INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE …propecaut.sr.ifes.edu.br/images/stories/Nemerson.pdf · Gustavo Maia de. III. Instituto Federal do Espírito ... fim de possibilitar

INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E

AUTOMAÇÃO

NEMERSON DESTEFANI BERNARDES

IMPLEMENTAÇÃO DO PID FRACIONÁRIO COM FILTRO DE KALMAN EM UM

ROBÔ MÓVEL DIFERENCIAL

Serra

2017

NEMERSON DESTEFANI BERNARDES

IMPLEMENTAÇÃO DO PID FRACIONÁRIO COM FILTRO DE KALMAN EM UM

ROBÔ MÓVEL DIFERENCIAL

Dissertação apresentada à Coordenadoria do Curso de Mestrado Profissional em Engenharia de Controle e Automação do Instituto Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para o título de Mestre em Controle e Automação. Orientadores: Prof. Dr. Marco Antonio de Souza Leite Cuadros e Prof. Dr. Gustavo Maia de Almeida.

Serra

2017

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Bibliotecária Rogeria Gomes Belchior - CRB6/ES 417

B522i 2017

Bernardes, Nemerson Destefani Implementação do PID fracionário com filtro de Kalman em um robô móvel diferencial / Nemerson Destefani Bernardes. - 2017.

94 f.; il.; 30 cm Orientadores: Prof. Dr. Marco Antonio de Souza Leite Cuadros e Prof. Dr. Gustavo Maia de Almeida. Dissertação (mestrado) - Instituto Federal do Espírito Santo, Programa de Pós-graduação em Engenharia de Controle de Automação, 2017. 1. Controladores PID. 2. Controle de processos. 3. Robôs móveis. I. Cuadros, Marco Antonio de Souza Leite. II. Almeida, Gustavo Maia de. III. Instituto Federal do Espírito Santo. IV. Título. CDD 629.8

AGRADECIMENTOS

Agradeço, primeiramente, a Deus por ter me dado a oportunidade de poder

ingressar no mestrado e também por me permitir ter saúde e equilíbrio para transpor

tão grandes desafios. Agradeço enormemente a minha amada mãe Nair, que

conseguiu garantir minha educação com muita dificuldade, mas com muito amor e

sabedoria, mesmo após a perda do meu querido pai Nelson, que faleceu quando eu

ainda me preparava para ingressar na Escola Técnica Federal do Espírito Santo.

Agradeço em especial a minha esposa Débora e minha querida filha Laura, as quais

me proporcionaram equilíbrio e me confortaram nos momentos de maiores

dificuldades nesse longo processo. Também agradeço imensamente aos amigos de

pesquisa do GAIn, em especial ao Felipe e ao Vinícius pelo apoio, paciência e

parceria em todo o decorrer do curso. Por fim, mas não menos importante agradeço

aos meus orientadores Marco Antonio de Souza Leite Cuadros e Gustavo Maia de

Almeida, que além de terem me orientado e capacitado de forma plena, estiveram

ao meu lado com grande parceria e amizade, o que foi um grande diferencial e

motivador para o término dessa fase tão relevante da minha jornada.

“Desconfio dos veementes. O sujeito que esbraveja

está a um milímetro do erro e da obtusidade"

(Nelson Rodrigues - 1912/1980)

RESUMO

Controladores do tipo PID em sua forma tradicional são amplamente utilizados em

grande parte dos controles de processos industriais. O desempenho desses

controladores, independentemente da complexidade dos processos aos quais são

aplicados, justifica essa utilização maciça, uma vez que, para o alcance de uma boa

sintonia, é necessária apenas a definição de três parâmetros através de métodos de

sintonia que já são bem conhecidos pelos profissionais de automação. Entretanto,

com o avanço do cálculo fracionário, a utilização de PIDs fracionários mostrou-se

mais eficiente usando-se 5 parâmetros de sintonia. Em particular, permitiu a

generalização dos bem conhecidos controladores industriais PI, PD e PID para

controladores que utilizam operadores derivativos e de integração fracionários.

Desta forma, vários novos controladores como o PIλ, PDμ e PIλDμ começaram a ser

implementados e até comparados com os tradicionais controladores de ordem

inteira. Geralmente, busca-se a aplicação de PIDs de ordens fracionárias em

processos, inicialmente de ordens superiores ou de ordens fracionárias, os quais

foram aproximados para ordens inteiras, uma vez que, comprovadamente, os

controladores de ordem fracionária, têm um desempenho mais adequado na

estabilidade, no percentual de ultrapassagem e no tempo de assentamento desses

sistemas. Este trabalho tem a finalidade de avaliar o uso do PID fracionário para o

controle de velocidade das rodas de um robô móvel diferencial, com o objetivo de

melhorar o seu desempenho em relação ao PID inteiro, atualmente implementado. A

fim de possibilitar a mitigação de ruídos do sistema, foi implementado um filtro de

Kalman discreto na variável de entrada do processo. O desempenho do controlador

foi comparado com um controlador PID tradicional implementado na mesma malha

de controle do robô móvel diferencial utilizado. Os resultados mostraram que o PID

fracionário com Filtro de Kalman possibilita uma sintonia mais fina com maior rapidez

de resposta e menor variabilidade, o que confirma a aplicação em processos com

menores constantes de tempo.

Palavras-chave: PID Inteiro. PID Fracionário. Filtro de Kalman. Robôs móveis.

ABSTRACT

PID-type controllers in their traditional form are widely used in most industrial process

controls. The performance of these controllers, regardless of the complexity of the

processes to which they are applied, justifies this massive utilization, since to achieve

a good tuning, consists only of the parameters by means of tuning methods that are

already well known by the Automation professionals. However, with the advancement

of the fractional calculation, it has been shown that the application of fractional PIDs

can be more efficient using 5 tuning parameters. In particular, it allowed the

generalization of the well-known industrial controllers PI, PD and PID to controllers

that use fractional integration and derivative operators. In this way, several new

controllers such as PIλ, PDμ and PIλDμ started to be implemented and even compared

to traditional full-size controllers. Generally, the application of PIDs of fractional

orders in processes of higher orders or fractional orders, which have been

approximated to whole orders, is proven, since the fractional order controllers have

been shown to have a more adequate performance in the stability, And settling time

of these systems. This work has the purpose of evaluating the use of fractional PID

to control the speed of the wheels of a mobile differential robot, in order to improve its

performance in relation to the whole PID, currently implemented. In order to enable

the elimination of system noise, a Kalman filter was implemented in the process input

variable. The performance of the controller was compared with a traditional PID

controller implemented in the same control loop of the mobile differential robot used.

The results showed that the fractional PID with Kalman Filter allows a finer tuning

with faster response and less variability, which confirms the application in processes

with lower time constants.

Keywords: PID Integer. Fractional PID. Kalman Filter. Mobile Robots.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 - Evolução do cálculo fracionário...................................................... 21

Figura 2 - Diagrama de blocos PID tradicional ............................................... 25

Figura 3 - Efeito da variação do ganho proporcional em malha fechada ....... 25

Figura 4 - Efeito da variação do ganho integral em malha fechada ............... 26

Figura 5 - Efeito da variação do ganho derivativo em malha fechada ............ 26

Figura 6 - Região de trabalho do PID tradicional e fracionário ....................... 28

Figura 7 - Detalhe simulação preliminar de um PID fracionário ..................... 28

Figura 8 - Detalhamento Bloco de Bode do Simulink ..................................... 29

Figura 9 - Bloco do PID fracionário no Simulink ............................................. 30

Figura 10 - Variação do ganho integral ............................................................ 31

Figura 11 - Variação do λ ................................................................................. 31

Figura 12 - Variação do ganho derivativo ......................................................... 32

Figura 13 - Variação do μ ................................................................................. 32

Figura 14 - Diagrama de Bode para variações do Ki ........................................ 33

Figura 15 - Diagrama de Bode para variações do λ ......................................... 33

Figura 16 - Diagrama de Bode para variações do Kd ...................................... 34

Figura 17 - Diagrama de Bode para variações do μ ......................................... 34

Figura 18 - Modelo clássico de processo ......................................................... 36

Figura 19 - Esquema IMC ................................................................................ 36

Figura 20 - Fluxograma AG .............................................................................. 38

Figura 21 - Algoritmos preditor / corretor .......................................................... 43

Figura 22 - Esquemático de operação do Filtro de Kalman discreto ................ 44

Figura 23 - Robô móvel diferencial ................................................................... 45

Figura 24 - Esquemático do robô móvel ........................................................... 46

Figura 25 - Modelo do robô móvel de tração diferencial .................................. 46

Figura 26 - Motor DC do robô........................................................................... 48

Figura 27 - Encoder do robô............................................................................. 49

Figura 28 - NI myRIO ....................................................................................... 50

Figura 29 - Controladores PIDs tradicionais das rodas .................................... 51

Figura 30 - Mudança no acionamento de corrente do robô para polias ........... 55

Figura 31 - Circuito da placa do robô ............................................................... 56

Figura 32 - Robô após melhorias ..................................................................... 57

Figura 33 - PID ideal com anti wind-up ............................................................ 59

Figura 34 - PID tradicional no LabView ............................................................ 60

Figura 35 - Cálculo do binômio do PID fracionário ........................................... 62

Figura 36 - Cálculo do operador fracionário ..................................................... 62

Figura 37 - Cálculo Fracionário em blocos ....................................................... 63

Figura 38 - Ambiente de programação do LabView ......................................... 63

Figura 39 - Tela de programação Matlab ......................................................... 64

Figura 40 - Tela programação LabView ........................................................... 65

Figura 41 - Validação PID Matlab e LabView ................................................... 65

Figura 42 - Validação PID fracionário no Matlab e LabView ............................ 66

Figura 43 - Implementação filtro de Kalman LabView ...................................... 67

Figura 44 - Tela de implementação da Odometria do robô .............................. 68

Figura 45 - Base para geração da trajetória do robô ........................................ 69

Figura 46 - Gráfico dos erros de trajetória ........................................................ 70

Figura 47 - Interface dos controladores do robô ............................................... 71

Figura 48 - Resposta ao degrau roda esquerda ............................................... 72

Figura 49 - Resposta ao degrau roda direita .................................................... 73

Figura 50 - Resposta ao degrau e modelo da roda esquerda .......................... 74

Figura 51 - Resposta ao degrau e modelo da roda direita ............................... 74

Figura 52 - Resposta ao degrau PI da roda direita ........................................... 77

Figura 53 - Resposta ao degrau PI da roda esquerda ..................................... 78

Figura 54 - Resposta ao degrau PIF da roda direita ........................................ 79

Figura 55 - Resposta ao degrau PIF da roda esquerda ................................... 80

Figura 56 - Medição de velocidade da roda esquerda com KF ........................ 81

Figura 57 - Medição de velocidade da roda direita com KF ............................. 81

Figura 58 - Resposta ao degrau PIK e PIFK da roda direita ............................ 83

Figura 59 - Resposta ao degrau PIK e PIFK da roda esquerda ....................... 83

Figura 60 - Erro absoluto de trajetória ao longo do tempo de cada controlador .................................................................................... 85

Figura 61 - Teste de trajetória .......................................................................... 86

Figura 62 - Teste de trajetória final ................................................................... 87

Figura 63 - Controle de velocidade da roda direita PIF e AG ........................... 87

Figura 64 - Controle de velocidade da roda esquerda PIF e IMC .................... 88

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Resumos das ações do PID .......................................................... 27

Tabela 2 - Características do motor do robô .................................................. 48

Tabela 3 - Características do encoder do robô .............................................. 49

Tabela 4 - Parâmetros de sintonia IMC .......................................................... 75

Tabela 5 - Parâmetros AG.............................................................................. 76

Tabela 6 - Sintonia PIDs inteiros .................................................................... 76

Tabela 7 - Índices de desempenhos dos PIDs inteiros .................................. 77

Tabela 8 - Sintonia dos PIDs fracionários ...................................................... 78

Tabela 9 - Índices de desempenho dos PIDs fracionários ............................. 79

Tabela 10 - Índices de desempenho dos PIDs com filtro de Kaman ................ 82

Tabela 11 - Índices de desempenho dos PIDs fracionários com filtro de Kalman .......................................................................................... 82

Tabela 12 - Sintonia controlador de trajetória................................................... 84

Tabela 13 - Resultados testes de trajetória ...................................................... 85

LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS

AG - Algoritmo genético

Β - Critério de desempenho do IMC

CLP - Controlador lógico programável

De - Distância euclidiana

Ess - Erro em estado estacionário

FT - Função de transferência

GAIn - Grupo de Pesquisa de Automação Industrial do Campus Serra do Instituto

Federal do Espírito Santo

GPS - Global Positioning System

IMC - Internal model control

ITAE - Time-weighted absolute of error

KF - Filtro de Kalman

NI - National Instruments

OS – Overshoot

PDμ - Controlador proporcional e integral fracionário

PIλ - Controlador proporcional, integral e derivativo fracionário

PID - Controlador proporcional, integral e derivativo

PIλDμ - Controlador proporcional integral

PIF - Controlador proporcional integral fracionário

PIFK - Controlador proporcional integral com filtro de Kalman

PIK - Controlador proporcional integral fracionário

SDCD - Sistema digital de controle distribuído

SubVI - Subroutine virtual instruments

TA - Tempo de assentamento

TU - Tempo de ultrapassagem

Var – Variabilidade

VI - Virtual instruments

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 14

1.1 OBJETIVO ...................................................................................................... 17

1.1.1 Objetivos específicos ................................................................................... 17

1.2 METODOLOGIA ............................................................................................. 18

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...................................................................... 20

