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Introdução ao Cálculo das Probabilidades e Combinatória (Livro)

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5/16/2018 Introdu o ao C lculo das Probabilidades e Combinat ria (Livro) - slidepdf....

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ro b ab ilid ad e s eCombina t 6 r i a

1. In t ro d uca o

a o ca lcu lo d a sp r o b a b i l i d a d e s

1.1. Ex pe rie n cia a le a t6 ria

Acon t e c imen t o

1.2. Le i d o s g ra n d e s rn im e ro s

rP_ ;;;;;;;;;;;;;;(o n ce ito fre quencis ta d e

p robab i l i d ade

1.3. Aco n te cim e n to s e quipr ov a ve is

L e i de L a pla ce

I ~

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In tr o duca o a o ca lcu lo d as pro b a b i l id ad es

1.1. Experiencia aleatoria. Acontedmento

Exper ienc ia aleat6ria e aque la que , repe tida va r ie s vezes em cond icoes iden ticas , p roduzresu ltados que nao se podem p reve r com ce rteza .

N uma exper iencia a le a t6 ria , c h ama - se :

Espaco amostra l o u e sp ac o dos resu lt ados ao con jun to de todos os resu lta dos poss ive is

de um a exper ienda a le at6 ria . 0 e sp ac o a mo stra l c os tu ma re pre se nta r-s e p or Q ou S .

Acontecimento e q ua lq ue r s ub co nju nto d o e sp aco a rn os tra l,

Se 0 e sp ac o a m os tra l tiv er n e l emen tos , 0 num ero de acon tec im en tos que se podem fo rm ar

e 2n, o u s eja :

# 0 = n == ? # < ! P (0) = 2 n, sendo C J P (0) 0 con jun to das pa rte s do con jun to O .

1 ; . ' :

~ C ons ide re 0 la nca rnen to de um a m oeda ao a r.

1 .1 . Ind ique 0 e sp ac o d os re su lta do s O .

1 .2 . Q ua is o s subcon jun tos de O ?

1 .3 . D e fina u rn acon tec im en to assoc iad o a cada subcon jun to de O .

1 .1 . R ep resen tando po r e II cara II e po r E "escudo ", tem os que :

0= [ e , E }1 .2 . C om o # 0 = 2 , 0 nu rne ro de pa rtes de 0 e 4 .

< ! P ( O ) = [ e f ) , ( C ) , ( e , E ) , ( E ) )o con jun to das pa rte s de 0 e um con jun to de con jun tos .

1 .3 . ¢ , _ _ , . "na o sa ir ca ra nem escudo "

( E ) ,_ _ ,. s air e s cu d o"

(C ) ,_ _,.s air c ara "

( e , E ) ,_ _,.s air c ara o u e sc ud o."

~~ l.anca -se um dado com as fa ces num e radas 1 , 2 , 3 ,4 , 5 e 6 .

2 .1 . D e fina 0 espaco am os tra l O .

2 .2 . Q ua is as pa rte s de O ? Ind ique um acon te c im en to asso c iado a cada pa rte de O ?

2.1 . 0 = {1 , 2 , 3 ,4 , 5 , 6 }2 .2 . # 0= 6 == ? # < ! P ( O ) = 64

¢ , _ _ , . sa ir 7

(1 ) ,_ _ ,. air 1

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E x pe rie n cia a le at or ic . A co n te ci m e nto

1 2 ]- ? s air 2

(3 ) -? sa ir 3

(4 ) - ? sa ir 4

(5 ) -? sa ir 516 ]-? sa ir 6

11 ,2 ) -? sa ir m enor que 3

11 , 3 ) - i> sa ir fm pa r m enor que 4

1 1, 4) -i> sa ir d iv iso r d e 4 d ife re nte d e 2

1 1, 5 ) -i> sa ir d iv iso r d e 5

11 , 6) -? sa ir m enor que 2 ou m a io r que 5

12 , 3) -? sa ir m a io r que 1 e m eno r que 4

12 , 4) -i> sa ir pa r m eno r que 5

12 , 5 ]- i> sa ir 2 ou 5

12 , 6 ) -i> sa ir p a r e d ife ren te de 4

13 ,4 ) -? sa ir m a io r que 2 e m eno r que 5

13 , 5 ) - ? sa ir p rim o m aio r que 2

1 3, 6 ) -? sa ir mu l t p l o de 3

1 4, 5 ) -i> sa ir m aio r q ue t res e m eno r que 6

14 , 6 ) -? sa ir p a r m aio r que tres

15 , 6) -? sa ir m aio r que 4

11 , 2 , 3 ]- i> sa ir m eno r que 4

1 1, 2 , 4 ]- i> sa ir d iv iso r d e 4

11 , 2 , 5 ) -i> sa ir p r im o d ife ren te de 3 e 1

11 , 2 , 6 ]- i> sa ir d iv iso r de 6 e d ife ren te de 3

11 ,3 ,4 ) -i> sa ir 1 ou 3 ou 4

11 ,3 ,5 ) -i> sa ir lo u 3 ou 5

11 , 3, 6 ]-? sa ir d iv iso r de 6 d ife ren te de 2

11,4,5 ] - " ' sa i r lou4ou5

11 , 4 , 6 ) _ ,. s a ir 1 ou 4 ou 6

11 ,5 ,6 ) -'" sa ir lou 5 ou 6

12 , 3, 4 ]- i> sa ir m a io r que 1 e m eno r que 5

12 , 3, 5 ) -i> sa ir 2 ou 3 ou 5

12 , 3 , 6 ]_ " sa ir d iv iso r de 6 d ife ren te de 1

12 , 4, 5 ) -i> sa ir 2 , 4 ou 5

12 , 4, 6 ]_ " sa ir pa r12 , 5, 6 ]_ " sa ir 2 , 5 ou 6

13 , 4, 5 ]_ " sa ir m a io r que 2 e m e llo r que 6

13 , 4, 6 ]- i> sa ir 3 ou 4 ou 6

13 , 5 , 6 ]_ " sa ir 3 , 5 ou 6

14 , 5 , 6 ]-'" sa ir m aio r que 3

11 ,2 ,3 , 4 ]-? sa ir m ello r que 5

11 , 2, 3 , 5 ]-> sa ir p r im o ou 1

11 , 2, 3 , 6 ]-'" sa ir m ello r que 4 ou m aio r que 5

11 ,2 ,4 , 5 ]-? sa ir 1 , 2 ,4 ou 5

11 ,2 ,4 ,6 ]-> sa ir 1 ou pa r[1 , 2 , 5 , 6 ]-? sa ir 1 , 2 , 5 ou 6

11 ,3 ,4 ,5 ]-'" sa ir 1 , 3 , 4 ou 5

1 1, 3 ,4 ,6 ]-" 'sa ir 1 , 3 ,4o u6

[1 ,3 ,5 , 6 ]-? sa ir 1 , 3 , 5 ou 6

[1 ,4 , 5 , 6 ]-? sa ir 1 ou m a io r que 3

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1 2, 3 , 4 , 5 j-? sa ir m aie r q ue 1 e m eno r que 6

1 2, 3 , 4 , 6 j-? sair 6 ou m aie r que 1 e rneno r que 5

1 2 , 3 , 5 , 6 ) -? sa ir 6 o u sa ir p rirn o

1 2 , 4 , 5 , 6 ) -? sa ir m aie r que 1 e d ife ren te de 3

1 3 , 4 , 5 , 6 ) -? sa ir m aie r que 2

1 1,2 ,3 ,4 , 5 j-? sa ir d ife re nte d e 6

1 1,2 ,3 ,4 , 6 j-? sa ir d ife re nte d e 5

[1 ,2 ,3 ,5 , 6 j-? sa ir d ife re nte d e 4

[2 , 3 ,4 , 5 , 6 j-? sa ir d ife re nte d e 1

1 1 , 3 , 4 , 5 , 6 ) -? sa ir d ife re nte de 2

[1 ,2 ,4 ,5 , 6 j-? sa ir d ife re nte d e 3

1 1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 6 j-? sa ir rn eno r que 7 .

l.a nc arn -s e e rn s irn ulta ne o d ois d ad os :

- u rn te traed rico com as face s nu rne radas 1 , 2 , 3 e 4 ;- um r u bko co rn a s fa ces num eradas 1 , 2 , 3 , 4 , 5 e 6 .

3 . 1 . Def ina 0 e sp aco d os re su lta do s d e n .3 . 2 . Represen t e 0 co nju nto a sso cia do a ca da u rn d os a co nte cim en to s:

A : "A so rna das pon tua coes dos do is dados e 5 . u

B : "A som a das pon tua roe s e posi t iva."

C : "0 p rodu to das pon tua coes e 2 1 . "

D : "O s do is d ad os te rn a rne sm a po ntua cao .'

3 . 1 . n= [ (1 ,1 ) , (1 , 2 ) , (1 ,3 ), (1 , 4 ) , (1 ,5 ), (1 , 6 ), (2 ,1 ), (2 , 2 ), (2 , 3 ), (2 ,4 ), (2 , 5 ) , (2 , 6 ) , (3 ,1 ) ,

(3 , 2 ), (3 , 3 ), (3 , 4 ), (3 , 5 ), (3 , 6 ), (4 , 1) , (4 , 2 ), (4 , 3 ), (4 , 4 ), (4 , 5 ), (4 , 6 ))

3 .2 . A = [ (1 , 4 ), (2 , 3 ), (3 , 2 ), (4 , 1) }

B = nC=¢

D = [(1 , 1 ), (2 , 2 ), (3 , 3 ), (4 , 4 )}

Aconte c imen to e lementa r e 0 que e re pre se nta do p or u m co nju nto s in gu la r.

Aconte c imen to cer to e 0 q ue e re pre se nta do p elo e sp aco a mo stra l.

Aconte c imen to impossi ve l e 0 que e re pre se nta do p elo co nju nto va zio (¢ ).

o E xis te d ua lid ad e e ntre a s o pe ra co es co m a co nte cirn en to s e a s o pe ra co es co rn o s co nju nto s.

";;"

; , ; A c o n te c ir ne n to Con j un t o

cer t o D

i r n p o s s l v e l ( / )

c o n ju n ca o ( a II b ) in terseccao (A n B )

I ' ; d is ju n~ ao (a v b ) r eun iao (A U B )

'; 1

n eq aca o (~ a) o u a co n-c omp i emen t a r

Ate c im e n to c o ntr a r io

l ; , ~ ~ (-a ) = a A =A

r ;:- (a II b ) = -a v -b

-- - -

\"

l , . ~(A n B ) = A U B

-(a v b ) = -a II -b (A U B )" ; A n B i :·:'_"",::::"Lc,:<·,:·::;·.J.':,·::·:,_',:_ .•:_.:,,:.::~,_,. ·.·.c·'·,',· . :':·~.":.. ,";"h ,d.:

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E xp er ie n ci a a le at or ia , Aco r i t e c ime n t o

Dois acontec imentos A e B d i z e r n - s e incompativeis se e 5 6 s e A n B = ( p .

