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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
CURSO DE GRADUAÇÃO EM FÍSICA - LICENCIATURA
Laura Suzumi Varjão Komatsu
INTERPRETAÇÕES DA MECÂNICA QUÂNTICA
Barra do Garças
2019
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
CURSO DE GRADUAÇÃO EM FÍSICA - LICENCIATURA
Laura Suzumi Varjão Komatsu
INTERPRETAÇÕES DA MECÂNICA QUÂNTICA
Trabalho de Curso apresentado à Universidade
Federal de Mato Grosso - Campus
Universitário do Araguaia - Instituto de
Ciências Exatas e da Terra, como parte dos
requisitos para obtenção do título de Graduado
em Física - Licenciatura.
Orientador: Prof. Dr. Adellane Araujo de
Sousa.
Barra do Garças
2019
2
3
"Dedico este trabalho à minha filha!”
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AGRADECIMENTOS
Primeiramente quero agradecer a Deus por ter chegado até aqui!
Dedico este meu trabalho assim com as lutas durante o curso à minha filha Mariana
Komatsu carinhosamente chamada por mim de “chaveirinho” onde, todas as lutas, angustias e
alegrias esteve ao meu lado me dando forças para nunca desistir. Não foi fácil, mas
conseguimos!
Agradeço a minha família em especial minha mãe Elvira e meu pai Mario, aos meus
irmãos Sylvio e Suzuki que tanto me incentivaram a seguir em frente e lutar pelo que acredito,
assim eu agradeço o olhar e as atitudes protetoras sempre que precisei mesmo me dando
algumas broncas construtivas que carrego comigo com muito carinho. Vocês são meu porto
seguro!
Durante esse longo tempo de curso passaram diversos professores que não poderia
deixar de agradecer e que sempre levarei comigo os ensinamentos, as conversas e a paciência
para comigo, são eles: Prof. Dr. Arian Paulo de Almeida Moraes, Prof. Dr. Gilberto de Campos
Fuzari Junior, e em especial ao meu orientador Prof. Dr. Adellane Araujo de Sousa. O meu
muito obrigada e saibam que tenho um carinho enorme por todos vocês do curso!
O que seria de nós sem os nossos amigos? Aqueles que choramos e damos risadas e é o
que nos motiva a seguir em frente, agradeço a minha irmã “de coração” Adriana, a minha prima
Jane que foram guerreiras nas minhas angustias desde o início do meu curso, vocês são demais!
5
“Ninguém que não tenha ficado chocado com
a teoria quântica a entendeu realmente”.
Niels Bohr
6
RESUMO
O trabalho consiste em apresentar de forma clara e objetiva duas interpretações da
mecânica quântica: a de Copenhague e das Variáveis Ocultas. Embora existem dezenas de
interpretações para a mecânica quântica, essas duas interpretações estão entre as mais
comentadas nos dias atuais. Vamos explicar o famoso experimento da Dupla Fenda, para
melhor entendimento da diferença entre essas duas interpretações. Nosso foco não é discutir
qual intepretação está certa ou errada, mas mostrar o que cada interpretação apresenta e defende.
Para uma melhor compressão também é discutido outro experimento com base nessas
interpretações: Paradoxo EPR (Einstein, Podolsky e Rosen) ou Entrelaçamento Quântico.
Palavras chave: Mecânica Quântica, Copenhague, Variáveis Ocultas, Dupla Fenda, Paradoxo
EPR, Entrelaçamento Quântico.
7
ABSTRACT
The work consists of presenting clearly and objectively two interpretations of quantum
mechanics: Copenhagen and the Hidden Variables. Although there are dozens of interpretations
for quantum mechanics, these two interpretations are among the most talked about these days.
Let us explain the famous experiment of the Double Slit, for a better understanding of the
difference between these two interpretations. Our focus is not to discuss which interpretation is
right or wrong, but to show what each interpretation presents and defends. For a better
compression is also discussed another experiment based on these interpretations: Paradox EPR
(Einstein, Podolsky and Rosen) or Quantum Interlacing.
Key-words: Quantum Mechanics, Copenhagen, Hidden Variables, Double-Slit, EPR Paradox,
Quantum Intertwining.
8
LISTA DE FIGURAS
Figura 1-Tela registradora do elétron.................................................................................... 15
Figura 2-Superposição de Ondas Construtiva e Destrutiva.................................................... 16
Figura 3- Interferência de Ondas .......................................................................................... 18
Figura 4- Dupla Fenda na interpretação de Copenhague, comportamento ondulatório. ......... 23
Figura 5- Dupla Fenda na interpretação de Copenhague, comportamento corpuscular. ......... 24
Figura 6- Dupla Fenda na interpretação das Variáveis Ocultas. ............................................ 33
9
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 10
2 OBJETIVOS ........................................................................................................... 12
2.1 Objetivo Geral ......................................................................................................... 12
2.2 Objetivo Específico .................................................................................................. 12
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO .................................................... 13
3.1 Dualidade Onda-Partícula ...................................................................................... 13
3.2 Interferência ............................................................................................................ 15
3.3 Experimento de Young ............................................................................................ 17
4 DESENVOLVIMENTO ......................................................................................... 19
4.1 Interpretação de Copenhague ................................................................................. 19
4.2 Equação de Schroedinger na interpretação de Copenhague ................................. 20
4.3 Dupla Fenda na interpretação de Copenhague ...................................................... 23
4.4 O gato de Schroedinger ........................................................................................... 24
4.5 Teoria das Variáveis Ocultas .................................................................................. 26
4.6 Equação de Schroedinger na Teoria das Variáveis Ocultas .................................. 27
4.7 Intepretação da Onda Piloto ................................................................................... 29
4.8 Dupla Fenda na Teoria das Variáveis Ocultas ....................................................... 32
4.9 Paradoxo EPR ......................................................................................................... 34
4.10 Entrelaçamento Quântico ....................................................................................... 34
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO ............................................................................. 36
6 CONCLUSÕES ....................................................................................................... 38
REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 40
APÊNDICE .............................................................................................................................41
10
1 INTRODUÇÃO
Uma curiosidade na mecânica quântica é que para esta teoria não podemos prever com
exatidão o que irá acontecer com o comportamento de um objeto quântico, como por exemplo,
medir simultaneamente a posição e velocidade um elétron. Geralmente, conseguimos associar
esse comportamento com probabilidades para os resultados das medições.
Um exemplo que iremos abordar neste trabalho é o experimento da Dupla Fenda. Grosso
modo falando, temos ali muitos elétrons passando e se propagando da mesma maneira e para
esta teoria, ela prevê de maneira correta a distribuição estatística dos resultados que seria esta
probabilidade de encontramos o objeto quântico em determinadas regiões.
Alguns resultados experimentais mostram que um único elétron que poderíamos
considera-lo como “partícula” também se propaga como onda, pois o próprio experimento nos
mostra que existe interferência e difração que são comportamentos típicos ondulatórios. Porém,
na hora de sua detecção este elétron se comporta como algo pontual, um típico comportamento
corpuscular e isso é algo “estranho”, pois, se um “objeto” se propaga como onda esperamos
que ela seja espalhada como uma onda; porém quando vamos medir este “objeto” nos
deparamos com um ponto.
E por termos situações curiosas como estas é que surgem as várias interpretações da
mecânica quântica. Na visão mais ortodoxa da interpretação de Copenhague, o elétron é visto
como uma onda e que sofre um colapso no ponto de sua medição e o que temos são
probabilidades de encontrarmos este elétron e para esta interpretação não podemos assumir dois
estados (onda e partícula) ao mesmo tempo. Em uma visão alternativa, temos a Teoria das
Variáveis Ocultas onde o fenômeno possa ser interpretado como uma onda e que carrega
consigo o elétron, como se este elétron estivesse “surfando” nesta onda, para esta interpretação
o estado de onda e partícula caminham juntos.
Com o experimento da Dupla Fenda podemos entender este comportamento frente à
essas duas interpretações e visto que a mecânica quântica passou por vários momentos de
calorosas discussões, não só o experimento da Dupla Fenda foi discutido como houve tentativas
de explica-lo em outros experimentos como o Gato de Schroedinger (experimento mental) e o
Paradoxo ERP (Einstein, Podolsky e Rosen) para o Entrelaçamento Quântico. Este último
realmente foi comprovado, tornando a mecânica quântica uma teoria ainda mais fascinante.
Neste trabalho vamos descrever o experimento da dupla fenda na visão da intepretação
usual, chamada de Copenhague e na visão de uma intepretação alternativa da mecânica
11
quântica, chamada de Variáveis Ocultas. Ambas as interpretações fornecem os mesmos
resultados experimentais, ou seja, uma figura de interferência num anteparo com detector,
porém cada intepretação tem uma descrição da realidade, diferente uma da outra. Esperamos
que este trabalho seja um ponto de partida para o interesse de alunos da graduação nas
interpretações alternativas da mecânica quântica e sua relação com a Filosofia da Ciência bem
como futuros trabalhos de pós-graduação nessas áreas citadas. O objeto quântico tratado nesse
trabalho será considerado sem “spin” e não relativístico, por simplicidade no tratamento físico
e matemático.
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2 OBJETIVOS
2.1 Objetivo Geral
Explicar a o experimento da Dupla Fenda à luz das Interpretações de Copenhague e a
Teoria das Variáveis Ocultas, e apresentar o Paradoxo EPR (Einstein, Podolsky e Rosen) no
Entrelaçamento Quântico como experimentos auxiliares.
2.2 Objetivo Específico
1. Fazer uma revisão da literatura com um histórico sobre duas Interpretações da Mecânica
Quântica, Copenhague e Variáveis Ocultas; e explicar as duas Interpretações.
2. Apresentar o formalismo da Variáveis Ocultas e o significado do Potencial Quântico
3. Explicar o experimento da Dupla Fenda segundo essas duas Interpretações.
4. Apresentar outros experimentos segundo essas Interpretações como o Gato de
Schroedinger, o Paradoxo ERP no Emaranhamento Quântico;
5. Sugerir qual interpretação está correta e qual está errada ou se é inconclusivo definir um
vencedor.
13
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO
3.1 Dualidade Onda-Partícula
Ao solucionar o problema de por que o brilho do carvão em brasa é vermelho e não azul,
o físico alemão Max Planck deu início a uma revolução que levou ao nascimento da física
quântica. Buscando descrever tanto a luz quanto o calor em suas equações, ele segmentou a
energia em pequenos pacotes de energia ao qual ele chamou de “quanta”, e durante esse
processo foi explicado o motivo do por que corpos aquecidos emitem tão pouca luz ultravioleta.
(BACKER, 2015, pg.14).
