operacionais
incorridos no processo.
Dentre as diversas maneiras de se obter um portfólio delta-neutro, a mais simples
corresponde à criação de uma carteira composta por 1 opção de compra e uma quantidade
determinada do ativo correspondente. O delta do portfólio é igual a 0 e corresponde à
seguinte expressão:
0=∆+∆=∆ AACC ww
onde
wC = quantidade de opções de compra = 1∆C = delta da opção de comprawA = quantidade de ativos∆A = delta do ativo = 1
Desta forma,
CAw ∆−=
Com isso, para a formação de portfólios delta-neutros com 1 opção de compra, tem-
se duas opções: a) ficar comprado em uma “call” e vendido em ∆C ativos; b) ficar vendido
em uma “call” e comprado em ∆C ativos.
A operação envolvendo a formação do primeiro portfólio é também conhecida
como compra de volatilidade e a do segundo portfólio é chamada de venda de volatilidade.
Tal denominação faz sentido uma vez que o portfólio está protegido contra pequenas
oscilações do ativo-objeto e, portanto, o único parâmetro que faz com que os portfólios
35
sofram mudança de valor é a volatilidade implícita das opções negociadas no mercado.
Caso esta volatilidade aumente, o valor das opções sobe, fazendo com que o investidor que
esteja comprado em volatilidade ganhe dinheiro. Para uma queda na volatilidade, quem
está vendido em volatilidade obtém um retorno positivo de seu investimento.
Para situações onde são observadas grandes oscilações nos preços dos ativos-
objetos, como visto anteriormente, os portfólios deixam de estar totalmente protegidos. O
risco referente a estas grandes oscilações é chamado de risco gama. O gama de uma opção
ou de um portfólio é definido como a taxa de variação do delta em relação ao ativo-objeto3.
2
2
S∂Π∂=Γ
O gama de um portfólio é, assim como o delta, o somatório dos gamas dos ativos
que compõe a carteira multiplicados por suas respectivas quantidades. O gama de um
ativo, por definição é igual a 0.
Para os portfólios comprados em volatilidade, o gama é positivo, logo, uma forte
oscilações nos preços dos ativos gera, ceteris paribus, ganhos adicionais ao investidor.
Para posições vendidas em volatilidade, o gama é negativo, gerando, conseqüentemente,
perdas para o detentor da carteira quando fortes oscilações dos ativos são observadas.
No gráfico 4.1 é exposto um exemplo hipotético de um portfólio delta-neutro
“hedging” quando o ativo valia 38,5. No gráfico 4.1.a observa-se que, para um portfólio
delta-neutro comprado em volatilidade4, grandes oscilações no preço do ativo geram
ganhos para o investidor. No gráfico 4.1.b, para um portfólio delta-neutro vendido em
volatilidade5, o inverso ocorre.
3 Corresponde à segunda derivada do portfólio em relação ao ativo.4 Portfólio com gama positivo.5 Portfólio com gama negativo.
36
Gráfico 4.1
Como visto pelos exemplos acima, o risco gama somente existe para portfólios
vendidos em volatilidade uma vez que, para posições compradas, qualquer oscilação maior
do ativo gera somente ganhos para o investidor.
No que se refere à volatilidade, denomina-se vega a taxa de variação do valor do
portfólio em relação à variação da volatilidade do ativo-objeto6. O risco vega relaciona-se,
desta forma, à exposição do portfólio ao efeito de variação da volatilidade implícita das
opções. Assim, para uma posição delta-neutra comprada em volatilidade, o risco vega é o
único fator de risco uma vez que o gama é positivo7. Já para uma posição delta-neutra
vendida em volatilidade, os riscos gama e vega devem ser considerados.
O fator tempo também deve ser abordado quando portfólios compostos por opções
são construídos. Quanto mais próxima do vencimento, menor é o valor de uma opção de
compra. O parâmetro theta mede, justamente, a taxa de variação de um portfólio em
relação ao tempo8. Uma vez que o tempo (dias para o vencimento da opção) é conhecido, o
theta não pode ser considerado como um fator de risco de um portfólio.
6 Derivada de ordem 1 do portfólio em relação à volatilidade do ativo.7 De qualquer forma o gama deve ser incorporado ao modelo uma vez que as oscilações do ativo atenuam aspossíveis perdas obtidas com uma queda da volatilidade implícita valorada pelo mercado.8 Derivada de ordem 1 do portfólio em relação à passagem do tempo.
a) Portfólio Delta-neutroComprado em Volatilidade
b) Portfólio Delta-neutroVendido em Volatilidade
37
Por fim, o impacto da variação da taxa de juros sobre os portfólios também pode ser
medido. O rho9 de um portfólio captura, exatamente, este efeito. Como a taxa de juros
muda de forma muito lenta em situações de estabilidade econômica e como estas pequenas
mudanças geram oscilações desprezíveis nos preços das opções, é perfeitamente viável
desconsiderar o risco rho para efeito de modelagem do risco em portfólios delta-neutros.
4.2 – VaR para Portfólios Delta-Neutros
“O risco pode ser definido, de modo geral, como a incerteza em relação a resultados.
Pode ser melhor compreendido em termos de probabilidade, ...” (Jorion, 1998, p. 65).
A metodologia de cálculo do VaR (value-at-risk), procura, justamente, associar o
conceito de risco às probabilidades de ocorrências de perdas em uma determinada carteira.
“..., o VaR sintetiza a maior (ou pior) perda esperada dentro de determinado período de
tempo e intervalo de confiança.” (Jorion, 1998, p. 82).
Existem diversas metodologias de cálculo do VaR para ativos não-lineares. Cada
uma delas apresenta vantagens e desvantagens que serão discutidas mais adiante10.
O método Delta-Normal pressupõe a normalidade dos retornos de todos os ativos-
objetos. Desta forma, os retornos de uma carteira, que é uma combinação linear de
diversos ativos, podem ser igualmente modelados por uma distribuição normal. Este
método é inadequado quando se deseja medir o risco de ativos não lineares tais como
portfólios compostos por opções. Isto porque, de acordo com esta metodologia, as posições
em opções são representadas apenas por seus deltas em relação aos ativos-objetos
correspondentes, tal como:
dSdc ∆≈
9 Derivada de ordem 1 do portfólio em relação à taxa de juros.10 Para maiores detalhes ver: PICANÇO, M. B. Valor-em-Risco para Ativos Não-Lineares: Análise dosResultados para Diferentes Metodologias de Cálculo para o Mercado de Opções e Spreads em AçõesTelebrás. COPPEAD – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Dissertação de Mestrado, 2000.
38
Jorion (1998, p. 182) apresenta os problemas gerados por essa metodologia: o delta
da carteira poderá se alterar de forma muito rápida (carteiras com gama elevado); o delta
da carteira poderá ser diferente dependendo do sentido de variação dos preços do
ativo-objeto; e a pior perda poderá não corresponder às situações nas quais o preço do
ativo-objeto encontra-se em posições extremas. Especial atenção deve ser dada ao último
problema mencionado quando, por exemplo, o VaR de portfólios comprados em
volatilidade são calculados. Neste caso, o pior rendimento é obtido quando o preço do
ativo-objeto não oscila11. Desta maneira, não é suficiente considerar os preços extremos do
ativo para efeito de cálculo do VaR.
O método de Aproximação Delta-Gama procura adicionar o risco gama ao modelo.
Desta forma, quando uma aproximação linear não é suficientemente acurada, uma
aproximação de segunda ordem pode representar uma alternativa.12
2
21 dSdSdc Γ+∆≈
Apesar deste método ser mais acurado se comparado ao Delta-Normal, uma vez
que incorpora riscos não lineares à carteira, quando posições delta-neutras são formadas, o
terceiro problema atribuído por Jorion ao método Delta-Normal continua existindo. Isto é,
a pior perda poderá não corresponder às situações nas quais o preço do ativo-objeto
encontra-se em posições extremas. Além disto, como visto na seção 1 deste capítulo, o
parâmetro vega deve ser incorporado a modelos que procuram calcular o risco de
ocorrência de perdas para portfólios delta-neutros.
Buscando resolver estes problemas, uma alternativa aos métodos analíticos é
apresentada. São os chamados métodos de simulação. O mais simples utiliza a simulação
histórica como base de modelagem dos riscos. Este método consiste em recuar no tempo,
verificando o comportamento histórico e os riscos dos ativos que compõe um portfólio,
aplicando, posteriormente, os respectivos pesos destes ativos em relação ao valor da
carteira.
11 Resultado válido considerando todas as outras variáveis que afetam o preço da opção constantes.12 Esta aproximação representa a expansão de Taylor até a segunda ordem.
39
Como ressalta Picanço (2000, p. 29) em sua revisão bibliográfica, apesar de fácil
implementação, este método apresenta uma série de problemas. A grande questão refere-se
à escolha do período amostral para a obtenção dos dados. “Na verdade, o principal
problema com as metodologias de simulação histórica é a determinação de resultados a
partir de um conjunto de dados particular.” Picanço (2000, p. 29)
Por fim, uma vez que as metodologias acima citadas mostram-se inadequadas para
o cálculo do VaR de posições compradas ou vendidas em volatilidade, um método de
simulação mais elaborado, conhecido como Monte Carlo deve ser considerado.
