Inter Me Dios

Teste Intermdio Matemtica A

Verso 1

Teste Intermdio de Matemtica A - Verso 1 Pgina 1

Teste Intermdio

Matemtica A

Verso 1

Durao do Teste: 90 minutos | 4.12.2009

12. Ano de Escolaridade

Decreto-Lei n. 74/2004, de 26 de Maro

Na sua folha de respostas, indique claramente a verso do teste.

A ausncia dessa indicao implica a classificao das respostas

aos itens de escolha mltipla com zero pontos.

Teste Intermdio de Matemtica A - 12. Ano - Verso 1 - Pgina 3

Grupo I

Os cinco itens deste grupo so de escolha mltipla.

Em cada um deles, so indicadas quatro alternativas, das quais s uma est correcta.

Escreva na sua folha de respostas correspondenteapenas o nmero de cada item e a letra alternativa que seleccionar para responder a esse item.

.No apresente clculos, nem justificaes

Se apresentar mais do que uma alternativa, ou se a letra transcrita for ilegvel, a respostaser classificada com zero pontos.

1. Quantos nmeros pares de cinco algarismos diferentes se podem escrever, utilizando osalgarismos do nmero ?"#$%&

(A) (B) (C) (D) #% %) '! *'

2. Numa certa linha do Tringulo de Pascal, o segundo elemento .#!!*

Quantos elementos dessa linha so maiores do que ?um milho

(A) (B) (C) (D) #!!% #!!& #!!' #!!(

3. Uma varivel aleatria tem distribuio normal.\ Sabe-se que inferior a T\ &! T \ %!

Qual dos nmeros seguintes pode ser o valor mdio da varivel aleatria ?\

(A) (B) (C) (D) %# %& %) &"


4. Na figura 1 esto representados oito cartes, numerados de 1 a 8.

Figura 1

Escolhe-se, ao acaso, um destes oito cartes e observa-se a sua forma e o nmero nele

inscrito.

Considere os seguintes acontecimentos, associados a esta experincia aleatria:

O nmero do carto escolhido maior do que E $! O carto escolhido um crculoF

Qual o valor da probabilidade condicionada ?T E lF

(A) (B) (C) (D) " " " "

) % $ #

5. A estatstica revela que o basquetebolista Z Mo Quente falha 10% dos lances livres queexecuta.

Num treino, o vai executar uma srie de oito lances livres.Z Mo Quente

Indique qual dos acontecimentos seguintes tem probabilidade igual a

" ! * ! * ! ", , ,) () (G

(A) O pelo menos seis lances livres. Z Mo Quente concretiza

(B) O pelo menos sete lances livres. Z Mo Quente concretiza

(C) O no mximo seis lances livres. Z Mo Quente concretiza

(D) O no mximo sete lances livres. Z Mo Quente concretiza


Grupo II

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente que tiver de efectuar etodos os clculos

todas as justificaes necessrias.

Ateno: quando, para um resultado, no pedida a aproximao, apresente sempre o

valor exacto.

1. Na figura 2 est representado um prisma pentagonal regular. Quatro dos vrtices desseprisma esto designados pelas letras , , e .E F I S

1.1. Pretende-se designar os vrtices dorestantes seisprisma, utilizando letras do alfabeto portugus (23 letras).

De quantas maneiras diferentes podemos designar esses

seis vrtices, de tal modo que os cinco vrtices de uma das

bases sejam designados pelas cinco vogais?

: no se pode utilizar a mesma letra para designarNota

vrtices diferentes. Figura 2

1.2. Ao escolhermos vrtices do prisma, pode acontecer que eles pertenam todos atrsuma mesma face. Por exemplo, os vrtices , e pertencem todos a umaE F Smesma face, o mesmo acontecendo com os vrtices , e .E I S

Escolhem-se aleatoriamente trs dos dez vrtices do prisma.

Qual a probabilidade de esses trs vrtices pertencerem todos a uma mesma face? Apresente o resultado na forma de fraco irredutvel.

1.3. Escolhe-se aleatoriamente um vrtice do prisma.em cada base

Qual a probabilidade de o segmento de recta definido por esses dois vrtices ser

diagonal de uma face? Apresente o resultado na forma de fraco irredutvel.

