Introdução à Lógica Matemática

Predicados e Silogismos Categóricos

João Marques Salomão

Curso de Engenharia Elétrica

CEFET-ES

Introdução à Lógica Matemática - 2006/1 – p. 1/13

Silogismos Categóricos Argumentos estudados: simples e combinados com

conectivos para formar enunciados compostos.

A validade dependia da forma pela qual os enunciados compostos se apresentavam.

Um silogismo é um argumento em que uma conclusão é inferida a partir de duas premissas.

Ele é um argumento composto de três proposições (conjunto) categóricas contendo três predicados, cada um dos quais ocorrendo em duas das proposições constituintes. Exemplo:

– Todos os humanos são mortais– Sócrates é um humano (Sujeito: Sócrates; Predicado: humano)– Logo, Sócrates é mortalÉ claramente válido, mas a validade não depende da forma como os

enunciados simples se compõem, uma vez que, neste argumento, não há enunciados compostos.

Silogismos Categóricos X Predicados

No Cálculo de Predicados, estamos interessados em examinar a validade de argumentos, isto é, em que condições uma afirmação se dá logicamente de fatos conhecidos.

Os argumentos aqui são, mais complexos que no Cálculo Proposicional, devido a presença de quantificadores e variáveis.

O silogismo categórico forma uma classe de argumentos, no Cálculo de Predicados, na qual as provas de validade e invalidade são extremamente simples.

Em lógica simbólica: “Sócrates é humano”, representamos o predicado por sua inicial maiúscula, e o sujeito a seguir, entre parênteses, isto é:H (Sócrates).

Predicados x Lógica Simbólica Em Lógica Simbólica, há termos que ocupam o lugar de nomes;

são chamados variáveis, e são representados, pelas últimas letras do alfabeto, em minúsculas: x, y, w, z, etc.

Assim, em “ele foi presidente do Brasil”, utilizando a variável x no lugar de “ele”, a sentença assume a forma “x foi presidente do Brasil”.

Em Lógica Simbólica, representando o predicado “foi presidente do Brasil” por P, e levando em conta que x é sujeito, teríamos a representação;P(x) ou, para simplificar PxConclusão: Em Lógica, portanto, um enunciado singular fica simbolizado pelo predicado, representado por uma letra maiúscula, seguido pelo sujeito, uma constante entre parênteses ou uma variável.

Sentença fechada x sentença aberta Frases na qual o sujeito é uma constante, como “Sócrates é

humano” (sentença fechada), pode ser verdadeira ou falsa;

Se o sujeito for uma variável, como em “ele foi presidente do Brasil” (sentença aberta), ela não é verdadeira nem falsa, dependendo do nome que assuma o lugar do pronome (variável).

As sentenças abertas não são verdadeiras nem falsas; podemos dizer apenas que são satisfeitas para certos valores das variáveis, e não satisfeitas para outros.

O universo (U) de uma variável é o conjunto de valores que ela pode assumir.

O Conjunto-Verdade (VP) de um aberto Px é o conjunto de elementos do Universo que, quando instanciam a variável, satisfazem (tornam verdadeiro) o enunciado, ou seja: VP= { a U | VL [ P (a) ] = V;Por exemplo, seja U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } e a expressão “x é primo” representada por Px. Temos então VP = { 2, 3, 5, 7 }.

Predicados e Variáveis. Os predicados podem ser monádicos (de um só termo), ou relações:

diádicos (de dois termos), triádicos (de três termos) ou poliádicos (de quatro ou mais termos).

Exemplos de relações e uma sugestão de forma simbólica:– x gosta de y Gxy– João é casado com Maria C(João, Maria)– x está entre y e z Exyz– Camões é o autor de Os Lusíadas A (Camões, Os

Lusíadas) A ordem das variáveis é importante; no exemplo Gxy, significa que

“x gosta de y” mas não que “y gosta de x”.

