Intro Series Fourier

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.Introduo s Sries de FourierFabiano J. SantosJulho de 2004SumrioLista de Figuras ii1 Funes Peridicas e Sries de Fourier 11.1 Funes Peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Relaes de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 O Teorema de Fourier* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Simetria ondulatria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6 Expanses peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Sries de Fourier Complexa e Espectros Discretos 282.1 Srie de Fourier Complexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Nmeros Complexos - Formas de Representao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 Os espectros de Amplitude e de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Formulrio 45Referncias Bibliogrcas 46iLista de Figuras1.1 Uma funo peridica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Periodo e perodo fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Senides: sen(x) ecos(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Onda Quadrada - Perodo2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Onda Triangular - Perodo2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 O conceito de funo seccionalmente contnua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Simetrias par e mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8 Funo par: reas nos intervalos[L, 0] e[0, L] iguais com mesmo sinal. . . . . . . . . . . . . . 181.9 Funo mpar: reas nos intervalos[L, 0] e[0, L] iguais com sinais contrrios. . . . . . . . . . . 181.10 Funo peridicaf(x) = x2, 1 x < 1, Perodo2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11 Onda Dente de Serra - Perodo2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.12 Funo sobre o intervalo[0, a] e sua expanso peridica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.13 A funof(x) = x no intervalo[0, ] e sua expanso peridica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.14 Expanses par e mpar de uma funo denida sobre o intervalo[0, a] . . . . . . . . . . . . . . 251.15 Expanso par da funof(x) = x denida no intervalo[0, ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1 Representao do nmero complexoz= x + iy no plano complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Alguns nmeros complexos e suas respectivas fases (argumentos). . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3 Alguns nmeros complexos - forma cartesiana e forma fasorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Espectro de amplitudes da onda dente de serra da Figura 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Espectro de fases da onda dente de serra da Figura 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6 Espectro de amplitudes do Exemplo 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7 Espectro de fases do Exemplo 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.8 Espectros do Problema 2.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.9 Espectros do Problema 2.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44iiCaptulo 1Funes Peridicas e Sries de Fourier1.1 Funes PeridicasUma funof dita peridica se existe um nmero real positivoT, denominado perodo def, tal quef(x) = f(x + T), (1.1)para todox no domnio def. Conforme mostrado na Figura 1.1,o grco de uma funo peridica obtido pela repetio de qualquer intervalo de comprimentoT.ETT T Txf(x)Figura 1.1: Uma funo peridica.Segue da equao (1.1) que se f peridica de perodo Tento para qualquer n inteiro positivo temosf(x) = f(x + nT),ou seja, qualquer mltiplo inteiro positivonTdo perodoTtambm um periodo def. O menor valordeTque satisfaz a equao (1.1) chamado perodo fundamental def. Qualquer perodo def ummltiplo inteiro do perodo fundamental. A Figura 1.2 ilustra tal conceito.A freqncia de uma funo peridica denida como o inverso de seu perodo1T1ETTPerodo fundamental2T3Txf(x)Figura 1.2: Periodo e perodo fundamental.e nos d o nmero de repeties (ciclos) em cada intervalo unitrio emx. Sex o tempo medido emsegundos ento a freqnciaf o nmero de ciclos por segundo (Hertz). Um outro tipo de freqncia,a qual utilizaremos no estudo das Sries de Fourier, a freqncia angular, denotada por, e denidacomo = 2f=2T.SeT o periodo fundamental da funof,ento sua freqncia (angular) fundamental,denotada por0, dada por0 =2TExemplo 1.1Asfunes sen(x)ecos(x), ilustradasnaFigura1.3, soambasperidicasdeperodofundamental T= 2e freqncia fundamental 0 =22= 1.Exemplo 1.2A funo constantef(x) = c tem como perodo qualquer nmero real T> 0 e no possuiperodo fundamental.ET0 2 3 4 2 3 4xsen(x)cos(x)Figura 1.3: Senides: sen(x) ecos(x).As duas proposies a seguir nos do duas propriedades importantes das funes peridicas.2Proposio 1.1: Sejafuma funo peridica de perodoT, ento:(i) f(ax),a = 0, peridica de perodoTa;(ii) f_xa_,a = 0, peridica de perodoaT.Provas:(i) SejaTo perodo def(ax), de modo quef(ax) =f[a(x + T)] =f(ax + aT). Fazendou =ax,obtemos f(u) = f(u+aT). Logo pela hiptese de que f peridica de perodo T, conclumos queT= aT, dondeT =Ta.(ii) Seja T o perodo de f_xa_, de modo que f_xa_= f_1a(x+T)= f_xa +Ta. Fazendo u =xa, obtemosf(u) = f_u +Ta_. Logo pela hiptese de quef peridica de perodoP, conclumos queT=Ta,dondeT = aT.Proposio 1.2: Sejamf1ef2duas funes peridicas de mesmo perodoT,1e2duas constantesreais quaisquer. A funoh denida porh(x) = 1f1(x) + 2f2(x),tambm peridica de perodoT. Em outras palavras,uma combinao linear de funes peridicas demesmo perodo tambm peridica, com mesmo perodo das funes combinadas.Aqui a prova muito simples e pode ser obtida diretamente:h(x + T) = 1f1(x + T) + 2f2(x + T) = 1f1(x) + 2f2(x) = h(x).Exemplo 1.3Como as funessen(x) ecos(x) possuem ambas perodo 2, pela Proposio 1.1 obser-vamos que:(i) sen(2x) ecos(2x) possuem perodo22= ;(ii) sen_x2_ ecos_x2_ possuem perodo 2 2 = 4.(iii) sen(2x) ecos(2x) possuem perodo22= 1;(iv) sen_2xT_ ecos_2xT_ possuem perodo22 T= T.Alm disto, n Z, as funessen_2nxT_ ecos_2nxT_possuem perodo22nT=Tn.Mas como qualquer mltiplo inteiro do perodo tambm perodo, conclumos que ambas tambm possuemperodoT. Finalmente, pela proposio 1.2, observamos que a funoh(x) = 1sen_2nxT_+ 2cos_2nxT_tambm peridica de perodoT.3Proposio 1.3: Sejamf1, f2, . . . , fnfunes peridicas de perodoT. Ento a funoh(x) = 1f1(x) + 2f2(x) + . . . + nfn(x),dada pela combinao linear def1, f2, . . . , fntambm peridica de perodoT. A prova anloga daproposio 1.2 e pode ser obtida pelo princpio da induo.Extrapolandoaproposio1.3, sejamf1, f2, . . . , fn, . . . funesperidicasdemesmoperodoT, asrie innita dada por1f1(x) + 2f2(x) + . . . + nfn(x) + . . . ,dene, paraosvaloresdexnosquaisconverge, umafunoperidicadeperodoT. Assimpodemosdenir a funoh(x) = 1f1(x) + 2f2(x) + . . . + nfn(x) + . . . ,tal que h(x) = h(x+T). Esta ltima armao de fundamental importncia, uma vez que trabalharemoscom sries innitas trigonomtricas da forma