Planck atribuiu uma frequência a cada uma dessas energias, de modo que E = hν, em
que E é energia, ν é a frequência da luz e h é um fator constante, hoje conhecido como constante
de Planck, sendo esta a constante mais fundamental para a Mecânica Quântica. Essas unidades
de energia foram batizadas com o termo quanta, pois vem do latim. Planck supôs que a energia
E poderia ter apenas certos valores discretos, em vez de qualquer valor (EISBERG, 1988,
pg.33).
Portanto, a mecânica quântica é principalmente o estudo do mundo microscópico e neste
mundo, muitas grandezas físicas são encontradas apenas em múltiplos inteiros de uma
quantidade elementar e esta quantidade elementar é o que chamamos de “quantum”. Einstein
propôs que para uma radiação eletromagnética a luz era quantizada e esta quantidade elementar
hoje é chamada de “fótons”. (HALLIDAY, vol.4, 2009, pg.186).
Em 1905, Einstein colocou em questão a teoria clássica da luz, propôs uma nova teoria,
e citou o efeito fotoelétrico como aplicação que poderia testar qual teoria estava correta.
Einstein não concentrou sua atenção na forma ondulatória familiar com que a luz se propagava,
mas sim na maneira corpuscular com que ela é emitida e absorvida. Ele supôs que a energia E
do pacote, ou fóton, está relacionada com sua frequência ν pela equação E = hν. (EISBERG,
1988, pg.54-55). O que Einstein fez na verdade foi colocar a proposta de Planck em ação no
experimento do efeito fotoelétrico.
Após a descoberta do fóton na mecânica quântica, assim como uma série de
experimentos mirabolantes no século XIX mostrou que a teoria da luz antes vista como caráter
ondulatório estava errada ou ao menos era insuficiente. Ficou claro que a luz que incide sobre
uma superfície de metal desloca elétrons, cujas energias só podem ser explicadas se a luz for
composta por fótons – corpúsculos e não de ondas.
14
Na virada do século XX, a ideia de que a luz e a eletricidade eram transmitidas como
ondas e que a matéria sólida era feita de partículas veio abaixo, e assim os experimentos
revelaram que elétrons e fótons, (corpúsculos) sofriam difração e interferência – assim como as
ondas (ondulatórios). “Ondas e partículas são dois lados da mesma moeda.” Assim é conhecida
a interpretação da Complementariedade.
Em 1924 o físico francês Louis de Broglie propôs a seguinte linha de raciocínio: um
feixe luminoso é uma onda, mas transfere energia e momento à matéria através de “pacotes”
chamados de fótons. Por que um feixe de partículas não pode ter as mesmas propriedades?
(HALLIDAY, vol.4, 2009, pg.196).
De acordo com de Broglie, tanto para a matéria quanto para a radiação, a energia total
E esta relacionada à frequência ν da onda associada ao seu movimento pela equação E=hν e o
momento p é relacionado com o comprimento de onda λ da onda associada pela equação p=h/λ.
Aqui conceitos relativos à partículas, energia E e o momento p, estão ligados através da
constante de Planck h aos conceitos relativos a ondas, frequência ν e comprimento de onda λ.
A equação p=h/λ é conhecida como relação de de Broglie. (EISBERG, 1988, pg.87).
Em 1927, a previsão de de Broglie de que as partículas de matéria se comportavam
como onda em certas circunstâncias foi confirmada através do experimento de C. J. Davisson
e L. H. Germer nos Estados Unidos e por Thomson na Escócia. Nesse experimento, uma figura
de interferência foi obtida fazendo incidir elétrons, um a um, em um anteparo com duas fendas
estreitas, esse arranjo experimental era o mesmo usado para demostrar a interferência de ondas
luminosas.
Os primeiros elétrons não mostraram nada de interessante e pareciam chegar até a tela
em pontos aleatórios como mostra a Figura 1. Mas, depois de alguns milhares de elétrons
atravessarem as fendas, começou então a aparecer um padrão de faixas claras e escuras na tela,
caracterizando um padrão de Interferência. Isso significa que cada elétron passou pelas fendas
como uma onda de matéria, ou seja, a parte que passou por uma fenda interferiu com a parte
que passou pela outra. (HALLIDAY, vol.4, 2009, pg.187).
Na próxima seção, passamos a discutir os fundamentos físicos e matemáticos da
interferência de ondas em uma corda como uma primeira aproximação no entendimento do
fenômeno de interferência de partículas.
15
Figura 1-Tela registradora do elétron
Fonte: PESSOA JR, 2003
3.2 Interferência
Com o intuito de entendermos o funcionamento de interferência de ondas em geral,
passamos a descrever por simplicidade como funciona a interferência de ondas mecânicas em
uma corda.
Suponha que duas ondas se propagam simultaneamente na mesma corda esticada, os
deslocamentos que a corda sofreria se cada onda se propagasse sozinha seria a soma algébrica.
𝑦𝑟(𝑥, 𝑡) = 𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑦2(𝑥, 𝑡) (1)
Estas ondas superpostas significam que elas se somam algebricamente para produzir
uma onda resultante total. Este é o princípio da superposição, segundo o qual, quando vários
efeitos ocorrem simultaneamente o efeito total é a soma dos efeitos individuais.
Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda se propagam no
mesmo sentido em uma corda, elas interferem para produzir onda resultante senoidal que se
propaga nesse sentido.
Se as ondas estão exatamente em fase, ou seja, se os picos e vales de uma estão
exatamente alinhados com os da outra, o deslocamento total a cada instante é o dobro do
deslocamento que seria produzido por apenas uma das ondas. Se estão totalmente defasadas,
ou seja, os picos de uma estão exatamente alinhados com os vales da outra, elas se cancelam
mutuamente e o deslocamento é zero; a corda permanece parada.
Portanto, o fenômeno de combinação ou superposição de ondas recebe o nome de
interferência, e dizemos que as ondas interferem entre si.
Suponha que uma das ondas que se propagam em uma corda é dada por.
𝑦1(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) (2)
e que a outra, desloca em relação à primeira, é dada por.
16
𝑦2(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + ∅) (3)
Essas ondas têm a mesma frequência angular ω, portanto a mesma frequência f, o mesmo
número de onda k e portanto, o mesmo comprimento de onda λ e a mesma amplitude 𝑦𝑚. Ambas
se propagam no sentido positivo do eixo x, com a mesma velocidade e se diferem apenas de um
angulo constante 𝜙, a constante de fase. Logo, dizemos que essas ondas estão defasadas de 𝜙
ou que sua diferença de fase é 𝜙.
Segundo o princípio de superposição, a onda resultante é a soma algébrica das duas
ondas e tem um deslocamento.
𝑦𝑟(𝑥, 𝑡) = 𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑦2(𝑥, 𝑡) (4)
𝑦𝑟(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝑦𝑚
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜙) (5)
A soma dos senos de dois ângulos α e β obedece à:
𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛1
2(𝛼 + 𝛽)𝑐𝑜𝑠
1
2(𝛼 − 𝛽) (6)
Obtemos a equação da onda resultante para a interferência de ondas:
𝑦𝑟(𝑥, 𝑡) = [2𝑦𝑚
𝑐𝑜𝑠1
2𝜙] 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 +
1
2𝜙) (7)
onde ω é a frequência angular, k é o número de ondas, λ é o comprimento de onda e 𝑦𝑚 é a
amplitude da onda.
Logo, a interferência que produz a maior amplitude possível é chamada de interferência
construtiva e embora duas ondas estejam se propagando na corda e não vemos a corda se mover,
temos então outro tipo de interferência chamada de interferência destrutiva. (HALLIDAY 2009
Vol.2, pg.129-131). A Figura 2 abaixo mostra diferentes etapas no processo de interferência de
dois pulsos em uma corda.
Figura 2-Superposição de Ondas Construtiva e Destrutiva.
Fonte: http://professorbiriba.com.br/boilerplate/html/colegio/terceiroano/aula14-terceiroano.html,
Acessado em: 12/04/2019.
Na próxima seção passamos a explicar a interferência de ondas luminosas.
17
3.3 Experimento de Young
Na seção anterior, explicamos de maneira geral, o fenômeno de interferência tendo
como exemplo mais simples, a interferência de ondas unidimensionais em uma corda. A seguir
passamos a estender esse conceito para as ondas luminosas.
Em 1801, Thomas Young provou experimentalmente que a luz é uma onda, ao contrário
do que pensavam muitos cientistas na época. O que o Thomas fez foi demostrar que a luz sofre
interferência como as ondas do mar, as ondas sonoras e outros tipos de ondas. (HALLIDAY,
v.4, 2009, pg. 83). Como vimos anteriormente nos experimentos, algo que era tido como luz
estava associado a onda, mas também tinha características de partículas.
Quando uma onda luminosa se divide em duas, as diferentes trajetórias podem se
misturar tanto para reforçar quanto para cancelar o sinal. Assim como nas ondas de água, onde
cristas se encontram, ondas se combinam e listras brilhantes aparecem; onde cristas e vales se
cancelam um ao outro, fica escuro. Esse comportamento, chamado interferência, prova que a
luz age como uma onda. (BAKER, 2015, pg. 23).
A imagem mostrada na Figura 3 nos mostra a configuração usada no experimento de
Young. A luz de uma fonte monocromática distante ilumina a fenda Sο do anteparo A. A luz
difratada pela fenda se espalha e é usada para iluminar as fendas S1 e S2 do anteparo B. Uma
nova difração ocorre quando a luz atravessa essas fendas, e duas ondas esféricas se propagam
simultaneamente no espaço à direita do anteparo B, interferindo uma com a outra.
Não podemos, porém, observar a interferência a não ser em que uma tela de observação
C for usada para interceptar a luz. Neste caso, os pontos em que as ondas se reforçam formam
listras iluminadas, denominadas franjas claras, ao longo da tela. Os pontos em que as ondas se
cancelam formam listras sem iluminação, denominadas franjas escuras. O conjunto de franjas
claras e escuras que aparecem na tela é chamado de interferência, como vimos anteriormente.
(HALLIDAY, v.4, 2009, pg. 83).
18
Figura 3- Interferência de Ondas
Fonte: PORTANOVA, 2016
A descoberta de Young foi importante na época porque contrariava a ideia anterior de
Newton de que a luz era feita de partículas ou corpúsculos. Como duas ondas luminosas podem
entrar em interferência, Young mostrou claramente que a luz é uma onda. Partículas teriam
passado reto pelas fendas na cartolina e produzido apenas duas listras na tela.
Mas isso não é tão simples. Físicos têm mostrado desde então que a luz é caprichosa:
em algumas circunstâncias ela se comporta como uma partícula, em outras como uma onda. E
variações do experimento de dupla fenda de Young que emite raios de luz muito fracos e
fechando as fendas rapidamente após a luz passar, são ainda importantes para investigar a
natureza da luz, tornando esta interpretação intrigante.
