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Introdução à Simulação Estocástica usando R
Hélio Lopes
Departamento de Informática – PUC-Rio
Parte IV - Processos Estocásticos
Processos Estocásticos
Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias{X (t), t œ T} definidas em um espaço de probabilidade, indexadopor um parâmetro t, onde t varia no conjunto T .
Processos Estocásticos
Lembre que uma v.a é uma função definida num espaço amostral S.Então, o processo estocástico {X (t), t œ T} é uma função de doisargumentos {X (t, Ê), t œ T , Ê œ S}.Para um t = t
0
fixo, X (t0
, Ê) = X
t
0
(Ê) é uma v.a. denotada porX (t
0
) já que Ê varia no espaço amostral S.
Processos Estocásticos
Por outro lado, fixando Ê = Ê0
, X (t, Ê0
) = XÊ0
(t) é uma funçãoque só depende de t, e é chamada de uma realização do processo.É claro que se t e Ê são fixos, X (t, Ê) é um número real. Parafacilitar a notação, X (t) será usado daqui por diante para denotarum processo estocástico.
Processos Estocásticos
I O conjunto T é chamado de espaço de parâmetro. Osvalores assumidos por X (t) são chamados de estados, e oconjunto de todos os possíveis estados é chamado de espaço
de estados do processo estocástico e é denotado por E .I Se o conjunto T é discreto, então o processo estocástico é dito
ser de tempo discreto, nesse caso ele também pode serchamado de uma sequência aleatória.
I Se T é contínuo, então o processo é dito ser de tempo
contínuo.
Processos Estocásticos
I Se E é discreto, então o processo é dito ser um processo deestados discretos, e pode ser chamado também de umacadeia.
I Se E é contínuo, então o processo é dito ser de epaço
contínuo.
Caracterização
Considere um processo estocástico X (t). Para um tempo fixo t
1
,X (t
1
) = X
1
é uma v.a. e a sua função de distribuição acumuladaF
X
(x1
; t1
) é definida por:
F
X
(x1
; t1
) = P[X (t1
) Æ x
1
].
F
X
(x1
; t1
) é conhecida como a distribuição de primeira ordem deX (t).
Caracterização
De forma semelhante, para dois tempos fixos t
1
e t
2
define-se comoa distribuição de segunda ordem de X (t) por:
F
x
(x1
, x
2
; t1
, t
2
) = P[X (t1
) Æ x
1
, X (t2
) Æ x
2
].
Caracterização
E de forma geral, a distribuição de n-ésima ordem de X (t) é dadapor:
F
x
(x1
, . . . , x
n
; t1
, . . . , t
n
) = Pr [X (t1
) Æ x
1
, . . . , X (tn
) Æ x
n
].
Para um caracterização completa do processo estocástico X (t) épreciso saber as distribuições de todas as ordens (n æ Œ).
Média, Correlação e Covariância
A média de X (t) é definida por
µX
(t) = E [X (t)],
onde X (t) évista como uma v.a. para um t fixo. Em geral, µX
(t) éuma função do tempo.A medida de dependência entre as v.a.’s de X (t) é dada pelafunção de autocorrelação
R
X
(t, s) = E [X (t)X (s)].
Note que R
X
(t, s) = R
X
(s, t) e que R
X
(t, t) = E [(X (t))2].
Média, Correlação e Covariância
A função de autocovariância de X (T ) é definida por:
K
X
(t, s) = Cov [X (t), X (s)] = E [(X (t) ≠ µX
(t))(X (s) ≠ µX
(s))].
É fácil provar que K
X
(t, s) = R
X
(t, s) ≠ µX
(t)µX
(s). Se a médiade X (t) é zero para qualquer t, então K
X
(t, s) = R
X
(t, s).A variância de X (t) é dada por:
‡2
X
(t) = Var [X (t)] = E [(X (t) ≠ µX
(t))2] = K
X
(t, t).
Classificação: Processos estacionários
Um processo X (t) é dito ser estacionário se para todo n e paraqualquer conjunto de instantes de tempo {t
i
œ T , i = 1, 2, . . . , n},tem-se que:
F
X
(x1
, . . . , x
n
; t1
, . . . , t
n
) = F
X
(x1
, . . . , x
n
; t1
+ ·, . . . , t
n
+ ·),
para qualquer valor de · .
Classificação: Processos estacionários
Portanto, a distribuição do proceso X (t) não é afetada por umatranslação na origem do tempo.Em particular, X (t) e X (t + ·) tem a mesma distribuição paraqualquer valor de · .Assim, pode-se dizer que F
X
(x , t) = F
X
(x , t + ·) = F
X
(x). Nessecaso, µ
X
(t) = µ e Var [X (t)] = ‡2, onde µ e ‡ são constantes.
Classificação: Processos independentes
Dado um processo X (t). Se X (ti
) para i = 1, 2, . . . , n s~ao v.a.’sindependentes, de tal forma que
F
X
(x1
, . . . , x
n
; t1
, . . . , t
n
) = ⇧n
i=1
F
X
(xi
; ti
),
então chamamos X (t) de um processo independente.
