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n. 30 INTEGRAÇÃO POR PARTES e INTEGRAÇÃO TABULAR INTEGRAÇÃO POR PARTES Algumas integrais não podem ser resolvidas pelos métodos da substituição de variável, assim sendo usamos a integração por partes, que consiste em interpretar uma função como sendo o produto de uma função pela diferencial de outra função. A regra do produto afirma que se f e g forem funções deriváveis, então: [ (). ()] → [ (). ()] = (). () + (). ′() (). () = [ (). ()] − (). ′() Integrando ambos os membros da equação temos: ∫ (). () = ∫[ (). ()] − ∫ (). ′() Ou ainda, ∫ (). () = (). () − ∫ (). ′()

Integracao Por Partes_Integracao Tabular

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Integracao Por Partes_Integracao Tabular

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  • n. 30 INTEGRAO POR PARTES e INTEGRAO

    TABULAR

    INTEGRAO POR PARTES

    Algumas integrais no podem ser resolvidas pelos mtodos

    da substituio de varivel, assim sendo usamos a integrao

    por partes, que consiste em interpretar uma funo como

    sendo o produto de uma funo pela diferencial de outra

    funo.

    A regra do produto afirma que se f e g forem funes

    derivveis, ento:

    [ (). ()]

    [ (). ()] = (). () + (). ()

    (). () = [ (). ()] (). ()

    Integrando ambos os membros da equao temos:

    (). () = [ (). ()] (). ()

    Ou ainda,

    (). () = (). () (). ()

  • Usando a regra da substituio, fazemos:

    = () e = ()

    = () e = ()

    logo, temos que:

    . = . .

    Exerccios:

    1. Calcule as integrais por partes:

    a.

    Seja = e = 1

    = e =

    . = . .

    . = .

    . = .

    b. 2 () () 2

    Seja = () e =1

  • = e =3

    3

    . = . .

    2 () = () . 3

    3

    1

    .

    3

    3

    2 () = 3

    3()

    1

    3

    3

    2 () = 3

    3()

    1

    3 2

    2 () = 3

    3()

    1

    3. [

    3

    3+ ]

    2 () = 3

    3()

    3

    9

    3

    c. 2 ()

    Seja, u = x e dv = cos(x)dx

    du = 2x dx e = ()

    2 () = 2. () 2 ()

    2 () = 2 () ()

    Novamente temos um produto entre funes, logo:

    2 ()

  • Seja, u = 2x e dv = sen(x)dx

    du = 2 dx e = ()

    2 () = 2 . ( ) 2 ( )

    2 () = cos (2) 2 [( ) + ]

    2 () = cos (2) + 2 2

    Logo, voltando na primeira:

    2 () = 2 () ()

    2 () = 2 () ( cos (2) + 2 2 )

    2 () = 2 () + 2 cos() 2 () + 2

    d. () ()

    Seja = () e =1

    = e =2

    2

    . = . .

    () = () . 2

    2

    1

    .

    2

    2

  • () = 2

    2()

    1

    2

    () = 2

    2()

    1

    2.2

    2

    2

    () = 2

    2()

    2

    4

    2

    INTEGRAO TABULAR

    A resoluo de algumas integrais podem apresentar muitas

    repeties, para estes casos podemos aplicar a tcnica

    de Integrao Tabular que consiste em decompor a funo

    que est sendo integrada em () que pode ser derivada at

    se tornar zero e () que ser integrada repetidamente, e

    associar estas derivadas e integrais, respectivamente.

    Exerccios:

    1. Resolva os exerccios a seguir utilizando a Integrao

    Tabular.

    a. 2

    Seja () = 2 e () =

    () e suas derivadas () e suas integrais

    (+) 2

  • () 2x

    (+) 2

    0

    Para escrevermos o resultado dessa integrao, associamos os

    produtos das funes ligadas por setas de acordo com os

    sinais (+) ou (-) correspondentes:

    2 = 2 2 + 2 +

    b. 4

    Seja () = 4 e () =

    () e suas derivadas () e suas integrais

    (+) 4

    () 4 3

    (+) 12 2

    () 24

    (+) 24

    0

  • 4 = 4 + 4 3 12 2 24 + 24 +

    c. 3 2

    Seja () = 3 e () = 2

    () e suas derivadas () e suas integrais

    (+) 3 2

    () 3 2

    1

    2 2

    (+) 6

    1

    4 2

    ()6 1

    8 2

    (+) 0 1

    16 2

    3 2 = 3

    2 2 +

    32

    4 2 +

    3

    4 2

    3

    8 2 +

    Quadro resumo:

  • Integrao por partes particularmente til para funes do tipo:

    () , () , 2

    Se a integral for do tipo (funo potncia multiplicada pela funo seno ou cosseno):

