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Integral definida
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14 f 3 * 3 +L dx R. converge
’ h 4 ^ 1
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
i , f S dx R. converge
' J4 xV 2 5 ^ F
15. f x s e n ’ Q d x R. converge
l"1______ ^ _______ R. converge
r1sen(x3)dx R converge
17- í r *
18 f ' _ i ---dx R. converge
Jo "i-
r +co r l v9n ._________ ___________ R. converge
J1 x4 + 5x3 +x2 +x + l
APLICACIONES DELA INTEGRAL DEFINIDA
Hn este capítulo abordaremos algunas aplicaciones de la integral definida a ios
problemas geométricos, físicos y económicos.
4.1 ÁREA DE REGIONES PLANAS
CASO I: Sea / : [a;b] -» IR una función continua y f ( x ) > 0, Vx E /. De la
interpretación geométrica de la integral definida se sigue que el área de la región
R limitada por la gráfica de / , el eje x, las rectas x = a y x = b (Fig. 4.1) está
dada por
A(R) = / ( x ) d x ju 2
CASO II: Sean / y g dos funciones continuas en [a\b] y g (x )< f(x ) ,
V x £ [a; b]. El área de la región íl limitada por las rectas x - a A x = b y
las gráficas de / y g (Fig. 4.2) está dada por:
A(n) = ( í [f(x) - g (x )]dx)u2
Para demostrar esta fórmula, consideremos el número real k tal que k < g(x),
V x £ [a; b].
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Efectuando una traslación de ejes al origen 0 '(0; fc), las nuevas ecuaciones de las
curvas y = f(x ), y = g(x ) y de las rectas x = a y x = b son,
respectivamente, yx = f(x ) — k , yx — g(x) - k , x = a y x = b (por las
fórmulas de traslación y1 = y — k A xx — x). Por lo tanto, en el nuevo sistema
cartesiano x10 'y1 se verifica
0 < g(x) — k < f(x ) - k , V x e [a; b]
Luego, teniendo en cuenta la fórmula del caso I, se tiene
A(ü) = í (f(x ) - k)dx - Ja
A (12) =
Observación 1. Si la región R está limitada por las gráficas de x = /(y ),
x = g (y), las rectas y = a A y = b (Fig. 4.3), donde f y g son funciones
continuas en [a; b] y g(y) < f(y), V y E [a; b], entonces el área de la región R
es
[f(y) - g (y )]d y ]u2A(R)
f íf(x ) - g(x)\ dx
((g(x) - k)dx
Yi
S« = 6
x =g(yr0 I l Xy V< =f(y)
II
Ejemplo 1. Calcule el área de la región limitada por
71
y = sen x , x = 0 , x = 2 ’ y ~ ®
Solución
De la definición dada en el caso 1 y de la figura 4.4, se obtiene
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
I (i mplo 2. Calcule el área de la región S limitada por
2\x¡y , el eje x y las rectas x = —2 y x = \
1 + x2
Solución
l’ur la definición de valor absoluto, se tiene que
r- x , x < 0
be, . x > 0
Am, por la fórmula dada en el caso I y la figura 4.5, resulta
-1 2|x| ,
1*1 = {;
x r o = [ j
f° 2x f 1 2x= - --- r dx + --- Tdx
J-2 1+X2 J0 1 + X2
= -[ln(x2 + 1)]°2 + [ln(x2 + 1)]q = ln 5 + ln 2 = (ln 10)u2
r.jemplo 3. Calcule el área de la región limitada por la parábola y = x2 + 4x, el
eje x y las rectas x = —2 A x = 2.
Solución
( »bservando la gráfica de la región (Fig. 4.6), se tiene que para f(x ) = x2 + 4x se
minple
f ( x ) < 0, V x 6 [-2; 0] y f(x ) > 0, V x 6 [0; 2]
l’or tanto, el área de la región pedida se descompone en la suma de las áreas de las
regiones y R2, es decir,
A(R) = A (R J +A(R2)
f0 f 2 16 32= - l (x2 + 4x)dx + I (x2 + 4x)dx - — + — • = 16 u2
J-2 Jo J 3
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Ejemplo 4. Halle el área de la región F limitada por las gráficas de
y - x2 , y = x3 , x = - l , x = 2
Solución
lin la gráfica de la región F (Fig. 4.7), se observa que
x3 < x2 , V x 6 [-1; 1] y x2 < x3 , V x e [1; 2]
Luego,
r 1 r 2 , 8 17 25 _A(F) = J (x2 - x )dx + J (x3- x2)dx = — + — = — u
I»TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 5. Halle el área de la región limitada por las gráficas de
y = arcsen x , y = arccos x , y — 0
Solución
Las gráficas de las funciones y = arcsen x y y = arccos x están dadas en la Fig.
4.8. Ahora bien, por la definición de las inversas de estas funciones, resulta
x = sen y < x = eos y , V y 6 [0; -]
Por consiguiente, el área de la región pedida es
,-71/4
,4(12) = I (eosy - sen y)dy = (V2 - l ) u 2 Joliste ejemplo se puede resolver usando a x como variable independiente, esto es,
ri/2/2 r 1A(!l) = I arcsen x dx + f arccosxdx
Jo ■'\/2/2
lis evidente que en este caso el procedimiento es más complicado que el anterior,
por lo que recomendamos al lector escoger adecuadamente la variable
independiente antes de aplicar la fórmula del área.
170
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 6. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de
y = 4 - x2 , y = ln(2x - 3) , y = 1
Solución
I ;i gráfica de la región R se muestra en la fig. 4.9. Por comodidad consideramos a
como variable independiente, esto es, x = ^ 4 - y a xey + 3
-. Luego, se
obtiene
A (R )~S0 í S , ' í+ ) d¡ , ‘ey 3 2y + 2 y + 3 ( 4 - y )3''2
I jcmplo 7. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de
y = |x3 - 4x2 + x + 6|, 3y + x2 = 0, x = 0 , x = 4
Solución
I ti gráfica de la región R se muestra en la fig. 4.10 y su área de la región es
A(R) - i " J o
¡x3 - 4x2 + x + 6| - ( I\dx
-dx= f |x3 - 4x2 + x + 6| dx + í Jo J 0
l'íii,i hallar la integral del valor absoluto, tenemos en cuenta que
|x3 - 4x2 + x + 6| = |(x + l)(x - 2)(x - 3)|
[x3 - 4x2 + x + 6 , 0 < x < 2
|x3 - 4x2 + x + 6| = •{ - (x3 - 4x2 + x + 6) , 2 < x < 3
5 - 4x2 + x + 6 , 3 < x < 4
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Luego,
r 4
/ = í \x3 — 4x2 + x + 6\dx 'o
= í (x3 - 4x2 + x + 6)dx - f (x3 - 4x2 + x + 6)dx + f (x3 - 4x2 + x + 6)dxJ 0 J 2 3
_ 22 7 47 _ 71
~ T + Í2 + 12 ~~6
Por tanto, el área de la región R es
2 ( r *
u 1 1
71 64 341A ( R )
4V2 64dx = -
Ejemplo 8. Halle el área de la región íí que se encuentra en el primer cuadrante y
está limitada por las curvas xy = 1, xy = 3 , x - xy = 1, x — xy = 3.
Solución
Se verifica fácilmente que las gráficas de las curvas se intersecan en los puntos
>1(2; 1/2) , 6(4; 1/4) , C(6; 1/2) y D(4; 3/4)
La gráfica de la región Q se muestra en la fig. 4.11. Finalmente, el área de la
región Q es
AW = ¿ (A ,) + /IC /y = j ' [(l - i ) - i] dx + j ‘ [ | - ( l - j )
= (2 — ln 4) + ^6 ln — 2 j =
dx
729 .
ln 256 U
172
Ejemplo 9. Halla el área de la región F, ubicada en el primer cuadrante y que está
limitada por las gráficas de y = xz , x2 = 4y , x + y = 6.
Solución
La región F se muestra en la Fig. 4.12. Los puntos de intersección de las curvas
en el primer cuadrante se hallan resolviendo simultáneamente los pares de
ecuaciones:
y = x2
y
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
_ 6 _ x <=> x = 6 - x<=>x2 + x - 6 = Q=*x = 2 (para el primer cuadrante)
y = x2/4
y = 6 — x
.uego, el área de la región F es
y = 6 - x <=> — - 6 - x x - 2y¡7 - 2 (para el primer cuadrante)
A(F) - A(Fi) + A(F2) = J (x z - ^ x 2^Jdx + j ^6 - x - ^ j d x
1 1 = 2 + - (28V7 - 68) = - (28a/7 - 62)u2
Ejemplo 10. La región F, limitada por la curva y = 10* - 5x2 y el eje x, es
dividida en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen. Halle la
ecuación de dicha recta.
Solución
I.a región F se muestra en la Fig. 4.13.
I,a pendiente de la recta L que pasa por
el origen y por el punto (a; 10a -
.r>a2) es
10a — 5a2m = --------= 10 - 5a.
a
Así, la ecuación de la recta L es
y = (10 - 5a)x.
Por otro lado, el área de la región F es
20Fig. 4.13
A(F) = I (10* — 5x2)dx —— u2 J o
A(F) 10Ahora, como F = F1 U F2,conA(F1) = A(F2), y A(Ft) - —— = — , entonces
í a 5 10M F i) = I [(10* - 5x2) - (10 - 5a)x]dx = - a 3 = — => a = V4 JQ 6 3
Por lo tanto, la ecuación de la recta L es y = (10 - S\Í4)x.
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Ejemplo 11. Una parábola de eje vertical corta a la curva y = x3 + 2 en los
puntos (—1; 1) y (1; 3). Si se sabe que las curvas mencionadas encierran una
región de área 2u 2, halle la ecuación de la parábola.
Solución
Este problema tiene dos soluciones.
Primer caso: Cuando la parábola está por debajo de la curva y = x3 + 2.
Segundo caso: Cuando la parábola está por encima de la curva y = x3 + 2.
Primer caso: Sea (Fig. 4.14) la región limitada por la parábola buscada y la
parábola semicúbica y = x3 + 2.
Considerando que la ecuación general de una parábola de eje vertical es
y = Ax2. + Bx + C
y que los puntos (—1; 1) y (1; 3) pertenecen a dicha parábola, se tiene
1 = A - B + C ... (a)
3 = A + B + C ... (/?)
Como ^Cfi) = f (x3 + 2 - Ax2 - Bx - C)dx = 2 => A + 3C = 3 ... (y)J - i
Resolviendo (a) , (/?) y (y) se obtiene
B = 1, A = 3/2, C = 1/2
Luego, la ecuación de la parábola es 2y = 3x2 + 2x + 1.
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Segundo caso: Sea F-¿ U'ig- 4.15} ia región limitada por ia parabola buscada y la
parábola semicúbica y = x3 + 2.
Como A(F2) = j (Ax2 + Bx + C - x3 - 2)dx = 2 => A + 3C = 9 ... (A)
Resolviendo (a), (/?) y (A) se obtiene que la ecuación de la parábola es
2y = 7 + 2x - 3x2.
174
Kjcinplo 12. Calcule, si existe, ei área de la región infinita comprendida entre ia
nirva (2a - x )y2 = x3, (a > 0) y su asíntota vertical.
Solución
I a asíntota vertical de la curva es x = 2a. En la fig. 4.16 se muestra la gráfica de
la región infinita Q. Luego,
r2a x3 r c x2A(íl) = 2 j ---- ux = 2 lim I _______ - dx
Jo si2 a - x t-2a- J0 ^2 ax - x2
C x2= 2 lim I ....... iir
t_>2a Jo y]a2 - (x - a)2
I laciendo u = x — a se obtiene
4(/2) = 2 lim a2 [^aresen f-— -) - (x + 3a)Jx (2a - x)lt-2 a~ L2 V a 2a2 v J0
= 2 «¿‘12- “ 2 [ i arcse" ¿ (t + 3“ )V « 2 a - t ) +
= 2“2(t +t ) = (3,i“2)“2
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
l.jemplo 13. Dada la región infinita í í limitada superiormente por xy = 1,
inferiormente por yx2 + y - x - 0 y a la izquierda por x = 1; calcule su área si existe. ’
Solución
La región Í2 se muestra en la figura 4.17 y su área requerida es
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I) Sombree la región Í2 limitada por las curvas dadas y calcule su área.
71 TZ 3 21 . y = eos x , x = - — , x = — , y - 0. k .
222. y = x2 + 2x - 3 , x = - 2 , x = 0, y = 0. R. — u 2
64 .
3. y = 9 - x2 , y = x2 + 1. R-
4 . y = y = 0 , * = - 1 , * = 2 . « . ( l + ; - a r c t a n 2 + j l n g ) u !
