Instrumentação do Ensino de Aritmética e Álgebra · Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, operações com naturais

Ana Lúcia Vaz da SilvaAndreia Carvalho Maciel BarbosaMarcelo Almeida BairralRosana de Oliveira

Volume 2

Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra

Apoio:

2010/1

ELABORAÇÃO DE CONTEÚDOAna Lúcia Vaz da SilvaAndreia Carvalho Maciel BarbosaMarcelo Almeida BairralRosana de Oliveira

COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALCristine Costa Barreto

DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISÃOAnna Carolina da Matta MachadoAnna Maria OsborneJosé Meyohas

COORDENAÇÃO DE LINGUAGEMMaria Angélica Alves

Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.

Copyright © 2005, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj

Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.

S586iSilva, Ana Lúcia Vaz da.

Instrumentação do ensino da aritmética e álgebra. v. 2 /

Ana Lúcia Vaz da Silva et al. – Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010.

266p.; 19 x 26,5 cm.

ISBN: 85-7648-139-1

1. Régua de Cuisenaire. 2. Jogos. 3. Equações. 4. Inequações. I. Barbosa, Andreia Carvalho Maciel. II. Bairral, Marcelo Almeida. III. Oliveira, Rosana de. V. Título.

CDD: 510.028

EDITORATereza Queiroz

COORDENAÇÃO EDITORIALJane Castellani

COPIDESQUENilce Rangel Del Rio

REVISÃO TIPOGRÁFICAPatrícia PaulaLuciana Nogueira Duarte

COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃOJorge Moura

PROGRAMAÇÃO VISUALAlexandre d´OliveiraAndré Freitas de OliveiraKaty AraújoSanny Reis

ILUSTRAÇÃOFabiana Rocha

CAPAEduardo Bordoni

PRODUÇÃO GRÁFICAOséias FerrazPatricia Seabra

Departamento de ProduçãoMaterial Didático

Fundação Cecierj / Consórcio CederjRua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001

Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725

PresidenteMasako Oya Masuda

Vice-presidenteMirian Crapez

Coordenação do Curso de MatemáticaUFF - Regina Moreth

UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca

Governo do Estado do Rio de Janeiro

Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia

Governador

Alexandre Cardoso

Sérgio Cabral Filho

UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIROReitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho

UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Vieiralves

UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitora: Malvina Tania Tuttman

UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Motta Miranda

UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Aloísio Teixeira

UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Roberto de Souza Salles

Universidades Consorciadas


SUMÁRIO

Volume 2

Aula 11 – Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, operações

com naturais e coisas mais ____________________________________7

Aula 12 – Vamos jogar sinuca? ______________________________________ 29

Aula 13 – Jogos com números _______________________________________ 63

Aula 14 – Resolvendo equações e inequações: para além da álgebra __________ 83

Aula 15 – Equação do 2º grau: para além da fórmula de Bhaskara... __________ 111

Aula 16 – Mais álgebra: multiplicando e fatorando casos notáveis! __________ 133

Aula 17 – Passeando sobre as curvas: uma interpretação gráfi ca! ___________ 155

Aula 18 – Vamos às progressões! ___________________________________ 175

Aula 19 – Movendo discos, formando torres e pensando indutivamente _______ 203

Aula 20 – Um relacionamento quase perfeito: funções

e proporcionalidades ______________________________________ 225

Referências __________________________________________________ 247

Módulo Prático ______________________________________________ 253

Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, operações

com naturais e coisas mais

Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de:

• Utilizar as réguas de Cuisenaire como recurso de aprendizagem.

• Desenvolver atividades para alunos a partir da 5ª série pautadas no pensamento combinatório.

Pré-requisitos

Para o bom desenvolvimento desta aula, é bom que você relembre o Triângulo de Pascal e o Binômio de Newton – você poderá encontrar esses conteúdos em qualquer livro didático de Matemática do Ensino

Médio. Disponha, também, de cartolinas coloridas para construir as réguas de Cuisenaire.

objetivos

Meta da aula

Instrumentalizar o trabalho com as réguas de Cuisenaire.

11AU

LA

Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Réguas de Cuisenaire: cores, combinações, operações com naturais e coisas mais

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É comum pensarmos que os recursos lúdicos (jogos, softwares educacionais,

desafi os lógicos etc.) devem ser trabalhados apenas nas séries iniciais. Nesta aula,

você verá que, dependendo do objetivo do professor, determinado recurso pode

ser explorado em séries diversas. Para exemplifi carmos esta idéia, trabalharemos

com as réguas de Cuisenaire.

INTRODUÇÃO

CONVERSANDO SOBRE HISTÓRIA: AS RÉGUAS DE CUISENAIRE

Este material tem esse nome devido ao seu criador: Emile Georges

CUISENAIRE.

CUISENAIRE (1891-1980)

Era professor de Matemática na Bélgica, e, ao se impressionar com uma cena de um aluno desesperado, em uma de suas salas de aula, decidiu criar um material que ajudasse no ensino dos conceitos básicos de Matemática. Então, cortou algumas réguas de madeira em 10 tamanhos diferentes e pintou cada peça de uma cor. Foi assim que surgiu a Escala de Cuisenaire.

Há meio século, quando Cuisenaire inventou este material, ele não

sabia se daria certo, porém, na primeira aula em que o testou, constatou

que sua intuição estava correta. Só mais tarde o professor fi cou conhecido

fora do país, quando o educador egípcio CALEB GATEGNO, radicado na

Inglaterra e famoso por suas pesquisas em Educação Infantil, recebeu

de um amigo belga um convite para conhecer o homem que ensinava

números com barras coloridas. Apesar de descrente, ele aceitou.

Ao ver o material, encantou-se e disse: “esse homem mostra técnicas

às crianças que são um milagre para a educação”. O egípcio passou

a divulgar o trabalho de Cuisenaire – a quem chamava de Senhor Barrinhas.

Cuisenaire e Gategno tornaram-se conhecidos em todo o mundo.

CALEB GATEGNO (1911-1988)

Foi um importante matemático e psicólogo criador de vários materiais e situações didático-pedagógicas, como o geoplano e as réguas de Cuisenaire. Entre 1944 e 1988, publicou cerca de 120 livros e 500 artigos em revistas científi cas de vários países. Nasceu em Alexandria (Egito), trabalhou na Inglaterra e Estados Unidos, e morreu em Paris.

AU

LA 11

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Para acompanhar as atividades desta aula, você deverá confeccionar (colorir e recortar) as réguas de Cuisinaire planifi cadas conforme consta do Módulo Prático. Você poderá também utilizar o próprio material em madeira ou E.V.A. que existe no mercado. A seguir, apresentamos os tamanhos, cores e letras correspondentes a cada número:

!

Cor Letra Tamanho

branca b 1b

vermelha v 2b

verde-claro c 3b

roxa r 4b

amarela a 5b

verde-escuro e 6b

preto p 7b

marrom m 8b

azul z 9b

laranja l 10b

CONVERSANDO SOBRE O SEU LABORATÓRIO DE ARITMÉTICA E ÁLGEBRA

As réguas de Cuisenaire, também conhecidas como escalas ou barras

de Cuisenaire, constituem um material didático composto de várias barras,

cada uma de cor e tamanho diferentes. As barras são paralelepípedos

de mesma altura e mesma largura. A menor das barras tem 1cm de

comprimento e representa uma unidade. A segunda tem 2cm e representa

o número 2, e assim por diante, até a maior, de 10cm, que indica o 10.

Para nomear uma peçanas atividades, estare-mos utilizando as co-res. Por isso, uma alter-nativa possível será recortar esta tabela do Módulo Prático. Esta alternativa não deve ser usada inicialmente com os alunos, visto que nada substitui a riqueza da manipulação do material original.

!

Para facilitar o manuseio, você pode aumentar o tamanho das

peças. É só estabelecer proporcionalidade com a unidade utilizada.

Manipulando as peças, o aluno aprende aspectos conceituais elementares

relacionados com adição, subtração e outros elementos associados como

o dobro de, a metade de uma quantidade etc. Inicialmente, vamos

reconhecer as barras de Cuisenaire.


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Geralmente, quando iniciamos o trabalho com um recurso novo para os alunos, uma tarefa recomendável é a exploração e o reconhecimento, pelo próprio estudante, do material. Nesta familiarização, ele vai estabelecer códigos, falar do material e construir representações e formas variadas para explorar o recurso.

!

CONHECENDO O MATERIAL

Após a exploração inicial, veja como a professora Maria Amélia

descreveu as réguas.

As réguas de Cuisenaire constituem um recurso composto

por paralelepípedos com diferentes cores e tamanhos. São 10 tipos

de réguas, cada tipo uma cor e tamanho diferentes. Tomando como

unidade a menor peça ou régua (cor – marfi m), que é um cubo, o tamanho

das outras é aumentado de um cubo gradualmente. Veja a seguir:

Peça 1: 1 cubo marfi m (branco);

Peça 2: 1 paralelepípedo vermelho equivalente a 2 peças marfi m;

Peça 3: 1 paralelepípedo verde-claro equivalente a 3 peças marfi m;

Peça 4: 1 paralelepípedo vinho equivalente a 4 peças marfi m;

Peça 5: 1 paralelepípedo amarelo equivalente a 5 peças marfi m;

Peça 6: 1 paralelepípedo verde-escuro equivalente a 6 peças marfi m;

Peça 7: 1 paralelepípedo preto equivalente a 7 peças marfi m;

Peça 8: 1 paralelepípedo marrom equivalente a 8 peças marfi m;

Peça 9: 1 paralelepípedo azul equivalente a 9 peças marfi m;

Peça 10: 1 paralelepípedo laranja equivalente a 10 peças marfi m.

Observe que a professora se orientou pelo rigor da linguagem

geométrica, escrevendo paralelepípedos. Lembre-se de que o cubo é um

tipo especial de paralelepípedo.

Pensamos que a nomenclatura deve ser introduzida naturalmente ao longo do trabalho, sem excessos de formalismos. Assim, não vemos problemas, nas séries iniciais, no fato de a criança utilizar os termos “quadradinhos” para cubos e dizer que eles têm a “cor branca”. O professor deve utilizar os termos corretamente, negociando o vocabulário com as crianças pequenas. Ele deve chamar a atenção dos alunos para este “erro lingüístico-conceitual”. Os nomes de objetos matemáticos trazem em si uma idéia conceitual. Esse alerta é uma boa oportunidade para inserir e relacionar atividades geométricas e aritméticas, como as realizadas com as réguas de Cuisenaire.

!

AU

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Você deve ter observado que a utilização de letras é importante;

por isso, o uso de uma simbologia comum a todos os alunos deve ser

acordada previamente com a turma.

Também podemos utilizar as réguas nas diversas séries e de

maneiras diferentes, por exemplo, para ensinar conceitos de soma,

subtração, multiplicação, divisão, frações, área etc. Veja, agora, como

a professora Georgina pensou em utilizar as barrinhas em suas aulas.

ADIÇÕES, SUBTRAÇÕES, COMPARAÇÕES, COMBINAÇÕES ETC.

A professora verifi cou que este recurso didático pode ser utilizado

desde as primeiras séries, aplicando-o às operações básicas. Deste modo,

podemos iniciar o processo de contagem. Na soma, por exemplo,

podemos perguntar ao aluno que peças formam a amarela.

Ao mesmo tempo que trabalhamos a adição, podemos trabalhar a

subtração. Quando temos, por exemplo, 52 3

, ao mesmo

tempo que visualizamos que 5 = 2 +3, podemos trabalhar também a

subtração, pensando que se da barra do 5 retirarmos a barra do 2, fi camos

com a barra do 3. 53

→ 3, ou seja, 5 - 2 = 3.

As réguas de Cuisenaire abordam apenas um aspecto conceitual da subtração: a idéia de quanto falta. O aspecto da diferença (tirar uma quantidade de outra) não faz sentido, pois, conforme percebeu muito bem a professora Georgina, não podemos quebrar peças.

!

Observe que há vários conceitos com que lidamos no desenvolvimento de atividades como a exemplifi cada pela professora Georgina. Adição, subtração e combinação (com ou sem repetição de elementos). Neste processo de construção do conhecimento, que não é estanque nem seqüencial (adição subtração combinação), também são desenvolvidas diferentes formas de escrever (representar) quantidades, por exemplo, o 5 (2+2+1, 1+1+1+1+1, 4 + 1, 1 + 4 etc.).

a

b b b b b

bv

v

v

b r

c

5

1 1 1 1 1

12 2

2

1 4

3

= branca / marfi m (unidade)


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ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1

Escolha uma régua e encontre todas as peças que, juntas, correspondem ao seu

tamanho.

Para esta atividade, é importante que você utilize as réguas de Cuisenaire compradas ou confeccionadas por você.

!

COMENTÁRIO

A primeira ilustração é um exemplo de como você deve encaminhar essa

atividade. Registre suas respostas e converse com o tutor. A resposta

dependerá da peça escolhida. O importante é que você conheça a estrutura

e o objetivo do material.

É importante destacar a presença de um outro conceito importante neste

trabalho: o de equivalência. Entendê-lo, diferenciando-o de igualdade, é

essencial para o estudo das equações, que você verá nas Aulas 14 e 15.

ATIVIDADES

1. Utilizando as réguas de Cuisenaire, complete as expressões seguintes, tornando-as verdadeiras.

a. __________________ é metade da peça _______________.

b. _____________________ é o dobro da peça _______________.

c. __________________ é o triplo da peça ________________.

d. __________________ é a oitava parte da peça _____________.

e. ___________________ é quatro vezes a peça vermelha.

f. A peça branca é a sétima parte da peça ________________.

g. __________________ é a terça parte da peça azul.

h. ______________ é oito vezes a peça____________.

i. _______________ é a quinta parte da peça ___________.

MULTIPLICAÇÕES, DIVISÕES, FRAÇÕES, COMPARAÇÕES ETC.

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COMENTÁRIO

Observe que, manipulando as peças, o aluno desenvolve aspectos conceituais

elementares relacionados com adição, subtração e outros elementos

associados, como o dobro de, a metade de uma quantidade etc. Este tipo de

atividade também é muito recomendável para 5ª e 6ª séries.

Utilizando as réguas de Cuisenaire, também podemos realizar outras

multiplicações e desenvolver conjuntamente o conceito de área (como

espaço ocupado).

2. De que maneira, utilizando as réguas podemos preencher o espaço delimitado pelas peças roxa e verde-claro? Encontre soluções possíveis, usando:

a. Peças de uma mesma cor.

b. Peças de cores diferentes.

c. Qual o número máximo e o mínimo de peças que pode ser utilizado em cada caso?

COMENTÁRIO

Observe que, para responder a este tipo de questão, devemos sempre

recorrer à unidade (o cubo, ou quadrado). O número máximo de peças será

determinado pela multiplicação 4 x 3, ou seja, 12 cubinhos. Veja:

r

c

r

c

r


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O número mínimo, para preencher o espaço delimitado pelas duas

peças, será determinado pela peça de maior tamanho, neste caso, a roxa.

Podemos pensar em outras peças que resultem na quantidade 12.

Por exemplo, uma laranja e uma vermelha. Neste caso, faz sentido

falarmos de equivalência de quantidades, sem que as mesmas preencham

o espaço, pois a peça laranja não cabe na região delimitada. Este tipo de

discussão pode gerar novas e diferentes tarefas!

Dentre as atitudes dos alunos, devemos esperar que eles não aceitem uma única resposta, que zelem pelo material e que se ajudem durante a atividade. Além disso, o professor poderá identifi car os procedimentos adotados pelos alunos e provocá-los para suscitar questionamentos sobre as tarefas.

!

Outros questionamentos podem ser feitos neste tipo de situação.

Por exemplo, a disposição de cada peça infl uencia na quantidade fi nal

de quadradinhos?

r

r

r

r

c

r

r

c

c

3 peças roxas

AU

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Que respostas e exemplos você daria aos seus alunos à pergunta anterior?

COMENTÁRIO

Fazer os desenhos ajuda no desenvolvimento da atividade, porém,

dependendo da maturidade e familiaridade do aluno com o material,

ele não terá difi culdades em responder a este tipo de questionamento.

Apresente suas respostas ao tutor e converse com ele.

Atividades similares envolvendo a formação de fi guras, contagem e outros

conceitos geométricos como o de simetria, também podem ser pensadas.

Ao abordarmos a divisão, é importante trabalhar com a idéia de

quantos cabem. Veja!


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ATIVIDADE

3. Refl ita e responda às seguintes perguntas.

a. Quantas peças amarelas formam a peça laranja ou quantas vezes a peça vermelha cabe na peça laranja?

b. Estabeleça outras relações entre as diferentes peças.

c. Faz sentido perguntar quantas vezes a peça marrom cabe na peça roxa?

COMENTÁRIO

Na resposta do item a e nas relações em que a peça menor cabe um

número inteiro de vezes na peça maior, é provável que os alunos não tenham

difi culdade em responder. No item c, a resposta não é um número inteiro, ou

seja, a peça marrom não cabe inteira na peça roxa e sim a metade dela.

ASSOCIANDO NÚMEROS, FORMAS E QUANTIDADES VARIADAS


De quantas maneiras podemos formar um terreno retangular de 20 unidades de

área utilizando no máximo duas cores? Que peças podem ser utilizadas? Qual a

maior possível? Justifi que suas respostas.

AU

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Deseja-se colocar piso numa sala retangular de 36 unidades de área. Utilizando

pisos de mesma cor, responda qual o menor gasto para o serviço, sabendo que:

• uma peça branca custa 1 real;

• uma peça vermelha custa 1 real e 50 centavos;

• uma peça roxa custa 4 reais e 50 centavos;

• uma peça laranja custa 12 reais;

• uma peça preta custa 6 reais;

• uma peça marrom custa 7 reais e 50 centavos;

• uma peça verde-escura custa 5 reais;

• uma peça verde-clara custa 1 real e 75 centavos;

• uma peça azul custa 10 reais;

• uma peça amarela custa 4 reais.

COMENTÁRIO

Como registro de resolução das Atividades Complementares 3 e 4, você deve

utilizar desenhos, tabelas, esquemas e cálculos. Mais que chegar a uma resposta

fi nal da atividade, você deve pensar em possibilidades de resoluções que seus

alunos ou mesmo seus colegas poderão dar.

Observe que, apesar de utilizarmos expressões comuns em nosso dia-a-dia (terreno, área, piso, preços), atividades como as complementares 3 e 4 abordam o cotidiano em sua semi-realidade, pois a realidade cotidiana é mais complexa. Para saber mais sobre essa conceituação, leia Skovsmose (2001).

!

É importante você ter clareza de que todo material tem suas limitações, e não podemos exigir dele mais do que pode nos oferecer. Por exemplo, atividades como as complementares 3 e 4 podem ser exploradas em outros contextos e de outras formas. Apesar da motivação propiciada por um recurso, nem sempre seu uso garante uma aprendizagem efetiva.


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ATIVIDADE

4. O professor Fernando comentou que, dependendo da série, podemos trabalhar o conceito de números primos, por exemplo, quando for observado que para alguma peça não é possível colocarmos uma quantidade inteira de outra peça menor, a não ser a unidade e a própria peça a ser dividida. Dê exemplos de peças para as quais esta regra é válida.

COMENTÁRIO

Faça uma investigação utilizando todas as peças, assim você estará

identifi cando os números primos de 1 a 10.

A METÁFORA DO TREM

Neste momento da aula, consideramos que você tenha conhecido

diferentes possibilidades de trabalhar com as réguas de Cuisenaire,

principalmente com atividades para 5ª e 6ª séries. Vamos continuar,

agora, com uma atividade proposta pelo professor ARTHUR.

ARTHUR B. POWELL

É professor da Rutgers Universiy (EUA). É um reconhecido educador matemático, muito comprometido no desenvolvimento de projetos que objetivem uma aprendizagem matemática signifi cativa, e tem visitado regularmente o Brasil. Além disso, é um dos consultores e colaborador assíduo do Gepem (Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática).

Esta atividade com as Réguas de Cuisenaire foi desenvolvida em grupo

pelo professor Arthur. Cada grupo fez um relatório para ser entregue ao

professor para que, na próxima aula, pudessem fazer alguns comentários.

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ATIVIDADE

5. Quantos trens podemos formar com uma peça de um determinado tamanho, incluindo ela mesma e as peças menores que ela, ou seja, quantos trens podemos construir com cada peça, incluindo-a?

COMENTÁRIO

Esta é uma atividade aberta e inicialmente provocará muitos questionamentos,

por isso, procure desenvolvê-la em grupo. Procure registrar suas idéias e

dúvidas desde o início da leitura.

A peça considerada é um vagão de um trem. As outras peças e suas diferentes combinações formarão trens de mes-mo tamanho da peça considerada, porém comnúmero de vagões dife-renciado.

!

Aproveitando o exemplo utilizado no início da aula, faça composições de tamanho que cheguem à peça amarela. Vejamos alguns trens que foram formados.

Mas atenção! Consideramos que, alterando a ordem dos vagões, teremos trens diferentes, ou seja, uma peça branca e uma marrom é um trem diferente de uma peça marrom e uma branca. O mesmo acontecerá com as outras peças. Por exemplo, com as peças vermelha e branca (3ª linha da ilustração anterior), poderemos formar três trens: vermelha-vermelha-branca, vermelha-branca – vermelha e branca-vermelha-vermelha.

Agora é o momento de você voltar às dúvidas anteriormente registradas e procurar saná-las.

b b b b b

v v

b r

COMENTÁRIO

Não se preocupe com a resposta fi nal agora. Procure entender o processo

de construção dos trens. Você pensou em começar pela peça mais simples,

ou seja, a de menor tamanho? Mãos à obra!

a

b


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Depois de anotadas as suas novas observações e descobertas, siga

em frente. O que faremos agora será analisar a resposta de três estudantes

(Paulo, Kíssila e Rita) do 3º ano do Ensino Médio do Professor Walker.

É importante você entender que, ao contrário do que muitos professores pensam, o Ensino Médio é também um nível em que devemos utilizar recursos didáticos. Mesmo que pareça infantil para alguns alunos, eles perceberão paulatinamente o valor e a importância dos mesmos em sua aprendizagem.

!

ATIVIDADE

6. Nesta atividade, você analisará a resposta de cada aluno e, ao fi nal, compará-las às suas respostas.

COMENTÁRIO

Faça uma investigação utilizando todas as peças.

Aluno Paulo

Peça Nº de trens Tipos de trens

1 1 1T de 1V

2 2 1T de 1V, 1T de 2V

3 4 1T de 1V, 2T de 2V, 1T de 3V

4 8 1T de 1V, 3T de 2V, 3T de 3V, 1T de 4V

5 16 1T de 1V, 4T de 2V, 6T de 3V, 4T de 4V, 1T de 5V

::

::

::

V - vagão

AU

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Complementa o aluno: “Organizando o número de trens em ordem crescente de vagões, obtemos o triângulo de Pascal.”

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

::

Também podemos visualizá-lo da seguinte forma:

Vagões

T

r

e

n

s

m

1 2 3 4 5 ...

1 1 0 0 0 0 ...

2 1 1 0 0 0 ...

3 1 2 1 0 0 ...

4 1 4 6 4 1 ...

5

::

Observando a tabela anterior, considere an igual ao número de trens e n igual ao valor de peças (quantas unidades a peça vale).

Para:

a1= 21-1= 20= 1

a2= 22-1= 21= 2

a3= 23-1= 22= 4

a4= 24-1= 23= 8

a5= 25-1= 24= 16

::

an= 2n-1

Utilizaremos esta fórmula para determinar o número de trens que podemos ter com uma peça que vale n unidades.


C E D E R J22

Aluna Kíssila

Após ver a aplicabilidade deste recurso nas séries iniciais, foi proposto o seguinte desafi o: para cada peça quantos trens (ou tiras) com o mesmo tamanho é possível construir utilizando outras peças, inclusive a mesma?

Com uma certa maturidade adquirida pela atividade anterior com a Torre de Hanói, tivemos o cuidado de anotar os resultados em uma tabela cujo formato foi sugerido pelo professor, como segue abaixo:

Peça Nº de trens Tipo de trem

1 - marfi m 1 1 trem de 1 vagão

2 - vermelha 2 1 trem de 1 vagão e1 trem de 2 vagões

3 - verde-claro 4 1 trem de 1 vagão;2 trens de 2 vagões e1 trem de 3 vagões

4- vinho 8 1 trem de 1 vagão;3 trens de 2 vagões;3 trens de 3 vagões e1 trem de 4 vagões

5- amarelo 16 1 trem de 1 vagão;4 trens de 2 vagões;6 trens de 3 vagões;4 trens de 4 vagões e1 trem de 5 vagões

... ... ...

Com esses resultados, percebeu-se que o número de trens cresce segundo uma progressão geométrica cujo primeiro termo vale 1 e a razão é 2. Assim, seja an = a1q

n-1, em que a é o número de trens formados, n o número de unidades (marfi m) equivalentes à peça e q a razão 2, portanto, temos que an = 2n-1.

Percebemos também que de acordo com n são formados n tipos de trens, por exemplo: para a peça marfi m (n=1) existe 1 tipo de trem; para a peça vermelha (n=2) existem 2 tipos de trens (com 1 vagão e com 2 vagões); para a peça verde-clara (n=3) existem 3 tipos de trens (com 1 vagão, com 2 vagões e com 3 vagões) e assim por diante. Note que para cada peça o número de vagões varia de 1 a n. Veja estes resultados (até a peça 5) na tabela a seguir.

Número de trens formados de acordo com o número de vagões

1 vagão 2 vagões 3 vagões 4 vagões 5 vagões

Peça 1 1

Peça 2 1 1

Peça 3 1 2 1

Peça 4 1 3 3 1

Peça 5 1 4 6 4 1

AU

LA 11

C E D E R J 23

Da tabela anterior podemos concluir que:

– todas as linhas começam e terminam com o número 1;

– os demais elementos são a soma do elemento da linha acima (na mesma coluna) com o anterior (na coluna anterior e na linha acima).

Com essas observações, concluímos que esta estrutura obedece ao triângulo de Pascal.

Número de trens formados de acordo com o número de vagões

1 vagão 2 vagões 3 vagões 4 vagões 5 vagões

Peça 1 C0,0

Peça 2 C1,0 C1,1

Peça 3 C2,0 C2,1 C2,2

Peça 4 C3,0 C3,1 C3,2 C3,3

Peça 5 C4,0 C4,1 C4,2 C4,3 C4,4

Sabemos que Cp,k =p!

k! p - k !( )k p≤ Em que n é o número de

unidades (marfi m) equivalen-tes à peça e k é o número de vagões, note que k n≤ .

Para atender a estrutura da tabela, temos então:

C =n -1 !

k -1 ! n -1- k -1=

n -1 !

k -1 n - k !n-1,k-1( )

( ) ( )( )( )

( )( )

Assim, sendo Cp-1, k-1 é a quantidade de trens com k vagões de uma determinada peça p e an é o número total de trens formados para a peça n.

Anotamos os seguintes dados em uma tabela:

Nº de peças Nº de trens Tipos de trens

1 1 1 t com 1 v

2 2 1 t com 1 v 1 t com 2 v

3 4 1 t com 1 v 2 t com 2 v 1 t com 3 v

4 8 1 t com 1 v 3 t com 2 v3 t com 3 v 1 t com 4 v

5 16 1 t com 1 v4 t com 2 v;6 t com 3 v4 t com 4 v1 t com 5 v

Onde t = trem ev = vagão.


C E D E R J24

Chegamos às seguintes conclusões:

• para cada peça existe um número de trens tp correspondente, ou seja,

tp = 2p-1. t1 , como t1 = 1 fi camos com tp = 2p-1;

• concluímos que a seqüência de trens é uma PG (Progressão Geométrica) de razão 2 e o primeiro termo 1.

Construímos a seguinte tabela:

Tipo (com k vagões)

1 v 2 v 3 v 4 v 5 v

Quantidade

de trens

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Concluímos que a quantidade de trens correspondente à quantidade de vagões obedece à estrutura do triângulo de Pascal. Logo, podemos reescrever a tabela da seguinte maneira:

Tipo (com k vagões)

1 v 2 v 3 v 4 v 5 v

Quantidade

de trens

0

0

1

0

2

0

3

0

4

0

1

1

2

1

3

1

4

1

2

2

3

2

4

2

3

3

4

3

4

4

Para a tabela que acabamos de montar, p

k=

p!k! p-k !

( )

Porém, p e K ∈ N* com K < p.

Portanto, para atender à estrutura da última tabela, temos de fazer:

AU

LA 11

C E D E R J 25

p -1

k -1=

p -1 !

k -1 ! p -1- k -1 !=

p -1 !

k -1 ! p - k !

( )( ) ( )

( )( ) ( )

Ou seja, a quantidade de trens com k vagões de uma peça p ( tp,k) é dada por:

tp -1

k -1p,k =

Portanto, a primeira tabela pode ser reescrita da seguinte forma:

Nº de peças Nº de trens Tipos de trens

p tp=2p-1

tp -1

k -1p,k =

Aluna Rita

Então, foi proposto o seguinte desafi o: quantos trenzinhos podemos formar a partir de uma determinada peça até chegarmos no de menor tamanho? Vejamos:

...Nº de peçasl Nº de trens Tipos de trens

b 1 1 t de 1 v

v 2 1 t de 1 v e 1t de 2v

c 4 1 t de 1 v, 2t de 2v e 1t de 3v

r 8 1 t de 1 v, 3t de 3v, 3t de 2v, 1t de 4v

a 16 1 t de 1 v, 4t de 4v, 6t de 3v, 4t de 2v e 1t de 5v

... ............ ................................................................................

l 512 ................................................................................

Podemos observar que os tipos de trens formados descrevem o triângulo de Pascal e o número de trens formados por uma determinada peça equivale à soma das linhas do triângulo. Além disso, que o número de trens pode ser visto como uma PG de razão 2, vejamos:

Termo Geral da PG: an = a1 q(n-1).

Fica fácil perceber que a1=1 e a2=2, então, como q =a

an

n-1.

Substituindo a1 e a2 em q, temos q =2

1= 2 .

O Termo Geral pode ser substituído por: an = 1. 2(n – 1).


C E D E R J26

Então, para a peça laranja temos a10 = 1. 2(10 -1) = 1. 29 = 512.

A abordagem, segundo o triângulo de Pascal é uma forma de dispor os números binomiais formando um triângulo.

Lembrando que: n

p=

n!

p! n - p !

( )

Vamos ao triângulo de Pascal:

b0

0

v1

0

1

1

c2

0

2

1

2

2

r3

0

→

→

→

→

→

3

1

3

2

3

3

a4

0

4

1

4

2

4

33

4

4

l10

0

10

1

10

2

10

10

→

... ......................................

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

......................................

......................................

A última linha do triângulo de Pascal fi ca:n

0

n

1

n

2

n

3

n

n

Antes de continuar sua leitura, fi nalize, como professor, a análise das respostas anteriores. Contraste cada resposta com a sua. Converse com o tutor.

......

AU

LA 11

C E D E R J 27

CONCLUSÃO

No trabalho com as réguas de Cuisenaire, os estudantes

desenvolvem sua capacidade de generalizar, analisar, sintetizar, inferir,

formular hipóteses, deduzir, refl etir e argumentar. O desenvolvimento

do pensamento combinatório é um aspecto presente nas atividades

que gostaríamos de ressaltar. Não é objetivo do Ensino Fundamental

o trabalho com o Binômio de Newton, porém os alunos poderão construir

os trens e produzir generalizações pertinentes a esse nível de ensino.

R E S U M O

O pensamento combinatório se desenvolve num contexto de contagem. Neste,

estão envolvidos diferentes processos: combinações, permutações, probabilidades,

distribuição e organização de informações, estudo de eventos e freqüências etc.

Além de realizar combinações e permutações manipulando as réguas de Cuisenaire, o

aluno aprofunda aspectos conceituais relacionados à adição, subtração, multiplicação,

divisão e fração, e outros elementos associados como o dobro de, a metade de uma

quantidade etc. O uso do registro em suas diferentes formas (tabelas, quadros,

ilustrações pictóricas etc.) é imprescindível para que o aluno possa analisar e revisar

continuamente o seu aprendizado.

ATIVIDADE FINAL

Na Atividade 6, você analisou a resposta de três alunos do Ensino Médio. É possível

que tenha construído um quadro com suas observações. Se não o fez, preencha

o quadro seguinte considerando:

Aluno (a) Suas observações sobre registros feitos, conceitos presentes no desenvolvimento da descoberta, incorreções e conclusão ressaltada.

Paulo

Kíssila

Rita


C E D E R J28

AUTO-AVALIAÇÃO

Entender como trabalhar com as réguas de Cuisenaire e identifi car características

do pensamento combinatório é essencial. Caso tenha tido difi culdades para analisar

as respostas dos alunos Paulo, Kíssila e Rita volte, atentamente, às respostas de

cada um e converse com o tutor. Preencher com compreensão o quadro anterior

constitui uma importante estratégia auto-avaliativa de sua aprendizagem.

INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA

Na próxima aula, estudaremos múltiplos e divisores.

Vamos jogar sinuca?

Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:

• Discutir o ensino de múltiplos e divisores.

• Aplicar diferentes atividades para o ensino de múltiplos e divisores.

• Utilizar o método investigativo nas formulações das atividades.

Pré-requisitos

Para o bom acompanhamento desta aula, é necessário que você retome alguns conteúdos trabalhados no Ensino Fundamental

e na disciplina Álgebra I. Como: múltiplos e divisores, números primos, regras de divisibilidade, algoritmo de Euclides e propriedades

relacionadas ao MDC e MMC.

objetivos

Meta da aula

Instrumentalizar o ensino de múltiplos e divisores.

12AU

LA

Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos jogar sinuca?

C E D E R J30

No ensino tradicional, o trabalho com múltiplos e divisores é usualmente feito na

5ª série do Ensino Fundamental. O enfoque dado ao assunto segue geralmente

a seqüência: conceito de múltiplos e divisores, números primos, regras de

divisibilidade, Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC).

Encontramos nos livros didáticos esses tópicos, mais ou menos nessa ordem,

sempre com problemas ao fi m, cujo objetivo é a fi xação do que foi estudado.

Nessa perspectiva, o ensino de MDC e MMC se resume a técnicas. Os conteúdos

não são apresentados de forma problematizada. Além disso, ao longo

do Ensino Fundamental e Médio, o MDC não é praticamente utilizado, e o MMC

se limita à aplicação da técnica para reduzir frações ao mesmo denominador.

Alguns professores questionam o ensino do MDC ou o justifi cam para que mais

tarde, na 7ª série, possam ensinar MDC com expressões algébricas.

INTRODUÇÃO

Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma. Lá, você encontrará diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.

!

A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA é uma metodologia atual que vem sendo difundida em Portugal, na Universidade de Lisboa. Atividades de investigação são atividades nas quais a ênfase é dada a processos matemáticos como a busca de regularidades, formulação, teste, justifi cativa e demonstração de conjecturas. Algumas das características de uma situação investigativa são a motivação e o desafi o, o que vem provocando nos alunos grande entusiasmo pela Matemática.

Pense no assunto

E você, o que acha? Que signifi cado que o estudo de MDC, MMC e regras de divisibilidade tiveram em sua formação? Com o assunto trabalhado novamente na disciplina Álgebra I, que mudanças ocorreram na formação desses conceitos?

Nesta aula, vamos apresentar o estudo de múltiplos e divisores com base na

INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA.

AU

LA 12

C E D E R J 31

O MDC GEOMÉTRICO

Você deve conhecer alguns métodos para o cálculo do MDC.

Nosso objetivo aqui é oferecer uma outra maneira de ensinar o

MDC, com um enfoque geométrico.

Vamos descobrir o MDC entre 5 e 7 geometricamente. Para isso,

considere um retângulo de dimensões 5x7, formado por 35 quadrados

de área 1.

Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo?

É um quadrado cuja medida do lado é 5, observe:

Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 5x2.


C E D E R J32

Repetimos a mesma pergunta, agora para o retângulo de

dimensões 5x2.

Qual o maior quadrado que podemos formar neste retângulo?

É um quadrado cuja medida do lado é 2.

Retirando esse quadrado, obtemos um retângulo de dimensões 3x2.

O maior quadrado que podemos formar nesse novo retângulo é

novamente um quadrado de lado 2.

Enfi m, retirando mais uma vez o quadrado formado, encontramos

um retângulo de dimensões 1x2. O maior quadrado que podemos formar

nesse novo retângulo tem a medida do lado 1.

Quando retiramos esse último quadrado, temos na medida do

lado do menor quadrado, o MDC entre 5 e 7.

AU

LA 12

C E D E R J 33

Assim, como você sabe, o MDC entre 5 e 7 é 1.

Podemos representar esse MDC em um mesmo retângulo, onde

os quadrados “retirados” estão destacados. Veja:

A medida do lado do menor quadrado obtido no processo é o MDC entre 5 e 7.

Veja outro exemplo, em que o MDC não é 1. Vamos encontrar

por esse processo o MDC entre 4 e 6, isto é, MDC (4, 6).

O maior quadrado formado no retângulo é um quadrado

de lado 4.


C E D E R J34

Considerando agora o retângulo 4x2 que “sobrou” quando

“retiramos” o quadrado de lado 4, o maior quadrado que podemos

retirar agora tem lado de medida 2.

Agora, na medida do lado do quadrado que “sobrou”, temos

o MDC (4, 6).

A medida do lado do menor quadrado obtido é 2. Assim, o MDC (6, 4) = 2.

ATIVIDADES

1. Você sabe que o MDC (12, 18) = 6. Faça o processo geometricamente e confi ra:

AU

LA 12

C E D E R J 35

2. Faça geometricamente cada MDC indicado.

MDC (2,4) MDC (2,8) MDC (4,8)

MDC (2,6) MDC (3,6) MDC (5,15)

a. O que você observa na formação dos quadrados para o processo do MDC? Por que isso ocorre?

COMENTÁRIO

O cálculo do MDC nos casos apresentados é imediato, e você, com certeza,

o fará de cabeça. O objetivo da atividade é que você analise as formas

geométricas formadas no processo e relacione-as com o MDC.

Atividades como essas podem ser desenvolvidas com alunospara que percebam propri-edades do cálculo do MDC, como a propriedade:Sendo m, n dois números inteiros não-nulos, se m divide n, então, MDC (m, n) = m. Uma outra exploração de propriedade é com o cálculo do MDC (m, 1) no qual m é um número inteiro não-nulo.

!

O Algoritmo de Euclides, que você estudou na Aula 5 do curso de

Álgebra I, é um dos métodos de cálculo do MDC entre dois números inteiros

positivos. Caso você não se lembre, volte à aula e dê uma olhadinha.

No caso, no cálculo do MDC entre 5 e 7, temos, pelo Algoritmo

de Euclides:


C E D E R J36

7 = 1 x 5 + 2

5 = 2 x 2 + 1

2 = 2 x 1 + 0

O Algoritmo de Euclides possui um dispositivo prático conhecido

como jogo da velha, em que efetuamos diretamente as divisões sucessivas.

quocientes 1 2 2

7 5 2 1

restos 2 1 0

Muitos autores utilizam a disposição dos restos colocando-os a partir do primeiro número a ser dividido, no nosso exemplo, o 7. O processo é o mesmo, apenas o tipo de visualização dos “novos” divisores é modifi cado.

1 2 2

7 5 2 1

2 1 0

!