Segundo Jorion (1998, p. 192) a Simulação de Monte Carlo é desenvolvida em duas
fases. Na primeira, é criado um modelo de risco no qual um processo estocástico para as
variáveis financeiras é definido. Além disto, os parâmetros deste processo, tais como
volatilidades e correlações são definidos através de dados históricos ou obtidos por meio
das opções. Na segunda fase, é feita uma simulação para os preços de todas as variáveis
envolvidas no processo, quando, então, para cada horizonte de tempo considerado13, a
carteira é marcada a mercado através da avaliação plena. Uma vez obtidos os valores
simulados para a carteira, é possível gerar uma distribuição dos retornos a partir do qual o
VaR pode ser determinado.
“A análise de Monte Carlo é o método mais potente de cálculo do valor em risco.
Ela captura grande quantidade de riscos, inclusive os não-lineares, os de volatilidade e, até
mesmo, os de modelo, podendo incorporar a variação temporal da volatilidade, caudas
grossas e cenários extremos.” (Jorion, 1998, p. 193)
O ponto de partida para a Simulação de Monte Carlo refere-se à descrição do
comportamento dos ativos-objeto através da escolha de um modelo estocástico para os
preços. De acordo com Hull (2000, p. 226), os ativos podem ser modelados através do
chamado Movimento Geométrico Browniano. A versão discreta do modelo é dada pela
seguinte expressão:
13 Como será visto no capítulo 6, o horizonte de análise das estratégias de investimento propostas por estapesquisa será de 1 dia.
40
tStSS ∆∈+∆=∆ σµ
onde, ∆S é a variação do preço da ação S em um pequeno intervalo de tempo ∆t, µ é o
retorno esperado da ação, σ é o desvio-padrão estimado da ação e ∈ é uma variável
aleatória derivada de uma distribuição normal padrão.
Ao modelar o retorno da ação através de taxas contínuas, criando, para isso, uma
variável G = ln(S), chega-se, através do Lema de Itô14, à seguinte expressão para o
comportamento dos preços:
dzdtdG σσµ +
−=
2
2
onde, dz é uma variável normalmente distribuída com média 0 e desvio-padrão igual 1. O
movimento descrito por essa variável é conhecido como Processo de Wiener que é um caso
particular do Processo de Markov. Segundo Hull (2000, p. 231), tendo em vista que µ e σ
são constantes, pode-se dizer que G segue um Processo de Wiener Generalizado com
tendência de deslocamento igual a 22σµ − e variância igual a 2σ . Assim, a variação de
G entre os tempos 0 e T é normalmente distribuída com média ( )T22σµ − e variância
T2σ .
Hull (2000, p. 248) também mostra que nenhuma das variáveis do modelo é afetada
pela preferência de risco dos investidores uma vez que na equação diferencial de Black-
Scholes-Merton15 o parâmetro µ desaparece, fazendo com que a solução não dependa desta
constante. Como a preferência pelo risco não interfere no modelo, qualquer valor poderia
ser adotado. Em particular, a hipótese mais simples de que os investidores são indiferentes
ao risco pode ser utilizada, fazendo com que µ assuma o valor da taxa de juros livre de
risco (µ = r).
14 Para maiores detalhes ver: HULL, J. C. Options, Futures, & Other Derivatives. 4.ed Upper Saddle River:Prentice Hall, 2000. P. 229-231.15 Equação que dá origem ao modelo de apreçamento de opções de Black & Scholes. Para maiores detalhesver: HULL, J. C. Options, Futures, & Other Derivatives. 4.ed Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000. P.246-248
41
Baseada na equação que descreve o comportamento dos preços da ação, é criada
uma simulação, gerando-se, para isso, uma grande quantidade de números aleatórios
derivados de uma normal padrão16. Como será visto no capítulo 6, as estratégias de
investimento sugeridas por esta pesquisa possuem duração de apenas 1 dia. Após a
obtenção simulada dos preços da ação em t+1, torna-se necessário calcular uma estimativa
para a volatilidade implícita no dia seguinte. Com o preço e a volatilidade em t + 1 e
aplicando a fórmula de Black & Scholes, obtém-se os preços das opções e dos portfólios
delta-neutros no dia seguinte.
Uma questão bastante importante diz respeito à modelagem da variação da
volatilidade implícita das opções de um dia para o outro. Como visto na seção 1 deste
capítulo, o risco vega tem grande importância em modelos que trabalham com portfólios
delta-neutros. Desta forma, um modelo que possa valorar a volatilidade implícita em t+1
deve ser construído.
De acordo com Malz (2000) um problema surge quando o risco vega associado à
oscilação da volatilidade é derivado do modelo de Black & Scholes. Ao dizer que o
modelo supõe um movimento aleatório com volatilidade constante para os retornos das
ações, o risco vega deixa de existir. Este risco somente ocorreria em modelos que
incorporassem um processo estocástico para a volatilidade. A contradição surge, então, ao
se usar a volatilidade implícita e o vega calculadados através do modelo de Black &
Scholes, aplicando-os a modelos de risco.
“O modelo de Black & Scholes é somente uma primeira aproximação útil do
‘verdadeiro’ modelo que governa a volatilidade. Deste ponto de vista, a volatilidade
implícita de Black & Scholes não é mais necessariamente uma medida correta da
volatilidade antecipada. É, ao invés, um parâmetro ajustado pelo mercado à fórmula dos
preços das opções, sendo fortemente vinculada mas não idêntica à volatilidade
antecipada.” (Malz, 2000)
16 Nesta pesquisa foram geradas simulações com 1000 iterações para cada dia de cálculo do VaR.
42
Assim, apesar da volatilidade implícita não representar uma exata estimativa para a
média das possíveis volatilidades futuras geradas por um processo estocástico, esta
aproximação será utilizada neste estudo. Na realidade uma simplificação adicional é
adotada pela pesquisa uma vez que, segundo Malz (2000), os portfólios compostos por
opções estão também expostos aos efeitos conhecidos como estrutura a termo e smile da
volatilidade. O primeiro efeito refere-se ao fato de que opções com o mesmo preço de
exercício mas com datas de vencimento diferentes apresentam distintas volatilidades
implícitas sobre o mesmo ativo. O segundo efeito indica que opções com mesma data de
vencimento mas com preços de exercício diferentes possuem diferentes volatilidades
implícitas sobre o mesmo ativo17.
A simplificação surge no momento em que a volatilidade implícita adotada como
média do processo estocástico é calculada através de apenas uma opção. Como será visto
no capítulo 6, o critério de escolha da opção está baseado na liquidez do derivativo.
Desta forma, uma vez adotada esta simplificação, a modelagem das variações
percentuais, medidas em taxas contínuas, das volatilidades implícitas de um dia para o
outro segue uma distribuição normal com média igual a 0 e desvio-padrão histórico
calculado. Segundo Taylor (1986, p. 74), a modelagem das variações percentuais através
da função lognormal18 é de extrema importância, evitando, desta forma, que a distribuição
acumulada apresente probabilidade positiva de ocorrência de valores negativos para a
volatilidade.
Malz (2000), através dos resultados empíricos obtidos em sua pesquisa, alerta para
o fato de que a volatilidade da volatilidade sofre grandes variações dependendo do período
analisado. Estas observações fazem com que o período amostral usado para a obtenção do
desvio-padrão histórico da variação percentual da volatilidade implícita não seja muito
grande. Neste estudo, optou-se por uma estimativa histórica anual. Desta forma, a
estimativa para o ano de 1997 é obtida pelo histórico de 1996, a de 1998 pelo de 1997 e
17 De acordo com Malz (2000), opções fora do dinheiro apresentam maiores volatilidade implícitas secomparadas às opções no dinheiro.18 A modelagem das variações percentuais através da função lognormal é equivalente à modelagem dasvariações percentuais, medidas em taxas contínuas, por uma distribuição normal.
43
assim por diante. Para efeito de cálculo do desvio-padrão histórico, excluem-se os pregões
nos quais o vencimento da opção é inferior a 4 dias. Isto se deve ao fato de que o
comportamento da volatilidade implícita para opções muito próximas do vencimento
torna-se extremamente instável.19
Outra questão importante apontada por Malz (2000) diz respeito à correlação entre
as oscilações percentuais da volatilidade implícita e os retornos do ativo. De forma
semelhante à volatilidade da volatilidade, esta correlação histórica deve ser estimada. O
critério amostral adotado para a obtenção das correlações é igual ao adotado para o cálculo
dos desvios-padrão.
Portanto, a simulação de Monte Carlo gera, na realidade, números aleatórios
derivados de uma distribuição normal bivariada com média 0 e matriz de covariância igual
a:
devolatilidadevolatilidaação
devolatilidaaçãoação
σρρσ
,
,
Como visto anteriormente, o retorno da ação medido em taxas contínuas é
modelado por um Processo de Wiener Generalizado. Sendo assim, a variável aleatória
vinculada ao comportamento da ação é normal com desvio-padrão igual a 1. Portanto, o
valor de σação na matriz de covariância apresentada acima deve ser igual a 1.
Uma alternativa à metodologia proposta por Malz é apresentada nesta pesquisa. De
forma similar à abordagem realizada no capítulo 2, parece coerente analisar separadamente
os retornos positivos dos negativos. Desta forma, os desvios-padrão e as correlações
históricas devem ser calculadas para os retornos positivos e negativos de forma
independente. Assim sendo, para cada ano obtém-se dois desvios-padrão para a variação
percentual da volatilidade implícita e dois coeficientes de correlação entre o retorno da
ação e a variação percentual da volatilidade implícita.