n=0_ancos_2nxT_+ bnsen_2nxT__. (1.2)Observe que cada termo desta srie possui perodo T. Desta forma, para os valores de x nos quais a srieconverge ela dene uma funo peridica de perodoT.1.1.1 Problemas PropostosProblema 1.1Determinesecadaumadasfunesaseguirounoperidica. Casosejadetermineseu perodo fundamental e sua freqncia fundamental.(a) y = cos(x)(b) y = tg(x)(c) y = x2(d) y = sen(5x)(e) y = cos(3x)(f ) y = cos(nx)(g) y = sen(nx)(h) y = sen_xT_(i) y = cos(3x) + sen(4x) + cos(5x)(j) y = sen_x3_+ cos_x5_+ sen_x7_+ cos_x9_Problema 1.2Para cada funo a seguir esboce seu grco para alguns valores den. Observando estegrcodetermineseafunoounoperdica. Casosejadetermineseuperodofundamental esuafreqncia fundamental.(a) y =_0 , 2n 1 x < 2n1 , 2n x < 2n + 1, n = 0,1,2, . . .(b) y =_(1)n, 2n 1 x < 2n1 , 2n x < 2n + 1, n = 0,1,2, . . .Problema 1.3Sejamf, g : R R funes peridicas de mesmo perodoT. Mostre que4(a) (f + g)(x) = f(x) + g(x) peridica de perodoT(isto , a soma de duas funes peridicas demesmo perodo tambm peridica);(b) (f g)(x) = f(x) g(x) peridica de perodoT(isto , a diferena de duas funes peridicasde mesmo perodo tambm peridica);(c) (fg)(x)=f(x)g(x)peridicadeperodoT(isto, oprodutodeduasfunesperidicasdemesmo perodo tambm peridica);Problema 1.4Sejaf: R R uma funo peridica de perodoTe integrvel em toda a reta. Mostreque_a+Taf(x)dx =_b+Tbf(x)dx(ou seja,independentedointervalodeintegraoovalordaintegral sersempre omesmodesdequeotamanho deste intervalo seja o prprio perodo da funo. Geometricamente isto bvio. Por qu?)1.2 Relaes de OrtogonalidadeAntesdeexaminarmoscommaisdetalhessriestrigonomtricasdaforma(1.2)investigaremosalgu-maspropriedadesimportantesdasfunesqueadenem. Comecemosrelembrando, datrigonometriaelementar, as frmulas para o seno e cosseno da soma e da diferena:seno da soma: sen( + ) = sen()cos() + cos()sen(), (1.3a)cosseno da soma: cos( + ) = cos()cos() sen()sen(), (1.3b)seno da diferena: sen( ) = sen()cos() cos()sen(), (1.3c)cosseno da diferena: cos( ) = cos()cos() + sen()sen(). (1.3d)A partir destas frmulas obtemos trs identidades que utilizaremos adiante no clculo de algumas inte-grais:por (1.3b) + (1.3d) obtemos: 2cos()cos() = cos( + ) + cos( ), (1.4a)por (1.3d) (1.3b) obtemos: 2sen()sen() = cos( ) cos( + ), (1.4b)por (1.3a) (1.3c) obtemos: 2cos()sen() = sen( + ) sen( ). (1.4c)Os resultados do Teorema 1.4 dado a seguir tambm ser importante para nosso trabalho futuro.Teorema 1.4 (Relaes de Ortogonalidade): sem, n Z+(inteiros positivos), ento:_T0cos_2mxT_cos_2nxT_dx =_0 , sem = nT2, sem = n; (1.5a)_T0sen_2mxT_sen_2nxT_dx =_0 , sem = nT2, sem = n; (1.5b)_T0cos_2mxT_sen_2nxT_dx = 0,m, n; (1.5c)5As relaes (1.5a),(1.5b) e (1.5c) so chamadas relaes de ortogonalidade. Provaremos a equao(1.5a) e deixamos as provas das relaes (1.5b) e (1.5c) como exerccio para o leitor nos Problemas 1.5 e1.6 respectivamente.Prova de (1.5a)Casom = n. Utilizando a identidade (1.4a) podemos escrever:_T0cos_ 2mxT_cos_ 2nxT_dx=12_T0_cos_ 2mxT+2nxT_+ cos_ 2mxT2nxT__dx=12_T0_cos_ 2(m + n)xT_+ cos_ 2(mn)xT__dx=12_T2(m + n)sen_ 2(m + n)xT__T0+12_T2(mn)sen_ 2(mn)xT__T0=T4(m + n)_sen_2(m + n)_ sen_0__+T4(mn)_sen_2(mn)_ sen_0__=0;uma vez quem, n Z+,m = n, e o seno de mltiplos inteiros de zero.Casom = n. Neste caso temos:_T0cos_ 2nxT_cos_ 2nxT_dx=_T0_cos_ 2nxT__2dx=12_T0_1 + cos_ 4nxT__dx=12_x +T4nsen_ 4nxT__T0=12_T+T4nsen(4n) 0 T4nsen(0)_=12_T_=T2;uma vez quen Z+ e o seno de mltiplos inteiros de zero.1.2.1 Problemas PropostosProblema 1.5Seguindo omesmo raciocnio dotexto utilizea identidade(1.4b) para provar a relaode ortogonalidade(1.5b).Problema 1.6Seguindo o mesmo raciocnio do texto, utilize a identidade(1.4c) para provar a relaode ortogonalidade(1.5c).1.3 Sries de FourierVoltemos agora s sries trigonomtricas da formaa02+