Portanto, este foi um dos principais experimentos que contribuiu para o entendimento
da mecânica quântica e é através dele que vamos apresentar duas interpretações para esta teoria.
19
4 DESENVOLVIMENTO
4.1 Interpretação de Copenhague
Embora todos os físicos estejam de acordo que a teoria quântica funciona, no sentindo
que ela prevê resultados que estão em excelente concordância com a experiência, há uma
crescente controvérsia em relação a seus fundamentos filosóficos, ou seja, qual é imagem da
realidade de um objeto quântico. Niels Bohr foi o principal arquiteto da interpretação atual da
mecânica quântica, conhecida como interpretação de Copenhagen. (EISBERG 1994 pg.113).
A Interpretação de Copenhague também conhecida como Complementariedade que junto a
Niels Bohr, contou com a parceria de Werner Heisenberg em 1927 ao qual obteve o apoio de
outros físicos da época. Convém mencionar que para fazermos uma “interpretação” o seu
conceito aqui é um conjunto de teses ou imagens que se agrega ao formalismo mínimo de uma
teoria, porém não afeta as previsões observacionais.
Niels Bohr tentou explicar o sentido físico ou realidade da mecânica quântica. Naquilo
que ficou conhecido como interpretação de Copenhague como mencionado, ele combinou o
princípio da incerteza de Heisenberg à equação de onda de Schroedinger para explicar como
um observador pode afetar as medidas na posição ou velocidade de um objeto quântico, como
elétron ou fóton.
O princípio da Complementariedade afirma que qualquer experimento quântico só pode
ser entendido como um quadro corpuscular ou ondulatório, mas nunca em ambos ao mesmo
tempo. Com isso, na descrição corpuscular não se pode haver franjas de interferência e na
descrição ondulatória não se pode haver trajetórias bem definidas ao objeto quântico e vice-
versa. (FREIRE JR aput PESSOA JR, 005/08, pag.2). Podemos escolher medir a posição de
uma partícula, em cujo caso seu momentum é incerto ou podemos medir o momentum e
abandonar o conhecimento de sua posição. (FREIRE 1999 pg. 323). Está claro que para esta
interpretação, que a certeza nas medições é descartada.
O que acontece quando fazemos uma medição? Por que a luz que passa por duas fendas
entra em interferência como ondas em certa ocasião, mas em outra ocasião muda para um
comportamento similar ao de partículas e se tentamos capturar o fóton que passa em uma fenda?
De acordo com Bohr, escolhemos antecipadamente qual será o resultado ao decidirmos como
queremos medi-lo, portanto era isso que incomodava os físicos na época.
Aqui Bohr se inclinou sobre a equação de Schroedinger e seu conceito de “função de
onda”, contendo tudo o que podemos saber sobre uma partícula. Quando o caráter de um objeto
20
é fixado – como partícula ou como onda, por exemplo – por um ato de observação, dizemos
que a função de onda “colapsou”. Todas as probabilidades, exceto uma, desaparecem. Resta
apenas a consequência. Então, a função de onda de um raio de luz é uma mistura de
possibilidades: o comportamento de onda ou de partícula. Quando detectamos a luz, a função
de onda colapsa para deixar uma forma, ou seja, uma escolha foi feita e é a detectada pelo
observador. A luz não faz isso para alterar seu comportamento, mas porque realmente consiste
das duas coisas.
Para fechar a lacuna entre sistemas quânticos e normais, incluindo nossas experiências
na escala humana, Bohr também introduziu o “princípio de correspondência”, segundo o qual
o comportamento quântico deve desaparecer de sistemas maiores com os quais estamos
familiarizados, nos quais a física newtoniana é adequada. (BACKER, 2015, pg.82). Logo, esse
é o motivo pelo qual os efeitos quânticos são imperceptíveis a nossa escala humana.
O que acontece com esta interpretação é que nossos olhos estão habituados a
compreender a natureza da mecânica clássica, portanto presos a esta linguagem. Os cientistas
conseguiam compreender o fenômeno da dualidade onda-partícula em laboratório por meio de
quadros clássicos e queriam duas características que seria “corpuscular” em que o objeto
quântico é considerado uma partícula, portanto descreve uma trajetória bem definida ao longo
do experimento, sendo assim não pode apresentar franjas de interferência e em um quadro
“ondulatório” em que o objeto quântico é considerado uma onda que pode ser dividida e
recombinada gerando franjas de interferência. (PESSOA JR, 005/8, pg.2). Assim, devido à
natureza dual dos objetos nessa realidade quântica, nos faz pensar que:
“Ninguém que não tenha ficado chocado com a teoria quântica a entendeu realmente.”
(BACKER, 2015, pg.79 aput BOHR, 1958).
Antes de descrever o comportamento do objeto quântico no fenômeno da Interferência
da Dupla Fenda, de acordo com a Intepretação de Copenhague, é descrito na próxima seção, o
aparato matemático usual nessa “interpretação”.
4.2 Equação de Schroedinger na interpretação de Copenhague
Com relação ao comportamento ondulatório das partículas, é possível descrever as
ondas de matéria associadas às partículas através da função de onda Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Em muitas
situações físicas é possível discutir a evolução da função de onda Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) através de
equações separadas na parte espacial e temporal. Mas nesse caso, a função Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) pode
ser escrita na forma:
Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑒−𝑖𝜔𝑡 (8)
21
onde 𝜔 = 2𝜋𝑓 é a frequência angular da onda de matéria.
Porém, observe que 𝜓 é uma a letra grega lê-se “psi” minúscula, é usada para representar a
parte da função de onda Ψ que não depende do tempo. A evolução da função Ψ(𝑟, 𝑡) porém
ela é determinista, isto quer dizer que, a função num instante 𝑡 qualquer pode ser calculada a
partir do conhecimento da função Ψ(𝑟, 𝑡0) em um instante inicial 𝑡0, porém o significado da
função de onda é de natureza estatística, pois tem a ver com o fato de que uma onda de matéria,
como uma onda luminosa, e até mesmo uma onda de probabilidade.
Nesse caso, a probabilidade de que um detector indique a presença de uma partícula em
um intervalo de tempo especificado é proporcional a |𝜓|2, onde |𝜓| um valor absoluto da
função de onda na posição do detector. Embora 𝜓 seja em geral uma grandeza complexa, |𝜓|2é
sempre uma grandeza real e positiva. Assim, é |𝜓|2, a chamada densidade de probabilidade,
que possui significado físico. É através dele que vamos ter informações relevantes ao
comportamento do elétron.
As ondas de matéria obedecem à equação de Schroedinger e em muitas situações que
podemos discutir, envolvem o movimento de uma partícula ao longo do eixo 𝑥 em uma região
na qual a força a que a partícula está sujeita faz com que a partícula possua uma energia
potencial 𝑉(𝑥). Nesse caso especial, a equação de Schroedinger se reduz para o movimento
unidimensional.
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2 +8𝜋2𝑚
ℎ2[𝐸 − 𝑉(𝑥)]𝜓 = 0 (9)
onde 𝐸 é a energia mecânica total da partícula e ℎ é a constante de Planck. A equação de
Schroedinger não pode ser deduzida a partir de princípios mais simples, ela é a expressão de
uma lei natural. (HALLIDAY, vol.8, pg. 200, 2009)
Se considerarmos 𝑉(𝑥) sendo zero, a equação descreve uma partícula livre, isto é, uma
partícula que não está sujeita a nenhuma força. Nesse caso a energia total da partícula é igual à
energia cinética e, portanto a é dada por, 𝐸 = 𝑚𝑣2/2 e logo, a equação (9) se torna:
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2 +8𝜋2𝑚
ℎ2 (𝑚𝑣2
2) 𝜓 = 0 (10)
que também pode ser escrita na forma:
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2 + (2𝜋𝑝
ℎ)
2
𝜓 = 0 (11)
Para obter essa equação substituímos 𝑚𝑣 pelo momento 𝑝.
De acordo com a equação 𝜆 = ℎ/𝑝, a razão 𝑝/ℎ na equação acima pode ser substituída
por 1/𝜆, onde 𝜆 o comprimento de onda de De Broglie. Além disso 2𝜋 𝜆⁄ é o número quântico
22
angular que vamos chamar de 𝑘. Com essas substituições a equação se torna equação de
Schroedinger para a partícula livre, ou seja, a partícula sem nenhuma força de interação.
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2 + 𝑘2𝜓 = 0 (12)
Pode-se tentar uma solução geral para a equação independente do tempo:
𝜓(𝑥) = 𝐴𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥 (13)
onde 𝐴 e 𝐵 são constantes arbitrárias. Podemos verificar que essa equação é realmente uma
solução da partícula livre.
Combinando as equações (8) e (13) obtemos, para a função de onda 𝜓 dependente do
tempo que se propaga ao longo do eixo 𝑥, para uma dimensão.(HALLIDAY, vol.8, pg. 201,
2009). Quando combinamos a equação independente do tempo com a equação dependente do
tempo, obtemos a seguinte equação:
𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝜓(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑡 = (𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑡
= 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) + 𝐵𝑒−𝑖(𝑘𝑥+𝜔𝑡) (14)
Para restringir a solução geral acima, tomamos a constante arbitrária 𝐵 das equações
(14) e (13) como sendo zero. Ao mesmo tempo, chamamos a constante 𝐴 de 𝜓0 para que
tenhamos a propagação da partícula em apenas uma direção a equação e fazendo algumas
manipulações a equação (13) se torna:
𝜓(𝑥) = 𝜓0𝑒𝑖𝑘𝑥 (15)
Para determinar a densidade de probabilidade devemos calcular o quadrado do valor
absoluto de 𝜓(𝑥). O resultado é o seguinte:
|𝜓|2 = |𝜓0𝑒𝑖𝑘𝑥|2
= (𝜓02)|𝑒𝑖𝑘𝑥|
2
Podemos escrever a equação acima como: |𝜓|2 = ψ∗ψ
ou seja,
|𝜓|2 = (𝜓02)(1)2 = 𝜓0
2 (16)
A densidade de probabilidade |𝜓|2 é a mesma para qualquer valor 𝑥. Não existe nada
que nos permita identificar um determinado ponto sobre o eixo 𝑥 como a posição mais provável
para a partícula, ou seja, todas as posições são igualmente prováveis. (HALLIDAY, vol.8, pg.
202, 2009). Na próxima seção, é apresentado uma explicação do fenômeno da Dupla Fenda
tendo como base, a densidade de probabilidade de encontrar a partícula numa posição qualquer
x, equação 16.