Relações com duas variáveis, têm Conjunto Universo constituído pelo produto cartesiano dos Universos das variáveis e o Conjunto-Verdade é constituído pelos pares ordenados dos valores que satisfazem a relação.

Exemplo: considere o aberto Mxy representando “x é metade de y”, onde Ux = {1, 2, 3} e Uy = { 4, 5 , 6 }. Então VM = { (2, 4 ), (3, 6 ) }.

Operações Lógicas No Cálculo de Predicados podemos definir as operações de

conjunção, disjunção, negação, condicional e bicondicional, sobre sentenças fechadas e/ou abertas.

Operações de conjunção, disjunção e negação:

1 - em, “x é médico”, Mx, e “x é professor”, Px; então em “x é médico e professor” teremos Mx Px.

Neste caso, sendo U o conjunto Universo de x; então os valores de U que satisfazem Mx Px devem satisfazer simultaneamente Mx e Px; logo,

2- “x é médico ou professor” Mx Px. É satisfeito por todos os elementos que são médicos e por todos que são professores; portanto,

3 - Na operação de negação, “x não é médico” ~Mx, e seu Conjunto- Verdade será dado por todos os elementos do Universo que não satisfazem Mx, isto é, o complemento de

Operações Lógicas Condicionais

4 - em “se x trabalha, então x fica cansado”, ou Tx Cx. Seu

Conjunto-Verdade é constituído por duas classes de elementos: pelos que trabalham e ficam cansados e pelos que não trabalham:

5 – Em “x trabalha se e somente se ganha dinheiro”; ou Tx Cx. O conjunto de elementos que satisfazem a essa expressão é constituído pela união entre os conjuntos daqueles que trabalham e ganham dinheiro e daqueles que não trabalham e não ganham dinheiro; assim,

Operações Lógicas e Predicados

Quantificadores e Predicados Dado uma sentença aberta Px em um universo U,

pode ocorrer:

No primeiro caso, “para todo x em U, Px é verdadeiro”, ou simbolicamente: ou

No segundo caso, “existe pelo menos um x em U, tal que Px é verdadeiro”: ou

Exemplos: “todos são alunos”: “ Nem todos são alunos”: “Existe alguém que não é aluno”: Logo, as duas expressões acima são equivalentes.

Leis de De Morgan

Dessas eqüivalências, para mostrar que uma expressão do tipo "x Px é falsa, basta mostrar que sua negação x Px é verdadeira, ou seja, exibir um elemento k tal que Pk seja falsa.

A negação de enunciados com mais de um quantificador pode ser obtido pela aplicação sucessiva das leis de De Morgan:

Escopo de um quantificador

É a parte da frase sobre a qual ele atua; em geral o escopo de um quantificador é indicado pelos parênteses que o seguem. Exemplos:

Construção de formas simbólicas:A. Expressões com um quantificador e predicados monádicos:

1 - Todos são sábios (Sx - x é sábio) ou “para todo x, x é sábio”:

2 - Os morcegos são mamíferos (Cx - x é morcego; Mx - x é um mamífero) ou “para todo x, se x é um morcego, x é um mamífero”:

Construção de formas simbólicas

B. Expressões com mais de um quantificador e predicados monádicos;

Se existem marcianos, existem não terráqueos (Mx - x é marciano; Tx - x é terráqueo) ou “se existe x tal que x seja marciano, então existe y tal que y não é terráqueo”:

Existem políticos honestos e desonestos (Px - x é político; Hx - x é honesto) ou “existe x tal que x é político e x é honesto, e existe y tal que y é político e y não é honesto”:

Construção de formas simbólicas

C. Expressões com relações João é casado com alguém (Cxy - x é casado com y) ou “existe

x tal que João é casado com x”

Todas as pessoas têm pai (Px - x é uma pessoa; Fxy - x é pai de y) ou “para todo x, se x é uma pessoa, existe y tal que y é pai de x”

Existe um ancestral comum a todas as pessoas (Px - x é uma pessoa; Axy - x é ancestral de y)”ou “existe um x tal que para todo y, se y é uma pessoa, x é ancestral de y”:

Proposições categóricas

Chamamos de proposições categóricas afirmações sobre conjuntos (ou classes, ou categorias) de elementos, afirmando ou negando que uma classe esteja contida na outra, no todo ou em parte.