n=1ancos_2nxT_+ bnsen_2nxT_, (1.6)6na qual observamos que todas as innitas parcelas so peridicas de perodoT. No conjunto de valoresdex para os quais a srie (1.6) converge ela dene uma funo peridicafde perodoT. Dizemos entoque a srie (1.6) a Srie de Fourier1parafe escrevemosf(x) a02+

n=1ancos_2nxT_+ bnsen_2nxT_, (1.7)onde os coecientes a0, an e bn (n Z+ ) so chamados Coecientes de Fourier. Como a funo f denidapor (1.7) possui perodo fundamental T, sua freqncia fundamental 0=2T . Assim reescrevemos asrie (1.7) na forma mais convenientef(x) a02+

n=1ancos_n0x_+ bnsen_n0x_, (1.8)Raciocinando no sentido inverso, sejafuma funo peridica de perodo fundamental T e freqnciafundamental0 =2T . Surgem duas questes:(i) como determinar os coecientes de Fouriera0, anebnpara que possamos representarfpor umasrie da forma (1.8)?(ii) quais as condies que devemos impor sobrefpara que tal representao seja possvel?Abordaremos agora a primeira questo para a determinao dos coecientes de Fourier. A segunda,por setratarde um assunto maissutil,sercomentada maisadiante (seo1.4)quandoj estivermosfamiliarizados com as Sries de Fourier.Determinao dos Coecientes de FourierDada uma funofperidica de perodoTnosso objetivo determinar os Coecientes de Fourier paraesta funo em particular. Em outras palavras,determinar os coecientes de Fourier da representaoemSriedeFourierparaadadafuno. Paratalmlanaremosmodasrelaesdeortogonalidadeanteriormente discutidas.Determinao dea0: integramos2ambos os membros de (1.8) sobre o intervalo [0, T]:_T0f(x)dx=_T0_ a02+

n=1ancos_n0x_+ bnsen_n0x__dx=_T0a02dx +

n=1_T0ancos_n0x_dx +_T0bnsen_n0x_dx=_ a02x_T0+

n=1_ann0sen_n0x__T0_bnn0cos_n0x__T0=_ a02T_+

n=1ann0_sen_n0T_sen_0__bnn0_cos_n0T_cos_0__=_ a02T_+

n=1ann0_sen_2n_0_bnn0_cos_2n_1_=a02T,1Jean Baptiste Joseph Fourier, Fsico-Matemtico francs (1768 1830). Fourier utilizou sries da forma (1.6) em seufamoso trabalho Thorie Analytique de la Chaleur, onde estudou os fenmenos de conduo de calor.2Uma srie de funes pode ser derivada e integrada termo a termo somente se ela for uniformemente convergente. Este o caso das Sries de Fourier. Veja os Captulos1 e2 da referncia [3].7uma vez quesen_2n_= 0 ecos_2n_= 1 n Z. Assim o coecientea0 dado pora0 =2T_T0f(x)dx. (1.9a)Determinaodean: multiplicamosambososmembrosde(1.8)porcos_m0x_eintegramossobre o intervalo [0, T]:_T0f(x)cos_m0x_dx=_T0_ a02cos_m0x_+