Dois acontec imentos A e B d i z e r n - s e compativeis se e s6 s e A n B ¢ q ) .

Dois acontec imentos A e B d ize rn -se contraries se e 56 se A = B (o u A = B ).

No ta 1: A e B sao acon tec irnen tos con tra r ie s se e 56 se AnB o f . ( / ) e AUB = [), (A e B sao u rna

p artka o c orn ple ta d o u niv ers e m .

N ota 2 : S e do is a con tec im en tos sao con tra rie s , sao incom pa tlve is (m as 0 in ve rs o n ao s e v eri-

f ica).

;\ n

[ D uas u r n a s A e B te rn bo las azu is , ve rrne lhas e p re tas . E sco lhe -se a lea to r ia rnen te u rna u rna e ,

d e s eg uid a, re tira -se u rn a b ola d a u rn a.

1.1. Def ina 0 e spaco arnost ra l .

1 .2 . D e fin a cada um do s a con te c imen t o s .

A : "A u rna esco lh ida e A ."

B : "A urna esco lh ida e B ."

C : "A bo la ex tra ida e verme lha . "

D : "A u rna esco lh ida nao e A ."

E : "A u rn a e sco lh id a e A e a bo la e xtra ld a e ver rne lha . "

F : "A urna esco lh ida e A ou a bo la ex tra ida e ver rne lha . "

G : "A u rn a e sc olh id a e A e a bo la ex tra ida na o e verme lha . ",oi" .

1.1.

az

B~ve

"<, p r

n= ((A , a z), (A , v el, (A , p r). (B , a z), (B ,v e), (B , p r)}

1 .2 . A = ((A , az ), (A , ve l, (A , p r) j

B = ((B , a z), (B ,' ve l, (B , p r)}

C = ((A , v el, (B , v e)j

D = ((B , a z), (B , v el, (B , p r)j= A (N ota : O s a con tec im en tos A e D sao con tra r ie s )

E = ({(A , ve l) (N ota : E = AnC )

F = ((A , a z), (A , ve l, (A , p r), (B , v el) = AUC

G = ((A , az), (A , p r)j = A nC

\' ;:t:_

d i: Cons i de re 0 la ncam en to de um dado e ind ique :

2 .1 . um acon tec irnen to e lem en ta r.

2 .2 . um acon tec irnen to im po ss ive l.

2 .3 . um acon tec irnen to ce rto .

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un i d a de In tr o duca o a o ca lculo d as pro ba b i l id ad es

2 .1 . A :" sa ir 5 " e u m a co nte cim en to e le me nta r, p ois 0 subco njun to de 0 = [1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) a sso -

d ad o a e ste a co nte cim e n to e [ 5 ) , que e u m co nju nto s in gu la r ( 5 6 co m u m e le me nto ).

2 . 2 . B : " sa i r 7 " e u m a co nte cim e nto im p o ss iv el, p o ls B = ( p .2 . 3 . e : "s a ir m eno rque 7 " e u m a co nte cim en to ce rto , p ols C = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } = O .

Lanc ;am - s e em s im u lta ne o d ois dados cub icos n um era do s d e 1 a 6.

3 .1 . D e fin a 0 espac ; oamos t ra l .

3 .2 . C ons id e re o s acon te c im en to s :

A : "A so ma d as p on tu ac ;6 es e 2 " .

B : "A so ma d as p on tu ac ;6 es e m eno r que 15 ".

e : "0 p ro du to d as p on tu ac ;6 es e 32" .

D : "A s p on tu ac ;6 es sa o ig ua is n os dois dados " .

E : "0 p ro du to d as p on tu ac ;6 es e m eno r q ue 12 ".F : "A so m a d as p on tu ac ;6 es e m aio r que 8" .

G=BnF

H=BUF

3 .2 .1 . In diq ue , ju stific an do , u m a co nte cim e nto e le m en ta r.

3 .2 .2 . In diq ue u m a co nte cim en to im po ss iv e !.

3 .2 .3 . In d iq ue um acon te c im en to ce rto .

3 .2 .4 . Q u a l 0 a co nte cim en to co ntra rio d o a co nte cim en to E ?

3 .2 .5 . In diq ue d ois a co nte cim e nto s in co m pa tive is , m a s n ao co ntra rie s.

3 .2 .6 . C ara cte rize 0 a co nte cim e nto E nF .

3 .2 .7 . C om pa re os aco nte c im en to s E nF e E UF . Q ue pode conc lu ir?-- -

3 .2 .8 . C om pa re EUF e E nF . Q ue po de conc lu ir?

3 .1 . N es te ca so , 0 es pac ;o amos t r a l e m ais fa c ilm en te de fin id o p o r um a tabe la de dup la en tra da

(po is # 0 = 36 ) .

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2,

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4,

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5,

3 . 2 . A = 1(1,1))

B=0

C = c pD = [(1 , 1 ), (2 , 2 ), (3 , 3 ), (4 , 4 ), (5 , 5 ), (6 , 6 ))

E = 1(1 , 1 ), (1 , 2 ), (1 , 3 ) (1 , 4 ), (1 , 5 ) (1 , 6 ), (2 , 1), (2 , 2 ), (2 , 3 ), (2 , 4 ), (2 , 5 ), (3 , 1 ), (3 , 2 ), (3 , 3 ),

(4 , 1 ), (4 , 2 ),(5 , 1 ), (5 , 2 ), (6 , 1 ))

F = 1(3 , 6 ), (4 ,5 ), (4 , 6 ), (5 , 4 ), (5 ,5 ), (5 , 6 ), (6 , 3 ), (6 , 4 ), (6 , 5 ), (6 , 6 ))

G = BnF = O nF = F ( 0 e 0 e le m en to n eu tro d a in te rs ecc ao d e co nju nto s)

H = BUF = OUF = 0 (0 e 0 e le me nto a bso rve nte d a re un ia o d e co nju nto s)

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E xp er ie n ci a a le a to ria . A ro n te ci rn e nt o

3 .2 . 1 . A e um acon te cim en to e le men ta r, po is 0 con jun to que 0 ca rac te riza tem um so e lem en to

(# A = 1) .

3.2 .2 . C e u rn a con tec im en to im poss ive l, po is C = q ! .

3 .2 .3 . ~ e um acon tedm en to ce rto , po is B = , O , .

3 .2 . 4 . E : 0 p ro du to das pon tuacoes e m aio r ou igua l a 12 .

E = ( (2 , 6 ), (3 , 4 ), (3 , 5 ), (3 , 6 ), (4 , 3 ), (4 , 4 ), (4 , 5 ), (4 , 6 ), (5 , 3 ), (5 , 4 ), (5 , 5 ), (5 , 6 ), (6 , 2 ), (6 , 3 ),

(6 , 4 ), (6 , 5 ), (6 , 6 )]

3 .2 . 5 . E e F s ao in co m pa tiv eis , p ois E n F = c f ; .

~o !n tan to , nao sao con tra rie s , po is E U F ' * ,0 , (e E ;>! F ) .

3 .2 . 6 . E n F : 0 p ro du to das pon tuacoe s e m aio r ou igua l a 12 e a som a das pon tuacoes e m eno r ou

igua l a 8 .

E = ((2 , 6 ), (3 , 4 ), (3 , 5 ), (3 , 6), (4 , 3 ), (4 , 4 ), (4 , 5 ), (4 , 6), (5 , 3 ), (5 , 4 ), (5 , 5 ), (5 , 6 ), (6 , 2 ), (6 , 3 ),

(6 , 4 ), (6 , 5 ), (6 , 6 ))

F= [(1 , 1 ), (1 , 2 ), (1 , 3 ) (1 ,4 ), (1 , 5 ) ( 1, 6 ), (2 , 1 ), (2 , 2 ), (2 , 3 ), (2 ,4 ), (2 , 5 ), (2 , 6 ), (3 , 1 ), ( 3, 2 ),

(3 ,3 ), (3 , 4 ), (3 ,5 ), (4 ,1 ), (4 , 2 ), (4 , 3 ), (4 ,4 ), (5 ,1 ), (5 , 2 ), (5 , 3 ), (6 ,1 ), (6 , 2 )]

E n F = ( (2 , 6 ) , (3 ,4 ), (3 , 5 ), (4 , 3 ), (4 , 4 ), (5 , 3 ), (6 ,2 )]

3 . 2 . 7 . E U F : N ao s e v er ific a 0 p rodu to d as pon tuacoes m eno r que 12 ou a som a das pon tuacoes

m aio r que 8.

E U F = ( (1 , 1) , (1 , 2 ), (1 , 3 ) (1 , 4 ), (1 , 5 ) (1 , 6 ) , (2 , 1 ), ( 2 , 2 ), (2 , 3 ) , (2 , 4 ) , (2 , 5 ), (3 , 1 ) , (3 , 2 ) ,

(3 , 3 ) , (3 , 6 ) , (4 , 1 ) , (4 , 2 ) , (4 , 5 ) , (4 , 6 ) , (5 , 1 ) , (5 , 2 ) , (5 ,4 ) , (5 , 5 ) , (5 , 6 ) , (6 , 1 ) ,

(6 , 3 ), (6 ,4 ), (6 , 5 ), (6 , 6 )]

E U F = ((2 , 6 ) , (3 ,4 ), (3 , 5 ), (4 , 3 ), (4 , 4 ), (5 , 3 ), (6 , 2 )]

~ n ~ = E U F ( le is d e D e M o rg an )

3.2 .8 . E U F : 0 p rodu to das p on tuacoes e m aio r ou igua l a 12 ou a som a das pon tuacoes e m eno r ou

igua l a 8 .