Há quatro formas típicas de proposições categóricas que recebem os nomes, em Lógica Formal de A, E, I, e O, em referência as palavras “AFFIRMO E NEGO” do Latim.

As formas A e I são ditas formas Afirmativas, e as formas E e O, Negativas. Exemplos:

1 - Todo gato é um felino (A) 2 - Nenhum político é desonesto (E) 3 - Alguns felinos são ferozes (I) 4 - Alguns políticos não são desonestos (O)

Formas categóricas típicas

A primeira forma típica é chamada Proposição Universal Afirmativa e tem a forma geral: Todo S é P, indicando que todos os elementos da classe S estão contidos na classe P.

Sua forma simbólica é: x (Sx Px).Ex: Todo gato é um felino (A)

A segunda é chamada Proposição Universal Negativa; tem a forma geral: Nenhum S é P, e indica que as classes S e P não possuem elementos comuns.

Sua forma simbólica é: x (Sx ~Px) Ex: Nenhum político é desonesto (E)

Formas categóricas típicas

A terceira proposição é chamada Proposição Particular Afirmativa; tem a forma geral: Algum S é P, indicando que alguns membros da classe S pertencem também à classe P.

Sua forma simbólica é: x (Sx Px) Ex: Alguns felinos são ferozes (I)

A quarta e última proposição categórica típica é chamada Proposição Particular Negativa; tem a forma geral: Algum S não é P, indicando que há elementos de S que não estão contidos em P.

Sua forma simbólica é : x (Sx ~Px).Ex: Alguns políticos não são desonestos (O)

Formas típicas x Silogismo

Um silogismo categórico é da forma típica quando suas premissas e sua conclusão são todas proposições categóricas de forma típica (está de acordo com A, I, E, ou O).

Exemplos de silogismos categóricos de forma típica: 1. Todos os artistas são vaidosos. Alguns artistas são pobres.

Logo, todos os pobres são vaidosos.

2. Alguns políticos são honestos. Nenhum estudante é político

Logo, nenhum estudante é honesto. Nota: Nem todas a proposições são de forma típica, ou podem

ser escritas nessa forma. Dado um argumento que não estejam na forma típica, é

necessário reduzir suas proposições à forma típica, para colocá-lo na forma de silogismo categórico típico.

Sugestões para redução

1. Proposições singulares como “Sócrates é humano”, “Rex é feroz”, “esse carro não tem gasolina” podem ser facilmente escritas na forma Universal Afirmativa ou Negativa. Exemplos:

– Todas as coisas que são Sócrates, são humanas. – Todas as coisas que são Rex, são ferozes. – Todas os coisas que são esse carro, são coisas que não têm

gasolina.

2. Algumas proposições cujo verbo principal não é uma forma do verbo “ser” podem ser reescritas na forma típica:

– “Todos os homens ambicionam o poder” por “Todos os homens são ambiciosos de poder”

– “Alguns homens bebem” por “Alguns homens são bebedores” – “Um morcego entrou pela janela” por “Alguns morcegos são

coisas que entraram pela janela” - “Um elefante fugiu” por “Alguns elefantes são objetos que

fugiram” .

Sugestões para redução

3. Proposições que envolvendo termos “somente”, “apenas”, ou “ninguém senão” costumam ser “exclusivas” porque o predicado se aplica exclusivamente ao sujeito nomeado:

– “Ninguém, senão os corajosos, merece medalha” por “Todos os que merecem medalha são os corajosos”

4. Proposições que não contendo palavras que indique o quantificador; nesse caso, examina-se o contexto, embora, normalmente, a quantificação seja universal. Por exemplo:

– “As crianças estão presentes” provavelmente quer dizer que “todas as crianças estão presentes”.