2.1 A EVOLUÇÃO DO CÁLCULO FRACIONÁRIO .............................................. 20

2.1.1 Cálculo fracionário por Grunwald-Letnikov ............................................... 22

2.2 CONTROLADORES PID ................................................................................ 24

2.2.1 Efeitos das ações Proporcional, integral e derivativa ............................... 25

2.2.2 Controlador PID Fracionário ........................................................................ 27

2.2.3 Simulações dos PIDs no Simulink .............................................................. 28

2.3 MÉTODOS DE SINTONIA .............................................................................. 35

2.3.1 O método IMC ............................................................................................... 35

2.3.2 Algoritmo Genético....................................................................................... 37

2.4 O FILTRO DE KALMAN ................................................................................. 38

2.4.1 O Filtro de Kalman discreto ......................................................................... 39

2.4.2 As origens computacionais do filtro de Kalman ........................................ 40

2.4.3 O algoritmo do filtro de Kalman discreto ................................................... 42

3 O ROBÔ MÓVEL DIFERENCIAL ................................................................... 45

3.1 DESCRIÇÃO DO SISTEMA DE ACIONAMENTOS ....................................... 47

3.2 PLACA NI MYRIO........................................................................................... 49

3.3 CONTROLADOR PID ORIGINAL DAS RODAS DO ROBÔ MÓVEL ............. 50

3.4 ODOMETRIA .................................................................................................. 51

3.4.1 Dead reckoning ............................................................................................. 53

3.5 CONTROLADOR DE TRAJETÓRIA ............................................................... 53

4 IMPLEMENTAÇÃO ........................................................................................ 55

4.1 ADEQUAÇÕES REALIZADAS NO ROBÔ ..................................................... 55

4.2 SOFTWARES UTILIZADOS ........................................................................... 57

4.3 PID TRADICIONAL (INTEIRO) ....................................................................... 58

4.4 PID FRACIONÁRIO ........................................................................................ 60

4.5 VALIDAÇÃO DOS PIDS IMPLEMENTADOS ................................................. 64

4.6 FILTRO DE KALMAN ..................................................................................... 66

4.7 DEAD RECKONIG (ODOMeTRIA) ................................................................. 67

4.8 GERADOR DE TRAJETÓRIA ........................................................................ 68

4.9 CONTROLADOR DE TRAJETÓRIA BACKSTEPPING .................................. 69

5 RESULTADOS ................................................................................................ 72

5.1 MODELAGEM DOS ACIONAMENTOS .......................................................... 72

5.2 RESPOSTAS DOS PIDS DAS RODAS .......................................................... 74

5.2.1 Sintonia e desempenho do PID inteiro ....................................................... 75

5.2.2 Sintonia e desempenho do PID fracionário ................................................ 78

5.2.3 Sintonia e desempenho dos PIDs com filtro de Kalman ........................... 80

5.3 CONTROLE DE TRAJETÓRIA ...................................................................... 84

6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ......................................................... 89

REFERÊNCIAS .............................................................................................. 91

14

1 INTRODUÇÃO

Os sistemas de controle fazem parte da vida cotidiana, tanto em nossas casas,

indústrias, além dos sistemas de comunicação e transporte e grande impacto nos

campos da economia, biologia e medicina.

A aplicação do controlador do tipo PID (Proporcional Integral Derivativo) tendo como

base a diferença entre um valor de referência e a resposta real do processo surgiu

na década de 1940, e desde então, tornou-se uma ferramenta padrão no que tange

as estratégias para controle de processo no meio acadêmico e industrial (JOHAN,

2002).

Desde os sistemas mecânicos aos sistemas integrados e microprocessados, os

controladores PID têm sobrevivido a muitas mudanças resultantes da evolução das

tecnologias. O microprocessador teve uma influência significativa na implementação

de controladores PIDs, sendo atualmente, uma boa parte baseada nessa tecnologia.

Assim surgiram oportunidades para a inserção de recursos adicionais, como ajuste

automático, programação de ganho, adaptação contínua e utilização de cálculos

matemáticos mais complexos.

Os controladores PID podem ser associados a lógicas computacionais, funções

sequenciais, diagramas de blocos de função através de SDCDs e CLPs. Também

são utilizados em sistemas de automação complexos como na produção de energia,

transporte, mineração, siderurgia, óleo e gás (JOHAN, 2002).

Próximo a 96% dos controladores aplicados na indústria são do tipo PID e a maioria

do tipo PI. Devido a esta constatação, ainda há uma área muito ativa dentro do meio

acadêmico e industrial no campo de pesquisa e desenvolvimento de softwares

envolvendo a sintonia e otimização de controladores PID (PINTO, 2014).

Com objetivo de melhorar o desempenho de controladores PID, Podlubny (1997 e

1999) propôs uma generalização dos controladores industriais PI, PD e PID em

controladores que utilizam cálculo de derivadas e integrais fracionárias,

15

possibilitando o desenvolvimento de novos controladores como PIλ, PDμ e PIλDμ,

sendo que λ e μ são números reais positivos.

Um exemplo de aplicação de controladores com alto grau de complexidade é a

robótica móvel. Em condições usuais aos seres humanos, robôs normalmente

precisam realizar suas tarefas em ambientes dinâmicos, com a presença de objetos,

animais e pessoas em movimento.

Nas indústrias de processos em diversos segmentos, plantas nucleares e nos vários

campos da medicina, atualmente é aplicada uma série de manipuladores robóticos.

Os sistemas de controle desses locais têm características que exigem

posicionamento rápido e preciso que só são possíveis quando os controladores

aplicados conseguem efetivamente bom desempenho, independente da

complexidade (SHARMA et al., 2017).

Um dos problemas mais comuns da robótica móvel e a navegação, que aumenta

consideravelmente em robôs que efetuam suas tarefas em ambientes mais

controlados. Por se tratar de um problema complexo, diversas técnicas são

utilizadas na tentativa de solucionar este problema. Dentre elas estão a aquisição e

o processamento de dados sensoriais, tomada de decisão, planejamento de

trajetória e controle de movimento (BECKER, 2015).

Os robôs são elementos essenciais na sociedade de hoje. Eles são capazes de

executar muitas tarefas de forma repetitiva e precisa sem a ajuda requerida pelos

humanos (ABDALLA; HAMZAH, 2013). O projeto de um robô é uma tarefa

multidisciplinar que envolve a engenharia mecânica, eletrônica, informática,

inteligência artificial e controle. São exemplos de sistemas de controle de um robô

móvel o controle de posição de um braço ou a força exercida por uma ferramenta, o

controle de velocidade das rodas de um robô diferencial, a implementação de

algoritmos que permitam a autonomia para execução de tarefas com o intuito de

mapeamento de ambientes e possíveis obstáculos do deslocamento (MARTINS,

2007).

Neste trabalho serão aplicados dois controladores, PID e PIλDμ para controle de

velocidade das rodas de um robô móvel diferencial e comparados os seus

desempenhos. Também será aplicado o filtro de Kalman, proposto na década de

16

1960, trazendo uma nova forma de filtragem linear e solução para problemas de

predição (KALMAN, 1960), a fim de amenizar os efeitos dos ruídos das medições de

velocidades, uma vez que se tratando do controle de velocidade automático das

rodas de um robô móvel diferencial, um ponto de grande preocupação é o

comprometimento do controle ocasionado pelos acoplamentos através de polias e

correias e também pela utilização de inversor de frequência, sendo estes aspectos

importantes para a realização da parametrização e sintonia dos controladores

utilizados.

Os controladores serão sintonizados através de algoritmo genético (AG) e pelo

método do modelo interno de controle (IMC). Através da utilização dos softwares

Matlab e LabView serão realizadas simulações e implementações dos controladores,

do algoritmo genético e do algoritmo do filtro de Kalman discreto. Através de testes

práticos será realizado o refinamento da sintonia. Por fim, os desempenhos dos

controladores serão avaliados no controle de trajetória do mesmo robô móvel

diferencial utilizado.

O índice de desempenho dos controladores será avaliado com o cálculo do IAE

(integral do erro absoluto) e através das medições dos Erro em estado estacionário

(Ess), Sobressinal (OS), Tempo de assentamento (TA) e o Tempo de ultrapassagem

(TU).

A dissertação está organizada da seguinte forma: No capítulo 2 será apresentada a

fundamentação teórica dos assuntos abordados para o desenvolvimento do

trabalho. No capítulo 3 será apresentada uma explanação do robô móvel diferencial

utilizado para testes e implementações do trabalho. No capítulo 4 serão abordadas

as implementações realizadas no LabView e Matlab para os testes de validações

dos controladores e do filtro de Kalman. No capítulo 5 serão apresentados os

resultados alcançados no decorrer do trabalho e que possibilitaram a implementação

dos controladores e filtro de Kalman no robô móvel e por fim no capítulo 6 serão

mencionados os potenciais trabalhos futuros possibilitados pelo desenvolvimento

dos estudos atuais, conclusões e recomendações.

17

1.1 OBJETIVO

Implementar um controlador PID inteiro e de ordem fracionária com filtro de Kalman

discreto para controle de velocidade das rodas de um robô móvel diferencial e

avaliar os respectivos desempenhos no controle de trajetória.

1.1.1 Objetivos específicos

A seguir são apresentados os objetivos específicos do trabalho, organizados da

seguinte forma:

a) Melhorar a estrutura física do robô móvel diferencial com a implementação de

um sistema de transmissão de movimento mais eficiente e que tenha menos

folga, refazer os circuitos eletrônicos em uma única placa, instalar os

encoders e testar o sistema de acionamento;

b) Implementar a odometria e modelar as duas rodas;

c) Implementar os controles de velocidade das rodas de um robô móvel

diferencial, com o objetivo de aplicar dois controladores PID fracionários em

conjunto com um filtro de Kalman desenvolvidos através do LabView;

d) Comparar as respostas dos controladores através da análise de índices de

desempenho, limitações e restrições dos sistemas;

e) Implementar um gerador e um controlador de trajetória para o robô móvel

diferencial;

f) Avaliar o desempenho dos controladores no controle de trajetória do robô.

18

1.2 METODOLOGIA

A fim de avaliar a implementação do PID fracionário e do filtro de Kalman, foram

realizados testes iniciais em uma planta de nível e pressão.

Para a continuidade do trabalho foi utilizado um robô móvel diferencial do Grupo de

Pesquisa de Automação Industrial (GAIn), do Instituto Federal do Espírito Santo,

situado no Município de Serra. A malha de controle escolhida como objeto do

trabalho, foi o controle automático do acionamento eletromecânico das rodas do

robô. Esse sistema gera o movimento do robô e possui um controlador PID que

utiliza um encoder incremental por roda para o cálculo da velocidade e também

como parte do processo de localização do dispositivo. Entretanto, com a finalidade

de eliminar causadores de possíveis não linearidades, será necessário corrigir

alguns aspectos construtivos do robô, principalmente nos sistemas de transmissão

de velocidade, uma vez que é comum a existência de um backslash bastante

pronunciado. As placas eletrônicas estão desorganizadas e precisam de ser refeitas

para eliminar possíveis causas de erros, como os maus contatos nas conexões. Os

encoders instalados no robô possuem apenas um canal, o que não permite, de

forma física, realizar a leitura de reversões, assim os encoders serão substituídos

por encoders de dois canais.

Após realizar as mudanças físicas, será implementado um programa para no

dispositivo microprocessado Ni MyRIO usando o software LabView. Este programa

realizará a leitura dos encoders e o acionamento das rodas do robô, além de permitir

coletar os dados para análise. A partir dos dados coletados, serão estabelecidas as

restrições em relação ao trabalho, considerando as ferramentas de simulação

disponíveis e também as instalações atuais do laboratório utilizado.

A partir do modelamento das malhas das rodas será realizada a sintonia dos

controladores de ordem inteira e fracionária através da utilização do IMC e do AG.

Mediante os resultados obtidos, serão avaliadas e comparadas as características

dos controladores através das especificações em relação ao desempenho em malha

fechada utilizando-se como parâmetros Ess, TA, OS, IAE, margem de ganho e

margem de fase.

19

Posteriormente serão implementados algoritmos para geração e controle de

trajetória. Por fim será avaliado o desempenho dos controladores no controle de

trajetória do mesmo robô móvel utilizado.

20

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

O cálculo fracionário é uma ferramenta matemática que encontrou aplicação no

aprimoramento do controle automático nos últimos anos. Particularmente, permitiu a

generalização dos conhecidos controladores industriais, em controladores mais

sofisticados que utilizam derivadas fracionárias e operadores de integração

(CASTILLO et al., 2010)

2.1 A EVOLUÇÃO DO CÁLCULO FRACIONÁRIO

Em 1695 L’Hôpital perguntou, em carta, ao seu amigo Leibniz, pai da notação

moderna do cálculo diferencial, qual seria o significado de 𝐷𝑛𝑦 ≡ 𝑑𝑛𝑦/𝑑𝑥𝑛 quando n

fosse igual a 1/2. Mesmo sem muito rigor e com um tom profético Leibniz afirmou:

Segue que 𝐷1/2𝑥 será igual a 𝑥√𝑑𝑥: 𝑥 . “Este é um aparente paradoxo do qual, um

dia, importantes aplicações serão obtidas” (LOVERRO, 2004).

A ideia de uma derivada de ordem genérica também não escapou da atenção de

Euler que, em 1730, escreveu que a dificuldade em se obter tais derivadas poderia

ser melhor entendida, com o auxílio de interpolações na derivada.