2. Lana-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.no Seja a varivel aleatria .\ nmero sado no lanamento efectuado

Admita que, para certos nmeros reais e , a tabela de distribuio de probabilidades+ ,da varivel aleatria \

B " # $ % & 'T \ B ! # + ! # , ! " ! "&

3

3 , , , ,

2.1. Determine e , sabendo que o valor mdio da varivel aleatria + , \ $ %,

2.2. Em relao ao lanamento dado no equilibrado, sejam e osdeste G Hacontecimentos:

Sair um nmero mparG Sair um nmero maior do que 4H

Averige se os acontecimentos e so independentes.G H


3.

3.1. Seja o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria.H

Sejam e dois acontecimentos ( e ), com E F E F TE !H H

Prove que:

TE TFlE " TE F TE

Nota: designa uma probabilidade condicionada.TFlE

3.2. Num encontro desportivo, participam atletas de vrios pases, entre os quaisPortugal.

Metade dos atletas portugueses que participam no encontro so do sexo feminino.

Escolhido ao acaso um atleta participante no encontro, a probabilidade de ele ser

estrangeiro ou do sexo masculino 90%.

Participam no encontro duzentos atletas.

Quantos so os atletas portugueses?

Nota: se desejar, pode utilizar a igualdade do item 3.1. na resoluo deste problema;

nesse caso, comece por explicitar os acontecimentos e , no contextoE Fdo problema.

4. Um saco contm bolas azuis e bolas verdes, indistinguveis ao tacto.Redija , no contexto desta situao, o enunciado de um problema de clculo de

probabilidade, inventado por si, que admita como resposta correcta

( (% &

"!&

G $ G

G

No enunciado que apresentar, deve explicitar claramente:

o nmero total de bolas existentes no saco;

o nmero de bolas de cada cor existentes no saco;

a experincia aleatria;

o acontecimento cuja probabilidade pretende que seja calculada (e cujo valor ter de ser

dado pela expresso apresentada).

FIM


COTAES

Grupo I 50 pontos.........................................(5 10 pontos) .............................

Grupo II 150 pontos...............................................................................................

1. 50 pontos............................................................................................... 1.1. ..................................................................... 15 pontos 1.2. ..................................................................... 20 pontos 1.3. ..................................................................... 15 pontos

2. 40 pontos............................................................................................... 2.1. ..................................................................... 20 pontos 2.2. ..................................................................... 20 pontos

3. 40 pontos............................................................................................... 3.1. ..................................................................... 20 pontos 3.2. ..................................................................... 20 pontos

4. 20 pontos...............................................................................................

TOTAL 200 pontos.................................................................................................


Verso 1

Teste Intermdio de Matemtica A 12. Ano Verso 1 Pgina 1

Teste Intermdio

Matemtica A

Verso 1




Na folha de respostas, indique claramente a verso do teste.




GRUPO I


Em cada um deles, so indicadas quatro opes, das quais s uma est correcta.

Escreva, na sua folha de respostas, apenas o nmero de cada item e a letracorrespondente opo que seleccionar para responder a esse item.

.No apresente clculos, nem justificaes Se apresentar mais do que uma opo, a resposta ser classificada com zero pontos,

o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegvel.

1. Seja o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria.H Sejam e dois acontecimentos ( e )E F E F H H Sabe-se que: e so acontecimentos independentes;E F e TE ! % T F ! &, ,

Qual o valor de ?TE F

(A) (B) (C) (D) ! ' ! ( ! ) ! *, , , ,

2. Qual o valor de ?log&

"!!! &

(A) (B) (C) (D) %! &!! *(& **)

3. Seja a funo, de domnio , definida por1 !

1B

$ B =/ ! B ( #

B & B " =/ B #

B

log#

Em qual dos intervalos seguintes o Teorema de Bolzano permite garantir a existncia depelo menos um zero da funo ?1

(A) (B) (C) (D) ! " " $ $ & & *


4. Na figura 1, est representada parte do grficode uma funo , de domnio 0

Tal como a figura sugere, a recta de equaoC " 0 assimptota do grfico de

Indique o valor de

limB

ln BB 0BFigura 1

(A) (B) (C) (D) " ! "

5. Na figura 2, est representada parte do grfico de uma funo , de domnio 2

Figura 2

Seja a sucesso de termo geral ? ? 2 % 8 8 "!!!8 Qual o valor de ?lim ?8

(A) (B) (C) (D) " # $


GRUPO II

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente que tiver de efectuar etodos os clculostodas as justificaes necessrias.

