Interpol a Cao

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  • Mtodos NumricosInterpolao / Aproximao

    Renato S. Silva, Regina C. Almeida

  • Interpolao / Aproximao

    situao: uma fbrica despeja dejetos no leito de um rio;objetivo: determinar a quantidade de dejetos expelidos durante o dia;metodologia idealizada: fazer a coleta de amostra a cada hora;realizado: aps muitas tentativas, apenas 4 tiveram sucesso

    hora quantidade de poluentes (Kg/hora)08:00 210:00 313:00 417:00 1

    Como estimar o que se deseja dos dados observados?

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  • Exemplo: despejo de poluenteTentar extrair dos dados coletados alguma indicao sobre a funo que descrevea taxa de mudana na quantidade de poluio ao longo do diabuscar alguma informao sobre a integral - quantidade de poluentes ao diareescrevendo os dados de outra maneira, com o tempo medido a partir do horriode incio de funcionamento da fbrica

    nmero de horas quantidade de poluentesaps as 08:00h (Kg/hora)

    0 22 35 49 1

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  • Exemplo: despejo de poluenteRepresentao grfica das medidas:

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  • Exemplo: despejo de poluentePara preencher as lacunas nos dados, admite-se que osvalores de uma medida so constantes at a seguinte:

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  • Exemplo: despejo de poluenteAlternativamente, admite-se variao linear entre osvalores coletados:

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  • Exemplo: despejo de poluenteE se supormos que o despejo ocorre de forma contnua e suave?

    F

    InterpolaoPolinomial (linear, Lagrange, diferenas divididas)Splines

    AproximaoSrie de TaylorMnimos Quadrados

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  • Interpolao Polinomial

    calcular um polinmio que de algum modoaproxima em um intervalo so dados pontos distintos no plano

    deseja-se determinar um polinmio que interpolaestes pontos, isto , satisfaz

    tem grau

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  • Interpolao Polinomial

    Exemplo: despejo de poluentes com dados:

    nmero de horas quantidade de poluentesaps as 08:00h (Kg/hora)

    0 22 35 49 1

    Polinmio interpolador (grau )

    significa obter os oeficientes e

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  • Interpolao Polinomial

    se

    ento

    sistema de 4 equaes lineares em e

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  • Interpolao Polinomial

    pode ser resolvido usando o mtodo de eliminaode Gauss

    nico

    encontrar meio mais simples e barato dedetermin-lo

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  • Interpolao por Polinmios de Lagrange

    novamente considere

    considere 4 polinmios especiais de grau 3 (Polinmios de Lagrange):

    e

    satisfazem por construo e

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  • Interpolao por Polinmios de Lagrange

    Fazendo

    Tem duas propriedades:

    um polinmio de grau

    o polinmio interpolante desejadono necessrio resolver sistema de equaes

    custo decorre da determinao dos polinmios de Lagrange

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  • Forma de Diferenas Divididas de Newton

    O polinmio interpolante

    , onde so:

    .

    .

    .

    note que

    se

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  • Forma de Diferenas Divididas de Newton

    Com

    se

    obtm-se

    ento o sistema de equaes :

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  • Forma de Diferenas Divididas de Newton

    Resolvendo por substituio:

    .

    .

    .

    os coeficientes recebem uma denominao especial:

    e

    a diferena dividida de em

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  • Forma de Diferenas Divididas de Newton

    o polinmio que interpola em

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  • Forma de Diferenas Divididas de Newton

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  • Forma de Diferenas Divididas de Newton

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  • Forma de Diferenas Divididas de Newton

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    0 2 4 6 8 10

    K

    g

    /

    h

    o

    r

    a

    horas

    dados2+x/2-x*(x-2)/30-17*x*(x-2)*(x-5)/1260

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  • Forma de Diferenas Divididas de Newton

    entre e

    entre e

    entre e

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  • Forma de Diferenas Divididas de Newton

    entre e

    entre e

    entre e

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    0 2 4 6 8 10

    K

    g

    /

    h

    o

    r

    a

    horas

    dados2+x/2

    3+(x-2)/34-3*(x-5)/4

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  • Interpolante Linear por Partes

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    0 2 4 6 8 10

    K

    g

    /

    h

    o

    r

    a

    horas

    dadoslinear por partes

    nenhuma restrio de continuidade imposta sobre ou sobre suas derivadasentre os sub-intervalos