8 ,5. y = 3 x - x 2, y = x2 - x. R: 3 U
2 / I 2 \ 26. * = 0 , y = tan x , y = -cosx. R. ^3 _ l n ^ | J u
5 ,7. y = x3 + x , x = 0 , y = 2 , y = 0. R- 4 U
8. y = ln(x2) , y = ln 4 , x = e. R. (4 - e ln 4)u2
9. x = ey, x = 0, y = 0 , y = ln4. R- 3u2
3x 1 4*\ 210. y = arctanx , y = arccos — , y = 0. K. “ 2 3/ U
1 1 . y = aresenx, y = arccosx, x = 1 . R■
3712. y = x3 - 3x 2 + 2x + 2 , y = 2x 2 - 4x + 2. R. — u 2
13. y = 4 - ln(x + 1), y = ln(x + 1) , x = 0. R. 2(c2 - 3)u2
14. í í es la región encerrada por la elipse a2x2 + b2x2 = a2bz. R■ rcab
15. í l es la región de mayor área encerrada por las curvas x2 — 2y 3 = 0 ,
x2 - 8y = 0 , y = 3. R■ (_5_ + 5 ^ ) u2
16. í í es la región de menor área limitada por las curvas x2 + y 2 = 20 ,
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EJERCICIOS
í 2 ü \ 2y 1 = 2x3. R- ^20 aresen — - - Ju
176
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
17. í í es la región de mayor área encerrada por las gráficas de 5x2 - 4y = 0 y
la elipse cuyos focos son los puntos (0, ±6) y cuya longitud de su eje menor
es R■ ( 9V5 n — 9V5 aresen —— ' ^ ^ u 2V V3 2 J
18. y 2 ~ x = 0 , y - x 3 = 0 , x + y - 2 = 0.
( 4 x - x 2 f x2 + 8x — 40
19‘ y = 4 ' . y = --- 16--- R.17u>x < 0 v—3x — 16, x < —4
20. y (x 2 + 4) = 4(2 - x) , y = 0 , x = 0. /?. ^ _ in 4^
21. y = x3+x — 4 , y = x , y = 8 — x.
22. y = ex , y = e~x , x = 1 . r Í £ _ I Í 2 ! u 2e
23. y — 2x + 2 ,x = yz + l , x = 0 ,y = 0 l x = 2. R. ( is + í v ^ z
24. y = | x - 2 |, y + x 2 = 0 , x = 1 , x = 3. R — u 2' 6
25. y = / x 2 - 3, y = |x — 1|, y = 0. /?. ( § ln 3 —j ) « 2
26. y = |sen x| con x e [0; 2tt] , y + x = 0 , x - 2n = 0. R. (4 + l n 2)u2
x2 — 42 1 y = ^ r _ l 6 >x = - * ' x = i , y = 0.
28. y = aresen x , y = arccos x , x = 0. R. (2 - V2)u2
29. y = aresen x , y = arccosx, y = 0. r . (-y/2 _ ^ „ 2
30. y = x3 + 3x2 -f 2 , y = x3 + 6x 2 - 25. r . 108 u 2
31. y = x2, y = 8 — x2 , y = 4x + 12. R. 6 4 u 2
32. y = x2 , 2y = x2 , y = 2x. R. 4 u 2
<3. y + x = 0 , y = [ / ( t ) d t , donde/(í) = í 3f21 f < 2 .Jo l—2t — 1 , t.> 2
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n 3V3-7T 2
.2
2
34. y = tan2x , y = 0 , x = — , x = 0. R- ^ g l u
35. x2y = 2 , x + y = 4 , x = 1, x - 2. K. (9/4) u 2
36. y = x4 , y = 8x. R- (79/5) u
37. y = x3 — x , y = senfax). . (~ + 2) U
38. x = 4y — y 2 , x + 2y = 5. R- (32/3) u 2
39. y = sec2x , y = tan2x , x = 0.
40- y = T T F ' 2y = * 2' R' \ 2 ~ í)u
41. x2/3 + y 2/3 = a2/3. K- (3na2/ 8 ) u 2
8a3 / 7 4flZ\ 7
42. ** = 4ay , y = ^ ^ ¡ - R ( 2a * “ t J ’'
43. y = |20x + x2 - x3|, y = 0. K- (2321/12) u 2
44# x = y3 — 2y2 — 5y + 6 , x = 2y2 + 5y — y 3 — 6. R. (253/6) u
V3 n / I V345. y = arcsen 2x , x = — .
4
2
2
2
R. x — r*7r u
2
,2
,2
46. y = x e 8 2 *2, y = x. /?. u
47 y = ^ T 4 ' y = 0 , * = 0 ' x = 4'
48. y = x3e8-2*2, y = 4x .
49. y = |x - 1|, y = x2 - 2x , x = 0 , x = 2. K. (7/3) u
50. y - M x + l - M x - l , x = - 1 , x = 1. R.3V2.U2
51. (x + y)2 = 16x, 5x + y = 8. fí. 18u2
52. y = |x-2|-|x —6|, x - y = 4. K .8u 2
53. y = |x-5|-|x + 3|, x + y - 2 = 0. R. 34u2
54. y = sen x + |cosx|, x = - n , x - n , y = 0. R. 4
178
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
^2X
■>J' y ~ (4 - x2)3/2’ * = °< * = i. y = o. /?.
56. y = 60(xs - x4 + x3), y = -2x, x2 = 1. R . 52u 2
57. y = x + sen x, y = x, x = 0, x = -. R . 2 ~ ^ u 26 ’ 2
58. 8x = 2y3 + y 2 - 2y, 8x = y 3, y 2 + y - 2 = 0. R. — u 296
59. x + y - y 3 = 0 , x - y + y 2 = 0. r . ^ Z u 2
60. y = c sen (-) ln (sen , x = 0 , x = an. R. 2ac(l - ln 2)u2
61. y 3(x - 2)2 = 1, y = 0, x = 1, x = 10. R . 9u2
62. y (x2 + 4) = 8 , 3x2 - 4y - 8 = 0. R . 2(7r + 2)u 2
63. Í2 es un arco de la cicloide cuya ecuación paramétrica es
x &(t sen £), y = cz(l — eos £). R , 3tzci2f 2n
Sugerencia: 4(.fi) = y dx.
64. í í es la región limitada por el astroide x = a eos3t , y = a sen3t.
3
/? . - 7 T U 28
65. Q es la figura comprendida entre la hipérbola x2 - y 2 = 9 , el eje x y el
diámetro de la hipérbola que pasa por (5; 4). R. 9 ln3
21 x I66. fí es la región limitada por la gráfica de / (* ) = ---- - , el eje x y las dos
1 -f* Xrectas verticales correspondientes a las abscisas de los puntos máximos absolutos. r (],, 4 ^2
67. ¿1 es la región limitada por la gráfica de /(x ) = 2x4 - x2 , el eje x y las dos
rectas verticales que pasan por los puntos mínimos relativos.
R. (7/120) u 2
í>0. es la región encerrada por y 2 = x2 - x4. R. (4/3) u 2
í>9. Q. está limitada por un lazo de la curva a2y4 = x4(a2 - x2).
n 4íj2 ?R. — u2
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70. £2 está encerrada por un lazo de la curva 16a4y2 = b2x (a —2cu).n h
R. - u 2ab
30
71. Q está encerrada por el lazo de la curva (x2 + y 2)3 = 4a2x y
72 Q está encerrada por la lemniscata (x2 + y2)2 a (x V )■R. a2 u 2
73. SI está acotada por y (4 + x2) = 5 y el semicírculo superior de ^
at2 + y2 — 2y = 0. S. (2 - 5 a rc ta n - + 5 ) u 2
74 Q está encerrada por la elipse (de eje oblicuo) (y - x + 3) - 4 - x .
R. 4n u 2
7 5 . y = 9 - x2 , y = ln(x - 2 ) , y = 2 .
II En cada uno de los siguientes ejercicios grafique la región ilimitada SI y halle
su área (si existe), si se sabe que Q está comprendida entre las graficas de.
n 2
1. y = sechx y su asíntota. R■ 2 U
2 y = y s u a s ín to t a . R . 16tt u 2
x2 + 16
3 (4 - x 2)y2 = x4 y s u s asíntotas verticales. R- 2n u 2
4 y = arctan x , 2 y = n , x — 0 .
?r 2
5. y = sech_1x y su asíntota vertical. R■ ~ u
R. no existe
n
2W 41x1 R. 3ttu 2
6' y ~ 1 + x4 ' y 1 + x 4 '
III Determine m de manera que la región que está por encima de y mx y
debajo de la parábola y = 2x - x2 tenga área igual a 36u . K. m -
IV I I área de la región comprendida entre la parábola y = 12* - 6x2 y el eje
x es dividido en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen.
1 lullc la ecuación de dicha recta. R. y ~ 6(2 - V4)x
V La hipérbola equilátera x2 - y2 = 8 divide en 3 regiones a la
circunferencia x2 + y 2 = 16 . Halle el área de cada una de las regiones.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.2 VOLUMEN DE UN SOLIDO EN FUNCIÓN DE LAS ÁREAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES
Sea S un sólido limitado en el espacio. Bajo ciertas condiciones es posible hallar
el volumen de este sólido. Por ejemplo, sea Sx una sección plana del sólido S
obtenido al cortar el sólido con un plano perpendicular al eje x en el punto de
abscisa x (Fig. 4.18) y supongamos que existe un intervalo [a; b] tal que
- uxe[a:b]
Si >5(5X) es la función área de la sección plana (llamada sección transversal de S)
y es continua, V x e [a; b], entonces el volumen del sólido 5 está dado por
K S ) = í A(Sx)dxJ n
Fig. 4.19
Kjemplo 14. La base de un sólido es la región limitada por la elipse
b2x2 + a2y 2 - a2b2 .
I lalle el volumen del sólido S si las secciones transversales perpendiculares al eje
x son:
a) Triángulos rectángulos isósceles, cada uno con hipotenusa sobre el plano xy.
b) Cuadrados. c) Triángulos de altura 2.
Solución
a) La gráfica de la sección transversal del sólido se muestra en la Fig. 4.19. El
sólido es la unión de los Sx, x 6 [—a; a], donde Sx es un triángulo rectángulo
isósceles de área
MSX) = \bh = \{2 y)h = ^ ( 2y)y = y2 = ^
Luego,
rO h2V
(a2 - x2)
f a b (4 \
= l a- ^ 2 - ^ dx = { r b2) u3
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h) Si las secciones transversales son cuadrados (Fig. 4.20), el sólido queda
descrito como la unión de los Sx, x e [-a; a], tal que Sx es un cuadrado e
lado 2y = — y¡a2 - x2 . Luego, el área de la sección Sx es
A(Sx) = (2y)2 = 4y2 = ^ ( a 2 ~ x 2)
Por tanto, el volumen del sóiido es
V = í 4 ^ - (a2 - xz)dx = ab2) u 3 J-a a
c) Si las secciones transversales son triángulos de altura 2 (Fig. 4.21), eí solido es
la unión de los Sx, x 6 [-a; a], tal que S* es el triángulo de altura 2 y base
2 y = — J a 2 - x 2 . Así, el área déla sección plana es a
1 2b r—--- rA{Sx) = -(2y)2 = 2 y ^ — J a } - x 2
Por tanto, el volumen del sólido resulta
/-fl U ________V = — y/a2 - x2 dx = (nab)u3
La a
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
l'icmnlo 15 Una recta se mueve paralelamente al plano yz cortando a las dos
elipses b2x2 + a2y 2 = a2b2 A c2* 2 + a V - a2c2, que se encuentran en los
pimíos xy y xz respectivamente. Calcule el volumen del cuerpo asi engendrado.
Solución
Kn este sólido, la sección Sx es un rombo (Fig. 4.22) cuyas diagonales son
2y A 2z. Luego, el área de la sección plana es
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
¡j ---------------- £ ............ ■„ ,(lomo y = —y/a2 — x2 A z “ —J a 2 — x2,
a a
entonces el volumen del sólido es
[a be V = I 2 ~ (a2 - x2)dx
J-a ^
= (§a i,c )u »
EJERCICIOS
1. La base de un sólido es un círculo de radio r. Todas las secciones transversales
del sólido, perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados.
Determine el volumen del sólido.
R. (16r3/3) u3
2. Un sólido tiene por base un círculo de radio 1 y sus intersecciones con planos
perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos rectángulos
isósceles cuyas hipotenusas son las respectivas cuerdas de los círculos.
Determine el volumen del sólido.
R. (4/3) u 3
V Halle el volumen del sólido S que es la parte común a dos cilindros circulares
rectos de radio r, suponiendo que sus ejes se cortan perpendicularmente.
R. (16r3/3 )u3
4. La base de un sólido es una elipse cuyos ejes miden 20 y 10 unidades. La
intersección de este sólido con un plano perpendicular al eje mayor de la
elipse es un cuadrado. Calcule el volumen del sólido.
R. (4000/3) ií3
5. Halle el volumen de un sólido S cuya base es un círculo de radio 3 y cuyas
secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo son triángulos equiláteros.
R. 36v Í u 3
(>. La base de un sólido es la región entre las parábolas x = y 2 y x = 3 — 2y 2.
Halle el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al
eje x son cuadrados.
R. 6 u3
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
/ 1 ;i base de un sólido es la región entre las parábolas y = x2 A y - 3 — 2x2.
Halle el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al
eje y son triángulos rectángulos isósceles, cada uno de ellos con la hipotenusa
sobre el plano xy.
R .(3 /2 )u 3
8. El punto de intersección de las diagonales de un cuadrado (de lado variable) se
desplaza a lo largo del diámetro (fijo) de una circunferencia de radio 3. El
plano del cuadrado permanece siempre perpendicular al plano de la
circunferencia, mientras que dos vértices opuestos del cuadrado se desplazan
por la circunferencia. Halle el volumen del cuerpo así engendrado.
R. 72u 3
9. Un cilindro circular recto de radio r es cortado por un plano que pasa por un
diámetro de la base bajo un ángulo a respecto al plano de la base. Halle el
volumen de la parte separada.
