Instituto Polit ecnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia · ... (e) (¡z)2 z5. 8. Resolva em C, cada uma das seguintes equa¸c ... x+y +3z ¡3w = ° 6. Discuta os seguintes sistemas

Instituto Politecnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia

Departamento: Matematica Algebra Linear e Geometria Analıtica

Curso: Engenharia do Ambiente Ano: 1o Semestre: 1o Ano Lectivo: 2006/2007

Ficha Pratica no0 - Numeros Complexos

1. Resolva em C, cada uma das seguintes equacoes:

(a) z4 − 1 = 0; (b) z2 + 2z + 2 = 0; (c) z4 + 4z2 − 5 = 0;

(d) z4 + 4z2 + 4 = 0; (e) 4z3 + 13z + 17 = 0, sabendo que admite a raiz -1

2. Determine a e b de modo que (a− 2bi)(3 + i) = 5.

3. Apresente na forma a + bi, o resultado de cada uma das seguintes operacoes:

(a) (5 + i)− (2− 3i); (b) 2(−1− i)− 3(2 + 3i); (c) (3− i)(2− i) + 3− 4i;

(d) (1− 2i)2 + (2− i)(2 + i); (e) (1− 3i)−2; (f) 2−4i3+i

; (g) 1−i(1+i)2

; (h) (1−3i)(3+i)2−i

;

(i) (1−i)3

i; (j) 4+i

4−i+ 4−i

4+i; (k) (1−i)2−2i95

i−3; (l) (4−i)(3−i)

(2+i)i.

4. Represente na forma trigonometrica e no plano complexo:

(a)√

3 + 3i; (b) 1− i; (c) −i; (d) 4; (e) 5i.

5. Represente na forma algebrica e no plano complexo:

(a) 2cis(π2); (b) 3cis(π

3); (c) 2cis(−π

4); (d) 2cis(−π

6); (e) 3cis(4

3π).

6. Considere os complexos z = 1 +√

3i, z′ = 1 + i, Represente, na forma trigonometrica, os numeros:

(a) z e z′; (b) z.z′ e z/z′; (c) z3 e z′4; (d) z3 · z′

7. Sendo z =√

62

+√

22

i, represente trigonometricamente os numeros:

(a) z; (b) z; (c) −z; (d) z3; (e) (−z)2

z5 .

8. Resolva em C, cada uma das seguintes equacoes:

(a) z3 − 1 = 0; (b) z3 + 8zi = 0; (c) z6 +√

3− i = 0; (d) z6 + z = 0.

9. Expresse na forma a + bi:

(a) e2+i; (b) e3−i

10. Reduza a forma reiθ cada um dos numeros complexos abaixo e represente-os geometricamente:

(a) 1 + i; (b) −2(1− i); (c)√

3− 3i; (d) −1− i/√

3; (e) −1 + i√

3; (f) −3.

11. Verifique as seguintes relacoes:

(a) exp(3 + 7πi) = −e3; (b) exp3−2πi6

=√

6(1−i√

3)2

12. Estableca as formulas de Euler:

(a) cos θ = eiθ+e−iθ

2; (b) sin θ = eiθ−e−iθ

2i

13. Sendo z = reiθ, prove que |eiz| = e−r sin θ.

1




Solucoes da Ficha Pratica no0 - Numeros Complexos

1.a) z = ±1 ∨ z = ±i 1.b) z = −1± i 1.c) z = ±1 ∨ z = ±√5i

1.d) z = ±√2i ∨ z = ±√2i 1.e) z = −1 ∨ z = 12± 2i

2. a = 32

; b = 14

3.a) z = 3 + 4i 3.b) z = −8− 11i 3.c) z = 8− 9i 3.d) z = 2− 4i3.e) z = − 2

25+ 3

50i 3.f) z = 1

5− 7

5i 3.g) z = −1

2− 1

2i 3.h) z = 4− 2i

3.i) z = −2 + 2i 3.j) z = 3017

3.k) z = 0 3.l) z = −5− 3i

4.a) z = 2√

3cisπ3

4.b) z =√

2cis7π4

4.c) z = cis3π2

4.d) z = 4cis0 4.e) z = 5cisπ2

5.a) z = 0 + 2i 5.b) z = 32

+ 3√

32

i 5.c) z =√

22−

√2

2i

5.d) z =√

32− 1

2i 5.e) z = −3

2− 3

√3

2i

6.a) z = 2cisπ3∨ z

′=√

2cisπ4

6.b) z = 2√

2cis7π12∨ z

′=√

2cis π12

6.c) z = 8cisπ ∨ z′= 4cisπ 6.d) z = 8

√2cis5π

4

7.a) z =√

2cisπ6

7.b) z =√

2cis11π6

7.c) z =√

2cis7π6

7.d) z = 2√

2cisπ2

7.e) z =√

24

cis7π6

8.a) z ∈ {cis0, cis2π

3, cis4π

3

}8.b) z ∈ {

0, 2√

2cis3π4

, 2√

2cis7π4

}8.c) z ∈ {

6√

2cis(

5π36

+ kπ3

), k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}}

8.d) z ∈ {0, cisπ

5, cis3π

5, cisπ, cis7π

5, cis9π

5

}

9.a) z = e2 cos 1 + ie2 sin 1 9.b) z = e3 cos (−1) + ie3 sin (−1)

10.a) z =√

2eπ4i 10.b) z = 2

√2e

3π4

i 10.c) z = 2√

3e(−π3i)

10.d) z = 2√

33

e7π6

i 10.e) z = 2e(5π6

i) 10.f) z = 3eπi

2




Ficha Pratica no1 - Sistemas de Equacoes Lineares - Eliminacao de Gauss

1. Resolva e classifique os seguintes sistemas de variaveis reais usando o metodo de eliminacao.

Registe os pivots utilizados, as variaveis basicas e as variaveis livres.

(a)

2x1 − x2 + 3x3 = 8−3x1 + 2x2 + x3 = −7−2x1 + x2 + 2x3 = −3

(b)

x1 + x2 + x3 = 0x1 + 2x2 + 3x3 = 03x1 + 5x2 + 7x3 = 1

(c)

x1 − x2 − 3x3 + 4x4 = 1x1 + x2 + x3 + 2x4 = −1−x2 − 2x3 + x4 = 1

(d)

−x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 12x1 − 3x2 − x3 + 2x4 = 7x1 − 5x2 + 2x3 − x4 = −4

(e)

2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 03x1 − x2 + 2x3 − 7x4 = 04x1 + x2 − 3x3 + 6x4 = 0x1 − 2x2 + 4x3 − 7x4 = 0

(f)

x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 + 2x5 = −2x1 + 2x2 − x3 − x5 = −3x1 − x2 + 2x3 − 3x4 = 10x2 − x3 + x4 − 2x5 = −52x1 + 3x2 − x3 + x4 + 4x5 = 1

(g)

x1 + x2 = 1x1 + x2 + x3 = 4x2 + x3 + x4 = −3x3 + x4 + x5 = 2x4 + x5 = −1

(h)

−x1 + x2 + x3 = 22x1 + 2x2 + 8x3 = 16x1 + x3 = 3−x1 − 2x2 = −13

2. Resolva e classifique os seguintes sistemas de variaveis complexas, usando o metodo de eliminacao.

Registe os pivots utilizados, as variaveis basicas e as variaveis livres.

(a)

{iz + (1 + i)w = 3 + i(1− i)z − (6− i)w = 4

(b)

{ −z1 + 2z2 = 12z1 − 4z2 = −2

(c)

z1 + iz2 + (1− i)z3 = 1(1− i)z1 + 2z3 = iiz1 + iz2 − (1 + i)z3 = i

3. Para cada um dos seguintes sistemas reais, escreva a solucao geral como soma de uma solucao par-ticular, caso exista, com a solucao do sistema homogeneo correspondente:

(a)

{x1 +x2+ x3 = 1x1 − x3 = 2

; (b)

x1 +x2+ x3 = 22x1 +x2+ x3 = 33x1 +x2+ x3 = 4

;

3

(c)

x1 +x2+ x3 = 22x1 −x2+ x3 = 33x1 +x2+ x3 = 5

; (d)

x1 +x2+ x3 = 12x1 −3x2+ 5x3 = −14−x1 +2x2+ 3x3 = −3

x1 +2x2+ 12x3 = 19

.

4. Determine os valores de α para os quais o sistema

{αx + y = 1x + αy = 1

(i) nao tem solucao; (ii) tem uma solucao; (iii) tem uma infinidade de solucoes.

5. Discuta os seguintes sistemas em funcao dos respectivos parametros

(a)

x1 + x2 + x3 = β + 1x1 + βx2 + x3 = 1βx1 + x2 = β + 2β2

(b)

x1 + x2 + (1− β)x3 = β + 1(1 + β)x1 − x2 + 2x3 = 02x1 − βx2 + 3x3 = β + 2

(c)

x1 + x2 + x3 = 0βx1 + x2 + βx3 = γx1 + γx3 = β

(d)

x1 + 2x2 + x3 = 5βx1 − x2 + 3x3 = 62x1 + x2 − x3 = γ

(e)

x + z + 2v = 12x + 3y + 2z + 3w + αv = 0y + w + v = −γ−2x + y − 2z + w + βv = −2

(f)

x + y + z + w = 12x + 2y + 4z − 2w = 0−x− y + z + αw = βx + y + 3z − 3w = γ

6. Discuta os seguintes sistemas complexos para todos os valores complexos dos parametros α, β e γ:

(a)

z + w = 1z + αw = β3z − 3w = γ

; (b)

iz1 + z3 + (1− i)z4 = 22z2 + iz4 = 1 + iiz1 + αz3 + (3− i)z4 = 2−αz3 − αz4 = β

;

7. Ache um sistema A× = b com duas equacoes e tres incognitas cuja solucao geral seja

× =

110

+ α

121

.

8. Ache um sistema A× = b com tres equacoes e tres incognitas cuja solucao geral seja a mesma doexercıcio anterior e que nao tenha solucao quando b1 + b2 6= b3.

9. Seja A uma matriz qualquer. Mostre que, se b for uma coluna de A, entao o sistema A× = b epossıvel e indique uma solucao.

4




Solucoes da Ficha Pratica no1 - Sistemas de Equacoes Lineares - Eliminacao de Gauss

1.a) Sistema Possıvel e Determinado com solucao (2,−1, 1).1.b) Sistema Impossıvel.1.c) S. P. Indeterminado com conjunto solucao {(x3 − 3x4,−1− 2x3 + x4, x3, x4) : x3, x4 ∈ IR} .1.d) S. P. Indeterminado com conjunto solucao

{(43

5− 14

5x4, 3− x4,

65− 3

5x4, x4), x4 ∈ IR

}1.e) Sistema Possıvel e Determinado com solucao (0, 0, 0, 0).1.f) Sistema Impossıvel.1.g) S. P. Indeterminado com conjunto solucao {(6− x5,−5 + x5, 3,−1− x5, x5), x5 ∈ IR} .1.h) Sistema Possıvel e Determinado com solucao (3, 5, 0).

2.a) Sistema Possıvel e Determinado com solucao (3715− 39

15i,− 8

15− 14

15i).

2.b) S. P. Indeterminado com conjunto solucao {(−1 + 2z2, z2) : z2 ∈ C}2.c) Sistema Impossıvel

3.a)

2−10

+ x3

1−21

, x3 ∈ IR.; .b)

110

+ x3

0−11

, x3 ∈ IR.;

3.c)

321414

d) Impossıvel

4.i) α = −1; 4.ii) α 6= 1 ∧ α 6= −1; 4.iii) α = 1.

5.a) S. P. D.: β 6= 0 ∧ β 6= 1S. P. Ind.: β = 0S. Imp.: β = 1

5.b) S. P. D.: β 6= 0 ∧ β 6= −2 ∧ β 6= 2S. P. Ind.: nao existem valores de βS. Imp.: β = 0 ∨ β = −2 ∨ β = 2

5

5.c) S. P. D.: β 6= 1 ∧ γ = 1

S. P. Ind.: (β = 1 ∧ γ = 0) ∨(γ = 1 ∧ β = 1±√5

2

)

S. Imp.: (β = 1 ∧ γ 6= 0) ∨(γ = 1 ∧ β 6= 1±√5

2

)

5.d) S. P. D.: β 6= −2S. P. Ind.: β = −2 ∧ γ = 2

5

S. Imp.: β = −2 ∧ γ 6= 25

5.e) S. P. Ind.: com grau de in det er min acao 1(α 6= 7 ∧ 18− 6β + (48 + 9β − 3α) γ = 0) ∨ (

α = 7 ∧ γ = 23∧ β 6= −3

).