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  • Erro de Interpolao

    Teorema do erro para aproximao polinomial: Seja

    o polinmio (nico) de grau que interpola em

    uma funo definida num intervalo

    que contm os pontos. Se vezescontinuamente diferencivel em , ento para

    o erro dado por

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  • Interpolao Usando Splines

    exige-se certa regularidade do interpolante nainterface entre os sub-intervalosSPLINES: polinmios de ordem que interpolam osdados e tm derivadas contnuas em todo ointervalo

    o spline deve passar nos nso spline no forma ngulos agudos

    spline cbica ( ) a mais comum

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  • Interpolao Usando Spline Cbica

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    0 2 4 6 8 10

    K

    g

    /

    h

    o

    r

    a

    horas

    dadosprimeiro intervalosegundo intervaloterceiro intervalo

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  • Aproximao

    se conhece a funo mais ela muito complicadase tem um conjunto de dados

    aproximar por funes simples ou polinmios

    quo boa a aproximao?aproximaes para um conjunto de dados

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  • Aproximao

    dados

    so determinados por um sistema linear

    dependem da natureza dos dadosem geral muito menor que

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  • Aproximao

    qualidade da aproximao erroerro ou resduo

    mtodo dos mnimos quadrados

    minimizado

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  • Aproximao

    Seja o conjunto de dados A funo

    que melhor se ajusta, no sentido de mnimos quadrados, a funo cujos parmetros so determinados demodo que a soma dos quadrados dos resduos sejamnima

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  • Aproximao por Mnimos Quadrados

    Seja dado por

    reescrito como

    passar por um mnimo quando as derivadasparciais se anularem simultaneamente, ie,

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  • Aproximao por Mnimos Quadrados

    Como

    reescrevemos

    sistema de equaes com incgnitas

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  • Aproximao por Mnimos Quadrados

    Ajuste Polinomial:

    Ajuste a uma reta - Regresso LinearDados

    procura-se a reta

    que melhor se ajusta aos dados

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  • Regresso Linear

    Pelo critrio dos mnimos quadrados

    para que

    seja mnimo

    e

    onde

    e

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  • Regresso Linear

    ou

    ou

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  • Regresso Linear

    resolver o sistema para determinar e

    sistema : regra de Cramer

    e

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  • Regresso Linear - Exemplo do despejo de poluentes

    e

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  • Regresso Linear - Exemplo do despejo de poluentes

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    0 2 4 6 8 10

    K

    g

    /

    h

    o

    r

    a

    horas

    dadosaprox. linear

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  • Aproximao Quadrtica

    mnimo resduo

    e

    onde

    e

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  • Aproximao Pela Srie de Taylor

    Expanso em srie de Taylor de :

    necessrio conhecer

    aproximar

    se suave, ento: mais termos melhoraproximao

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  • Aproximao Pela Srie de Taylor

    Exemplo do despejo de poluentesFazendo

    diferena divididas: linear por partes

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  • Aproximao Pela Srie de Taylor

    Exemplo do despejo de poluentes

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    0 2 4 6 8 10

    K

    g

    /

    h

    o

    r

    a

    horas

    dados2+x/2

    3+(x-2)/34-3*(x-5)/4

    Geoma/03 p.41/41

    Interpolac {c}~{a}o / Aproximac {c}~{a}oExemplo: despejo de poluenteExemplo: despejo de poluenteExemplo: despejo de poluenteExemplo: despejo de poluenteExemplo: despejo de poluenteInterpolac {c}~{a}o PolinomialInterpolac {c}~{a}o PolinomialInterpolac {c}~{a}o PolinomialInterpolac {c}~{a}o Polinomial{large Interpolac {c}~{a}o por Polin^{o}mios de Lagrange}{large Interpolac {c}~{a}o por Polin^{o}mios de Lagrange}{large Forma de Diferenc {c}as Divididas de Newton}{large Forma de Diferenc {c}as Divididas de Newton}{large Forma de Diferenc {c}as Divididas de Newton}{large Forma de Diferenc {c}as Divididas de Newton}{large Forma de Diferenc {c}as Divididas de Newton}Forma de Diferenc {c}as Divididas de Newton{large Forma de Diferenc {c}as Divididas de Newton}{large Forma de Diferenc {c}as Divididas de Newton}{large Forma de Diferenc {c}as Divididas de Newton}Interpolante Linear por PartesErro de Interpolac {c}~{a}oInterpolac {c}~{a}o Usando SplinesInterpolac {c}~{a}o Usando Spline C'{u}bicaAproximac {c}~{a}oAproximac {c}~{a}oAproximac {c}~{a}oAproximac {c}~{a}o{large Aproximac {c}~{a}o por M'{i}nimos Quadrados}{large Aproximac {c}~{a}o por M'{i}nimos Quadrados}{large Ap