E U F = ( (1 , 1 ), (1 , 2 ), (1 , 3 ) ( 1, 4 ), (1 , 5 ) (1 , 6 ), (2 , 1 ), (2 , 2 ) , (2 , 3 ), (2 , 4 ), (2 , 5 ), (2 , 6 ), (3 , 1 ), (3 , 2 ),

(3 , 3 ), (3 , 4 ) , (3 , 5 ) , (3 , 6 ) , (4 , 1 ), (4 , 2), (4 , 3 ), (4 , 4 ) , (4 , 5 ), (4 , 6 ), (5 , 1), (5 , 2), (5 , 3 ),

(5 ,4 ) , (5 , 5 ) , (5 ,~ , 1 ) , (6 , 2),~, ( 6~ 4 ~ ( 6 ,5 ) , (6, 6 )] = ,0 ,

Como E n F = c / J , en tao E n F = ,0 " l ogo E n F = E U F (le is d e D e M o rg an ).

!.ri

U l ancarn-se em s irnu ltaneo um dado cub ico e um rapa onde es tao m arcadas as le tra s R , P , T , D .

1.1. Def ina 0 e sp ac o d os a co nte cim e n to s , O , .

1.2. In diq ue u m a co nte cim en to a ss oc ia do d o c on ju nto

A = ((2 , R ), (4 , R ), (6 , R )].

1 .3 . Qua l 0 con jun to assoc iado ao acon tec im en to "sa i 'tira ' no rapa "7

1 .4 . Qua l 0 c on ju nto a ss oc ia do a o a co nte cim en to "s ai 'd ois ' n o d ad o " ?

:;~ ~ 0 Joao es ta a responde r a um te s te onde tem de ind ica r 0 va lo r

16g ico de 3 proposicoes,

2.1. D e q ua nta s m a ne ira s 0 Joao pode responde r ao tes te , ou se ja , qua l

o c ard in al d o e sp ac o a mo stra l7

2 .2 . 0 J0.30 sabe que , das 3 ques toes , 2 sao ve rdade ira s e um a fa lsa .D e quan tas m ane iras pode responde r as 3 ques toes , a tend endo a

e sta ln to rm aca o 7

IT T

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In tr od uca o a o ca lcu lo d a s pr ob a b il id a d es'~~""~-'~-~"2","~,=,=~"=,~c""~'~~"2,=~~~,,,~=d,0j:b.:,s

~~ l.anca rn-se ao a r em si rnul taneo tr es m o e d as .

3 .1 . D e fin a 0 e sp ac o a m os tra l d es ta sxpe r i enda .

3 .2 . C on sid ere o s se gu in tes aco nte cim en to s:

A: "sa i p elo rn en os u ma ve z 'cara".

B : "sa i n o m ax im o duas vezes ' cara' " .

C = A n B

D = A U B

E = A

R ep re sen te em ex tensao os con jun to s A , B , C , D , E .

D e u rn saco con t endo 5 ca rto e s num erados de 1 a 5 , re tira rn -se do is ca rtoe s e m ultip lic a -se

o s v alo re s e sc rito s n os d ois c arto es .

4 .1 . Q ua l 0 ca rd in al d o e sp aco d e a co nte cim e nto s d es ta e xp erie nc ia 7

4 .2 . C ons ide re o s acon te c im en to s :

A : "0 p ro du to e 12 /1 .

B : "0 p rodu to e rnpar".C : "0 p rodu to e m a ie r q ue ze ro ".

D : "0 p rodu to e 21 ".

In d iq u e, p a ra c ad a a co n te cim e n to , 0 c on ju n to a ss oc ia d o.

. - , - . ' S O L U ' ; O E S ' . '~:;_"" _ ;:~ ~1/~-- <"' .

1 .

1 .1 .

n= 1 (1 , R ), (1 , T ), (1 , D ), (1 , P ), ( 2, R ), ( 2, T ), (2 , D ), (2 , P ), ( 3, R ), (3 , T ), (3 , D ), (3 , P ), (4 , R ), (4 , T ), (4 , D ),

(4 , P ), ( 5, R ), (5 , T ), (5 , D ), (5 , P ), ( 6, R ), ( 6, T ), (6 , D ), (6 , P )j

1 .2 . "sa i R no 'rap a ' e 'p a r ' no d ado " (po r e xem plo ).

1.3. 1 (1 , T), (2 , T ), (3 , T ), (4 , T ), (5 , T ), (6 , T )j

1 .4 . 1 (2 , R ) , (2 , T ), (2 , D ) , (2 , P )j

2 .

2 .1 . 2 x 2 x 2 = 2 3 ->8 mane i ra s d i fe r e n te s .

2 .2 . [(V , V , F ) , (V , F , V ), ( F , V , V )j P ode re spon de r d e t res mane i ra s d i fe r e nt e s .

3.

3.1 . [ ( C , C , C ) , ( C , C , E ), ( C , E , C ) , ( E , C , C ) , ( E , E , C ) , ( E , C , E ) , ( C , E , E ) , ( E , E , E )j3.2 . A = [ ( C , C , C ) , ( C , C , E ), ( C , E , C ) , ( E , C , C ) , ( E , E , C ) , ( E , C , E ), ( C , E , E )l

B = [ ( C , C , E ) , ( C , E , C ) , ( E , C , C ) , ( E , E , C ) , ( E , C , E ) , ( C , E , E ) , ( E , E , E )j

C = A n B = [ ( C , C , E ), ( C , E , C ) , ( E , C , C ) , ( E , E , C ) , ( E , C , E ), ( C , E , E )l

D = A U B = n

E = A = [ ( E , E , E ) l

4 .

4 .1 . 5 x 4 = 2 0

4 .2 . A = [(3 , 4 ), (4 , 3 )j

B = [(1 ,5 ), (5 ,1 ), (3 ,5 ), (5 , 3 ), (1 , 3 ), (3 , 1 ) j

C = [(1 , 5 ), (5 , 1 ), (1 , 4 ), (4 , 1 ), (1 , 3 ), (3 , 1) , (1 , 2 ), (2 , 1 ), (2 , 5 ), (5 , 2 ), (2 , 4 ), (4 , 2 ), (2 , 3 ), (3 , 2 ), (3 , 5 ),

(5 , 3 ), (3 , 4 ), (4 , 3 ), (4 , 5 ), (5 , 4 )j =nD = 1 >

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L ei d o s g ra nd es n iim e ro s. C o n ce ito fre que ncis ta d e pr ob ab il id ad e

1.2. lei dos grandes numeros, Conceito frequendsta de

probabllidade

R ea liz o u -s e uma e x p e r i e n d a N v e ze s , te n do -s a v e rific ad o 0 a co nte cim en to A , nA vezes .

En t ao

f - _&A-

N(f A -? frc qu en cia d o a co nte cim en to A )

Q uando N tende pa ra in fin ito , a fre quenda re la tiva de A tende pa ra a p robab ilidade do aeon -

te c im en to A , ou se ja

lim fA = p (A )

'~ A o fim de 632 so rte ios do "T o to lo to " e de 4424 ex tra c coes (7 e x tra ccoes po r sor t e io) . veri f i -

co u-s e q ue 0 nu rn ero d e ve ze s q ue sa iu ca da b ola n um era da e 0 co ns ta nte d a ta be la a ba ixo .

1 . 1 . Q ua l a bo la que , ao fim de 632 so rte io s , s a iu m ais ve zes e qua l a sua fre quenda re la tiva 7

1 .2 . Q ua l ou qua is a s bo la s que sa fram m enos vezes7 E q ua l a sua frequenda re la tiva 7

1 .3 . P ode r-se -a cons id e ra r 4424 u rn "g rande nu rne ro "7 Ju s tifiq ue conven ien tem en te a sua re s -

pos t a .

In

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En tao

p (AnS ) = 0 ,1 ¢>

¢> p((AUB)) = 0 ,1 ¢>

¢> 1 - p (AUB) = 0 ,1 ¢>

¢> p(AUB) = 0 ,9

1 .3 . P e la P 3

p(AUB) = p(A) + p (B ) - p (AnB )

Entao

0 ,9 = 0 ,6 + p (B ) - 0 ,2 ¢> p(B) = 0 ,5

Em d iagram a de Venn , na figu ra ao lado .

~'t6

l5

!~

1.1.

1 .2 .

1 . 3 .

1.4.

A

1.1.

1 .2 .

In tro duca o a o ca lculo d as pro ba bi l id acle s

1.1. A bo la que sa iu m ais ve zes fo i a bo la 42 e f42 = 4\1264= 0 , 02 6 ( 3 c .d .)

1.2 . As bo las que sa fram m enos vezes fo ram as 2 5 e 46 e f2 5= f4 6 = 4~~4 = 0 ,0 15 (3 c.d. )

1.3. Se 4424 fo sse um "grande nu rne ro " a f r e quenda de cada um a das bo las deve ria se r igua l,

o u se ja

1fA = 49 = 0 , 02 0 (3 c.d. )

P ara se ob te r a estab iliza cao das frequenda s e a ap rox irnaca o da freque ncia re la tiva a p roba -

bi l idade, t e r ao de se r fe itas m uito m ais ex t r accoes .

A p ro ba bilid ad e d o a co nte cim en to A , p (A ), d efin e-se :

p (A )=

i ! A .N

em que : nA -'> nu rne ro de vezes que 0 a co nte cim e nto A s e ve rific a.

N -'> n urn ero d e ve ze s q ue se re aliza a e xp erie nd a.

Propr iedades :

P 1 : O :s p (A ):s 1

P 2 : p(A) = 1 - p (A )

P 3 : p (AUB) = p(A) + p (B ) - p (AnB )

D ados do is acon tec im en tos , A e B , sab e-se que p (A ) = 0 , 6 , p (AnB) = 0 ,2 e p (A nS ) = 0 ,1 .

Q ua l a p roba bilidade de n a o s e v erific ar A ?

Q ua l a p robab ilidade de se ve rifica r A ou B?

Q ua l a p ro ba bilid ad e d e se ve rifica r B 7

O s acon tec im en tos A e B se r ao i ncompat f ve is?

p(A) = 1 - p (A ) = 1 - 0 ,6 = 0 ,4 (P2)

(A p robab ilidade do acon te c im en to con tra rio de A e 0,4.)

P ela s Le is d e D e M orga n

AnS = (AUB)

A B

0,1

Q

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L ei d os g ra n d es m im e ro s, C on ce ito fre quen cis ta d e pro bab il id ad e

2.2 .

2 .3

2.4.

2.5 .

2 .6 .

2 .7 .

1 . 4 . C om o p (A nB ) = 0 ,2 * - 0 , os acon tec im en tos A e B sao com pa tive is .

D epo is de lancado m u ita s vezes u rn dado cubko com as faces num eradas com 1 , 2 , 3 , 4 , 5 e

6 , v erifico u-s e q ue 0 dado nao e ra pe rfe ito . A ss im , condu iu -se que 0 6 sa iu 0 dob ro dasvezes de cada um a das ou tras faces .