Em 1812, Laplace definiu a derivada fracionária em termos de uma integral, e em

1819 a primeira menção, em um texto científico, às derivadas de ordem fracionária

foi feita por Lacroix. Em um livro de mais de 700 páginas, Lacroix dedicou menos de

duas destas a um problema que visava obter a derivada de ordem fracionária de um

polinômio y = xm. Para tanto, partiu-se do seguinte fato: No caso em que n é um

número natural temos a equação (1), para m ≥ n:

dn

dxn y=dn

dxn xm=m!

(m-n)!xm-n (1)

21

Sendo que n também pode ser um número real, é necessário estender a função

fatorial para estes casos, assim, fazendo uso da função gama (CAPELAS, 2005),

conforme equação (2):

d n

dx n y =

d n

dx n x m =

Г(m+1)

Г(m-n+1)x m-n (2)

Um caso particular da equação acima pode ser obtido tomando-se m=1 e n = 1/2, de

onde segue o resultado mostrado na equação (3)

d1/2

dx1/2 y=

d1/2

dx1/2 x=

2√x

√π (3)

É interessante notar que a dedução feita por Lacroix apesar de ser em certa

instância ingênua, coincide neste caso, com a obtida pelo método mais aceito nos

tempos atuais, ou seja, o método proposto por Riemann-Liouville.

Muitos cientistas relevantes aprimoraram o cálculo fracionário nestes três últimos

séculos, como apresentado na Figura 1.

Figura 1 - Evolução do cálculo fracionário

Fonte: Loverro (2007)

22

2.1.1 Cálculo fracionário por Grunwald-Letnikov

A derivada de Grunwald-Letnikov, introduzida em 1867, é uma das definições

usadas para o cálculo da derivada fracionária, mas também é uma extensão do

cálculo da derivada inteira ou usual, como mostrado na equação (4).

D

α f(x) =limh→0 h

-α ∑ (-1)n Γ(α+1)

n!Γ(α-n+1)f(x-nh)∞

n=0 (4)

De fato, a generalização proposta por Grunwald-Letnikov é comprovada pelas

equações (5), (6), (7) e (8). A base dessa teoria aplicada é que h deve se aproximar

de zero, enquanto n se aproxima do infinito, sendo 𝑎 infinito negativo.

D

n f(x) = limh→0 h

-n ∑ (-1)m

(n

m)f(x-mh)n

m=0 (5)

D

α f(x) = limh→0 h

-α ∑ (-1)m n!

m!Γ(n-m+1)f(x-mh)n

m=0 (6)

D


-α ∑ (-1)m n!

m!Γ(n-m+1)f(x-mh)∞

m=0 (7)

D


-α ∑ (-1)m n!

m!Γ(n-m+1)f(x-mh)

x-a

h

m=0 (8)

No entanto, a generalização é feita de modo que qualquer a desejado menor que x

possa ser escolhido. A razão pela qual x - a é considerada nas equações acima em

vez de um único número positivo pode ser visto considerando o caso de α = -1, onde

o cálculo deve ter o mesmo resultado, conforme mostrado pelas equações (9) a (12),

através de uma integração.

∫ f(t)d t =x

aD

-1 f(x) =limn→∞

h→0 h ∑

Γ(m+1)

m!Γ(1)nm=0 f(x-mh) ∴ (9)

limn→∞h→0

∑ hf(x-mh)=nm=0 limn→∞

h→0∫ f(x-t)dt ∴

nh

0 (10)

23

limn→∞h→0

∫ f(t)dtx

x-nh∴ (11)

a = x-nh ∴ n = x - a

h , h =

x - a

n (12)

Nota-se que, para a resolução de cálculos que contenham derivadas fracionárias os

limites também devem ser considerados como nos cálculos de integrais sendo de

ordem inteira ou não. Isso também mostra que as derivadas fracionárias são não-

locais, o que as torna menos útil na descrição de fenômenos da natureza de forma

geral.

No caso da derivada generalizada pela fórmula binomial, equação (4), uma vez que

n tende ao infinito independentemente de h, x − 𝑎 deve ser infinito, de modo que

seja equivalente à derivada Grunwald-Letnikov, com um limite inferior do infinito

negativo. Desta forma a equação (8) pode ser generalizada agora para obter uma

fórmula equivalente à equação (4), conforme mostrado na equação (13).

D α

f(x) = limh→0 h-α ∑ (-1)

m Γ(α+1)

m!Γ(α-m+1)f(x-mh)

x-a

h

m=0 (13)

Ou equivalentemente através da equação (14).

D α

f(x) = limn→0 (n

x-a)

α

∑ (-1)m Γ(α+1)

m!Γ(α-m+1)f(x-m (

x-a

n)n

m=0 ) (14)

As generalizações abordadas anteriormente possuem um inconveniente teórico. A

função gama não pode ser utilizada com valores negativos ou iguais a zero. No

entanto, para valores negativos de α podem ser utilizados os seguintes valores,

como segue mostrado na equação (15).

(-n

m) =

(-1)m

Γ(n+m)

m!Γ(n) (15)

Desta forma as equações (13) e (14) podem ser reescritas para as seguintes formas

(16) e (17).

24

D -α

f(x) = limh→0 h-α ∑ (-1)

m Γ(α+m)

m!Γ(α)f(x-mh)

x-a

h

m=0 (16)

D -α

f(x) = limn→∞ (n

x-a)

α

∑Γ(α+m)

m!Γ(α)f(x-m (

x-a

n) )n

m=0 (17)

Como foi explorado anteriormente, os limites das derivadas fracionárias devem ser

considerados iguais aos considerados nas integrais. Operações de limites apenas

tendem a zero em derivadas de ordem inteira. Devido a este fato, as derivadas

fracionárias são consideradas derivadas não locais, o que pode explicar o fato delas

não serem tão usuais para descreverem processos físicos naturais.

2.2 CONTROLADORES PID

O PID (Proporcional-Integral-Derivativo) é o algoritmo de controle mais aplicado na

indústria. A popularidade deste tipo de controlador pode ser atribuída em parte, ao

seu desempenho robusto em uma ampla gama de condições de funcionamento, e

em parte à sua simplicidade funcional, que permite aos engenheiros operá-lo de

uma forma simples e direta, favorecendo à sintonia e ao entendimento dos

parâmetros a serem determinados (PINTO, 2014).

Como o nome sugere, o algoritmo PID é composto por três modos de controle, o

proporcional (P), o integral (I) e o derivativo (D), que são variados para obter uma

resposta mais adequada às características da planta na qual aplica-se o controlador.

Abaixo segue a equação (18) que é a equação geral de um controlador PID

tradicional na sua forma acadêmica (ideal) e na Figura 2 é mostrado o diagrama de

blocos do mesmo controlador.

u (t) = K𝑐 (e( t)+1

𝑇𝑖 ∫ e(τ) dτ + Td

de(t)

dt

t

0) (18)

25

Figura 2 - Diagrama de blocos PID tradicional

Fonte: Elaborado pelo autor

2.2.1 Efeitos das ações Proporcional, integral e derivativa

Nas próximas figuras expostas abaixo são apresentados os efeitos dos ganhos de

um controlador PID tradicional aplicado em um processo de terceira ordem,

P(s)=1/(s+1)3, através da simulação deste processo utilizando-se o software Matlab.

Figura 3 - Efeito da variação do ganho proporcional em malha fechada


Através da Figura 3 observa-se o efeito da variação do ganho proporcional K𝑝 entre

2 e 6. A resposta ao degrau unitário do sistema com o ganho proporcional igual a 2

possui uma característica mais amortecida quando comparada com o controlador

com o ganho proporcional igual a 6. O TU tende a diminuir para ganhos

26

proporcionais maiores, mas o sistema torna-se mais oscilatório, o que pode levar,

em caso de grandes valores de K𝑝, à instabilidade. Uma importante observação é

que mesmo com a redução do Ess do sistema, o mesmo nunca será zerado.

Figura 4 - Efeito da variação do ganho integral em malha fechada


Agora mantendo-se o ganho proporcional Kp constante em 2.17 e variando-se o

ganho integral Ki de 0 a 0.5, pode-se notar na Figura 4 que o Ess tende a zerar com

a elevação do ganho integral, mas também é gerado um maior OS para valores

maiores, além de possibilitar uma consequente instabilidade em caso de elevações

exageradas.

Figura 5 - Efeito da variação do ganho derivativo em malha fechada


27

Por fim, testa-se o efeito no controlador simulado, quando o ganho proporcional K𝑝 é

constante em 2.17, o ganho integral Ki é constante em 0.39 e o ganho derivativo é

variado de 0 a 0.7. Observa-se na Figura 5 que, com o acréscimo do ganho

derivativo, o Ess não sofre alteração, mas o OS é drasticamente reduzido, tornando

o sistema mais amortecido sem comprometimento relevante do TU. Na Tabela 1

segue um resumo dos efeitos de aumento dos ganhos em um controlador PID na

configuração ideal, em uma malha fechada de controle.

Tabela 1 - Resumos das ações do PID

Aumento do ganho TU OS TA Ess

K𝒑 Diminui Aumenta Pequenas mudanças Diminui

Ki Diminui Aumenta Aumenta Elimina

Kd Pequenas mudanças Diminui Diminui Pequenas mudanças


2.2.2 Controlador PID Fracionário

O controlador PID fracionário, também representado por PIλDµ, emprega o cálculo

fracionário para parametrização de controladores PID. Este cálculo permitiu a

generalização dos controladores industriais para uma forma mais sofisticada com a

utilização de derivadas e operadores de integração fracionários. Como equação

geral o PIλDµ, apresenta-se a função de transferência contínua, no domínio da

frequência, equação (19),

G(s)=Kc (1+1

sλTi+Tdsµ) (19)

onde λ e µ são as ordens fracionárias integral e derivativa, respectivamente. Nota-se

que fazendo λ e µ iguais a 1 em (19) resume-se à equação do PID tradicional.

Assim, pode-se observar que os PIDs tradicionais são um caso particular dos

controladores PIλDµ. A Figura 6 ilustra graficamente a região de variação dos

28

parâmetros fracionários, representada pela cor azul, enquanto no PID tradicional

essa região limita-se aos três pontos PD, PI, PID. Sendo assim, os controladores

PIλDµ agregam maior flexibilidade ao projeto, e permitem o controle de processos

reais com maior exatidão, tornando-o, contudo, mais complexo.

Figura 6 - Região de trabalho do PID tradicional e fracionário

Fonte: Vinagre et al. (2005).

2.2.3 Simulações dos PIDs no Simulink

A fim de ilustrar a resposta ao degrau de um sistema controlado por um PID nas

configurações inteira e fracionária, foram realizados testes no ambiente de

simulação do Matlab, onde foi implementado um controlador PID fracionário e um

processo de terceira ordem, conforme a Figura 7.

Figura 7 - Detalhe simulação preliminar de um PID fracionário


29

O bloco utilizado para a coleta dos gráficos dos diagramas de Bode foi o Bode Plot,

nomeado como Bloco de Bode na Figura 7. Mesmo em malha fechada é possível

realizar a análise determinando as malhas de entrada e saída, conforme segue

destacado com círculos vermelhos da Figura 7, e detalhado na Figura 8, onde os

parâmetros a serem definidos são apresentados.

Figura 8 - Detalhamento Bloco de Bode do Simulink


Os blocos do PIλDµ utilizados na simulação são disponibilizados através de uma

biblioteca específica do Matlab para implementações de controladores e operadores

fracionários, chamada FONCOM. Na Figura 9 segue mostrado esse bloco de forma

genérica e os parâmetros que podem ser inseridos, como os ganhos P, I e D além

dos coeficientes fracionários e da ordem da FT.

30

Figura 9 - Bloco do PID fracionário no Simulink


A partir de uma sintonia otimizada do controlador PID, foram estabelecidas faixas de

variações dos ganhos Ki e Kd e dos coeficientes integral e derivativo λ e µ, as quais

permitiram uma observação das significativas alterações e comparações dos

parâmetros de desempenho da malha de controle em questão. A seguir são

apresentadas as respostas ao degrau a partir da seguinte configuração: controlador

PID com variações do Ki de 0 a 1 e do Kd de 0 a 1.4; controlador PIDF com

variações de 0 a 1, tanto para o coeficiente λ, operador integral, quanto para o μ,

operador derivativo.

31

Figura 10 - Variação do ganho integral


Figura 11 - Variação do λ


Através das Figuras 10 e 11 observam-se as características das respostas ao

degrau quando há um acréscimo nos valores de Ki e λ. É visível que em ambos os

casos há redução do Ess, sendo que para alterações do Ki a redução é mais brusca

do que para o λ. Um fator relevante é que com o acréscimo de λ, o TU é menor em

comparação com o acréscimo de Ki.

32

Figura 12 - Variação do ganho derivativo


Figura 13 - Variação do μ


Nas Figuras 12 e 13, com a variação do Kd e μ, observam-se consideráveis

mudanças no comportamento dos sistemas, sendo destacados o amortecimento, OS

e TA. A mesma característica de redução do TU também é observada no gráfico de

variação do μ com relação ao Kd.

Utilizando-se o diagrama de Bode para avaliação da estabilidade relativa do sistema

simulado, são alterados os coeficientes fracionários λ e μ do controlador, além dos

ganhos Kd e Ki·, a fim de avaliar-se o comportamento do sistema em relação às

margens de fase e de ganho, conforme segue apresentado nas Figuras 14 a 17.