R. (2r3tan a/3 ) u 3
10. El triángulo cuyos vértices son 0(0; 0), A(a; b) y B(0; b) gira alrededor del
eje y. Halle el volumen del cono obtenido.
R. (na2b/3 )u3
11. La base de un sólido es un círculo de radio 3. Todo plano perpendicular a un
diámetro dado interseca al sólido en un cuadrado que tiene un lado en la base
del sólido. Calcule el volumen del sólido.
R. 144 u 3
12. La base de un sólido es la región limitada por y = 1 — x2 , y - 1 - x4 .
Las secciones transversales del sólido determinadas por planos
perpendiculares al eje x son cuadrados. Encuentre el volumen del sólido.
13. En un sólido las secciones transversales perpendiculares al eje y son círculos
cuyos diámetros se extienden entre la curva x = J y y la recta x — y.
Calcule su volumen.
R. (ti/120) u 3
14. La base de un sólido es un círculo limitado por x2 + y 2 — 25 y las
secciones transversales perpendiculares al eje y son triángulos equiláteros.
Calcule su volumen.
15. Un cilindro recto cuya base es una elipse está cortado por un plano inclinado
que pasa por el eje menor de la elipse. Calcule el volumen del cuerpo
engendrado, sabiendo que la longitud del eje menor de la elipse es 8 y la
longitud del semieje mayor es 10.
plana'urededor^e u n a í c t ^ r0tar una regió"
llama eje de revolución. P 6 '3 regloa La recta fiJa se
4.3.1 METODO DEL DISCO CIRCULAR Y DEL ANILLO CIRCULAR
4 24)eobM iia d T S X = a y , x = b- <Fie- -1.23). La sección transversal
S ° x ,ue r rd ' r S “ 10" ” 'id° 5 plano P 'T ^ u l a r• i r , Por x e W>b] es un circulo de radio i vi = Iffr'U m «*
circular). El area de esta sección es 1/ M I (disco
A (S X) — n y 2 = 7r[/(x)]2 , x 6 [a;¿]
I -uego, por el método de las secciones transversales, el volumen de 5 es
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.3 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Observación 2. Sea S el sólido de
involución obtenido por ¡a rotación en
lomo al eje y de la región plana R limitada
,a cuna x ~ g(y ) (g continua en el rvah [c-d]), el eje y y ¡as rectas
v - c A y - d (Fig. 4.25).
/ monees el volumen del sólido es
V = [g(y)l2dy'ju3
Fig. 4.24
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Observación 3. Sean f ,g\[a-,b] R funciones continuas cuyas gráficas se
encuentran a un mismo lado del eje x, y además \g(x)\ < ]/(x)|, V x G [a; ó].
Sea S el sólido de revolución que se obtiene por la rotación en torno al eje x de la
región ü acotada por las curvas y = f(x ), y = g(x) y ¡as rectas verticales
x — a , x = b (en la fig. 4.26, solamente se muestra el caso 0 < g(x) < f(x )).
Como la sección transversal Sx obtenida por la intersección de S con un plano
perpendicular al eje x que pasa por x G [a; b] es un anillo circular (Fig. 4.27),
entonces el área del anillo circular es
¿(S*) = rc{[f(x)]2 - [g(x)]2} , x G [a; b]
Luego, el volumen del sólido de revolución S resulta
[g(x)¡2]dx u
revolución es
- a v- r ¿)dx u
donde R es el radio mayor del anillo circular y r es el radio menor (fig. 4.26). Si
r = 0, la fórmula es la que se obtiene por el método del disco circular.
Observación 4. Sean f ,g: [a; ¿j -> IR funciones continuas cuyas gráficas se
encuentran en un mismo lado de la recta y = c y \g(x) — c| < |f(x ) — c|,
V x C |a; b]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar en torno
a ¡a reda y = c la región Q ¡imitada por ¡as gráficas de y = f (x), y — g(x),
x a y x = b (Fig. 4.28).
/■'.monees el volumen del sólido S es
V J {|/ Cx) - c]2 - [g(x ) - c]2} dx j u 3
186
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Observación 5. Si la región Q limitada por las gráficas de x = /(y ) , x = g (y )
r las recias horizontales y = c , y = d gira alrededor de la recta vertical
x - k (Fig. 4.29), donde las gráficas de f, g están a un mismo lado del eje de
rotación y \g(y) - k\ < \f(y) - k\, V ye[c ;d] , Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es
v = (rc /c V ( y ) - k]2 - [g(y) - k ^d y ^ j u 3
Ejemplo 16. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación alrededor
del eje x de la región limitada por las gráficas de y = ex, x = 0, x = 1, y - 0.
Solución
l-a región se muestra en la figura 4.30. Aplicando el método del disco (R = ex), ■ se obtiene
V = n f (ex) 2 dx - n f e2x dx = ^ (e2 - 1 )u 3 J o J o 2
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Ejemplo 17. La región limitada por las gráficas de y = arcsenx, y = 0 y
x ~ — 1 gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del sólido engendrado.
Solución
Como el eje de rotación es el eje y, consideramos a y como variable
independiente. La región se muestra en la Fig. 4.31.
Como R = 1 y r = - sen y, entonces el volumen del sólido es
-o
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
r° f= n \ [R2 - r 2]dy = n \ (1 - sen2y)dy
J- ir /2 J - n / 2
= ny i i 0 7r2- + -sen(2y) = —- u 3 2 4 J-E 4
Ejemplo 18. La región limitada por las gráficas de y - x2, y - V* y x - 2
gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido.
Solución
Las curvas y = x2 y y = V* se cortan en los puntos (0; 0) y (1; 1). En la
Fig. 4.32 se muestra la región entre ellas y la recta x = 2. En la primera región,
(0 < x < 1) una sección transversal es un anillo circular con radio menor r = x
y radio mayor R = Vx. En la segunda región (1 < x < 2), la sección transversal
es un anillo circular con radio menor r = yfx y radio mayor R = x2.
Por lo tanto, el volumen del sólido S es
V = n f'[ (V ? )2 - (x2) 2]dx + n ¡\ (x2)2 - (V i)2}dx J o h
n í (x - x4)dx + n fJo J í
3n 47n(x4 -x )dx = — +
10 10571 u
188
l'.jcmplo 19. La región limitada por la circunferencia (x + 2) 2 + (y >- 2) 2 = ]
j'.iiii aliededor de la recta x — 3. Calcule el volumen del sólido generado (toro de revolución).
Solución
I .a región se muestra en la fig. 4.33, donde
/(y ) = - 2 - V i - ( y - 2 )2 A g(y) = - 2 + / l - (y - 2)T
Así, el radio mayor R y el radio menor r son, respectivamente,
R = 3 - / (y ) = 5 + V i - (y - 2)2 y r = 3 - 5 (y) = 5 - v' l - (y - 2)2
I.uego, el volumen del sólido de revolución es
V = n (R2 - r 2)dy = n 2 0 /T : r ( y ^ 2 j I dy
= lOn [(y - 2)V i - (y - 2)2 + arcsen(y - 2)] = (10n:2)u 3
Ejemplo 20. La región limitada por la elipse b2x2 + a2y 2 = a 2bz con
0 < b < a gira alrededor de su eje mayor. Calcule el volumen del sólidogenerado.
Solución
Como la elipse es simétrica respecto al
eje mayor, podemos considerar que el
sólido es generado por la rotación de
la región sombreada en la fig. 4.34
alrededor de! eje x. Así, el radio de
giro del disco circular es
b i------R = y = - V a 2 - x2
a
Por consiguiente, el volumen del
sólido de revolución es
r a r a b2 /4 \V = n j R2d x = n J — (a2 - xz)dx = \^-ab2n J u 3
Ejemplo 21. La región infinita comprendida entre la curva x + xy2 - y = 0 y
su asíntota vertical gira alrededor de su asíntota vertical. Calcule, si existe, el volumen del sólido.
Solución
Al despejar x de la ecuación, obtenemos x = „ V , con lo cual la asíntota1 + y2
vertical de esta curva es x = 0 (eje y), pues y -> ±00 <=> x -> 0.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
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Considerando que la curva (Fig. 4.35) es simétrica con respecto al origen y el radio
de giro en el primer cuadrante es R = x =1 + y :
entonces el volumen del sólido
es
r + oo r+ o ° y 2 f
V = 2 n jo R2dy = 2n ^ _ d y = Z ^H m Jo, 0 ■'o ( i + y 2) 2
Haciendo y = tan 9, la integral resulta
V = 2n limt —* + 00 Í
= 2”,!¡!’»[5arnan(t)_2(rT^]71 3
= T U
Jo (1 + y 2) 2dy
Ejemplo 22. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar
alrededor del eje x la región infinita comprendida entre la recta y = 0 y la curva
y = ^ 2 j3 'X ^ 1-
Solución
1.a resiión se muestra en la Fig. 4.36. Al aplicar el método del disco, se obtiene
r+“ / i \2 r+" _ !
‘' H . fe ® ) d x = n k
= K jim dx = » l im [ - 3 í- '3 ]; = * Hm ( - ¿ + 3)
= 3n u 3
190
APLICACIONES DE LA INTEGRAL.DEFINIDA
4.3.2 MÉTODO DE LA CORTEZA C ILINDRICA
1 f ' [a ;¿ ] a > 0 una función continua y no negativa y S el sólido dérevolución obtenido al hacer rotar en torno al eje y la región Í2 limitada por las ,unificas y = / (* ) , y = o, x = a A x = b (Fig. 4.38)
1:1 sólido S (Fig. 4.39) puede ser considerado como la unión de los cilindros C x G [a; b], es decir, *’
5 = U Cx
x e [ a : b ]
Como el área (lateral) de cada cilindro circular recto Cx está dado por
A(CX) = 2nx f(x ); x G [a,b]
se deduce que el volumen del sólido S es
V - f A(Cx)dx = 2n í x f(x )dx J a
Observación 6. Sean f ,g: [a; b] -> M
funciones continuas en [a ;b] (ales que
,<l(x) < f(x ), Vx e [a; b], y S el sólido de
revolución obtenido al hacer rotar alrededor
de la recta x = c , con c < a, la región Q
limitada por las curvas y = f(x ), y = g(x)
r las rectas x = a y x = b (Fig. 4.40).
i.ntonces el volumen del sólido S es
V 2n j (x - c) [f(x) - g(x)]dx \ u
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11
Observación 7. Sean f ,g\ [a; b] •-> E
funciones continuas en [a; b] tales que
g(x) < f[x), V x e [a,b], y S el sólido de
revolución obtenido al hacer girar alrededor
de la recta x = c, con c > b, la región Q
limitada por las gráficas de x = a , x = b ,
y = f(x ), y = g(x) (Fig. 4.41). El volumen
del sólido S es
K = ( 27tJ (c - x)[f(x) - g(x)]dx"ju3
Observación 8. Sea Q la región limitada
por las gráficas x = f (y ), X = g(y),
y ~ a A y — b (Fig. 4.42), donde f y g son
continuas en [a; b] tales que g(y) < f(y ),
Vy G [a,b], y S el sólido de revolución que
se obtiene a! hacer rotar la región Q
alrededor de la recta y — c, con c < a . El
volumen de S es
V = (^2n j (y - c)[/(y) - s (y )]dy j u 3
Observación 9. Sea Q la región limitada por
las gráficas de x = g (y), x = f(y ), y = a
A y — b (Fig. 4.43), donde f y g son
continuas en [a; fa] tales que g(y) < f(y ),
V y 6 [a; b], y S el sólido de revolución que
se obtiene al hacer rotar la región Q
alrededor de la recta y = c, con b < c. El
volumen del sólido S es
V = v j (c - y )[ f (y ) - g (y )]d y ju 3Fig. 4.43
l'.jemplo 23. Encuentre el volumen del sólido engendrado al girar sobre el cíe y
l:i región limitada por la curva y = (x - 2)\ el eje x y la recta x ~ 3.
Solución
1.a región se muestra en la figura 4.44. Aplicando el método de la corteza leñemos
V = ZU i X dX = ¿Tl\2 X(<X ~ 2)3dx
= 2n\ (x4 - 6x3 + 12x2 - 8x)dx h
147r= w
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 24. Halle el volumen del sólido generado por la rotación de la región
limitada por las gráficas de x + y 2 + 3 y - 6 = 0 , x + y - 3 = 0 alrededor de la recta y = 3.
Solución
l a región se muestra en la figura 4.45. Como el eje de revolución es horizontal, el volumen del sólido es
V = 2tt f (3 - y )[(6 - 3y - y 2) - (3 - y)]dyJ -3
= 2tt- í (y3 - y 2 - 9y + 9)dyJ _ 3
256tt ,= —^— Uá
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejemplo 25. Calcule el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar
alrededor de la recta x = 1 la región limitada por las gráficas de
y = | x 2 — 2x — 3| ,y + l = 0 ,x — l = 0 ,x — 4 = 0
Solución
La región se muestra en la figura 4.46. Al aplicar el método de la corteza
cilindrica, el volumen del sólido es
V = 2n J (x - l)[|x2 - 2x - 3| + \]dx
Usando la figura 4.46 y la definición de valor absoluto, se tiene
¡xz - 2x - 3| = |0 - 3 )0 + 1)| = {- (* 2 ~ 2x ~ 3 ) ' 1 “ * < 3
De aquí resulta
V
2x - 3 , 3 < x < 4
= 27r | j O _ 1)[(3 + 2x - x2) + í]dx + J (x - 1)[0 Z _ 2.x - 3) + 1] dx
= 2n (-4 + 2x + 3x2 - x3) dx + J O 3 - 3x2 + 2)dx
( 35n\ 59 ,=2n 6+T ) = y ™ 3
Ejemplo 26. Calcule el volumen del sólido que se obtiene al rotar alrededor de
la recta y = 3 la región Í1 = {O; y) 6 M2 / O < x < cosh-10 ) - O < y < 2}.