D ete rm in e a p ro ba bilid ad e d e ca da u rn d os a con te cim ento s:

2 . 1 . A:"sai r6".

2 . 2 . B : "sa ir m eno r que 6 ".

2 .3 . C:"sai r l " .

2 . 4 . D : "s air p ar".

2 .5 . E : "sa ir m u ltip le de 3 ".

2 .6 . F : "sa ir pa r e m ultip le de 3 " .

2 .7 . G : "sa irpa rou rnu ltip lo de J".

2 . 1 . p(sai r 1 ) + p (s air 2 ) + p(sai r 3 ) + p(sai r 4 ) + p (s air 5 ) + p (s air 6 ) = 1

M as p (sa ir 6 ) = 2 p(sai r 1 )

e p (s air 1 ) : = p(sai r 2 ) : = p (s a ir 3 ) : = p (s air 4 ) = p (s air 5 )

En t ao

p(sai r 1) + p(sai r 1 ) + p(sai r 1 ) + p(sai r 1 ) + p(sai r 1 ) + 2 p (s air 1 ) : = 1 ~

~ 7 p (sa ir 1) = 1 ~

~ p (sa ir 1) = ~

Lo go , p (sa ir 6 ) : = fp (sa ir m eno r que 6) = p (n ao s air 6 ) = 1 - p (s air 6 ) = 1 - ; = ~

p(sai r 1 ) : = ~

p (s a ir p a r) : = p (s a ir 2 v sai r 4 v s air 6 )

:=l+l+l:=i7 7 7 7

p(sai r rnu l t ip lo de 3 ) : = p(sai r 3 v s air 6 )

=l+l=l777

p (s air p ar A m ultip lo de 3 ) : = p (s air 6 ) = ;

( . 2 . 3 . 4 . 6 ) 1 1 1 2 5P s a r r v s a i r v s a r v s a i r = 7+ 7+ 7+ " 7 = '7

I IS

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'H D e do is acon tec im en tos X e Y , sabe -se q ue :

XC V

p (X ) = = 0 ,3

p (Y ) = = 0 ,5

Ind ique :

1 .1 . p (X n y) 1 .2 . p (X UY )

1 .3 . p (Y nX ) 1 .4 . p (ynX )

Num grupo de 300 a lunos do 12 .0 ana de um a esco la , sabe -se que :

• 60 es tao insc rito s em F ls ica e em Q ulm ica

• 72 es tao inscr ito s em Q uim ica e B io log ia

• 2 7 es tao insc rito s em F is ica e B io log ia

• nao ha nenhu m insc rito na s tre s d isc ip linas• 120 estao insc rito s em B io log ia

• 150 estao insc rito s em Q uim ica

• 90 estao insc rito s em F is ica .

E sco lh ido a o acaso um a lun o , in d ique a p robab ilidade de e le :

2 .1 . fre qu en ta r F is ic a, m as n ao Q uim ica .

2 .2 . frequen ta r F is ica ou Q u im ica .

2 .3 . fre qu en ta r B io lo gia e n ao fre qu en ta r Q uim ica .

2 .4 . nao frequen ta r nenhum a das tres d isc ip linas .

2 .5 . frequen ta r pe lo m enos um a das tres d isc ip linas .

2 .6 . frequen ta r duas das tres d isc ip linas .

& ' ! l

4 ) D e um ba ra lho de 52 ca rta s re tira -se um a ca rta ao aca so .

3 .1 . C on sid ere c ad a u m d os a co nte cim en to s:

A : "sa ir f igu ra ". B : "sa ir paus ".

C : "sa ir figu ra ou as ". D : "sa ir ve rm e lho ".

Ind ique a p robab ilidade de cada u m do s acon tec im en tos .

3 .2 . Ind ique :

3 .2 . 1 . d ois a co nte cim en to s in co m pa tiv eis , m as n ao c on tra rie s.

3.2 .2 . d ois a co nte cim e n to s c on tr arie s.

3.2 .3 . do is a co n te c imen t o s X e Y q ue v erifiq ue m XcV .

3 .2 .4 . do is acon tec im en tos P e Q que ve rifiquem p (P ) < p (Q ) e P <;tQ .

Lanc ;:am -se em sirnu ltaneo u rn d ado cub ico e um dado oc taed rico . 0 dado cub ico te rn as

fa ces num erad as 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 e 0 oc taed rico tem as faces num eradas 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 .

C o ns id ere o s s eg uin te s a co n te cim e n to s:

A : A som a das pon tuacoes e 5 .

B : A som a das pon tuacoes e u rn nu rn ero pa r.

e : A som a das pon tua roe s e u rn num ero p rirno .

D : A som a das pon tuacoss e m aie r que 5 .

E : A som a das pon tuacoes e m a ie r que 2 e m eno r ou igua l a 4 .

F : C n EG : C U E

H : C n E

I: c n E

D ete rm in e a p ro ba bilid ad e d e c ad a u rn d os a co nte cim en to s.

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L ei d os g ra nd es m im e ro s, C o nce ito fre que ncis ta d e pro ba bil id ad e

1 .

1 .1 . p (X nY ) = p (X) = 0 ,3

1 .2 . p (XUY ) = p (Y) = 0 ,5

1.3. p (YnX) = p(q) ) = °1 .4 . p (ynX ) = p (Y ) - p (X ) = 0 ,5 - 0 ,3 = 0, 2

2 .

2.1 . (F n -0 ) = 3 + 27 = ° 1P 300 '

3+ 27 + 60 +72+ 18

300= 0 ,6.2 . p (FUO) =

2.3 . (B n -0 ) = 21 + 27 = ° 16P 300 '

P ( (FUOUB) ) = : ~ o 0,33

(FUOUB) = 201 = 0 67P 300 '

2.4.

2.5 .

27 + 72+ 602 .6 . p ((F nB )U(F nO )U(B no )) = 3 0 0 = 0,53

3 .

3.1. (A ) 12 3 p (B ) = 5132= -4

1(C ) 16 4

p = " 5 2 = 1 3 p = " 5 2 = 1 3

8 99

3.2.

3 .2 .1 . P o r exem plo : " s a i r 3 " e "sa ir figura "

3.2.2. P or e xe mplo : "s air v erm elh o" e "s air p re to ".

3.2.3. P or e xe mp lo : X = "sa ir paus " e Y = " s a ir p r et o ".

3.2.4. P or e xe m plo : P = "sa i r 3" e O = " sa il' f ig u ra " , p o is p (P )= - T 3 ' p (O) = 133e , no e nta nto , P c,tO .

4. 6 1p (A ) = 48 = '8

2 3p (B ) = 48

p (C) = p (s om a 2 ) + p (s om a 3 ) + p (s om a 5) =

= _ l Q _ + . . ! . i + _ § _ = = i48 48 48 8

p ( D ) = p ( c f ) ) = = 014 13 9

p (E) = p (s om a 3 ) + p (s om a 4 ) = 48 + 48 = = 1614 7

p(F) = = p (s om a 3 ) = 48 = 24

p (G) = = p (som a 2 ) + p (som a 3 ) + p (som a 4) +10 14 13 6 43

p (soma 5)=- -+-+-=-48 48 1 3 48 48 48

p(H) = p (s om a 4 ) = 48

10 6 1p(l) = p (s om a 2 ) + p (so ma 5) = 48 + 48 = '3

2

2

3

3

: ',.,

2

2 2

2 3 3

2 3 3

3 4 4

3 4 4

4 4

I __

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uniclade In t r o d uca o a o ca lcu lo d a s p ro b a b il id a d e s

1.3. Acontedmentos equiprovaveis, Lei de Laplace

Do is acontecimentos sao equ ip r ovave i s quando as p robab ilid ades de se ve rifica r cada umd ele s s ao ig ua is , o u s eja :

A e B s ao e qu ip ro va ve is ¢?p (A) = p (B)

L ei d e L ap la ce

A probab ilidade de u m acon te c im en to A e i gua l a ra za o e ntre 0 n urn ero d e c as os fa vo ra ve is

e 0 n urn ero d e c as os p os siv eis .

(A ) = n .D d e c a so s fa v or av eis

p n ." de casos poss ive is

~ B D e um bara lh o de 40 ca rta s (ba ra lh o ao qua l se re tira ram os "8", os "9 " e o s "10 "), re tira -

-se ao acaso um a ca rta . In d ique a p robab ilidade de cada um dos acon tec im en to s :

1 .1 . A : "sa ir copas ".

1 .2 . B : "sa ir figu ra ".

1 .3 . C : "s air d am a ".

1 .4 . D : "sa ir 1 0 ".

1 .5 . E : "sa ir d am a de copas ".1 .6 . F : "s a ir re i o u copas".

1.7 . G : "na o sa ir re i"

1 .8 . H : "nao sa ir fig u ra nem copas".

1 .1 . N as 40 ca rta s , 1 0 sao de copas , en tao

(A ) _ _ l Q _ _ _ 1P _ 40 _ 40

1 .2 . Ha 3 x 4 = 1 2 figu ras n o b ara lho .

( B ) _ Jl-l_p _ 40 _ 10

1 .3 . Ha 4 dam as nas 40 ca rta s .

( C ) _ _ i_ __ 1P _ 40 _ 10

1 .4 . C om o nao ha "8 ", n em "9 ", nem "10",

op (D ) = 40 = 0 (" sa ir 1 0 " e u m a co nte cim e nto im p os siv el).

1 .5 . 56 ha um a dam a de copas .

p ( E ) = _ 1

40 4 10 1 13p (F) = p(re i ) + p (copas) _ p (re i d e copas) = 40 + 40 _ 40 = 40

No te que ha 4 re is e 10 copas , m as tem os de exc lu ir 0 re i de copas que fo i con tado 2 vezes :

1 .6 .

com o re i e com o copas .

T il I

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A co nte cim e nto s e quipro va ve is , L ei d e L apla ce

1 . 7 . C om o no bara lh o ha 4 re is ,

p (G ) = 1 _ p (sa ir re i) = 1 _ 4~ = 190

p (H ) = p ( B " n A ) = p (AUB) = 1 - p (AUB ) = 1 _ ( 1 M ) + R i l l ) _ P ( A ( l l 3 ) ) =

= 1 - ( J Q + ll_ l _ ) = 1 _ J 1 _ = II c o p a s fig u ra . f i~ ~ ~ a ~

40 40 40 40 40

N o te que das 40 ca rta s , 12 sao figu ra s , 1 0 sao copas , m as , nes ta s 22 , 3 sao figu ras de copas

(lo go fo ra rn co nta da s 2 ve ze s); p or isso , 56 sao favo rave is 21 casas (40 _ (22 - 3 ).