n=1ancos_n0x_cos_m0x_+ bnsen_n0x_cos_m0x__dx=_T0a02cos_m0x_dx +

n=1_an_T0cos_n0x_cos_m0x_dx++ bn_T0sen_n0x_cos_m0x_dx._Pela equao (1.5c) a segunda integral do somatrio nula. Pela equao (1.5a) a segunda integraldo somatrio nula param = n e valeT2param = n. Assim temos_T0f(x)cos_n0x_dx=a02n0_sen_n0x__T0+ anT2=a02n0_sen_n0T_sen_0__+ anT2=a02n0_sen_2n_sen_0__+ anT2=anT2,uma vez quesen_2n_= 0 n Z. Assim o coecientean dado poran =2T_T0f(x)cos_n0x_dx. (1.9b)Determinaodebn: multiplicamosambososmembrosde(1.8)porsen_m0x_eintegramossobre o intervalo [0, T]. Fica a cargo do leitor, Problema 1.13 da pgina 14, vericar quebn =2T_T0f(x)sen_n0x_dx. (1.9c)Asequaes(1.9a), (1.9b)e(1.9c)sochamadasFrmulasdeEuler-Fourieresedestinamaoclculo dos Coecientes de Fourier da srie (1.8) para uma dada funofperidica de perodoT. Nadeduo destas Frmulas integramos sobre o intervalo [0, T], mas comof, cos(n0x) e sen(n0x),onde0=2T , so todas peridicas de mesmo perodoT, os resultados dos Problemas 1.3 (pgina 4) e1.4 (pgina 5) nos mostram que tal integrao poderia se dar sobre qualquer intervalo de comprimentoT. Assim, paraoclculodoscoecientes a0, ane bnpodemosintegrarsobrequalquerintervalodecomprimentoT; evidentemente escolhemos o intervalo mais conveniente.8Exemplos de Sries de FourierResumindo nossos resultados at o momento: se f: R R uma funo peridica de perodo T, entofpode ser representada por uma Srie de Fourier da formaf(x) a02+

n=1ancos(n0x) + bnsen(n0x) (1.10)onde 0afreqnciafundamental de f (etambmdaSriedeFourier), dadapor 0=2T . Oscoecientesa0,an ebn so dados pelas Frmulas de Euler-Fourier3a0=2T_Tf(x)dx, (1.11a)an=2T_Tf(x)cos(n0x)dx, n = 1, 2, . . . (1.11b)bn=2T_Tf(x)sen(n0x)dx, n = 1, 2, . . . (1.11c)Exemplo 1.4DeterminearepresentaoemSriedeFourierdaondaquadradamostradanaFigura1.4.ET0 2 3 2 311xf(x)Figura 1.4: Onda Quadrada - Perodo2.OperododestaondaquadradaT=2esuafreqnciafundamental 0=2T=1. Suaformaanaltica pode ser dada por4f(x) =_ 1 , x < 01 , 0 x < , f(x + 2) = f(x).Passemos ento aos clculos dos coecientes de Fourier.3A simbologia T. . . dx signica integrao sobre um perodo def.4Uma vez que a funo peridica, devemos express-la analiticamente em um intervalo do tamanho de seu perodo e aseguir indicar sua periodicidade. A escolha deste intervalo arbitrria e em muitos casos a mais conveniente o intervalocentrado na origem.9Clculo dea0: usando a equao(1.11a) temosa0=22_f(x)dx=1__0dx +_0dx_= 1_x_0+1_x_0= 1_0 + _+1_ 0_= 1 + 1=0.Clculo dean: usando a equao(1.11b), com0 = 1, temosan=22_f(x)cos(nx)dx=1__0cos(nx)dx +_0cos(nx)dx_= 1n_sen(nx)_0+1n_sen(nx)_0= 1n_sen(0) sen(n)_+1n_sen(n) sen(0)_= 1n_0 + sen(n)_+1n_sen(n) 0_=0,pois o seno de mltiplos inteiros de zero.Clculo debn: usando a equao(1.11c), com0 = 1, temosbn=22_f(x)sen(nx)dx=1__0sen(nx)dx +_0sen(nx)dx_=1n_cos(nx)_01n_cos(nx)_0=1n_cos(0) cos(n)_1n_cos(n) cos(0)_=1n_1 cos(n)_1n_cos(n) 1)_=2n_1 cos(n)_.pois sendo o cosseno par,cos(n) = cos(n).Substituindoa0 = 0, an = 0 e0 = 1 na equao(1.10), a representao em Srie de Fourier destaonda quadrada tem a formaf(x)

n=1bnsen(nx),isto , a Srie s possui termos em senos5. Substituindo o valor encontrado parabnpodemos escreverf(x)

n=12n_1 cos(n)_sen(nx), (1.12a)queumaformabastantedesajeitada. Utilizandoaequao(1)(Formulrio- pgina45), podemosreescreverbncomobn =_0 , sen par4n, sen mpar, (1.12b)5Adiante, seo 1.5, veremos que isto no uma mera coincidncia.10isto, temosapenastermosparavaloresmparesden. Assim, utilizandoosvaloresdebndadospelaequao(1.12b) a expanso da Srie(1.12a) caf(x) 4sen(x) +43sen(3x) +45sen(5x) +47sen(7x) + . . .ou, reescrevendo-a na forma de somatrio (observe que temos apenas termos mpares)f(x) 4

k=012k + 1 sen_(2k + 1)x. (1.12c)Exemplo 1.5DeterminearepresentaoemSriedeFourierdaondatriangularmostradanaFigura1.5.ET