S. Imp.:(α 6= 7 ∧ 18− 6β + (48 + 9β − 3α) γ 6= 0) ∨ (α = 7 ∧ β = −3 ∧ γ ∈ IR) ∨ (

α = 7 ∧ β 6= −3 ∧ γ 6= 23

).

5.f) S. P. Ind.: com grau de in det er min acao 1 se α 6= −5 ∧ γ = −1.com grau de indeterminacao 2 se α = 5 ∧ β = −3 ∧ γ = −1.

S. Imp.: (α = −5 ∧ β 6= −3) ∨ (α = −5 ∧ β = −3 ∧ γ 6= −1) ∨ (α 6= −5 ∧ γ 6= −1) .

6a) Sistema possıvel determinado se 6β − 6 + (α− 1) (γ − 3) = 0.Sistema impossıvel se 6β − 6 + (α− 1) (γ − 3) 6= 0.

6b) Sistema impossıvel se (α = 0 ∨ α = 3) ∧ β 6= 0.Sistema possıvel determinado se (α = 1) ∨ (α 6= 1 ∧ α 6= 0 ∧ α 6= 3) .Sistema possıvel indeterminado com grau de indeterminacao 1 se

(α = 0 ∨ α = 3) ∧ β = 0.

7) Exemplo :

{x1 − x3 = 1x2 − 2x3 = 1

6




Ficha pratica no2 - Algebra Matricial

1. Considere as matrizes

A =

1 2i 30 3 1− 2i1 2 2

e B =

−1− i 0 −1

2 1 11 2i 0

.

Calcule a matriz 2(A + B) − AB.

2. Calcule os produtos AB e BA, quando definidos, nos seguintes casos:

(a) A =

1 2 −12 0 23 1 3

e B =

2 10 34 2

.

(b) A =[

1 0 −1 + i]

e B =

32− i

i

.

(c) A =

1 2 −2−2 1 2−2 −4 4

e B =

6 3 22 1 2/35 5/2 5/3

.

3. Considere as matrizes

A =

1 −3 22 1 −34 −3 −1

, B =

1 4 1 02 1 1 11 −2 1 2

,C =

2 1 −1 13 −2 −1 22 −5 −1 3

, D =

2101

.

Verifique que AB = AC e BD = CD.

4. Considere as matrizes A =

[1 0 1

−1 1 1

], B =

[1 11 −1

], C =

[12

], D =

1 00 11 1

.

Escolha uma maneira de as ordenar de tal modo que o produto das quatro matrizes esteja definidoe calcule esse produto.

5. Mostre que se os produtos AB e BA estao ambos definidos e A e do tipo m× n, entao B e do tipon×m.

6. Que mudanca se da no produto AB das matrizes A e B se

(a) trocarmos as linhas i e j de A?

7

(b) trocarmos as colunas i e j de B?

7. Calcule o numero de multiplicacoes necessarias para multiplicar uma matriz A do tipo m × n poruma matriz B do tipo n× p.

8. Sejam A, B, C matrizes do tipo m × n, n × p, p × q, respectivamente. Calcule o numero demultiplicacoes necessarias para obter o produto ABC. (Note que a resposta depende do modo comocolocarmos os parenteses no produto ABC.)

9. Sendo α e β numeros reais, calcule o produto[

cos α − sin αsin α cos α

]·[

cos β − sin βsin β cos β

].

10. Calcule:

(a)

2 0 11 1 10 3 2

2

; (b)

[2 i1 3− i

]3

; (c)

[3 2

−4 −2

]5

; (d)

[1 10 −1

]k

(e)

[2 −13 −2

]k

; (f)

[cos θ − sin θsin θ cos θ

]k

(θ ∈ IR) ; (g)

0 i 00 0 i0 0 0

3

.

11. Calcule:

µ1 0 ... 00 µ2 ... 0. . .0 0 ... µn

k

(todos os elementos fora da diagonal principal sao iguais a zero).

12. (a) Verifique que as identidades algebricas (A+−B)2 = A2

+− 2AB + B2,

(A + B)(A − B) = A2 − B2 e (AB)2 = A2B2 nem sempre sao verdadeiras quando A e B saomatrizes. Considere, por exemplo, os casos seguintes:

(a) A =

[1 −10 2

], B =

[1 01 2

]; (b) A =

[2 0

−1 1

], B =

[1 03 4

].

(b) Transforme os segundos membros das identidades anteriores de forma a obter identidades semprevalidas para A e B matrizes quadradas quaisquer da mesma ordem.

13. Prove que

Multiplicar uma matriz A m×n a esquerda por uma matriz diagonal deelementos diagonais µ1, µ2, ..., µm equivale a multiplicar a 1a. linhapor µ1, a 2a. linha por µ2, etc.

Prove a seguir que

Multiplicar uma matriz A m× n a direita por uma matriz diagonal deelementos diagonais µ1, µ2, ..., µn equivale a multiplicar a 1a. colunapor µ1, a 2a. coluna por µ2, etc.

14. Ache todas as matrizes permutaveis com A, sendo:

(a) A =

[i 00 −3i

]; (b) A =

[1 2

−1 −1

]; (c) A =

[1 10 1

]; (d) A =

1 0 00 1 03 1 2

.

8

15. Prove que uma matriz que comuta com uma matriz diagonal de elementos diagonais todos distintostem que ser ela propria diagonal.

16. Prove que uma matriz quadrada que comuta com todas as matrizes quadradas da mesma ordem temque ser uma matriz escalar (isto e, da forma αI para algum α).

17. Prove que:

O produto de duas matrizes triangulares superiores (respectivamente,inferiores) da mesma ordem ´e ainda uma matriz triangular superior(respectivamente, inferior).

A que sao iguais os elementos diagonais do produto neste caso?

18. Em cada uma das alıneas de exemplo de matrizes reais 2× 2 com a propriedade indicada:

(a) A2 = −I; (b) A2 = 0, sendo A nao nula;

(c) AB = 0, nao tendo A nem B nenhum elemento nulo.

9




Solucoes da Ficha Pratica no2 - Algebra Matricial

1)

−2− 5i −4i 5− 2i−3 + 2i 1− 2i 1− 4i−1 + i 2 3

.

2.a) A.B =

−2 512 618 12

, B.A nao esta definido;

2.b) A.B =[

2− i], B.A =

3 0 −3 + 3i2− i 0 −1 + 3i

i 0 −1− i

(nao ha comutatividade);

2.c) A.B =

0 0 00 0 00 0 0

, B.A =

−4 7 2−4

373

23

−103

356

53

(nao ha comutatividade).

3) A.B = A.C =

−3 −3 0 11 15 0 −5−3 15 0 −5

, B.C = C.D =

662

.

4) A.D.B.C =

[5−2

]ou B.A.D.C =

[80

].

6.a) A linha i e a linha j aparecem trocadas no produto A.B;6.b) A coluna i e a coluna j aparecem trocadas no produto A.B.7) m× n× p multiplicacoes.8) m× n× p + m× p× q multiplicacoes para calcular (A.B).C e

n× p× q + m× n× q para calcular A.(B.C).

9)

[cos(α + β) − sin(α + β)sin(α + β) cos(α + β)

].

10.a)

4 3 43 4 43 9 7

; 10.b)

[9 + 7i 7 + 18i18− 7i 20− 18i

];

10.c)

[3 −24 8

]; 10.d)

[1 10 −1

]k

=

[1 10 −1

]se k e ımpar

[1 00 1

]se k e par

;

10

10.e)

[2 −13 −2

]k

=

[2 −13 −2

]se k e ımpar

[1 00 1

]se k e par

;

10.f)

[cos(kθ) − sin(kθ)sin(kθ) cos(kθ)

], θ ∈ IR, k ∈ IN (provar por inducao matematica);

10.g) O3×3.

11)

uk1 0 ... 00 uk

2 ... 0...0 0 ... uk

n

, k ∈ IN (provar por inducao matematica).

12.a.i) Nao se verificam; 12.a.ii) Verificam-se (A.B = B.A);12.b) (A±B)2 = A2 ± A.B ±B.A + B2

(A + B).(A−B) = A2 − A.B + B.A−B2

(A.B)2 = (A.B).(A.B)

14.a)

{[x 00 y

]: x, y ∈ C

}; 14.b)

{[ −2x + y −2xx y

]: x, y ∈ C

};

14.c)

{[x y0 x

]: x, y ∈ C

}.

11




Ficha pratica no3 - Matrizes Invertıveis

1. Resolva os seguintes sistemas pelo metodo de eliminacao de Gauss-Jordan.

(a)

2x1 +3x2 +x3 = 3x1 +x2 +x3 = 2

−2x1 +x2 = −2(b)

x1 +x2 = 4x1 +x2 +x3 = 2

+x2 +x3 +x4 = 3x3 +x4 = 4

2. (a) Resolva o sistema Ax = b para os tres segundos membros indicados:

A =

2 1 01 2 10 1 2

, b =

100

, b =

010

, b =

001

.

(b) Justifique a afirmacao ”A e invertıvel” e indique a primeira e terceira colunas de A−1. (Tenhaem conta a seguinte propriedade que provaremos mais tarde: Se A e B sao matrizes quadradasda mesma ordem tais que AB = I entao BA = I.

3. Ache as inversas das seguintes matrizes:

(a)

[3 45 7

]; (b)

1 i 1 + i0 1 2i0 0 1

; (c)

0 2 −11 1 −1

−2 −5 4

; (d)

2 3 4 53 3 4 54 4 4 55 5 5 5

.

4. Calcule a segunda coluna da inversa da matriz

1 1 10 1 10 0 1

.

5. (a) Ache a inversa da matriz

[2 35 7

].

(b) Calcule

[17 −635 −12

]5

usando a igualdade

[17 −635 −12

]=

[2 35 7

] [2 00 3

][ −7 35 −2

].

6. Calcule

4 3 −32 3 −24 4 −3

6

sabendo que

4 3 −32 3 −24 4 −3

=

1 3 12 2 13 4 2

1 0 00 2 00 0 1

0 2 −11 1 −1

−2 −5 4

.

12

7. Ache a inversa da matriz

[cos θ − sin θsin θ cos θ

](θ ∈ IR).

8. Que mudanca se da em A−1 se em A

(a) trocarmos as linhas i e j? (Generalize para o caso em que se faz uma permutacao qualquer aslinhas de A).

(b) multiplicarmos a linha i por um numero α 6= 0?

(c) a linha i adicionarmos a linha j multiplicada por um numero α?

9. Usando o exercıcio 8 indique a inversa de uma matriz de permutacao.

10. De exemplos nao triviais (isto e, 6= I e 6= −I) de matrizes 2x2 que sejam inversas de si proprias.

11. Se A e uma matriz invertıvel e α e um numero 6= 0,mostre que a matriz αA e invertıvel tendo-se(αA)−1 = 1

αA−1.

12. Prove que se A comuta com B e esta e invertıvel, entao A tambem comuta com B−1.

13. (a) Se A e invertıvel, A2 e invertıvel? Generalize.

(b) Se A e B sao matrizes nxn invertıveis, mostre que A−1 + B−1 = A−1(A + B)B−1.

(Que igualdade e esta no caso n=1?)

14. Seja A uma matriz invertıvel. Prove as seguintes afirmacoes:

(a) Se existem os produtos AB e AC, e se AB = AC entao B = C.

(b) Se existe AB, e se AB = 0 entao B = 0.

(c) Se A2 + 2A− 4I = I , em que I denota a matriz identidade, entao A−1 = 15(A + 2I)

(d) A−1 e invertıvel e (A−1)−1 = A.

15. Prove que se A e uma matriz invertıvel entao a sua inversa e unica.

16. Como sabe, o produto de duas matrizes invertıveis e tambem invertıvel.

Demonstre a afirmacao recıproca: Sendo A e B quadradas, se o produto AB for invertıvel entao Ae B sao ambas invertıveis.

(Sugestao: Para demonstrar que B e invertıvel suponha que nao e use o facto de que nesse caso osistema Bx=0 seria indeterminado).

13




Solucoes da Ficha Pratica no3 - Matrizes Invertıveis

1.a) Solucao :

101

; 1.b) Solucao :

5−1−2

6

.

2.a)

Solucao do sistema:primeiro segundo terceiro

34

−1214

;

−1

2

1−1

2

;

14

−1234

;

2.b) A e invertıvel visto que A e nao singular, isto e, tem caracterıstica igual a ordem;Primeira coluna da inversa de A Terceira coluna da inversa de A

34

−1214

;

14

−1234

.

3.a) A−1 =

[7 −4

−5 3

]; 3.b) A−1 =

1 −i −3− i0 1 −2i0 0 1

;

3.c) A−1 =

1 3 12 2 13 4 2

; 3.d) A−1 =

−1 1 0 01 −2 1 00 1 −2 10 0 1 −4

5

.

