36
14 f 3 *3 +L dx R. converge h 4 ^1 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II i, fS dx R. converge ' J 4 xV25^F 15. fxsen’Qdx R. converge l"1 ______ ^ _______ R. converge r1sen(x3)dx R converge 17- í r* 18 f'_i --- dx R. converge Jo "i- r +co rlv 9n . _________ ___________ R. converge J1 x4 + 5x3 +x2 +x + l APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Hn este capítulo abordaremos algunas aplicaciones de la integral definida a ios problemas geométricos, físicos y económicos. 4.1 ÁREA DE REGIONES PLANAS CASO I: Sea /: [a;b] -» IR una función continua y f(x ) > 0, V x E /. De la interpretación geométrica de la integral definida se sigue que el área de la región R limitada por la gráfica de / , el eje x, las rectas x = a y x = b (Fig. 4.1) está dada por A(R) = /(x)dxju2 CASO II: Sean / y g dos funciones continuas en [a\b] y g(x)<f(x), V x £ [a; b]. El área de la región íl limitada por las rectas x - a A x = b y las gráficas de / y g (Fig. 4.2) está dada por: A(n) = ( í [f(x) - g(x)]dx)u2 Para demostrar esta fórmula, consideremos el número real k tal que k < g(x), V x £ [a; b]. www.FreeLibros.com

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Page 1: Integral definida

14 f 3 * 3 +L dx R. converge

’ h 4 ^ 1

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

i , f S dx R. converge

' J4 xV 2 5 ^ F

15. f x s e n ’ Q d x R. converge

l"1______ ^ _______ R. converge

r1sen(x3)dx R converge

17- í r *

18 f ' _ i ---dx R. converge

Jo "i-

r +co r l v9n ._________ ___________ R. converge

J1 x4 + 5x3 +x2 +x + l

APLICACIONES DELA INTEGRAL DEFINIDA

Hn este capítulo abordaremos algunas aplicaciones de la integral definida a ios

problemas geométricos, físicos y económicos.

4.1 ÁREA DE REGIONES PLANAS

CASO I: Sea / : [a;b] -» IR una función continua y f ( x ) > 0, Vx E /. De la

interpretación geométrica de la integral definida se sigue que el área de la región

R limitada por la gráfica de / , el eje x, las rectas x = a y x = b (Fig. 4.1) está

dada por

A(R) = / ( x ) d x ju 2

CASO II: Sean / y g dos funciones continuas en [a\b] y g (x )< f(x ) ,

V x £ [a; b]. El área de la región íl limitada por las rectas x - a A x = b y

las gráficas de / y g (Fig. 4.2) está dada por:

A(n) = ( í [f(x) - g (x )]dx)u2

Para demostrar esta fórmula, consideremos el número real k tal que k < g(x),

V x £ [a; b].

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Page 2: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Efectuando una traslación de ejes al origen 0 '(0; fc), las nuevas ecuaciones de las

curvas y = f(x ), y = g(x ) y de las rectas x = a y x = b son,

respectivamente, yx = f(x ) — k , yx — g(x) - k , x = a y x = b (por las

fórmulas de traslación y1 = y — k A xx — x). Por lo tanto, en el nuevo sistema

cartesiano x10 'y1 se verifica

0 < g(x) — k < f(x ) - k , V x e [a; b]

Luego, teniendo en cuenta la fórmula del caso I, se tiene

A(ü) = í (f(x ) - k)dx - Ja

A (12) =

Observación 1. Si la región R está limitada por las gráficas de x = /(y ),

x = g (y), las rectas y = a A y = b (Fig. 4.3), donde f y g son funciones

continuas en [a; b] y g(y) < f(y), V y E [a; b], entonces el área de la región R

es

[f(y) - g (y )]d y ]u2A(R)

f íf(x ) - g(x)\ dx

((g(x) - k)dx

Yi

S« = 6

x =g(yr0 I l Xy V< =f(y)

II

Ejemplo 1. Calcule el área de la región limitada por

71

y = sen x , x = 0 , x = 2 ’ y ~ ®

Solución

De la definición dada en el caso 1 y de la figura 4.4, se obtiene

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

I (i mplo 2. Calcule el área de la región S limitada por

2\x¡y , el eje x y las rectas x = —2 y x = \

1 + x2

Solución

l’ur la definición de valor absoluto, se tiene que

r- x , x < 0

be, . x > 0

Am, por la fórmula dada en el caso I y la figura 4.5, resulta

-1 2|x| ,

1*1 = {;

x r o = [ j

f° 2x f 1 2x= - --- r dx + --- Tdx

J-2 1+X2 J0 1 + X2

= -[ln(x2 + 1)]°2 + [ln(x2 + 1)]q = ln 5 + ln 2 = (ln 10)u2

r.jemplo 3. Calcule el área de la región limitada por la parábola y = x2 + 4x, el

eje x y las rectas x = —2 A x = 2.

Solución

( »bservando la gráfica de la región (Fig. 4.6), se tiene que para f(x ) = x2 + 4x se

minple

f ( x ) < 0, V x 6 [-2; 0] y f(x ) > 0, V x 6 [0; 2]

l’or tanto, el área de la región pedida se descompone en la suma de las áreas de las

regiones y R2, es decir,

A(R) = A (R J +A(R2)

f0 f 2 16 32= - l (x2 + 4x)dx + I (x2 + 4x)dx - — + — • = 16 u2

J-2 Jo J 3

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Page 3: Integral definida

Ejemplo 4. Halle el área de la región F limitada por las gráficas de

y - x2 , y = x3 , x = - l , x = 2

Solución

lin la gráfica de la región F (Fig. 4.7), se observa que

x3 < x2 , V x 6 [-1; 1] y x2 < x3 , V x e [1; 2]

Luego,

r 1 r 2 , 8 17 25 _A(F) = J (x2 - x )dx + J (x3- x2)dx = — + — = — u

I»TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Ejemplo 5. Halle el área de la región limitada por las gráficas de

y = arcsen x , y = arccos x , y — 0

Solución

Las gráficas de las funciones y = arcsen x y y = arccos x están dadas en la Fig.

4.8. Ahora bien, por la definición de las inversas de estas funciones, resulta

x = sen y < x = eos y , V y 6 [0; -]

Por consiguiente, el área de la región pedida es

,-71/4

,4(12) = I (eosy - sen y)dy = (V2 - l ) u 2 Joliste ejemplo se puede resolver usando a x como variable independiente, esto es,

ri/2/2 r 1A(!l) = I arcsen x dx + f arccosxdx

Jo ■'\/2/2

lis evidente que en este caso el procedimiento es más complicado que el anterior,

por lo que recomendamos al lector escoger adecuadamente la variable

independiente antes de aplicar la fórmula del área.

170

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 6. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de

y = 4 - x2 , y = ln(2x - 3) , y = 1

Solución

I ;i gráfica de la región R se muestra en la fig. 4.9. Por comodidad consideramos a

como variable independiente, esto es, x = ^ 4 - y a xey + 3

-. Luego, se

obtiene

A (R )~S0 í S , ' í+ ) d¡ , ‘ey 3 2y + 2 y + 3 ( 4 - y )3''2

I jcmplo 7. Halle el área de la región R limitada por las gráficas de

y = |x3 - 4x2 + x + 6|, 3y + x2 = 0, x = 0 , x = 4

Solución

I ti gráfica de la región R se muestra en la fig. 4.10 y su área de la región es

A(R) - i " J o

¡x3 - 4x2 + x + 6| - ( I\dx

-dx= f |x3 - 4x2 + x + 6| dx + í Jo J 0

l'íii,i hallar la integral del valor absoluto, tenemos en cuenta que

|x3 - 4x2 + x + 6| = |(x + l)(x - 2)(x - 3)|

[x3 - 4x2 + x + 6 , 0 < x < 2

|x3 - 4x2 + x + 6| = •{ - (x3 - 4x2 + x + 6) , 2 < x < 3

5 - 4x2 + x + 6 , 3 < x < 4

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Page 4: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Luego,

r 4

/ = í \x3 — 4x2 + x + 6\dx 'o

= í (x3 - 4x2 + x + 6)dx - f (x3 - 4x2 + x + 6)dx + f (x3 - 4x2 + x + 6)dxJ 0 J 2 3

_ 22 7 47 _ 71

~ T + Í2 + 12 ~~6

Por tanto, el área de la región R es

2 ( r *

u 1 1

71 64 341A ( R )

4V2 64dx = -

Ejemplo 8. Halle el área de la región íí que se encuentra en el primer cuadrante y

está limitada por las curvas xy = 1, xy = 3 , x - xy = 1, x — xy = 3.

Solución

Se verifica fácilmente que las gráficas de las curvas se intersecan en los puntos

>1(2; 1/2) , 6(4; 1/4) , C(6; 1/2) y D(4; 3/4)

La gráfica de la región Q se muestra en la fig. 4.11. Finalmente, el área de la

región Q es

AW = ¿ (A ,) + /IC /y = j ' [(l - i ) - i] dx + j ‘ [ | - ( l - j )

= (2 — ln 4) + ^6 ln — 2 j =

dx

729 .

ln 256 U

172

Ejemplo 9. Halla el área de la región F, ubicada en el primer cuadrante y que está

limitada por las gráficas de y = xz , x2 = 4y , x + y = 6.

Solución

La región F se muestra en la Fig. 4.12. Los puntos de intersección de las curvas

en el primer cuadrante se hallan resolviendo simultáneamente los pares de

ecuaciones:

y = x2

y

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

_ 6 _ x <=> x = 6 - x<=>x2 + x - 6 = Q=*x = 2 (para el primer cuadrante)

y = x2/4

y = 6 — x

.uego, el área de la región F es

y = 6 - x <=> — - 6 - x x - 2y¡7 - 2 (para el primer cuadrante)

A(F) - A(Fi) + A(F2) = J (x z - ^ x 2^Jdx + j ^6 - x - ^ j d x

1 1 = 2 + - (28V7 - 68) = - (28a/7 - 62)u2

Ejemplo 10. La región F, limitada por la curva y = 10* - 5x2 y el eje x, es

dividida en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen. Halle la

ecuación de dicha recta.

Solución

I.a región F se muestra en la Fig. 4.13.

I,a pendiente de la recta L que pasa por

el origen y por el punto (a; 10a -

.r>a2) es

10a — 5a2m = --------= 10 - 5a.

a

Así, la ecuación de la recta L es

y = (10 - 5a)x.

Por otro lado, el área de la región F es

20Fig. 4.13

A(F) = I (10* — 5x2)dx —— u2 J o

A(F) 10Ahora, como F = F1 U F2,conA(F1) = A(F2), y A(Ft) - —— = — , entonces

í a 5 10M F i) = I [(10* - 5x2) - (10 - 5a)x]dx = - a 3 = — => a = V4 JQ 6 3

Por lo tanto, la ecuación de la recta L es y = (10 - S\Í4)x.

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Page 5: Integral definida

Ejemplo 11. Una parábola de eje vertical corta a la curva y = x3 + 2 en los

puntos (—1; 1) y (1; 3). Si se sabe que las curvas mencionadas encierran una

región de área 2u 2, halle la ecuación de la parábola.

Solución

Este problema tiene dos soluciones.

Primer caso: Cuando la parábola está por debajo de la curva y = x3 + 2.

Segundo caso: Cuando la parábola está por encima de la curva y = x3 + 2.

Primer caso: Sea (Fig. 4.14) la región limitada por la parábola buscada y la

parábola semicúbica y = x3 + 2.

Considerando que la ecuación general de una parábola de eje vertical es

y = Ax2. + Bx + C

y que los puntos (—1; 1) y (1; 3) pertenecen a dicha parábola, se tiene

1 = A - B + C ... (a)

3 = A + B + C ... (/?)

Como ^Cfi) = f (x3 + 2 - Ax2 - Bx - C)dx = 2 => A + 3C = 3 ... (y)J - i

Resolviendo (a) , (/?) y (y) se obtiene

B = 1, A = 3/2, C = 1/2

Luego, la ecuación de la parábola es 2y = 3x2 + 2x + 1.

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Segundo caso: Sea F-¿ U'ig- 4.15} ia región limitada por ia parabola buscada y la

parábola semicúbica y = x3 + 2.

Como A(F2) = j (Ax2 + Bx + C - x3 - 2)dx = 2 => A + 3C = 9 ... (A)

Resolviendo (a), (/?) y (A) se obtiene que la ecuación de la parábola es

2y = 7 + 2x - 3x2.

174

Kjcinplo 12. Calcule, si existe, ei área de la región infinita comprendida entre ia

nirva (2a - x )y2 = x3, (a > 0) y su asíntota vertical.

Solución

I a asíntota vertical de la curva es x = 2a. En la fig. 4.16 se muestra la gráfica de

la región infinita Q. Luego,

r2a x3 r c x2A(íl) = 2 j ---- ux = 2 lim I _______ - dx

Jo si2 a - x t-2a- J0 ^2 ax - x2

C x2= 2 lim I ....... iir

t_>2a Jo y]a2 - (x - a)2

I laciendo u = x — a se obtiene

4(/2) = 2 lim a2 [^aresen f-— -) - (x + 3a)Jx (2a - x)lt-2 a~ L2 V a 2a2 v J0

= 2 «¿‘12- “ 2 [ i arcse" ¿ (t + 3“ )V « 2 a - t ) +

= 2“2(t +t ) = (3,i“2)“2

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

l.jemplo 13. Dada la región infinita í í limitada superiormente por xy = 1,

inferiormente por yx2 + y - x - 0 y a la izquierda por x = 1; calcule su área si existe. ’

Solución

La región Í2 se muestra en la figura 4.17 y su área requerida es

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I) Sombree la región Í2 limitada por las curvas dadas y calcule su área.

