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INTRODUÇÃO AO ASSUNTO PESQUISA OPERACIONAL

O que é Pesquisa Operacional?

Denomina-se Management Sciences (Ciência de Negócios) a área de estudos que utiliza

computadores, estatística e matemática para resolver problemas de negócios. Entre os problemas

comuns do dia-a-dia empresarial, a pesquisa operacional pode ajudar nos seguintes problemas de

decisão:

Otimização de recursos;

Localização;

Roteirização;

Carteiras de Investimento;

Alocação de Pessoas;

Previsão e Planejamento.

O estudo nos leva a três objetivos:

1. Converter Dados em informações significativas transformar dados brutos

(números e fatos) em dados significativos, formar a base de dados e convertê-los em

modelos para resolução;

2. Apoiar o Processo de Tomada de Decisão de Formas Transferíveis e Independentes

dar suporte às decisões para que estas estejam independentes do decisor e

assegurar que o processo seja transparente e fundamentado.

3. Criar Sistemas Computacionais Úteis para Usuários Não-Técnicos facilitar

através de planilhas eletrônicas os processos de tomada de decisão operacional,

gerencial e estratégico.

OBJETIVOS GERAIS

Utilizar a matemática com o objetivo de obter argumentos lógicos para a tomada de decisões

estratégicas e táticas do cotidiano de uma empresa, auxiliando o gestor em problemas de alocação e

otimização de recursos, fatores preponderantes para eficiência, eficácia e efetividade.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Fazer o aluno compreender a importância da construção de argumentos lógicos, baseados

em modelos matemáticos, para a resolução de situações do cotidiano empresarial, seja de

planejamento bem como de problemas específicos. Por ser uma disciplina que requer a prática para

melhor compreensão, a resolução de sistemas lineares de equações, através dos diversos métodos,

discorrerá em conjunto com a análise de problemas e situações (formação da base de dados),

propostos através de exercícios, com o intuito de obter a formulação do "Modelo" para Pesquisa

Operacional (Área de estudo que utiliza a matemática aplicada à gestão de negócios), a resposta

final resultante e sua interpretação e análise. Desta forma a disciplina trabalhará com o aluno os

seguintes objetivos:

1. Auxiliar na identificação e gestão dos problemas de otimização/alocação de recursos;

2. Identificar flutuações e restrições inerentes a qualquer processo;

3. Transformar dados brutos (números e fatos) acumulados nos diversos processos em base de

dados gerenciais;

4. Criação de modelos matemáticos (Sistema de equações lineares) com a base de dados

formada no item anterior (Desenvolvimento do Modelo de Pesquisa Operacional);

5. Resolução do sistema de equações lineares (Modelo de Pesquisa Operacional criado),

através dos métodos:

Gráfico (resolução de problemas com duas variáveis);

Analítico (resolução de problemas com mais de duas variáveis);

Tabular/Simplex (resolução de problemas de "Forma Padrão", "Forma Não-Padrão e

com mais de duas variáveis);

Ferramenta Solver - Excel (resolução de problemas através da planilha eletrônica).

6. Interpretação dos resultados obtidos nas diversas resoluções a fim de criar o argumento

lógico do processo decisório do gestor.

MÉTODO GRÁFICO DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PESQUISA

OPERACIONAL

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO EXEMPLO N° 1

Função Objetivo: Maximizar Z = 4X1 + 3X2

Sujeito a:

1. X1 + 3X2 ≤ 7

2. 2X1 + 2X2 ≤ 8

3. X1 + X2 ≤ 3

4. X2 ≤ 2

X1 , X2 ≥ 0

1º Passo: “Para cada uma das equações (1, 2, 3 e 4) encontrar os dois pontos para encontrar a reta

da equação no gráfico”.