Será que há alguma relação entre o Algoritmo de Euclides e o

MDC geométrico? Observe:

7= 1 x 5 + 2

Retângulo de dimensão 7x5


5= 2 x 2 + 1

2= 2 x 1 + 0


Do lado de medida 7, retiramos 5 unidades e sobraram 2 unidades.

Do lado de medida 5, retiramos 2 unidades 2 vezes e sobrou 1 unidade.

Do lado de medida 2, retiramos 2 vezes 1 unidade e não sobrou nada.

AU

LA 12

C E D E R J 37

O MMC GEOMÉTRICO

Da mesma maneira que fi zemos com o MDC, faremos com o MMC.

Nosso objetivo, nesta aula, não é discutir os métodos que você conhece,

mas apresentar uma outra maneira de apresentar esse conteúdo.

Para encontrar geometricamente o MMC entre dois números

positivos, considere novamente o retângulo cujas dimensões são os

números em questão.

Vamos calcular o MMC entre 4 e 6. Para isso, considere um

retângulo 4x6 subdividido em quadrados cuja medida do lado é 1.

D C

A B

Pense nesse retângulo como uma mesa de sinuca, não como

uma qualquer, mas como uma sinuca matemática, claro. Nessa

sinuca matemática, os vértices (A, B, C e D) são as quatro caçapas

da mesa. A “bola” se move sempre da mesma forma. Ela sai de uma

das caçapas e se “movimenta” pela diagonal dos quadradinhos indicados

no retângulo. Veja:

A B

D C

Saída da bola

A B

D C

Percursoda bola


C E D E R J38

Quando essa bola chega a um dos lados dessa sinuca matemática,

ela faz uma rotação “perfeita”, dá um giro de 900 no sentido anti-horário

e continua seu caminho com a mesma regra.

O fato de a rotação ser no sentido anti-horário depende do vértice de onde sai a bola, mas a idéia é que a rotação seja feita de forma que a bola sempre continue no retângulo (na sinuca).

!

Então, a bolinha roda 90º no sentido anti-horário, continua seu

caminho e ops! Esbarra em outro lado da mesa de sinuca.

D C

A B

Novamente, a bola roda 90º no sentido anti-horário e continua.

Esbarra mais uma vez no lado da sinuca, faz uma rotação de 90º no

sentido anti-horário e...

D C

A B

AU

LA 12

C E D E R J 39

Encontra a caçapa indicada pelo vértice D. Fim de jogo!

Quantos quadradinhos a bolinha percorreu saindo da caçapa

indicada pelo vértice A até chegar à caçapa indicada pelo vértice D?

– Até encontrar a parte superior da mesa, ela percorreu 4

quadradinhos.

– Andou por mais 2 quadradinhos e encontrou a lateral direita

da mesa.

– Mais 2 quadradinhos e encontrou a parte inferior da mesa.

– Mais 4 quadradinhos e encontrou a caçapa indicada pelo vértice D.

Percorreu, então, um total de 4 + 2 + 2 + 4 = 12, que é o MMC

entre 4 e 6.

O resultado do MMC geométrico independe do vértice escolhido para a “saída da bola”.

!

Quer outro exemplo? Então vamos fazer o MMC entre 5 e 7.

Para isso, partiremos de um retângulo de dimensões 5x7.

A bola sai da caçapa indicada pelo vértice A.

D C

A B

Bate na parte superior, na lateral direita, na parte inferior e na

lateral esquerda, mas ainda não encontra a caçapa.

D C

A B


C E D E R J40

Bate na parte superior, depois na inferior, na lateral direita,

na parte superior, novamente na lateral esquerda, mas ainda não encontra

a caçapa.D C

A B

Por fi m, bate na parte inferior e cai na caçapa indicada pelo

vértice C.

D C

A B

O MMC entre 5 e 7 será o número de quadradinhos que a bola

passou. Mas, observe que a bola passou por todos os quadradinhos do

retângulo. Assim, o MMC será a área desse retângulo, ou seja, 5x7 = 35.

AU

LA 12

C E D E R J 41

ATIVIDADES

3. Você sabe que o MMC (12, 18) = 36. Faça o processo geometricamente e confi ra:

D C

A B

a. Partindo do vértice A, em qual caçapa a bola cai?

4. Faça geometricamente cada MMC indicado.

a. Em cada caso, em qual caçapa a bola cairá? Observe relações entre números envolvidos no MMC e caçapa na qual a bola caiu. Registre suas conclusões.

A B

D C

MMC (2,4)

A B

D C

MMC (3,9)

A B

D C

MMC (2,6)

A B

D C

MMC (3,6)A B

D C

MMC (5,15)

A B

D C

MMC (2,8)

A B

D C

MMC (1,8)

A B

D C

MMC (1,7)

A B

D C

MMC (4,8)


C E D E R J42

COMENTÁRIO

O objetivo da atividade não é o cálculo do MMC. Busque observar as formas

geométricas criadas e relacioná-las com o MMC.

A exploração do MMC geométrico possibilita explorar a álgebra e a geometria em conjunto através das noções de área, diagonal, rotação e simetrias. Além da conjectura lançada no boxe explicativo, você pode formular outras, por exemplo, será que quando os números são primos entre si, como no exemplo do 5 e do 7, a caçapa sempre cai na caçapa correspondente ao vértice D?Use seus conhecimentos do curso de Álgebra I para demonstrações formais de suas conjecturas.

!

Você reparou que tanto no exemplo feito no cálculo do MMC geométrico entre 4 e 6 quanto naquele entre 12 e 18 a bola caiu na caçapa D? Por que isso ocorreu?

A SINUCA DE SNOOKER E A INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

A sinuca de SNOOKER traduz a idéia de interpretar o retângulo como

uma mesa de sinuca. Além da exploração do MMC, outra observação

interessante é o número de batidas da bola nas laterais da mesa até

entrar na caçapa.

No retângulo de dimensão 4x6, se incluirmos os vértices A

(a caçapa de onde sai a bola) e D (a caçapa onde entra a bola), quantas

batidas a bola dará no total? Observe:

Visite a página da Confederação Brasileira de Bilhar e Sinuca (CBBS) na internet e conheça as regras da Sinuca SNOOKER.http://www.sinuca.com.br/sinuca/cbbs/conteudo/Regras_Ofi cial.aspNa página ilustrada a seguir http://www.sinuca.com.br/sinuca/cbbs/conteudo/ você poderá conhecer as jogadas básicas.

AU

LA 12

C E D E R J 43

D C

A B

São 3 batidas nas laterais, mais 2 nas caçapas, totalizando 5 batidas.

E no retângulo 5x7, quantas batidas são?

Por fi m, a bola bate na parte inferior e cai na caçapa indicada

pelo vértice B.

D C

A B

São 10 batidas nas laterais mais 2 nas caçapas, totalizando 12 batidas.

Você conseguiu perceber a relação existente entre 4 e 6 e o

total de batidas 5? E entre 5 e 7 e o total de batidas 12? Qual a regra?

Essa generalização não é imediata.

Agora pare um pouco a leitura da aula e investigue.

Para ajudá-lo, sugerimos que você acesse o site http://illuminations.

nctm.org/tools/tool_detail.aspx?id=28. Lá você encontra possibilidade

de modificar as dimensões do tabuleiro de sinuca. Nesse recurso, a conta-

gem do número de batidas é dado por Hits, o que acelerará sua investigação.

Na tela inicial aparecerá um retângulo de dimensão 3x5.


C E D E R J44

Com o mouse na bolina de sinuca, você dispara a bola.

Na sinuca fi ca indicado Hit para cada batida e toda vez que a

bola cai na caçapa. Na parte inferior da tela, há a contagem Hits: 8,

isso signifi ca que o número de batidas é 8.

Figura 12.1: Tela inicial do jogo de sinuca.

Figura 12.2: Tela inicial do jogo de sinuca.

AU

LA 12

C E D E R J 45

Para modifi car as dimensões da mesa, movimente os traços verticais Length e Width. Assim, você pode investigar todas as dimensões de mesa que quiser, até o máximo de 21x21, com facilidade.

Observe que, analisando o percurso da bola, essa mesa permite explorar o MMC geométrico também.

!

Agora, jogue sinuca, formule sua conjectura, procure validar o

que pensou, ou seja, investigue!

Já fez suas descobertas? Fez anotações? Então, vamos

continuar!

Qual a diferença entre o que está sendo proposto a você

agora e um problema mais “usual”? A maioria das atividades

realizadas nas aulas de Matemática é focada em procedimentos

e se apresenta de forma estruturada. Estas são necessárias,

mas com uma metodologia concentrada apenas nesse tipo de

atividade, não proporcionamos ao aluno desenvolver algumas

atitudes importantes em relação à Matemática.

As atividades investigativas se contrapõem às tarefas

procedimentais e estruturadas, sendo, portanto, mais “abertas”,

favorecendo processos de descoberta e redescoberta, numa atmosfera

de motivação e desafi o. Quanto mais experiência o aluno tem com

atividades de investigação, mais aberta deve ser a proposta. Por exemplo,

no problema do número de batidas da sinuca, poderíamos ter dado as

regras e perguntar: o que você observa?

Para o desenvolvimento de uma atividade de investigação, devem estar aliadas as crenças do professor acerca da matemática e da educação. Essas idéias infl uenciam diretamente no processo de aprendizado do aluno e em suas concepções. É necessário que o ensino não seja embasado apenas em trabalhos estruturados e que o aluno tenha oportunidade de formular e validar questões.


C E D E R J46

No desenvolvimento de uma atividade de investigação com alunos,

é necessário que o professor redimensione seu papel, provocando outras

questões. Tais intervenções são essenciais para a continuidade da tarefa.

Love (1998) afi rma que, nesse tipo de atividade, o aluno tem

oportunidade de:

• identifi car e iniciar os seus próprios problemas;

• expressar as suas próprias idéias e desenvolvê-las ao resolver

problemas;

• testar as suas idéias e hipóteses de acordo com experiências

relevantes;

• defender racionalmente as suas idéias e conclusões e submeter as

idéias dos outros à crítica ponderada.

Voltando ao problema proposto a você, vamos analisar o número

de batidas de alguns casos nos quais os números são primos entre si, ou

seja, quando o MDC entre os números é 1.

Dimensões da mesa Número de batidas

5x7 12

3x7 10

2x9 11

7x11 18

15x16 31

::

::

Analisando este caso, podemos CONJECTURAR que, quando os números

são primos entre si, o número de batidas é a soma desses números.

Será que essa primeira sensação é verdadeira? Vamos analisar

casos em que o MDC entre os números não seja 1.

CONJECTURAR

Emitir uma opinião sem fundamentos precisos.

AU

LA 12

C E D E R J 47

Dimensões da mesa Número de batidas

4x6 5

10x20 3

9x12 7

14x21 5

15x18 11

::

::

Não, o número de batidas não é a soma dos números envolvidos.

Mas existe uma relação com a soma.

Dimensões da mesa Número de batidas Soma dos números das dimensões da mesa

4x6 5 10

10x20 3 30

9x12 7 21

14x21 5 35

15x18 11 33

::

::

::

Os números da segunda coluna estão relacionados com os números

da terceira coluna através de uma divisão.

Dimensões da mesa Número de batidas Soma dos números das dimensões da mesa

4x65 =

10

2

10

10x203 =

30

10

30

9x127 =

21

3

21

14x215 =

35

7

35

15x1811 =

33

3

33

::

::

::


C E D E R J48

E o divisor em questão é o MDC entre os números das dimensões

da mesa.

Dessa forma, podemos expressar o número de batidas por: m + n

mdc (m,n).

No livro Investigações matemáticas na sala de aula, dos autores João Pedro da Ponte, Joana Brocado e Hélia Oliveira, da Editora Autêntica, você encontrará vários registros de alunos a respeito desse problema.

!

MÚLTIPLOS, DIVISORES, MMC E MDC

Vimos dois processos, um para o cálculo de MDC e outro para

MMC. Estes dão possibilidades de várias explorações e conexões com

a Matemática. Entretanto, é importante que o professor tenha em mente

que o trabalho com múltiplos e divisores e posteriormente com MDC e

MMC não pode estar restrito à repetição de procedimentos. Para isso,

é necessário que os conceitos sejam trabalhados.

Estas são algumas crenças de alunos a respeito de múltiplos e

divisores no Ensino Fundamental e Médio:

I. 2 ÷ 0 = 2.

II. 0 ÷ 5 = 5.

III. 0 ÷ 0 = 1.

IV. –6 não é múltiplo de 3 porque é negativo.

V. –5 não é divisível por 1 porque é negativo.

VI. O MMC é sempre positivo.

VII. O MDC é sempre positivo.

VIII. 1 é primo.

Essas crenças estão todas erradas?

AU

LA 12

C E D E R J 49

O conceito de divisibilidade envolve dois números inteiros.

Como você viu na Aula 5, da disciplina Álgebra I:

Dados dois inteiros m e n, dizemos que m divide n se existe um

inteiro q tal que n = qm. Nesse caso, dizemos que m é divisor de n ou

“n é múltiplo de m”.

Assim, o conceito de divisor de um número é válido para números

positivos e negativos. Acontece que os números positivos são trabalhados

primeiro, e quando os alunos trabalham com números negativos, esses

conceitos não são retomados. Isso faz com que o aluno pense como nos

itens IV e V, uma vez que nada foi falado a ele a esse respeito.

No caso das divisões, qual o resultado de 2 ÷ 0?

De acordo com a defi nição dada, se 0 fosse divisor de 2, existiria

um número inteiro q tal que 2 = 0.q. Como todo número inteiro

multiplicado por 0 é 0, 2 ÷ 0 não existe. Assim, a crença que 2 ÷ 0 = 2

(I) está errada.

A propriedade 0.q = 0 para qualquer número inteiro q é uma propriedade de anéis. Preste atenção nesse fato no estudo da estrutura de anéis.

!

O caso em que 0 ÷ 5 = 5 (II) também não se justifi ca. De acordo

com o que foi visto, se 5 divide 0, existe q tal que 0 = 5.q. O único número

inteiro que satisfaz a igualdade é q = 0, assim, o resultado de 0 ÷ 5 = 0.

Vamos analisar agora a crença (III): 0 ÷ 0 = 1. Você observou que,

de acordo com a defi nição feita na disciplina Álgebra I, não há restrição

inicial ao fato de o divisor ser 0?

Se o divisor é 0, ou seja n = 0, m também deverá ser 0. Nesse caso,

o valor de q na expressão 0 = q.0 não será único. Como uma operação

matemática tem resultado único, costuma-se excluir o caso em que o

divisor é 0. Assim, assumimos que o divisor é n (n ≠ 0). Por isso, dizemos

que 0 ÷ 0 não existe (III).

O trabalho de MDC e MMC com alunos de Ensino Fundamental

é muito focado nas técnicas. Cabe lembrar que o MDC e o MMC são

sempre positivos. Revise essas defi nições nas Aulas 5 e 6 da disciplina

Álgebra I. Assim, as crenças (VI) e (VII) estão corretas.


C E D E R J50

Para relembrar, o conjunto dos divisores positivos de um número

é um conjunto finito. Quando falamos de MDC entre dois

números, estamos nos remetendo ao MAIOR número que divide os dois

números ao mesmo tempo.

Por exemplo, o MDC (6, 8) é o maior número positivo que divide

6 e 8 ao mesmo tempo. Os divisores positivos do 6 são 1, 2, 3 e 6,

e os divisores do 8 são 1, 2, 4, e 8. O maior número positivo que é divisor

de 6 e 8 ao mesmo tempo é o 2. Assim, MDC (6, 8) = 2.

Como falamos antes, muitos professores são contra o estudo do MDC, pois afi rmam que o assunto não tem utilização nem no Ensino Fundamental, nem no Médio. Dizem, ainda, que os problemas que envolvem o MDC são artifi ciais, o que, na maioria dos casos, é verdade. Outros defendem que o MDC é importante no estudo das relações entre números e que o Algoritmo de Euclides deve ser estudado. As duas idéias devem ser respeitadas e questionadas por você, futuro professor de matemática.

!

No estudo do MDC, as idéias de encontrar divisores comuns e

de que o MDC deve ser o maior deles não devem ser descartadas, e o

ensino do tema não pode ser restrito ao procedimento, seja por fatoração,

pelo Algoritmo de Euclides ou pelo método geométrico.

O mesmo deve ocorrer com o estudo do MMC. O conjunto dos

múltiplos de um número inteiro é um conjunto infi nito. Quando falamos

do MMC entre dois números inteiros positivos, nos remetemos à idéia do

MENOR número possível que ao mesmo tempo é múltiplo desses dois

números envolvidos.

Por exemplo, o MMC (6, 8).

M6 = {0, ± 6, ± 12, ± 18, ± 24, ± 30, ± 36, ± 42, ± 48, ± 54, ...}

M8 = {0, ± 8, ± 16, ± 24, ± 32, ± 40, ± 48, ± 56, ...}

Os múltiplos comuns a 6 e a 8 são 0, ± 24, ± 48, ...

M6 ∩ M8 = {0, ± 24, ± 48, ...}.

Assim, o MMC (6, 8) é o menor número positivo desse conjunto,

ou seja, 24.

Agora, só falta analisar a afi rmação VIII. Para isso, vamos recordar

o que é um número primo. Um número é dito primo quando tem

exatamente dois divisores diferentes. Caso tenha mais de dois divisores

diferentes, é chamado composto. De acordo com o que foi dito, o número

1 não é primo, tampouco composto.

AU

LA 12

C E D E R J 51

ATIVIDADES

5. Observe a situação-problema:

A Confederação Internacional dos Jogadores de Bolinhas de Gude realiza um torneio a cada cinco anos. O primeiro ocorreu em 1987, o segundo, em 1992 e assim por diante.

a. Os números 1988, 1993, 1998 e 2003 são múltiplos de 5?

b. Os números 1988, 1993, 1998 e 2003 são múltiplos de 5 somados com 3?

c. Se o campeonato continuar a ser realizado a cada cinco anos, haverá torneiro em 2068?

d. Além dos múltiplos de 5, o que está sendo abordado no problema?

6. Considere o problema a seguir.

a. Se um número inteiro é múltiplo de 3, o mesmo acontece com o seu quadrado? E com a sua décima potência?

b. Escreva uma forma de explorar esse problema com alunos de 5ª ou 6ª série.

c. Escreva agora uma forma de explorar o problema, com alunos de 7ª ou 8ª série.

COMENTÁRIO

Um modo de você pensar na diferença da exploração possível em cada

item é ter em mente que, com alunos de 5ª ou 6ª série, devemos buscar

generalizações, mas a manipulação dos símbolos algébricos ainda não é o

foco principal, ao passo que, com alunos de 7ª ou 8ª série, o professor deve ter

dentre seus objetivos exatamente a manipulação de símbolos algébricos.

O trabalho com múltiplos não deve ficar restrito à exploração imediata do con-ceito e às regras de divisi-bilidade. Algumas situ-ações-problema que explo-ram seqüências de múltiplos somados com um número, ou seja, seqüências de números que deixam o mesmo resto na divisão por um número inteiro não-nulo, no caso 3, devem ser trabalhadas com alunos.

!


C E D E R J52

7. Considere os problemas a seguir.

Em uma estrada de 360km, de um lado há postes de 12 em 12 quilômetros a partir do quilômetro zero e do outro há árvores de 18 em 18 quilômetros, também a partir do quilômetro zero.

a. De quantos em quantos quilômetros haverá um poste de frente para uma árvore?

Tenho 18 livros de Matemática e 12 livros de Português. Quero arrumar esses livros em prateleiras só com livros de Matemática ou só com livros de Português, de maneira que, em cada prateleira, eu tenha o maior número possível de livros.

b. Quantos livros colocarei em cada prateleira?

c. Quantas prateleiras usarei?

d. Esses problemas são usualmente apresentados em livros como problemas envolvendo MDC e problemas envolvendo MDC. Você acha necessário o estudo do MDC e do MMC para resolver esses problemas? Você acha interessante trabalhar esses problemas com alunos? Registre suas observações e discuta com seu tutor.

Ser professor exige um olhar atento sobre o que é trabalhado e a maneira como esse trabalho é feito. Procure sempre refl etir sobre o que você está ensinando!

!

AU

LA 12

C E D E R J 53

COMPREENDENDO REGRAS DE DIVISIBILIDADE

O que são regras de divisibilidade? O número 12.345.678 é

divisível por 2? O número 789.567 é divisível por 5? E o número

345.687.390 é divisível por 10? Você rapidamente deve ter respondido

que 12.345.678 é divisível por 2, que 789.567 não é divisível por 5

e que 345.687.390 é divisível por 10 sem ter feito nenhum cálculo.

Você provavelmente pensou que 2.345.678 é par, que 789.567 não termina

em 0, nem em 5, e que 345.687.390 termina em 0. Por meio das chamadas

regras de divisibilidade, podemos saber se um número é divisível ou não

por outro sem efetuar a divisão entre respectivos números.

As regras de divisibilidade são geralmente dadas aos alunos sem

que haja uma exploração dos porquês. As regras de divisibilidade mais

úteis aos alunos são as de 2, 3, 5, 6, 9 e 10.

As regras de divisibilidade dos números 2, 5 e 10 são facilmente

percebidas pelos alunos por meio da análise dos padrões formados pelos

respectivos múltiplos, representados em uma tabela.

A regra do 6, após o aluno saber as regras de divisibilidade por 2

e por 3, pode ser facilmente percebida também, pois 6 = 3x2, e a regra

de divisibilidade por 6 envolve uma conjunção, ou simultaneidade,

já que o número pode ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

As regras de divisibilidade por 3 e por 9 são mais artifi ciais se

forem apenas dadas sem justifi cativa. Vale lembrar que:

Se um número é divisível por 3, então a soma de seus algarismos

é divisível por 3, e, se um número é divisível por 9, então a soma dos

seus algarismos é divisível por 9.

A difi culdade de justifi car algebricamente essa regra está na

generalização da escrita do número na base 10, pois, nesse caso, teríamos de

supor um número de n algarismos, e a escrita fi ca difícil para alunos

de 5ª ou 6ª séries.

Podemos, então, justifi car essas regras aos alunos supondo um

número de três ou quatro algarismos. Por exemplo, para saber qual a

condição necessária para que um número seja divisível por 3, supondo

um número de quatro dígitos (ABCD), vamos recorrer à sua escrita no

sistema de numeração decimal.


C E D E R J54

A escrita de (ABCD) entre parênteses foi utilizada para reforçar que A, B, C e D são algarismos e diferenciá-la da escrita de multiplicação de quatro números.

(ABCD) = 1000A + 100B + 10 C + D

Mas,

1000A = 999A + A

100B = 99B + B

10C = 9C + C

Assim, (ABCD) = 999A + A + 99B + B + 9C + C + D.

Reorganizando as parcelas, temos:

(ABCD) = 999A + 99B + 9C + A + B + C + D.

Como 999A + 99B + 9C é divisível por 3, se A + B + C + D também for, o número (ABCD) também será. A regra da divisibilidade por 9 pode ser justifi cada da mesma maneira.

Se houver difi culdade dos alunos em relação à regra com “letras”,

o professor pode trabalhar o raciocínio com exemplos, explorando o que

ocorre de diferente com a soma dos algarismos, os números, no caso de

serem ou não divisíveis por 3 ou por 9.

ATIVIDADE

8. Um número natural formado por três algarismos iguais é sempre múltiplo de 37? Por quê?

COMENTÁRIO

Você pode realizar divisões por números ou pensar dedutivamente,

orientando-se pelo boxe explicativo anterior.

AU

LA 12

C E D E R J 55

ATIVIDADE FINAL

Crivo de Eratóstenes

Na tabela, risque o número 2 e todos os seus múltiplos com lápis de uma

determinada cor.

Depois, risque o 3 e todos os seus múltiplos com lápis de outra cor.

E assim, sucessivamente, para o 4, o 5, o 6, o 7 até o 99.

a. Que números têm apenas um risco? O que eles têm em comum?

b. Observe a cor com que você riscou o número 6 e seus múltiplos e a que você

utilizou para riscar o número 8 e seus múltiplos. Que números têm riscos nestas duas

cores ao mesmo tempo? Com base em sua resposta, qual é o MMC entre 6 e 8?

c. Observe os riscos que você fez nos múltiplos de 2 e nos múltiplos de 4. Existem

números que têm o risco da cor do 2 e não têm da cor do 4? Existem números que

têm riscos na cor do 4 e não têm na cor do 2? O que você pode concluir?

d. O número 1 não foi pintado. O que isso signifi ca?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


C E D E R J56

COMENTÁRIO

Esta atividade é um exemplo para ser aplicado com alunos no trabalho com

múltiplos e divisores e com números primos. Não deve haver difi culdades

em fazê-la, o importante é que você refl ita sobre o que lhe está sendo pedido

nos itens e em como a atividade favorece a concretização de algumas

propriedades. A mesma atividade pode ser utilizada para reconhecer os

divisores de um número.

CONCLUSÃO

Quando falamos das atividades investigativas, vale destacar um

importante aspecto do ensino da Matemática: aliar uma metodologia

consistente ao conhecimento do professor.

A divisão por zero, por exemplo, deve ser analisada pelo professor

por meio de suas próprias difi culdades e da maneira como as esclareceu.

Isso pode gerar excelentes contextos para o trabalho de sala de aula.

Além das atividades de investigação, para o trabalho com

múltiplos e divisores, o professor dispõe de excelentes problemas

e jogos. Muitos estão presentes nos livros didáticos e outros podem ser

criados pelo próprio professor.

R E S U M O

A exploração do MDC e do MMC geométricos são exemplos de processos para

o cálculo dos mesmos que podem ser usados em sala de aula. Os dois consideram

inicialmente um retângulo onde os quadrados de 1 unidade de área estão

destacados, formando uma malha.

No processo do MDC, a idéia é a retirada dos maiores quadrados formados.

Nesse processo, a medida do lado do menor quadrado é o MDC entre os números

que são as medidas dos lados do retângulo inicial. No MMC, trabalhamos com

a idéia de mesa de sinuca. A “bola” parte de um dos vértices e faz “tabelas” até

chegar a outro vértice. O número de quadradinhos que percorreu é o MMC entre

os números que compõem as dimensões do retângulo.

Na sinuca de Snooker, além de manipular novamente o MMC geométrico usando

a internet, exploramos o “número de batidas”. Encontramos uma relação entre os

números da medida dos lados do retângulo e o MDC.

AU

LA 12

C E D E R J 57

AUTO-AVALIAÇÃO

Os MDC e MMC geométricos foram duas maneiras apresentadas para abordar os

processos de cálculo dos mesmos, em que exploramos algumas regularidades

também. Verifique se você atingiu essa perspectiva nas Atividades 2 e 4.

Na sinuca de Snooker, você utilizou a tecnologia no ensino da matemática,

não como uma atividade à parte, mas inserida em um processo de investigação

que foi exposto a você no decorrer do tópico. Questionamos, também, aspectos

do ensino de múltiplos e divisores, regras de divisibilidade focalizando

as dificuldades encontradas por alunos nesse estudo. Na Atividade Final,

além de identifi car esses aspectos, uma boa avaliação é pensar em outras questões

que esse contexto permite explorar.

INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA AULA

Na próxima aula prepare-se para jogar com números.

Algumas questões sobre o ensino de múltiplos e divisores foram enfatizadas,

como a divisão por zero e as restrições dadas aos cálculos do MDC e do MMC.

Os critérios de divisibilidade foram resgatados onde exploramos, em particular,

as justifi cativas dos critérios da divisibilidade por 3, em que a soma dos algarismos

do número deve ser divisível por 3 e por 9, e em que a soma dos algarismos do

número deve ser divisível por 9.


C E D E R J58

RESPOSTAS

Atividade 1

Menor quadrado formado tem

medida do lado 6

Atividade 2

Faça geometricamente cada MDC indicado.

MDC (2,4)=2 MDC (2,8)=2 MDC (4,8)=4

MDC (2,6)=2 MDC (3,6)=3 MDC (5,15)=5

a. Em cada um dos casos do processo do MDC geométrico, todos os quadrados (tanto

os “retirados” quanto o último) são congruentes. Isso ocorre porque os números

envolvidos no MDC são múltiplos. Quando pensamos no maior quadrado possível,

a medida do lado desse quadrado será o menor número envolvido no processo.

AU

LA 12

C E D E R J 59

Atividade 3

A B

D C

a. A bola cai na caçapa D, percorrendo um total de 36 quadradinhos.

Atividade 4

A B

D C

MMC (2,4)=4A B

D C

MMC (3,9)=9 A B

D C

MMC (4,8)=8

A B

D C

MMC (1,8)=8

A B

D C

MMC (3,6)=6 A B

D C

MMC (5,15)=15

A B

D C

MMC (2,6)=6

A B

D C

MMC (2,8)=8

A B

D C

MMC (1,7)=7


C E D E R J60

a. Observe que, em alguns casos, a bola cai na caçapa C e, em outros, na B,

mas em todos os casos os números envolvidos são múltiplos. No MMC entre 3 e 9, 2 e 6, 5

e 15 e 1 e 7, a bola caiu na caçapa indicada pelo vértice C. Já no MMC entre 2 e 4, 4 e

8, 3 e 6, 2 e 8 e 1 e 8, a bola cai na caçapa indicada pelo vértice B. Uma possibilidade

de generalização é a seguinte:

Sejam m e n dois números inteiros positivos tais que m divide n. Se m ÷ n é ímpar,

então a bola cai na caçapa indicada pelo vértice C, entretanto, se m ÷ n é par, a bola

cai na caçapa indicada pelo vértice B.

Busque justifi car seu argumento.

Atividade 5

A resposta encontra-se no boxe de atenção.

Atividade 6

a. Esta questão não tem resposta fechada. Muitas questões devem ser levadas em

consideração pelo professor quando aborda uma situação-problema com alunos.

Veja, a seguir, uma forma de abordá-la, mas procure pensar em outras e discuta

com seu tutor.

b. Uma possibilidade de manipulação é usar uma tabela, onde exploramos as

potências dos números múltiplos de 3, em alguns casos concretos, trabalhando com

a escrita de múltiplos de 3 em forma de produto e com a propriedade de potenciação

(a.b)n = an.bn. Através da investigação, o aluno pode buscar uma argumentação.

Número divisível por 3 Elevado à 2ª potência Elevado à 3ª potência ... Elevado à 10ª potência

0=0x3 (0x3)2 = 02.32 (0x3)3 = 03.33 ... (0x3)10 = 010.310

3=1x3 (1x3)2 = 12.32 (1x3)3 = 13.33 ... (1x3)10 = 110.310

6=2x3 (2x3)2 = 22.32 (2x3)3 = 23.33 ... (2x3)10 = 210.310

9=3x3 (3x3)2 = 32.32 (3x3)3 = 33.33 ... (3x3)10 = 310.310

12=4x3 (4x3)2 = 42.32 (4x3)3 = 43.33 ... (4x3)10 = 410.310

15=5x3 (5x3)2 = 52.32 (5x3)3 = 53.33 ... (5x3)10 = 510.310

18=6x3 (6x3)2 = 62.32 (6x3)3 = 63.33 ... (6x3)10 = 610.310

::

::

::

::

33=11x3 (11x3)2 = 112.32 (11x3)3 = 113.33 ... (11x3)10 = 1110.310

::

::

::

::

AU

LA 12

C E D E R J 61

A partir da análise da tabela, o aluno pode concluir que sempre haverá pelo

menos um fator 3 na escrita do número em forma de potência, logo, nos dois

casos, elevando-se um número ao quadrado ou à décima potência, o número será

divisível por 3.

c. A partir da 7ª série, o professor pode desenvolver com seus alunos raciocínios como

o apresentado na tabela, a diferença pode ser apenas no tipo de argumentação

dos alunos. Pode-se buscar argumentações que considerem a escrita algébrica.

Por exemplo: se um número n é divisível por 3, podemos escrevê-lo como n =

3m. Neste caso, n2 = 32m2 apresenta um fator 3 na expressão (precisamente dois

fatores 3), sendo assim, divisível por 3. A décima potência também apresenta um

fator 3 na expressão (precisamente dez fatores 3), sendo também divisível por 3.

Observe: n10 = 310m10.

Atividade 8

Sim, todos os números naturais de três algarismos iguais são múltiplos de 37.

Para justifi car, você pode efetuar a divisão por 37 dos números 111, 222, 333, 444,

555, 666, 777, 888 e 999, ou pode optar por um raciocínio dedutivo.

Nesse caso, podemos escrever um número da forma AAA como 100A + 10A + A,

mas 100A = 37A + 37A + 26A, assim, o número (AAA) = 37A + 37A + 26A + 10A

+A = 37A + 37A + 37A = 3x37A. Logo, o número (AAA) é divisível por 37.

Atividade Final

a. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,

83, 89, 93, 97. Todos possuem apenas dois divisores, 1 e ele mesmo, ou seja, são

números primos.

b. 24, 48, 72 e 96. É o 24.

c. Sim, o 6 por exemplo. Não. Todo múltiplo de 4 é múltiplo de 2, mas nem todo

múltiplo de 2 é múltiplo de 4.

d. Ele não é primo nem composto.

Jogos com números


• Utilizar jogos com números em sala de aula.

• Diferenciar os tipos de jogos.

• Produzir novos jogos a partir das sugestões aqui apresentadas.

Pré-requisitos

Para acompanhar esta aula, você deve conhecer os números reais e as operações básicas. Além disso, você deve estar

com um espírito questionador, investigativo e curioso. Estas são características importantes em um professor de Matemática.

objetivos

Meta da aula

Instrumentalizar o ensino de jogos.

13AU

LA

Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Jogos com números

C E D E R J64

Esta aula inaugura a primeira das três Aulas (13, 21 e 23) que teremos

especifi camente sobre o uso de jogos no ensino de Matemática dos Ensinos

Fundamental e Médio. Além disso, você encontrará sugestões de outras atividades

lúdicas em outras aulas no seu laboratório de Álgebra e Aritmética.

Desde tempos remotos, o jogo tem sido usado pela humanidade para divertir,

desafi ar, elaborar estratégias. No caso do uso didático dos jogos, o professor

precisa aguçar sua sensibilidade para saber o melhor momento e a forma como

deve utilizá-los.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais de 5ª a 8ª série apontam o uso de jogos

como um dos modos de fazer matemática em sala de aula.

Nesta aula, exploraremos, além de jogos com números, também os desafi os

numéricos. A maioria desses jogos explora números e operações, em particular os

números naturais. Apresentaremos algumas versões envolvendo números reais.

O professor, todavia, poderá produzir variações desses jogos com números

reais. Os jogos podem ser em grupo ou individuais. Os jogos individuais

desenvolvem a concentração dos alunos, ao passo que os jogos em grupo

levam o aluno a descentralizar, prever ou antecipar ações, levantar hipóteses,

lidar com critérios e construir esquemas.

Um outro aspecto relevante no uso de jogos em sala de aula é que o professor

deve deixar um tempo para o que chamamos jogo livre. Além disso, um passo

importante é o registro do jogo; isso ajuda o aluno a se afastar do “concreto”,

utilizando progressivamente a linguagem e o raciocínio.

INTRODUÇÃO

Ao apresentar um material pedagógico ou jogo para o aluno, é sempre interessante deixar que ele mexa no material, faça o que achar interessante. Brinque sem nenhum compromisso di-dático. Chamamos este momento de jogo livre. Quando isso não é feito, e o professor expõe a atividade direcionada no momento inicial, percebe-se que os alunos usam um tempo para essa familiarização, deixando de se concentrar na atividade solicitada, o que pode causar um desgaste inicial e decepção por parte do professor, acreditando que a proposta não seja interessante.

Fique atento, pois existem jogos para diferentes fi nalidades, ou seja, há aqueles

que constroem conceitos, outros servem para o aluno se familiarizar com a

nomenclatura e os termos matemáticos e, por último, há jogos que exploram

a fi xação e reprodução do conteúdo.

Veja, a seguir, um mapa conceitual que resume as principais idéias sobre o

uso de jogos.

AU

LA 13

C E D E R J 65

JOG

OS

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C E D E R J66

DESAFIOS NUMÉRICOS

Os desafi os são apropriados para qualquer série. Como envolvem

números naturais, são bastante oportunos ao serem usados no 3º ciclo

(5ª e 6ª séries). Temos certeza de que você vai gostar de resolvê-los!

ATIVIDADES

1. TRINTA

Expresse o número 30, usando três algarismos iguais.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

COMENTÁRIO

Utilize, além dos três números iguais, operações matemáticas.

2. O CERTINHO

Um número é formado por dois algarismos cuja soma é 12. Se a esse número acrescentarmos 18, obteremos outro número formado pelos mesmos algarismos, mas invertidos. Qual é o número inicial?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

COMENTÁRIO

Um caminho é procurar encontrar a solução por tentativa e erro. Para chegar

mais rápido à resposta é importante registrar e analisar as tentativas.

3. A MULTIPLICAÇÃO

Você sabe que fi guras iguais correspondem a algarismos iguais. Substitua as fi guras por algarismos.

AU

LA 13

C E D E R J 67

COMENTÁRIO

Não deixe de registrar suas tentativas; lembre-se de que só podemos ter

algarismos nos lugares dos símbolos, (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9). Este é um

desafi o que envolve números, operações e pensamento algébrico.

Os desafi os propostos nas Atividades 1, 2, 3 e 4 foram retirados do livro Jogos matemáticos, das professoras Tânia Rocha e Heloísa Borges, da Editora Brasil. Nesse livro, você poderá encontrar outros desafi os interessantes para fazer com seus alunos.

JOGO DA MEMÓRIA

Este jogo é de confecção simples e apropriado para fi xar conteúdos

e conceitos previamente trabalhados. A quantidade de peças fi ca a critério

do professor. Não deve ter uma quantidade muito pequena de peças,

pois isso pode tornar o jogo rápido demais e desinteressante. Porém,

não deve ter uma quantidade excessiva de peças, a ponto de torná-lo

cansativo e difícil. É importante adequar esses fatores às habilidades dos

alunos envolvidos. O número médio de peças para compor um jogo da

memória deve estar entre 20 e 30. Tradicionalmente, trabalha-se com

um número par de peças, por ser o objetivo encontrar pares iguais. Na

utilização como jogo didático, é interessante que as peças trabalhem

com “objetos” que estejam de alguma forma relacionados ou sejam

equivalentes. Uma possível variação do jogo é trabalhar com trios de

peças equivalentes.

4. QUATRO QUATROS

Usando quatro algarismos 4, escreva todos os números de 0 a 10.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

!

COMENTÁRIO

Mais uma vez, além dos algarismos 4, você deve utilizar as operações.

Há mais de uma resposta para cada número.


C E D E R J68

ATIVIDADE

A seguir, apresentamos um exemplo de jogo da memória que

apresenta a tabuada de 8 relacionada com outras operações.

Você encontrará as peças no Módulo Prático, e deverá recortá-las

e colar num papel de maior resistência (cartolina, papel-cartão, papelão

ou E.V.A), para tornar mais fácil a manipulação. As peças devem ser

arrumadas com a parte escrita virada para baixo. Cada jogador (2 ou 3),

quando começar a jogar, deverá virar 3 peças e, se as três possuírem o

mesmo valor, ele retirará as três peças para ele. O jogo continua assim, até

acabarem todas as peças. Ganha quem retirar o maior número de peças.