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ddddddd

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0 1 2 3 1 2 31xf(x)Figura 1.5: Onda Triangular - Perodo2.OperododestaondatriangularT=2esuafreqnciafundamental 0=2T=. Suaformaanaltica pode ser dada porf(x) =_ x , 1 x < 0x , 0 x < 1, f(x + 2) = f(x).Passemos ento aos clculos dos coecientes de Fourier.Clculo dea0: usando a equao(1.11a) temosa0=22_11f(x)dx=_01xdx +_10xdx= _ x22_01+_ x22_10= _0 12_+_ 120_=12+12=1.Clculo dean: usando a equao(1.11b), com0 = , temosan=22_11f(x)cos(nx)dx=_01x cos(nx)dx +_10x cos(nx)dx11Pela equao(4) (Formulrio - pgina 45), com0 = , obtemosan= _xnsen(nx) +1n22cos(nx)_01+_xnsen(nx) +1n22cos(nx)_10= _1n22cos(0) +1nsen(n) 1n22cos(n)_+_1nsen(n) +1n22cos(n) 1n22cos(0)_= _1n22 1n22cos(n)_+_1n22cos(n) 1n22_=2n22_cos(n) 1_Clculo debn: usando a equao(1.11c), com0 = , temosbn=22_11f(x)sen(nx)dx=_01x sen(nx)dx +_10x sen(nx)dxPela equao(3) (Formulrio - pgina 45), com0 = , obtemosbn= _xncos(nx) +1n22sen(nx)_01+_xncos(nx) +1n22sen(nx)_10= _1n22sen(0) 1ncos(n) 1n22sen(n)_+_1ncos(n) +1n22sen(n) 1n22sen(0)_=1ncos(n) 1ncos(n)=0Substituindobn=0e0=naequao(1.10), arepresentaoemSriedeFourierdestaondatriangular tem a formaf(x) a02+

n=1ancos(nx),isto,aSriepossuiotermoconstantea02etermosemcossenos6. Substituindoovaloresencontradosparaa0eanpodemos escreverf(x) 12 +

n=12n22_cos(n) 1_cos(nx). (1.13a)Utilizando a equao(1) (Formulrio - pgina 45), podemos reescreverancomoan =_0 , sen par4n22, sen mpar, (1.13b)isto, temosapenastermosparavaloresmparesden. Assim, utilizandoosvaloresdeandadospelaequao(1.13b) a expanso da Srie(1.13a) caf(x) 12 42cos(x) 492cos(3x) 4252cos(5x) 4492cos(7x) + . . .ou, reescrevendo-a na forma de somatriof(x) 12 42

k=11(2k 1)2cos_(2k 1)x. (1.13c)6Adiante, seo 1.5, veremos que isto no uma mera coincidncia.121.3.1 Problemas PropostosProblema 1.7Refaa os clculos do Exemplo 1.4 (pgina 9) integrando sobre o intervalo(a) [0, 2] (b) [2, 0] (c) [2, 4]Problema 1.8Refaa os clculos do Exemplo 1.5 (pgina 11) integrando sobre o intervalo(a) [0, 2] (b) [2, 0] (c) [2, 4]Problema 1.9Determine a forma analtica e a representao em Srie de Fourier da funo peridica.ET0 1 2 3 1 2 3

1xf(x)Problema 1.10Determine a forma analtica e a representao em Srie de Fourier da funo peridica.ET0 2 3 2 3

