UMA INTRODUO

ESTATSTICACom aplicaes na HP12C e Excel

Adriano Leal Bruni, M. Sc.http://albruni.tripod.com

VOLUME 01Verso 2000/2

2INTRODUO

O presente texto tem como objetivo principal servir como uma referncia bibliogrfica adicionalpara disciplinas direcionadas ao ensino de Estatstica em cursos de graduao da Faculdade RuyBarbosa.Neste primeiro volume so apresentados conceitos, exemplos e exerccios relacionados Estatstica Descritiva e Teoria das Probabilidades. No segundo volume so abordados aspectosrelacionados Estatstica Inferencial.Embora uma parcela da obra tenha sido escrita por mim, a maior parte dos textos foramelaborados originalmente por alunos de graduao, destacados nas notas de rodap referentesaos ttulos dos captulos.Infelizmente, em funo do pouco tempo disponvel para a edio do texto final, a presente versopossui algumas imperfeies que espero corrigir em breve.Gostaria de lembrar que atualizaes, correes e materiais complementares ao presente textopodem ser encontrados no endereo http://albruni.tripod.com. Em caso de dvidas, sugestes oucrticas, mande um e-mail para mim : albruni@hotmail.com.

Salvador, junho de 2000.

CO-AUTOR

Adriano Leal Bruni, M.Sc.

Doutorando em Administrao (FEA/USP : Finanas, Globalizao de Mercados Financeiros),Mestre em Administrao (FEA/USP : Finanas, Teoria de Investimentos e Precificao de Riscoem Mercados de Capitais), Ps-Graduado em Economia (FGV/EPGE : Finanas Empresariais),Administrador de Empresas. Autor de diversos trabalhos publicados ou apresentados no Brasil eno exterior, resultantes de pesquisas desenvolvidas em Mercados de Capitais, Derivativos e Riscode Crdito, Mercados Emergentes, Tcnicas de Simulao Aplicadas s Finanas, Valuation,Teoria de Investimentos. Professor de cursos de ps-graduao ministrados em Belm, (UNAMA),Curitiba (FAE) e Salvador (UFBA, UNIFACS, Faculdade Ruy Barbosa e Faculdade de TecnologiaEmpresarial).

Home-Page : http://albruni.tripod.com

E-Mail: albruni@usp.br ou albruni@hotmail.com.

3NDICE

Captulo 1. Conceitos Bsicos da Estatstica .......................................................................... 51.1. Objetivos ..................................................................................................................... 51.2. Conceito de estatstica ................................................................................................. 51.3. Histria da estatstica................................................................................................... 61.4. Estatstica Descritiva .................................................................................................... 71.5. Sries Estatsticas ....................................................................................................... 71.6. Representao em classe de freqncia........................................................................ 81.7. Estatstica inferencial ou indutiva ..................................................................................101.8. Probabilidade..............................................................................................................111.9. Variveis aleatrias .....................................................................................................121.10. Exerccios Propostos e Resolvidos ...........................................................................12

Captulo 2. Introduo ao Excel..............................................................................................14Captulo 3. Anlise exploratria de dados..............................................................................15

3.1. Ordenando e contando os dados..................................................................................153.2. Agrupando em classes ................................................................................................163.3. Exerccios propostos e resolvidos.................................................................................183.4. Aplicaes no Excel ....................................................................................................19

Captulo 4. Apresentaes grficas de dados........................................................................244.1. Histograma .................................................................................................................244.2. Pareto.........................................................................................................................254.3. Ogiva..........................................................................................................................254.4. Boxplot .......................................................................................................................264.5. Grfico de barras.........................................................................................................274.6. Grfico de colunas ......................................................................................................274.7. Grfico de setores .......................................................................................................284.8. Diagrama de disperso................................................................................................284.9. Grficos pictricos ou pictogramas ...............................................................................284.10. Falhas na elaborao de grficos .............................................................................294.11. Aplicaes no Excel.................................................................................................31

Captulo 5. Medidas de Tendncia Central .............................................................................325.1. Objetivos do captulo: ..................................................................................................325.2. Fundamentao terica e exemplos .............................................................................325.3. Mdias........................................................................................................................325.4. Mediana......................................................................................................................385.5. Moda ..........................................................................................................................415.6. Relao entre Mdia, Moda e Mediana: ........................................................................425.7. Resumo das vantagens e des vantagens das medidas estatsticas .................................435.8. Exerccios Propostos e Resolvidos ...............................................................................435.9. Aplicaes no Excel ....................................................................................................52

Captulo 6. Medidas de disperso...........................................................................................556.1. Objetivos ....................................................................................................................556.2. Principais Medidas de Disperso..................................................................................556.3. Desvio Padro e Varincia Populacionais versus Amostrais...........................................576.4. Exerccios propostos e resolvi dos.................................................................................606.5. Aplicaes no Excel ....................................................................................................67

Captulo 7. Medidas de ordenamento e posio .....................................................................707.1. Objetivos ....................................................................................................................707.2. Principais medidas de ordenamento e posio..............................................................707.3. Aplicaes no Excel ....................................................................................................71

Captulo 8. Medidas de forma da distribuio.........................................................................738.1. Objetivos ....................................................................................................................738.2. Fundamentao terica ...............................................................................................738.3. Principais medidas ......................................................................................................73

48.4. Aplicaes no Excel ....................................................................................................75Captulo 9. Probabilidade .......................................................................................................76

9.1. Introduo...................................................................................................................769.2. Conceitos introdutrios. ...............................................................................................769.3. Probabilidade..............................................................................................................799.4. Mtodos de Enumerao .............................................................................................819.5. Probabilidade Condicional............................................................................................859.6. Exerccios Propostos e Resolvidos ...............................................................................889.7. Aplicaes no Excel ....................................................................................................99

Captulo 10. Distribuio Binomial .......................................................................................10010.1. Objetivo.................................................................................................................10010.2. Teoria ...................................................................................................................10010.3. Mdia e varincia da distribuio binomial...............................................................10110.4. Exerccios Propostos e Resolvidos .........................................................................10110.5. Aplicaes no Excel...............................................................................................104

Captulo 11. Distribuio de Poisson....................................................................................10611.1. Objetivos ...............................................................................................................10611.2. Fundamentao terica e exemplos ........................................................................10711.3. Tabelas de Poisson................................................................................................10811.4. Hipteses:.............................................................................................................10911.5. Algumas Propriedades da Distribuio de Poisson...................................................10911.6. Distribuio de Poisson como aproximao da Distribuio Binomial ........................11011.7. Exemplos de aplicao da Distribuio de Poisson ..................................................11011.8. Exerccios Propostos e Resolvidos .........................................................................11111.9. Aplicaes no Excel...............................................................................................115

Captulo 12. Distribuio Normal..........................................................................................11712.1. Objetivos...............................................................................................................11712.2. Fundamentao terica e exemplos........................................................................11712.3. Exerccios Propostos e Resolvidos .........................................................................12112.4. Aplicaes no Excel...............................................................................................127

Captulo 13. Bibliografia .......................................................................................................129Captulo 14. Anexos : Tabelas e Formulrio.........................................................................130

14.1. Curva Normal Padronizada.....................................................................................13114.2. Tabela "t" de Student .............................................................................................13214.3. Frmulas bsicas...................................................................................................133

Verso impressa em 10 de Agosto de 2000.

5CAPTULO 1.

CONCEITOS BSICOS DAESTATSTICA1

Dos cegos do castelo me despeo e vouA p at encontrar

Um caminhoO lugar

Pro que eu sou.Nando Reis - Tits

1.1. Objetivos

O objetivo maior deste trabalho o de passar um melhor conhecimento ao leitor sobre overdadeiro significado da ESTATSTICA, seus objetivos, utilidades e funes. Faz parte tambmdo nosso contedo o esclarecimento sobre a diferena entre ESTATSTICA DESCRITIVA eINFERENCIAL, apontando suas caractersticas. Lembramos que utilizaremos os dois tipos deestatstica para mostrar, dentro da estatstica descritiva, a REPRESENTAO EM CLASSES DEFREQUNCIA e, na estatstica inferencial, a utilidade da PROBABILIDADE na rotina dospesquisadores e da sociedade. importante salientar tambm que no adianta somente descrever todas as informaes queadquirimos no decorrer deste trabalho, sem que tenhamos a certeza de que o leitor ircompreender tudo o que iremos expor nas prximas pginas. Ele (o leitor) precisa entender que aestatstica no uma coletnea de nmeros organizados de uma maneira que somente ostcnicos e peritos no assunto possam interpret-los. Atualmente, podemos perceber a presena daestatstica at mesmo no dia-a-dia dos jornais, que so uma das fontes bibliogrficas utilizadas.No queremos, com isso, dizer que a estatstica deva ser tida como nica detentora da verdadecientfica da matemtica, nem que deva ser desacreditada pela existncia de incertezas quanto aalgumas de suas teorias e utilizaes.Ver-se-, portanto, uma introduo ao mundo da estatstica, onde ser demonstrada a importnciados assuntos citados acima para outros ramos da estatstica, assim como outras disciplinas.

1.2. Conceito de estatstica

De acordo com Geraldo Luciano Toledo e Ivo Izidoro Ovalle, possvel distinguir duasconcepes para a palavra ESTATSTICA:

a) No plural (estatstica), indica qualquer coleo consistentes de dados numricos,reunidos com a finalidade de fornecer informaes acerca de uma finalidade qualquer. Assim,por exemplo, as estatsticas demogrficas referem-se aos dados numricos sobrenascimentos, falecimentos, matrimnios, desquites etc. As estatsticas econmicas consistemem dados numricos qrelacionados com emprego, produo, preo, vendas e com outrasatividades ligadas aos vrios setores da vida econmica.

b) No singular, indica a atividade humana especializada ou um corpo de tcnicas, ouainda uma metodologia desenvolvida para a coleta, a classificao , a apresentao, a anlise

1 Elaborado inicialmente por Alaine Barbosa(alainebarbosa@svn.com.br), Eline Paiva (trrepre@e-net.com.br)e Manuela Figueiredo (manofig@zipmail.com.br).

6e a interpretao de dados quantitativos e a utilizao desses dados para a tomada dedecises.

De modo geral, podemos definir estatstica: Como a cincia que se preocupa com aorganizao, descrio, anlise, e interpretao de dados experimentais (Conceito segundo,Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto).

Os dados experimentais so obtidos atravs de amostras que por sua vez so obtidas deuma populao composta de variveis. Em estatstica, comum a utilizao de amostras paraotimizao do empo. Uma vez que, a amostra uma pequena parte da populao querepresentar o todo ou, em termos matemticos: So subconjuntos com menor nmero deelementos.

Podemos conceituar populao como sendo o conjunto de elementos com caractersticasiguais ou parecidas, e que, por sua vez so agrupadas em conjuntos denominados comopopulao ou universo.

Quando a populao muito numerosa, quase sempre invivel estudar indivduo porindivduo, porque o trabalho seria longo, oneroso exaustivo, possivelmente impreciso e quandocompleto, talvez no atendesse mais as necessidades que a eles motivavam. Por exemplo: umaempresa WWW que fabrica pneus para o Estado da Bahia resolve testar a resistncia do seuproduto em estradas asfaltadas. Neste caso a populao composta pelos pneus. Ser impossvelpara o fabricante ceder todos os pneus para o teste porque se ele o fizer a produo no maisexistir. Ento retirada uma amostra, que seria uma pequena quantidade de pneus querepresentar toda a produo.