Equação nº 1 X1 + 3X2 ≤ 7

Se X2 = 0 , então: Se X1 = 0 , então:

7

7)0.(3

1

1

x

x

3,233333,2

37

7)0(

2

2

23

x

x

x

Pontos (7 , 0) e (0 , 2,3)

Equação nº 2 2X1 + 2X2 ≤ 8


4

28

8)0.(2

1

1

12

x

x

x

4

28

8)0.(2

2

2

22

x

x

x

Pontos (4 , 0) e (0 , 4)

Equação nº 3 X1 + X2 ≤ 3


3

3)0(

1

1

x

x

3

3)0(

2

2

x

x

Pontos (3 , 0) e (0 , 3)

Equação nº 4 X2 ≤ 2

Lembrando que, este tipo de equação na verdade é 0X1 + X2 ≤ 2

Que significa dizer que para qualquer valor que X1 assuma, X2 sempre será = 2

Desta forma a reta desta equação será paralela ao eixo X1 no plano cartesiano (gráfico).

Pontos (1,2) e (2,2) ou outro qualquer.

Note que o que acontece para esta reta onde X2 ≤ 2, aconteceria se tal fato fosse X1 ≤ 2 , sendo que

a reta resultante seria paralela ao eixo X2 no plano cartesiano (gráfico).

2º Passo: Montar o gráfico das retas 1, 2, 3 e 4.

3º Passo: Traçar o sentido de análise das retas de acordo com os sinais das restrições (sujeito a) 1,

2, 3 e 4 , e identificar a área de análise da solução do problema (Área de intersecção onde todas as

retas se encontram, ou seja as equações). Este local deve respeitar a todas as equações de restrição,

ou seja, todas as retas devem fazer parte do local. Caso uma não esteja dentro, o problema está sem

solução. Na prática nas empresas, tal fato indica que deverá ter uma alteração

Lembrando que:

≥ é buscar valores para X1 e X2 que crescem a partir da reta traçada e em análise;

≤ é buscar valores para X1 e X2 que diminuem a partir da reta traçada e em análise;

= é buscar valores para X1 e X2 que estão na reta traçada e em análise.

Esta restrição X1 , X2 ≥ 0 deve aparecer em todos os problemas de pesquisa operacional pois

sempre estamos buscando valores tanto para X1 , bem como para X2 , positivo ou zero, estes

localizados no primeiro quadrante do plano cartesiano.

Minimizar é buscar valores para X1 e X2 que quando aplicados na Função Objetivo “Z” se

obtenha o menor valor como resultado.

Maximizar é buscar valores para X1 e X2 que quando aplicados na Função Objetivo “Z” se

obtenha o maior valor como resultado.

Observação:

Como queremos maximizar “Z”, vamos buscar os valores para X1 e X2 nos extremos a maior da

figura formada, que contempla a solução para as quatro retas de restrição.

Ponto nº 1 X1 = 0 e X2 = 2 (substitui-se na função objetivo Z)

6

)2.(3)0.(4

Z

Z


7

)2.(3)1.(4

Z

Z


11

)1.(3)2.(4

Z

Z

Ponto nº 4 X1 = 2,5 e X2 = 0,5 (substitui-se na função objetivo Z)

5,11

)5,0.(3)5,2.(4

Z

Z


12

)0.(3)3.(4

Z

Z

Desta forma vemos que a melhor solução para Maximizar Z (maior) é o ponto nº 5.

Resposta X1 = 3 ; X2 = 0 ; Z =12


Função Objetivo: Minimizar Z = X1 + 2X2

Sujeito a:

1. X1 + X2 ≥ 1

2. -5X1 + 2X2 ≥ -10 ( x -1)

5X1 - 2X2 ≤ 10

3. 3X1 + 5X2 ≥ 15

X1 , X2 ≥ 0

1º Passo: “Para cada uma das equações (1, 2 e 3) encontrar os dois pontos para encontrar a reta da

equação no gráfico”.