xf(x)Problema 1.11Para cada funo peridica a seguir esboce seu grco em um intervalo de trs perodose encontre sua representao em Srie de Fourier.(a) f(x) =_0 , 1 x < 01 , 0 x < 1, f(x) = f(x + 2).(b) f(x) =_0 , x < 0x , 0 x < , f(x + 2) = f(x).(c) f(x) =_ 3 x , 3 x < 03 x , 0 x < 3, f(x) = f(x + 6).(d) (reticador de meia onda)f(x) =_0 , x < 0sen(x) , 0 x < , f(x) = f(x + 2).(e) (reticador de onda completa)f(x) = sen(x), 0 x < , f(x) = f(x + ).13Problema 1.12Use a representao em Srie de Fourier da onda triangular da Figura 1.5, dada pelaequao(1.13c), para mostrar que28= 1 14 + 19 116 +125 149 + . . .Problema 1.13Verique a validade da equao(1.9c).1.4 O Teorema de Fourier*Nesta seo discutiremos brevemente as funes representveis por Sries de Fourier. Iniciamos denindoa seguinte notao para os limites laterais de uma funo:limite lateral esquerda:limxaf(x) = f(a 0);limite lateral direita:limxa+f(x) = f(a + 0).Tambmdefundamental importnciaoconceitodefunoseccionalmentecontnua(oufunocontnua por partes).Denio 1.5 (Funo seccionalmente contnua)Uma funof seccionalmente contnua em umintervalo [a, b] se pudermos subdividir o intervalo em um nmero nito de pontosa t0< t1< . . . < tn bde modo quefseja contnua em cada subintervalo abertoti1< x < ti,i = 1, . . . , n (Figura 1.6(a)).ETbbba b xf(x)(a) Uma funo seccionalmente contnua.ETxf(x)=1x(b) Uma funo no seccionalmente contnua.Figura 1.6: O conceito de funo seccionalmente contnua.Emoutras palavras, f seccionalmentecontnuanointervalo[a, b] seelacontnuaemtodoointervalo, excetoemumnmeronitodepontos t0 0 ey = 0arctg_yx_, sex < 0 ey = 02, sex = 0 ey> 02, sex = 0 ey< 00 , sey = 0 ex 0 , sey = 0 ex < 0. (2.18)3Neste caso necessrio adicionar ao argumento uma vez que a funoarctg tem imagem sobre o intervalo 2. . .2.36Nmeros Complexos - Forma Polar (ou Trigonomtrica)Na Figura 2.1 observamos que x = |z|cos() e y = |z|sen(), de modo que o nmero complexo z = x+iypode ser reescrito na formaz = x + iy = |z|cos() + i |z|sen(),ou sejaz = |z|[cos() + isen()], (2.19)chamada forma polar ou trigonomtrica dez.Nmeros Complexos - Forma ExponencialPela denio da exponencial complexaex+iy= ex[cos(y) + isen(x)], observamos quecos() + isen() = ei,de modo que a forma polar dada pela equao (2.19) pode ser reescrita comoz = |z|ei, (2.20)chamada forma exponencial dez.Nmeros Complexos - Forma FasorialETeixo realeixo imaginriob(2, 2) _22,4_b(2, 2) _22, 34_b(0, 1) _1,2_b(0, 1) _1, 2_b(3, 0) (3, 0)b(3, 0) (3, )Figura 2.3: Alguns nmeros complexos - forma cartesiana e forma fasorial.37Uma outra maneira de se representar um nmero complexo atravs de sua forma fasorialz =_|z|, _, (2.21)isto , atravs de um par ordenado onde a primeira componente nos d a amplitude do nmero complexoeasegundacomponentenosdsuafase. AFigura2.3ilustraalgunsexemplosondeoprimeiroparordenado representa o nmero complexo na forma cartesiana e o segundo representa o nmero complexona forma fasorial.2.2.1 Problemas PropostosProblema 2.9Representecadanmerocomplexoaseguiremummesmoplanocomplexo. Aseguirdetermine sua amplitude e sua fase e reescreva-o nas formas cartesiana, polar, exponencial e fasorial.(a) z = 2 + 2i(b) z = 3 3i(c) z = 1 i(d) z = 2 +3i(e) z = 2 +3i(f ) z = 1 3i(g) z = 1 3i(h) z = 2 + 2i(i) z = 3(j) z = 5(k) z = 2i(l) z = 4i2.3 Os espectros de Amplitude e de FaseOs coecientes cn da expanso de uma funo em Srie de Fourier Complexa so nmeros complexos. Naverdade devemos entendercncomo uma funo complexa de domnio discreto Z, isto , uma funo daformacn : Z C,que associa a cada inteiron Z um nmero complexocn C.Por se tratar de uma funo, gostaramos de representar cn na forma grca cnn. Acontece que talrepresentao no possvel, uma vez que as imagens cn so complexas.Para representarmos gracamenteuma funo complexa discretaf: Z C temos duas possibilidades.(a) Decompomos as imagensf(n) em suas partes real e imaginria, isto ,f(n) = Re[f(n)] + i Im[f(n)]e a seguir os traamos os grcosRe[f(n)] n eIm[f(n)] n separadamente. Tal representao,apesar de perfeitamente plausvel, possui pouca utilidade, pois geralmente no estamos interessadosnos comportamentos deRe[f(n)] eIm[f(n)] de forma isolada.