5.a)

[2 35 7

]−1

=

[ −7 35 −2

]; 5.b)

[17 −635 −12

]5

=

[2 35 7

] [25 00 35

] [ −7 35 −2

]

6)

190 189 −189126 127 −126252 252 −251

. 7) A−1 =

[cos θ sin θ− sin θ cos θ

]. 9) P−1 = P T .

14




Ficha pratica no4 - Decomposicao LU e LDU. Matrizes Elementares e de Permutacao

1. Considere as matrizes 3× 3

E =

1 0 0α 1 00 0 1

, F =

1 0 00 1 0β 0 1

, G =

1 0 00 1 00 γ 1

.

Calcule os produtos EFG e GFE. O que e que observa para cada um deles?

2. Procure generalizar essa observacao para matrizes nxn.

(a) Verifique que R =

1 0 0−α 1 0−β 0 1

e a inversa de S =

1 0 0α 1 0β 0 1

.

(b) Verifique que R =

1 0 0−α 1 0−β −γ 1

nao e a inversa de S =

1 0 0α 1 0β γ 1

.

(c) Mostre que R =

1 0 00 1 00 −γ 1

1 0 0−α 1 0−β 0 1

e a inversa da matriz S de (b).

(d) Procure generalizar estas observacoes para matrizes nxn.

3. Sendo A =

1 0 00 1 00 −2 1

1 0 00 1 03 0 1

1 0 0−1 1 0

0 0 1

, calcule A−1.

4. Seja E a matriz elementar 4x4 cujo efeito, quando multiplicada por uma matriz, e adicionar aprimeira linha a terceira.

(a) Qual e o efeito de E50?

(b) Escreva por extenso as matrizes E, E50 e 50E.

5. Ache as decomposicoes LU e LDU das seguintes matrizes:

(a)

[1 08 1

]; (b)

[1− i 1 + i−2 + 2i 10

]; (c)

2 −3 04 5 12 0 4

;

(d)

1 3 53 12 185 18 30

; (e)

1 −1 0 0−1 2 −1 0

0 −1 2 −10 0 −1 2

; (f)

i 4 0 2i0 3 3 11 7 9 70 0 6 1− i

.

Que relacao nota entre os factores triangulares da decomposicao LDU nas alıneas (d) e (e)?(Ver-se-a adiante que isto esta relacionado com a estrutura das matrizes dessas alıneas.)

15

6. Que matriz 3x3 tem por efeito, quando multiplicada por outra, trocar a primeira e a terceira linhas?

7. Escreva todas as matrizes de permutacao 3x3, incluindo P = I, e para cada uma identifique a suainversa (que tambem e uma matriz de permutacao).

8. Quantas matrizes de permutacao nxn existem?

9. Sendo A =

1 3 22 6 92 8 8

, ache uma matriz de permutacao P para a qual exista a decomposicao LU

de PA e determine os factores dessa decomposicao.

10. Determine as decomposicoes PA = LDU sendo:

(a) A =

[0 i

2i 3

]; (b) A =

1 2 32 4 21 1 1

; (c) A =

1 0 0 11 0 0 22 1 0 2−1 1 1 2

.

11. De exemplo de uma matriz nao singular 4x4 que exija tres trocas de linhas para levar a eliminacaoate ao fim.

12. Para cada uma das matrizes

[γ 26 4

]e

1 2 2α 8 30 β 3

, diga que valores dos parametros tornam

necessarias trocas de linhas, e que valores dos parametros tornam a matriz singular.

13. Para cada uma das seguintes matrizes A, determine uma factorizacao LU , onde L e triangular inferiorcom elementos diagonais iguais a 1 e U uma matriz em escada (se tal nao for possıvel, faca-o paraPA, onde P e uma matriz de permutacao adequada);

(a)

1 2 0 10 1 1 01 2 0 1

; (b)

[0 1 4 00 2 8 0

]; (c)

0 0 04i −2 22 i 01 1 1

;

(d)

1 00 12 3

; (e)

2 1 1 11 3 1 11 1 4 11 1 1 51 2 3 41 1 1 1

; (f)

2− i 0 2− i 0 2− i0 i 0 i 0

2− i i 0 2− i i0 i 0 i 0

.

14. Para as matrizes das alıneas a), b) e d) do exercıcio anterior, diga quais os vectores-coluna para osquais o sistema real Ax = b e possıvel e para esses escreva a solucao geral do sistema.

16




Solucoes da Ficha Pratica no4 - Decomp. LU e LDU. Matrizes Elementares e Permutacao

1) E.F.G =

1 0 0α 1 0β γ 1

; G.F.E =

1 0 0α 1 0

β + αγ γ 1

.

3) A−1=

1 0 01 1 0−3 2 1

.

4a) Soma a 3alinha o produto da 1alinha por 50.

4b) E31(1) =

1 0 0 00 1 0 01 0 1 00 0 0 1

; E31(50) =

1 0 0 00 1 0 050 0 1 00 0 0 1

; 50E =

50 0 0 00 50 0 050 0 50 00 0 0 50

.

5a) Decomposicao LU:

[1 08 1

] [1 00 1

];

Decomposicao LDU:

[1 08 1

] [1 00 1

] [1 00 1

].

5b) Decomposicao LU:

[1 0−2 1

] [1− i 1 + i

0 12 + 2i

];

Decomposicao LDU:

[1 0−2 1

] [1− i 0

0 12 + 2i

] [1 i0 1

].

5c) Decomposicao LU:

1 0 02 1 01 3

111

2 −3 00 11 10 0 41

11

;

Decomposicao LDU:

1 0 02 1 01 3

111

2 0 00 11 00 0 41

11

1 −32

00 1 1

11

0 0 1

.

5d) Decomposicao LU:

1 0 03 1 05 1 1

1 3 50 3 30 0 2

;

Decomposicao LDU:

1 0 03 1 05 1 1

1 0 00 3 00 0 2

1 3 50 1 10 0 1

.

17

4e) Decomposicao LU:

1 0 0 0−1 1 0 00 −1 1 00 0 −1 1

1 −1 0 00 1 −1 00 0 1 −10 0 0 1

;

Decomposicao LDU:

1 0 0 0−1 1 0 00 −1 1 00 0 −1 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 −1 0 00 1 −1 00 0 1 −10 0 0 1

.

5f) Decomposicao LU:

1 0 0 00 1 0 0−i 7+4i

31 0

0 0 3+6i5

1

i 4 0 2i0 3 3 10 0 2− 4i 8−4i

3

0 0 0 −11−17i5

;

Decomposicao LDU:

1 0 0 00 1 0 0−i 7+4i

31 0

0 0 3+6i5

1

i 0 0 00 3 0 00 0 2− 4i 00 0 0 −11−17i

5

1 4 0 20 1 1 1

3

0 0 1 815

+ 25i

0 0 0 1

.

6) Matriz de permutacao P13 =

0 0 10 1 01 0 0

.

8) n!

9) PA=LU:

1 0 00 0 10 1 0

1 3 22 6 92 8 8

=

1 0 02 1 02 0 1

1 3 20 2 40 0 5

.

10a) PA=LDU:

[0 11 0

] [0 i2i 3

]=

[1 00 1

] [2i 00 i

] [1 −3

2i

0 1

].

10b) PA=LDU:

1 0 00 0 10 1 0

1 2 32 4 21 1 1

=

1 0 01 1 02 0 1

1 0 00 −1 00 0 −4

1 2 30 1 20 0 1

.

10c)PA=LDU:

1 0 0 00 0 1 00 0 0 10 1 0 0

1 0 0 11 0 0 22 1 0 21 1 1 2

=

1 0 0 0−1 1 0 01 1 1 02 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 0 0 10 1 0 00 0 1 30 0 0 1

.

12)

[γ 26 4

]Troca de de linhas: γ = 0 ; Matriz singular: γ = 3.

1 2 2α 8 30 β 3

Troca de linhas : α = 4 ∧ β 6= 0;

Matriz singular:(α 6= 4 ∧ α 6= 32∧ β = 24−6α

3−2α) ∨ (α = 4 ∧ β = 0).

18

13a) Decomposicao LU:

1 0 00 1 01 0 1

1 2 0 10 1 1 00 0 0 0

; car(A) = 2 ;

incognitas basicas: x1, x2 ; incognitas livres: x3, x4.

Solucao geral:

2x3 − x4

−x3

x3

x4

= x3

2−110

+ x4

−1001

, x3, x4 quaisquer.

13b) Decomposicao LU:

[1 02 1

] [0 1 4 00 0 0 0

]; car(A) = 1 ;

incognitas basicas: x2 ; incognitas livres: x1, x3, x4.

Solucao geral:

x1

−4x3

x3

x4

= x1

1000

+ x3

0−410

+ x4

0001

, x1, x3, x4 quaisquer.

13c) PA=LU:

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

1 0 04i −2 22 i 01 1 1

=

1 0 0 04i 1 0 02 −1

2i 1 0

0 0 0 1

1 1 10 −2− 4i 2− 4i0 0 i0 0 0

car(A) = 3 ; incognitas basicas: x1, x2, x3 ; incognitas livres: nao tem.

Solucao geral:

000

.

13d) Decomposicao LU:

1 0 00 1 02 3 1

1 00 10 0

; car(A) = 2 ;

incognitas basicas: x1, x2 ; incognitas livres: nao tem ; Solucao geral:

[00

].

13e) Decomposicao LU:

1 0 0 0 0 012

1 0 0 0 012

15

1 0 0 012

15

217

1 0 012

35

1117

5074

1 012

15

217

674

0 1

2 1 1 10 5

212

12

0 0 175

25

0 0 0 7417

0 0 0 00 0 0 0

; car(A) = 4 ;

incognitas basicas: x1, x2, x3, x4 ; incognitas livres: nao tem ; Solucao geral:

0000

.

19

13f) Decomposicao LU:

1 0 0 00 1 0 01 1 1 00 1 0 1

2− i 0 2− i 0 2− i0 i 0 i 00 0 −2 + i 2− 2i −2 + 2i0 0 0 0 0

;

car(A) = 3 ; incognitas basicas: x1, x2, x3 ; incognitas livres: x5, x4.

Solucao geral:

−6+2i5

x4 + 1−2i5

x5

−x46−2i

5x4 − 6−2i

5x5

x4

x5

= x4

−6+2i5

−16−2i

5

10

+ x5

1−2i5

0−6+2i

5

01

, x5, x4 ∈ C.

20




Ficha Pratica no5 - Transposicao, Matrizes Simetricas e Hermiteanas

1. Sendo u =

[32

]e v =

[5

−1

], calcule utv, vtu, uvt e vut. Generalize para vectores coluna quaisquer

as observacoes que fizer.

2. Demonstre que a transposicao de matrizes goza das seguintes propriedades:

(a) (At)t = A; (b) (A + B)t = At + Bt; (c) (αA)t = αAt, com α um escalar;

(d) (AB)t = BtAt; (e) (Ak)t = (At)k, com k um numero natural;

(f) Se A for invertıvel, At tambem e, tendo-se (At)−1 = (A−1)t.

3. Mostre que a conjugacao de matrizes satisfaz as seguintes propriedades:

(a) A = A; (b) A + B = A + B; (c) αA = αA, com α um escalar;

(d) AB = A B; (e) Ak = Ak, com k um numero natural;

(f) Se A for invertıvel, A tambem e, tendo-se A−1

= A−1.

4. Demonstre que a transconjugacao de matrizes verifica as seguintes propriedades:

(a) (A∗)∗ = A; (b) (A + B)∗ = A∗ + B∗; (c) (αA)∗ = αA∗, com α um escalar;

(d) (AB)∗ = B∗A∗; (e) (Ak)∗ = (A∗)k, com k um numero natural;

(f) Se A for invertıvel, A∗ tambem e, tendo-se (A∗)−1 = (A−1)∗.

5. Determine quais das matrizes dadas sao anti-simetricas, simetricas, hermiteanas ou anti-hermiteanas:

(a)

1 i 1− i−i 0 1

1 + i 1 0

; (b)

1 i 1− ii 0 1

−1− i −1 0

; (c)

0 2 12 2 −11 −1 0

;

(d)

0 2 1−2 2 −1−1 1 0

; (e)

0 i 1− ii 0 1

−1− i −1 0

; (f)

0 2 1−2 0 −1−1 1 0

.

6. Calcule os elementos aij de modo que

A =

a11 a12 −2 + 3i a14

2 + 2i a22 a23 a24

a31 −1 + 5i a33 7−3i −1 + i a43 a44

seja anti-simetrica.