5. Algumas proposições são ditas “exceptivas”, pois explicitam algum tipo de exceção:

– “Quase todos os estudantes estavam na festa” eqüivale a “Alguns estudantes estavam na festa e alguns estudantes não estavam na festa ”

Silogismo categórico X Diagramas de Venn.

As proposições categóricas podem ser representadas graficamente através de um Diagramas de Venn.

Nos diagramas de Venn, cada classe é representada por um círculo, rotulada com o nome da classe.

– Para representar uma proposição afirmando que a classe NÃO possui elementos, SOMBREAMOS o interior do círculo;

– Para indicar que a classe POSSUI pelo menos um elemento, incluímos um X no interior do círculo.

– Para diagramar uma proposição categórica, necessitamos de dois círculos, pois uma proposição categórica faz referência a duas classes.

Uma proposição referenciando 2 predicados S e P, é representada por dois círculos que se interceptam, chamados S e P.

S P

Diagramas de Venn x Formas típicas Para a Proposição Universal Afirmativa (A): “Todo S é P”,

x (Sx Px) temos o 1o diagrama;

A Proposição Universal Negativa (E), “Nenhum S é P”, ou, simbolicamente, x (Sx ~Px), pelo 2o;

A Proposição Particular Afirmativa (I), “Algum S é P”, ou x (Sx Px), é representada pelo 3o diagrama abaixo;

O último diagrama representa a quarta forma, a Proposição Particular Negativa (O), “Algum S não é P”, cuja forma simbólica é x (Sx ~Px) ,

A E I O

Prova da validade de Silogismos

A prova da validade ou a invalidade de um silogismo categórico, utilizando os diagramas de Venn é feita representando-se ambas as premissas em um único diagrama;

São requeridos três círculos interceptando-se, pois as duas premissas do silogismo têm 3 três classes.

Se a afirmação na conclusão ficar também diagramado, então o silogismo é válido; caso contrário, será inválido. Ver página 55/56/57 da apostila.

Exemplos da validade de Silogismos

1 - Todos os humanos são mortais. Sócrates é humano. Logo, Sócrates é mortal.

Sol: Fazendo “humano”, “mortal” e “Sócrates” ser H, M e S e fazendo “Sócrates é humano” igual a “Todo Sócrates é humano”, isto é, na forma Todo S é H, vem:

A única parte da classe S que não é vaziaestá incluída na classe M, afirmando que Todo S é M, isto é, Sócrates é mortal, indicando que o argumento é válido.

Ver página 55/56/57 da apostila.

Exemplos da validade de Silogismos

2 - Todos os cães são ferozes Alguns gatos são ferozes Logo, alguns gatos são cães

Sol: Representando “cães”, “ferozes”, e “gatos” respectivamente por C, F e G, temos o seguinte diagrama:

Para representar a segunda premissa, “alguns gatos são ferozes”, devemos incluir um X na interseção entre G e F. A interseção tem duas regiões, uma interna a C e outra externa, e nada nos obriga a inserir o X dentro de C. Inserindo X na região externa à C, deixamos claro que é possível atender às duas premissas sem atender à conclusão. Logo, o argumento é inválido.

Exemplos da validade de Silogismos

3 - Tigres são animais ferozesAlguns tigres vivem na ÍndiaLogo, alguns animais ferozes vivem na Índia

Sol: Representando T para “tigres”, F para “animais ferozes”, e I para “vivem na Índia”; a primeira premissa é da forma Todo T é F, e a segunda, Algum T é I; representando as duas premissas, vem:

A única possibilidade para incluir o X na interseção de T e I é incluí-lo também em F, o que representa “Algum F é I”, que é o que afirma a conclusão, mostrando a validade do silogismo.

FIM