19 Nestes dias, o mercado costuma desconsiderar a volatilidade para precificar as opções. O preço acabarefletindo uma “briga” entre comprados e vendidos nas opções que estão mais próximas do dinheiro.
44
De acordo com a fórmula do coeficiente de correlação, é necessário calcular uma
média para cada uma das duas variáveis envolvidas. Caso fossem calculadas as médias dos
retornos positivos e negativos separadamente, naturalmente estas médias seriam positivas e
negativas, respectivamente. No entanto, é importante mencionar que a média esperada dos
retornos diários é muito próxima de zero20. Desta forma, as médias dos retornos são
substituídas por 0 no cálculo das correlações, tanto para os retornos positivos quanto para
os negativos. A fórmula a seguir deve ser aplicada separadamente para os dias de retornos
positivos e negativos da ação.
( )( )( ) ( )∑ ∑∑
∆−∆−
∆−∆−=
22,
%%0
%%0
volvolr
volvolr
ação
açãodevolatilidaaçãoρ
onde,ração = retorno diário da ação medido em taxas contínuas para os dias positivos ounegativos∆vol% = variação percentual diária da volatilidade implícita nos dias de retornos positivosou negativos medida em taxas contínuas
%vol∆ = média diária da variação percentual da volatilidade implícita, medida em taxascontínuas, nos dias de retornos positivos ou negativos
Os desvios-padrão do Processo Generalizado de Wiener permanecem sendo iguais
a 1 para os retornos positivos e negativos. Além disto, os desvios-padrão para as variações
percentuais diárias da volatilidade implícita são calculados normalmente tanto para os
pregões nos quais são observados retornos positivos quanto negativos.
Uma vez calculados os parâmetros acima, é possível, então, realizar as simulações,
gerando-se, para isso, os números aleatórios através da normal bivariada. Uma primeira
simulação é gerada com os parâmetros referentes aos retornos negativos e uma segunda
com os parâmetros vinculados aos retornos positivos. Como resultado, obtém-se as
estatísticas das perdas e/ou ganhos advindas da manutenção, por um dia, dos portfólios
delta-neutros.
20 A média diária esperada é, na realidade, derivada do componente não estocástico do Processo
Generalizado de Wiener, correspondendo a 22σ−r , valor este muito próximo de zero.
45
Como será visto no capítulo 6, as estratégias de investimento determinam que nos
dias de retorno positivo, o investidor deve ficar posicionado em um portfólio delta-neutro
vendido em opções (vendido em volatilidade) e em um dia de retorno negativo,
posicionado em um portfólio delta-neutro comprado em opções (comprado em
volatilidade). Desta forma, nos dias de retorno positivo, as perdas/ganhos da simulação
devem se referir a um portfólio vendido em volatilidade e nos dias de retorno negativo, a
um portfólio comprado em volatilidade.
Com os resultados das duas simulações, o próximo passo consiste na escolha de um
nível de confiança para o VaR. Escolhendo-se, por exemplo, o nível de 95%, para cada dia
é verificada a perda que corresponde a uma probabilidade acumulada de 5% da
distribuição das perdas/ganhos21. Ao fim desta operação, obtém-se o VaR com nível de
confiança de 95% para os dias de retorno positivo (portfólios vendidos em volatilidade) e
negativos (portfólios comprados em volatilidade).
Para se medir a acurácia do modelo de risco, um teste “a posteriori” deve ser
realizado. É verificado o número de vezes em que a perda incorrida com a manutenção de
um portfólio vendido em volatilidade por um dia (dias de retorno positivo) foi maior do
que o VaR daquele dia. Cabe ressaltar que este VaR foi calculado com a simulação gerada
através dos parâmetros dos dias de retornos positivos. O mesmo procedimento é feito para
os pregões de retornos negativos. Ao final desta verificação, contabiliza-se, de forma
agregada, o número de vezes em que as perdas obtidas com a manutenção dos portfólios
delta-neutros foi maior do que o VaR calculado para cada respectivo dia.
Com um nível de confiança de 95%, espera-se que a proporção de “furos” do
modelo seja de aproximadamente 5%. Baseado nesta proporção, o teste de Kupiec (1995)
é, então, realizado com o objetivo de se aceitar ou refutar o modelo de risco.
21 Cauda esquerda da distribuição.
46
Capítulo 5 – Características da Amostra
A amostra utilizada para o desenvolvimento da pesquisa pode ser dividida em dois
grupos distintos. O primeiro é composto por preços ex-post (dados já conhecidos por um
suposto investidor) que dão suporte ao cálculo dos parâmetros a serem utilizados em
futuras estratégias de investimento. Este primeiro período amostral corresponde aos anos
de 1995 e 1996.
Através dos retornos diários de Telebrás PN1 observados nesta fase, são calculadas
as auto-correlações de primeira ordem dos retornos ao quadrado de acordo com a
metodologia exposta no capítulo 2. Além disto, com os dados deste primeiro grupo, são
calculados os parâmetros da distribuição gerada pela mistura de duas curvas normais que,
como visto no capítulo 3, tem o objetivo de auxiliar o processo de escolha dos dias de altos
retornos.
O segundo grupo é composto pelos preços de fechamento2 e pelas opções de
compra de Telebrás PN no período compreendido entre 2 de janeiro de 1997 a 22 de maio
de 2000 (preços ex-ante). Nesta fase são realizadas as operações de investimento de acordo
com a metodologia proposta no capítulo a seguir bem como o cálculo do VaR destas
posições3. É muito importante mencionar que os dados não são previamente conhecidos no
instante em que uma determinada estratégia de investimento é implementada. Isto faz com
que as conclusões acerca da rentabilidade média das operações tenham validade, uma vez
que as mesmas sempre são realizadas sem o conhecimento prévio de seus resultados.
O modelo de análise descrito no capítulo 6 supõe que, uma vez decidida a compra
de determinado portfólio com base nos parâmetros de final de pregão, este será obtido com
os preços de fechamento do mesmo pregão para a ação e sua opção correspondente. Na
realidade, este tipo de suposição poderia acarretar graves distorções na análise de
rentabilidade das operações caso fosse requerido um intervalo de tempo significativo entre
o processamento dos dados e a subseqüente ordem no pregão.
1 Preços de fechamento cotados na Bolsa de Valores de São Paulo ajustados para dividendos.2 Preços sem ajuste de dividendos.3 A metodologia de cálculo do VaR é abordada no capítulo 4.
47
Uma abordagem mais conservadora poderia utilizar, por exemplo, os preços das
ações 30 minutos antes do fechamento do pregão para a decisão da posição a ser assumida
a cada dia e os preços de fechamento das ações e das opções para o cálculo do portfólio
comprado. Entretanto, dado o avanço das ferramentas computacionais hoje disponíveis a
qualquer gestor de recursos, acredita-se que este intervalo de tempo acima exposto tende a
ser cada vez mais curto. Assim, a hipótese simplificadora de que tanto a decisão de
investimento quanto o valor da carteira formada têm como base os preços de fechamento
dos ativos supostamente não provocará distorções nas conclusões obtidas.
A razão da escolha da ação Telebrás PN e de suas opções de compra para o
desenvolvimento do trabalho se deve à liquidez e à representatividade destes ativos no
mercado brasileiro de capitais durante o período analisado. Em 18 de setembro de 1998, a
Telebrás foi dividida em diversas empresas, criando-se, então, o Recibo de Carteira
Telebrás, composto por todas as empresas resultantes da cisão ponderadas por seus
respectivos pesos. Portanto, após esta data, os ativos avaliados passam a ser o Recibo de
Carteira Telebrás PN e suas correspondentes opções de compra.
Dentre as diversas opções de compra sobre Telebrás PN negociadas diariamente,
optou-se sempre por aquela que apresentou maior liquidez a cada dia. O critério de
liquidez baseou-se no número de negócios realizados a cada pregão. Além disto, foram
excluídas da análise as opções com vencimento igual ou inferior a 3 dias. Como já visto no
capítulo 4, as volatilidades implícitas destas opções apresentam um comportamento
imprevisível, causando, desta maneira, grandes distorções quando decisões baseadas neste
comportamento são tomadas.
O banco de dados com as ações Telebrás PN e suas respectivas opções de compra
foi obtido junto à Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA). A taxa de juros livre de
risco coletada no banco de dados da Economática corresponde ao CDI pré-fixado de 30
dias over obtido a cada dia de negócios.
48
Capítulo 6 - Metodologia
6.1 – Introdução
A expressão algébrica do conhecido modelo de apreçamento de opções de Black &
Scholes é função das variáveis S (preço do ativo-objeto), K (preço de exercício da opção),
T (prazo de vencimento da opção), Rf (taxa de juros sem risco) e σ (volatilidade futura
estimada do ativo-objeto). Com exceção desta última variável, todos os outros parâmetros
podem ser facilmente observados no mercado.
Supondo a validade do modelo, para que o preço das opções possa ser considerado
justo, nenhum tipo de lucro sistemático deve ser obtido com a formação de portfólios
delta-neutros1. Assim, é importante que o único parâmetro estimado pelo mercado, ou seja,
a volatilidade futura do ativo-objeto refletida pela volatilidade implícita das opções, seja
coerente com o preço justo dos derivativos.
A metodologia desenvolvida neste estudo tem por objetivo tentar encontrar, sob
certas condições, um padrão de comportamento para a volatilidade futura do ativo-objeto
ainda não totalmente conhecido pelo mercado. Desta forma, a hipótese levantada por esta
pesquisa é a de que, em situações específicas, a volatilidade implícita das opções não
representa o melhor estimador para a volatilidade futura do ativo-objeto.