7. Sendo A quadrada, mostre que A + At e simetrica. E A− At?

21

8. Seja A uma matriz m×n. Prove que as matrizes AtA e AAt sao simetricas. De um exemplo quemostre que estes dois produtos podem ser diferentes, mesmo que A seja quadrada.

9. Sejam A n×n e S n×m, com A simetrica. Mostre que StAS e simetrica.

10. Sejam A e B n×n simetricas. Prove que a matriz C = ABAB...ABA e simetrica.

11. Mostre que o produto de duas matrizes simetricas n×n e uma matriz simetrica se e so se as duasmatrizes comutam.

12. Mostre que o produto de duas matrizes hermitianas n×n e uma matriz hermitiana se e so se as duasmatrizes comutam.

13. Mostre que a inversa de uma matriz simetrica invertıvel e tambem simetrica.

14. Mostre que a inversa de uma matriz hermitiana invertıvel e tambem hermitiana.

15. Se x for um vector-coluna, entao o produto xtx e um numero (ou matriz 1×1).

(a) Mostre que, se os elementos de x forem reais, esse numero e sempre nao negativo, e so e 0 sex = 0.

(b) De exemplos de vectores-coluna x 6= 0 com elementos complexos para as quais xtx = 0 e tambemexemplos em que xtx < 0.

16. Como sabe o produto de duas matrizes pode ser a matriz nula sem que nenhum dos factores o seja.Mas se as duas matrizes (reais) forem a transposta uma da outra, tal nao acontece. Concretamente:Prove que, sendo A uma matriz m×n de elementos reais, se AtA = 0 entao A = 0.

17. Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invertıvel e a sua inversa coincidir com a sua transposta.

Verifique se as matrizes A =

0 2√6

1√3

1√2

1√6

−1√3

1√2

−1√6

1√3

e B =

0 2 −11 1 −1−2 −5 4

sao ortogonais.

18. Prove que:

(a) O produto de duas matrizes ortogonais e ainda uma matriz ortogonal.

(b) A inversa de uma matriz ortogonal e ainda uma matriz ortogonal.

(c) Toda a matriz de permutacao e ortogonal.

19. Seja A n×n e designemos por v1, v2, ..., vn as suas colunas. Prove que A e ortogonal se e so se, para

i, j = 1, 2, ..., n, se tem vtivj = δij.( Nota: δij =

{1 se i = j0 se i 6= j

)

22




Solucoes da Ficha Pratica no5 - Transposicao, Matrizes Simetricas e Hermiteanas

1) uT v = [13] ; vT u = [13] ; uvT =

[15 −310 −2

]; vuT =

[15 10−3 −2

].

5) Matrizes anti-simetricas: f);

matrizes simetricas: c);

matrizes hermiteanas: a) e c);

matrizes anti-hermiteanas: e) e f).

6) a11 = a22 = a33 = a44 = 0;

a12 = −2− 2i;

a14 = 3i;

a23 = 1− 5i;

a24 = 1− i;

a31 = 2− 3i;

a43 = −7.

23



Curso: Engenharia do Smbiente Ano: 1o Semestre: 1o Ano Lectivo: 2006/2007

Ficha Pratica no6 - Espacos Lineares (Vectoriais)

1. Sendo v e w vectores quaisquer de um espaco V e α e β escalares, prove que:(a) α(v − w) = αv − αw; (b) (α− β)v = αv − βv; (c) α0 = 0; (d) 0v = 0;

(e) αv = 0 =⇒ α = 0 ou v = 0; (f) (αv = αw e α 6= 0) =⇒ v = w;(g) (αv = βv e v 6= 0) =⇒ α = β.

2. Verifique que Cn e um espaco linear real mas IRn nao e um espaco linear complexo.

3. Diga quais dos seguintes subconjuntos de IR4 sao subespacos de IR4:

(a){(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 = 0 e x3 = x4};(b){(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 + x3 = 0 e x4 e um inteiro};(c){(x1, x2, x3, x4) : x2 = 0}; (d){(x1, x2, x3, x4) : x1 + x2 + x3 + x4 = 1}.

4. Verifique se:

(a)

{[x yz t

]∈ M2×2 (C) : x = 3y ∧ t = i

}e subespaco vectorial de M2×2 (C) ;

(b) {A ∈ M2×2 (IR) : A e simetrica} e subespaco vectorial de M2×2 (IR) ;

(c) {A ∈ Mn×n (IR) : A e ortogonal} e subespaco vectorial de Mn×n (IR) ;

(d)

{[x yz t

]∈ M2×2 (IR) : x + y = 0 ∧ z = 0

}e subespaco vectorial de M2×2 (IR).

5. O conjunto de todas as sucessoes reais e um espaco vectorial real. Diga quais dos seguintes conjuntossao subespacos desse espaco:

(a) o conjunto das sucessoes limitadas; (b) o conjunto das sucessoes convergentes;

(c) o conjunto das sucessoes com limite 1; (d) o conjunto das sucessoes com limite 0;

(e) o conjunto das sucessoes (un) que satisfazem un+2 = un+1 + un para todo o n.

6. O conjunto de todos os polinomios de coeficientes reais, com as operacoes de adicao e multiplicacaoescalar usuais e um espaco vectorial real. Diga quais dos seguintes conjuntos sao subespacos desseespaco:

(a) o conjunto dos polinomios de grau inferior ou igual a 2;

(b) o conjunto dos polinomios de grau igual a 3.

24

7. Diga quais dos seguintes subconjuntos do espaco C(a, b) sao subespacos:

(a) o conjunto das funcoes f que satisfazem f(a+b2

) = 1;

(b) o conjunto das funcoes f que satisfazem a eq. diferencial f ′′(x) + αf ′(x) + βf(x) = 0;

(c) o conjunto Ck(a, b) das funcoes com derivadas contınuas ate a ordem k.

8. Sendo A mxn e B pxm duas matrizes quaisquer, prove que o espaco nulo de A esta contido no espaconulo de BA.

9. Sendo A uma matriz real qualquer, prove que o espaco nulo de A coincide com o de AtA. (Sugestao:Pelo exercıcio anterior, basta mostrar a inclusao num sentido. Agora note que, pelo exercıcio 9.(a)da ficha 5, para provar que um vector-coluna real y e 0 basta provar que yty = 0.)

10. (a) Prove que a interseccao de dois subespacos de um mesmo espaco e um sub espaco.

(b) Prove que a reuniao de dois subespacos de um mesmo espaco so e um sub espaco se um delescontiver o outro.

11. Diga se o vector (2, 5,−3) pertence ao subespaco de IR3 gerado pelos vectores (1, 4,−2) e (−2, 1, 3).

12. Considere os seguintes vectores de IR3 :

v1 = (1, 0, 2), v2 = (1,−1, 1), v3 = (0,−1,−1), v4 = (1,−1/2, 3/2).

Prove que o subespaco gerado por v1 e v2 coincide com o subespaco gerado por v3 e v4.

13. Descreva geometricamente o subespaco de IR3 gerado por:

(a) (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 2, 0); (b) (0, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 2, 1);

(c) os seis vectores indicados em a) e b).

14. Determine α e β de modo que o vector (1, 1, α, β) pertenca ao subespaco de IR4 gerado pelos vectores(1, 0, 2, 1) e (1,−1, 2, 2).

15. Sendo A mxn, mostre que o espaco das colunas de A e o conjunto {Av : v matriz n× 1}.16. Prove que o espaco das colunas de BA esta contido no de B.

17. (a) Escreva o vector nulo de IR2 como combinacao linear dos vectores (2,−3) e (−4, 6) de variasmaneiras diferentes.

(b) Pode o vector nulo de IR2 escrever-se como combinacao linear dos vectores (2,−3) e (4, 6) demais que uma maneira?

18. Escreva o vector (2,−3) de IR2 como combinacao linear dos vectores

(a) (1, 0) e (0, 1); b) (1, 1) e (1, 2); c) (0, 1) e (2,−3).

19. Verifique que os numeros complexos 1 + i e 2− i sao

(a) vectores linearmente independentes do espaco vectorial real C;

(b) vectores linearmente dependentes do espaco vectorial complexo C.

25

20. Diga quais dos seguintes conjuntos de IR3 sao linearmente independentes (e em caso de dependenciaescreva um dos vectores como combinacao linear do outros):(a) {(1,−2, 3), (3,−6, 9)}; (b) {(1,−2,−3), (3, 2, 1)}; (c) {(0, 1,−2), (1,−1, 1), (1, 2, 1)};(d) {(0, 2,−4), (1,−2,−1), (1,−4, 3)}; (e) {(1,−1,−1), (2, 3, 1), (−1, 4,−2), (3, 1, 2)}.

21. Considere os vectores de IR4:

v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (1,−1, 1,−1), v3 = (−2, 0, 1, 2), v4 = (3,−1, 3,−1).

(a) Mostre que v1, v2, v3 sao linearmente independentes.

(b) Mostre que v1, v2, v4 sao linearmente dependentes.

22. Discuta segundo os valores de µ a dependencia ou independencia dos vectores de IR4

v1 = (1,−2,−5, 8), v2 = (−1, 1, 1, 5), v3 = (1, 2, 11, µ).

23. Diga para que valores de α, β e γ, os vectores (0, γ,−β), (−γ, 0, α), (β,−γ, 0) sao linearmenteindependentes.

24. Estude a independencia linear de cada um dos seguintes conjuntos de vectores do espaco C[−π, π].

(a) sinx, cosx; (b) 1, sinx, cosx; (c) 1, sin2x, cos2x.

25. Seja (a,b) um intervalo real que contem o 0. Mostre que as funcoes ex, e2x, e3x sao vectores linear-mente independentes do espaco C(a,b).(Sugestao: Escreva a funcao nula como combinacao linear das tres funcoes, com coeficientes adeterminar, e derive duas vezes. Faca x=0 nas tres igualdades.)

26. Considere os seguintes vectores de IR3: v1 = (2,−3, 1), v2 = (0, 1, 2), v3 = (1, 1,−2).

(a) Mostre que {v1, v2, v3} e uma base de IR3.

(b) Determine as coordenadas do vector (3, 2, 1) relativamente a essa base.

27. Determine a dimensao: (a) do espaco real C; (b) do espaco complexo C.

28. Determine a dimensao e indique duas bases diferentes para o subespaco de IR3 gerado pelos vectores(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9).

29. Sejam V um espaco vectorial de dimensao finita e F um subespaco de V. Como sabe, dim F≤dimV. Prove que, se dim F = dim V, entao F = V.

30. Para cada um dos subespacos de IR4 encontrados no exercıcio 3,4 e 6 determine a sua dimensao eindique uma base.

31. Para cada um dos seguintes subconjuntos de IRn, prove que se trata de um subespaco, determine asua dimensao e indique uma base.

(a) O conjunto dos vectores com a primeira e a ultima coordenadas iguais;

(b) O conjunto dos vectores cujas coordenadas de ındice par sao nulas;

(c) O conjunto dos vectores cujas coordenadas de ındice par sao todas iguais;

(d) O conjunto dos vectores da forma (α, β, α, β, α, β, ...).

32. Dados os numeros reais α1, α2, ..., αn, determine a dimensao e indique uma base do subespaco de IRn

definido pela equacao α1x1 + α2x2 + . . . + αnxn = 0.

26

33. (a) Mostre que o espaco das sucessoes reais referido no exercıcio 4 tem dimensao infinita.

(b) Mostre que o subespaco desse espaco definido na alınea e) do exercıcio 4 tem dimensao 2 eindique uma base para ele.

34. Indique, justificando:

(a) um subconjunto de IR4 que nao seja base de IR4;

(b) um subconjunto de IR4 com 4 vectores que gere um subespaco de dimensao 2;

(c) um subconjunto de IR4 que gere IR4 mas que nao seja base de IR4;

(d) uma base de IR4 que contenha os vectores (1, 0, 1, 0) e (0,−1, 2, 1).

35. Prove que, se F e G forem subespacos de dimensao 3 de IR5, entao F e G tem de certeza um vectornao nulo em comum. (Sugestao: Se juntarmos uma base de F com uma base de G obtemos 6vectores.)

36. Para cada uma das matrizes do exercıcio 13 da ficha 3 determine, usando a factorizacao LU encon-trada, uma base para o espaco das linhas e uma base para o espaco das colunas.

37. Determine a caracterıstica e o espaco nulo das matrizes

0 0 10 0 11 1 1

e

0 0 1 20 0 1 21 1 1 0

.

38. Considere a matriz A =

1 −α 2α −1 3α− 11 −1 3

,

onde α e um parametro real. Determine para que valores de α a caracterıstica de A e, respectiva-mente, 1, 2 e 3. Em cada caso, determine bases para o espaco das colunas e para o espaco nulo deA.

