Introdução à-filosofia-matemática-russell

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Text of Introdução à-filosofia-matemática-russell

  1. 1. INTRODUO FILOSOFIA MATEMTICA
  2. 2. BERTRAND RUSSELL Introduo F i l o s o f i a Matemtica Edio e traduo de Augusto J. Franco de Oliveira (CEHFC/UE)
  3. 3. Direitos reservados para a traduo de Augusto J. Franco de Oliveira Composto em 5.0.2 Traduzido do original de Bertrand Russell Introduction to Mathematical Philosophy, Londres: George Allen & Unwin, 1919, por Augusto J. Franco de Oliveira Centro de Estudos de Histria e Filosofia da Cincia da Universidade de vora francoli@kqnet.pt 1. edio (provisria), Janeiro de 2006
  4. 4. NDICE Prefcio do Tradutor.............................................. 7 Prefcio do Autor.................................................10 Nota do editor...................................................... 11 I. A dos nmeros naturais..................13progresso II. Definio de nmero.......................................24 III. Finitude e induo matemtica....................... 33 IV. Definio de ordem.........................................41 V. Variedades de relaes....................................53 VI. Similaridade de relaes................................. 62 VII. Nmeros racionais, reais e complexos............72 VIII. Nmeros cardinais infinitos............................ 85 IX. Cadeias infinitas e ordinais............................. 96 X. Limites e continuidade..................................103 XI. Limites e continuidade de funes................112 XII. Escolhas e o axioma multiplicativo.............. 121 XIII. O axioma do infinito e os tipos lgicos........ 134 XIV. Incompatibilidade e teoria da deduo..........145 XV. Funes proposicionais.................................156 XVI. Descries.....................................................167 XVII. Classes.......................................................... 179 XVIII. Matemtica e lgica...................................... 191 ndice remissivo................................................. 203 Leituras recomendadas.......................................207
  5. 5. 7 PREFCIO DO TRADUTOR O livrinho cuja traduo s agora se apresenta ao pblico portu- gus meu conhecido de longa data. Russell e Einstein foram os meus heris de juventude, e os seus livros constituam um desafio para o jovem inquisitivo que os lia e tentava perceber. Einstein representava a nova Fsica, aquela Fsica revolucionria e marginal de que no se falava no ensino liceal. Russell era o grande filsofo e lgico social- mente empenhado. Naquelas partes das obras de Einstein e Russell que conseguia compreender, uma coisa era evidente: a grande clareza da exposio e a preocupao de escrever para um largo pblico. Isto era, em si mesmo, uma ideia subversiva, na medida em que o pensa- mento claro e o conhecimento cientfico e filosfico eram, a meu ver, elementos necessrios imprescindveis da luta pela libertao poltica e cultural dos povos. Continuo a pensar do mesmo modo. A oportunidade para voltar a ler este livrinho e retomar a traduo h muitos anos iniciada surgiu recentemente, por fora da anlise dos trabalhos de lgica de Edmundo Curvelo (1913-1954) de que me tenho ocupado ultimamente. So por demais evidentes as afinidades filosficas entre Curvelo e Russell, de um lado, e o movimento conhe- cido por Crculo de Viena, por outro.1 Russell um expoente da chamada corrente logicista na filosofia e fundamentos da matemtica, e este livro , entre outras coisas, uma contribuio popular para a compreenso desta corrente, dos seus objectivos e programa. Uma caracterstica essencial desta corrente a crena de que a matemtica (ou parte da matemtica) se pode reduzir lgica, e um instrumento tcnico desta reduo a teoria dos tipos que Russell desenvolveu em vrias publicaes, com especial relevncia para os trs volumes dos (1910-13) em parce-Principia Mathematica 1 Ver Cartas de Edmundo Curvelo a Joaquim de Carvalho (1947-1953) e outros inditos, com Introduo e edio por Augusto J. Franco de Oliveira, Centro de Filosofia das Cincias da Universidade de Lisboa, 2005. Sobre o logicismo na sua relao com o Crculo de Viena, e as razes do seu declnio, ver Friedrich Stadler, The Vienna Circle, Studies in the Origins, Development, and Influence of Logical Empiricism, Springer-Verlag, Viena, 2001, e Stewart Shapiro (editor), The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and logic, Oxford University Press, 2005.