(b) Uma segunda possibilidade reescrevermosf(n) na forma fasorialf(n) =_|f(n)|, n_e a seguir traamos os grcos |f(n)| n enn separadamente.38Usandoosegundoraciocniopodemos representar cnatravs dedois diagramas [4]: umparaasamplitudes (conhecido como espectro de amplitudes) e outro para as fases (conhecido como espectro defases):Espectrodeamplitudes: umdiagramaondegrafamos os valores das amplitudes |cn| doscoecientes de Fourier versusn0, isto , um grco da forma4|cn| n0.Espectro de fase: um diagrama onde grafamos os valores das fases n dos coecientes de Fourierversusn0, isto , um grco da formann0.O prximo Exemplo ilustra a construo destes espectros.Exemplo 2.4Determine os espectros de amplitudes e de fases da onda dente de serra do Exemplo 1.8(pgina 21) mostrada na Figura 1.11 (pgina 21).ConformevimosnoExemplo1.8estaondaquadradatemperodoT=2, freqnciafundamental0 = 1 e forma analticaf(x) = x, se x < ef(x) = f(x + 2).Vimos tambm que os coecientes trigonomtricos soa0 = an = 0 ebn = 2n cos(n).A partir dos coecientes trigonomtricos usamos as equaes(2.6) e(2.11) para determinarmoscn.Pela equao(2.6) temoscn =12_anibn_=12_0 + i 2ncos(n)_= i cos(n)n, (2.22)e pela equao(2.11) temosc0 = 0. Usando a equao(1) (Formulrio - pgina 45) podemos reescrevera equao(2.22) comocn =___0 , sen = 0;in, sen > 0 en par ou sen < 0 en mpar,in, sen > 0 en mpar ou sen < 0 en par,ou na forma fasorialcn =_|cn|, n_=___(0, 0) , sen = 0;_1n,2_, sen > 0 en par ou sen < 0 en mpar,_1n, 2_, sen > 0 en mpar ou sen < 0 en par,Para obtermos o espectro de amplitudes grafamos |cn| (a primeira componente de cada par ordenadodaformafasorial)emfunoden0, nestecaso, emfunoden. AFigura2.4ilustraoespectroobtido.Para obtermos o espectro de fases grafamos n (a segunda componente de cada par ordenado da formafasorial) em funo den0, neste caso, em funo den. A Figura 2.5 ilustra o espectro obtido.4Observamos que nos espectros de amplitudes e de fases utilizamosn0(isto , mltiplos inteiros da freqncia funda-mental)comovarivelindependente,enosimplesmenten. Omotivosimples: n0soexatamenteasfreqnciasdos(innitos) harmnicos que ocorrem na expanso em Srie de Fourier.39ET0bb12b123b134b145b15b12b123b134b145b15n0|cn|Figura 2.4: Espectro de amplitudes da onda dente de serra da Figura 1.11.ET0bb22b23b24b25b2b 22b23b 24b25b 2n0nFigura 2.5: Espectro de fases da onda dente de serra da Figura 1.11.Comentrios sobre os Espectros de Amplitudes e de Fases(i) Geralmente um sinal dado no domnio do tempo. Os espectros representam exatamente o sinalno domnio da freqncia.(ii) Sendo o sinal peridico no domnio do tempo os espectros de amplitudes e de fases so espectrosdiscretos, uma vez que apenas os harmnicos cujas freqncias so mltiplos inteiros da freqnciado sinal (ou seja, mltiplos inteiros da freqncia fundamental) so necessrios para sua sntese.(iii) O espectro de amplitudes possui simetria par (veja a Figura 2.4). Devido a tal simetria, algumasvezes o espectro de amplitudes traado apenas paran 0.(iv) Para interpretarmos o signicado dos espectros inicialmente observamos que cada harmnico expo-nencial consitudo de uma soma de harmnicos senoidais:ein0x= cos(n0x) + i sen(n0x).40Usando a equao (2.20) podemos reescrever os coecientescn na formacn = |cn|ei n.Assim, cada termo na Srie Complexa dada pela equao (2.12) pode ser reescrito comocnein0x= |cn|ei nein0x= |cn|ei(n0x+n)= |cn|_cos(n0x + n) + i sen(n0x + n)= |cn|_cos_n0(x +nn0)+ i sen_n0(x +nn0)_. (2.23)Pelaequao(2.23), ainterpretaodoespectrodeamplitudesimediata: nosmostraaamplitudedecadaharmnicoemcadaumadas freqncias queconstituemosinal. Porexemplo, na Figura 2.4 o ponto _3,13_ signica que o harmnico de freqncia 3, isto , oharmnicoei3x, possui amplitude13.Ainterpretaodoespectrodefases mais sutil: pelaequao(2.23) observamos queatranslao horizontal (avano ou atraso) de cada harmnico que constitue o sinal dada pornn0. Assim, comooespectrodefasesnosdafasedoscoecientes cn, paraobtermosatranslaohorizontaldecadaharmnicodevemosdividirn(afasedocoeciente)porn0(afreqnciadoharmnico). Porexemplo, naFigura2.5oponto _3, 2_signicaqueoharmnico de freqncia 3, isto , o harmnicoei3x, deve ter sua fase atrasada (deslocadapara a direita) de/23=16radianos na sntese do sinal.De posse dos espectros de amplitudes e de fases do sinal possvel obtermos sua representao emSrie de Fourier, bastando reescrever os coecientescnna forma exponencial dada pela equao (2.20).Assimcn = |cn|ei n, (2.24)onde |cn| obtido a partir dos espectros de amplitudes en obtido a partir do espectro de fases. Oprximo Exemplo ilustra este procedimento.Exemplo 2.5ObtenhaarepresentaoemSriedeFourier dosinal cujos espectros sodados nasFiguras 2.6 e 2.7Pelo espectro de amplitudes (Figura 2.6) observamos que|cn| =___14, sen = 00 , sen par2n22, sen mpar; (2.25a)e pelo espectro de fases (Figura 2.7)n =_0 , sen par , sen mpar. (2.25b)Usando a equao (2.24), as equaes (2.25a) e (2.25b) podem ser combinadas para obtermos (lembrando-se queei= cos() + isen() = 1)cn =___14, sen = 00 , sen par2n22, sen mpar. (2.25c)41ET14bb222b3b 2924b5b 12526b7b 1492b2b3b4b5b6b7bn0|cn|Figura 2.6: Espectro de amplitudes do Exemplo 2.5.Assim,deacordocomaequao(2.12),observandonosespectrosque0=),arepresentaoemSrie de Fourier complexa deste sinal dada por5f(x) 14 22