71 TZ 3 21 . y = eos x , x = - — , x = — , y - 0. k .

222. y = x2 + 2x - 3 , x = - 2 , x = 0, y = 0. R. — u 2

64 .

3. y = 9 - x2 , y = x2 + 1. R-

4 . y = y = 0 , * = - 1 , * = 2 . « . ( l + ; - a r c t a n 2 + j l n g ) u !

8 ,5. y = 3 x - x 2, y = x2 - x. R: 3 U

2 / I 2 \ 26. * = 0 , y = tan x , y = -cosx. R. ^3 _ l n ^ | J u

5 ,7. y = x3 + x , x = 0 , y = 2 , y = 0. R- 4 U

8. y = ln(x2) , y = ln 4 , x = e. R. (4 - e ln 4)u2

9. x = ey, x = 0, y = 0 , y = ln4. R- 3u2

3x 1 4*\ 210. y = arctanx , y = arccos — , y = 0. K. “ 2 3/ U

1 1 . y = aresenx, y = arccosx, x = 1 . R■

3712. y = x3 - 3x 2 + 2x + 2 , y = 2x 2 - 4x + 2. R. — u 2

13. y = 4 - ln(x + 1), y = ln(x + 1) , x = 0. R. 2(c2 - 3)u2

14. í í es la región encerrada por la elipse a2x2 + b2x2 = a2bz. R■ rcab

15. í l es la región de mayor área encerrada por las curvas x2 — 2y 3 = 0 ,

x2 - 8y = 0 , y = 3. R■ (_5_ + 5 ^ ) u2

16. í í es la región de menor área limitada por las curvas x2 + y 2 = 20 ,

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

EJERCICIOS

í 2 ü \ 2y 1 = 2x3. R- ^20 aresen — - - Ju

176

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

17. í í es la región de mayor área encerrada por las gráficas de 5x2 - 4y = 0 y

la elipse cuyos focos son los puntos (0, ±6) y cuya longitud de su eje menor

es R■ ( 9V5 n — 9V5 aresen —— ' ^ ^ u 2V V3 2 J

18. y 2 ~ x = 0 , y - x 3 = 0 , x + y - 2 = 0.

( 4 x - x 2 f x2 + 8x — 40

19‘ y = 4 ' . y = --- 16--- R.17u>x < 0 v—3x — 16, x < —4

20. y (x 2 + 4) = 4(2 - x) , y = 0 , x = 0. /?. ^ _ in 4^

21. y = x3+x — 4 , y = x , y = 8 — x.

22. y = ex , y = e~x , x = 1 . r Í £ _ I Í 2 ! u 2e

23. y — 2x + 2 ,x = yz + l , x = 0 ,y = 0 l x = 2. R. ( is + í v ^ z

24. y = | x - 2 |, y + x 2 = 0 , x = 1 , x = 3. R — u 2' 6

25. y = / x 2 - 3, y = |x — 1|, y = 0. /?. ( § ln 3 —j ) « 2

26. y = |sen x| con x e [0; 2tt] , y + x = 0 , x - 2n = 0. R. (4 + l n 2)u2

x2 — 42 1 y = ^ r _ l 6 >x = - * ' x = i , y = 0.

28. y = aresen x , y = arccos x , x = 0. R. (2 - V2)u2

29. y = aresen x , y = arccosx, y = 0. r . (-y/2 _ ^ „ 2

30. y = x3 + 3x2 -f 2 , y = x3 + 6x 2 - 25. r . 108 u 2

31. y = x2, y = 8 — x2 , y = 4x + 12. R. 6 4 u 2

32. y = x2 , 2y = x2 , y = 2x. R. 4 u 2

<3. y + x = 0 , y = [ / ( t ) d t , donde/(í) = í 3f21 f < 2 .Jo l—2t — 1 , t.> 2

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

n 3V3-7T 2

.2

2

34. y = tan2x , y = 0 , x = — , x = 0. R- ^ g l u

35. x2y = 2 , x + y = 4 , x = 1, x - 2. K. (9/4) u 2

36. y = x4 , y = 8x. R- (79/5) u

37. y = x3 — x , y = senfax). . (~ + 2) U

38. x = 4y — y 2 , x + 2y = 5. R- (32/3) u 2

39. y = sec2x , y = tan2x , x = 0.

40- y = T T F ' 2y = * 2' R' \ 2 ~ í)u

41. x2/3 + y 2/3 = a2/3. K- (3na2/ 8 ) u 2

8a3 / 7 4flZ\ 7

42. ** = 4ay , y = ^ ^ ¡ - R ( 2a * “ t J ’'

43. y = |20x + x2 - x3|, y = 0. K- (2321/12) u 2

44# x = y3 — 2y2 — 5y + 6 , x = 2y2 + 5y — y 3 — 6. R. (253/6) u

V3 n / I V345. y = arcsen 2x , x = — .

4

2

2

2

R. x — r*7r u

2

,2

,2

46. y = x e 8 2 *2, y = x. /?. u

47 y = ^ T 4 ' y = 0 , * = 0 ' x = 4'

48. y = x3e8-2*2, y = 4x .

49. y = |x - 1|, y = x2 - 2x , x = 0 , x = 2. K. (7/3) u

50. y - M x + l - M x - l , x = - 1 , x = 1. R.3V2.U2

51. (x + y)2 = 16x, 5x + y = 8. fí. 18u2

52. y = |x-2|-|x —6|, x - y = 4. K .8u 2

53. y = |x-5|-|x + 3|, x + y - 2 = 0. R. 34u2

54. y = sen x + |cosx|, x = - n , x - n , y = 0. R. 4

178

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

^2X

■>J' y ~ (4 - x2)3/2’ * = °< * = i. y = o. /?.

56. y = 60(xs - x4 + x3), y = -2x, x2 = 1. R . 52u 2

57. y = x + sen x, y = x, x = 0, x = -. R . 2 ~ ^ u 26 ’ 2

58. 8x = 2y3 + y 2 - 2y, 8x = y 3, y 2 + y - 2 = 0. R. — u 296

59. x + y - y 3 = 0 , x - y + y 2 = 0. r . ^ Z u 2

60. y = c sen (-) ln (sen , x = 0 , x = an. R. 2ac(l - ln 2)u2

61. y 3(x - 2)2 = 1, y = 0, x = 1, x = 10. R . 9u2

62. y (x2 + 4) = 8 , 3x2 - 4y - 8 = 0. R . 2(7r + 2)u 2

63. Í2 es un arco de la cicloide cuya ecuación paramétrica es

x &(t sen £), y = cz(l — eos £). R , 3tzci2f 2n

Sugerencia: 4(.fi) = y dx.

64. í í es la región limitada por el astroide x = a eos3t , y = a sen3t.

3

/? . - 7 T U 28

65. Q es la figura comprendida entre la hipérbola x2 - y 2 = 9 , el eje x y el

diámetro de la hipérbola que pasa por (5; 4). R. 9 ln3

21 x I66. fí es la región limitada por la gráfica de / (* ) = ---- - , el eje x y las dos

1 -f* Xrectas verticales correspondientes a las abscisas de los puntos máximos absolutos. r (],, 4 ^2

67. ¿1 es la región limitada por la gráfica de /(x ) = 2x4 - x2 , el eje x y las dos

rectas verticales que pasan por los puntos mínimos relativos.

R. (7/120) u 2

í>0. es la región encerrada por y 2 = x2 - x4. R. (4/3) u 2

í>9. Q. está limitada por un lazo de la curva a2y4 = x4(a2 - x2).

n 4íj2 ?R. — u2

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Page 8: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

70. £2 está encerrada por un lazo de la curva 16a4y2 = b2x (a —2cu).n h

R. - u 2ab

30

71. Q está encerrada por el lazo de la curva (x2 + y 2)3 = 4a2x y

72 Q está encerrada por la lemniscata (x2 + y2)2 a (x V )■R. a2 u 2

73. SI está acotada por y (4 + x2) = 5 y el semicírculo superior de ^

at2 + y2 — 2y = 0. S. (2 - 5 a rc ta n - + 5 ) u 2

74 Q está encerrada por la elipse (de eje oblicuo) (y - x + 3) - 4 - x .

R. 4n u 2

7 5 . y = 9 - x2 , y = ln(x - 2 ) , y = 2 .

II En cada uno de los siguientes ejercicios grafique la región ilimitada SI y halle

su área (si existe), si se sabe que Q está comprendida entre las graficas de.

n 2

1. y = sechx y su asíntota. R■ 2 U

2 y = y s u a s ín to t a . R . 16tt u 2

x2 + 16

3 (4 - x 2)y2 = x4 y s u s asíntotas verticales. R- 2n u 2

4 y = arctan x , 2 y = n , x — 0 .

?r 2

5. y = sech_1x y su asíntota vertical. R■ ~ u

R. no existe

n

2W 41x1 R. 3ttu 2

6' y ~ 1 + x4 ' y 1 + x 4 '

III Determine m de manera que la región que está por encima de y mx y

debajo de la parábola y = 2x - x2 tenga área igual a 36u . K. m -

IV I I área de la región comprendida entre la parábola y = 12* - 6x2 y el eje

x es dividido en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen.

1 lullc la ecuación de dicha recta. R. y ~ 6(2 - V4)x

V La hipérbola equilátera x2 - y2 = 8 divide en 3 regiones a la

circunferencia x2 + y 2 = 16 . Halle el área de cada una de las regiones.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

4.2 VOLUMEN DE UN SOLIDO EN FUNCIÓN DE LAS ÁREAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES

Sea S un sólido limitado en el espacio. Bajo ciertas condiciones es posible hallar

el volumen de este sólido. Por ejemplo, sea Sx una sección plana del sólido S

obtenido al cortar el sólido con un plano perpendicular al eje x en el punto de

abscisa x (Fig. 4.18) y supongamos que existe un intervalo [a; b] tal que

- uxe[a:b]

Si >5(5X) es la función área de la sección plana (llamada sección transversal de S)

y es continua, V x e [a; b], entonces el volumen del sólido 5 está dado por

K S ) = í A(Sx)dxJ n

Fig. 4.19

Kjemplo 14. La base de un sólido es la región limitada por la elipse

b2x2 + a2y 2 - a2b2 .

I lalle el volumen del sólido S si las secciones transversales perpendiculares al eje

x son:

a) Triángulos rectángulos isósceles, cada uno con hipotenusa sobre el plano xy.

b) Cuadrados. c) Triángulos de altura 2.

Solución

a) La gráfica de la sección transversal del sólido se muestra en la Fig. 4.19. El

sólido es la unión de los Sx, x 6 [—a; a], donde Sx es un triángulo rectángulo

isósceles de área

MSX) = \bh = \{2 y)h = ^ ( 2y)y = y2 = ^

Luego,

rO h2V

(a2 - x2)

f a b (4 \

= l a- ^ 2 - ^ dx = { r b2) u3

18! www.FreeLibros.com

Page 9: Integral definida

h) Si las secciones transversales son cuadrados (Fig. 4.20), el sólido queda

descrito como la unión de los Sx, x e [-a; a], tal que Sx es un cuadrado e

lado 2y = — y¡a2 - x2 . Luego, el área de la sección Sx es

A(Sx) = (2y)2 = 4y2 = ^ ( a 2 ~ x 2)

Por tanto, el volumen del sóiido es

V = í 4 ^ - (a2 - xz)dx = ab2) u 3 J-a a

c) Si las secciones transversales son triángulos de altura 2 (Fig. 4.21), eí solido es

la unión de los Sx, x 6 [-a; a], tal que S* es el triángulo de altura 2 y base

2 y = — J a 2 - x 2 . Así, el área déla sección plana es a

1 2b r—--- rA{Sx) = -(2y)2 = 2 y ^ — J a } - x 2

Por tanto, el volumen del sólido resulta

/-fl U ________V = — y/a2 - x2 dx = (nab)u3

La a

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

l'icmnlo 15 Una recta se mueve paralelamente al plano yz cortando a las dos

elipses b2x2 + a2y 2 = a2b2 A c2* 2 + a V - a2c2, que se encuentran en los

pimíos xy y xz respectivamente. Calcule el volumen del cuerpo asi engendrado.

Solución

Kn este sólido, la sección Sx es un rombo (Fig. 4.22) cuyas diagonales son

2y A 2z. Luego, el área de la sección plana es

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

¡j ---------------- £ ............ ■„ ,(lomo y = —y/a2 — x2 A z “ —J a 2 — x2,

a a

entonces el volumen del sólido es

[a be V = I 2 ~ (a2 - x2)dx

J-a ^

= (§a i,c )u »

EJERCICIOS

1. La base de un sólido es un círculo de radio r. Todas las secciones transversales

del sólido, perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados.

Determine el volumen del sólido.

R. (16r3/3) u3

2. Un sólido tiene por base un círculo de radio 1 y sus intersecciones con planos

perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos rectángulos

isósceles cuyas hipotenusas son las respectivas cuerdas de los círculos.

Determine el volumen del sólido.

R. (4/3) u 3

V Halle el volumen del sólido S que es la parte común a dos cilindros circulares

rectos de radio r, suponiendo que sus ejes se cortan perpendicularmente.

R. (16r3/3 )u3

4. La base de un sólido es una elipse cuyos ejes miden 20 y 10 unidades. La

intersección de este sólido con un plano perpendicular al eje mayor de la

elipse es un cuadrado. Calcule el volumen del sólido.

R. (4000/3) ií3

5. Halle el volumen de un sólido S cuya base es un círculo de radio 3 y cuyas

secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo son triángulos equiláteros.

