Interpreta¸c˜ ao F´ ısica dos Zeros dos Polinômios Ortogonais de Jacobi Jonas Antonio Padovani Ederli , Fernando Rodrigo Rafaeli Depto de Matem´ atica, Estat´ ıstica e Computa¸ c˜ ao, FCT, UNESP, 19060-900, Presidente Prudente, SP E-mail: [email protected], [email protected] Palavras-chave: Análise e aplica¸ cões, polinômios ortogonais de Jacobi, zeros, interpreta¸ c˜ ao f´ ısica Resumo: Neste trabalho apresentamos uma bela interpreta¸ cãof´ ısica advinda da eletrostática para os zeros dos polinˆ omios ortogonais de Jacobi. 1 Introdu¸ c˜ ao Uma das principais motiva¸ c˜ oes e das mais bonitas para o estudo dos zeros dos polinˆ omios ortogonais de Jacobi, que s˜ aosolu¸c˜ oes de equa¸c˜ oes diferenciais de segunda ordem, ´ e que eles possuem uma bela interpreta¸c˜ ao f´ ısica advinda da eletrost´ atica. O vetor dos zeros ´ e o ponto de equil´ ıbrio de um campo eletrost´ atico. Resumidamente, ainterpreta¸c˜ ao eletrost´ atica dos zeros do n-´ esimo polinˆ omio de Jacobi, P (α,β) n (x), que s˜ ao ortogonais em [-1, 1] com rela¸ c˜ ao ` a fun¸ c˜ ao peso ω α,β (x) = (1 - x) α (1 + x) β dx, α, β > -1, ´ e a seguinte: Sejam, ent˜ ao, x n,k (α, β ), k =1,...,n, os zeros de P (α,β) n (x) arranjados em ordem decrescente, fun¸ c˜ oes dos parˆ ametros α, β . T. J. Stieltjes provou em [2, 3, 4] que, dadas duas cargas fixas nos pontos -1 e 1 com for¸cas (β +1)/2e(α+1)/2, respectivamente, e n cargas unit´ arias livres em (-1, 1), a energia do campo eletrost´ atico gerada por elas atinge um m´ ınimo local quando as cargas unit´ arias est˜ ao localizadas em x n,k (α, β ). Aqui, o campo obedece a lei do potencial logar´ ıtmico o que significa que todas as cargas, fixas e livres, s˜ ao distribu´ ıdas ao longo de fios infinitos perpendiculares ao eixo real. G. Szeg˝ o [5, Se¸ c˜ ao 6.83] provou que a energia tem um ´ unico m´ ınimo global, o que mostra que os zeros do polinˆ omio de Jacobi de grau n s˜ ao os pontos de equil´ ıbrio est´ avel da energia. A. Markov [1] (ver, tamb´ em, G. Szeg˝ o [5, Teorema 6.12.1]) provou que todos os zeros x n,k (α, β ) s˜ aofun¸c˜ oes crescentes de β e decrescentes de α. Isso fica intuitivamente claro da interpreta¸c˜ ao eletrost´ atica apresentada acima uma vez que todas as cargas s˜ ao positivas e se repelem. Referˆ encias [1] A. Markov, Sur les racines de certaines ´ equations (second note), Mathematische Annalen, 27 (1886), 177–182. [2] T. J. Stieltjes, Sur les quelques th´ eor´ emes d’alg´ ebre, C.R. Acad. Sci. Paris, 100 (1885), 439–440. [3] T. J. Stieltjes, Sur les polynˆ omes de Jacobi, C. R. Acad. Sci. Paris, 100 (1885), 620–622. 148 ISSN 2317-3300

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Interpretacao Fısica dos Zeros dos Polinomios Ortogonais deJacobi

Jonas Antonio Padovani Ederli, Fernando Rodrigo RafaeliDepto de Matematica, Estatıstica e Computacao, FCT, UNESP,

19060-900, Presidente Prudente, SPE-mail: [email protected], [email protected]

Palavras-chave: Analise e aplicacoes, polinomios ortogonais de Jacobi, zeros, interpretacaofısica

Resumo: Neste trabalho apresentamos uma bela interpretacao fısica advinda da eletrostaticapara os zeros dos polinomios ortogonais de Jacobi.

1 Introducao

Uma das principais motivacoes e das mais bonitas para o estudo dos zeros dos polinomiosortogonais de Jacobi, que sao solucoes de equacoes diferenciais de segunda ordem, e que elespossuem uma bela interpretacao fısica advinda da eletrostatica. O vetor dos zeros e o ponto deequilıbrio de um campo eletrostatico. Resumidamente, a interpretacao eletrostatica dos zeros don-esimo polinomio de Jacobi, P (α,β)

n (x), que sao ortogonais em [−1, 1] com relacao a funcao pesoωα,β(x) = (1−x)α(1 +x)βdx, α, β > −1, e a seguinte: Sejam, entao, xn,k(α, β), k = 1, . . . , n, oszeros de P (α,β)

n (x) arranjados em ordem decrescente, funcoes dos parametros α, β. T. J. Stieltjesprovou em [2, 3, 4] que, dadas duas cargas fixas nos pontos −1 e 1 com forcas (β+1)/2 e (α+1)/2,respectivamente, e n cargas unitarias livres em (−1, 1), a energia do campo eletrostatico geradapor elas atinge um mınimo local quando as cargas unitarias estao localizadas em xn,k(α, β).Aqui, o campo obedece a lei do potencial logarıtmico o que significa que todas as cargas, fixas elivres, sao distribuıdas ao longo de fios infinitos perpendiculares ao eixo real. G. Szego [5, Secao6.83] provou que a energia tem um unico mınimo global, o que mostra que os zeros do polinomiode Jacobi de grau n sao os pontos de equilıbrio estavel da energia.

A. Markov [1] (ver, tambem, G. Szego [5, Teorema 6.12.1]) provou que todos os zerosxn,k(α, β) sao funcoes crescentes de β e decrescentes de α. Isso fica intuitivamente claro dainterpretacao eletrostatica apresentada acima uma vez que todas as cargas sao positivas e serepelem.

Referencias

[1] A. Markov, Sur les racines de certaines equations (second note), Mathematische Annalen,27 (1886), 177–182.

[2] T. J. Stieltjes, Sur les quelques theoremes d’algebre, C.R. Acad. Sci. Paris, 100 (1885),439–440.

[3] T. J. Stieltjes, Sur les polynomes de Jacobi, C. R. Acad. Sci. Paris, 100 (1885), 620–622.

148

ISSN 2317-3300