A depender da populao estudada pode ocorrer impreciso na informao, principalmentequando os dados estudados mudam com freqncia. Por exemplo: Uma fbrica de roupas, recminstalada na Bahia, sente a necessidade de se fazer uma pesquisa para saber a preferncia dasmulheres soteropolitanas quanto ao tipo de tecido. Se a Fbrica decidir entrevistar todas asmulheres da cidade de Salvador, haveria uma grande perda de tempo e possivelmente ao final dapesquisa o resultado estaria errado. A opinio das mulheres estaria condicionada a moda vigente,a estao do ano (provavelmente no vero os tecidos mais votados seriam os leves, ao contrariodo inverno que dar-se ia preferncia a tecidos mais grossos), ao gosto de cada pessoa, a religio,etc.

1.3. Histria da estatstica

O termo estatstica foi primeiramente empregado para designar o conjunto de dadosreferentes a assuntos do Estado, geralmente com finalidade de controle fiscal ou de segurananacional. Por este motivo a epistemologia da palavra, segundo estudiosos, provem do latin Statusque significa Estado, podendo assumir diferentes significaes, dependendo de como utilizado -Objeto de longas polmicas o termo estatstica at hoje controvertido se ele deriva de Estado(entidade poltica) ou de estado (modo de ser).

Os dados do estado referiam-se, particularmente, populao, s transaes comerciaisinternas ou com outros estados, ao controle da mortalidade em geral ou provocada por umaepidemia, endemia ou doena particular, e aos problemas de taxao e de proporcionalidade detarifas e impostos. Alm de estudar as maneiras mais eficientes de organizar as informaesobtidas, tratava tambm do problema mais importante de interpretao de dados e da possibilidadede realizar previses.

Os estudiosos da disciplina distinguem trs grandes etapas na histria da estatstica:1. O perodo mais antigo e caracterizado pela simples organizao de informaes de

interesse estatal, do qual tpico o famoso Domesday Book de Guilherme o conquistador (1086), e que se estende at meados do sc. XVII.

2. O perodo que medeia entre o sc. XVII e princpio do sc. XIX, caracterizadopelas inmeras tentativas de analisar as tabelas e os conjuntos de dados com a finalidade deobter concluses que pudessem interessar organizao do Estado ou Ter aplicaoespecfica atravs de previses para o futuro. So particularmente importantes nesse perodoos trabalhos Conring , John Graunt, William Petty, Halley, e dos inmeros matemticos que sededicaram chamada aritmtica poltica. No sculo XVIII, a Universidade de Iena promoveu,

7pela primeira vez, um curso avanado de estatstica. Gottfried Achenwall, da Universidade deGttingen, publicou uma srie de estudos onde define os objetos material e formal daestatstica, pouco depois do apare-cimento do trabalho de Sssmilch sobre as mutaes noGnero humano e que d feio cientfica aos problemas estatsticos. No sc. XIX, AdolpheQutelet realizou cuidadoso estudo estatstico dos fatos demogrficos e sociais, imprimindoum tratamento dominantemente matemtico.

3. O terceiro perodo iniciado com o congresso internacional de Estatstica, reunidoem 1853, e que se estende aos nossos dias, caracteriza-se no somente pelosextraordinrios avanos e aperfeioamentos tecnolgicos da estatstica em si, como,principalmente pelas mltiplas aplicaes que ele vem tendo, particularmente no campo dainvestigao cientfica. Pode-se afirmar que o mtodo estatstico constitui um dos maisseguros eficientes e necessrios instrumentos da cincia moderna.

1.4. Estatstica Descritiva

tambm chamada, simplesmente, de estatstica. Sua principal funo est em resumirdados e informaes investigadas, expondo-as da maneira mais prtica e simples possvel; pois,na maioria dos casos, h um grande nmero de dados e informaes coletados que, poderiamatrapalhar o desenvolvimento das pesquisas e suas concluses. Ela est presente em diversassituaes do nosso cotidiano como, por exemplo, uma pesquisa de censo. Para os pesquisadoresdescreverem os resultados de suas pesquisas de campo, eles criam uma tabela e dispem seusdados de forma que possam ser interpretados mais facilmente. Porm, nem sempre essasconcluses transcritas, de forma numrica ou estatstica, so totalmente corretas. Os erros edesvios nos clculos podem ocorrer, perdendo informaes e fazendo com que essas mesmasinformaes percam um pouco da sua credibilidade nos resultados.

Em resumo, pode-se dizer que a estatstica descritiva ou estatstica baseia-se na coleta dedados, sua organizao, classificao e tabulao, dispostos em nmeros, facilitando a leitura einterpretao dos mesmos. Alm disso, a utilizao da representao grfica tambm auxilia noentendimento das pesquisas.

1.5. Sries Estatsticas

Para se compreender melhor a definio de uma srie estatstica, necessrio ter umaviso do significado de uma tabela.

A tabela a reunio dos dados estatsticos e variveis dispostos de tal maneira que sepossa interpretar o seu significados .Portanto, a srie estatstica a representao dos dadosestatsticos em funo de alguns fatores contidos em uma tabela. Esses fatores podem ser otempo o espao e a espcie.

Atravs desses elementos, pode-se dividir a classificao das sries da seguinte forma:

Srie histrica, cronolgica, temporal ou marcha: descrevem os dados conforme avariao do tempo.

Srie geogrfica, espacial, territorial ou de localizao: descrevem os dadosconforme sua localidade .

Srie especfica ou categrica : descrevem os dados conforme a sua especificaoou categoria.

Exemplos:

Sries Geogrficas ou Localizao:

8Comcio TecnolgicoExport.

sia-Pacfico 66Unio Europ. 43Canad 29Mxico 22Mercosul 7Outros pases 15

Sries Cronolgicas ou Temporais:

Exportao de auto-peas noBrasil

Ano Exportaes1996 534,81997 565,91998 551,11999 362,7

1.6. Representao em classe de freqncia

1.6.1. Tabela primitiva e Rol

Definimos tabela primitiva como sendo a disposio de dados estatsticos sem uma ordemnumrica. Um bom exemplo seria a tomarmos a idade de um grupo de 20 pessoas que fazemdeterminado curso de ingls.

Idade de 20 alunos de um curso de ingls18 15 17 22 14 15 15 17 16 2013 16 19 20 17 18 13 16 14 19

Os dados sobre as idades dos alunos esto desordenados, dificultando uma possvel anlise parauma pesquisa estatstica.Surge, ento, a necessidade de organiz-lo para avaliar os dados de modo coletivo e completo. Aessa organizao d-se o nome de rol. Vejamos o mesmo exemplo:

Idade de 20 alunos de um curso de ingls13 13 14 14 15 15 15 16 16 1617 17 17 18 18 19 19 20 20 22

Agora, torna-se mais fcil retirar algumas concluses sobre estes dados, como a amplitude devariao (22-13 = 9 anos), em que idade est concentrada a maior quantidade de pessoas (entre15 e 17 anos), etc.

1.6.2. Distribuio de Frequncia

Podemos melhorar a visualizao da varivel estatstica (idade) utilizada no exemplo acima,atravs da disposio da quantidade de vezes em que aparece o valor estudado na tabela. Essetipo de organizao dos dados chamado de distribuio de frequncia. Vejamos:

9IDADE FREQUNCIAS13 214 215 316 317 318 219 220 222 1

Total 20

Porm, esse mtodo ainda inadequado, pois quando se trabalha com um rol muito extenso, asua visualizao fica mais difcil, at mesmo pelo tamanho da tabela.Assim, a idia da representao dessas variveis atravs de intervalos tornou-se bastante vivel e muito utilizada na Estatstica, sendo chamada de distribuio de frequncia com intervalos declasse (segundo Antonio Crespo). Sua funo basicamente a de simplificar a leitura da tabela,agrupando os valores das variveis, ao invs de disp-los um a um.

Exemplo:

Idade de 20 alunos de um curso de ingls

IDADE FREQUNCIAS13|----15 415|----17 617|----19 519|----21 421|----23 1

SS 20

1.6.3. Componentes de uma distribuio de freqncia em classes

Para estruturar uma tabela de frequncias em intervalos de classes necessrio que haja umacompreenso de cada passo de sua construo. Por isso, o estudo de cada elemento formador,em separado, d uma melhor visualizao de como se fazer a tabela.

CLASSE

o intervalo entre as variveis estudadas. Seu smbolo i e o total do n de classes chamado dek. De acordo com o nosso exemplo, k = 5 (a tabela possui 5 classes) e o intervalo 17|----19corresponde terceira classe, sendo i = 3.Para saber quantos intervalos de classes existem num rol, aplica-se a Regra de Sturges, que nospermite identificar o nmero de classes em funo do nmero de valores da varivel. Chamaremosde n, a quantidade de valores da varivel. Ento:Se n 25 ; k = 5Se n >> 25 ; k @@ n k @@ 1 + 3,22 logn

Como no exemplo dado o nmero de valores da varivel menor que 25, seu k = 5.

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LIMITE DE CLASSES

So os extremos de cada classe, sendo o maior n o limite superior (Li) e o menor n o limiteinferior (li). Na classe citada acima, Li = 19 e li = 17.

AMPLITUDE DE INTERVALO DE CLASSE

a medida da variao de um intervalo. A amplitude definida pela diferena entre os limites daclasse. Seu smbolo hi. Devemos lembrar que nunca se deve aproximar o valor de h Portanto: Hi = Li li

AMPLITUDE TOTAL

a variao do limite mnimo ao limite mximo do rol. Seu smbolo AT. AT = Lmx lmn

PONTO MDIO DE UMA CLASSE

a medida que divide a classe em duas partes iguais. Seu valor retirado atravs da soma entreuma classe inferior e a metade do intervalo dessa classe. Seu smbolo Xi. Para saber o pontomdio da terceira classe, por exemplo: X3 = l3 + h3/2 X3 = 17 + 2/2 = 18 anos , sendo 18 o ponto mdio da terceira classe.

FREQUNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA

Seu smbolo fi. Significa a quantidade de observaes sobre uma classe.Mostramos a tabela, agora, com o uso de todos os elementos citados acima.

i IDADE fi1 13|----15 42 15|----17 63 17|----19 54 19|----21 45 21|----23 1

SS 20

1.7. Estatstica inferencial ou indutiva

Pode-se dizer que a estatstica inferencial seja o oposto da estatstica descritiva, visto queela parte da interpretao de uma amostra para a caracterizao de todo um grupo.

um trabalho mais difcil e exige grande capacidade tcnica dos pesquisadores, pois asconcluses so retiradas em cima de incertezas por no se obter todo o campo de informaesnecessrias. Ento, surge a necessidade de se fazer generalizaes. Por isso, alguns chamam aestatstica inferencial de indutiva.

Sempre haver uma incerteza quanto veracidade das informaes analisadas, j que sse tem uma amostra. Na realizao das pesquisas, ento, usa-se o mtodo indutivo parageneralizar e tornar a pesquisa mais acessvel leitura, interpretao e compreenso dos dados.