Ateno: quando, para um resultado, no pedida a aproximao, apresente sempre ovalor exacto.

1. Uma caixa tem seis bolas: trs bolas com o nmero 0 (zero), duas bolas com o nmero 1(um) e uma bola com o nmero 2 (dois). Tiram-se, simultaneamente e ao acaso, duas bolasda caixa e observam-se os respectivos nmeros.

1.1. Sejam e os acontecimentos:E FE os nmeros sados so iguais

F a soma dos nmeros sados igual a 1

Qual o valor da probabilidade condicionada ? Justifique a sua resposta.TElF

1.2. Seja a varivel aleatria .\ produto dos nmeros sados Construa a tabela de distribuio de probabilidades da varivel aleatria \

Apresente cada uma das probabilidades na forma de fraco irredutvel.

2. Uma professora de Matemtica props o seguinte problema aos seus alunos:

Uma turma tem 25 alunos, dos quais 15 so rapazes e 10 so raparigas. Pretende-seformar uma comisso com dois alunos do mesmo sexo.Quantas comisses diferentes se podem formar?

Apresentam-se, em seguida, as respostas da Rita e do Andr a este problema.

Resposta da Rita: Resposta do Andr: "& "! # # #G G G "& "!

das respostas est correcta.Apenas uma

Elabore uma composio na qual:

identifique a resposta correcta;

explique o raciocnio que conduz resposta correcta;

proponha uma alterao na expresso da resposta incorrecta, de modo a torn-lacorrecta;

explique, no contexto do problema, a razo da alterao.


3. Seja a funo, de domnio , definida por0

0B

=/ ! ( B ( #

B / B " =/ B #

B#

B #BB

Resolva, os itens e usando exclusivamente mtodos analticos 3.1. 3.2.,

3.1. Averige se a funo contnua em 0 B #

3.2. O grfico da funo tem uma assimptota oblqua.0

Determine a equao reduzida dessa assimptota.

3.3. Seja a funo, de domnio , definida por 1 1B $ B ln A equao tem exactamente duas solues.0B 1B

Determine essas solues, .utilizando as capacidades grficas da sua calculadora

Apresente as solues arredondadas s centsimas.

Apresente os grficos que obteve na calculadora e assinale os pontos relevantes.

4. Numa certa regio, uma doena est a afectar gravemente os coelhos que l vivem. Emconsequncia dessa doena, o nmero de coelhos existentes nessa regio est a diminuir.

Admita que o nmero em , de coelhos que existem nessa regio, milhares semanas>aps a doena ter sido detectada, dado aproximadamente por

0> 55

$ # /! "$ >, ( designa um nmero real positivo)

Resolva, os dois itens seguintes.usando exclusivamente mtodos analticos,

Nota: a calculadora pode ser utilizada em clculos numricos; sempre que, em clculosintermdios, proceder a arredondamentos, conserve, no mnimo, quatro casas decimais.

4.1. Suponha que 5 "!

Ao fim de quantos , aps a doena ter sido detectada, que o nmero de coelhosdiasexistentes na referida regio igual a ?* !!!

4.2. Admita agora que o valor de desconhecido.5

Sabe-se que, durante a primeira semana aps a deteco da doena, morreram doismil coelhos e no nasceu nenhum.

Determine o valor de arredondado s dcimas.5,

FIM


COTAES

GRUPO I ................................ .. (5 10 pontos) ............................................... 50 pontos

GRUPO II ..................................................................................................................... 150 pontos

1. ..................................................................................................... 35 pontos

1.1. ........................................................................... 15 pontos

1.2. ........................................................................... 20 pontos

2. ..................................................................................................... 15 pontos

3. ..................................................................................................... 60 pontos

3.1. ........................................................................... 20 pontos

3.2. ........................................................................... 20 pontos

3.3. ........................................................................... 20 pontos

4. ..................................................................................................... 40 pontos

4.1. ........................................................................... 20 pontos

4.2. ........................................................................... 20 pontos

Total ............................................................................................................................. 200 pontos


Verso 1

Teste Intermdio de Matemtica A 12. Ano Verso 1 Pgina 1

Teste Intermdio

Matemtica A

Verso 1




Na folha de respostas, indique claramente a verso do teste.