33

Figura 14 - Diagrama de Bode para variações do Ki


Figura 15 - Diagrama de Bode para variações do λ


34

Figura 16 - Diagrama de Bode para variações do Kd


Figura 17 - Diagrama de Bode para variações do μ


Observa-se nos gráficos acima que também é possível mudar o comportamento do

sistema em relação à margem de fase. Com o acréscimo de Ki·, a margem de fase

variou de 26,9° a 54,1°. Quando houve variação apenas do λ, a margem de fase

variou de 17,6° a 41,4°.

Em relação à variação do Kd , a ação gerou uma faixa de margem de fase de 34,9º a

64,2º, e com a variação apenas do μ, houve uma faixa de margem de fase de 25,8º

a 56,7º. Esses resultados de simulações mostram que é possível, através da

35

associação dos ganhos e coeficientes fracionários, a busca por uma sintonia mais

precisa e com maiores possibilidades.

2.3 MÉTODOS DE SINTONIA

Os parâmetros dos controladores PIDs precisam ser sintonizados a fim de que o

desempenho do sistema a ser controlado possa ser o mais próximo do requerido.

Desta forma é fundamental que se eleja um ou mais métodos de sintonia para que a

busca pelos parâmetros possa ser realizada da forma mais precisa possível.

2.3.1 O método IMC

Internal Model Control (IMC) refere-se a um procedimento sistemático para o

dimensionamento de sistemas de controle com base no conceito de Q-

Parameterization que é a base para muitas técnicas de controle moderno. O que

torna o IMC particularmente atraente é que este método apresenta uma metodologia

prática de fácil entendimento para projetar controladores. Como consequência, o

IMC tem sido um método de dimensionamento muito popular nos processos

indústrias, particularmente como um meio para sintonizar controladores de tipo loop

único, tipo PID (RIVERA; FLORES, 1986).

A estrutura IMC tem como objetivo a partir do modelo do processo e de uma

especificação de desempenho obter o controlador adequado. Portanto, o controlador

possui um modelo interno do processo que pode ser utilizado apenas na fase de

projeto ou que também pode ser usado na fase de operação (CAMPOS; TEIXEIRA,

2006). Desta forma, a forma clássica de representação de um processo é

apresentada a Figura 18.

36

Figura 18 - Modelo clássico de processo


onde yd(t) é o sinal de entrada do controlador, C(s) é a representação matemática do

controlador, u(t) é o sinal de controle proveniente do controlador, G(t) é a

representação matemática do processo a ser controlado e y(t) é o sinal de saída

resultante do processo de controle. Na Figura 19 é apresentado o esquema do IMC

utilizado para a sintonia.

Figura 19 - Esquema IMC

Fonte: Campos; Teixeira (2006).

Desta forma chega-se à função de transferência em malha fechada do sistema,

equação (20),

Y(s)

SP(s)=

GP(s)C(s)

(1+GP(s)C(s)) (20)

37

e o controlador correspondente conforme a equação (21).

C(s)=Kc(1+1

Ti(s)+TD(s)) (21)

O IMC é utilizado para determinar a melhor sintonia do controlador C(s) de tal forma

que a resposta do sistema a um degrau na referência de entrada seja representada

por uma função de transferência resultante de primeira ordem em malha fechada

com uma constante de tempo igual a β, conforme apresentado na equação (22).

Y(s)

SP(s)=

1

(βS+1) (22)

Este parâmetro β é o critério de desempenho do IMC e define o quão rápido se

deseja que a saída do processo acompanhe a referência estabelecida. É muito

importante que este parâmetro seja escolhido respeitando as restrições dinâmica do

processo, como tempo morto, capacidade de resposta dos atuadores e aplicação.

2.3.2 Algoritmo Genético

O AG é uma técnica de busca utilizada na ciência da computação para achar

soluções aproximadas em problemas de otimização e busca, fundamentado

principalmente por Holland (1992).

Sendo uma técnica já consolidada no campo da inteligência artificial, este método

computacional baseia-se nos mecanismos de evolução das espécies onde os

indivíduos mais fortes e mais adaptados ao meio ambiente sobrevivem e transmitem

seu patrimônio genético às sucessivas gerações (ALMEIDA, 2011). Para isso são

utilizadas técnicas como hereditariedade, mutação, seleção natural e recombinação

ou crossing over.

O AG clássico usa um esquema de seleção individual chamada seleção por roleta.

Nele cada indivíduo ocupa uma área proporcional ao seu nível de aptidão, dentro da

“roleta”. Assim, os indivíduos com maior aptidão estão associados com uma maior

área e indivíduos com menor aptidão, com fatias menores. Em seguida, a simulação

38

roda n vezes, selecionando os n indivíduos que permanecerão no próximo passo.

Os mais aptos têm maior chance de serem selecionados e também podem ser

eleitos mais de uma vez, enquanto os menos aptos, com menor probabilidade,

podem desaparecer após as primeiras gerações.

Um parâmetro fundamental do algoritmo é o estabelecimento da função de aptidão,

usada para avaliar o nível de desempenho do sistema com os parâmetros

selecionados, e como eles são capazes de resolver o problema estabelecido. Desta

forma foi definida como função de aptidão do AG o IAE, também podendo ser

chamada de função fitness. A seguir, na Figura 20, é representado o fluxo

simplificado de execução de um AG genérico.

Figura 20 - Fluxograma AG


2.4 O FILTRO DE KALMAN

Em 1960, R.E. Kalman publicou seu famoso artigo descrevendo uma solução

recursiva para o problema de filtragem linear de sinais discretos. Desde então,

39

devido, em grande parte, aos avanços na computação digital, o filtro de Kalman tem

sido objeto de extensas pesquisas em aplicações, em especial para o

desenvolvimento de sistemas para navegação autônoma (WELCH; BISHOP, 2001).

O filtro de Kalman é uma ferramenta matemática recursiva que vem

desempenhando um papel cada vez mais importante em diversas áreas de

pesquisas, principalmente por possibilitar, através de implementações

computacionais, a redução de ruídos em sinais de processos, como também a

redução de erros acumulados em cálculos de posição e deslocamentos que utilizam

instrumentos, os quais podem acumular erros ao longo do tempo (WELCH; BISHOP,

2001).

O filtro de Kalman permite que através de implementações computacionais seja

possível estimar o estado de um processo. Ele pode ser aplicado na resolução de

problemas em diversas áreas como, na medicina, em processos químicos, na

engenharia, petróleo e gás, indústria naval, siderurgia, mineração, entre outras.

2.4.1 O Filtro de Kalman discreto

Na década de 1960, após a publicação de um importante artigo, Rudolf Emil Kalman

descreveu uma solução recursiva para um problema de filtragem linear de dados

discretos. Após esse fato muitos avanços computacionais ocorreram, o que gerou

um crescimento considerável das pesquisas e investigações acerca do assunto.

Uma abordagem mais geral pode ser encontrada em (MAYBECK, 1979), enquanto

uma discussão mais introdutória pode ser encontrada em (SORENSON, 1970).

O filtro de Kalman trata da problemática geral de tentativa de estimação dos estados

x ∈ R n de um processo discretizado qualquer, baseado na equação (23) à diferença

estocástica linear a seguir,

xk=Axk-1+Buk-1+wk-1 (23)

40

onde A e B são matrizes oriundas da modelagem do processo em espaço de

estados, e a variável aleatória wk é o ruído desse mesmo processo. Tem-se também

a medição do processo zk que descreve a relação entre o estado do processo com o

respectivo ruído, tal que seja Z ∈ R m

,

zk=Hxk+vk (24)

onde H é uma matriz e a variável aleatória vk representa o ruído da medição.

Presume-se que sejam independentes uns dos outros e com probabilidade normal

de distribuições.

p(w)∼N(0,Q) (25)

p(v)∼N(0,R) (26)

Na prática, as matrizes de covariância do ruído do processo Ԛ e da medição R

podem mudar com cada passo de tempo ou medição, no entanto aqui assume-se

que elas são constantes.

A matriz A (n x n) na equação à diferença (23) relaciona o estado no instante de

tempo anterior (k - 1) com o estado no passo atual k, na ausência de outra função

de acionamento ou ruído de processo. Observa-se que na prática A pode mudar

com cada instante de tempo, mas no trabalho assume-se que ela será constante. A

matriz B (n x m) relaciona a entrada de controle opcional com o estado u ∈ R no

estado x. A matriz H (n x m) na equação da medição do processo (24) relaciona o

estado com a medição zk. Na prática H pode mudar a cada instante de tempo ou

medição, mas aqui assume-se que será constante.

2.4.2 As origens computacionais do filtro de Kalman

Define-se xk- ∈ R n como o estado a priori estimado no passo k dado o conhecimento

do processo antes do passo k, e xk ∈ R n sendo o estado estimado a posteriori no

41

passo k dada a medição zk. Pode-se então definir os erros a priori e a posteriori

sendo,

ek

- ≡ xk-xk- (27)

ek ≡ xk-xk

(28)

então a covariância do erro estimado a priori é,

Pk -

= E[ek

-ek

-T] (29)

e a covariância do erro estimado a posteriori é,

Pk = E[ek

ekT] (30)

onde E é uma matriz que armazenará os erros calculados no decorrer do

processamento. Com o intuito de definirem-se as equações para o filtro de Kalman,

é determinado o objetivo de encontrar-se uma equação que calcule um estado a

posteriori xk como uma combinação linear a priori de um xk

- estimado e a diferença

ponderada entre a medição atual zk e uma predição de medição Hx k- como mostrado

em (31).

xk = xk-+K(zk-Hxk

-) (31)

A diferença (zk - Hxk-) em (31) chama-se de medição residual. Essa medição residual

reflete a discrepância entre a medição prevista e a medição real do processo. Uma

medição residual igual a zero, significa que as medições real e prevista estão

completamente em acordo.

A matriz K (n x m) em (31) deve ser escolhida para ser o ganho do filtro ou para ser

um fator de junção, a qual tem um papel de minimizar a covariância do erro a

posteriori. Essa minimização pode ser obtida através das equações (31) e (28) e em

seguida com (30). Realizando as manipulações e simplificações possíveis e

igualando o resultado a zero, resolve-se a equação para o resultado de K. Um

42

detalhamento completo do método foi explorado por Maybeck (1979). A minimização

da equação (30) é dada por.

Kk = Pk-H

T (HP k-H

T+R) -1 (32)

Kk =Pk

-H

T

HPk -H

T+R

(33)

Da equação (33) pode-se notar que quando a covariância da medição do erro R

aproxima-se de zero, o ganho K faz com que a parte residual tenha um peso mais

significativo, conforme segue na equação (34).

limRk→ 0 Kk = H -1 (34)

Por outro lado, quando a covariância do erro estimado a priori Pk - tende para zero, o

ganho K faz com que a parte residual tenha um peso menos significativo, conforme

segue na equação (35).

limPk

-

→ 0

Kk = 0 (35)

Outra forma de abordar o valor estabelecido para o ganho K de forma resumida e de

fácil compreensão é que, com a covariância do erro de medição R aproximando-se

de zero, a medição atual zk é tida como "confiável", enquanto que a medição

estimada Hxk - é tida como menos confiável. Por outro lado, com a covariância do

erro estimado Pk - aproximando-se de zero, a medição atual zk torna-se cada vez

menos confiável, enquanto a medição estimada Hxk - torna-se cada vez mais

confiável.

2.4.3 O algoritmo do filtro de Kalman discreto

43

O filtro de Kalman estima um processo usando uma forma de controle realimentada

para a determinação do estado do processo em algum momento e, em seguida,

obtém uma resposta sob a forma de medição (sinal inicialmente ruidoso).

Como tal, as equações para a implementação do filtro de Kalman dividem-se em

dois grupos: equações de atualização de tempo e equações de atualização da

medição. As equações de atualização de tempo são responsáveis por projetar para

a frente (no tempo) as estimativas do estado atual e de covariância do erro para

obtenção a priori para o próximo passo de tempo.

As equações de atualização de medição são responsáveis pela realimentação, isto

é, por incorporar uma nova medição na estimativa a priori a fim de obter uma

estimativa a posteriori melhorada.

As equações de atualização de tempo também podem ser pensadas como

equações preditoras.

As equações de atualização da medição podem ser consideradas como equações

de correção. Na verdade, o algoritmo de estimativa é semelhante ao de um

algoritmo preditor / corretor para problemas numéricos, como mostrado na Figura 21.

Figura 21 - Algoritmos preditor / corretor

Fonte: Welch; Bishop (2006).

As equações específicas para a atualização do tempo são apresentadas nas

equações (36) e (37)

44

Pode-se notar como as equações (36) e (37) projetam o estado e as estimativas da

covariância a partir do passo do tempo k-1 para o passo k. A e B são referentes à

equação (23), enquanto que Q é referente à equação (25). Abaixo seguem as

equações atualizadas das medições para o filtro de Kalman.

A primeira tarefa durante a atualização de medição é calcular o ganho de Kalman Kk.

Nota-se que a equação dada anteriormente como equação (32) é a mesma que a

equação (38). O próximo passo agora é medir o processo para obter zk, e em

seguida, gerar um estado estimado a posteriori, assim incorporando a medição

realizada na equação (39). Novamente a equação (36) é a mesma equação (31),

repetida aqui para complementar as deduções e confirmações. O passo final é

atualizar a covariância do erro a posteriori através da equação (40).

