Introdução

Introdução

• A palavra trigonometria (do grego TRIGONO = triângulo, METRIA = medida) teve origem na resolução de problemas práticos, relacionados principalmente à navegação e à astronomia.

• A trigonometria relaciona mas medidas dos lados dos triângulos com a medida de seus ângulos e é de grande utilidade para o cálculo de distancias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, torres, distancia entre rios.

• Acredita-se que como ciência, a trigonometria nasceu pelas mãos de diversos homens, com destaque ao astrônomo grego Hiparco de Nicélia (190 aC – 125 aC).

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• Este astrônomo utilizou a matemática aplicada para prever eclipses e movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e propiciando mais segurança à navegação.

• Hiparco ficou conhecido como pai da trigonometria por ter sistematizado algumas relações no triangulo retângulo.

• A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos, encontramos aplicações, por exemplo:

• na engenharia: na cinemática, trabalho, no movimento harmônico

• na acústica: o som segue uma função seno.

Introdução

• A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos, encontramos aplicações, por exemplo:

• na química: Na química utilizamos a trigonometria para definir a geometria das moléculas e assim definir algumas propriedades suas.

• na astronomia: Para o calculo do distancia entre o astros.

• na medicina: A variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos de um certo indivíduo em função do instante de coleta dessa medida.

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Conceitos iniciais:

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Atividade 1:

• Em uma folha, desenhe, utilizando régua, e transferidor um triangulo retângulo, em que um dos ângulos meça 50 . ̊

• Agora, calcule as seguintes razões:


Por que deu igual o de todo mundo?

• Todos encontraram o mesmo resultado por que a razão está relacionada ao valor do ângulo e não da medida do lado propriamente dito.


Vale lembrar: Todos os triângulos desenhados na sala são semelhantes, pois possuem todos os ângulos internos iguais. Ou seja, os lados de todos os triângulos são proporcionais, logo a razão resultará num mesmo valor.

• Essas divisões, recebem, cada uma, um nome específico. São eles: SENO, COSSENO, TANGENTE.

• Voltemos à atividade 1...

CO

CA

H

Atividade 1:

• Em uma folha, desenhe, utilizando régua, e transferidor um triangulo retângulo, em que um dos ângulos meça 50 . ̊

• Agora, calcule as seguintes razões:


Atividade 1:

• Ou seja: Podemos concluir que:


Seno de 50 = 0,766 ̊sen(50 ) = 0,766 ̊

Coseno de 50 = 0,642 ̊cos(50 ) = 0,642 ̊

Tangente de 50 = 1,119 ̊tg(50 ) = 1,119 ̊

CO

CA

H

• Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulo menores que 90 , já são conhecidos e ̊estão tabelados.

• Observe ao lado:


Atividade 2:

• O ângulo de elevação do topo da encosta tomado a partir do pé de uma árvore é de 60 . Sabendo que a arvore está a 50m de distância da base da ̊encosta, qual é a medida que deve ter um cabo de aço para ligar a base da arvore ao topo da encosta?


Da tabela: cos(60 ) = 0,5 ̊Qual relação

vamos utilizar?COSSENO

mX

X

HipotenusaadjacenteCseno

1005,050

5,050)60cos(

cos

0

Atividade 3:

• A determinação feita por radares da altura de uma nuvem em relação ao solo é importante para previsões meteorológicas e na orientação de aviões para que evitem turbulências. Nessas condições, determine a altura das nuvens detectadas pelos radares conforme o desenho a seguir.


Da tabela: tg (4 ) = 0,07 ̊

kmX

Xtg

adjacenteCopostoCgente

6,58007,0

07,080

)4(

tan

0

Qual relação vamos utilizar?

TANGENTE

Atividade 4:

• Uma escada de um carro de bombeiros pode estender-se até um comprimento máximo de 30m, quando é levantada a um ângulo máximo de 70 . Sabe-se que a base da escada está colocada sobre um caminhão, a ̊uma altura de 2m do solo. Que altura em relação ao solo, essa escada poderá alcançar?


Da tabela: sen(70 ) = 0,939 ̊Qual relação vamos utilizar?

SENO

mH

Hsen

HipotenusaopostoCseno

19,2830939,0

939,030

)70( 0

mtotalAltura 19,30219,28

• Como saber qual relação usar???• Depende dos dados do seu problema...

• Se as variáveis a serem relacionadas são:

Cateto Oposto e Hipotenusa -> SenoCateto Adjacente e Hipotenusa -> CossenoCateto Oposto e Cateto Adjacente -> Tangente


SOH CAH TOA

• Na resolução de alguns problemas é mais conveniente usar os valores da seguinte tabela:


• Exercícios:– Página 71: E 33, 34, 43


Objetivo:Determinar a altura de objetos do modo indireto, utilizando as funções trigonométricas

• O teodolito é um instrumento ótico utilizado na Topografia e na Agrimensura para realizar medidas de ângulos verticais e horizontais, usando cálculos de triangulação.

• Basicamente é um telescópio com movimentos graduados na vertical e na horizontal, e montado sobre um tripé, podendo possuir ou não uma bússola incorporada.


• Construindo um teodolito:


Materiais necessários:

Copo plástico com tampa de encaixe.Cópia de transferidor circularQuadrado de papelãoPedaço de arame fino ( 15 cm)Conudinho do Mc Donal`s



Como construir

1. Cubra o quadrado do papelão, colando a cópia do transferidor, no centro do quadrado; posicione o ângulo zero na direção do ponto médio de um lado.

2. Cole a tampa do copo no interior da figura do transferidor, centralizada.



Como construir

3. Passe o arame pela boca do copo numa posição diametral, deixando que suas pontas, atinjam as extremidades do transferidor.

4. Cole o pedaço de canudinho no fundo do copo, também em posição diametral, na mesma direção do arame.

5. Encaixe o copo na tampa.

• Utilizando o um teodolito:


• Vamos então fazer um experimento?• Podemos ir até o ginásio de esportes da escola para medir a altura da

tabela da cesta da basquete.


Procedimento:• Primeiro deve-se marcar no chão a

linha perpendicular que contém a tabela.

• Deste ponto em diante, usar a trena para marcar as distâncias de 5m, 10m, 20m, 30m para serem referência de marcação.

• Os dados obtidos serão registrados em uma tabela:


Distancia do observador ao

objeto

Medida do ângulo de

visada

Altura do Observador

Altura do objeto

5m

10m

• Há duas relações importantes válidas entre as razões trigonométricas estudadas. Observe a primeira:


hipotenusaadjacenteCHipotenusaopostoC

sen

cos

tg

adjacenteCopostoC

adjacenteCHipotenusa

HipotenusaopostoCsen

cos

hipotenusaadjacenteC

HipotenusaopostoCsen

cos

tgsen

cos

• Segunda relação:


cae

cbsen cos

22 cossena

bc

2

22

2

2

2

222

cba

ca

cb

ca

cb

• Pelo Teorema de Pitágoras: 222 cba

• Substituindo, obtemos: 1cos2

2

2

2222

cc

cbasen

1cos22 sen

• As duas relações aprendidas servem como uma ferramenta a mais para determinarmos o valor das funções trigonométricas dos ângulos.

• EXERCÍCIOS: Página 61 – E14, 15


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