R. 36v Í u 3

(>. La base de un sólido es la región entre las parábolas x = y 2 y x = 3 — 2y 2.

Halle el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al

eje x son cuadrados.

R. 6 u3

183 www.FreeLibros.com

Page 10: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

/ 1 ;i base de un sólido es la región entre las parábolas y = x2 A y - 3 — 2x2.

Halle el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares al

eje y son triángulos rectángulos isósceles, cada uno de ellos con la hipotenusa

sobre el plano xy.

R .(3 /2 )u 3

8. El punto de intersección de las diagonales de un cuadrado (de lado variable) se

desplaza a lo largo del diámetro (fijo) de una circunferencia de radio 3. El

plano del cuadrado permanece siempre perpendicular al plano de la

circunferencia, mientras que dos vértices opuestos del cuadrado se desplazan

por la circunferencia. Halle el volumen del cuerpo así engendrado.

R. 72u 3

9. Un cilindro circular recto de radio r es cortado por un plano que pasa por un

diámetro de la base bajo un ángulo a respecto al plano de la base. Halle el

volumen de la parte separada.

R. (2r3tan a/3 ) u 3

10. El triángulo cuyos vértices son 0(0; 0), A(a; b) y B(0; b) gira alrededor del

eje y. Halle el volumen del cono obtenido.

R. (na2b/3 )u3

11. La base de un sólido es un círculo de radio 3. Todo plano perpendicular a un

diámetro dado interseca al sólido en un cuadrado que tiene un lado en la base

del sólido. Calcule el volumen del sólido.

R. 144 u 3

12. La base de un sólido es la región limitada por y = 1 — x2 , y - 1 - x4 .

Las secciones transversales del sólido determinadas por planos

perpendiculares al eje x son cuadrados. Encuentre el volumen del sólido.

13. En un sólido las secciones transversales perpendiculares al eje y son círculos

cuyos diámetros se extienden entre la curva x = J y y la recta x — y.

Calcule su volumen.

R. (ti/120) u 3

14. La base de un sólido es un círculo limitado por x2 + y 2 — 25 y las

secciones transversales perpendiculares al eje y son triángulos equiláteros.

Calcule su volumen.

15. Un cilindro recto cuya base es una elipse está cortado por un plano inclinado

que pasa por el eje menor de la elipse. Calcule el volumen del cuerpo

engendrado, sabiendo que la longitud del eje menor de la elipse es 8 y la

longitud del semieje mayor es 10.

plana'urededor^e u n a í c t ^ r0tar una regió"

llama eje de revolución. P 6 '3 regloa La recta fiJa se

4.3.1 METODO DEL DISCO CIRCULAR Y DEL ANILLO CIRCULAR

4 24)eobM iia d T S X = a y , x = b- <Fie- -1.23). La sección transversal

S ° x ,ue r rd ' r S “ 10" ” 'id° 5 plano P 'T ^ u l a r• i r , Por x e W>b] es un circulo de radio i vi = Iffr'U m «*

circular). El area de esta sección es 1/ M I (disco

A (S X) — n y 2 = 7r[/(x)]2 , x 6 [a;¿]

I -uego, por el método de las secciones transversales, el volumen de 5 es

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

4.3 VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN

Observación 2. Sea S el sólido de

involución obtenido por ¡a rotación en

lomo al eje y de la región plana R limitada

,a cuna x ~ g(y ) (g continua en el rvah [c-d]), el eje y y ¡as rectas

v - c A y - d (Fig. 4.25).

/ monees el volumen del sólido es

V = [g(y)l2dy'ju3

Fig. 4.24

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Page 11: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Observación 3. Sean f ,g\[a-,b] R funciones continuas cuyas gráficas se

encuentran a un mismo lado del eje x, y además \g(x)\ < ]/(x)|, V x G [a; ó].

Sea S el sólido de revolución que se obtiene por la rotación en torno al eje x de la

región ü acotada por las curvas y = f(x ), y = g(x) y ¡as rectas verticales

x — a , x = b (en la fig. 4.26, solamente se muestra el caso 0 < g(x) < f(x )).

Como la sección transversal Sx obtenida por la intersección de S con un plano

perpendicular al eje x que pasa por x G [a; b] es un anillo circular (Fig. 4.27),

entonces el área del anillo circular es

¿(S*) = rc{[f(x)]2 - [g(x)]2} , x G [a; b]

Luego, el volumen del sólido de revolución S resulta

[g(x)¡2]dx u

revolución es

- a v- r ¿)dx u

donde R es el radio mayor del anillo circular y r es el radio menor (fig. 4.26). Si

r = 0, la fórmula es la que se obtiene por el método del disco circular.

Observación 4. Sean f ,g: [a; ¿j -> IR funciones continuas cuyas gráficas se

encuentran en un mismo lado de la recta y = c y \g(x) — c| < |f(x ) — c|,

V x C |a; b]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar en torno

a ¡a reda y = c la región Q ¡imitada por ¡as gráficas de y = f (x), y — g(x),

x a y x = b (Fig. 4.28).

/■'.monees el volumen del sólido S es

V J {|/ Cx) - c]2 - [g(x ) - c]2} dx j u 3

186

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Observación 5. Si la región Q limitada por las gráficas de x = /(y ) , x = g (y )

r las recias horizontales y = c , y = d gira alrededor de la recta vertical

x - k (Fig. 4.29), donde las gráficas de f, g están a un mismo lado del eje de

rotación y \g(y) - k\ < \f(y) - k\, V ye[c ;d] , Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es

v = (rc /c V ( y ) - k]2 - [g(y) - k ^d y ^ j u 3

Ejemplo 16. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación alrededor

del eje x de la región limitada por las gráficas de y = ex, x = 0, x = 1, y - 0.

Solución

l-a región se muestra en la figura 4.30. Aplicando el método del disco (R = ex), ■ se obtiene

V = n f (ex) 2 dx - n f e2x dx = ^ (e2 - 1 )u 3 J o J o 2

187 www.FreeLibros.com

Page 12: Integral definida

Ejemplo 17. La región limitada por las gráficas de y = arcsenx, y = 0 y

x ~ — 1 gira alrededor del eje y. Calcule el volumen del sólido engendrado.

Solución

Como el eje de rotación es el eje y, consideramos a y como variable

independiente. La región se muestra en la Fig. 4.31.

Como R = 1 y r = - sen y, entonces el volumen del sólido es

-o

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

r° f= n \ [R2 - r 2]dy = n \ (1 - sen2y)dy

J- ir /2 J - n / 2

= ny i i 0 7r2- + -sen(2y) = —- u 3 2 4 J-E 4

Ejemplo 18. La región limitada por las gráficas de y - x2, y - V* y x - 2

gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del sólido.

Solución

Las curvas y = x2 y y = V* se cortan en los puntos (0; 0) y (1; 1). En la

Fig. 4.32 se muestra la región entre ellas y la recta x = 2. En la primera región,

(0 < x < 1) una sección transversal es un anillo circular con radio menor r = x

y radio mayor R = Vx. En la segunda región (1 < x < 2), la sección transversal

es un anillo circular con radio menor r = yfx y radio mayor R = x2.

Por lo tanto, el volumen del sólido S es

V = n f'[ (V ? )2 - (x2) 2]dx + n ¡\ (x2)2 - (V i)2}dx J o h

n í (x - x4)dx + n fJo J í

3n 47n(x4 -x )dx = — +

10 10571 u

188

l'.jcmplo 19. La región limitada por la circunferencia (x + 2) 2 + (y >- 2) 2 = ]

j'.iiii aliededor de la recta x — 3. Calcule el volumen del sólido generado (toro de revolución).

Solución

I .a región se muestra en la fig. 4.33, donde

/(y ) = - 2 - V i - ( y - 2 )2 A g(y) = - 2 + / l - (y - 2)T

Así, el radio mayor R y el radio menor r son, respectivamente,

R = 3 - / (y ) = 5 + V i - (y - 2)2 y r = 3 - 5 (y) = 5 - v' l - (y - 2)2

I.uego, el volumen del sólido de revolución es

V = n (R2 - r 2)dy = n 2 0 /T : r ( y ^ 2 j I dy

= lOn [(y - 2)V i - (y - 2)2 + arcsen(y - 2)] = (10n:2)u 3

Ejemplo 20. La región limitada por la elipse b2x2 + a2y 2 = a 2bz con

0 < b < a gira alrededor de su eje mayor. Calcule el volumen del sólidogenerado.

Solución

Como la elipse es simétrica respecto al

eje mayor, podemos considerar que el

sólido es generado por la rotación de

la región sombreada en la fig. 4.34

alrededor de! eje x. Así, el radio de

giro del disco circular es

b i------R = y = - V a 2 - x2

a

Por consiguiente, el volumen del

sólido de revolución es

r a r a b2 /4 \V = n j R2d x = n J — (a2 - xz)dx = \^-ab2n J u 3

Ejemplo 21. La región infinita comprendida entre la curva x + xy2 - y = 0 y

su asíntota vertical gira alrededor de su asíntota vertical. Calcule, si existe, el volumen del sólido.

Solución

Al despejar x de la ecuación, obtenemos x = „ V , con lo cual la asíntota1 + y2

vertical de esta curva es x = 0 (eje y), pues y -> ±00 <=> x -> 0.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

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Page 13: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Considerando que la curva (Fig. 4.35) es simétrica con respecto al origen y el radio

de giro en el primer cuadrante es R = x =1 + y :

entonces el volumen del sólido

es

r + oo r+ o ° y 2 f

V = 2 n jo R2dy = 2n ^ _ d y = Z ^H m Jo, 0 ■'o ( i + y 2) 2

Haciendo y = tan 9, la integral resulta

V = 2n limt —* + 00 Í

= 2”,!¡!’»[5arnan(t)_2(rT^]71 3

= T U

Jo (1 + y 2) 2dy

Ejemplo 22. Determine el volumen del sólido de revolución generado al rotar

alrededor del eje x la región infinita comprendida entre la recta y = 0 y la curva

y = ^ 2 j3 'X ^ 1-

Solución

1.a resiión se muestra en la Fig. 4.36. Al aplicar el método del disco, se obtiene

r+“ / i \2 r+" _ !

‘' H . fe ® ) d x = n k

= K jim dx = » l im [ - 3 í- '3 ]; = * Hm ( - ¿ + 3)

= 3n u 3

190

APLICACIONES DE LA INTEGRAL.DEFINIDA

4.3.2 MÉTODO DE LA CORTEZA C ILINDRICA

1 f ' [a ;¿ ] a > 0 una función continua y no negativa y S el sólido dérevolución obtenido al hacer rotar en torno al eje y la región Í2 limitada por las ,unificas y = / (* ) , y = o, x = a A x = b (Fig. 4.38)

1:1 sólido S (Fig. 4.39) puede ser considerado como la unión de los cilindros C x G [a; b], es decir, *’

5 = U Cx

x e [ a : b ]

Como el área (lateral) de cada cilindro circular recto Cx está dado por

A(CX) = 2nx f(x ); x G [a,b]

se deduce que el volumen del sólido S es

V - f A(Cx)dx = 2n í x f(x )dx J a

Observación 6. Sean f ,g: [a; b] -> M

funciones continuas en [a ;b] (ales que

,<l(x) < f(x ), Vx e [a; b], y S el sólido de

revolución obtenido al hacer rotar alrededor

de la recta x = c , con c < a, la región Q

limitada por las curvas y = f(x ), y = g(x)

r las rectas x = a y x = b (Fig. 4.40).

i.ntonces el volumen del sólido S es

V 2n j (x - c) [f(x) - g(x)]dx \ u

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Page 14: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11

Observación 7. Sean f ,g\ [a; b] •-> E

funciones continuas en [a; b] tales que

g(x) < f[x), V x e [a,b], y S el sólido de

revolución obtenido al hacer girar alrededor

de la recta x = c, con c > b, la región Q

limitada por las gráficas de x = a , x = b ,

y = f(x ), y = g(x) (Fig. 4.41). El volumen

del sólido S es

K = ( 27tJ (c - x)[f(x) - g(x)]dx"ju3

Observación 8. Sea Q la región limitada

por las gráficas x = f (y ), X = g(y),

y ~ a A y — b (Fig. 4.42), donde f y g son

continuas en [a; b] tales que g(y) < f(y ),

Vy G [a,b], y S el sólido de revolución que

se obtiene a! hacer rotar la región Q

alrededor de la recta y — c, con c < a . El

volumen de S es

V = (^2n j (y - c)[/(y) - s (y )]dy j u 3

Observación 9. Sea Q la región limitada por

las gráficas de x = g (y), x = f(y ), y = a

A y — b (Fig. 4.43), donde f y g son

continuas en [a; fa] tales que g(y) < f(y ),

V y 6 [a; b], y S el sólido de revolución que

se obtiene al hacer rotar la región Q

alrededor de la recta y = c, con b < c. El

volumen del sólido S es

V = v j (c - y )[ f (y ) - g (y )]d y ju 3Fig. 4.43

l'.jemplo 23. Encuentre el volumen del sólido engendrado al girar sobre el cíe y

l:i región limitada por la curva y = (x - 2)\ el eje x y la recta x ~ 3.

Solución

1.a región se muestra en la figura 4.44. Aplicando el método de la corteza leñemos

V = ZU i X dX = ¿Tl\2 X(<X ~ 2)3dx

= 2n\ (x4 - 6x3 + 12x2 - 8x)dx h

147r= w

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 24. Halle el volumen del sólido generado por la rotación de la región

limitada por las gráficas de x + y 2 + 3 y - 6 = 0 , x + y - 3 = 0 alrededor de la recta y = 3.