Após cada atualização da medição e do tempo, o processo é repetido com a

previsão estimada a posteriori usada para estimar ou prever as novas estimativas a

priori. Esta natureza recursiva é uma das características mais destacadas do filtro de

Kalman, o que torna as suas implementações muito mais interessantes do que

outros filtros com propósitos similares. A Figura 22 mostra um esquemático completo

de operação do filtro de Kalman, combinando o diagrama de alto nível da Figura 21.

Figura 22 - Esquemático de operação do Filtro de Kalman discreto

Fonte: Welch; Bishop (2006).

45

3 O ROBÔ MÓVEL DIFERENCIAL

Considerando a grande necessidade em relacionar a teoria de controle com a

prática e devido à grande relevância da robótica nos cursos tecnológicos e

aplicações industriais, foi proposta a utilização da robótica móvel para mostrar a

aplicação de controladores PID estudados. O robô móvel diferencial utilizado segue

apresentado na Figura 23, e foi projetado e construído no GAIn por alunos de

graduação em engenharia de controle e automação do IFES Serra.

Figura 23 - Robô móvel diferencial


Na Figura 24 segue o esquemático do robô móvel com os encoders, motores de

acionamentos de corrente contínua, circuito de potência e uma placa NI myRIO, que

será descrita à frente.

46

Figura 24 - Esquemático do robô móvel

Fonte: Bernardes et al. (2017)

O robô possui duas rodas motoras paralelas de tração independentes uma da outra

e uma roda livre. Como segue mostrado na Figura 25, as duas rodas motoras são

idênticas, com raio r, sendo a distância entre as rodas igual a 2L. A posição do robô,

definida no sistema de eixos cartesianos xy, é definida por x e y. O centro de massa

do robô móvel está localizado no ponto C, que fica no centro do eixo das rodas, com

distância L uma da outra. Esse ponto será utilizado como referência, ou ponto de

interesse para o controle do robô.

Figura 25 - Modelo do robô móvel de tração diferencial

Fonte: Tommasi et al. (2015).

47

Caso as velocidades das duas rodas sejam idênticas (v1=v2) o deslocamento do

robô será em linha reta. Sendo a velocidade da roda direita (v2) menor do que a da

roda esquerda (v1) o robô se deslocará em forma circular para a direita. Sendo a

velocidade da roda direita (v2) maior, o robô se deslocará também em forma circular,

mas para a esquerda. Contudo, o robô descrito não pode executar movimentos

transversais, sendo necessário executar uma sequência de manobras para executar

movimentos mais complexos. Este tipo de robô com restrições de movimento é

denominado de não holonômico. A equação (41) representa o modelo cinemático do

robô móvel. Este modelo será utilizado no desenvolvimento do controlador,

[xy

θ

] = [cosθ 0senθ 0

0 1

] [v(t)

w(t)] (41)

onde v e w são as velocidades, linear e angular do robô, respectivamente. Ressalta-

se que em tal modelo considera-se como a posição do robô o ponto de interesse C.

O modelo descrito também pode ser representado usando as equações (42) a (45).

v1 = w1r (42)

v2 = w2r (43)

v = v1 + v2

2 (44)

w =v2−v1

L (45)

Onde w1 e w2 são as velocidades angulares das rodas direita e esquerda.

3.1 DESCRIÇÃO DO SISTEMA DE ACIONAMENTOS

O sistema de acionamento do robô móvel utilizado é formado por duas rodas

simétricas de 111 milímetros de raio constituídas por um aro em alumínio e na parte

externa um pneu de borracha dimensionado para a aplicação. As duas rodas

descritas são montadas no chassi do robô, as quais através de um sistema de

48

engrenagens, são acopladas a dois motores de corrente contínua, Figura 26, com

características segundo a Tabela 2.

Figura 26 - Motor DC do robô


Tabela 2 - Características do motor do robô Tipo Motor DC

Fabricante LINIX Motor – HENGDIAN GROUP

Modelo 55ZY12-25-02/60JB30GO832

Alimentação 12 Vcc

Potência 25W

Rotação 100 rpm

Acoplamento Frange / Pinhão


Além dos motores, utilizados para imprimirem movimento ao conjunto, há dois

encoders incrementais, Figura 27, acoplados diretamente às transmissões para a

geração de pulsos no decorrer do movimento do robô com as características

descritas na Tabela 3.

49

Figura 27 - Encoder do robô


Tabela 3 - Características do encoder do robô

Tipo Incremental

Fabricante HOHNER Eletrônica

Modelo 7512-0252-2500

Alimentação 5 a 28 Vcc

Pulsos por volta 1800

Acoplamento Eixo vazado


3.2 PLACA NI MYRIO

Os sinais provenientes dos encoders e as saídas dos sinais PWM para acionamento

dos motores de cada roda são recebidos por uma placa microcontroladora NI myRIO

embarcada da National Instruments, que é um dispositivo embarcado muito utilizado

para projetos de estudantes. Possui entradas e saídas nas laterais do dispositivo,

com conectores MXP e MSP. São disponibilizadas também entradas analógicas,

saídas analógicas, linhas de entradas e saídas digitais, acelerômetro integrado, uma

FPGA Xilinx e um processador dual-core ARM Cortex-A9. Alguns modelos também

contam com suporte a Wi-Fi, sendo o caso do dispositivo utilizado no robô móvel

diferencial. Pode-se programá-lo com o LabVIEW ou em C. Com seus dispositivos

integrados, experiência consistente de software e biblioteca de materiais didáticos e

50

tutoriais, o myRIO oferece uma excelente ferramenta acessível para estudantes e

educadores no desenvolvimento de experimentos práticos de laboratório. A seguir

na Figura 28 é apresentado o NI myRIO utilizado.

Figura 28 - NI myRIO

Fonte: National Instruments (2017)

3.3 CONTROLADOR PID ORIGINAL DAS RODAS DO ROBÔ MÓVEL

Considerando o objetivo principal do trabalho, já definido em tópicos anteriores, foi

adotado como ponto de partida um controlador PID implementado para controle de

velocidade das duas rodas do robô móvel diferencial utilizado, que também foi

utilizado por Tommasi (2015). Os dois controladores possuem a configuração na

forma ideal, equação (18), e foram programados em LabView pelos autores. A

sintonia desses dois controladores tradicionais também será objeto de

desenvolvimento dos trabalhos futuros.

Na Figura 29 seguem os dois controladores implementados no ambiente de

programação do LabView.

51

Figura 29 - Controladores PIDs tradicionais das rodas


3.4 ODOMETRIA

A odometria é um método muito utilizado para estimar a posição e a orientação de

robôs móveis através da integração dos deslocamentos incrementais de suas rodas,

medidos a partir de um referencial fixo. Os encoders mais utilizados como

transmissores de deslocamento são foto codificadores acoplados diretamente aos

eixos dos motores ou engrenagens. Como a ideia fundamental da odometria é a

integração contínua e incremental da informação que descreve o movimento ao

longo do tempo, é inevitável o acúmulo de erros locais a cada iteração

(FERNANDES, 2003).

Seguindo a teoria abordada por Freitas et al. (2016), para especificar a posição do

robô, na Figura 25 foi escolhido o ponto C, que a partir de agora será chamado de

ponto P. O ponto P, que é o ponto médio entre as rodas, é utilizado como ponto de

referência da posição. A posição P pode ser descrita pelas coordenadas x e y e pelo

ângulo θ (P = [x y θ]). A distância de cada pulso é calculada através da equação

(46),

52

DistPulsos = 2πR/NP (46)

onde R é o raio da roda e NP é a quantidade de pulsos por uma volta.

Posteriormente é calculada a distância percorrida por cada roda através das

equações (47) e (48),

ΔSd = DistPulsos*Pd (47)

ΔSe = DistPulsos*Pe (48)

onde ∆Sd e ∆Se são as distâncias percorridas no intervalo ∆t das rodas direita e

esquerda, respectivamente e Pd e Pe são a quantidade de pulsos medidos através

dos encoders das rodas direita e esquerda respectivamente. A distância percorrida

pelo ponto médio do robô é calculada através das equações (49) e (50),

ΔS = ΔSd + ΔSe

2 (49)

Δθ = ΔSd - ΔSe

L (50)

onde L é a distância entre o ponto médio C até cada roda. Em seguida são

calculados os deslocamentos nos eixos x e y no intervalo de tempo ∆t através das

equações (51) e (52).

Δx = ΔS cos[(θ+Δθ/2)] (51)

Δy = ΔS sin[(θ+Δθ/2)] (52)

Assim, a partir das variações de deslocamento e de θ, pode-se calcular a posição

atualizada (P ′) através da equação (53).

P' = |

xy

θ

| + |

∆S * cos(θ+∆θ

2)

∆S * sin(θ+∆θ

2)

∆θ

| = |x+Δx

y+Δy

θ+Δθ

| (53)

A odometria é então utilizada para estimar a pose do robô e por consequência as

velocidades das rodas. Nela os sensores e encoders óticos instalados no robô

transmitem os dados de rotação das rodas para o sistema de controle no NI myRIO.

Assim, através da equação (54) é determinada a velocidade de cada roda do robô,

53

Vr = |Pi|*

Pr

Pv

t (54)

onde Pi é o número de pulsos instantâneos das rodas, Pv é a quantidade de pulsos

por volta pré-determinada, Pr é o perímetro de cada roda e Vr é a velocidade de

cada roda.

3.4.1 Dead reckoning

A odometria abordada no tópico anterior permite boa precisão em curtas distâncias e

geralmente pode ser implementada com baixo custo. Entretanto devido à integração

incremental do movimento do robô, ela leva ao acumulo de erros proporcionais à

distância navegada.

Os erros acumulados na odometria de um robô móvel podem surgir pelo simples

fato da superfície do deslocamento possuir alguma imperfeição ou contaminante que

possa prejudicar a aderência das rodas ao chão, ocasionando derrapagens

indesejadas. Outros fatores como diâmetro desiguais das rodas, desalinhamentos,

resolução do encoder utilizado, taxa de amostragem finita podem contribuir para o

acúmulo de erros.

O termo dead reckoning surgiu na área da engenharia de aviação como um meio de

determinar as coordenadas de uma aeronave. Para tal o piloto utilizava-se de uma

bússola, da velocidade da aeronave e o tempo de voo. Esta técnica é bastante útil

em pequenos deslocamentos, porém, ela fica comprometida devido a vários fatores

como derrapagens, modelagem errada, intempéries (ROMERO et al., 2014).

3.5 CONTROLADOR DE TRAJETÓRIA

Considerando as diferentes estratégicas para a solução de problemas acerca do

controle de trajetória em robôs móveis encontradas na literatura, é possível tratar o

54

assunto de forma mais simples comparado aos problemas inerentes à estabilização

de malhas de controle, uma vez que a trajetória gerada respeite as restrições não-

holonômicas do robô. Assim, de posse do erro em relação ao tempo, entre a posição

do robô e uma referência móvel a ser seguida, é possível a implementação de um

algoritmo que execute a correção automaticamente (VIEIRA, 2005).

Como exemplos de controladores de trajetória utilizados na robóttica móvel

destacam-se o controlador cinemático de seguimento de trajetória de ganhos fixos

(MARTINS et al., 2008), (RESENDE et al., 2012), o controlador backstepping

(FIERRO; LEWIS, 1998), (YE, 2008) e o controlador fuzzy do tipo Mandani próprio.

A escolha do controlador de trajetoria aplicado neste trabalho baseou-se na

pesquisa realizada por Tommasi (2015) que definiu como melhor solução para o

controle de trajetória do robô com as características já descritas anteriormente, o

backstepping.

55

4 IMPLEMENTAÇÃO

Para que os testes práticos pudessem ser realizados, tornou-se necessária a

implementação dos controladores e também a realização de adequações estruturais

do robô móvel diferencial utilizado como planta de testes. Nos tópicos a seguir serão

apresentadas essas etapas.

4.1 ADEQUAÇÕES REALIZADAS NO ROBÔ

Para uma adequada implementação dos controladores PIDs nos sistemas de

acionamentos do robô móvel diferencial utilizado, foram necessárias algumas

adequações na estrutura, placa eletrônica e cabeamento, como também algumas

melhorias nas implementações dos programas via LabView.

Inicialmente foi avaliado o sistema de transmissão de movimento, sendo este

concebido originalmente por acoplamentos via correntes, o que foi melhorado a

partir da montagem de duas polias interligadas via correias em cada roda. O sistema

original gerava grande folga no conjunto, o que acarretava em erros de medição

além de ruídos. Na Figura 30 é apresentado um detalhe do acionamento do robô

antes com correntes e depois via polias e correias após adequações.

Figura 30 - Mudança no acionamento de corrente do robô para polias


56

Após as adequações no sistema de acionamento, foi identificado que a placa dos

circuitos eletrônicos de interface entre os sensores embarcados, motores de

corrente contínua precisavam ser melhoradas. Assim, foi substituído o elemento

controlador original, microcontrolador programável PIC 18F4550, por uma placa NI

myRIO, o que trouxe maior confiabilidade e melhor interface entre os dispositivos

embarcados, diminuindo as possibilidades de maus contatos, o que poderia gerar

erros de medição e também falhas intempestivas.

Uma das etapas de melhorias foi realizada através do levantamento detalhado das

interligações existentes, o que possibilitou a confecção de uma nova placa

eletrônica, conforme segue apresentado na Figura 31.

Figura 31 - Circuito da placa do robô


Em seguida foi realizada a reorganização dos circuitos com a inclusão da nova placa

eletrônica, novas rotas de cabos e também foi substituída a bateria de 12V da fonte

de energia do robô, como apresentado na Figura 32.