5. Idealize e confeccione um jogo da memória com 20 ou mais peças, utilizando os números e operações.

COMENTÁRIO

Utilize sua criatividade para criar seu próprio jogo da memória. Lembre-se

de que, para combinar duplas, você terá de ter um número par de peças

e, para combinar trios, você deverá ter uma quantidade que seja um

número múltiplo de 3.

A tabuada é consideradapor alguns como uma formatradicional de ensinar asoperações. Acreditamos quedevemos explorar diferentesformas de memorização, semabrir mão do signifi cado.

!0 x 8 = 1 x 8 = 2 x 8 = 3 x 8 = 4 x 8 = 5 x 8 = 6 x 8 =

7 x 8 = 9 x 8 = 10 x 8 = 0 8 16 24

80726456484032

0 x 6 = 2 x 4 = 2x2x2x2 4 x 6 = 25 = 4 x 10 = 4 x 12 =

8 x 7 = 4 x 18 = 20 x 4 = 8 x 8 = 4 x 16 =

AU

LA 13

C E D E R J 69

DOMINÓS

Os dominós são, em geral, conhecidos pelos alunos. Sua estrutura

original envolve números que, no caso, são quantidades de círculos,

coloridos ou brancos, que variam de 0 a 6. A estrutura de cada peça é

constituída por duas quantidades, que podem ser iguais ou distintas.

Se você conhece o dominó tradicional, deve estar pensando:

“Mas que maneira complexa de descrever um ‘simples’ dominó!”. Não

se preocupe, pois como vamos utilizar as características do dominó

tradicional para construir outros dominós didáticos, precisamos conhecer

sua estrutura.

O total de peças de um dominó é 28, embora as quantidades de

círculos sejam apenas sete (0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6). Você já parou para pensar

como essas quantidades se combinam nas peças? São essas combinações

que dão alternativas às jogadas, ou seja, elas aumentam o leque de

possibilidades de continuidade e fechamento do jogo.

Agora veja uma possível arrumação para as peças do dominó.

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28


C E D E R J70

Quando vamos idealizar um dominó e confeccioná-lo para uso

didático, podemos escolher a estrutura do dominó tradicional. Nesse

caso, os elementos distintos escolhidos se restringem a sete. No dominó

que apresentamos a seguir, adotamos essa estrutura, porém variamos a

representação para os números de 0 a 6. Em cada coluna estão registradas

algumas possíveis representações para estes números.

0 1 2 3 4 5 6

5 – 5 30 5 – 3 9 : 3 31 + 1 10:2 42 – 10

0.8 9/9 1 + 1 90 – 87 41 32 – 4 25 – 19

34.0 11:11 100 – 98 36:12 (12 – 2) : 2 32 – 3

50 1.1 21 18/6 22 7 + 2 – 4

0 + 0 1 : 1 30 : 15 21 + 1 90 : 22, 5 25 3 + 1 + 2

0 : 3 1000 – 999 78/39 68/17 30/6 30/5

3 + 2 – 5 675/675 (1 + 1) . 1 32/3 23/2 55/54 2.2 + 2

0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

5–5 30 1+15–3 9:3 419 22 7+2–4 (12–2):2

32–3

0.8 2 9/9 90–87 100–98 31+1 18:6 32–4 25–19

34.0 3 11:1 48:12 21 10:2 36:1 42–6

0 4 1.1 30/6 30:15 3+1+2

0 3 1.1 30/5

0 6

AU

LA 13

C E D E R J 71

ATIVIDADE

Como você pode observar, esse dominó tem igualdade única de

resultados para a maioria das situações. Se o dominó deste tipo tiver

poucas peças, os alunos rapidamente memorizarão as respostas e, de

acordo com as peças recebidas, o vencedor estará, de certa forma,

predeterminado. Nesse sentido, o aluno não terá como recorrer a

estratégias para vencer o jogo. Algumas vezes, os alunos se unem e, em

vez de jogarem, procuram, em conjunto, montar a seqüência como se

fosse um quebra-cabeças.

6. Idealize um dominó com a estrutura que achar mais conveniente. Confi ra se as operações propostas estão corretas e confeccione com cartolina o seu dominó.

COMENTÁRIO

O primeiro passo é idealizar seu dominó, ou seja, fazer um rascunho antes

de utilizar um material para confeccioná-lo. Se a estrutura escolhida for a

do dominó tradicional, construa uma tabela com as equivalências.

Alguns dominós não possuem essa estrutura. Nesse caso, é preciso

abrir mão da fl exibilidade das jogadas para tornar possível a exploração

de um número maior de elementos matemáticos. É comum encontrarmos

em lojas e revendedores especializados dominós desse tipo.

Por meio do exemplo a seguir, você vai entender isto de forma

mais clara.

444+5563 1000 230 1 8, 5 17:2 103 102.10 5 X 15

6:2

98:2:2

24,5 2 24:12 1/8 2-3 87+13 100 243 7.7.7 6 – 7 –1 15

75

45/3


C E D E R J72

UM POUCO DE NUMEROLOGIA

O número tem encantado os homens através dos tempos, com

idéias algumas vezes não-científi cas. A humanidade tem procurado

interpretações místicas para os números.

Segundo o site: http://estrelaguia.virgula.terra.com.br/numerologia/

numerologia.php Acessado em: 21/3/05

A Numerologia Cabalística é uma das ciências esotéricas mais

antigas que existe. Com a numerologia, você pode descobrir mais

sobre sua vida pessoal, amorosa e fi nanceira, utilizando as letras

de seu nome e sua data de nascimento.

Lins (1997) discute o uso da numerologia para fi ns didáticos e

afi rma que:

Na numerologia, o número 2 pode, por exemplo, signifi car o homem,

e o 3, a mulher; que número você esperaria que representasse o

casamento? Se pensou 5, acertou, mas não se engane: a noção

central é de união, e não de adição (p. 19).

De qualquer forma, acreditamos que o jogo ou a brincadeira que

apresentaremos a seguir poderá ser interessante e curioso para estimular

os alunos a trabalharem com as operações. Este jogo é denominado

Código Secreto, e foi extraído do livro Jogos e atividades matemáticas

do mundo inteiro, de Claudia Zaslavsky. Lá você encontrará outras

atividades para o seu trabalho em sala de aula.

Código Secreto (Parte I) dos antigos hebreus e gregos

Ruy e Bárbara empregaram um código secreto para decifrar o valor

de seus nomes. O nome Ruy tem o valor de 64. O nome de Bárbara

tem o valor de 43. O nome Ruy só tem três letras, ao passo que o

de Bárbara tem sete letras. Embora o nome de Bárbara seja mais

comprido que o de Ruy, o valor é menor. Isso surpreende você?

Ruy e Bárbara estão empregando um sistema muito antigo. Ele

remonta aos antigos hebreus e gregos, há mais de 2 mil anos. Em vez

de inventarem símbolos para os números, como fi zeram os antigos

egípcios, os hebreus e gregos usavam as letras de seus alfabetos como

numerais. Os símbolos que empregamos hoje, como 0, 1, 2 e 3,

A autora denominou Parte I porque, a seguir, ela apresenta um outro jogo semelhante a esse, que ela denomina Código Secreto (Parte II), e que se situa na fase histórica dos antigos hebreus e gregos.

AU

LA 13

C E D E R J 73

ATIVIDADES

foram inventados na Índia e levados para a Europa bem mais

tarde por novos norte-africanos de língua árabe. Chamamos

esses números de indo-arábicos (ou hindu-arábicos).

As duas primeiras letras do alfabeto hebraico são aleph e bet.

No alfabeto grego, as duas primeiras letras são alfa e beta. Dá

para adivinhar de onde vem a palavra portuguesa alfabeto,

não? Os hebreus e gregos usavam essas letras para representar

os números 1 e 2 (ZASLAVSKY, 2000 pp. 73-74).

Um argumento bastante usual do professor que já atua em sala de aula, em particular o professor da rede pública de ensino, é o de que não utiliza outras metodologias por falta de material. Na maioria das vezes, é possível construir jogos com materiais de baixo custo. Com criatividade, é possível produzir materiais interessantes. Este jogo é um bom exemplo de que muito pouco é necessário para que o professor utilize jogos em sala de aula. Mas, atenção, não devemos perder de vista nossa postura de reivindicação! Os materiais estruturados e que podem ser adquiridos no mer-cado também possuem sua beleza.

!

7. Utilize a tabela e brinque à vontade. Aqui vão algumas sugestões:

a. Quanto vale o seu nome?

b. Calcule quanto valem os nomes de seus amigos.

c. Calcule quanto valem os nomes das pessoas de sua família.

d. Os nomes mais “compridos”, ou seja, com maior quantidade de letras têm sempre valores mais elevados?

e. Um nome com três letras que tenha um valor acima de 100 é possível? Justifi que.

f. Qual o número mínimo de letras que um nome deve ter para que o valor seja acima de 100?

A B C D E F G H I J K L M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Assim, no exemplo citado por Zaslavsky (2000, p. 73):

Ruy calculou o valor do seu nome usando R = 18; U = 21 e Y = 25,

logo,

Ruy = 18 + 21 + 25 = 64.

E Bárbara usou B = 2, A = 1, R = 18; logo, Bárbara = 2 + 1 + 18

+ 2 + 1 + 18 + 1 = 43.

Para jogar, você vai precisar do seguinte material: folha

de papel e uma caneta ou lápis.

Agora veja como jogar: utilizando o nosso alfabeto, copie

a tabela a seguir em uma folha de papel.


C E D E R J74

COMENTÁRIO

Algumas respostas são pessoais. Brinque e converse com seu tutor sobre as

respostas e outras possibilidades de perguntas que você poderá fazer para

seus alunos.

8. TRIÂNGULOS NUMÉRICOS

a. No triângulo a seguir, a soma dos números que estão nos círculos, em cada lado, é sempre 20. Complete os círculos, utilizando os algarismos de 1 a 9, sem repetição.

b. No triângulo a seguir, a soma dos números que estão nos círculos, em cada lado, é sempre 17. Complete os círculos, utilizando os algarismos de 1 a 9, sem repetição.

COMENTÁRIO

Atribua valores aleatoriamente e registre suas tentativas. Um outro caminho é escrever algumas adições com quatro números cujos resultados sejam 20 ou 17. Nos vértices, fi caram os números que aparecem em, pelo menos, duas adições.

Apresentamos, a seguir, mais um jogo de fácil confecção, envolvendo

as operações. Você poderá criar variações, mudando os valores dos

números e sugerindo o uso de outras operações.

JOGO DO ZIGUE-ZAGUE

O jogo é constituído de um tabuleiro com 99 números, tendo um

ponto de partida e um ponto de chegada, como mostra a Figura 13.1.

Você encontrará esse tabuleiro em tamanho maior no Módulo Prático.

20

17

AU

LA 13

C E D E R J 75

Para o jogo, são necessários três dados e um peão para cada

jogador. Os peões são colocados na linha de partida, e o objetivo do

jogo é ser o primeiro a alcançar a linha de chegada.

Os jogadores se revezam, lançando os três dados ao mesmo tempo.

Os números obtidos por cada um podem ser somados ou subtraídos em

qualquer ordem, como desejarem.

Assim, se saírem os números 3, 2 e 4, o jogador pode obter os

seguintes resultados:

9 = 2 + 3 + 4

1 = 2 + 3 – 4 ou 1 = 3 + 2 – 4

3 = 2 + 4 – 3 ou 3 = 4 – 3 + 2, podendo colocar o seu peão sobre

o número 9, 3 ou 1.

Cada jogador poderá movimentar apenas uma caixa em cada

jogada, para cima, para os lados ou em diagonal. Deve ser jogado com

duas a quatro pessoas. O jogo pode ser adaptado, tanto para trabalhar

a multiplicação e a divisão quanto para números negativos.

Partida

Chegada

Figura 13.1: Tabuleiro do jogo do zigue-zague.

2 9 7 4 6 8 7 5 9

5 4 3 8 9 1 2 5 4

8 7 6 3 5 4 9 2 7

6 2 5 7 8 7 6 4 3

8 7 3 6 4 1 2 5 1

2 4 8 5 9 7 6 8 5

7 3 2 1 5 4 5 7 3

5 8 7 2 8 7 6 9 8

8 4 5 6 7 3 6 5 3

2 8 1 8 10 7 9 4 5

7 5 6 9 4 2 8 1 3


C E D E R J76

AGORA É A VEZ DOS NÚMEROS INTEIROS

As operações com números inteiros, positivos e negativos, são, de

maneira geral, difíceis de ser assimiladas pelos alunos, embora memorizar

as regras para realizar as operações seja aparentemente um facilitador.

Um professor que já atua em sala de aula constata com freqüência um

esquecimento das regras e, conseqüentemente, erros constantes quando

os alunos têm de fazer operações envolvendo esses números. O jogo

Matrix, que apresentamos a seguir, pode ser aplicado para memorização

ou construção do conceito de adição dos números inteiros relativos.

Para introduzir, não devem ser usados sinais no número e, sim, cores

diferentes; por isso, deve-se combinar anteriormente que determinada cor

corresponda a pontos ganhos e outra corresponda a pontos perdidos.

Vamos ao jogo!

MATRIX

O Matrix é um jogo de tabuleiro com peças que podem ser

feitas de tampas de garrafa PET, nas quais colamos números positivos

e negativos.

(Imagem disponível em http://revistaescola.abril.com.br/edicoes/

0177/aberto/faca.shtml

Nesse jogo, os alunos devem organizar-se em duplas. Os alunos

posicionam no tabuleiro 35 tampas com números e mais uma que deve

ter um curinga. Decide-se, por meio de “par ou ímpar” entre os alunos,

quem começa a partida. O aluno que começa decide também se jogará

na vertical ou na horizontal, e essa situação deve ser mantida até o fi nal

do jogo: um jogador joga na horizontal e outro na vertical.

AU

LA 13

C E D E R J 77

ATIVIDADE

O primeiro jogador, então, retira o curinga do tabuleiro e, em

seguida, um número da mesma linha (se escolheu jogar na horizontal)

ou coluna (se preferiu a vertical). O segundo só pode retirar sua peça da

linha ou da coluna da qual foi tirada a última peça. A partida continua

assim e termina quando não for mais possível realizar jogadas. Ganha

o jogo quem tiver a maior soma total de pontos.

O interessante desse jogo são os desenvolvimentos do cálculo

mental e as estratégias que os alunos começam a desenvolver, a fi m de

pegar a maior peça positiva ou a menor negativa.

9. Após o jogo, situações podem ser exploradas. Veja:

O que aconteceu com esses participantes? Considere que:

a. Paulo estava com vinte pontos positivos na quarta jogada. Quando terminou a quinta rodada, estava com treze pontos positivos.

b. Júlia estava com treze pontos negativos na terceira jogada e terminou o jogo com cinco pontos positivos.

c. Após a quarta jogada, Guilherme estava com oito pontos positivos. Sabendo que ele escolheu as cartas + 10 na terceira jogada e – 2 na quarta jogada, com quantos pontos ele fi cou?

COMENTÁRIO

Faça a atividade de duas formas: primeiro usando o cálculo mental, depois registre as operações.O próximo jogo envolve o conceito de múltiplos e divisores. O material que será utilizado é um jogo que se encontra à venda em lojas de brinquedos e pode ser adquirido a preços acessíveis. Pode também ser confeccionado por alguém habilidoso. A sugestão desse jogo foi retirada da Revista Nova Escola, de março de 2000.


C E D E R J78

ATIVIDADE FINAL

Pega-varetas – O conceito de divisibilidade

Os pontos atribuídos às varetas são:

Regras do trabalho

1. A pontuação das varetas foi alterada dos valores convencionais.

2. A classe é dividida em grupos de três ou quatro alunos. Todas as equipes recebem

um pega-varetas. Alunos e professor combinam quantas rodadas terão as partidas.

Tirando par ou ímpar, cada grupo escolhe quem vai começar.

3. O vencedor lança as varetas sobre uma mesa ou outra superfície plana. Depois,

tenta pegá-las uma a uma, sem fazer as outras mexerem. Enquanto conseguir

isso, continua a jogar. Caso contrário, a partida é interrompida e os valores de

cada vareta retirada são multiplicados uns pelos outros, obtendo-se o número

de pontos daquela jogada. A partir daí, o professor estimula o grupo a sugerir outras

combinações que levem ao mesmo produto. O número de sugestões oferecidas pela

equipe é anotado num papel, e a partida recomeça com a criança da vez.

4. Vence o grupo que conseguir propor mais opções.

Exemplos colhidos na sala de aula

• Você tirou varetas azuis. Que outras poderiam substituí-las, de modo que o total

de pontos continuasse o mesmo? E quais alterariam o resultado fi nal?

Resposta: As três azuis multiplicadas resultam em 216 pontos (6 x 6 x 6 = 216). Para

descobrir outras combinações que resultariam nesse número, é preciso fatorar

(decompor) 216 em números primos. Você vai encontrar 23 x 33 . Isto mostra que

as três varetas azuis poderiam ser trocadas por três amarelas e três vermelhas

(2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 216). Varetas verdes e pretas não teriam utilidade, pois não

há nenhum número que, multiplicado por 5 ou 30, resulte em 216.

• É possível fazer 80 pontos numa jogada sem tirar nenhuma vareta verde?

Resposta: Fatorando o número 80, conseguimos 24 x 5. Como a verde vale 5 e

o número só é formado pelos números primos 2 e 5, seria impossível fazer 80

pontos sem tirá-la.

Cor Pontos

Amarela 2

Vermelha 3

Verde 5

Azul 6

Preta 30

AU

LA 13

C E D E R J 79

• Em determinada jogada, você alcança 72 pontos tirando três varetas de cores

diferentes. Que cores foram estas? Há possibilidade de haver mais de uma vareta

com a mesma cor?

Resposta: O número 72 é formado pelos fatores 23 x 32, portanto, por três varetas

amarelas e duas vermelhas. Mas como você tirou três cores diferentes, vai ter de

trocar varetas para conseguir a terceira cor. A solução é tirar uma amarela e uma

vermelha e substituí-las por uma azul. No fi nal, fi cam duas amarelas, uma vermelha

e uma azul (2 x 2 x 6 x 3 = 72).

• O produto vale 180 pontos. Encontre pelo menos duas combinações possíveis

que correspondam a esse mesmo número de pontos.

Resposta: Várias possibilidades foram encontradas pelos alunos de Maria José,

sempre calcadas nos divisores de 180: uma preta e uma azul; duas amarelas, duas

vermelhas e uma verde; ou, ainda, uma amarela, uma vermelha, uma azul e uma

verde.

(NENO, 2000, pp.10-11)

CONCLUSÃO

Em muitas situações, nas aulas de Matemática, é possível observar,

em alguns momentos, no aluno, uma angústia e uma ansiedade devido

ao receio da não compreensão dos conteúdos propostos.

O jogo é mais uma metodologia de ensino, a fi m de minimizar a

resistência em relação à Matemática, pois, através do lúdico, o professor

tem mais um recurso para proporcionar um processo de aprendizagem

mais agradável ao aluno.

A utilização do jogo em sala de aula, aliado ao trabalho de

construção de conhecimento por parte do professor, desenvolve o

hábito de explorar novas possibilidades. Nessa perspectiva, o aluno

abandona a utilização do que já está pronto e busca suas próprias

construções, podendo modifi car, inclusive, sua relação com o professor.

Essa metodologia deve estar inserida na aula, e não deve ser feita como

um apêndice ao fi nal da aula ou momento para que os alunos brinquem

sem que haja uma ação pedagógica.


C E D E R J80

R E S U M O

Jogos com números podem ser interessantes para explorar o cálculo mental, as

propriedades das operações e favorecer a melhoria da relação do aluno com a

Matemática. Os jogos e desafi os apresentados exploraram a adição, a subtração,

a multiplicação e a divisão.

É possível utilizar a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão, a potenciação

e a radiciação de números reais nos jogos, com a fi nalidade de aliar o ensino à

vivência do aluno.

AUTO-AVALIAÇÃO

É importante que você perceba a importância do uso de jogos no ensino da

Matemática. Refl ita sobre isso, para que o jogo não seja usado como um momento

de diversão no tempo que sobra ao fi m de uma aula. Você fará uma boa auto-

avaliação se, a partir do que lhe foi apresentado, jogar ou analisar alguns jogos com

outras pessoas praticando, para que você perceba as possibilidades de trabalho

com o mesmo.

Atividade 1

Aqui estão duas possíveis respostas; encontre outras:

5 x 5 + 5 = 30.

33 – 3 = 30.

Atividade 2

O número é 57:

57 + 18 = 75.

RESPOSTAS

AU

LA 13

C E D E R J 81

Atividade 3

Atividade 4

Estas são algumas possíveis respostas. Você poderá encontrar soluções diferentes

dessas.

44 – 44 = 0.

44 : 44 = 1.

(4:4) + (4:4) = 2.

(4 . 4 – 4) : 4 = 3.

(4 – 4) : 4 + 4 = 4.

(4 . 4 + 4) : 4 = 5.

(4 + 4) : 4 + 4 = 6.

44 : 4 – 4 = 7.

(4 + 4) : 4 . 4 = 6.

4 : 4 + 4 + 4 = 9.

( 44 – 4 ) : 4 = 10.

= 1 = 4 = 8 = 6

Resolvendo equações e inequações: para além

da álgebra


• Utilizar software de construção de gráfi cos para resolver equações e inequações.

• Estudar equações e inequações sob o ponto de vista geométrico.

• Identifi car e aprender a representar grafi camente as soluções de equações e inequações.

Pré-requisitos

Para acompanhar esta aula, é necessário que você revise funções que aprendeu nas aulas anteriores, principalmente no que se refere ao gráfi co de cada uma delas. É importante também saber resolver

equações do 1º e do 2º graus.

objetivos

Meta da aula

Instrumentalizar o trabalho com equações e inequações.

14AU

LA

Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Resolvendo equações e inequações: para além da álgebra

C E D E R J84

As equações aparecem com certa freqüência nas resoluções de problemas

matemáticos, e torna-se fundamental reconhecê-las e resolvê-las. Durante seu

curso de Licenciatura em Matemática, você deve ter tido a oportunidade de estudar

vários tipos de equações: as polinomiais, as trigonométricas, as exponenciais, as

logarítmicas, as diferenciais ou algumas em que se misturam mais de um tipo

de equação. Dentre estas, o estudo das equações polinomiais do 1º e do 2º

grau se faz presente nas grades curriculares do Ensino Fundamental e Médio.

Por isso, nesta aula, voltaremos nossa atenção para o estudo dessas equações.

Freqüentemente, observamos que a resolução de equações e inequações não é uma

tarefa simples para os alunos. Estes reproduzem os procedimentos de resolução sem

uma preocupação com a representação gráfi ca. Isso acontece porque as práticas

pedagógicas de grande parte dos professores de matemática ainda se pautam

numa concepção fragmentada da construção do conhecimento.

INTRODUÇÃO

Esperamos que você, futuro professor de Matemática, proporcione junto a seus alunos atividades que explorem as diferentes representações: algébrica, por meio de tabelas e gráfi ca.

!

Nesta aula, daremos ênfase na construção de soluções gráfi cas para as equações

e inequações. Utilizaremos um software, chamado Graphmática, que possui

acesso gratuito na internet. As soluções da equação ou inequação serão

visualizadas por meio de uma interpretação gráfi ca.

Em muitas das escolas onde atuará, é provável que você não tenha acesso a computadores para desenvolver atividades com seus alunos. Nesse caso, um material que você poderá utilizar é o papel quadriculado ou milimetrado.

!

Não deixe de acessar as aulas desta disciplina na Plataforma. Lá você encontrará diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem.

!

AU

LA 14

C E D E R J 85

Acesse a página e clique primeiro em download (Versão 2003 P) e a seguir em setup.exe. Pronto! Você já tem o Graphmática instalado no computador. Agora, é só aprender a usá-lo!

Figura 14.1: Tela inicial do Graphmática.

CONHECENDO O SOFTWARE GRAPHMÁTICA

Para facilitar a construção de gráfi cos, podemos usar alguns

tipos de ferramentas computacionais, que são softwares especialmente

elaborados para o uso na Matemática.

Como exemplos de softwares matemáticos para computadores, podemos citar o Maple, o Mathematica, o MATLAB, o Derive e o Graphmática. Além disso, você ainda pode optar pelas calculadoras gráfi cas.

!

Nesta aula, usaremos apenas gráfi cos gerados pelo Graphmática,

de autoria de Carlos Malaca e Keith Hertzer, um programa gratuito de

desenho para gráfi cos que é encontrado na internet e apresenta facilidade

de acesso.

Você pode obter este programa por meio da internet, acessando

o endereço www107.pair.com/cammsoft/graphmatica.html. Mesmo que

o software não esteja instalado no seu computador ou no computador

do seu pólo, você poderá baixá-lo. É muito simples! Veja as instruções

a seguir (que também são dadas na própria página).

A tela que faz a interface com você está representada a seguir.

Neste espaço em branco, você deverá digitar as leis das funções que você deseja traçar os gráfi cos.


C E D E R J86

Utilizando um software para esboçar gráfi cos, você não perde

tempo na construção de tabelas, no cálculo de imagens e de derivadas

e na resolução de equações; ao contrário, você otimiza seu tempo para

investigar outras questões.

É importante que você fi que atento aos gráfi cos. Analise sua

construção e seu comportamento. Caso você tenha dúvidas, o próprio

software constrói tabelas no intervalo que você deseja.

Veja, a seguir, a simulação do gráfi co da função y = 2x, com a

tabela ao lado.

Para construir o gráfi co da função y = 2x, você deve digitar

y = 2^x, pois a potenciação é representada pelo símbolo “^”, o acento

circunfl exo. Para aparecer a tabela que está ao lado do gráfi co, clique

onde está mostrando a seta na ilustração a seguir.

Figura 14.2: Gráfi co da função y = 2x no Graphmática.

Clicando aqui, aparecerá a tabela com alguns pontos utilizados na construção do gráfi co.

Aqui foi digitada a lei da função, y=2^x.

AU

LA 14

C E D E R J 87

Alguns símbolos de operações matemáticas têm códigos diferentes neste software e em programas como o Excel. No Graphmática, você tem acesso a esse código clicando em ajuda e depois em tabela de operadores. Veja a tabela a seguir com as operações mais usuais.

Operação Símbolo

multiplicação *

divisão /

potenciação ^

radiciação sqrt

REPRESENTANDO EQUAÇÕES GRAFICAMENTE

No Ensino Fundamental e Médio, grande parte dos problemas

em Matemática recai em equações de 1º e 2º graus. Quando começamos

a trabalhar com os alunos os problemas em que buscamos algebrizar a

Aritmética, estamos introduzindo, mesmo de forma informal, o estudo

de equações.

Muitas vezes, esse estudo começa antes da 5ª série. Nesta etapa,

os alunos habitualmente não usam letras, mas símbolos, como o

famoso “quadradinho”. O objetivo é buscar generalizar o pensamento

de problemas como: Qual o número que somado com 5 dá 8?

A partir da 5ª série, começamos a introduzir o uso de letras

buscando uma generalização mais complexa do pensamento algébrico.

Paralelamente, o universo de números que o aluno trabalha é ampliado

ao longo do Ensino Fundamental: números naturais, racionais positivos,

inteiros, racionais, irracionais e reais. As difi culdades dos problemas que

envolvem equações também se tornam mais complexas.

Resolvemos algebricamente as equações do 1º grau, nas quais

buscamos encontrar uma incógnita, que é um número em um universo

defi nido: natural, inteiro, racional, irracional ou real.

Assim, a título de ilustração, a solução da equação 5x – 10 = 0,

tomando como universo, por exemplo ú, é x = 2.

E qual a representação gráfica da solução dessa equação?

A resposta é: depende!

Quando consideramos o universo como ú, a representação será

a abscissa x = 2 representada sobre a reta.


C E D E R J88

Figura 14.3: Solução da equação 5x–10 = 0 em ú.

-1 0 1 2 3 4 x

Neste caso, a solução pertence a um conjunto de dimensão 1.

Quando consideramos o universo como ú2, como será essa repre-

sentação?

Analise e perceba que agora temos dois valores envolvidos, x e y,

abscissa e ordenada, respectivamente.

A equação 2x – 10 = 0 nos diz que x = 5 e y é qualquer, isto é,

pode possuir qualquer valor.

Vamos tomar alguns valores de y e verifi car quanto vale x.

y vale x vale (x,y)

-5 5 (5,-5)

-1,5 5 (5,-1,5)

0 5 (5,0)

25

(5, 2 )

3 5 (5,3)

20 5 (5,20)

Isso nos dá, geometricamente, em 2, uma reta paralela ao eixo

y que tem abscissa igual a 5. Veja:

Figura 14.4: Solução da equação 2x–10 = 0 em 2.

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

-5

-10

-15

5

10

15

AU

LA 14

C E D E R J 89

Resolver a equação 2x – 10 = 0 em ú2 é o mesmo que encontrar

todos os pontos do ú2 em que x = 5, ou seja, todos os pares da forma

(5, y) em que y é um número real.

Dessa forma, é importante fi car atento na dimensão na qual se está

resolvendo a equação. A mesma equação 2x – 10 = 0 no ú3 nos dá como

solução ternos ordenados da forma (5, y, z), pois, como não temos restrição

alguma sobre as variáveis y e z, somente temos a condição de que 2x – 10 = 0,

ou seja, x = 5. Neste caso, o conjunto solução é um plano paralelo ao

plano OYZ afastado cinco unidades à direita desse plano. Você consegue

visualizar tal situação? Observe o conjunto solução a seguir.

Figura 14.5: Solução da equação 2x–10 = 0 em ú3.

4

3

2

1

5

plano de equação x = 5

plano YZ

Nesta aula, quando nada for dito sobre o conjunto universo na resolução de equações e inequações, convencionamos que o conjunto solução é umsubconjunto de .ú


C E D E R J90

RESOLVENDO EQUAÇÕES GRAFICAMENTE

Para encontrar uma solução gráfi ca de uma equação, usaremos

a representação da equação em ú2.

Para isso, aplicaremos como recurso a interpretação de cada

membro da equação como uma função de x.

Primeiro trabalharemos com a equação 2x – 10 = 0.

2x – 10 = 0

y1 y2

As duas funções envolvidas (y1 e y2) são, respectivamente, a função

polinomial do 1º grau e a função constante, cujos gráfi cos são retas.

A interseção dessas duas funções acontece no ponto (5, 0).

Como queremos descobrir apenas o valor de x, temos a solução da

equação para x = 5. Veja na Figura 14.6.

ATIVIDADE

1. Você acabou de ver que a mesma equação possui diferentes soluções, isso vai depender da dimensão em que se está trabalhando. Pensando agora na equação x2–9 = 0, resolva-a quando o conjunto universo for:

a. ú

b. ú2

c. ú3

AU

LA 14

C E D E R J 91

Figura 14.6: Representação de y1 = 2x–10 e y2 = 0.

-30 -25 -20 -15 -10 -50

5 10 15 20 25 30-5

-10

-15-15

5

10

15

A igualdade acontece para x = 5

Quando modifi camos a equação por uma equação equivalente,

a solução é a mesma, mas a representação gráfi ca não. Para que você

visualize esse fato, vamos trabalhar com a equação 2x = 10. Observe

como mudam as leis das duas funções:

2x = 10

y1 y2

Nos dois casos, estamos igualando duas funções. Isso indica que

pretendemos encontrar o valor de x que torna iguais essas funções,

isto é, o valor das duas funções que possuem imagens iguais.

Quando a equação considerada é 2x–10=0, as funções

que esboçamos no gráfi co são y1 = 2x–10 e y2 = 0, como você viu

na Figura 14.6; já no caso em que a equação que se toma é 2x = 10,

os gráficos que iremos traçar são das funções y1 = 2x e y2 = 10,

conforme é apresentado na Figura 14.7.

Figura 14.7: Representação de y1 = 2x e y2 = 10.

-30 -25 -20 -15 -10 -50 5 10 15 20 25 30-5

-10

-15

5

1010

15

A igualdade acontece para x = 5

Em outras

palavras, estamos

procurando o ele-

mento do domínio

que possui imagens

iguais; nos dois

casos é o 5.


C E D E R J92

UMA DIFERENÇA IMPORTANTE

É importante registrar a diferença entre as equações y = f(x)

e f(x) = 0.

Quando consideramos y=f(x), temos uma relação entre duas

grandezas, representadas pela lei que rege essas duas grandezas, é a lei

de uma função.

Já quando temos f(x) = 0, referimo-nos aos valores de x que

anulam uma determinada função.

Veja o que acontece quando digitamos no software as duas

equações y = 5x – 10 e 5x – 10 = 0.

Figura 14.8 Figura 14.9

y = 5x–10 5x–10 = 0

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30-5

-10

-15

5

10

15

-6 -4 -2 2 4 6

2

4

-2

-4

0

A equação da Figura 14.8 representa uma reta cuja lei é y = 5x – 10;

já a equação 5x – 10 = 0, identifi cada na Figura 14.9, representa todos

os pontos que possuem abscissa 2, isto é, x = 2. Observe que nos dois

casos o programa desenha os gráfi cos no ú2. Mais adiante, resgataremos

a discussão sobre o universo onde resolvemos as equações.

Também é fácil visualizar a solução pela representação gráfi ca da equação. Como vimos, a solução da equação 5x–10 = 0 em ú2 é {(2, y) | y ∈ ú}, assim, como queremos apenas o valor da abscissa, a solução em ú será x = 2.

!

AU

LA 14

C E D E R J 93

RESOLVENDO INEQUAÇÕES GRAFICAMENTE

Vamos analisar geometricamente a solução das inequações do 1º grau.

Para isso, considere a inequação 2x–10 > 0. Desejamos observar grafi camente

que valores reais de x tornam verdadeira a sentença 2x –10 > 0.

Tomando como referência as funções y1 = 2x – 10 e y2 = 0, vamos

analisar para que valores de x a função y1 será maior que a função y2.

Observe na Figura 14.10 que isto acontece a partir de x = 5, pois neste

intervalo, o gráfi co da função y1 está acima do gráfi co da função y2.

-15 -10 -5 5 10 15

5

10

5

10

Figura 14.10: Representação gráfi ca da inequação 2x – 10 > 0.

x > 5

Se, em contrapartida, queremos representar a inequação

equivalente a 2x > 10, as funções envolvidas serão y1 = 2x e y2 = 10.

Da mesma maneira que observamos na Figura 14.10, o gráfi co da função

y1 está acima do gráfi co da função y2 para valores de x maiores que 5.

Figura 14.11: Representação gráfi ca da inequação 2x > 10.

x > 5

-30 -25 -20 -15 -10 -50

10 15 20 25 30

5

10

15

-5

-10

-15


C E D E R J94

Ao manipularmos a inequação, mas continuando com inequações equivalentes, modifi camos as funções envolvidas, porém não alteramos o conjunto-solução.

!

Não se esqueça de que a solução da inequação x > 5 em ú2 é um conjunto infi nito de pares ordenados com abscissa x maior que 5 e ordenada qualquer. Isso representa a região do plano esboçada na ilustração a seguir. Podemos escrever esse conjunto da forma {(x,y)/x e y∈ R e x > 5}.

!

Figura 14.12: Solução da inequação x > 5 em ú2.

-15 -10 -5 0 5 10 15

5

-5

RESOLVENDO GRAFICAMENTE EQUAÇÕES DO 2º E 3º GRAUS

Vamos resolver agora a equação polinomial do segundo grau

x2 – 4 = 0. Primeiramente, quando trabalhamos com as funções y1 = x2 – 4 e

y2 = 0, observamos seus pontos de interseção que, conforme nos mostra

a Figura 14.13, ocorre nas abscissas dos pontos destacados que são os

valores 2 e –2.

Manipulando a equação original e chegando à igualdade

x2 = 4, consideramos agora as funções y1 = x2 e y2 = 4. Seus gráfi cos estão

representados na Figura 14.14. Observe que os pontos de interseção têm

abscissas 2 e –2, da mesma forma que na Figura 14.13.

Na Figura 14.13, os pontos de interseção têm coordenadas (-2, 0) e (2, 0), pois estamos interceptando pela reta de equação y = 0, que é o eixo x; já na Figura 14.14, os pontos de interseção são (-2, 4) e (2, 4), pois, nesse caso, a função que intercepta a parábola é uma reta de equação y = 4.

!

AU

LA 14

C E D E R J 95


y1 = x2 – 4 e y2 = 0 y1 = x2 e y2 = 4

-6 -4 -2 2 4 6

2

4

-2

-4

0

-6

-8

-6 -4 -2 2 4 6

2

4

-2

-4

0

-6

ATIVIDADE

2. Resolva algebricamente a equação x2–3x+2 = 0 e mostre que a solução encontrada pode ser visualizada por meio dos gráfi cos das funções envolvidas na igualdade, utilizando para isso os pares de funções a seguir.

a. y1 = x2 – 3x + 2 e y2 = 0.

b. y1 = x2 – 3x e y2 = 2.

c. y1 = x2 e y2 = 3x - 2.

d. y1 = –3x + 2 e y2 = –x2.

COMENTÁRIO

Utilize nas construções dos gráfi cos o software Graphmática ou algum

outro que construa gráfi cos. Esta atividade faz com que você visualize

sempre a mesma solução, trabalhando com duplas de funções diferentes,

desde que essas duplas representem equações equivalentes à original.

A resposta encontra-se no fi nal da aula.


C E D E R J96

Vamos fazer um exemplo de equação polinomial do 3°. Por

exemplo, resolver a equação x3–x2 = 0.

Algebricamente, encontramos duas soluções. São elas 0 e 1. Observe

a resolução da equação, em que usamos a fatoração para resolvê-la:

x3–x2 = 0 x2 (x – 1) = 0 x2 = 0 ou x–1 = 0 x = 0 ou x = 1

Lembre-se de que uma equação polinomial do 3° grau tem

exatamente três raízes complexas. Então, por que encontramos duas?

A solução x = 0 é uma raiz dupla, já que na equação envolvida

o polinômio p(x) = x aparece elevado ao quadrado.

Vamos aos gráfi cos. Para isso, analisaremos dois pares de funções:

y1 = x3 – x2 e y2 = 0; y1 = x3 e y2 = x2.

Para construí-las, utilizamos o software Graphmática. Observe

na ilustração a seguir os pontos de interseção das funções. Na Figura

14.15, vemos mais facilmente que são dois pontos, o de abscissa 0 e

o de abscissa 1. Já na Figura 14.16, visualizamos o ponto de abscissa

0, e o ponto de abscissa 1 fi ca mais difícil, observe o tracejado. A

reta tracejada possui equação x = 1, mas como acreditar nisso?

Nesse caso, a comprovação pode ser feita substituindo x = 1 nas funções

y1 = x3 e y2 = x2 e verifi cando que para esse valor de x as imagens são

iguais, isto é, 13 = 12 = 1.


y1= x3 – x2 e y2= 0 y1 = x3 e y2 = x2

-6

2

4

-2

-4

0

-4 -2 2 4 60 1 2 3

1

2

3

–1

–2

–3

–3 –2 –1

AU

LA 14

C E D E R J 97

RESOLVENDO AS INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

Vamos resgatar a função y = x2 – 4 e resolver a inequação x2 – 4 > 0

em ú, utilizando, para isso, o mesmo enfoque dado às equações.

Caso 1: Considerando as funções y1 = x2 – 4 e y2= 0, devemos

observar para que valores de x, a função y1 é maior que a função y2. Veja

na Figura 14.17 que isso acontece para x > 2 ou para x < –2.

