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Integracao Por Partes_Integracao Tabular
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n. 30 INTEGRAO POR PARTES e INTEGRAO
TABULAR
INTEGRAO POR PARTES
Algumas integrais no podem ser resolvidas pelos mtodos
da substituio de varivel, assim sendo usamos a integrao
por partes, que consiste em interpretar uma funo como
sendo o produto de uma funo pela diferencial de outra
funo.
A regra do produto afirma que se f e g forem funes
derivveis, ento:
[ (). ()]
[ (). ()] = (). () + (). ()
(). () = [ (). ()] (). ()
Integrando ambos os membros da equao temos:
(). () = [ (). ()] (). ()
Ou ainda,
(). () = (). () (). ()
Usando a regra da substituio, fazemos:
= () e = ()
= () e = ()
logo, temos que:
. = . .
Exerccios:
1. Calcule as integrais por partes:
a.
Seja = e = 1
= e =
. = . .
. = .
. = .
b. 2 () () 2
Seja = () e =1
= e =3
3
. = . .
2 () = () . 3
3
1
.
3
3
2 () = 3
3()
1
3
3
2 () = 3
3()
1
3 2
2 () = 3
3()
1
3. [
3
3+ ]
2 () = 3
3()
3
9
3
c. 2 ()
Seja, u = x e dv = cos(x)dx
du = 2x dx e = ()
2 () = 2. () 2 ()
2 () = 2 () ()
Novamente temos um produto entre funes, logo:
2 ()
Seja, u = 2x e dv = sen(x)dx
du = 2 dx e = ()
2 () = 2 . ( ) 2 ( )
2 () = cos (2) 2 [( ) + ]
2 () = cos (2) + 2 2
Logo, voltando na primeira:
2 () = 2 () ()
2 () = 2 () ( cos (2) + 2 2 )
2 () = 2 () + 2 cos() 2 () + 2
d. () ()
Seja = () e =1
= e =2
2
. = . .
() = () . 2
2
1
.
2
2
() = 2
2()
1
2
() = 2
2()
1
2.2
2
2
() = 2
2()
2
4
2
INTEGRAO TABULAR
A resoluo de algumas integrais podem apresentar muitas
repeties, para estes casos podemos aplicar a tcnica
de Integrao Tabular que consiste em decompor a funo
que est sendo integrada em () que pode ser derivada at
se tornar zero e () que ser integrada repetidamente, e
associar estas derivadas e integrais, respectivamente.
Exerccios:
1. Resolva os exerccios a seguir utilizando a Integrao
Tabular.
a. 2
Seja () = 2 e () =
() e suas derivadas () e suas integrais
(+) 2
() 2x
(+) 2
0
Para escrevermos o resultado dessa integrao, associamos os
produtos das funes ligadas por setas de acordo com os
sinais (+) ou (-) correspondentes:
2 = 2 2 + 2 +
b. 4
Seja () = 4 e () =
() e suas derivadas () e suas integrais
(+) 4
() 4 3
(+) 12 2
() 24
(+) 24
0
4 = 4 + 4 3 12 2 24 + 24 +
c. 3 2
Seja () = 3 e () = 2
() e suas derivadas () e suas integrais
(+) 3 2
() 3 2
1
2 2
(+) 6
1
4 2
()6 1
8 2
(+) 0 1
16 2
3 2 = 3
2 2 +
32
4 2 +
3
4 2
3
8 2 +
Quadro resumo:
Integrao por partes particularmente til para funes do tipo:
() , () , 2
Se a integral for do tipo (funo potncia multiplicada pela funo seno ou cosseno):
2 () ou 2 ()
Faa: = e =
Se a integral for do tipo (funo potncia multiplicada pela funo exponencial):
2
Faa: = e =
Se a integral for do tipo (funo potncia multiplicada pela funo logaritmo):
2 ()
Faa: = e =
Integrao Tabular particularmente til para funes do tipo:
. , () , cos()
Escolhendo u:
L = logaritmo
I = inversa trigonomtrica
A = algbricas
T = trigonomtricas
E = exponenciais
Exerccios:
1. Resolva as integrais:
a. 2
b. 3
c. 3 2 (Resolva utilizando a integrao por partes e depois confirme com a integrao tabular)
Resoluo:
a. 2
Utilizando a identidade trigonomtrica:
2 =1
2 (1 cos 2)
2 = 1
2 (1 cos 2) =
1
2 cos 2
1
2 cos 2 =
1
2 [
1
2 2] + =
2 =
2
1
2 2
b. 3
Seja = () e =1
=
= 3 e =4
4
. = . .