39. O mesmo que no exercıcio anterior para a matriz A =

1 2α 1α 1 α0 1 α

.

40. Construa uma matriz cujo espaco nulo seja gerado pelo vector (1, 0, 1).

41. Existira uma matriz cujo espaco das linhas contenha o vector (1, 1, 1) e cujo espaco nulo contenha ovector (1, 0, 0)?

42. Se A for uma matriz 64 × 17 com caracterıstica 11, quantos vectores linearmente independentessatisfazem Ax=0? E quantos vectores linearmente independentes satisfazem Aty = 0?

43. (a) Sendo A uma matriz qualquer, prove que car(A) = car(At).

(b) Sera sempre verdade que nul(A) = nul(At)?

44. Sendo A m× n e B p×m, prove que:

(a) car(BA) ≤ car(B) (Sugestao: exercıcio 14)

(b) nul(A) ≤ nul(BA) (Sugestao: exercıcio 6)

(c) car(BA) ≤ car(A)

27

45. Sendo A ∈ Mm×n(IR), prove que:

(a) nul(AtA) = nul(A) (Sugestao: exercıcio 7)

(b) car(AtA) = car(AAt) = car(A).

46. Seja A m× n qualquer. Sejam B m×m e C n× n invertıveis. Prove que:

(a) car(BA) = car(A); (b) car(AC) = car(A); (c) car(BAC) = car(A).

47. Seja A m× n. Prove que:

(a) A possui inversa a direita (isto e, existe B n × m tal que AB = Im) se e so se car(A) = m.(Sugestao: Para a implicacao (⇒) use o exercıcio 42.(a) )

(b) A possui inversa a esquerda (isto e, existe C n ×m tal que CA = In) se e so se car(A) = n.(Sugestao: Basta mostrar que At possui inversa a direita. Use a). )

(c) Se A e quadrada e existe B tal que AB = I entao tambem BA = I.

48. Sendo A n× n, diga se e verdadeira ou falsa a seguinte afirmacao geral:

Se as colunas de A sao linearmente independentes, o mesmo acontece as colunas de A2.

49. Seja A n× n. Prove que, se A2 = A e car(A) = n, entao A = I.

28




Solucoes da Ficha Pratica no6 - Espacos Lineares (Vectoriais)

3. a) e c).4. b) e d).5. a), b), d) e e).6. a).7. b) e c).11. Nao pertence.13. a) Eixo dos yy; b) Plano YOZ; c) Plano YOZ.14. α = 2 e β = 0.17. a) (0, 0) = α (2,−3) + β (−4, 6), com α = 2β. b) Nao.18. a) (2,−3) = 2 (1, 0)− 3 (0, 1) b) (2,−3) = 7 (1, 1)− 5 (1, 2)

c) (2,−3) = 0 (0, 1) + (2,−3) .20. a) Conjunto Linearmente Dependente. (3,−6, 9) = 3 (1,−2, 3).

b) Conjunto Linearmente Independente.c) Conjunto Linearmente Independente.d) Conjunto Linearmente Dependente. (0, 2,−4) = (1,−2,−1)− (1,−4, 3).e)-Conjunto Linearmente Dependente.

(1,−1,−1) = −275

(2, 3, 1) + 135

(−1, 4− 2) + 245

(3, 1, 2)22. Os vectores sao Linearmente Dependentes se µ = −44.

Os vectores sao Linearmente Independentes se µ 6= −44.23. Os vectores sao Linearmente Independentes se γ = 0 ∨ (α = γ ∧ β 6= 0) ∨ β = 0;

Os vectores sao Linearmente Dependentes se α 6= γ ∧ β 6= 0.24. a) Linearmente independentes; b) Linearmente independentes;

c) Linearmente dependentes.26. b) As coordenadas sao 3

5, 2 e 9

5.

25. a) Dim=2; b) Dim=1.28. dim=2; base (por exemplo)={(1, 0,−1) , (0, 1, 2)} ou {(2, 1, 0) , (−1, 0, 1)}.30. 3a) dim=2; base={(1,−1, 0, 0) , (0, 0, 1, 1)};

3c) dim=3; base={(1, 0, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)};4b) dim=3; base=

{[1 00 0

],

[0 11 0

],

[0 00 1

]};

4d) dim=2; base=

{[1 −10 0

],

[0 00 1

]};

6a) dim=3; base={1, t, t2} .31. a) dim=n-1; base={(1, 0, 0, ..., 0, 1) , (0, 1, 0, ..., 0, 0) , ..., (0, 0, 0, ...., 1, 0)};

b) se n par: dim=n2; base ={(1, 0, 0, ..., 0, 0) , (0, 0, 1, ..., 0, 0) , ..., (0, 0, 0, ...., 1, 0)}

se n ımpar: dim=n+12

; base ()={(1, 0, 0, ..., 0, 0) , (0, 0, 1, ..., 0, 0) , ..., (0, 0, 0, ...., 0, 1)};c) se n par: dim=n

2+ 1;

base ={(1, 0, 0, 0, ..., 0, 0) , (0, 1, 0, 1, ..., 0, 1) , (0, 0, 1, 0, ...., 0, 0) , ..., (0, 0, 0, 0, ...., 1, 0)};se n ımpar: dim=n+1

2+ 1;

29

base ={(1, 0, 0, 0, ..., 0, 0) , (0, 1, 0, 1, ..., 1, 0) , (0, 0, 1, 0, ...., 0, 0) , ..., (0, 0, 0, 0, ...., 0, 01)};d) dim=2; base={(1, 0, 1, 0, ......) , (0, 1, 0, 1, .......)}.

32. dim=n-1; base={(

1, 0, ...,− α1

αn

),(0, 1, ...,− α2

αn

), ...,

(0, 0, ...,−αn−1

αn

)}.

34. a) por exemplo {(1, 0, 0, 0) , (1, 0, 0, 0) , (0, 0, 1, 0)};b) por exemplo {(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (1, 1, 0, 0) , (0, 2, 0, 0)};c) por exemplo {(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1) , (1, 2, 3, 4)};d)-por exemplo {(1, 0, 1, 0) , (0,−1, 2, 1) , (0, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1)};

36. a)base L (A) ={[

1 2 0 1],[

0 1 1 0]}

;

base C (A) ={[

1 0 1]T

,[

2 1 2]T

}.

b)base L (A) ={[

0 1 4 0]}

;

base C (A) ={[

1 2]T

}.

c)base L (A) ={[

1 1 1],[

0 −2− 4i 2− 4i],[

0 0 i]}

;ou base L (A) =

{[1 1 1

],[

4i −2 2],[

2 i 0]}

base C (A) ={[

0 4i 2 1]T

,[

0 −2 i 1]T

,[

0 2 0 1]T

}.

d) base L (A) ={[

1 0].[

0 1]}

;

base C (A) ={[

1 0 2]T

,[

0 1 3]T

}.

e) base L (A) ={[

1 1 1 1],[

0 2 0 0],[

0 0 3 0],[

0 0 0 4]}

ou base L (A) ={[

1 1 1 1],[

1 3 1 1],[

1 1 4 1],[

1 1 1 5]}

;

base C (A) =

{ [2 1 1 1 1 1

]T,[

1 3 1 1 2 1]T

,[1 1 4 1 3 1

]T,[

1 1 1 5 4 1]T

}.

f) base L (A) =

{ [2− i 0 2− i 0 2− i

],[

0 i 0 i 0],[

0 0 −2 + i 2− 2i −2 + 2i]

};

ou base L (A) ={[

2− i 0 2− i 0 2− i],[

0 i 0 i 0],[

2− i i 0 2− i i]}

base C (A) ={[

2− i 0 2− i 0]T

,[

0 i i i]T

,[

2− i 0 0 0]T

}.

37. Car (A) = 2; N (A) = {(x, y, z) ∈ R3 : x = −y ∧ z = 0} ;Car (B) = 2; N (B) = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x = −y + 2w ∧ z = −2w} .

38. Car (A) = 1 nao existem valores de α;

Car (A) = 2 se α = 1 e tem-se: base C (A) ={[

1 1 1]T

,[

2 2 3]T

};

base N (A) = {(1, 1, 0)} ;

Car (A) = 3 se α 6= 1 e tem-se: base C (A) =

1α1

,

−α−1−1

,

23α− 1

3

;

base N (A) = ∅.39. Car (A) = 1 nao existem valores de α;

Car (A) = 2 se α =√

22∨ α = −

√2

2∨ α = 0 e tem-se:

base C (A) ={[

1 α 0]T

,[

2α 1 1]T

};

α = ±√

22

base N (A) = {(0, α, 1)} ; α = 0 base N (A) = {(−1, 0, 1)} ;

Car (A) = 3 se α 6=√

22∧ α 6= −

√2

2∧ α 6= 0 e tem-se:

base C (A) =

1α0

,

2α11

,

1αα

;

30

base N (A) = ∅.

38. Por exemplo A=

1 0 −10 1 00 0 1

.

41. Nao existe tal matriz.42. 6 vectores e 51 vectores, respectivamente.43. b) Apenas se A for quadrada.

31




Ficha Pratica no7 - Aplicacoes Lineares

1. Para cada uma das seguintes aplicacoes, diga se e ou nao linear.

(a) T : IR2 −→ IR2 (b) F : IR3 −→ IR3

(x, y) → (x + 1, y) (x, y, z) → (x, 3x− y + z, 0)(c) G : IR3 −→ IR2 (d) H : IR2 −→ IR3

(x, y, z) → (2x, y + z) (x, y) → (x− y, 1, x)(e) T : IR2 −→ IR (f) T : IR2 −→ IR

(x, y) → x + y (x, y) → xy(g) F : M2×2 (IR) −→ IR2 (h) G : IR3 −→ M2×2 (IR)[

x yz t

]→ (x + y, z) (x, y, z) →

[x y − zy 1

]

(i) H : M2×2 (IR) −→ M2×2 (IR) (j) J : P2 [x] −→ M2×2 (IR)

A → AT ax2 + bx + c →[

a bc 0

]

2. Diga, justificando, quais das seguintes aplicacoes sao lineares:

(a) T : V → V tal que T (x) = cx, sendo V um espaco vectorial e c um escalar.

(b) T : V → V tal que T (x) = x + u, sendo V um espaco vectorial e u um vector de V .

(c) T : IRn → IRm tal que T (x) = Ax, sendo A uma matriz m× n.

(d) D : C1(a, b) → C0(a, b) que a cada f faz corresponder a respectiva funcao derivada.

(e) F : C0(a, b) → C0(a, b) definida por (F (f))(x) = (f(x))2.

3. Considere a aplicacao linear f : IR3 → IR3 definida por f(e1) = (2, 0, 1), f(e2) = (1, 1,−1) ef(e3) = (0,−2, 3).

(a) Calcule f(1,−2, 0), f(1, 0,−1) e f(2(0, 1, 0)− 3(1, 1, 1)).

(b) Escreva f(e1), f(e2) e f(e3) como combinacao linear de e1, e2 e e3.

(c) Escreva a matriz da aplicacao f relativamente a base (e1, e2, e3).

4. Considere o espaco vectorial S ={(x, y, z) ∈ IR3 : x + z = 0

}e a aplicacao linear

g : S → M2×2 (IR) definida por g(1, 0,−1) =

[1 11 1

]e g(0, 1, 0) =

[1 00 1

].

(a) Calcule g (2, 3,−2) .

(b) Determine a matriz da aplicacao g em relaccao a base {(1, 0,−1), (0, 1, 0)} de S e a base canonicade M2×2 (IR) .

(c) Usando a matriz da alınea anterior calcule g (2,−1,−2) .

32

5. Sejam (e1, e2, e3, e4) e (e′1, e′2, e

′3) as bases canonicas de IR4 e IR3, respectivamente, e seja (v1, v2, v3)

a base de IR3 onde v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0,−2, 0). Considere a aplicacao linearT : IR4 → IR3 definida por T (x, y, z, w) = (x, y + w, x− y + z).

(a) Escreva Te1, Te2, Te3 e Te4 como combinacao linear de e′1, e′2 e e′3.

(b) Escreva a matriz da aplicacao T relativamente as bases (e1, e2, e3, e4) e (e′1, e′2, e

′3).

(c) Escreva a matriz da aplicacao T relativamente as bases (e1, e2, e3, e4) e (v1, v2, v3).

6. Considere a base de IR2 constituıda pelos vectores u1 = (1, 2) e u2 = (−1, 1), a base de IR3 constituıdapelos vectores v1 = (−2, 1, 0), v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0,−1) e a aplicacao linear A : IR2 → IR3 definidapor Au1 = (1, 1, 0) e Au2 = (0, 1, 0). Escreva a matriz da aplicacao linear A relativamente as bases(u1, u2) e (v1, v2, v3).

