Introdução à Robótica

Introdução à RobóticaIntrodução à RobóticaPROF. ANDRÉ LUÍS MARQUES MARCATO

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Aula Número: 03CinemáticaCinemática

Composição de Matrizes de RotaçãoÂngulos de EulerTransformação Homogênea

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Curso de “Introdução à Robótica” – Aula Número: 03 – Prof. André Marcato

Composição de Matrizes de Rotação(1)

• Para derivar as regras de composição de matrizes de rotação, é importante considerar a expressão de um vetor em três frames diferentes com origem comum O: Frame O-x0y0z0

Frame O-x1y1z1

Frame O-x2y2z2

• O vetor p descrevendo a posição de um ponto qualquer no espaço pode ser expresso em cada um dos frames acima por p0, p1, p2.



• Qual é a relação entre a expressão p2 do vetor p relativa ao frame 2 e a expressão p1 do vetor p relativa ao frame 1??

• Analogamente: Denota a matriz de rotação R do Frame i em relação ao Frame j21

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0 pRRp



• Esta relação pode ser interpretada como uma composição de rotações sucessivas.

• Considere um frame inicialmente alinhado com o frame O-x0y0z0. A rotação expressa por R2

0 pode ser obtida em dois passos:1. Primeiro rotacione a frame dada de acordo com R1

0, o que a alinhará com o frame O-x1y1z1.

2. Então, rotacione a frame, agora alinhada com O-x1y1z1, de acordo com R21

fazendo com que fica alinhada com O-x2y2z2



• Observe que toda rotação pode ser expressa como uma seqüência de rotações parciais. Cada rotação é definida em relação a sua precedente.

• Frame corrente: Frame em relação a qual a rotação será realizada.

• Propriedade:


Sucessivas Rotação de Um Objeto Sobre o Frame Corrente (1)


Sucessivas Rotação de Um Objeto Sobre o Frame Corrente (2)


Rotações Sucessivas de um Objeto em Torno de um Frame Fixo (1)


Rotações Sucessivas de um Objeto em Torno de um Frame Fixo (2)



• Rotações sucessivas também podem ser constantemente referenciadas ao frame inicial.

• Neste caso as rotações são feitas em relação a um frame fixo.

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Matriz de rotação do frame O-x1y1z1 em relação ao frame fixo O-x0y0z0

Matriz de rotação caracterizando o frame O-x2y2z2 em relação ao frame O-x0y0z0, a qual é obtida como uma rotação do frame 1 de acordo com a matriz



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• Considerando a regra de composição de matrizes através de transformações no frame corrente, a rotação total pode ser calculada através dos seguintes passos:1. Primeiro, realinhe o Frame 1 com o Frame 0 através da

rotação R01

2. Então, faça a rotação expressa por ___ em relação ao frame corrente.

3. Finalmente, compense a rotação de realinhamento do passo 1 através da rotação inversa ____.


Ângulos de Euler (1)

• As matrizes de rotação fornecem uma descrição redundante da orientação do frame. R é composta por nove elementos (matriz 3x3) que não são independentes, mas relacionados por 6 restrições devido as condições de ortogonalidade.

Isto implica que três parâmetros são suficientes para descrever a orientação de

um corpo rígido no espaço.



• A representação da orientação através de três parâmetros independentes constitui a chamada representação mínimarepresentação mínima.

• De fato, a representação mínima no espaço ortonormal requer m(m-1)/2 parâmetros. SO(3): 3 parâmetros SO(2): 1 parâmetro



• Uma representação mínima de orientação pode ser obtida através da utilização de um conjunto de três ângulos:

ZYX (Roll-Pitch-Yaw Angles)ZYX (Roll-Pitch-Yaw Angles)roll (balanceio – )

pitch (empinamento – )yaw (cabeceio – )

• Considerando uma matriz de rotação expressando uma rotação elementar em torno de um eixo. Então, uma matriz de rotação genérica pode ser obtida pela composição de três rotações elementares seguidas, tomando o cuidado de não permitir duas rotações consecutivas em torno do mesmo eixo.

• 27 combinações total. 12 possíveis (descontando-se rotações consecutivas no mesmo eixo).

• CADA CONJUNTO REPRESENTA UMA TRIPLA DE ÂNGULOS DE EULER.• Dois conjuntos serão analisados: ZYZ e ZYX


Ângulos ZYZ

• É obtida pela composição das seguintes rotações elementares1. Rotação do frame de referência pelo ângulo em torno do eixo z; esta

rotação é descrita pela matriz ____.2. Rotação do frame corrente pelo ângulo em torno do eixo y’; esta

rotação é descrita pela matriz ____.3. Rotação do frame corrente pelo ângulo em torno do eixo z’’; esta

rotação é descrita pela matriz _____.

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Ângulos ZYZ – Problema Inverso

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tan

cs

scss

tan122222222

cs

cs

cscs

csssc

tan

cs

csss


Ângulos RPY (Roll, Pitch e Yaw)• É obtido através da rotação em relação a um frame fixo

anexado ao centro de massa do corpo.1. Rotação do frame de referência pelo ângulo em torno do eixo x

(yaw ou cabeceio); esta rotação é descrita pela matriz ____.2. Rotação do frame de referência pelo ângulo em torno do eixo y

(pitch ou empinamento); esta rotação é descrita pela matriz ____.3. Rotação do frame de referência pelo ângulo em torno do eixo z

(roll ou balanceio); esta rotação é descrita pela matriz _____.


Ângulos RPY (Problema Inverso)

A seqüência de rotações ordenadas XYZ em torno dos eixos de um frame fixo é equivalente à seqüência ZYX em

torno do frame corrente.


Ângulo e Eixo (1)

• Uma representação não mínima de orientação pode ser obtida com 4 parâmetros expressando a rotação de um dado ângulo em torno de um eixo no espaço. Seja o vetor unitário r de um eixo de rotação em relação ao frame de

referência: Ângulo de rotação em torno do eixo r:


Ângulo e Eixo (2)

• Primeiro alinhe r com z, através de uma seqüência de rotações – em torno de z e uma rotação – em torno de y.

• Rotacione por em torno de z.• Realinhe com a direção inicial r, com uma rotação em

torno de y e uma rotação em torno de z.


Ângulo e Eixo (3)

Duas representações diferentes levam a mesma matriz de rotação.


Ângulo e Eixo (Problema Inverso)


Quartenion Unitário (Unit Quaternion)

Parte Escalar do Parte Escalar do QuartenionQuartenion

Parte Vetorial do Parte Vetorial do QuartenionQuartenion


Quartenion Unitário (2)


Quarternion Unitário (3)


Transformações Homogêneas (1)

• Posicionamento de um corpo rígido no espaço: TranslaçãoTranslação: Posição de um determinado ponto do corpo rígido em

relação ao frame de referência. OrientaçãoOrientação: Componentes dos vetores unitários do frame anexado

ao corpo rígido (origem) em relação ao frame de referência.



• Considere um ponto P arbitrário no espaço p0 é o vetor com as coordenadas P em relação ao frame O0-x0y0z0,

o10 é o vetor descrevendo a origem do Frame 1 em relação ao

Frame 0. R1

0 é a matriz de rotação do Frame 1 em relação ao Frame 0. p1 é o vetor com as coordenadas P em relação ao frame O1-x1y1z1,





• Como a operação de translação não é linear, é adicionada uma coordenada extra em cada vetor:

• Com isto, a transformação de coordenadas pode ser através de uma matriz 4x4.



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