INTEGRAÇÃO DA GEOMETRIA DINÂMICA NA SALA DE AULA … · RESUMO Este projeto insere-se na temática de integração de novas tecnologias na sala de aula de Matemática, e mais especificamente,

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO

CLAUDIA VECHIER

INTEGRAÇÃO DA GEOMETRIA DINÂMICA NA SALA DE AULA DE

MATEMÁTICA: UMA EXPERIÊNCIA DE AVALIAÇÃO DE FONTES

POR PROFESSORES

São Paulo – 2010

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CLAUDIA VECHIER

MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

INTEGRAÇÃO DA GEOMETRIA DINÂMICA NA SALA DE AULA DE

MATEMÁTICA: UMA EXPERIÊNCIA DE AVALIAÇÃO DEFONTES

POR PROFESSORES

Dissertação apresentada como exigência

parcial à Banca Examinadora da Universidade

Bandeirante de São Paulo, para a obtenção

do título de Mestre em Educação Matemática

sob a orientação da Profa. Dra. Janete Bolite

Frant.

São Paulo – 2010



Banca Examinadora

_________________________________

__________________________________

__________________________________



Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou

parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.



AGRADECIMENTOS

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo por propiciar através do

Programa Bolsa Mestrado condições para que eu pudesse realizar mais um dos

meus objetivos o de cursar uma pós-graduação.

Ao programa de pós-graduação da Uniban-Brasil, por oferecer aulas de alto nível e

com professores tão capacitados onde sei que hoje me sinto uma profissional

melhor que quando iniciei o curso.

Ao grupo da linha de pesquisa Tecnologia Digitais e Educação Matemática, em

especial à Profa. Dra. Janete Bolite Frant, Profa Dra. Monica Karrer e Profa Dra. Lulu

Healy pelos nossos encontros, pelas discussões realizadas, pelas apresentações e

atividades propostas durante curso.

À Profa. Dra. Ana Paula Jahn, pela paciência, pela cobrança, por ser uma excelente

profissional e fonte de inspiração a ser seguida na profissão

À Profa. Dra. Janete Bolite Frant e à Profa Dra. Rubia Barcelos Amaral Zulatto por

participarem da minha banca e por suas valiosas contribuições no momento da

minha qualificação.

Aos professores que gentilmente aceitaram participar da experimentação, pela

disponibilidade e interesse que demonstraram pelo meu trabalho.

Aos meus amigos Marcelo Rodrigues de Souza, Victor Marcelo Santander,

Rosineide Rodrigues, pela ajuda nas disciplinas que cursamos juntos e pelo apoio

quando da participação nos eventos como EBRAPEM e SIEMAT em 2009.

À minha mãe Maria do Carmo Vechier pelo apoio que sempre me deu e continua me

dando, em todos os momentos da minha vida. À minha família, por me apoiar em

diversos momentos e me ajudaram muito no decorrer desse caminho.

Ao meu namorado André pela paciência e apoio que me deu durante o mestrado.

De coração, a todos, muito obrigada por tudo!



RESUMO

Este projeto insere-se na temática de integração de novas tecnologias na sala deaula de Matemática, e mais especificamente, de recursos de geometria dinâmica.Considera-seque o potencial das ferramentas digitais não é evidente, nem para oprofessor, nem para o aluno. Pensando na formação de professores, pode-seafirmar que o processo de apropriação de uma ferramenta é bastante complexo:artefatos precisam tornar-se instrumentos não só para as práticas matemáticas doprofessor como também para suas práticas de sala de aula, ou seja, para eleensinar Matemática. Acredita-se que essa complexidade do papel do professorsugere a necessidade de conceber recursos que os auxiliem no uso em sala deaula. Levanta-se a hipótese de que é importante para o professor ter condições deavaliar criticamente atividades e fontes pedagógicas envolvendo recursostecnológicos que são colocadas a sua disposição. Este projeto tem por objetivoelaborar um modelo de avaliação de fontes de Geometria Dinâmica e investigar opotencial e adequação deste no uso por docentes. O estudo compreendeu aorganização de um dispositivo experimental no qual um grupo de professores foiconfrontado a situações de análise de fontes pedagógicas de Geometria Dinâmica,devendo avaliá-las por meio de um questionário especialmente elaborado para tal.Acompanhamos os professores neste tipo de situação, buscando investigar eidentificar quais elementos ou tipos de fontes favorecem a apropriação por parte doprofessor. As fontes analisadas foram previamente selecionadas pelo formador. Osresultados mostram que os professores, apesar de utilizarem o questionário deavaliação das fontes com relativa facilidade, ficaram num nível superficial de análise.Alguns itens do instrumento foram alvos de dúvidas e receberam diferentesinterpretações. Na escolha de uma fonte, os professores parecem preferir aquelaque traz mais informações sobre sua utilização, indicando maior confiança paraaplicá-las em sua sala de aula. Pode-se concluir ainda que é necessária umaformação ao uso do questionário, pois ele não parece ser de fácil apropriação peloprofessor.

Palavras-Chave: Fontes Pedagógicas. Geometria Dinâmica. Professor.

Apropriação.



ABSTRACT

This project falls under the theme of integrating new technologies into the classroomof mathematics, and more specifically, resource dynamic geometry. Deemed to drythe potential of digital tools is not evident, nor for the teacher, nor for the student.Thinking about the training of teachers, it can be stated that the process ofappropriation of a tool is quite complex: artifacts have become tools not only for themathematical practices of the teacher as well as for their classroom practices, or forhe teaches mathematics. It is believed that the complexity of the role of the teachersuggests the need to develop resources to assist them in use in the classroom.Raises the hypothesis that it is important for the teacher to be able to criticallyevaluate sources and teaching activities involving technological resources that areplaced at their disposal. This project aims to develop a model for evaluating sourcesof Dynamic Geometry and investigate the potential and suitability of use by teachers.The study included the organization of an experimental device in which a group ofteachers was confronted with situations of pedagogical analysis of sources ofDynamic Geometry, and evaluate them by means of a questionnaire speciallyprepared for that. We follow the teachers in this type of situation, seeking toinvestigate and identify which elements or font types favor ownership by the teacher.The sources were previously selected by the trainer. The results show that teachers,despite using the evaluation questionnaire of sources with relative ease, remained ata superficial level of analysis. Some items of the instrument were subjected toquestions and received different interpretations. In choosing a source, the teachersseem to prefer the one that brings more information about your usage, indicating agreater confidence to apply them in your classroom. It can be concluded that furthertraining is required to use the questionnaire because it does not seem to be easilygrasped by the teacher.

Keywords: Pedagogical Sources. Dynamic Geometry. Teachers.

Appropriation.



ÍNDICE DE FIGURAS

Fls.

Figura 1 – Primeira parte do questionário apresentado aos professores

com as dimensões descrição da fonte e qualidade técnica da fonte 33

Figura 2 – Segunda parte do questionário apresentado aos professores

com a dimensão conteúdo matemático 34

Figura 3 – Terceira parte do questionário apresentado aos professores

com a dimensão atividade instrumentada 35

Figura 4 – Quarta parte do questionário apresentado aos professores

com as dimensões implementação em sala de aula, implementação

didático-padagógica e descrição da fonte 36

Figura 5 – Fonte 1, ficha 1 40

Figura 6 – Fonte 1,ficha 2 41




Figura 10 – Fonte 3, ficha do professor 45

Figura 11 – Fonte 3, ficha do cenário de uso para o software 46

Figura 12 – Fonte 3, ficha do aluno, Parte 1 47

Figura 13 – Fonte 3, ficha do aluno, Parte 2 experimentação

no laboratório de informática 48

Figura 14 – Fonte 3, ficha do aluno, exercício de reflexão 49

Figura 15 – Fonte 3, ficha do aluno, demonstração das propriedades 50



SUMÁRIO

Fls.

Introdução

Do inicio da minha carreira até o início da presente pesquisa 11

Apresentação do estudo 13

Capítulo I – Geometria Dinâmica no contexto educacional

1.1 Tecnologias no ensino e aprendizagem de Matemática 18

1.1.1 Potencialidades dos ambientes de Geometria Dinâmica

para a aprendizagem de Geometria 21

1.2 A integração marginal do software de Geometria Dinâmica

no ensino 23

1.3 Projeto Intergeo 25

1.4 Problema e Objetivos do Estudo 26

Capítulo II – Fundamentação Teórica

2.1 Introdução 28

2.2 A abordagem instrumental 28

Capítulo III – Metodologia de pesquisa

3.1 Introdução 38

3.2 As fontes de Geometria Dinâmica a serem analisadas 39

3.3. Seleção e análise a priori das fontes

3.3.1 Escolha das fontes 50

3.3.2 Análise a priori das fontes 51

3.3.3. Análise a priori da Fonte 1 52



Capítulo IV – Descrição e Análise dos dados

4.1. Objetivo do experimento 63

4.2. Descrição e realização da coleta de dados 63

4.3. Análise a posteriori da avaliação dos professores 65



4.4 Análise a posteriori – Parte 1 67

4.4.1 Análise das respostas relativas à Fonte 1 67



4.4.4 Resultados da primeira parte da análise 89

4.5 Análise a posteriori – Parte 2 90

Considerações Finais 96

Referências Bibliográficas 99

Anexos

Anexo 1 – Questionário por duplas 104

Anexo 2 – Escolha e uma Fonte pelas Duplas 118



11

INTRODUÇÃO

Do início da minha carreira até o início da presente pesquisa

Em 1984, quando iniciei e Ensino Médio, fiz a opção de cursar o antigo

Magistério, curso técnico de nível secundário que me possibilitaria, ao final de quatro

anos, ter uma profissão e me inserir no mercado de trabalho. Com isso, poderia dar

inicio a uma carreira que minha mãe tinha certeza que eu iria exercer a de

professora. Ao terminar o curso, fui trabalhar com crianças de oito anos e senti que

não tinha muita paciência com crianças tão pequenas. Resolvi, então, fazer a

graduação, optando pelo curso de Licenciatura em Matemática. A escolha pela

Matemática deu-se por ter tido uma excelente professora na sexta série, que muito

me marcou, pois ela utilizava materiais diferenciados para poder ensinar Matemática

e isso me encantou, além da facilidade que sempre tive com essa disciplina. Depois

que me formei no curso superior, fui exercer o magistério e, desta vez, com pré-

adolescentes e adolescentes, na disciplina de Matemática. Identifiquei-me melhor

com este público, mas sempre procurei continuar me capacitando para melhorar

minhas práticas em sala de aula.

Em 2001, fui selecionada para ser capacitadora de uma oficina de Informática

na Diretoria de Ensino da Região de Santo André. Essa formação destinava-se a

professores do Ensino Médio e foi uma experiência muito gratificante, pois com o

contato com os colegas e as trocas de experiências entre todos, aprendi muito. Além

disso, participei de inúmeros outros cursos oferecidos pela minha Diretoria e pelo

Estado através da Secretaria da Educação até que, em 2006, o governo estadual

ofereceu uma Pós-Graduação (lato-sensu) em Educação Matemática e, com isso,

tive a oportunidade de participar e de aprender muito principalmente para superar

uma dificuldade minha que é a de escrever. De lá para cá, consegui melhorar

bastante minha elaboração de texto e vim alimentando a idéia de continuar os

estudos e fazer um Mestrado (strito sensu). Isso demorou um pouco para acontecer,

tanto pela minha dificuldade em conciliar os estudos e a atividade profissional,

quanto pela parte financeira. Mas superei essas dificuldades iniciais e hoje estou



12

aqui, concluindo o curso de Mestrado Acadêmico na UNIBAN com a apresentação

de minha dissertação para defesa.

Das quatro linhas de pesquisa apresentadas no Programa, optei pela de

Tecnologias Digitais e Educação Matemática, pois essa linha de pesquisa tem como

foco a investigação de novas oportunidades que tecnologias digitais podem oferecer

a Educação Matemática e como a tecnologia nos desafia a repensar os

fundamentos do ensino. Os estudos dessa linha de pesquisa têm ainda por objeto a

análise das mudanças no papel do professor e de possíveis abordagens de ensino

na presença de ferramentas tecnológicas, temática esta que contempla meus

questionamentos iniciais sobre o processo de integração de tecnologias passando

pela formação de professores. De fato, há algum tenho, venho me questionando

sobre o fraco nível de utilização de recursos tecnológicos nas salas de Matemática:

por quê não se utiliza mais frequentemente o computador no ensino da Matemática?

Por que os professores mostram-se tão motivados nas formações sobre o uso das

TIC, mas depois não transferem essa motivação para suas salas de aula?

Nesta perspectiva, meu interesse particular foi desenvolver um projeto de

dissertação de Mestrado, na linha de Tecnologias Digitais e Educação Matemática

para estudar a questão da apropriação, pelo professor, de fontes digitais de

Geometria Dinâmica encontradas na Internet para sua utilização em sala de aula.

Como já tenho conhecimento de ambientes de Geometria Dinâmica, em particular

do software Cabri-Géomètre, vislumbrei inicialmente a possibilidade de trabalhar

com esse tipo de ferramenta. Esta idéia foi ao encontro dos interesses da Profa. Dra.

Ana Paula Jahn, que me propôs participar de um projeto que ela já vinha

desenvolvendo na temática acima mencionada. É o que passarei a detalhar na

seqüência.



13

Apresentação do estudo

Este projeto insere-se na problemática da integração de tecnologias nas

práticas de professores de Matemática. No início da década de 90, inúmeras

pesquisas no campo da Educação Matemática, tratando do uso de ferramentas

tecnológicas na sala de aula, indicaram que uma das formas de apoiar esse tipo de

prática consistia em disponibilizar, para os professores, diferentes recursos ou fontes

pedagógicas1, e dar meios de implementação de “novas” atividades em sala de aula

(ARTIGUE, 2000). Entretanto, sabemos hoje que o simples acesso, tanto a

equipamentos quanto a tais fontes, não é suficiente. Por um lado, a profusão de

materiais e recursos – principalmente os digitais – torna difícil a tarefa do professor

de identificar e escolher quais são pertinentes e de qualidade para seu ensino. Por

outro lado, a oferta de fontes digitais não resolve o problema da apropriação, uma

vez que esta necessita de uma evolução nas competências dos professores e

também em suas representações sobre o papel da tecnologia no processo de ensino

e aprendizagem da Matemática (CHAACHOUA, 2004). De fato, para o uso de

tecnologias computacionais em sala de aula, é necessário, por parte do professor,

não somente o domínio dos softwares e diversos aplicativos ou recursos, mas

principalmente um conhecimento pedagógico dessa utilização. Isto nos remete

diretamente à questão da formação de professores.

Recentes pesquisas mostram o interesse de constituir módulos de formação

baseados no princípio da co-elaboração de fontes pedagógicas para a sala de aula

(MIYAKAWA & WINSLOW, 2007). Diferentes dispositivos de desenvolvimento

profissional basearam-se neste principio. No Brasil, experiências desse tipo têm sido

realizadas no âmbito de projetos de pesquisa, a partir de parcerias Universidade-

Escola, envolvendo professores e pesquisadores. Como exemplo, podemos citar o

1 Como será descrito mais adiante, entendemos por “fontes pedagógicas” diferentes artefatos que

podem ser usados pelo professor para organizar e realizar seu projeto de ensino. Um livro didático,

um software, um site, uma ficha de atividade ou um arquivo digital são exemplos de fontes

pedagógicas.



14

projeto AProvaMe2, que teve por objetivo estudar os efeitos de uma concepção

colaborativa de cenários de aprendizagem integrando tecnologias, nas

representações dos professores sobre prova e demonstração no ensino de

Matemática, bem como nos potenciais das ferramentas tecnológicas para a

validação em Matemática (JAHN & HEALY, 2007). Entretanto, a concepção de

recursos pertinentes para a sala de aula e para uma determinada noção matemática

leva tempo e não contempla necessariamente as necessidades do professor. De

certa forma, atividades ou materiais são dificilmente utilizáveis fora das comunidades

que os produziram.

Robert e Rogalsky (2005) consideram que a escolha e a concepção de

tarefas fazem parte da atividade profissional do professor. Estes autores salientam

que os professores devem ser capazes de escolher e analisar tarefas colocadas à

sua disposição, em particular, para sua gestão em sala de aula e que estes

professore devem ser formados para tal. Com base nessa idéia, no projeto aqui

proposto, pretendemos ampliar essa perspectiva da co-elaboração, ou design de

situações de aprendizagem, enfatizando atividades de análise de fontes

pedagógicas, a partir do envolvimento de um grupo de professores em um processo

de avaliação de fontes de Geometria Dinâmica. O estudo centrará especial atenção

na questão dos conhecimentos e estratégias que podem ser adotados, pelo

professor, para apropriar-se dessas fontes quando confrontados a situações de

análise e avaliação destas.

Escolhemos esse tipo de fonte dada à difusão da Geometria Dinâmica (GD),

que tem pouco mais de 20 anos de existência, mas que, ainda assim, não é

efetivamente integrada nas salas de aulas de Matemática das escolas brasileiras.

De fato constata-se que embora tenhamos à disposição um inventário razoável de

software3 (a maioria deles gratuitos), de pesquisas4 e de materiais didáticos (fontes

pedagógicas digitais ou não), o nível de integração desse tipo de ambiente nas

práticas escolares ainda é muito fraco. Várias são as razões para tal, como indica

2 Argumentação e Prova na Matemática Escolar, projeto financiado pelo CNPq (processo n.

478272/2004-9) coordenação de Lulu Healy e vice-coordenação de Ana Paula Jahn.3 Cabri-géomètre, Geometrix, Geogebra, Compasso&Régua, IGeom, Tabule, etc.4No Brasil, podemos citar, entre outros trabalhos de JAHN (2000 e 2009), ZULATTO (2002 e 2009),

GUIMARÃES et al (2004).



15

(ARTIGUE, 2000). Em particular, parece-nos que um dos principais entraves refere-

se à dificuldade, para o professor, de avaliar a adequação e a qualidade de uma

fonte ao contexto particular da sua sala de aula. Todo professor preocupado com

seu projeto de ensino, coloca-se inúmeras questões antes de desenvolver uma

atividade de Matemática com tecnologia, particularmente com Geometria Dinâmica5,

tais como: essa atividade (ou esta fonte) vai funcionar com meus alunos? O que

meus alunos vão aprender? Será que ela está adaptada ao nível dos meus alunos?}

Quanto tempo eu preciso para desenvolvê-la? As dificuldades técnicas não vão

impedir (ou sobrepor-se) as aprendizagens matemáticas? Todas essas questões –

ou dúvidas – podem fazer com que o professor acabe abandonando a idéia da

utilização da GD em suas aulas com seus alunos. É necessário auxiliar o professor

na busca de respostas a essas questões. Fazemos a hipótese de que a forma de

apresentação de uma fonte pedagógica de GD, associada a uma experiência de

análise e avaliação dessas fontes podem auxiliar o professor e ajudá-lo a melhor se

apropriar dela. É nessa direção que pretendemos investigar, por meio de um

experimento com um grupo de professores de Matemática.

Este estudo faz parte de um projeto maior cuja finalidade é oferecer aos

professores de Matemática da Educação Básica, recursos educativos e fontes

pedagógicas digitais de GD livremente utilizáveis e amplamente adaptáveis a um

contexto particular de ensino. No entanto, não é suficiente tornar os recursos

disponiveis e facilmente acessivel, mas para apoiar o ensino, é essencial

estabelecer critérios de qualidade.

Nosso estudo tem por objetivo elaborar um modelo de avaliação de fontes de

GD. Cabe observar que o estudo compreende a organização de um instrumento de

avaliação com o qual os professores serão convidados a analisar algumas fontes de

GD, previamente selecionadas pelos pesquisadores. Este instrumento propõe uma

grade de critérios para a avaliação da qualidade desses recursos.