Equação nº 1 X1 + X2 ≥ 1


1

1)0(

1

1

x

x

1

1)0(

2

2

x

x

Pontos (1 , 0) e (0 , 1)

Equação nº 2 5X1 - 2X2 ≤ 10


2

510

10)0.(2

1

1

15

x

x

x

5

210

10

)1(10

10)0.(5

2

2

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

Pontos (2 , 0) e (0 , -5)

Equação nº 3 3X1 + 5X2 ≥ 15


5

315

15

15)0.(5

1

1

1

1

3

3

x

x

x

x

3

515

15

15)0.(3

2

2

2

2

5

5

x

x

x

x

Pontos (5 , 0) e (0 , 3)

2º Passo: Montar o gráfico das retas 1, 2, 3 e 4.

3º Passo: Traçar o sentido de análise das retas de acordo com os sinais das restrições (sujeito a) 1, 2

e 3, e identificar a área de análise da solução do problema. Este local deve respeitar a todas as

equações de restrição, ou seja, todas as retas devem fazer parte do local. Caso uma não esteja

dentro, o problema está sem solução. Na prática nas empresas, tal fato indica que deverá ter uma

alteração.

Lembrando que:











Observação:

Como queremos minimizar “Z”, vamos buscar os valores para X1 e X2 nos extremos a menor em

direção ao ponto (0,0) do plano cartesiano, área que contempla a solução para as três retas de

restrição.


6

)3.(2)0(

Z

Z


5,5

)5,1.(2)5,2(

Z

Z


48,5

)45,1.(2)58,2(

Z

Z

Ponto nº 4 X1 = 3 e X2 = 2,5 (substitui-se na função objetivo Z)

8

)5,2.(2)3(

Z

Z

Desta forma vemos que a melhor solução para minimizar Z (menor) é o ponto nº 3.

Resposta X1 = 2,58 ; X2 = 1,45 ; Z =5,58


Função Objetivo: Minimizar Z = X1 + 3X2

Sujeito a:

1. 4X1 + X2 ≥ 30

2. 10X1 + 2X2 ≤ 10

X1 , X2 ≥ 0



Equação nº 1 4X1 + X2 ≥ 30


215

430

30)0(4

11

1

xx

x

30

30)0(4

2

2

x

x

Pontos (15/2 , 0) e (0 , 30)

Equação nº 2 10X1 + 2X2 ≤ 10


1

1010

10)0.(2

1

1

110

x

x

x

5

210

10)0.(10

1

2

22

x

x

x

Pontos (1 , 0) e (0 , 5)

2º Passo: Montar o gráfico das retas 1 e 2.

3º Passo: Traçar o sentido de análise das retas de acordo com os sinais das restrições (sujeito a) 1 e

2, e identificar a área de análise da solução do problema. Este local deve respeitar a todas as



alteração.

Lembrando que:











EXERCÍCIO EXEMPLO N° 4

A empresa de logística Deixa Comigo S/A tem duas frotas de caminhões para realizar transportes

de cargas para terceiros. A primeira frota é composta por caminhões médios e a segunda por

caminhões gigantes, ambas com condições especiais para transportar sementes e grãos prontos para

o consumo, como arroz e feijão. A primeira frota tem uma capacidade de peso de 70.000

quilogramas e um limite de volume de 30.000 metros cúbicos, enquanto a segunda pode transportar

até 90.000 quilogramas e acomodar 40.000 metros cúbicos de volume. O próximo contrato de

transporte refere-se a uma entrega de 100.000 quilogramas de sementes e 85.000 quilogramas de

grãos, sendo que a Deixa Comigo S/A pode aceitar levar tudo ou somente uma parte da carga,

deixando o restante para outra transportadora entregar. O volume ocupado pelas sementes é de 0,4

metro cúbico por quilograma, e o volume dos grãos é de 0,2 metro cúbico por quilograma. Sabendo

que o lucro para transportar as sementes é de R$ 0, 12 por quilograma e o lucro para transportar os

grãos é de R$ 0,35 por quilograma, descubra quantos quilogramas de sementes e quantos

quilogramas de grãos a Deixa Comigo S/A deve transportar para maximizar o seu lucro. (Resolva

através da análise gráfica - deslocamento da função-objetivo.).