    2 () ou 2 ()

    Faa: = e =

    Se a integral for do tipo (funo potncia multiplicada pela funo exponencial):

    2

    Faa: = e =

    Se a integral for do tipo (funo potncia multiplicada pela funo logaritmo):

    2 ()

    Faa: = e =

    Integrao Tabular particularmente til para funes do tipo:

    . , () , cos()

  • Escolhendo u:

    L = logaritmo

    I = inversa trigonomtrica

    A = algbricas

    T = trigonomtricas

    E = exponenciais

    Exerccios:

    1. Resolva as integrais:

    a. 2

    b. 3

    c. 3 2 (Resolva utilizando a integrao por partes e depois confirme com a integrao tabular)

    Resoluo:

    a. 2

    Utilizando a identidade trigonomtrica:

    2 =1

    2 (1 cos 2)

    2 = 1

    2 (1 cos 2) =

    1

    2 cos 2

  • 1

    2 cos 2 =

    1

    2 [

    1

    2 2] + =

    2 =

    2

    1

    2 2

    b. 3

    Seja = () e =1

    =

    = 3 e =4

    4

    . = . .

    3 () = () . 4

    4

    .

    4

    4

    3 () = () . 4

    4

    1

    4

    4

    3 () = () . 4

    4

    1

    4 3

    3 () = () . 4

    4

    1

    4 [

    4

    4 + ]

    3 () = () 4

    4

    4

    16 +

    3 () = 4

    4 (()

    1

    4) +

  • c. 3 2 (Resolva utilizando a integrao por partes e depois confirme com a integrao tabular)

    Seja () = 3 e () = e2x

    () e suas derivadas () e suas integrais

    (+) 3 2

    () 3 2 1

    22

    (+)6 1

    42

    () 6 1

    82

    (+) 0

    1

    162

    3 2 = 3 (1

    22) 3 2 (

    1

    42) + 6 (

    1

    82) 6 (

    1

    162)

    : 3 2 = 3

    22

    3 2

    42 +

    3

    42

    3

    82

    2. Resolva as seguintes integrais:

  • a) dxexx2

    R: Ceex xx 22

    4

    1

    2

    b) dxexx

    R: Cxex )1(

    c) xdxln R: x (ln x 1) + C

    d) xdxx ln R: Cx

    xx

    4

    ln2

    22

    e) xdxxcos R: x sen x + cos x + C

    f) dxxx )cos(2

    R: Csenxxxsenxx 2cos22

    g) dxxsenex )( R: Cxsenxe

    x )cos(2

    1

    h) dxxe x2 R: C

    xe x

    4

    1

    2

    2

    i) dxxex )4cos(3 R: C

    xxsene x

    25

    4cos3443

    Resoluo:

    f. 2 () : 2 () + 2 () 2 ( ) +

    Essa uma integral por partes cclica.

    . = . .

    = 2 = 2

  • = cos =

    2 () = 2 () ()2

    Nova integral por partes:

    = 2 = 2

    = =

    . = . .

    ()2 = 2 . ( cos ) () 2

    ()2 = 2 () + 2 ()

    = 2 () + 2 ( )

    2 () = 2 () [2 () + 2 ( )]

    2 () = 2 () + 2 () 2 ( ) +

    . ()

    Essa uma integral por partes cclica.

    . = . .

    = () = ()

    = =

    (). = (). . () (1)

    Nova integral por partes:

    . () =

    . = . .

    = () = ()

  • = =

    . () = (). . ( ())

    . () = (). + . () (2)

    De (2) em (1):

    (). = (). [ (). + . () ]

    (). = (). (). . ()

    (). + . () = (). ().

    2 () = (). ().

    2 ()

    2=

    (). ().

    2

    () =

    2 [ () ()] +

    REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

    FLEMMING, Diva Marlia; GONALVES, Mrian Buss. Clculo A: funes, limite,

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    LEITHOLD, Louis. O clculo com geometria analtica. Vol. 1. 3 ed. So Paulo: Harbra,

    1994.

    MUNEM, Mustafa A. FOULIS, David J. Clculo 1. 2 ed. Rio de Janeiro Guanabara Dois,

    1986.

    SIMMONS, George F. Clculo com Geometria Analtica. So Paulo: McGraw-Hill, 1987.

    SOUZA, Rosely Antunes. Clculo Diferencial e Integral 1: Notas de aula. Curitiba:

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    STEWART, J. Clculo. Vol. 1. 6a ed. So Paulo: Cengage Learning, 2009.

    SWOKOWSKI, Earl. W. Clculo com geometria analtica. So Paulo: Makron, 1983.

    THOMAS, George B. Clculo vol 1. 11 edio. So Paulo: Addison Wesley, 2009.