Poderemos ver o uso dessa estatstica na teoria da Probabilidade, onde a incerteza estpresente e, as concluses so retiradas tendo provises e suposies como base

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1.8. Probabilidade

A Teoria da Probabilidade comeou a ser usada no intuito de planejar jogadas ouestratgia em jogos de azar. Era usada por quem conhecia a teoria

A probabilidade hoje em dia no s usada em jogos, mas tambm em pesquisas comoIBGE, Organizaes e empresas que precisam fazer pesquisas e qual a probabilidade de melhordesepenho e melhor atendimento e rapidez em resolver problemas nas reas necessitadas.

A probabilidade estuda as incertezas, o acaso em eventos futuros e determina se provavel ou no seu acontecimento. Em probabilidade o uso do conjunto importante pois agrupaelementos iguais ou parecidos facilitando a definio de caracteristicas e formas de soluionar osproblemas que existem.

Segundo William J. StevensonEspao amostral o conjunto de todos os resultados possiveis de um experimento. Os

resultados de um experimento chamam-se eventos.Eventos mutuamentte excludentes quando no tem elementos em comum.Eemplo: Tirar um 04 de copas de um baralho.

Eventos coletivamente exaustivos quando s existe um resultado ou esgotam aspossibilidades para o exemplo em uso.

Exemplo: Tirar uma carta preta de um baralho.

1.8.1. Origem da probabilidade

Mtodo clssico : quando o resultado provvel. Mtodo emprico : depende da frequncia de ocorrer o evento com grande nmero de

resultados. Mtodo subjetivo : quando a probabilidade depende da opinio pessoal.

A escolha do mtodo depende da situao e qual o melhor a ser usado.

Segundo William J. Stevenson

1. A probabilidade de qualquer evento A representado por um numero entre 0 e 100,00< P(A)

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1.9. Variveis aleatrias

Quando valores obtidos depende de observaes em razo do evento, onde o valoresperado a soma dos nmeros possveis na freqncia relativa.

Exemplo extraido do livro de William J. Stevenson :

Um investidor julga que tem 0,40 de probabilidade de ganhar $25.000 e 0,60 deprobabilidade de perder $15.000 num investimento. Seu ganho esperado igual a 0,40(25.000) +0,60(-15.000)= $1.000.

1.10. Exerccios Propostos e Resolvidos

Exerccio 1.1

Com base no que foi proposto, elabore uma tabela de frequncia simples a partir do rol listadoabaixo.Rol: 3,3,3,4,4,4,8,8,8,9,9,9,10,10,11,11,11,12,12,15,15,15,18,18,18,19,19 19,19,20,20,20,22,23,23,24,24,24,24,24,26,26,27,27,27,,28,28,29,30

Resposta : Como o rol j foi definido, o prximo passo encontrar o nmero de classes da tabela.

n = 49; k = 7, pois 49 = 7

Agora, deve-se achar h, que a amplitude das classes.

h = Lmx lmn = 30 3 = 3,8571 k 7

Construindo a tabela, teremos:

CLASSE Fi 3|----6,8571 6 6,8571|----10,7142 810,7142|----14,5713 514,5713|----18,4284 618,4284|----22,2855 822,2855|----26,1426 926,1426|---| 30,0000 7

49Note que o ltimo valor (29,9997) foi aproximado para 30.

Exerccio 1.2

A partir da tabela abaixo, retire: a) ponto mdio da segunda classe; b) amplitude da terceira classe

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CLASSE fi 2|----8 6 8|----14 1414|----20 2720|----26 326|----32 532|----38 1038|----44 2

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Resposta : a) Para resolver essa questo, necessrio aplicar a frmula do ponto mdio: x = l2 +h/2. Porm, antes, preciso encontrar o valor de h.

h2 = 14 8h2 = 6

Substituindo:

x2 = 8 + 6 2x2 = 8 + 3x2 = 11; este o valor do ponto mdio na segunda classe

b) Encontrar a amplitude da terceira classe est mais fcil, pois j foi feito algo parecido na letra a.Ento:

h3 = 20 14h3 = 6; sendo este o valor da amplitude da terceira classe.

Exerccio 1.3

Quais so os principais componentes de uma distribuio de frequncia por classes?

Resposta : Os principais elementos de uma distribuio de classes de frequncia so: a classe, oslimites da classe, a amplitude de um intervalo de classe, a amplitude total da distribuio e o pontomdio de uma classe.

Exerccio 1.4

Quais so os principais tipos de sries estatsticas?

Resposta : Os principais tipos de srie estatstica so as sries histricas ou temporais, asgeogrficas ou de localizao e as especficas ou categricas.

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CAPTULO 2.

INTRODUO AO EXCEL

No temas o progresso lento,receie apenas ficar parado.

Provrbio Chins

O Excel fornece trs opes diferentes para a realizao de anlises estatsticas :

Funes de planilha : so recursos pr-elaborados e que simplificam a insero de frmulas.Podem ser inseridas de diferentes maneiras : diretamente na clula; pela barra de edio, ou pelomenu Inserir -> Funo. No decorrer do texto sero discutidas e apresentadas todas as funesaplicveis estatsca do Excel.

Ferramentas de anlise : pode ser usado para pular etapas no desenvolvimento de anlisesestatsticas ou de engenharia complexas. Voc fornece os dados e os parmetros para cadaanlise; a ferramenta utiliza as funes de macro de estatstica ou engenharia adequadas e exibeos resultados em uma tabela de sada. Algumas ferramentas geram grficos (como a ferramentaHistograma) alm das tabelas de sada.Para exibir uma lista das ferramentas de anlise disponveis, clique em Anlise de dados no menuFerramentas. Se o comando Anlise de dados no estiver no menu Ferramentas, execute oPrograma de Instalao para instalar o suplemento Ferramentas de Anlise. Depois de instalar asFerramentas de Anlise, voc deve selecion-la no Gerenciador de Suplementos.

Relatrio de tabela dinmica : facilitam a sntese dos dados, permitindo o clculo de vriasestatsticas. Deve ser acessado atravs do menu Dados -> Relatrio da Tabela Dinmica.

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CAPTULO 3.

ANLISE EXPLORATRIA DE DADOS

A estatstica nada mais do que o bomsenso expresso em nmeros.

Pierre Simon, marqus de Laplace,matemtico francs do sculo XVIII.

3.1. Ordenando e contando os dados

O objetivo da anlise exploratria de dados consiste em fornecer um primeiro insight sobre osdados a serem analisados.Por exemplo, na tabela seguinte esto apresentadas as notas de um grupo de estudantes. Qualseria a descrio das notas obtidas pelo grupo?

2,1 7,1 4,3 3,34,7 6,9 6,1 5,25,8 7,8 1,1 9,52,4 8,5 5,3 2,1

Da forma como os dados esto apresentados, sem nenhuma ordenao fica difcil extrair algumainformao. Buscando facilitar o entendimento dos dados, um primeiro passo poderia ser orden-los. Em estatstica, esta etapa consiste na elaborao do Rol - conjunto ordenado de dados.Assim, a srie de dados brutos apresentada acima poderia ser melhor apresentada de formaordenada. O Rol da srie seria : 1,1; 2,1; 2,1; 2,4; 3,3; 4,3; 4,7; 5,2; 5,3; 5,8; 6,1; 6,9; 7,1; 7,8; 8,5;9,5.

Exerccio 3.1

Obtenha o Rol das seguintes sries :a) 1 3 1 5 1 4 4 2 3 4 5 1

1 5 5 2 3

b) 3,2 3,2 3,0 1,1 2,8 0,3 0,0 8,5 2,1 0,7 7,4 3,45,8 5,5 3,2 10,0 7,6

Resposta :a) 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 4 4

4 5 5 5 5

b) 0,0 0,3 0,7 1,1 2,1 2,8 3,0 3,2 3,2 3,2 3,4 5,55,8 7,4 7,6 8,5 10,0

Um segundo passo para poder representar melhor sries de dados seria tentar agrup-las,contando os valores repetidos. Imagine, por exemplo, que as idades de um grupo de alunospudesse ser representada pelo seguinte Rol : 17; 17; 17; 18; 18; 20; 21; 21.Note que os valores 17, 18 e 21 aparecem de forma repetida 3, 2 e 2 vezes, respectivamente.Sendo assim, uma forma mais fcil de representar os dados seria atravs de uma tabela defreqncia :

16

Idade FreqnciaXi Fi17 318 220 121 2

Soma (SS ) 8

Uma forma, ainda mais fcil, para analisar os dados poderia ocorrer se, alm das frequnciassimples, fossem fornecidas as frequncias percentuais e acumuladas. Assim, alm facilitar acompresso da distribuio, permite-se rpidas consideraes mais rpidas sobre as idades.

Idade Freqncia Freq. Acum. Freq. Relativa Fr. Rel. Acum.Xi Fi FAci Fi% FAci%17 3 3 37,5% 37,5%18 2 5 25,0% 62,5%20 1 6 12,5% 75,0%21 2 8 25,0% 100,0%

Soma (SS ) 8 100,0%

Note que as frequncias relativas, ou percentuais, podem ser expressas atravs da frmula:

Freqncia Simples : %100%

1

=

=

n

i

Fi

FiFi

Freqncia Acumulada : %100%

1

=

=

n

i

Fi

FAciFAci

3.2. Agrupando em classes

A elaborao de tabelas de freqncia para dados quantitativos que apresentam grande dispersopouco ajuda no processo de sntese dos dados. Nestes casos, um melhor resultado pode serobtido atravs do agrupamento em classes, isto , a criao de classes de freqncia.Por exemplo, suponha que os pesos de um grupo de estudantes possa ser dado pelo seguinte rol :

36 40 49 49 49 50 50 51 52 52 52 5254 59 60 60 60 60 61 61 61 61 62 6263 64 64 65 65 65 67 68 74 77 77 8181 83 87 90

Representando o Rol em uma tabela de frequncias, seria possvel obter o seguinte resultado:

17

Xi Fi Fi% FAci FAci%36 1 2,5% 1 2,5%40 1 2,5% 2 5,0%49 3 7,5% 5 12,5%50 2 5,0% 7 17,5%51 1 2,5% 8 20,0%52 4 10,0% 12 30,0%54 1 2,5% 13 32,5%59 1 2,5% 14 35,0%60 4 10,0% 18 45,0%61 4 10,0% 22 55,0%62 2 5,0% 24 60,0%63 1 2,5% 25 62,5%64 2 5,0% 27 67,5%65 3 7,5% 30 75,0%67 1 2,5% 31 77,5%68 1 2,5% 32 80,0%74 1 2,5% 33 82,5%77 2 5,0% 35 87,5%81 2 5,0% 37 92,5%83 1 2,5% 38 95,0%87 1 2,5% 39 97,5%90 1 2,5% 40 100,0%

Soma 40 100,0%

Note que a tabela de frequncias pouco facilita no processo de compreenso dos dados - queapresentam-se muito dispersos. Um resultado melhor poderia ser alcanado atravs doagrupamento dos dados.Embora a criao de classes de freqncia seja muito mais uma questo de bom senso do que dematemtica, a estatstica apresenta uma srie de procedimentos sugeridos para a construo declasses de freqncia. Aps construdo o Rol, os passos para elaborar classes de freqnciaconsistem em : determinar o nmero de classes a serem criadas, estimar o intervalo (ou aamplitude de cada classe) e reagrupar os dados nestas classes.A determinao do nmero de classes (representado pela letra K) depende, fundamentalmente, donmero de elementos estudados (representado pela letra n) :