1° Passo Interpretação do Texto:

2° Passo Definir as variáveis do problema (X1 e X2): elas tem que estar diretamente ligada ao

objetivo do problema (Maximizar o lucro quem dá o lucro? – Resposta: os dois produtos).

X1 = Quilos de Sementes

X2 = Quilos de Grãos

3° Passo Construir o modelo (Função-Objetivo “Z” + as Equações de Restrição):

lembrando que tais equações saem da relação direta entre as variáveis X1 e X2. Neste exercício

temos que perceber um fato “a Deixa Comigo S/A pode aceitar levar tudo ou somente uma parte

da carga, deixando o restante para outra transportadora entregar”.

Percebam no quadro anterior que a frota está limitada em sua capacidade “Peso” e não em

“Volume”. Portanto neste caso só a restrição ao “Peso Transportado” e escolha da

quantidade a transportar de sementes e grãos.

Para a definição da equação “Função-Objetivo Z” temos que verificar a pergunta do

problema: “descubra quantos quilogramas de sementes e quantos quilogramas de grãos a

Deixa Comigo S/A deve transportar para maximizar o seu lucro” – então temos:

Maximizar Z = 0,12X1 + 0,35X2

Frota 1 Frota 2

Contrato de

Transporte

(kg)

Volume

(m3/kg)Lucro R$

Quanto? X1 Quanto? X1 100.000 0,40 0,12 X1

Quanto ? X2 Quanto? X2 85.000 0,20 0,35 X2

Peso (kg) 70.000 90.000

Volume (m3) 30.000 40.000

160.000 185.000 40000

17000

70.000 57.000

Sementes

Grãos

Capacidade

Relação Direta

Frota 1 Frota 2 Contrato de Transporte

Volume (m3/kg)

Lucro R$

100.000 0,40 0,12

85.000 0,2 0,35

Peso (kg) 70.000 90.000

Volume (m3) 30.000 40.000

Pergunta: " quantos quilogramas de sementes e quantos quilogramas de grãos a Deixa Comigo S/A deve transportar para maximizar o seu lucro".

Sementes

Grãos

Capacidade

Para a definição das equações de restrição temos que observar a relevância feita pelo

contrato “pode aceitar levar tudo ou somente uma parte da carga”, desta forma uma

equação de restrição é dada pela capacidade limite da frota e outras duas pela

disponibilidade das cargas no contrato:

1. X1 + X2 ≤ 160.000 (Capacidade Total em Peso das Frotas)

2. X1 + 0X2 ≤ 100.000 (Disponibilidade Limite de Sementes no Contrato)

3. 0X1 + X2 ≤ 85.000 (Disponibilidade Limite de Grãos no Contrato)

Desta forma definimos o “Modelo de Programação Linear”:


Sujeito a:

1. X1 + X2 ≤ 160.000

2. X1 ≤ 100.000

3. X2 ≤ 85.000

X1 , X2 ≥ 0 (Para que a solução seja positiva 1° Quadrante)



Equação nº 1 X1 + X2 ≤ 160.000


000.160

000.160)0(

1

1

x

x 000.160

000.160)0(

2

2

x

x

Pontos (160.000 , 0) e (0 , 160.000)

Equação nº 2 X1 ≤ 100.000

Nesta equação temos uma particularidade, para qualquer valor de X2 , X1 sempre terá o

valor de 100.000, ou seja reescrevendo a equação temos X1 + 0X2 ≤ 100.000 – Desta

forma determinamos aleatoriamente dois valores para X2 , afim de podermos obter dois

pontos e traçar a reta da equação. Lembrando que a reta resultante será paralela ao eixo X2 .