Solución

l a región se muestra en la figura 4.45. Como el eje de revolución es horizontal, el volumen del sólido es

V = 2tt f (3 - y )[(6 - 3y - y 2) - (3 - y)]dyJ -3

= 2tt- í (y3 - y 2 - 9y + 9)dyJ _ 3

256tt ,= —^— Uá

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Page 15: Integral definida

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Ejemplo 25. Calcule el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar

alrededor de la recta x = 1 la región limitada por las gráficas de

y = | x 2 — 2x — 3| ,y + l = 0 ,x — l = 0 ,x — 4 = 0

Solución

La región se muestra en la figura 4.46. Al aplicar el método de la corteza

cilindrica, el volumen del sólido es

V = 2n J (x - l)[|x2 - 2x - 3| + \]dx

Usando la figura 4.46 y la definición de valor absoluto, se tiene

¡xz - 2x - 3| = |0 - 3 )0 + 1)| = {- (* 2 ~ 2x ~ 3 ) ' 1 “ * < 3

De aquí resulta

V

2x - 3 , 3 < x < 4

= 27r | j O _ 1)[(3 + 2x - x2) + í]dx + J (x - 1)[0 Z _ 2.x - 3) + 1] dx

= 2n (-4 + 2x + 3x2 - x3) dx + J O 3 - 3x2 + 2)dx

( 35n\ 59 ,=2n 6+T ) = y ™ 3

Ejemplo 26. Calcule el volumen del sólido que se obtiene al rotar alrededor de

la recta y = 3 la región Í1 = {O; y) 6 M2 / O < x < cosh-10 ) - O < y < 2}.

Solución

La región £2 se muestra en la Fig. 4.47. Esta región está limitada por x = coshy,

x - O, y O A y = 2. Como el eje de giro es la recta horizontal y = 3,

entonces el volumen del sólido de revolución es

V = 2n í (3 - y)(cosh y)dy = 27r[senh(2) + cosh(2) - l]u3 J o

194

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 27. La región infinita comprendida entre la gráfica de xy2 = (3a — x)

(a > 0) y su asíntota vertical x = O gira alrededor del eje y. Calcule el volumen

del sólido generado.

Solución

Con la ayuda de la región que se muestra en la figura 4.48, el volumen del sólido

pedido es

\V = 2

3a —x \ f 3a 3a - xdx I = 47t hm J x |----- dx

x

= 4nr 3 a ________ r

lim I J3ax — x2 dx = 4n lim t o+ Jt t-> o+ Jt

3a í9a2 3a

\ r r - (x~ Y y‘ dx

= 4n lim -t->o+ 2

9azn2 ,

/ 3a\ i— --- - 9a2 /2x - 3av[x - y j V3ax - x2 + — aresen [— — J

3 a

EJERCICIOS

l-n los siguientes ejercicios, calcule el volumen del sólido generado por la

rotación de la región Q alrededor de la recta L, donde

1. L ■ eje x ; 12 : y = x2 , y = 4x. (*)

(*) Entiéndase Q limitado por las gráficas de y = x2 A y = 4x.

2. L ■■ y = O ; fl ■■ y = (x — l ) 3 ,x = — l , x = 0 , y = 0. R.

3. L ■■ y = O ; ü : x3 - 5x2 + 8x - 4 , y = 0. R.

3 17T

Tóo 1

n

Tor.'

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Page 16: Integral definida

TOPICOS L)U CÁLCULO-VOLUMEN II

4. L.y — 0; Í2: x2 + (y — 3)2 = 1 R. 6n2u 3

5. L: eje x ; íl: x2 + y 2 - 2by + b2 - c2 - 0 (b > c > 0) R. (2n2bc2)u3

senx n 2 /3\6. L:e je x ; í l:y - ------- ,x = - ,x = - n R. l n l- lu

1 - cosx 2 3 /

71 / V2\7. L : e j ex ; /2:)' = e* sen (e * ),x = 0 ,x = l n — R. I c o s l — 2~ )u

128V2tt ,8. L:y = 4 ; íl: y 2 — 4(2 — x),x = 0 R. -- --- u

n9. L: eje x ; í l:y - sen x ,y = 0 ,x = 0 ,x = —

10. L:x = 4; /2:x2 + y 2 = 1

11. L: x = —2 ; ß :y 2 = x ,y = x2

12. L: y = - 1 ; í l:y = arccosx, y = arcsenx, x = 1

13. L:x = 0 ; /2:y = Vx2 + 10 , x = 3 , x = 4

R.3

R. — u 34

R. 8nzu 3

49rr _R. ---u 3

30

R. y (26V26 - 19V l9)u3

n14. L:x = 0 ; í l:y = eos x , y = 0 , x = 0, x = -

15. L:y = 0; i2:y = x = l, x = 4, y = 0 R. 7r(ln4 + - )u

¡—--- / 2V2 - 116. ¿:y = 0 ; /2:y = 0, y = 2, x = 0, x = Vy + 4 /?. 16tt (■

V 3TV

17. L.y = - 1 ; Í2:y = arcsenx, y = 0, x = —

18. L: y = —1; Í2:y = Vx2 - 3 , y = x - 1, y = 0

1 Í7T ,19. L:x = 0; /2:y = -- -t-jt , x = 0, x = y = 0 fí. rru3

cos(x2) \4

1671 ^20. L: x = 0 ; íl: y = x3 + x, x = 1, x = 0 R. -y r- u

21. L:x = 1; /2:y = |x2 - 2x - 3|, y + 1 = 0, x = 2, x = 4

45 ,22. L.y = 0; í l:y = x + 2, y 2 - 3y = 2x R . — n u 3

23. ¿:e jey ; Í2:y = |senx|, 2x = n , 2x = 37r ,y = 0

196

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

24. L.y = 0 ; í¡:y = V4 - x 2 , y = 1, x = 0, x = V3 R. 2n\Í3u^

25. L:y = 0; Í3:x + y - 1, Vx + ^/y = 1 R. ^ - ír u 3

.'6. L: x — — 1; Í2: x = 0, y = 2, y = V*

.27. L: y

;2H. L:X = 0 ;/3 :y = 2 + senx, y = x, x = 0, x = —

2337T U 329. L.x = 0 ; í l:y = x5, x = -1, x = -2, y = -1 R. —

7

30. L.x — 0 - íl: a2y 2 — b2x2 — a2b2, |x| = a R. 4?ra — 12

31. L.x — 4;. í l:y = (x - l ) 2, y = x + 1

32. L:y = 0 ; i2: (xz + y 2)2 = 4(x2 - y 2) R. 2tt|V2 ln (l + V2) -

33. L.x = 0r; J2 :y = 3x2, y = 4 - 6x2 R. — u 39

2834. L:x = 0 ; í l :x 2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4 (Í2: corona) R . — n u 3

i¿3

3o r /*

35. L.x = 0 ; /2:x - y 2, x = 8 - y 2 R. ---7ru3

36. L.y = —4; fí;2x + 3y = 0, 4x2 + 9y 2 = 36

37. L:y — 0: íl: x4 + y 4 = 4x^ . R. y j r u 3

38. L:x — —2 ; /2: )x|3 - y + 1 = 0, x + 1 - 0 , x - 2 = 0, y==0

39. L:x = 5 ; /2:y(l + x2) = 2, y = x2

40. L:y = 4 ; /2:y(l + a:z) = 2, y = x z

x2 y2 441. L:ejex; ß : — + — = l R. -ncib2u 3

a2 b2 32 2

42. ¿ :e jey ; íl: + = 1 R. ~ na2bu3a2 b2 3

n n43. L.y = - ; y = arctanx, x = 0, x = y = 0

¿ T1

44. L: x + 1 — 0 ; /2: y = arctan x, x = 0, 4x = n, y = 0

19?

00| N)

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Page 17: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

45. L\y = 2 ; íl-.y = ln x , y = 0, x = 0, y = 2

46. L:x = e3 ; i2:y = lnx , y = 0, x = 0, y = 2

47. L:x = - 2; ¿2:y = 0, y = 4 - x 2

48. L\y = 2 ; Í2: y = 0, x = 4, y = V*

128 «. —

40 ,/?. — nu

49. L\y = - 2 ; /2:y = Vx--^=, x = 1, X = 4, y = 0 K. tt(:ln4 + ■145\

y ) 1

7TSQ. L: y = —2 ; /2:x = y sen y, x = 0, y = g

COS X Tt Tt' 51. L: eje x ; ¿2: y = -7= = , y = 0, x = a, x = - con 0 < a <

VserTx

R . 7TV2 r-— - cos a + ln(V2 - 1) - ln(csc a - ept a) i r

52. L: y = 0 ; i2: y = (x + l)e*, x = 0, x = 1, y = 0

53. L:x = 0 ; í l:y = ex\ y = 0, x = 0, x = 1 R. n(e - l ) u 3

54. L\x = 7 ) ü :y = x e2x, x = l , x = 3, y = 0

55. L:y = - 1 ; fí:y = lnx , y = 0, x = e R. 7reu3

56. L: eje x ; Í2: x2y 2 + 16y2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4 R. n z u 3

/a V357. eje x ; /3: Triángulo equilátero con vértices (0; 0), (a; 0), I -; — a

?rafí.

4

58. L:x = -3 ; ü.\y = x5 + 8 , y = (x3 - 2)2, x = 0

59. l \eje y ; /2: es la región cerrada por el lazo de la curva (y2 - fe2)2 = a3x256 nb9 ,

315 a6

60. L’.e jex ; Í2 es la región encerrada por el lazo de la curva

yax(x - 3a)

2 - — ------ a > 0na

x - 4a

61. L: x = 4 ; /2: x2y 2 + 16y2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4

R. — (15 - 16 ln 2)u3

R. 32tt[1 - V2 + ln(17V2)]u3

62. L : e j e x ; f l es la región, en el primer cuadrante, acotada por:16 ¡— o

R. — V2truJ15

x 2(2 - x ), y = 0

198

3I —

n n

R■ — [(3 - V3)n - 3]u3

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

________ 2(»3. L: eje x ; H:y = e~xJcos (e~x) , x = ln- , x = ln-

V TT" -

625*>4. L:x = 1; /}: x2 - 4 = y, y = -3x R. ---nu

6<i.r>. L: eje y ; /2 es la región que se encuentra al lado derecho del eje y limitada

por x = 0 , (4 + x2)y2 = 4 - x2 R. 4n(n - 2)u3

(>6. A la curva ^/xy - 2x + 3y - 6 = 0, en el punto (3; 3) se trazan las rectas

tangente y normal. Calcule el volumen del sólido generado por la rotación

alrededor de la recta y = -3, de la región limitada por la tangente, la normal

10222normal trazada y el eje y. R. ----- n u3

49

(i7. A la parábola y 2 = 12x, en el punto de abscisa 6, se ha trazado una

tangente. Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x,

la región limitada por la tangente trazada, el eje x y la parábola.

R. 72nu3

(.8. L: eje x ; íl: y = xex, y = 0, x = 1 ' R. - (e 2 - l ) u 34

69. L: eje x , ü: es la región limitada por y = 0 y un arco de la cicloide

x = a ( t- sen t), y = a ( l - cos t) R. 5n2a2u3

70. L :e jey; fl es la región del problema 69 R. 6n3a3u 3

KCL371. L:x = an ; SI es la región del problema 69 R. --- (97r2 - 16)u3

672. L.y = 2a; ü es la región del problema 69 R. 7n2a3u 3

73. L: eje x ; fí es la región limitada por x = a cos3t , y = a sen3t.

74. Sea / : [0;+00) -» ffi una función continua tal que/(x ) > 0 , Vx > 1. Para

todo a > 1, el volumen del sólido generado por la rotación de la región

limitada por las gráficas de y = /(x ), x = 1 , x = a y el eje x, alrededor

del eje x es: V = 4- 2a2 - 0 u3. Determine /(x).

R. f(x ) = . Vx2 + 4xVtt

75. Sea / : [0; +00) -> K una función continua. Para todo a > 0, el volumen del

sólido generado por la rotación en torno al eje x de la región que se encuentra

entre la gráfica de y = / (x ) y el eje x, desde x = 0 hasta x = a con a > 0

es V = (a2 + a )u3 . Determine /(x).

3

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Page 18: Integral definida

1. La curva y 2 (2a — x) = x3 gira alrededor de su asíntota vertical. Halle el

volumen del sólido generado.

R. 2n2a3u 3

1 x2. Sea fl la región infinita comprendida entre las gráficas de y = - A y = p

y que se encuentra a la derecha de la recta x = 1. El eje de rotación es el eje

x. Calcule el volumen del sólido generado.

13. n es la región comprendida entre la curva y = -2 —^ y su asíntota y el eje

de rotación es el eje x. Calcule el volumen del sólido generado.

7T2 „R. Y u>

C _4 t4. fí es la región comprendida entre la curva y = J — --------dt {x e IR) y

su asíntota y el eje de rotación es su asíntota.3

16'

5. £2 es la región comprendida entre la curva xy2 = 4a2(2a — x) y su asíntota,

y el eje de revolución es su asíntota. Halle el volumen del sólido generado.

R. An2a? u 3

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

En los siguientes ejercicios, Q. es una región infinita.

6. fl es la región comprendida entre la curva y2 = — — - y su asíntota x = 2a

y el eje de revolución es x = 2a. Calcule el volumen del sólido engendrado.

R. 2n2a3 u 3

7. fi es la región comprendida entre la curva

rsen xx > 0

y = \ x(o , x = 0

y su asíntota, y el eje de revolución es el eje x. Calcule el volumen del sólido

generado sabiendoi que IJ 0

dx = ~.