Como essas fontes integram GD, essa análise pode tornar-se relativamente

complexa. Primeiro porque pode não fazer parte das práticas usuais de professores

5 Ao longo do texto, a expressão “Geometria Dinâmica” será substituída pela abreviação “GD”



16

representando algo inusitado para eles. Segundo, como afirma Colette Laborde6

porque o recurso tecnológico introduz uma dimensão instrumental que afeta as

demais dimensões: epistemológica (relativa ao saber matemático), didática (relativa

ao ensino e a aprendizagem), institucional (relativa às necessidades particulares do

sistema de ensino, do currículo e da história da classe). É aí que reside nosso

interesse em conceber instrumentos para subsidiar o trabalho dos professores nesse

tipo de atividade de avaliação, possibilitando que eles entrem em contato com

questões relativas a essas dimensões de forma a contribuir no processo de

apropriação das fontes por estes professores e, por conseqüência, para que se

sintam melhor preparados para usá-las em sala de aula e para criar “novas”

atividades para suas futuras práticas.

Antes de passamos às considerações teórico-metodologicas do projeto, é

importante indicar o que estamos entendendo por fontes pedagógicas de Geometria

Dinâmica7 no contexto do nosso estudo.

Apesar de algumas tentativas, não se dispõe de uma definição precisa do que

seja uma fonte pedagógica (WILLY, 2000). Muitas vezes, utiliza-se a vaga definição

retirada do Standard LOM – Learning Object Metadata: toda entidade (digital ou

não), utilizada em um processo de ensino, de formação ou de aprendizagem.

Flamand (2004), em referência aos objetos de aprendizagem (OA), afirma que para

que sejam significativos e promotores de aprendizagem, devem possuir

intrinsecamente uma intenção pedagógica.

Segundo Nunes (2004) os objetos de aprendizagem tem vantagem no

processo de ensino-aprendizagem dos alunos e podem ajudar em cada uma de

suas etapas: tais, como relacionar novos conhecimentos com os que já possuem,

utilizar e testar as hipóteses levantadas no objeto de aprendizagem, aplicar o que

estão apredendo, expressar as idéias matemáticas por meio de várias linguagens,

aprender novos métodos, novos conceitos, aprender a serem críticos sobre os

limites de aplicação dos novos conhecimentos. Quando os objetos de aprendizagem

6 Notas da videoconferência proferida na UNIBAN em 21/11/2008, intitulada “As múltiplas dimensões

envolvidas na concepção de tarefas visando tirar proveito da geometria dinâmica”.7 Ao longo do texto,usaremos a expressão “fontes de GD”.



17

são interativos, o aluno tem um papel bastante ativo e permite ainda que ele se

aproprie do objeto e o utilize em suas próprias atividades, tornando assim a

aprendizagem mais significativa. Para o professor, o processo é semelhante ao do

aluno, pois ele tem a sua disposição uma grande quantidade de objetos de

aprendizagem, e pode planejar as suas aulas fazendo uso deles, motivando os

alunos e mantendo seus objetivos de ensino.

No nosso projeto, serão consideradas fontes as figuras de GD, os textos ou

enunciados de atividades para os quais a intenção pedagógica é explícita. Assim,

uma fonte é, no mínimo, um arquivo de GD para o qual um objeto de aprendizagem

pode ser identificado. Um exemplo convencional de fonte de GD é uma figura

dinâmica para ilustrar uma propriedade geométrica.

Fazendo uma comparação entre os objetos de aprendizegem e as fontes

digitais, podemos verificar que ambos podem beneficiar o trabalho do professor

tornando a aprendizagem dos alunos mais consistente, pois eles participam

diretamente do processo de ensino-aprendizagem.

Retomaremos esta questão de caracterização de uma fonte pedagógica no

próximo capítulo, fazendo uma interpretação na abordagem instrumental de

Rabardel (2005) e na extensão proposta Trouche et al (2007).



18

Capítulo I

A Geometria Dinâmica no contexto educacional

1.1 Tecnologias no ensino e aprendizagem de Matemática

Em relação aos recursos tecnológicos no ensino da Matemática, podemos

dizer que a maioria dos textos oficiais (tais como os Parâmetros Curriculares

Nacionais, os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio e o Curriculo

do Estado de São Paulo) incentiva os professores ao seu uso. De fato, do ponto de

vista institucional, ao longo da Educação Básica, esses documentos indicam

diferentes utilizações de softwares relacionados a conteúdos a serem trabalhados,

como por exemplo, as representações gráficas de funções.

A tecnologia comparece nos currículos com dois significados

complementares: como educação tecnológica básica; e como compreensão dos

fundamentos científicos e tecnológicos de produção.

Segundo a Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2009), o primeiro

significado refere-se à alfabetização tecnológica, que inclui aprender a lidar com

computadores, mas vai além. Alfabetizar-se tecnologicamente é entender as

tecnologias da história humana como elementos da cultura, como parte das práticas

sociais, culturais e produtivas, que por sua vez são inseparáveis dos conhecimentos

científicos, artísticos e lingüísticos que as fundamentam. A educação tecnológica

básica tem o sentido de nos preparar para viver e conviver em um mundo no qual a

tecnologia está cada vez mais presente em nosso dia-a-dia.

O segundo significado, ou seja, a compreensão dos fundamentos científicos e

tecnológicos de produção faz da tecnologia a chave para relacionar o currículo ao

mundo da produção de bens e serviços, ou seja, aos processos pelos quais a

humanidade – e cada um de nós – produz os bens e serviços de que necessita para

viver.



19

Sabemos que a tecnologia imprime um ritmo sem precedentes no acúmulo de

conhecimentos e gera uma transformação profunda na sua estrutura e nas suas

formas de organização e distribuição. Assim, a capacidade de aprender terá de ser

trabalhada não apenas nos alunos, mas na própria escola, enquanto instituição

educativa: tanto as instituições como os docentes terão de (re)aprender.

É fato que os computadores e outros elementos tecnológicos estão cada vez

mais presentes nas diferentes atividades das pessoas, em diversos setores da

sociedade.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) afirmam que as tecnologias, em

suas diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de

transformação da sociedade pelas modificações que exercem nos meios de

produção e por suas conseqüências no cotidiano das pessoas.

A utilização desses recursos traz significativas contribuiçõespara se repensar sobre o processo de ensino e aprendizagemde Matemática à medida que: – evidencia para os alunos aimportância do papel da linguagem gráfica e de novas formasde representação, permitindo novas estratégias de abordagemde variados problemas; - possibilita o desenvolvimento, nosalunos, de um crescente interesse pela realização de projetos eatividades de investigação e exploração como partefundamental de sua aprendizagem; - permite que os alunosconstruam uma visão mais completa da verdadeira natureza daatividade matemática e desenvolvam atitudes positivas diantede seu estudo. (PCN, 1998, p. 43-44)

Ainda segundo os PCN, os computadores podem ser utilizados nas aulas deMatemática com várias finalidades:

- como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo deensino e aprendizagem;

- como auxiliar no processo de construção de conhecimento;

- como meio para desenvolver autonomia pelo uso de software quepossibilitem pensar, refletir e criar soluções;

- como ferramenta para realizar determinadas atividades – uso de planilhaseletrônicas, processadores de texto, banco de dados, entre outros. (PCN, 1998,p.44).

Mas, o uso adequado do computador na sala de aula depende muito da

escolha do software, em função dos objetivos que se pretende atingir e da

concepção de conhecimento e de aprendizagem que orienta o processo educativo.



20

E como o professor é o agente principal por esta escolha, a integração de recursos

computacionais na sala de aula passa, necessariamente, pela formação destes

profissionais.

Isso não é específico do contexto brasileiro. Por exemplo, na França, essas

recomendações para uso de tecnologias, são ainda mais presentes. Segundo

Baudoin (2009), partindo da constatação de que as Tecnologias da Informação e da

Comunicação (TIC) permitem não somente “fazer mais e mais rápido”, mas também

“fazer de outra forma”, cada vez mais as instituições educativas incitam e encorajam

seus professores a integrarem as potencialidades das novas ferramentas

tecnológicas nos diferentes níveis de ensino. Nos últimos anos, vários dispositivos

de formação foram implementados para ajudar os professores a desenvolverem

competências que os permitam integrar as TIC em suas práticas profissionais.

Especificamente em relação ao ensino e aprendizagem de Geometria, o uso

de tecnologia faz constantemente referência aos chamados ambientes de Geometria

Dinâmica.

Para o aprendizado da Geometria, há programas que dispõemde régua e compasso virtuais e com menus de construção emlinguagem clássica da Geometria Euclidiana – retaperpendicular, ponto médio, mediatriz, bissetriz, etc. Feita umaconstrução, pode-se aplicar movimento a seus elementos,sendo preservadas as relações geométricas impostas à gurano momento de sua construção – daí serem denominadosprogramas de geometria dinâmica. Esses também enriquecemas imagens mentais associadas às propriedades geométricas.(PCNEM, 2006, p.88).

Nas orientações para os professores do Currículo Oficial do Estado de São

Paulo que começou a ser implementado em 2008 com os alunos da rede pública, é

mencionada a existência de diversos softwares que podem ser utilizados para a

exploração dos conteúdos de Geometria Plana e Espacial como, por exemplo, o

Cabri-Géomètre ou o Geogebra, sendo possível recorrer ainda a outros ambientes

desse tipo.

Segundo os PCNs (1998), estes ambientes de GD são particularmente

indicados para o estudo de transformações geométricas. Ao professor é indicado

que “As atividades que envolvem as transformações de uma figura no plano devem

ser privilegiadas nesses ciclos do 6º ao 9º ano, porque permitem o desenvolvimento



21

de conceitos geométricos de uma forma significativa, além de obter um caráter mais

dinâmico para este estudo. Também é interessante propor aos alunos situações

para que comparem duas figuras, em que a segunda é resultante da reflexão da

primeira (ou da translação ou da rotação) e descubram o que permanece invariante

e o que muda.” (ibid, p. 124). De fato as pesquisas de Jahn (2000) evidenciam o

potencial do softwares de GD para uma abordagem diferenciada das transformações

geométricas.

Mesmo com esse incentivo e com vontade instituicional em equipar as

escolas para o uso da tecnologia, os professores são relativamente reticentes à

integração da tecnologia no ensino (GUIN & TROUCHE, 1999).

Um estudo feito por Laborde (2001), referindo-se aos ambientes de

Geometria Dinâmica, afirma que os softwares são usados apenas para visualizar

propriedades, mas não como real recurso da tarefa proposta ao aluno, isto é, não

como uma ferramenta para resolver tarefa.

Segundo coloca Hölzl (2001), muitos professores simplificam a utilização dos

ambientes de GD a uma forma de verificar se os alunos, ao manipularem as figuras

geométricas, confirmam empiricamente as noções ou propriedades já formuladas e

estudadas anteriormente.

No campo da Educação Matemática, contamos com diversas pesquisas que

mostram que o papel destes ambientes pode ser bem mais amplo, permitindo

explorar diversas situações de aprendizagem. É o que descrevemos brevemente no

que segue.

1.1.1 Potencialidades dos ambientes de Geometria Dinâmica para a

aprendizagem em Geometria

Os softwares de GD permitem iniciar os alunos ao processo científico por

meio de construções de figuras, experimentação e animação. Permitem ainda aos

alunos dar sentido às noções estudadas e desenvolver imagens mentais

apropriadas (AMIOT, 2007,p.7).



22

Como um software de GD, os desenhos são construídos na tela a partir de

dois tipos de primitivas:

• Primitivas do desenho puro: são os objetos geométricos elementares

(ponto, reta, círculo, triângulo, polígono entre outros), geralmente

construídos a partir de pontos livres.

• Primitivas geométricas: permitem a construção de novos objetos

geométricos dependentes de outros objetos, por meio de relações

geométricas (mediatriz de segmento, reta paralela e reta perpendicular,

bissetriz de um ângulo, entre outras).

Um software de Geometria Dinâmica permite obter diversas representações

de uma mesma figura a partir do deslocamento de elementos livres de um de seus

representantes. O desenho é “deformado”, preservando as propriedades

geométricas que foram utilizadas para sua construção e aquelas que resultam da

Geometria Euclidiana. No entanto, se uma construção é feita utilizando-se somente

primitivas do desenho puro, ela perde suas propriedades espaciais aparentes em

sua condição original quando um de seus elementos é movimentado. O uso de

primitivas geométricas permite a construção da noção de figura geométrica, pois dá

uma visão mais geral, destacando o papel das propriedades invariantes (que

resistem ao deslocamento). Como afirma Canet (1994, p.3), estudando os diferentes

“casos de figuras” (diferentes configurações de uma mesma situação), propriedades

são descobertas, conjecturas são elaboradas e testadas e, eventualmente, observa-

se alguma configuração que pode dar idéias para a demonstração. O computador

permite assim fazer Geometria de uma forma mais experimental, ajudando na

simulação e exploração de diferentes situações.

Uma das principais caracteristicas dos softwares de Geometria Dinâmica é a

possibilidade do arrastar. Com o mouse é possível "pegar" um objeto e arrastá-lo

pela tela do computador e assim (re)descobrir conceitos e propriedades relativas à

Geometria abrindo novas possibilidades para o ensino e aprendizagem. A

abordagem de conceitos básicos em GD pode torná-los mais atrativos e acessíveis

aos alunos (ZULATTO, 2002).



23

Dentre os diversos software de GD, o mais difundido no Estado de São Paulo

é o Cabri-Géomètre, um software que permite construir figuras da geometria

elementar que podem ser traçadas com a ajuda de régua e compasso. Uma vez

construídas, as figuras podem ser movimentadas conservando as propriedades que

lhes haviam sido atribuídas. Essa possibilidade de manipulação permite o acesso

rápido e contínuo a muitos casos de figura, constituindo-se numa ferramenta rica de

validação experimental de fatos geométricos. Ele tem outros aspectos que vão muito

além da manipulação dinâmica e da observação imediata das figuras.

Diversos trabalhos têm mostrado o potencial dos softwares de GD na

aprendizagem do conceito de figura geométrica e na transição entre apreensões

perceptivas e operatórias dessas figuras (Duval, 1988). Dentre estes trabalhos,

podemos citar, por exemplo os de Laborde e Capponi (1994) e Pratt e Ainley (1997).

Além desse auxilio na formalização e conceitualização, os softwares de

Geometria Dinâmica permitem também a precisão e rapidez nos traçados, a

visualização de propriedades, a utilização do deslocamento para simular e explorar

situações.

No nível da atividade do aluno, ele favorece a utilização de diferentes

estratégias de resolução, a emissão de conjecturas, o trabalho autônomo, sendo

ainda uma ajuda na formulação e na precisão da linguagem matemática.

Como descrevemos mais adiante, são nesses potenciais evidenciados pelas

pesquisas que nos apoiaremos para a elaboração do instrumento de análise de

fontes pedagógicas que será proposto aos professores.

1.2 A integração de software de Geometria Dinâmica no ensino

Apesar de identificarmos alguns esforços por parte de instituições formadoras

e também alguns investimentos governamentais e/ou privados para equipar as

escolas com recursos digitais e buscar estruturas adequadas para apoiar as práticas



24

pedagógicas que integram tecnologias, estudos têm apontado certa resistência por

parte dos professores quanto ao uso das TIC em suas práticas docentes.

Além disso, os defensores do papel e lápis, do esquema no quadro-negro não

estão realmente convencidos da eficácia educacional destas novas ferramentas

tecnológicas e não sentem a necessidade de mudar seus hábitos só por “efeitos de

moda”.

A relutância dos professores pode encontrar suas origens em vários aspectos:

(1) Na transposição informática, segundo o conceito introduzido por Balacheff

(1994) no qual os objetos de conhecimento são modificados, não apenas sob as

restrições da transposição didática, mas também por outras restrições específicas do

ambiente computacional. A introdução desses ambientes no sistema de ensino pode

alterar a relação dos alunos e de professores com as disciplinas, e mais

particularmente com os objetos matemáticos uma vez que estes têm características

diferentes e vão “viver” de forma diferente do que no ambiente papel e lápis.

(2) Uma falta de avaliação da qualidade dos recursos disponíveis, com a

proliferação de recursos disponíveis na internet de Geometria Dinâmica, mas com

nenhuma avaliação para descrever a relevância do conteúdo ou da eficácia da

aprendizagem do aluno.

J.F. Levy (1998), analisando as habilidades do "professor salienta que:

"Em geral, o que repele os professores é uma falta de prática dos

instrumentos, o que leva ao medo de não dominar completamente as

situações técnicas e, portanto do ensino com a utilização do

computador, o medo de que os estudantes façam perguntas que não

consiga responder e realizem as atividades sem a necessidade de

seu auxilio", pois eles sabem mais do que os professores na

manipulação do computador e que os professores estão perdendo o

controle na sala de aula." (Levy, 1998, p.17).

Os professores que não tem muita afinidade com a Geometria Dinâmica, mas

mesmo assim querem começar a trabalhar com essas atividades, podem se

confundir ao serem confrontados com a abundância desses recursos que estão

disponíveis na Internet e também sem ter um banco de dados onde possam



25

consultar para buscar uma atividade que descreva o conteúdo e a relevância ou a

eficácia de um determinado aprendizado. Aí a necessidade da avaliação desses

recursos, com as descrições e comentários necessários para a sua utilização em

sala de aula de Matemática. É comum que os professores questionem sobre o uso

de determinados recursos para o uso em sala de aula. Essas questões geralmente

são feitas pelos professores: como faço para organizar o estudo? Como funciona

este recurso? Quais são seus pontos fortes? O que os alunos aprendem? Serei

capaz de implementar na minha sala de aula com meus alunos e, em caso

afirmativo, como? Considerando estes aspectos, e podendo ser auxiliado nessas

questões, o professor irá otimizar suas escolhas e promover a sua apropriação do

recurso. É nesse sentido que estamos considerando pertinente um trabalho de

avaliação de fontes de GD pelo professor, como descreveremos mais adiante.

1.3 Projeto Intergeo

O projeto europeu Intergeo8, iniciado em 2008, visa oferecer aos professores

de Matemática do ensino secundário, recursos educativos e fontes pedagógicas

digitais de GD livremente utilizáveis e amplamente adaptáveis a um contexto

particular de ensino. Este projeto tem três objetivos principais:

1) a interoperabilidade, visando definir um formato de arquivo comum para a

maioria dos softwares de Geometria Dinâmica (Cabri-Géomètre/Cabri3D,

Geoplan/Geospace, TracenPoche, Geogebra, Cinderela, Geonext, CAR) a fim de

permitir o funcionamento de uma fonte criada com um destes software em todos os

outros.

2) a centralização em um servidor de recursos e fontes digitais de GD,

utilizando este formato comum.

8 Para mais detalhes, ver: htpp://i2gei.net.



26

3) um dispositivo para avaliar a qualidade e a adequação de um recurso

educacional a um determinado contexto. Trata-se de analisar as fontes depositadas

no servidor, testá-las em sala de aula, analisá-las novamente após experimentação

para avaliar sua qualidade e iniciar um ciclo de melhoria destas fontes. Os retornos

dos usuários são registrados no site para que a fonte continue sendo melhorada.

No projeto, as fontes propostas são de dois tipos:

(1) figuras de GD (chamadas de figuras “nuas”) construídas com algum

software de GD;

(2) documentos que acompanham estas figuras, ou uma página HTML com

uma figura integrada a um arquivo de texto, uma apresentação multimídia, etc.

O projeto estabelece dois processos distintos para a avaliação das fontes de

Geometria Dinâmica: 1) o primeiro é uma avaliação realizada por “peritos” (ou

expert). No caso, esta é realizada por uma comunidade de professores orientados

por pesquisadores em Educação Matemática e consiste em uma análise das fontes

e sua aplicação em sala de aula. 2) a segunda avaliação é feita pelos próprios

usuários que selecionam fontes na plataforma. É neste último objetivo do projeto e

mais particularmente nesse segundo tipo de avaliação que o nosso projeto de

pesquisa está inserido (JAHN et al, 2009).

