Upload
vonga
View
224
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais triplos – teorema de Fubini
Exemplo
Calcular
onde
B dxdydzzyxf ,,
Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais triplos – parametrização da região
para cada , tem-se yxzyx ,, 21 Dyx ,
integral duplo
Projeção no plano xy
Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais triplos – projeção no plano xy
Exemplo
Calcular
onde W é a região do 1º octante que está limitada pelo plano z=2 e pelo parabolóide
D yxW
dxdyxdzxdxdydz2
22
Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais triplos – parametrização da região
para cada , tem-se zyuxzyu ,, 21 Dzy ,
Projeção no plano yz
Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais triplos – projeção no plano yz
Exemplo anterior
Calcular
onde W é a região do 1º octante que está limitada pelo plano z=2 e pelo parabolóide
Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais triplos – parametrização da região
para cada , tem-se zxuxzxu ,, 21 Dzx ,
Projeção no plano xz
Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais triplos – exercícios
Calcular
a) o volume do sólido limitado por e222 yxz 24 yz
b) o volume da região do 1º octante limitada pelo plano 632 zyx
c) o integral onde E é a região definida por e E xdv2 1222 zyx 0x
d) o integral onde E é a região definida por e E
dvzx 22 33 22 22 zxy 8y
Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais triplos – mudança de variável
Seja
zyx ,,
D
dxdydzzyxfI ,,
Para calcular este integral fazendo a mudança de variável
tvu ,,(antigas) (novas)
deverá ser definida a FVVV que define as variáveis antigas à custa das novas:
tvugtvugtvugzyxtvuDEG
,,,,,,,,,,,,:
321
e atender a que: dudvdttvuJGdxdydz ,,det
ED
dudvdttvuJGtvugtvugtvugfdxdydzzyxfI ,,det,,,,,,,,,, 321
Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais triplos – coordenadas cilíndricas
Seja:
zzyxzDEG
,sin,cos,,,,:
JGdet
dzdddxdydz
ED
dzddzfdxdydzzyxfI ,sin,cos,,
Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais triplos – coordenadas esféricas
Seja:
cos,sinsin,cossin,,,,:
rrrzyxzrDEG
sindet 2rJG
ddrdrdxdydz sin2
ED
ddrdrrrrfdxdydzzyxfI sincos,sinsin,cossin,, 2
0sin,0
Faculdade de Engenharia
AM2
Integrais triplos – exercício
Calcular o integral onde E é a região definida por e
usando coordenadas esféricas. E xdv2 1222 zyx 0x