Se n 25 : o nmero de classes de freqncia pode ser obtido mediante dois

procedimentos distintos

K = n K = 1 + 3,22 log(n)

Os intervalos das classes (representados pela letra h) so consequncias diretas da amplitudetotal dos dados (isto , da diferena entre o maior dos dados e o menor, tambm denominada deintervalo ou range) e do nmero de classes que devem ser criadas. Expressandomatematicamente :

h = (maior dos dados - menor dos dados) / (nmero de classes que devem ser criados)

K

MenorMaiorh

-=

18

Em relao ao exemplo dos pesos, os passos necessrios ao agrupamento poderiam serapresentados da seguinte forma :

Passo 01) Obter o valor de K (num de classes) :n = 40 -> n>25, assim :

K = Raiz(N) = 6,32455532 = aproximadamente 6 ouK = 1 + 3,22.log(N) = 6,158633172 aproximadamente 6

Passo 02) Calcular a amplitude da classe (H)Range = Maior - Menor = 90 - 36 = 54H = Range/K = 54/6 = 9(CUIDADO !!!!! Deve-se evitar aproximaes de H)

Passo 03) Montar a tabela, com os agrupamentos em classes.Como o menor valor 36, deve-se construir as classes a partir do menorvalor, a partir da so somadas as amplitudes das classes. Obviamente, olimite superior da primeira classe deve ser o limite inferior da segundaclasse.Para que no existam dvidas quanto classificao do valorcorrespondente aos limites, empregada a seguinte notao :

|- : limite inferior includo na classe, limite superior no-| : limite superior includo na classe, limite inferior no|-| : limite superior e inferior includo na classe

Como o ltimo valor (limite superior da classe mais alta) deve estar includono ltimo grupo, deve-se tomar cuidado.A tabela de frequncias para os pesos poderia ser apresentada daseguinte forma :

Classe Fi Fi% Faci Faci%36 45 2 5,0% 2 5,0%45 54 10 25,0% 12 30,0%54 63 12 30,0% 24 60,0%63 72 8 20,0% 32 80,0%72 81 3 7,5% 35 87,5%81 90 5 12,5% 40 100,0%

Soma 40 100,0%

|-|-|-|-|-|-|

3.3. Exerccios propostos e resolvidos

Exerccio 3.1

Construa o Rol da srie dada a seguir, agrupando em classes de freqncia. Evidencie as etapasnecessrias. Posteriormente, construa o histograma e o diagrama de frequncias.

220 180 190 10 70 50130 70 140 210 200 130120 60 50 30 20 7040 80 200 190 70 30

110 70 120 30 80 140

Exerccio 3.2

19

(E1/991) Para a srie de dados contnuos apresentados a seguir, elabore a tabela defreqncias, o histograma e o diagrama de freqncias. Mostre os clculos necessrios para aconstruo das classes de freqncias.

1,23 1,54 2,14 4,72 1,02 4,722,52 1,47 2,35 4,15 5,06 1,663,25 1,69 2,61 3,21 4,25 1,294,16 1,24 3,45 1,38 1,85 1,341,28 5,36 4,87 2,65 1,62 1,871,84 4,27 3,16 1,88 1,51 4,85

Resposta :Fi Faci Fi% Faci%

n = 36 1,0200 1,7433 13 13 36,11% 36,11%k = N ^1/2 = 6 1,7433 2,4667 6 19 16,67% 52,78%mximo = 5,36 2,4667 3,1900 4 23 11,11% 63,89%mnimo = 1,02 3,1900 3,9133 3 26 8,33% 72,22%intervalo = 4,34 3,9133 4,6367 4 30 11,11% 83,33%h = 0,7233 4,6367 5,3600 6 36 16,67% 100,00%

Soma 36 100,00%

Classe|-|-|-|-|-|-|

3.4. Aplicaes no Excel

No Excel, a organizao de dados facilitada pelo recurso disponibilizado atravs do menu Dados-> Classificar. Para us-lo, deve-se primeiro selecionar a coluna ou linha onde esto dados e, aseguir, rodar a opo de classificao.Para os dados , situados na coluna B, poderia ser configurada a opo abaixo. O resultado obtidoseria o Rol, j apresentado anteriormente.

A aplicao do recurso de classificao de dados no Excel requer alguns cuidados. Se os dadosesto dispostos em diversas colunas, necessrio, primeiro, selecionar todos os dados, e depois

20

mandar organizar a coluna desejada. Caso este procedimento no seja cumprido, ocorrer umadesorganizao da estrutura dos dados, comprometendo a utilizao posterior da base.

Existem, no Excel, algumas funes teis para o clculo de frequncias como as relatadas aseguir:

Funo CONT.NMCalcula quantas clulas que no esto vazias e os valores na lista de argumentos. UseCONT.NM para obter o nmero de clulas que contm dados em um intervalo ou matriz.Sintaxe : CONT.NM(valor1;valor2; ...), onde valor1; valor2, ... so argumentos de 1 a 30 quecontm ou se referem a uma variedade de diferentes tipos de dados, mas somente os nmerosso contados.Observaes importantes : os argumentos que so nmeros, datas ou representaes de textode nmero so calculados, os argumentos que so valores de erro ou texto que no podem sertraduzidos em nmeros so ignorados. Se um argumento for uma matriz ou referncia, somente osnmeros nesta matriz ou referncia so calculados. Clulas vazias, valores lgicos, texto ouvalores de erro nesta matriz ou referncia so ignorados. Se voc precisa calcular valores lgicos,texto ou valores de erro, utilize a funo CONT.VALORES.

Funo CONT.VALORESCalcula o nmero de clulas no vazias e os valores na lista de argumentos. Use CONT.VALORESpara calcular o nmero de clulas com dados em um intervalo ou matriz.Sintaxe : CONT.VALORES(valor1;valor2; ...). Onde valor1; valor2;... so argumentos de 1 a 30que representam os valores que voc deseja calcular. Neste caso, um valor qualquer tipo deinformaes, incluindo texto vazio (""), mas no incluindo clulas em branco. Se um argumento foruma matriz ou referncia, as clulas vazias na matriz ou referncia so ignoradas.

Funo CONTAR.VAZIOConta o nmero de clulas vazias no intervalo especificado.Sintaxe : CONTAR.VAZIO(intervalo); onde intervalo o intervalo no qual se deseja contar asclulas em branco.Observaes importantes : clulas com frmulas que retornam "" (texto vazio) tambm socontadas. Clulas com valores nulos no so contadas.

Funo CONT.SECalcula o nmero de clulas no vazias em um intervalo que corresponde a determinados critrios.Sintaxe : CONT.SE(intervalo;critrios); onde intervalo o intervalo de clulas no qual se desejacontar clulas no vazias; critrios o critrio na forma de um nmero, expresso ou texto quedefine quais clulas sero contadas. Por exemplo, os critrios podem ser expressos como 32, "32",">32", "mas".Por exemplo : suponha que A3:A6 contenha "mas", "laranjas", "pras", "mas",respectivamente. Neste caso, CONT.SE(A3:A6;"mas") igual a 2.Outro exemplo : suponha que B3:B6 contenha 32, 54, 75, 86, respectivamente. Neste caso,CONT.SE(B3:B6;">55") igual a 2.

O exemplo a seguir mostra a aplicao das funes de contagem do Excel. No intervalo A1:A5foram digitados os valores 12; 15; 16; 23 e o texto sim. Os resultados das aplicaes das funesde contagem podem ser vistos na figura.

21

Funo FREQNCIACalcula a freqncia com que os valores ocorrem em um intervalo de valores e, em seguida,retorna uma matriz vertical de nmeros. Por exemplo, use FREQNCIA para contar o nmero deresultados de teste. Pelo fato de FREQNCIA retornar uma matriz, deve ser inserida como umafrmula matricial.Sua sintaxe do tipo : FREQNCIA(matriz_dados;matriz_bin), onde : matriz_dados uma matrizou uma referncia a um conjunto de valores cujas freqncias voc deseja contar; matriz_bin uma matriz ou referncia a intervalos nos quais voc deseja agrupar os valores contidos emmatriz_dados.Observaes importantes : se matriz_dados no contiver valores, FREQNCIA retornar umamatriz de zeros; se matriz_bin no contiver valores, FREQNCIA retornar o nmero deelementos em matriz_dados.Outros comentrios : FREQNCIA inserida como uma frmula matricial depois de selecionadoum intervalo de clulas adjacentes no qual voc deseja que a distribuio fornecida aparea; onmero de elementos na matriz retornada o nmero de elementos em matriz_bin mais um;FREQNCIA ignora clulas em branco e texto; as frmulas que retornam matrizes devem serinseridas como frmulas matriciais. Para obter maiores informaes sobre a insero de frmulasmatriciais, clique em .Por exemplo : considere uma planilha com uma listagem de resultados de um teste. Os resultadosso 79, 85, 78, 85, 83, 81, 95, 88 e 97, e so inseridos em A1:A9 respectivamente. A matriz_dadosconteria uma coluna desses resultados de teste. Matriz_bin seria uma outra coluna de intervalospela qual os resultados de teste seriam agrupados. Por exemplo, matriz_bin seria C4:C6 e conteriaos valores 70, 79 e 89. Quando fosse inserida como uma matriz, voc poderia usar FREQNCIApara contar o nmero de resultados correspondendo aos intervalos de letra 0-70, 71-79, 80-89 e90-100. Este exemplo considera todos os resultados de teste como nmeros inteiros. A frmulaseguinte ser inserida como uma frmula matricial depois que quatro clulas verticais, adjacentesaos seus dados, forem selecionadas : FREQNCIA(A1:A9;C4:C6) igual a {0.2.5.2}

A aplicao de funes matriciais no Excel requer um cuidado adicional. Aps digitar e copiar afrmula para a rea desejada, deve-se editar a primeira clula e pressionar, de forma conjunta, asteclas Control, Shift e Enter.

No Excel, existem algumas funes que facilitam a construo de classes de freqncia.

22

Funo MAIOREsta funo calcula o maior valor k-simo de um conjunto de dados. Voc pode usar esta funopara selecionar um valor de acordo com a sua posio relativa. Por exemplo, voc pode usarMAIOR para obter o primeiro, o segundo e o terceiro resultados. Sintaxe : MAIOR(matriz;k); ondematriz a matriz ou intervalo de dados cujo maior valor k-simo voc deseja determinar; k aposio (do maior) na matriz ou intervalo de clula de dados a ser fornecida.Observaes importantes : se a matriz estiver vazia, MAIOR retornar o valor de erro #NM!; se k< 0 ou se k for maior que o nmero de pontos de dados, MAIOR retornar o valor de erro #NM!;se n for o nmero de pontos de dados em um intervalo, MAIOR(matriz;1) retornar o maior valor eMAIOR(matriz;n) retornar o menor valor.Por exemplo : MAIOR({3.4.5.2.3.4.5.6.4.7};3) igual a 5; MAIOR({3.4.5.2.3.4.5.6.4.7};7) igual a 4.