1.4 Problema e Objetivos do Estudo

No âmbito do projeto Intergeo, a partir dos elementos apresentados

anteriormente, o terceiro objetivo citado desafia-nos colocando duas questões que

nos parecem essenciais: Quais são as características das fontes que são

consideradas pelos professores como importantes para a escolha e sua adaptação?

Que elementos podem contribuir para facilitar a utilização desta fonte em sala de

aula?



27

Os objetivos do nosso trabalho de pesquisa são:

- elaborar um modelo de avaliação de fontes digitais de Geometria Dinâmica,

estabelecendo critérios de análise em diversas dimensões;

- testar esse modelo de avaliação junto a um grupo de professores com o

intuito de investigar o potencial deste tipo de atividade para o processo de

apropriação destes recursos pelo professor.

Para tanto, realizamos um estudo experimental com um grupo de professores

onde eles avaliaram algumas fontes de GD, por meio de um questionário – nosso

principal instrumento de avaliação – e com o qual buscamos identificar os elementos

por eles considerados e em que medida o tipo de fonte e o processo de análise (no

caso, a priori) contribuem para sua apropriação.

No próximo capítulo, explicitamos os fundamentos teóricos que embasam

nosso estudo.



28

Capítulo II

Fundamentação Teórica

2.1 Introdução

Em nosso estudo, tanto para a concepção do instrumento de avaliação

quanto para as análises das produções dos professores em situação de avaliação

de fontes de Geometria Dinâmica, utilizaremos alguns construtos da Teoria das

Situações Didáticas de Brousseau (1998), assim como a abordagem instrumental

proposta por Rabardell (1995) e posteriormente estendida por Trouche & Guin

(2006), enfatizando o processo de gênese instrumental, ou seja, da transformação

de um artefato em instrumento.

2.2 A abordagem instrumental

Na abordagem instrumental, segundo Rabardel (1995), o artefato tende a

ocupar o lugar dos homens no sentido de uma automatização da atividade humana.

Mas, o autor salienta que um artefato não tem um valor instrumental, tornando-se

instrumento somente quando o sujeito desenvolve um conjunto de esquemas

associados ao seu uso, permitindo apropriar-se dele, a ponto de integrá-lo às suas

práticas. Assim, os instrumentos atuam como mediadores nas relações dos sujeitos

com os objetos, caracterizando um modelo de ação instrumentada. Esta mediação

inclui as seguintes funções: pragmática (relativa à ação e transformação dos

objetos), heurística (referente ao controle e à organização da ação) e epistemológica

(relativa à apreensão da informação e à compreensão dos objetos). O

desenvolvimento de instrumentos dá-se por um processo de gênese instrumental.



29

Na verdade, trata-se de um duplo processo: o primeiro, de instrumentação (o

artefato, ao mesmo tempo, abre novas possibilidades de ação e limita a ação) e o

segundo o de instrumentalização no qual o sujeito, em sua atividade, dá funções ao

artefato, o personaliza.

A abordagem instrumental permite aos sujeitos “ajustar” os artefatos,

estudando cuidadosamente suas características, suas possibilidades e suas

limitações, para perceber de que forma podem estruturar a ação. Desta forma, eles

participam da conceitualização. É preciso, ainda, considerar o caráter produtivo da

atividade do sujeito, através de processos de instrumentalização, vistos não como

distorções dos artefatos, mas como uma contribuição do sujeito na construção de

instrumentos. No caso de uma situação de ensino, seria a idéia de construção

conjunta, tanto pelo professor quanto pelo aluno.

Dentro dessa perspectiva, um instrumento compreende:

• um artefato material ou simbólico produzido pelo usuário ou por outros

sujeitos;

• um ou mais esquemas de utilização associados, resultantes de uma

construção individual ou da apropriação de esquemas sociais pré-existentes.

(RABARDEL, 1995, p. 117).

A partir dessas considerações, não se pode esperar que o potencial das

ferramentas digitais seja transparente – nem para o professor nem para o aluno – e,

para serem integradas de forma significativa nas aulas de Matemática, é

imprescindível que se tenha um entendimento de como gerar esses processos de

gênese instrumental. No caso dos professores, é possível que este processo seja

ainda mais complexo: artefatos precisam tornar-se instrumentos não apenas nas

práticas matemáticas dos professores, mas também em suas práticas docentes. No

decorrer do processo de gênese instrumental, muitas relações precisam se

desenvolver, a apropriação é uma palavra que descreve bem este processo, ela

indica as duas direções sobre as quais este processo atua: na direção interna,

voltada para o sujeito, para o professor para fazer Matemática e na direção da

realidade externa para ensinar Matemática.



30

O desenvolvimento do processo de gênese instrumental em um período de

tempo não reflete a organização temporal do ensino formal, dedicado a explicar um

determinado tópico (GRINKRAUT, 2006).

Para melhor compreender e, conseqüentemente, promover a gênese

instrumental nos professores é necessário identificar as limitações introduzidas pelo

instrumento, que podem ser de dois tipos: de comandos e de organização. As

limitações de comandos são geradas pelos comandos disponíveis e as suas

possibilidades de uso já as limitações de organização estão ligadas ao fato de que

trabalhar com um determinado instrumento influência a maneira como o usuário

planeja e organiza a sua tarefa matemática, levando em consideração.

o conjunto de estudos que visam à organização metódica dotrabalho em função do fim proposto e das relações entre ohomem e a máquina e a forma de funcionamento desseinstrumento (PEREIRA, 2002, p 26.).

Segundo Trouche et al. (2007), essa complexidade do papel do professor

sugere a necessidade de conceber documentos que apóiem o professor na sua sala

de aula. Para esse autor, a noção de «fonte pedagógica» para subsidiar a ação do

professor emerge como resposta a esta demanda, com destaque para duas

componentes essenciais na constituição de fontes pedagógicas: uma situação

matemática e elementos permitindo explorá-la em um dado ambiente escolar (isto é,

um ou vários cenários de uso).

Transpondo para a abordagem instrumental, uma fontepedagógica é um artefato, proposto para organizar a ação doprofessor na sala de aula, devendo ser transformado eminstrumento por meio de sua apropriação, apropriação esta quepassa necessariamente pelo seu uso. Assim, uma fonte nãoexiste enquanto não for experimentada em classe e validadapor um professo ou um grupo de professores, para se tornarum instrumento compartilhado por este grupo. É um ponto devista sobre a concepção de fontes estreitamente imbricada comseus usos. Esta é a razão pela qual os autores insistem nocaráter evolutivo das fontes pedagógicas, tratadas comoentidades vivas, isto é, que evoluem à luz de seus usos e dacolaboração entre professores (JAHN et al. 2009, p 1-6).

A relação dialética entre fontes pedagógicas e os relatos de experimentação

(permitindo os feedbacks do uso) aparece então como essencial. Nesse contexto,

Trouche & Guin (2006) vêem com reserva a concepção de cenários “completos” a



31

priori e apontam para a noção bem fundamentada de cenários adaptáveis, a partir

de fontes e cenários de uso mais abertos, menos finalizados.

Os autores afirmam que a gênese instrumental não é natural e nem se realiza

sem dificuldades para o professor. Para os professores, passar ao papel de

“usuários das fontes” não é nada simples e são justamente as condições dessa

apropriação que pretendemos investigar em nosso trabalho.

Como já mencionamos anteriormente, a avaliação da qualidade das fontes

pedagógicas de Geometria Dinâmica dentro do projeto Intergeo é realizada primeiro

por “peritos” (ou expert), que analisam um grande número de fontes para verificar

sua aplicabilidade nas salas de aula de Matemática e a segunda avaliação é feita

pelos próprios professores de Matemática para que possam escolher uma ou mais

fontes de GD por assunto e decidir se serão aplicadas em sua sala de aula. Nesta

situação, o professor será confrontado à questão da qualidade e pertinência dessa

fonte para seu objetivo e para seus alunos. Naturalmente, ele será levado a pensar

sobre o conteúdo da fonte e sobre as aprendizagens que ela pode favorecer. Este

professor terá que definir os elementos da fonte a serem modificados ou adaptados

para seu contexto particular, devendo compreender e se familiarizar com a referida

fonte e passar a integrá-la nos seus objetivos pedagógicos. Este processo de

apropriação é pessoal e permite que o professor transforme uma fonte (artefato) em

um instrumento para sua prática. Acreditamos que alguns critérios podem ser

preponderantes quando um professor faz suas escolhas de recursos e fontes. É

nessa direção em que vamos investigar. Pretendemos tentar identificar quais

critérios são determinantes para uma apropriação facilitada de uma fonte de GD pelo

professor.

Para isso, pensamos em organizar um questionário (ou uma grade de análise)

explicitando diferentes dimensões e critérios e observar quais são mais significativos

e relevantes para o professor quando da análise e avaliação de uma fonte de GD.

Com base em alguns estudos em Educação Matemática, e principalmente nos

elementos de análise a priori de uma situação didática (BROUSSEAU, 1998),

elaboramos um questionário composto de diversos itens em diferentes categorias de

avaliação que chamamos de dimensões de análise. São elas:



32

1. Conteúdo matemático (correção matemática e adequação do conteúdo em

relação aos objetivos anunciados);Descrição da Fonte (tema, pré-requisito, nível

escolar, noções envolvidas, competências a serem desenvolvidas, etc.);

2. Qualidade técnica da fonte (arquivos facilmente utilizáveis e adequados do

ponto de vista técnico);

3. Contribuições da Geometria Dinâmica (pertinência do uso da GD, papel da

GD na atividade);

4. Atividade instrumentada (adequação das figuras, uso do aspecto dinâmico

ou dragging, exploração de funcionalidades específicas, gestão de casos limites e

de medidas);

5. Implementação na sala de aula (descrição do material, organização da

aplicação, síntese e conclusão propostas)

6. Implementação didático-pedagógica (gestão da atividade em classe,

indicadores do tipo de trabalho a ser realizado, papel do aluno e do professor e

eventuais intervenções, possíveis soluções ou comportamentos dos alunos,

integração da fonte num projeto de ensino na progressão prevista pelo professor.

7. Descrição da Fonte (tema, pré-requisito, nível escolar, noções envolvidas,

competências a serem desenvolvidas, etc.);

A partir destas diferentes dimensões, estabelecemos nosso instrumento

principal de coleta de dados que apresentamos abaixo9. A questão em negrito é a

principal de cada uma das dimensões apresentadas acima e a avaliação tem uma

escala que varia de dois a dois negativo, ou seja, do plenamente satisfatório ao

insatisfatório.

9 Esta elaboração deu-se juntamente com a equipe francesa do projeto. Alguns estudos pilotos foram

realizados para se chegar à versão por nós utilizada.



33

-2 -1 1 2

O conteúdo matemático é correto.

O tema, as noções e as competências indicadas

correspondem ao currículo do nível/série indicado.

As atividades matemáticas propostas são adequadas

ao tema, às noções e às competências anunciadas.

O conteúdo matemático é válido e utilizável em

sala de aula para trabalhar as noções e

competências anunciadas.

Observações e comentários:

-2 -1 1 2

As figuras dinâmicas se comportam de maneira

coerente em relação à atividade matemática proposta.

As figuras resistem bem à manipulação mesmo nas

situações limite.

Os valores numéricos (medidas de ângulos e de

comprimentos) não comprometem o desenvolvimento

da atividade.

As funcionalidades avançadas (como uso do teclado

ou de macro-construção) são devidamente descritas.

A interação com as figuras dinâmicas é válida e

coerente com a atividade matemática proposta.


Figura 1 - Primeira parte do questionário apresentado aos professores com as dimensões conteúdoda fonte e qualidade técnica da fonte



34

-2 -1 1 2

Na atividade, os desenhos são claros e precisos.

Nesta atividade, a geometria dinâmica permite obter

vários casos de uma mesma figura.

Esta atividade leva o aluno a explorar, experimentar e

conjecturar.

Nesta atividade, o aluno pode validar conjecturas

perceptivamente.

Nesta atividade, diferentes representações (figurais,

numéricas, algébricas) aparecem em interação.

Esta atividade leva o aluno a considerar e a recorrer a

propriedades geométricas ao invés de se ater às

coincidências numéricas e/ou das representações

figurais.

A atividade não pode ser transposta tal qual para o

ambiente papel&lápis.

A geometria dinâmica ajuda a alcançar o objetivo

pedagógico da atividade.

O deslocamento é utilizado para ilustrar uma

propriedade ou uma relação entre objetos, graças a

sua invariância.

O deslocamento é utilizado para conjecturar ou

validar uma propriedade ou uma relação entre

objetos.

O deslocamento é explicitamente mencionado nas

instruções dadas aos alunos.

As atividades matemáticas propostas beneficiam

das contribuições da geometria dinâmica, elas

não podem ser transpostas diretamente para o

papel&lápis.


Figura 2 - Segunda parte do questionário apresentado aos professores com a dimensãocontribuições da geometria dinâmica



35

-2 -1 1 2

A atividade é concebida de forma a envolver ou engajar

facilmente os alunos.

São dadas sugestões ao professor para iniciar a

atividade.

A atividade é concebida de forma a atribuir um papel ativo

ao aluno, possibilitando iniciativas de sua parte.

São disponibilizados exemplos de produções de alunos.

São descritas estratégias previsíveis de alunos (corretas

ou não).

Os feedback do software, essenciais para a atividade, são

descritos.

Os feedback do software permitem que os alunos

avancem na resolução da atividade.

São propostas sugestões para ajudar os alunos a

abandonarem estratégias não eficazes.

São propostas ações do professor para fazer evoluir as

estratégias dos alunos.

São apresentadas sugestões de intervenções do

professor para a fase de síntese.

São dadas sugestões de como, quando e quem valida as

produções dos alunos.

As características principais da atividade e os efeitos de

suas modificações sobre as estratégias e aprendizagens

dos alunos são descritas.

A descrição desta atividade permite uma utilização

eficaz para a aprendizagem das noções e



Figura 3 - Terceira parte do questionário apresentados aos professores com a dimensão atividadeinstrumentada



36

-2 -1 1 2

Uma configuração material possível é descrita (um aluno

por computador ou classe inteira com projetor...).

Uma organização do desenvolvimento é proposto (fases,

objetivos de cada fase, trabalho individual, em grupo...).

A gestão de uma síntese ou da conclusão da atividade é

proposta.

A descrição da atividade propõe uma implementação.

Comentários e observações

-2 -1 1 2

As noções e competências pré-requeridas são coerentes

com a atividade.

As aprendizagens desenvolvidas podem ser aplicadas em

outra situação.

A atividade pode ser integrada às atividades habituais da

classe.

A atividade pode facilmente fazer parte de uma

progressão pedagógica.


-2 -1 1 2

A quantidade de informações é satisfatória.

A apresentação das informações é clara.

Os elementos da fonte podem ser modificados para

adaptá-la às necessidades do professor.

A fonte é de fácil compreensão e adaptável a um

contexto particular.


Figura 4 - Quarta parte do questionário apresentados aos professores com as dimensões implementaçãoem sala de aula, implementação didático-pedagógica e descrição da fonte.



37

No próximo capítulo, descrevemos a metodologia do nosso estudo e o

experimento previsto para coleta de dados junto a um grupo de professores de

Matemática.



38

Capítulo III

Metodologia da Pesquisa

3.1 Introdução

Em termos metodológicos, o estudo será desenvolvido segundo uma

abordagem interpretativa de pesquisa qualitativa (Alves, 2001). Uma vez com ele,

pretende-se compreender particularidades de uma situação na qual professores

estão envolvidos. No caso, será proposto aos professores participarem de uma

atividade de avaliação/adaptação de fontes pedagógicas de Geometria Dinâmica,

isto é, em algo diretamente relacionado à atuação profissional deles. Além disso,

nossa pesquisa propõe investigar questões abertas, característica de estudos

qualitativos que, segundo Bogdan & Biklen (1994), devem ter maior preocupação

com o processo e significados construídos do que com causas e efeitos.

Este projeto está organizado em três fases. A primeira fase refere-se a

análise a priori de fontes pedagógicas de Geometria Dinâmica feita pelos

pesquisadores. Na segunda fase, os professores avaliam as fontes com base no

questionário, o principal instrumento que estamos utilizando para essa fase. E na

terceira e última fase, os professores devem escolher uma fonte das três

apresentadas a eles, segundo seus critérios, considerando as que achariam mais

interessantes e adequadas para ser utilizada em sala de aula com os alunos. Os

professores devem justificar essa escolha e, por fim, analisarem o próprio

questionário, indicando os itens que acham essenciais e aqueles que acreditam ser

redundantes e/ou supérfluos.

Visando aumentar a fidedignidade dos dados, estaremos atentos à utilização

de diferentes métodos e instrumentos de coletas de dados, à reprodução cuidadosa

de relatos e eventos observados. A análise será realizada com base na confrontação

dos dados com a literatura pertinente, visando situar a pesquisa entre as já

existentes e procurando detectar semelhanças e/ ou diferenças.



39

Particularmente para as três fases acima descritas, os instrumentos de coleta

de dados incluem essencialmente um questionário (o questionário de avaliação), as

produções escritas dos professores participantes (respostas aos questionários e

critérios de escolha das fontes) e notas do observador.

3.2 As fontes de GD a serem analisadas

As três fontes pedagógicas de Geometria Dinâmica, selecionadas por nós,

abordam um mesmo assunto ou conteúdo de geometria, no caso os quadriláteros,

um assunto geralmente trabalhado nas séries do Ensino Fundamental do Ciclo II (6º

ao 9º ano). Estas três fontes foram retiradas da plataforma do projeto Intergeo e

traduzidas.

A primeira fonte tem como título “Estudo de paralelogramos particulares”,

sendo seu objetivo o de levar os alunos a conhecerem os paralelogramos

particulares por meio da identificação de suas propriedades. Esta fonte é composta

de duas fichas para os alunos, sendo que a primeira traz algumas informações ao

professor (nível/série, o software utilizado, os pré-requisitos e o objetivo da

atividade). Segue abaixo a Fonte 1, apresentada aos professores.



40

Figura 5 – Fonte 1, ficha 1

Estudo de Paralelogramos Particulares

Nível/Série: Ensino Fundamental, 6ª ou 7ª série

Ambiente: Cabri 2, um ou dois alunos por computador

Pré-requisitos: o vocabulário sobre paralelogramo

Objetivos: Descobrir paralelogramos particulares

Parte I

1º caso

Abrir o paralelogramo do arquivo “Figura_inicial”.

Exibir as respectivas medidas dos segmentos AB e BC.

Exibir a medida do ângulo ABC.

Deslocar um ou vários pontos de forma que AB BC e ABC = 90º.

Qual é a particularidade desse paralelogramo?

_________________________________________________________________

De que tipo é esse quadrilátero?

_________________________________________________________________

Salvar a figura com outro nome (<Figure_1>) e fechar.

2º caso

Abrir novamente o arquivo “Figura_inicial”.

Exibir as respectivas medidas dos segmentos AC e BD.

Exibir a medida do ângulo AÔB.

Deslocar um ou vários pontos de forma que AC=BD e AÔB 90º.


________________________________________________________________


_________________________________________________________________

Salvar a figura com outro nome (<Figure_2>) e fechar.



41

A segunda fonte é composta de três fichas de aluno com os seguintes títulos:

1) “Do paralelogramo ao quadrado” com o objetivo de definir e conhecer as

propriedades do quadrado, como um paralelogramo particular. Segue abaixo a fonte

2 ficha 1.


Parte II

1º caso

Abrir o arquivo “Figura_1”.