57

Figura 32 - Robô após melhorias


4.2 SOFTWARES UTILIZADOS

Para a programação dos ambientes de simulação e também para a implementação

dos PIDs e Filtro de Kalman utilizados na pesquisa foram utilizados dois softwares

de programação, o MATLAB e o LabView, ambos muito conhecidos e aplicados em

desenvolvimento de projetos e diversos estudos acadêmico, devido à facilidade de

interação entre programador e o ambiente de programação.

O MATLAB (Matrix Laboratory) é um software interativo de alta performance voltado

para o cálculo numérico, muito utilizado em laboratórios de pesquisas e também em

ambientes industriais. Devido a sua forma de integrar a análise numérica, cálculo

com matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos em um ambiente

de fácil aplicação, é possível a utilização tanto para modelamentos de processos

como também para a programação de algoritmos complexos, tendo a grande

vantagem de disponibilizar para os usuários uma série de funções que facilitam e

simplificam a programação necessária, ao contrário da programação tradicional.

O LabView (Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench) é uma linguagem

de programação gráfica originária da National Instruments. A primeira versão surgiu

em 1986 para o Macintosh e atualmente é bem aplicado em Windows. O LabView é

58

vastamente utilizado no meio acadêmico como também no meio industrial e

profissional como solução para medições de variáveis de processos, programações

de controladores e integração com o processo, execução de cálculos de alta

complexidade entre outros. Devido à possibilidade de interface com o MATLAB, a

sua utilização traz grandes possibilidade em pesquisas relacionada com a área de

controle e automação.

A programação é feita de acordo com o modelo de fluxo de dados, o que oferece a

esta linguagem vantagens para a aquisição de dados e para a sua manipulação, e

se baseia na utilização de instrumentos virtuais ou simplesmente VIs. É possível

criar uma interface visual através de uma tela de supervisório com o diagrama de

programação gerado, o que traz maior versatilidade ao aplicativo.

4.3 PID TRADICIONAL (INTEIRO)

A forma do PID que foi implementado seguiu a configuração ideal, conforme

equação (18), que pode ser reescrita conforme segue apresentado na equação

(55).

u(k) = Kc [e(k)+T

Ti

∑ e(i)+Td ( e(k)-e(k-1)

T)K

i=1 ] (55)

Quando um controlador com ação integral é usado e os atuadores chegam a seus

limites, a parte integral continuará sendo acumulada sem provocar nenhuma

mudança no atuador. Quando o erro mudar de sentido (negativo para positivo ou

vice e versa) a parte integral provocará um atraso na ação do controle. Devido à

esta característica conhecida como Wind-up, o sistema tende a ficar lento e

oscilatório.

Para evitar esta limitação, como na maioria dos controladores foi utilizada a técnica

back calculation and tracking. Basicamente quando a saída do atuador satura, o

termo integral é recalculado de forma que seu valor permaneça no valor limite do

atuador. É vantajoso fazer esta correção não instantaneamente, mas dinamicamente

59

com uma constante de tempo 𝑇𝑓. A Figura 33 apresenta o diagrama em blocos de

um controlador PID com anti wind-up do tipo back calculation.

O sistema apresenta um laço de realimentação adicional. A diferença entre o valor

da entrada e da saída do atuador constituem um erro es(t) que é realimentado à

entrada do integrador com um ganho 1/Tf. Nota-se que quando não há saturação do

sinal de controle, o erro es(t) é igual a zero e, portanto, este laço não tem nenhum

efeito quando o controlador está operando linearmente, ou seja, quando sua saída

não está saturada. Quando ocorre a saturação, es(t) será diferente de zero e o sinal

aplicado na entrada do integrador será,

1

Tfes(t) +

𝐾𝑐

Tie(𝑡) (56)

sendo que, em regime permanente, tem-se:

es(t) = - KcTf

Tie(t) (57)

ou seja, a entrada do integrador será igual a zero prevenindo assim que o mesmo se

carregue demasiadamente. O tempo para que a entrada do integrador chegue a

zero é determinado pelo ganho 1/Tf, onde Tf pode ser interpretado como a constante

de tempo que determina o quão rápido a entrada do integrador será levada a zero.

Assim, a escolha de valores bem pequenos para Tf pode parecer vantajosa à

primeira vista. Entretanto, deve-se ter cuidado na escolha de Tf especialmente em

sistemas com ação derivativa.

Figura 33 - PID ideal com anti wind-up


60

Considerando a configuração do PID com anti wind-up, a equação (55) foi reescrita,

conforme exposto através da equação (58).

u(k) = Kc [e(k)+Td ( e(k)-e(k-1)

T)] + T ∑ (

Kc

Tie(i)+

1

Tfes(i))𝑘

i=1 (58)

Desta forma foram avaliados os blocos disponíveis no LabView e realizada a melhor

forma de ser programado, conforme segue na Figura 34.

Figura 34 - PID tradicional no LabView


Para que houvesse uma similaridade entre os controladores implementados, optou-

se por utilizar um bloco de script do LabView para a programação do PID.

4.4 PID FRACIONÁRIO

De acordo com o que já foi abordado na teoria do cálculo fracionário no capítulo 2,

estabeleceu-se como estratégia de implementação do controlador PID fracionário,

as definições matemáticas de Grunwald-Letnikov e Riemann-Liouville, que conforme

exposto por Podlubny (1999), são equivalentes para uma vasta gama de aplicações

de engenharia. Desta forma, a implementação do controlador PID fracionário foi

61

realizada empregando-se o software LabView, da National Instruments, usando-se

como referência o trabalho realizado por Auralius (2010).

Para a implementação foi utilizado o método para definição de derivadas fracionárias

desenvolvido por Grundwald-Letnikov, e que já foi exposto no tópico 2.1.1. Portanto,

reescrevendo as equações para obtenção do cálculo numérico da ordem fracionária,

tem-se,

Dtαf(t)

a

= limh→0 {{

1

hα} ∑ (-1)

j(α

j) f(t-jh)

[t-a

h]

j=0} = limh→0 {

1

hα ∆h

αf(t)} (59)

.(t-L)Dt

α f(t)≈T

-∝ ∑ bjf(t-jT)[N(t)]j=0 (60)

onde L é chamado de tamanho da memória, N(t) = min { [ t

T ] , [

L

T ] }, e o termo bj,

chamado de coeficiente binomial pode ser calculado recursivamente por:

b0=1; bj= (1 - 1+ α

j) bj-1, sendo j≥1. (61)

Dado o método de solução para uma equação de ordem fracionária mostrada acima,

também se faz necessária a verificação do emprego de Transformada de Laplace,

que assim como para equações diferenciais de ordem inteira, também são aplicáveis

às de ordens fracionárias, conforme exposto por Podlubny (1994). Assumindo-se

que as condições iniciais da função f(t) sejam iguais a zero, chega-se às

transformadas de Laplace associadas ao cálculo fracionário.

L{.aDt

α f(t)} = sαF(s) (62)

L { aDt

-α f(t)} = s-αF(s) (63)

Desta forma, como ponto de partida para a implementação no LabView,

considerando a e t os limites da operação, faz-se necessário o cálculo dos

coeficientes binomiais representado na equação (61), conforme ilustrado na Figura

35.

62

Figura 35 - Cálculo do binômio do PID fracionário


Após o cálculo dos coeficientes binomiais procede-se com o cálculo do operador

fracionário: ( t - L)Dt

α f(t), representado na equação (60) e mostrado na Figura 36.

Figura 36 - Cálculo do operador fracionário


63

A Figura 37 mostra as operações necessárias para se obter o cálculo fracionário de

uma função f(t). Assim é necessário ter uma memória de tamanho L para armazenar

os valores passados de f(t), que serão multiplicados pelos coeficientes binomiais,

posteriormente somados e multiplicados por T -∝

.

Figura 37 - Cálculo Fracionário em blocos


Na Figura 38 é ilustrado o programa implementado no LabView, para o PID

fracionário onde foi criado um vetor binomial e de memória para cada ação de

controle (integral e derivada), com a única diferença do valor de α.

Figura 38 - Ambiente de programação do LabView


64

Importante notar que foram estabelecidos limites para o sinal de controle u (0 e 100),

para que seja contornada a chamada saturação do sinal de controle. Desta forma,

caso a saída do controlador exceda o máximo do sinal de controle, o termo

integrador passa a ser reduzido com uma taxa de variação ajustada pelo parâmetro

Tf .

4.5 VALIDAÇÃO DOS PIDS IMPLEMENTADOS

A fim de comprovação dos métodos utilizados e da programação realizada no

LabView para a implementação dos PIDs inteiro e fracionário, foram comparadas as

respostas ao degrau de um processo hipotético definido através da função de

transferência G(s) = 4,94 / (71,9s+1) simulados no Simulink do Matlab com as

programações realizadas no LabView. Nas Figuras 39 e 40 seguem os ambientes de

programação utilizados para as validações.

Figura 39 - Tela de programação Matlab


65

Figura 40 - Tela programação LabView


Através de um degrau de 0 para 150 mm, foram obtidas as seguintes respostas ao

degrau.

Figura 41 - Validação PID Matlab e LabView


66

Observando a Figura 41 é possível confirmar que a implementação do PID no

LabView está condizente com os blocos PIDs do Simulink.

Figura 42 - Validação PID fracionário no Matlab e LabView


Da mesma forma, observando as características das respostas ao degrau na Figura

42 para um PID fracionário do tipo PI1.2

, tanto para o Matlab quanto para o LabView,

é possível confirmar que a implementação do PID fracionário no LabView também

está condizente com os blocos PIDs fracionários do Simulink.

4.6 FILTRO DE KALMAN

Em sequência à implementação dos controladores PIDs inteiro e fracionário no

LabView, partiu-se para o filtro de Kalman. Através da utilização de uma tela de

programação em texto, disponível no LabView, foi possível a implementação das

equações que regem o filtro de Kalman, conforme já bem explorado no tópico 2.3

deste trabalho. Assim, após uma bateria de simulações e testes, chegou-se a um

modelo adequado à aplicação e necessário para o desenvolvimento dos trabalhos,

como segue exposto na Figura 43.

67

Figura 43 - Implementação filtro de Kalman LabView


4.7 DEAD RECKONIG (ODOMETRIA)

A partir da base teórica abordada no tópico 3.4, implementou-se o cálculo da

odometria do robô móvel como segue mostrado na Figura 44.

68

Figura 44 - Tela de implementação da Odometria do robô


Com as medições dos pulsos oriundos dos encoders embarcados e através das

especificações do robô diferencial (distância entre rodas, diâmetros das rodas e

quantidade de pulsos por volta) são calculados as velocidades de cada roda e o

ângulo de orientação atual. À frente estes dados calculados serão utilizados para o

cálculo do erro que será aplicado nos controladores.

4.8 GERADOR DE TRAJETÓRIA

Com a odometria do robô já implementada, partiu-se para a geração de trajetória,

sendo esta responsável pela definição da referência de posição do robô. Através do

LabView, este gerador foi implementado tendo como passo inicial a interpolação do

caminho a ser seguido para posteriormente criar-se um número maior possível de

referências de posição. O método utilizado de interpolação foi o Hermite

Interpolation (CIARLET; RAVIART, 1972). Tendo-se como base a Figura 45, origina-

se a equação (64), aplicada para o cálculo de 𝜃𝑟 para cada índice da matriz de

referências, obtendo-se consequentemente a matriz [xr, y

r, θr]

.

69

Figura 45 - Base para geração da trajetória do robô

Fonte: Ayres et al. (2017)

θr𝑘= tan-1 (

yk+1-yk

xk+1-xk) (64)

Após a etapa de interpolação da trajetória e de posse das orientações de referência

para cada índice da mesma, calcula-se através da equação (65) os referenciais das

velocidades linear e angular,

[vr𝑘

wr𝑘] = [

(√(xk+1-xk)

2+(y

k+1-y

k)

2)/∆t

(θk+1-θk)/

∆t

] (65)

onde ∆𝑡 é o tempo de amostragem utilizado para a implementação no LabView.

4.9 CONTROLADOR DE TRAJETÓRIA BACKSTEPPING

A técnica de controle backstepping utiliza os dados determinados pelo gerador de

trajetória [xr, y

r, θr]

k e os dados de localização definidos pela odometria [x

, y

, θ ]

k

para obter os erros característicos de posicionamento do robô. Na Figura 46 são

ilustrados os erros a serem considerados na implementação do controlador de

trajetória no LabView e em seguida na equação (66) são apresentados na forma

matricial para melhor visualização, onde utiliza-se o ponto de centro de massa do

robô como referência.

70

Figura 46 - Gráfico dos erros de trajetória

Fonte: Ayres et al. (2017)

[

e1

e2

γ] = [

cos θ sin θ 0

- sin θ cos θ 0

0 0 1

] [

xr -x

yr -y

θr -θ

] (66)

Finalmente para a implementação final do controlador de trajetória backstepping foi

utilizada a lei de controle apresentada por Kanayama et al. (1990), conforme

equação (67),

[VcWc

] = [Vr cos (γ )+k1e1

Wr+k2Vre2+k3Vr sin (γ)] (67)

onde Vc e Wc são as velocidades linear e angular de saída do controlador que serão

aplicadas como referência para os controladores PIDs de cada roda

respectivamente e Vr e Wr são velocidades de referência determinadas pelo gerador

de trajetória. Na Figura 47 são melhor ilustradas as interfaces e realimentações

entre os controladores, dispositivos embarcados e acionamentos do robô móvel.