Funo MXIMOEsta funo calcula o valor mximo de um conjunto de valores. Sua sintaxe do tipoMXIMO(nm1;nm2; ...); onde nm1; nm2;... so 1 a 30 nmeros cujo valor mximo voc desejalocalizar.Observaes importantes : podem ser especificados argumentos que so nmeros, clulasvazias, valores lgicos ou representaes em forma de texto de nmeros. Os argumentos que sovalores de erro ou texto que no podem ser traduzidos em nmeros geram erros. Se umargumento for uma matriz ou referncia, apenas os nmeros nesta matriz ou referncia serousados. Clulas vazias, valores lgicos ou texto na matriz ou referncia sero ignorados. Se osvalores lgicos e o texto tiverem que ser ignorados, use MXIMO. Se os argumentos nocontiverem nmeros, MXIMO retornar 0.Por exemplo : se A1:A5 contiver os nmeros 10, 7, 9, 27 e 2, ento MXIMO(A1:A5) igual a 27.MXIMO(A1:A5;30) igual a 30

Funo MXIMOAEsta funo calcula o maior valor em uma lista de argumentos. Alm de nmeros, so comparadosvalores lgicos e de texto, como VERDADEIRO e FALSO. Sua sintaxe do tipoMXIMOA(valor1;valor2;...); onde valor1; valor2;... so 1 a 30 valores cujo valor mximo sedeseja encontrar.Observaes importantes : pode ser especificados argumentos que sejam nmeros, clulasvazias, valores lgicos ou representaes em forma de texto de nmeros. Os argumentos que sovalores de erro geram erros. Se o clculo no deve incluir valores lgicos e de texto, use, emsubstituio, a funo de planilha MXIMO. Se um argumento for uma matriz ou referncia, serousados apenas valores nesta matriz ou referncia. As clulas vazias e valores de texto na matrizou referncia sero ignorados. Os argumentos que contiverem VERDADEIRO sero avaliadoscomo 1; os argumentos que contiverem texto ou FALSO sero avaliados como 0 (zero). Se osargumentos no contiverem valores, MXIMOA retornar 0 (zero).Por exemplo, se A1:A5 contiver os nmeros 10; 7; 9; 27 e 2, ento MXIMOA(A1:A5) igual a 27.MXIMOA(A1:A5;30) igual a 30. Se A1:A5 contiver os valores 0; 0,2; 0,5; 0,4 e VERDADEIRO,ento MXIMOA(A1:A5) igual a 1.

23

Funo MENOREsta funo calcula o menor valor k-simo do conjunto de dados. Use esta funo para retornarvalores com uma posio especfica relativa em um conjunto de dados.Sintaxe : MENOR(matriz;k), onde matriz uma matriz ou intervalo de dados numricos cujo menorvalor k-simo voc deseja determinar; k a posio (a partir do menor) na matriz ou intervalo dedados a ser fornecido.Observaes importantes : se matriz estiver vazia, MENOR retornar o valor de erro #NM!. Se kmenor ou igual a 0 ou k exceder o nmero de pontos de dados, MENOR retornar o valor de erro#NM!. Se n for o nmero de pontos de dados em matriz, MENOR(matriz;1) ser igual ao menorvalor, e MENOR(matriz;n) ser igual ao maior valor.Por exemplo : MENOR({3;4,5;2;3;4;5;6;4;7};4) igual a 4; MENOR({1;4;8;3;7;12;54;8;23};2) iguala 3.

Funo MNIMOEsta funo calcula o menor nmero na lista de argumentos.Sintaxe : MNIMO(nm1;nm2; ...), onde nm1; nm2;... so nmeros de 1 a 30 para os quaisvoc deseja encontrar o valor mnimo.Observaes importantes : voc pode especificar os argumentos que so nmeros, clulas vazias,valores lgicos ou representaes em texto de nmeros. Os argumentos que so valores de erroou texto que no podem ser traduzidos em nmeros causam erros. Se um argumento for umamatriz ou referncia, apenas os nmeros daquela matriz ou referncia podero ser usados. Clulasvazias, valores lgicos ou valores de erro na matriz ou referncia sero ignorados. Se o texto e osvalores lgicos no devem ser ignorados, ento utilize MNIMOA. Se os argumentos nocontiverem nmeros, MNIMO retornar 0.Por exemplo : : se A1:A5 contiver os nmeros 10, 7, 9, 27 e 2, ento MNIMO(A1:A5) igual a 2.MNIMO(A1:A5; 0) igual a 0

Funo MNIMOAEsta funo calcula o menor valor na lista de argumentos. Alm de nmeros, so comparadosvalores lgicos e de texto, como VERDADEIRO e FALSO.Sintaxe : MNIMOA(valor1;valor2;...); onde valor1; valor2;... so 1 a 30 valores cujo valor mnimovoc deseja encontrar.Observaes importantes : voc pode especificar argumentos que sejam nmeros, clulasvazias, valores lgicos ou representaes em forma de texto de nmeros. Os argumentos que sovalores de erro geram erros. Se o clculo no deve incluir valores lgicos ou de texto, use, emsubstituio, a funo de planilha MNIMO. Se um argumento for uma matriz ou referncia, serousados apenas valores nesta matriz ou referncia. As clulas vazias e valores de texto na matrizou referncia sero ignorados. Os argumentos que contiverem VERDADEIRO sero avaliadoscomo 1; os argumentos que contiverem texto ou FALSO sero avaliados como 0 (zero). Se osargumentos no contiverem valores, MNIMOA retornar 0 (zero).Por exemplo : : se A1:A5 contiver os nmeros 10; 7; 9; 27 e 2, ento MNIMOA(A1:A5) igual a 2.MNIMOA(A1:A5;0,0) igual a 0. Se A1:A5 contiver os valores FALSO; 0,2; 0,5; 0,4 e 0,8, entoMNIMOA(A1:A5) igual a 0.

24

CAPTULO 4.

APRESENTAES GRFICAS DEDADOS

Uma imagem vale por mil palavras.Antigo provrbio chins.

Uma forma ldica e bastante interessante de apresentar dados consiste no uso de grficos. Aseguir so apresentados alguns dos principais tipos de grficos empregados na estatstica. Umamaior explicao sobre grficos e sua utilizao pode ser visto no livro de Toledo e Ovale.

4.1. Histograma

O histograma representa as frequncias das classes. Para dados no agrupados em classes suarepresentao pode ser vista no grfico seguinte.

Idades Fi Fi% Faci Faci%16 4 10,0% 4 10,0%17 5 12,5% 9 22,5%18 8 20,0% 17 42,5%19 10 25,0% 27 67,5%20 13 32,5% 40 100,0%

Soma 40 100,0%

Histograma de Idades

0

5

10

15

16 17 18 19 20

Para dados agrupados em classes, bastante similar ao grfico de colunas, porm, no temespaos entre as classes.

25

4.2. Pareto

Representa o histograma, com base em classes de freqncia ordenadas : da de maior freqnciapara a de menor freqncia.

0

5

10

15

20

25

54,3 58,9 68,1 63,5 77,4 Mais 49,6 72,8 45,0

Bloco

Fre

q

nci

a

As classes de freqncia so representadas da maior para a menor.

4.3. Ogiva

Representa as frequncias mostradas no histograma. Podem ser as freqncias simples ourelativas, acumuladas ou no.

26

05

10

152025

0 45

49,62

554

,25

58,87

563

,5

68,12

572

,75

77,37

5Ma

is

Figura 4.1 : Diagrama de frequncias simples.

0%5%

10%15%20%25%30%

0 45

49,62

554

,25

58,87

563

,5

68,12

572

,75

77,37

5Ma

is

Figura 4.2 : Diagrama de frequncias relativas.

0%20%40%60%80%

100%120%

0 45

49,62

554

,25

58,87

563

,5

68,12

572

,75

77,37

5Ma

is

Figura 4.3 : Diagrama de frequncias relativas acumuladas.

4.4. Boxplot

Representa a disperso dos dados, revelando a mediana e os quartis (medidas de posio aserem apresentadas mais a seguir no texto). Infelizmente, este grfico no disponibilizado peloExcel, embora esteja presente em quase todos os softwares estatsticos (como o SPSS ou oMinitab).

27

Figura 4.1 : Exemplo de boxplot, separado por grupos.

4.5. Grfico de barras

Similar ao histograma, apresenta as frequncias sob a forma de barras horizontais.

1 5 6

8 3

1 2 1

9 5

7 2

0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0

Administrao

Arqui tetura

Direi to

Engenharia

Medicina

4.6. Grfico de colunas

Similar ao histograma, apresenta as frequncias sob a forma de colunas verticais.

1 5 6

8 3

1 2 1

9 5

7 2

0

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0

1 8 0

28

4.7. Grfico de setores

Representa frequncias relativas ou simples sob a forma de setores de crculo.

29%

16%23%

18%

14%

Administrao

Arquitetura

Direito

Engenharia

Medicina

4.8. Diagrama de disperso

Mostra a relao grfica existente entre duas variveis numricas. Sua anlise ser aprofundadano segundo mdulo de estatstica.

Vendas Custo60,00 49,00 48,00 43,00 54,00 46,00 50,00 45,00 65,00 53,00

40,00

45,00

50,00

55,00

40,00 50,00 60,00 70,00

4.9. Grficos pictricos ou pictogramas

So construdos a partir de figuras ou conjuntos de figuras representativas da intensidade ou dasmodalidades do fenmeno. Jornais e revistas costumam apresent-los com relativa freqncia.Toledo e Ovale (1997, p. 85) chamam a ateno para alguns aspectos relacionados aospictogramas:

1. Os simbolos devem ser auto-explicativos.2. As diferentes quantidades devem expressar-se mediante maior ou menor nmero de

smbolos, e no mediante um aumento ou diminuio do smbolo bsico.3. Os grficos devem proporcionar uma viso geral do fenmeno, e no detalhes minunciosos.4. Os pictogramas estabelecem comparaes gerais, devendo ser evitados para interpretar

afirmaes ou dados isolados.

29

Vendas

12

15

8

10

0 5 10 15 20

Norte

Sul

Leste

Oeste

Figura 4.1 : Exemplo de pictograma.

4.10. Falhas na elaborao de grficos

Embora a visualizao de informaes em grficos seja mais simples e fcil, em determinadassituaes, os grficos podem representar uma armadilha : transmitindo um contedo nem sempreverdadeiro.Entre os principais erros na elaborao de grficos pode-se mencionar :

a) chart junk grfico sucata : figura demais, informao de menos . s vezes, o usoexcessivo de figuras pode ocultar a informao que se deseja transmitir. Por exemplo, aevoluo do salrio mnimo exibida a seguir com cdulas mascara a verdadeira a evoluo(aumento de 280%). A informao referente ao aumento muito melhor transmitida no grficoem forma de linha.

M Apresentao Boa apresentao

1960: $1.00

1970: $1.60

1980: $3.10

1990: $3.80

Salrio Mnimo

0

2

4

1960 1970 1980 1990

$

Salrio Mnimo

b) ausncia de base relativa : os grficos podem ocultar a verdadeira informao transmitida emfuno da base empregada ou sugerida na anlise. Por exemplo, os grficos seguintesmostram a repetncia em quatro classes distintas : FR, SO, JR e SR. No grfico esquerdanota-se que a repetncia na primeira classe foi maior. No primeiro grfico est exibida, apenas,a freqncia simples dos alunos que perderam. Se as classes possurem tamanhos diferentes,uma melhor transmisso de informao feita atravs do uso de base relativa. Em relao repetncia, nota-se que, em temos percentuais e relativos, no existiu diferenas entre asclasses.