Pontos (100.000 , 0) e (100.000 , 85.000)

Equação nº 3 X2 ≤ 85.000

Nesta equação temos uma particularidade, para qualquer valor de X1 , X2 sempre terá o

valor de 85.000, ou seja reescrevendo a equação temos 0X1 + X2 ≤ 85.000 – Desta forma

determinamos aleatoriamente dois valores para X1 , afim de podermos obter dois pontos e

traçar a reta da equação. Lembrando que a reta resultante será paralela ao eixo X1 .

Pontos (0 , 85.000) e (100.000 , 85.000)

5º Passo: Montar o gráfico das retas 1, 2 e 3.





alteração.

Lembrando que:











Observação:

Como queremos maximizar “Z”, vamos buscar os valores para X1 e X2 nos extremos a maior,

afastando da direção do ponto (0,0) do plano cartesiano, área que contempla a solução para as três

retas de restrição.


Ponto nº 1 X1 = 0 e X2 = 85.000 (substitui-se na função objetivo Z)

Z = 29.750

Ponto nº 2 X1 = 75.000 e X2 = 85.000 (substitui-se na função objetivo Z)

Z = 38.750

Ponto nº 3 X1 = 100.000 e X2 = 60.000 (substitui-se na função objetivo Z)

Z = 33.000

Ponto nº 4 X1 = 100.000 e X2 = 0 (substitui-se na função objetivo Z)

Z = 12.000

Desta forma vemos que a melhor solução, menor Z (maximizar) é o ponto nº 3.

Resposta X1 = 75.000 ; X2 = 85.000 ; Z = 38.750

INTERPRETAÇÃO “O que significa que devemos transportar ao mesmo tempo 75.000 kg

sementes e 85.000 kg de grãos para obtermos o maior lucro, portanto não dá para transportar

tudo, mas nos faz obter a melhor quantidade, e nos orienta que para o futuro devemos aumentar a

frota a fim de termos maior capacidade de transporte.”

EXERCÍCIO EXEMPLO N° 5

A empresa Have Fun S/A produz uma bebida energética muito consumida pelos freqüentadores de

danceterias noturnas. Dois dos componentes utilizados na preparação da bebida são soluções

compradas de laboratórios terceirizados - solução Red e solução Blue - e que provêem os principais

ingredientes ativos do energético: extrato de guaraná e cafeína. A companhia quer saber quantas

doses de 10 mililitros de cada solução deve incluir em cada lata da bebida, para satisfazer às

exigências mínimas padronizadas de 48 gramas de extrato de guaraná e 12 gramas de cafeína e, ao

mesmo tempo, minimizar o custo de produção. Por acelerar o batimento cardíaco, a norma padrão

também prescreve que a quantidade de cafeína seja de, no máximo, 20 gramas por lata. Uma dose

da solução Red contribui com 8 gramas de extrato de guaraná e 1 grama de cafeína, enquanto uma

dose da solução Blue contribui com 6 gramas de extrato de guaraná e 2 gramas de cafeína. Uma

dose de solução Red custa R$0,06 e uma dose de solução Blue custa R$0,08. (Resolva pela análise

gráfica - deslocamento da função-objetivo).

Obs.: a construção da função objetivo e das equações de restrições é obrigatoriamente uma relação

direta das variáveis do problema (X1 e X2).

1º Passo Definir quem são as variáveis do problema. Neste problema a empresa quer saber

quanto ela deve misturar de duas soluções da forma mais econômica para produzir uma bebida

energética. Significa que ela quer minimizar o custo desta produção, desta forma:

X1 = dose de solução Red;

X2 = dose de solução Blue.

2º Passo Construir o “Modelo”, ou seja, as equações.

1. Exigências mínimas padronizadas de 48 gramas de extrato de guaraná e 12 gramas de

cafeína. Daqui saem duas equações de restrições, lembrado que é falado em no mínimo,

então os sinais das restrições são “≥”. Cada restrição se refere a uma mistura de soluções

(Red e Blue) que tem que ter no mínimo uma valor de um produto (1º extrato de guaraná e

2º cafeína).