7. Considere uma aplicacao linear definida como em 2(c), com A =

1 0 1 0−1 2 1 0

1 0 1 1

.

(a) Qual a matriz da aplicacao linear relativamente as bases canonicas de IR3 e IR4?

(b) Qual a matriz da aplicacao linear relativamente a base ( (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 2) )de IR4 e a base ( (1, 0,−1), (0, 1, 0), (−1, 0, 0) ) de IR3?

8. Considere a aplicacao T : C −→ C que a cada numero complexo z faz corresponder o seu conjugadoz. Verifique se T e uma transformacao linear, considerando:

(a) C como espaco vectorial real;

(b) C como espaco vectorial complexo.

9. Seja T : IR3 −→ IR2 a transformacao linear definida por

T (1, 0, 0) = (1, 3), T (0, 1, 0) = (3, 1)eT (0, 0, 1) = (1,−1).

Determine os vectores x de IR3 tais que T (x) = (1, 2).

10. Seja T : IR3 −→ IR2 definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 1), T (1, 0, 0) = (1,−1). Deter-mine T (1,−1, 1) e T (−1, 1,−1).

11. (a) Para cada uma das transformacoes lineares encontradas no exercıcio 1, ache a matriz relativa-mente as bases canonicas.

(b) Mesmo exercıcio para a transformacao T : IR3 −→ IR3 definida por

T (x, y, z) = (2x− y − z, 2y − x− z, 2z − x− y).

12. Para cada uma das transformacoes lineares T : IR2 −→ IR2 definidas geometricamente, calcule umamatriz A tal que T (v) = Av para todo o v (escrito como matriz coluna) do domınio:

(a) T roda cada vector de π4

em torno da origem no sentido directo.

(b) T reflecte cada vector v em relacao ao eixo dos xx e depois roda-o de π2.

(c) T duplica a distancia de v a origem e depois roda-o de π6.

13. Determine a matriz que representa a transformacao linear T : IR3 −→ IR2 definida por T (x, y, z) =(x + y, x− z) relativamente as bases {(1, 0,−1), (1, 2, 1), (−1, 1, 1)} e {(1,−1), (2,−1)}.

33

14. Considere a aplicacao linear F : IR3 −→ IR2 tal que F

xyz

=

[1 −1 00 0 1

]

xyz

.

(a) Determine a matriz da aplicacao linear F relativamente as bases {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)} e{(1,−1), (2, 0)} de IR3 e IR2, respectivamente.

(b) Determine o subconjunto S de IR3 tal que F

xyz

=

[00

].

(c) Prove que S, determinado na alınea anterior, e um subespaco vectorial de IR3 e determine umabase para esse espaco.

34




Solucoes da Ficha Pratica no7 - Aplicacoes Lineares

1)a) Nao e linear; b) E linear; c) E linear; d) Nao e linear; e) E linear;

f) Nao e linear; g) E linear; h) Nao e linear; i) E linear; f) E linear.

2) a) E linear; b) Nao e linear; c) E linear; d) E linear; e) Nao e linear.

3)

a) b) c)f (1,−2, 0) = (0,−2, 3) ;f (1, 0,−1) = (2, 2,−2) ;

f (2 (0, 1, 0)− 3 (1, 1, 1)) = (−7, 5,−11) .

f (e1) = 2e1 + 0e2 + e3;f (e2) = e1 + e2 − e3;

f (e3) = 0e1 − 2e2 + 3e3.

2 1 00 1 −21 −1 3

.

4) a)

[5 22 5

]b)

1 11 01 01 1

; c)

[1 22 1

].

5) a)

Te1 = e1 + 0e2 + e3;Te2 = 0e1 + e2 − e3;Te3 = 0e1 + 0e2 + e3;Te4 = 0e1 + e2 + 0e3.

b)

1 0 0 00 1 0 11 −1 1 0

; c)

1 0 0 00 −1 1 00 −1 1

2−1

2

.

6)

−1

20

32

10 0

. 7) a)

1 0 1 0−1 2 1 01 0 1 1

; b)

−1 −1 −1 −3−1 1 1 −1−2 −2 −2 −4

.

9) a){(x, y, z) ∈ IR3 : x = 1

2z + 5

8; y = −1

2z + 1

8

}.

10) T (1,−1, 1) = (−1,−2) ; T (−1, 1,−1) = (1, 2) .

11)

a)1b)

1 0 03 −1 10 0 0

; a)1c)

[2 0 00 1 1

]; a)1e)

[1 1

];

a)1g)

[1 1 0 00 1 0 0

]a)1i)

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

a)1j)

0 0 10 1 01 0 00 0 0

b)

2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2

12) a)

[ √2

2−√

22√

22

√2

2

]; b)

[0 11 0

]; c)

[ √3 −1

1√

3

].

35

13)

[ −5 −3 43 3 −2

].

14) a)

[ −1 0 41 −1

212

]; b) S = {(x, x, 0) , x ∈ IR} ; c) Base de S = {(1, 1, 0)} .

36




Ficha Pratica no8 - Determinantes

1. Calcule os seguintes determinantes:

(a)

∣∣∣∣1 3

−2 4

∣∣∣∣ ; (b)

∣∣∣∣0 2

−1 4

∣∣∣∣ ; (c)

∣∣∣∣1 −1

−2 2

∣∣∣∣ .

2. Calcule os seguintes determinantes, usando a regra de Sarrus:

(a)

∣∣∣∣∣∣

1 −1 3−2 4 2

1 2 −3

∣∣∣∣∣∣; (b)

∣∣∣∣∣∣

2 1 31 0 21 4 2

∣∣∣∣∣∣; (c)

∣∣∣∣∣∣

0 −√2 5√2

√2 2

1 2 −√2

∣∣∣∣∣∣.

3. Calcule o seguinte determinante, usando a eliminacao de Gauss

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 11 1 1 21 1 3 11 4 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣.

4. Calcule os seguinte determinantes,

(i) usando a eliminacao de Gauss;

(ii) usando a formula de Laplace.

(a)

∣∣∣∣∣∣

2 1 31 0 21 4 2

∣∣∣∣∣∣; (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣

a 0 0 00 0 0 b0 c 0 00 0 d 0

∣∣∣∣∣∣∣∣; (c)

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣;

(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 2 0 0 21 0 1 0 10 3 0 3 00 0 4 0 02 0 0 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

; (e)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 −2 02 3 −4 1

−1 −2 0 20 2 5 3

∣∣∣∣∣∣∣∣.

5. Calcule, da forma que achar mais conveniente (pode evidentemente misturar as tecnicas aprendidas)os seguinte determinantes:

(a)

∣∣∣∣∣∣

−2 1 31 1 −20 0 −4

∣∣∣∣∣∣; (b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 −1 0 1 22 1 0 −2 0 10 0 1 2 −1 23 −1 2 3 1 23 0 3 0 3 01 1 1 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

;

(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 2 31 0 −2 03 −1 1 −24 −3 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣; (d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 3 23 0 1 −21 −1 4 32 2 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣.

37

6. Sendo A n× n, qual e a relacao com detA de :

(a) det(2A) ? (b) det(−A) ? (c) det(A2) ?

7. Se A e uma matriz invertıvel de ordem n, mostre que

det(A−1) =1

det(A).

8. Prove que o determinante de uma matriz ortogonal real ou e 1 ou e -1.

9. Relativamente a cada uma das matrizes seguintes, use determinantes para encontrar os valores dosparametros para os quais a matriz e invertıvel.

(a)

α β 01 α ββ 0 0

; (b)

1 0 −1 01 λ 1 10 0 1 −11 λ 1 λ

; (c)

1 0 −1 01 α α2 + β αβ0 1 α β1 α α2 + β α + αβ

.

10. Duas matrizes A e B dizem-se semelhantes se existir T invertıvel tal que A = TBT−1. Prove que seA e B forem semelhantes entao det A = det B.

11. Calcule o determinante

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 22 2 3 33 4 4 45 5 5 6

∣∣∣∣∣∣∣∣.

38




Solucoes da Ficha Pratica no8 - Determinantes

1) a) 10 ; b) 2 ; c) 0.

2) a) -36 ; b) -4 ; c)√

2.

3) -6.

4) a) -4 ; b) abcd ; c) 1 ; d) 0.

5) a) 12 ; b) 168 ; c) − 131; d) -19.

6) a) 2n det A ; b) (−1)n det A ; c) (det A)2 .

9) a) β 6= 0 ; b) λ 6= 0 e λ 6= 1 ; c) α 6= 0 e β 6= −1.

11) 4.

39




Ficha Pratica no9 - Valores e Vectores Proprios

1. Determine os valores proprios e os vectores proprios das seguintes matrizes:

(a)

[4 −52 −3

]; (b)

[2 1

−1 0

]; (c)

[0 11 0

]; (d)

[1 10 1

].

2. Para cada uma das seguintes matrizes, calcule os valores proprios e os respectivos espacos proprios(indicando uma base para os espacos proprios):

(a)

1 −1 0−1 2 −1

0 −1 1

; (b)

3 2 42 0 24 2 3

; (c)

−3 1 −1−7 5 −1−6 6 −2

; (d)

2 1 12 3 23 3 4

.

3. Mostre que uma matriz e singular se e so se 0 for valor proprio dela.

4. (a) Prove que matrizes semelhantes tem os mesmos valores proprios.

(b) Verifique que as matrizes

[2 00 2

]e

[2 10 2

]tem os mesmos valores proprios mas nao sao

semelhantes.

5. (a) Determine os valores e os vectores proprios da matriz

3 0 00 −1 00 0 2

.

(b) Generalize para uma matriz diagonal qualquer.

6. Quais sao os valores proprios de uma matriz triangular?

7. Determine os vectores proprios das seguintes matrizes:

(a)

4 1 00 3 10 0 2

; (c)

α 1 00 α 10 0 β

(estude os casos α = β e α 6= β).

8. De exemplos que mostrem que os valores proprios de uma matriz podem mudar

(a) quando se subtrai de uma linha um multiplo de outra linha;

(b) quando se trocam duas linhas.

Observacao: Note-se que deste exercıcio concluımos que para calcular os valores proprios de umamatriz nao se pode aplicar o metodo de eliminacao a matriz.

9. Comparando os respectivos polinomios caracterısticos, prove que A e At tem os mesmos valoresproprios.

40

10. Suponhamos que A tem os valores proprios µ1, . . . , µn. Prove que, entao, µ21, . . . , µ

2n sao valores

proprios de A2 e que qualquer vector proprio de A e tambem vector proprio de A2. Generalize paraqualquer potencia de A.

11. Para cada uma das matrizes dos exs. 1 e 2 diga se e ou nao diagonalizavel, e em caso afirmativodetermine uma matriz diagonalizante.

12. Uma matriz real 2x2 A tem valores proprios 3 e 5, e a eles estao associados, respectivamente, os

vectores proprios

[12

]e

[2

−1

]. Prove que A e simetrica.

13. Considere a matriz

1 1 11 1 11 1 1

.

(a) Determine os valores proprios de A.

(b) Determine um vector proprio de A, associado ao valor proprio 0, que tenha norma 1.

(c) Diga se A e diagonalizavel e, em caso afirmativo, indique duas matrizes diagonalizan-

tes diferentes.

14. Calcule

[3 45 2

]9

.


[7 −49 −5

].

(a) Calcule os valores proprios de A.

(b) Sem calcular os vectores proprios de A, mostre que A nao e diagonalizavel.

41




Solucoes da Ficha Pratica no9 - Valores e Vectores Proprios

1.a)λ = 2 e E(2) =

{(x1, x2) ∈ IR2 : (x1, x2) = (5

2, 1)x2, x2 ε IR

};

λ = −1 e E(−1) = {(x1, x2) ∈ IR2 : (x1, x2) = (1, 1)x2, x2 ε IR} .

1.b) λ = 1 com m.a (1) = 2 e E(1) = {(x1, x2) ∈ IR2 : (x1, x2) = (−1, 1)x2, x2 ε IR} .

1.c)λ = 1 e E(1) = {(x1, x2) ∈ IR2 : (x1, x2) = (1, 1)x2, x2 ε IR} ;λ = −1 e E(−1) = {(x1, x2) ∈ IR2 : (x1, x2) = (−1, 1)x2, x2 ε IR} .

1.d) λ = 1 com m.a (1) = 2 e E(1) = {(x1, x2) ∈ IR2 : (x1, x2) = (1, 0)x2, x2 ε IR}.

2.a)λ = 0 e E(0) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 1, 1)x2, x2 ε IR} ;λ = 1 e E(1) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (−1, 0, 1)x3, x3 ε IR} ;λ = 3 e E(3) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1,−2, 1)x1, x1 ε IR} .