30

Reprovados por Classe

0

100

200

300

FR SO JR SR

Freq.

0%

10%

20%

30%

FR SO JR SR

%

M Apresentao Boa apresentaoReprovados por Classe

c) eixo vertical comprimido : um grfico deve ser utilizado para transmitir a informao damelhor maneira possvel. As escalas empregadas devem ser coerentes com o tamanho dafigura exibido. Na figura seguinte, exibida esquerda, esto apresentadas as evolues devendas quadrimestrais de determinada empresa. Em funo da escala utilizada (amplitudevariando entre 0 e 200), as diferenas de vendas pouco podem ser percebidas. Porm, umaanlise mais detalhada e melhor percepo pode ser vista na figura esquerda (que adotouuma escala mais apropriada, entre 0 e 50).

0

25

50

Q1 Q2 Q3 Q4

$

0

100

200

Q1 Q2 Q3 Q4

$

M ApresentaoVendas Quadrimestrais

Boa apresentaoVendas Quadrimestrais

d) ausncia do ponto zero : a ausncia do ponto zero em uma figura pode disfarar a anlise,aumentando demasiadamente eventuais variaes. Vide a figura seguinte:

0

20

40

60

J M M J S N

$

36

39

42

45

J M M J S N

M ApresentaoVendas Quadrimestrais

Boa apresentaoVendas Quadrimestrais

31

4.11. Aplicaes no Excel

O uso de grficos no Excel facilitado pelo emprego do Assistente de Grfico, disponibilizado nabarra de ferramentas. Havendo selecionado previamente a rea da planilha onde esto dos dadosque se deseja representar em grficos, basta seguir as etapas do Assistente de Grfico.

As opes de grficos no Excel so bastante variadas : colunas, barras, linhas, disperso, etc.

32

CAPTULO 5.

MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL2

A estatstica a mais perversa das cincias.Se voc come dois frangos e eu no como

nenhum, ela diz que, na mdia, amboscomemos um frango.

Annimo.

5.1. Objetivos do captulo:

Esse captulo consiste em explicar de forma clara e objetiva os conceitos das seguintesMedidas de Tendncia Central: mdia, moda, mediana, mdia aritmtica, mdia harmnica, mdiageomtrica.

So dados exemplos logo aps a explicao do assunto para que dessa forma o alunopossa assimilar rapidamente o contedo.

Encontram-se tambm nesse captulo, uma srie de exerccios resolvidos

5.2. Fundamentao terica e exemplos

As medidas de tendncia central so valores que resumem o comportamento central dos dados epodem representar um conjunto de dados. So assim denominadas, pois representam osfenmenos pelos seus valores mdios, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados.As medidas de tendncia central caracterizam os grupos como um todo, descrevendo-os de formamais compacta do que as tabelas e grficos. Focalizam a ateno na natureza dos dados medidos,implicando em perda de informao.Segundo Fonseca (1985), essas medidas orientam-nos quanto a posio da distribuio no eixo x(eixo dos nmeros reais) e possibilitam que comparemos sries de dados entre si pelo confrontodesse nmeros.Podem apresentar-se de vrias formas, dependendo daquilo que se pretende conhecer a respeitodos dados estatsticos. A moda, a mdia aritmtica e a mediana so as mais utilizadas pararesumir o conjunto de valores representativos que se deseja estudar. Essas determinam um niconmero representativo de uma srie, e raramente coincidem..

5.3. Mdias

A mdia um valor representativo de um conjunto de dados. Seu valor nico e utilizamos todosos dados para o seu clculo, alm disso, sensvel aos valores discrepantes, ou seja, extremos.Existem vrios tipos de mdia, porm a que iremos estudar so: harmnica, geomtrica earitmtica, sendo essa ltima a mais utilizada.

2 Elaborado inicialmente por Renata Macedo Guimares (rmfg@bol.com.br); Tatiana de Mendona Mattos(mtm@svn.com.br); Vanessa Souto G. Gomes (vsouto@terra.com.br). Tambm colaboraram : BeatrizSalvador (bia.ssa@ig.com.br), Camila Azevedo (camilazv@ig.com.br), Gabriele Franco (bealley@bol.com.br);Isabel Cristina (beltina19@yahoo.com.br); Sara Pimenta Lacerda (saralacerda@hotmail.com) e SandraAhringsmann (s_c_a@zipmail.com.br).

33

5.3.1. Mdia aritmtica

DADOS DISCRETOS

Pode ser chamada simplesmente de mdia. definida pelo somatrio dos dados e dividido pelaquantidade de nmeros da srie.

Pode ser representada pelo smbolo x (mdia amostral) ou m (mdia populacional):

n

xi

x

n

i

== 1

Propriedades da mdia aritmtica:

A soma dos desvios calculados de um conjunto de nmeros em relao a mdia aritmtica dadistribuio zero.

Exemplo:Os desvios dos nmeros 7,8,9,10,11,15 em relao a sua mdia que (7+8+9+10+11+15)/6 =10, so:

X Xi X = x

7 7 10 = -38 8 10 = -29 9 10 = -110 10 10 = 011 11 10 = 115 15 10 = 5

S ( x ) = 0

A soma dos quadrados dos desvios em relao a mdia representa um valor mnimo. Casosubstitua a mdia por outro valor qualquer (maior ou menor que a mdia), a soma dos quadradosdos desvios encontrados ser superior a encontrada quando utilizamos a mdia real.Exemplo:

Xi Xi - X = x7 7 - 8 = -18 8 8 = 09 9 8 =110 10 8 = 211 11 8=315 15 8=7

Logo, ( x = 64)

34

Quando os valores da srie tiverem pesos diferentes, a mdia aritmtica denominada mdiaponderada. Ela obtida atravs do quociente entre o produto dos valores da varivel pelos seusrespectivos pesos e a soma dos pesos.

Se uma srie composta por N1 nmeros, sua mdia ser 1X , se formada por Nn nmeros, logosua mdia ser nX . Portanto, a mdia final ser :

=+++

+++=

N

NX

NnNN

NnXNXNX

...21...2211

Atravs da mdia ponderada podemos reunir vrios grupos em um grupo mais amplo,determinando a mdia total sem precisar recorrer aos dados originais.

Exemplo:

Na Faculdade Ruy Barbosa foi feita um teste de inteligncia geral com 300 estudantes dos cursosde Administrao, Processamento de Dados, Cincia da Computao e Psicologia. Os dados arespeito do nmero de alunos e a mdia aritmtica de cada amostra foram os seguintes:

CURSOS N XAdministrao 83 40Cincia da Computao 69 35Processamento de Dados 73 33,7Psicologia 75 44,2SS 300

367,38300

2,44757,337335694083=

+++=

xxxxX

Portanto, a mdia dos alunos dos cursos acima foi aproximadamente 38, o que corresponde a umdesempenho fraco, j que o teste era composto por 50 questes, ento o resultado mximo era 50.Essa mdia global nos permite comparar a mdia dos grupos, mostrando que o curso deProcessamento de Dados obteve a menor mdia e o curso de Psicologia a maior.

Ao somarmos ou subtrairmos uma constante a todos os valores da srie, a mdia ser somada ousubtrada desse mesmo valor.

Exemplo:

X X + 2 X 27 9 58 10 69 11 710 12 811 13 915 17 13

Como o resultado da mdia 10=X , observamos que:

35

126

171312111092 =

+++++=+X e 8

61398765

2 =+++++

=-X

Ao multiplicarmos ou dividirmos uma constante a todos os valores da srie, a mdia sermultiplicada ou subtrada desse mesmo valor.

Exemplo :

X 2X X/27 14 3,58 16 49 18 4,510 20 511 22 5,515 30 7,5

Como o resultado da mdia 10=X , observamos que:

206

3022201816142 =

+++++=X e 5

65,75,555,445,3

2=

+++++=

X

Clculo da mdia aritmtica para dados repetidos:

Usa-se esse processo para amostras grandes, evitando-se tornar o processo demorado. Nestecaso, agrupa-se os dados numa tabela de distribuio de frequncia simples e determina-se amdia como se fosse ponderada, com as freqncias de cada resultado, servindo como peso dosmesmos.

Exemplo:

Foi feita uma avaliao com 40 alunos do curso de Administrao da Faculdade Ruy Barbosa paradeterminar a mdia das idades desses alunos .

X Fi Fi . X17 1 1718 11 19819 8 15220 7 14021 10 21022 2 4423 1 23SS 40 784

Com a utilizao da frmula a seguir, encontra-se a mdia:

n

fXX

= , ento 6,1940784

==X

Vantagens e desvantagens da mdia aritmtica:

Vantagens:

36

de fcil compreenso, podendo ser calculada diretamente usando-se calculadorasapropriadas;

Depende de todos os valores da distribuio, usando todos os dados disponveis; Evidencia bastante estabilidade de amostra para amostra; Possibilita a manipulao de dados, com o clculo de mdias combinadas (*); Pode ser facilmente includa em equaes matemticas.

Desvantagens:

afetado por valores extremos da srie, no representando com preciso a distribuio emque esses valores ocorrem com frequncia acentuada;

necessrio conhecer todos os valores da distribuio; A mdia no tem, necessariamente, existncia real. Pode ser obtida uma mdia de idade igual

a 9.7, o que um valor inexistente.

Dados Agrupados em Classes

Mdia utilizando a tabela de frequncia:

Para dados agrupados em classe a mdia resulta de uma ponderao do pontos mdios pelasfrequncias.

=

Fi

iFPmX

Exemplo 1:

Determine a mdia, com base na tabela de frequncia e com base no ROL.ROL: 3;5;5;6;7;10;10;12;13;16;17;18;18;19;20;21;23;24;24;25;27;27;28;33.

CLASSE Fi Fi% Faci% Pme3 9 5 20,83 20,83 69 15 4 16,66 37,49 12

15 21 6 25,00 62,49 1821 27 5 20,83 83,32 2427 33 4 16,66 100,0 31

SS 24 100,0

De acordo com a tabela de frequncia, a mdia determinada por:

75,1724

30424518612465=

++++=X

Porm de acordo com o ROL, h uma distoro nesse valor, a mdia passa a ser:

125,17== n

ROLX

37

Isso demonstra que o fato de utilizar a tabela de frequncia resulta em perda de informao.

5.3.2. Mdia Geomtrica

A mdia geomtrica obedece a um certo padro de crescimento.

PERODO 3 4 5 6DADOS 8 16 36 64

A razo de crescimento fornecida pelo quociente de um dado pelo seu antecessor. Nesse caso arazo de crescimento igual a 2. Segundo Bunchaft e Kellner, a mdia geomtrica usada paramdias proporcionais de crescimento quando uma mdia subsequente depende de mdiasprvias.

Exemplo:Se uma populao de um milho de habitantes em 1970 aumentou para quatro milhes em 1990,quadruplicou em 20 anos; qual seria a cifra da populao em 1980 ? determinada calculando-sea mdia geomtrica, sendo multiplicado todos os valores da srie e em seguida extrada a raiz deordem n desses valores, de acordo com a seguinte frmula :

G = n XXX ...321Para o exemplo acima tem-se :

G = 41Portanto, a populao em 1980 seria de 2 milhes de habitantes.