23
4.3 Dupla Fenda na interpretação de Copenhague
Dentro desta interpretação podemos analisar o experimento da Dupla Fenda para o
fóton. Porém neste capitulo não vamos nos ater em descrever o experimento, pois visto que já
descrito na seção; Experimento de Young, porém nosso foco é analisar o comportamento deste
objeto quântico dentro da interpretação de Copenhague.
Pode-se aplicar nesse experimento, o princípio da complementariedade ao qual se
afirma que qualquer experimento com características quânticas, até mesmo para o elétron, deve
ser compreendido ou em um quadro corpuscular ou em um quadro ondulatório, como já vimos,
esse é o princípio fundamental para que consigamos analisar o experimento.
Vejamos que na Figura 4, ao incidirmos luz em O, notamos que formou-se uma onda
que novamente ao passar por A e B formando-se novamente outras duas ondas e essas ondas
são registradas em um anteparo que chamamos de dupla fenda e que nos dá uma característica
de interferência.
Figura 4- Dupla Fenda na interpretação de Copenhague, comportamento ondulatório.
Fonte: PESSOA JR, 005/08
O fenômeno da imagem antes da detecção, é ondulatório: não podemos atribuir uma
trajetória ao fóton detectado em R, pois é como se ele passasse simultaneamente por ambas as
fendas (como diríamos de uma onda na física clássica). Se apenas uma das fendas estivesse
aberta, aí o fenômeno seria corpuscular que podemos observar na Figura 5: saberíamos sua
trajetória, mas não haveria franjas quando um grande número de fótons incidisse na tela. (
PESSOA JR 005/08 pg.4)
Para esta interpretação vamos assumir primeiramente que houve um comportamento
ondulatório no experimento, então, na tela de registro existe franjas de interferência que ao se
somarem ou se anularem nos daria “picos” e “vales” algo bem característico de ondas, já que
passaria simultaneamente por ambas as fendas. Ao tocar no anteparo, o fenômeno novamente
é corpuscular, pois temos “pontos” localizados formando uma figura de interferência.
24
Ao fecharmos a fenda B este comportamento passa a ser corpuscular e na tela de registro
em R seria possível determinar a sua trajetória que no caso será bem definida e determinada,
pois a luz seria representada como pontos ou “bolinhas” na tela registro. Portanto, se apenas
uma das fendas estivesse aberta, aí o fenômeno seria corpuscular: conheceríamos sua trajetória,
e não haveria franjas quando um grande número de fótons incidisse na tela.
Figura 5- Dupla Fenda na interpretação de Copenhague, comportamento corpuscular.
Fonte: PESSOA JR, 005/08
Logo, a garantia que se tem para analisar o comportamento do elétron no experimento,
sendo para um quadro corpuscular ou ondulatório só pode ser feita “após” o encerramento do
experimento, pois, antes disso não se pode atribuir à realidade do objeto quântico para um
comportamento de partícula ou de onda. (PESSOA JR 005/08 pg.4). O que podemos é analisar
o experimento após o resultado final com uma certa probabilidade que é a parte de interferência.
Por algum motivo, caso você tente fazer esta previsão antecipadamente estaríamos então
interagindo com o sistema e aconteceria o “Colapso da Função de Onda”. Portanto, esse colapso
para que entendemos melhor o seu significado é como se em existissem infinitas possibilidades
da partícula ser encontrada, porém quando a medição acontece a escolha é feita e então as outras
possibilidades desaparecem, ficando apenas a escolhida.
4.4 O gato de Schroedinger
Erwin Schroedinger nasceu em Viena, na Áustria em 1887 e se tornou um dos cientistas
que mais contribuiu para o desenvolvimento da Mecânica Quântica, Contudo, ele era um dos
principais críticos da Intepretação de Copenhague e acreditava que o aparato quântico
desenvolvido por ele e descrito na seção 4.2 era apenas um formalismo matemático e a função
de onda não era um objeto real, mas sim um artifício matemático numa estrutura equivalente à
mecânica quântica matricial de Heisenberg, que foi o primeiro formalismo desenvolvido na
estrutura matemática da quântica. Com o objetivo de tentar explicar fatos inexplicáveis na
estrutura interpretativa usual da quântica, Schroedinger propôs um experimento mental, em
25
1935, chamado de “O Gato de Schroedinger”. No experimento, um gato era encaixotado por
certo período com um frasco de veneno, um material radioativo e um contador Geiger,
dispositivo para detectar radiação. Esse contador Geiger foi montado de maneira que quando o
material radioativo fosse decaindo, acionaria um martelo e esse martelo quebraria o frasco
contendo ácido cianídrico que ao ser liberado e mataria o gato como mostrado na Figura 6.
Figura 6. O gato de Schroedinger
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Gato_de_Schr%C3%B6dinger, Acessado em 11-03-2019
A quantidade de material radioativo deveria ser tão pequena que num prazo de uma hora talvez
houvesse decaimento dos átomos acionando o martelo e quebrando o frasco, mas com uma
igual probabilidade de nenhum átomo decair e nesse caso, o martelo não seria acionado. No
período em que o gato estivesse dentro da caixa, o gato então passaria a existir em um estado
desconhecido, pois como o gato estaria fora de nosso alcance visual, não teria como ser
observado, e com isso não se poderia afirmar se o gato está vivo ou morto. Resumindo bem, o
gato estaria em um estado de vida ou morte, enquanto não se observa. (SÉRVULO, 2014, pg.2).
Schroedinger argumentou que não fazia sentido pensar em um animal real como uma nuvem
de probabilidade simplesmente por carecermos de conhecimento sobre o que acontece.
(BACKER, 2015, pg.85).
Com isso, se tentarmos descrever o que ocorreu dentro da caixa usando as leis da
Mecânica Quântica, chegaríamos a uma conclusão estranha, pois o gato seria descrito como
uma função de onda chamada de Ψ(x,t) extremamente complexa e que não vamos nos
aprofundar aqui, mas poderíamos descreve-la como:
Ψ = Ψ(a) + Ψ(b) (17)
Onde Ψ representa a superposição de dois estados (vivo e morto), Ψ(a) representa o gato vivo
e Ψ(b) representa o gato morto. Quando se faz a medição (colapso da função de onda) obtemos
o seguinte resultado:
Ψ= Ψ(a), gato vivo;
26
Ψ= Ψ(b), gato morto.
Ou seja, antes da medição, existia uma a superposição de dois estados, com a possibilidade de
existir 50% de chance do gato estar vivo e 50% de chance do gato estar morto. Na interpretação
de Copenhague na mecânica quântica, um sistema para a superposição de estados se torna um
ou outro quando uma observação acontece. Essa experiência torna aparente o fato de que a
natureza da medição, ou observação, não é bem definida nessa interpretação. Apenas quando a
caixa é aberta e uma observação é feita é que, então, a função de onda colapsa em um dos dois
estados. Schroedinger apontou um desconforto nessa interpretação da superposição de estados
vivo/morto pois uma indeterminação originalmente confinada ao domínio atômico vindo a
transformar-se numa determinação macroscópica, sendo então resolvida pela observação direta
não poderia ser um modelo preciso da realidade. Para Einstein, o gato vivo ou morto
independeria do processo de observação. Esta experiência mental é muito usada para
explicarmos um dos conceitos mais complexos da Mecânica Quântica, como a dualidade onda
partícula e a função de onda.
Exemplos como esse levaram alguns físicos como Einstein, Schroedinger dente outros
a duvidar da realidade descrita na intepretação de Copenhague, levando a Einstein afirmar que
“Deus não joga dados com o Universo”. Essas contradições, apontadas pelo experimento do
gato levou um desses físicos, David Bohm, em 1952, a propor um engenhoso formalismo
matemático e uma nova interpretação da mecânica quântica, conhecido como Teoria das
Variáveis Ocultas, para tentar apresentar um modelo mais preciso da realidade.
4.5 Teoria das Variáveis Ocultas
Esta teoria é uma contraproposta à interpretação de Copenhague, ou seja, nos fornece
uma interpretação alternativa para aspectos que a de Copenhague não consegue explicar. Esta
interpretação foi formulada originalmente por Louis de Broglie e redescoberta por David Bohm.
O fato de o mundo quântico poder ser descrito em termos de probabilidade preocupava
alguns físicos, incluindo Albert Einstein. Como causa e efeito poderiam ser explicados, se tudo
ocorre por acaso? Esse debate causou calorosas discussão entre Einstein e Bohr e um modo de
contornar isso é assumir que sistemas quânticos são definidos como um todo, mas que há
variáveis ocultas ainda a serem conhecidas.
“Esta teoria tem como base forte condições de localidade que vamos ver no Paradoxo
EPR. Localidade significa que uma medida no sistema A não pode ser afetada por
operações feitas no sistema B com o qual A interagiu no passado.” (HENRIQUE,
2014, pg.2).
Uma observação do estado de uma partícula nos diz algo sobre a outra, mas não porque
uma função de onda está colapsando. A informação era inerente a cada partícula e contida em
27
“variáveis ocultas”. (BACKER, 2015, pg.189). A vantagem desta interpretação é que a todo
instante podemos considerar que o objeto quântico existe de uma maneira que independe da
presença de um observador e que não considera o colapso de função de onda para esta
interpretação. (PESSOA JR. 005/08 pag.5). Na próxima seção é apresetando os fundamentos
físicos matemáticos do formalismo das Variáveis Ocultas.
4.6 Equação de Schroedinger na Teoria das Variáveis Ocultas
Vimos na seção anterior, de acordo com a Interpretação de Copenhague, uma descrição
do experimento do Gato de Schroedinger. Para uma explicação matemática para as Variáveis
Ocultas, Bohm dividiu a equação de Schroedinger em duas partes: a primeira seria uma
recapitulação da física newtoniana (clássica) e a segunda seria um campo informativo
semelhante ao das ondas. Com isso a equação de Schroedinger passa a definir o movimento do
objeto quântico e indicando respostas para questões sobre o comportamento desse objeto.
Contrário à Niels Bohr que defendia que a Interpretação de Copenhague para onda-
partícula, Bohm postulou que o objeto quântico se comportava como uma partícula comum,
mas que teria acesso a informações sobre o resto do universo (primeiro termo) e que um campo
informativo funcional que fornece ao objeto quântico informações sobre o resto do universo
físico seria denominado de Potencial Quântico (segundo termo).
Para esta interpretação, todo ponto do espaço contribui com informações para o objeto
quântico mesmo sendo independente a separação entre eles, com isso, foi demonstrado que a
influência desse Potencial Quântico dependia apenas da forma e não da magnitude do tipo de
função de onda.