71

Figura 47 - Interface dos controladores do robô


72

5 RESULTADOS

Nesta etapa do trabalho, após as implementações adequações e melhorias

realizadas no robô e coleta de dados dos testes em laboratório, são apresentados os

resultados.

5.1 MODELAGEM DOS ACIONAMENTOS

Como ponto de partida para a implementação e sintonia dos PIDs de controle das

velocidades das rodas do robô móvel, foi realizada a modelagem do sistema através

da resposta ao degrau. Considerando as características físicas do sistema de

acionamento do robô móvel já bem exploradas no capítulo 3, foi definido como

método de modelamento a resposta ao degrau. Desta forma com o robô em solo, foi

atribuído um valor inicial da ação de controle u de 23% e logo em seguido

incrementado para 35% em ambas as rodas. Abaixo seguem os gráficos coletados

do LabView.

Figura 48 - Resposta ao degrau roda esquerda


73

Figura 49 - Resposta ao degrau roda direita


Devido à característica randômica observada no sinal de velocidade tanto na roda

direita como na roda esquerda, foi estabelecida a média dos valores coletados,

Vp𝑚é𝑑𝑖𝑎, como base para a modelagem. Assim foi possível determinar as equações

características dos dois acionamentos, conforme sequência de cálculos a seguir:

a) Roda esquerda,

k = ∆y

∆u ∴ k =

vf - vi

uf - ui ∴ k =

23,98 - 6,11

35 - 23 ∴ k = 1,489 (68)

τ = t, para 0,632 * Vp ∴ τ = 0,37 s (69)

então,

GRe(s) =k

τs+1 ∴ GRe(s) =

1,489

0,37s+1 (70)

b) Roda direita:

k = ∆y

∆u ∴ k =

vf - vi

uf - ui k =

23,51-6,06

35-23 ∴ k = 1,454 (71)

τ = t, para 0,632 * Vp ∴ τ = 0,31 s (72)

então,

74

GRd(s) =k

τs+1 ∴ GRd(s) =

1,454

0,31s+1 (73)

As Figuras 50 e 51 mostram os resultados dos modelos encontrados frente à

resposta ao degrau de cada roda.

Figura 50 - Resposta ao degrau e modelo da roda esquerda


Figura 51 - Resposta ao degrau e modelo da roda direita


5.2 RESPOSTAS DOS PIDS DAS RODAS

75

Após a etapa de modelamento dos acionamentos das rodas, partiu-se para a

sintonia das malhas de controle compostas por dois controladores PIDs

implementados através do LabView, controladores estes já apresentados no tópico

3.2. Os métodos de sintonia utilizados foram o IMC e o AG. A seguir serão

apresentados o detalhamento e resultados das sintonias.

5.2.1 Sintonia e desempenho do PID inteiro

Os métodos de sintonia escolhidos para a sintonia dos PIDs inteiros foram o IMC e o

AG. No método IMC, conforme abordado no tópico 2.3.1, é definido o critério de

desempenho β, para que os parâmetros do controlador possam ser dimensionados

respeitando as características dos acionamentos. Desta forma, optou-se por uma

sintonia mais robusta, com um valor de β elevado (em torno de três vezes o valor da

constante de tempo em malha aberta do processo modelado). Assim, através das

equações (20) e (22) foram determinados os parâmetros dos controladores PIDs,

conforme Tabela 4.

Tabela 4 - Parâmetros de sintonia IMC

Sintonia pelo método IMC

Roda direita Roda esquerda

Processo

K𝑐 τ β K𝑐 Τ β

1,454 0,310 0,930 1,489 0,370 1,110

Controlador PI

K𝑝 Ki Kd K𝑝 Ki Kd

0,229 3,220 0,000 0,224 2,700 0,000


Para o método de sintonia através de AG foi necessário estabelecer os parâmetros

do algoritmo, como tamanho da população, número de gerações, taxa de

cruzamento e taxa de mutação além de considerar a modelagem do sistema para os

76

testes de desempenho com o objetivo de alcançar a escolha dos melhores

parâmetros. Na Tabela 5 seguem os parâmetros definidos.

Tabela 5 - Parâmetros AG

Parâmetros do Algoritmo Genético

Tamanho da população 200

Número de gerações 20

Taxa de cruzamento 75%

Taxa de mutação 1%


Com os parâmetros do AG estabelecidos realizaram-se as buscas pelas melhores

sintonias para os PIDs. Após o processo de buscas foram estabelecidos os

seguintes valores mostrados na Tabela 6. Utilizou-se o IAE como o método de

escolha dos melhores indivíduos, nesse caso os parâmetros de sintonias dos

controladores.

Tabela 6 - Sintonia PIDs inteiros

Método Acionamento Fitness

(IAE)

Sintonia

K𝒑 Ki

IMC Direito - 0,229 3,22

Esquerdo - 0,224 2,7

AG Direito 28,49 0,220 2,70

Esquerdo 32,94 0,370 2,46


Em seguida, de posse dos parâmetros de sintonia dos PIDs inteiros partiu-se para

os testes no robô. Como padronização dos testes foi definido um percurso retilíneo

de aproximadamente 5 a 8 metros no laboratório de testes localizado no GAIn e dois

valores de referência a serem imputados às rodas, sendo estes 20 cm/s por 5

segundos e 40 cm/s por 10 segundos aproximadamente. Embora todos os dados e

77

gráficos estivessem disponíveis no LabView, foi necessária a exportação dos

mesmos para o Excel e Matlab para posteriormente serem utilizados nos cálculos

dos índices de desempenho estabelecidos para a avaliação e comparação dos

controladores. Sendo estes o IAE, OS e TA.

Para os cálculos do OS e do TA, foi estabelecido que o período transitório finaliza-se

após a estabilização do sinal de saída da velocidade em ± 20% do valor de

referência aplicado. Na Tabela 7 são apresentados os resultados dos PIDs inteiros.

Tabela 7 - Índices de desempenhos dos PIDs inteiros

Método Acionamento K𝒑 Ki Desempenho

IAE OS (%) TA (s)

IMC Direito 0,229 3,220 20,21 11,09 2,55

Esquerdo 0,224 2,700 15,32 11,55 1,90

AG Direito 0,220 4,400 16,99 14,44 1,40

Esquerdo 0,370 2,460 17,13 8,17 3,30


Nas Figuras 52 e 53 são apresentados os gráficos dos testes realizados.

Figura 52 - Resposta ao degrau PI da roda direita


78

Figura 53 - Resposta ao degrau PI da roda esquerda


5.2.2 Sintonia e desempenho do PID fracionário

Da mesma forma como realizado para os PIDs inteiros, foram feitas as buscas dos

parâmetros de sintonia dos PIDs fracionários através do AG. Na Tabela 8 são

apresentados os resultados das buscas.

Tabela 8 - Sintonia dos PIDs fracionários

Método Acionamento Fitness Sintonia

K𝒑 Ki λ

AG Direito 19,31 0,49 4,67 0,85

Esquerdo 22,14 0,50 4,93 0,73


A sintonia estabelecida para o PID inteiro através do método IMC, já apresentada na

Tabela 7, também foi utilizada para os testes dos PIDs fracionários, com uma

variação do 𝜆 de 0,5 a 0,9. Em seguida os parâmetros foram inseridos nos

controladores PIDs implementados no LabView e foram realizados os testes de

desempenho para cada roda, como apresentado na Tabela 9.

79

Tabela 9 - Índices de desempenho dos PIDs fracionários

Método

Sintonia / Desempenho


K𝑝 Ki λ IAE OS(%) TA(s) K𝑝 Ki λ IAE OS(%) TA(s)

AG

0,49 4,67 0,85 10,50 7,74 3,25 0,50 4,93 0,73 12,72 3,09 4,55

0,49 4,67 0,75 12,40 7,74 3,65 0,50 4,93 0,65 14,67 4,78 4,30

0,49 4,67 0,90 10,40 17,11 3,20 0,50 4,93 0,80 11,36 9,86 4,45

0,49 4,67 1,00 11,90 14,44 3,95 0,50 4,93 0,90 10,35 9,86 2,65

0,50 8,50 0,6 12,50 24,49 3,25 0,50 8,50 0,630 11,94 26,78 3,20

IMC

0,204 6,44 0,50 36,70 0,00 >5 0,216 5,40 0,50 40,97 0,00 >5

0,204 6,44 0,60 29,40 0,00 4,65 0,216 5,40 0,60 34,37 0,00 >5

0,204 6,44 0,80 18,80 11,09 4,25 0,216 5,40 0,80 20,60 8,17 4,35

0,204 6,44 0,90 16,70 19,47 4,50 0,216 5,40 0,90 18,04 13,24 4,75


Nas Figuras 54 e 55 são apresentados os gráficos dos testes realizados

correspondentes aos melhores desempenhos, considerando para a seleção o menor

IAE, em seguida o menor OS (>0), e por último o menor TA.

Figura 54 - Resposta ao degrau PIF da roda direita


80

Figura 55 - Resposta ao degrau PIF da roda esquerda


5.2.3 Sintonia e desempenho dos PIDs com filtro de Kalman

Finalizando os testes de desempenho para o controle de velocidade das rodas do

robô móvel foram avaliados os mesmos controladores só que agora com a inclusão

do filtro de Kalman implementado no LabView. O filtro foi incluído no circuito dos

controladores com o objetivo de minimizar possíveis ruídos nas medições de

velocidade das rodas causadas pelas características construtivas dos acionamentos,

que ao longo do trabalho mostraram-se possíveis de geração de tais sintomas. Nota-

se nas Figuras 56 e 57 que o Filtro de Kalman implementado não contribuiu

significativamente para minimização da característica randômica das velocidades

das rodas, o que comprova a não existência de componentes ruidosas consideráveis

nas medições.

81

Figura 56 - Medição de velocidade da roda esquerda com KF


Figura 57 - Medição de velocidade da roda direita com KF


Em seguida também foram coletados os dados de desempenho dos PIDs inteiros e

fracionários conforme apresentado nas Tabelas 10 e 11.

82

Tabela 10 - Índices de desempenho dos PIDs com filtro de Kaman

Método Desvio padrão Kalman

Roda K𝑝 Ki

Desempenho

IAE OS (%) TA (s)

Processo Medição

IMC 0.001 0.0001 Direito 0,229 3,22 17,90 21,14 5,00

Esquerdo 0,224 2,7 20,34 23,40 4,35

AG 0.001 0.0001 Direito 0,220 4,4 16,41 29,52 >5

Esquerdo 0,370 2,46 15,05 20,01 4,95


Tabela 11 - Índices de desempenho dos PIDs fracionários com filtro de Kalman

Méto

do

Sintonia / Desempenho


K𝑝 Ki λ IAE OS(%) TA(s) K𝑝 Ki λ IAE OS(%) TA(s)

AG

0,49 4,67 0,85 12,54 30,78 4,45 0,50 4,93 0,73 10,56 21,05 4,90

0,49 4,67 0,75 10,33 24,49 4,35 0,50 4,93 0,65 10,11 14,94 2,45

0,49 4,67 0,90 11,57 21,14 4,95 0,50 4,93 0,80 11,35 25,09 4,75

0,49 4,67 1,00 14,35 27,84 4,70 0,50 4,93 0,90 13,72 28,48 >5

0,50 8,50 0,63 12,97 39,57 3,90 0,50 8,50 0,63 12,17 42,01 4,60

IMC

0,204 6,44 0,50 34,40 0,00 >5 0,216 5,40 0,50 38,07 0,00 >5

0,204 6,44 0,60 30,30 0,00 4,80 0,216 5,40 0,60 34,46 0,00 5,00

0,204 6,44 0,80 18,60 16,10 4,20 0,216 5,40 0,80 18,92 3,10 4,80

0,204 6,44 0,90 16,20 16,10 4,00 0,216 5,40 0,90 16,57 14,90 2,65


Nas Figuras 58 e 59 são apresentados os gráficos dos testes realizados

correspondentes aos melhores desempenhos.

83

Figura 58 - Resposta ao degrau PIK e PIFK da roda direita


Figura 59 - Resposta ao degrau PIK e PIFK da roda esquerda


Os dados coletados e os gráficos mostram que o PIλ com filtro de Kalman

sintonizado através de AG possui uma resposta mais rápida em relação à mudança

da referência, sem grandes alterações no sinal de controle.

84

5.3 CONTROLE DE TRAJETÓRIA

Após a realização dos testes de desempenho dos controladores nas rodas do robô

móvel, partiu-se para os testes de forma integrada dos controladores PIDs das rodas

em conjunto com o controlador de trajetória. Este controlador como já abordado

anteriormente, também foi implementado no LabView e possui um gerador de

trajetória que gera as referências para os controladores PIDs de cada roda, assim

possibilitando avaliar através do cálculo do IAE quais sintonias testadas são as mais

adequadas para a realização de uma trajetória pré-definida.

O controlador o backstepping utilizado como controlador principal do robô foi

sintonizado pelo método de tentativa e erro através de três ganhos, k1, k2 e k3,

conforme equação (67) e apresentado na conforme Tabela 12. A fim de definir um

padrão para a análise dos controladores PIDs das rodas utilizou-se a mesma

sintonia para todo o teste.