Deslocar um ou vários pontos de forma que AB=BC e ABC 90º.


__________________________________________________________________


__________________________________________________________________

Fechar a figura sem salvar.

2º caso


Deslocar um ou vários pontos de forma que AC BD e AÔB = 90º.


__________________________________________________________________



Parte III

1º caso


Deslocar um ou vários pontos de forma que AB=BC e ABC = 90º.


_________________________________________________________________


_________________________________________________________________


2º caso


Deslocar um ou vários pontos de forma que AC=BD e AÔB = 90º.


_________________________________________________________________


_________________________________________________________________




42

A segunda fonte é composta de três fichas de aluno. A primeira ficha é

intitulada: “Do paralelogramo ao quadrado” cujo objetivo é definir e conhecer as

propriedades do quadrado como um paralelogramo particular. Esta ficha e as

demais trazem um cabeçalho com algumas informações ao professor (tema

abordado, nível/série, objetivo da atividade). Segue abaixo a referida ficha da Fonte

2

Autor : Mickaël LE BELLEGO Escola/Cidade :Collège St-Joseph (PLOUGUENAST)

Tema Abordado: Nível (série):

Paralelogramos particulares 6a ou 7a

Descritivo, conceito e objetivo da atividade:

Descobrir uma definição e propriedades do quadrado, como um paralelogramo particular.

Nome: ……………..……… Título da Atividade: Do paralelogramo ao quadrado

Data: ……………………….….

Turma: ………………………….

Operações a serem realizadas RealizadaNão

realizada

1 Criar 3 pontos livres no plano: A, B e O.

2 Construir os simétricos C e D de A e B, respectivamente, em

relação ao ponto O.

3 Traçar os segmentos AB, BC, CD, DA, BD e AC.

4 De que tipo é o quadrilátero ABCD? ________________________

5 Exibir as medidas dos segmentos AC e BD, e a medida em graus

do ângulo AÔB.

6 Movimentar os pontos de forma que AÔB = 90° e AC = BD.


8 Completar: « Um paralelogramo que tem suas diagonais

______________ e ________________ é um ______________. »

9 Movimentar novamente os pontos e exibir as medidas dos

segmentos AB e BC e a medida, em graus, do ângulo BÂD.

10 Movimentar os pontos de forma que AB = BC e BÂD = 90°.


12 Completar: « Um paralelogramo que tem dois lados consecutivos

____________ e ___________________ é um ______________ »




43

A segunda ficha, intitulada “Do paralelogramo ao retângulo”, tem por objetivo

definir e conhecer as propriedades do retângulo como um paralelogramo particular.

Ela traz o mesmo tipo de cabeçalho com algumas informações ao professor. Segue

abaixo a ficha 2 da Fonte 2.

Autor: Mickaël LE BELLEGO Escola/Cidade: Collège St-Joseph (PLOUGUENAST)




Descobrir uma definição e propriedades do retângulo, como um paralelogramo particular.

Nome: ………....................……… Título da Atividade: Do paralelogramo ao retângulo

Data: ………………….……….

Turma: ………………………….


realizada

1 Criar 3 pontos livre no plano: A, B e O.





5 Exibir as medidas dos segmentos AC e BD.

6 Movimentar os pontos de forma a obter AC = BD.


8 Completar: « Um paralelogramo que tem suas ____________ de

mesma ________________ é um __________________. »

9 Movimentar novamente os pontos e exibir a medida, em graus, do

ângulo BÂD.

10 Movimentar os pontos de forma que BÂD = 90°.

11 De que tipo é o quadrilátero ABCD? ___________________

12 Completar: « Um paralelogramo que tem um

________________ é _____________________. »




44

Por fim, a terceira ficha, como o título indica, “Do paralelogramo ao losango”,

tem por objetivo abordar o losango como um paralelogramo particular. A referida

ficha encontra-se reproduzida abaixo.

Autor : Mickaël LE BELLEGO Escola/Cidade :Collège St-Joseph (PLOUGUENAST)




Descobrir uma definição e propriedades do losango, como um paralelogramo particular.

Nome: ………………......... Título da Atividade: Do paralelogramo ao losango

Data: ………………………....….

Turma: ………………………….


realizada

1 Criar 3 pontos livre no plano: A, B e O.




4 De que tipo é o quadrilátero ABCD? _______________________

5 Exibir as medidas dos segmentos AB e BC.

6 Movimentar os pontos de forma a obter AB = BC.


8 Completar: « Um paralelogramo que tem dois lados

_____________ de ________________ é um ______________ »

9 Movimentar novamente os pontos e exibir a medida, em graus, do

ângulo AÔB.

10 Movimentar os pontos de forma a obter AÔB = 90°.


12 Completar: « Um paralelogramo que tem suas diagonais

________________ é um ___________________. »




45

A terceira fonte intitulada “Paralelogramos particulares”, tem por objetivo

incitar os alunos a fazerem observações a partir de uma figura realizada de maneira

clássica (com régua e compasso) e, depois, com o auxilio de um software de

Geometria Dinâmica. Segue abaixo a Fonte 3. Ela é composta de uma ficha para o

professor, de uma descrição de um cenário para o uso com software Cabri II e ficha

aluno.

Figura 10 – Fonte 3, ficha do professor

Paralelogramos particulares

Ficha do Professor

Programa oficial:

Competências exigíveis:

Conhecer e utilizar uma definição e as propriedades (relativas aos lados, às diagonais, aos

elementos de simetria) do quadrado, do retângulo, do losango.

Objetivos pedagógicos:

Incitar os alunos a fazerem observações a partir de uma figura realizada de maneira

clássica, e depois, com o auxílio de um software de geometria dinâmica.

Mostrar a necessidade de utilizar uma demonstração para validar conjecturas.

Pré-requisitos:

Propriedades da simetria central.

Propriedades de paralelogramos particulares.

Construção de um paralelogramo com o auxílio de um ambiente de geometria dinâmica.

Interesse: Utilizar um software de geometria para emitir conjecturas.

Descrição da atividade instrumentada:

O aluno deve, em um primeiro momento, construir um paralelogramo a partir dos lados e,

depois, a partir das diagonais. Na seqüência, ele abre uma figura já construída, e deve

completá-la segundo as indicações da ficha do aluno e, por fim, movimenta os pontos a fim

de emitir conjecturas.



46


Cenário de uso para o software Cabri-géomètre

Fase

Descrição da

tarefaSituação

Ferramentas e

Suporte

Duração1

1 Aluno Primeira parteIndividual em sala

de aula

Instrumentos de

desenho

Ficha aluno

45 min

2 Professor

Correção da etapa

preliminar (construção

dos paralelogramos)

Em sala de aula,

com o auxílio de um

projetor.

Para_compassso

Para_régua_

graduada

Para_régua_esqu

adro

10 min

3 Aluno

Segunda Parte:

Construção das

figuras

Individual ou em

dupla, no laboratório

de informática.

Software de GD

(Cabri)

Ficha aluno

30 min

4 AlunoSegunda Parte:

Conjecturas

Individual ou em

dupla, no laboratório

de informática.

Software de GD

(Cabri)

Ficha aluno

55 min

5Alunos /

Professor

Terceira Parte:

Demonstração de três

proposições

Em sala de aula,

com o auxílio de um

projetor.

55 min

Figura 11 – Fonte 3, ficha do cenário de uso para o software



47


Ficha aluno

Parte 1: Experimentação em sala de aula

Etapa preliminar: Construção de um paralelogramo

1) Construir um paralelogramo ABCD utilizando somente uma régua (não graduada)

e um esquadro.

2) Construir um paralelogramo EFGH utilizando somente um compasso.

3) Construir um paralelogramo IJKL utilizando somente uma régua graduada.

Etapa seguinte: Conjecturas

Considere um paralelogramo ABCD de centro O e o paralelogramo AOBE.

1) a) Qual a natureza do quadrilátero AOBE quando ABCD é um losango?

...........................................

b) Faça uma figura onde ABCD é um losango.

Sua conjectura parece se verificar?.....................

2) a) Qual a natureza do quadrilátero AOBE quando ABCD é um retângulo?

...........................................

b) Faça uma figura onde ABCD é um retângulo.


3) a) Qual a natureza do quadrilátero AOBE quando ABCD é um quadrado?

...........................................

b) Faça uma figura onde ABCD é um quadrado.


Figura 12 – Fonte 3, ficha do Aluno



48

Figura 13 – Fonte 3, ficha do aluno – experimentação no laboratório de informática

Parte 2: Experimentação no laboratório de Informática

Exercícios preliminares: Construção de um paralelogramo ABCD

I) A partir dos LADOS

1) Crie três pontos A, B e C com o auxílio do botão .

2) Trace os segmentos AB e AC, por meio do botão .

3) Trace a reta paralela à AB passando por C, e depois a paralela à AC passando por B

(use o botão ).

4) Construa o ponto D intersecção das duas retas paralelas, usando o botão .

5)Trace os segmentos AB e AC.

6) Esconda as duas retas paralelas (com o botão ).

7) Movimente os pontos A, B e C para modificar a forma do paralelogramo ABCD (use o

botão ).

II ) A partir das DIAGONAIS

1) Crie três pontos A, B e O com o auxílio do botão .

2) Construa os pontos C e D, simétricos dos pontos A e B em relação ao ponto O (para

isso, use o botão ).

3) Trace os lados do paralelogramo ABCD, e depois as semi-diagonais OA, OB, OC, OD.

4) Indique o fato que o ponto O é o ponto médio de AC e BD, com o auxílio da opção

e .

5) Movimente os pontos A, B ou O para modificar a forma do paralelogramo.



49

Figura 14 – Fonte 3, ficha do aluno – exercícios de reflexão

Exercícios de Reflexão: Conjecturas a partir de casos particulares

III) 1) No Cabri, abra o arquivo «Paralelogramo_particular.fig».

2) Obtenha as medidas dos segmentos AD e DC, com o auxílio do botão .

3) Marque o ângulo AOB com a ajuda do botão , depois meça-o com o botão

.

4) Movimento o ponto A de forma que AD = DC (ABCD é então um losango).

Qual é então a medida do ângulo AOB? ............

Qual parece ser a natureza do quadrilátero AOBE? ..........................

Compare com a conjectura enunciada na primeira parte.

IV) 1) Abra novamente o arquivo «Paralelogramo_particular.fig».

2) Meça as medidas dos segmentos AO e OB.

3) Marque o ângulo ADC e depois obtenha sua medida.

4) Movimente o ponto A de forma a obter o ângulo ADC=90º (ABCD é então um

retângulo).

Quais são então as medidas dos segmentos AO e OB? AO = ............. OB = .............

Qual parece ser a natureza do quadrilátero AOBE? ..........................

Compare com a conjectura formulada na primeira parte da atividade.

V) 1) Na figura anterior, meça as medidas dos segmentos AD e DC.

2) Marque o ângulo AÔB, e depois obtenha sua medida.

3) Movimente o ponto A de forma que AÔB = 90° e AO = OB (AOBE é então um..........................).

Quais são então as medidas dos segmentos AD e CD? AD = ............. CD = .............

Qual é então a medida do ângulo AÔB? ...................

Qual parece ser a natureza do quadrilátero ABCD? ................................

Compare com a conjectura emitida na primeira parte.

Conclusões das duas primeiras partes

A partir das observações e das conjecturas enunciadas, complete as proposições que

seguem:

Se ABCD é um ............................... então AOBE é um ...............................

Se ABCD é um ............................... então AOBE é um ...............................

Se AOEB é um ............................... então ABCD é um ...............................

Em sua opinião, as observações feitas a partir dos desenhos e depois com o software são

suficientes para garantir a validade das três proposições anteriores?



50

Figura 15 – Fonte 3, ficha do aluno parte 3 demonstração das propriedades

Essas três fontes foram apresentadas para um grupo de professores que

deveriam analisá-las com base no questionário elaborado para esse fim. Apesar de

tratarem do mesmo assunto - paralelogramos - as abordagens são diferenciadas.

Essa escolha foi feita para que eles pudessem verificar as várias maneiras que se

podem trabalhar em sala de aula e com fontes ou recursos apenas a ficha do aluno

(sem outras orientações para a sua aplicação), e fontes que apresentam uma ficha

do professor, ou um cronograma das aulas previstas e uma ficha do aluno com as

atividades a serem realizadas pelos alunos em sala de aula. Também é nosso

objetivo observar como o professor considera as diferenças entre estes recursos. Na

seqüência, passamos a apresentar a análise a priori, por nós realizada, como

primeira etapa do modelo de avaliação já descrito.

3.3 Seleção e análise a priori das fontes

3.3.1 Escolha das fontes

Selecionamos as três fontes de geometria dinâmica de acordo com os

seguintes critérios:

Parte 3: Demonstração das propriedades

Utilize as propriedades que você conhece e as identificadas nas atividades

anteriores para demonstrar as três proposições formuladas.



51

1– Uma única origem: as fontes selecionadas não foram elaboradas com a

finalidade de fazer a experiência, mas sim retiradas da Internet e apenas

traduzidas10, sem sofrerem alterações significativas.

2– Um mesmo formato: elas compreendem um texto associado a um arquivo de

geometria dinâmica, as informações do texto são destinadas ou aos professores

(tipo ficha do professor) ou aos alunos (ficha do aluno) ou a ambos.

3– Um mesmo tema de estudo: elas tratam todas do assunto quadrilátero, mais

especificamente de paralelogramos particulares.

4– Um mesmo modo de utilização: todas propõem o mesmo modo de trabalho, a

saber: alunos ativos (individual ou em dupla) na sala de informática.

Sabendo que estas fontes serão analisadas, comparadas e eventualmente

selecionadas para serem implementadas pelo professor, esses critérios buscaram

uma uniformidade das fontes, visando evitar pontos de vista muito subjetivos.

Assim, em particular no que diz respeito a escolha da fonte tentamos minimizar

critérios pessoais como por exemplo, a escolha ser influenciada pelo tema que o

professor tem mais familiaridade e/ ou está trabalhando com seus alunos em sala de

aula no momento da experimentação. Acreditamos que os critérios de seleção

permitem focar na avaliação da qualidade das fontes a partir do questionário

proposto, minimizando aspectos subjetivos.

3.3.2. Análise a priori das fontes

Como já mencionamos, as três fontes selecionadas têm por tema de estudo

paralelogramos particulares. Em termos curriculares, este tema normalmente é

abordado em Geometria, mais especificamente no bloco “Espaço e Forma” nas

séries finais do Ensino Fundamental. Os PCN propõem um trabalho de classificação

10 Como mencionado, nosso estudo faz parte de um projeto maior de cooperação internacional e,

numa perspectiva de estudos comparativos, optou-se por utilizar as mesmas fontes para duas

pesquisas. Daí a escolha de fontes da plataforma InterGeo e a necessidade da tradução.



52

de figuras planas incluindo os quadriláteros bem como a verificação de suas

propriedades por meio da congruência de triângulos (PCN, 1998, p. 89).

As fontes propõem atividades e manipulações que contribuem na passagem

da identificação perceptiva (reconhecimento visual) de figuras para a caracterização

destas por meio de propriedades geométricas (passagem do desenho à figura).

As competências exigidas para o trabalho com este tema são conhecer e

utilizar definições de quadriláteros particulares e suas propriedades em relação a

lados, diagonais e ângulos.

Considerando nossa experiência em formação, fazendo a hipótese de que os

professores estão familiarizados e tem experiências de ensino relativas a esse tema.

Assim, terão plenas condições de avaliar as fontes do ponto de vista da análise

matemática.

A seguir, apresentamos uma análise a priori de cada fonte, tanto do ponto de

vista dos objetos matemáticos em jogo, como em relação às demais dimensões de

análise estabelecidas no questionário de avaliação proposta.

3.3.3 Análise a priori da Fonte 1

Esta fonte é apresentada como uma atividade isolada, ou seja, não inserida

em uma seqüência ou conjunto mais amplo de atividades.

Na primeira parte, a partir de um paralelogramo dado ABCD, o aluno terá que

medir o ângulo ABC e as medidas dos lados AB e CD. Em seguida deve movimentar

os pontos (vértice do paralelogramo) de forma a atender duas condições: AB BC e

ABC = 90º. Após a observação, o aluno deve então se pronunciar sobre a

particularidade do quadrilátero obtido e depois classificá-lo (indicar sua natureza).

Esse paralelogramo é um retângulo não quadrado e deve ser salvo como Figura 1.

Acreditamos que tal verificação pode ser baseada na explicação do ângulo reto

(condição ABC = 90º) e na visualização facilitada da forma retangular bastante

familiar aos alunos.



53

No segundo item desta parte, a partir do mesmo paralelogramo ABCD, o

aluno deve movimentar os pontos visando obter AC = BD e AOB 90º. De forma

análoga é solicitado em seguida a verificação da particularidade do paralelogramo

obtido. Espera-se que esse paralelogramo seja também identificado como um

retângulo cujas diagonais são congruentes. O arquivo deve ser salvo como Figura 2.

Observa-se que o ponto O é mencionado (ângulo AÔB), mas este não é

explicitamente descrito como o ponto de intersecção das duas diagonais.

Seguindo a mesma proposta acima descrita, na segunda parte da atividade,

pede-se para o aluno abrir o arquivo “Figura 1” com um paralelogramo construído (e

em posição de retângulo não quadrado), e é que ele faça a movimentação dos

pontos (vértices do paralelogramo) de forma que AB = BC e ABC 90º. A partir

desta figura deve verificar a particularidade do paralelogramo encontrado. Espera-se

que a condição de igualdade de lados consecutivos (AB = CD) seja interpretada pelo

aluno como uma característica de um losango com os quatro lados congruentes. O

arquivo deve ser fechado sem ser salvo.

No item dois desta parte, os alunos devem abrir o arquivo “Figura 2”, com um

paralelogramo já construído e movimentar os pontos de forma que: AC BD e AOB

= 90º. A partir daí devam observar a particularidade do paralelogramo obtido e

indicar sua natureza: esse paralelogramo particular é um losango, obtido a partir de

um paralelogramo cujas diagonais são perpendiculares.

Na terceira parte da Fonte1, é composta de dois itens. No primeiro pedido ao

aluno para abrir a “Figura 1”, e movimentar os pontos (vértices do quadrilátero) de

forma a obter: AB = BC e ABC = 90º. A partir daí, deve verificar a particularidade do

paralelogramo obtido, caracterizando-o; esse paralelogramo particular é um

quadrado pois tem dois lados consecutivos de mesmo comprimento e um ângulo

reto. No item 2 pede-se para abrir a “Figura 2” anteriormente gravada. Em seguida,

novamente por meio do deslocamento dos pontos vértices do quadrilátero, deve-se

obter: AC = BD e AOB = 90º. Como isso, pretende-se levar os alunos a verificarem

que tais condições particularizam o paralelogramo inicial. Esse paralelogramo deve

ser descrito como um quadrado, originado de um paralelogramo cujas diagonais

são iguais e perpendiculares.



54

Em relação às dimensões de análise propostas no questionário, temos:

- A fonte é descrita sucintamente:

- O tema do estudo: é claramente indicado na fonte.

- Os objetivos são também anunciados: “descobrir” paralelogramos

particulares.

Após o estudo dos paralelogramos propriamente ditos, a fonte propõe

estabelecer as diferentes correspondências entre um paralelogramo e um retângulo,

um losango e um quadrado, que o aluno encontrou anteriormente em sua

escolaridade e que, portanto, ele não “descobre” realmente como figuras planas,

mas os “descobre” como casos particulares de um paralelogramo.

O objetivo matemático está claramente indicado na fonte, mas a mesma não

faz nenhuma indicação com relação aos objetivos instrumentais, isto é, do uso das

ferramentas do ambiente de geometria dinâmica.