1 .8 .

"~ N urn ba ra lho de 52 ca rtas , re tira -se a le a to r iam en te um a ca rta . Q ua l a p robab ilid ade de cada

u rn d o s a co n te cim e n to s:1 .1 . A : "sa irp aus"?

1 .2 . B :" sa ir ve rm e lho "?

1 .3 . C : "sa ir as "?

1 .4 . D :" sa ir as de paus "?

1 .5 . E : "s a ir a s ou paus"?

1 .6 . F : "sa ir as e nao sa ir paus "?

1 .7 . G : "sa ir u rn nu rne ro pa r"?

D e u rna u rna com 10 bo la s , das qua is c inco sao azu is , duas sao ve rm elha s e as res tan te s p re -

ta s, re tira -se a le ato ria me nte u rn a b ola . Q ua l a p ro ba bilid ad e d e ca da u rn d os a co nte cirn en to s:

2 .1 . "sa irazu l"?

2 .2 . "sa ir ve rrn e lho "?

2 .3 . "sa ir p re ta "?

2 .4 . "n ao sa ir ve rm e lha "?

2 .5 . "sa ir ve rrn e lha au p re ta "?

-~~

;j \ De urna u rna com 8 bo las , 2 a zu is e 6 ve rrne lh as , re tira -se u rna bo la ; ve rif ic a -se a co r que

sa iu , re poe -se de novo na u rna e re tira -se ou tra vez u rna bo la . Q ua l a p robab ilid ade de cada

um d o s a co n te cim e n to s:

3 .1 . "sa lre rn duas bo la s de co r d ife ren te "?

3 .2 . "a s duas bo la s se rem da rnes rna co r"?

D e u rna u rna com 12 bo la s , 5 am are la s e 7 p re ta s , re tira -s e um a bo la e , sem a repo r, re tira -

-se u m a o utra .

4 .1 . Q ua l a p robab ilidade de sa il' a m are la na p rim eira tira gem ?

4 .2 . Q ua l a p robab ilidade de a p rim eira se r a rna re la e a segunda ve rde?

4 .3 . Q ua l a p robab ilidade de as duas se rem da rnesm a co r?

4 .4 . Q ua l a p robab ilidade de as duas se re rn de co r d ife ren te?

: ~ 0 N urn a d ete rm in ad a re qia o, ve rificou -se q ue , no s u ltirn os a nos , 5 0,3% d as c ria ncas na sc ida s

s ao r ap a ze s.

5 .1 . Q ua l a p robab ilidade de um casa l t e r um a 56 rapar iga?

5 .2 . Q ua l a p robab ilidade de um casa l, q ue p lane ia te r do i s filh os , te r p r im eiro u rn rapaz e depo is

u rn a r a pa rig a ?

5 .3 . Q ua l a p robab ilidade de u rn casa l com tre s filh os te r 56 rapar igas?

I H

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l.ancam -se em sirnu ltaneo do is dados cub icos . Q ua l a p robab ilidade de cada um dos acon te -

c imentos :

6 .1 . A : "A pon tuacao d os d ois d ad os e ig ua l " 7

6 .2 . B : "0 p rodu to da pontuacao d os d ois d ad os e 40/17

6 .3 . C :" A som a das pon tuacoes d os d ois d ad os e 8 "7

6 .4 . D : "A som a das pon tuacoes nos do is dados e m a io r que 5 e m eno r que 12 "7

Tem os um a m oeda em que a p robab ilidade de "sa il' ca ra " e tr ip la da p robab ilidade de "sa ir

e scudo ". Q ua l a p robab ilidade de cada um dos acon tec im en tos :

7 .1 . "sa irca ra "7

7 .2 . "sa ir escudo"?

7 .3 . "em do is lanca rnen tos , sa ir um a vez ca ra e um a vez escudo "7

7 .4 . "em tres lanca rnen tos , sa ir sem pre ca raou sem pre escudo "7

D e do i s acon tec im en tos A e B , sabe -se que p (A ) = = 0 ,7 2, p (B ) = 0 ,1 2 e p ((A UB )) = 0,28 .

Ca lcu le :

8 .1 . p (AUB).

8 .2 . p (A ).

8 .3 . p (An~ ).

R ela tivam en te aos acon tec im en tos A e B da ques tao 8 , que pode conc lu ir7

' l l i 0 Cons ide re um dado te traed rko com as faces num eradas 1 , 2 , 3 e 4 .

In diq ue e m n= [1 , 2 , 3 , 4 ), d ois a co nte cim e nto s:

10 .1 . com pa tive is .10 .2 . in com pa tive is , m as nao con tra rie s .

10 .3 . con tra rie s .

'T I 'I iIJ W Num a u rna , ha 12 bo las : 5 azu is , 4 ve rm elhas e 3 pre tas . A s bo las azu is sao num eradas de 1

a 5 , as v e rm e lhas de 1 a 4 e as p re tas de 1 a 3 .

R etirada um a bo la ao acaso , qua l a probab ilidade de cada um dos acon tec im en tos7

11 .1 . A : " sa ir a z ul" .

11 .2 . B : "sa irve rm elha ".

11 .3 . C : "sa irp re ta ".

11 .4 . D : "sa ir 1 " .

11 .5 . E : "sa ir 2 " .

11 .6 . F : "sa ir 3 ".

11 .7 . G : "sa ir 4 ".

11 .8 . H : "sa ir 5 ".

11 .9 . A nB .

11 .10 . AnD .

11 .11 . AUD .

1 .1 .1 2. B nF .

11 .13 . BUF .

11 .14 . C nE .11 .15 . CUE .

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A co nte cim e nto s e quipro va ve is . L ei d e L apla ce

" i l l ~ g Re tome 0 prob lem a 11 e cons ide re que se re tira rn da u rna duas bo las se rn reposkao ,

12 .1 . Q U< ;lIa p robab ilidade de as duas bo las s e r e r n da r n e s r n a cor ou co rn a m e sm a p o n tu a c a o ?

12 .2 . Q ua l a p robab ilidade de as bo las se re rn da rnesrna co r e a som a das pon tuacoes se r 5?

' i l l Reso lva 0 p rob lem a 12 , cons iderando que houve r e p o s i c a o .

'm l . a n c a r n - s e em s i m u l t a n e o d ois d ad os c u b i c o s perfe itos . Q ua l a probab ilidade de 0 produto

das pon tuacoes s er 1 2?

A ) .l B )1 C ) I D ) .l3 6 3 9

] ~ T ' Ao lanca r em s irnu ltaneo urna rnoeda nao v ic iada e um dado te traed rko pe rfe ito (com as

faces num eradas de 1 a 4 ), qua l a p robab ilidade de obte r ca ra na r noeda e 3 n o d ado ?

A )1 B )1 C )1 D ) _ 14 8 2 16

'~ Urn dado cub ico com 3 faces nu rneradas com "zero ", duas co rn u u rn" e u rna corn "do is " e

u r n dado t e t r a e d r i c o com as f a c e s nurneradas 0 , 0 , 1 e 2 sao l a n c a d o s e rn s irnu ltaneo . Q ua l a

p robab ilidade de a so rna das pontuacoes ser u rn num ero na tu ra l?

A)l B ) 1 C )~ D)l3 12 4

'8 R etira m-s e d uas ca rta s d e u r n ba ra lho de 40 car tas , s e m r e p o s ic a o da p rirne ira ca rta . Q ua l a

p ro ba bilid ad e d e a m b a s a s c arta s s ere rn n ases"?

A) 2 8 ) 1 C) 1 D)_1130 130 100 80

1 J ( l ~ i D e d ois a co nte cim e nto s in co m pa tfv eis , X e Y , s ab e-s e q ue :

1p (X ) = 4p (Y ) e p (XUY) =2 '

En tao

1A) p (X ) = " 8

1B ) p(Y) =8

. 1C ) p (X ) =10

1D ) p (Y ) =10

A bre -se , a o ac as o, u r n li vr o , f ic a n d o a v is ta d ua s p a q i n a s nu rneradas. A p robab ilidade de a

s orna do s n u r n e r o s dessas p a q i n a s s e r lr np a r e :

A ) O B ) 1 C ) l .3 2

D ) 1

(EN 1997 - 2 .· F ase )

20.1 .

C ada u rn de 10 ca rt6es te rn u rn num ero escrito . C inco dos num eros sao pos itivos e c inco sao

negat i vos .

R etira nd o a o a ca so 2 d esse s ca rto es , e xis te rn aio r p rob ab ilida de d e q ue 0 p rodu to dos nurne -

ro s n ele s e sc rito s s eja p os itiv o o u n eg ativ o? J us tifiq ue .

A condusao a que chegou na a llnea an te rio r m ante r-se-a no caso de se re rn re tirados 3 ca r-

t oe s? Ju s ti fiq u e .

20 .2 .

(E N 1 996 - 2 .· P ro va E spe cia l)

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un i d a de In tro d u~ ao a o e a IcuIo d a s pr ob a b il id a de s

~21 Ia nc arn -s e s im u lta ne am e nte d o is d ad os :

• um te traed rico com as face s num erada s 1 , 2 , 3 e 4

• um cub ico com as fa ce s num eradas 1 , 1 , 2 , 2 , 3 e 3 .

A o la nca r os d ois d ado s, qu al a p rob ab ilida de d e:21 .1 . se ob te r a m esm a pon tua cao nos do is da dos?

21 .2 . a pon tuaca o do dado te trae d rico se r su pe r io r a d o d ad o c ub ic o?

22 D os ouv in te s d e um a e s ta cao rad io f6n ica , 3 7% ouvem 0 p ro g ram a X , 53% ouvem 0 pro-

g ram a Y e 15% ouvem am bos os p rog ram as . A o esco lhe r a lea to r iam en te um ouv in te de s ta

e sta ca o , q u al e a p rob ab ilida de d e q ue :

22 .1 . e scu te apena s um do s re fe rid os p rog ram as?

22 .2 . na o e scu te nenhum des tes do is p rog ram as?

(E N 1996 - 1 .. C ham ada )

: ~ . : 3 1 i P re ten de cr ia r-se um a nova g re lha d e p roq ra rn acao pa ra 0 pe r lod o que deco rre en tre a s

7hO O e as 8h30 d a rnan ha , d ispon do -se , p ara 0 e fe ito , de 2 p rog ram as de 1 ho ra - um m us i-

ca l e ou tro so b re de spo r to - e de 3 p rog ram as de 30 m inu tes - um de in fo rrn acao e do is

mus i ca i s .