kZ1(2k + 1)2ei(2k+1)x.ou, na forma expandidaf(x) . . . 2252e5ix292e3ix22eix+ 14 22eix292e3ix2252e5ix. . .Paraobtermososcoecientestrigonomtricosinicialmenteobservamos, pelaequao(2.25c), quecn = cn. Assim, pela equao(2.15a) temosan = cn + cn =_0 , sen par4n22, sen mpar,e pela equao(2.15b)ibn = cncn = 0, dondebn = 0.Finalmente, pela equao(2.11), temosa0 =12. Assim, de acordo com a equao(2.1), a representaoem Srie de Fourier trigonomtrica deste sinal dada por6f(x) 14 42

k=11(2k 1)2cos [(2k 1)x] .ou, na forma expandidaf(x) 12 42cos(x) 492cos(3x) 4252cos(5x) + . . .5Compare com a equao (??).6Compare com a equao (1.13c).42ET765432 2 3 4 5 6 7b b b b b b b bb b b b b b bn0nFigura 2.7: Espectro de fases do Exemplo 2.5.2.3.1 Problemas PropostosProblema 2.10A partir dos coecientes complexos obtidos no Exemplo 2.1 (pgina 31), trace os espec-tros de amplitudes e de fases da onda quadrada da Figura 1.4 (pgina 9).Problema 2.11A partir dos coecientes complexos obtidos no Exemplo 2.3 (pgina 32), trace os espec-tros de amplitudes e de fases da onda triangular da Figura 1.5 (pgina 11).Problema 2.12ApartirdoscoecientescomplexosobtidosnoProblema2.7(pgina34),traceoses-pectros de amplitudes e de fases da onda da Figura 1.10 (pgina 20).ETn0|cn|a12a2a2a233a4a255a6a277a8(a)Espectros de amplitudes do Problema 2.13.ETn0na2a2a3a4a5a6a7a8(b)Espectros de fases do Problema 2.13.Figura 2.8: Espectros do Problema 2.13.43Problema 2.13ObtenhaarepresentaoemSriedeFourier(ComplexaeTrigonomtrica)dosinalcujos espectros so dados na Figura 2.8.Problema 2.14ObtenhaarepresentaoemSriedeFourier(ComplexaeTrigonomtrica)dosinalcujos espectros so dados na Figura 2.9.ETn0|cn|aa 11a122a133a144a155(a)Espectros de amplitudes do Problema 2.14.ETn0na41a 42a3a4a5(b)Espectros de fases do Problema 2.14.Figura 2.9: Espectros do Problema 2.14.Problema 2.15Mostrequeparaumafunoperidicaumatraso notemponotemnenhumefeitosobre o espectros de amplitudes mas altera o espectro de fases por n0, isto , gera um atraso den0para a componenete de freqncian0.44FormulrioResumimosaqui algunsresultadosealgumasprimitivascorrentementeutilizadasquandotrabalhamoscom Sries de Fourier. Sugerimos ao leitor vericar a veracidade de cada um destes resultados quandoutiliz-los pela primeira vez.(1) cos(n) = (1)n=_1 , sen par1 , sen mpar, n Z.(2) sen(n) = 0, n Z.(3) _xsen(n0x)dx = xn0cos(n0x) +1n220sen(n0x).(4) _xcos(n0x)dx =xn0sen(n0x) +1n220cos(n0x).(5) _xein0xdx =_ixn0+1n220_ein0x.(6) _x2sen(n0x)dx = x2n0cos(n0x) +2xn220sen(n0x) +2n330cos(n0x).(7) _x2cos(n0x)dx =x2n0sen(n0x) +2xn220cos(n0x) 2n330sen(n0x).45Referncias Bibliogrcas[1] [Boyce1990] Boyce, WillianE.; Diprima, RichardC. Equaes Diferenciais Elementares eProblemas deValores deContorno. TerceiraEdio. EditoraGuanabaraKooganS.A. Riode Janeiro, RJ, 1990.[2] [Edwards1995] Edwards Jr, C.H.; Penney, D. E. Equaes Diferenciais Elementares e Proble-masdeValoresdeContorno. Terceira Edio. Editora Prentice-Hall do Brasil. Rio de Janeiro,RJ, 1995.[3] [Djairo1977] Figueiredo, Djairo Guedes. Anlise de Fourier e Equaes Diferenciais Parciais.Rio de Janeiro, Instituto de Matemtica Pura e Aplicada, CNPq, 1977 (Projeto Euclides).[4] [Hsu1970]Hsu,HweiP.AnlisedeFourier.LivrosTcnicoseCientcosLtda.RiodeJaneiro,Guanabara, 1970.46