5.3.3. Mdia Harmnica

A mdia harmnica utilizada para determinar a mdia de crescimento ou propores de preos evelocidades, j que se for utilizado a mdia aritmtica no encontraremos o resultado correto.

representada por nX e definida por:

=

=+++

=n

i

Xi

n

XnXXhX

1

/1/1.../1/1

4

Exemplo:

O preo de 1 Kg de batata R$2,00 , aps duas semanas esse preo aumentou para R$ 3,00.Determine. Determine o preo mdio por Kg de batata.

4,23/12/1

2=

+=hX

38

A utilizao da mdia aritmtica resultaria num resultado errneo. O preo seria R$ 2,50, o quecorresponde ao preo mdio por reais gastos e o que se quer saber o preo mdio por Kg.

A mdia harmnica sempre menor ou igual a mdia geomtrica, que por sua vez, menor ou

igual a mdia aritmtica, isso : XgXhXNa mdia harmnica o denominador caracterizado por apresentar uma progresso aritmtica:

PERODO 4 5 6 7DADO 1/4 1/5 1/6 1/7

5.4. Mediana

Dados Discretos

definida como uma medida de tendncia central, cujo valor, est no meio da srie, isto , numaposio de mesma distncia dos extremos dos elementos da srie.A mediana, a qual definida como Md, divide uma srie de X elementos, em duas emendas iguais,uma delas com valores inferiores ao da mediana e a outra com valores superioresLogo, a mediana ser o valor de Y, tal qual, Faci% (Y = Md ) = = 50%.

Quando os valores esto ordenados no ROL e h um nmero par de argumentos, a mediana sera mdia dos valores do meio, porm se for uma quantidade impar, a mediana ser o valor central.

Exemplo 1:

Foi realizado um teste entre 11 pessoas, para determinar quais seriam aprovadas para o curso deAdministrao da faculdade Ruy Barbosa, sem que fosse preciso fazer vestibular. Dessas pessoas,apenas 50% foram aprovadas. Sabendo-se que a mediana a nota mnima a ser atingida pelosalunos que sero aprovados, determine-a.

Notas: 8,3; 7,2; 9,0; 10,0; 6,7; 8,0; 7,0; 8,5; 6,5; 3,0; 6,9.

ROL: 3,0; 6,5; 6,7; 6,9; 7,0; 7,2; 8,0; 8,3; 8,5; 9,0; 10,0.

Como o nmero de dados impar, o valor central representa a nota mnima, que no exemplocitado 7,2.

Exemplo 2:

Caso o teste citado no exemplo acima tivesse sido realizado entre 12 pessoas, qual seria a notamnima?

Notas: 8,3; 7,2; 9,0; 10,0; 6,7; 8,0; 7,0; 8,5; 6,5; 3,0; 6,9; 6,0.

ROL: 3,0; 6,0; 6,5; 6,7; 6,9; 7,0; 7,2; 8,0; 8,3; 8,5; 9,0; 10,0.

39

Md: 1,72

2,70,7=

+

Como o nmero de dados impar, a nota mnima representada pela a mdia aritmtica dos doisvalores centrais, que no exemplo citado 7,1.

Clculo da mediana para dados repetidos:

O clculo da mediana para dados repetidos feito da mesma forma que para dados noagrupados. aconselhvel utilizar a tabela de freqncias acumuladas.

Exemplo 1:

Calcular a mediana dos valores dispostos na tabela:

VALORES FREQUNCIAS3 55 1O6 110 413 7

N = 27

Como a tabela apresenta 27 termos, a mediana representada pelo 14. O procedimento para aresoluo dessa questo o mesmo utilizado com dados no agrupados: dispe os valores noROL, e identifica qual o termo central.

Exemplo 2:

De acordo com a tabela, determine a mediana:

VALORES FREQUNCIAS3 65 106 110 413 7

Soma 28

A mediana, como nos dados no agrupados, a mdia aritmtica dos dos termos centrais. Soeles, o termo 14 e 15, que so representados pelos nmeros 5 e 5.

Md : 52

55=

+.

Vantagens e desvantagens da mediana:

Vantagens:

Mesmo que alguns valores da srie sejam modificados, ela pode manter-se inalterada. Os valores extremos no interferem no seu resultado, por isso indicada quando tem valores

discrepantes.

40

Mesmo que os valores mais altos e mais baixos da srie no estejam definidos, ela pode serdeterminada.

Exemplo:

Suponha que a renda dos brasileiros esteja disposta na tabela seguinte:

SALRIO MNIMO FREQUNCIA (MILHES)At 1 30,01 5 34,75 10 5,3

+ de 10 2,0Total = 72

So 72 milhes de brasileiros assalariados, isso significa que a mediana corresponde ao 36milionsimo indivduo e ser encontrada na fixa salarial de 1 5 salrios mnimo. Isso comprova oque foi dito acima, pois a primeira e a ltima faixa salarial no foram determinadas.

Pode ser utilizada para dados que tm a possibilidade de serem ordenados;

Desvantagens:

Se for determinada a mediana dos grupos separados, no ser encontrada a mediana dogrupo.

DADOS AGRUPADOS EM CLASSE

necessrio que os valores da varivel estejam dispostos numa tabela de frequncia. A medianaser o valor da varivel, para a qual 50% da frequncia total fique situada acima dela e os outros50% abaixo, ou seja, ela divide o ROL ordenado em duas partes iguais. Para encontra-lautilizamos a frmula a seguir:

Md = l + h.[( EMd Fant ) / fMd ]

Onde:l = limite inferior da classe mediana;h = amplitude da classe ;EMd = frequncia / 2;Fant = frequncia acumulada da classe anterior classe da mediana;fMd = frequncia da mediana.

Exemplo:Considerando a tabela de frequncia, determine a mediana.

CLASSE Fi% Faci%3 9 20,83 20,839 15 16,67 37,50

15 21 25,00 62,5021 27 20,83 83,3327 33 16,67 100,0Soma 100,0

Para encontrar o valor da mediana utiliza-se a frmula apresentada anteriormente.A classe da mediana a que contem Fi% = 50%.

41

Md = 15 + 7( 50 37,5 ) / 25Md = 18,5

5.5. Moda

A moda o valor que ocorre com maior frequncia na distribuio dos dados. Ela pode no existir,sendo assim, a srie denominada de amodal ou no ser nica, constituindo uma sriemultimodal. importante ressaltar que apesar da moda ser o valor que mais se repete, ela no obrigatoriamente a maioria no resultado final; ou seja, se o tipo sanguneo mais frequente for o A+ ,no necessariamente a maioria das pessoas o tero.Para amostras grandes, aconselhvel formar uma distribuio de frequncia simples. A modaser encontrada da mesma forma que para dados no agrupados, ela estar onde a frequncia formaior.Uma caracterstica importante da moda que ela a nica medida de tendncia central que podeser aplicada para dados quantitativos e qualitativos.

Exemplo 1: (dado quantitativo)

O nmero de filmes locados a cada hora foi coletado em trs locadoras, sejam elas: R, T, V. osdados obtidos em seis horas foram:

Locadora R: 0, 1, 2, 2, 2, 3.:Locadora T: 1, 2, 2, 3, 3, 4.Locadora V: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Determine a moda de cada uma.

Na locadora R, a moda o 2 (valor que mais se repete).Na locadora T, as modas so o 2 e o 3, pois como foi visto anteriormente pode ter mais de umamoda em uma srie, sendo esta denominada de multimodal.Na locadora V, no existe a moda, pois todos os valores aparecem com a mesma frequncia,sendo assim, a srie denominada de amodal.

Exemplo 2: (dado qualitativo)

Foi feita uma pesquisa de opinio com os leitores de trs revistas, sendo elas, A, B, C, paradeterminar a qualidade dos seus servios. Os valores possveis so: E (excelente), O (timo), B(bom), R (regular) e P (pssimo). Abaixo ser dado a frequncia com que esses dadosapareceram. Determine a moda de cada uma delas.

Revista A: P, R, B, B, O, O, O, O, E, E.Revista B: R,R, B, B, B, B, O, O, O, O.Revista C: P, P, R, R, B, B, O, O, E, E .

Revista A: a moda O (opinio que mais se repete)Revista B: as modas so B e O (bimodal).Revista C: no existe moda (amodal).

Exemplo 3:

42

Uma loja de calados fez uma pesquisa com 5 mil baianos, do sexo masculino, para determinarqual o nmero de sapato mais comum entre eles. De acordo com a tabela de frequncia a seguir,determine a moda.

NMERO DO SAPATO FREQUNCIA37 23038 42739 98340 41 179042 1427+ de 42 143

Total = 5.000

O nmero de calado mais comum 40 41, j que a moda representada pela maior frequncia.

Vantagens e desvantagens:

Vantagens:

Caso algum valor da srie seja modificado, no necessariamente a moda alterar.Exemplo:

Srie: 2, 4, 7, 7, 7, 7, 8, 9. Se o valor 2 for modificado para 3, a moda continuar sendo 7.Os valores extremos no interferem no resultado da moda.Exemplo:Srie: 2, 4, 7, 8, 8, 100. Mesmo com o valor discrepante (100), a moda continua sendo 8.Podem ser calculadas em distribuies que possuam classe indeterminada; como o caso doexemplo 3.

- Desvantagens:A moda tem que ter necessariamente um valor real, j que ela representada por algum valor dasrie.Quando utilizadas para calcular distribuies de classe aberta, no se pode determinar a mdiaaritmtica..

5.6. Relao entre Mdia, Moda e Mediana:

Segundo Bunchaft e Kellner (1997), para uma distribuio simtrica unimodal, a mdia, a medianae a moda coincidem. medida que a distribuio se afasta da simetria, os valores das trsmedidas de tendncia central apresentam diferenas.

Exemplo de Mdia Geomtrica :

Se uma populao de um milho de habitantes em 1970 aumentou para quatro milhes em 1990,quadruplicou em 20 anos; qual seria a cifra da populao em 1980 ? determinada calculando-sea mdia geomtrica, sendo multiplicado todos os valores da srie e em seguida extrada a raiz deordem n desses valores, de acordo com a seguinte frmula :

G = raiz de n x1.x2.x3 ....

43

Para o exemplo acima tem-se :

G = raiz quadrada de 1x4.

Portanto, a populao em 1980 seria de 2 milhes de habitantes.

5.7. Resumo das vantagens e desvantagens das medidas estatsticas

As principais vantagens e desvantagens da moda, mediana e da mdia so3 3:

Moda :

Vantagens DesvantagensFcil de calcular, Pode estar afastada do centro das observaes,No afetada por valores extremos. Difcil de incluir em equaes matemticas

A distribuio pode ter mais de uma modaNo usa todos os dados disponveis

Mediana :Vantagens DesvantagensFcil de determinar , Difcil incluir em equaes matemticas,No afetada pelos valores extremos, necessrio conhecer todos os valores da

distribuio .Parece ser uma medida correta , pois divide asrie em partes iguais a 50%.

Mdia :Vantagens DesvantagensFcil de compreender e usar, afetada pelos valores extremos ,Usa todos os dados disponveis, necessrio conhecer todos os valores da

distribuio .Fcil de incluir em equaes matemticas.

5.8. Exerccios Propostos e Resolvidos

Exerccio 5.1

Pedro um excelente aluno e tirou 8,0 ; 9,2 e 9,8 em provas de Matemtica com os seguintespesos respectivamente : 1,5 ;2 e 3. Calcule qual ser a mdia final de Pedro.