E sco lh end o ao a ca so um a d as poss fve is g re lha s de p roc ra rnaca o. qu al a p rob ab ilida de de q ue

e la c on te nh a a pe na s p ro gra m as m u sic ais ?

N ota : A rnu da nca da o rde m de p rog ram as o rig in a d ife ren tes g re lh as .

(E N 1996 - 1 .. C ham ada )

;ir~f~

A < f r J ? N um a ro le ta de fe ira com 1 m de ra io , os sec to re s nao sao todo s igu a is :

• 0 sec to r A , q u e c o rr es p on d e a pon tu acao 4 , tem de a re a : m 2 ;

• 0 s ec to r B , q ue c orre sp on de a pon tua cao 3 , e fo rm ado po r um anqu lo ao cen tro de am pli-2 7 T

tude3

ad ;

• 0 s ec to r C c o rre sp o nd e a p on tu acao 2 . B

- - - - - - - - -4 .1 . R odando a ro le ta , q ua l a p ro bab ilid ade de :

24 .1 .1 . sa ir A ?

24 .1 .2 . sa ir B ?

24 .1 .3 . sa ir C ?

A

24 .1 .4 . n ao sa ir C ?

24 .2 . R oda -se tre s veze s a ro le ta .

2 4.2 .1 . Q u ais a s p os sfv eis s equenda s d e r es u lt ad o s ?

24 .2 .2 . Q ua l a p ro bab ilid ade de a som a das tres p on tu acoe s se r 1 0?

2 4.2 .3 . Q ua l a p ro bab ilid ade d e as tre s pontuacoes s ere m ig u ais ?

2 4.2 .4 . Q ua l a p ro ba bilid ad e d e a s tre s p on tu aco es s ere m d ife re nte s?

2 2 1

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A co nte cim e nto s e quipro va ve is . L ei d e L apla ce

1.1.1 3 1

p (A ) = 52 = " 4

p ( B ) = ~ ~ = t(C ) - _i__ 1

P - 52 - 13

1p (D ) = p (C nA ) = 52

4 13 1 4p (E ) = p (C UA ) = p (C ) + p (A ) - p (A nC ) = - + - - - = -

52 5 2 52 13- 3

p (C nA ) ="5 2

5 x 4 5p (G)=5"2=U

1.2 .

1.3.

1 .4 .

1 .5 .

1 .6 .

1.7.

2 .1 . p (azu l ) = 150 = t

2 1p (v e rm e lh a ) = 10 = 5 "

3p (p re ta ) = =10

p (n a o v e rm e lh a ) = 1 - t = ~

1p (v erm e lh a v p re ta ) = p (v erm e lh a) + p (p re ta ) = " 2

1 1r0 p (A , A ) = " 4 x " 4

2 .2 .

2 .3 .

2.4 .

2 .5 .

3.

1

4

4

1 3 13 v < A r0 p (V , A ) = = " 4 x " 4-4

3 V3 3

r0 p (V , V ) = = " 4 x " 44

3 .1 .1 3 3 1 6 3

p (a z u l e v e rm e lh a ) = p (A , V ) + p (V , A ) =

" 4 x " 4+

" 4 x " 4=

1 6=

" 81 1 3 3 1 0 5

p (d ua s b ola s d a m e sm a co r) = p (A , A ) + p (V , V ) = " 4 x " 4 + 4 " x " 4 = = 1 6 = " 8.2 .

4.

~A

r0 (A A ) -2x_i_

1p , - 1 2 11

5 A

1 2 7 P r0 (A p)-2X Lp , - 1 2 11

11

7

1 2

5

p~A

~p

11r0 p (P , P ) = '1

72 x - f ,

r0 (P A ) - .J _ x2p, - 12 11

4 .1 .5

p (A ) = 1 2 .

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In tro duca o a o ca lcu lo d as pro ba bi l id ad es

4 . 2 .5

p (A , V) = 12 X 0 = 0 ( e im po ss iv el s air v erd e n a s eg un da tira ge m, p ois n ao h a b ola s v erd es n a

u rna )

4.3.5 4 7 6 6 2 31

p (m e sm a c or) = p (A , A ) - I - p (P , P ) c= 12 X 11 - I - 12 X 11 = 1 32 = 6 6

. 5 7 7 5 7 0 35p ( co r d i fe r e nt e ) = p (A , P ) - I - p (P , A ) = 12 X 11 - I - 12 X 11 = 1 32 = 6 6.4 .

5 . 1 .

5 .2 .

p( rapaz) = 0 , 503 , l og o p ( ra p a ri ga ) = 1 - 0 ,5 0 3 = 0 , 497

p ( d ' , < ;? ) = 0 , 503 X 0 , 497 = 0 ,2 5 0 (3 c . d .)

5 .3 . p ( < ; ? , < ; ? , < ; ? ) = (0 , 497)3 = 0 ,1 2 0 (3 c . d .)

6 .1 . A = [ ( 1 , 1 ), (2 , 2 ), (3 , 3 ), (4 , 4 ), (5 , 5 ), (6 , 6 ))

p (p on tu a ~a o ig ua l) = _ § _ = _ ! _

36 66.2 . B = c p , lo go p (B ) = 0 ( imposs lve l o b te r p ro du to 40 )

6 . 3 . C = [(2 , 6 ), (6 , 2 ), (3 , 5 ), (5 , 3 ), (4 , 4 ))

5p (C) =36

6 . 4 . D = [(2 , 4 ), (4 , 2 ), (3 , 3 ), (5 , 1 ), (1 , 5 ), (1 , 6 ), (6 , 1 ), (2 , 5 ), (5 , 2 ), (3 , 4 ), (4 , 3 ), (2 , 6 ), (6 , 2 ), ( 3, 5 ), ( 5, 3 ),

(4 , 4 ), (3 , 6 ), (6 , 3 ), (4 , 5 ), (5 , 4 ), (4 , 6 ), (6 , 4 ), (5 , 5 ), (5 , 6 ), (6 , 5 ))

(D)=Qp 36

7.1 .

7 .2 .

7.3.

7.4 .

8 .1 .

8 .2 .

8.3.

9.

10 . 1 .

3

p(cara) =-4 1p (escudo ) = " 4

( )

3 1 1 3 3p (c ara , e sc ud o) o u (e sc ud o, c ara ) = - X - + - X - = -

4 4 448

p ((c ara , c ara , c ara ) o u (e sc ud o, e sc ud o, e SC Ud O ))= ( i r - I - ( ± Y = 176

P (~UB) = 1 - P((AUB)) = 1 - 0 ,2 8 = 0,72

p (A ) = 1 - p (A ) = 1 - 0 ,7 2 = 0 , 28

p (AnB) = p (A ) - I - p (B ) - p (A UB ) = 0 , 12

C om o p (A nB ) = p (B ) e p (A UB ) = p(A) , 0 a co nte cim en to B e sta in du ld o n o a co nte cim en to A .

Se A : " sa ir p ri m o"

e B : "sa ir rnu ltp lo de 3 "

en tao A = 1 2 , 3 1 e B = 1 31 , lo go A e B sao com pa tfve is , po is AnB * ' 4 )

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1 0 .2 . S e B : "s a ir m ultip le de 3 "

e C : "s airp ar"

en t a o B = 13 ]e C = 1 2, 4]; lo go C e B sao in com pa tive is (po is cnB = 4) )

e nao cont rar ios (p o is C UB t-I l, 2 , 3 , 4 ]) .

1 0 .3 . C = "sa ir pa r"

D = "sa ir im pa r"

c=12,4 ] ,0=l l ,3 ]

C e D sao co n tra r ie s (p o is cn o = ( p e CUD = 11 ,2 ,3 ,4 ]) .

n = IA " A 2 , A 3, A4 , A s, V l , V 2 , V 3, V4 , r , P 2 , P 3]

5p (A ) = 12

4 1p (B ) = 12 =3

3 1p (C ) = 1 2=4

3 1p (O ) = 12 =4

3 1p (E ) =12 = 4

3 1p (F ) = 12 = " 4

2 1p (G) = 12 = " 6

1p(H) = 12

1 1 .

11 .1 .

11 .2 .

11.3.

11 .4 .

11 .5 .

11 .6 .

11.7.

11 .8 .

A co n tec im en tos e q u i p ro va ve is . Le i de La p la ce

11 .9 . p (AnB ) = 0 (p o is (A nB ) = r p )

11 .10 .

11 .11 .

11 .12 .

11 .13 .

11 .14 .

1p (AnD ) = 12

531 7p (AUD ) = 12 - I - 12 -12 = 12

1p (BnF) = 1 2

4 3 1 1p (BUF) =12 - I - 12 -12=2"

1p (CnE ) = 12

12 .1 .

12 .2 .

13.1.

5 4 4 3 3 2 1 9p (du as da m esm a co r) = p (A , A ) - I - p (V , V ) - I - p (P , P ) = 12 x 11 - I - 12 x 11 - I - 12 x 11 = 6 6

_ 3 2 3 2p (du as com a m esm a pon tua cao ) = p (l, 1 ) - I - p (2 , 2 ) - I - p (3 , 3 ) - I - p (4 , 4 ) = 12 x 11 - I - 12 x 11-1-

1(p (5 , 5 ) = 1 2 x 0 = 0 )X l_-I- l_ X J_ = _ 1 _ ± _ =L.

12 11 1 2 1 1 132 66

p (duas c om a m esm a co r e m esm a p on tuac ao ) = 0

_ 19 7 13

p (m esm a co r ou m esm a pon tu aca o ) = 6 6 - I - 6 6 = 33p (m esm a co r e som a das pon tu acoe s 5 ) = p (A l, A 4 ) - /- p (A 4 , A l ) -I - p (A 2 , A 3) - I - (A 3, A 2 ) - I - p (V l, V4 ) - I -

1 1 5-I - p (V 4, V l) -I - p(V2>V 3) - I - p (V 3, V 2 ) - I - p (P 2 , P 3) - I - p (P 3, P 2 ) = lO X 12 x 11 = 6 6

5 5 4 4 3 3 25p (du as d a m esm a co r) = p (A , A ) + p (V , V ) - I - p (P , P ) = 12 x 12 - I - 12 x 12 + 12 x 12 = n

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un i d a de In tr od uca o a o ca lcu lo d a s pr ob a b il id a de s

p ( du as com a m esm a pon tu a cao ) = p (1 , 1 ) + p (2 , 2 ) + p (3 , 3 ) + p (4 , 4 ) + p (5 , 5 ) = 132 x 1

32 + 1

32 x

x2+2 x2+~ x~+_ 1 x_1=~=112 12 1 2 12 1 2 12 12 144 9

p (m esm a co r e m esm a pon tuacao ) = p (A l, A l) + p (A 2 , A 2 ) + ... + p (P 2 , P 2 ) + p (P 3, P 3) =

x_ 1 =_1

1 2 12 _ 25 2 1 3 5p (m esm a co r ou m esm a pon tuacao ) =n + '9 -12 = n

= 12 x _ 1 x12

14 . D

A = [(3 , 4 ), (4 , 3 ), (2 , 6 ), (6 , 2 )]

4 1p (A)=-=-

36 9

B

#D = 2 x 4 = 8 lo go p (B ) = i , p ois B = [(ca ra , 3 )]

1 5 .