Assim como a “interpretação de Copenhague”, a “interpretação das Variáveis Ocultas”
ou “interpretação da Onda Piloto” também tem a sua fundamentação matemática e como
mencionamos anteriormente, partindo da equação de Schroedinger para as Variáveis Ocultas
temos a seguinte fundamentação matemática. A equação de Schroedinger para uma partícula
sem spin num movimento não relativístico num potencial 𝑉(𝑟) é dado por
−ℏ2
2𝑚∇2𝜓(𝑟, 𝑡) + 𝑉(𝑟)𝜓(𝑟, 𝑡) = 𝑖ℏ
𝜕𝜓(𝑟,𝑡)
𝜕𝑡 (18)
onde ∇2=𝜕2
𝜕𝑥2 +𝜕2
𝜕𝑦2 +𝜕2
𝜕𝑧2 é o operador laplaciano e
ℏ =ℎ
2𝜋 , 𝜓(𝑟, 𝑡) é uma função de onda complexa da posição 𝑟 e tempo 𝑡. Desde que o potencial
seja uma função real, a equação de Schroedinger implica na equação da continuidade.
Portanto, vamos demonstrar esta equação em apenas uma dimensão para que possamos
expandi-la para outras dimensões.
28
𝑖ℏ𝜕Ψ
𝜕𝑡= −
ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2 + 𝑉Ψ (l9)
Lembrando que Ψ = 𝜓𝑒𝑖𝐸𝑡. Tomamos o complexo conjugado da equação (l9) temos:
𝑖ℏ𝜕Ψ∗
𝜕𝑡= −
ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ∗
𝜕𝑥2 + 𝑉Ψ∗ (20)
Multiplicando Ψ∗ na equação (I9) temos:
𝑖ℏ𝜕Ψ∗
𝜕𝑡Ψ = −
ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ∗
𝜕𝑥2 Ψ + 𝑉Ψ∗Ψ (21)
Subtraindo (21) em (20) e organizando ambos os termos temos:
−𝑖ℏ (𝜕Ψ
𝜕𝑡Ψ∗ −
𝜕Ψ∗
𝜕𝑡Ψ) = −
ℏ2
2𝑚(
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2 Ψ∗ −𝜕2Ψ∗
𝜕𝑥2 Ψ) (22)
−𝑖ℏ𝜕
𝜕𝑡(ΨΨ∗) = −
ℏ2
2𝑚(
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2 Ψ∗ −𝜕2Ψ∗
𝜕𝑥2 Ψ) (23)
onde a densidade de probabilidade 𝜌(𝑥, 𝑡) é uma função real definida por:
𝜌(�⃗�, 𝑡) = 𝑅(�⃗�, 𝑡)2 = |𝜓(�⃗�, 𝑡)|2 = 𝜓∗(�⃗�, 𝑡)𝜓(�⃗�, 𝑡)
e 𝑗(�⃗�, 𝑡)é:
𝑗(�⃗�, 𝑡) =𝑖ℏ2
2𝑚(𝜓∗∇⃗⃗⃗𝜓 − 𝜓∇⃗⃗⃗𝜓∗) (24)
Vale ressaltar aqui, que para equação (24) que é a equação em três dimensões,
mostraremos que é possível um cálculo para uma dimensão, portanto, a equação (24) pode ser
reescrita como sendo a equação (33) em uma dimensão, cujo os passos a seguir servirão como
um desenvolvimento.
Para ΨΨ∗ = 𝜌 e arrumando a equação igualando a zero temos:
𝜕𝜌
𝜕𝑡−
𝑖ℏ
2𝑚(
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2 Ψ∗ −𝜕2Ψ∗
𝜕𝑥2 Ψ) = 0 (25)
Esta é a equação de Schroedinger para uma dimensão. Portanto, queremos chegar em:
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ ∇⃗⃗⃗. J⃗ = 0 (26)
𝐽 = 𝐼 (ℏ2
𝑚Ψ∗∇⃗⃗⃗Ψ) (27)
∇⃗⃗⃗=𝜕
𝜕𝑥𝑖̂ +
𝜕
𝜕𝑦𝑗̂ +
𝜕
𝜕𝑧�̂� (28)
ℏ2
𝑚Ψ∗ (
𝜕Ψ
𝜕𝑥𝑖̂ +
𝜕Ψ
𝜕𝑦𝑗̂ +
𝜕Ψ
𝜕𝑧�̂�) (29)
∇⃗⃗⃗. J⃗ =ℏ2
𝑚{
𝜕
𝜕𝑥(Ψ∗ 𝜕Ψ
𝜕𝑥) +
𝜕
𝜕𝑦(Ψ∗ 𝜕Ψ
𝜕𝑦) +
𝜕
𝜕𝑧(Ψ∗ 𝜕Ψ
𝜕𝑧)} (30)
Pegando a parte da dimensão 𝑥 temos:
∇⃗⃗⃗. J⃗ =ℏ2
𝑚{
𝜕
𝜕𝑥(Ψ∗ 𝜕Ψ
𝜕𝑥)} (31)
∇⃗⃗⃗. J⃗ =ℏ2
𝑚(
𝜕Ψ∗
𝜕𝑥
𝜕Ψ
𝜕𝑥+ Ψ∗ 𝜕2Ψ
𝜕𝑥2 ) (32)
29
Logo, a equação se torna:
𝐽𝑥 =𝑖ℏ
2𝑚(
𝜕Ψ
𝜕𝑥Ψ∗ −
𝜕Ψ∗
𝜕𝑥Ψ) (33)
Que é a densidade de corrente em uma dimensão. A densidade 𝜌(𝑟, 𝑡) pode ser pensada
como a expressão da conservação local da probabilidade e 𝑗(𝑟, 𝑡) é a densidade de corrente de
probabilidade. Na interpretação padrão, a densidade refere-se a resultados de medidas da
posição da partícula e não em evolução determinista ou não da posição da partícula entre
observações. (BETZ, 2014, pg.4).
4.7 Intepretação da Onda Piloto
Se associarmos movimento de um fluido à equação de continuidade, podemos ter uma
relação entre densidade de corrente e densidade de probabilidade como mostra a equação:
𝑗(𝑟, 𝑡) = 𝜌𝑣 (22)
onde 𝑣 é o campo de velocidade do fluido. Embora usamos o fluido como analogia, trataremos
apenas da velocidade de uma partícula e não de um fluido. A velocidade de uma partícula pode
ser calculada através da função de onda como
𝑣 =𝑖ℏ2
2𝑚(ψ∗∇ψ−ψ∇ψ∗)
ψ∗ψ (23)
ou
𝑣 =𝑖ℏ2
2𝑚(
∇⃗⃗⃗ψ
𝜓−
∇⃗⃗⃗𝜓∗
𝜓∗ ) (24)
A equação acima informa a velocidade da partícula numa posição 𝑟 e tempo 𝑡. Se
chamarmos de �⃗⃗�(𝑡), a posição da partícula, a evolução temporal da sua posição será:
𝑑
𝑑𝑡�⃗⃗�(𝑡) = 𝑣(�⃗⃗�, 𝑡) (25)
Nessa teoria de Bohm, existe uma equivalência com a intepretação usual, pois a posição
inicial da partícula não é conhecida com precisão, mas existe uma densidade de probabilidade
de encontrar a partícula num tempo posterior 𝑡 dado por ‖Ψ(�⃗⃗�, 𝑡)‖2. Na mecânica bohmiana,
a partícula possui uma posição e velocidade bem definida embora não conhecida com precisão.
As probabilidades estão ligadas a falta de conhecimento dos valores que na realidade estão bem
definidos, eles apenas não são conhecidos. Já na interpretação usual ou ortodoxa, a posição e
velocidade estão definidas apenas no ato de medição. Fora da medição, o valor da posição e da
velocidade está indefinido, não apenas desconhecidos. (BETZ, 2014, pg.4).
Numa tentativa de tratar o formalismo quântico com uma descrição clássica de
movimento de objetos quânticos como partículas, Bohm introduziu um potencial quântico
associado a uma onda que guia uma partícula com um potencial clássico associado à ela.
30
Quando esse potencial quântico é somado ao potencial clássico da partícula, isso nos permite
interpretar o movimento da partícula devido a uma força associada ao potencial total.
Para melhor compreensão da equação da continuidade e do Potencial Quântico vamos
separar a equação de Schroedinger em duas partes (Real e Imaginária). Partindo da equação de
Schroedinger temos:
𝑖ℏ𝜕𝜓(𝑟,𝑡)
𝜕𝑡=
−ℏ2
2𝑚∇2Ψ(𝑟, 𝑡) + 𝑉(𝑟, 𝑡)Ψ(𝑟, 𝑡) (26)
Escrevendo a função de onda na forma polar ficando: 𝜓 = 𝑅𝑒𝑖𝑆/ℏ
Pode-se aplicar a regra da cadeia para desenvolver as derivadas, lembrando que o
laplaciano é o divergente do gradiente.
∇2𝜑 = ∇⃗⃗⃗. (∇⃗⃗⃗𝜑) (27)
Assim os três termos da equação de Schroedinger se torna:
Termo 1: 𝑖ℏ𝜕𝜓
𝜕𝑡= 𝑖ℏ (
𝜕𝑅
𝜕𝑡− 𝑅
𝜕𝑆
𝜕𝑡) 𝑒𝑖𝑆/ℏ (28)
Termo 2: −ℏ
2𝑚∇2𝜓 = −
ℏ
2𝑚(∇2𝑅 −
𝑅
ℏ2(∇⃗⃗⃗𝑆)
2+ 𝑖
2
ℏ∇⃗⃗⃗𝑅. ∇⃗⃗⃗𝑆 + 𝑖
𝑅
ℏ∇2𝑆) 𝑒𝑖𝑆/ℏ (29)
Termo 3: 𝑉𝜓 = 𝑉𝑅𝑒𝑖𝑆/ℏ (30)
A equação de Schroedinger pode agora ser separada na parte real e imaginaria, como
mencionamos anteriormente e assim fornece duas equações interligadas. Para obter a primeira,
multiplicamos por 𝑒−𝑖𝑆/ℏ/𝑅, e para obter a segunda, multiplicamos por (2𝑅/ℏ)𝑒−𝑖𝑆/ℏ. Assim
a equação (26) pode ser reescrita ficando:
Parte Real: 𝜕𝑆
𝜕𝑡+
(∇⃗⃗⃗𝑆)2
2𝑚+ 𝑉 +
ℏ2
2𝑚
∇2𝑅
𝑅= 0 (31)
Parte Imaginaria: 𝜕𝑅2
𝜕𝑡+ ∇⃗⃗⃗. (𝑅2 ∇⃗⃗⃗𝑆
𝑚) = 0 (32)
A equação da continuidade aparece na equação 32, desde que 𝑅2 seja igual à densidade
probabilidade 𝜌(𝑟, 𝑡) = 𝑅(𝑟, 𝑡)2, exprimindo a conservação de densidade de probabilidade.