Para corroborar tal hipótese, estratégias de investimento baseadas em
argumentações específicas são construídas e seus retornos apurados. Caso lucros
sistemáticos sejam obtidos, diz-se que o mercado é não ineficiente já que, de acordo com a
definição de Dan Galai (1977), “O mercado somente pode ser dito ineficiente quando as
oportunidades de lucro podem ser exploradas.”
1 Como visto no capítulo 4, para que um portfólio delta-neutro seja considerado totalmente sem risco, umrebalanceamento a cada instante se faz necessário. No entanto, quando um teste de eficiência de opções érealizado com uma grande quantidade de dados, as possíveis perdas devidas à falta de rebalanceamentoinstantâneo são compensadas pelos ganhos provenientes do mesmo efeito. Desta forma, o ganho esperado érefletido apenas pela taxa de juros livre de risco.
49
6.2 - As estratégias de Investimento
As estratégias de investimento desenvolvidas nesta pesquisa partem das
argumentações apresentadas ao final do capítulo 2. Uma vez suposta a hipótese de que
existe auto-correlação temporal de ordem 1 dos retornos ao quadrado calculada entre os
dias de retornos negativos e os dias subseqüentes, então a probabilidade de se observar um
alto retorno (positivo ou negativo) após um dia de alto retorno negativo é maior quando
comparada à mesma probabilidade associada a um dia não precedido por um alto retorno
negativo. Por outro lado, uma vez suposta que esta auto-correlação inexiste para os dias de
retornos positivos, sendo observado no mercado um alto retorno positivo, nada se pode
concluir acerca das probabilidades de ocorrência de altos retornos no dia seguinte.
Caso estes efeitos realmente existam, o mercado, em um dia de alto retorno
negativo, deveria aumentar a volatilidade implícita das opções ou não reduzi-las de forma
drástica. Ao mesmo tempo, em dias de alto retorno positivo nenhum aumento substancial
ou até mesmo uma queda na volatilidade deveria ser esperada do mercado. Baseadas nestas
argumentações, as estratégias de investimento a serem testadas pelo estudo procuram atuar
nos dias em que são notados comportamentos dos retornos e das variações de volatilidade
implícita de maneira oposta aos acima citados. As estratégias são, portanto, as seguintes:
Estratégia 1: Em dias de alto retorno positivo conjugado com um aumento ou
pequena queda na volatilidade implícita, um suposto investidor deve vender opções e
comprar uma quantidade de ativos para ficar em posição “hedging”. Isto porque o preço da
opção estaria superavaliado (volatilidade implícita superavaliada pelo mercado). No dia
seguinte, a operação inversa seria realizada, ou seja, o investidor compraria a opção e
venderia o ativo. Esta operação é conhecida no mercado como venda de volatilidade por 1
dia. O lucro é, então, apurado ao longo do tempo para cada dia de operação.
Estratégia 2: Em dias de alto retorno negativo conjugado com uma queda ou
pequeno aumento na volatilidade implícita, um suposto investidor deve comprar opções e
vender uma quantidade de ativos para ficar em posição “hedging”. Isto porque o preço da
opção estaria subavaliado (volatilidade implícita subavaliada pelo mercado). No dia
seguinte, a operação inversa seria realizada, ou seja, o investidor venderia a opção e
50
compraria o ativo. Esta operação é conhecida no mercado como compra de volatilidade por
1 dia. O lucro é, então, apurado ao longo do tempo para cada dia de operação.
6.3 – A Determinação dos Altos e Baixos Retornos
O passo inicial para a implementação das estratégias de investimento propostas é a
determinação dos dias que podem ser considerados de alto retorno, em módulo. Conforme
a metodologia apresentada no capítulo 3, a função de distribuição gerada pela mistura de
duas normais é utilizada com este propósito.
Como já visto, o método de estimação por máxima verossimilhança é a abordagem
natural a ser utilizada para o cálculo dos parâmetros da distribuição que melhor se encaixa
aos retornos históricos de 1995 e 1996. Desta forma, é necessário obter os valores de u, v e
p que maximizem a função de verossimilhança definida como:
( ) ∑
×−+
×=
i
ttt
rNprNprLRσσ
σ 21 )1(ln, , onde
N1 = normal com média 0 e desvio-padrão uN2 = normal com média 0 e desvio-padrão v
A tabela 6.1 fornece os valores de LR para cada combinação dos parâmetros u e p
variando de 0,1 a 0,9. Para u igual a 0,7 e p igual a 0,9 tem-se o maior valor de LR na
tabela. Assim, utilizando estes parâmetros como “chutes” iniciais e, com a ajuda da
ferramenta Solver do software Excel®, encontra-se os valor de u e p iguais a 0,688 e 0,884.
Como p, u e v devem satisfazer a equação 1)1( 22 =−+ vppu , o valor de v é, então, igual a
2,239.
Com esses 3 parâmetros calculados, a distribuição gerada pela mistura de 2 normais
está totalmente definida. Para testar sua adequabilidade aos dados históricos de retornos
diários de Telebrás PN em 1995 e 1996, um teste para adequabilidade de ajustamento da
distribuição deve ser efetuado. Os resultados do teste de Kolmogorov-Smirnov são
apresentados no capítulo 7.
51
Tabela 6.1Valores da Função de Verossimilhançapara Combinações dos Parâmetros u e v
Tendo sido determinados os parâmetros u, v e p, o teste para adequabilidade de
ajustamento de Kolmogorov-Smirnov (Peters & Summers, 1973) é realizado. Uma vez
aceita a distribuição, calcula-se a probabilidade, para cada dia a partir 2 de janeiro de 1997,
do retorno ter sido gerado pela normal de maior variância. Conforme visto no capítulo 3,
esta probabilidade é dada pela seguinte expressão:
( )( ) ( )vrNpurpN
vrNpr
tt
tt ,0)1(,0
,0)1()(
−+−
=α
O módulo do retorno diário de Telebrás PN é, então, considerado alto em
determinado dia caso esta probabilidade seja maior do que um valor limite estabelecido. Os
resultados das estratégias serão mais adiante analisados para vários valores de limites
escolhidos. Analogamente, o módulo do retorno é considerado baixo quando esta
probabilidade é menor do que o mesmo limite pré-estabelecido.
6.4 – Montante Investido
A lucratividade das operações deve ser medida de forma equivalente ao retorno de
um fundo de investimento que pode, eventualmente, se alavancar para obter melhor
rentabilidade. Isto porque a estratégia 2 gera um fluxo de caixa positivo para o investidor
no dia de sua implementação, tornando, assim, uma simples medição convencional de
retorno diário inadequada2.
2 O retorno diário de um ativo é normalmente obtido pela fórmula ln(At/At-1)
52
Por esta razão, é necessário se estabelecer o montante a ser investido nos dias em
que são efetuadas as operações de compra do portfólio “hedging”3. Para se determinar a
quantidade de posições “hedging”, é escolhido um percentual fixo do patrimônio do fundo
que pode ser colocado em risco. Assim, o número de portfólios formados é tal que o VaR4
de uma posição vezes o número de posições seja igual a um percentual do patrimônio do
fundo a cada dia. Este percentual é arbitrário, sendo adotado o valor de 5% neste estudo.
Desta forma, torna-se necessário calcular, para cada dia de negócios, o VaR das
posições “hedging” compradas e vendidas em opções. Através da metodologia
desenvolvida na seção 4.2, obtém-se o VaR diário para as duas possíveis posições
assumidas por um suposto investidor5. A tabela 6.2 fornece os desvios-padrão históricos
das variações contínuas das volatilidades implícitas6 bem como suas correlações com os
retornos contínuos diários de Telebrás PN para os anos compreendidos entre 1996 e 1999.
Cabe relembrar que estes valores são usados como estimativas para os parâmetros de
desvio-padrão e correlação para cada um dos anos subseqüentes. Estas estimativas são
necessárias para a realização da simulação de Monte Carlo e a conseqüente obtenção do
VaR diário.
Tabela 6.2Desvios-padrão das Variações das Volatilidades Implíticas e suas Correlações com os
Retornos Diários de Telebrás PN. Valores Históricos Separados para osGrupos dos Retornos Positivos e Negativos
Por fim, o teste de Kupiec (1995), conforme descrito ao final da seção 4.2, é
realizado com o objetivo de se medir a acurácia do modelo de risco (VaR) desenvolvido
3 Dias que satisfaçam as condições impostas pelas estratégias 1 e 2.4 Na pesquisa o VaR foi calculado com 95% de confiança.5 As posições possíveis são (+ C – ∆S) para os dias de retornos negativos e (– C + ∆S) para os dias deretornos positivos.6 As volatilidades implícitas são sempre calculadas com as opções sobre Telebrás PN que tiveram o maiornúmero de negócios a cada dia.
ANO
1996 0,113 -0,110 0,110 0,0061997 0,088 -0,493 0,103 -0,1771998 0,075 -0,308 0,087 0,1051999 0,068 -0,247 0,078 -0,261
Retornos Negativos(+ C - ∆∆∆∆S)
Retornos Positivos(- C + ∆∆∆∆S)
( )1ln −tt volvolσ ( ) ( )11 ln,ln −− tttt rrvolvolρ ( )1ln −tt volvolσ ( ) ( )11 ln,ln −− tttt rrvolvolρ
53
nesta pesquisa. Para a realização deste teste, expurgam-se os pregões nos quais as opções
estão muito próximas do vencimento (menor ou igual a 3 dias para o vencimento).