Resposta : 9,2

Exerccio 5.2

Calcule a mdia aritmtica dos seguintes dados: 2, 4, 4, 6, 8, 9.

Resposta : 5,5

3 Extrado de Lapponi, Carlos Juan- Estatstica usando Excel 5 e 7- cap.04, pg. 82.

44

Exerccio 5.3

Calcule a moda dos seguintes dados : 3, 3, 4, 6, 7, 7, 9.

Resposta : Esta uma srie multimodal contendo como modas os nmeros 3 e 7.

Exerccio 5.4

Calcule a mediana do seguinte conjunto : 3, 4, 5, 7, 8, 10.

Resposta : 6

Exerccio 5.5

Com base no seguinte conjunto de dados ordenados, calcule a mdia, moda e mediana. Rol : 2, 2,4, 5, 7, 8, 8, 10, 11.

Resposta : Mdia = 6,3333 ; Moda = 2 e 8 ; Mediana = 7

Exerccio 5.6

Calcule a mdia geomtrica e a mdia harmnica do seguinte conjunto de dados : 3, 4, 6.

Resposta : MG = 4,1602; MH = 4

Exerccio 5.7

Um estudante realizou uma pesquisa entre cinco empresas que contratam estagirios deadministrao e verificou os seguintes salrios : $ 200,00; $ 250,00 ; $ 280,00 ; $320,00 e $ 4200,00 . Calcule a mdia dos salrios.

Resposta : 262,50

Exerccio 5.8

Com base na tabela de classe de freqncia abaixo, calcule a mdia, moda e mediana.

CLASSE Fi Fi% Faci Faci% P. MDIO2 |--- 4,4 3 30 3 30 3,2

4,4 |--- 6,8 1 10 4 40 5,66,8 |--- 9,2 2 20 6 60 8,0

9,2 |--- 11,6 2 20 8 80 10,411,6|---| 14 2 20 10 100 12,8

SS 10 100

Resposta : Mdia = 7,76; Moda = 6,8---9,2 ; 9,2---11,6 e 11,6---14.; Mediana = 8,8

Exerccio 5.9

Dada a amostra seguinte, calcule a mdia, moda e mediana: 23 21 18 11 12 10 15 23 15 1218 15 15 16 14 14

Resposta :

Mdia

45

X = (11+ 12.2+ 14.2+10 + 15.3+ 16+18.2+23.2+21) /(1+2+2+1+3+1+2+2+1) == 237/15 = 15.8

Mo = 15

Mediana =Md = 10,11,12,12,14,14,15,15,15,16,18,18,21,23,23 = Md = 15

Exerccio 5.10

Trinta alunos foram submetidos a uma prova de matemtica, obtendo as notas apresentadas aseguir. Calcule a mdia, mediana e moda dessas notas.

84 90 80 94 7783 91 92 92 8699 83 76 70 7688 78 89 95 8187 83 90 77 8693 94 98 81 87

Resposta : Moda = 83; Mdia = 86; Mediana = 86,50

Exerccio 5.11

Calcule a moda, mdia e mediana dos dados abaixo:

25 18 23 27 17 18 17 17 23 29 27 16 16 27 24 17 26 29 19 18

Resposta : Rol : 16, 16, 17, 17, 17,17, 18, 18, 18, 19, 23, 23, 24, 25, 26, 27, 27, 27, 29, 29; Moda =17; Mdia = 21,65; Mediana = (19+23)/2 = 21

Exerccio 5.12

Os salrios que 4 homens recebem mensalmente so : 20.000; 30.000; 15.000; 10.000. Determinea mdia aritmtica de seus salrios :

Resposta : 18,75

Exerccio 5.13

Entre 100 nmeros, dez so 5, trinta so 10 ,vinte so 15 e quarenta so 20. Determine a mdiaaritmtica dos nmeros :

Resposta : 14,50

Exerccio 5.14

Um estudante da Faculdade Ruy Barbosa , obteve as seguintes notas das seguintes matrias.Calcule a mdia aritmtica desse aluno .

Matria Notas PesosEstatstica 7.5 2Clculo 4.0 2Matemtica Financeira 5.5 2TGA 6.0 2

46

Resposta : 5,75

Exerccio 5.15

Um aluno de uma determinada faculdade argumentou com o seu professor que a mdia deestatstica est baixa , que estava na faixa de 5,5 e a nota necessria para passar sem final 6.0,conforme as notas dos alunos ( 3,0 ; 4,0; 4.5 ; 5,0 ; 5,5 ; 7.0 ; 10 ) , o argumento tem fundamento ?Explique .

Resposta : Mdia = ( 3 + 4 +4.5+ 5 + 5,5 + 7 + 10 ) / 7 = 39 / 7= 5.57. No momento em que estfazendo a mdia deve no levar em conta o valor extremo , neste caso o valor extremo a nota10. Ento a nova mdia seria : Mdia = ( 3 + 4 + 4.5 + 5 + 5.5 + 7 ) / 6 = 4.83O aluno est certo em afirmar que a mdia da turma est baixa , pois est abaixo da notanecessria para passar sem final , mas ele erra em dizer que a mdia est beirando 5.5 , o alunoconsiderou a nota 10 , que o extremo .

Exerccio 5.16

O seguinte rol de altura de modelos que est participando de uma seleo para participar de uma propaganda : 1.70 ; 1.70 ; 1.70 ; 1.72 ; 1.75 ; 1.75 ; 1.77 ; 1.79 e 1.80 m . De acordo com o rol ,identifique a mdia ,moda e mediana.

Resposta : __Mdia = X = (1.7 + 1.7 + 1.7 + 1.72 + 1.75 + 1.75 + 1.77 + 1.79 + 1.8)/9= 1.74 m .

Moda = o elemento que mais se repete no rol ,neste caso a altura que mais se repete 1.70 .

Mediana = o elemento que divide o rol em duas partes iguais , como tem 9 alturas , a altura quedivide o rol em duas partes iguais a altura correspondente ao elemento 5 que 1.75 m .

Exerccio 5.17

Determinar a Mdia Harmnica dos nmeros : 3 5 6 6 7 10 12.

Resposta : MH = 5,90

Exerccio 5.18

Determine a mdia e mediana dos seguintes nmeros :

a ) 2, 3 , 4, 6

b) 7, 8, 10

c) 12, 15, 18

Resposta : __a) X = 2 + 3 + 4 + 6 =3.75 4

Md = 3+4 = 3.5 2

47

__X = 7 + 8+ 10 = 8.333 3

Md = 8

__c) X = 12+ 15+ 18 = 15 3

Md = 15

Exerccio 5.19

As idades dos jogadores de dois times de vlei so:

Time A: 16,15,18,15,16,16,17,18,19,17,16.Time B: 15,17,19,19,17,18,19,18,18, 17,16.

Qual o time que apresenta a maior idade mdia?

X A= 16+15+18+15+16+16+17+18+19+17+16 = 183 = 16.6363

11 11

X B = 15+17+19+19+17+18+19+18+18+17+16 = 193 = 17.5454

11 11

Resposta : O time de maior mdia de idade o time B.

Exerccio 5.20

Qual a moda das idades em cada time?

Resposta : Time A: 16 anos; Time B: 17, 18 e 19 anos.

Exerccio 5.21

Qual a mediana de todas as idades?

Time A: 15,15,16,16,16,16,17,17,18,18,19.Time B: 15,16,17,17,17,18,18,18,19,19,19.

Resposta: Mediana de A: 16; Mediana de B: 18.

Exerccio 5.22

A tabela seguinte registra a altura de um grupo de estudantes do Colgio Nossa Senhora daPiedade, pede-se calcular os valores da mdia, moda e mediana da seguinte srie:

Rol:1,22;1,26;1,36;1,41;1,44;1,45;1,49;1,49;1,51;1,51;1,52;1,54;1,55;1,55;1,58;1,58;1,59;1,59;1,60;1,60;1,62;1,63;1,66;1,66;1,71;1,74;1,81;1,85;1,87;1,88;1,89;1,90;1,91;1,91;1,93;1,95;1,95;1,97;1,99;1,99.

48

CLASSE Fi Fi% Faci Faci% Pto. Mdio1,22 |-1,3483 2 5 2 5 1,2841

1,3483 |-1,4766 4 10 6 15 4,82491,4766 |-1,6049 12 30 18 45 1,54071,6049 |-1,7332 7 17,5 25 62,5 1,66901,7332 |-1,8615 3 7,5 28 70 1,79731,8615 |-|1,99 12 30 40 100 1,9257

SS 40 100

Resposta :

Mdia:

X = 2x1,2841+4x4,8249+12x1,5407+7x1,6690+3x1,7973+12x1,9257 = 6,6592 40

Moda: 1,49; 1,51; 1,55; 1,58; 1,59; 1,60; 1,66; 1,91; 1,95.

Mediana: 1,60+1,62 =1,61. 2

Exerccio 5.23

Calcular a mdia harmnica e geomtrica das seguintes sries:

Srie A: 2, 4, 8.

Resposta :

Mg = 3 842 = 3 64 = 4.

Mh = 3 = 3,428

81

41

21

++

Srie B: 2, 3, 5 e 6.

Resposta :

Mg = 4 6532 = 4 180 = 26,832

Mh = 4 = 3,344

61

51

31

21

+++

Exerccio 5.24

Um homem viaja do Rio de Janeiro para So Paulo velocidade mdia de 40 Km/h e volta de SoPaulo para o Rio de Janeiro pelo mesmo caminho, velocidade mdia de 80 Km/h. Determinar avelocidade mdia para a viagem completa. Suponha que a distncia do Rio para So Paulo seja 80Km.Tempo para deslocar-se do Rio para So Paulo = 80 Km = 2h 40 Km/h

49

Tempo para deslocar-se de So Paulo para o Rio = 80 Km = 1h 80 Km/h

Velocidade mdia para a viagem completa = distncia total tempo total

Velocidade mdia para a viagem completa = 160 Km = 53,33 Km/h 3h

Resposta: a mdia harmnica :

Mh = 2 = 53,33

801

401

+

Exerccio 5.25

Os desvios tomados em relao mdia arbitrria X0 = 9, de um conjunto de nmeros so: { -3; -1;2; 0; 4; -2; 5; 1}. Qual ser a mdia aritmtica do conjunto?

75,043

86

815240213

===++-+++--

=X

Resposta: 9 + 0,75 = 9,75

Exerccio 5.26

Os dados a seguir, referem-se ao nmero de livros estudados por ms em uma determinada turmadurante 12 meses : 10; 9 ;8;5;5;3;5;5;6;7;9;11. Calcule a mdia, a mediana e a moda dessesdados:

Resposta:

A) mdia: 71284

==X ; B)Observando os dados ordenados, possvel notar que o valor 5 o que

mais se repete, logo a moda; C) mediana: (14/2) = 7

Exerccio 5.27

A tabela abaixo apresenta a distribuio das importaes de uma Empresa de plsticos. Pede-separa calcular a mdia; a moda e a mediana.

VOLUME IMPORTADO NMERO DE EMPRESAS PONTO. MDIO50000-60000 5 5500060000-70000 10 6500070000-80000 20 7500080000-90000 10 85000

90000-100000 5 95000 50

Resposta:

X = 7500; moda = classe 70000-80000; mediana = 75000

50

Exerccio