Solución
La región £2 se muestra en la Fig. 4.47. Esta región está limitada por x = coshy,
x - O, y O A y = 2. Como el eje de giro es la recta horizontal y = 3,
entonces el volumen del sólido de revolución es
V = 2n í (3 - y)(cosh y)dy = 27r[senh(2) + cosh(2) - l]u3 J o
194
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 27. La región infinita comprendida entre la gráfica de xy2 = (3a — x)
(a > 0) y su asíntota vertical x = O gira alrededor del eje y. Calcule el volumen
del sólido generado.
Solución
Con la ayuda de la región que se muestra en la figura 4.48, el volumen del sólido
pedido es
\V = 2
3a —x \ f 3a 3a - xdx I = 47t hm J x |----- dx
x
= 4nr 3 a ________ r
lim I J3ax — x2 dx = 4n lim t o+ Jt t-> o+ Jt
3a í9a2 3a
\ r r - (x~ Y y‘ dx
= 4n lim -t->o+ 2
9azn2 ,
/ 3a\ i— --- - 9a2 /2x - 3av[x - y j V3ax - x2 + — aresen [— — J
3 a
EJERCICIOS
l-n los siguientes ejercicios, calcule el volumen del sólido generado por la
rotación de la región Q alrededor de la recta L, donde
1. L ■ eje x ; 12 : y = x2 , y = 4x. (*)
(*) Entiéndase Q limitado por las gráficas de y = x2 A y = 4x.
2. L ■■ y = O ; fl ■■ y = (x — l ) 3 ,x = — l , x = 0 , y = 0. R.
3. L ■■ y = O ; ü : x3 - 5x2 + 8x - 4 , y = 0. R.
3 17T
Tóo 1
n
Tor.'
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TOPICOS L)U CÁLCULO-VOLUMEN II
4. L.y — 0; Í2: x2 + (y — 3)2 = 1 R. 6n2u 3
5. L: eje x ; íl: x2 + y 2 - 2by + b2 - c2 - 0 (b > c > 0) R. (2n2bc2)u3
senx n 2 /3\6. L:e je x ; í l:y - ------- ,x = - ,x = - n R. l n l- lu
1 - cosx 2 3 /
71 / V2\7. L : e j ex ; /2:)' = e* sen (e * ),x = 0 ,x = l n — R. I c o s l — 2~ )u
128V2tt ,8. L:y = 4 ; íl: y 2 — 4(2 — x),x = 0 R. -- --- u
n9. L: eje x ; í l:y - sen x ,y = 0 ,x = 0 ,x = —
10. L:x = 4; /2:x2 + y 2 = 1
11. L: x = —2 ; ß :y 2 = x ,y = x2
12. L: y = - 1 ; í l:y = arccosx, y = arcsenx, x = 1
13. L:x = 0 ; /2:y = Vx2 + 10 , x = 3 , x = 4
R.3
R. — u 34
R. 8nzu 3
49rr _R. ---u 3
30
R. y (26V26 - 19V l9)u3
n14. L:x = 0 ; í l:y = eos x , y = 0 , x = 0, x = -
15. L:y = 0; i2:y = x = l, x = 4, y = 0 R. 7r(ln4 + - )u
¡—--- / 2V2 - 116. ¿:y = 0 ; /2:y = 0, y = 2, x = 0, x = Vy + 4 /?. 16tt (■
V 3TV
17. L.y = - 1 ; Í2:y = arcsenx, y = 0, x = —
18. L: y = —1; Í2:y = Vx2 - 3 , y = x - 1, y = 0
1 Í7T ,19. L:x = 0; /2:y = -- -t-jt , x = 0, x = y = 0 fí. rru3
cos(x2) \4
1671 ^20. L: x = 0 ; íl: y = x3 + x, x = 1, x = 0 R. -y r- u
21. L:x = 1; /2:y = |x2 - 2x - 3|, y + 1 = 0, x = 2, x = 4
45 ,22. L.y = 0; í l:y = x + 2, y 2 - 3y = 2x R . — n u 3
23. ¿:e jey ; Í2:y = |senx|, 2x = n , 2x = 37r ,y = 0
196
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
24. L.y = 0 ; í¡:y = V4 - x 2 , y = 1, x = 0, x = V3 R. 2n\Í3u^
25. L:y = 0; Í3:x + y - 1, Vx + ^/y = 1 R. ^ - ír u 3
.'6. L: x — — 1; Í2: x = 0, y = 2, y = V*
.27. L: y
;2H. L:X = 0 ;/3 :y = 2 + senx, y = x, x = 0, x = —
2337T U 329. L.x = 0 ; í l:y = x5, x = -1, x = -2, y = -1 R. —
7
30. L.x — 0 - íl: a2y 2 — b2x2 — a2b2, |x| = a R. 4?ra — 12
31. L.x — 4;. í l:y = (x - l ) 2, y = x + 1
32. L:y = 0 ; i2: (xz + y 2)2 = 4(x2 - y 2) R. 2tt|V2 ln (l + V2) -
33. L.x = 0r; J2 :y = 3x2, y = 4 - 6x2 R. — u 39
2834. L:x = 0 ; í l :x 2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4 (Í2: corona) R . — n u 3
i¿3
3o r /*
35. L.x = 0 ; /2:x - y 2, x = 8 - y 2 R. ---7ru3
36. L.y = —4; fí;2x + 3y = 0, 4x2 + 9y 2 = 36
37. L:y — 0: íl: x4 + y 4 = 4x^ . R. y j r u 3
38. L:x — —2 ; /2: )x|3 - y + 1 = 0, x + 1 - 0 , x - 2 = 0, y==0
39. L:x = 5 ; /2:y(l + x2) = 2, y = x2
40. L:y = 4 ; /2:y(l + a:z) = 2, y = x z
x2 y2 441. L:ejex; ß : — + — = l R. -ncib2u 3
a2 b2 32 2
42. ¿ :e jey ; íl: + = 1 R. ~ na2bu3a2 b2 3
n n43. L.y = - ; y = arctanx, x = 0, x = y = 0
¿ T1
44. L: x + 1 — 0 ; /2: y = arctan x, x = 0, 4x = n, y = 0
19?
00| N)
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
45. L\y = 2 ; íl-.y = ln x , y = 0, x = 0, y = 2
46. L:x = e3 ; i2:y = lnx , y = 0, x = 0, y = 2
47. L:x = - 2; ¿2:y = 0, y = 4 - x 2
48. L\y = 2 ; Í2: y = 0, x = 4, y = V*
128 «. —
40 ,/?. — nu
49. L\y = - 2 ; /2:y = Vx--^=, x = 1, X = 4, y = 0 K. tt(:ln4 + ■145\
y ) 1
7TSQ. L: y = —2 ; /2:x = y sen y, x = 0, y = g
COS X Tt Tt' 51. L: eje x ; ¿2: y = -7= = , y = 0, x = a, x = - con 0 < a <
VserTx
R . 7TV2 r-— - cos a + ln(V2 - 1) - ln(csc a - ept a) i r
52. L: y = 0 ; i2: y = (x + l)e*, x = 0, x = 1, y = 0
53. L:x = 0 ; í l:y = ex\ y = 0, x = 0, x = 1 R. n(e - l ) u 3
54. L\x = 7 ) ü :y = x e2x, x = l , x = 3, y = 0
55. L:y = - 1 ; fí:y = lnx , y = 0, x = e R. 7reu3
56. L: eje x ; Í2: x2y 2 + 16y2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4 R. n z u 3
/a V357. eje x ; /3: Triángulo equilátero con vértices (0; 0), (a; 0), I -; — a
?rafí.
4
58. L:x = -3 ; ü.\y = x5 + 8 , y = (x3 - 2)2, x = 0
59. l \eje y ; /2: es la región cerrada por el lazo de la curva (y2 - fe2)2 = a3x256 nb9 ,
315 a6
60. L’.e jex ; Í2 es la región encerrada por el lazo de la curva
yax(x - 3a)
2 - — ------ a > 0na
x - 4a
61. L: x = 4 ; /2: x2y 2 + 16y2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4
R. — (15 - 16 ln 2)u3
R. 32tt[1 - V2 + ln(17V2)]u3
62. L : e j e x ; f l es la región, en el primer cuadrante, acotada por:16 ¡— o
R. — V2truJ15
x 2(2 - x ), y = 0
198
3I —
n n
R■ — [(3 - V3)n - 3]u3
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
________ 2(»3. L: eje x ; H:y = e~xJcos (e~x) , x = ln- , x = ln-
V TT" -
625*>4. L:x = 1; /}: x2 - 4 = y, y = -3x R. ---nu
6<i.r>. L: eje y ; /2 es la región que se encuentra al lado derecho del eje y limitada
por x = 0 , (4 + x2)y2 = 4 - x2 R. 4n(n - 2)u3
(>6. A la curva ^/xy - 2x + 3y - 6 = 0, en el punto (3; 3) se trazan las rectas
tangente y normal. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación
alrededor de la recta y = -3, de la región limitada por la tangente, la normal
10222normal trazada y el eje y. R. ----- n u3
49
(i7. A la parábola y 2 = 12x, en el punto de abscisa 6, se ha trazado una
tangente. Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x,
la región limitada por la tangente trazada, el eje x y la parábola.
R. 72nu3
(.8. L: eje x ; íl: y = xex, y = 0, x = 1 ' R. - (e 2 - l ) u 34
69. L: eje x , ü: es la región limitada por y = 0 y un arco de la cicloide
x = a ( t- sen t), y = a ( l - cos t) R. 5n2a2u3
70. L :e jey; fl es la región del problema 69 R. 6n3a3u 3
KCL371. L:x = an ; SI es la región del problema 69 R. --- (97r2 - 16)u3
672. L.y = 2a; ü es la región del problema 69 R. 7n2a3u 3
73. L: eje x ; fí es la región limitada por x = a cos3t , y = a sen3t.
74. Sea / : [0;+00) -» ffi una función continua tal que/(x ) > 0 , Vx > 1. Para
todo a > 1, el volumen del sólido generado por la rotación de la región
limitada por las gráficas de y = /(x ), x = 1 , x = a y el eje x, alrededor
del eje x es: V = 4- 2a2 - 0 u3. Determine /(x).
R. f(x ) = . Vx2 + 4xVtt
75. Sea / : [0; +00) -> K una función continua. Para todo a > 0, el volumen del
sólido generado por la rotación en torno al eje x de la región que se encuentra
entre la gráfica de y = / (x ) y el eje x, desde x = 0 hasta x = a con a > 0
es V = (a2 + a )u3 . Determine /(x).
3
199 www.FreeLibros.com
1. La curva y 2 (2a — x) = x3 gira alrededor de su asíntota vertical. Halle el
volumen del sólido generado.
R. 2n2a3u 3
1 x2. Sea fl la región infinita comprendida entre las gráficas de y = - A y = p
y que se encuentra a la derecha de la recta x = 1. El eje de rotación es el eje
x. Calcule el volumen del sólido generado.
13. n es la región comprendida entre la curva y = -2 —^ y su asíntota y el eje
de rotación es el eje x. Calcule el volumen del sólido generado.
7T2 „R. Y u>
C _4 t4. fí es la región comprendida entre la curva y = J — --------dt {x e IR) y
su asíntota y el eje de rotación es su asíntota.3
16'
5. £2 es la región comprendida entre la curva xy2 = 4a2(2a — x) y su asíntota,
y el eje de revolución es su asíntota. Halle el volumen del sólido generado.
R. An2a? u 3
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
En los siguientes ejercicios, Q. es una región infinita.
6. fl es la región comprendida entre la curva y2 = — — - y su asíntota x = 2a
y el eje de revolución es x = 2a. Calcule el volumen del sólido engendrado.
R. 2n2a3 u 3
7. fi es la región comprendida entre la curva
rsen xx > 0
y = \ x(o , x = 0
y su asíntota, y el eje de revolución es el eje x. Calcule el volumen del sólido
generado sabiendoi que IJ 0
Tí
dx = ~.
71 , R. — u 3
2
200
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
i. i LONGITUD DE ARCO
Se,; / : [a;b] -> R una función con derivada continua en [a-,b] y
/’ - {x0,x1 , ...,xn) una partición de [a; 6], Esta partición define una poligonal
constituida por los segmentos rectilíneos desde hasta
<M*¿;/(*¡)),para i = 1,2, ... , n (Fig. 4.49).
n n
L{p) = = Z V(^¡ - ^ - i)2 + (fix 'd-¿=1 ¿=i
i 'I numero ¿ - ¡|{i|mo L(P), si existe, se llama longitud de arco de la curva
y = f{x ) desde el punto (a ;/ (a )) hasta el punto (£>;/(/>)). Demostraremosque en este caso el número L siempre existe.