Caso 2: Transformando a inequação x2– 4 > 0 em x2 > 4, devemos

analisar agora as funções y1 = x2 e y2 = 4. Verifi que, na Figura 14.18,

que a função y1 é maior que a função y2 para os mesmos valores de x

encontrados no caso 1.

O conjunto solução da inequação x2 – 4 > 0 pode ser escrito pelo

menos de duas formas diferentes:

S = {x ∈ ú / x > 2 ou x < –2} ou S = ]- ∞ , -2[ ∪ ]2, + ∞ [

Figura 14.17

y1 = x2 – 4 e y2= 0

-6

2

4

-2

-4

0-4 -2 2 4 6

Figura 14.18

y1 = x2 e y2 = 4

x < –2 x > 2

-6

-8

-6

2

4

-2

-4

0

-4 -2 2 4 6

x < –2 x > 2

-6


C E D E R J98

ATIVIDADE

3. Observe o gráfi co das funções f(x) = 2x e g(x) = 32

x+1 a seguir e responda:

-6

2

4

-2

0-4 -2 2 4 6

f g6

a. O gráfi co sugere que as funções f e g são iguais para x = 0 e para x = 2. Isto é verdade? Justifi que.

b. Para que valores de x temos f(x) ≥ g(x), isto é, para que valores de x o gráfi co da função f está acima do gráfi co da função g?

c. Para que valores de x temos f(x) ≤ g(x), isto é, para que valores de x o gráfi co da função f está abaixo do gráfi co da função g?

y

x

AU

LA 14

C E D E R J 99

UM POUCO DE EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS...

Vamos resgatar a trigonometria e mostrar um pouco mais a importância

da análise do gráfi co, usando como ferramenta o software Graphmática.

Vamos começar construindo os gráfi cos das funções f(x) = cos x

e g(x)= sen x e fazer alguns comentários baseados no gráfi co.

Figura 14.19: Gráfi cos de f(x) = cos x e g(x) = sen x.

-6

2

4

-2

-4

0-4 -2 2 4 6

Observando apenas o gráfi co apresentado, você consegue saber

quais as raízes dessas funções? O gráfi co não nos fornece, pois nos eixos

estão indicados somente números inteiros, e as raízes das funções seno

e cosseno são números irracionais, com excessão para a raiz zero da

função seno. Você se lembra quais são elas?

Este problema pode ser resolvido. Para isso, clique no ícone opções

e a seguir em papel do gráfi co, conforme ilustração a seguir.

Figura 14.20: Modifi cando o papel do gráfi co.


C E D E R J100

Aparecerá a tela “Defi nições para os gráfi cos”: nela você poderá

modifi car alguns aspectos do gráfi co. Na primeira, você escolhe o sistema

de coordenadas que deseja usar (retangulares, trigonométricas, polares

ou logarítmicas) e na segunda você modifi ca o layout do plano onde fi ca

o traçado do gráfi co. Para o gráfi co das funções trigonométricas, escolha

a opção Trigonométricas.

Figura 14.21: Escolhendo o sistema de coordenadas.

Um outro recurso muito útil é modifi car os pontos destacados no

eixo x e no eixo y. Vá ao ícone Ver, Intervalo da grelha, onde aparecerá

a seguinte janela:

Figura 14.22: Escolhendo os intervalos do gráfi co.

AU

LA 14

C E D E R J 101

Nessa janela, é só escolher o intervalo do domínio e da imagem

que você deseja que apareça no seu gráfi co.

Veja, agora, o gráfi co das funções f(x) = cos x e g(x) = sen x,

onde passamos para coordenadas trigonométricas e alteramos o plano.

Figura 14.23: Gráfi cos de f(x) = cos x e g(x) = sen x no sistema de coordenadas trigonométricas.

2

4

-2

-4

0-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π 2,5π

Ficou bem melhor, não é?

ATIVIDADE

4. Aproveitando os gráfi cos da Figura 14.23, responda às perguntas sobre algumas equações e inequações trigonométricas.

a. Para que valores de x, entre 0 e 2π, temos cos x = 0?

b. Para que valores de x, entre –2 e 2, temos sen x = 0?

c. Resolva a equação cos x = sen x, para x real.

d. Resolva a inequação cos x > 0, para x entre –2 e 2.

COMENTÁRIO

Os itens a e c serão respondidos a seguir; já as respostas dos itens b e d estão

no fi nal da aula. É importante fi car bem atento ao gráfi co que está trabalhando

e à restrição sobre o domínio das equações e inequações.


C E D E R J102

Para responder ao item a, vamos nos fi xar na função cosseno, cujo gráfi co veremos separadamente.

2

4

-2

-4

0-0,5π-π-1,5π

-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π

2,5π

O conjunto solução deve pertencer ao intervalo ]0, 2[, indicado na fi gura pela seta. A equação cos x = 0 representa a interseção da função y = cos x com a função y = 0, ou seja, estamos encontrando as raízes da função y = cos x.

Essa interseção acontece nos pontos indicados no gráfi co, que são os pontos A= (0,5π; 0) e B= (1,5π; 0).

Portanto, o conjunto solução em ú da inequação cos x = 0 é S = {0,5π; 1,5π}.

O item c é uma equação de domínio real, isto é, devemos encontrar todas as soluções reais que atendem à equação cos x = sen x.

Em primeiro lugar, devemos observar no gráfi co onde acontecem os pontos de interseção das funções envolvidas.

1

2

-1

-2

0-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π 2,5π

AU

LA 14

C E D E R J 103

Os valores de x, identifi cados no gráfi co onde as funções possuem imagens iguais, são -7

4-34

14

54

94

π π π π π, , , , . Será que são somente estes ou existem outros?

Como as funções seno e cosseno são funções periódicas de domínio real, temos infi nitas soluções que se repetem num determinado período. Observe que os valores observados, -7

4-34

14

54

94

π π π π π, , , , , formam uma seqüência

aritmética de razão π, portanto, uma forma de escrever todas as soluções é

segundo a expressão 14

kπ π+ ⋅ , onde k é um número inteiro. Dessa forma,

o conjunto solução da equação f(x) = g(x) é S =14

k kπ π+ ⋅ ∈

/ onde Z .

CONCLUSÃO

Esta aula apresentou uma alternativa didática na resolução de

equações e inequações e que é possível de ser implementada no currículo

do Ensino Médio para explorar principalmente o conceito de função,

tão enfatizado neste segmento. O uso de softwares, aliado às atividades

elaboradas pelo professor, é um importante recurso ao trabalho de sala de

aula, favorecendo a realização de atividades investigativas e diminuindo

o tempo de construção de gráfi cos.

As tarefas matemáticas devem favorecer o desenvolvimento

constante das diferentes representações algébrica e geométrica,

e neste sentido é o gráfi co que favorece essa relação. Utilizar o plano

cartesiano é imprescindível, uma vez que permite desenvolver conceitos

importantes tais como domínio e imagem de uma função.

Neste sentido, interpretar grafi camente a resolução de uma

equação faz com que você conecte vários tópicos da Matemática

numa só atividade.


C E D E R J104

ATIVIDADE FINAL

1.Utilizando o Graphmática, construímos o gráfi co das funções f(x) = 2x e g(x) = x2.

Com base no gráfi co, responda:

a. Determine os valores positivos de x, para os quais f(x) = g(x).

b. Para que valores positivos de x, temos f(x) ≥ g(x)?

c. Para que valores positivos de x, temos f(x) ≤ g(x)?

d. Quantas raízes reais possui a equação 2x –x2 = 0?

e. O que você pode afi rmar sobre a raiz negativa da equação f(x) = g(x)? Existe

alguma forma de encontrá-la?

AU

LA 14

C E D E R J 105

R E S U M O

O estudo da Álgebra não deve estar reduzido ao uso de letras e equações.

A visualização geométrica contribui signifi cativamente no desenvolvimento do

pensamento matemático, especifi camente no pensamento algébrico. A investigação

gráfi ca é um processo importante, e deve ser bastante trabalhada no Ensino Médio.

Além disso, a resolução de equações e inequações contribui como uma aplicação de

conceitos importantes, tais como variável e função, pois no trabalho com funções

estabelecemos relações entre variáveis. Outro ponto importante é aprender a utilizar

softwares gráfi cos, principalmente os de domínio público, pois a informática está

cada vez mais presente em nossas vidas.

Na maneira como resolvemos equações e inequações, foi necessário, em primeiro

lugar, visualizar as funções trabalhadas. É importante enfatizar também que

equações equivalentes têm o mesmo conjunto solução, mas suas representações

gráfi cas são diferentes.

AUTO-AVALIAÇÃO

Durante a aula, você conheceu algumas possibilidades de construção gráfi ca

no software Graphmática. Refl ita sobre seu uso, quando ele é válido ou não e

em que momentos ele pode ser utilizado.

Liste e justifi que pontos positivos e negativos do uso de softwares educativos

e pense sobre os objetivos das atividades propostas ao longo da aula.

É relevante você entender que a abordagem feita para o estudo de equações

e inequações requer mais cuidados por parte do professor, pois ela envolve

conceitos que ainda não foram amadurecidos pelos alunos.

Se entendeu que equações equivalentes têm representações gráfi cas diferentes,

mas que chegam à mesma solução, você alcançou um dos nossos principais

objetivos desta aula. Caso contrário, você deve refazer novamente a Atividade 2.

É importante também que você tenha percebido que há momentos em nossas

aulas que a utilização de tabelas e de papel quadriculado esteve aliado ao uso

de softwares, ou seja, utilizamos um conjunto de recursos importantes para

o trabalho de sala de aula.


C E D E R J106


Na próxima aula, faremos um passeio pelas equações do 2º grau. É importante

você saber que precisaremos de régua e compasso.

RESPOSTAS

Atividade 1

a. x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = 3 ou x = –3 S = {–3,3}.

b. Os valores encontrados para a abscissa são os mesmos –3 e 3, mas a ordenada

é livre, não temos nenhuma restrição à ela. Logo, todos os pares da forma (–3, y)

ou (3, y) são soluções desta equação no ú2. O conjunto dos pontos (–3, y) representa

uma reta paralela ao eixo y afastada 3 unidades à esquerda, e o conjunto (3, y)

é também uma reta paralela ao eixo y, só que afastada 3 unidades à direita.

S = {(x, y) | x = 3 ou x = -3 e y ∈ ú} representa um par de retas paralelas.

c. Em ú3, temos que x = –3 ou x = 3 e y e z livres, logo, o conjunto solução é

S= {(x, y, z) | x = 3 ou x = –3, y ∈ ú e z ∈ ú}, que representa grafi camente um par

de planos paralelos ao plano OYZ.

A Atividade Final mostra a importância gráfi ca na resolução de uma equação.

Grafi camente, essa equação pode ser resolvida no Ensino Médio, mas para a resolução

algébrica, é necessário mais conhecimento do que é usualmente ensinado.

AU

LA 14

C E D E R J 107

Atividade 2

a. y1 = x2 –3x + 2 e y2 = 0

1

b. y1 = x2 – 3x e y2 = 2

2 3 4-1-2

1

2

0

-1

0 2 4-2-4-6 6 8

2

4

-2

-4

c. y1 = x2 e y2 = 3x – 2 d. y1 = –3x + 2 e y2 = –x2

0 2 4-2-4-6 6

2

4

-2

0 2 4-2-4-6 6

2

-2

-4

-6

3

5

x

y

x

y

x

y6

x

y


C E D E R J108

Atividade 3

a. Sim, pois f(0) = 20 = 1 e g(0) = 32

. 0 + 1 = 1 e f(2) = 22 = 4 e g(2) = 32

. 2 + 1 = 4.

b. Observe no gráfi co, na indicação feita pelas setas, que isso acontece quando

x ≤ 0 ou quando x ≥ 2.

0 2 4-2-4-6 6

2

4

-2

6

c. Aproveitando o gráfi co anterior, veja que o gráfi co da função f está abaixo do

gráfi co da g para valores entre 0 e 2, incluindo esses valores, isto é, 0 ≤ x ≤ 2, ou

utilizando intervalo [0, 2].

Atividade 4

b. Observando os pontos destacados, interseção com o eixo x, temos que os valores

de x que tornam sen x = 0, no intervalo ] –2π, 2π[ são – π, 0 e π.

0-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π 2,5π

2

4

-2

-4

x

y

f g

x

y

AU

LA 14

C E D E R J 109

d. Devemos observar onde cos x > 0, somente no intervalo indicado pela seta.

A função y = cos x possui imagens positivas nos intervalos indicados na fi gura pelos

segmentos tracejados. Logo, o conjunto solução dessa inequação é

S = [-2π, -1,5π[ ∪ ]-0,5π, 0,5π[ ∪ ]1,5π, 2π].

0-0,5π-π-1,5π-2π-2,5π 0,5π π 1,5π 2π 2,5π

2

4

-2

-4

Atividade Final

a. 2 e 4, pois f(2) = g(2) = 4 e f(4) = g(4) = 16.

b. [0, 2] ∪ [4,+ ∞ [.

c. [2, 4].

d. Possui três raízes reais, pois a equação 2x – x2 = 0 é equivalente à 2x = x2. Dessa

forma, basta olhar no gráfi co quantos pontos em comum têm as funções f e g.

e. É um número que está entre –1 e – 0,5.

Um bom método para um valor aproximado da equação é um método numérico

chamado Método de Newton-Rapson. Pesquise mais sobre isso!

5

10

15

20

0-2-4-6 2 4 6 8

y

x

y

x

y = f(x) y = g.(x)

Equação do 2º grau: para além da fórmula de Bhaskara...


• Utilizar outras maneiras de resolver equação de 2º grau além da fórmula de Bhaskara.

• Aplicar a História da Matemática como recurso metodológico.

15objetivos

AU

LA

Meta da aula

Instrumentalizar o ensino de equação do 2º grau.

112 C E D E R J

Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Equação do 2º grau: para além da fórmula de Bhaskara...

É importante lembrar que nessa época ainda não existia a escrita algébrica, e os métodos de resolução eram geométricos. Com essas difi culdades, não existia uma regra geral, e eram utilizadas regras diferentes para resolver equações do tipo x2 + px = q e x2 = px + q.

!

INTRODUÇÃO No Brasil, a fórmula geral de resolução da equação do 2º grau é conhecida

como fórmula de BHASKARA.

BHASKARA

Foi um matemático que viveu entre 1114 e 1185 na Índia. Foi considerado o mais importante matemático hindu do século XII e desempenhou a função de diretor do Observatório de Ujjain. Um de seus livros mais famosos foi Lilavati, que signifi ca graciosa, uma obra que trata de Aritmética, Geometria Plana e Combinatória.Uma de suas mais importantes contribuições foi na resolução das equações diofantinas (equações polinomias de coefi cientes inteiros) com infi nitas soluções inteiras. Nesse estudo, Bhaskara aborda a solução das equações quadráticas da forma ax2 + bx = c em forma de prosa.

Entretanto, Bhaskara, apesar de conhecer a regra de resolução de uma equação

do 2º grau, não a descobriu. Nos textos dos babilônios já apareciam problemas

com equação do 2º grau, que constituíam escritos em forma textual, e pelo

menos Sridara, um matemático que viveu mais ou menos um século antes de

Bhaskara, já os conhecia. Assim, até o século XVI não se usava fórmula para

resolução de equação do 2º grau.

Por esse motivo, o método geral de resolução da equação do 2º grau não é

chamado de fórmula de Bhaskara em nenhum outro lugar do mundo além

do Brasil.

Tradicionalmente, o trabalho com equação do 2º grau costuma ser feito da

seguinte maneira: defi ne-se que uma equação do 2º grau é uma equação

da forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c, chamados coefi cientes, são números

reais e a é não-nulo; resolvem-se equações do tipo incompletas, onde b = 0

ou c = 0; fi nalmente, são desenvolvidas as equações completas, onde é dado

para o aluno a fórmula x =-b– b - 4ac

2

2

.

É usual também, nesta visão, o professor fazer um quadro-resumo da forma:

Se ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes.

Se ∆ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais ou apenas uma raiz.

Se ∆ < 0, a equação não possui raízes reais.

Nessa abordagem de ensino, o aluno, decorando a fórmula, calcula

numericamente o valor da incógnita, para depois resolver problemas com

a fi nalidade de aplicá-la. Muitas vezes, o aluno não sabe o que signifi ca o

resultado dessa equação.

O ensino da equação do 2º grau não deve fi car restrito à aplicação de fórmulas.

Para isso, a estratégia de completar quadrados e conhecer alguns processos

históricos é interessante para uma prática com base na metodologia de

resolução de problemas, que o aluno, além de resolver equações, também

refl ita sobre o assunto.

C E D E R J 113

AU

LA 1

5

COMPLETANDO QUADRADOS...

A idéia de que resolver equação é encontrar o valor de x que torna

a igualdade verdadeira é reforçada quando completamos quadrados.

Quando perguntamos a um aluno qual ou quais os números

que, elevados ao quadrado, resultam em 4, ou seja, qual a solução da

equação x2 = 4, o aluno entende que – 2 e 2 são números que, elevados

ao quadrado, têm como resultado 4.

Freqüentemente, os alunos se enganam ao pensar que 4 = –2 ou que a solução da equação é apenas 2. No trabalho com equações do 2º grau, é interessante que o professor esteja sempre abordando as questões:• com exceção do 0, sempre existem dois números que, elevados ao quadrado, resultam em um número real positivo, esses números são simétricos;

• x x2 = .

!

Vamos usar o fato anterior, pois ele será de grande importância

na obtenção das soluções da equação do 2º grau. Começamos pela

equação (x + 2)2 = 16.

Vale dizer que, quando os alunos se deparam com equações que não estão na forma reduzida, a primeira ação é justamente colocá-la na forma reduzida, isto é, ax2 + bx + c = 0. No caso, esta equação fi caria assim: x2 + 4x – 12 = 0. Com isso, ele fi ca impossibilitado de resolver a equação utilizando a estratégia de imaginar que número elevado ao quadrado dá o número 16, o que vamos fazer agora. É justamente esse raciocínio que nos leva à fórmula de Bhaskara. Portanto, nada de desenvolver os quadrados, pelo menos por enquanto!

!

Voltando à equação (x + 2)2 = 16, você deve focar na potenciação,

no caso, um número que, elevado ao quadrado, tem como resultado 16.

2= 16

Esse número pode ser 4 ou – 4, pois 42 = 16 e (– 4)2 = 16. Logo, a

base desconhecida x + 2 pode ser 4 ou pode ser – 4, isto é, x + 2 = 4

ou x + 2 = – 4. Resolvendo cada uma das equações, obtemos x = 2 ou

x = – 6. 2= 16

4 - 4

114 C E D E R J


O conjunto-solução da equação (x + 2)2 = 16 ou x2 + 4x – 12 = 0

é {2, –6}. Observe que esta equação possui duas soluções distintas.

Vamos fazer uma leve modifi cação na equação, que já causa

difi culdade. Seja a equação (x + 2)2 = 10, em que devemos agora

imaginar que número ao quadrado dá resultado 10. Nesse momento,

surgem os números irracionais, que são pouco trabalhados e conhecidos

dos alunos.

Que número elevado ao quadrado tem resultado 10? Esse número é

o irracional 10 ou o seu simétrico − 10 . Com isso, resolver a equação

(x + 2)2 = 10 se reduz a resolver as equações do 1º grau x + =2 10 e

x + = −2 10 . Veja:

Resolvendo x + =2 10... Resolvendo x + = −2 10 ...

x

x

+ =

↓

= − +

2 10

2 10

x

x

+ = −

↓

= − −

2 10

2 10

O conjunto solução é S = {-2 + 10 e -2 - 10 }

Apesar de termos utilizado a mesma estratégia de resolução, o

grau de difi culdade aumentou, pois a manipulação dos irracionais não

é bem trabalhada e os alunos se atrapalham ao somar um racional a

um irracional, querendo reduzir a expressão numérica encontrada a um

único termo.

Vamos agora encontrar a solução da equação (x – 3)2 = 0. Devemos

pensar no número que, ao quadrado, tem resultado zero. Isso acontece

para um único número que é o zero. Portanto, x – 3 = 0, o que nos leva

à solução x = 3.

O conjunto-solução da equação (x – 3)2 = 0 é S = {3}. E se a

equação a ser resolvida for (x – 3)2 = – 4? Que número ao quadrado

tem como resultado – 4?

Um erro que aparece também com alguma freqüência é imaginar que 52 = 10. Os alunos dividem o número por 2. Nesse caso, a operação potenciação precisa ser retomada.

!

2= – 4

C E D E R J 115

AU

LA 1

5

Neste exemplo, os alunos se atrapalham e alguns pensam no

número –2. Acontece que (-2)2 = 4 e não – 4. Esta equação não tem

solução real, pois todo número real, não-nulo, elevado ao quadrado, é

sempre positivo.

Portanto, o conjunto-solução da equação (x – 3)2 = – 4 é S = { }

ou S = Ø.

Você observou na resolução de equações do 2º grau que nem

sempre obtemos duas soluções distintas. Mais adiante, investigaremos

melhor esse fato.

Vamos resolver agora a equação x2 + 10x = 24. Como proceder,

se o problema agora não é mais “encontrar um número que elevado ao

quadrado nos dá o resultado...”? A idéia aqui é justamente fazer com que

a equação chegue à forma A2 = B, para continuarmos sua resolução.

Para isso, vamos completar quadrados. Devemos acrescentar

termos nos dois membros da equação, sem alterá-la, de forma que

passamos a ter o quadrado de uma soma ou o quadrado de uma

diferença. Veja:

x2 + 2ax + a2 = (x + a)2

x2 - 2ax + a2 = (x - a)2.

Vejamos a equação x2 + 10x = 24. O que devemos fazer, isto é,

que termo devemos acrescentar à expressão x2 + 10x para que se torne

um quadrado da soma? Observe:

X2+10X + ... = X + ...2

Na igualdade, você deve fi car atento ao termo do meio, que é sempre

o dobro do segundo termo. Veja em negrito: x2 + 2ax + a2 = (x + a)2.

Na equação que estamos resolvendo, esse termo é 10x, logo, o segundo

termo é o 5. Vamos, então, desenvolver o quadrado de x + 5:

(x + 5)2 = x2 + 10x + 25.

Descobriu o termo que falta? É o 25, que é o quadrado de 5.

Voltando à equação x2 + 10x = 24, a estratégia é adicionar 25 em ambos

os membros da equação:

x2 + 10x + 25 = 24 + 25

x2 + 10x + 25 = 49 → (x + 5)2 = 49.

116 C E D E R J


Entendeu até aí? Agora, voltamos à pergunta inicial: que número

elevado ao quadrado resulta 49? Resolvemos com equações do 1º

grau.

Resolvendo x2 + 10x = 24, ou melhor, (x + 5)2 = 49

resolvendo x + 5 = 7 resolvendo x + 5 = – 7

x + 5 = 7

↓

x = 2

x + 5 = -7

↓

x = -12

O conjunto-solução é S ={2, -12}

Vamos fazer outro exemplo? Pense agora na equação x2 – 6x = 8.

Que devemos adicionar aos dois membros? Agora você deve escrever

com um quadrado de uma diferença.

X2 – 6X + ... X – ...=

O QUADRADO DE

3 É 9A METADE 6 É 3

2

Na equação que estamos resolvendo, esse termo é 6x, logo, o

segundo termo é o 3. Agora, vamos desenvolver o quadrado de x – 3.

Para isso, devemos adicionar 9 em ambos os membros da equação:

x2 – 6x + 9 = 8 + 9

x2 – 6x + 9 = 17 → (x – 3)2 = 17.

Resolvendo x2 – 6x = 8, ou melhor, (x – 3)2 = 17

resolvendo x − =3 17 resolvendo x − = −3 17

x

x

− =

↓

= +

3 17

3 17

x

x

− = −

↓

= −

3 17

3 17

O conjunto-solução é S = + −{ }3 17 3 17,

→ X2 – X + ... = X – ...

2

C E D E R J 117

AU

LA 1

5

ATIVIDADES

2 = 25;

b. x2 + 12x = 64;

c. 4x2 – 4x + 1 = 0.

2. Na equação x2 – 8x + ? = 0, responda:

a. Colocando 16 no lugar de ? , qual será a solução da equação?

b. E se colocarmos o 15 no lugar de ? ?

c. E se colocarmos o 20 no lugar de ? ?

118 C E D E R J


PASSAMOS O TERMO INDEPENDENTE

ca

PARA O SEGUNDO MEMBRO.

÷ 2

DEMONSTRAR OU NÃO A FÓRMULA DE BHASKARA?

A maioria dos professores de Matemática demonstrou, ao menos

uma vez em sua vida profi ssional, a fórmula xb b ac

a= − ± −2 4

2 para

alunos da 8ª série do Ensino Fundamental. De acordo com depoimentos, a

vivência dessa experiência é quase traumatizante. Certa vez um professor

falou:

parece que se abriu uma espécie de buraco negro no quadro, por

onde os alunos ultrapassam em uma grande viagem... Alguns deles

fi caram quietinhos só olhando, outros copiando desesperadamente,

mas eu podia escrever qualquer insensatez...

Depois da primeira experiência em turmas de cursos regulares, a

maioria dos professores desiste da demonstração e simplesmente oferece

a fórmula para que os alunos encontrem o valor numérico da equação.

E você o que faria? Demonstraria ou não a fórmula de Bhaskara?

A estratégia utilizada na dedução da fórmula é basicamente a que

fi zemos quando completamos quadrados.

Considere uma equação do 2º grau qualquer (ax2 + bx + c = 0) e

uma outra, por exemplo, 2x2 – 9x + 4 = 0. Vamos encontrar a fórmula

trabalhando simultaneamente com essas duas equações.

Para começar, vamos dividir a equação por a, pois essa estratégia

torna mais fácil completar os quadrados.

ax bx c2 0+ + = 2 9 4 02x x− + =

÷ a

xba

xca

2 0+ + = x x2 92

2 0− + =

PASSAMOS O TERMO

INDEPENDENTE 2 PARA O

SEGUNDO MEMBRO.

xba

xca

2 + = − x x2 92

2− = −

C E D E R J 119

AU

LA 1

5

SOMAMOS NOS DOIS MEMBROS O

TERMO QUE FALTA PARA COMPLETAR

O QUADRADO, QUE É ba

ba2 4

2 2

2

=

SOMAMOS 94

8116

2

=

NOS DOIS MEMBROS DA

EQUAÇÃO.

xba

xba

ca

ba

22

2

2

24 4+ + = − + x x2 9

28116

28116

− + = − +

FAZEMOS A SOMA − +ca

ba

2

24.

FAZEMOS A SOMA

− +28116

.

xba

xba

b aca

22

2

2

244

4+ + = −

x x2 92

8116

4916

− + =

FAZEMOS A TROCA DE

x92

2 − +x8116

POR x94

2

.

x +b2a

=b - 4ac

4a

2 2

2

x94

=4916

2

−

FAZEMOS A TROCA DE

xba

22

2+ +x

ba4

POR xb2a

+

2

.

120 C E D E R J


Para acabar de resolver, precisamos pensar que número ao

quadrado tem como resultado o segundo membro. Esse número é a

raiz quadrada! Vamos continuar resolvendo...

x x+ = − + = − −ba

b aca

ouba

b aca

ii ii2

44 2

44

2

2

2

2

x x− = − = −94

4916

94

4916

ii iiou

melhorando...

x x+ = − − + = − −ba

b aca

ouba

b aca

ii ii2

42 2

42

2 2

x x− = − = −9

474

94

74

ii iiou

Isolando x...

x x= − + − = − − −ba

b aca

ouba

b aca

ii ii2

42 2

42

2 2

x x= + = −9

474

94

74

ii iiou

Finalmente...

x x= − + − = − − −b b aca

oub b ac

aii ii

2 242

42

x x= = = =16

44

24

12

ii iiou

Chegamos, assim, à fórmula que resolve todas as equações de 2º grau. Isso é um grande

feito! Mas, para isso, é necessária muita habilidade algébrica, e talvez seja por isso que alunos e

professores muitas vezes utilizam a fórmula sem demonstrá-la.

Observe com atenção a equação e a fórmula que a soluciona. Quantas variáveis existem

nesta fórmula? Quais são elas?

Equação Fórmula

ax bx c2 0+ + =x

b b aca

= − ± −2 42

Utilizamos três variáveis na fórmula e os coefi cientes a, b e c da equação. Quando você

utiliza a fórmula para resolver a equação do 2º grau, ela deve estar “arrumadinha”, isto é, na

forma reduzida, e você deve retirar corretamente os três coefi cientes da equação. Vamos trabalhar

paralelamente a demonstração da fórmula e a resolução da equação.

Destacando da equação 2x2 – 9x + 4 = 0 os seus coefi cientes a = 2, b = –9 e c = 4 e

substituindo-os na fórmula, obtemos:

x =− −( ) ± −( ) −

= ± − = ± − ±9 9 4 2 4

2 29 81 32

49 49

49 7

4

2 . .

.,

C E D E R J 121

AU

LA 1

5

o que nos dá como raízes 9+74

= 4 e9 7

4=

12

.

Portanto, o conjunto-solução é S = 4,12

.

Dessa maneira, chegamos à solução bem mais rápido.

ATIVIDADE

3. Será que toda equação do segundo grau possui sempre duas soluções? O que você tem a dizer sobre isso utilizando a fórmula de Bhaskara?

COMENTÁRIO

Basta analisar o valor de b2 – 4ac. Caso você tenha alguma difi culdade, encontrará a resposta durante esta aula.

DISCRIMINANTE

Provém do latim. Dis signifi ca separar ou distinguir e crimem

indício. A palavra pode ser entendida

como aquilo que distingue um indício.

∆ = b2 – 4ac não é o único contexto da Matemática onde aparece o termo discriminante. Na resolução de um sistema linear pelo método de Cramer, o determinante formado pelos coefi cientes das variáveis é chamado também de discriminante.

Vejamos, o sistema de equações ax by m

cx dy n

+ =+ =

. Ao resolvê-lo, encontramos xmd bnad bc

e yan mcad bc

ii ii= −−

= −−

.

Observe que o sistema tem a representação matricial ax by

cx dy

m

n

++

=

, assim, o denominador de x e y é

∆ = = −a b

c dad bc .

!

Observe que, na dedução da fórmula, a etapa.

x+ b2a

= b 4ac4a

2 2

2

.

O valor de 4a2 é sempre positivo. Assim, b2– 4ac é responsável

pelo sinal do segundo membro da igualdade. Como temos no primeiro

membro da igualdade um número elevado ao quadrado, o primeiro

membro será sempre positivo. Dessa maneira, a igualdade só será

verdadeira se b2 – 4ac 0≥ .

O valor de b2 – 4ac é chamado de DISCRIMINANTE e indicado por ∆.

122 C E D E R J


Podemos distinguir três casos relacionando o valor do discriminante

∆ e a solução da equação.

∆ < 0 → a equação não tem raiz real.

∆ = 0 → a equação tem uma raiz real de multiplicidade 2.

∆ < 0 → a equação tem duas soluções reais distintas.

ONDE TUDO COMEÇOU!

Há uma suspeita de que no Egito já houvesse alguma técnica de

resolução de equação do 2º grau, mas não há registro sobre o assunto.

Essa suspeita se deve ao conteúdo do papiro de Kahun, no qual aparece

uma equação do tipo x2 + y2 = k, onde k é um número positivo.

Na Mesopotâmia foi encontrado o primeiro registro de uma

equação polinomial do 2º grau feito por um escriba, em 1700 a.C.,

aproximadamente, em uma tábula de argila. Sua apresentação e forma

de resolução era retórica, ou seja, a tábula era escrita com palavras

consideradas como uma “receita matemática” infalível para solucionar

tal tipo de equação e que fornecia somente uma raiz positiva.

De acordo com registros da História da Matemática, esse povo

resolveu o problema, por meio de uma receita, que pode ser descrita da

seguinte forma:

Tome a metade de 100, que é 50; multiplique 50 por 50, o que dá

2.500; some 2.500 a 7.500, obtendo 10.000, que é o quadrado de 100;

subtraia a metade de 100(coefi ciente de x) de 100 (último resultado

encontrado); assim, o resultado é 50 (EVES, 1997, p. 78).

A solução do problema do terreno é x = 50, fazendo com que a

área do terreno original fosse de 2.500m2.

C E D E R J 123

AU

LA 1

5

UM PASSEIO PELA GRÉCIA

Os gregos resolveram inúmeros problemas matemáticos com

um tratamento geométrico. A resolução de equações do 2º grau foi um

deles.

A equação x2 + 100x – 7.500 = 0 seria resolvida pelos gregos

assim:

Primeiro constrói-se um segmento AB de medida 100.

A B

Agora, devemos construir o ponto médio (P) do segmento AB.

Traçamos um segmento B perpendicular ao segmento AB medindo

7500 e construímos o segmento BE.

Para construir precisamente uma raiz quadrada, você pode usar a relação métrica no triângulo retângulo h2 = mn. Construindo um triângulo retângulo com a hipotenusa medindo m + n, onde m e n são as projeções dos catetos, temos na altura desse triângulo a

mn . Fazendo n = 1, temos que h m=

No nosso caso, podemos construir um triângulo retângulo cujas

projeções dos catetos meçam 7500 e 1. Assim, teremos h = 7500.

!

1m

E

BPA

124 C E D E R J


Para fi nalizar, projetamos o segmento PE sobre a reta que contém

o segmento AB encontrando o ponto Q.

E

QBPA

A medida do segmento AQ é a solução da equação do 2º grau.

Vamos entender o processo? Resolvemos uma equação do tipo

x2 + ax – b2 = 0, onde os números a e b são positivos. Sabemos que a

solução positiva dessa equação é xa a b= − + +2 24

2.

Colocando medidas na construção realizada, temos:

AB a e BE bii ii= = .

E

QBPAa

b

C E D E R J 125

AU

LA 1

5

Considerando o triângulo retângulo PBE, temos que PBa=2

, pois

p é ponto médio de AB, e BE b b= =2 .

Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos:

PEa

b2

22

2=

+ .

Como PE PQ PQa

ba b= = + = +

,2

22 2

44

2.

AQ AP PQa a b a a b= + = + + = + +2

42

42

2 2 2 2

.

No exemplo demonstrado, a medida a solução da equação é:

AQ AP PQ= + = + + = + = + =100 100 4 75002

100 400002

100 2002

1502 .

.

Naquela época, a solução encontrada era apenas a positiva, já

hoje em dia, a solução dessa equação é 150 e – 50. Confi ra!

Como resolver uma equação do tipo x2 – ax + b2 = 0?

A construção é a seguinte: partimos do segmento AB de medida

a e construímos o ponto P, ponto médio de AB. A partir de P, subimos

uma perpendicular e encontramos o segmento PE b= .

P B Q

E

b

a2

Observe que por construção os segmentos PE e PQ são congruentes.!

126 C E D E R J


ATIVIDADE

4. Justifi que o método de resolução apresentado para equações do tipo x2 – ax + b2 = 0.

O MÉTODO DE AL-KOWHARIZMI

Al-Kowharizmi, um matemático árabe do século X d.C.,

apresentou um método de construção geométrica atualmente conhecido

como o método de completar quadrados.

E

Q BPA

a

Para fi nalizar, traçamos um círculo de raio AP com centro E,

considerando Q o ponto de interseção à direita de P. Novamente, a

medida do segmento AQ é a solução da equação do 2º grau. Veja:

C E D E R J 127

AU

LA 1

5

x2

Agora, um retângulo de lados medindo x e 10. A área desse

retângulo mede 10x.

10x

Obtêm-se quatro retângulos de dimensões x e 2,5, dividindo-se o

retângulo anterior em quatro partes iguais.

2,5x

2,5x

2,5x

2,5x

Ele apresentou e solucionou a equação x2 + 10x = 39, da seguinte

forma:

Considera-se o quadrado a seguir cujo lado é x, ou seja, possui

área x2.

Dispomos os retângulos no quadrado de medida de lado x e

completamos o novo quadrado.

2,5x

2,5x

2,5x 2,5x

2,52 2,52

2,52 2,52

x2

128 C E D E R J


A área do novo quadrado formado é (x+ 5)2.

Calculando essa área, usando a decomposição da fi gura, temos

x2 + 10x + 4.(2,5)2 = x2 + 10x + 25.

Como a equação inicial era x2 + 10x = 39, substituindo em x2 +

10x + 25, teremos o cálculo da área da seguinte forma: 39 +25 = 64.

Assim desejamos obter um número que, somado com 5, dê a área

do quadrado de lado medindo 8, ou seja, x + 5 =8, encontrando x = 3.

O método dos árabes está bastante próximo ao método do usado

no mundo europeu a partir do século XVII. Completar quadrados,

juntamente com uma boa notação e a solidifi cação do conceito de

número negativo, ajudaram na elaboração e utilização da fórmula

de resolução geral que usamos até os dias de hoje.

CONCLUSÃO

Procuramos mostrar a você a importância de levar o aluno a

entender o processo de resolução das equações do segundo grau e de

que maneiras esses processos podem proporcionar um aprendizado e

aperfeiçoamento na sua formação. Refl ita sobre aquela pergunta feita

no início da aula: Demonstrar ou não a fórmula de Bhaskara?

O professor deve possibilitar ao aluno a construção dos conceitos

por meio de processos ou levar em conta apenas o produto fi nal? Não

só esses, mas outros questionamentos devem ser feitos por você.

As ferramentas algébricas são muito importantes na Matemática,

mas não devem ser utilizadas sozinhas todo o tempo, por isso foram

apresentados processos históricos que são baseados em construções

geométricas. Além das atividades de investigação que a História da

Matemática proporciona, a aula pode se tornar muito mais suave e

interdisciplinar. Procure livros sobre a História da Matemática, você

descobrirá uma excelente fonte de atividades investigativas.

C E D E R J 129

AU

LA 1

5

• Substitua o coefi ciente de x2 (a = 8) por 1.• Mantenha o coefi ciente de x (b = –11).• Multiplique o termo independente (c = 3) pelo coefi ciente original de x2 (a = 8), obtendo 24.• A nova equação é x2 – 11x + 24 = 0.• É fácil resolvê-la por “soma e produto”, encontrando x’ = 3 e x’’ = 8 como raízes.• Para obter as raízes da equação original, basta dividir as raízes encontradas na segunda equação pelo coefi ciente de x2 na equação original (a = 8).

• Assim, as raízes da equação 8x2 – 11x + 3 = 0 são x e xii ii1 2e xii38

88

1=e xii 2e xii = .

ATIVIDADE FINAL

1. No decorrer dos tempos, o Homem se defrontou com inúmeros problemas que

recaem numa equação do 2º grau (ax2 + bx + c = 0). Vários métodos podem ser

usados na resolução desse tipo de equação.

Uma maneira de resolver essa equação é por “soma e produto”. Nesse método, um

cálculo mental simples permite identifi car as raízes. Você descobre, por exemplo,

que as raízes de x2 – 7x + 10 = 0 são 2 e 5. No entanto, nem todas as equações são

fáceis de resolver por “soma e produto”.

Você já pensou em resolver “de cabeça” a equação 8x2 – 11x + 3 = 0? Complicado,

não? Pois é, mas existe uma maneira de fazê-lo por meio das regras abaixo.

R E S U M O

O método de completar quadrados é uma importante estratégia na resolução de

equações. Existem equações com duas soluções distintas, duas iguais ou que não

possuem nenhuma solução real. Isso é verifi cado no momento do uso da fórmula

em que o número de soluções reais fi ca determinado.