Conforme já mencionado, estes dias apresentam um comportamento totalmente atípico
para as variações das volatilidades implícitas, invalidando, desta forma, qualquer modelo
de risco que procure avaliar uma posição delta-neutra. Os resultados do teste de Kupiec são
apresentados no capítulo 7.
6.5 – Rentabilidade das Operações
Como já mencionado, o retorno das operações de investimento deve ser medido de
forma semelhante a um fundo de investimento. A partir de um montante arbitrário de
100.000 unidades monetárias em 1 de janeiro de 1997, o patrimônio do fundo sofre
alterações a cada dia da seguinte forma:
Dias de baixo retorno, em módulo
Nesses dias, as operações de investimento não são realizadas. Assim, a variação do
patrimônio do fundo em um dia corresponde apenas ao CDI diário.
Dias de alto retorno positivo
A primeira condição para se efetuar a estratégia 1 é satisfeita. No entanto, para que
a operação seja realizada é necessário verificar o comportamento da volatilidade implícita
da opção naquele dia. Caso esta volatilidade tenha aumentado ou sofrido uma pequena
queda em relação ao dia anterior, a operação de venda da “call” e compra de delta ações é
realizada (- C + ∆S). Esta pequena queda é definida como sendo um valor inferior, em
módulo, à média das variações diárias dos logaritmos neperianos das volatilidades
implícitas das opções nos anos de 1995 e 1996 menos um número determinado de desvios-
padrão. A média encontrada para as variações dos logaritmos neperianos das volatilidades
implícitas históricas anualizadas é de –0,0037 e o desvio-padrão é de 0,1997. Os resultados
7 Para o cálculo da média e desvio-padrão das variações diárias dos logaritmos neperianos das volatilidadesimplícitas anualizadas, foram consideradas iguais a zero os dias nos quais se verificou variação, em módulo,maior do que 1,5. Estas fortes oscilações correspondem aos períodos próximos do vencimento das opções,caracterizados por comportamentos atípicos de volatilidade implícita.
54
da pesquisa são apresentados mais adiante para vários números de desvios-padrão
arbitrados.
Se a variação da volatilidade implícita não apresentar comportamento compatível
com o acima descrito, a operação não é realizada. Com isso, o valor do patrimônio do
fundo é apenas corrigido pelo CDI diário.
Uma vez que esta operação implica em aporte de dinheiro (fluxo de caixa negativo)
e que este valor advém das considerações apresentadas na seção 6.4, caso este montante
ultrapasse o patrimônio do fundo naquela data, é considerado o pagamento de juros por 1
dia à taxa de CDI sobre o valor do empréstimo. Caso o valor investido seja inferior ao
patrimônio do fundo, a diferença é aplicada à mesma taxa.
No dia seguinte a operação é desfeita com a compra da “call” e a venda das ações a
preço de mercado (preços de fechamento). O retorno da operação é, então, medido com o
logaritmo neperiano da razão definida pelo patrimônio do fundo na data em que a operação
é desfeita sobre o patrimônio no dia anterior. Os resultados são apresentados com e sem
custo de corretagem. Este custo é estipulado em 0,03% sobre o financeiro total das
operações. Este percentual, apesar de parecer pequeno, reflete um custo operacional
diluído já que os grandes operadores de mercado pagam, normalmente, taxas fixas por
mês, podendo realizar um número indeterminado de operações.
Dias de alto retorno negativo
A primeira condição para se efetuar a estratégia 2 é satisfeita. No entanto, para que
a operação seja realizada é necessário verificar o comportamento da volatilidade implícita
da opção naquele dia. Caso esta volatilidade tenha diminuído ou sofrido um pequeno
aumento em relação ao dia anterior, a operação de compra da “call” e venda de delta ações
é realizada (+ C - ∆S). Este pequeno aumento é definido como sendo um valor inferior a
média dos logaritmos neperianos das variações diárias das volatilidades implícitas das
opções nos anos de 1995 e 1996 (µ = -0,0037) mais um número determinado de
55
desvios-padrão (σ = 0,199). Os resultados da pesquisa são apresentados mais adiante para
vários valores de desvios-padrão escolhidos.
Caso a variação da volatilidade implícita apresente comportamento incompatível
com o acima descrito, a operação não é realizada. Com isso, o valor do patrimônio do
fundo é apenas corrigido pelo CDI diário.
No dia seguinte a operação é desfeita com a venda da “call” e a compra das ações a
preço de mercado (preços de fechamento). Tendo em vista que esta operação implica em
fluxo de caixa positivo no dia de sua efetivação8, são somados os juros da aplicação desse
montante por 1 dia (CDI diário) ao patrimônio do fundo. O retorno da operação é, então,
medido com o logaritmo neperiano da razão definida pelo patrimônio do fundo na data em
que a operação é desfeita sobre o patrimônio no dia anterior. Para efeito de cálculo são
também considerados os efeitos dos custos de corretagem e do aluguel da ação Telebrás
PN9, necessário para a realização da venda a descoberto do ativo.
Como já mencionado, uma vez que o comportamento das volatilidades implícitas se
torna atípico quando a opção fica próxima de seu vencimento, optou-se por não realizar as
operações de investimento nos dias em que a opção mais líquida10 tem vencimento igual ou
inferior a 3 pregões.
6.6 – Lucratividade das Estratégias
A partir do retorno individual de cada um dos dias nos quais são realizadas as
operações de investimento, testes que tenham por objetivo apurar a lucratividade média das
estratégias devem ser construídos.
Dois tipos de procedimentos são propostos. O primeiro é um teste de hipótese
paramétrico no qual é suposto a normalidade da média dos excessos dos retornos das
8 Fluxo financeiro definido na seção 6.4.9 O valor do aluguel considerado foi de 6% ao ano sobre o valor da ação na data do contrato.10 Opção com maior número de negócios.
56
operações sobre o CDI diário11. Tendo em vista que a amostra não é grande, o teste t
mostra-se mais apropriado. Na realidade, o tamanho da amostra corresponde ao número de
dias nos quais são efetivadas as operações. Este número é função de 2 parâmetros
escolhidos: a definição de alto retorno, que depende do valor limite escolhido acima do
qual a probabilidade do retorno ter sido gerado pela normal de maior variância deve estar,
e o comportamento da variação da volatilidade implícita, que, para ser compatível com as
estratégias, deve ser inferior, em módulo, a média mais ou menos12 um número escolhido
de desvios-padrão da variação histórica diária do logaritmo neperiano da volatilidade
implícita anualizada calculada em 1995 e 1996.
A hipótese nula do teste é a de que a média dos logaritmos neperianos do excesso
de retorno das operações em relação ao CDI diário é igual a 0. A média é obtida pela
seguinte expressão:
n
CDIPLPL
Y t
t∑
−= −1
ln
onde,
PLt = patrimônio do fundo em tPLt-1 = patrimônio do fundo em t –1CDI = taxa de juros de CDI por 1 dian = número de operações realizadas
Desta forma, o teste de hipótese apresenta a seguinte estrutura:
0:0 =YH
0:1 >YH
Os resultados do teste para diversos níveis de significância (teste unicaudal) e
parâmetros escolhidos são apresentados no capítulo 7.
O segundo teste de hipótese é do tipo não paramétrico. O teste de sinal é um
simples procedimento para testar hipóteses de tendência central de uma função de
11 O excesso de retorno é assim definido já que, para pequenas variações do ativo-objeto, o retorno esperadode uma posição delta-neutra é igual a taxa de juros livre de risco.12 Média menos desvio-padrão para a estratégia 1 e média mais desvio-padrão para a estratégia 2.
57
distribuição não normal. Este tipo de teste faz inferências acerca da mediana da população
e não da média. Segundo McClave, Benson e Sincich (1998, pp. 869-872), uma vez que os
testes não paramétricos podem ser utilizados para qualquer tipo de distribuição, não
somente a normal, é razoável que estes estejam focados na mais robusta (menos sensível a
valores extremos) medida de tendência central, a mediana. A estatística do teste em função
da mediana η é construída da seguinte forma:
0:0 =ηH0:1 >ηH
O teste unicaudal é conduzido contando-se o número de vezes em que cada
observação, definida como o logaritmo neperiano do excesso de retorno em relação ao
CDI, é favorável à hipótese alternativa
S = número de vezes em que cada observação é maior do que 0.
A variável aleatória S têm distribuição binomial e, sendo a hipótese nula H0
verdadeira, a probabilidade p de que cada observação esteja abaixo ou acima de 0 é igual a
0,5. Portanto, qual seria a probabilidade de que as S ou mais observações advindas de uma
binomial sejam bem sucedidas (contrárias a hipótese H0) se a probabilidade de sucesso
individual é igual a 0,5?
p-value = ( ) ( ) kSxPSxP −=−≤−=≥ 111
onde k é uma distribuição binomial com S – 1 tentativas bem sucedidas, N tentativas
independentes (número de operações de investimento realizadas) e probabilidade de
sucesso de cada tentativa independente igual a 0,5.
Ao se conduzir o teste com nível de significância igual a 1 - α, a região de rejeição
pode ser expressa em termos do p-value:
Região de rejeição: p-value α≤
58
Assim, obtém-se, para cada conjunto de parâmetros de determinação de alto retorno
e comportamento da variação da volatilidade implícita, a aceitação ou rejeição da hipótese
de que as operações de investimento possuem, na maior parte das vezes, rentabilidade
superior à taxa de CDI diário. Os resultados do teste são apresentados no capítulo 7.