Os pré-requisitos matemáticos são explícitos e coerentes com as instruções

contidas na fonte. A fonte não menciona nenhuma indicação para o pré-requisito

instrumental, no entanto, implicitamente, no item 1 da Parte 1, cada tarefa é seguida

de uma descrição das operações (ou ferramentas do menu) a serem utilizadas. Isto

sugere que esta fonte possa ser implementada mesmo por sujeitos iniciantes ou

sem muita experiência com a geometria dinâmica.

A fonte foi projetada no Cabri II o que é claramente mencionado na fonte.

A atividade deve ser realizada em uma sala de Informática com um ou dois

alunos por computador. Esta informação está presente na fonte, mas a duração da

atividade não está especificada.

O arquivo da figura dinâmica não contém “bugs” (erros) e é de fácil acesso

(sua abertura é simples). O arquivo não utiliza recursos específicos que necessitem

de uma explicação particular.

O conteúdo matemático contido na fonte é compatível com os objetivos

definidos e com as propostas curriculares. No entanto, estes conteúdos, em alguns

pontos matemáticos podem ser questionáveis do ponto de vista matemático.



55

Na primeira parte, a opção por excluir a possibilidade de se obter um

quadrado na figura (AB BC e AOB 90º) pode induzir ao equivoco de que um

quadrado não seria um retângulo particular.

Na segunda parte, outro ponto pode ser questionável: a opção por partir de

um retângulo para obter um losango. De fato, a partir dos retângulos obtidos (Figura

1 e Figura 2), os alunos devem primeiro desconstruir esses retângulos e, em

seguida, obter a filiação simples entre o paralelogramo não retângulo e o losango.

Teria sido mais fácil partir do paralelogramo ABCD, para em seguida passar ao

losango. O risco é uma confusão por parte dos alunos nas filiações (ou relações)

naturais entre todos estes paralelogramos particulares. E quando da formulação, em

uma fase de síntese, pela lógica proposta, o aluno poderia começar seu enunciado

da seguinte forma: “um losango é um retângulo com...”.

A terceira parte é matematicamente correta: a partir de um retângulo o aluno

tenta obter um quadrado, buscando primeiramente, dois lados consecutivos de

mesmo comprimento, e depois, as diagonais de mesmo comprimento e

perpendiculares. Pode-se perguntar por que a ação deve partir da Figura 1 e no

segundo item da Figura 2, ao invés de partir de um paralelogramo geral. Finalmente,

cabe notar que em nenhuma parte da atividade o aluno é chamado a formular as

características dos paralelogramos e de sua natureza (ausência de situação de

formulação).

Na primeira parte, as instruções que estão na ficha são desnecessárias, pois

na abertura do arquivo original, essas medidas já estão indicadas. A partir do item

dois da primeira parte da fonte, o ponto O é o centro do paralelogramo, mas não

está definido como tal, podemos observar que não é sobre o desenho.

A Geometria Dinâmica permite aqui obter rapidamente as configurações

específicas de uma dada figura, é também um parâmetro para melhorar a qualidade

visual gráfica da figura. A movimentação da figura permite fazer um elo entre os

pressupostos e as conclusões contidas na fonte, para o aluno observar certas

restrições e também observar a natureza do quadrilátero obtido. Ainda que não seja

pedido explicitamente na fonte para formular e expressar as propriedades que

expressam as relações entre os pressupostos e uma conclusão, por exemplo, se



56

ABCD é um paralelogramo tal que AB BC e ABC = 90º então ABCD é um

retângulo. A atividade tem potencial para tal.

Nota-se que não há apoio ao professor para os momentos de

institucionalização. Isso seria importante para acompanhar os alunos e também

discutir suas respostas, uma vez que não foi solicitado aos alunos explicitar a

propriedade que lhe permite identificar um paralelogramo particular a partir de um

paralelogramo qualquer. Com isso podemos supor que faltam esses elementos para

favorecer a apropriação pelo professor, de forma que ele se sinta mais seguro e

preparado para levar esse tipo de atividade para a sua sala de aula.

A análise revela que a Fonte 1 os pontos positivos são as dimensões

qualidade técnica, pois o arquivo é de fácil acesso para o aluno o que facilita a

aprendizagem e a contribuição da geometria dinâmica, porque o papel da GD na

fonte é muito importante para o seu desenvolvimento o que também auxilia na

aprendizagem dos alunos. Nesta fonte o professor pode achar falta de um apoio

maior nos momentos de institucionalização, desfavorecendo uma escolha por parte

desses professores. Ao final esses professores avaliaram o questionário e sugeriram

algumas modificações que serão citadas mais a frente.


Esta fonte é dividida em três atividades correspondente à passagem de

paralelogramo qualquer a um paralelogramo particular, respectivamente, quadrado,

retângulo e losango. Cada uma dessas atividades é tratada por uma sucessão de

dozes instruções especificando as operações a serem realizadas pelo aluno. As

quatro primeiras operações consistem na construção de um quadrilátero ABCD, criar

três pontos A, B, O, construir os pontos C e D simétricos aos pontos A e B

respectivamente em relação ao ponto O, o aluno em seguida deve observar e

identificar a natureza do quadrilátero obtido. Depois em cada atividade, o aluno é

orientado a movimentar os pontos do quadrilátero ABCD, seguindo certas restrições

para obter outro quadrilátero particular.



57

Em relação às dimensões de análise das propostas no questionário, temos:

- A fonte é descrita com sucintamente.

- O tema do estudo é claramente indicado na fonte.

- Os objetivos são também anunciados: descobrir uma definição e as

propriedades do quadrado, do retângulo e do losango, como um paralelogramo

particular.

Os pré-requisitos matemáticos não estão explícitos nas instruções da fonte. A

fonte não menciona nenhuma indicação em relação a pré-requisitos instrumentais,

mas na fonte é descrita as operações a serem realizadas pelos alunos, mas apesar

dessas orientações o aluno tem que ter adquirido alguns conhecimentos básicos

sobre os quadriláteros para poderem responder as questões proposta na atividade.

A fonte foi projetada no Cabri II apesar desse ambiente não ser mencionado

na fonte.

A atividade foi idealizada para ser desenvolvida em uma sala de Informática

com um ou dois alunos por computador. Esta informação não está presente na fonte

e nem a duração da atividade está especificada.

O conteúdo matemático contido na fonte é compatível com os objetivos

definidos e com as propostas curriculares.

O arquivo da figura dinâmica é compatível com as atividades propostas na

fonte, cada ação é descrita com detalhes, mas sem especificar as ferramentas para

a sua implementação, ao contrário da fonte um.

Como na primeira fonte, a Geometria Dinâmica permite obter rapidamente as

configurações específicas de uma figura dada, é também uma forma de melhorar a

qualidade visual e a precisão gráfica da figura apresentada. O deslocamento pode

estabelecer uma ligação entre os pressupostos e a conclusão, os alunos podem

observar a natureza do quadrilátero obtido como uma conseqüência necessária

dessas limitações. Articulando as propriedades que expressam relações entre os

pressupostos, restrições preenchidas, e a conclusão ao tipo de quadrilátero.



58

A fonte não menciona qualquer indicação explícita da aplicação didática, mas

de uma forma implícita, podemos imaginar a seguinte seqüência:

1– uma primeira fase de ação nas instruções um, dois e três, onde os alunos

são levados a construir um quadrilátero ABCD;

2– uma primeira fase de formulação de conjecturas na instrução quatro, onde

o aluno precisa decidir sobre a natureza desse quadrilátero;

3– outra fase de ação nas instruções cinco ou seis, onde o aluno vai medir os

segmentos e a medida em graus do ângulo e movimentar os pontos até obter o que

foi proposto na atividade;

4 – a segunda fase da formulação de conjecturas na instrução sete, leva o

aluno a decidir sobre a natureza particular do quadrilátero obtido;

5 – uma fase inicial da formulação da propriedade descoberta na oitava

instrução, onde o aluno completa a frase com a propriedade do paralelogramo

particular;

6 – a terceira fase de ação nas instruções nove e dez, onde o aluno vai

movimentar os pontos até obter o que foi proposto na atividade;

7 – uma terceira fase de formação de conjecturas na instrução onze, onde o

aluno vai decidir sobre a natureza do quadrilátero particular;

8 – finalmente, uma segunda fase de formulação da propriedade descoberta,

na instrução doze, na qual o aluno deve completar a frase sobre a propriedade do

quadrilátero obtido. Além disso, durante os trabalhos preparatórios o professor que

será o usuário, terá que personalizar a fonte, validar, institucionalizar e gerenciar a

classe durante todas as situações mencionadas na fonte para que ela seja

efetivamente aplicada com os alunos.

Embora esta fonte forneça poucas orientações para encaminhar a sua

execução, sua homogeneidade e a integridade do conteúdo de suas atividades

matemáticas e instrumentais, sugerindo um início rápido e eficiente o professor com

suas intervenções pode conduzir de forma eficiente a aplicação dessa fonte. As

instruções são apresentadas com simplicidade e clareza as sessões são “divididas”



59

e uma seqüência facilmente identificável. Em resumo, os benefícios desta fonte são

qualidade técnica, de conteúdo matemático, atividade instrumentada, o potencial da

geometria dinâmica e a capacidade de leitura de sua aplicação didática.

Devido a tais características, podemos supor que essa fonte pode ter uma

avaliação favorável por parte do professor, pois permite uma apropriação facilitada.


A fonte oferece uma seqüência organizada em três partes: a parte um, é

intitulada “Experimentação em sala de aula”, na parte dois, temos a

“Experimentação no laboratório de informática” e na parte três propõe-se o trabalho

com a “demonstração das propriedades” conjecturadas nas partes anteriores.

A primeira parte deve ser, realizada em sala de aula, no ambiente do papel e

lápis e utilizando instrumentos de desenho (régua, compasso, esquadro). Podemos

descrever a proposta da seguinte maneira:

1– Um exercício preliminar pede ao aluno para construir três paralelogramos

utilizando diferentes instrumentos de desenho: régua não graduada, esquadro,

somente o compasso e somente uma régua graduada;

2– Na próxima etapa, a partir de um paralelogramo ABCD dado, com centro

em O, o aluno deve descobrir que a natureza do paralelogramo AOBE quando

ABCD é um losango então AOBE é um retângulo. Devem identificar que a natureza

do quadrilátero AOBE quando ABCD é um retângulo então ele é um losango, com

uma verificação experimental de conjecturas, os alunos são levados a obter um

desenho correspondente a cada caso particular de paralelogramo ABCD ou AOBE.

A segunda parte acontece no laboratório de informática, sendo que no

exercício preliminar, com um software de Geometria Dinâmica, os alunos irão

construir paralelogramos utilizando duas definições diferentes:

1– A partir dos lados: um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados

opostos são dois a dois paralelos.



60

2– A partir das diagonais: um paralelogramo é um quadrilátero cujas

diagonais cortam-se no ponto médio.

Em seguida, o aluno começa a executar o que foi descrito na primeira parte

da atividade na sala de aula. Desta vez, as construções devem ser realizadas

utilizando o ambiente computacional. O aluno é então instruído pelo que está escrito

na ficha, devendo verificar o resultado de suas observações e completar as três

propostas que estão na atividade, na forma se...... então.....

Finalmente, na terceira parte, o aluno tem que demonstrar cada conjectura,

utilizando as propriedades conhecidas e identificadas por eles no momento das

construções.

Em relação às dimensões de análise das propostas no questionário, temos:

A fonte é descrita com detalhes tanto para o professor quanto para o aluno.

O tema do estudo é claramente indicado na fonte.

Os objetivos são também anunciados: incitar os alunos a fazerem

observações a partir de uma figura realizada de maneira clássica e depois, com o

auxílio de um software de geometria dinâmica e mostrar a necessidade de utilizar

uma demonstração para validar as conjecturas.

Os pré-requisitos matemáticos são explícitos e coerentes com as instruções

contidas na fonte. Na fonte, os pré-requisitos instrumentais também estão explícitos

e coerentes com as instruções contidas na fonte.

A fonte foi projetada no Cabri II e esse ambiente é mencionado na fonte e na

ficha de cenário de uso para o software.

A atividade da parte 2 deve ser realizada em uma sala de Informática com um

ou dois alunos por computador. Esta informação está presente na fonte, assim como

a duração prevista para a atividade.

Na parte dos exercícios de reflexão, o arquivo da figura dinâmica não contém

“bugs” (erros) e é de fácil acesso (sua abertura é simples). No entanto, será

necessário chamar a atenção do aluno para informar-lhe que para obter a medida do



61

ângulo AÔB é necessário clicar no botão , e clicar sobre os pontos B, O, A (ou

A, O, B) nesta ordem, onde é obtida a medida do ângulo AOB .

O conteúdo matemático que está descrito na fonte é compatível e os objetivos

definidos estão de acordo com as propostas curriculares.

O arquivo da figura dinâmica é compatível com as atividades propostas na

fonte, cada ação é descrita com detalhes, especificando cada ícone para a sua

construção e implementação.

Na parte 2, onde se inicia a parte instrumentada, são apresentados ao aluno

os exercícios preliminares que devem ser realizados com o auxílio do software Cabri

II. Inicia-se com a construção de um paralelogramo a partir dos lados, com uma

descrição detalhada (construção guiada), em seguida, passe-se a construir outro

paralelogramo a partir das diagonais, também descrito com detalhes para o aluno.

Além disso, os alunos são totalmente guiados para a realização da atividade e não

têm nenhuma ação descrita para o professor durante essa etapa da atividade.

Finalmente, a fonte não utiliza nenhum recurso avançado, como por exemplo,

macro-construções.

O ambiente da Geometria Dinâmica nesta fonte permite que rápida e

facilmente obtenham-se vários casos de um mesmo paralelogramo, por exemplo, um

paralelogramo ABCD com AD = DC. No entanto, devido à questão do

processamento das medidas (aproximações), podem não beneficiar a oportunidade

de verificar uma propriedade com exatidão. O deslocamento é proposto para

conjecturar uma relação geométrica, por exemplo, para todo o paralelogramo ABCD

tal que AD = DC, o paralelogramo obtido AOBE é um retângulo, mas pode-se

questionar se o papel do deslocamento (aspecto dinâmico) é realmente utilizado na

atividade, já que nada leva os alunos a explorar os diferentes casos de

paralelogramos que satisfazem as mesmas condições, especialmente na primeira

parte, onde é pedido aos alunos para verificarem as suas conjecturas, praticamente

através de um desenho estático.

A fonte oferece uma organização da seqüência com uma descrição precisa

das tarefas e os papéis dos diferentes atores (aluno e professor). As alternâncias do



62

ambiente papel/lápis e do ambiente computacional estão bem definidas. Cada ação

é dirigida, comentada e corrigida na própria pergunta. Ainda que revestida de uma

abordagem experimental, o tipo de proposta e de apresentação é mais próxima de

um modelo behaviorista no qual o aluno é bastante guiado na direção do saber

visado. Os erros devem ser evitados pelo professor e o aluno não é levado a uma

verdadeira atividade de investigação. Sua participação limita-se a medir

comprimentos, movimentar um ponto, conjecturar e obter a mesma propriedade já

observada e enunciada no ambiente do papel/lápis. Entre uma parte e outra,

podemos dizer que o aluno quase que realiza mecanicamente as instruções, sem

necessariamente construir novos conhecimentos.

Nota-se que a aprendizagem do aluno durante a realização desta atividade

proposta principalmente na parte onde tem que provar as propriedades é difícil, pois

a construção no ambiente papel e lápis e no ambiente de Geometria Dinâmica pode

não dar elementos para a elaboração de uma prova. Com as atividades

precedentes, o aluno pode, no máximo, ser levado a verificar experimentalmente as

referidas propriedades dos paralelogramos.

Essa fonte oferece módulos isolados, o que pode ser bom para a

aprendizagem dos alunos, mas cuja articulação é bastante complexa. Há uma

passagem extremamente delicada entre as partes 2 e 3 (da experimentação à

demonstração).

Outro ponto importante a ser observado é que o aluno é levado a construir

paralelogramos tanto no ambiente papel e lápis quanto no ambiente de GD, uma

diferença dessa fonte para as demais, nas quais a figura é apresentada pronta e o

aluno apenas a explora por movimentação.



63

CAPÍTULO IV

DESCRIÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS COLETADOS

4.1 Objetivo do experimento

O nosso objetivo principal com o experimento é verificar se o instrumento de

avaliação das fontes digitais de Geometria Dinâmica, no nosso caso um questionário

que foi elaborado com a colaboração da equipe que participa do Projeto InterGeo, é

um bom instrumento de avaliação dessas fontes e de futuras avaliações por parte

dos professores, visando aplicá-las em suas salas de aulas com seus alunos.

4.2 Descrição e realização da coleta de dados

Em nossa experimentação, realizamos dois encontros com um grupo de

professores de Matemática11 de vários segmentos de ensino (do Ensino

Fundamental até a Graduação).

Num primeiro encontro, o formador iniciou com uma conversa sobre a

Geometria Dinâmica e sua importância, citando vários trabalhos de pesquisa já

existentes bem como os diversos materiais destinados ao professor. Comentou

ainda sua fraca inserção nas aulas de Matemática no contexto brasileiro.

Após essa conversa inicial, os professores foram agrupados em duplas.

Tentamos deixar todos a vontade para escolher os seus parceiros. Todos os

professores já tinham contato com a Geometria Dinâmica e com software utilizado (o

Cabri-Géomètre). Durante as sessões, teve um observador que acompanhou uma

11 Este grupo de professores foi voluntário e participavam de uma disciplina sobre uso das TIC no

ensino de Matemática no âmbito de um curso de Mestrado em Educação Matemática.



64

determinada dupla, fazendo as anotações do que aconteceu durante as atividades

propostas.

O formador apresentou às duplas a Fonte 1 intitulada “Estudo de

Paralelogramos Particulares” para que eles realizassem o que estava proposto na

ficha do aluno que constituía essa fonte. Eles tinham três partes para desenvolver,

onde tinham que abrir o arquivo solicitado no computador e realizar medidas dos

lados do paralelogramo, medir os ângulos e fazer os deslocamentos solicitados de

um ou mais pontos da figura. Ao término de cada parte, teriam duas questões a

serem respondidas com base nas observações feitas, em particular após

movimentação sob determinadas condições.

Terminada essa primeira fonte, o formador entregou a Fonte 2 composta de 3

fichas de alunos, intituladas respectivamente “Do paralelogramo ao quadrado”, ”Do

paralelogramo ao retângulo” e “Do paralelogramo ao losango”. Nessa fonte, era

proposta construção de um paralelogramo a partir de instruções contidas em cada

uma das fichas. Em seguida, teriam que medir os segmentos respectivamente (AC e

BD, AC e BD e AB e BC) e movimentar os pontos de um determinado ângulo da

figura conforme comando descrito na ficha e ao término responder a sete questões

propostas com base nas observações que eles realizaram durante a

experimentação.

Finalmente, foi entregue a eles a Fonte 3 que é composta de ficha do

professor com todo o planejamento das atividades a serem realizadas, uma ficha

com o cenário de uso do software e uma ficha do aluno com três partes. Na primeira

parte da atividade, foi realizada a construção de um paralelogramo no ambiente

papel e lápis de três modos diferentes: a primeira somente com régua (não

graduada) e um esquadro, a segunda somente com o compasso e a terceira

somente com uma régua graduada. Na etapa seguinte, é apresentada uma figura

com dois paralelogramos (um deles com vértice no centro do outro), a partir da qual

deveriam observar e responder a três questões propostas na atividade. A parte 2

propunha construir um paralelogramo com o software Cabri II, partindo dos lados e

outro partindo das diagonais. Ao término das construções é solicitada a

movimentação dos pontos, dando seqüência à parte dois foi solicitada a abertura da

figura “Paralelogramo Particular” e que realizassem os comandos pedidos na ficha



65

como medir segmentos, ângulos, movimentar pontos e comparar as figuras para

responder as questões apresentadas na atividade. Ao final das atividades todo o

material foi recolhido, pois esse material foi utilizado no segundo encontro.