1 6 . D

0 0 0 1 1 2

0 0 0 0 1 1 2

0 0 0 0 1 1 2

1 1 1 1 2 2 3

2 2 2 2 3 3 4

17 . B ( ' ') 4 3 1P a s as = - x - = -, 4 0 3 9 13 0

1 8 . D

S e s ao in co mpa tfve is , p (xnY ) = 0

+ = 4 p (Y ) + p (Y ) - 0 ¢> p (Y ) = 1 10

D

A o ab rir u m liv ro , h a s em p re u ma paqina pa r e um a paqina fm pa r, lo go a som a e s e m pre fm p a r.

P~P5 N

19 .

2 0 .

5

1 0

9

p (p rod uto po sitiv o ) = p (P , P ) + P (N , N ) =

. t ox

%+ 1

50 x

%=

%. 5 5 5 5 5

p (p ro du to ne qa tiv o ) = p (P , N ) + p (N , P ) = 10 x '9 + 10 x '9 = '9

E ma is p ro v a ve l 0 p ro du to s er fm p ar.

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A co nte cim e nto s e quipro va ve is , L ei cle L apla ce

20 .2 . ~ PP

PZN "-> N

< P ~ N < ~~ N

~ P

~ N

N < P ~ N ~ P

N <P~ P

N ~ N

21 .1 .

2 1 . 2 .

2 2 .

2 2 . 1 .

2 2 . 2 .

2 3.

p (p ro d uto p os it iv o ) = p (P , P , P ) + p (P , N , N ) + p (N , P , N ) + p (N , N , P ) = 150 x ~ x i + 1

50 x ~ x

x . ± +2 2 . x ± +2 2 . x . ± = 3 60 = .l .8 1 0 9 8 1 0 9 8 7 20 2

lo go p (p ro du to n eg ativ o) = 1_l = l = p (p ro d ut o p o sit iv o )2 2

R etira nd o tre s c arto es , s ao e qu ip ro va ve is o s a ca nte cim en to s: "p ro du to p os it iv e" e "p ro du to n eg ativ o ".

1 2 3 4

1 • 1 1 1 1 1 1';

1 • 1 1 1 1 1 1:. 2 • 1 1 1 1

(2 • 1 1 1 1

3 • 1 1\ji

3 • 1 1 ti ;

p (m e sm a p o ntu a ca o ) = _ § _ =l2 4 4

p (d a d o t et ra e d rk o > d a do c ub ic a l = ;~ = t

~

~

22 + 3 8 = 60 %

1 00 _ (2 2 + 1 5 + 3 8 ) = 2 5 %

S ejam M e D os p rog ram as de um a ho ra d e rnu ska e despo rto s , re spe c tiv am en te , e se jam r n . , m 2 e i o s

tre s p ro gra m as d e 3 0 min .

Poss fve i s g re l has :

I 77

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( .. ) 4 2P a pe na s p ro g r a m a s m u si c a l s = 18 = " 9

24 . 1 .

2 4 . 1 . 1 .

12 4 .1 .2 . p (B )= " 3

24 . 1 . 3 .5

p(C)=-

1 2- 7

p(C) =124 .1 .4 .

2 4.2 .1 . (2 ,2 ,2 ) (2 ,3 ,2 ) (2 ,4 ,2 )

(2 ,2 ,3 ) (2 ,3 ,3 ) (2 ,4 ,3 )

(2 ,2 ,4 ) (2 ,3 ,4 ) (2 ,4 ,4 )

(3 ,2 ,2 ) (3 ,3 ,2 ) (3 ,4 ,2 )

(3 ,2 ,3 ) (3 ,3 ,3 ) (3 ,4 ,3 )

(3 ,2 ,4 ) (3 ,3 ,4 ) (3 ,4 ,4 )

(4 ,2 ,2 ) (4 ,3 ,2 ) (4 ,4 ,2 )

(4 ,2 ,3 ) (4 ,3 ,3 ) (4 ,4 ,3 )

(4 ,2 ,4 ) (4 ,3 ,4 ) (4 ,4 ,4 )

2 4 .2 .2 . A = 1 (4 ,2 , 4 ), (3 , 3 , 4 ) , (4 , 3 , 3 ), (2 , 4 , 4 ), (3 , 4 , 3 ), (4 , 4 , 2 ))

6 2p (A ) = 27 = " 9

2 4 .2 .3 . B = 1 (2 ,2 , 2 ), (3 , 3 , 3 ), (4 , 4 , 4 ))

3 1p (B ) = 27 = " 9

2 4 .2 .4 . C = 1 (2 ,3 , 4 ), (2 , 4 , 3 ), (3 , 2 , 4 ), (3 , 4 , 2 ), (4 , 2 , 3 ), (4 , 3 , 2 ))

6 2p(C) = 27 = " 9

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2.1. T ec nic as d e c on ta ge m

2.2. T ria n qu lo d e P asca l

B " rm io d e N ew to n.3. In O

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u n i d a d e Comb i na t6 r i a

2.1. Tecnicas de contagem

A rran jo s c om r e p e t i c ao

A rr an jo s c om repe ticao ou arran jos com pletos de n elem entos de um conjunto , pap,

sao 0 co n ju n to de sequenda s de p e lem en tos (d ife ren tes ou nao ) que se pode fo rm ar com os n

e le m en to s d o c on ju nto d ad o.

l. an c a -s e q u a tr o v e z e s um dado cub ico . Q uan tos e lem en to s tem 0 espaco am os tra l des taexper iencia?

o e sp a co am o stra l e com pos to p o r e lem en to s d a fo rm a:

82 ,-..y

~2 .0 l a ncamen to

po den do , em cada u ma d as oco rre ndas 8" 82 , 83 e 84 , sa ir 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ou 6.

En t a o # n= 6 x 6 x 6 x 6 = 6 4 = 6A' 4

2 C om os e lem en tos do con jun to A = !1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ], q uan tos nu rne ros d is tin to s com 3

a lg ar is m os s e p od e fo rm a r?

cen t. d ez . u ni.

UUU7 X 7 X 7 = 73 = 7A'3 = 343

Com os e lem en to s do con ju n to A = !1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ], q uan to s n um eros p a re s de 3 a lg a r is -

m os se po de fo rm ar?

ce n t. d e z . u n i.

UUU7 X 7 X 3 = 7 2 X 3 = 7A ' X 3 = 147

2~

!a lg ar is m o d a s

u nid ade s (2 , 4 ou 6 )

C om os e lem en to s d o con jun to B = [0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 ], qua n tos num eros pa res d is tin to s de

tre s a lg ar is m os s e p od e fo rm a r?

ce n t. d ez . un i.

UUU6 X 7 X 4 = 1 6 8

(nao p o d e

s e r z e ro )

(p ode se r 0,

2 ,4 o u 6 )

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T e cn ica s d e co n ta ge m

1 D e quan tas form as d ife ren tes se pode responde r as se te quest6es de esco lha m ultip le de u rn

tes te , sa ben do que para cada quest ao h a 4 opcoes?

(f~

A m C inco am igos VaG ao bar da sua esco la , du ran te 0 i n terva le , com er um bolo. Sabendo que no

bar da esco la ha 13 va riedades de bo los, de quan tas m ane iras d ife ren tes e les podem faze r a

escolha?

: 1 No m enu de um restau ran te , ha 12 s op as e e ntra da s, 16 p ra tos e 7 sob remesas . 0 menu do

d ia da d ire ito a esco lhe r um a sop a ou en trada, 1 p ra to e 1 sob rem esa . 0 Joao va i a lrnoca r

todos os d ias a este restau ran te . Q uan tas vezes 0 Joao pode a lm oca r sem nunca repe tir 0

menu?

Q uan tos nurne ros pa res de 3 a lg aris mo s c om 2 a lg aris m os fm p are s e xis te m ?

I t : ..& Ian ca -se 20 ve ze s u rn d ad o cu bi co .

Quan tas s e q u e n c i a s dife ren te s se p ode fo rm ar?

Q ua l a p robab ilidade de , nos 2 0 l an ca rn e n to s , 0 re su ltad o s er se mp re ig ua l?

5.1.

5.2.

" SO LU l;oES.~.'~ .

1 . 4A ' =4 7=163847

2 . 13A ' = 13 5 = 37 1 2 935

3.

4.

5.1.

5 .2.

Pe rmu t a c o e s

Perrnutacoes de n elem en tos sa o 0 con junto de sequencias o rdenadas d is tin tas que se

pode fo rm ar com esses n e lem en tos .

P n = n !

sendo n ! = n(n - 1 ) x (n - 2 ) x ... x 3 x 2 X 1

I "T

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un i dade Comh i n a t o r i a

1 : : : 1 1

~ Quan tos anagram as ex is tem da pa lav ra AMOR?

P4 ==4! ==4 x 3 x 2 x 1 ==2 4

: 2 P or quan tas o rdens d ife ren tes se pode le r os c inco livros de um a es tan te?

P s==5!==120

3 : De quan tas fo rm as d ife ren tes se podem co loca r, em fila , os 30 e lem en to s de um a tu rm a?

P 30 ==30 !

,,~ ], D e quan tas fo rm as d ife ren tes se podem sen ta r 5 am igos em 5 luga res no c inem a, de m odo

que do is de le s , 0 l o a o e a Joana , fiquem jun tos num a das pon ta s?

Se c o ns id e ra rmo s 0 J oa o e a Joana com o um a 5 6 p es so a, te re m os P 4 fo rm as de sen ta r 0

grupo (Joao /Joana ) e os ou tros t res a mig os . N o e nta nto , 0 Joao e a Joana a inda podem per-

m uta r en tre s i. Ass im , h il P 2 X P4 ==2! x 4 ! ==48 fo rm as d ife ren tes de sen ta r os c inco am i-

gos no c inem a.