3 () = () . 4
4
.
4
4
3 () = () . 4
4
1
4
4
3 () = () . 4
4
1
4 3
3 () = () . 4
4
1
4 [
4
4 + ]
3 () = () 4
4
4
16 +
3 () = 4
4 (()
1
4) +
c. 3 2 (Resolva utilizando a integrao por partes e depois confirme com a integrao tabular)
Seja () = 3 e () = e2x
() e suas derivadas () e suas integrais
(+) 3 2
() 3 2 1
22
(+)6 1
42
() 6 1
82
(+) 0
1
162
3 2 = 3 (1
22) 3 2 (
1
42) + 6 (
1
82) 6 (
1
162)
: 3 2 = 3
22
3 2
42 +
3
42
3
82
2. Resolva as seguintes integrais:
a) dxexx2
R: Ceex xx 22
4
1
2
b) dxexx
R: Cxex )1(
c) xdxln R: x (ln x 1) + C
d) xdxx ln R: Cx
xx
4
ln2
22
e) xdxxcos R: x sen x + cos x + C
f) dxxx )cos(2
R: Csenxxxsenxx 2cos22
g) dxxsenex )( R: Cxsenxe
x )cos(2
1
h) dxxe x2 R: C
xe x
4
1
2
2
i) dxxex )4cos(3 R: C
xxsene x
25
4cos3443
Resoluo:
f. 2 () : 2 () + 2 () 2 ( ) +
Essa uma integral por partes cclica.
. = . .
= 2 = 2
= cos =
2 () = 2 () ()2
Nova integral por partes:
= 2 = 2
= =
. = . .
()2 = 2 . ( cos ) () 2
()2 = 2 () + 2 ()
= 2 () + 2 ( )
2 () = 2 () [2 () + 2 ( )]
2 () = 2 () + 2 () 2 ( ) +
. ()
Essa uma integral por partes cclica.
. = . .
= () = ()
= =
(). = (). . () (1)
Nova integral por partes:
. () =
. = . .
= () = ()
= =
. () = (). . ( ())
. () = (). + . () (2)
De (2) em (1):
(). = (). [ (). + . () ]
(). = (). (). . ()
(). + . () = (). ().
2 () = (). ().
2 ()
2=
(). ().
2
() =
2 [ () ()] +
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
FLEMMING, Diva Marlia; GONALVES, Mrian Buss. Clculo A: funes, limite,
derivao e integrao. 5 ed. So Paulo: Makron, 1992.
LEITHOLD, Louis. O clculo com geometria analtica. Vol. 1. 3 ed. So Paulo: Harbra,
1994.
MUNEM, Mustafa A. FOULIS, David J. Clculo 1. 2 ed. Rio de Janeiro Guanabara Dois,
1986.
SIMMONS, George F. Clculo com Geometria Analtica. So Paulo: McGraw-Hill, 1987.
SOUZA, Rosely Antunes. Clculo Diferencial e Integral 1: Notas de aula. Curitiba:
UTFPR, 2013.
STEWART, J. Clculo. Vol. 1. 6a ed. So Paulo: Cengage Learning, 2009.
SWOKOWSKI, Earl. W. Clculo com geometria analtica. So Paulo: Makron, 1983.
THOMAS, George B. Clculo vol 1. 11 edio. So Paulo: Addison Wesley, 2009.