No segundo encontro com os professores, foram devolvidas as fontes e foi

apresentado o questionário para que realizassem uma análise de cada fonte com o

auxílio deste instrumento. Eles preencheram um questionário para cada fonte

trabalhada no encontro anterior. O observador continuou acompanhando a mesma

dupla do primeiro encontro e realizando suas anotações, em particular das dúvidas

e/ou interpretações da dupla aos itens do questionário.

Ao término do preenchimento do questionário, o formador propôs que cada

uma das duplas escolhesse uma das três fontes para um possível uso em sala de

aula e que indicassem o porquê da escolha da fonte e se fariam alguma alteração

para uma utilização mais eficaz com seus alunos.

Ao final dessa atividade, foi solicitado às duplas que avaliassem o

questionário, analisando se o consideram um bom instrumento para avaliar as fontes

e se modificariam ou tirariam alguma questão. Ao final desse encontro, todo o

material foi recolhido, pois é com ele que fizemos a nossa análise dos dados que

passamos a descrever no que segue.

4.3 Análise a posteriori da avaliação dos professores

Vamos realizar esta análise em duas partes.

Na primeira parte, analisaremos as respostas das três duplas de professores,

fonte por fonte e vamos tentar identificar:

1 – respostas conflitantes para as questões, em relação às diferentes duplas;

2 – as questões com respostas contraditórias em relação à nossa análise a

priori.

As respostas consensuais e coerentes com a nossa análise a priori não

exigirão nenhum comentário particular e nem sempre serão tratadas. No entanto,



66

para uma leitura vertical, elas podem revelar as percepções da fonte por cada dupla

e nós estaremos atentos aos comentários das duplas aos referidos itens.

O objetivo dessa primeira análise será o de testar a nossa hipótese de

investigação, ou seja, se o questionário é compreensível e utilizável pelo professor

de Matemática para a avaliação de uma fonte de GD. A identificação de eventuais

divergências ou discrepâncias nas repostas pode sugerir que a questão ou critério

não está muito claro e devemos pensar em uma formulação mais precisa de forma a

não gerar muitas interpretações diferentes.

Na segunda parte, vamos estudar as respostas dupla por dupla, ou seja, as

respostas de cada dupla aos itens do questionário. Interessaremo-nos mais

particularmente às posições de cada dupla quanto à escolha de uma fonte, dentre as

três propostas. Vamos atentar para as observações feitas pelas duplas e que

indicam os pontos fortes e as deficiências de cada fonte e que motivaram a posição

respondida.

Quando uma fonte é apresentada às duplas para a sua análise, vamos olhar

primeiramente os pontos considerados fortes por essa dupla e vice-versa, vamos

também nos concentrar nos pontos fracos. Mas essa leitura não é suficiente, pois

duas fontes podem ter respostas similares a um mesmo critério, e ainda assim, em

uma última análise, não motivar uma mesma escolha. Neste caso, cruzaremos

qualidades e defeitos (pontos fortes e fracos) para tentar identificar os critérios

dominantes para a dupla. Esta análise nos permite, tirar conclusões sobre os

elementos que determinam a escolha de uma determinada fonte pelo professor, se

ela seria ou não escolhida para uma possível aplicação em sala de aula. Esperamos

assim obter informações sobre as representações que o professor tem sobre uma

fonte de qualidade e assim validar ou não a nossa hipótese de pesquisa, ou seja,

que as dimensões escolhidas e definidas no questionário permitem avaliar uma fonte

de Geometria Dinâmica.



67

4.4 Análises a Posteriori – Parte 1

As duplas focalizaram-se mais no conteúdo dos textos e enunciados das

fichas de alunos do que nos arquivos de geometria dinâmica (figuras dadas ou

construídas). Talvez seria interessante ter proposto um trabalho inicial individual de

análises dos arquivos de GD fornecidos.

Observamos algumas diferenças nas respostas às questões que, em nossa

análise a priori, não pareciam ser problemáticos. Essas diferenças podem resultar

de diferentes interpretações da questão relacionadas à formulação dos critérios.

Também pode haver diferentes interpretações em relação às informações internas

às fontes, devido à sua imprecisão, ainda as interpretações pessoais do professor, e

neste caso, relacionadas a seus esquemas de utilização.

Quando estas diferenças parecem relacionadas à formulação da pergunta ou

do item, tentaremos reformulá-los a fim de unificar as interpretações.

Mesmo diante de nossos esforços de tornar o questionário acessível a

qualquer professor, alguns conceitos didáticos evocados foram mal interpretados ou

suscitaram dúvidas nos professores. Com isso, ocorreram algumas intervenções do

formador para explicar e tentar dirimir tais dúvidas que surgiram durante a avaliação

das duplas com o questionário. Em outros casos, vamos tentar explicar essas

diferenças quanto às possíveis opiniões dos diferentes usuários, bem como rever e

reformular a questão para torná-la acessível e pertinente para os professores.

4.4.1 Análise das respostas relativas à Fonte 1

Os quadros foram organizados compilando os dados de cada um dos

questionários respondidos por cada dupla visando uma melhor visualização e

proceder assim a uma análise mais completa das respostas.



68

Vamos organizar os dados de acordo com as dimensões de análise propostas

no questionário.

Conteúdo da Fonte

-2 -1 1 2

O conteúdo matemático é correto. D1/D2/D3



D3 D1/D2

As atividades matemáticas propostas são adequadas ao

tema, às noções e às competências anunciadas.

D2 D1/D3

O conteúdo matemático é válido e utilizável em sala

de aula para trabalhar as noções e competências

anunciadas.

D2 D1/D3

As respostas das três duplas estão globalmente de acordo com a análise a

priori. As três duplas consideram que o conteúdo matemático é correto, claro e

consistente. Concordam que a fonte contempla o que está descrito como o tema, as

noções e competências. As duplas estão de acordo que a fonte traz informações

sobre os itens perguntados na última questão. Apenas a Dupla 2 colocou um

comentário com relação a sua resposta sobre as competências dos alunos para

realizar a atividade: “que o aluno precisa ter como pré-requisito uma familiarização

com o Cabri II (pré-requisito instrumental)”. Como observamos, a dupla considerou o

pré-requisito instrumental nesse item, no mesmo nível que os pré-requisitos de

conteúdo matemático. Apenas uma dupla – a Dupla 1 – questionou o fato de, na

parte 2, utilizar a figura 1 salva na parte anterior. Nenhuma dupla observou ou

comentou explicitamente a questão da indução à idéia errônea de que “um quadrado

não é um retângulo” indicada em nossa análise a priori.



69

Qualidade Técnica da Fonte

-2 -1 1 2

As figuras dinâmicas se comportam de maneira coerente

em relação à atividade matemática proposta.

D2 D1/D3


situações limite.

D2 D1/D3


comprimentos) não comprometem o desenvolvimento da

atividade.

D2 D1/D3

As funcionalidades avançadas (como uso do teclado ou

de macro-construção) são devidamente descritas.

D3 D2



D2 D1/D3

As três duplas tiveram respostas positivas assim como foi a nossa análise a

priori em relação à atividade matemática. Todas as duplas concordaram que os

valores numéricos não comprometem o desenvolvimento da atividade. Na questão

4, a Dupla 2 achou que sim mas a Dupla 3 colocou que não, pois na atividade não

tem nada descrito sobre funcionalidades avançadas e a Dupla 1 não entendeu a

pergunta colocando um ponto de interrogação no questionário.

De modo geral, as duplas responderam satisfatoriamente a última questão,

mas a Dupla 2 colocou uma observação: “tem uma falha no ato 2 e seria necessário

pedir para traçar as diagonais para obter o ponto O”.

Contribuições da Geometria Dinâmica

-2 -1 1 2

Na atividade, os desenhos são claros e precisos. D2 D1/D3



D1 D2/D3

Esta atividade leva o aluno a explorar, experimentar e D1 D2/D3



70

conjecturar.


perceptivamente.

D2 D1/D3



D2 D1 D3

Esta atividade leva o aluno a considerar e a recorrer

a propriedades geométricas ao invés de se ater às


figurais.

D1/D3 D2



D3 D1/D2



D3 D1/D2



sua invariância.

D1/D2/D3



objetos.*

D2/D3 D1



D1/D2/D3




papel&lápis.

D3 D1/D2

As três duplas responderam de forma positiva, assim como analisamos na

análise a priori da fonte quanto aos desenhos serem claros e precisos. A resposta

de duas duplas foram satisfatórias na questão 2 e a Dupla 1 colocou insatisfatório

com o seguinte comentário: ”a atividade propõe apenas um caso de cada figura, não

sendo suficiente para o aluno fazer muitas conjecturas”. Quanto ao aluno possa

explorar e experimentar e com essas atividades e com o software acabe fazendo as

conjecturas necessárias à resposta foi positiva de todas as duplas. As duplas



71

responderam positivamente concordando que através da percepção, o aluno

consiga conjecturar e validar. Na questão 5, duas das duplas responderam

positivamente e a Dupla 2 respondeu negativamente com a seguinte observação:

“as representações foram figurais e numéricas na fonte (não algébricas)”, a dupla

não encontrou na fonte uma representação algébrica somente figural e numérica. A

Dupla 2 concordou que a atividade leva o aluno a considerar e recorrer às

propriedades geométricas, mas as outras duas duplas responderam negativamente,

pois consideraram que os alunos levam mais em consideração o visual, como as

representações figurais e as numéricas. Todas as duplas concordaram que essa

fonte foi desenvolvida para ser trabalhada com software na sala de informática. As

duplas responderam satisfatoriamente para a questão geral (em negrito) reafirmando

a importância da GD para se alcançar o objetivo traçado. As três duplas concordam

positivamente com o questionamento quanto á importância do deslocamento na GD,

mas a Dupla 3 colocou uma observação: “o problema é validar”. A resposta das três

duplas concorda plenamente, pois o deslocamento está mencionado nas instruções

da fonte GD.

Atividade Instrumentada

-2 -1 1 2

A atividade é concebida de forma a envolver ou

engajar facilmente os alunos.

D1/D2/D3


atividade.

D1/D2/D3

A atividade é concebida de forma a atribuir um

papel ativo ao aluno, possibilitando iniciativas de

sua parte.

D1/D2/D3

São disponibilizados exemplos de produções de

alunos.

D1/D2/D3

São descritas estratégias previsíveis de alunos

(corretas ou não).

D1/D3 D2

Os feedback do software, essenciais para a

atividade, são descritos.

D1 D3 D2



72


avancem na resolução da atividade.*

D1 D3 D2



D1/D3 D2

São propostas ações do professor para fazer

evoluir as estratégias dos alunos.

D1/D2/D3



D1/D2/D3

São dadas sugestões de como, quando e quem

valida as produções dos alunos.

D1/D2/D3

As características principais da atividade e os

efeitos de suas modificações sobre as estratégias

e aprendizagens dos alunos são descritas.

D1 D2/D3

A descrição desta atividade permite uma

utilização eficaz para a aprendizagem das

noções e competências anunciadas.**

D2 D1/D3

As duplas concordam plenamente que a fonte envolve os alunos. A resposta

da questão 2 foi negativa, pois em momento algum na fonte aparecem essas

informações para o professor (ficha do professor) de como trabalhar com ela. As

duplas concordam plenamente quanto ao papel do aluno como agente ativo da

atividade. Como já era esperada, a resposta foi negativa para todas as duplas, pois

na fonte não tem exemplos quaisquer da produção de alunos e os mesmos para a

descrição de estratégias por parte dos alunos. Apenas a Dupla 2 colocou resposta

positiva, as outras duas duplas colocaram resposta negativa, e a Dupla 3 observou:

“que não são descritas” as estratégias. Apenas a Dupla 1 colocou resposta negativa,

pois só com o feedback não dá para o aluno avançar na resolução da atividade. As

três duplas colocaram resposta insatisfatória, pois a fonte não propõe sugestões que

auxiliem os alunos no desenvolvimento da atividade e não tem proposta de ações

para o professor intervir junto aos alunos para evoluir as estratégias e também em

momento nenhum é apresentado sugestões para o professor na parte final da

atividade proposta na fonte. As respostas foram todas negativas, pois a fonte não

apresenta sugestões de como validar as produções dos alunos. As três duplas



73

responderam negativamente, pois as estratégias não são descritas e a Dupla 1

colocou uma observação: “várias características não se aplicam”. Duas das duplas

responderam positivamente na última questão (em negrito) inclusive a Dupla 3 que

colocou uma observação: “dar noção sim”, mas não aprofunda o assunto e Dupla 2

respondeu negativamente, pois as descrições poderiam ser mais claras para o

desenvolvimento da atividade proposta pela fonte.

Implementação em sala de aula

-2 -1 1 2

Uma configuração material possível é descrita (um

aluno por computador ou classe inteira com projetor...).

D2 D1/D3

Uma organização do desenvolvimento é proposto

(fases, objetivos de cada fase, trabalho individual, em

grupo...).

D2/D3 D1


proposta.

D1/D3 D2

A descrição da atividade propõe uma

implementação.

D3 D1

Todas as duplas responderam positivamente quanto à configuração material,

pois é indicado explicitamente que o trabalho deve ser realizado em sala de

informática. As três duplas responderam satisfatoriamente a questão 2, pois a fonte

tem essa organização descrita. As duplas responderam negativamente, pois não há

nenhuma proposta de síntese ou conclusão da atividade descrita na fonte, as Duplas

1 e 2 colocaram observações respectivamente: “deveria ter uma fase final de

conclusão”, “falta orientação ao professor e um fechamento da proposta”. A Dupla 3

respondeu insatisfatório, pois não há uma descrição na fonte de sua implementação.



74

Implementação didático-pedagógica

-2 -1 1 2

As noções e competências pré-requeridas são

coerentes com a atividade.*

D3 D2 D1

As aprendizagens desenvolvidas podem ser aplicadas

em outra situação.

D2/D3 D1

A atividade pode ser integrada às atividades habituais

da classe.

D1/D2/D3



D3 D1/D2

A Dupla 3 foi a única a colocar uma resposta negativa e fez a seguinte

observação: “É preciso saber utilizar a GD, senão, haverá dificuldades com relação

à utilização do software”.

As três duplas responderam satisfatoriamente, pois acreditam que a

aprendizagem pode ser aplicada em outras situações com as devidas adaptações.

As duplas consideram que com a GD as atividades ficaram mais interessantes e

atrativas para os alunos. Os professores identificam que a atividade pode fazer parte

de uma progressão pedagógica, quando do estudo de quadriláteros.

Descrição da Fonte

-2 -1 1 2

A quantidade de informações é satisfatória. D1 D2 D3

A apresentação das informações é clara. D3 D2 D1



D3 D1/D2



D2 D1/D3



75

A Dupla 1 respondeu negativamente, pois na fonte falta mais algumas

informações, principalmente para o professor. A Dupla 3 respondeu negativamente,

pois as informações deveriam ser mais claras principalmente para o professor. A

Dupla 2 respondeu satisfatoriamente, mas acham que precisam de mais

informações as que são apresentadas não são suficientes. As três duplas

responderam satisfatoriamente, pois se o professor necessitar pode adaptá-la a

suas necessidades. Além disso, as três duplas, pois a fonte não é complicada para

ser aplicada em sala de aula de matemática.


Com relação ao conteúdo matemático da fonte, reproduzimos abaixo as

respostas das duplas. Como se pode observar, a apreciação por parte dos

professores é positiva, com todos os itens recebendo 1 ou 2.

-2 -1 1 2

O conteúdo matemático é correto. D3 D1/D2



D1/D2/D3



D1/D3 D2




D1/D2/D3

As duplas responderam ao questionário fazendo observações pertinentes,

pois na fonte no conteúdo matemático está correto e também quanto ao tema,

noções, competências e nível/ série indicadas estão adequados. As respostas das

duplas são dentro do esperado quanto às atividades matemáticas da fonte ao tema,

às noções e competências. Apesar disso, todas colocaram as seguintes

observações respectivamente: “as atividades propostas não são suficientes para que

o aluno defina o que é um retângulo e suas propriedades”; “Achamos que deveriam

retirar o título para não influenciar a resposta dos alunos” e “nos objetivos diz:



76

descobrir uma definição, mas não aponta qual é e discutimos se o termo descobrir

está adequado”.

No que se refere à qualidade técnica da fonte, alguns aspectos foram

julgados negativamente pelos professores.

-2 -1 1 2


em relação à atividade matemática proposta.**

D2/D3 D1


situações limite.

D2/D3 D1



atividade.

D2/D3 D1


de macro-construção) são devidamente descritas.

D3 D2



D2/D3 D1

As duplas responderam positivamente e a Dupla 3 colocou uma observação:

“às vezes fica difícil conseguir ângulo de 90º junto com os lados congruentes”, pois

na manipulação, é fato que os alunos podem não conseguir a medida exata de 90º

no software. Na questão sobre a resistência das figuras, a partir das manipulações,

as três duplas avaliaram que sim. As duplas responderam positivamente, pois os

valores numéricos que fazem parte da atividade não comprometem o seu

desenvolvimento. Na questão das funcionalidades avançadas, as Duplas 1 e 3

colocaram as seguintes observações, respectivamente: “não está presente na

atividade”, “não são muito bem descritas”. As duas duplas não encontraram nenhum

detalhe sobre as funcionalidades e a Dupla 1 colocou um ponto de interrogação na

resposta. Achamos que foi por não entenderem a questão.

Na última questão (em negrito), as duplas responderam positivamente e a

Dupla 1 colocou uma observação: “sim, pois o dinamismo das figuras favorece as

conclusões propostas na atividade”.



77

As respostas para a dimensão “Contribuições da Geometria Dinâmica” podem

ser observadas abaixo.

-2 -1 1 2

Na atividade, os desenhos são claros e precisos. D1/D2/D3



D1/D2/D3

Esta atividade leva o aluno a explorar, experimentar

e conjecturar.

D1 D2/D3


perceptivamente.

D1/D2/D3



D1/D2 D3

Esta atividade leva o aluno a considerar e a recorrer

a propriedades geométricas ao invés de se ater às


figurais.

D1 D2/D3



D3 D1/D2



D1/D2/D3



sua invariância.

D1/D2/D3



objetos.

D2/D3 D1



D1/D2/D3




papel&lápis.

D1/D2/D3



78

As três duplas indicam respostas satisfatórias idênticas quanto aos desenhos

da fonte e também concordam que a GD favorece a utilização da fonte. As três

duplas responderam que consideram que a fonte de GD leva os alunos a explorar,

experimentar e conjecturar e acreditam que pela percepção, os alunos podem tirar

suas conclusões. A Dupla 1 colocou uma resposta negativa, pois entende que às

vezes os alunos só ficam com as coincidências numéricas e o aspecto visual das

representações figurais, sem fazer a ligação com as propriedades geométricas.

As três duplas se manifestaram satisfatoriamente já que a fonte foi criada

para ser trabalhada com software de GD. A resposta da Dupla 1 foi positiva com a

seguinte observação: “a movimentação da figura é essencial nas atividades

propostas”. As duplas concordam com a importância do deslocamento para validar

ou conjecturar uma propriedade e consideram que as instruções contidas na fonte

são claras. Como a fonte foi criada para ser desenvolvida em um ambiente de GD,

as duplas responderam satisfatoriamente à questão.

Quanto à atividade Instrumentada, as respostas foram divididas, aparecendo

vários itens com avaliação negativa.

-2 -1 1 2

A atividade é concebida de forma a envolver ou engajar

facilmente os alunos.

D2/D3 D1


atividade.

D1/D2/D3

A atividade é concebida de forma a atribuir um papel

ativo ao aluno, possibilitando iniciativas de sua parte.