Como / es derivable y continua en [xt_ i ; xt] , i = 1,2..... n, por el teorema deLagrange o del Valor Medio, 3 t ¡ 6 ( x ^ X t ) tal que
f (x¿) — /(x ¡_ i) = / (ti)(x¡ — Xi_x) , i = 1,2, . . . ,n
1 laciendo A¿x = x¿ — x , t = 1,2,..., n , tenemos
■A n= V ( A ¡ * ) 2 + [ / ' ( t j ) ] 2 . ( A , * ) 2 - V V i + [ / ' ( t ¿ ) ] 2
í=i fet
l’or tanto, la longitud de arco de la curva y = / ( * ) desde x = a hasta x = b es
n
¿ = i f c l O T A , , es decir¿ = 1
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Observación 10. La longitud de la curva x = g(y) comprendida entre las rectas
y = c A y = d, donde g es una función con derivada continua en [c; d], es
1 = ( j ■/1 + ífj'(y)]-dyju = | J j l + 4Observación 11. Si la ecuación de la curva C viene dada en forma paramétrica
mediante un par de funciones con derivadas continuas, esto es,
C:£ : $ r
Entonces la longitud de la curva C desde t = a hasta t = fi es
L = ( f V tx 'W F + [y'(OP dt'Ju
Ejemplo 28. Halle la longitud de la curva
,------- (1 + Vsec2x + 1\ n ny = v sec2x + 1 - ln ----------- desde x = - hasta x = -' v \ secx J 4 3
Solución
Al aplicar las reglas de derivación y simplificando se obtiene
^ = tan x Vsec2x + 1 dx
Por lo tanto, con la fórmula de la longitud de arco resulta
L = f 1 + ® dx = f * [1 + tan2x(sec2x + l )]1' 2 dx4 / 4 4 VdxJ Jn/4
r n / 3
= I sec2x dx = [tan x\nJ ^ = (V3 - l)uJ-rr/4
Ejemplo 29 Encuentre la longitud de la curva cuya ecuación es 16
desde x = —2 hasta x = —1.
Solución
1 x4 dy x3 1Como y = — r + — , entonces — = —--- -. Luego, la longitud de arco es
J 2x2 16 dx A x3
l = £ 4 T 7 W ? = £ J ( £ + i ) ¡i- + 1
- Í T ( ^ ¿ )
dx
(x3 1 \ 21■ + — I dx = — u
202
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 30. Calcule 4a longitud total de la curva cuya ecuación es:
n n- < x < - 2 ~ 2
y - J ^ V c o s t d t , - ^ < x < ^
~2Solución
C r 7T 7TiComo f(x ) = J ^ Veost dt, Vx 6 entonces f ( x ) = Vcosx es
~2. r ^
continua en el intervalo - j . Por lo tanto,
2 5 ___________ £
Z. = J * V 1 + cosx dx = dx = V2 P cos(|) dx = 4 u
~2 ~2 ~2
Ejemplo 31. Halle el perímetro del triángulo curvilíneo limitado por el eje de las
abscisas y por las curvas cuyas ecuaciones son *
y = In(cosx), * e A y = ln (senx ), x e ( 0;;r)
Solución
Las gráficas de /(x ) = ln(cosx),x 6 y de g(x) = ln(senx), x e <0;tt)
se muestran en la figura 4.50. Las longitudes de los lados del triángulo curvilíneoson
n
¿1 = 2 “
[ n/* _______________ rn¡ 4
¿2 = 1 V 1 + t/'O O ]2 dx = | V i + tan2x dx = ln(V2 + l ) u•'o J o
í 71/2 /---------- f "72 /-------¿3 = j V 1 + l j ' ( x )]2 dx = V i + cot2x dx = ln(V2 + 1 )u
•'/r/ 4 ^tt/ 4
Por tanto, el perímetro del triángulo curvilíneo es P = + 2 ln(V2 + 1)] u
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Ejemplo 32. Calcule la longitud de la parábola semicúbica 2y3 = x2,
comprendida dentro de la circunferencia x2 4- y 2 = 20.
Solución
La gráfica de la parábola semicúbica se muestra en la Fig. 4.51. Los puntos de
intersección de las dos curvas son (-4; 2) y (4; 2). Ahora, derivando
implícitamente la ecuación 2y 3 = x2 con respecto a y se tiene
dx 3 y 2 /dx\2 „ 9 y4 (y 3\ 9 y— = — => 1+ — ) = 1 + —5- = l + 9y. I — = 1 + — dy x Vdy/ x2 \x J 2
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Como la gráfica de la parábola semicúbica es simétrica con respecto al eje y,
entonces la longitud de arco comprendida dentro de la circunferencia es
= 2 f•'0
8l + ^ y d y = — (V1000 - 1)u
Ejemplo 33. La posición de una partícula en el instante t es
x ( t ) = 1 - eos t , y(t) = t - sen t
Halle el recorrido total entre t = 0 y t = l
Solución
El recorrido total de la partícula es
I fin cada uno de los ejercicios siguientes, determinar la longitud del arco de la curva descrita por
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
EJERCICIOS
, ,a + Va2 - x 2 i----------- ra ai/ ( * ) - a l n ( ----- ------ ) - V a 2 - x 2 ,x e [- ;-] R. ( a ln 3 )u
mx4 + 3
6xx 6 [1; 3]
/14\
'■ ( t ) “
L f(x ) = x 1' 2 - - X 3' 2 , x e [ 0 ; l]
'• / ( * ) = Ve2* - 1 - arcsec(e*) - 1 , x-e [0; 4]
r, = ~ + X € [2; SI
í). / O ) = ln ( -x ) , X e [-V 8 ; - V I ]
7- /(*) = -aresenx---y/l -x2,x e 0;-V3
4*. - u
R. (e4 - 1 )U
393
*■ -20-“
*• (l+jln|)u- ,
/ (x ) = - x jx 2 - 1 -^\n(x + y¡x2 - 1) , x e [3;5] R. 8u
<). x = ^ y s/3 ~ ^y 1/3,y e [0;1]27
/?. — U 20
R. - ( V í- 1 )u10. y = (9 - x 2/2)3!2 , * e [ l ;2 ]
11- y = -Xy¡3-X2 - f ^ a r c s e n ^ x j , * e [0; 1] /?. +
12. y=l-ln(cosx),*e[0;^] /?. ln(V2 + 1) u
13. y = arcsen(e *), x e [0; 1]
14. y = a cosh- , x S [0 -,b] a
y 2 i
* ~ ~4 2 lny ,y e [1;el
l(>. / ( x ) = ln (co th- ) , x e [ a ; b ] , a > 0
R. ln(e + V e2 - 1) u
/?. a senh u
R. ln(-e26- l .
e2a - 1■) + a - b
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
x3 1 5917. /(x ) = — + — ,x 6 [1; 2] R.
18. x = (a2/3 - y 2/3)3' 2 , y e [-a; a] R. 3a u
19. x = £ - 1 ,y = - t z , £ E [0; 1] R■ -[V2 + ln ( l + V2)]u
20. x =■ ec sen £, y = el eos £, t 6 [0; 7r] R. V2(e’r - 1 )u
21. x = [ y = i —— d t , desde el origen de coordenadas hasta elJ i t Ji £
npunto más próximo donde la tangente es vertical. R. ln — u
22. x = a (eos £ + £ sen £) , y = a(sen t - £ eos £), £ £ [0; a]
R. - a a 2u
II. En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de las curvas que se
indican.
1. La longitud total de la circunferencia x2 + y 2 = a2 R. 2na u
2. La longitud total del astroide x = a eos3£ , y = a sen3£ R. 6au
3. La longitud del arco de la rama derecha de la tractriz
x = J a 2 - y 2 + a ln|f a + J a 2 ~ y2'
y J
desde y = a hasta y = b con 0 < b < a. R. a ln ( - ) u
/X\2/3 /yv2/34. La longitud de la curva (-J + h-J = 1 en el primer cuadrante.
a2 + ab + b2------ ---- u
a + fe
5. La longitud total de la curva cuya ecuación es
4(xz + y 2) - a2 = 3a4/3y 2/3 fí- 6au
6. La longitud total de la curva 8yz = x2 - x* R. W 2 u
1. La longitud de la curva 9yz = 3x2 + x3 desde x = —3 hasta x = 0
R. 4V3t¿
206
II l a longitud de arco de la parábola semicúbica 5y3 = xz comprendida dentro134
de la circunferencia x2 + y2 = 6 R. — -u27
<< Calcule el perímetro de la región de menor área limitada por las gráficas
y2 - 2x3 A x2 + y 2 = 20
X2II). I,a longitud de la curva y = - - InVx , desde x = 2 hasta x = 3.
II. La longitud de la
uirva y = Vx - x2 + arcsenVx. R. 2u
I L a longitud total de la curva dada por (y - aresen x)2 = 1 - x2 R. 8u
2l.t. La longitud del arco de la curva y2 = -(x - l )3 comprendida dentro de la
xparábola y2 = —
14. La longitud del arco de la curva dada por x = (£2 - 2)sen £ + 2£ eos £ ,
7y = (2 - t 2) eos £ + 2£ sen £, desde £ = 0 hasta £ = n R'~¡fu
15. La longitud del arco de la curva y = ln (l - x2) desde x = 0 hasta x = 1/2
R. [- ¿+ In3 ]u
III. Los siguientes ejercicios tratan del movimiento de una partícula.
1. En el tiempo £, una partícula se encuentra en el punto
P(cos £ + £ sen £; sen £ - £ eos £)
Encuentre la distancia recorrida desde el instante £ = 1 hasta t = n
2. En el instante £, la posición de una partícula es
x = 1 + arctan £, y = 1 - ln -J1 + £2
Halle el recorrido desde el instante £ = 0 hasta £ = 1 R. ln (l + V2) u
APLICACIONES DELA INTEGRAL DEFINIDA
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Sea / : [a, b] -> M una función no negativa, con derivada continua en [a; £>].
Haciendo girar la gráfica de / desde x = a hasta x = b , alrededor del eje x, se
obtiene una superficie de revolución (Fig. 4.52). El área de esta superficie de
revolución está dado por
i4(S) = (271 f / 0 ) V 1 + [ f(x )]2dx ]u2
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
4.5 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Observación 12. Si la curva se describe por la ecuación paramétrica
C:x = x(t), y = y(t), t e [a;/?]
donde x(t) y y(t) son funciones con derivadas continuas en [a; /? J, entonces el
área de la superficie generada al hacer girar la curva C alrededor del eje x es
A(S) = ( i n j P y(t)V[x'(OP + [ y 'W F ^ u2
Observación 13. Sea / : [a, b] -> M una función con derivada continua en [a; b]
tal que su gráfica está a un mismo lado de la recta y = c . Haciendo girar la
gráfica de f desde x = a hasta x = b alrededor de la recta y - c se obtiene
una superficie de revolución (Fig. 4.53) cuya área es
A(S) = (2 jt[ l/O ) “ clV l + [/'(X)]2 d x )u 2
208
.APLICACIONES DE’LA INTEGRAL DEFINIDA
Observación 14. Si la curva C se describe con la ecuación x = g(y), Vy 6
I": H donde g es una función con derivada continua en [a; b] y Ses la superficie
de revolución que se obtiene al hacer rotar la curva C alrededor de la recta
\ = c , (Fig. 4.54), entonces el área de la superficie S es
i4(5) = ^2trJ \g{y)-c\yjí + [g'(yW dy ^ ju 2 (*)
Si la ecuación de la curva C está dada en su forma paramétrica por
* = x(t), y = y ( t ) , V te [a ;(3 ]
donde las funciones x = x (t) , y = y ( t ) tienen derivadas continuas en [a;/?]
entonces la fórmula (*) se transforma en
A(S) = Í 2 n ( |ar(t) - c|VÍ*'(t)]2 + [y '(t)]2 d i ) u 2
Y
bk C
---------. c
Z '/ * n(y)
i
s
a - - J *x - \
.Y C
...... w ----►x
.Y - C
Fig. 4.54
Ejemplo 34. Halle el área de la superficie generada al hacer girar la gráfica de
/ O ) = V24 — 4x ,x £ [3; 6], alrededor del eje x.
Solución
—2(.orno / 'O ) - -7-. , el área de la superficie resultante es
V24 - 4x4
6
f ( x y i + [ f(x )]2dx
= 2n\ V24 - 4x 11 + — 4 dx h y] 24 - 4x
= 2n I V28 — 4x dx = ---u2h 3
l a gráfica de / O ) = V 24 - 4x se muestra en la figura 4.55.
i4(S) = 2n f J a
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Ejemplo 35. Halle el área de la superf
del eje y del arco de la curva y = a eos
Solución
Considerando que la curva (Fig. 4.5«
superficie generada es
A(S) - 2tt f /(y )V 1 + [/'(y•'O
/y\ dxdonde x = /(y ) = a cosh (-J y —
Luego,
A(S) = 2n J a cosh Jl-<
= 2n J a cosh2 dy
Ejemplo 36. Halle el área de la super
2x = yVy2 - 1 + ln¡y - J y z - l| ,
Solución
La ecuación paramétrica de la curva e:
.* (0 = ^[t%/t2- l + ln|t-
y(t) = t
de donde x '( t) = V t2 - 1 A y '(t)
Por tanto, el área de la superficie es
A( S) = í y ( t ) V t * ' ( 0 ] 2 + [ y ' ( t ) ] 2í h
YJic >
y
x = a cosh(—)a
'""A.C7i
f > r0a a cosh(l) x
Fig. 4.56
cié engendrada por la revolución alrededor
-'i desde x = a hasta x = a cosh (1) a '
>) gira alrededor del eje y, el área de la
)]2dy
= f '(y ) = senh0
-senh2(^)dy
na2 , „ ,= ---(2 + senh 2)u
2
ície cuando la curva
y e [2; 5], gira alrededor del eje x.