71 , R. — u 3

2

200

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

i. i LONGITUD DE ARCO

Se,; / : [a;b] -> R una función con derivada continua en [a-,b] y

/’ - {x0,x1 , ...,xn) una partición de [a; 6], Esta partición define una poligonal

constituida por los segmentos rectilíneos desde hasta

<M*¿;/(*¡)),para i = 1,2, ... , n (Fig. 4.49).

n n

L{p) = = Z V(^¡ - ^ - i)2 + (fix 'd-¿=1 ¿=i

i 'I numero ¿ - ¡|{i|mo L(P), si existe, se llama longitud de arco de la curva

y = f{x ) desde el punto (a ;/ (a )) hasta el punto (£>;/(/>)). Demostraremosque en este caso el número L siempre existe.

Como / es derivable y continua en [xt_ i ; xt] , i = 1,2..... n, por el teorema deLagrange o del Valor Medio, 3 t ¡ 6 ( x ^ X t ) tal que

f (x¿) — /(x ¡_ i) = / (ti)(x¡ — Xi_x) , i = 1,2, . . . ,n

1 laciendo A¿x = x¿ — x , t = 1,2,..., n , tenemos

■A n= V ( A ¡ * ) 2 + [ / ' ( t j ) ] 2 . ( A , * ) 2 - V V i + [ / ' ( t ¿ ) ] 2

í=i fet

l’or tanto, la longitud de arco de la curva y = / ( * ) desde x = a hasta x = b es

n

¿ = i f c l O T A , , es decir¿ = 1

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Page 19: Integral definida

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

Observación 10. La longitud de la curva x = g(y) comprendida entre las rectas

y = c A y = d, donde g es una función con derivada continua en [c; d], es

1 = ( j ■/1 + ífj'(y)]-dyju = | J j l + 4Observación 11. Si la ecuación de la curva C viene dada en forma paramétrica

mediante un par de funciones con derivadas continuas, esto es,

C:£ : $ r

Entonces la longitud de la curva C desde t = a hasta t = fi es

L = ( f V tx 'W F + [y'(OP dt'Ju

Ejemplo 28. Halle la longitud de la curva

,------- (1 + Vsec2x + 1\ n ny = v sec2x + 1 - ln ----------- desde x = - hasta x = -' v \ secx J 4 3

Solución

Al aplicar las reglas de derivación y simplificando se obtiene

^ = tan x Vsec2x + 1 dx

Por lo tanto, con la fórmula de la longitud de arco resulta

L = f 1 + ® dx = f * [1 + tan2x(sec2x + l )]1' 2 dx4 / 4 4 VdxJ Jn/4

r n / 3

= I sec2x dx = [tan x\nJ ^ = (V3 - l)uJ-rr/4

Ejemplo 29 Encuentre la longitud de la curva cuya ecuación es 16

desde x = —2 hasta x = —1.

Solución

1 x4 dy x3 1Como y = — r + — , entonces — = —--- -. Luego, la longitud de arco es

J 2x2 16 dx A x3

l = £ 4 T 7 W ? = £ J ( £ + i ) ¡i- + 1

- Í T ( ^ ¿ )

dx

(x3 1 \ 21■ + — I dx = — u

202

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 30. Calcule 4a longitud total de la curva cuya ecuación es:

n n- < x < - 2 ~ 2

y - J ^ V c o s t d t , - ^ < x < ^

~2Solución

C r 7T 7TiComo f(x ) = J ^ Veost dt, Vx 6 entonces f ( x ) = Vcosx es

~2. r ^

continua en el intervalo - j . Por lo tanto,

2 5 ___________ £

Z. = J * V 1 + cosx dx = dx = V2 P cos(|) dx = 4 u

~2 ~2 ~2

Ejemplo 31. Halle el perímetro del triángulo curvilíneo limitado por el eje de las

abscisas y por las curvas cuyas ecuaciones son *

y = In(cosx), * e A y = ln (senx ), x e ( 0;;r)

Solución

Las gráficas de /(x ) = ln(cosx),x 6 y de g(x) = ln(senx), x e <0;tt)

se muestran en la figura 4.50. Las longitudes de los lados del triángulo curvilíneoson

n

¿1 = 2 “

[ n/* _______________ rn¡ 4

¿2 = 1 V 1 + t/'O O ]2 dx = | V i + tan2x dx = ln(V2 + l ) u•'o J o

í 71/2 /---------- f "72 /-------¿3 = j V 1 + l j ' ( x )]2 dx = V i + cot2x dx = ln(V2 + 1 )u

•'/r/ 4 ^tt/ 4

Por tanto, el perímetro del triángulo curvilíneo es P = + 2 ln(V2 + 1)] u

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Page 20: Integral definida

Ejemplo 32. Calcule la longitud de la parábola semicúbica 2y3 = x2,

comprendida dentro de la circunferencia x2 4- y 2 = 20.

Solución

La gráfica de la parábola semicúbica se muestra en la Fig. 4.51. Los puntos de

intersección de las dos curvas son (-4; 2) y (4; 2). Ahora, derivando

implícitamente la ecuación 2y 3 = x2 con respecto a y se tiene

dx 3 y 2 /dx\2 „ 9 y4 (y 3\ 9 y— = — => 1+ — ) = 1 + —5- = l + 9y. I — = 1 + — dy x Vdy/ x2 \x J 2

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Como la gráfica de la parábola semicúbica es simétrica con respecto al eje y,

entonces la longitud de arco comprendida dentro de la circunferencia es

= 2 f•'0

8l + ^ y d y = — (V1000 - 1)u

Ejemplo 33. La posición de una partícula en el instante t es

x ( t ) = 1 - eos t , y(t) = t - sen t

Halle el recorrido total entre t = 0 y t = l

Solución

El recorrido total de la partícula es

I fin cada uno de los ejercicios siguientes, determinar la longitud del arco de la curva descrita por

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

EJERCICIOS

, ,a + Va2 - x 2 i----------- ra ai/ ( * ) - a l n ( ----- ------ ) - V a 2 - x 2 ,x e [- ;-] R. ( a ln 3 )u

mx4 + 3

6xx 6 [1; 3]

/14\

'■ ( t ) “

L f(x ) = x 1' 2 - - X 3' 2 , x e [ 0 ; l]

'• / ( * ) = Ve2* - 1 - arcsec(e*) - 1 , x-e [0; 4]

r, = ~ + X € [2; SI

í). / O ) = ln ( -x ) , X e [-V 8 ; - V I ]

7- /(*) = -aresenx---y/l -x2,x e 0;-V3

4*. - u

R. (e4 - 1 )U

393

*■ -20-“

*• (l+jln|)u- ,

/ (x ) = - x jx 2 - 1 -^\n(x + y¡x2 - 1) , x e [3;5] R. 8u

<). x = ^ y s/3 ~ ^y 1/3,y e [0;1]27

/?. — U 20

R. - ( V í- 1 )u10. y = (9 - x 2/2)3!2 , * e [ l ;2 ]

11- y = -Xy¡3-X2 - f ^ a r c s e n ^ x j , * e [0; 1] /?. +

12. y=l-ln(cosx),*e[0;^] /?. ln(V2 + 1) u

13. y = arcsen(e *), x e [0; 1]

14. y = a cosh- , x S [0 -,b] a

y 2 i

* ~ ~4 2 lny ,y e [1;el

l(>. / ( x ) = ln (co th- ) , x e [ a ; b ] , a > 0

R. ln(e + V e2 - 1) u

/?. a senh u

R. ln(-e26- l .

e2a - 1■) + a - b

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Page 21: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

x3 1 5917. /(x ) = — + — ,x 6 [1; 2] R.

18. x = (a2/3 - y 2/3)3' 2 , y e [-a; a] R. 3a u

19. x = £ - 1 ,y = - t z , £ E [0; 1] R■ -[V2 + ln ( l + V2)]u

20. x =■ ec sen £, y = el eos £, t 6 [0; 7r] R. V2(e’r - 1 )u

21. x = [ y = i —— d t , desde el origen de coordenadas hasta elJ i t Ji £

npunto más próximo donde la tangente es vertical. R. ln — u

22. x = a (eos £ + £ sen £) , y = a(sen t - £ eos £), £ £ [0; a]

R. - a a 2u

II. En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de las curvas que se

indican.

1. La longitud total de la circunferencia x2 + y 2 = a2 R. 2na u

2. La longitud total del astroide x = a eos3£ , y = a sen3£ R. 6au

3. La longitud del arco de la rama derecha de la tractriz

x = J a 2 - y 2 + a ln|f a + J a 2 ~ y2'

y J

desde y = a hasta y = b con 0 < b < a. R. a ln ( - ) u

/X\2/3 /yv2/34. La longitud de la curva (-J + h-J = 1 en el primer cuadrante.

a2 + ab + b2------ ---- u

a + fe

5. La longitud total de la curva cuya ecuación es

4(xz + y 2) - a2 = 3a4/3y 2/3 fí- 6au

6. La longitud total de la curva 8yz = x2 - x* R. W 2 u

1. La longitud de la curva 9yz = 3x2 + x3 desde x = —3 hasta x = 0

R. 4V3t¿

206

II l a longitud de arco de la parábola semicúbica 5y3 = xz comprendida dentro134

de la circunferencia x2 + y2 = 6 R. — -u27

<< Calcule el perímetro de la región de menor área limitada por las gráficas

y2 - 2x3 A x2 + y 2 = 20

X2II). I,a longitud de la curva y = - - InVx , desde x = 2 hasta x = 3.

II. La longitud de la

uirva y = Vx - x2 + arcsenVx. R. 2u

I L a longitud total de la curva dada por (y - aresen x)2 = 1 - x2 R. 8u

2l.t. La longitud del arco de la curva y2 = -(x - l )3 comprendida dentro de la

xparábola y2 = —

14. La longitud del arco de la curva dada por x = (£2 - 2)sen £ + 2£ eos £ ,

7y = (2 - t 2) eos £ + 2£ sen £, desde £ = 0 hasta £ = n R'~¡fu

15. La longitud del arco de la curva y = ln (l - x2) desde x = 0 hasta x = 1/2

R. [- ¿+ In3 ]u

III. Los siguientes ejercicios tratan del movimiento de una partícula.

1. En el tiempo £, una partícula se encuentra en el punto

P(cos £ + £ sen £; sen £ - £ eos £)

Encuentre la distancia recorrida desde el instante £ = 1 hasta t = n

2. En el instante £, la posición de una partícula es

x = 1 + arctan £, y = 1 - ln -J1 + £2

Halle el recorrido desde el instante £ = 0 hasta £ = 1 R. ln (l + V2) u

APLICACIONES DELA INTEGRAL DEFINIDA

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Page 22: Integral definida

Sea / : [a, b] -> M una función no negativa, con derivada continua en [a; £>].

Haciendo girar la gráfica de / desde x = a hasta x = b , alrededor del eje x, se

obtiene una superficie de revolución (Fig. 4.52). El área de esta superficie de

revolución está dado por

i4(S) = (271 f / 0 ) V 1 + [ f(x )]2dx ]u2

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

4.5 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Observación 12. Si la curva se describe por la ecuación paramétrica

C:x = x(t), y = y(t), t e [a;/?]

donde x(t) y y(t) son funciones con derivadas continuas en [a; /? J, entonces el

área de la superficie generada al hacer girar la curva C alrededor del eje x es

A(S) = ( i n j P y(t)V[x'(OP + [ y 'W F ^ u2

Observación 13. Sea / : [a, b] -> M una función con derivada continua en [a; b]

tal que su gráfica está a un mismo lado de la recta y = c . Haciendo girar la

gráfica de f desde x = a hasta x = b alrededor de la recta y - c se obtiene

una superficie de revolución (Fig. 4.53) cuya área es

A(S) = (2 jt[ l/O ) “ clV l + [/'(X)]2 d x )u 2

208

.APLICACIONES DE’LA INTEGRAL DEFINIDA

Observación 14. Si la curva C se describe con la ecuación x = g(y), Vy 6

I": H donde g es una función con derivada continua en [a; b] y Ses la superficie

de revolución que se obtiene al hacer rotar la curva C alrededor de la recta

\ = c , (Fig. 4.54), entonces el área de la superficie S es

i4(5) = ^2trJ \g{y)-c\yjí + [g'(yW dy ^ ju 2 (*)

Si la ecuación de la curva C está dada en su forma paramétrica por

* = x(t), y = y ( t ) , V te [a ;(3 ]

donde las funciones x = x (t) , y = y ( t ) tienen derivadas continuas en [a;/?]

entonces la fórmula (*) se transforma en

A(S) = Í 2 n ( |ar(t) - c|VÍ*'(t)]2 + [y '(t)]2 d i ) u 2

Y

bk C

---------. c

Z '/ * n(y)

i

s

a - - J *x - \

.Y C

...... w ----►x

.Y - C

Fig. 4.54

Ejemplo 34. Halle el área de la superficie generada al hacer girar la gráfica de

/ O ) = V24 — 4x ,x £ [3; 6], alrededor del eje x.