Algumas formas de resolução da equação do 2º grau de povos antigos foram

exploradas, para apresentar a você, futuro professor, outras abordagens deste

tipo de equação, além da fórmula de Bhaskara.

130 C E D E R J


a. Utilize o método descrito para resolver a equação 5x2 + 9x + 4 = 0.

b. Justifi que algebricamente por que o método funciona.

AUTO-AVALIAÇÃO

As atividades desenvolvidas na aula têm o objetivo de mostrar a você diferentes

formas de entender a resolução de equações do 2º grau. Procuramos mostrar a

você processos geométricos para a obtenção das soluções positivas. A Atividade 1

proporciona a você exercitar o método algébrico de completar quadrados. Se

houver dúvida, releia o encaminhamento feito antes da atividade. A Atividade 2

é relevante, na medida em que trabalha a importância do discriminante na

obtenção de raízes.

Na Atividade Final, você integra conhecimentos sobre soma e produto das raízes

com o uso da fórmula de Bhaskara e a ainda trabalha a questão das justifi cativas

matemáticas. Se achar que o número de exercícios é insufi ciente, procure mais

alguns em livros da 8ª série do Ensino Fundamental ou até mesmo na internet.


Na próxima aula, você trabalhará com a multiplicação e fatoração de expressões.

C E D E R J 131

AU

LA 1

5

Atividade 1

a. 1 e – 4.

b. 4 e –16.

c. 12

Atividade 2

a. 4.

b. 5 e 3.

c. A equação não tem solução real.

Atividade 4

A solução positiva dessa equação é xa a b= + +2 24

2.

Considerando o triângulo retângulo EPQ, temos que EBa=2

, pois PE b b= =2 .

Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos: PQa

b PQa

b2

22

22

2 4=

+ → = + .

PQ AP PQa a a b a a b= + = + + + = + +2

42

42

2 2 2 2

Atividade Final

a.

5x2 + 9x + 4 = 0

x2 + 9x + 4 = 0

x2 + 9x + 20 = 0

As raízes da equação original 5x2 + 9x + 4 = 0 são − − = −45

55

1i ie .

a = 5 será substituído por 1

e b = 9 será mantido.

c = 4 será substituído por

c = 4.5 = 20

Resolvendo esta equação por soma e

produto, encontramos as raízes –4 e –5.

RESPOSTAS

132 C E D E R J


b. Seja uma equação qualquer ax2 + bx + c = 0. Fazendo as substituições: a → 1,

b → b e c → ac, obtemos a equação x2 + bx + ac = 0. Vamos resolver esta equação

utilizando a fórmula de Bhaskara. Suas raízes são dadas por xb b ac= − ± −2 4 1

2. .

. Agora

compare estas soluções com as da equação ax2 + bx + c = 0, que são − ± −b b aca

2 42

.

Qual a diferença? As soluções da nova equação estão multiplicadas por a. Por isso,

ao encontrarmos por soma e produto as soluções da nova equação, é necessário

dividi-las por a para se chegar às soluções corretas da equação original.

Mais álgebra: multiplicando e fatorando casos notáveis!

Pré-requisitos

Para o bom desenvolvimento desta aula, é necessário que você conheça

o conceito de área e saiba manipular algebricamente as expressões.

objetivos

Meta da aula

Instrumentalizar o trabalho com expressões algébricas.

16AU

LA


• Relacionar o conceito de área de retângulo com os casos de multiplicação e fatoração de expressões.

• Analisar o estudo de fatoração nas expressões algébricas.

• Aplicar as expressões em diferentes contextos matemáticos: numéricos, algébricos e geométricos.

Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Mais álgebra: multiplicando e fatorando casos notáveis!

134 C E D E R J

Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma. Lá você encontrará diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.

!

As expressões algébricas aparecem com certa freqüência nas resoluções de

problemas matemáticos, e, dessa forma, torna-se fundamental reconhecê-las

e resolvê-las. Durante o Ensino Fundamental e o Médio, você deve ter tido a

oportunidade de estudar vários tipos de expressões. Lembra-se dos produtos

notáveis: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma

pela diferença e do cubo da soma? E dos casos de fatoração: diferença de

quadrados, trinômio quadrado perfeito, fator comum e agrupamento? Talvez

até você lembre dos nomes, ou somente de alguns casos. De qualquer forma,

nesta aula vamos rever e aprofundar com o auxílio da Geometria todos esses

casos, falar da sua importância e aprofundar alguns contextos na Matemática.

Vamos também discutir como são abordados esses tópicos e o fato de os

alunos terem tantas difi culdades ao lidar com essa parte da Álgebra que tem

início, mais ou menos, pela 7a série do Ensino Fundamental.

INTRODUÇÃO

PARA QUE SERVE A ÁLGEBRA DOS PRODUTOS NOTÁVEIS E DA FATORAÇÃO?

Há alguns temas desenvolvidos na Matemática do Ensino

Fundamental cuja aplicação se restringe à própria Matemática. Tal fato

acontece com os produtos notáveis e casos de fatoração, que normalmente

são vistos no programa de 7a série.

Esses assuntos são ferramentas matemáticas que agilizam a solução

de problemas, desde os relacionados à própria Álgebra até questões

ligadas à Geometria Espacial (estudo dos paralelepípedos reto-retângulos,

por exemplo). No entanto, ao estudá-los, os alunos normalmente se

vêem diante de intermináveis listas de exercícios de mecanização de

procedimentos, que normalmente tornam-se repetitivos e sem sentido.

Uma alternativa possível para tornar mais suave o estudo da

Geometria é aquela em que o aluno visualiza os mecanismos algébricos

e fortalece seus conhecimentos sobre os retângulos e quadrados, seus

Esperamos que você, futuro professor de Matemática, proporcione junto a seus alunos atividades que explorem simultaneamente a Álgebra e a Geometria.

!

AU

LA 1

6

C E D E R J 135

Durante a aula, como iremos trabalhar com retângulos e quadrados e precisaremos indicar suas áreas, para um melhor entendimento dos produtos, convencionaremos, então, que as medidas das áreas das figuras serão escritas dentro das figuras, conforme o exemplo, onde estão indicados um quadrado de lado a e área a2 e um retângulo de dimensões a e b e área ab.

comprimentos e suas áreas. Nesse caso, o professor pode ressaltar que a

fatoração e a aplicação de produtos notáveis na resolução de problemas

depende de uma identifi cação inicial da expressão algébrica, ou seja,

quem está resolvendo o problema precisa perceber e identifi car que a

expressão algébrica presente na solução pode ser fatorada ou escrita de

outra forma, por ser um produto notável.

b

aa2 ab

O QUE SÃO OS PRODUTOS NOTÁVEIS?

Algumas multiplicações aparecem com uma certa freqüência no

desenvolvimento de idéias, de problemas ou em demonstrações matemáticas.

É o que acontece com os produtos (a + b)2, (a – b)2, (a + b)(a – b) e (a + b)3.

Esses produtos são chamados produtos notáveis, e estão diretamente

relacionados à fatoração, que também abordaremos nesta aula. Para

entendê-los melhor, vamos associá-los a fi guras geométricas.

Quando relacionamos a Álgebra com a Geometria, restringimos o universo trabalhado aos reais positivos. É importante que, adotando esse enfoque, o professor amplie esse universo com outras problematizações.

!

Vejamos a área da fi gura a seguir, cujo lado mede a. Sua área mede

a2. Aumentando de b a medida de cada lado desse quadrado, passamos a ter

um quadrado de lado a + b; assim, a área do novo quadrado é (a + b)2.

a


136 C E D E R J

a2

(a+b)2

a b

Quando os alunos desenvolvem a expressão (a + b)2, que é o quadrado

da soma de a com b, normalmente encontram a2 + b2. Os professores, por

sua vez, chamam a atenção, por meio de exemplos, que as duas expressões

não são iguais. Por exemplo, (3 + 4)2 = 72 = 49, que não é igual a 32 + 42 = 9

+ 16 = 25. Porém, a prática nos mostra que os exemplos não são sufi cientes

para que esse tipo de erro não ocorra mais; alguns alunos voltam a cometer

esse mesmo erro.

Utilizando a Geometria, o aluno pode perceber, por meio dos

quadrados envolvidos, que a soma das áreas de dois quadrados é diferente

da área do quadrado cujo lado é a soma dos lados dos quadrados

anteriores, isto é, a2 + b2 = (a + b)2. Veja na fi gura que se segue.

(a+b)2

a2

b2

a b

AU

LA 1

6

C E D E R J 137

Percebemos visualmente que a soma das áreas dos quadrados

menores é menor que a medida da área do quadrado maior.

Então, o que está faltando para termos uma igualdade? Para

visualizarmos o que falta, vamos reorganizar esses quadrados.

a2

b2

a b

(a+b)2

a b

Com esta nova disposição dos quadrados, percebemos que estão

faltando dois retângulos de dimensões a e b, cuja área é ab.

aba

b

abb

a

Veja como fi ca decomposto o quadrado de lado a + b, utilizando

o quadrados de lado a, o de lado b e os dois retângulos de lados a e b.

ab

aba2

b2a

b

a b


138 C E D E R J

Observe que o quadrado de lado a + b possui a mesma área que a

soma das áreas dos dois quadrados com as áreas dos dois retângulos. Usando

as expressões das áreas e somando os termos semelhantes, temos que:

(a + b)2 = a2 + b2 + ab + ab = a2 + 2ab + b2.

Isso signifi ca que (a + b)2 – (a2 + b2) = 2ab, isto é, o que falta

acrescentar à área dos dois quadrados menores para se chegar à área

do maior quadrado é exatamente a soma das áreas dos dois retângulos

de lados a e b.

Portanto, (a + b)2 = a2 + b2.

O que acabamos de fazer não é uma demonstração de que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, pois, ao usarmos as formas geométricas, trabalhamos somente com medidas positivas. A demonstração desse fato é feita desenvolvendo o próprio produto que é repetido, veja: (a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2, pois ab = ba nos conjuntos numéricos N, Z, Q e R.

!

1. Faça o desenho, utilizando quadrados e retângulos, conforme acabamos de ver, para mostrar que:a. (x + 2)2 = x2 + 4x + 4.b. (3 + 2x)2 = 9 + 12x + 4x2.

Agora, vejamos como a Geometria nos ajudará a compreender que:(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

2. Demonstre algebricamente que (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

COMENTÁRIO

Caso você tenha alguma difi culdade na realização dessas atividades,

não se preocupe, pois o assunto será mais bem desenvolvido a seguir.

A utilização de números em malhas (papel) quadriculadas também

pode ser um ótimo recurso para uma boa visualização numérica.

ATIVIDADES

A atividade está desenvolvida no decorrer de sua leitura.

!

AU

LA 1

6

C E D E R J 139

Precisamos arrumar um quadrado cujo lado meça a – b, e a – b > 0,

logo, a > b. Para isso, vamos partir de um quadrado de lado a, do qual

retiraremos o comprimento b. Observe:

b2 b(a-b)

b(a-b) (a-b)2

a2

b a-b

a

a

Para encontrar a área do quadrado de lado a–b, partindo do

quadrado de lado a, precisaremos retirar os dois retângulos e o quadrado

de lado b. Dessa forma, obtemos a seguinte expressão, que nos dará o

valor de (a – b)2:

(a – b)2 = a2 – 2.b(a –b) – b2 = a2 – 2ba + 2b2 – b2 = a2 – 2ab + b2

Área do quadro de lado a.

Área dos dois retângulos de lados b e a-b.

Área do quadro de lado b.

Uma outra forma de mostrar essa igualdade é trabalhar com os

retângulos de lados a e b, conforme indica o desenvolvimento da expressão.

Do quadrado de lado a, retiraremos dois retângulos de lados a e b.

b

a


140 C E D E R J

(a-b)2

b a-b

a2

a

Você não pode deixar de perceber que, ao retirar esses dois

retângulos, estamos retirando duas vezes o quadrado de lado b. Veja:

a

b

b2 b2

b

a

Portando, devemos acrescentar a área desse quadrado. Escrevendo

essas ações matematicamente, temos:

a2

a2 – 2ab

a2 – 2ab + b2

(a–b)2 = a2 – 2ab + b2

Retiramos dois retângulos de área ab.

Acrescentamos o quadrado de área b2.

Essa área é igual ao quadrado de área (a-b)2.

AU

LA 1

6

C E D E R J 141

Até agora, já temos dois resultados de produtos notáveis:

• Quadrado da soma (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

• Quadrado da diferença (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

3. Bruna e Guilherme calcularam a área da moldura colorida do quadrado de maneiras diferentes. Bruna somou a área dos quatro retângulos de lados 30 e x, com a área dos quatro quadrados de lado x.Guilherme calculou a área total da fi gura e subtraiu a área do retângulo branco interno.

Responda:a. Que expressão representa o cálculo de Bruna?b. Que expressão representa o cálculo de Guilherme?c. Como você confi rma que as duas expressões são iguais?

COMENTÁRIO

Este tipo de atividade é uma aplicação prática de produtos do tipo

(a + b)2 e (a – b)2. Também encerra o envolvimento de cálculo de

área por partes (por decomposição).

ATIVIDADE

x

x

30

30

Vamos, então, ao terceiro produto notável, que é o produto

(a + b).(a – b), chamado produto da soma pela diferença. Fazendo a

multiplicação e usando a distributiva, obtemos (a + b) (a – b) = a2 +

ba – ab – b2, e como ba = ab, temos que (a + b) (a – b) = a2 – b2.

Para mostrar geometricamente tal fato, vamos partir do segundo

membro da equação, isto é, de um quadrado de lado a, retiraremos um

quadrado de lado b e mostraremos que a parte que fi ca possui área igual

à do retângulo de lados a + b e a – b.


142 C E D E R J

b

a–b

a

a–b

Retângulo de lados b e a–b. Retângulo de

lados a e a–b.

Retirando o quadrado de área b2, restaram dois retângulos: um

deles de dimensões a – b e a, e o outro de lados a – b e b.

a–b

a

b

a–b

Que podemos reagrupar, formando um retângulo de dimensões

a + b e a – b. Veja:

a b

a–b

a+b

AU

LA 1

6

C E D E R J 143

Dessa forma, mostramos para a e b positivos e a > b que

(a + b).(a – b) = a2 – b2.

4. Certo dia, uma professora de Matemática foi à padaria. Lá, um funcionário a desafi ou:

A professora logo entendeu que o resultado sempre daria 5, independentemente do número pensado (e este deveria ser diferente de zero). Como ela pôde perceber esse fato?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

COMENTÁRIO

Analisar por que esta seqüência de operações funciona é uma ótima

atividade para o desenvolvimento do pensamento algébrico e do

sentido numérico.

ATIVIDADE

MAIS PRODUTOS NOTÁVEIS: O CUBO DA SOMA...

Vamos agora investigar o cubo da soma, isto é, a expressão (a + b)3.

Geometricamente, quando pensamos no quadrado de um número positivo

(a2), remetemo-nos à imagem da área de um quadrado de lado a, mas no

caso do cubo de um número positivo (a3), associamos esse valor à medida

do volume de um cubo de aresta a.


144 C E D E R J

a

aa

a3a2

a

Supondo que a e b são números positivos, pensar geometricamente

em (a + b)3, signifi ca pensar no volume de um cubo de aresta (a + b).

Como (a + b)3 = (a + b)2.(a + b), primeiro pensamos na área de um

quadrado de lado a+b e a partir daí levantamos um cubo, isto é, desta

base levantamos arestas de mesma medida a + b.

b

a

ab b2

a2 ba

a b

a

b

Podemos imaginar que sobre esta área dividida em quatro áreas – a2,

ab, ba e b2 – subirão quatro prismas de altura a + b, ou melhor, oito

prismas, quatro de altura a e mais quatro de altura b. Veja a tabela que

indica esses oito prismas.

Prisma Área da base Altura Volume

I a2 a a3

II ab a aba = a2b

III b2 a b2a = ab2

IV ba a ba2 = a2b

V a2 b a2b

VI ab b ab2

VII b2 b b3

VIII ba b b2a = ab2

a

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LA 1

6

C E D E R J 145

Dessa forma, o volume do cubo de aresta a + b, que é (a + b)3, nada

mais é do que a soma dos volumes desses oito prismas, isto é, (a + b)3 =

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Observe esses oito prismas destacados na fi gura a seguir:

Usando a geometria do cubo, mostramos, para a e b positivos, que

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Se você desejar verifi car esse resultado

algebricamente, basta fazer as multiplicações (a + b).(a + b).(a + b) e

somar os termos semelhantes.

5. Aproveitando o resultado do cubo da soma, mostre o resultado do desenvolvimento do cubo da diferença (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

COMENTÁRIO

Você deve ter visto que mostrar algebricamente é mais fácil que

geometricamente. No entanto, esta última forma é extremamente

importante para o entendimento desse tipo de expressão.

ATIVIDADE

a b

a

b

ab

b2

a2

a

b

ab

Prisma de base a2 e altura a V= a3

Prisma de base a2 e altura b V= a2b

Prisma de base ab e altura a V= a2b

Prisma de base ab e altura b V= ab2 Prisma de base b2 e

altura b V= b3

Prisma de base ab e altura b V= ab2

Prisma de base b2 e altura a V= ab2

Prisma de base ab e altura a V= a2b


146 C E D E R J

FATORAÇÃO...

O que é fatorar? Fatorar é escrever um número como produto

de fatores. O paradigma da fatoração em fatores primos traz uma idéia

para muitos alunos de que fatorar é o processo:

12 2

6 2

3 3

1

Essa idéia não leva em consideração a escrita do número em forma

de produto: 12 = 2.2.3.

Descontruindo essa idéia e usando o fato de que se a = b, b = a,

temos, na propriedade distributiva e nos produtos notáveis, os casos de

fatoração usualmente trabalhados no Ensino Fundamental.

O caso de fatoração conhecido como fator comum consiste na

escrita em forma de produto, na qual um dos fatores é um fator comum

aos termos do polinômio.

Por exemplo: na expressão 4x2 – 4xy; 4x é o maior fator comum

aos termos 4x2 e –4xy; assim, podemos escrever que 4x2 – 4xy = 4x(x – y).

Observe que esse caso de fatoração nada mais é que a aplicação da

propriedade distributiva.

Da mesma forma, quando temos

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

a2 – b2 = (a + b)(a – b),

estamos usando os produtos notáveis.

Uma expressão está na forma fatorada quando está representada por meio de um produto de fatores; caso contrário, dizemos que a expressão está na forma não-fatorada. Veja a tabela.

Forma fatorada Forma não-fatorada

(x+3)2 x2 + 6x +9

(2x –1)2 4x2 – 4x + 1

(x – 1)3 x3 – 3x2 + 3x – 1

(2x + 5) (2x –5) 4x2 – 25

AU

LA 1

6

C E D E R J 147

Assim, os dois primeiros casos são chamados de trinômio

quadrado perfeito. Trinômio pelo fato de ser o polinômio de três

termos, e quadrado perfeito por ser o resultado de um número elevado ao

quadrado. O terceiro caso é chamado de diferença de dois quadrados.

Uma utilização interessante da fatoração é propor atividades que

estimulem o cálculo mental e a resolução de equações sem fórmula. Veja

nas atividades.

6. Faça as contas a seguir usando fatoração:

a. 5432 – 2. 543.533 + 5332 =b. 1752 – 1652 =

c. =

7. Resolva as equações usando fatoração:a. x3 – 16 x = 0b. 4x5 – 12x4 + 9x3 = 0

8. Leia os seguintes comandos:

• pense num número diferente de zero;• eleve-o ao quadrado;• some com o quíntuplo do número em que você pensou no início;• agora, divida esse resultado pelo número que você pensou.

Garanto que pelo resultado que você encontrar eu descubro esse número!

a. Pensando no número 12 e seguindo os procedimentos indicados, qual seria o resultado encontrado?

b. Chamando o número pensado de “x”, escreva a expressão algébrica que descreva o procedimento.

c. Agora, use fatoração para simplifi car essa expressão!

d. Qual a relação entre o número pensado e o resultado encontrado?

ATIVIDADES

23.54 + 23.32 + 23.14 242 – 1


148 C E D E R J

USANDO O PRODUTO NOTÁVEL NA FATORAÇÃO DOS CUBOS

Vamos fatorar agora as expressões a3 + b3 e a3 – b3. Para isso,

vamos manipular algebricamente os produtos notáveis (a + b)3 = a3 +

3a2b + 3ab2 + b3 e (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

Da igualdade (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, isolamos um dos

membros da equação a3 + b3, fi cando assim: a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b

– 3ab2. Agora, é só usar o fator comum, veja:

a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

a3 + b3 = (a + b) ((a + b)2 – 3ab)

Desenvolvendo o quadrado da soma

a3 + b3 = (a + b) (a2 + 2ab+ b2 – 3ab)

e somando 2ab com – 3ab, chegamos a

Aí está a forma fatorada de a3 + b3. Utilizando a mesma estratégia

com o cubo da diferença, mostramos que:

-3ab é fator comum desses dois termos, portanto, podemos

colocá-lo em evidência

(a + b) é fator comum desses dois termos, portanto, podemos

colocá-lo em evidência

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab+ b2)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab+ b2)

CONCLUSÃO

Esta aula apresentou uma alternativa didática para o trabalho feito

com produtos notáveis e fatoração, feito a partir da 7a série. O uso de formas

geométricas e das áreas é um importante recurso ao trabalho de sala de

aula, favorecendo a visualização desses resultados que causam muitas

difi culdades nos alunos. É uma forma, também, de trabalhar o conteúdo

de Matemática em espiral.

AU

LA 1

6

C E D E R J 149

ATIVIDADE FINAL

1. A situação a seguir foi proposta no vestibular 2005 da UERJ.

Alguns cálculos matemáticos fi cam mais simples quando usamos identidades,

tais como:

a2 – b2 = (a + b)(a – b).

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2).

Considerando essas identidades, calcule os valores numéricos racionais mais simples

das expressões:

a. (57, 62)2 – (42, 38)2.

b. cos6 15º + sen6 15º.

c. Você concorda em apresentar os produtos notáveis no corpo da questão ou acha

que isso deveria fazer parte da resolução? Por quê? Discuta com o tutor.

__________________________________________________________________________

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150 C E D E R J

AUTO-AVALIAÇÃO

Durante a aula, você conheceu algumas possibilidades de justifi cativas geométricas

para resultados da álgebra. Refl ita sobre seu uso, quando ele é válido ou não e

em que momentos ele pode ser utilizado no ensino de Matemática.

É relevante você entender que a abordagem feita para esta aula requer mais

cuidados por parte do professor, pois ela envolve conceitos de Geometria,

visualização gráfica e uma certa habilidade no trato com as expressões e

equações.

Se você entendeu o caso de fatoração dos cubos, alcançou um dos nossos principais

objetivos desta aula. Caso contrário, você deve fazer mais exercícios que envolva

fatoração e produtos notáveis. Também é importante que você utilize cartolinas

com seus alunos para que eles possam confeccionar os quadrados e os retângulos

necessários para as justifi cativas geométricas desses resultados.

A Atividade Final mostra um exemplo importante de aplicação dos tópicos

abordados nesta aula, por meio de uma questão de vestibular envolvendo

resultados de Trigonometria.


Na próxima aula, você irá passear sobre as curvas que representam os gráfi cos de

funções, analisando seu comportamento.

O estudo da Álgebra não deve ser reduzido ao uso de letras e equações. A visualização

geométrica contribui significativamente no desenvolvimento do pensamento

matemático, especifi camente no pensamento algébrico.

Existem diferentes atividades que retomam os produtos notáveis e os casos de

fatoração. Procure outras nas suas anotações do curso ou nos livros de Matemática,

pois com certeza você encontrará em vários momentos. Neste módulo mesmo, quando

foi demonstrada a fórmula de Bhaskara e completamos quadrados, foi fundamental

conhecer o quadrado da soma e o quadrado da diferença.

R E S U M O

AU

LA 1

6

C E D E R J 151

Atividade 1

x2

2

x 2x

4

x2

2x

3 2x

3

2x

9

6x

6x

4x2

Atividade 2

(a – b) (a – b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2.

Atividade 3

a. 4x2 + 120x.

b. (2x + 30)2 – 302.

c. Desenvolvendo a expressão obtida por Guilherme, encontramos:

(2x + 30)2 – 302 = 4x2 – 120x + 302 – 302 = 4x2 – 120x, que é a expressão encontrada

por Bruna.

Atividade 4

O cálculo feito pode ser expresso por:

[2(3x + 1) – x – 2] ÷ x = (6x + 2 – x – 2) ÷ x = 5x ÷ x = 5, se x ≠ 0.

Atividade 5

(a – b)3 = (a + (-b))3 = a3 + 3a2(-b) + 3a(-b)2 + (-b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

a b

RESPOSTAS


152 C E D E R J

Atividade 6

a. 5432 – 2 . 543 . 533 + 5332 = (543 – 533)2 = 102 = 100.

b. 1752 – 1652 = (175 – 165)(175 + 165) = 10 . 340 = 3400.

c. = = = = 4.

Atividade 7

a. x3 – 16x = 0 x ( x2 – 16) = 0 x = 0 ou x2 –16 = 0.

x2 – 16 = 0 x2 = 16 x = 4 ou x = –4.

Logo, o conjunto-solução é S = {0, 4, –4}.

b. 4x5 – 12x4 + 9x3 = x3 (4x2 –12x + 9) = 0 x3 = 0 ou 4x2 – 12x + 9 = 0

x3 = 0 x = 0 e 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2 = 0 2x – 3 = 0 x = .

Assim, o conjunto-solução da equação é S = {0, }.

Atividade 8

a. 122 122 + 5 . 12 = 144 + 60 = 204 204 ÷ 12 = 17.

b. x2 x2 + 5 . x .

c. = , como x é diferente de zero, podemos dividir numerador

e denominador por x, obtendo o resultado x + 5.

d. O número pensado é 5 unidades menor que o número encontrado.

Atividade Final

a. Observe que a expressão é uma diferença de dois quadrados; logo, podemos

usar o seguinte produto notável para fatorar essa expressão: (a + b) (a – b)

(57, 62)2 – (42, 38)2 = (57,62 + 42,38).( 57,62 - 42,38) = 100 x 15,24 = 1.524. Viu

como usando a fatoração foi mais fácil? Para isso, contudo, você precisa saber

manipular esses resultados.

23 . 54 + 23 . 32 + 23.14

242 – 1

23(54 + 32 + 14)

(24+1)(24-1)

23 . 100

25 . 23

100

25

32

x2 + 5xx

x2 + 5xx

x(x + 5)x

32

AU

LA 1

6

C E D E R J 153

b. Neste caso, vamos usar a soma de cubos, isto é, a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2).

Veja:

cos6 15º + sen6 15º = (cos2 15º)3 + (sen2 15º)3 =

= (cos2 15º + sen2 15º) (cos4 15º - cos2 15º. sen2 15º + sen4 15º). (A)

Da Trigonometria, temos que cos2 15º + sen2 15º = 1, porém, usando

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, temos

(cos2 15º + sen2 15º)2 = cos4 15º + 2.cos2 15º. sen2 15º + sen4 15º. Concluímos, então,

que:

cos4 15º + sen4 15º = (cos2 15º + sen2 15º)2 - 2.cos2 15º. sen2 15º.

Substituindo em A, fi camos com a expressão:

= (cos2 15º + sen2 15º) ((cos2 15º + sen2 15º)2 - 2.cos2 15º.sen2 15º - cos2 15º.sen2 15º)

= 1. (1 - 3 cos2 15º.sen2 15º) = 1 – 3(cos 15º.sen 15º)2. (B)

Usaremos, agora, outro resultado da Trigonometria: 2 sen x.cos x = sen 2x. Logo,

2 cos 15º.sen 15º = sen 30º 2 cos 15º.sen 15º = cos 15º.sen 15º = .

Voltando em B, temos 1 – 3 . 2 = 1 – 3 . = .

12 1

414

116

1316

Passeando sobre as curvas: uma interpretação gráfi ca

Pré-requisitos

objetivos

Meta da aula

17AU

LA


• Empregar gráfi cos e equações no estudo de funções.

• Analisar o estudo de derivada de diversas funções.

Instrumentalizar o trabalho com as curvas que representam gráfi cos de funções.

Para acompanhar esta aula, é necessário que você saiba trabalhar com as funções e suas derivadas, principalmente no que se refere à construção e à análise de gráfi cos. Para isso, volte à Aula 32 do Módulo 4 da disciplina Pré-cálculo. Dê uma atenção especial à discussão dos diferentes domínios

e seus respectivos gráfi cos.

Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Passeando sobre as curvas: uma interpretação gráfi ca

C E D E R J156

INTRODUÇÃO A análise de representações gráfi cas é uma ação que está presente em vários

momentos de nossa vida, seja nas leituras de jornais e revistas, nos concursos

ou no dia-a-dia das nossas profi ssões e nos estudos de fenômenos naturais.

O gráfi co de uma curva é usualmente representado no plano cartesiano e sua

análise nos mostra como se relacionam as grandezas envolvidas numa equação.

A partir dele, podemos retirar todas as informações que precisamos saber a

respeito do comportamento das variáveis envolvidas.

Nesta aula, você aplicará seus conhecimentos sobre as funções e seus gráfi cos

e, para isso, trabalharemos com o software gráfi co WINPLOT.

O programa WINPLOT é uma ferramenta computacional para fazer gráfi cos de duas dimensões (2D) e de três dimensões (3D) de maneira bastante simples. É um software inteiramente gratuito e foi desenvolvido pelo professor Richard Parris, por volta de 1985. É de simples utilização, pois no menu você encontra o recurso “ajuda” e o programa aceita as funções matemáticas de maneira bastante semelhante à forma como as escrevemos em outros contextos. Está sempre atualizado e existe também na versão em português. Para obter mais explicações sobre este programa e fazer o download, acesse a página: http://www.mat.ufpb.br/~sergio/winplot/winplot.html#toc1.

FALANDO SOBRE GRÁFICOS

O gráfi co de uma função de ú em ú é o conjunto de todos os

pontos do plano da forma (x, f(x)), onde x é elemento do domínio da

função. A primeira idéia que surge quando vamos construir um gráfi co

é marcar alguns destes pontos no plano cartesiano e ligá-los a partir

da observação da trajetória formada pelos pontos marcados. Alguns

alunos, de forma errônea, ligam esses pontos usando segmentos de

reta ou curvas contínuas. Isso pode levar a uma série de equívocos, e é

importante que o professor esteja atento. Vejamos alguns exemplos do

que pode acontecer:

Na tabela da função f(x) = , marcamos alguns pontos para

observar seu comportamento.

Lembre-se de acessar esta disciplina na plataforma. Lá você encontrará diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.

!

1x

X f(x) =

2

1 1

2

– 2

– 1 – 1

– 2

1x

12

12

12

–

12

–

f(x) = 1x

AU

LA 17

C E D E R J 157

A partir daí, localizamos esses seis pontos no plano. Mas em

que domínio desejamos construir no gráfi co dessa função? É comum

que os professores de Matemática tenham a crença de que o domínio

fi ca subentendido, ou seja, é o conjunto dos números reais ou o maior

domínio possível contido no conjunto dos números reais.

Na construção desse gráfi co, cujo domínio é formado por todos

os números reais, com exceção do zero, é importante fi car atento ao fato

de o zero não possuir imagem por não possuir inverso multiplicativo.

Apesar de muitas vezes os alunos saberem disso, acontecem diversas

situações erradas. Uma delas é deixar o gráfi co somente com os seis pontos,

conforme a fi gura anterior. Numa outra situação, considerando todos os

reais do intervalo [–2, 2], é comum também que os alunos liguem todos

os seis pontos usando segmentos de reta. Há ainda os que sabem que

não podem ser segmentos de reta e ligam os pontos também no intervalo

[–2, 2] seguindo a trajetória apresentada pelos pontos. Veja, a seguir, como

fi cam os gráfi cos referentes a essas situações.

Figura 17.1: Alguns erros na construção do gráfi co da função f(x –2, 2].

Os pontos são ligados por segmentos de reta.

Os pontos são ligados seguindoo comportamento dos pontos.

Esses três exemplos apresentados nos mostram que é necessário

investigar funções cujo comportamento não é linear e que apresentam

restrições no domínio, pois elas geram novos acontecimentos no

comportamento da curva. Questões como “Professora, posso ligar os

pontos?” ou “O gráfi co continua ou pára por aqui?” são bastante comuns

nessa etapa inicial do estudo das funções.

1x


C E D E R J158

Para que esse tipo de erro não aconteça, é preciso estar atento a

algumas questões, como por exemplo:

- qual é o domínio da função?

- onde a função é crescente?

- onde a função é decrescente?

- onde a função é positiva?

- onde a função é negativa?

- como o gráfi co se comporta quando x→+∞?

- e quando x→ –∞?

- o que acontece com o gráfi co quando este se aproxima de valores

que não pertencem ao domínio da função?

real, a única restrição do domínio é o zero, que não possui inverso.

Se aumentarmos o valor de x, o valor de y diminui. Observe isso tomando

valores negativos, cada vez mais próximos do zero.

Isto nos mostra que a curva está descendo e que a função é

decrescente. E quanto mais próximo do zero, menor será a imagem.

Observe que quando x é um número negativo, sua imagem também é, o

que faz com que seus pontos se situem no 3º quadrante. Podemos afi rmar,

então, que a função y = , é negativa para todo x < 0.

E o que acontece quando atribuímos valores positivos numa

seqüência crescente? Os valores das imagens também diminuem.

Veja a tabela de pontos.

Portanto, a função é decrescente para valores positivos e quanto

maior o número que tomamos, mais próximo de zero está sua imagem.

Agora, para x > 0, todos os pontos situam-se no 1o quadrante, o que

nos faz ver que a função é positiva para todo x postivo.

1x

1x

X – 5 – 4 – 3 – 2 – 1

2 – 1 – 2 – 3 – 4 – 51

5 –

x 1 2 3 4 5

y 5 4 3 2 1

1

4 –

1

3 –

1

2 –

1

2 –

1

3 –

1

4 –

1

5 –

1

4

1

5

1

3

1

2

1

2

1

3

1

4

1

5

AU

LA 17

C E D E R J 159

Esta breve análise dessa função, tomando apenas alguns valores,

leva-nos a importantes conclusões sobre seu gráfi co, como por exemplo:

quando x é positivo e está se aproximando de zero, é cada vez

maior; quando x é negativo e está se aproximando de zero, é cada

vez menor. Numa linguagem mais formal, escrevemos:

Isto signifi ca que no ponto de descontinuidade, que é o zero,

temos uma assíntota vertical. Em contrapartida, quando observamos o

que acontece à direita (x muito grande) e à esquerda (x muito pequeno),

concluímos que as imagens se tornam cada vez mais próximas de zero,

isto é,

Com isso, concluímos que a reta de equação y = 0 (eixo x) é uma

assíntota horizontal. Agora, vejamos como fi ca o gráfi co da função y =

usando, para isso, o software gráfi co Winplot.

Para construir o gráfi co da função y = , após ter feito para o seu computador odownload do programa Winplot, siga o roteiro:

• clique em janela 2-dim – ação A

• clique em equação explícita – ação B

• digite a lei da função, y = e clique OK – ação C

• se desejar, utilize o zoom para afastar ou aproximar – ação D

1x 1

x

lim lim .x xx

ex

ii ii→+∞ →−∞

=

=10

10

lim lim .x xx

ex→ →+ −

= +∞

= −∞0 0

1 1

Imagens aumentam

x tende a zero pela direita

x tende a zero pela esquerda

Imagens diminuem

1x

1x

1x


C E D E R J160

Seguindo esses comandos, obtemos o gráfi co a seguir:

RELACIONANDO GRÁFICO COM LIMITES E DERIVADAS...

Vamos aproveitar o que você já estudou sobre derivada e aplicar

os resultados vistos na função y = .

Você viu nas aulas de Cálculo, no estudo das funções contínuas em

[a, b] e derivável em ]a, b[, que, nos intervalos onde a derivada é positiva,

a função é crescente; e onde a derivada é negativa a função é decrescente.

Figura 17.2: Gráfi co da função f(x) = no domínio ú*.

Ação A

Ação B

Ação C

Ação D

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

– 6

– 1– 2– 3– 4– 5– 6

1x

1x

AU

LA 17

C E D E R J 161

Quando vamos ao estudo do sinal da segunda derivada y” = ,

esse sinal depende do sinal de x3, que como é uma potência de grau

ímpar, depende do sinal da base, isto é, do sinal de x. Portanto, quando

x é positivo, a função y”= é positiva e, segundo outro teorema, que

relaciona a segunda derivada com a concavidade da função, a função

y = possui concavidade para cima. Agora, quando x é negativo, a

função y”= é negativa, o que nos leva a afi rmar que a função neste

intervalo é côncava para baixo. Confi ra isso no gráfi co!

Como para x < 0 a função é côncava para baixo e para x > 0 ela é

côncava para cima, pode haver um ponto de infl exão em x = 0. Acontece

que x = 0 não é elemento do domínio; isto signifi ca que acontece uma

descontinuidade no zero. Dessa forma, a função não possui pontos de

infl exão. Veja a fi gura a seguir.

Observe o gráfi co e veja que acontece exatamente isso, só queagora utilizamos o teorema que relaciona o sinal da primeiraderivada com o crescimento e decrescimento da função.

Para x > 0, a função é decres-cente e côncava para cima.

Para x < 0, a função é decrescente e côncava para baixo.

!

Dessa forma, o problema de determinar os intervalos onde uma função é

crescente e os intervalos onde ela é decrescente se reduz a determinar os

valores de x para os quais a derivada da função é positiva, isto é, resolver

a inequação f’(x) > 0, e os intervalos onde ela é negativa, isto é, determinar

os valores de x para os quais f’(x) < 0.

O que ocorre na função y = 1x

onde y’ = – 1x2

e y”= 2x3

? Estudando

o sinal da primeira derivada y’ = – 1x2

, vemos que ela é sempre negativa

no domínio da função, pois x2 > 0 para todo x, x ≠ 0. Isto signifi ca que

a função é decrescente para todo x ≠ 0.

2 x3

2 x3

1x

2 x3

6

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–1–2–3–4–5–6 1 2 3 4 5 6 7

Figura 17.3: Analisando o gráfi co de acordo com o sinal das suas derivadas.


C E D E R J162

O uso de limites nos leva a concluir o comportamento da função

quando quando e se existem assíntotas verticais,

como já verifi camos no início da análise deste gráfi co.

ATIVIDADE

1. Observe o gráfico a seguir, cuja lei é f(x) = 1 – 4x2

, e responda às

x i→ − ∞x i→ + ∞,

a. Qual o domínio dessa função?

b. Para que valores de x a função é crescente?

c. Para que valores de x a função é decrescente?

d. A função possui raízes? Quais são?

e. Onde a função é positiva?

f. Onde a função é negativa?

g. Como o gráfi co se comporta quando x i→ + ∞,? E quando

x i→ − ∞ ?

h. O que acontece quando se aproxima de valores que não pertencem ao domínio da função?

i. A função possui assíntotas? Quais são?

CURVAS MUITO ESPECIAIS: AS FUNÇÕES

Todo gráfi co de uma função é uma curva, mas temos exemplos de

curvas que não são funções, como por exemplo, as circunferências, as

elipses e algumas hipérboles que são chamadas de cônicas. Nesta aula,

vamos tratar das curvas que representam gráfi cos de funções.