As equações 31 e 32 são equivalentes à equação de Schroedinger, não envolvendo ainda
nenhuma hipótese interpretativa. A nova interpretação surge ao se postular que a função de
onda 𝜓 está associada a um ponto material (uma partícula) de massa 𝑚 que se propaga
continuamente no espaço seguindo uma trajetória bem definida 𝑟(𝑡), com momento de
probabilidade clássica 𝜌(𝑟, 𝑡) de a partícula estar em 𝑟 no instante 𝑡.
Para o Potencial Quântico pode se demonstrado que a equação 31 mostra que o termo
quântico −(ℏ2/2𝑚). ∇2𝑅/𝑅 atua como um potencial 𝑈 que se adiciona ao potencial clássico
𝑉. Este é exatamente o potencial quântico que, na teoria de Bohm, guia a partícula nessa nova
interpretação da Onda-Piloto:
31
𝑈(𝑟, 𝑡) =ℏ2
2𝑚
∇2𝑅(𝑟,𝑡)
𝑅(𝑟,𝑡) (33)
A equação 31 pode ser escrita como uma equação de Newton, na qual o potencial
quântico dá origem a uma força de tipo não-clássica:
𝑚𝑑2𝑟
𝑑𝑡2 = −∇⃗⃗⃗(𝑉(𝑟, 𝑡) + 𝑈(𝑟, 𝑡)) (34)
Vemos que o potencial quântico se escreve como um quociente envolvendo a amplitude
𝑅 da função de onda. Na verdade, 𝑈(𝑟, 𝑡) também depende da fase 𝑆, já que 𝑅 e 𝑆 estão
relacionados pela equação 32 da continuidade.
Mas a forma como 𝑈(𝑟, 𝑡) está escrito acima mostra que mesmo quando 𝑅2 ≡ |𝜓|2 se
aproxima de zero, por exemplo em regiões de interferência destrutiva no experimento das duas
fendas, o quociente ∇2𝑅/𝑅 pode ficar bastante grande, em modulo. Esta violenta variação em
𝑈 faz com que a força agindo na partícula seja intensa, de forma que sua velocidade também se
torne imensa (em casos ideais em que estritamente 𝑅 = 0, poderíamos ter velocidades
infinitas). Dessa forma, o tempo que a partícula permanece nas regiões de interferência
destrutiva é praticamente nulo, e ela nunca é detectada nesta região.
Podemos entender melhor essas passagens matemáticas no apêndice ao final do
trabalho, onde expandimos as equações da seção 4.7 em apenas uma dimensão e assim podemos
fazer uma generalização em outras dimensões.
Queremos lembrar que esse formalismo iniciou-se com De Broglie, mas Bohm o
estendeu, de um caso de uma simples partícula, para o caso de várias partículas e então
recalculou as equações. Embora a extensão desse novo formalismo para as condições
relativísticas não terem sido concluído com sucesso, elas foram usadas para incluir o “spin”.(
INTERPRETAÇÃO DE BOHM , sp, 2018)
Para guiar uma partícula até onde ela deve estar, Bohm definiu um “potencial quântico”.
Ele abriga todas as variáveis quânticas, responde a outros sistemas e efeitos quânticos e está
ligado à função de onda. A posição e a trajetória de uma partícula, então, são sempre definidas,
mas como não conhecemos todas as propriedades da partícula no início, precisamos usar a
função de onda para descrever a probabilidade de uma partícula estar em algum lugar ou em
certo estado. As Variáveis Ocultas são as posições da partícula, não o potencial quântico ou
função de onda. (BACKER, 2015, pg.188).
O corpúsculo seria uma “variável oculta”, com posição e velocidade bem definida a
cada instante, que “surfaria” na onda que o acompanha, de forma que a probabilidade de ele se
encontrar em uma certa posição seria proporcional ao quadrado da amplitude da onda.
(PESSOA JR 005/08 pag.6).
32
Bohm mostrou que era possível escrever uma versão de variáveis ocultas da mecânica
quântica. O próximo passo era testá-la. Em 1924, John Bell concebeu uma série de
experimentos imaginários cujos resultados poderiam ser consistentes com a teoria de variáveis
ocultas. Se os resultados diferissem das previsões, o emaranhamento quântico (superposição de
estados) descrito pela interpretação de Copenhague seria, então, verdadeiro. Nos anos 1980,
físicos conseguiram realizar esses testes.
O teorema de Bell é considerado um dos resultados mais profundos da Física do século
XX – é uma desigualdade matemática que mostra uma incompatibilidade entre a Mecânica
Quântica com a ideia de “não-localidade” e a Teoria das Variáveis Ocultas que defendia a
“localidade”. Uma possível solução para resolver esse impasse apareceu com o artigo publicado
por Clauser, Horne, Shimony e Holt em 1969, onde, a partir da generalização das desigualdades
de Bell e de algumas modificações no experimento, eles propuseram um experimento realizável
que poderia testar as desigualdades de Bell, surgindo ulteriormente os primeiros experimentos
que as testaram. (FREIRE JR, pg.98, 2011).
No entanto, em 1964 John S. Bell demonstrou que, devido às suas fortes condições de
localidade, as Teorias de Variáveis Ocultas são restritas a certas desigualdades que não são
sempre obedecidas pela Mecânica Quântica. (HENRIQUE, pg.2, 2014).
Com isso eles descartaram o caso mais simples de variáveis ocultas “locais”, nos quais
a informação é limitada pela velocidade da luz. Correlações instantâneas de longa distância ou
o emaranhamento quântico são necessários, de fato. Portanto a teoria das Variáveis Ocultas era
de fato uma teoria “não-local”, o que foi um golpe contra ela mesma.
“Em certo sentido, o homem é um microcosmo do Universo: aquilo que é o homem,
portanto, é uma pista para o Universo. Estamos embrulhados em Universo.”
(BACKER, 2015, pg.186 aput BOHM).
4.8 Dupla Fenda na Teoria das Variáveis Ocultas
Passamos agora a explicar o experimento da dupla fenda segundo à interpretação
alternativa das Variáveis Ocultas. Como vimos anteriormente à teoria das Variáveis Ocultas
nos diz que é possível um objeto quântico ter características corpusculares e ondulatórias.
Portanto, neste experimento os corpúsculos de de Broglie não seguiriam uma trajetória reta,
mas surfariam em zig zag, passando pelas regiões proibidas (correspondentes às regiões escuras
da franjas de interferência) com velocidades altíssimas. (PESSOA JR, 005/08, pag.6).
Segundo esta teoria, um objeto quantico se divide em duas partes: em corpusculo com
trajetoria bem definida que carrega energia e é detectado e uma onda associada que guia a
partícula, mas não carrega energia e nem é detectada. A probabilidade da particula se propagar
em certa direção depende da amplitude da onda associada, de forma que em regiões onde as
33
ondas se cancelam, não há particula. Não há mais contradição porque o objeto se divide em
duas partes, uma sendo só partícula e a outra só em onda. (PESSOA JR. 2003. Pag.5).
Figura 6- Dupla Fenda na interpretação das Variáveis Ocultas.
Fonte: PESSOA JR, 005/08
Note que, para esta interpretação um padrão de interferência é criado na tela de registro.
O corpúsculo seria a Variável Oculta, com posição e velocidade bem definidas a cada
instante, que “surfaria” na onda que o acompanha, de forma que a probabilidade de ele se
encontrar em certa posição seria proporcional ao quadrado da “altura do pico” (amplitude) da
onda-piloto. O ponto na tela detectora corresponderia sempre à localização do corpúsculo, ao
passo que a onda nunca seria observada diretamente. A onda serve para “guiar” o corpúsculo,
que se comporta como um surfista, seguindo apenas onde há ondas.
Na realidade existiria partícula e essa teria trajetória bem definida e uma onda associada
porém, essa não carrega energia conforme postula de Broglie com sua teoria da “dupla solução”.
(PESSOA JR, 1999, pg.140). O movimento da partícula se deve à força devido ao potencial
quântico causado pela função de onda que guia a partícula fazendo com que essa partícula se
movimente em regiões de cancelamento das duas ondas provenientes das fendas até chegar no
detector, por isso, existe o movimento de zig zag como mencionado.
Lembrando que existe uma distância razoável das fendas, logo nota-se a formação do
padrão de interferência com raias claras e escuras, com isso podemos destacar uma
característica para esta interpretação; algumas poucas trajetórias cruzam as raias escuras, nesse
local as partículas nunca são detectadas. Essas regiões correspondem aos vales do potencial
quântico que são atravessadas a velocidades altíssimas que tendem ao infinito, outra
característica é que se pode ver que cada partícula permanece no lado da fenda pela qual passou,
pois duas trajetórias não podem se cruzar ao mesmo instante. (PESSOA JUNIOR, 2006,
pg.241). Note que se a velocidade é altíssima, isso seria um indicio de que esta interpretação
seria “não-local”.
34
4.9 Paradoxo EPR
Vamos agora descrever um experimento histórico envolvendo as “interpretações da
quântica” chamadas de Paradoxo de EPR, ao qual teve inúmeras discussões calorosas entre os
físicos que defendiam na época. Esse experimento foi proposto inicialmente com a finalidade
de confirmar que havia variáveis ocultas por detrás das interpretações da quântica e existiriam
“problemas de casualidade” na “interpretação de Copenhague”.
Em 1935, três físicos – Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen – elaboraram
um paradoxo que desafiou interpretações da mecânica quântica. O fato de a informação
quântica aparentemente poder viajar mais rápido do que a velocidade da luz parecia ser um furo
na ideia do colapso de funções de onda. (BACKER, 2015, pg.89). Para Einstein, precisava haver
alguma forma de explicar esses fenômenos quânticos, não havia experimentos que pudessem
demostrar isso, no entanto o Paradoxo de EPR surge em uma tentativa, mesmo que mental para
explicar esses fatos.
O objetivo do Paradoxo EPR era, provar que o colapso da função de onda, ao qual Bohr
defendia na interpretação de Copenhague precisaria ser questionada. (HENRRIQUE, 2014,
pag.1). O que vimos segundo a interpretação de Copenhague é que o objeto quântico se
comporta como partícula ou como onda no momento em que se colapsa. Porém, para Albert
Einstein isso não fazia sentido, foi nesta perspectiva que ele propôs as “variáveis ocultas” como
vimos no capítulo anterior na tentativa de dizer que o sistema se comporta de uma forma
convencional típico da mecânica clássica.
4.10 Entrelaçamento Quântico
Imagine uma partícula, talvez um núcleo atômico, que decai para outros dois menores.
De acordo com as regras de conservação de energia, se uma partícula não era originalmente
estacionária, as partículas filhas deveriam adquirir momento angular e momento linear opostos
e de valor igual. As partículas emergentes se separam, cada uma para um lado e têm spins de
direções opostas. Outras propriedades quânticas do par também estão ligadas.