^ f2 ~ 1B , t 6 [2; 5]
= 1
'.t = 2n í t-J ( t2 - 1) + 1 dt = 78n u 2
210
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
I' limpio 37. Halle el área de la superficie generada por la revolución en torno al
I'lr y delarcodelacurva y =-[x2 - 2 lnx], *e[l;4].
Solución
I .i ecuación paramétrica de la curva es
(x(t) = t
y(0 = |[t2 - 2int] ’ 1 e [1;4]
1 1tic donde x'(t) = 1 , y '(t) = - (t - -)
I uego,
/1(S) = 2tt x(t)y/[x'(t)]2 + [y'(t)]2dt
= 2„ J t j l + i (t - 1)2 dt = 2* f ‘l (t + i ) * = 2 W
I jemplo 38. Calcule el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer
líirar la curva y = 2 - e* , desde x = 0 hasta x = 2 , alrededor de la rectaV - 2
Solución
I ,i gráfica de la curva se muestra en la
lisura 4.57.
Se tiene que
dy
luego, según la fórmula, el área de la
superficie es
¿(S) = 2tr f (2 - / C O y i + F w J d *“'O
= 2n í exyfí'+ (ex)2 dx“'O
= 7r |e2V l + e4 - V2 + + lne2 + Vi + e‘
1+V2
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Ejemplo 39. Halle el área del elipsoide de revolución que se obtiene al hacer
x2 v2girar la elipse — + — = 1, alrededor de:
a) su eje mayor b) su eje menor
Solución
a) Cuando la elipse gira alrededor de su eje mayor, es suficiente considerar la
curva C descrita por/(x) = -%/25 - x2, x e [—5; 5] (Fig.4.58).
4 i------ 4x , , , ,Al emplear /(x ) = -V 25-X 2 A / '(* ) = - ^ = = = , el area de la
superficie resulta
f 5 4 ,------ 16x2A(S) = 27tJ - V 2 5 - x z ■ 1 * 25(25 - x 2) *
N
/ 100 3\ ,= 27r(l6 + — arcsen-Jir
TÓPICOS DE CÁLCULO-VOLUMEN II
Yi
c4
,\s
~~ -1
Yi
y = - s l2 5 - x *
1 \
1 \
1 1 rY
- U
S
*- — (
' 5 \Jk
/s
-4
Fig. 4.58 F¡9- 4 59
b) Cuando la elipse gira alrededor de su eje menor, es suficiente considerar la
curva x = 1 ^ 1 6 - y 2, y e [-4;4] (Fig.4.59).4
Luego, el área del elipsoide generado es
r* 5 _______ 25y2
ACS) = 27ZJ _ j J 16~y2' j 1 +16(16^ ) dy
= (50ír + ^ ^ l n 4 ^ u 2
212
I. En cada uno de los siguientes ejercicios, halle el área de la superficie de
revolución que se obtiene al girar alrededor del eje x, las curvas dadas por
1. f (x ) — —x3, x G [0; 2] r _ (98tt/81)u2
2. / (x ) = cosx, x e [ - | ;| ] r . 2tt[V2 + ln ( l + V2)]u2
3. Un lazo de la curva 8a2y2 = a2x2 - x4 R. (na2/4 )u2
4. 6a2xy = x4 + 3a4 desde x - a hasta x = 2a R. (477ra2/16) u2
5- f ( x ) = - x 3, x G [0; 2] R. ^ (1 7 3/2 - l ) u 2
6. y2 + 4x = 2 lny desde y = 1 hasta y = 2 R. (IOtt/3)u2
7. x = acos3t, y = asen3t R. (U n a 2/5 )u 2
8. y = e~x , x > 0 R. ;r[V2 + ln (l + V2)]u2
9. x - e t sen t, y = ec eos t desde t = 0 hasta t = |
R. 2 n j2 (e n - 2)/5 u 2
10. y = e~x, x > 0 R. ^[V2 + ln ( l + V2)]u2
11. x = a (eos t + ln(tan|)) , y = a sen t R. 4na2u 2
12. y = tan x desde (0; 0) hasta (£ ; l ) R. n (Vs - V2 + ln + 2V4 ' V V5 + 1
13. El lazo de la curva 9ay2 = x(3a - x) 2 R. 3na2u 2
14. x2 + (y - /j) 2 = a2, 0 < a < b (toro de revolución) R. 4n2abu
x3 1
15- y = y + 2 ¿ ‘ x e t1; R■ (208tt/9)u2
16. y = 2x, x G [0; 2] r . 8nV 5u2
17. y2 = 4ax desde x = 0 hasta x = 3a R. (56/ra2/3)u2
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
EJERCICIOS
2
II. Halle el área de la superficie generada por la rotación en torno al eje y, de cada una de las siguientes curvas
1 -x = y 3, y G [0; 3] R. [(730)3 2 - l]u2
2. 6a2xy = x4 + 3a4 desde x = a hasta x = 3a R. (20 + ln 3)n a2u2
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
3. 2y = * V F ^ T + ln ( * - V F ^ T ) ,x e [ 2 ; S ] K . 7 8 U U 2
4. x2 + 4y2 = 16
5. y = x2 , ^ £ [1; 2]
6. y = x4/3, x £ [1; 8]
III. Halle el área de la superficie de revolución formada cuando la curva indicada
gira alrededor del eje dado.
1. y = x3/z , x £ [1; 8]; alrededor de y = 1
2 V = í l + _L ( x £ [1; 2]; alrededor de y = 1 ' ^ 3 4x
3. y = x3, x £ [1; 2]; alrededor de y = -1
4. y = ln(x - 1) , x £ [2; e2 + 1]; alrededor de x = 1
5. y = 4 + e*, x £ [0; 1]; alrededor de y = 4
6. y = 2x , x £ [0; 2]; alrededor de y = -1 R - 12V5ttu2
4.6 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA (ó CENTROS DE GRAVEDAD)
El momento de masa de una partícula respecto a una recta L se define corno el
producto de su masa y su distancia a la recta L. Asi, si m es la masa de la particu
y d su distancia a la recta L Fig. 4.60, entonces el momento de la partícula
respecto a la recta L está dado por
Ml = md.
•
Es conveniente considerar la partícula localizada en un plano de coordenadas y
determinar el momento de la partícula respecto a un eje de coordenadas ( o a una
recta paralela a un eje de coordenadas). En este caso se usan las distancias
dirigidas, así el momento será positivo o negativo o cero, según la ubicación de la
partícula; por ejemplo si la partícula de masa m está en el punto (x;y) Fig. 4.61 ,
entonces sus momentos Mx y My respecto a los ejes x e y, respectivamente son
Mx = my , My = mx
Si un sistema de n partículas de masas m 1,m 2, ...,m n están situados en los
puntos (* i;y i) , (x2;y2), — ,(*„;y„) respectivamente, los momentos Mx y My
del sistema de n partículas se definen como n n
= ™¡y¡ - My = ]jr rriiXi (I)
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Mx
El centro de masa o centro de gravedad de un sistema de partículas es un punto
P(x;y) tal que, supuesto que la masa total m del sistema esta concentrada en el
punto P, los momentos de P y del sistema coinciden.
Si el sistema de m partículas de masas m u m 2, ■■■ ,m n ubicadas en los puntos
(x\'< yi), (x2; y2), , (xn; yn) tienen su centro de gravedad en el punto P(x; y) y
que la masa total del sistema esn
m = y m¡
¡=i
entonces los momentos Mx y My de P están dados por
Mx = my , My = mx
Luego, de (I) se obtienen n
= ^ ™ ¡ y ¡ y mx = 'Yj m iximy
i=l ¡=1
De donde resulta
_ EÍLiTTiiXi _ £ "=1m ¡yix = ------- y y = -------
m mEn resumen , si Mx y My son los momentos de un sistema de partículas respecto
;i los ejes x e y respectivamente y P(x;y) es el centro de gravedad o centro de
masa del sistema, entonces
My Mx* = - T y = - f (II)
m m
donde m es la masa del sistema.
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F.Jemplo 40 Cuatro partículas están en los puntos Pt (—1; -2), P2(1; 3),
P3(0; 5), ^4.(2; 1) y sus masas son m1 = 2, m 2 = 3, m 3 = 3, m 4 = 4
respectivamente, determine el centro de gravedad del sistema formado por estas
cuatro partículas.
Solución
Tenemos Mx = 2(—2) + 3(3) + 3(5) + 4(1) = 24
My = 2(—1) + 3(1) + 3(0) + 4(2) - 9
m = 2 + 3 + 3 + 4 = 12
Luego,
_ _ M j , _ 9 _ 3 - _ M X _ 24 _
X - ñ r ~ 1 2 - 4 ’ V ~ ~ m ~ Y 2 ~ 2
Por tanto, el centro de grayedad está ubicado en el punto P(3/4; 2)
4.6.1 CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGIÓN PLANA ó LÁMINA
En primer lugar, es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones
a) Una lámina es llamada homogénea si dos porciones de igual área tienen el
mismo peso.
b) La densidad p de una lámina es la masa de una unidad cuadrada de lámina.
Si una lámina es homogénea, entonces su densidad (de área) p ■ es constante y
si A es el área de dicha lámina, entonces su masa es m = pA
c) El centro de masa de una lámina homogénea, puede pensarse como el punto de
balance de la lámina; si esta lámina tiene un centro geométrico, este será
también el centro de masa ó centro de gravedad. Por ejemplo, el centro de
masa de una lámina circular homogénea es el centro del círculo; el centro de
masa de una lámina rectangular homogénea es el centro del rectángulo
(intersección de las diagonales). Se define el momento de una lámina de masa
m respecto a una recta, como el momento de una partícula de masa m situado
en el centro de masa de la lámina.
d) Si una lámina se corta en trozos, el momento de la lámina es la suma de los
momentos de sus partes.
Ejemplo 41 Encuentre el centro de masa de una lámina homogénea de densidad
p, que tiene la forma propuesta en la Fig. 4.62 (las medidas están en cm.)
Solución
La lámina está formada por 3 rectángulos y el área total de la lámina es igual a
93 cm2. Si colocamos los ejes de coordenadas tal como se indica en la figura, los
centros de masa de los rectángulos Rlt R2 y R3 son:
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
216
ATLILAUIUINES UH LA 1IN 1 tÜKAL UtílIN lUA
respectivamente. Luego,
Mx = (21p) ( y ) + (60p)(6) + (12p) (| ) = ^ p
/13\ 969My = (21p) ( y ) + (60p)(5) + (12p)(8) = — p
Por tanto, el centro de masa (x ; y) de la lámina está dado por
969_ My -J-Px = ^ = = 5,209677419
m 93 p
1197M x ~ T ~ P
y = —- = — = 6,435483871* m 93p
Sea F una lámina homogénea cuya densidad es constante e igual a p.
Supongamos que F es la región limitada por las gráficas de:
y = / ( * ) , y = a(x), x = a , y x = b
donde f y g son funciones continuas en [a;b] y f(x ) > g(x), Vx G [a;b]
(Fig. 4.63)
Sea P = {x1,x2, ...,xn} una partición de [a;b] y c¡ es el punto medio de
[x¿_!; x¡] , entonces se tiene que:
= P[/(Q) ~ fl(c¡)]A¡*, i = 1,2,...... n (Mx = x¡ - x ^ )
es la masa del i-ésimo rectángulo sombreado en la figura 4.63
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
El centro de gravedad del i-ésimo rectángulo se encuentra en el punto
( f ( c¡) + g (c¿)>
Vc‘ : 2
Sustituyendo cada rectángulo por un punto material y localizando la masa de cada
rectángulo en su centro de gravedad se obtiene que los momentos de masa de los
n rectángulos, determinados por la partición, respecto a los ejes x e y son:
Mr
M,
lí /l
^ ™¡y¡ = p[/(c¡) - 5(c¡)]/(c¡) + g ( a )
AjX
Luego, el centro de gravedad (x;y ) estará aproximadamente en el centro de
gravedad de los rectángulos determinados por la partición, es decir:
xMy _ P'Z’j=iCi[f(ci) - g jc ^A jX
m p EH iE /(c¡) - S(c¡)]A¡*
Mx I p i u m c d r - i g í c d ] 2} ^
y X m ~ p l U l f i c d - g i c ^ x
Pasando al límite cuando ||P|| -» 0, se obtiene que las coordenadas (x;y) del
centro de gravedad de la lámina F están dadas por
Ja *[ /(* ) - g(x)]d.X ^ - I-fq {[/(x)]2 - [fl(x)]2}
£ [ f t o - g ( x ) ] d x A y tf\ f(.x)-g(x)]dx
Como se observa, las coordenadas del centro de masa de la lámina homogénea no
dependen de su densidad p, sólo depende de su forma. Usualmente el centro de
masa de una lámina se denomina centro de gravedad o centroide, reservando el
término centro de masa para un sólido.