GRUPO I


Em cada um deles, so indicadas quatro opes, das quais s uma est correcta.

Escreva, na sua folha de respostas, apenas o nmero de cada item e a letracorrespondente opo que seleccionar para responder a esse item.

.No apresente clculos, nem justificaes

Se apresentar mais do que uma opo, a resposta ser classificada com zero pontos,o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegvel.

1. Seja uma funo , de domnio 1 contnua

Qual dos seguintes conjuntos ser o contradomnio da funo ?no pode 1

(A) (B) (C) (D) ! # !

2. Na figura 1, est parte da representao grfica de uma funo polinomial 0

O ponto de abcissa o nico ponto de inflexo do grfico da funo # 0

Figura 1

Qual das expresses seguintes pode definir , da funo ?0 0ww segunda derivada

(A) (B) (C) (D) B # # B B B ## # #


3. Seja um nmero real diferente de zero.+

Qual o valor de ? limB!

/ "+B + B

+B

# #

(A) (B) (C) (D) " "+ #+ !

4. Quantos nmeros naturais de trs algarismos diferentes se podem escrever, noutilizando o algarismo 2 nem o algarismo 5 ?

(A) (B) (C) (D) #&' #() #)' #*%

5. Um teste constitudo por oito perguntas de escolha mltipla.

A sequncia das oito respostas correctas s oito perguntas desse teste

E E F H E H E E

O Pedro, que no se preparou para o teste, respondeu ao acaso s oito perguntas.

Qual a probabilidade de o Pedro ter respondido correctamente a todas as perguntas,

sabendo que escolheu cinco opes , uma opo e duas opes ?E F H

(A) (B) (C) (D) " " " "&' ""# "') ##%


GRUPO II

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente que tiver de efectuar etodos os clculos

todas as justificaes necessrias.

Ateno: quando, para um resultado, no pedida a aproximao, apresente sempre ovalor exacto.

1. Seja o conjunto dos nmeros complexos; designa a unidade imaginria. 3

Determine ."#3$ 3 3 3

$3

' (

sem recorrer calculadora

Apresente o resultado na forma , com e B C3 B C

2. Seja o espao de resultados associado a uma certa experincia aleatria.H

Sejam e dois acontecimentos e de probabilidade no nula.\ ] \ ] ( )H H

Prove que

T\ ] T\ T] l\ T\ T]

( designa probabilidade, e designam os acontecimentos contrrios de eT \ ] \

de , respectivamente, e designa uma probabilidade condicionada)] T] l\

3. Considere a funo , de domnio , definida por 0 0B $ % B / # B

Resolva os itens seguintes, .usando exclusivamente mtodos analticos

3.1. Mostre que o grfico da funo 0 tem uma nica assimptota e escreva uma

equao dessa assimptota.

3.2. Mostre que a funo 0 tem um nico mnimo relativo e determine-o.

3.3. Seja a funo , de domnio , definida por1 !

designa logaritmo de base 1B B 0B $ /ln ln Determine os zeros da funo 1


4. Na figura 2, est representado um tringulo rectngulo , cujos catetos, eEFG EF

FG &, medem unidades.

Considere que um ponto se desloca sobre oT

cateto , nunca coincidindo com nemFG F

com G

Para cada posio do ponto , seja aT B

amplitude, em radianos, do ngulo FET

B ! 1%

Seja a funo que, a cada valor de , faz0 B

corresponder o do tringulo permetro ETG

Figura 2

Resolva os itens e , 4.1. 4.2. usando exclusivamente mtodos analticos.

4.1. Mostre que 0B & B &! &&Bcos tg

4.2. Seja a recta tangente ao grfico da funo no ponto de abcissa < 01

' Determine o declive da recta

Documents

Inter Me Dios