59
Capítulo 7 – Resultados
7.1 – Introdução
Os resultados da pesquisa são apresentados neste capítulo. A ordem de
apresentação destes resultados segue o formato geral de construção da dissertação.
Inicialmente são apresentados os resultados dos testes de auto-correlação do quadrado dos
retornos diários de Telebrás PN nos anos de 1995 e 1996. Os resultados deste primeiro
teste dão suporte à formulação das estratégias de investimento propostas na pesquisa.
Na seção 7.3 são apresentados os resultados que sustentam a adequabilidade da
função de distribuição derivada da mistura de duas normais como ferramenta de escolha
dos altos e baixos retornos de Telebrás PN.
A seção 7.4 mostra os resultados que sustentam a validade do modelo de VaR
desenvolvido no capítulo 4 e aplicado na determinação do montante a ser investido nas
operações de compra e venda de portfólios delta-neutros.
Por fim, os principais resultados da dissertação referentes à rentabilidade das
estratégias de investimento propostas são apresentadas na seção 7.5.
7.2 - A Auto-correlação Temporal dos Retornos ao Quadrado
Conforme exposto no capítulo 2, o teste mais indicado para se verificar a auto-
-correlação temporal de ordem 1 do quadrado dos retornos diários de Telebrás PN nos anos
de 1995 e 1996 é o proposto por Taylor (1986). Os testes foram realizados de acordo com a
metodologia previamente apresentada, dividindo os retornos diários em dois grupos: os
retornos positivos e os negativos.
Nos anos de 1995 e 1996, foram observados 260 retornos diários positivos e 233
retornos diários negativos1. Para o grupo dos positivos, a auto-correlação de ordem 1 do
quadrado dos retornos diários observada foi de 0,024. Mediante a utilização do teste de
1 Dias de retorno igual a 0 foram considerados positivos.
60
hipótese proposto por Taylor (1986), calcula-se o p-value (teste bicaudal), encontrando o
valor de 0,697. Assim, é aceita a hipótese nula de que a auto-correlação para este grupo de
retornos diários não é diferente de zero. Uma vez que o p-value obtido apresenta um valor
elevado, esta conclusão permanece válida para testes com baixa significância. Conforme
exposto no capítulo 2, tendo em vista que a hipótese nula não foi rejeitada, pode-se dizer,
com alto grau de confiança, que as variáveis aleatórias observadas são independentes e
conseqüentemente não correlacionadas.
Para o grupo dos negativos, a auto-correlação de ordem 1 do quadrado dos retornos
diários observada foi de 0,453. Novamente, através do teste de hipótese proposto por
Taylor (1986), calcula-se o p-value (teste bicaudal), encontrando o valor de 0,000. Este
resultado preliminar indicaria a rejeição da hipótese nula de que os retornos diários
negativos ao quadrado não são auto-correlacionados em primeira ordem, mesmo para
testes com alta significância. No entanto, conforme descrito no capítulo 2, quando a
hipótese nula é rejeitada, nada pode ser afirmado acerca da auto-correlação dos retornos. O
que pode ser concluído, entretanto, é que o processo gerador dos retornos diários negativos
não é do tipo “Strict White Noise” com variância finita. Assim, o máximo que pode ser
dito é que as variáveis não são independentes e identicamente distribuídas.
Estas conclusões estão baseadas no fato de que, somente para processo lineares, a
correlação amostral é assintoticamente distribuída por uma função normal com média igual
a zero e variância igual a 1/n , onde n é o tamanho da amostra. Para processos não lineares,
a variância é desconhecida, sendo maior do que 1/n.
Caso esta variância desconhecida fosse 12,5 vezes maior do que 1/n, então o p-
value calculado para o teste dos retornos diários negativos seria de 0,051. Nesta situação,
para um nível de significância igual a 95% (teste bicaudal), os testes estariam em uma
posição de fronteira entre aceitar e rejeitar a hipótese nula. De qualquer forma, supor que a
variância de uma variável aleatória gerada por um processo não linear é 12,5 maior do que
a de um processo linear obtido inicialmente sob o mesmo conjunto de dados2 não parece
razoável. Com isso, de forma intuitiva pode-se afirmar, com algum grau de confiança
2 Retornos diários de Telebrás PN nos anos de 1995 e 1996.
61
desconhecido, que existe auto-correlação de ordem 1 dos retornos ao quadrado no dias de
variação negativa.
Desta forma, pode-se dizer que a análise empírica dos retornos de Telebrás PN
entre janeiro de 1995 e dezembro de 1996 indica a existência de auto-correlação temporal
de ordem 1 para os dias de retornos negativos e a inexistência de auto-correlação (é aceita
a hipótese nula com 5% de significância de que a auto-correlação é igual a 0) para os dias
de retornos positivos.
Através desta verificação é, então, criada a hipótese de que a probabilidade de se
observar um alto retorno (positivo ou negativo) após um dia de alto retorno negativo é
mais alta se comparada à mesma probabilidade para um dia não precedido por um alto
retorno. Por sua vez, quando se verifica no mercado um alto retorno positivo, nada se pode
afirmar acerca das chances de ocorrer um alto retorno no dia seguinte.
7.3 – A Adequabilidade da Função Mistura de Normais
Conforme apresentado no capítulo 3, a função de distribuição gerada pela mistura
de 2 normais é utilizada, nesta dissertação, como ferramenta de análise e determinação dos
altos e baixos retornos diários de Telebrás PN a partir do ano de 1997. Para que a escolha
desta função possa ser considerada acertada, torna-se relevante testar sua adequabilidade
aos retornos históricos ajustados para dividendos de Telebrás PN nos anos de 1995 e 1996.
O teste para adequabilidade de ajustamento de Kolmogorov-Smirnov é, então, utilizado
com este propósito.
De acordo com a metodologia apontada por Peters e Summers (1973), o cálculo do
parâmetro ( ) ( )[ ]nDnDnZ −+ += , onde n é igual ao tamanho da amostra, ( )nD+ é igual a
diferença vertical máxima entre as duas distribuições de freqüência relativa cumulativa3 e
( )nD− é igual a diferença vertical mínima entre as distribuições de freqüência relativa
cumulativa, indica o valor Z = 1,368.
3 As duas distribuições são: a distribuição empírica dos retornos históricos e a mistura de 2 normais com osparâmetros u, v e p iguais a 0,688, 2,239 e 0,884, respectivamente.
62
O apêndice J apresentado pelos autores fornece a tabela com a distribuição
probabilística-limite para o parâmetro calculado. Desta forma, sendo a hipótese nula de que
os dados da amostra foram gerados pela distribuição mistura de 2 normais verdadeira, a
probabilidade de Z ser igual ou menor do que 1,368 está situada entre os valores 0,683 e
0,695. Com isso o p-value associado ao teste situa-se entre 0,305 e 0,317. Portanto, mesmo
para testes com baixo nível de significância, a hipótese nula não pode ser rejeitada.
Conclui-se, portanto, que a mistura de 2 normais com os parâmetros calculados pode ser
usada para modelar os retornos diários de Telebrás PN nos anos de 1995 e 1996.
Para efeito de comparação, o mesmo teste é efetuado com a hipótese nula de que a
distribuição normal com média e desvio-padrão amostral calculado se adequa à
modelagem dos retornos históricos de Telebrás PN nos anos de 1995 e 1996. Neste caso, o
valor de Z é igual a 3,731 e o p-value igual a 0, levando a conclusão de que a distribuição
normal não é indicada para a modelagem dos dados históricos.
Gráfico 7.1Comparação da Distribuição Empírica dos Retornos Diários de Telebrás PN (1995 e 1996)
e sua Modelagem pelas Distribuições Normais e Mistura de 2 Normais
O gráfico 7.1 permite visualizar o histograma dos retornos históricos, a distribuição
normal e a mistura de normais como funções de distribuição ajustadas aos dados. Torna-se
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
-4 -3,6
-3,2
-2,8
-2,4 -2 -1,
6-1,
2-0,
8-0,
4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
Des
f(x) Distribuição Empírica
Distribuição NormalMistura de 2 Normais
63
igualmente evidente, através do gráfico, que a mistura de normais é mais adequada se
comparada à normal para a modelagem dos dados históricos.
7.4 – Teste de Acurácia do Modelo de VaR
Para se medir a acurácia do modelo de risco, o teste de Kupiec (1995) é realizado.
Analisando os pregões compreendidos entre 02 de janeiro de 1997 e 22 de maio de 2000,
verifica-se a existência de 425 dias de retornos positivos4 e 352 dias de retorno negativo.
Cabe ressaltar que os dias com vencimentos de opção inferior ou igual a 3 pregões foram
retirados da amostra.
Para os dias positivos, o número de vezes em que a perda de uma posição, de um
dia para o outro, vendida em “call” e comprada em delta ações (- C + ∆S) foi maior do que
o valor do VaR para esta carteira, é de 16. Para os dias de retorno negativo, o número
equivalente para uma posição comprada em “call” e vendida em delta ações (+ C - ∆S) é,
igualmente, 16. Assim, o número total de “furos” do modelo de VaR desenvolvido com
nível de confiança de 95% é de 32 para uma amostra total de 777 dias. A proporção de
“furos” do modelo é, então, de 32 / 777 = 0,0412.