Observación 1S
a) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta x — x 0 , entonces
x = X0
b) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta y — y0 , entonces
y = yo
218
Observación 16 Si la región plana F esta limitado por las gráficas de:
x = f(y ) , x = g(y), y = c, y = d
donde f y g son funciones continuas en [c; d] y f ( y ) > g ( y ) , Vy g [c;d]
l'ig. 4.64, las coordenadas del centro de gravedad (x; y) de la región F son
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
_ _ 2 /c% Cy)32-[g(y)]2}dy
/,d[/(y) - g(y)]dy
- -= ~ g (y )Jrfy
/cd[/(y) -g(y )]dy
Ejemplo 42 Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas y = x3 , y = 4x en el primer cuadrante. ,
Solución
El área y los momentos con respecto a los ejes x e y de la región son
A(R) = í (4x - x3)dx = 4 Jo
_ 2 2
My = ¡ x[f(x) - g(x)]dx = í x(4x - x3)dx = ^J o 15
Mx =z2 ¡0 “ íg(x)]2}dx = ^ J (16x2 - x ü)dx
_ My 64/15 _ Mx 256/21Luego, x - -- ------ , y = — = --- -—
m 4 m 4
n . . 64\Por tanto, el centroide es P — : —
V15 21/
256
~2Í
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Ejemplo 43 Halle el centro de gravedad de la región limitada por las ciirvas
x2 - 8y = 0 , x2 + 16y = 24
Solución
Como la región F (Fig. 4.66) es simétrica respecto al eje y, se sabe que x = 0
El área de la región y el momento con respecto al eje x son
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
A^ (2 4 - x 2 x2
■ a
■ r 'd
16dx = 4V2
2 4 - x
16~dx =
16V2
/ 4\ _ Mx 4 _Por tanto, el centro de gravedad es ^0; -J porque y = ~ 5 A * ~ 0
Ejemplo 44 Encuentre el centroide de la región limitada por las curvas
x = 2y - y 2 , x = 0
Solución
Como el centro de masa está situado en el eje de simetría y = 1 (Fig. 4.67),
entonces y = 1.
Aplicando las fórmulas dadas en la observación 16 se obtiene
y ^ 2 y - y 2)2dy 8/15 _ 2
fg (2 y - y 2)dy 4/3 5
Luego, el centroide es P ; 1 j
220
Ejemplo 45 Determine el centroide de la región plana limitada por las curvas
y = / (* ), y = x2 , x = - l , x = 2, donde
(1 - x, x < 0
> 0
Solución
La región se ilustra en la Fig. 4.68. Dividiendo la región en dos partes se obtiene
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
A = í (1 - x + x2)dx+ í\x2 + l + x2)dx = ^- + — = — J-i J o 6 3 6
= 2 / K1 “ x^2 ~ x^ dx + Kx2 + l ) 2 - x4]dx =
f° r 2 13= I x ( l - x + x2)dx + \ x(x2 + 1 + x2)dx = --- +10 =
J-1 J0 12
107My — ¡ x ( l - x + x2)dx + I x(x2 + 1 + x2)dx = - 7^+ 10 =
_ 107/12 _ 71/15 ^ , /107 142\,uego, x — ■, y = -=— r , de donde el centroide es P ---;--- )
55/6 ' 55/6 V110 275/
Fig. 4.68 Fig. 4.69
Ejemplo 46 Halle el centro de gravedad de la región infinita, en el primer
cuadrante, comprendido entre la curva y = x e~x y el eje x.
Solución
La región se ilustra en la Fig. 4.69. Luego, se tiene
r +CO
A = I x e~x dx = lim [-x e~x - e~xY0 = 1
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
+00 r+ 00
My
/* i-to /■+»
= I xf(x)dx = I x2e~xdx Jo J o
= lim [-x2e * — 2*e * — 2e x]q = 2 t- 1+00
i r +”Mx = - J [x2e-2* - 0]dx‘ X
Jo
1 r 1 1 1 ^ 1= - lim —- x 2e 2x —-xe~lx —-e~Zx¡ = -
21-*+» L 2 2 4 J0 8
My _ Mx 1
Luego, * = T = 2 . y = T = 8
Por tanto, el centro de gravedad de la región es P ^2;
Teorema (Teorema de Pappus para volúmenes)
Si un sólido S es obtenido al hacer rotar una región plana F (Fig. 4.70) en torno de
una recta del mismo plano, que no sea secante a la región F, entonces el volumen
de S es igual al.área de la región F multiplicado por 2nr, siendo r la distancia del
centro de gravedad de la región F al eje de rotación, esto es,
V = 2nr. A
donde A es el área de F.
222
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 47 Calcule el volumen del sólido 5 generado por la rotación de la
S a aPOrlaParáb0,a y = * 2 y,areCía y = * + 2 en tomo a esta
Solución
Para determinar el centro de gravedad.de la región F (Fig. 4.71) se tiene
A(F) = í (x + 2 - xz)dx = - J-1 2
My = í x(x + 2 - x2)dx = - J - i 4
Mx = \ í l(x + 2)2- x 4] dx = —J - i 5
Por tanto, el centroide (x; y) de la región tiene las coordenadas
- = _ i - _ M X _ 8
A ~ 2 ' y _ T " 5
Calculando la distancia r del punto C a la recta y = * + 2 se tiene
r = ^ ~ y + 2l = l l ~ l + 2| _ 9V2
V i + 1 V2 20
Luego, por el teorema de Pappus, el volumen del sólido S es
1
Fig. 4.71Fig. 4.72
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r
Ejemplo 48 La región limitada por las gráficas de y = x2, y = 5 gira alrededor
de una recta oblicua que pasa por el punto ¿4(1; 0). Halle la ecuación de dicha
recta, si el volumen del sólido generado es igual a 40V5ttu3
Solución
La gráfica de la región se muestra en la fig. 4.72. En primer lugar determinaremos
el centroide de la región F. Como el centro de masa está situado en el eje de
simetría (eje y), entonces x = 0.
Por otro lado, la ordenada del centroide de la región es
- _ M* _ ~ x^ dx _ 20v^
A / ^ r (5 - x2)dx 20V5/3
Luego, el centro de gravedad es (x;y) = (0; 3)
20V5Considerando que el área de la región F es A = —-— , se tiene
V = 40V57t = 2nr = * r - 3
Finalmente, si m es la pendiente de la recta L (eje de rotación) que pasa por el
punto A(l-, 0), entonces su ecuación es
y - 0 = m(x - 1) ó mx - y - m = 0
Puesto que, r = 3 es la distancia del punto (x; y) = (0; 3) a la recta L, entonces
\mx-y-m\ |-3-m|3 — . >—»* 3 — .
Vm2 + 1 Vm2 + 1
<=> 9 (m 2 + 1) = 9 + 6m + m 2 <=> m(4m — 3) = 0
3<=* m = 0 ó m = -
43
Como la recta L es oblicua, m = -. Por tanto, la ecuación de la recta L es4
3x — 4y — 3 = 0
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
224
I. En cada uno de los ejercicios, encuentre el centroide de la lámina
homogénea de densidad p que tiene la forma mostradas en la figura.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
EJERCICIOS
II. En los siguientes ejercicios, encuentre el centro de gravedad de cada una de
las regiones limitadas por las siguientes curvas.
1. y = x z - 4 , y = 2x - x2
2. y - v a 2 - x2, y = 0
3. y = 3x, y = x2, y — 1 , y = 2 (en el primer cuadrante)
*•
R. ( 0;4a\
3n)
r ( 67 2(72^2-53)
U 8 (8 v ^ - 7 ) ' 15(8V2-7)
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4. y - X 2, y = x - x 2 R. Q jg )
5. y = ln x , y = 4 , y == 4 - 4x2 (en el primer cuadrante) R. (14,61; 3,15)
6. y = x2 + l , y = x3 - l , x = 0 , x = l
n7. y = senx, y = cosa:, y = 0 desde x = 0 hasta x = —
"■ G4(f-i)(2+V5))8. y 2 = 4 - 2x, el eje y, y = 3
(12 3\9. x = 4y — y 2 , y = x R.
ñ 9\10. Vx + ,/y = 3 , y = 0 , x = 0 R.
11. y = |a:|3 + 1, x = - 1 , x = 2, y = 0
12. x + xy2 - 2 = 0 , x - y 2 = 0
13. y 2 = 20x, x2 = 20y R. (9; 9) •
tx , si x < 1 _14. y = —x , y = j 2 , x = 2
' [X , SI X > 1
/88 50\15. x - 2 y + 8 = 0,x + 3y + 5 = 0,x = -2 ,x = 4 fi.
16. y = 3 + 2x — x2 , y los ejes coordenados encierran dos regiones. Determine
el centroide de la región de menor área.
17. y(x2 + 4a2) = 8a3 y el eje x (región infinita) R. (o ;-a)
l 12 \18. La región limitada por el lazo de y2 = x{x - 4)z R. ; 0J
19. La región limitada por el lazo de y 2 = x4 (3 - x) R. (2;0)
20. y = a resen x , y = 0 , x = 1
/16 5\21. y2 = 4x2 - x3 ,y = 0 en el primer cuadrante R.
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN IIAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
n . y = X 2 - 2x - 3 , y = 6x - x2 - 3 R. (2;1)
23. y = x3 — 3 x ,y = x ,sobre el lado derecho del eje y R,\15 35/
x2 y224. La región encerrada por — + — = 1, en el primer cuadrante
(4a 4b\
R' V3rr; 3tt)
25. La región está limitada por los ejes coordenados y x2/3 + y 2/3 = V25
R./256 256\
\637r' 63n)
26. La región es un sector circular de radio r y ángulo central 2a
n r. 2 sen aR. En el eje de simetría, a la distancia - r ---- del vértice del sector
3 a
27. y = senx, (0 < x < n), y = 0 R.'2 8'
28. y = coshx , y = 0 , x = - 1 , x = 1
29. y = arccos x , y = n , x = 1
III. Centro de gravedad y volúmenes.
1. El centro de gravedad de la región acotada por las curvas x2 = 4 y , y = mx
es un punto de abscisa igual a 2. Determine el valor de m R. m — 1
2. /1(0;0), B (a ;0 )y C (0;a/2) con a > 0 , son los vértices de un triángulo.
Calcule el volumen del sólido obtenido por la rotación en torno a la recta
Sy¡2na3y = x - a, de la región limitada por el triángulo ABC. R. --------------
24
3. Sea R la región del plano limitado por la parábola y = x2 - 1 y la recta
y = x — 1 . Determine el volumen del sólido obtenido por la rotación de la
7rV2región R alrededor de la recta y = x - 1. R. ----
60
4. La región limitada por las gráficas de y 2 = 20x , x2 = 20y gira alrededor de
la recta 3x + 4y + 12 = 0. Calcule el volumen del sólido generado.
R. 4000tt
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
5, La región limitada por las gráficas de y = x2 , y = 5 gira alrededor de una
recta oblicua que pasa por el punto (-1; 0). Halle la ecuación de la recta si el
volumen generado es igual a (40V5 n )u3 R. 3x + 4y + 3 = 0
IV. El centro de gravedad (x-,y) del arco de una curva (homogénea), cuya
ecuación es y - f (x ) con x 6 [a; b] , donde / es una función con derivada
continua en [a; b] , está dado por
_ ^ x ^ l + [f'(.x)]2 dx f ba f< jx )J l + [ f '(x W d x
j ^ i + [ f(x )Y d x ' y j aby i + [f'{x))2 dx
Usando estas fórmulas, determine el centro de gravedad de las curvas cuyas
ecuaciones son
2,------ / 2 a1. y = yfa2 - x2 R. \P>~
x ( a(e4 + 4e2 - 1)2. y = acosh- , x e [- a ;a ] R. (0;
a ' 1 ' J V ' 4e(e2 -
/ '3. x = a(t - sen t),y = a ( l - eos t) , t e [0;27r] R. bra;-
4a\
3 /
r ti-i /2a 2a\4. x = acos3t ,y = asen3t , t e [0;-j R.
228
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.7 APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN LOS NEGOCIOS
4.7.1 EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR
( oiisideremos la función demanda p = f ( q ) de un determinado artículo, donde
i/ representa la cantidad de artículos que se demandan al precio unitario p. La
l’i áfica de esta función es la curva de demanda.
Si el precio en el mercado del artículo en mención es p0 y ia correspondiente
amtidad demandada es q0, entonces los consumidores que estuviesen en
condiciones de pagar por el artículo un precio mayor que p0 ganan, por el simple
hecho de que el precio en el mercado es menor.
Majo ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del consumidor se representa
por el área bajo la curva de demanda y sobre la recta p = p0 (Fig. 4.73). A esta
arca se le denomina excedente del consumidor (EC) y está dado por
EC = ( f o [ / ( ? ) -Po]d(7 u . m . = ^ f ( q ) d q - p 0q0 ju.m.Una forma alternativa de calcular el excedente del consumidor es
EC ~ ( / 9Í P ) d p ' ju .m . , donde g — / -1 y pr = /(O)
(u. m. significa unidades monetarias)
Fig. 4.73
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
4.7.2 EXCEDENTE DEL PRODUCTOR
Consideremos la función oferta p = f ( q ) de un determinado artículo, donde q es la cantidad de artículos ofertados al precio unitario p. La gráfica de esta
función es la curva de oferta.