2.b)λ = −1 com m.a (−1) = 2 eE(−1) =

{(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (−1

2, 1, 0)x2 + (−1

2, 0, 1)x3, x2, x3 ε IR

};

λ = 8 e E(8) ={(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 1

2, 1)x3, x3 ε IR

}.

2.c)λ = −2 com m.a (−2) = 2 e E(−2) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 1, 0)x2, x2 ε IR} ;λ = 4 e E(4) =

{(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1

7, 1, 0)x2, x2 ε IR

}.

2.d)λ = 1 com m.a (1) = 2 eE(1) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (−1, 1, 0)x2 + (−1, 0, 1)x3, x2, x3 ε IR} ;λ = 7 e E(7) =

{(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1

3, 2

3, 1)x3, x3 ε IR

}.

4.b) λ = 2 de multiplicidade algebrica 2.

42

5.a)λ = 3 e E(3) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 0, 0)x1, x1 ε IR} ;λ = −1 e E(−1) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (0, 1, 0)x2, x2 ε IR} ;λ = 2 e E(2) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (0, 0, 1)x3, x3 ε IR} .

5.b)

α1 0 0 · · · 0 · · · 00 α2 0 · · · 0 · · · 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · αi · · · 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · 0 · · · αn

, α1,α2, · · · , αn sao os valores proprios e

E(αi) = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn : (x1, x2, . . . , xn) = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)xi, xi ε IR}↑

posicao i6. Os elementos da diagonal principal.

7.a)λ = 4 e E(4) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 0, 0)x1, x1 ε IR} ;λ = 3 e E(3) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (−1, 1, 0)x2, x2 ε IR} ;λ = 2 e E(2) =

{(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1

2,−1, 1)x3, x3 ε IR

}.

7.b)α 6= β 6= 0λ = α com m.a. (α) = 2 e E(α) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 0, 0)x1, x1 ε IR} ;

λ = β com m.a. (β) = 1 e E(β) ={

(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = ( 1(α−β)2

,− 1α−β

, 1)x3, x3 ε IR}

;

α = βλ = α com m.a. (α) = 3 e E(α) = {(x1, x2, x3) ∈ IR3 : (x1, x2, x3) = (1, 0, 0)x1, x1 ε IR}

11.1.a) Diagonalizavel.

D =

[2 00 −1

]e S =

[52

11 1

]

1.b) Nao e diagonalizavel.1.c) Diagonalizavel.

D =

[1 00 −1

]e S =

[1 −11 1

]

1.d) Nao e diagonalizavel.

2.a) Diagonalizavel.

D =

0 0 00 1 00 0 3

e S =

1 −1 11 0 −21 1 1

2.b) Diagonalizavel.

43

D =

−1 0 00 −1 00 0 8

e S =

−1

2−1

21

1 0 12

0 1 1

2.c) Nao e diagonalizavel.

2.d) Diagonalizavel.

D =

1 0 00 1 00 0 7

e S =

−1 −1 1

2

1 0 23

0 1 1

13.a) λ = 0 de multiplicidade algebrica 2;λ = 3 de multiplicidade algebrica 1.

13.b) v = (−1, 1, 0)

u = v‖v‖ = (−

√2

2,√

22

, 0)

13.c) A e diagonalizavel

A = SDS−1 com D =

0 0 00 0 00 0 2

e S =

−1 −1 11 0 10 1 1

ou S =

−1 −1 10 1 11 0 1

14. A9 = SD9S−1 com D =

[ −2 00 7

]e S =

[ −45

11 1

]

15. λ = 1 de multiplicidade algebrica 2.

44




Ficha Pratica no10 - Espacos Euclideanos

Nota: Em todos os exercıcios que envolvam espacos do tipo IRn, o produto interno considerado eo usual: (u|v) = utv. Para espacos do tipo C[a, b], o produto interno considerado e

(f |g) =

∫ b

a

f(t)g(t)dt.

1. No espaco IR3, considere os vectores u = (1, 2, 3) e v = (−3, 0, 1).

(a) Verifique que u e v sao ortogonais.

(b) Calcule as normas de u e v.

(c) Escreva os vectores u‖u‖ e v

‖v‖ .

2. Mesmo exercıcio para os vectores u = cos e v = sin do espaco C[0, 2π].

3. Calcule o angulo que o vector (1, 1, ..., 1) ∈ IRn faz com os vectores da base canonica.

4. Prove que, se um vector w for ortogonal a cada um dos vectores v1, v2, ..., vk tambem e ortogonal aqualquer combinacao linear deles.

5. Que mudanca se da no angulo entre os vectores nao nulos x e y se

(a) se multiplicar x por um numero positivo?

(b) se multiplicar x por um numero negativo?

(c) se multiplicar x e y por numeros negativos?

6. Mostre que o triangulo em IR3 cujos vertices sao A = (√

2, 0,−√2), B = (1,−√2, 1) e C =(−1,

√2,−1) e rectangulo e isosceles.

7. Mostre que os vectores (1,−1, 1), (2, 1,−1) e (0, 1, 1) definem um paralelip´ıpedo rectangulo devolume igual a 6.

8. No espaco C[−1, 1], considere as funcoes f(t) = 1, g(t) = t, h(t) = 1 + t.

(a) Calcule a norma de cada uma delas.

(b) Calcule o angulo entre cada duas delas.

9. Que multiplo de v1 = (1, 1) devemos subtrair de v2 = (4, 0) para que o resultado seja ortogonal av1? Faca uma figura.

Repare que assim obtem um conjunto de dois vectores que constituem uma base ortogonal do sube-spaco gerado por {v1, v2}. Determine, a partir deles, uma base ortonormada para esse subespaco.

45

10. Seja F o subconjunto de IR4 constituido pelos vectores ortogonais a (1,−1, 1,−1) e a (2, 3,−1, 2).Prove que F e um subespaco (e o que se costuma chamar complemento ortogonal do subespacogerado pelos dois vectores dados). Determine uma base para F.

11. Seja {u1, u2, ..., un} uma base ortonormada de um espaco vectorial real V com produto interno. Sejax um vector com norma 1. Demonstre que as coordenadas de x na base {u1, u2, ..., un} sao iguais

aos cosenos dos angulos θ1, θ2, ..., θn de x com os vectores da base. Conclua quen∑

i=1

cos2θj = 1.

(Nota: θ1, θ2, ..., θn chamam-se co-senos directores do vector x.)

12. Determine a projeccao ortogonal de x = (1, 0, 2) sobre o subespaco gerado por um vector unitario ycujos angulos com e1, e2, e e3 sao, respectivamente π

4, π

4e π

2.

13. Calcule a projeccao ortogonal do vector (7, 3,−1, 0) sobre o subespaco F do ex.10.

14. Sejam os vectores a = (1, 1, 1) e b = (0, 1, 3).

(a) Usando um processo analogo ao usado em 9, determine uma base ortonormada para o subespacode IR3 gerado pelos vectores a e b.

(b) Calcule a projeccao ortogonal do vector (2,−2, 1) sobre o plano gerado pelos vectores (1, 1, 1)e (0, 1, 3).

15. (a) Determine, se existirem, os valores reais de α e β para os quais os vectores u, v e w do espacoeuclidiano C[−1, 1] definidos por u(x) = 1 + αx, v(x) = α + βx e w(x) = x sao ortogonais doisa dois.

(b) Para os valores de α e β encontrados

i. determine uma base ortonormada do subespaco de C[−1, 1] gerado por u, v e w;

ii. determine a projecao ortogonal do vector 1 + x + x2 + x3 sobre o subespaco de C[−1, 1]gerado por u, v e w.

16. Determine uma base ortonormada para o subespaco de IR4 gerado pelos vectores (1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 1),(1,−1, 1,−1).

17. No espaco C[0, 1], considere as funcoes f1, f2 e f3 definidas, respectivamente, por f1 (t) = 1, f2 (t) = te f3 (t) = t2.

(a) Verifique que f1, f2 e f3 sao linearmente independentes.

(b) Calcule a norma de f1 e a norma de f2 .

(c) Determine uma base ortogonal para o subespaco de C[0, 1] gerado por f1, f2 e f3.

18. No espaco C[−1, 1] considere as funcoes f(x) = 3α e g(x) = (α − 1)x2 e em IR3 considere a baseB = {(0, 2, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}.

(a) Calcule os valores de α para os quais f e g sao ortogonais.

(b) Use o metodo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt para determinar uma base ortonormada deIR3.

46

19. No espaco C[0, 1] considere as funcoes f(x) = 3 e g(x) = 2x.

(a) Determine o produto interno de f por g.

(b) Use o metodo de ortogonalizacao de Gram - Schmidt para determinar uma base ortogonal dosubespaco de C[0, 1] gerado por f e g.

(c) Calcule a projeccao ortogonal de f sobre g.

20. Mostre que num espaco euclideanpo real sao validas as seguintes propriedades:

(a) | < u, v > | ≤‖ u ‖‖ v ‖(b) | < u, v > | =‖ u ‖‖ v ‖ se e so se u e v sao linearmente dependentes;

(c) ‖ u + v ‖≤‖ u ‖ + ‖ v ‖(d) ‖ u + v ‖=‖ u ‖ + ‖ v ‖ se e so se u e v sao linearmente dependentes.

Interprete (c) e (d) geometricamente em IR3 considerando u e v como arestas adjacentes de umparalelogramo.

47




Solucoes da Ficha Pratica no10 - Espacos Euclideanos

1.(a) u|v = 0 1.(b) ‖u‖ =√

14 ; ‖v‖ =√

10

1.(c) u‖u‖ =

(√14

14,√

147

, 3√

1414

); v

‖v‖ =(−3√

1010

, 0,√

1010

).

2.(a) u|v = 0 2.(b) ‖u‖ =√

π; ‖v‖ =√

π.

2.(c) u‖u‖ =

√π

πcos; v

‖v‖ =√

ππ

sin

3. ≺ (u, ei) = arccos(√

nn

)i = 1, 2, ..., n.

5.(a) Nenhuma. 5.(b) o angulo θ passa a π − θ 5.(c) Nenhuma.

8.(a) ‖f‖ =√

2; ‖g‖ =√

63

; ‖h‖ = 2√

63

.8.(b) ≺ (f, g) = π

2; ≺ (f, h) = π

6; ≺ (g, h) = π

3.

9. v3 = v2 − 2v1 = (2,−2).

Base ortonormada:{

v1

‖v1‖ ,v3

‖v3‖

}=

{(√2

2,√

22

);(√

22

,−√

22

)}.

10.F =

{(x1, x2, x3, x4) ∈ IR4 : (x1, x2, x3, x4) =

(−25x3 + 1

5x4,

35x3 − 4

5x4, x3, x4

), x3, x4 ∈ IR

}Base:

{(−25, 3

5, 1, 0

);(

15,−4

5, 0, 1

)}.

12. projS x = (x|y) .y =(

12, 1

2, 0

).

13. projF x =(

469310108

,− 108310108

,−1768910108

,−627532

)

14.(a) Base:{(

−2√

4221

,−√

4242

, 5√

4242

),(√

33

,√

33

,√

33

)}.

14.(b) projS x =(

37, 5

14, 3

14

).

15.(a) α = 0 ∧ β = 0 15.b.i) Base:{√

22

,√

62

x}

; 15.b.ii) projS u = 43

+ 2415

x.

16. Base ortonormada:{(√

22

,√

22

, 0, 0)

, (0, 0, 0,−1) ,(√

33

,−√

33

,√

33

, 0)}

48

17.(b) ||f || = 1; ||g|| =√

13.

17.(c) Base ortogonal:{1,−1

2+ t, 1

6− t + t2

}.

18.(a) α = 0 ∨ α = 1.

18.(b) Base ortonormada:{

(0, 1, 0) ,(√

22

, 0,√

22

),(−√

22

, 0,√

22

)}

19.(a) f |g = 3.19.(b) Base ortogonal: {3, 2x− 1} .19.(c) projg f = 9

2x.

49




Ficha Pratica no11 - Produto Externo e Produto Misto

1. Calcule os seguintes produtos externos:

(a) i× j (b) j× k (c) k× i (d) i× k (e) −k× 2j

2. Com u = −i + 3j + k, v = j + k, w = i− 4j + k, calcule os vectores seguintes em termos de i, j, k.(Em seguida, responda a: Sera o produto externo associativo?)

(a) u× v (b) v ×w (c) u× (v ×w) (d) (u× v)×w)

3. Calcule os vectores de comprimento 1 em IR3 que sao ortogonais a u e v, para:

(a) u = i + j + k, v = 2i− j− 2k (b) u = (1, 2, 1), v = (−1, 2, 0).