D1 D3 D2


alunos.

D1/D2/D3


(corretas ou não).

D1/D2 D3

Os feedback do software, essenciais para a atividade,

são descritos.

D1 D2/D3



D1/D3 D2

São propostas sugestões para ajudar os alunos a D1/D3 D2



79


São propostas ações do professor para fazer evoluir as

estratégias dos alunos.

D1/D2/D3



D1/D2 D3

São dadas sugestões de como, quando e quem valida

as produções dos alunos.

D1/D2 D3

As características principais da atividade e os efeitos

de suas modificações sobre as estratégias e

aprendizagens dos alunos são descritas.

D1 D2 D3

A descrição desta atividade permite uma utilização

eficaz para a aprendizagem das noções e


D1 D2 D3

As três duplas responderam positivamente se a fonte envolve os alunos.

Argumentaram que quando os alunos vão para a sala de Informática, gostam e se

motivam pois acham que vão fazer atividades diferenciadas.

Todas as duplas notaram que a fonte não apresenta nenhuma sugestão para

o professor desenvolver as atividades propostas, por isso as três duplas

responderam a questão negativamente. Na questão sobre a possibilidade do aluno

tomar iniciativas, a Dupla 1 respondeu que não, pois acredita que o aluno tem que

ser instigado para ter iniciativas. As três duplas responderam negativamente o item

sobre exemplos de produções dos alunos. Quanto à questão da descrição dos

feedback do software, a Dupla 1 colocou que não apresentam porque na fonte não é

citado esse retorno do software e nem como pode ser explorado. As Duplas 1 e 3

discordam da questão do feedback do software, pois entendem que permitem o

avanço na resolução da atividade pelos alunos, uma vez que a atividade leva para

tal. As três duplas responderam negativamente as seguintes questões: se são

propostas sugestões para os alunos abandonarem estratégias não eficazes; se são

propostas ações do professor para o aluno evoluir suas estratégias; se tem

sugestões de intervenções do professor para uma síntese da atividade proposta; se

tem sugestões para a validação das produções dos alunos. Colocaram -1 ou -2, pois

entendem que a fonte não descreve o que essas questões sugerem. As Duplas 1 e



80

2 responderam negativamente às questões sobre as características da atividade e

as suas modificações e se a atividade permite a utilização eficaz para a

aprendizagem das noções e competências anunciadas. Isso se deve pelo fato de

não encontrarem essas descrições na fonte. Colocaram as seguintes observações:

“não, pois nenhum desses itens aparece na atividade” (Grupo 1); “faltam muitas

instruções para iniciar e validar as atividades” (Grupo 2).

O quadro abaixo indica as respostas para o item implementação em sala de

aula.

-2 -1 1 2



D2/D3 D1



D1 D2/D3


proposta.

D2 D1/D3

A descrição da atividade propõe uma implementação. D1/D3

As duplas 2 e 3 responderam insatisfatoriamente na questão, pois na fonte

não está descrita se é um aluno por computador ou a classe inteira com projetor. Na

questão se é proposta uma organização para o desenvolvimento das atividades, a

Dupla 1 respondeu que não porque na fonte não estão descrita essas informações.

A Dupla 2 respondeu negativamente na questão se é proposta uma síntese ou

conclusão da atividade, pois não há orientações a esse respeito na fonte. Na última

questão (em negrito) as Duplas 1 e 3 responderam positivamente e a dupla 3

colocou uma observação: “a conclusão seria a definição do losango, retângulo e do

quadrado e isso não é feito explicitamente”, a Dupla 2 não respondeu a questão

achamos por não terem encontrado a informação solicitada ou por não terem

entendido o que foi questionado.



81

Na implementação didático-pedagógica as respostas das duplas foram as

seguintes.

-2 -1 1 2


com a atividade.*

D1/D2



D2/D3 D1


classe.

D1/D3 D2



D3 D1/D2

A dupla 3 não respondeu a questão sobre as noções e competências pré-

requeridas são coerentes com a atividade, mas colocaram uma observação “que a

fonte não contém as noções e competências pré-requeridas”. As três duplas

concordam que as aprendizagens podem ser aplicadas em outra situação. As três

duplas responderam positivamente nas questões, se a atividade pode ser integrada

as atividades habituais da classe e se a atividade pode fazer parte de uma

progressão pedagógica, pois a atividade pode ser integrada as atividades do dia-a-

dia da classe e pode fazer parte de um progresso na aprendizagem dos alunos e a

Dupla 1 colocou uma observação: “embora não se tenha nenhuma informação sobre

os pré-requisitos pressupõe-se que o aluno já conheça as propriedades dos

paralelogramos”.

Quanto à descrição da Fonte as respostas foram as seguintes.

-2 -1 1 2

A quantidade de informações é satisfatória. D1/D2 D3

A apresentação das informações é clara. D2 D3 D1

Os elementos da fonte podem ser modificados paraadaptá-la às necessidades do professor.

D3 D1/D2

A fonte é de fácil compreensão e adaptável a umcontexto particular.

D2/D3 D1



82

Na questão se a quantidade de informações é satisfatória as Duplas 1 e 2

acham que não porque precisariam de mais informações para aplicarem a fonte

efetivamente em sala de aula. A Dupla 2 respondeu negativamente na questão da

apresentação das informações é clara, pois as informações não estão muito claras

na fonte. A Dupla 3 respondeu que não quanto a modificação dos elementos da

fonte para adaptá-la às necessidades do professor, pois ela já está pronta para sua

utilização. Na última questão (em negrito) as duplas responderam positivamente,

pois a fonte é de fácil compreensão e adaptável a um contexto particular e a Dupla 1

colocou uma observação: “a fonte propicia uma compensação clara do contexto

trabalhado e permite uma ampla adaptação a outros conteúdos”.


Organizamos os dados da Fonte 3 de acordo com as dimensões de análise

propostas no questionário.

Conteúdo da Fonte:

-2 -1 1 2

O conteúdo matemático é correto. D1/D2/D3


correspondem ao currículo do nível/série indicado. *

D1/D3 D2



D1/D2/D3

O conteúdo matemático é válido e utilizável em sala

de aula para trabalhar as noções e competências

anunciadas.

D3 D1/D2

Quanto ao conteúdo matemático está correto, as três duplas concordam, pois

não gera nenhuma dúvida no que está sendo trabalhando na fonte. Na questão

sobre tema, noções e competências correspondem ao nível/ série indicado na fonte,

as três duplas responderam positivamente e as Duplas 1 e 3 colocaram as seguintes



83

observações respectivamente: “a série e o nível não foram indicados na atividade” e

“a fonte não falou sobre isso”. As três duplas responderam satisfatoriamente nas

questões, se as atividades matemáticas são adequadas ao tema, as noções e as

competências anunciadas, e se o conteúdo matemático é válido e utilizável para

trabalhar as noções e competências anunciadas na fonte, a Dupla 3 colocou uma

observação: ”o conteúdo matemático é válido, mas com relação à utilização em sala

de aula é questionável, pois os alunos não estão acostumados com demonstrações”.

Qualidade técnica da fonte:

-2 -1 1 2


em relação à atividade matemática proposta.

D1/D2/D3


situações limite.

D2 D1/D3



atividade.

D1/D2/D3


de macro-construção) são devidamente descritas.*

D3 D2



D1/D2/D3

As três duplas responderam plenamente satisfatório na questão se as figuras

dinâmicas são coerentes em relação à atividade proposta, pois as figuras são

coerentes como assunto abordado na fonte não gerando nenhuma dúvida. As três

duplas concordam que a figura resiste bem às manipulações até as situações limite.

Na questão sobre os valores numéricos não comprometem o desenvolvimento da

atividade, as duplas responderam positivamente, pois com o software essas

medidas são obtidas com facilidade e rapidez e não compromete a atividade. As

Duplas 2 e 3 responderam que a funcionalidade avançada estão devidamente

descrita na fonte, a Dupla 2 colocou uma observação: “nada de macro e poderia ser

específico do teclado ou duas questões (teclado e macro)”, a Dupla 1 não respondeu



84

a questão colocando um ponto de interrogação o que nos leva a acreditar que a

dupla não entendeu a questão. Na última questão (em negrito) as duplas

responderam positivamente quanto a interação das figuras dinâmicas serem validas

e coerentes com a atividade proposta na fonte, e a Dupla 2 colocou uma

observação: ”nas conjecturas o aluno pode somente observar a figura ou levar em

conta as medidas de lados e ângulos”.

Contribuições da Geometria Dinâmica:

-2 -1 1 2

Na atividade, os desenhos são claros e precisos. D2 D1/D3

Nesta atividade, a geometria dinâmica permite obter vários

casos de uma mesma figura.

D1/D2/D3

Esta atividade leva o aluno a explorar, experimentar e

conjecturar.

D1/D2/D3


perceptivamente.

D1/D2/D3


numéricas, algébricas) aparecem em interação.*

D1 D2/D3

Esta atividade leva o aluno a considerar e a recorrer a

propriedades geométricas ao invés de se ater às

coincidências numéricas e/ou das representações figurais.

D3 D1/D2



D3 D1/D2



D3 D1/D2

O deslocamento é utilizado para ilustrar uma propriedade

ou uma relação entre objetos, graças a sua invariância.

D1 D2/D3

O deslocamento é utilizado para conjecturar ou validar

uma propriedade ou uma relação entre objetos.

D3 D1/D2

O deslocamento é explicitamente mencionado nasinstruções dadas aos alunos.

D1 D2/D3

As atividades matemáticas propostas beneficiam dascontribuições da geometria dinâmica, elas não podemser transpostas diretamente para o papel&lápis.

D3 D1/D2



85

As duplas responderam positivamente quanto aos desenhos serem claros e

precisos na fonte. As duplas concordam plenamente nas questões, se a GD permite

obter vários casos de uma mesma figura; se leva o aluno a explorar, experimentar e

conjecturar, e se o aluno pode validar conjecturas perceptivamente, pois com o

software os alunos fazem várias manipulações e obtém vários casos de uma mesma

figura, que com isso os alunos exploram, experimentam e conjecturam pelas

observações que fazem durante o desenvolvimento da atividade proposta na fonte

obtém vários casos de uma mesma figura. A Dupla 1 respondeu insatisfatoriamente

justificando que na atividade não é apresentada nenhuma representação algébrica

não ocorrendo portanto a interação entre as diferentes formas de representação. As

três duplas responderam positivamente nas sete questões restante dessa dimensão

pois na fonte essas informações solicitadas estão coerentes na fonte, na questão

sobre o deslocamento como ilustração de uma propriedade ou relação entre objetos,

a Dupla 1 colocou uma observação: “quanto aos deslocamentos propostos na

atividade, eles ilustram algumas propriedades, mas há uma variação (em alguns

deslocamentos) na forma da figura” e a Dupla 2 fez uma observação: ”algumas

questões poderiam sofrer modificações, por exemplo o caso de não, seria bom um

espaço para o próprio professor reformular a questão”.

Atividade Instrumentada:

-2 -1 1 2



D1 D2/D3


atividade.

D1/D2/D3



sua parte.

D1/D2/D3


alunos.

D1/D2/D3


(corretas ou não).

D1/D2/D3



86



D1 D3 D2



D1 D2/D3



D1/D3 D2



D1 D3 D2



D1/D3 D2



D1/D3 D2


efeitos de suas modificações sobre as estratégias

e aprendizagens dos alunos são descritas.

D3 D1 D2



noções e competências anunciadas.

D1 D2/D3

As três duplas responderam positivamente as seguintes questões, se a

atividade envolve ou engaja os alunos com facilidade, se tem sugestões ao

professor na começar a atividade e se a atividade é concebida a atribuir um papel

ativo ao aluno possibilitando sua iniciativa, pois nessa fonte tem a ficha do professor

onde são colocadas as sugestões para executar as atividades com os alunos e na

atividade os alunos estão o tempo todo realizando o que foi descrito na ficha do

aluno. As duplas responderam negativamente as questões, se são disponibilizados

exemplos de produções de alunos e se são descritas estratégias previsíveis de

alunos (corretas ou não), pois na fonte não há exemplos de produção de alunos e

não são descritas estratégias que os alunos possam se utilizar de qualquer

estratégia. As Duplas 1 e 3 responderam de forma negativa, pois os feedback não

estão descritos na fonte. A Dupla 1 respondeu insatisfatório, pois os feedback não

permitem que os alunos avancem na resolução da atividade. As três duplas

responderam negativamente, pois na fonte não é sugerida nenhuma sugestão aos



87

alunos desistirem das estratégias não eficazes. As duplas 1 e 3 responderam

insatisfatório nas questões, se são apresentadas sugestões de intervenções do

professor na fase de síntese e se são dadas sugestões de como, quando e quem

valida as produções dos alunos, pois não tem na fonte nenhuma sugestão para o

professor conduzir a fase da síntese e também não há sugestões de como validar as

produções dos alunos na fonte. A Dupla 3 respondeu negativamente, pois não

ocorre a descrição sobre os efeitos e as modificações para a aprendizagem dos

alunos na fonte. As três duplas responderam positivamente a última questão (em

negrito) e a Dupla 1 colocou uma observação: ”a primeira parte apresenta certa

dificuldade caso o aluno não tenha habilidades desenvolvidas quanto ao uso do

material de desenho, a atividade é totalmente dirigida não permitindo nenhuma

“liberdade” (intervenção) por parte do aluno”.

Implementação em sala de aula:

-2 -1 1 2



D1/D2/D3



D1/D2/D3


proposta.

D1/D2/D3

A descrição da atividade propõe uma implementação. D1/D2/D3

Em todas as questões dessa dimensão foram respondidas plenamente

satisfatória pelas três duplas, elas concordam que nessa dimensão a fonte está

completa e ajudando a ser colocada em prática na sala de aula de matemática e a

Dupla 2 colocou uma observação: “nesta atividade a implementação está bem

descrita”.



88

Implementação didático-pedagógica:

-2 -1 1 2


com a atividade.

D1/D2/D3



D1/D2/D3


classe.

D1/D2/D3



D3 D1/D2

As duplas responderam positivamente as todas as questões dessa dimensão

já que na fonte há coerência entre as noções e as competências da atividade, as

aprendizagens podem ser aplicadas em outra situação, e a fonte trabalha o assunto

de quadriláteros que faz parte do currículo podendo assim ser integradas as

atividades habituais e a atividade pode sim fazer parte de um progresso pedagógico

assim auxiliando o aprendizado dos alunos.

Descrição da Fonte:

-2 -1 1 2

A quantidade de informações é satisfatória. D1/D2 D3

A apresentação das informações é clara. D1/D2/D3



D3 D1/D2



D1/D2/D3

As três duplas responderam positivamente as questões dessa dimensão, mas

a Dupla 1 colocou uma observação referente a primeira questão: ”a quantidade de

informação é satisfatória para que?”, a fonte apresenta informações claras, os



89

elementos da fonte podem ser modificados e adaptados as necessidades do

professor e dos alunos e a fonte pode se adapta a um contexto particular

dependendo da proposta do professor.

4.4.4 Resultados da primeira parte da análise

As respostas das diferentes duplas, tomadas em conjunto e comparadas com

a nossa análise a priori da qualidade das fontes por meio do questionário foram bem

satisfatórias em relação ao que estávamos esperando na análise das fontes. Mas

mesmo assim, ainda ficaram algumas diferenças nas respostas entre as duplas

comparando com a nossa analise a priori.

Essas diferenças resultaram:

1) por um lado, certas questões na concepção e na sua redação podem

induzir ou permitir um campo muito aberto e livre para as interpretações;

2) em segundo lugar, como já afirmamos, a apropriação de uma fonte por um

professor depende de sua familiarização com a utilização dessa fonte e da prática

matemática e didática dele. Em resumo, podemos considerar que as fontes estão

disponíveis na internet e que as questões têm que estar claras para que eles

possam avaliar as fontes da melhor maneira possível.



90

4.5 Análises a Posteriori – Parte 2

Ao final da fase de análise das fontes, cada dupla tinha deveria escolher uma

que mais correspondesse ao que espera de uma fonte de GD e que considera a

mais adequada para ser utilizada em sala de aula, com seus alunos.

A Dupla 1, após analisar as três fontes apresentadas, escolheu a Fonte 2 por

“ter uma seqüência clara”. A Dupla ainda considerou que para que essa fonte seja

aplicada em sala de aula, deve-se considerar que o aluno já tenha conhecimento

das figuras em jogo – paralelogramo, retângulo, losango e quadrado – quanto à sua

forma, propriedade de lados e ângulos. Estes professores julgaram importante tratar

do centro de simetria de um paralelogramo, e, portanto, reconheceram este ser um

estudo preliminar necessário ao bom desenvolvimento da atividade. Afirmaram que

é importante que o “aluno saiba o que é simetria de um ponto em relação a outro”, o

que normalmente não é abordado quando do estudo das figuras. Assim, as

atividades propostas na fonte poderiam ser precedidas do estudo desse conteúdo,

ampliando assim as características das figuras – aquelas que possuem centro de

simetria. Com isso, vemos que a Dupla analisa esse aspecto como um pré-requisito

e o valoriza no estudo das figuras.

A Dupla comenta ainda que “deveria ser acrescentada uma ficha para o

professor contendo claramente os objetivos mais específicos (como por exemplo, o

documento que acompanha a Fonte 3)” e também um cenário de uso, indicando

outras informações relevantes para o professor organizar sua aula com essa fonte.

Nesta última observação, não explicitaram quais informações seriam estas.

No que diz respeito às sugestões ou eventuais adaptações que fariam na

fonte escolhida, a dupla mencionou a necessidade de verificação da aprendizagem.

Os professores sugeriram que “deveria ser acrescentado também uma série final de

exercícios para que o professor e o aluno pudessem avaliar o aprendizado”.

A Dupla 2 considerou um equívoco afirmar que o objetivo é “descobrir” uma

definição. No caso, entendem que o termo não está adequado, pois não se está

“descobrindo” uma definição, mas sim, “aplicando-se a definição que os alunos já



91

devem conhecer”, pois pergunta a natureza do quadrilátero obtido (sua

classificação).

Na análise via questionário para esta fonte, a Dupla indicou respostas

satisfatórias (1) ou plenamente satisfatórias (2) para a maioria das dimensões, com

exceção da atividade instrumentada. Mas, esta dimensão e sua conseqüente

avaliação relativamente negativa parecem não ter influenciado a escolha da referida

fonte.

Os professores da Dupla 1 sugeriram ainda acrescentar às questões 4, 7 e 11

de cada folha um “justifique”. Comentaram que é importante motivar os alunos para

explicitarem as propriedades observadas e as razões que os levaram a classificar

cada quadrilátero. Em termos da precisão dos enunciados na ficha do aluno,

observaram que é necessário identificar (explicitar) o ponto O como encontro das

diagonais. Segundo eles, “o ponto O aparece sem que seja indicado quem ele é e

isso pode confundir os alunos!”

A Dupla 2 analisou também as três fontes apresentadas na coleta de dados, e

escolheram a Fonte 3 para uma possível aplicação em sala de aula. Eles observam

que “acreditamos que a atividade está bem elaborada e o aluno irá conseguir

desenvolve-la”.

A dupla insiste que é necessária uma familiarização com o software a ser

utilizado. Sugerem inverter a ordem das atividades, partindo das construções com o

software e passando depois para o ambiente do papel e lápis. Isso porque entendem

que os alunos teriam mais condições de realizarem as construções geométricas no

papel e lápis, depois de explorarem e as realizarem no computador, dada uma

provável falta de experiência no uso de instrumentos de desenho. Eles explicam que

“dependendo da turma e do que viram em Geometria, talvez as construções no

papel e lápis não precisariam ser feitas”.