Solución

—2(.orno / 'O ) - -7-. , el área de la superficie resultante es

V24 - 4x4

6

f ( x y i + [ f(x )]2dx

= 2n\ V24 - 4x 11 + — 4 dx h y] 24 - 4x

= 2n I V28 — 4x dx = ---u2h 3

l a gráfica de / O ) = V 24 - 4x se muestra en la figura 4.55.

i4(S) = 2n f J a

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Page 23: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Ejemplo 35. Halle el área de la superf

del eje y del arco de la curva y = a eos

Solución

Considerando que la curva (Fig. 4.5«

superficie generada es

A(S) - 2tt f /(y )V 1 + [/'(y•'O

/y\ dxdonde x = /(y ) = a cosh (-J y —

Luego,

A(S) = 2n J a cosh Jl-<

= 2n J a cosh2 dy

Ejemplo 36. Halle el área de la super

2x = yVy2 - 1 + ln¡y - J y z - l| ,

Solución

La ecuación paramétrica de la curva e:

.* (0 = ^[t%/t2- l + ln|t-

y(t) = t

de donde x '( t) = V t2 - 1 A y '(t)

Por tanto, el área de la superficie es

A( S) = í y ( t ) V t * ' ( 0 ] 2 + [ y ' ( t ) ] 2í h

YJic >

y

x = a cosh(—)a

'""A.C7i

f > r0a a cosh(l) x

Fig. 4.56

cié engendrada por la revolución alrededor

-'i desde x = a hasta x = a cosh (1) a '

>) gira alrededor del eje y, el área de la

)]2dy

= f '(y ) = senh0

-senh2(^)dy

na2 , „ ,= ---(2 + senh 2)u

2

ície cuando la curva

y e [2; 5], gira alrededor del eje x.

^ f2 ~ 1B , t 6 [2; 5]

= 1

'.t = 2n í t-J ( t2 - 1) + 1 dt = 78n u 2

210

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

I' limpio 37. Halle el área de la superficie generada por la revolución en torno al

I'lr y delarcodelacurva y =-[x2 - 2 lnx], *e[l;4].

Solución

I .i ecuación paramétrica de la curva es

(x(t) = t

y(0 = |[t2 - 2int] ’ 1 e [1;4]

1 1tic donde x'(t) = 1 , y '(t) = - (t - -)

I uego,

/1(S) = 2tt x(t)y/[x'(t)]2 + [y'(t)]2dt

= 2„ J t j l + i (t - 1)2 dt = 2* f ‘l (t + i ) * = 2 W

I jemplo 38. Calcule el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer

líirar la curva y = 2 - e* , desde x = 0 hasta x = 2 , alrededor de la rectaV - 2

Solución

I ,i gráfica de la curva se muestra en la

lisura 4.57.

Se tiene que

dy

luego, según la fórmula, el área de la

superficie es

¿(S) = 2tr f (2 - / C O y i + F w J d *“'O

= 2n í exyfí'+ (ex)2 dx“'O

= 7r |e2V l + e4 - V2 + + lne2 + Vi + e‘

1+V2

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Page 24: Integral definida

Ejemplo 39. Halle el área del elipsoide de revolución que se obtiene al hacer

x2 v2girar la elipse — + — = 1, alrededor de:

a) su eje mayor b) su eje menor

Solución

a) Cuando la elipse gira alrededor de su eje mayor, es suficiente considerar la

curva C descrita por/(x) = -%/25 - x2, x e [—5; 5] (Fig.4.58).

4 i------ 4x , , , ,Al emplear /(x ) = -V 25-X 2 A / '(* ) = - ^ = = = , el area de la

superficie resulta

f 5 4 ,------ 16x2A(S) = 27tJ - V 2 5 - x z ■ 1 * 25(25 - x 2) *

N

/ 100 3\ ,= 27r(l6 + — arcsen-Jir

TÓPICOS DE CÁLCULO-VOLUMEN II

Yi

c4

,\s

~~ -1

Yi

y = - s l2 5 - x *

1 \

1 \

1 1 rY

- U

S

*- — (

' 5 \Jk

/s

-4

Fig. 4.58 F¡9- 4 59

b) Cuando la elipse gira alrededor de su eje menor, es suficiente considerar la

curva x = 1 ^ 1 6 - y 2, y e [-4;4] (Fig.4.59).4

Luego, el área del elipsoide generado es

r* 5 _______ 25y2

ACS) = 27ZJ _ j J 16~y2' j 1 +16(16^ ) dy

= (50ír + ^ ^ l n 4 ^ u 2

212

I. En cada uno de los siguientes ejercicios, halle el área de la superficie de

revolución que se obtiene al girar alrededor del eje x, las curvas dadas por

1. f (x ) — —x3, x G [0; 2] r _ (98tt/81)u2

2. / (x ) = cosx, x e [ - | ;| ] r . 2tt[V2 + ln ( l + V2)]u2

3. Un lazo de la curva 8a2y2 = a2x2 - x4 R. (na2/4 )u2

4. 6a2xy = x4 + 3a4 desde x - a hasta x = 2a R. (477ra2/16) u2

5- f ( x ) = - x 3, x G [0; 2] R. ^ (1 7 3/2 - l ) u 2

6. y2 + 4x = 2 lny desde y = 1 hasta y = 2 R. (IOtt/3)u2

7. x = acos3t, y = asen3t R. (U n a 2/5 )u 2

8. y = e~x , x > 0 R. ;r[V2 + ln (l + V2)]u2

9. x - e t sen t, y = ec eos t desde t = 0 hasta t = |

R. 2 n j2 (e n - 2)/5 u 2

10. y = e~x, x > 0 R. ^[V2 + ln ( l + V2)]u2

11. x = a (eos t + ln(tan|)) , y = a sen t R. 4na2u 2

12. y = tan x desde (0; 0) hasta (£ ; l ) R. n (Vs - V2 + ln + 2V4 ' V V5 + 1

13. El lazo de la curva 9ay2 = x(3a - x) 2 R. 3na2u 2

14. x2 + (y - /j) 2 = a2, 0 < a < b (toro de revolución) R. 4n2abu

x3 1

15- y = y + 2 ¿ ‘ x e t1; R■ (208tt/9)u2

16. y = 2x, x G [0; 2] r . 8nV 5u2

17. y2 = 4ax desde x = 0 hasta x = 3a R. (56/ra2/3)u2

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

EJERCICIOS

2

II. Halle el área de la superficie generada por la rotación en torno al eje y, de cada una de las siguientes curvas

1 -x = y 3, y G [0; 3] R. [(730)3 2 - l]u2

2. 6a2xy = x4 + 3a4 desde x = a hasta x = 3a R. (20 + ln 3)n a2u2

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Page 25: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

3. 2y = * V F ^ T + ln ( * - V F ^ T ) ,x e [ 2 ; S ] K . 7 8 U U 2

4. x2 + 4y2 = 16

5. y = x2 , ^ £ [1; 2]

6. y = x4/3, x £ [1; 8]

III. Halle el área de la superficie de revolución formada cuando la curva indicada

gira alrededor del eje dado.

1. y = x3/z , x £ [1; 8]; alrededor de y = 1

2 V = í l + _L ( x £ [1; 2]; alrededor de y = 1 ' ^ 3 4x

3. y = x3, x £ [1; 2]; alrededor de y = -1

4. y = ln(x - 1) , x £ [2; e2 + 1]; alrededor de x = 1

5. y = 4 + e*, x £ [0; 1]; alrededor de y = 4

6. y = 2x , x £ [0; 2]; alrededor de y = -1 R - 12V5ttu2

4.6 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA (ó CENTROS DE GRAVEDAD)

El momento de masa de una partícula respecto a una recta L se define corno el

producto de su masa y su distancia a la recta L. Asi, si m es la masa de la particu

y d su distancia a la recta L Fig. 4.60, entonces el momento de la partícula

respecto a la recta L está dado por

Ml = md.

Es conveniente considerar la partícula localizada en un plano de coordenadas y

determinar el momento de la partícula respecto a un eje de coordenadas ( o a una

recta paralela a un eje de coordenadas). En este caso se usan las distancias

dirigidas, así el momento será positivo o negativo o cero, según la ubicación de la

partícula; por ejemplo si la partícula de masa m está en el punto (x;y) Fig. 4.61 ,

entonces sus momentos Mx y My respecto a los ejes x e y, respectivamente son

Mx = my , My = mx

Si un sistema de n partículas de masas m 1,m 2, ...,m n están situados en los

puntos (* i;y i) , (x2;y2), — ,(*„;y„) respectivamente, los momentos Mx y My

del sistema de n partículas se definen como n n

= ™¡y¡ - My = ]jr rriiXi (I)

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Mx

El centro de masa o centro de gravedad de un sistema de partículas es un punto

P(x;y) tal que, supuesto que la masa total m del sistema esta concentrada en el

punto P, los momentos de P y del sistema coinciden.

Si el sistema de m partículas de masas m u m 2, ■■■ ,m n ubicadas en los puntos

(x\'< yi), (x2; y2), , (xn; yn) tienen su centro de gravedad en el punto P(x; y) y

que la masa total del sistema esn

m = y m¡

¡=i

entonces los momentos Mx y My de P están dados por

Mx = my , My = mx

Luego, de (I) se obtienen n

= ^ ™ ¡ y ¡ y mx = 'Yj m iximy

i=l ¡=1

De donde resulta

_ EÍLiTTiiXi _ £ "=1m ¡yix = ------- y y = -------

m mEn resumen , si Mx y My son los momentos de un sistema de partículas respecto

;i los ejes x e y respectivamente y P(x;y) es el centro de gravedad o centro de

masa del sistema, entonces

My Mx* = - T y = - f (II)

m m

donde m es la masa del sistema.

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Page 26: Integral definida

F.Jemplo 40 Cuatro partículas están en los puntos Pt (—1; -2), P2(1; 3),

P3(0; 5), ^4.(2; 1) y sus masas son m1 = 2, m 2 = 3, m 3 = 3, m 4 = 4

respectivamente, determine el centro de gravedad del sistema formado por estas

cuatro partículas.

Solución

Tenemos Mx = 2(—2) + 3(3) + 3(5) + 4(1) = 24

My = 2(—1) + 3(1) + 3(0) + 4(2) - 9

m = 2 + 3 + 3 + 4 = 12

Luego,

_ _ M j , _ 9 _ 3 - _ M X _ 24 _

X - ñ r ~ 1 2 - 4 ’ V ~ ~ m ~ Y 2 ~ 2

Por tanto, el centro de grayedad está ubicado en el punto P(3/4; 2)

4.6.1 CENTRO DE GRAVEDAD DE UNA REGIÓN PLANA ó LÁMINA

En primer lugar, es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones

a) Una lámina es llamada homogénea si dos porciones de igual área tienen el

mismo peso.

b) La densidad p de una lámina es la masa de una unidad cuadrada de lámina.

Si una lámina es homogénea, entonces su densidad (de área) p ■ es constante y

si A es el área de dicha lámina, entonces su masa es m = pA

c) El centro de masa de una lámina homogénea, puede pensarse como el punto de

balance de la lámina; si esta lámina tiene un centro geométrico, este será

también el centro de masa ó centro de gravedad. Por ejemplo, el centro de

masa de una lámina circular homogénea es el centro del círculo; el centro de

masa de una lámina rectangular homogénea es el centro del rectángulo

(intersección de las diagonales). Se define el momento de una lámina de masa

m respecto a una recta, como el momento de una partícula de masa m situado

en el centro de masa de la lámina.

d) Si una lámina se corta en trozos, el momento de la lámina es la suma de los

momentos de sus partes.

Ejemplo 41 Encuentre el centro de masa de una lámina homogénea de densidad

p, que tiene la forma propuesta en la Fig. 4.62 (las medidas están en cm.)

Solución

La lámina está formada por 3 rectángulos y el área total de la lámina es igual a

93 cm2. Si colocamos los ejes de coordenadas tal como se indica en la figura, los

centros de masa de los rectángulos Rlt R2 y R3 son:

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

216

ATLILAUIUINES UH LA 1IN 1 tÜKAL UtílIN lUA

respectivamente. Luego,

Mx = (21p) ( y ) + (60p)(6) + (12p) (| ) = ^ p

/13\ 969My = (21p) ( y ) + (60p)(5) + (12p)(8) = — p

Por tanto, el centro de masa (x ; y) de la lámina está dado por

969_ My -J-Px = ^ = = 5,209677419

m 93 p

1197M x ~ T ~ P

y = —- = — = 6,435483871* m 93p

Sea F una lámina homogénea cuya densidad es constante e igual a p.

Supongamos que F es la región limitada por las gráficas de:

y = / ( * ) , y = a(x), x = a , y x = b

donde f y g son funciones continuas en [a;b] y f(x ) > g(x), Vx G [a;b]

(Fig. 4.63)

Sea P = {x1,x2, ...,xn} una partición de [a;b] y c¡ es el punto medio de

[x¿_!; x¡] , entonces se tiene que:

= P[/(Q) ~ fl(c¡)]A¡*, i = 1,2,...... n (Mx = x¡ - x ^ )

es la masa del i-ésimo rectángulo sombreado en la figura 4.63

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Page 27: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

El centro de gravedad del i-ésimo rectángulo se encuentra en el punto

( f ( c¡) + g (c¿)>

Vc‘ : 2

Sustituyendo cada rectángulo por un punto material y localizando la masa de cada

rectángulo en su centro de gravedad se obtiene que los momentos de masa de los

n rectángulos, determinados por la partición, respecto a los ejes x e y son:

Mr

M,

lí /l

^ ™¡y¡ = p[/(c¡) - 5(c¡)]/(c¡) + g ( a )

AjX

Luego, el centro de gravedad (x;y ) estará aproximadamente en el centro de

gravedad de los rectángulos determinados por la partición, es decir:

xMy _ P'Z’j=iCi[f(ci) - g jc ^A jX

m p EH iE /(c¡) - S(c¡)]A¡*

Mx I p i u m c d r - i g í c d ] 2} ^

y X m ~ p l U l f i c d - g i c ^ x

Pasando al límite cuando ||P|| -» 0, se obtiene que las coordenadas (x;y) del

centro de gravedad de la lámina F están dadas por

Ja *[ /(* ) - g(x)]d.X ^ - I-fq {[/(x)]2 - [fl(x)]2}

£ [ f t o - g ( x ) ] d x A y tf\ f(.x)-g(x)]dx

Como se observa, las coordenadas del centro de masa de la lámina homogénea no

dependen de su densidad p, sólo depende de su forma. Usualmente el centro de

masa de una lámina se denomina centro de gravedad o centroide, reservando el

término centro de masa para un sólido.