Tabela 12 - Sintonia controlador de trajetória

Sintonia do controlador de trajetória

k1 2,4

k2 3,8

k3 3,1


Em seguida foram realizados os testes de trajetória considerando melhores

resultados alcançados nos testes iniciais dos controladores PIDs das rodas. Como

elemento de comparação do desempenho utilizou-se o IAE, obtido através da

distância euclidiana (De), sendo esta última calculada segundo a equação (74),

De = √(𝑥𝑟𝑑 − 𝑥𝑟𝑚)2 + (𝑦𝑟𝑑 − 𝑦𝑟𝑚)2 (74)

onde xrd é a posição desejada na coordenada x, xrm é a posição medida na

coordenada x, yrd é a posição desejada na coordenada y e y

rm é a posição medida

85

na coordenada y. A Figura 60 apresenta os erros de cada controlador testado ao

longo do tempo.

Figura 60 - Erro absoluto de trajetória ao longo do tempo de cada controlador


Observa-se que os controladores PIλ sintonizados por AG e IMC apresentaram os

menores erros absolutos calculados a partir da De. Na Tabela 13 são apresentados

os dados de cada controlador das rodas nos testes de trajetória a partir do cálculo

do IAE.

Tabela 13 - Resultados testes de trajetória

Controlador Método Sintonia

Teste de trajetória backstepping


K𝑝 Ki λ K𝑝 Ki λ IAE

PI IMC 0,229 3,220 - 0,224 2,700 - 1123,10

AG 0,220 4,400 - 0,370 2,460 - 594,12

PIK AG/IMC 0,229 3,220 - 0,370 2,460 - 1101,04

PIF IMC 0,229 6,440 0,800 0,224 5,400 0,800 471,84

AG 0,490 4,670 0,850 0,500 4,930 0,900 344,67

PIFK IMC 0,229 6,440 0,900 0,224 5,400 0,900 596,20

AG 0,490 4,670 0,750 0,500 4,930 0,650 832,40


86

Na Figura 61 são apresentados os gráficos dos testes de trajetória realizados.

Figura 61 - Teste de trajetória


Nas Figuras 62, 63 e 64 são apresentados os gráficos dos testes de trajetória dos

PIλ sintonizados pelo IMC e pelo AG, os quais apresentaram melhor desempenho.

Embora a trajetória apresentada pelo controlador PIλ sintonizado através do AG seja

a mais próxima da trajetória de referência, os gráficos dos controladores de ambas

as rodas mostram uma ação de controle mais agressiva o que acarreta uma

mudança com maior amplitude das velocidades das rodas. Assim, após a

comparação do comportamento nos testes práticos, de forma geral, o controlador PIλ

sintonizado através do IMC, mostrou-se mais adequado para a aplicação no robô

móvel diferencial.

87

Figura 62 - Teste de trajetória final


Figura 63 - Controle de velocidade da roda direita PIF e AG


88

Figura 64 - Controle de velocidade da roda esquerda PIF e IMC


89

6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES

No trabalho desenvolvido foram realizadas as implementações de controladores PID

e PIλDμ em conjunto com um filtro de Kalman discreto. No decorrer da pesquisa

foram realizados testes dos controladores em uma planta de nível (CASTRO et al.,

2016). Os resultados mostraram que o PIλDμ apresentou desempenho ligeiramente

melhor, comprovados pelos indicadores de desempenho IAE, OS e TA. Quanto ao

sinal de controle, o PIλDμ fracionário permitiu um menor esforço para a o alcance e

manutenção do sinal de referência desejado.

Em sequência foi implementado um PID para controle de velocidade nos

acionamentos das rodas de um robô móvel diferencial (BERNARDES et al., 2017).

Nesta etapa foram implementadas melhorias nos acionamentos, nos circuitos

eletrônicos e instrumentos embarcados do robô móvel diferencial, em conjunto com

a implementação e testes do PID para controle de velocidade das rodas, as quais

geraram resultados significativos para o seguimento do trabalho principalmente no

aperfeiçoamento da odometria.

Também foram testados os controladores inteiro e fracionário em conjunto com o

filtro de Kalman em uma planta de pressão (BERNARDES et al., 2017). Nesta etapa

os resultados alcançados através do PIλDμ foram ligeiramente melhores em relação

ao ITAE, OS e TA, quando comparados ao PID. Já a introdução do filtro de Kalman

nos controladores aprimoraram todos os resultados, reforçando a performance do

controle fracionário.

Avançando ao objetivo final do trabalho foram implementados além dos PID, PIλDμ e

o filtro de Kalman, um gerador de trajetória e um controlador backstepping para o

controle de trajetória do robô móvel. Os testes de desempenho dos controladores

com e sem o filtro de Kalman através da análise do IAE, OS e TA possibilitaram a

escolha das melhores sintonias para os testes seguintes no controlador de trajetória.

Considerando o objetivo de reduzir a folga do sistema de acionamento do robô, além

das melhorias estruturais realizadas, era esperado uma contribuição significativa

com a implementação do filtro de Kalman nos sinais dos encoders das rodas, o que

90

os testes práticos comprovaram não ser possível, uma vez que os gráficos e

resultados numéricos referentes ao controle de velocidade das rodas mostraram que

há uma variabilidade característica imputada pela forma construtiva do robô, que

não foi possível ser filtrada pelo filtro de Kalman, uma vez que o objetivo de filtros

dessa natureza é a minimização de ruídos.

Após os testes de trajetória ficou evidente tanto nos gráficos colhidos como também

na comparação do IAE, que os controladores de velocidade implementados nas

rodas do tipo PIλ, tanto sintonizados pelo IMC quanto pelo AG, permitiram uma

trajetória mais próxima à referência, gerando um melhor IAE. No entanto, o

controlador sintonizado através do AG tornou a resposta mais agressiva, o que para

um sistema com controle de trajetória, inicialmente não seria tão vantajoso. Sendo

assim, mesmo com um IAE um pouco mais elevado que o melhor resultado, o PIλ

sintonizado através do IMC foi o que alcançou o melhor desempenho e proporcionou

um controle mais adequado ao robô móvel.

Como objetos de trabalhos futuros, ficou a oportunidade de instalação de rolamentos

nas roldanas principais das rodas do robô móvel, o que traria maior precisão na

transmissão ao conjunto, tornando-o mais adequado ao desenvolvimento de outros

projetos complementares. O desenvolvimento de um método de sintonia dos ganhos

do controlador de trajetória utilizado, uma vez que o processo utilizado nesse

trabalho foi o de tentava e erro, o qual pode tornar a busca dos ganhos muito

subjetiva e dependente da habilidade de quem realiza os testes.

Por fim, com um maior conhecimento a respeito das características do robô móvel

utilizado no trabalho, será possível o desenvolvimento de um modelamento conjunto

mais preciso, o que permitirá novos testes com o filtro de Kalman e também

melhores resultados das sintonias dos controladores.

91

REFERÊNCIAS

ABDALLA, T. Y., HAMZAH, M. I. Trajectory tracking control for mobile robot using

wavelet network. International Journal of Computer Applications (0975 - 8887), v.

74, n. 3, 2013.

ALMEIDA, G. M. Controle preditivo sintonizado via algoritmo genético aplicado

em processos siderúrgicos. 2011. 171 f. Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica)

- Universidade Federal do Espirito Santo, Vitória, 2011.

AURALIUS, M. Sharing_Experiences. 2010. [ONLINE]. Disponível em:

<http://sites.google.com/site/auraliusproject/fractional-order-derivative-and-integral-

using-LabView>. Acesso em: jan. 2016.

AYRES, L. M. et al. Desenvolvimento e implantação de uma arquitetura de

navegação para um robô móvel utilizando comandos de voz, algoritmo A* e o

controlador backstepping. SBAI 2017, Porto Alegre, RS, 2017.

BECKER, T. Navegação de um robô móvel baseado em um modelo de

consciência artificial. 2015. 91 f. Dissertação (Mestrado em Computação Aplicada)

- Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 2015.

BERNARDES, N. D. Aplicação de PID fracionário e inteiro com filtro de Kalman

sintonizados por algoritmo genético. São José do Rio Preto, SP: DINCON, 2017.

______ et al. Implementação didática de um controlador do tipo PID para

controle de velocidade num robô móvel. Cobenge, 2017.

CAMPOS, M. C. M. M.; TEIXEIRA, H. C. G. Controles típicos de equipamentos e

processos industriais. São Paulo: Edgard Blucher, 2006.

CAPELAS, E. O. Funções especiais com aplicações. São Paulo: Editora Livraria

da Física, 2005.

92

CASTRO, F. A. et al. Comparison of fractional and integer PID controllers tuned

by genetic algorithm. 12th IEEE/IAS International Conference on Industry

Applications. 2016.

CIARLET, P.; RAVIART, P. General lagrange and hermite interpolation in Rn with

applications to finite element methods. Archive for Rational Mechanics and

Analysis, v. 46, n. 3, 1972.

FERNANDES, L. C. Análise e Implementação de algoritmos para localização de

robôs móveis. 2003. Dissertação (Mestrado em Ciências da Computação e

Matemática Computacional) - Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação,

USP, São Carlos, 2003.

FIERRO, R.; LEWIS, F. L. Control of a nonholonomic mobile robot using neural

networks. IEEE Transactions on Neural Networks 9(4), p. 589-600, 1998.

FREITAS, B. P. S. et al. Utilização de exemplo criados no software LabView

implementados no starter kit 2.0 como ferramenta no ensino-aprendizagem da

robótica. Natal, RN, Cobenge, 2016.

HOLLAND, J. H. Adaptation in natural and artificial systems: an introductory

analysis with applications to biology, control, and artificial intelligence. Vol. 1, [s. l.]:

Massachusetts Institute of Technology, 1992.

JOHAN, A. K., Lecture Notes for ME 155A. Department of Mechanical and

Environmental Engineering University of California Santa Barbara, 2002.

PINTO, Jan E. M. G. Aplicação prática do método de sintonia de controladores

PID utilizando o método do relé com histerese. 2014. (Mestrado em Engenharia

Elétrica e Computação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2014.

KALMAN, R. A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal of

basic Engineering, v. 82, n. 1, p. 35-45, 196).

KANAYAMA, Y. et al. A stable tracking control method for an autonomous mobile

robot. IEEE INTERNATIONAL CONFERENCE ON ROBOTICS AND AUTOMATION.

Proceedings... 1990.

93

LOVERRO, A. Fractional calculus: history, definitions and applications for the

engineer. USA: Department of Aerospace and Mechanical Engineering, University of

Notre Dame, Notre Dame, IN 46556, 2004.

MARTINS, A. O que é a robótica. 2. ed. São Paulo: Brasiliense, 2007.

MARTINS, F. N. et al. An adaptive dynamic controller for autonomous mobile robot

trajectory tracking. Control Engineering Practice 16(11), p. 1354-1363, 2008.

MAYBECK, P. S. Stochastic Models, Estimation, and Control. Volume 1. [S.l.]:

Academic Press, 1979.

PODLUBNY, I.; DORCAK, L.; KOSTIAL, I. On Fractional Derivatives, FractionalOrder

Dynamics Systems and PIλDμ - Controllers. In: IEEE CONFERENCE ON DECISION

AND CONTROL. 36,. 1997, San Diego, CA. [Anais...], San Diego, CA, 1997.

PODLUBNY, I. Fractional-Order Systems and PIλDμ - Controllers. IEEE

Transactions on Automatic Control 44(1), p. 208-214, 1999.

______. Fractional Differential Equations: An introduction to fractional derivatives,

fractional differential equations to methods of their solution and some of their

applications. Academic Press, San Diego, 1994.

RESENDE, C. Z. et al. Embedding obstacle avoidance to trajectory tracking for

unicycle mobile robots. IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots

and Systems. [S.l.: s.n.], 2012.

RIVERA, D. E.; FLORES M. E. Control systems, robotics and automation - Vol. II

- Internal Model Control. Arizona, USA: Department of Chemical and Materials

Engineering, Ira A. Fulton School of Engineering, Arizona State University, Tempe,

1986.

ROMERO, R. A. F. et al. Robótica Móvel. Rio de Janeiro: LTC, 2014.

SHARMA, R.; GAUR, P.; MITTAL, A. P. Optimum design of fractional-order hybrid

fuzzy logic controller for a robotic manipulator. Arabian Journal for Science and

Engineering, India, 2017.

94

SORENSON, H. W. Least-Squares estimation: from Gauss to Kalman. IEEE

Spectrum, v. 7, p. 63-68, 1970.

TOMMASI, E. E. V. et al. Estudo comparativo de controladores de seguimento de

trajetória para robôs de tração diferencial: fuzzy, ganhos fixos e backstepping.

SIMPÓSIO BRASILEIRO DE AUTOMAÇÃO INTELIGENTE (SBAI). 2015, Natal, Rio

grande do Norte.

VIEIRA, F. C. Controle dinâmico de robôs móveis com acionamento diferencial.

2005. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) - Universidade Federal do Rio

Grande do Norte, Natal, RN, 2005.

VINAGRE, B. M.; GODOY, A. J. C.; MARCELO, J. I. S. Teoría de control y cálculo

fraccionário. Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y

Naturales, v. 99, n. 2, p. 241-260, 2005.

WELCH, G.; BISHOP, G. An Introduction to the Kalman Filter. TR 95-041,

University of North Carolina at Chapel Hill Department of Computer Science Chapel

Hill, NC 27599-3175, 2001.

YE, Ju. Tracking control for nonholonomic mobile robots: integrating the

analog neural network into the backstepping technique. Neuro computing. 2008.

Documents

INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO PROGRAMA DE …propecaut.sr.ifes.edu.br/images/stories/Nemerson.pdf · Gustavo Maia de. III. Instituto Federal do Espírito ... fim de possibilitar