3

2

1

1 2 3 4 5 6–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

f(x) = 1 – 4x2

AU

LA 17

C E D E R J 163

Ao analisar os gráfi cos das funções, normalmente investigamos

questões do tipo:

1. Qual é o domínio da função?

2. Qual é a imagem da função?

3. Para que valores de seu domínio a função é crescente?

4. Para que valores de seu domínio a função é decrescente?

5. Para que valores de seu domínio a função é constante?

6. Para que valores de seu domínio a função é positiva?

7. Para que valores de seu domínio a função é negativa?

8. A função possui um valor máximo? Qual?

9. A função possui um valor mínimo? Qual?

10. A função possui raízes?

Observando o gráfi co anterior, podemos afi rmar, sem muita

formalidade, que a curva começa no ponto (–6, 3) e caminha

continuamente até o ponto (9, –2). Daí, já é possível dizer que o conjunto-

domínio é formado por todos os números reais de –6 a 9, isto é, o intervalo

[–6, 9]. Agora, sobre o conjunto imagem, precisamos ter mais atenção,

pois neste caso é necessário observar no percurso da curva, que é

contínua, qual foi a menor e a maior imagem obtida.

!O gráfi co de cada função deve nos dar todas as informações de que precisamos sobre os elementos do domínio e os elementos da imagem. Conseqüentemente, observando o gráfico, devemos saber responder a todas as questões anteriores.

y = f(x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

– 1

– 2

– 3

– 1– 2– 3– 4– 5– 6

1

2

3

4

5

6

7

Observe o gráfi co da função y = f(x) a seguir e vamos juntos

responder ao que foi perguntado.y

x


C E D E R J164

Deslizando o lápis sobre a trajetória da curva, vemos que a

menor imagem alcançada é –3 e a maior imagem é 7. Desta forma,

Dom f = [–6, 9] e Im f = [–3, 7]. A fi gura a seguir destaca o que

acabamos de dizer.

Para analisar o crescimento e o decrescimento, lembre-se de que você

deve sempre observar o comportamento da curva da esquerda para a direita.

Ao deslizar o lápis sobre a curva, vemos que primeiro ela fi ca constante

até o ponto (–5, 3), depois desce até o ponto (–3, –3). A seguir, mantém-se

constante até o ponto (2, –3), de onde ela sobe até chegar no ponto (5, 7), a

partir do qual a curva começa a descer até seu último ponto, que é (9, –2).

É com base neste relato que respondemos aos itens 3, 4 e 5.

Atenção ao responder às perguntas! Devemos dar como resposta

os valores do domínio da função que a tornam constante, crescente ou

decrescente. Veja a solução organizada na tabela a seguir.

A maior imagem é 7

9 é o último elemento do domínio que possui imagem

Ponto (– 6,3)

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10– 1– 2– 3– 4– 5– 6– 1

– 2

– 3

Figura 17.4: Domínio e imagem da função y = f(x).

Observação na curva Valores do domínio Resposta

Constante – gráfi co

estacionado

de (–6, 3) até (–5, 3) e de

(–3, –3) até (2, –3)de –6 a –5 e de –3 a 2 [–6, –5] U [–3, 2]

Crescente – gráfi co sobe de (2, –3) até o ponto (5, 7) de 2 a 5 [2, 5]

Decrescente – gráfi co descede (–5, 3) até (–3, 3) e de

(5, 7) até (9, –2)de –5 a –3 e de 5 a 9 [–5, –3] U [5, 9]

Tabela 17.1: Análise da função y = f(x)

–6 é o primeiro elemento do domínio que possui imagem

a menor imagem é -3

Ponto (9, –2)

y

x

AU

LA 17

C E D E R J 165

Agora, vamos aos itens 6 e 7. Para responder a estes itens, é

importante saber o que é função positiva e função negativa. Uma função

é positiva quando para todo elemento x de seu domínio tem-se f(x) > 0;

já no caso em que f(x) < 0 para todo x do domínio, dizemos que a função

é negativa. Quando falamos do sinal da função, estamos nos referindo

ao sinal da imagem da função.

No estudo do sinal de uma função, é fundamental conhecermos

suas raízes, isto é, os valores em que f(x) = 0. A função y = f(x) possui

três raízes, mas não sabemos o valor exato de duas delas, por isso as

chamaremos de a e b. Isso já responde ao item 10.

Observe os intervalos destacados no gráfi co, acima e abaixo

do eixo x. Os que estão acima, juntos, formam o conjunto-solução da

inequação f(x) > 0, e os que estão abaixo representam todos os valores

para os quais f(x) < 0.

]– 6, –4[ ]– a, b[

]b, 9]]– 4, a[

Raiz real b

Raiz real aRaiz real – 4

y > 0

y < 0– 1

– 2

– 3

– 3 – 1– 2– 4– 5– 6 0 1 2 3 4 65 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

Figura 17.5: Estudo do sinal da função y = f(x).

x

y


C E D E R J166

Desta forma, os valores que tornam a função positiva pertencem

ao conjunto [–6, –4[ ∪ ]a, b[, e os valores que tornam a função negativa

formam o conjunto ]–4, a[ ∪ ]b, 9].

Respondendo aos itens 8 e 9, basta verifi car se a função possui uma

imagem maior e uma menor. Veja no gráfi co que a função possui

valor máximo igual a 7, que ocorre no ponto (5, 7) e também possui valor

mínimo igual a –3, que ocorre no intervalo [–3, 2]. Neste conjunto a

função é constante.

Figura 17.6: Valor máximo e valor mínimo da função y = f(x).

Valor máximo 7

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10– 1– 2– 3– 4– 5– 6– 1

– 2

– 3

Valor mínimo –3

x

y = f(x)

ATIVIDADE

2. Com base no gráfi co da função y = f1(x) a seguir, responda:

y = f1(x)

1

2

3

4

5

6

7

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

–1–2–3–4–5–6–7–8–1

–2

–3

–4

–5

y

y

AU

LA 17

C E D E R J 167

a. Para que valores do intervalo [-5, 7] a função é estritamente crescente?

b. No intervalo ]0, 9], a função apresenta decrescimento? Em que valores isto acontece?

c. Imagine que você esteja viajando continuamente sobre o domínio da função, isto é, no intervalo ]-8, 10], e esteja observando crescimento e decrescimento dessa função. Como você relataria suas observações?

PASSEANDO SOBRE CURVAS CONHECIDAS...

Veja, a seguir, dois gráfi cos de funções com suas respectivas leis

e observe suas características, isto é, domínio, imagem, crescimento e

decrescimento, estudo do sinal, extremos relativos, pontos de infl exão,

comportamento no infi nito. Refl ita durante um certo tempo antes de

continuar a leitura.

Figura 17.7: Gráfi cos de duas funções de domínio real para refl exão.

f(x) = 2x g(x) = x3 – x

1

2

3

4

5

–1

–2

–3

–4

–5

1 2 3 4 5–1–2–4 –3–5

1

2

3

4

6

5

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–1–2–3–4–5–6 1 2 3 4 5 6 7

Agora que você já investigou as duas curvas, vamos analisá-las.

Na função f(x) = 2x, podemos fazer as seguintes afi rmações:

• Seu gráfi co está totalmente acima do eixo x e não encosta no eixo x.

Apesar de o desenho induzir que sim, sabemos que 2x > 0 para todo x. Logo,

Im f = ]0, +∞[, o que já nos diz que a função é estritamente positiva.

• A função é crescente para todo x. Isso é fácil de observar grafi camente

e confi rmamos pelo teste da primeira derivada, pois f’(x) = 2x. ln2 é uma

função estritamente positiva, pois 2x > 0 e ln 2 > 0. Pelo fato de ser

estritamente positiva, a função não possui extremos relativos.

LN signifi ca logaritmo neperiano.


C E D E R J168

• Pelo teste da segunda derivada, que é f”(x) = 2x . ln2 2, temos

que f”(x) > 0 para todo x. Portanto, a função é côncava para cima e não

possui pontos de infl exão.

• Como o domínio da função é R, isto é, não apresenta restrições,

a função não possui assíntotas verticais.

• Observando o comportamento nos extremos laterais, temos que

limx

x

→+∞= +∞2 e lim

x

x

→−∞=2 0. Isto signifi ca que à direita o gráfi co cresce

infi nitamente e à esquerda o gráfi co se aproxima da reta y = 0, que é

uma assíntota horizontal.

Fazendo agora uma análise rápida da função g(x) = x3 – x,

somente pela observação gráfi ca podemos dizer que a função g possui

três raízes reais, a curva começa crescendo, depois decresce e volta a

crescer infi nitamente. Possui dois extremos relativos, um máximo e um

mínimo e em relação à concavidade, até o zero, a função é côncava

para baixo, e a partir do zero, é côncava para cima. Logo, (0,0) é ponto

de infl exão. Não possui assíntotas, e o comportamento do gráfi co nas

laterais é: à direita, o gráfi co cresce infi nitamente, e à esquerda, o gráfi co

decresce infi nitamente.

Vamos fazer uma análise mais formal.

• Dom f = R e Im = R.

• As raízes são dadas pela equação x3 – x = 0, que na forma

fatorada é x (x2 – 1) = 0, dando as raízes x = 0, x = 1 e x = –1.

• Estudando o sinal da primeira derivada f’(x) = 3x2 – 1, que é

uma função quadrática, com concavidade para cima e cujas raízes são

x’ = 33

e x’’ = − 33

(verifi que!), temos que para x < − 33

e para

x g x> <33

0, ’( ) , portanto, nestes dois intervalos, a função g é

crescente. Em contrapartida, quando − < < <33

33

0x g x, ’( ) ,

implicando que g(x) é decrescente neste intervalo. Usando o teste da

primeira derivada sobre máximos e mínimos relativos, o ponto onde

x = − 33

é um ponto de máximo e o ponto correspondente a x = 33

é um ponto de mínimo. Veja a ilustração a seguir.

AU

LA 17

C E D E R J 169

Figura 17.8: Utilizando a primeira derivada.

Ponto de mínimo relativo

A função g é crescente para

A função g é crescente para

Ponto de máximo relativo

A função é decrescente para

4

3

2

1

–1–2

–1

–2

1 2

x'' x'

1

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 7–1–2–3–4–5–6 –1

–2

–3

–4

–5

–6

g(x) = x3 – x

− < <33

33

x

x < –3

3 x > 33


C E D E R J170

• Para analisarmos a concavidade da função, precisamos do teorema

que fala sobre o sinal da segunda derivada. Sabemos que g”(x) = 6x. Como

se trata de uma função polinomial do 1º grau, cujo gráfi co é uma reta, o

estudo do sinal dependerá de sua raiz e da inclinação da reta.

Temos que a função g”(x) = 6x é crescente, e sua raiz é o zero,

logo, para x < 0, temos g”(x) < 0, o que nos faz dizer que a função g neste

intervalo é côncava para baixo; já para x > 0, a função g”(x) > 0, donde

concluímos que, no intervalo ]0, +∞[, a função g é côncava para cima.

Como a função é contínua, pelo teste da segunda derivada, o ponto de

infl exão ocorre quando x = 0, que é a raiz da segunda derivada.

• Finalizando, temos que lim limx x

x x xx→+∞ →+∞

− = −

=3 321

1

lim . limx x

xx→+∞ →+∞

−

321

1

= +∞, pois limx x→+∞

−

=11

12 . Analogamente,

mostramos que lim .x

x x→

− = −∞3 Com isso, a função não possui assíntotas

horizontais, conforme observamos no gráfi co.

Figura 17.9: Utilizando a segunda derivada.

Vale chamar a atenção sobre uma função do Winplot. Quando você construir um gráfi co de uma função no Winplot, ao clicar sobre a curva com o botão esquerdo do mouse, aparecem as coordenadas desse ponto. Assim, você pode fi car passeando sobre a curva e investigando questões. Verifi que você mesmo!

A função g é côncava para cima para x > 0

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7–1

–2

–3

–4

–5

–6

–1–2–3–4–5–6

A função g é côncava para baixo para x < 0

g(x) = x3 – x

AU

LA 17

C E D E R J 171

ATIVIDADE FINAL

1. Considere a função f x xx

( ) = − 1. Responda aos itens a seguir.

a. Qual o domínio dessa função?

b. Utilize a primeira derivada para estudar crescimento e decrescimento dessa

função.

c. Essa função possui extremos relativos? Justifi que.

d. A função possui raízes? Quais são? E de que forma as determinou?

e. Utilize a segunda derivada para estudar a concavidade dessa função.

f. A função f possui ponto de infl exão? Justifi que.

g. Como o gráfi co se comporta quando x i→ + ∞,? E quando ?

h. A função possui assíntotas? Quais são? E como determinou?

i. Faça um esboço do gráfi co dessa função, com base nos itens anteriores. Depois,

utilize o Winplot para construir o gráfi co desta função e veja se o seu esboço está

correto.

CONCLUSÃO

Investigar e analisar gráfi cos de funções requer muita atenção e

conhecimento sobre domínio, imagem, equações. Esta aula apresentou

formas diferentes de análise de gráfi cos, uma mais intuitiva, que vai

seguindo a trajetória e observando certos aspectos, e a outra mais formal,

utilizando para isso teoremas do Cálculo. O uso do software Winplot é

um importante recurso para o seu trabalho, pois proporciona descobertas

num espaço de tempo menor.

Esta aula, além de revisar tópicos do Ensino Médio, fez você

revisar as aplicações da derivada no estudo dos gráfi cos das funções.

Aproveite esta oportunidade para treinar suas habilidades nas derivadas,

equações e inequações.

x i→ − ∞


C E D E R J172

R E S U M O

Nesta aula, você observou que o estudo das funções não se reduz a determinar

imagens e calcular raízes. O conhecimento de seu gráfi co está relacionado a

vários conceitos da Matemática, como limites, derivadas, equações e inequações.

A visualização geométrica contribui signifi cativamente no desenvolvimento do

pensamento matemático, especifi camente no pensamento algébrico. A investigação

gráfi ca é um processo importante e deve ser bastante trabalhado por você como

uma aplicação de conceitos importantes.

Você trabalhou sob dois enfoques diferentes: num deles você tinha conhecimento

do gráfi co, e a partir daí retirava as informações necessárias; no outro, somente a

partir da lei da função você tinha de construir o gráfi co da função, tarefa muito

mais difícil!

AUTO-AVALIAÇÃO

Durante a aula, você conheceu algumas possibilidades de construção gráfi ca no

software Winplot, de domínio público. Compare os softwares já trabalhados e

faça sua opção para o caso da construção de gráfi cos.

Liste todos os resultados utilizados nesta aula e, se persistirem as dúvidas, retome

suas aulas de cálculo e peça orientação ao seu tutor.

É importante perceber que a construção de gráficos e seu entendimento

requer mais cuidados por parte do professor, pois ela envolve muitos conceitos

e resultados.

Sempre que julgar necessário, utilize tabelas com quantos valores desejar.

O importante é que você investigue os intervalos que causam difi culdades.

As Atividades 1 e 3 têm enfoques diferentes, por isso é importante entendê-las

bem para acompanhar a evolução da aula.

A Atividade Final envolve tudo o que foi visto na aula. Faça-a com atenção e

sempre que precisar volte às atividades anteriores.

AU

LA 17

C E D E R J 173


Na próxima aula, estudaremos as seqüências. Pense em algumas antes de ler a

aula!

RESPOSTAS DAS ATIVIDADES

Atividade 1

a. R*.

b. ]0, +∞[.

c. ]–∞, 0[.

d. Sim. –2 e 2.

e. ]–∞, –2[ ∪ ]2, +∞[.

f. ]–2, 0[ ∪ ]0, 2[.

g. Aproxima-se da reta y = 1, que é assíntota horizontal, pois

h. Quando x se aproxima de zero, único elemento que não pertence ao domínio

da função, a função tende a –∞, pois limx

f x→

( ) = −∞0

.

i. Sim, uma vertical de equação x = 0 e uma horizontal de equação y = 1.

Atividade 2

a. ]–5,1[.

b. ]5, 9[.

c. A função decresce do ponto (–8, 5) até o ponto (–6, –4). A partir daí, ela cresce

até o ponto (1, 7), onde estaciona (fi ca constante) até o ponto (5, 7). A seguir, a

curva decresce novamente até chegar ao ponto (10, –5).

lim .x x→

−

=0 21

41


C E D E R J174

ATIVIDADE FINAL

a. Dom f = R*.

b. é positiva para todo x do domínio, logo, a função é crescente

para x < 0 e para x > 0.

c. Não possui, pois a primeira derivada é sempre positiva.

d. Sim, basta fazer xx

− =10, o que implica x

x= 1 , ou x2 = 1, que nos dá como

solução x = 1 ou x = –1.

e. f”(x) = – 2

x3 é positiva para x < 0 e negativa para x > 0, logo, é côncava para cima

quando x é negativo e côncava para baixo quando x é positivo.

f. O ponto de infl exão poderia ocorrer em x = 0, mas isso não é possível, já que

nesse ponto a função é descontínua, pois não existe imagem para o zero.

g. Temos que já que

h. Pelo item anterior, essa função não possui assíntotas verticais. Como existe um

ponto de descontinuidade em x = 0, precisamos calcular os limites laterais quando

x tende a zero. Temos que Portanto, a

reta x = 0 é uma assíntota vertical.

i. O gráfi co da função fi ca então:

f xx

’( ) = +11

2

lim lim ,x x

xx

e xx→+∞ →−∞

−

= +∞ − = −∞

1 1 lim lim .x xx

ex→+∞ →−∞

= =10

10

lim lim .x x

xx

e xx→ →+ +

−

= +∞ −

= −∞0 0

1 1

6

x

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–3

–4

–5

–4

Vamos às progressões!

Pré-requisitos

objetivos

Meta da aula

Instrumentalizar o ensino de progressões.

18AU

LA

Para o desenvolvimento desta aula, é necessário que você saiba o conceito

de função e o de progressões. Além disso, usaremos alguns contextos

explorados na Aula 10.


• Reconhecer uma seqüência como uma função de domínio discreto.

• Aplicar diferentes contextos no ensino de seqüências.

• Reconhecer e discutir as seqüências aritméticas e geométricas.

Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Vamos às progressões!

C E D E R J176

INTRODUÇÃO O ensino da Matemática deve proporcionar ao aluno mais do que a simples

memorização, relacionando o ensino da Ciência à compreensão de signifi ca-

dos. Nesse contexto, a busca de regularidades e a generalização de padrões

são importantes tanto à compreensão do conhecimento matemático quanto

à aplicação da Matemática em outras áreas de conhecimento.

Lembre-se de acessar a disciplina na plataforma cederj. Lá você encon-trará diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.

!

Dentre os objetivos do ensino da Matemática no Ensino Médio, concluímos

que, ao fi m do Ensino Médio, o aluno deve ser capaz de:

“estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e

o conhecimento de outras áreas do currículo” (BRASIL. MEC. PCN, 1998, p. 42).

O aluno no Ensino Médio deve entender que a Matemática tem seu próprio

contexto de investigação, por ser uma ciência, mas também é uma linguagem

e um instrumento para outras áreas de conhecimento.

O ensino de funções é importante para que ele compreenda essa característica

do ensino da Matemática. Este deve ser feito de maneira integrada, tanto com

outras áreas de conhecimento quanto com o próprio conhecimento matemáti-

co. As progressões, muitas vezes, não são estudadas como funções, mas como

uma teoria isolada de outros contextos da Matemática.

Outro aspecto importante do ensino de seqüências é o enfoque muito restrito

nas progressões aritmética e geométrica. Estas são alvo de atenção especial,

mas não devem ser as únicas seqüências exploradas.

AFINAL, O QUE É UMA SEQÜÊNCIA?

Mesmo sem definir formalmente o conceito matemático de

seqüência, a idéia de ordenar com “certa harmonia”, ou de algo que tem

continuação já está presente nos alunos desde as séries iniciais. Verifi que

na atividade.

AU

LA 18

C E D E R J 177

Se modifi carmos uma só dessas operações, os números obtidos podem ser outros. A idéia de ordem modifi ca a “harmonia” dos números formados.

Uma seqüência é uma função cujo domínio é IN* ou um

subconjunto A não-vazio de IN* e o contradomínio é um conjunto B ≠ ∅. Em outras palavras, a: A → B defi nida por a(n) = b, onde n ∈ A, b ∈ B.

Quando o conjunto A = IN* , dizemos que a seqüência é infi nita.

Entretanto, se o domínio for um subconjunto {1, 2, 3, ...., n} ⊂ IN*, a seqüência é fi nita, e possui n termos.

ATIVIDADE

1. Inventei uma máquina com 4 teclas: ♣, ♦, ♥, e ♠.As funções das teclas são as seguintes:

♣ – multiplica por 2.

♦ – divide por 2.

♥ – adiciona 2.

♠ – subtrai 2.

(a) Se eu digitar o número 5 e apertar a tecla ♥ 10 vezes, que número encontro?

(b) Se eu digitar o número 10 e apertar a tecla ♦ 5 vezes, que número encontrarei?

(c) Digitei um número diferente de zero e apertei as teclas da

seguinte forma:

♣ ♣ ♥ ♦ ♥ ♠ ♦ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠.

A partir do número que encontrei, devo voltar ao número que digitei e apertar as teclas:

(I) ♥ ♦ ♠ ♠ ♣ ♣ ♥ ♠ ♣ ♠ ♦ ♦(II) ♠ ♣ ♥ ♥ ♦ ♦ ♠ ♥ ♥ ♣ ♣ ♣(III) ♣ ♣ ♦ ♥ ♥ ♠ ♦ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠(IV) ♣ ♣ ♥ ♦ ♥ ♠ ♦ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠

COMENTÁRIO

Na atividade, a seqüência numérica é obtida a partir das operações feitas pelos comandos. Por exemplo, se a partir do número 10, digitamos as

teclas ♣ ♥ ♦ ♥ ♦ ♥ ♥ ♣ ♠, formaremos a seguinte seqüência:

10 ♣ 20 ♥ 22 ♦ 11 ♥ 13 ♦ 6,5 ♥ 8,5 ♥ 10,5 ♣ 21 ♠ 19.


C E D E R J178

Costuma-se indicar a(n) = an para o termo que ocupa a enésima posição na seqüência. Essa simplifi cação de notação pode ser um dos motivos pelos quais os alunos não relacionam o ensino das seqüências ao ensino de funções.

Uma das maneiras de expressar elementos de uma seqüência é colocá-los entre parênteses, separados por vírgulas:

(1, 7, 9, 23, ...) → seqüência infi nita onde são dados os quatro primeiros termos;

(2, 4, 6, 7) → seqüência fi nita de quatro termos.

!Se substituirmos, acrescentarmos, retirarmos ou trocarmos de lugar qual-quer termo de uma seqüência, obteremos uma nova seqüência!Por exemplo:(0, 3, 6, 9, 12) e (12, 9, 6, 3, 0) são seqüências diferentes que são formadas pelos mesmos elementos.

ATIVIDADE

2. Observe a seqüência a: IN* → B, onde B ⊂ Z:(−4, 1, 5, 4, −1, −5, −4, 1, 5, 4, −1, −5, ...).Nesta seqüência, cada número é obtido pela subtração dos números anteriores.Responda:

(a) Qual é o décimo termo dessa seqüência?

(b) Determine a23.

(c) Determine a234.

(d) Qual a soma dos termos da seqüência até o vigésimo quarto termo?

(e) Qual a soma dos termos da seqüência até o termo que ocupa a posição 2541?

(f) Construa o gráfi co dessa seqüência considerando o domínio {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

(g) Sendo uma seqüência (a, b, ...) formada com o mesmo padrão da seqüência dada, qual será o conjunto-imagem desta?

AU

LA 18

C E D E R J 179

Algumas seqüências importantes...

A seqüência dos números primos é (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,

...). Sobre esses números, que se caracterizam por uma propriedade tão

simples, ainda existem muitas questões “em aberto”, as quais a Ciência

não conseguiu validar.

Entretanto, durante anos pensou-se não existir uma fórmula de

determinar números primos. Mas ela existe e é “relativamente” simples.

Ela determina todos os números primos e tão-somente eles. O incrível

deste fato é que o conjunto dos números primos é infi nito!

Essa fórmula é a seguinte:

Considere x e y números naturais e y ≠ 0.

Calcule a = x(y+1) - (y!+1).

A fórmula que dá todos os números primos (e somente esses) é:

f x yy

a a( , ) | | ( ) .= − − − − +12

1 1 22 2

!A demonstração da validade dessa fórmula você encontra na Revista do Professor de Matemática, número 37, página 19.

Essa fórmula é um pouco diferente das que estamos habituados

a usar. Ela não é uma função porque nem todos os valores de x e y

resultam em f(x, y) inteiro.

Se não analisarmos a fórmula e usarmos valores aleatórios, fare-

mos conta por muito tempo e, além disso, encontraremos infi nitamente

o 2, pois este é gerado infi nitas vezes nessa fórmula.

Mas, observe a fórmula f x yy

a a( , ) | | .= − − − −( ) +12

1 1 22 2

• Quando a ≠ 0, a2 também o será, e a2−1 será maior ou igual a zero.

Isso acarreta que | |a a2 21 1− = − , o que faz:

f x yy

a ay

a ay

( , ) | | ( )= − − − − + = − − − + + = − [ ]12

1 1 21

21 1 2

12

02 2 2 2 ++ =2 2.

Neste caso, o 2 aparecerá repetida e infinitamente.

• Quando a = 0, vamos gerar os outros primos.

Se a x y y temos x y y= + − + = + = +( ) ( ! ) , : ( ) ( ! ).1 1 0 1 1

Logo, xyy

= ++!

.11


C E D E R J180

Veja a tabela:

y

1

2

3 não serve porque x não é inteiro

4

5 não serve porque x não é inteiro

6

.

.

....

.

.

.

x = ++

=1 11 1

1!

x = ++

=2 12 1

1!

x = ++

=3 13 1

74

!

xyy

= ++!

.11

x = ++

= =4 14 1

255

5!

x = ++

=5 14 1

1216

!

x = ++

= =6 16 1

7217

103!

f( , )1 11 1

22 2 2= − [ ] + =

f x yy

a a( , ) | |= − − − −( ) +12

1 1 22 2

f( , )1 22 1

22 2 1 2 3= − [ ] + = + =

f( , )5 44 1

22 2 3 2 5= − [ ] + = + =

f( , )103 66 1

22 2 5 2 7= − [ ] + = + =

Como você pode observar, a partir do y = 7, os valores de x vão

fi cando “monstruosos” rapidamente por causa do fatorial.Os números primossão muito importan-tes na Criptografia.Procure saber maissobre isso!

!

A PROGRESSÃO ARITMÉTICA: PA

As progressões aritméticas são seqüências onde a diferença entre

cada termo e o termo anterior é sempre a mesma constante. Essa cons-

tante é chamada de razão, que indicamos pela letra “r”.

Assim, a seqüência:

(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) será uma PA se:

a2 − a1 = r

a3 − a2 = r

a4 − a3 = r

a5 − a4 = r

an−2 − an−1 = r

an−1 − an = r.

Para todo n > 3, temos:

Tabela 18.1: Cálculo dos valores de f(x, y)

AU

LA 18

C E D E R J 181

Dessa forma, mostramos a principal característica de uma PA;

o termo do meio é a média aritmética entre o termo anterior e o sucessor,

ou melhor, qualquer termo a partir do segundo até o anti-penúltimo é a

média aritmética de dois termos eqüidistantes.

!Nos livros didáticos do Ensino Médio, a seqüência sempre co-m e ç a p e l o a 1, m a s não há problema em começá-la pelo termo a0; em alguns casos, é até conveniente.

Considerando a seqüência aritmética (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...)

como (2, 5, 8, ...), temos graficamente representados os sete primeiros

termos como:

Você se lembra de que o termo geral de uma PA é dado por an = a1 + (n − 1)r?


C E D E R J182

Você mostra a validade da expressão do termo geral pelo princípio da indução fi nita. Primeiro, faça com que os alunos percebam que:

a1 = a1 + 0. ra2 = a1 + 1. ra3 = a1 + 2. ra4 = a1 + 3. ra5 = a1 + 4. r

e, a partir daí, busquem uma generalização.

!Como já vimos, isso significa que

a(n) = a(1) + (n − 1)r = (a(1) − r) + nr.

Se a1 = a(1) = 2 e r = 3, temos, por exemplo, a

seqüência cujo termo geral é

a(n) = (2 − 3) + 3n, ou seja, a(n) = 3n −1.

Assim, quando r ≠ 0, uma progressão aritmética é a

restrição de uma função afi m a um domínio contido nos

números naturais diferentes de zero. Dessa forma, o gráfi co

é uma seqüência de pontos colineares. Veja:

Gráfi co da função

afi m f(x)=3x-1

AU

LA 18

C E D E R J 183

Esse fato nos dá uma importante ferramenta de resolução de

problemas: o uso da taxa de variação.

Considere a PA onde a85 = 46 e a99 = 102. Qual é a razão dessa

PA?

É usual vermos a solução desse problema por sistemas. Mas vamos

pensar de outra maneira. Podemos pensar que:

a(85) = 46

a(99) = 102.

Como os pontos estão sobre uma reta, temos que

∆(n) = 99 − 85 = 14

e ∆(y) = 102 − 46 = 56.

!

Assim, a taxa de variação é: y

n( )( ) = =56

144 , que é a

razão da PA.

102

46

85 99

∆(n) = 99 − 85 = 14

Outra maneira de resolver esse problema, sem resolver o sistema,

tem fundamento na idéia de taxa de variação.

Como temos a85 = 46 e a99 = 102, considera-se que estamos “saindo”

da posição 85 e “chegando” à posição 99. Assim:

a99 = a85 + (99 − 85)r, ou seja, 102 = 46 + 56r e encontrando r = 4.

∆(y) = 102 − 46 = 56


C E D E R J184

ATIVIDADE

3. Observe as seqüências S1 e S2 dadas a seguir.S1: (8, 14, 20, 26, …320). S2: (−6 , −2, 2, 6, 10, …, 382).Quantos termos as duas seqüências acima possuem em comum?

Os termos comuns formarão uma nova seqüência aritmética.

Descobrindo essa seqüência, é só determinar o número de termos

da mesma.

A PA de segunda ordem...

Considere (a1 , a2 , a3 , ..., an , ...) uma progressão aritmética de razão r.

A partir dela, vamos construir uma nova seqüência (b1, b2, b3,... bn , ...),

formada da seguinte maneira:

b1 = a1

b2 = a1 + a2

bn = a1 + a2 +...+ an

Essa nova seqüência (bn) é chamada PA DE SEGUNDA ORDEM.

COMENTÁRIO

Uma PA DE SEGUN-DA ORDEM é umaseqüência (bn), ondebn = Sn, sendo Sn a soma dos termos de uma PA (an). Sabemos que a soma dos termos de uma PA é S

a a nn

n=+( )1

2 . Assim:

ba a n a a n r n a nr r n r n n

ann=

+( )=

+ + −( )( )=

+ −( )=

−( )+1 1 1 1

2

12

1

2

2

2 2.

AU

LA 18

C E D E R J 185

!Na Aula 10, vimos a justifi cativa da fórmula da soma dos termos da PA através da soma de Gauss. Além disso, você pode justifi cá-la pelo Princípio da Indução Finita ou, ainda, usando o seguinte artifício de fazer uma adição simples, escrevendo duas vezes os mesmos termos com as parcelas em ordem oposta. Veja:

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . +an – 2 + an-1 + an

+Sn = an + an-1 + . . . + a4 + a3 + a2 + a1

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + . . . + (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1).

Usando o fato de a soma dos termos eqüidistantes de uma PA serem iguais, ou seja, (a1 + an) = (a2 + an-1) = (a3 + an-2) = . . . e de que esses termos aparecem n vezes, encontramos 2Sn = (a1 + an)n ou

Sa a n

nn=

+( )1

2.

Escrita de outra maneira, a seqüência br

nr

n an = − +2 2

21.

Assim, uma PA de segunda ordem, com r ≠ 0, é uma restrição

de uma função quadrática a um domínio contido nos números naturais

diferentes de zero. Dessa forma, o gráfico é uma seqüência de pontos

que estão sobre uma parábola.

Caso r > 0 será uma parábola voltada para cima.

Caso r < 0 será uma parábola voltada para baixo.

O vértice dessa função quadrática não depende da razão. Veja:

Com isso, podemos generalizar que:

r>0

Eixo de simetria

Domínio: IN*.Pode ser visto também

como inteiros

do intervalo ]xv, +∞[.


C E D E R J186

0 1 2

r<0

Eixo de simetria

Domínio: IN*.Pode ser visto também

como inteiros

do intervalo ]xv, +∞[.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Vamos voltar aos números fi gurados vistos na Aula 10 (Figura 10.1).

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5

Figura 18.1: Números triangulares.

Construindo o gráfi co

com base na tabela

de pontos, temos:

n Tn

1 12 33 64 105 156 217 28

8 36

9 45

10 55

11 66

12 78

65

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

5

0

75

70

80

10

0 1 2 3 4 5 76 8 9 10 11 12 13

Figura 18.2: Gráfi co da seqüência de números triangulares.

AU

LA 18

C E D E R J 187

Na Tabela 10.4 (Aula 10), buscamos generalizar a formação dos

números figurados.

Nº Triangulares Nº Quadrados Nº Pentagonais Nº de um polígonoregular de r lados

1 1 1 11 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + r

1 + 2 + 3 1 + 3 + 5 1 + 4 + 7 1 + (r-1) + (2r-3)1 + 2 + 3 + 4 1 + 3 + 5 + 7 1 + 4 + 7 + 10 1+(r-1)+(2r-3)+(3r-5)

1 + 2 + 3 + 4 + 5 1 + 3 + 5 + 7 + 9 1 + 4 + 7 + 10 + 13 1+(r-1)+(2r-3)+(3r-5)+ (4r-7)

Cada termo é dado

pela soma de uma

seqüência (PA) cujo

primeiro termo é 1

e a razão é 1.

Cada termo é

dado pela soma

de uma seqüência

(PA) cujo primeiro

termo é 1 e a

razão é 2.

Cada termo é dado

pela soma de uma

seqüência (PA) cujo

primeiro termo é 1

e a razão é 3.

Cada termo é dado pela

soma de uma seqüência

(PA) cujo primeiro termo é

1 e a razão é (r − 2).

Tabela 18.2: Tabela 10.4.

Escrita de outra maneira, a seqüência br

nr

n an = − +2 2

21

Devemos ter cuidado, pois o r da tabela era o número de lados

do polígono. Agora o r signifi ca a razão.

Assim:

Tabela 18.3: Descrição das leis de formação

Número de lados do polígono

Razão da PA que envolve a soma dos

termosPrimeiro termo

Lei de formação do número em função da

posição

3 1 1

4 2 1

5 3 1

6 4 1

7 5 1

... ... ... ...

r + 2 r 1

T n nn = − +2 1

T n nn = − +32

32

12

T n nn = − +2 2 12

T n nn = − +52

52

12

Tr

nr

nn = − +2 2

12

Agora temos outra ferramenta para buscar generalizações:


C E D E R J188

ATIVIDADES

4. Considere a seqüência de números pentagonais.a. Construa um gráfi co com os 10 primeiros números pentagonais

b. Qual o centésimo número pentagonal?

c. O número 1024 é um número pentagonal?

AU

LA 18

C E D E R J 189

5. (Adaptada do vestibular UFRJ 2004) Felipe começa a escrever números naturais em uma folha muito grande, como mostra a fi gura a seguir:

Considerando que Felipe mantenha o mesmo padrão em todas as linhas:a. Determine quantos números naturais ele escreverá na 50ª linha.

b. Determine a soma dos números escritos na 50ª linha.

c. Prove que a soma de todos os elementos de uma linha é o quadrado de um número ímpar.


C E D E R J190

A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI

Os números da seqüência de FIBONACCI são formados da seguinte

maneira:

O primeiro e o segundo número são fi xos e iguais a 1.

a1 = 1 e a2 = 1.

Os outros termos são obtidos pela soma dos dois anteriores,

a3 = 2 = 1+1,

a4 = 3 = 2+1,

a5 = 5 = 3+2,

a6 = 8 = 5+3,

e assim por diante.

LEONARDO FIBONACCI

Foi um matemático que nasceu na Itália em 1180 e morreu em 1250. Fibonacci signifi ca “fi lho de Bonaccio”.

A fórmula para a obtenção da seqüência de Fibonacci é recursiva,

conceito que vimos na Aula 10:

F(1) = e F(2) = 1,

F(n) = F(n-1)+F(n-2), para n = 3,4,5, ...

A história conta que Fibonacci começou a investigar essa seqüên-

cia no estudo de uma população de coelhos. O problema dos famosos

coelhos de Fibonacci foi investigado em 1202, e consistia em adaptar a

procriação de coelhos a certas condições ideais.

O problema considera um par recém-nascido de coelhos, um

macho e uma fêmea. Esses coelhos são capazes de acasalar com um mês

de nascidos. Assim, com mais um mês, ou seja, no fi m do segundo mês

de vida, a fêmea pode gerar outro par de coelhos.

Suponha que nossos coelhos nunca morrem, e que o coelho fêmea

sempre gera exatamente um novo par, um macho e uma fêmea, a cada

mês, do segundo mês de vida em diante.

O quebra-cabeças de Fibonacci consistia em saber quantos pares

teremos em um ano.

• No fi m do primeiro mês, temos uma fêmea e um macho que

irão se acasalar. Eles são só 1 par.

• No fi m do segundo mês, a fêmea gera um novo par, então agora

são 2 casais de coelhos.

• No fi m do terceiro mês, a fêmea original dá à luz mais um par,

formando 3 pares no total.

• No fi m do quarto mês, a fêmea original produz outro novo

par, mas a fêmea nascida há dois meses produz seu primeiro par.

São agora 5 pares.

AU

LA 18

C E D E R J 191

1

1

2

3

5

O número de pares de coelhos a cada mês é dado pela posição do

número na seqüência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...). Assim, podemos

calcular o número de coelhos no fi m de 12 meses. Aliás, quantos são?

O problema dos coelhos não é muito realista; difi cilmente cada

nascimento é de exatamente dois coelhos, um macho e uma fêmea.

Entretanto, encontrou aplicação em outros campos da Matemática.

Por exemplo, a seqüência aparece no triângulo de Pascal.

Número de pares

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

5

20

21

5

20

21

8

1

5

20

21

8

1

1

10

15

7

1

1

10

15

7

1

1

10

15

7

1

4

10

6

1

4

10

6

1

4

10

6

1

1

6

5

1

1

6

5

1

1

6

5

1

3

4

1

3

4

1

3

4

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

111

111

1

3

1

1

3

1

1

3

1

11

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

1 + 3 + 1= 5

1 + 4 + 3 = 8

1 + 5 + 3 + 1 = 13

1 + 6 + 10 + 4 = 21

1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34

1 + 8 + 21 + 20 + 5 = 55


C E D E R J192

ATIVIDADE

6. Considere o triângulo de Pascal e a maneira como a seqüência de Fibonacci aparece no mesmo.a. Escreva F(8) (o oitavo número de Fibonacci), usando os números binomiais que compõem as parcelas da adição no triângulo de Pascal.

b. Agora, com o mesmo raciocínio, escreva uma adição de números binomiais que expresse F(10).

COMENTÁRIO

Para fazer o item b, você pode completar o que falta no triângulo de

Pascal.

Vamos, agora, montar quadrados justapostos com os números

de Fibonacci.