Observación 1S

a) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta x — x 0 , entonces

x = X0

b) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta y — y0 , entonces

y = yo

218

Observación 16 Si la región plana F esta limitado por las gráficas de:

x = f(y ) , x = g(y), y = c, y = d

donde f y g son funciones continuas en [c; d] y f ( y ) > g ( y ) , Vy g [c;d]

l'ig. 4.64, las coordenadas del centro de gravedad (x; y) de la región F son

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

_ _ 2 /c% Cy)32-[g(y)]2}dy

/,d[/(y) - g(y)]dy

- -= ~ g (y )Jrfy

/cd[/(y) -g(y )]dy

Ejemplo 42 Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas y = x3 , y = 4x en el primer cuadrante. ,

Solución

El área y los momentos con respecto a los ejes x e y de la región son

A(R) = í (4x - x3)dx = 4 Jo

_ 2 2

My = ¡ x[f(x) - g(x)]dx = í x(4x - x3)dx = ^J o 15

Mx =z2 ¡0 “ íg(x)]2}dx = ^ J (16x2 - x ü)dx

_ My 64/15 _ Mx 256/21Luego, x - -- ------ , y = — = --- -—

m 4 m 4

n . . 64\Por tanto, el centroide es P — : —

V15 21/

256

~2Í

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Page 28: Integral definida

Ejemplo 43 Halle el centro de gravedad de la región limitada por las ciirvas

x2 - 8y = 0 , x2 + 16y = 24

Solución

Como la región F (Fig. 4.66) es simétrica respecto al eje y, se sabe que x = 0

El área de la región y el momento con respecto al eje x son

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

A^ (2 4 - x 2 x2

■ a

■ r 'd

16dx = 4V2

2 4 - x

16~dx =

16V2

/ 4\ _ Mx 4 _Por tanto, el centro de gravedad es ^0; -J porque y = ~ 5 A * ~ 0

Ejemplo 44 Encuentre el centroide de la región limitada por las curvas

x = 2y - y 2 , x = 0

Solución

Como el centro de masa está situado en el eje de simetría y = 1 (Fig. 4.67),

entonces y = 1.

Aplicando las fórmulas dadas en la observación 16 se obtiene

y ^ 2 y - y 2)2dy 8/15 _ 2

fg (2 y - y 2)dy 4/3 5

Luego, el centroide es P ; 1 j

220

Ejemplo 45 Determine el centroide de la región plana limitada por las curvas

y = / (* ), y = x2 , x = - l , x = 2, donde

(1 - x, x < 0

> 0

Solución

La región se ilustra en la Fig. 4.68. Dividiendo la región en dos partes se obtiene

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

A = í (1 - x + x2)dx+ í\x2 + l + x2)dx = ^- + — = — J-i J o 6 3 6

= 2 / K1 “ x^2 ~ x^ dx + Kx2 + l ) 2 - x4]dx =

f° r 2 13= I x ( l - x + x2)dx + \ x(x2 + 1 + x2)dx = --- +10 =

J-1 J0 12

107My — ¡ x ( l - x + x2)dx + I x(x2 + 1 + x2)dx = - 7^+ 10 =

_ 107/12 _ 71/15 ^ , /107 142\,uego, x — ■, y = -=— r , de donde el centroide es P ---;--- )

55/6 ' 55/6 V110 275/

Fig. 4.68 Fig. 4.69

Ejemplo 46 Halle el centro de gravedad de la región infinita, en el primer

cuadrante, comprendido entre la curva y = x e~x y el eje x.

Solución

La región se ilustra en la Fig. 4.69. Luego, se tiene

r +CO

A = I x e~x dx = lim [-x e~x - e~xY0 = 1

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Page 29: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

+00 r+ 00

My

/* i-to /■+»

= I xf(x)dx = I x2e~xdx Jo J o

= lim [-x2e * — 2*e * — 2e x]q = 2 t- 1+00

i r +”Mx = - J [x2e-2* - 0]dx‘ X

Jo

1 r 1 1 1 ^ 1= - lim —- x 2e 2x —-xe~lx —-e~Zx¡ = -

21-*+» L 2 2 4 J0 8

My _ Mx 1

Luego, * = T = 2 . y = T = 8

Por tanto, el centro de gravedad de la región es P ^2;

Teorema (Teorema de Pappus para volúmenes)

Si un sólido S es obtenido al hacer rotar una región plana F (Fig. 4.70) en torno de

una recta del mismo plano, que no sea secante a la región F, entonces el volumen

de S es igual al.área de la región F multiplicado por 2nr, siendo r la distancia del

centro de gravedad de la región F al eje de rotación, esto es,

V = 2nr. A

donde A es el área de F.

222

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 47 Calcule el volumen del sólido 5 generado por la rotación de la

S a aPOrlaParáb0,a y = * 2 y,areCía y = * + 2 en tomo a esta

Solución

Para determinar el centro de gravedad.de la región F (Fig. 4.71) se tiene

A(F) = í (x + 2 - xz)dx = - J-1 2

My = í x(x + 2 - x2)dx = - J - i 4

Mx = \ í l(x + 2)2- x 4] dx = —J - i 5

Por tanto, el centroide (x; y) de la región tiene las coordenadas

- = _ i - _ M X _ 8

A ~ 2 ' y _ T " 5

Calculando la distancia r del punto C a la recta y = * + 2 se tiene

r = ^ ~ y + 2l = l l ~ l + 2| _ 9V2

V i + 1 V2 20

Luego, por el teorema de Pappus, el volumen del sólido S es

1

Fig. 4.71Fig. 4.72

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Page 30: Integral definida

r

Ejemplo 48 La región limitada por las gráficas de y = x2, y = 5 gira alrededor

de una recta oblicua que pasa por el punto ¿4(1; 0). Halle la ecuación de dicha

recta, si el volumen del sólido generado es igual a 40V5ttu3

Solución

La gráfica de la región se muestra en la fig. 4.72. En primer lugar determinaremos

el centroide de la región F. Como el centro de masa está situado en el eje de

simetría (eje y), entonces x = 0.

Por otro lado, la ordenada del centroide de la región es

- _ M* _ ~ x^ dx _ 20v^

A / ^ r (5 - x2)dx 20V5/3

Luego, el centro de gravedad es (x;y) = (0; 3)

20V5Considerando que el área de la región F es A = —-— , se tiene

V = 40V57t = 2nr = * r - 3

Finalmente, si m es la pendiente de la recta L (eje de rotación) que pasa por el

punto A(l-, 0), entonces su ecuación es

y - 0 = m(x - 1) ó mx - y - m = 0

Puesto que, r = 3 es la distancia del punto (x; y) = (0; 3) a la recta L, entonces

\mx-y-m\ |-3-m|3 — . >—»* 3 — .

Vm2 + 1 Vm2 + 1

<=> 9 (m 2 + 1) = 9 + 6m + m 2 <=> m(4m — 3) = 0

3<=* m = 0 ó m = -

43

Como la recta L es oblicua, m = -. Por tanto, la ecuación de la recta L es4

3x — 4y — 3 = 0

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

224

I. En cada uno de los ejercicios, encuentre el centroide de la lámina

homogénea de densidad p que tiene la forma mostradas en la figura.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

EJERCICIOS

II. En los siguientes ejercicios, encuentre el centro de gravedad de cada una de

las regiones limitadas por las siguientes curvas.

1. y = x z - 4 , y = 2x - x2

2. y - v a 2 - x2, y = 0

3. y = 3x, y = x2, y — 1 , y = 2 (en el primer cuadrante)

*•

R. ( 0;4a\

3n)

r ( 67 2(72^2-53)

U 8 (8 v ^ - 7 ) ' 15(8V2-7)

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Page 31: Integral definida

4. y - X 2, y = x - x 2 R. Q jg )

5. y = ln x , y = 4 , y == 4 - 4x2 (en el primer cuadrante) R. (14,61; 3,15)

6. y = x2 + l , y = x3 - l , x = 0 , x = l

n7. y = senx, y = cosa:, y = 0 desde x = 0 hasta x = —

"■ G4(f-i)(2+V5))8. y 2 = 4 - 2x, el eje y, y = 3

(12 3\9. x = 4y — y 2 , y = x R.

ñ 9\10. Vx + ,/y = 3 , y = 0 , x = 0 R.

11. y = |a:|3 + 1, x = - 1 , x = 2, y = 0

12. x + xy2 - 2 = 0 , x - y 2 = 0

13. y 2 = 20x, x2 = 20y R. (9; 9) •

tx , si x < 1 _14. y = —x , y = j 2 , x = 2

' [X , SI X > 1

/88 50\15. x - 2 y + 8 = 0,x + 3y + 5 = 0,x = -2 ,x = 4 fi.

16. y = 3 + 2x — x2 , y los ejes coordenados encierran dos regiones. Determine

el centroide de la región de menor área.

17. y(x2 + 4a2) = 8a3 y el eje x (región infinita) R. (o ;-a)

l 12 \18. La región limitada por el lazo de y2 = x{x - 4)z R. ; 0J

19. La región limitada por el lazo de y 2 = x4 (3 - x) R. (2;0)

20. y = a resen x , y = 0 , x = 1

/16 5\21. y2 = 4x2 - x3 ,y = 0 en el primer cuadrante R.

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN IIAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

n . y = X 2 - 2x - 3 , y = 6x - x2 - 3 R. (2;1)

23. y = x3 — 3 x ,y = x ,sobre el lado derecho del eje y R,\15 35/

x2 y224. La región encerrada por — + — = 1, en el primer cuadrante

(4a 4b\

R' V3rr; 3tt)

25. La región está limitada por los ejes coordenados y x2/3 + y 2/3 = V25

R./256 256\

\637r' 63n)

26. La región es un sector circular de radio r y ángulo central 2a

n r. 2 sen aR. En el eje de simetría, a la distancia - r ---- del vértice del sector

3 a

27. y = senx, (0 < x < n), y = 0 R.'2 8'

28. y = coshx , y = 0 , x = - 1 , x = 1

29. y = arccos x , y = n , x = 1

III. Centro de gravedad y volúmenes.

1. El centro de gravedad de la región acotada por las curvas x2 = 4 y , y = mx

es un punto de abscisa igual a 2. Determine el valor de m R. m — 1

2. /1(0;0), B (a ;0 )y C (0;a/2) con a > 0 , son los vértices de un triángulo.

Calcule el volumen del sólido obtenido por la rotación en torno a la recta

Sy¡2na3y = x - a, de la región limitada por el triángulo ABC. R. --------------

24

3. Sea R la región del plano limitado por la parábola y = x2 - 1 y la recta

y = x — 1 . Determine el volumen del sólido obtenido por la rotación de la

7rV2región R alrededor de la recta y = x - 1. R. ----

60

4. La región limitada por las gráficas de y 2 = 20x , x2 = 20y gira alrededor de

la recta 3x + 4y + 12 = 0. Calcule el volumen del sólido generado.

R. 4000tt

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Page 32: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

5, La región limitada por las gráficas de y = x2 , y = 5 gira alrededor de una

recta oblicua que pasa por el punto (-1; 0). Halle la ecuación de la recta si el

volumen generado es igual a (40V5 n )u3 R. 3x + 4y + 3 = 0

IV. El centro de gravedad (x-,y) del arco de una curva (homogénea), cuya

ecuación es y - f (x ) con x 6 [a; b] , donde / es una función con derivada

continua en [a; b] , está dado por

_ ^ x ^ l + [f'(.x)]2 dx f ba f< jx )J l + [ f '(x W d x

j ^ i + [ f(x )Y d x ' y j aby i + [f'{x))2 dx

Usando estas fórmulas, determine el centro de gravedad de las curvas cuyas

ecuaciones son

2,------ / 2 a1. y = yfa2 - x2 R. \P>~

x ( a(e4 + 4e2 - 1)2. y = acosh- , x e [- a ;a ] R. (0;

a ' 1 ' J V ' 4e(e2 -

/ '3. x = a(t - sen t),y = a ( l - eos t) , t e [0;27r] R. bra;-

4a\

3 /

r ti-i /2a 2a\4. x = acos3t ,y = asen3t , t e [0;-j R.

228

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

4.7 APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN LOS NEGOCIOS

4.7.1 EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR

( oiisideremos la función demanda p = f ( q ) de un determinado artículo, donde

i/ representa la cantidad de artículos que se demandan al precio unitario p. La

l’i áfica de esta función es la curva de demanda.

Si el precio en el mercado del artículo en mención es p0 y ia correspondiente

amtidad demandada es q0, entonces los consumidores que estuviesen en

condiciones de pagar por el artículo un precio mayor que p0 ganan, por el simple

hecho de que el precio en el mercado es menor.

Majo ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del consumidor se representa

por el área bajo la curva de demanda y sobre la recta p = p0 (Fig. 4.73). A esta

arca se le denomina excedente del consumidor (EC) y está dado por

EC = ( f o [ / ( ? ) -Po]d(7 u . m . = ^ f ( q ) d q - p 0q0 ju.m.Una forma alternativa de calcular el excedente del consumidor es

EC ~ ( / 9Í P ) d p ' ju .m . , donde g — / -1 y pr = /(O)

(u. m. significa unidades monetarias)

Fig. 4.73

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Page 33: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

4.7.2 EXCEDENTE DEL PRODUCTOR

Consideremos la función oferta p = f ( q ) de un determinado artículo, donde q es la cantidad de artículos ofertados al precio unitario p. La gráfica de esta

función es la curva de oferta.