Classificação: Processos com incrementos independentes
Um processo {X (t), t Ø 0} é dito ter incrementos independentes
se para quaisquer n instantes de tempos 0 < t
1
< t
2
< . . . < t
n
,tem-se que:
X (0), X (t1
) ≠ X (0), X (t2
) ≠ X (t1
), . . . , X (tn
) ≠ X (tn≠1
)
são v.a.’s independentes.
Processos com incrementos independentes e estaconários
Se {X (t), t Ø 0} tem incrementos independentes e X (t) ≠ X (s)tem a mesma distribuição que X (t + h) ≠ X (s + h) para todo s, t,h Ø 0, s < t, então o processo é dito ter incrementos
independentes e estacionários.Se {X (t), t Ø 0} possui incrementos independentes e estacionáriose X (0) = 0, então E [X (t)] = µ
1
t e Var [X (t)] = ‡2
1
t, ondeµ
1
= E [X (1)] e ‡1
= Var [X (1)].Os processos de Poisson e de Weiner, que serão apresentados aseguir, são dois exemplos de processos com incrementosindependentes e estacionários.
Processos de Poisson
Considere que t é uma variável que representa o tempo. Suponhaque um experimento começa em t = 0. Eventos de um determinadotipo ocorrem aleatoriamente, o primeiro em T
1
, o segundo em T
2
eassim por diante. A v.a. T
i
denota o tempo em que o i-ésimoevento ocorre. Os valores t
i
assumidos pelas realizações de T
i
sãochamados de tempos de ocorrência.
Processos de Poisson
Seja Z
i
= T
i
≠ T
i≠1
e T
0
= 0. Então Z
n
denota o tempo entre osn ≠ 1 primeiros eventos e o n-ésimo evento. A sequência ordenadade v.a. {Z
n
; n Ø 1} é muitas vezes denominada de processo de
intervalos de ocorrência (interarrival process).Se todas as v.a.’s Z
n
são independentes e idênticamente distribuídas,então {Z
n
; n Ø 1} é chamado de processo de renovação. Valelembrar que T
n
= Z
1
+ Z
2
+ · · · + Z
n
. O processo {T
n
; n Ø 1} échamado de processo de ocorrência.
Processos de Poisson
Um processo estocástico {X (t); t Ø 0} é chamado de processo de
contagem se X (t) representa o número de eventos total ocorridosno intervalo (0, t). Esse processo deve satisfazer as seguintespropriedades:
1. X (t) Ø 0 e X (0) = 0.2. X (t) é um número inteiro.3. X (s) Æ X (t) se s < t.4. X (t) ≠ X (s) é igual ao número de eventos que ocorreram no
intervalo (s, t).
Processos de Poisson
Um processo de contagem X (t) é dito ter incrementosindependentes se o número de eventos ocorridos em intervalos detempo disjuntos são independentes. Um processo de contagem X (t)é dito ter incrementos estacionários se o número de eventos nointerval (s + h, t + h) tem a mesma distribuição do número deeventos (s, t), para todo s < t e h > 0.
Processos de Poisson
Um processo de contagem X (t) é dito ser um processo de
Poisson homogêneo com intensidade ⁄ > 0 se:
1. X (0) = 0.2. X (t) tem incrementos estacionários independentes.3. lim
hæ0
P[X(t+h)≠X(t)=1]h
= ⁄.4. lim
hæ0
P[X(t+h)≠X(t)Ø2]h
= 0.
Processos de Poisson
Num processo de Poisson homogêneo, tem-se que E [X (t)] = ⁄t eVar [X (t)] = ⁄t. Portanto, o valor esperado do número de eventosno intervalo unitário (0, 1), ou qualquer outro de tamanho unitário,é igual a ⁄.
Processos de Poisson
Outra propriedade muito importante éque os tamanhos dosintervalos de tempos {Z
n
; n Ø 1} de um processo de Poissonhomogêneo X (t) com intensidade ⁄ são v.a.’s Exponenciais comtaxa ⁄ independentes entre si.Por fim, o número de eventos que ocorrem em um intervalo detamanho t num processo de Poisson é uma v.a. discreta de Poissoncom taxa ⁄ · t.
Processos de Poisson
Um processo de contagem X (t) é dito ser um processo de
Poisson não-homogêneo com função intensidade ⁄(t) > 0 se:
1. X (0) = 0.2. X (t) tem incrementos independentes.3. lim
hæ0
P[X(t+h)≠X(t)=1]h
= ⁄(t).4. lim
hæ0
P[X(t+h)≠X(t)Ø2]h
= 0.
No processo de Poisson não-homogêneo, vale dizer queX (t + h) ≠ X (t) é uma variável aleatória discreta de Poisson commédia m(t + h) ≠ m(t), onde
m(t) =⁄
t
0
⁄(s)ds, para t Ø 0.
Processos de Weiner
Um processo de Wiener (também chamado de movimento
browniano) W (t) é caracterizado por três propriedades:
1. W (0) = 0.2. A função t ‘æ W (t) é "almost surely" contínua em todos os
pontos.3. W (t) tem incrementos independentes com
W (t) ≠ W (s) ≥ N(0, t ≠ s) (para 0 Æ s < t).4. Se 0 Æ s
1
< t
1
Æ s
2
< t
2
então W (t1
) ≠ W (s1
) eW (t
2
) ≠ W (s2
) são v.a. independentes, e essa condição valetambém para n incrementos.