Começamos justapondo os dois quadrados de medida do lado 1.

Agora vamos ao

terceiro quadrado, que tem

medida do lado 2 (terceiro

número da seqüência).

Construímos, então, os qua-

drados cujas medidas dos lados são

3, 5, 8 e 13 (quarto, quinto, sexto e

sétimo números da série).

!

De forma geral, F(n) =

onde r é o maiorinteiro, tal que n > 2r.

F nn i

ii

r

( ) =−( ) −

=

∑ 1

0

AU

LA 18

C E D E R J 193


C E D E R J194

Com arcos, nesse retângulo, construímos uma espiral “mágica”,

onde estão presentes muitas formas da Natureza.

Imagem disponível em:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fi bonacci/seqfi b2.htm

Quando tiver oportunida-de, assista ao filme Pato Donald no país da Mate-mágica. O filme explora, com excelentes imagens, esse e outros contextos da Matemática.

!

AU

LA 18

C E D E R J 195

No limite da razão entre dois termos consecutivos da seqüência de Fibonacci,

encontramos o número de ouro: φ = 1 52

+ ≅ 1,61803398874989. Observe:

A PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) − JUROS

A progressão geométrica (PG) se caracteriza por obtermos cada

termo multiplicando o anterior por uma constante.

Assim, a seqüência

(a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) será uma PG se:

FF( )( )21

11

1= =

FF( )( )32

21

2= =

FF( )( )

,32

32

1 5= =

FF( )( )

,43

53

1 6666666= ≅

FF( )( )

,54

85

1 6= =

FF( )( )

,65

138

1 625= =

FF( )( )

,76

2113

1 6153846= ≅

FF

( )( )

,87

3421

1 6190476= ≅

FF( )( )

,98

5534

1 6176471= ≅

aa

q2

1

=

aa

q3

2

=

aa

qn

n

−

−

=2

1

aa

qn

n

− =1 .

.

.

.


C E D E R J196

aa

q

aa

q

aa

aa

a a a a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n n n

−

−

−

−

−

−− −

=

=⇒ =

⇒ = ⋅ ⇒

2

1

1

2

1

11

22 nn n na a− −= ⋅1 2

Para todo n > 3, temos:

Isso nos mostra que o módulo do termo do meio é a média

geométrica entre o termo anterior e o sucessor; por isso, o nome

“progressão geométrica”. Essa propriedade é válida para quaisquer

dois termos eqüidistantes.

Você sabe que o termo geral da PG é dado por an = a1qn−1.

Desse modo, o gráfi co da PG obedece ao modelo exponencial.

Veja os gráfi cos das progressões geométricas:

(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256) e (32; 16; 8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25).

Gráfi co da PG (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256) Gráfi co da PG (32; 16; 8; 4; 2; 1; 0,5; 0,25)

AU

LA 18

C E D E R J 197

A primeira é uma PG cujo primeiro termo é 2 e a razão é 2,

modelada pela função an = 2.2n−1 = 2n e é uma função crescente.

No segundo, o primeiro termo é 32, e a razão é 12

, onde bn=25.21-n=26-n.

O ensino da PG não costuma apresentar grandes dificuldades

na compreensão do termo geral e na soma de termos quando o trabalho

é associado e comparado ao da PA.

Atenção especial deve ser dada à soma da PG infinita, onde

|q| ≤ 1. Essa questão envolve mais do que a manipulação da fórmula,

mas a discussão do infinito limitado.

!

Pesquisas em Educação Matemática apontam que a compreensão do infi nito ilimitado não é alvo de grandes proble-mas de compreensão; entretanto, o mesmo não ocorre no trabalho com o infi nito limitado, onde o aluno deve per-ceber que em um inter-valo da reta existem infi nitos pontos.

Para que os alunos percebam quando a soma de termos de uma

PG infi nita é limitada, é interessante que o professor proponha o cálculo

da soma de várias seqüências diferentes. É um bom momento para usar

a calculadora em sala de aula.

Por exemplo, considere as progressões geométricas:

(3, 6, 12, ...)

112

14

18

, , , ,....

(2,-4,8,-16,...)

(2,-2,2,-2, ...)

Quando o número de termos tende ao infinito, podemos

concluir que a soma dos termos da primeira PG tenderá a +∞. Na

terceira PG, se a posição é par, a soma tende a –∞; já se a posição

é ímpar, a soma tende a +∞, dessa forma o limite não existe.

Na quarta PG, o limite não existirá.

Na segunda PG, sabemos que a soma nunca passará de 2. Ao

aluno do Ensino Médio deve ser dada a chance da investigação e do

convencimento antes de ser dada a fórmulaa

1 q1

−S =

!Uma aplicação muito importante da PG é no cálculo de juros compostos. Pesquise a respeito. Você pode encontrar esse assunto na maioria dos livros de Ensino Médio.

.


C E D E R J198

Observe a seqüência de fi guras:

“De sucessões de imagens como estas, defi nidas por regras muito simples, conseguimos obter apenas meia dúzia de termos, mesmo recorrendo aos melhores instrumentos de desenho. Mas, com um computador, o processo pode continuar indefi nidamente, obtendo-se, porém, fi guras com pormenores invisíveis a olho nu. Ora, aí entra em cena a enorme capacidade de ampliação dos modernos computadores que torna possível visualizar os termos avançados destas sucessões, fornecendo imagens incrivelmente belas. O limite de uma sucessão de fi guras como as anteriores é um fractal.

http://www.alu.por.ulusiada.pt, em 10 de dezembro de 2003

A partir de um triângulo equilátero cuja área mede 4cm, construímos a primeira

fi gura da seqüência. Determine o limite da área do fractal, ou seja, o limite da

soma de todas as áreas hachuradas.

CONCLUSÃO

Nesta aula, você pôde observar vários tipos de seqüência e suas

aplicações em outras áreas da Matemática. Investigar e analisar a forma-

ção da seqüência e a busca do termo geral faz com que você aprofunde

seus conhecimentos e aprenda outros. O uso das funções é uma estraté-

gia para fazer com que o aluno estabeleça diversas conexões sobre esse

conceito, que é tão importante na Matemática.

Esta aula, além de revisar tópicos do Ensino Médio, tais como o

triângulo de Pascal, taxa de variação, função, geometria plana etc.; passeou

por tópicos extremamente importantes como, por exemplo, os números

primos, a seqüência de Fibonacci e o número de ouro. Pesquise mais sobre

esses assuntos; você vai descobrir um mundo impressionante!

ATIVIDADE FINAL

AU

LA 18

C E D E R J 199

R E S U M O

O estudo das funções esteve novamente enfocado. Mas, agora, as funções

vistas são de domínio natural. O modelo da PA é linear e o da PG é exponencial.

A Geometria também apareceu no número de ouro, nos números triangulares.

Isso contribui signifi cativamente no desenvolvimento do pensamento matemático,

pois a investigação gráfi ca é uma ação importante para visualizar o conceito e

amadurecê-lo e, então, utilizar a Álgebra na formalização.

AUTO-AVALIAÇÃO

Durante a aula, você conheceu algumas possibilidades de contextualização das

seqüências na Matemática e em outras áreas do conhecimento. Compare as

abordagens apresentadas com as que você já vivenciou sobre esses tópicos e

registre os aspectos positivos e negativos das diferentes abordagens.

Liste as seqüências vistas nesta aula e escreva algo sobre elas, pois esta é uma

forma de você constatar o que fi cou apreendido e no que ainda é preciso investir.

Faça todas as atividades, pois cada uma trabalha um aspecto da seqüência ou uma

nova seqüência.

Em caso de dúvidas, não deixe de conversar com seus colegas ou procurar o seu

tutor no pólo.


Na próxima aula, você aprenderá e se divertirá com a Torre de Hanói.


C E D E R J200

Atividade 1

a. 25.

b. 0,3125.

c. (I).

Atividade 2

a. 4.

b. − 5.

c. − 4.

d. 0.

e. 10.

f.

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

g. {a, b, b − a, −a, −b, a − b}.

Atividade 3

Observe que a seqüência dos termos comuns começa no 26 e termina no 314.

É uma seqüência de razão 24 e tem 13 termos.

RESPOSTAS

AU

LA 18

C E D E R J 201

Atividade 4

T n nn = − +32

32

12 Tn = − + =32

10032

100 1 148512

c. Se 1024 for um número pentagonal, então existe n, tal que

3n2 − 3n + 1 = 1024.

Assim, n = 1 13652

± . Mas 1365 é irracional (1365 = 3.5.91).

Logo, não existe um número natural satisfazendo a condição. Assim,

1023 não é um número pentagonal.

Atividade 5

.


C E D E R J202

Atividade 6

a. F(8) = 21.

F(8) = 1 + 6 + 10 + 4 = 7

0

6

1

5

2

4

3

+

+

+

b. F(10) = 9

0

8

1

7

2

6

3

5

4

+

+

+

+

Atividade Final

Vamos chamar a área de cada fi gura de An.

A1= 414

1. =

A2= 414

314

14

⋅ + ⋅ ⋅

= 4

14

314

2

⋅ + ⋅

A3= 414

314

14

91

1614

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

4

14

314

914

2 3

⋅ + ⋅

+ ⋅

=

A4= 414

314

14

91

1614

271

3214

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= 414

314

914

2714

2 3 4

⋅ + ⋅

+ ⋅

+ ⋅

Cada área envolve uma soma de termos de uma PG cujo primeiro

termo é 1 e a razão é . Logo, A = A∞ = .

.

.

.

a. Observe que a seqüência dos últimos números de cada linha é

uma PA (1, 4, 7, 10, ...) cuja razão é 3. Assim, o último termo da primeira

linha é (1 + 3.49) = 148. Você também pode ter montado diretamente

uma expressão para o número de linhas da forma (2n − 1), onde n é a

linha em questão.

c. Primeiro elemento da linha: n

Último elemento da linha: 2n − 1

Número de termos da linha: n + 1

S50250 148 99

299 9801= + = =( )

b.

Sn n n n n

nn = + − − = − − = −( )( ) ( )( )( )

3 2 2 12

2 2 1 2 12

2 1 2

Movendo discos, formando torres e pensando

indutivamente


• Utilizar as Torres de Hanói como recurso de aprendizagem.

• Estudar regularidades.

• Aplicar o conceito de função na análise de movimentos de peças das Torres de Hanói.

• Refl etir criticamente sobre a avaliação em Matemática.

Pré-requisitos

Para o bom desenvolvimento desta aula, é aconselhável que você revise o princípio da indução fi nita (ou matemática), na Aula 4

da disciplina Álgebra I.

objetivos

Meta da aula

Instrumentalizar o trabalho com as Torres de Hanói.

19AU

LA

Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Movendo discos, formando torres e pensando indutivamente

C E D E R J204

Conforme você identifi cou nos objetivos desta aula, revisaremos o conceito

de função e de indução fi nita utilizando um jogo: Torres de Hanói. Apesar

de a importância do uso de jogos em aulas de Matemática ser sempre ressaltada,

muitos professores não o incluem em seus planejamentos. É comum utilizarem

jogos e situações lúdicas apenas como passatempos. Esta não é nossa proposta,

conforme você perceberá nesta aula.

INTRODUÇÃO

Além de promover a socialização e despertar o espírito investigativo, importantes no processo de matematizar, o jogo provocará mudanças de atitude em relação ao erro. Assim, professor e aluno passarão a reconhecer o erro como potencial no processo de matematização.

O JOGO E A PRÁTICA EM SALA DE AULA

Por ser o jogo uma atividade inata às crianças, o professor pode

aproveitar o lúdico para fazer com que o processo ensino-aprendizagem,

em especial o de Matemática, seja mais motivador e divertido, sem que

a prática pedagógica seja confundida com falta de proposta educativa.

Segundo Giménez e Rosich (1998), um jogo possui as características

de vertente lúdica, fator de azar, tempo limitado e conteúdo curricular

implícito. Como componente lúdico, o jogo confere um valor motivacional

de atitudes e de predisposições ao livro didático. No mais, fomenta

o processo de socialização, uma vez que tem um componente social

indubitável, na medida em que estabelece efetivas reações de aceitação,

cumprimento de regras etc. O azar é um dos principais elementos sociais

do jogo, por desenvolver no aluno o hábito de ganhar ou perder como

inerente ao processo. O tempo e o número limitado de movimentos

de um jogo fazem com que seja possível utilizá-lo também como base de

situações didáticas, e o conteúdo curricular (conceitos, procedimentos e

atitudes) do jogo não pode fi car em segundo plano.

AU

LA 19

C E D E R J 205

O MITO (FERRERO, 1991; MACHADO, 1992) DO TEMPLO DE BENARES, no qual Deus, no momento da criação, colocou 64 discos de ouro puro, todos de tamanhos diferentes, em uma das três agulhas de diamante fi xadas numa placa de cobre. O maior disco seria a base da torre, e o menor, seu topo: era a Torre de Brahma. A tarefa dos sacerdotes do templo seria transportar a torre para outra agulha de diamante, movendo um disco de cada vez, nunca colocando um disco maior sobre outro menor. Ainda segundo o mito, quando a tarefa fosse cumprida, o mundo desapareceria.

Como você viu, o jogo também nos permite matematizar. Consi-

deramos matematizar como um processo construtivo, fortalecido pela

interação pessoa/grupo, na qual as idéias matemáticas constituem e são

constituídas de signifi cações e sentidos, a partir do que “falam” (gesti-

culam, desenham ou qualquer outra maneira de representar e comunicar

suas idéias) os alunos. Complementa Powell (1996): matematizar é um

processo natural, inerente ao ser humano, devendo ser propiciado desde

a infância; depende da capacidade que todos os seres humanos têm de

tomar consciência de um evento ou acontecimento.

Propor diferentes jogos como detonadores do processo de matematização e refl etir continuamente sobre a prática avaliativa em Matemática devem ser objetivos constantes do professor.

Vejamos, então, o jogo Torre de Hanói (ou Torres de Hanói),

bastante conhecido pelos professores.

O JOGO TORRE DE HANÓI

Este jogo foi construído a partir de um interessante MITO INDIANO

DO TEMPLO DE BENARES.

O jogo Torre de Hanói tem caráter motivador e aspecto inves-

tigativo que se adaptam a diferentes séries. Sua regra: mover um

disco de cada vez e sempre impedir que um disco maior fi que sobre

um menor. O desafi o é descobrir o número mínimo de movimentos que

podem ser realizados para deslocar determinada quantidade de discos

de uma torre a outra. Veja, a seguir, a ilustração de um jogo com seis

discos e três torres.


C E D E R J206

Figura 19.1: Exemplo de um jogo com seis discos.

C

A

B

O jogo é encontrado facilmente em lojas de materiais pedagógicos, mas também pode ser construído utilizando-se madeira, cartolina, papelão ou até mesmo moedas.

Supomos que você esteja muito empolgado e interessado em

conhecer melhor o jogo, fazendo-o você mesmo.

ATIVIDADE

1. Consiga ou construa um jogo Torres de Hanói e jogue-o.

COMENTÁRIO

Inicialmente, não se preocupe em encontrar o número mínimo de movimentos.

Este primeiro contato exploratório, jogando livremente, é importante no

processo de reconhecimento e familiarização com o recurso. Lembre-se

das regras: (1) mover um disco de cada vez, e (2) um disco maior não

pode fi car sobre um menor. Não se esqueça de anotar suas descobertas e

questionamentos.

Como você sabe, a internet pode ser uma grande aliada do professor em

suas aulas, seja na busca de informações para elaborar planejamentos, seja

como recurso para desenvolver atividades matemáticas. Assim, caso tenha

possibilidade de acesso à rede, realize a atividade seguinte.

Lembre-se de que o desafi o é descobrir o número mínimo de movimentos que podem ser realizados para mover determinada quantidade de discos de uma torre a outra.

AU

LA 19

C E D E R J 207

ATIVIDADE COMPLEMENTAR

1. Acesse http://www.fortalnet.com.br/jogos/hanoi/hanoi.htm e jogue.

Este site também está disponível na plataforma Cederj. Acesse-a constantemente!

COMENTÁRIO

Jogar na internet ou utilizar o programa do jogo salvo num arquivo

específi co e comparar suas descobertas, após manipular o jogo, podem

ser ricas experiências de aprendizagem. Anote suas observações sobre esta

comparação num quadro como o seguinte.

Torre de Hanói Observações: facilidades, difi culdades, curiosidades, diferenças etc.

Manipulando o jogo

Jogando na internet ou no programa salvo

Quadro 19.1: Respostas da Atividade Complementar 1

Converse com o tutor e com os colegas. Caso não consiga realizar

a atividade complementar, por problemas de conexão ou quaisquer

outros, não se preocupe: se fez a Atividade 1 e registrou suas descober-

tas e questionamentos, podemos continuar, sem problemas.

Supomos que você tenha feito várias observações sobre o seu primeiro con-tato com o jogo. Pela experiência que temos com nossos alunos, encontrar o número mínimo de movimentos não é tão simples nas primeiras tentativas. No entanto, todo este processo é imprescindível para o desenvolvimento crítico do pensamento algébrico.


C E D E R J208

ATIVIDADE

2. Com base em suas anotações feitas na Atividade 1, tente responder ao desafi o do jogo, construindo e preenchendo a tabela seguinte:

COMENTÁRIO

Você deve ter percebido que tentar descobrir o número mínimo de movimentos

para o maior número de discos da torre que você tem não é simples;

exige várias tentativas, que, muitas vezes, divergem no resultado fi nal. Para isso,

a construção da tabela é importante. Desta forma, você pode registrar o

número mínimo de movimentos e ir identifi cando regularidades.

Você verá que, ao perceber determinadas regularidades e estar realmente convencido delas, não necessitará mais manipular sempre o mate-rial. No entanto, se sentir necessidade, jogue; é impor-tante.

Número de discos Número mínimo de movimentos

1

2

3

4

5

6

Tabela 19.1: Respostas da Atividade 2

Antes de continuar a leitura da aula, sugerimos que você converse

com colegas e com o tutor sobre suas descobertas e difi culdades com

as Torres de Hanói. Não se esqueça de anotá-las, pois precisará delas

na Atividade Final.

É possível que você já tenha se dado conta de que, no trabalho

com as torres, utilizamos RACIOCÍNIO INDUTIVO.

RACIOCÍNIO INDUTIVOConforme você estudou em Álgebra I, uma forma de demonstrar certos resultados matemáticos é mediante o uso da indução matemática. Este princípio tem base no fato de qualquer subconjunto dos números naturais conter um elemento mínimo. Por isso, o raciocínio indutivo deve ser utilizado exclusivamente para demonstrar as proposições dadas por números naturais. Para utilizarmos a indução matemática, temos de contemplar três etapas: (1) verifi car se P(n) é verdadeira para o menor número, onde P(n) está defi nida; (2) supor que P(n) é verdadeira para todo número; (3) provar que P(n+1) também é verdadeira.

AU

LA 19

C E D E R J 209

Lembra-se dos seus diários produzidos para Instrumentação

de Geometria? Nesta aula, você conhecerá e analisará parte de diários

produzidos por alunos do Ensino Médio e do Ensino Superior sobre

o trabalho com Torres de Hanói. Inicialmente, relembremos o roteiro que

utilizamos para a elaboração dos diários (BAIRRAL; DA SILVA, 2004).

– Data

– Carga horária

– Tema principal da aula

– Palavras-chave

– Qual(is) foi(ram) o(s) objetivo(s) da(s) aula(s)?

– O que você aprendeu? O que precisa de esclarecimento?

– Descreva brevemente um momento especialmente signifi cativo no desenvolvimento da aula

– Identifi que algo que o tenha surpreendido e feito você levantar perguntas etc.

– Procure explicar algo que o tenha deixado confuso, alguma difi culdade, uma dúvida ou pergunta não esclarecida.

– Sugestões e outros comentários que considere importantes

– Bibliografi a (utilizada, sugerida etc.).

Avalie de 1 a 10:

A aula como um todo:

O professor:

O seu grupo:

Os demais grupos:

Você mesmo:

Quadro 19.2: Roteiro para elaboração de diários de campo

É importante enfatizar aos alunos que eles não precisam seguir a ordem das perguntas e tampouco que o façam como pergunta seguida de resposta. Os itens são orientadores do conteúdo esperado nos diários, sejam eles indi-viduais ou coletivos.


C E D E R J210

Iniciemos com diários de estudantes da 1ª série do Ensino Médio.

Na experiência (BAIRRAL; CARPI, 2002), os alunos trabalharam em

grupos de, no máximo, quatro componentes. Vejamos parte dos textos

produzidos por três dos grupos.

ATIVIDADES

3. Nesta atividade, vamos analisar descobertas dos alunos da professora Angela Carpi. O trabalho durou dez aulas. Inicialmente, você deve ler atentamente parte do diário de cada grupo e as observações feitas por Bairral e Carpi (2002), que selecionamos, e ir fazendo suas anotações. Mãos à obra!

Grupo 1

O primeiro grupo produziu uma tabela e observou o jogo em seus detalhes:

nº de discosnº de

movimentos

1

2

3

4

5

6

1

3

7

15

31

63

(...)

Nesta estratégia, descrevendo quantos movimentos cada disco fazia, o grupo verifi cou a presença das potências de 2. Olhar e descrever o jogo em suas partes, em seus mínimos detalhes, de uma forma única, demonstram que o grupo assumiu uma atitude de curiosidade e investigação que conduziu à elaboração de uma generalização esboçada a partir deconhecimentos anteriores (as potências). Esta estratégia permitiu que se estabelecesse uma fórmula por meio da observação e da dedução do que ocorre com as somas das potências de 2.

Grupo 2

Este grupo afi rmou, de forma singular, que o disco maior move-se apenas uma vez, enquanto os outros percorrem em dobro o mesmo número de movimentos.

Ao fazer a representação disto na tabela a seguir, o grupo usou a linguagem matemática para mostrar, de forma clara e precisa, que o número de movimentos é sempre ímpar.

1 1 + 2 4 + 2 + 1 8 + 4 + 2 + 1

3 7 15

f(x) = 20 + 21 + 22 + 23 + 2 x - 1

x vezes

x - 1

=

12

12

1

421

48

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C E D E R J 211

Para sermos mais objetivos, formulamos esta tabela, que indica o número mínimo de jogadas para o número de discos utiliza-dos:

Tabela 19.2: Análise de jogadas

Peças Número de jogadas Total

3 3 1 3 7

4 7 1 7 15

5 15 1 15 31

6 31 1 31 63

7 63 1 63 127

A turma reagiu à apresentação deste grupo, pois a tabela apresentava algo que os outros grupos não haviam observado. Na comunicação estabelecida, o grupo 2 conseguiu mostrar para os colegas que a tabela apresentava de forma fi el o que ocorria durante o jogo. A professora aproveitou esta oportunidade para recorrer ao trabalho do grupo 1 e verifi car, junto com os alunos, que o olhar sobre o movimento de cada peça confi rmava que o disco maior movia-se apenas uma vez.

Grupo 3

A refl exão deste grupo foi explicitada por meio de um texto que afi rmava o envolvimento coletivo dos alunos do grupo com o trabalho.

Nós conseguimos deduzir, descobrir a fórmula que estabelece o número mínimo de movimentos para cada quantidade de discos, e aí está ela: 2n + 1. Nós a descobrimos depois de muito trabalho, depois de passarmos horas e horas com uma folha à nossa frente com o número de discos e seus respectivos números mínimos de movimentos, estabelecendo relações até não poder mais; vamos tentar explicar como chegamos a essa fórmula.

Como quase todos os grupos, este também observou a relação que estabelece o número de movimentos para um determinado número de discos ao enunciarem a fórmula 2n + 1. Tal procedimento implica, por exemplo, que para mover 20 discos, é necessário conhecer o número de movimentos para 19 discos. Este raciocínio recursivo é natural em alguns casos e, apesar de ser trabalhoso, tem de ser considerado pelo professor como uma das primeiras descobertas que ajudará na integração e na descoberta de outras novas relações. Por exemplo, o grupo percebeu que:


C E D E R J212

Observamos também que todos os números mínimos de movimentos são primos e ímpares, e que todos seguem uma seqüência a partir do último número. Esta seqüência seria: 7, 5, 1 e 3; como podemos ver, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1.023, ... (respectivamente, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 discos).

O destaque para esta descoberta esteve na observação de que todos os algarismos da unidade, dos números que representam os movimentos dos discos, aparecem nesta ordem, ou seja, 7, 5, 1, 3. Além de identifi carem esta regularidade, uma importante competência em Matemática, o trabalho deste grupo possibilitou ao professor explorar e desenvolver uma outra competência: o levantamento de hipóteses e a sua investigação.

A resposta da Atividade 3 consiste no seguinte: imagine que os textos produzidos são de seus alunos. Conforme você observou, eles fi zeram descobertas interessantes, que poderiam ser consideradas em aulas posteriores para debates e outros desdobramentos. Por exemplo:

Quadro 19.3: Análise fi nal da Atividade 3

Grupo 1 Buscou entender por que seria potência de 2

Grupo 2 Mostrou que o número mínimo de movimentos é sempre ímpar

Grupo 3 Ressaltou que todos os números mínimos de movimentos são primos e ímpares

Escolha uma das observações anteriores e elabore uma justifi cativa que você poderia utilizar com seus alunos, caso alguns tivessem dúvida.

COMENTÁRIO

Independentemente da observação escolhida, é importante você ter percebido

que uma delas não está correta. Se preferir, analise-as todas. Converse com

colegas e com o tutor.

Vejamos refl exões e parte de textos de alunos do Ensino Superior. Os alunos também trabalharam em grupos de quatro jogadores durante umas oito aulas.

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C E D E R J 213

4. Como fi zemos na atividade anterior, agora você analisará, como professor, respostas de diferentes grupos no trabalho com a Torre de Hanói. Inicie lendo atentamente as descobertas de cada grupo e fazendo suas anotações.

Grupo 1

Nº de discos Nº de movimentos

1 1

2 3 (3 – 1 = 2)

3 7 (7 – 3 = 4)

4 15 (15 – 7 = 8)

5 31 (31 – 15 = 16)

6 63 (63 – 31 = 32)

7 127 (127 – 63 = 64)

Para descobrir a quantidade de movimentos a serem feitos (MT) para um determinado número de discos, basta somar a quantidade de movimentos anteriores (MA) com a quantidade de discos que queremos mover (MD), isto é, MT = MA + MD.

Fórmula para o movimento da torre com n discos (observe tabela anterior): seja an o número mínimo de movimentos com n discos. De acordo com a tabela, vemos que:

an= 2an-1 + 1

an – an-1= 2n-1.

Resolvendo o sistema para an, chegamos à fórmula que determina o número mínimo de movimentos: an= 2n – 1.

Estratégias para conseguir um número mínimo de movimentos. Considere

T1

T2

Se quisermos mover a pilha de T1 para T2 (sentido horário), então:

(1) se o número de discos for par, o primeiro disco deve ser colocado em T3 (sentido anti-horário).

(2) se o número de discos for ímpar, o primeiro disco deve ser colocado em T2 (sentido horário).

Obs.: Esta estratégia serve para o movimento das torres interme-diárias também.


C E D E R J214

Grupo 2

...Para cada disco a mais que colocamos, o número de movi-mentos dobrava e aumentava em 1, como mostra o esquema abaixo:

Nª de discos Movimentos numéricos necessários

1 1 (x2 + 1 = 3)

2 3 (x2 + 1 = 7)

3 7 (x2 + 1 = 15)

4 15 (x2 + 1 = 31)

5 31 (x2 + 1 =...)

... ...

N X (2 + 1)

Notemos que, ao aumentarmos o número de discos em 1 unidade, o número de movimentos dos discos aumenta, segundo uma P.G. de razão 2. Logo, podemos determinar o número de movimentos para qualquer número de discos.

Grupo 3

...Variando o número de discos e tentando identifi car que número expressa o mínimo de movimentos necessários [...], passamos à tarefa de generalizar para um número n de discos. Veja os passos utilizados nesses raciocínios:

1º passo:

Nº de discos Nº mínimo de movimentos

1 1

2 3

3 7

4 15

5 31

6 63

7 ?

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C E D E R J 215

2º passo

a1 = 1

a2 = 2a1 + 1

a3 = 2a2 + 1

a4 = 2a3 + 1

a5 = 2a4 + 1

a6 = 2a5 + 1

3º passo

a7 = 2a6 + 1

a7 = 2 . 63 + 1= 127

4º passo

an = 2 (an–1 + 1)

n = nº de discos

a = nº min. de mov.

6º passo

an = 2n – 1

5º passo

a7 = 2a6 + 1

a7 = 2 (2a5 + 1) + 1

a7 = 4a5 + 3

a7 = 4 (2a4 + 1) + 3

a7 = 8a4 + 7

a7 = 8 (2a3 + 1) + 7

a7 = 16a3 + 15

a7 = 16 (2a2 + 1) + 15

a7 = 32a2 + 31

a7 = 32 (2a1 + 1) + 31

a7 = 64a1 + 32 + 31

a7 = 64 + 32 + 31

a7 = 27-1 + 27-2 + 27-2 – 1

a7 = 27-1 + 2 (27-2) – 1

a7 = 27-1 + 27-1 – 1

a7 = 2 (27-1) – 1

a7 = 27 – 1

Grupo 4

Tabela 19.3: Organização das respostas do grupo 4

Quantidade de discos das torres (n)

Quantidade de movimentos das peças nas torres Total de movimentosPç 1 Pç 2 Pç 3 Pç 4 Pç 5 Pç 6 Pç 7

1 1 0 0 0 0 0 0 1

2 2 1 0 0 0 0 0 3

3 4 2 1 0 0 0 0 7

4 8 4 2 1 0 0 0 15

5 16 8 4 2 1 0 0 31

6 32 16 8 4 2 1 0 63

7 64 32 16 8 4 2 1 127


C E D E R J216

– A tabela apresentada anteriormente forma uma matriz triangu-lar inferior, com a diagonal principal contendo todos os termos iguais a 1, apresentando sete divisores do nº 64.

– O número de divisores de 64 contido na matriz é igual ao número de discos da Torre de Hanói.

– A matriz é quadrada e de ordem 7.

1 0 0 0 0 0 0

2 1 0 0 0 0 0

4 2 1 0 0 0 0

8 4 2 1 0 0 0

16 8 4 2 1 0 0

32 16 8 4 2 1 0

64 32 16 8 4 2 1

É interessante observarmos nos diários o objeto matemático priorizado por cada grupo e como os alunos vão desenvolvendo suas idéias e construindo o seu texto matemático. Neste processo, ressaltamos a importância do desafi o próprio do jogo e no trabalho em grupo, pois as discussões e as diferentes colocações de cada aluno enriquecem esta dinâmica e os diferentes estilos, o que não poderia deixar de ser: diferentes alunos, diferentes discussões, diferentes registros e diferentes conteúdos contextualizados.

Agora você vai analisar, como professor, o texto dos grupos. Iniciaremos destacando algumas de nossas observações. Acrescente mais uma para cada grupo.

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C E D E R J 217

Consideramos que esta atividade será difícil, se você não tiver jogado.

Grupo Observação

1 – Destacou que somar a quantidade de movimentos anteriores com

a quantidade de discos que queremos mover é uma estratégia para

encontrar o número mínimo de movimentos.

– Escreveu uma fórmula que determina o número mínimo de

movimentos.

– Fez observações orientando-se pelo número de peças a serem

movidas e relacionou ao sentido horário/anti-horário.

2 – Interessante também notar que o grupo 2 se deu como convencido

para determinar o número de movimentos apoiados no termo

anterior.

3 – A escrita bem organizada e detalhada do grupo 3 mostra que os

estudantes conseguiram generalizar a partir de uma investigação

apoiada na recursividade.

– Além de construir um sistema de equações a partir do que observa

na tabela, o grupo 3 construiu a estratégia para o número mínimo

de movimentos a partir do sentido horário/anti-horário.

4 – O texto do grupo 4 chama a atenção por sua análise, que considera

também a quantidade de movimentos de cada peça e como

isso contribui para determinar o número total de movimentos.

Ao observarem o movimento de cada peça e disporem estas

observações em forma de tabela, os estudantes passaram a centrar

sua atenção na matriz que fi ca formada e fazem mais destaques

sobre esta disposição.

COMENTÁRIO

Existem grupos que tendem a ser mais imediatos, dando-se por convencidos

a partir de cinco movimentos. Por exemplo, a justificativa apoiada apenas

na observação numérica seguinte:

Nº de discos Nº de movimentos

1 1 = 21 – 1

2 3 = 22 – 1

3 7 = 23 – 1

4 15 = 24 – 1

5 31 = 25 – 1

... ...

n 2n –1"


C E D E R J218

É importante verificar o matematizar de cada estudante e discutir com

eles este processo. Uma preocupação dos estudantes é fazer compa-

rações do tipo “melhor” ou “pior”.

É importante enfatizar que não deve ser objetivo do professor estabelecer compa-rações do tipo saber mais ou menos. É relevante que os alunos percebam, analisem e respeitem o matematizar do seu colega e contribuam com a continuidade deste processo, pois ensino-aprendizagem é um processo contínuo de aprender a aprender e aprender a ser, fortalecido pelas relações interpessoais, e não mera acumulação acrítica de conhecimentos.

ATIVIDADE COMPLEMENTAR

2. Para os que gostam de navegar pela internet, recomenda-se acessar outros sites

interessantes sobre o jogo Torre de Hanói.

http://www.cut-the-knot.com/recurrence/hanoi.html

http://www.pangea.ca/kolar/javascript/Hanoi/algo.html

http://www.pangea.ca/kolar/javascript/Hanoi/HTonWebE.html

http://obelix.ee.duth.gr/~apostolo/TowersOfHanoi/

COMENTÁRIO

Visitar os sites anteriores trará novas descobertas e possibilidades

de entendimento do jogo. Além do mais, sensibilizará você a inserir a internet

como recurso de aprendizagem própria e em suas aulas.

A PRÁTICA AVALIATIVA EM MATEMÁTICA COM OS

DIÁRIOS DE CAMPO

Como você sabe, pensar em avaliação implica mudanças

nos objetivos para o processo ensino-aprendizagem, na maneira

de conceber a aprendizagem, na interpretação e na abordagem dos

conteúdos matemáticos, num trabalho docente que deve incluir uma

variedade de situações de aprendizagem (BRASIL. MEC. PCN, 1998).

Despertados e infl uenciados pelos trabalhos de Powell e López (1995)

sobre a importância da escrita no ensino-aprendizagem de Matemática,

começamos a utilizar em nossas aulas um instrumento de avaliação:

o diário de campo.

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LA 19

C E D E R J 219

Normalmente, existem alunos que, ao iniciarem o processo de escrita dos diários, descrevem, superfi cialmente, o que aconteceu. Por exemplo, em uma aula com o jogo Torre de Hanói, é comum escreverem “hoje conhecemos e trabalhamos com a Torre de Hanói”; então, o que enfatizamos é que nosso interesse é saber da aprendizagem (descobertas, difi culdades, facilidades, questões pensadas e sem resposta etc.) no trabalho com a torre, e um texto descritivo normalmente não traz este tipo de informação. Por isso, preferimos denominar diário de campo, e não relatório. Embora o texto contido no diário possa não ser descritivo, nossa experiência mostrou que há um entendimento de sê-lo (relato de visitas e trabalhos extra-aula etc.). Um exemplo que possibilita ao aluno entender melhor nossa intenção com esta prática são aqueles diários pessoais feitos tradicionalmente pelas meninas em sua adolescência. Neles, são explicitados sentimentos diários, descobertas e emoções variadas.

As idéias de D’Ambrósio (1996) também foram orientadoras para

a adaptação do instrumento à dinâmica de nossa aula. Assim, como

critérios de avaliação, utilizamos:

Critérios avaliativos orientadores

Principais Outros

– Prazo estipulado para entrega.– Compreensão e explicitação dos

temas abordados: perceber o que é importante destacar dentro do estudado.

– Utilização do roteiro.– Resposta às colocações feitas

pelo professor.

– Reporte ao trabalho coletivo. Associação de idéias com a prática, apresentando exemplos.

– Capacidade de análise e síntese.– Evolução no processo de elaboração

de escrita e idéias.– Dúvidas levantadas e esclarecimentos

solicitados.– Críticas e sugestões feitas.– Organização e apresentação. – Vocabulário e coerência na escrita.– Referência bibliográfi ca.

Tabela 19.4: Critérios de avaliação com diários

Os erros gramaticais não interferem na avaliação, porém são feitas as devidas correções e observações.

Após o trabalho em pequenos grupos, durante o qual vamos

esclarecendo dúvidas, analisando processos de raciocínio utilizados

e propondo questões, passamos a analisar os diários de cada grupo,

ou seja, cada grupo analisava o texto do outro e, ao fi nal, realizávamos

uma discussão com toda a turma. Por exemplo, veja a observação do

grupo 3 sobre o diário do grupo 1.


C E D E R J220

Em princípio, discordamos do tipo de referencial, horário e anti-

horário, que o grupo usou. Só partimos para a prática (testamos na

torre) e verifi camos que funciona para n movimentos e n número

de peças. Este fato não ocorreu em nenhum dos membros do nosso

grupo, o que observamos que facilita em fazer o menor número

de movimentos.

Podemos observar, na escrita do grupo, que, além de compre-

enderem, inicialmente discordando do texto do outro grupo, os estu-

dantes foram verifi car se realmente procediam as observações feitas.

Alguns sentiam necessidade de voltar ao jogo, enquanto outros o faziam

direto no papel. Além de se darem por satisfeitos, reconheciam a impor-

tância do referencial (sentido horário ou anti-horário), para determinar

o número mínimo de movimentos.

O que consideramos importante é o professor fazer este tipo de observação. Desta forma, o estudante tem a oportunidade de verifi car como pensaram seus colegas. Estes diferentes momentos escrita-refl exão-nova escrita favorecem o desenvolvimento do processo de matematizar.

CONCLUSÃO

É comum estudantes encontrarem dificuldade na escrita.

A dinâmica de ler criticamente, recebendo e colocando questões, seja do

próprio diário, seja do(s) colega(s), é imprescindível, pois enriquece e

propicia melhora no processo de escrita, na medida em que o aluno que

lê outro tipo de texto faz críticas com argumentos e discute com toda a

turma. Quanto aos resultados expressos pelos instrumentos de avalia-

ção, sejam eles provas, trabalhos ou observações de postura em sala de

aula, eles constituem indícios de competências e, como tais, devem ser

considerados. A tarefa do professor constitui um permanente exercício de

interpretação de sinais, de indícios, a partir dos quais manifesta juízos

de valor que lhe permitem reorganizar a sua prática. Ao levantar indí-

cios sobre o desempenho dos alunos, o professor deve ter claro o que

pretende obter e que uso fará destes indícios. Neste sentido, a análise

do erro pode ser uma pista interessante e efi caz.

AU

LA 19

C E D E R J 221

O processo de matematização ocorrerá à medida que o professor

reconhecer sua sala de aula como um espaço de diálogo e confi ança,

um quebra-cabeça complexo, do qual ele é uma das peças, diferente

e imprescindível – mas não sufi ciente –, que se (des)constrói com muito

respeito e força de vontade para romper difi culdades próprias, ajudar

o outro e contribuir com o crescimento coletivo.

ATIVIDADE FINAL

Como atividade fi nal, propomos que você analise a veracidade, ou não, de cada

afi rmação seguinte:

1. A quantidade mínima de movimentos das torres com n discos é igual à soma

de uma P.G. fi nita de razão 2, 1º termo igual a 1 e com número de termos igual

ao número de discos da torre.