4. Calcule a area do triangulo de vertices A = (0, 1, 1), B = (2, 0,−1) e C = (3, 4, 0).

5. Calcule todos os vectores de norma igual a√

64

e que sao perpendiculares ao plano definido poru = (1, 2, 0) e v = (1, 1,−1).

6. Determine os valores do parametro real α para os quais os vectores (1, α, 1) e (4,−2,−2) definemum paralelogramo de area igual a 4

√21.

7. Prove que ‖ u× v ‖=‖ u ‖‖ v ‖ se e s´o se u e v sao ortogonais.

8. Prove que se u e v sao vectores em IR3 tais que u×v = 0 e < u,v >= 0, entao pelo menos um deleszero. Interprete geometricamente este resultado.

9. Determine o volume do paralelipıpedo definido pelos vectores a = (0, 1, 1), b = (1, 1, 1) e c =(1, 2,−3).

10. Determine os valores do parametro real k para os quais os pontos A = (1, 1,−1), B = (2, 2, 0),C = (3, 2,−1) e D = (2, 1, k − 1) sao complanares.

11. Verifique que os vectores u = −j, v = i + k e w = i definem um tetaedro (quando aplicados numponto) e determine o seu volume.

(Tenha em conta que o volume de um tetaedro de vertices A, B, C e D e igual a um sexto doparalelipıpedo gerado pelas arestas [AB], [AC] e [AD], ja que neste podemos inscrever seis tetaedroscongruentes com o tetaedro considerado.)

12. Relativamente aos pontos A = (0, 1, 0), B = (1, 3,−3), C = (4, 1,−1) e D = (1, 1, 1), verifique se sao

nao complanares e, caso o sejam, determine a altura do paralelipıpedo definido pelos vectores→

AB,→

AC e→

AD relativamente a base gerada pelas arestas [AB] e [AC].

50

13. Sejam A = (α, 1, 2), B = (2, α, 1) e C = (1, 0, 1) tres pontos do espaco. Determine os valores doparametro real α para os quais

(a) O, A, B e C sao complanares;

(b) o volume do tetaedro de vertices O, A, B e C e igual a 2.

14. Considere os vectores u = (1,−2, 0) e v = (0,−3, 1) e os pontos A = (0, 1,−1) e B = (2, 0,−3).

(a) Determine um vector unitario ortogonal a u e a v.

(b) Calcule o volume do paralelepıpedo definido pelos vectores−→AB, u e v.


2 0 42 1 1−1 1 α

.

(a) Calcule det(A).

(b) Justifique, usando a alınea anterior, que os vectores u1 = (2, 2,−1), u2 = (0, 1, 1) e

u3 = (4, 1,−6) definem um paralelepıpedo e indique o seu volume.

51




Solucoes da Ficha Pratica no11 - Produto Externo e Produto Misto

1.(a) k = (0, 0, 1); 1.(b) i = (1, 0, 0); 1.(c) j = (0, 1, 0);1.(d) −j = (0,−1, 0); 1.(e) 2i = (2, 0, 0).

2.(a) 2i + j − k = (2, 1,−1); 2.(b) 5i + j − k = (5, 1,−1);2.(c) −4i + 4j − 16k = (−4, 4, 16); 2.(d) −3i− 3j − 9k = (−3,−3,−9).O produto externo nao e associativo.

3.(a) w = (−√

2626

, 2√

2613

,−3√

2626

); 3.(b) w = (−2√

2121

,−√

2121

, 4√

2121

).

4. A = 12

√146.

5. y1 = (−12, 1

4,−1

4) e y2 = (1

2,−1

4, 1

4).

6. α = −1±√3665

.

9. V = 5.

10. k = −1.

11. V = 16.

12. h = 10√

2163

.

13.(a) α = 1±√2 13.(b) α = 1±√14.

14.(a) w = (−√

147

,−√

1414

,−3√

1414

); 14.(b) V = 3.

15.(a) det(A) = 2α + 10; 15.(b) V = 2.

52




Ficha Pratica no12 - Geometria Analıtica - Recta e Plano

1. Relativamente ao plano que passa pelos pontos A=(1, 2, 3), B= (5, 7, 9) e C= (8, 10, 12), determine

(a) uma equacao vectorial;

(b) equacoes parametricas.

2. Use um determinante adequado para encontrar uma equacao geral do plano definido pelos pontosA=(1, 1, 1), B=(0, 1, 0) e C=(0, 0, 1).

3. Escreva a equacao geral de cada um dos seguintes planos em IR3:

(a) O plano que contem o ponto (1,2,3) e e perpendicular ao vector (-1,1,0).

(b) O plano que contem os pontos (2,1,3), (-3,-1,3) e (4,2,3).

(c) O plano que contem o ponto (6,0,-2) e e paralelo aos vectores (1,0,0) e (0,-2,1).

(d) O plano que contem o ponto (4,-1,2) e e paralelo ao plano 2x− 3y − z = 5.

4. Determine uma equacao vectorial e uma representacao cartesiana nao parametrica dos:

(a) Planos OXY , OXZ e OY Z;

(b) eixos OX, OY e OZ.

5. Dado o plano de equacao cartesiana 3x− 2y − z = 6, determine as suas equacoes parametricas.

6. Considere o plano de equacao ax + by + cz = d. Indique o significado geometrico de cada uma dasseguintes condicoes:

(i) a = 0; (ii) b = 0; (iii) c = 0; (iv) d = 0.

7. Considere os seguintes elementos do espaco IR3:

p = (1, 0, 0) , q = (0, 1, 0) , v = (0, 1,−2). Determine:

(a) A equacao cartesiana do plano que contem o ponto p e e ortogonal a v.

(b) As equacoes parametricas do plano que contem p e tambem contem a recta de equacao x =q + αv, α ∈ IR.

53

8. (a) Prove que, no espaco ordinario, a distancia de um ponto P = (xo, yo, zo) a um plano Π deequacao Ax + By + Cz + D = 0 e dada pela formula

d(P, Π) =|Axo + Byo + Czo + D|√

A2 + B2 + C2.

(b) Prove que, no espaco ordinario, a distancia de um ponto P = (xo, yo, zo) a uma recta r quecontem o ponto Q e tem a direccao do vector u e dada pela formula

d(P, r) =

√‖ ~PQ ‖2 −( ~PQ|u)2

‖ u ‖2.

9. Considere o ponto A(2, 1, 1), os vectores u = (1, 0, 1) e v = (0,−1, 2) e o plano π de equacao geralx− 2y − z + 2 = 0. Determine:

(a) Um vector normado com a direccao de v.

(b) Equacoes parametricas da recta que contem A e tem a direccao de v.

(c) Uma equacao vectorial da recta que contem A e e perpendicular ao plano π.

(d) A distancia do ponto A ao plano π.

(e) A equacao geral do plano definido pelo ponto A e pelos vectores u e v.

(f) A posicao relativa do plano π e do plano da alınea anterior.

(g) O angulo entre o plano da alınea (e) e

(i) o plano de equaccao x + y + 2z = 0; (ii) o plano de equacao x− 2y − z = 1.

(h) O angulo entre as rectas das alıneas (b) e (c).

10. Sabendo que u, v e w sao tres vectores de IR3 todos paralelos a um determinado plano que podedizer sobre o determinante det([u v w])? Justifique.

11. Sabendo que A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), C = (c1, c2, c3) e D = (d1, d2, d3) sao quatro pontosdistintos do espaco tais que D nao pertence ao plano definido por A, B, C, classifique, justificando,o seguinte sistema

(a1 − c1)x1 + (a2 − c2)x2 + (a3 − c3)x3 = 0(b1 − c1)x1 + (b2 − c2)x2 + (b3 − c3)x3 = 0(d1 − c1)x1 + (d2 − c2)x2 + (d3 − c3)x3 = 0

.

12. Identifique geometricamente cada um dos seguintes subconjuntos de pontos do espaco:

(a) {(0, 1, 1) + α(1,−1, 1) + β(2, 0, 1) , α, β ∈ IR};(b) {(0, 1, 1) + α(0, 0, 1), α ∈ IR+

0 };(c) {(x, y, z) ∈ IR3 : x + y + z = 1 e x, y, z ∈ IR+

0 };(d) {(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 + z2 = 1 e y = x}.

13. Use o produto misto para determinar uma equacao cartesiana do plano paralelo aos vectores (1,-2,3)e (2,0,-1) e que contem o ponto (1,0,-1).

54

14. Considere o ponto A = (1,−1, 1), os vectores u = (0, 2, 1) e v = (1,−2, 2) e o plano π : 4x+2y−2 = 0.

(a) Determine a area do paralelogramo definido por u e v.

(b) Use um determinante para obter a equacao geral do plano definido pelo ponto A e pelos vectoresu e v.

(c) Determine as equacoes cartesianas da recta que passa em A e tem a direccao de v.

(d) Estude a posicao relativa do plano π e da recta da alınea anterior.

15. Considere os pontos A, B e C de coordenadas (-1,1,0), (-1,1,3) e (2,1,3), respectivamente.

(a) Mostre que os pontos A, B e Csao tres dos vertices de um quadrado. Sendo D o quarto vertice,determine as suas coordenadas.

(b) Considere o quadrado [ABCD] como sendo uma das bases de um para-lelipıpedo de altura igual a 3, em que os pontos E, F , G e H sao os restantes vertices por formaque [AE], [BF ] e [CG] sejam arestas e [AE] esteja contida na semi-recta AO. Determine ascoordenadas dos pontos E, F , G e H.

55




Solucoes da Ficha Pratica no12 - Geometria Analıtica - Recta e Plano

1.(a) (x, y, z) = (1, 2, 3) + α (4, 5, 6) + β (3, 3, 3) ; α, β ∈ IR

1.(b)

x = 1 + 4α + 3βy = 2 + 5α + 3βz = 3 + 6α + 3β

α, β ∈ IR.

2. −x + y + z − 1 = 0.

3.(a) −x + y − 1 = 0 ; 3.(b) z − 3 = 0 ; 3.(c) y + 2z + 4 = 0 ;3.(d) 2x− 3y − z − 9 = 0.

4.(a) Plano Oxy:Equacao vectorial: (x, y, z) = (0, 0, 0) + α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) , α, β ∈ IREquacao cartesiana: z = 0

Plano Oxz:Equacao vectorial: (x, y, z) = (0, 0, 0) + α (1, 0, 0) + β (0, 0, 1) , α, β ∈ IREquacao cartesiana: y = 0

Plano Oyz:Equacao vectorial: (x, y, z) = (0, 0, 0) + α (0, 1, 0) + β (0, 0, 1) , α, β ∈ IREquacao cartesiana: x = 0

4.(b) Eixo Ox: Equacao vectorial: (x, y, z) = (0, 0, 0) + α (1, 0, 0) , α ∈ IR

Equacao cartesiana:

{y = 0z = 0

Eixo Oy: Equacao vectorial: (x, y, z) = (0, 0, 0) + α (0, 1, 0) , α ∈ IR

Equacao cartesiana:

{x = 0z = 0

Eixo Oz: Equacao vectorial: (x, y, z) = (0, 0, 0) + α (0, 0, 1) , α ∈ IR

Equacao cartesiana:

{x = 0y = 0

56

5.

x = 1 + αy = 1 + βz = −5 + 3α− 2β

, α, β ∈ IR

6.(i) recta do plano Oyz ; 6.(ii) recta do plano Oxz ;6.(iii) recta do plano Oxy ; 6.(iv) plano que passa pela origem.

7.(a) y − 2z = 0 ; 7.(b)

x = 1− βy = α + βz = −2α

α, β ∈ IR.

9.(a)(0, −

√5

5, 2√

55

)= v

‖v‖ ; 9.(b)

x = 2y = 1 + αz = 1− 2α

α ∈ IR.

9.(c) (x, y, z) = (2, 1, 1) + α (1,−2,−1) , α ∈ IR ; 9.(d)√

66

9.(e) x− 2y − z + 1 = 0 ; 9.(f) os planos sao paralelos nao coincidentes ;9.(g).i) π

3; 9.(g).ii) 0 ; 9.(h) π

2.

11. sistema possıvel e determinado.

12.(a) IR3 12.(b) recta do plano Oyz ; 12.(c) plano x ≤ 1 e y, z ≥ 0 ;12.(d) IR3.

13. 2x + 7y + 4z + 2 = 0.

14.(a) A =√

41; 14.(b) 6x + y − 2z − 3 = 0;

14.(c)

{2x + y − 1 = 02x− z − 1 = 0

; 14.(d) a recta esta contida no plano.

57

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Instituto Polit ecnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia · ... (e) (¡z)2 z5. 8. Resolva em C, cada uma das seguintes equa¸c ... x+y +3z ¡3w = ° 6. Discuta os seguintes sistemas