Se medimos a direção do spin de uma partícula, instantaneamente sabemos o estado da
outra: ela deve ter spin oposto para se encaixar nas regras quânticas. Contanto que nenhuma
das partículas interaja com outras, o que perturbaria o sinal, esse fato permanece verdadeiro,
não importando quão longe as partículas estejam ou quanto tempo se passe.
Na linguagem da interpretação de Copenhague, ambas as partículas filhas existem em
uma sobreposição de todos os resultados possíveis – uma mistura de todas as diferentes
velocidades e direções de spin que elas podem assumir. No momento em que medimos uma
35
delas, as probabilidades da função de onda de ambas as partículas colapsam para consolidar
esse resultado.
Einstein, Podolsky e Rosen argumentaram que isso não fazia sentido. Einstein sabia que
nada poderia viajar mais rápido que a luz. Com essa ideia, então seria possível passar um sinal
instantâneo a uma partícula que se encontrasse, muito, muito longe, podendo até mesmo estar
no outro lado do universo? E se isso fosse comprovado, a interpretação de Copenhague deveria
estar errada. Schroedinger, mais tarde, usou a expressão “emaranhamento” para descrever essa
estranha ação à distância. (BACKER, 2015, pg.90). Assim, foram propostos alguns
experimentos chamados de desigualdades de Bell para testar o emaranhamento quântico. Com
isso, concluímos que é possível que as duas funções de onda 𝜓1 e 𝜓2correspondam ao mesmo
elemento de realidade, ou seja, as duas funções de onda correspondem a um sistema A após a
interação com o sistema B. (HENRIQUE, pg.2, 2014).
Partículas gêmeas parecem saber quando a outra é observada, mesmo que estejam
extremamente distantes entre si. Como resultado disso, informação quântica não é armazenada
uma só vez, de maneira definitiva, mas está interligada e é reativa. (BACKER, 2015, pg.195).
Os experimentos realizados confirmaram as previsões da mecânica quântica, violando as
desigualdades de Bell e foram muito influentes no desenvolvimento da pesquisa sobre
fundamentos da física quântica. (FREIRE JR, pg.98, 2011). O que favorece a interpretação de
Copenhague, uma vez que a sua “não-localidade” foi comprovada.
36
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO
De acordo com a interpretação de Copenhague, não existe um unico fragmento da
Teoria Quantica com relação à descrição do mundo classico, o que é diferente para a
interpretação das Variaveis Ocultas, pois, segundo esta teoria, ela evita o colapso da função de
onda que é um aspecto fundamental da interpretação de Copenhague.
O que a interpretação de Copenhague não enfrenta é o problema da medição, é errado
considerar o aparato de medição (macroscopico) como separado do sistema quantico
(microscopico) e assim, a interpretação de Copenhague não parece distinguir entre a perda de
coerencia quantica, ou seja, o processo pelo qual os sistemas macroscopicos evoluem para um
estado onde interferencia é para todos os fins proibidos; e o colapso que é um processo pelo
qual o resultado é impossível, embora as propriedades estatisticas de um grande número de
experimentos similares possam ser calculados pela função de onda.
A teoria quântica implica que as medições normalmente não têm resultados do tipo
que a teoria foi criada para explicar. Assim como na interpretação das Variáveis Ocultas se a
descrição fornecida pela função de onda for considerada incompleta, então a descrição da
situação pós-medição inclui, assim como a função de onda, pelo menos os valores das variáveis
que registram o resultado e, portanto, não há medição.
Existe uma serie de razões pelas quais a teoria das Variaveis Ocultas não ganhou tanta
aceitação entre os cientistas, quanto em outras teorias. Em primeiro lugar, há a proposta do
potencial quantico e em física os potenciais classicos e quanticos surgem de interações fisicas
entre objetos, mas a potencial quantico surge apenas da matematica da equação de Schrodinguer
e não tem base física. Além disso, as forças associadas a esta teoria violam a terceira lei de
Newton, segundo a qual toda ação tem uma reação igual ou oposta, portanto, a onda influencia
a partícula através do potencial quântico, mas a partícula não reage na onda.
A teoria das Variáveis Ocultas tem problemas sutis ao incorporar o spin e outros
conceitos da fisica quantica como os autolavores do spin são discretos que não mencionamos
no trabalho, portanto, contradizem a uma constante rotacional, a menos que a interpretação
probabilistica seja aceita, o que não é o caso. Além de fazer postulados desnecessarios como,
por exemplo: a existencia de trajetorias de particulas que nunca podem ser observadas com mais
precisão do que o principio da incerteza permite. Embora a teoria não exija o colapso da função
de onda para explicar os fenomenos quanticos uma vez que a medição é feita, a função de onda
deve desaparecer, o que é altamente contraditório.
37
Portanto, a principal razão pela qual a teoria das Variaveis Ocultas não é
universalmente aceita é que ela é essencialmente uma teoria não-local, quando se trata da
velocidade e o que significa que uma partícula pode ser influenciada não somente pelo potencial
na localização da partícula, mas também por seus valores em outros pontos no espaço, apesar
de a interpretação de Copenhague também ser uma interpretação não-local.
Por fim, o que muitos físicos acreditam e em outras palavras, a interpretação de
Copenhague teve mais sucesso do que a teoria das Variáveis Ocultas simplesmente porque foi
a primeira a ser apresentada, mas que não devemos levar somente isso como fator absoluto.
Para muitos, essa teoria parece organizada e acredita-se que ela foi deliberadamente
programada para fornecer previsões que são em todos os detalhes idênticos à Mecânica
Quântica convencional. Porém a ideia de que a teoria das Variáveis Ocultas veio para derrubar
interpretação de Copenhague não é verdadeira, mas simplesmente como uma teoria alternativa
de outras teorias possíveis.
38
6 CONCLUSÕES
Como vimos a Mecânica Quântica não é uma teoria completa, assim como na Mecânica
Clássica onde conseguimos fazer previsões e os resultados nos mostram uma certeza absoluta
aceita e comprovada até. Porém, quando vamos para um mundo subatômico as coisas ou o
comportamento dos elétrons parece não fazer muito sentido.
Na interpretação de Copenhague, o objeto quântico teriam comportamentos ondulatório
ou corpuscular e ambos juntos seria impossível para esta interpretação quântica, o colapso da
função de onda aqui é um aspecto fundamental e o problema da medição e a não localidade
também contribuiu para que esta teoria não fosse tão aceita, pois o resultados que ela mostra
são apenas possibilidades.
Na Dupla Fenda na interpretação de Copenhague, padrões de interferência que são
características de ondas eram obtidos na tela de registro e, ao observar a trajetória desse objeto
quântico aconteceria o colapso da função de onda e o que teríamos na tela de registro seria um
quadro corpuscular, isso nos faz pensar que para esta interpretação existem muitas
possibilidades, mas apenas uma foi à escolhida no ato de observar. O experimento do Gato de
Schroedinger para esta interpretação é apenas para nos mostrar a ação do observador ao tentar
medir um objeto quântico.
Esta interpretação gerou grandes debates na época de sua descoberta e até nos dias
atuais. Para a interpretação das Variáveis Ocultas, temos um objeto quântico que seriam
também divididos em duas partes, uma partícula e um corpúsculo. Para guiar a partícula é
definido um Potencia Quântico e o corpúsculo seria a Variável Oculta e ambos estariam ligados
a Função de Onda.
A “localidade” nesta teoria era uma proposta que os físicos tinham na época, proposta
essa que foi derrubada pelo Teorema de Bell. O Paradoxo EPR foi um experimento proposto
com a finalidade de confirmar as Variáveis Ocultas e o colapso da função de onda ao qual a
interpretação de Copenhague defendia precisaria ser questionada, e no Entrelaçamento
Quântico a “não localidade” é confirmada.
Na Dupla Fenda para essa interpretação, padrões de interferência eram obtidos na tela
de registro, porém partícula e onda não seriam tratadas de forma separada, pois a partícula que
no caso é o objeto quântico surfaria na onda associada em ziguezague e na tela de registro
formaria o padrão de interferência, onde as ondas se cancelam não há partículas e observe que
nessa interpretação comportamento corpuscular e ondulatório são reais o tempo todo.
39
Enquanto na interpretação de Copenhague o ato de medir o objeto quântico provoca um
colapso, na Teoria das Variáveis Ocultas isso não acontece, pois onda e partícula são reais, mas
isso não quer dizer que a Teoria das Variáveis Ocultas seja melhor ou pior do que a interpretação
de Copenhague, o que de fato acontece nas duas Teorias são apenas formas diferentes de uma
interpretação Quântica ao qual até nos dias atuais nenhuma outra teoria foi 100% comprovada.
Existe sim, uma forte aceitação na interpretação de Copenhague, mas o que acontece é
que o que a interpretação de Copenhague não consegue explicar, as outras teorias entram como
uma alternativa. E hoje temos muitas outras e citando algumas temos: Hugh Everett (Muitos
Mundos), Histórias Consistentes (Copenhague “corrigida”), Consciência Causa Colapso e
muitas outras.
Por fim, no artigo Betz foi calculado a trajetória do elétron através da fenda por um
simulador computacional, porém na quântica não tem esta trajetória, mas as equações de Bohm
depois de trabalhadas fornecem o 𝑟 em função do tempo e quando jogamos no computador, nos
dá essas linhas que é a trajetória do elétron, no entanto, esses cálculos não foram feitos e seria
interessante para futuros trabalhos que se faça os cálculos baseado em Betz em uma dimensão
o que fez Betz para trem dimensões.
40
REFERÊNCIAS
[1] PESSOA JR, Osvaldo. Conceitos de Física Quântica 1. Editora Livraria da Física, 2003. [2] PESSOA JR, Osvaldo. As interpretações contemporâneas da mecânica quântica. 005/08.
Disponível em: < https://www.researchgate.net/profile/Osvaldo_Pessoa_Jr/publication/255671453_As_interpretacoes_contemporaneas_da_mecanica_quantica/links/5478f5ef0cf2a961e4878042.pdf>
[3] PESSOA JR, Osvaldo. Instituto de Estudos Avançados (lEA), USP; e Centro de Lógica,
Epistemologia & História da Ciência (CLE), Unicamp, C.P.6133. Campinas, SP 13081-970. [4] FREIRE JR, Olival; PESSOA JR, Osvaldo; BROMBERG, Joan Lisa. Teoria quântica:
estudos históricos e implicações culturais. eduepb, 2011. Disponível em: < http://books.scielo.org/id/xwhf5>
[5] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física, vol. 4, 2003. LTC
editora, Rio de Janeiro. [6] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física, 8a. edição, Vol. 2, LTC.