Ao analisar os possíveis comportamentos dos alunos, a dupla considerou que

talvez o aluno não consiga validar as figuras por pequenas diferenças nas medidas,

e isso – a questão da imprecisão das medidas – deve ser discutido quando se

trabalha no computador. A fonte deveria indicar elementos para que o professor

possa realizar tal discussão.



92

A dupla apreciou o formato da fonte, afirmando que “é bom para o professor

que tem muitas informações sobre a seqüência”.

Como sugestão ou modificação na fonte escolhida, a dupla ateve-se à

formulação dos enunciados. Eles salientam que na questão “Qual a natureza do

quadrilátero”, o termo “natureza” poderia ser substituído por figura: “Qual a forma da

figura? ou algo relativo.

A Dupla 3, após o mesmo processo de análise das fontes, escolheu a Fonte

3, destacando seus pontos positivos:

- organização dos objetivos, pré-requisitos, descrições detalhadas e

cronograma.

- trabalha a noção de paralelogramo com papel&lápis, construções com régua

e compasso de maneiras diferentes, propõe fazer conjecturas fora e dentro do

ambiente computacional e discutir a “validade” das proposições a partir das figuras

do software.

- propõe a demonstração das três conjecturas formuladas, levando os alunos

à questão da prova e, para isso, a utilização da figura é muito boa.

Como se observa, esses professores não discutem a dificuldade de se passar

às demonstrações. Não houve qualquer comentário sobre como os alunos poderiam

realizar esta parte da atividade, nem o que se esperava deles.

Como pontos a serem modificados, a Dupla propõe:

- não fariam as três construções no papel&lápis, apenas iriam propor a

construção com uma régua graduada (ou com régua e compasso, se os alunos

conhecessem), solicitando assim somente uma das construções e “depois explorar

outras com o software que tem mais ferramentas e oferece mais possibilidades”,

afirma à dupla.

Em síntese, das três duplas, duas escolheram a Fonte 3 por ter mais

informações para sua implementação em sala de aula e uma descrição mais passo

a passo das atividades. Na avaliação dessas duplas, isso daria maior confiança ao



93

professor, ainda que ambas as duplas sugeriram algumas alterações em

determinadas partes das atividades, visando potencializar a aprendizagem do aluno.

A avaliação do questionário pelas três duplas, proposta no segundo encontro

com os professores, teve por objetivo identificar os critérios que se destacam para

os professores, ou seja, aqueles que compreendem e consideram pertinentes para a

avaliação. As três duplas sugeriam algumas modificações que descrevemos na

seqüência. Cabe observar que por uma questão de falta de tempo – eles realizaram

esta atividade no final do último encontro – não dispomos de muitos elementos que

justificam essas alterações sugeridas.

A Dupla 1 fez os seguintes comentários:

- as questões em negrito deveriam ser classificadas como conclusivas do

bloco e não como uma questão a mais.

- esta dupla apenas comentou da retirada de alguns itens apresentados a eles

por acharem essas questões desnecessárias na avaliação de uma fonte de GD. São

eles: na dimensão qualidade técnica da fonte as questões: “os valores numéricos

(medidas de ângulos e de cumprimentos) não comprometem o desenvolvimento da

atividade” e “as funcionalidades avançadas (como uso do teclado ou de macro

construção) são devidamente descritas”; na dimensão contribuições da geometria

dinâmica, as questão: “nesta atividade, diferentes representações (figurais,

numéricas, algébricas) aparecem em interação”; na dimensão atividade

instrumentada, os itens: “são dadas sugestões ao professor para iniciar a atividade”,

“a atividade é concebida de forma a atribuir um papel ativo ao aluno, possibilitando

iniciativas de sua parte”; “são disponibilizados exemplos de produção de alunos”;

“são descritas estratégias previsíveis de alunos (corretas ou não)” e “são propostas

sugestões para ajudar os alunos a abandonarem estratégias não eficazes”; na

dimensão implementação didático pedagógica a questão: “as aprendizagens

desenvolvidas podem ser aplicadas em outra situação” e na dimensão descrição da

fonte, o item: “os elementos da fonte podem ser modificados para adaptá-la às

necessidades do professor”.

- durante as observações, um dos componentes da dupla comentou que:

“responder o questionário é chato, mas fazer as atividades é gostoso”. O observador



94

não teve a oportunidade de aprofundar essa questão com o professor, mas fazemos

a hipótese de que esse comentário é motivado pela “extensão” do questionário,

considerado por alguns professores (desta dupla e também da Dupla1) como longo.

A Dupla 2 fez os seguintes comentários sugerindo algumas mudanças no

questionário:

- na dimensão qualidade técnica da fonte na, questão: “as funcionalidades

avançadas (como o uso do teclado ou de macro construção) são devidamente

descritas”, a dupla comentou que poderia ser específico do teclado ou fazer duas

questões, uma sobre “macro” e outra sobre “teclado”.

- alguns outros itens poderiam sofrer modificações, como por exemplo o caso

de perguntas com sentido negativo, ou seja, que utilizam “não” em suas

formulações. Algumas questões poderiam ter espaço para serem reformuladas pelos

próprios professores, de maneira a evitar alguma dúvida sobre a sua opção.

A Dupla 3 fez as seguintes observações quanto ao questionário: mudar a

palavra fonte para atividade, numerar as questões e nas observações e comentários

indicar o número correspondente da questão que está comentando. Na dimensão

contribuições da geometria dinâmica, no item “na atividade, os desenhos são claros

e precisos” a dupla sugere acrescentar se é no papel ou na tela do computador? Na

questão 3, questionaram o que é “validar conjecturas perceptivamente”. Observou-

se que discutiram sobre esse ponto. No item 7, a dupla acha que é irrelevante saber

isso, e afirmam que “na verdade, poder sempre pode”. A questão 9, referente ao

deslocamento/dragging, indagam “o deslocamento de quê?”, demonstrando que o

item precisa ser melhor formulado.

Na dimensão atividade instrumentada, a questão 11 está confusa para esta

dupla. Na dimensão implementação em sala de aula na questão, “a descrição da

atividade propõe uma implementação” a dupla questiona “Como assim? Onde? Com

quem? Quando essa implementação em sala vai acontecer? Na dimensão

implementação didático-pedagógica, na questão “as aprendizagens desenvolvidas

podem ser aplicadas em outra situação” a dupla quer saber em qual outra situação e

que exemplifique. Na questão 4, pergunta “O que é isso? Progressão pedagógica?”



95

E na dimensão 7, no item 3 sugere novamente mudar a palavra “fonte” por

“atividade”.

Essas foram às observações colocadas pelas duplas quanto ao questionário.

Observa-se que a maioria delas refere-se à forma e não ao conteúdo. Talvez os

professores entendessem que como se trata de um instrumento concebido por uma

equipe de pesquisa, não deveria ser muito questionado em termos dos conteúdos e

das dimensões escolhidas.



96

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho pode ser considerado um estudo piloto dentro do projeto

Intergeo. Ele inicia com a seguinte observação: para uma grande diversidade de

recursos de geometria dinâmica, alguns dispositivos oferecem ao professor como

um usuário em potencial, algumas informações que também podem ajudar na sua

escolha para um contexto de ensino-aprendizagem particular e facilitar sua

apropriação. O projeto Intergeo, do qual este trabalho faz parte, propõe entre outras

coisas fornecer aos professores fontes de GD de qualidade de modo que atendam a

exigências mínimas em termos de aproveitar o potencial da GD para a

aprendizagem dos alunos. Essas fontes vêm, em geral, em forma de textos para o

uso do professor ou do aluno e um ou mais arquivos de figuras dinâmicos. Este

projeto foi idealizado para tentar superar a necessidade que sentimos de avaliar a

qualidade de uma fonte de geometria dinâmica e identificar as necessidades dos

usuários através de um estudo dos processos de seleção e análise de fontes por

professores de Matemática. Contribuições teóricas sobre ensino-aprendizagem e

baseadas em alguns trabalhos sobre o tema avaliação de recursos educativos,

motivou a elaboração de um questionário com várias dimensões, partindo do

pressuposto que este instrumento pode ser auxiliar para avaliar a qualidade de uma

fonte de geometria dinâmica. As dimensões definidas são: descrição da fonte,

qualidade técnica da fonte, conteúdo matemático, atividade instrumentada,

contribuições da geometria dinâmica, implementação didático-pedagógica e

implementação em sala de aula. Durante a experimentação, propusemos a três

duplas de professores a realização das atividades propostas em três fontes

previamente selecionadas. O próximo passo foi apresentar o questionário de

avaliação para que as duplas respondessem um para cada fonte trabalhada. O

nosso objetivo era duplo. O primeiro, de comparamos as respostas das duplas com

a nossa análise a priori. No segundo, as duplas tiveram que analisar as fontes

através do questionário e decidir qual das três fontes avaliadas eles utilizariam em

suas salas de aula, uma tarefa que nos permitiria compreender as dimensões e os

critérios considerados pelos professores como plenamente satisfatórios ou

satisfatórios para fazer a escolha de uma fonte. Com isso, identificaríamos as

representações que os professores têm quanto à qualidade das fontes e, portanto,



97

eles nos forneceriam elementos para validar ou invalidar as suposições sobre as

dimensões relevantes para validar a qualidade de uma fonte.

As análises dos resultados mostram que entre as respostas das duplas, no

global, não estão longe daquelas de nossa análise a priori. Ainda assim, houve

variação de acordo com a epistemologia dos professores ou da formulação da

própria pergunta. No primeiro caso, o professor, vai além do estudo da questão,

projetando para uma aplicação da fonte através da sua experiência em identificar o

conteúdo que está implícito nas questões proposta. No segundo caso, as dimensões

escolhidas podem receber um tratamento de natureza subjetiva. Podemos estimar

que com as mudanças sugeridas pelas duplas quanto ao questionário, isso pode

efetivamente ajudar os professores em uma melhor avaliação de uma fonte de

geometria dinâmica.

Das três duplas, duas delas escolheram a Fonte 3 por conter mais

informações quanto a sua aplicabilidade em sala de aula, o que segundo os

professores, facilita assim seu trabalho em sua sala de aula. A outra dupla (Dupla 1)

escolheu a Fonte 2, pois para esses professores, foi a que pareceu mais

interessante quanto a sua execução pelos alunos e a mais completa, permitindo aos

alunos partindo de um paralelogramo, desenvolver a atividade e mudando “algumas

características” acabam chegando aos casos particulares dos paralelogramos. As

mudanças de algumas características nada mais são do que as propriedades dos

paralelogramos que os diferenciam e os classificam. Segundo esta dupla, o aluno

“visualiza” melhor as propriedades dos quadriláteros. Sugeriram alterações nas

questões 4, 7, e 11 acrescentando um “justifique” para estimular os alunos a

explicitarem as propriedades observadas e para que essas questões não ficassem

sem uma conclusão.

Finalmente quanto à escolha da fonte por parte dos professores, a

experiência não nos permite uma reflexão mais aprofundada sobre os “padrões” de

uso dos professores. Este poderia ser o tema de um próximo estudo dando

continuidade a este.

Podemos dizer que nossos objetivos foram atingidos globalmente, pois o

primeiro era observar a pertinência de um modelo de avaliação para as fontes de

GD e isso foi indicado pelos professores. Com a atividade de discussão do



98

questionário apresentado durante o nosso estudo, ainda tivemos a contribuição dos

professores para a melhoria desse instrumento importantíssimo do nosso trabalho

de pesquisa. O segundo era testar o questionário com os professores para investigar

o processo de apropriação desse tipo de recurso por eles. Com a pesquisa,

verificamos que para que isto aconteça, o recurso deve ser trabalhado e discutido

com os professores, de forma que seus critérios sejam entendidos e que as

informações nele contidas sejam realmente úteis para o professor, tanto na escolha

quanto na utilização da fonte de GD em sala de aula.



99

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http://educmath.inrp.fr/Educmath/ressources/math_inrp/educmath/lt-dg.pdf.�ltimo


104

ANEXOS

Anexo 1 – Questionários por Dupla

(1)

D1 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2

O conteúdo matemático é correto. X X X



X X X

As atividades matemáticas propostas são

adequadas ao tema, às noções e às competências

anunciadas.

X X X




X X X


D2 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2




X X X



anunciadas.

X X X




X X X




105

D3 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2




X X X



anunciadas.

X X X




X X X




106

(2)

D1 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2


coerente em relação à atividade matemática

proposta.

X X X

As figuras resistem bem à manipulação mesmo

nas situações limite.

X X X


comprimentos) não comprometem o

desenvolvimento da atividade.

X ? X

As funcionalidades avançadas (como uso do

teclado ou de macro-construção) são

devidamente descritas.

? ?

A interação com as figuras dinâmicas é

válida e coerente com a atividade

matemática proposta.

X X X


D2 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2



proposta.

X X X



X X X




X X X




X X X


válida e coerente com a atividade matemática

proposta.

X X X




107

D3 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2



proposta.

X X X



X X X




X X X




X X X


válida e coerente com a atividade matemática

proposta.

X X X


(3)

D1 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2

Na atividade, os desenhos são claros e

precisos.

X X X

Nesta atividade, a geometria dinâmica permite

obter vários casos de uma mesma figura.

X X X

Esta atividade leva o aluno a explorar,

experimentar e conjecturar.

X X X

Nesta atividade, o aluno pode validar

conjecturas perceptivamente.

X X X

Nesta atividade, diferentes representações

(figurais, numéricas, algébricas) aparecem em

interação.

X X X

Esta atividade leva o aluno a considerar e a

recorrer a propriedades geométricas ao invés de

se ater às coincidências numéricas e/ou das

representações figurais.

X X X



108

A atividade não pode ser transposta tal qual

para o ambiente papel&lápis.

X X X

A geometria dinâmica ajuda a alcançar o

objetivo pedagógico da atividade.

X X X


propriedade ou uma relação entre objetos,

graças a sua invariância.

X X X



objetos.

X X X

O deslocamento é explicitamente mencionado

nas instruções dadas aos alunos.

X X X

As atividades matemáticas propostas

beneficiam das contribuições da geometria

dinâmica, elas não podem ser transpostas

diretamente para o papel&lápis.

X X X




109

D2 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2


precisos.

X X X



X X X



X X X



X X X



interação.

X X X





X X X



X X X



X X X




X X X



objetos.

X X X



X X X





X X X




110

D3 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2


precisos.

X X X



X X X



X X X



X X X



interação.

X X X





X X X



X X X



X X X




X X X



objetos.

X X X



X X X





X X X




111

(4)

D1 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2



X X X


atividade.

X X X



sua parte.

X X X


alunos.

X X X


(corretas ou não).

X X X



X X X

Os feedback do software permitem que os

alunos avancem na resolução da atividade.

X X X

São propostas sugestões para ajudar os alunos

a abandonarem estratégias não eficazes.

X X X



X X X

São apresentadas sugestões de intervenções

do professor para a fase de síntese.

X X X



X X X


efeitos de suas modificações sobre as

estratégias e aprendizagens dos alunos são

descritas.

X X X




X X X




112

D2 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2



X X X


atividade.

X X X



sua parte.

X X X


alunos.

X X X


(corretas ou não).

X X X



X X X



X X X



X X X



X X X

São apresentadas sugestões de intervenções

do professor para a fase de síntese.

X X X



X X X




descritas.

X X X




X X X




113

D3 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2



X X X


atividade.

X X X



sua parte.

X X X


alunos.

X X X


(corretas ou não).

X X X



X X X



X X X



X X X



X X X



X X X



X X X




descritas.

X X X




X X X




114

(5)

D1 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2

Uma configuração material possível é descrita

(um aluno por computador ou classe inteira com

projetor...).

X X X

Uma organização do desenvolvimento é

proposto (fases, objetivos de cada fase, trabalho

individual, em grupo...).

X X X

A gestão de uma síntese ou da conclusão da

atividade é proposta.

X X X


implementação.

X X X


D2 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2



projetor...).

X X X


proposto (fases, objetivos de cada fase, trabalho

individual, em grupo...).

X X X



X X X


implementação.

X


D3 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2



projetor...).

X X X



115


proposto (fases, objetivos de cada fase,

trabalho individual, em grupo...).

X X X



X X X


implementação.

X X X




116

(6)

D1 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2


coerentes com a atividade.

X X X

As aprendizagens desenvolvidas podem ser

aplicadas em outra situação.

X X X

A atividade pode ser integrada às atividades

habituais da classe.

X X X

A atividade pode facilmente fazer parte de

uma progressão pedagógica.

X X X


D2 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2



X X X



X X X



X X X



X X X


D3 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2



X X



X X X



X X X



X X X




117

(7)

D1 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2

A quantidade de informações é satisfatória. X X X

A apresentação das informações é clara. X X X

Os elementos da fonte podem ser modificados

para adaptá-la às necessidades do professor.

X X X

A fonte é de fácil compreensão e adaptável a

um contexto particular.

X X X


D2 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2





X X X



X X X


D3 F1 F2 F3

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 -2 -1 1 2





X X X



X X X




118

Anexo 2 – Escolha de uma fonte pelas duplas

Dupla Fontes

analisadas

Fonte

escolhida

Comentários/justificativa Sugestões/modificações

na fonte escolhida

D1

1

2

3Fonte 2

Sequência clara.

Para que essa fonte seja

aplicada, devemos considerar

que o aluno já tenha

conhecimento das figuras

(sua forma e propriedades de

lados e ângulos):

paralelogramo, retângulo,

losango e quadrado e saiba o

que é simetria de um ponto

em relação a outro.

Deveria ser acrescentada

uma ficha do professor,

contendo objetivos mais

específicos (tipo fonte 3) e

cenário de uso, nível, etc.

Deveria ser acrescentada

uma série final de exercícios

para que o professor e o

aluno pudessem avaliar seu

aprendizado.

Erro – “descobrir” uma

definição. No caso, não se

descobre uma definição.

Acrescentar nas questões 4,

7 e 11 de cada folha um

« justifique ». Identificar o

ponto O como encontro das

diagonais nos enunciados.

D2

1

2

3

Fonte 3

Acreditamos que a atividade

está bem elaborada e o aluno

vai conseguir desenvolvê-la.

Familiarização com o software

a ser utilizado e iniciar com

paralelogramos quaisquer

(propriedades) e depois

encaminhar para os casos

particulares. Inverter a ordem,

partindo do software para o

ambiente papel e lápis. Talvez

o aluno não valide as figuras

por pequenas diferenças nas

medidas, isso deve ser

discutido.

O formato é bom para o

professor que tem muitas

informações sobre a

sequência.

“Qual a natureza....” o termo

natureza poderia ser

substituído por “Qual a forma

da figura” ou algo relativo.

Deixar disponível o arquivo

da figura junto com a fonte.



119

D3

1

2

3

Fonte 3

Pontos positivos:

- Organização dos objetivos,

pré-requisitos, descrições

detalhadas e « cronograma ».

- Trabalha a noção de

paralelogramo com papel,

lápis, régua e compasso de

maneiras diferentes, propõe

fazer as conjecturas fora do

ambiente virtual e no

ambiente virtual (tem dois

modos de construção de um

paralelogramo em Geometria

Dinâmica) e discutir a

“validade” de tais proposições

a partir dos desenhos e

figuras do software.

- Propõe a demonstração

(como atividade) das três

proposições, levam os alunos

às demonstrações e a

utilização da figura é muito

boa!

A modificação de uma delas

influencia na outra,

analogamente com uma

função.

Pontos a modificar: não faria

as três construções com

papel&lápis. Construir

somente com uma régua

graduada (ou com régua e

compasso, se os alunos

cohecem), solicitando apenas

uma construção e depois

explorar outras com o

software que tem mais

ferramentas e possibilidades.



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INTEGRAÇÃO DA GEOMETRIA DINÂMICA NA SALA DE AULA … · RESUMO Este projeto insere-se na temática de integração de novas tecnologias na sala de aula de Matemática, e mais especificamente,