  6. 6. 8 ria com Alfred North Whitehead. A teoria dos tipos sobrevive como sistema fundacional, mas quando este livro foi escrito comeava a tornar-se evidente que os fundamentos da teoria dos tipos no eram de natureza puramente lgica ( o caso, por exemplo, do axioma multi- plicativo, p. 126, do axioma do infinito, formulado logo no princpio do Cap. XIII, p. 134, e do axioma da redutibilidade, p. 188), o que desde logo compromete irremediavelmente a pretenso reducionista dos logicistas, mas no compromete aquela parte do programa cient- fico de reconstruo da matemtica que independente de considera- es sobre a natureza ora lgica ora matemtica das entidades e dos princpios bsicos.2 Mas o contedo deste livro em boa parte independente dos pressupostos logicistas, alm de valer como exposio elementar dos fundamentos do logicismo como projecto de reconstruo das mate- mticas e de alguns tpicos de lgica tradicional que Russell fez progredir significativamente (como a teoria das descries, Cap. XVI). Por outro lado, o livro realiza um ponto importante na concepo do autor sobre a filosofia matemtica: um modo matemtico de conceber a filosofia matemtica, demasiado tcnico ou exigente para alguns,da mas certeiro na pertinncia, j ento (ver Nota do Editor, adiante) e mais ainda na actualidade. Recentemente, num seminrio, um estu- dante de filosofia perguntava quais os conhecimentos bsicos, de matemtica e lgica moderna, necessrios para compreender as pol- micas e as correntes filosficas nos fundamentos da matemtica. Indi- quei serem necessrios, no mnimo, alguns conhecimentos da teoria dos conjuntos (intuitiva, e axiomtica) e de alguns dos resultados fundamentais (e suas demonstraes) da lgica matemtica no sculo XX, nomeadamente, dos metateoremas de Gdel (da completude semntica da lgica de 1. ordem, 1930, e da incompletude dos sistemas formais, 1931). Acrescento agora que este livrinho, apesar de algumas limitaes que comentarei mais adiante e em notas editoriais ao longo do texto, seria um comeo muito bom.3 Foram duas as preocupaes principais nesta traduo, que no foi fcil. Em primeiro lugar, tentar manter o mais possvel o estilo e a 2 Em boa verdade, o axioma do infinito e o axioma da escolha podem ser tratados como hipteses adicionais (antecedentes de implicaes) de cada teorema que deles depende, mas este artifcio no colhe para o axioma da redutibilidade. Sobre a filosofia da matemtica (logicismo) de Russell, em particular, ver Nicholas Griffin, The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge U.P., 2003. 3 Outras leituras recomendadas so indicadas na bibliografia final.
  7. 7. 9 clareza de exposio do autor. Isto significou resistir tentao de introduzir no texto smbolos e notaes que permitiriam abreviar si- gnificativamente algumas passagens, facilitando a leitura ao pblico com alguma formao matemtica, mas criando barreiras dificilmente transponveis pelos outros pblicos que o autor tinha em mente. necessrio saber que Russell teve a inteno de escrever para o grande pblico e respeitar essa inteno, pois talvez ningum mais do que ele seria capaz de pautar a exposio com o simbolismo mais feroz e omnipresente alguma vez visto (o simbolismo dos ). EmPrincipia 4 segundo lugar, actualizar alguma terminologia e complementar o texto com algumas explicaes que julgamos teis ou imprescindveis sua compreenso pelo leitor actual, e algumas indicaes bibliogrficas, em notas de rodap. Tambm aqui se resistiu modernizao5 per se, pois se verdade que existem muitos livros modernos e bem escritos sobre a teoria dos conjuntos, a lgica matemtica e a filosofia da mate- mtica, no menos verdade que continua a justificar-se a leitura do livro que Russell realmente escreveu, cujo sucesso editorial ao longo das muitas dcadas de sucessivas reimpresses, sem quaisquer altera- es, deve fazer reflectir os arautos da modernidade pela moderni- dade. AUGUSTO J. FRANCO DE OLIVEIRA Setembro de 2005 4 Russell diz na concluso do ltimo captulo que impossvel transmitir adequadamente as ideias contidas neste assunto enquanto nos abstivermos do uso de smbolos lgicos. Deve-se dizer, todavia, que houve progressos notveis, no sentido da simplificao na simbologia desde a poca em que o livro foi escrito e que, actualmente, alguma simbologia lgica no seria to repulsiva ao leitor moderno como seria a simbologia que Russell utilizaria se assim pretendesse. Isto explica por que razo no exclumos de algumas notas de rodap exemplos de simbolizao moderna de expresses da lgica elementar, e outras. No obstante ter sido necessrio modernizar alguma terminologia em diferentes captulos, resistimos a modificaes mais profun- das como as que seriam necessrias nos captulos VII, X e XI, por exemplo, para os colocar ao nvel do que de esperar hoje em dia de uma introduo s noes topolgicas (limites, continuidade) bsicas. Encontrar o equilbrio ideal nestas opes tem sido preocupao constante que perdurar para alm da publicao desta traduo. 5 Todas as palavras ou observaes inseridas no texto ou em notas de rodap do tradutor (a partir da prxima) so includas entre colchetes [...].
  8. 8. 10 PREFCIO DO AUTOR Este livro pretende ser uma Introduo e no visa apresentar uma discusso completa dos problemas que aborda. Pareceu apro- priado apresentar certos resultados, at agora somente ao alcance dos que j dominaram o simbolismo lgico, numa forma que oferea o mnimo de dificuldade ao principiante. Foi despendido um grande esforo para evitar o dogmatismo no tocante s questes ainda sujeitas a srias dvidas e tal disposio dominou, at certo ponto, a escolha dos assuntos considerados. As partes iniciais da lg