Si el precio en el mercado del artículo en mención es p0 y la correspondiente
cantidad ofertada es q0, entonces los productores que estuviesen en condiciones
de vender el artículo a un precio menor, ganan, por el simple hecho de que el
precio en el mercado es mayor.
Bajo ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del productor se representa
por el área sobre la curva de oferta y bajo la recta p = p0 (Fig. 4.74). A esta área
se denomina excedente del productor (EP) y está dado, por
Ep = ( f lPo-f(Q )1dq 'ju .m .= ^p0q0 - J
Una forma alternativa de excedente del productor es '
EP = ( f g(p)dp\ P l
ju .m ., donde g = f 1 y P i = / ( 0 )
f(q )dq )u .m .
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ’
I Jcmplo 49 Si la función demanda es p = 9 - a2 \ n - q u„||P ,•leí consumidor. q > Po “ Halle el cxccdc»“-‘
Sol ución
I .1 región se muestra en la figura 4.75. Con la ayuda de ¡a figura se obtiene
I’jemplo 50 Si la función de oferta es p = 4 + 3o2 v a = 2 r-,!,-,,!,. .iexcedente del productor. R * 9o - ¿ • Calcule el
Solución
La región se muestra en la figura 4.76. Así, resulta
EP — f [16 - (4 + 3q2)] dq ~ 16 u. m.
Ejemplo 51 Las funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia
perfecta son p = 227 - - q 2 y p = 2 + 2q2 respectivamente. Determine el
el correspondiente excedente del consumidor y el excedente'de productor.
Solucióii
LI precio en el mercado y la correspondiente cantidad está determinado por el
punto de equilibrio E (Fig. 4.77). El punto de equilibrio es la intersección de las curvas de oferta y de demanda, esto es,
227 “ 4 - 2 + 2q2 => q2 = 100 => qe = 10, de donde pe = 202
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Luego,
500 dq = — 11. m.
r10 1EC = I 227 - - q 2 - 202
J 0 L 4
r 1° 4000EP = J [202 — (2 + 2<72)] dq = - u.m
Ejemplo 52 La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de
monopolio, se determinan por la función de demanda p = — (10 — qY y el costo
3total es C = — + 5a de tal manera que se maximice ia utilidad. Determine el
4-correspondiente excedente del consumidor.
Solución
La utilidad es U = I — C , / = ingreso y C = costo total
W = 0 =* /' - C' = 0 =* lMg = CMg
"La utilidad se maximiza si el ingreso marginal (/' = IMg) es igual al costc
marginal (C' = CMg)”.
Como / = pq donde p = precio de venta y q = cantidad vendida, entonces
1 3 9/ = -(10 - q)2q => lMg = 25 - 10q + -q
3 3Luego lMg = CMa => 25 - 10q + - q2 = - q 2 + 5 => q = 2
En q = 2 , la utilidad es máxima porque t/"(2) = -10
Por tanto,
r 2f2rl i 26= j | - (1 0 - q )2 - 1 6 j dq = Y (Fig.4.78)
232
Ejemplo 53 Actualmente el kilo de huevo cuesta S/. 4,6. Los estudios realizados
indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a razón de
0,09 + 0,0006a:2 soles por semana. ¿Cuánto costará el kilo de huevos dentro de10 semanas?
Solución
dp r 10(.orno — = 0,09. + 0,0006x2 =* I (0,09 + 0,0006A:z)dx es el aumento en el
precio dentro de 10 semanas
Luego, dentro de 10 semanas el kilo de huevo costará
10
(0,09 + 0,0006a:2) dx = 4,6 + 1,1 = S/. 5,7I
Ejemplo 54 Halle la cantidad producida que maximiza la utilidad y la
correspondiente utilidad total (suponiendo competencia perfecta) si el ingreso
marginal es IMg = 24 - 6q - q2 y el costo marginal es CMg = 4 - 2 q - q2.
Solución
La utilidad se maximiza (suponiendo competencia perfecta) cuando el ingreso
marginal (/Mg) es igual al costo marginal (CMg) , luego
24 - 6q - q2 = 4 - 2q - q2 => q = 5
Como U' = UMg = IMg — CMg = 2 0 - 4 q y U "(5) < 0, entonces la utilidad
se maximiza cuando q = 5 y la utilidad máxima es
U =
Ejemplo 55 Una empresa textil ha comprado una máquina cuya producción
representa ganancias en un tiempo t dadas por 6 = 2 7 - 2 t z , donde G está en
unidades de S/. 3000 y t está en años. El costo de reparación y mantenimiento en
el tiempo t está dado por ñ (t) = - t2 + 21, donde R está en unidades de S/. 3000
y t está en años. Suponiendo que la máquina puede retirarse sin costo alguno en
cualquier tiempo, ¿cuántos años se debe mantener la máquina para maximizar la
utilidad neta?
Solución
Las ganancias son iguales al costo de reparación y mantenimiento (Fig. 4.6)
cuando1
27 - 2t2 = - t 2 + 2t => t = 3J
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.7.3 OTRAS APLICACIONES
í (20 - 4q) dq = 50 u.m. Jn
p = 4,6 +
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Por tanto, la máquina debe retirarse después de 3 años. La utilidad neta después
de 3 años es
UN = f - R(t)]]dt = | (27 - 2t - ^ t 2) d t = 51
Luego, la utilidad neta después de 3 años es de 153 000 soles.
Ejemplo 56 El valor de reventa de cierta máquina industrial disminuye durante
un período de 10 años a una tasa que cambia con el tiempo.
Cuando la máquina tiene x años, la tasa a la cual está cambiando su valor es de
220(x - 10) soles por año. ¿En qué cantidad se deprecia la máquina al cumplir
dos años y cuál es su precio de reventa si su costo fue de S/. 12 000?
SolucióndV
Si V es el valor de la máquina, — = 2200 — 10); luego,
V(x) = j 2 200 - 10) =* V{x) = i ™ *2 - 2 2ao* + C
Como K 0 ) = 12 000 => C = 12 000 y V(x) = 110x2 - 2 200x + 12 000.
Por tanto, V (2) = 8 040
El precio de reventa es de SI. 8040, y la máquina ha sufrido una depreciación de
S/. 3960.
Otro método para resolver este problema. El valor de depreciación es
í 2 2 00 - 10)dx = -3 960 Jo
Esto significa que la máquina, en dos años se deprecia en S/. 3 960 , en este
tiempo el valor de reventa es 12 000 - 3960 = S/.Q 040
EJERCIC IOS
1. Si la función demanda es p = 25 - q2, halle el excedente del consumidor si
la cantidad demandada en el mercado es q0 = 3 R. 18 u. m.
2. Si la función de oferta es p = 3 ln (q + 2) , halle el excedente del productor
si el precio de venta en el mercado es p0 = 3
3. Las funciones de demanda y oferta en situación de libre competencia son
p = _ (9 - q)2 y p = -(1 + 3q) respectivamente. Calcule el excedente del4 4
consumidor y el excedente del productor.
P TÓPICOS DE CÁLCULO- VOLUMEN II
234
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
■I La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de monopolio,
se determinan por la función de demanda p = 45 - q2 y el costo total
C = 7 + 6q + q3/12 de manera que se maximice laj utilidad. Calcule el
correspondiente excedente del consumidor. R. 16V3u. m.
V El valor de venta de cierta máquina industrial disminuye a una tasa que
cambia con el tiempo. Cuando la máquina tiene t años, la tasa a la cual está
cambiando su valor es -960e~t/,s soles por año. Si ei costo de ¡a máquina
fue de S/. 5000, ¿cuál será su valor 10 años más tarde? R. S/. 849,63
(«. Un fabricante calcula que sus ingresos marginales son de jlOOQQ q soles
por unidad cuando su producción es de q unidades. Se ha encontrado que su
costo marginal correspondiente es de 0,4 q soles por unidad. Cuando su nivel
de producción es de 16 unidades, su utilidad es de S/. 520. ¿Cuál es su utilidad
cuando su nivel de producción es de 25 unidades? R. S/. 646,20
7. Un fabricante ha encontrado que su costo marginal es de 6q + 1 soles por
unidad cuando se han producido q unidades. El costo total de la primera unidad es de S/. 130
a) ¿Cuál es el costo de producción de las 10 primeras unidades?
b) ¿Cuál es el costo de producción de la décima unidad?
c) ¿Cuál es el costo fijo?
R. a)S/. 436 b) S/. 58 c) S/. 126
X. La tasa de crecimiento de la población de cierta ciudad cambia con el tiempo.
Los estudios indican que dentro de x meses la tasa de crecimiento de la
población será de 4 + 5x2/3 personas por mes. La población actual es de
10000 habitantes. ¿Cuál será la población dentro de 8 meses?
R. 10125 personas
(). El precio del pollo es actualmente de S/. 4,5 por kilo. Se espera que dentro de
x semanas el precio estará aumentando a una tasa de 0,03\O + 1 soles por
semana. ¿Cuánto costará el kilo de pollo dentro de 8 semanas?
R. S/. 5,02 el kiio
10. Halle la cantidad que maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad
máxima si el ingreso marginal es lMg = 2 0 - 2 q y el costo marginal es
CMg = 4 + (q - 4)2
11. Las funciones de oferta y demanda son, respectivamente p = 1 + ln((? + 1)
y p = 5 — ln(q + 1) . Halle el excedente del consumidor y el excedente del
productor. R. EC = EP = (e2 - 3)u.m.
12. Los promotores de una feria de una ciudad calculan que t horas después de
que se abran las puertas (9 a.m.) los visitantes estarán entrando a la feria a
una tasa de 54(t + 2)2 - 4(t 4- 2)3 personas por hora. ¿Cuántas personas
entrarán a la feria entre las 10 a.m. y el medio día?
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
I í. Una empresa lia comprado una máquina cuya cantidad producida representa
ganancias en un tiempo t dadas por G(t) = 20 — 3t2 , donde t está en años
y G está en unidades de S/. 10000. El costo de reparación y mantenimiento
en el tiempo está dado por R(t) = 212, donde R está en unidades de
S/. 10000 y t está en años. Suponiendo que la máquina se puede retirar sin
costo alguno en cualquier tiempo t, ¿Cuántos años se debe mantener la
máquina para maximizar las ganancias netas totales?
R. Dentro de 2 años y UN' = S/. 266 666,66
14. Una compañía está considerando la adición de personal para propaganda. El1
costo de adición de este personal está dado por C(x) = —x, donde C está en
unidades de S/. 600 y x es el número de personas agregadas. El ingreso
obtenido con el personal adicional es I(x) = 2-¡x , donde / está en
unidades de S/. 600 y x es el número de personas agregadas. ¿Qué número
de personas para propagandas deben agregarse para maximizar la utilidad,
cuál es el ingreso neto adicional (suponer que las funciones son continuas)?.
15. La utilidad marginal de cierta compañía es de 100 — 2x soles por unidad
cuando se producen x unidades. Si la utilidad de la compañía es de S/. 700
cuando se producen 10 unidades ¿Cuál es la utilidad máxima posible de la
compañía?R. S/. 2300
16. El costo marginal de un fabricante es de 3(qr — 4)2 soles por unidad cuando
su nivel de producción es de q unidades.
a) Exprese el costo total de producción del fabricante en términos de sus
gastos generales (costo fijo) y el número de unidades producidas.
b) ¿Cuál es el costo de la producción de 14 unidades si el costo fijo es de
S/. 436?
17. Las funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia pura son
respectivamente, p = 30 — q2 y p = 2q2 + 3 , halle el excedente del
productor.
18. Si la función de demanda es p = j 20 — q y la cantidad demandada es
q0 = 4 , halle el excedente del consumidor.
19. Halle la cantidad producida que maximice la utilidad (suponiendo
competencia pura) y determinar la utilidad total en dicho punto si las
funciones de ingreso marginal y de costo total están dadas por
ÍMg = 2 4 - 5 q - 2q2 y CMg = 1 1 - 3 q - q2
236
COORDENADASPOLARES
5.1 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
La posición de un punto P en un plano
se puede indicar usando las
coordenadas polares. Para ello, se
considera una semirrecta orientada
O A llamada eje polar, que usualmente
se considera en forma horizontal y que
se extiende hacia la derecha (Fig. 5.1);
al origen O del eje polar se denomina
origen o polo.
A cada punto P de! plano se le asigna
un par (r; 9) donde r es la longitud
del segmento OP y 9 es la medida
en radianes del ángulo cuyo lado
inicial es el eje polar y el lado terminal
es el segmento OP.
Al par (r; 9) se denomina coordenadas polares de P y se denota P(r; 9), r es
llamado radio vector y 9 es el ángulo polar. De la Fig. 5.1- podría deducirse que
r > 0 y O < 0 < 2 7 r , pero éstas no son las condiciones generales. Para asociar
las coordenadas polares a un punto y formar el sistema de coordenadas polares
en el plano es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:
1. Si el ángulo AOP se desplaza a partir de OA en sentido antihorario, 9 es
positivo y negativo en caso contrario.
2. A la semirrecta OA' que forma con el eje polar un ángulo de medida 9 se
denomina eje 0 . El radio vector r es positivo si P está situado en el eje 9 , y
es negativo si P está en la prolongación del eje 9 .
3. El polo O está unívocamente determinado por r = 0 , es decir, al polo se le
puede asignar el par (0; 9), donde d es cualquier número real.
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