Aplicando estes parâmetros na função de verossimilhança de Kupiec, obtém-se o
valor de 1,349 com p-value correspondente de 0,245. Assim para testes com nível de
significância superiores a 75,5%, a hipótese nula de que a proporção de erro do modelo é
de 5% não é rejeitada. Como, em geral, os testes de hipóteses são efetuados com alto nível
de significância, pode-se dizer que o modelo de risco desenvolvido nesta pesquisa
apresenta resultados bastante satisfatórios.
7.5 - Resultados das Estratégias de Investimento
Os resultados das operações de investimento são divididos em dois grupos
principais. Os testes de hipótese paramétricos e os não paramétricos. Em cada um destes
grupos, os resultados são apurados levando-se em conta os custos de corretagem e sem
custo de corretagem.
4 Incluindo os dias de retorno igual a 0.
64
Os resultados são também apresentados, tanto nos testes paramétricos como nos
não paramétricos, com as três combinações possíveis das estratégias 1 e 2 desenvolvidas
no capítulo 6: estratégias 1 e 2 efetivadas em conjunto (venda e compra de volatilidade nos
dias de alto retorno positivo e alto retorno negativo, respectivamente) e cada uma das
estratégias individualmente aplicadas sobre o conjunto de dados (operações somente para
dias de alto retorno positivo com venda de volatilidade e somente para os dias de alto
retorno negativo com compra de volatilidade).
As tabelas com os resultados apresentam o seguinte formato:
a) As colunas representam o parâmetro de probabilidade-limite do retorno ter sido
gerado pela normal de maior variância. Como exemplo, para a coluna 0,3, para um retorno
ser considerado alto, sua probabilidade de ter sido gerado pela normal de maior variância
deve ser igual ou maior do que 0,3. Se esta probabilidade for menor do que 0,3, o retorno é
classificado como baixo, portanto não satisfazendo ao critério inicial para a execução das
estratégias 1 e 2 desenvolvidas na pesquisa.
b) As linhas da tabela representam o número de desvios-padrão em relação à média
histórica das variações de volatilidade implícita. Como exemplo, para a linha 0,7, sendo
um retorno positivo classificado como alto, a operação de investimento somente é efetuada
caso a volatilidade implícita da opção correspondente5 tenha sofrido uma variação em
relação ao dia anterior superior à média menos 0,7 desvios-padrão da variação diária
histórica das volatilidades implícitas calculadas nos anos de 1995 e 1996. Sendo, neste
mesmo exemplo, um retorno negativo classificado como alto, a operação somente se
verifica caso a volatilidade implícita da opção correspondente tenha sofrido uma variação
em relação ao dia anterior inferior à média mais 0,7 desvios-padrão da variação diária
histórica das volatilidades implícitas calculadas nos anos de 1995 e 1996.
Os resultados são sempre apresentados com as médias (testes paramétricos) e
medianas (testes não paramétricos) e seus p-values correspondentes.
5 Opção com maior número de negócios.
65
Testes Paramétricos
Tabela 7.1Resultados dos Testes Paramétricos das Estratégias de Venda e Compra
de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégias 1 e 2) Sem Custo de Corretagem
Tabela 7.2Resultados dos Testes Paramétricos da Estratégia de Venda de
Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 1) Sem Custo de Corretagem
Tabela 7.3Resultados dos Testes Paramétricos da Estratégia de Compra de
Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 2) Sem Custo de Corretagem*A média da coluna 0,9, linha 0,1 não é calculada pois, sob estas condições, não são realizadas operações de investimento.
66
Tabela 7.4Resultados dos Testes Paramétricos das Estratégias de Venda e Compra
de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégias 1 e 2) Com Custo de Corretagem
Tabela 7.5Resultados dos Testes Paramétricos da Estratégia de Venda de
Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 1) Com Custo de Corretagem
Tabela 7.6Resultados dos Testes Paramétricos da Estratégia de Compra de
Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 2) Com Custo de Corretagem
*A média da coluna 0,9, linha 0,1 não é calculada pois, sob estas condições, não são realizadas operações de investimento.
67
Testes Não Paramétricos
Tabela 7.7Resultados dos Testes Não Paramétricos das Estratégias de Venda e Comprade Volatilidade de Telebrás PN (Estratégias 1 e 2) Sem Custo de Corretagem
Tabela 7.8Resultados dos Testes Não Paramétricos da Estratégia de Venda de
Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 1) Sem Custo de Corretagem
Tabela 7.9Resultados dos Testes Não Paramétricos da Estratégia de Compra deVolatilidade de Telebrás PN (Estratégia 2) Sem Custo de Corretagem
* A mediana da coluna 0,9, linha 0,1 não é calculada pois, sob estas condições, não são realizadas operações de investimento.
68
Tabela 7.10Resultados dos Testes Não Paramétricos das Estratégias de Venda e Comprade Volatilidade de Telebrás PN (Estratégias 1 e 2) Com Custo de Corretagem
Tabela 7.11Resultados dos Testes Não Paramétricos da Estratégia de Venda de
Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 1) Com Custo de Corretagem
Tabela 7.12Resultados dos Testes Não Paramétricos da Estratégia de Compra deVolatilidade de Telebrás PN (Estratégia 2) Com Custo de Corretagem
* A mediana da coluna 0,9, linha 0,1 não é calculada pois, sob estas condições, não são realizadas operações de investimento.
69
Cabe ressaltar que, sendo os testes paramétricos e não paramétricos unicaudais, os
p-values das médias e medianas somente são calculados quando estas medidas assumem
valores positivos (maiores ou iguais a 0).
Para uma perfeita interpretação das tabelas acima, torna-se necessário ter em mente
o número de operações de investimento realizadas no período compreendido entre 2 de
janeiro de 1997 e 22 de maio de 2000 para cada uma das combinações das linhas e colunas
de cada tabela. O número de operações é computado para as estratégias 1 e 2 em conjunto,
para a estratégia 1 e para a estratégia 2 sendo efetivadas individualmente. O número de
operações das estratégias 1 e 2 efetivadas em conjunto é igual a soma dos números de
operações da estratégia 1 mais os números da estratégia 2.
Tabela 7.13Número de Operações de Investimento Realizadas entre 02/01/1997 e 22/05/2000
Através da Implementação em Conjunto das Estratégias de Venda eCompra de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégias 1 e 2)
Tabela 7.14Número de Operações de Investimento Realizadas entre 02/01/1997 e 22/05/2000 Atravésda Implementação da Estratégia de Venda de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 1)
70
Tabela 7.15Número de Operações de Investimento Realizadas entre 02/01/1997 e 22/05/2000 Atravésda Implementação da Estratégia de Compra de Volatilidade de Telebrás PN (Estratégia 2)
Uma primeira análise das tabelas de resultados indica uma forte tendência de se
encontrar médias e medianas de excessos de retorno em relação ao CDI positivos. Para os
testes paramétricos, quando a estratégia 1 é efetuada separadamente (Tabela 7.2 e 7.5),
alguns excessos de retorno negativos para a coluna 0,1 são observados (8,3% do total das
médias de cada tabela). Para a estratégia 2 (Tabelas 7.3 e 7.6) apenas 1 média da coluna
0,9 é negativa (0,92% das médias).
Para os testes não paramétricos sem custo de corretagem, quando a estratégia 1 é
efetuada separadamente (Tabela 7.8) apenas 1 média da coluna 0,1 é negativa (0,92% das
médias). Sendo a estratégia 2 realizada em separado, 2 médias das colunas 0,4 e 0,9 são
negativas (Tabela 7.9). Com custo de corretagem, para as estratégias 1 e 2 em conjunto
(Tabela 7.10) , 3 médias da coluna 0,1 são negativas. Para a estratégia 1 (Tabela 7.11), 18
médias são negativas (16,6% do total de médias calculadas), já para a estratégia 2 (Tabela
7.12) apenas 2 médias são negativas.
A Tabela 7.16 fornece o número de médias e medianas, para cada uma das tabelas
de resultados, que possuem p-values menores ou iguais a 0,025, 0,05 e 0,1. Assim, obtém-
-se o número rejeições com níveis de significância iguais a 97,5%, 95% e 90%6, para cada
tabela de resultados, da hipótese nula da média ou mediana serem iguais a 0.
6 Testes de hipótese unicaudais.
71
Tabela 7.16Número de Médias e Medianas, para Cada uma das Tabelas de
Resultados, com P-values Inferiores a 0,025, 0,05 e 0,1
Através das tabelas 7.13, 7.14 e 7.15, percebe-se, conforme esperado, que quanto
maior for o valor limite de probabilidade para que um retorno possa ser considerado alto,
menor é o número de operações. Ao mesmo tempo, quanto menor for a restrição em
relação ao comportamento da variação diária da volatilidade implícita para a realização das
operações (traduzida por um maior número de desvios-padrão), maior é o número de
operações de investimento realizadas.
Desta forma, a análise dos resultados deve levar em conta o seguinte fato: Quanto
maior for o valor da probabilidade-limite e menor for o número de desvios-padrão7, maior
ênfase é dada às argumentações básicas utilizadas para o desenvolvimento das estratégias
de investimento. Por outro lado, sob estas condições, o número de operações torna-se cada
vez menor, reduzindo, assim, a significância estatística dos resultados.
7 Quanto mais próximo do canto superior direito das tabelas de resultado.
72
Uma observação mais cuidadosa da Tabela 7.1 traduz o raciocínio acima exposto.