Uma dose da solução Red contribui com 8 gramas de extrato de guaraná e 1 grama

de cafeína;

Guaraná Cafeína Custo

RED 8 1 0,06 X1

BLUE 6 2 0,08 X2

Exigência Mínima

Padronizada48 12

Exigência Máxima

por Problema20

Interpretação do Texto

Uma dose da solução Blue contribui com 6 gramas de extrato de guaraná e 2 gramas

de cafeína.

Então temos:

I. Para o extrato de guaraná 8.X1 + 6.X2 ≥ 48

II. Para a cafeína 1.X1 + 2.X2 ≥ 12

2. Por acelerar o batimento cardíaco, a norma padrão também prescreve que a quantidade de

cafeína seja de, no máximo, 20 gramas por lata. Daqui sai uma equação de restrição,

lembrando que se está falando em no máximo, então o sinal da restrição é “≤”. Ela está

dizendo que na mistura das soluções (Red e Blue) não se deve passar de um valor máximo

de um produto (cafeína).

Uma dose da solução Red contribui com 1 grama de cafeína;

Uma dose da solução Blue contribui com 2 gramas de cafeína.

Então temos:

I. Para a cafeína 1.X1 + 2.X2 ≤ 20

3. Agora é definir a Função Objetivo “Z” do problema. Uma dose de solução Red custa

R$0,06 e uma dose de solução Blue custa R$0,08. Sabemos que a bebida energética vendida

pela empresa Have Fun S/A é produzida a partir da mistura das soluções Red e Blue, e estas

duas soluções tem um custo de aquisição ou preparação para a empresa Have Fun S/A, e a

empresa quer saber qual a forma mais econômica de produzir a bebida energética, então ela

pede para minimizarmos os custos com as soluções Red e Blue. Desta forma:

I. Função Objetivo: Minimizar Z = 0,06.X1 + 0,08.X2

Modelo:

Minimizar Z = 0,06.X1 + 0,08.X2

Sujeito a:

1. 8X1 + 6X2 ≥ 48

2. X1 + 2X2 ≥ 12

3. X1 + 2X2 ≤ 20

X1 , X2 ≥ 0



Equação nº 1 8X1 + 6X2 ≥ 48


6

848

48

48)0.(6

1

1

1

1

8

8

x

x

x

x

8

648

48

48)0.(8

2

2

2

2

6

6

x

x

x

x

Pontos (6 , 0) e (8 , 1)

Equação nº 2 X1 + 2X2 ≥ 12


12

12)0.(2

1

1

x

x

6

212

12

12)0(

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

Pontos (12 , 0) e (0 , 6)

Equação nº 3 X1 + 2X2 ≤ 20


20

20)0.(2

1

1

x

x

10

220

20

20)0(

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

Pontos (20 , 0) e (0 , 10)

4º Passo: Montar o gráfico das retas 1, 2 e 3.





alteração.

Lembrando que:











Observação:

Como queremos minimizar “Z”, vamos buscar os valores para X1 e X2 nos extremos a menor em

direção ao ponto (0,0) do plano cartesiano, área que contempla a solução para as três retas de

restrição.


64,0

)8.(08,0)0.(06,0

Z

Z


524,0

384,0144,0

)8,4.(08,0)4,2.(06,0

Z

Z

Z


64,0

16,048,0

)2.(08,0)8.(06,0

Z

Z

Z


72,0

)0.(08,0)12.(06,0

Z

Z

Desta forma vemos que a melhor solução, menor Z (minimizar) é o ponto nº 2.

Resposta X1 = 2,4 ; X2 = 4,8 ; Z = 0,524

INTERPRETAÇÃO “Para termos o menor custo com a aquisição das duas soluções, e

respeitando a legislação, devemos usar 2,4 doses da solução RED e 4,8 doses da solução

BLUE para produzirmos a bebida energética.”

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