2. Ao movimentarmos o número de discos, a quantidade de movimentos de cada

peça cresce em P.G. de razão 2, com 1º termo igual a 1.

3. O número de movimentos de uma torre com n discos é igual ao dobro de

movimentos da torre com (n-1) discos, acrescido de um movimento.

4. Condições para os movimentos das peças para obtermos o mínimo possível:

consideramos as peças/discos numerados de 1 a 7. Dividimos a Torre de Hanói

conforme o esquema a seguir:

1

3 2P

I

P PI

I 1, 2 e 3 são pinos da torre

P – par

I – ímpar


C E D E R J222

Observação Verdadeira Falsa Correções, complementos etc.

1

2

3

4

5

6

Tabela 19.5: Respostas da Atividade Final

COMENTÁRIO

Você deve ter verifi cado que apenas duas das observações anteriores são

falsas. Se teve difi culdade, procure entender cada afi rmação realizando os

movimentos na torre.

R E S U M O

Dependendo dos objetivos do professor, o jogo Torre de Hanói também pode ser

utilizado com alunos das séries iniciais. A própria utilização, pelo aluno, de um

tipo de registro para mostrar uma seqüência de movimentos já se constitui numa

tarefa importante. Em séries mais avançadas, este jogo pode ser utilizado para

o desenvolvimento de noções relacionadas ao estudo de regularidades, ao princípio

da indução fi nita, às seqüências e relações numéricas, como vimos nos textos dos

estudantes. O número de discos utilizados infl ui na complexidade do jogo. Há uma

relação funcional entre o número de discos e a quantidade mínima. Se o objetivo

docente for inserir o trabalho com as torres para explorar o conceito de função,

é importante ressaltar que, segundo Tinoco (1996), as situações que envolvem este

conceito devem explorar diferenças entre variável e incógnita, além de desenvolver

processos de generalização mediante o estudo de relações e de regularidades.

5. As peças pares se movimentam seguindo a ordem crescente dos pinos, partindo

do número 1.

6. As peças ímpares se movimentam seguindo a ordem decrescente dos pinos,

partindo do número 1.

AU

LA 19

C E D E R J 223

AUTO-AVALIAÇÃO

Esperamos que você tenha compreendido como utilizar o jogo Torre de Hanói em

aulas de Matemática e em diferentes séries. A aplicação do princípio de indução

fi nita – ao considerarmos um determinado número anterior de movimentos para

identifi carmos o número de movimentos seguintes com mais um disco (n+1) –

e a percepção de que existe uma relação funcional entre o número mínimo de

movimentos e o número de discos da torre também devem ter sido objetos

de seu entendimento nesta aula. Ter refl etido sobre a importância do trabalho

em grupo, dos diferentes registros matemáticos que podem ser elaborados pelos

estudantes, bem como o papel que assume a avaliação nesta dinâmica de trabalho

é o objetivo que consideramos relevante em sua aprendizagem.


Na próxima aula, você irá estudar e relacionar os conceitos de proporcionalidade

e função.

Um relacionamento quase perfeito: funções

e proporcionalidades


• Analisar o estudo das grandezas direta e inversamente proporcionais.

• Relacionar o conceito de proporcionalidade com o estudo de funções.

• Identifi car funções que apresentam proporcionalidade.

Pré-requisitos

Para o desenvolvimento desta aula, é necessário que você reveja o conceito de função, saiba construir gráfi cos e tenha algum

entendimento sobre o conceito de proporcionalidade.

objetivos

Meta da aula

Instrumentalizar o trabalho com as funções e as grandezas direta

e inversamente proporcionais.

20AU

LA

Instrumentação do Ensino da Aritmética e Álgebra | Um relacionamento quase perfeito: funções e proporcionalidade

C E D E R J226

A proporcionalidade é um dos conceitos matemáticos mais presentes no dia-

a-dia das pessoas. Seja na cozinha, na obra, nas compras; enfi m, poderíamos

exemplifi car várias situações do cotidiano em que utilizamos grandezas

diretamente proporcionais.

Nesta aula, vamos relacionar esse conceito com o estudo das funções. Para isso,

utilizaremos alguns exemplos clássicos, investigaremos a lei da função que modela

o problema e analisaremos seu gráfi co.

Leia e refl ita sobre o seguinte problema publicado pelo grande matemático

LEONARDO EULER, em seu livro Elementos de Álgebra, publicado em São

Petersburgo, em 1770.

INTRODUÇÃO

Lembre-se de acessar a disciplina na Plataforma CEDERJ. Lá você encontrará diferentes animações e recursos que auxiliarão sua aprendizagem na aula.

!

O matemático LEONARDO EULER nasceu na Suíça em 1707 e morreu em 1783. Perdeu a visão em 1766, mas continuou publicando seu trabalho. Ele fez contribuições em diversas áreas da Ciência. Uma de suas mais famosas descobertas foi a relação de Euler para poliedros conexos: V + F = A + 2.

Uma lebre está 50 pulos à

frente de um cachorro, o

qual dá 3 pulos no tempo

que ela leva para dar 4.

Sabendo que 2 pulos do

cachorro valem 3 da lebre,

quantos pulos ele deve dar

para pegá-la?

Este é um exemplo de problema que se refere à proporcionalidade,

assunto que será tratado nesta aula. Pense no problema e depois confi ra

com a solução dada ao fi nal da aula.

PROBLEMAS QUE ENVOLVEM PROPORCIONALIDADE...

Uma receita muito simples, e às vezes bastante necessária, é a do soro

caseiro. Para fazer 1 litro de soro, você precisa dos seguintes ingredientes:

• 1 litro de água fi ltrada (ou fervida).

• 1 colher (das de café) de sal.

• 2 colheres (das de café) de açúcar.

AU

LA 20

C E D E R J 227

Quantidade de soro Água (L) Sal (colher de café) Açúcar (colher de café)

1 litro 1 1 2

2 litros 2 2 4

3 litros 3 3 6

4 litros 4 4 8

Misture-os, e está pronto um soro muito útil nos casos de

desidratação. Você deve estar se perguntando: o que essa receita tem

a ver com proporcionalidade? Observe a tabela:

A quantidade de água, sal e açúcar é dependente da quantidade

de soro caseiro que se deseja fazer. Quanto mais soro você precisar fazer,

maiores serão as quantidades de água, sal e açúcar, mantendo a mesma

proporção de que você irá precisar.

Por exemplo, se precisar de meio litro de soro, você deve misturar

meio litro de água, meia colher (das de café) de sal e seis colheres (das

de café) de açúcar.

O uso de receitas como atividade prática no ensino de proporção

é uma estratégia bastante utilizada e importante para um contato inicial

com esse conceito.

Pense, agora, que vamos fazer uma viagem de São Paulo ao Rio de

Janeiro. Sabemos que a velocidade média pode ser obtida dividindo-se a

distância percorrida pelo tempo gasto na viagem (v = dt

). Considerando

400km a distância entre essas duas cidades, resolvemos registrar algumas

anotações na tabela:

Distância percorrida Velocidade média Tempo gasto

400km

50km/h 8h

60km/h 6h 40 min

80km/h 5h

100km/h 4h

Observe que, à medida que a velocidade aumenta, o tempo

diminui. E mais ainda, o produto das medidas das grandezas velocidade

e tempo é sempre constante igual a 400km; veja:


C E D E R J228

50km/h . 8h= 400km

60km/h . 6h 40min= 400km

80km/h . 5h= 400km

100km/h . 4h= 400km

Dizemos, então, que as grandezas velocidade e tempo mantêm

entre si uma relação inversamente proporcional.

Vamos investigar um pouco mais a razão v = dt

, onde d é a distância,

v é a velocidade média e t é o tempo em que foi percorrida a distância.

Se com 10 anos tenho um metro de altura, com 30 anos terei 30 metros de altura?Se uma pessoa com 20 anos come 300g num restaurante a quilo, com 50 anos comerá 750g?Se três gatos comem três ratos em três minutos, então cem gatos comem cem ratos em cem minutos?Atenção! Nem todos os problemas envolvem proporcionalidade!

!

O QUE A PROPORCIONALIDADE “TEM A VER” COM AS FUNÇÕES?

Observe que o modelo matemático da proporcionalidade considera

apenas grandezas que têm medida positiva; logo, leva em consideração

apenas números reais positivos. Uma proporcionalidade direta e inversa

é uma função f: IR → IR que atende a duas propriedades que você verá

a seguir separadamente.

Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais ou

simplesmente proporcionais quando existe uma correspondência x → y,

que associa a cada valor x de uma delas um valor y, bem defi nido da

outra, de modo que sejam cumpridas as seguintes condições:

1. Quanto maior for x, maior será y. Em termos matemáticos, se

x → y e x’ → y’, então x < x’ implica y < y’.

2. Se dobrarmos, triplicarmos etc. o valor de x, então o valor

correspondente de y será dobrado, triplicado etc.

Na linguagem matemática: se x → y, nx → ny para todo n ∈ N.

Escrito de outra maneira, se y= f(x), f(nx)= n . f(x).

Nessas condições, a correspondência x → y chama-se propor-

cionalidade (proporcionalidade direta).

AU

LA 20

C E D E R J 229

Dada uma função, quando escrevemos x → y e x’ → y’, então x < x’ implica y < y’, estamos dizendo que essa função é crescente, pois se x aumenta, temos um aumento no y.

!

No exemplo do soro, sua quantidade depende da quantidade de

ingredientes, I → S, onde I = água + sal + açúcar e se I < I’ → S < S’, isto

é, quando aumentamos a quantidade de ingredientes, a quantidade de

soro aumenta e ainda n.I → n. S, ou seja, dobrar, triplicar,... a quantidade

de ingredientes signifi ca dobrar, triplicar a quantidade de soro.

Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais

quando existe uma correspondência x → y, que associa a cada valor x

de uma delas um valor y bem defi nido da outra, de tal modo que sejam

cumpridas as seguintes condições:

1. Quanto maior for x, menor será y. Em termos matemáticos, se

x → y e x’ → y’, então x < x’ → y > y’.

2. Se dobrarmos, triplicarmos,... o valor de x, então o valor

correspondente de y fi cará dividido por 2, dividido por 3 etc. Na

linguagem matemática: se x → y, então nx → yn

, para todo n ∈ N, ou,

se y = f(x), f(nx) = f(x)n

.

Nesse caso, a correspondência x → y chama-se proporcionalidade

inversa.

Dada uma função, quando escrevemos x → y e x’ → y’, então x < x’ implica y > y’, estamos dizendo que essa função é decrescente, pois se x aumenta, temos uma diminuição nos valores de y.

!

No exemplo da velocidade média do Rio a São Paulo, em que a

distância considerada foi de 400km, temos que a grandeza velocidade

depende da grandeza tempo, isto é, t → v. Se aumentarmos o tempo, a

velocidade diminuirá, e ao dobrar, triplicar,... o tempo gasto na viagem, a

velocidade fi ca reduzida à metade, à terça parte,..., isto é, n . t → vn

.


C E D E R J230

ATIVIDADE

1. Uma substância mantida em temperatura constante tem sua massa e seu volume representados na tabela a seguir. Considerando somente essas informações, responda às questões seguintes.

m (kg) 0.8 2.4 4.0 8.0

V (L) 1 3 5 10

(a) Massa e volume são grandezas diretamente proporcionais? Justifi que.

(b) Esboce o gráfi co m x V correspondente.

(c) Qual é a massa de substância correspondente ao volume de 0,7L?

(d) Qual é o volume correspondente à massa de 3,2Kg?

COMENTÁRIO

Esta é uma atividade muito comum no estudo de grandezas proporcionais

conjugadas com a representação e a análise gráfi ca.

UM PROBLEMA MUITO CURIOSO: O CASO DO RETÂNGULO

Você sabe que a área (A) do retângulo é dada por A = bh, onde b

é a base e h é a altura. Nesta equação, temos três variáveis envolvidas, e

podem acontecer três casos diferentes, que estudaremos agora.

Caso 1: Podemos ter a base b constante.

Neste caso, temos que a área é dada em função de sua altura, já

que a base se mantém constante (veja ilustração a seguir). Escrevemos,

então, que A = f(h) = b.h, onde b é constante. Agora, observe o que

acontece quando multiplicamos a altura por n:

A(nh) = b . nh = n . bh = n . A(h)

Desta forma, mostramos que a área e a altura de um retângulo

são grandezas proporcionais, pois A é função de h, A é função crescente

e A(n . h) = n . A(h) ou n . h → n . A. Esta última afi rmação signifi ca

justapor n retângulos com a mesma base b.

AU

LA 20

C E D E R J 231

b b b b b

Veja a tabela com alguns valores para a altura h:

Base Altura Área

b 0,5 0,5b

b 1 b

b 1,3 1,3b

b 2 2b

b 3 3b

b 5 5b

b 20 20b

O valor de b está fixo e atua como uma constante de

proporcionalidade.

Vamos fazer um exemplo onde b = 2. Neste caso, a área é dada

por A = 2 . h. Pelas restrições do domínio, o gráfi co será uma semi-reta,

parte de uma função polinomial do primeiro grau, cuja lei é dada por

A(h) = 4h, chamada de função linear. Sua inclinação, ou taxa de variação,

é dada por b.

h

A

2

1


C E D E R J232

Assim, considerando as variáveis b e h de domínio real positivo,

o gráfi co da função A: IR → IR defi nida por A(b) = bh, onde h é um

número real positivo, será sempre uma semi-reta sem a origem (0,0) que

parte do gráfi co da função linear y = kx.

Caso 2: Podemos ter a altura h constante.

Neste caso, temos que a área é dada em função de sua base, já

que a altura se mantém constante (veja ilustração a seguir). Escrevemos,

então, que A = f(b) = b . h, onde h é constante. Agora, observe o que

acontece quando multiplicamos a altura por n:

A(nb) = nb . h = n . bh = n . A(b)

Desta forma, mostramos que a área e a base de um retângulo são

grandezas proporcionais, pois A é função de b. A é função crescente e

A(n.b) = n.A(b) ou n.b → n. A. Esta última afi rmação signifi ca justapor

n retângulos com a mesma altura h.

h h h h h

Veja a tabela com alguns valores para a base b:

Base Altura Área

2 h 2h

4 h 4h

4,6 h 4,6h

5 h 5h

7,1 h 7,1h

O valor de h, que está fixo, atua como uma constante de

proporcionalidade.

AU

LA 20

C E D E R J 233

ATIVIDADES

2. Faça um exemplo do caso 2 onde h = 5.

Caso 3: Podemos ter a área constante.

Neste último caso, faremos a área constante. Dessa forma, as variáveis são a base e a altura, e temos que A = bh → b = A

h ou h = A

b. Vamos

considerar b = Ah

.

3. Para você entender melhor este caso, considere todos os retângulos cuja

área mede 12. Complete as duas tabelas a seguir.

Base Altura Base Altura

1 0,004

2 0,1 = 1

3 0,5 =

4 1,2

6 2

12 2 3 = 12

36 4,8

120 12,5

n 144

Escrevemos que b(h) = Ah

ou b: h → A, onde A é constante. Agora,

observe o que acontece quando multiplicamos a altura h por n:

b(nh) = Anh

= 1n

. Ah

= 1n

. b(h)

A função b é decrescente, isto é, dada uma área fi xa, quanto maior

a altura, menor será a base do retângulo. Desta forma, mostramos que a

base e a altura são grandezas inversamente proporcionais, pois b é função

de h, b é função decrescente e b(n . h) = n . b(h) ou n . h → n . b.

Qual será o gráfico desta nova função que representa uma

proporcionalidade inversa?


C E D E R J234

Veja, a seguir, o gráfi co da função b(h) = Ah

, fazendo A = 12 e

considerando o domínio da função, isto é, todos os valores que a altura

pode assumir. Este conjunto é formado por todos os reais maiores que

zero, isto é, ]0, +∞[.

b

12

2 3

2 31

1

12h

Este gráfi co é parte de uma hipérbole, e, por conseguinte, a função é chamada de hiperbólica. Volte à Aula 17, pois essa função foi estudada detalhadamente. No caso da proporcionalidade, consideramos somente a parte do gráfi co do primeiro quadrante por causa da restrição geométrica.

!

UM TEOREMA MUITO IMPORTANTE: TEOREMA DA PROPORCIONALIDADE

Este teorema é de grande importância na Matemática, pois faz a

passagem dos naturais para os reais. Ele diz o seguinte:

Se f: IR → IR é uma função crescente tal que

f(nx)= n . f(x) para todo x ∈ IR e todo n ∈ N; então,

f(cx)= c . f(x) para quaisquer x e c reais positivos.

Uma aplicação importantíssima, que aparece no Ensino Médio,

ocorre quando trabalhamos o conceito de volume. Veja o caso do

paralelepípedo.

AU

LA 20

C E D E R J 235

O paralelepípedo reto retângulo fi ca perfeitamente determinado

por três medidas que são suas dimensões: comprimento (a), largura

(b) e altura (c).

O volume de um paralelepípedo retângulo é uma função de

suas dimensões, e representaremos esse volume por V(a, b, c). É uma

função crescente, de três variáveis, porque ele aumenta se qualquer

uma das três variáveis aumentar (e diminui se qualquer uma das três

variáveis diminuir).

Como o cubo unitário é um paralelepípedo retângulo cujas

dimensões são todas iguais a 1, ou seja a = b = c = 1, seu volume é

V(1, 1, 1) = 1.

1

1 1

O volume do paralelepípedo retângulo é proporcional a cada

uma de suas dimensões.

Observe o bloco retangular de 24 unidades de volume. O que

aconteceria se dobrássemos seu comprimento? Quando mantemos

constantes a largura e a altura e dobrando o comprimento, o volume

do paralelepípedo gerado é o dobro do original.

V(a, b, c) = V(4, 3, 2) V(8, 3, 2) = V(2a, b, c) = 2 . V(a, b, c)

Podemos, então, escrever que, dado um número natural n,

V(na, b, c) = n . V(a, b, c).

E o que aconteceria se triplicássemos sua altura em vez de

duplicar seu comprimento? Mantendo constantes o comprimento e a

largura e triplicando a altura, o volume do paralelepípedo gerado é o

triplo do original.


C E D E R J236

V(a, b, c) = V(4, 3, 2) V(4, 3, 6) = V(a, b, 3c) = 3.V(a, b, c)

Temos assim que, dado um número natural n, V(a, b, nc) =

n . V(a, b, c).

Esse resultado pode ser estendido para qualquer número real por

meio do Teorema Fundamental da Proporcionalidade.

Com isso, se V(na, b, c) = n . V(a, b, c), podemos escrever que

V(xa, b, c) = x . V(a, b, c) para todo número real x, e se V(a, b, nc)

= n . V(a, b, c), podemos escrever que V(a, b, yc) = y . V(a, b, c) para

todo número real y.

Vamos voltar ao paralelepípedo retângulo com dimensões a, b e

c agora reais, onde temos:

V(a, b, c) = V(a × 1, b, c) = a × V(1, b, c) = a × V(1, b × 1, c) =

a × b × V(1, 1, c) = a × b × V(1, 1, c × 1) = a × b × c × V(1, 1, 1).

Contudo V(1, 1, 1) é o volume de um cubo de aresta 1, ou seja,

é o volume do nosso cubo unitário e, portanto, vale 1. Então, V(a, b, c)

= a × b × c × V(1, 1, 1) = a × b × c × 1 = a × b × c, para quaisquer

medidas a, b e c reais.

Se você desejar conhecer a demonstração do Teorema Fundamental da Proporcionalidade, procure em livros de análise ou vá ao endereço www.ensinomedio.impa.br/materiais/tep/cap1.pdf. A demonstração está no Apêndice 1, na página 16. Você também pode ver nos seguintes livros publicados pela (SBM) (Sociedade Brasileira de Matemática): Meu professor de Matemática, página 129, e A Matemática do Ensino Médio, vol. 1, página 94.

!

AU

LA 20

C E D E R J 237

Alguns exemplos clássicos:

O tempo gasto para ir de um ponto A ao ponto B, em linha reta, com

velocidade constante v, é inversamente proporcional a essa velocidade.

Observe:

• se dobrarmos a velocidade, o tempo se reduzirá à metade;

• se triplicarmos a velocidade, o tempo fi cará dividido por 3.

No movimento retilíneo uniforme:

Velocidade - v Tempo - t

2v 12

3v 13

v10 10t

k.v tk

Outro problema que aparece bastante no Ensino Fundamental é

a divisão de um número em partes proporcionais. Veja, como exemplo,

o problema a seguir.

Três pessoas formaram uma sociedade: A entrou com R$ 24.000,00;

B com R$ 30.000,00 e C com R$ 36.000,00. Depois de três meses, tiveram

um lucro de R$ 60.000,00. Calcule o lucro de cada sócio.

Vamos resolver este problema de duas formas diferentes.

Solução 1: O problema pede que você divida 60.000 em partes

proporcionais a 24.000, 30.000 e 36.000. Repare que o investimento

inicial foi de 90.000. Assim,

A pessoa 1 investiu 24.00090.000

= 45

A pessoa 2 investiu 24.00090.000

= 13

= 515

A pessoa 3 investiu: 36.00090.000

= 615

Assim, dividindo 60.000 em 15 partes iguais, temos 4.000

como resultado.

A pessoa 1 recebe 4 partes, 4 x 4.000 = 16.000;

A pessoa 2 recebe 5 partes, 5 x 4.000 = 20.000;

A pessoa 3 recebe 6 partes 6 x 4.000 = 24.000.


C E D E R J238

Solução 2: O lucro de cada sócio deve ser proporcional ao valor

com que ele entrou na sociedade. Dessa forma, temos que A24.000

= B

30.000= C

36.000. Em contrapartida, esta razão é igual à razão entre o

lucro total e a quantia total investida na sociedade, isto é, 60.00090.000

= 23

.

Com isso, basta igualar cada razão a e resolver as três equações.

Veja:A

24.000 = 2

3 → A = 16.000

B30.000

= 23

→ B = 20.000

C36.000

= 23

→ C = 24.000

ATIVIDADE

4. Uma miniatura de um automóvel foi construída na escala 1:40. As dimensões da miniatura são: comprimento 12,5cm e largura 5cm. Quais as dimensões reais do automóvel? Como você classifi ca essas grandezas? Qual a lei da função que modela esse problema?

COMENTÁRIO

Lembre-se de que a escala é uma razão entre as medidas no desenho

e as reais.

NEM TODAS AS GRANDEZAS SÃO PROPORCIONAIS...

Para avaliar se duas grandezas são proporcionais, não basta

analisarmos que “quanto maior for x, maior será y”. Esse fato não

assegura a proporcionalidade entre x e y.

Veja, por exemplo, a caderneta de poupança. Suponha que você

invista em sua caderneta de poupança R$1.000,00 por um ano, a uma

taxa de juros de 2% ao mês e, ao fi nal desse um ano, recebe

C12 = 1.000(1 + 0,02)12 = 1.000 . 1,0212 ≅ 1.268,24.

Se você deixar seu dinheiro investido por cinco anos, nessas

mesmas condições, ao fi nal desse período, você receberá 1.268,24 x 5

= 6.341,2?

AU

LA 20

C E D E R J 239

Na verdade, o valor será um “pouco” diferente disso!

Veja: C60 = 1.000(1 + 0,02)60 = 1.000 . 1,0260 ≅ 3.281,03, embora,

nesse caso, a proporcionalidade fosse mais “agradável”!

Este exemplo, presente no nosso dia-a-dia, mostra que a propriedade

“quanto maior for x, maior será y” não assegura a proporcionalidade

entre x e y.

Um outro exemplo muito trabalhado na sala de aula, mas que

ainda causa confusão entre os alunos, é a área do quadrado em função

do seu lado, isto é, a função A(x) = x2, onde x é real e x > 0.

Quando dobramos ou triplicamos o lado do quadrado, a área não

fi ca dobrada ou triplicada: A(2x) = (2x)2 = 4x2 e A(3x) = (3x)2 = 9x2.

É importante que o professor preste bastante atenção no problema

e não saia generalizando situações sem uma boa refl exão. Lembre-se de

que a proporcionalidade deve atender a duas condições, e não apenas

ao fato de a função ser crescente.

ATIVIDADE

5. Construa o gráfi co da função A(x) = x2 no domínio dos reais positivos.

COMENTÁRIO

Verifi que que não se trata nem de uma reta que passa pela origem nem

de uma hipérbole.


C E D E R J240

A lei da gravitação universal de Newton afi rma que dois corpos, de massas m1 e m2, respectivamente, situados a uma distância d um do outro, atraem-se segundo uma força cuja intensidade F é proporcional a essas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles, isto é, F(d) = k m1 . m2

d2, onde a constante

k depende do sistema de unidades utilizado.

ATIVIDADE FINAL

Observe as fórmulas a seguir e faça uma discussão sobre proporcionalidade a

respeito de cada variável envolvida.

P(r) = 2πr, onde P é o perímetro da circunferência e r é a medida do raio.

A(r) = πr2, onde A é a medida da área do círculo e r é a do raio.

V(a) = a3, onde V é a medida do volume do cubo e a é a medida da aresta.

F(d) = km1 . m2

d2, onde F é a forma gravitacional universal, K = 6,67x10–11 Nxm2/kg2

constante, m1 e m2 são as respectivas massas das partículas em Kg, e d é a distância

em metros entre as mesmas.

!

|F| |F|

d

CONCLUSÃO

O conceito de proporcionalidade é muito importante na Matemática; por

isso, é necessário um bom entendimento da definição. Assim, definimos a

proporcionalidade de forma não-usual aos livros didáticos do Ensino Fundamental,

já que uma vez entendido com bastante clareza este conceito, todos os problemas

relativos à regra de três e às proporções se resolvem de forma mais natural.

Investigar e analisar bem o problema vai fazer com que você o amadureça e o

entenda de verdade. Verifi que sempre as duas condições e não se deixe enganar

pela monotonicidade (estritamente crescente ou estritamente decrescente) da

função envolvida.

AU

LA 20

C E D E R J 241

R E S U M O

O estudo da proporcionalidade requer um pouco mais de atenção na defi nição

do conceito. A investigação do problema é fundamental e deve ser bastante

trabalhada.

Você trabalhou com a proporcionalidade direta, cujo modelo é dado por uma reta,

e com a proporcionalidade inversa, modelado por uma hipérbole. O teorema da

proporcionalidade complementou esse estudo, pois ele nos permite passar de um

modelo de números naturais para números reais, e uma importante aplicação disso

é o estudo de volume.

Discutimos a crença entre relacionar proporcionalidade direta e função crescente.

Você viu que essa condição não é sufi ciente com o contra-exemplo do quadrado.

AUTO-AVALIAÇÃO

Durante esta aula, você conheceu duas importantes funções que modelam

problemas de proporcionalidade: a função linear e a função hiperbólica, esta já

trabalhada na Aula 17, as duas com restrição no seu domínio.

Sempre que julgar necessário, utilize tabelas, com quantos valores desejar. O

importante é que você investigue aquilo que ainda lhe causa dúvidas. A Atividade

3 é um bom exemplo disso. A Atividade Final envolve tudo visto na aula; por isso,

faça com atenção, escreva antes todos os resultados desta aula e, sempre que

precisar, volte às atividades anteriores.


Na próxima aula, vamos abordar o ensino de expressões algébricas.


C E D E R J242

RESPOSTAS DAS ATIVIDADES

Solução do problema proposto no início da aula:

Vamos retomar o problema da lebre e do cachorro.

Observe que um pulo da lebre corresponde a 23

de um pulo do cachorro.

Quando começam a pular, a dianteira será 50 . 23

= 1003

.

No momento em que alcançar a lebre, quantos pulos terá dado cada um?

O cachorro terá dado x pulos; a lebre terá dado 23

. 23

x = 89

x pulos.

Nesse momento, a distância percorrida pelo cachorro (medida em pulos) é igual

àquela percorrida pela lebre mais a dianteira que ela levava no princípio. Assim:

x = 89

x + 1003

.

Concluímos, então que x = 300.

Portanto, dando 300 pulos, o cachorro alcança a lebre.

Atividade1

a. Sim, pois, aumentando a massa, aumenta-se o volume e k. m → k. V. Veja:

3m → 3V, 5m → 5V e 10m → 10V.

b. Vamos marcar os pares (0,8, 1), (2,4, 3), (4, 5) e (8, 10).

00 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6 6,4 7,2 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

AU

LA 20

C E D E R J 243

c. Observe que a razão mV

é constante: 0,81

= 2,43

= 4,05

= 8,010

= 0,8. Essa constante é

chamada de densidade. Temos a equação m0,7

= 0,8, logo, m = 0,7 . 0,8 = 0,56 Kg.

d. Procedemos da mesma forma como foi feito no item c, só que a informação

dada é a massa; logo, 3,2V

. Resolvendo, temos V = 3,2 ÷ 0,8 = 4 L. Usando a tabela,

veja como fi ca:

m (Kg) 0,8 2,4 4,0 8,0 0,8 x 4 = 3,2

V (L) 1 3 5 10 1 x 4 = 4

Atividade 2

Neste caso, a área é dada por A = 5 . h. O gráfi co é uma semi-reta, parte do gráfi co

da função linear y = 5x, de domínio ]0, +∞[.

Para chegar ao 3,2, multiplica-se por 4.

Para chegar ao 3,2, multiplica-se por 4.

5

A

1 b


C E D E R J244

Atividade 3

Base Altura Base Altura

1 12 0,004 3.000

2 6 0,1 = 110 120

3 4 0,5 = 12 24

4 3 1.2 10

6 2 2 6 2

12 1 2 3 = 12 2 3 = 12

36 13 4,8 2,5

120 0,1 12,5 0,96

n 12n 144 1

12

Atividade 4

Comprimento: 500cm = 5m.

Largura: 200cm = 2m.

São grandezas diretamente proporcionais.

lei: y = 40x, onde x é a dimensão na miniatura e y a dimensão real.

Atividade 5

É uma função crescente no

domínio dos reais positivos, mas

não é uma reta. Observe que:

A(x) = x2.

A(nx) = n2x2, não atendendo às

condições da proporcionalidade

direta nem da inversa.

0 1 2 3 4 5 6 7x

5

10

15

20

y

AU

LA 20

C E D E R J 245

Atividade Final

O perímetro é diretamente proporcional ao raio, pois P(nr) = 2π(nr) = n(2πr) =

nP(r).

A área do círculo não é proporcional (nem direta nem inversamente) ao raio.

A(nr) = π(nr)2 = n2A(r).

O volume do cubo não é proporcional (nem direta nem inversamente) à medida

da aresta, V(na) = (na)3 = n3a3 = n3V(a).

A força gravitacional F não é proporcional (nem direta nem inversamente) à

distância entre as partículas F(nd) = km1 . m2

(nd)2 = km1 . m2

d2. 1n2

= 1n2

F(d).

Entretanto, dizemos que:

• a medida da área do círculo é proporcional ao quadrado da medida do raio;

• a medida do volume do cubo é proporcional ao quadrado da medida da

aresta;

• a força gravitacional é proporcional ao inverso do quadrado da distância

(isso também ocorre com a força elétrica e com a força magnética).

C E D E R J 247

Instrumentação do Ensino de Aritmética e Álgebra

Refer

ência

s

248 C E D E R J

Aula 11

BAIRRAL, Marcelo et al. (coord.) Réguas de Cuisenaire: Um jeito diferente e prazeroso

de aprender Matemática. V Ciclo de Ofi cinas “Do Lúdico ao Sério em Matemática”.

UFRRJ/DPTE-IE, fev./2003. Apostila.

Boletim Especial do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática (Gepem).

Número 42: Educação Algébrica, fev./jul.2003. Vários autores.

FALZETA, Ricardo. Réguas de Cuisenaire: O arco-íris de faz de contas. Revista Nova

Escola. São Paulo. Editora Abril.

GATEGNO, Caleb. The common sense of teaching mathematics. Nova Iorque:

Educational Solutions, 1974.

POWELL, Arthur. Seminário de Pesquisa em Educação Matemática. Rio de Janeiro:

GEPEM,MEM/USU, 1996.

SKOVOSMOSE, Ole. Cenários de Investigação. BOLEMA. Rio Claro-SP, 2001.

Aula 12

CHEMALE, E. H e KRUSE, F. Curiosidades Matemáticas. Novo Hamburgo: FEVALE,

1999.

GOMICE, E. F e ROCHA, J. C. Atividade de Laboratório de Matemática. São Paulo:

CAEM, 2003.

GONÇALVES, R. e FIGUEIREDO, L. F. Álgebra 1. Volume 1, 1ª edição. Rio de

Janeiro: CEDERJ, 2004.

LOVE, E. (1994). Matemátics Teachers´ Accounts Seen as Narratives. In L. Bazzini

(Ed.), Proceedings of the ‘Filth International Conference on Systematic Cooperation

Between Theory and Practise in Mathematics Education’. Grado, Italia.

MILIES, F. C. P. Números: Uma introdução a Matemática. São Paulo: Edusp, 1998.

PONTE, J. P.; BROCADO, J. e OLIVEIRA H. Investigações Matemáticas em sala de

aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.

<http://illuminations.nctm.org/tools/tool_detail.aspx?id=28>, Acesso em 15 de fevereiro

de 2005.

C E D E R J 249

Aula 13

KAMII, Constance. Aritmética: novas perspectivas, implicações na teoria de Piaget.

São Paulo: Papirus, 1995.

MARANGON, Cristiane. Um jogo para treinar o cálculo mental: um tabuleiro com

36 peças com números positivos e negativos. Disponível em: <http://revistaescola.ab

ril.com.br/edicoes/0177/aberto/faca.shtml>. Acesso em: 07 abr. 2005.

NENO, Silvianne. A matemática do pega-varetas: um jogo simples e divertido para

ensinar o conceito de divisibilidade. Revista Nova Escola, São Paulo, Fundação Victor

Civita, p.10-11, mar. 2000.

ROCHA, Tânia; BORGES, Heloisa. Jogos matemágicos. Belo Horizonte: Editora do

Brasil, 1992. (Coleção ludo-aprendizagem)

ZASLAVSKY, Cláudia. Jogos e atividades matemáticas do mundo inteiro. São Paulo:

Artmed, 2000.

Aula 15

BOYER, Carl. História da matemática. 9.ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. 488 p.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 3.ed. São Paulo: Unicamp,

2002. 844p.

FRAGOSO, Wagner da Cunha. Equações do 2º grau: uma abordagem histórica. 2.ed.

Rio Grande do Sul: Unijuí, 1999.

PRANDIANO: matemática aplicada à vida. Pequeno dicionário etimológico. Disponível

em: <http://www.prandiano.com.br/html/fr_dic.htm>. Acesso em: 09 mar. 2005.

REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: SBM, 2000. n. 43.

Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm105/bhaskara.htm>. Acesso

em: 09 mar. 2005.

250 C E D E R J

Aula 16

IMENES, Luiz Márcio. Matemática para todos: 7a série, 4o ciclo. São Paulo. Scipione,

2002.

______. Matemática para todos: 8a série, 4o ciclo. São Paulo. Scipione, 2002.

Aula 17

CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Gradiva. Lisboa, 1998.

FLEMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo. Makron, 1992.

LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E. e MORGADO, A. C. A Matemática

do Ensino Médio – volume 1. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro:

SBEM, 1998.

http://www.mat.uc.pt/~me0203/LivroWebAM/funcoes_grafi cos.html#determinando

valoresfuncoes

Aula 18

ALEGRIA Matemática: sequências de Fibonacci e aplicações. Disponível em: <http:

//pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fi bonacci/seqfi b2.htm>. Acesso em: 08

abr. 2005.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e tecnológica.

Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino médio: matemática. Brasília, DF:

MEC/SEMT, 1998. p. 42.

LIMA, Elon Lages et al. A Matemática no Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM,

1998. v. 2.

MATEMÁTICA Essencial: ensino fundamental , médio e superior. Disponível em:

<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica>. Acesso em: 8 abr. 2005.

REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: Sociedade Brasileira de

Matemática, 1998. n. 37.

VAZ, Ana Lucia et al. Funções I. Rio de Janeiro: Colégio Pedro II, 2002.

C E D E R J 251

Aula 19

BAIRRAL, Marcelo A.; SILVA, Miguel Ângelo da. Instrumentação para o ensino de

geometria. Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2004.

______; GIMÉNEZ, Joaquin. Geometria para 3º e 4º ciclos pela internet. Seropédica:

EDUR, 2004.

______; CARPI, Angela M. Jogar e desenvolver competências em matemática. Pátio

Revista Pedagógica, Porto Alegre, n. 24, p. 32-35, nov./jan. 2002.

______. Movendo discos, construindo torres e matematizando com futuros professores.

Boletim GEPEM , Rio de Janeiro, n. 38, p. 95-110, fev./2001.

BRASIL. MEC. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais: matemática. Brasília,DF: MEC/SEF, 1997.

D`AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. Campinas,SP:

Papirus, 1996.

FERRERO, Luis. El juego y la matemática. Madrid: La Muralla, 1991.

FIGUEIREDO, Luiz Manoel; GONÇALVES, Adilson. Álgebra I. Rio de Janeiro:

Fundação CECIERJ, 2004.

GIMÉNEZ, Joaquin; ROSICH, Nuria. Jugand amb les matemàtiques de la diversitat.

Barcelona: Universitat Oberta de Catalunya, 1998.

GRANDO, Regina Célia. A construção do conceito matemático no jogo. Revista de

Educação Matemática da SBEM-SP. São Paulo, n. 3, p. 13-17, 1997.

LINS, Romulo C.; GIMÉNEZ, Joaquin. Perspectivas em aritmética e álgebra para o

século XXI. Campinas,SP: Papirus, 1997.

POWELL, Arthur B. A tomada da consciência da matematizaçao. Rio de Janeiro:

MEM/USU, 1996.

______; LÓPEZ, J.A. A estrita como veículo de aprendizagem da matemática: estudo

de um caso. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, n. 33, p. 9-41, 1995.

SANTOS, Vânia M.P. (Coord.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em matemática:

métodos alternativos. Rio de Janeiro: IM/UFRJ, 1997.

SHOKRANIAN, Salahoddin. Números notáveis. Brasília: Ed. UnB, 2002.

252 C E D E R J

TINOCO, Lúcia et al. Construindo o conceito de função no 1º grau. Rio de Janeiro:

UFRJ, 1996.

BOGOMOLNY, Alexander. Tower of Hanói. Disponível em: <http://www.cut-the-

knot.com/recurrence/hanoi.html>. Acesso em: 8 abr. 2005.

THE TOWERS of Hanói. Disponível em: <http://obelix.ee.duth.gr/~apostolo/

TowersOfHanoi/>. Acesso em: 8 abr. 2005.

Aula 20

CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Gradiva. Lisboa, 1998.

LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E. e MORGADO, A. C. A Matemática

do Ensino Médio – volume 1. Coleção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro:

SBM, 1998.

Revista do Professor de Matemática, 9. São Paulo: Sociedade Brasileira de Matemática,

1994.

<http://www.mat.uc.pt/~me0203/LivroWebAM/funcoes_grafi cos.html#determinando

valoresfuncoes>. Acesso em 1 de Março de 2005.

<http://www.ensinomedio.impa.br/materiais/tep/cap1.pdf>. Acesso em 1 de Março

de 2005.

Leonard Euler. <http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/

Euler.html>. Acesso em 2 de Março de 2005.


Mód

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