Si el precio en el mercado del artículo en mención es p0 y la correspondiente

cantidad ofertada es q0, entonces los productores que estuviesen en condiciones

de vender el artículo a un precio menor, ganan, por el simple hecho de que el

precio en el mercado es mayor.

Bajo ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del productor se representa

por el área sobre la curva de oferta y bajo la recta p = p0 (Fig. 4.74). A esta área

se denomina excedente del productor (EP) y está dado, por

Ep = ( f lPo-f(Q )1dq 'ju .m .= ^p0q0 - J

Una forma alternativa de excedente del productor es '

EP = ( f g(p)dp\ P l

ju .m ., donde g = f 1 y P i = / ( 0 )

f(q )dq )u .m .

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ’

I Jcmplo 49 Si la función demanda es p = 9 - a2 \ n - q u„||P ,•leí consumidor. q > Po “ Halle el cxccdc»“-‘

Sol ución

I .1 región se muestra en la figura 4.75. Con la ayuda de ¡a figura se obtiene

I’jemplo 50 Si la función de oferta es p = 4 + 3o2 v a = 2 r-,!,-,,!,. .iexcedente del productor. R * 9o - ¿ • Calcule el

Solución

La región se muestra en la figura 4.76. Así, resulta

EP — f [16 - (4 + 3q2)] dq ~ 16 u. m.

Ejemplo 51 Las funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia

perfecta son p = 227 - - q 2 y p = 2 + 2q2 respectivamente. Determine el

el correspondiente excedente del consumidor y el excedente'de productor.

Solucióii

LI precio en el mercado y la correspondiente cantidad está determinado por el

punto de equilibrio E (Fig. 4.77). El punto de equilibrio es la intersección de las curvas de oferta y de demanda, esto es,

227 “ 4 - 2 + 2q2 => q2 = 100 => qe = 10, de donde pe = 202

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Page 34: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Luego,

500 dq = — 11. m.

r10 1EC = I 227 - - q 2 - 202

J 0 L 4

r 1° 4000EP = J [202 — (2 + 2<72)] dq = - u.m

Ejemplo 52 La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de

monopolio, se determinan por la función de demanda p = — (10 — qY y el costo

3total es C = — + 5a de tal manera que se maximice ia utilidad. Determine el

4-correspondiente excedente del consumidor.

Solución

La utilidad es U = I — C , / = ingreso y C = costo total

W = 0 =* /' - C' = 0 =* lMg = CMg

"La utilidad se maximiza si el ingreso marginal (/' = IMg) es igual al costc

marginal (C' = CMg)”.

Como / = pq donde p = precio de venta y q = cantidad vendida, entonces

1 3 9/ = -(10 - q)2q => lMg = 25 - 10q + -q

3 3Luego lMg = CMa => 25 - 10q + - q2 = - q 2 + 5 => q = 2

En q = 2 , la utilidad es máxima porque t/"(2) = -10

Por tanto,

r 2f2rl i 26= j | - (1 0 - q )2 - 1 6 j dq = Y (Fig.4.78)

232

Ejemplo 53 Actualmente el kilo de huevo cuesta S/. 4,6. Los estudios realizados

indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a razón de

0,09 + 0,0006a:2 soles por semana. ¿Cuánto costará el kilo de huevos dentro de10 semanas?

Solución

dp r 10(.orno — = 0,09. + 0,0006x2 =* I (0,09 + 0,0006A:z)dx es el aumento en el

precio dentro de 10 semanas

Luego, dentro de 10 semanas el kilo de huevo costará

10

(0,09 + 0,0006a:2) dx = 4,6 + 1,1 = S/. 5,7I

Ejemplo 54 Halle la cantidad producida que maximiza la utilidad y la

correspondiente utilidad total (suponiendo competencia perfecta) si el ingreso

marginal es IMg = 24 - 6q - q2 y el costo marginal es CMg = 4 - 2 q - q2.

Solución

La utilidad se maximiza (suponiendo competencia perfecta) cuando el ingreso

marginal (/Mg) es igual al costo marginal (CMg) , luego

24 - 6q - q2 = 4 - 2q - q2 => q = 5

Como U' = UMg = IMg — CMg = 2 0 - 4 q y U "(5) < 0, entonces la utilidad

se maximiza cuando q = 5 y la utilidad máxima es

U =

Ejemplo 55 Una empresa textil ha comprado una máquina cuya producción

representa ganancias en un tiempo t dadas por 6 = 2 7 - 2 t z , donde G está en

unidades de S/. 3000 y t está en años. El costo de reparación y mantenimiento en

el tiempo t está dado por ñ (t) = - t2 + 21, donde R está en unidades de S/. 3000

y t está en años. Suponiendo que la máquina puede retirarse sin costo alguno en

cualquier tiempo, ¿cuántos años se debe mantener la máquina para maximizar la

utilidad neta?

Solución

Las ganancias son iguales al costo de reparación y mantenimiento (Fig. 4.6)

cuando1

27 - 2t2 = - t 2 + 2t => t = 3J

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

4.7.3 OTRAS APLICACIONES

í (20 - 4q) dq = 50 u.m. Jn

p = 4,6 +

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Page 35: Integral definida

Por tanto, la máquina debe retirarse después de 3 años. La utilidad neta después

de 3 años es

UN = f - R(t)]]dt = | (27 - 2t - ^ t 2) d t = 51

Luego, la utilidad neta después de 3 años es de 153 000 soles.

Ejemplo 56 El valor de reventa de cierta máquina industrial disminuye durante

un período de 10 años a una tasa que cambia con el tiempo.

Cuando la máquina tiene x años, la tasa a la cual está cambiando su valor es de

220(x - 10) soles por año. ¿En qué cantidad se deprecia la máquina al cumplir

dos años y cuál es su precio de reventa si su costo fue de S/. 12 000?

SolucióndV

Si V es el valor de la máquina, — = 2200 — 10); luego,

V(x) = j 2 200 - 10) =* V{x) = i ™ *2 - 2 2ao* + C

Como K 0 ) = 12 000 => C = 12 000 y V(x) = 110x2 - 2 200x + 12 000.

Por tanto, V (2) = 8 040

El precio de reventa es de SI. 8040, y la máquina ha sufrido una depreciación de

S/. 3960.

Otro método para resolver este problema. El valor de depreciación es

í 2 2 00 - 10)dx = -3 960 Jo

Esto significa que la máquina, en dos años se deprecia en S/. 3 960 , en este

tiempo el valor de reventa es 12 000 - 3960 = S/.Q 040

EJERCIC IOS

1. Si la función demanda es p = 25 - q2, halle el excedente del consumidor si

la cantidad demandada en el mercado es q0 = 3 R. 18 u. m.

2. Si la función de oferta es p = 3 ln (q + 2) , halle el excedente del productor

si el precio de venta en el mercado es p0 = 3

3. Las funciones de demanda y oferta en situación de libre competencia son

p = _ (9 - q)2 y p = -(1 + 3q) respectivamente. Calcule el excedente del4 4

consumidor y el excedente del productor.

P TÓPICOS DE CÁLCULO- VOLUMEN II

234

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

■I La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de monopolio,

se determinan por la función de demanda p = 45 - q2 y el costo total

C = 7 + 6q + q3/12 de manera que se maximice laj utilidad. Calcule el

correspondiente excedente del consumidor. R. 16V3u. m.

V El valor de venta de cierta máquina industrial disminuye a una tasa que

cambia con el tiempo. Cuando la máquina tiene t años, la tasa a la cual está

cambiando su valor es -960e~t/,s soles por año. Si ei costo de ¡a máquina

fue de S/. 5000, ¿cuál será su valor 10 años más tarde? R. S/. 849,63

(«. Un fabricante calcula que sus ingresos marginales son de jlOOQQ q soles

por unidad cuando su producción es de q unidades. Se ha encontrado que su

costo marginal correspondiente es de 0,4 q soles por unidad. Cuando su nivel

de producción es de 16 unidades, su utilidad es de S/. 520. ¿Cuál es su utilidad

cuando su nivel de producción es de 25 unidades? R. S/. 646,20

7. Un fabricante ha encontrado que su costo marginal es de 6q + 1 soles por

unidad cuando se han producido q unidades. El costo total de la primera unidad es de S/. 130

a) ¿Cuál es el costo de producción de las 10 primeras unidades?

b) ¿Cuál es el costo de producción de la décima unidad?

c) ¿Cuál es el costo fijo?

R. a)S/. 436 b) S/. 58 c) S/. 126

X. La tasa de crecimiento de la población de cierta ciudad cambia con el tiempo.

Los estudios indican que dentro de x meses la tasa de crecimiento de la

población será de 4 + 5x2/3 personas por mes. La población actual es de

10000 habitantes. ¿Cuál será la población dentro de 8 meses?

R. 10125 personas

(). El precio del pollo es actualmente de S/. 4,5 por kilo. Se espera que dentro de

x semanas el precio estará aumentando a una tasa de 0,03\O + 1 soles por

semana. ¿Cuánto costará el kilo de pollo dentro de 8 semanas?

R. S/. 5,02 el kiio

10. Halle la cantidad que maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad

máxima si el ingreso marginal es lMg = 2 0 - 2 q y el costo marginal es

CMg = 4 + (q - 4)2

11. Las funciones de oferta y demanda son, respectivamente p = 1 + ln((? + 1)

y p = 5 — ln(q + 1) . Halle el excedente del consumidor y el excedente del

productor. R. EC = EP = (e2 - 3)u.m.

12. Los promotores de una feria de una ciudad calculan que t horas después de

que se abran las puertas (9 a.m.) los visitantes estarán entrando a la feria a

una tasa de 54(t + 2)2 - 4(t 4- 2)3 personas por hora. ¿Cuántas personas

entrarán a la feria entre las 10 a.m. y el medio día?

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Page 36: Integral definida

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

I í. Una empresa lia comprado una máquina cuya cantidad producida representa

ganancias en un tiempo t dadas por G(t) = 20 — 3t2 , donde t está en años

y G está en unidades de S/. 10000. El costo de reparación y mantenimiento

en el tiempo está dado por R(t) = 212, donde R está en unidades de

S/. 10000 y t está en años. Suponiendo que la máquina se puede retirar sin

costo alguno en cualquier tiempo t, ¿Cuántos años se debe mantener la

máquina para maximizar las ganancias netas totales?

R. Dentro de 2 años y UN' = S/. 266 666,66

14. Una compañía está considerando la adición de personal para propaganda. El1

costo de adición de este personal está dado por C(x) = —x, donde C está en

unidades de S/. 600 y x es el número de personas agregadas. El ingreso

obtenido con el personal adicional es I(x) = 2-¡x , donde / está en

unidades de S/. 600 y x es el número de personas agregadas. ¿Qué número

de personas para propagandas deben agregarse para maximizar la utilidad,

cuál es el ingreso neto adicional (suponer que las funciones son continuas)?.

15. La utilidad marginal de cierta compañía es de 100 — 2x soles por unidad

cuando se producen x unidades. Si la utilidad de la compañía es de S/. 700

cuando se producen 10 unidades ¿Cuál es la utilidad máxima posible de la

compañía?R. S/. 2300

16. El costo marginal de un fabricante es de 3(qr — 4)2 soles por unidad cuando

su nivel de producción es de q unidades.

a) Exprese el costo total de producción del fabricante en términos de sus

gastos generales (costo fijo) y el número de unidades producidas.

b) ¿Cuál es el costo de la producción de 14 unidades si el costo fijo es de

S/. 436?

17. Las funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia pura son

respectivamente, p = 30 — q2 y p = 2q2 + 3 , halle el excedente del

productor.

18. Si la función de demanda es p = j 20 — q y la cantidad demandada es

q0 = 4 , halle el excedente del consumidor.

19. Halle la cantidad producida que maximice la utilidad (suponiendo

competencia pura) y determinar la utilidad total en dicho punto si las

funciones de ingreso marginal y de costo total están dadas por

ÍMg = 2 4 - 5 q - 2q2 y CMg = 1 1 - 3 q - q2

236

COORDENADASPOLARES

5.1 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

La posición de un punto P en un plano

se puede indicar usando las

coordenadas polares. Para ello, se

considera una semirrecta orientada

O A llamada eje polar, que usualmente

se considera en forma horizontal y que

se extiende hacia la derecha (Fig. 5.1);

al origen O del eje polar se denomina

origen o polo.

A cada punto P de! plano se le asigna

un par (r; 9) donde r es la longitud

del segmento OP y 9 es la medida

en radianes del ángulo cuyo lado

inicial es el eje polar y el lado terminal

es el segmento OP.

Al par (r; 9) se denomina coordenadas polares de P y se denota P(r; 9), r es

llamado radio vector y 9 es el ángulo polar. De la Fig. 5.1- podría deducirse que

r > 0 y O < 0 < 2 7 r , pero éstas no son las condiciones generales. Para asociar

las coordenadas polares a un punto y formar el sistema de coordenadas polares

en el plano es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1. Si el ángulo AOP se desplaza a partir de OA en sentido antihorario, 9 es

positivo y negativo en caso contrario.

2. A la semirrecta OA' que forma con el eje polar un ángulo de medida 9 se

denomina eje 0 . El radio vector r es positivo si P está situado en el eje 9 , y

es negativo si P está en la prolongación del eje 9 .

3. El polo O está unívocamente determinado por r = 0 , es decir, al polo se le

puede asignar el par (0; 9), donde d es cualquier número real.

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