Para todas as colunas, com exceção da coluna 0,18, o p-value das média diminui à medida
que o número de desvios-padrão aumenta, chegando a um valor mínimo, para depois subir
novamente. Este valor mínimo é, em geral, próximo da linha 0,6. Isto significa que o
estabelecimento de um valor de 0,6 desvios para o comportamento da variação diária da
volatilidade implícita como limitador das operações, ao mesmo tempo que vai de encontro
as argumentações básicas das estratégias de investimento, não limita, de forma drástica, o
número de operações realizadas, garantindo, assim, significância estatísticas aos testes de
hipótese.
A análise das médias da Tabela 7.1 também indica perfeita coerência com as
argumentações desenvolvidas através das estratégias de investimento. Com exceção da
coluna 0,99, quanto maior é o valor de probabilidade-limite para a determinação dos altos
retornos, maior é a média de excesso de retorno em relação ao CDI. Ao mesmo tempo,
quanto menor é a exigência em relação ao comportamento diário de variação para a
volatilidade implícita, menor é a média de excesso de retorno diário.
Esta análise das médias pode ser estendida, de forma geral, para todos os outros
testes (Tabelas 7.2 a 7.6). Assim, mesmo com custo de corretagem e com cada uma das
operações sendo realizadas separadamente, o comportamento das médias dos excessos de
retorno em relação ao CDI mostra-se coerente com as argumentações desenvolvidas na
pesquisa. Para algumas tabelas, a seqüência das médias, comparadas em uma mesma linha,
não obedece exatamente a uma suposta ordem crescente. Entretanto, este fato não invalida
a coerência com as argumentações do estudo uma vez que ocorre apenas para colunas
próximas e valores de médias não muito discrepantes.
Outra importante característica dos testes paramétricos (com e sem corretagem) diz
respeito à comparação das médias da estratégia 2 com a estratégia 1 (Tabela 7.2 com 7.3 e
8 O valor de 0,1 como probabilidade-limite é bastante baixo, portanto, pouco coerente com a definição de altoretorno necessária ao desenvolvimento das estratégias de investimento. Este fato pode explicar ocomportamento totalmente atípico desta coluna da tabela em relação às demais.9 Conforme observado na Tabela 7.13, o número de operações realizadas com probabilidade-limite igual a0,9 é pequeno, principalmente para baixos valores de desvios-padrão de variação diária da volatilidadeimplícita. Desta forma, a média amostral não é, provavelmente, uma boa medida de desempenho neste caso.
73
7.5 com 7.6). Com exceção da coluna 0,9 com linha 0,2 (número muito reduzido de
operações), todas as médias calculadas para a estratégia 2 são superiores às médias para a
estratégia 1. Isto significa que as argumentações das estratégias nos dias de retorno
negativo aparentam ser mais fortes se comparadas aos dias de retorno positivo. Assim, é
possível que o aprendizado do mercado em relação ao comportamento da volatilidade
implícita para os dias subseqüentes aos de alto retorno positivo esteja mais avançado em
relação aos dias de alto retorno negativo. Os valores mais baixos para as médias da
estratégia 1 também explicam o comportamento dos seus respectivos p-values, que,
diferentemente das estratégias 1 e 2 em conjunto e da estratégia 2 em separado, não
diminui à medida em que o número de desvios-padrão aumenta, portanto, não chegando a
um valor mínimo, para depois subir novamente.
Para a realização de uma análise minuciosa dos resultados dos testes não
paramétricos, torna-se importante ressaltar que o teste de sinal não se preocupa com a
intensidade dos excessos de retornos em relação ao CDI, mas sim se são ou não maiores do
que 0. Portanto, apesar da maior flexibilidade do teste (não supõe normalidade dos dados),
o comportamento da medida de tendência central avaliada, a mediana, não indicará,
necessariamente, ao contrário do que ocorre com as médias, perfeita coerência com as
argumentações da pesquisa10.
Isto se verifica na medida que, quando aumentada a probabilidade-limite para
definição dos altos retornos e as restrições em relação ao comportamento diário da
variação de volatilidade implícita (diminuindo o número de desvios-padrão), a mediana
dos testes não sofre acréscimos contínuos correlacionados. Este tipo de comportamento
pode ser justificado uma vez que, em situações nas quais a maioria dos excessos de retorno
é negativa, mesmo para grandes retornos positivos, a mediana será negativa.
10 Esta perfeita coerência dos resultados pode ser observada nas tabelas de resultados dos testes paramétricos:quanto maior os valores da probabilidade-limite para a determinação dos altos retornos e da exigência emrelação ao comportamento diário de variação da volatilidade implícita (menor número de desvios-padrão),maior é a média de excesso de retorno em relação ao CDI.
74
De qualquer forma, os testes não paramétricos sugerem que, para várias
combinações de probabilidade-limite e variações diárias de volatilidade implícita, a
mediana dos excessos de retorno em relação ao CDI são estatisticamente significativas.
Uma comparação entre as Tabelas 7.8 com 7.9 e 7.11 com 7.12 mostra que as
medianas, assim como as médias, são, em geral, mais altas na estratégia 2 se comparadas à
estratégia 111. No entanto, o maior número de rejeições da hipótese nula para os vários
níveis de significância dos testes não paramétricos através da implementação da estratégia
1 sem custo de corretagem indica que, talvez, esta estratégia esteja sujeita a uma menor
probabilidade de ocorrência de resultados negativos. Com custo de corretagem, entretanto,
o número de rejeições da estratégia 1 diminui drasticamente, indicando, assim, o pequeno
valor dos excessos de retorno desta estratégia na maior parte das operações.
11 Sem custo de corretagem, 86% das medianas são superiores na estratégia 2 se comparada a 1. Com custode corretagem esta proporção é de 89%.
75
Capítulo 8 – Conclusões
A metodologia proposta neste estudo visa a obtenção de ganhos sistemáticos
provenientes da implementação de estratégias de investimento baseadas em suposições
acerca do comportamento futuro da volatilidade de ativos. Assim, a hipótese levantada por
esta pesquisa é a de que, em situações específicas, a volatilidade implícita das opções não
representa o melhor estimador para a volatilidade futura do ativo-objeto.
Através da série histórica dos retornos diários de Telebrás PN nos anos de 1995 e
1996, observa-se auto-correlação temporal de ordem 1 dos retornos ao quadrado com
significância estatística apenas para os dias de retorno negativo. Baseadas nesta auto-
-correlação, estratégias de investimento com portfólios delta-neutros vendidos ou
comprados em volatilidade são implementadas no período compreendido entre 2 de janeiro
de 1997 e 22 de maio de 2000. As operações somente são realizadas nos dias de alto
retorno positivo associados a um aumento ou pequena diminuição da volatilidade implícita
das opções ou nos dias de alto retorno negativo associados a uma diminuição ou pequeno
aumento da volatilidade implícita das opções.
Os resultados dos testes paramétricos sugerem que as médias dos ganhos calculados
através dos excessos de retorno diário sobre o CDI mediante a manutenção dos portfólios
por 1 dia são estatisticamente significativas. A lucratividade das operações permanece
mesmo quando custos de transação são considerados. Testes não paramétricos são também
realizados, apontando resultados semelhantes para as medianas.
As médias calculadas são maiores na medida que é dada maior ênfase às
argumentações básicas da pesquisa. Ou seja, quanto maior é a definição de alto retorno e a
restrição imposta ao comportamento da volatilidade implícita para a realização das
operações de investimento, maiores são as médias. Entretanto, a conseqüente diminuição
do número de operações de investimento acaba implicando em menor significância
estatística para os resultados obtidos.
76
Os ganhos sistemáticos se devem à falta de um aprendizado por parte do mercado
em relação ao comportamento da volatilidade implícita das opções nos dias subseqüentes
aos pregões nos quais são observados altos retornos. Os resultados mostram, no entanto,
que os ganhos obtidos nos dias que sucedem aos de alto retorno negativo são superiores
aos de alto retorno positivo. Desta forma, o mercado parece conhecer melhor o
comportamento da volatilidade implícita nos dias seguintes aos pregões de alto retorno
positivo.
Através dos resultados observados conclui-se que, para o período analisado, o
mercado de opções sobre Telebrás PN aparenta ser ineficiente, já que, pela simples
utilização de preços passados é possível construir operações de investimento com ganhos
estatisticamente significativos.
Os resultados obtidos motivam a realização de estudos futuros que procurariam
aplicar a metodologia descrita de forma a testar a eficiência do mercado de opções sobre
outros ativos e em diferentes períodos de análise. Apesar de Telebrás PN ser um ativo com
alta liquidez e representatividade no mercado brasileiro dentro do período avaliado, os
resultados desta pesquisa não devem ser generalizados de forma ampla e irrestrita para
todo o mercado brasileiro de opções.
Além dos principais resultados acima mencionados, este estudo contribui para o
desenvolvimento de um modelo específico de risco (VaR) para os portfólios delta-neutros
baseado em simulação de Monte Carlo. Este modelo diferencia-se dos tradicionais pelo
fato de calcular duas vezes, uma para os retornos positivos e outra para os negativos, os
desvios-padrão históricos dos retornos do ativo-objeto e suas correlações com a variação
diária da volatilidade implícita das opções correspondentes. Através do Teste de Kupiec,
verifica-se que tal abordagem gera resultados extremamente satisfatórios.
77
9 – Referências Bibliográficas
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