2008. [7] EISBERG, Robert Martin et al. Física quântica: átomos, moléculas, sólidos, núcleos y
partículas. 1994. [8] BAKER, Joanne. 50 ideias de física quântica que você precisa conhecer. São Paulo:
Planeta.,2015. Disponível em: <https://pt.slideshare.net/DuarteOliveira13/50-ideias-de-fisica-quantica-joanne-baker>
[9] HENRIQUE, Franciele Renata. O paradoxo de Einstein-Podolsky-Rosen.Disponível em:
<http://hyperhumanism.com/biblioteca/O%20Paradoxo%20EPR%20-%20Franciele%20Renata%20Henrique.pdf>
[10] SÉRVULO, Felipe. A interpretação de Copenhague e o Gato de Schrödinger.
Disponível em < https://www.misteriosdouniverso.net/2014/05/a-interpretacao-de-copenhague-e-o-gato.html> Acesso em: 13 jan. 2019.
[11] BETZ, Michel Emile Marcel. Elementos de mecânica quântica da partícula na interpretação da
onda piloto. Revista brasileira de ensino de física. São Paulo. Vol. 36, n. 4 (Oct./Dec. 2014), 4310, 14 p., 2014. Disponível em: <https://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/143774/000995936.pdf?sequence=1&isAllowed=y>
[12] PORTANOVA, M. Ondas. Slideplayer.com.br. 2016. Disponível em
<https://slideplayer.com.br/slide/3171478/>Acessado em: 18/02/2019. [13] SILVA, Domiciano Correa Marques da. "Interferência de ondas"; Brasil Escola. Disponível em
<https://brasilescola.uol.com.br/fisica/interferencia-ondas.htm>. Acesso em 18 de fevereiro de 2019.
[14] INTERPRETAÇÃO DE BOHM. In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida: Wikimedia
Foundation, 2018. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Interpreta%C3%A7%C3%A3o_de_Bohm&oldid=53549783>. Acesso em: 9 nov. 2018.
[15] PESSOA JUNIOR, OSVALDO, Conceitos de Física Quantica, Volume II / Oswaldo Pessoa
Jr..--1.ed. – São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006.
41
APÊNDICE
Como mencionamos no trabalho, na seção 4.7 mostramos a equação de Schroedinger
nas Variáveis Ocultas para três dimensões, portanto, nesta seção vamos desenvolve-la em uma
dimensão.
Temos a equação de Schroedinger em uma dimensão e separamos em três partes:
𝑖ℏ𝜕Ψ
𝜕𝑡=
−ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2+ 𝑉Ψ
lembrando que Ψ = 𝑅𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄ ; 𝑆 = 𝑆(𝑟, 𝑡) em uma dimensão.
Desenvolvendo a equação da primeira parte temos:
𝑖ℏ𝜕Ψ
𝜕𝑡= 𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝑡(𝑅𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄ )
𝑖ℏ𝜕Ψ
𝜕𝑡= 𝑖ℏ (
𝜕𝑅
𝜕𝑡𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄ + 𝑅
𝜕
𝜕𝑡𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄ )
𝑖ℏ𝜕Ψ
𝜕𝑡= 𝑖ℏ (
𝜕𝑅
𝜕𝑡𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄ +
𝑖𝑅
ℏ
𝜕𝑆
𝜕𝑡𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄ )
Portanto, a equação da primeira parte se torna:
𝑖ℏ𝜕Ψ
𝜕𝑡= 𝑖ℏ (
𝜕𝑅
𝜕𝑡+
𝑖𝑅
ℏ
𝜕𝑆
𝜕𝑡) 𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
Desenvolvendo a equação da segunda parte temos:
−ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2=
−ℏ2
2𝑚
𝜕2
𝜕𝑥2(𝑅𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄ )
−ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2= −
ℏ2
2𝑚
𝜕
𝜕𝑥(
𝜕
𝜕𝑥(𝑅𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄ ))
−ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2= −
ℏ2
2𝑚
𝜕
𝜕𝑥(
𝜕𝑅
𝜕𝑥𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄ + 𝑅
𝜕
𝜕𝑥𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄ )
−ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2= −
ℏ2
2𝑚
𝜕
𝜕𝑥(
𝜕𝑅
𝜕𝑥𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄ + 𝑅𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄ +
𝑖
ℏ
𝜕𝑆
𝜕𝑥)
Fazendo a regra da derivada do produto; a equação acima se torna:
−ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2= −
ℏ2
2𝑚{
𝜕2𝑅
𝜕𝑥2𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
+ (𝜕𝑅
𝜕𝑥𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
𝑖
ℏ
𝜕𝑆
𝜕𝑥+
𝑖
ℏ[𝜕𝑅
𝜕𝑥𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
𝜕𝑆
𝜕𝑥+ 𝑅𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
𝑖
ℏ
𝜕𝑅
𝜕𝑥
𝜕𝑆
𝜕𝑥+ 𝑅𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
𝜕2𝑆
𝜕𝑥2])}
Portanto, a equação da segunda parte se torna:
−ℏ2
2𝑚
𝜕2Ψ
𝜕𝑥2= −
ℏ2
2𝑚{
𝜕2𝑅
𝜕𝑥2+
2𝑖
ℏ
𝜕𝑅
𝜕𝑥
𝜕𝑆
𝜕𝑥−
𝑖
ℏ𝑅 (
𝜕𝑆
𝜕𝑥)
2
+𝑖
ℏ𝑅 (
𝜕2𝑆
𝜕𝑥2)} 𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
Desenvolvendo a equação da terceira parte temos:
42
𝑉Ψ = VR𝑒𝑖ℏ 𝑆⁄
Consideramos todos os termos em uma dimensão, temos:
𝑖ℏ (𝜕𝑅
𝜕𝑡+
𝑖𝑅
ℏ
𝜕𝑆
𝜕𝑡) 𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
= −ℏ2
2𝑚{
𝜕2𝑅
𝜕𝑥2𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
+ (𝜕𝑅
𝜕𝑥𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
𝑖
ℏ
𝜕𝑆
𝜕𝑥+
𝑖
ℏ[𝜕𝑅
𝜕𝑥𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
𝜕𝑆
𝜕𝑥+ 𝑅𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
𝑖
ℏ
𝜕𝑅
𝜕𝑥
𝜕𝑆
𝜕𝑥+ 𝑅𝑒𝑖𝑆 ℏ⁄
𝜕2𝑆
𝜕𝑥2])}
+ VR𝑒𝑖ℏ 𝑆⁄
𝑖ℏ𝜕𝑅
𝜕𝑡−
𝑖𝑅
ℏ
𝜕𝑆
𝜕𝑡= −
ℏ2
2𝑚
𝜕2𝑅
𝜕𝑥2−
ℏ2
2𝑚
2𝑖
ℏ
𝜕𝑅
𝜕𝑥
𝜕𝑆
𝜕𝑥−
ℏ2
2𝑚(−
𝑅
ℏ(
𝜕𝑆
𝜕𝑥)
2
) −ℏ2
2𝑚(
𝑖𝑅
ℏ
𝜕2𝑆
𝜕𝑥2) + 𝑉𝑅
Separando a equação de Schroedinger em uma dimensão nas partes Real e Imaginaria,
temos:
Parte Real:
−𝑅𝜕𝑆
𝜕𝑡=
−ℏ2
2𝑚
𝜕2𝑅
𝜕𝑥2+ 𝑉𝑅 +
ℏ
2𝑚𝑅 (
𝜕𝑆
𝜕𝑥)
2
−𝑅𝜕𝑆
𝜕𝑡+
ℏ2
2𝑚
𝜕2𝑅
𝜕𝑥2− 𝑉𝑅 −
ℏ
2𝑚𝑅 (
𝜕𝑆
𝜕𝑥)
2
= 0
𝜕𝑆
𝜕𝑡−
ℏ2
2𝑚
1
𝑅
𝜕2𝑅
𝜕𝑥2+ 𝑉 +
ℏ
2𝑚(
𝜕𝑆
𝜕𝑥)
2
= 0
Parte Imaginária:
ℏ𝜕𝑅
𝜕𝑡= −
ℏ
𝑚
𝜕𝑅
𝜕𝑥
𝜕𝑆
𝜕𝑥−
ℏ
2𝑚𝑅 (
𝜕2𝑆
𝜕𝑥2)
ℏ𝜕𝑅
𝜕𝑡+
ℏ
𝑚
𝜕𝑅
𝜕𝑥
𝜕𝑆
𝜕𝑥+
ℏ
2𝑚𝑅 (
𝜕2𝑆
𝜕𝑥2) = 0
𝜕𝑅
𝜕𝑡+
1
𝑚
𝜕𝑅
𝜕𝑥
𝜕𝑆
𝜕𝑥+
𝑅
2𝑚(
𝜕2𝑆
𝜕𝑥2) = 0
Podemos agora analisar os resultados das equações em três dimensões como mostra o
trabalho na seção 4.7 e comparamos os seus significados físicos juntamente com as equações
em uma dimensão como mostra o apêndice.
Segundo a equação (32) Parte Imaginária temos:
𝜕𝑅2
𝜕𝑡+ ∇⃗⃗⃗. (𝑅2
∇⃗⃗⃗𝑆
𝑚) = 0
desde que 𝑅2 = 𝜌 = |Ψ|2 ; a densidade seja |Ψ(𝑟, 𝑡)|2 ; probabilidade seja ΨΨ∗
43
𝐽 = 𝑅21
𝑚∇⃗⃗⃗𝑆
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ ∇⃗⃗⃗. J⃗ = 0
Esta equação é da densidade de corrente de probabilidade.
De acordo com a equação da continuidade em analogia com fluido temos:
J⃗ = 𝜌𝑣 = 𝑅2 (1
𝑚∇⃗⃗⃗𝑆)
a velocidade da partícula pode ser 𝑣 =1
𝑚∇⃗⃗⃗𝑆 ou melhor, 𝑝 = ∇⃗⃗⃗𝑆 pois, a função de onda guia a
partícula pois ela dá a velocidade da partícula.
Lembrando que a equação da parte Real nos diz que a energia se conserva e no caso,
E=Energia cinética mais o potencial (clássico mais quântico), sendo assim descreve
naturalmente a energia de uma partícula livre, podemos interpretar que a força que atura sobre
a partícula é derivada do potencial clássico mais quântico, guiando a partícula na sua trajetória
e fazendo que essa mesma trajetória seja bem definida.
A equação da parte Imaginaria é identificada como equação de continuidade, informa
que podemos definir uma velocidade para a partícula dada pela densidade de corrente de
probabilidade J e essa velocidade embora desconhecida depende de R no denominador, fazendo
com que para as regiões de interferência destrutiva, as velocidades sejam elevadas.