, $ D e quan tas fo rm as se podem sen ta r 6 am igos A , B , C , D , E e F a vo lta de um a m esa circu la r?

As s e qu e n ci as

(A , 8, C , D , E , F )

(B , C , D , E , F , A )

(C , D , E , F , A , B )

(D , E , F , A , B , C )

(E , F , A , B , C , D )

(F , A , B , C , D , E )

co r respondem a m esm a pos icao re la tiva dos 6 am igos a mesa . P

En tao , em vez de P 6 fo rm as de sen ta r os 6 am igos na m esa c ircu la r, h a f == Ps == 1 20 fo r-

m as d ife ren tes de sen ta r os 6 am igos num a m esa c ircu la r.

General izando, d ire mo s q ue :

n !Pn(c i rcu la res } ==- ==(n - 1 )!

n

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T ecn ica s d e co nta ge m"'C"".:-,;:;=o;.:.l!=::;:7;;.:.::!7~:.-~~~:::;:;::;~li;;:t~.7;:3.=::::=: ..: .!~~~;~::=~::::;:;::;;C:.s;;:."';i-:.!.;::::-;"--:i:.::.,:,~;:r::::.Z!r:::::::"'O:.:l!:::;::::::::=0~~~.;:: !! ;:::: !: ..c:~~,;,g:;:::;~·:=:~~:: !:~.: -~;~::.!..--=::-2::r:~;::;;C:;.". "";\;o~rr.:vt7;~..t:=-,::~-::,;;_-

1 A Isabe l tem um a co le ccao de chavenas . D e quan ta s fo rm as pode expo r, n um a p ra te le ira , a s

2 5 c ha ve na s d a c o le cc a o?

N um a tu rm a , ha 30 a lunos , do s qua is 20 fre quen tam B io lo g ia e 24 fre quen tam Q u fm ica

(to do s o s a lu no s fre qu en ta m , p elo m e no s, u m a d as d ua s d is cip lin as ).

2 .1 . Q uan to s a lu nos fre quen tam as duas d isc ip lin a s em s irn u lta neo?

2.2 . No fim do ano , de c id iram tira r 3 fo tog ra fia s : um a em que es tive s sem todos os a lu nos da

tu rm a; ou tra em que es tive s sem s6 os que fre quen tam B io lo g ia e ou tra em que es tiv e ssem

todos os que fre quen tam Q ufm ica e 56 es te s . A s fo tog ra fia s VaG se r tira das com os a lunos

se nta do s, e m fila , n o m uro d a e sco la . Q ua nta s fo to gra fia s d ife re nte s se p od em fo rm ar?

2 .3 . O s a lunos que fre quen tam B io lo g ia e Q ufm ica dec id iram ir ja n ta r com os p ro fe sso res des ta s

duas d is c ip lin a s . D e quan ta s m ane ira s se podem sen ta r num a m esa redonda , de m odo que :

2 .3 .1 . o s p ro fes so re s fiq ue m ju nto s?

2 .3 .2 . o s p ro fes so re s n ao fiq ue m ju nto s?

~~" , 9 S eis a m ig os c he ga m a esco la , conduz in do cada um a sua m oto rizada , e encon tram os dez

lu ga re s d o p arq ue d e es ta cio na me nto va zio s. D e q ua nta s fo rm as po de m e sta cio na r a s m ote -

r i zadas :

3 .1 . se nao houve r qua lque r re s tr icao?

3 .2 . se as se is m o to riz adas fic a rem todas ju n ta s num dos ex trem os do pa rque de es ta c io na -

men t o?

3 .3 . se as se is m oto riz adas fic a rem todas ju n ta s?

4 C om 8 fic ha s (2 b ran cas , 3 a zu is , 1 ve rde , 1 ve rm elha e 1 am are la ), q uan ta s sequenc ia s d ife -

re nte s s e p od e fo rm a r?

1. P25= 25!

2 .1. # (B UQ ) = 30

# B = 2 0# Q = 2 4

# (B nQ ) = #B + #Q - # (BUQ ), l o go # (B nQ ) = 142 .2 . P

30 + P20 -I - P2 4 = 30 ! + 2 0 ! -I - 2 4!

P 152 .3.1. P 2 x 15= 2 x 14 !

P P2 .3.2 . 1~ - P 2 X 1~ := 15! - 2 x 14! = 13 x 14 !

3.1.

3.2 .

3.3.

PlO= 10 ! = 3 6 28 8 00

2 x P6 := 2 x 6 ! := 14404X P6=4X6 ! = 2 8 8 0

P 8 1__ 8 _:= __ • _:= 3360

P 2X P32 !X3 !4 .

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u n i d a d e Comb i n a t o r i a

A rran jo s sem r epe t i c ao

A rra njo s s em repe tkao d e n e leme nto s pap sao 0 co nju nto d e s eq ue nd as o rd en ad as d is -

tin ta s de p e lem en tos (todos d ife ren tes ) que se pode fo rm ar com os n e le m en to s d o c on ju ntodado .

n A = n lP (n - p )!

1 D e quan tas fo rm as d ife ren tes se pode fo rm ar corn issoes de 3 e le m e nto s (p re sid en te , s ec re ta -

r io e tesou re iro ), en tre os 30 e lem en tos de um a tu rm a?

P re . S ec . T es .

UUU30 X 2 9 X 2 8 = 2 4 36 0

30A = 30 ! = 30 X 2 9 X 2 8 X 2 7 !3 2 7 ! 2 7 ! = 2 436 0u

§J!

d l: Q uan tos num eros d is tin to s com 3 a lga rism os , se pode fo rm ar com os e lem en tos do con jun to

A = [1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ] 7

UUU6 X 5 X 4 = 12 0

ou6A = .§l= 6X 5x4X 3! = 12 03 3! 3!

. .~~ Q uan tos nurne ros pa res , d is tin to s , com t res a lga r ism os, se pode fo rm ar com os e lem en tos do

con jun to A = (1, 2 , 3,4 ,5 ,6 ]7

2ou4o u

UU~

5 X 4 X 3 = 6 0

ou 5A2

X 3 = 6 0

L~ Q uan tos nu rne ros pares de 4 a lg ar is mo s d ife re nte s s e p od e fo rm ar?

2 ,4,6 ,

UUULQJ UUU~9X 8X 7X l

ou

+ 8 X 8 X 7 X 4 = 2 296

exc lu i -se 0 zero

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T ecn ica s d e co n ta ge m

n-3A4_ 1

C alcu le n , sa be nd o q ue n-2A --4 3

(n - 3 )!

1 <=> ( n - 3 - 4 )!

3 (n - 2 )!

(n - 2 - 4 )!

(n -3 )!(n -6 )! 1 (n -3 )!(n -6 )(n -7 )! 1

<=> (n - 7 )! (n - 2 )! =="3 1\ n 2 : 7 1\ n 2 : 6 <=> (n _ 7 )! (n _ 2 ) ( n _ 3 )! =="3 1\ n 2 : 7 <=>

n - 6 1 n - 6 1 3n - 18 - n + 2<=>--=-1\ n2 :7 <=>----==0 I\n2 :7<=> ==01\ n2 :7 <=>

n - 2 3 n - 2 3 3 (n - 2 )

R e so lv a a equacao:

(n - 4 ) (n - 5 ) (n - 6 )1<=> . == 12 1\ n 2 : 6 <=>n 2 - 9n + 20 == 12 1\ n 2 : 20 <=>

(n - 6 )!

<=>n 2 - 9n + 8 ==0 /\ n 2 : 6 <=>(n == 1 v n ==8) v n 2 : 6 <=>n ==8

~~ Quan tos nu rne ros d is tin tos com tres a lga rism os d ife ren tes ex is tem en tre 200 e 760? Des tes ,

q ua nto s s ao p are s?

Calcu le n , sa be nd o q ue :

n + lAnA + n-1A ==__ 4

3 2 10

3.1.

3 .2 .

3.3.

l .a n ca -s e t re s ve zes um dad o cubico nao v ic ia do e a no ta -s e 0 resu l tado.

Q uan ta s sao as s equenda s d e re su lta do s p os sfv eis ?

Quan t as sequerxias sa o fo rm a da s p or v alo re s to do s d ife re nte s?

Q ua l a p robab ilidade de as t re s e xt ra cco e s serem nume ro s in te iro s c on se cu tiv os (p or o rd em

crescente)?

Com os e lem en tos do con jun to [0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 8 , 9 ], quan tos num eros pa res de 4 a lga rism os

d ife re nte s s e p od e fo rm a r?

5.1 .

5 .2 .

5.3.

5.4.

Num a tu rm a de 25 a lunos , va i-se fo rm ar um a com issao de t r e s e lem e nto s p a ra o rg an iz arem

o passe io de es tudo . D es ta com issao , um fica enca rregado da reco lh a de pa troc fn io s, ou tro

dos con tac tos com as a q e n c i a s de v iagem e ou tro dos con tac tos com m useus. D e quan tasfo rm as se p od e o rga niza r e sta co missa o:

se nao h ou ve r q u alq u er re s t rkao?

se 0 d ele ga do d e tu rm a p erte nce r a com i s sao?

se pe lo m enos u ma da s 17 rapa rigas pe rtence r a comissao?

se 0 Joao e a Isabe l nao pe rtence rem em s im ultaneo a comissao?

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un i d a d e C om b i n at o ri a

1 .1,2 ,2 ,3 ,

14 '~ '1

3,4,

U U au U L 2 J U5 x 9 x 8 + 1 x 5 x 8 ==400

D e s te s , s a o p a re s : 70 , 2 ,

WU~ WU 14 '~ '1 W U~,8 ou au 6 ,8 au

1 x 8 x 4 + 1 x 8 x 5 + 1 x 8 x 4

0 ,2 , 1,3 ,

l2JU~ WU~ L z J~Wu 4 ,8 ou au

1 x 8 x 5 + 1 x 8 x 4 + 1 x 5 x 1

1,2 , 0 , 1 , 1 ,2 ,

L ? J L 1 J ~ ou l ? J L l J ~ ou L 2 J D J ~ au1 x 5 x 1 + 1 x 5 x 1 + 1 x 5 x 1 ==196

n+1A 1 (1 )1 (n + 1 )!2 . nA +n -1A = = _ _ 4 < = > n . + n - . = = / \n~3 / \n -1~2 / \n+h4<=>

3 2 10 (n -3 )! (n -3 )! 10 (n - 3 )!

(n + 1 )1< => n ! + (n - 1 )! = = 10 · /\ n ~ 3 < => 10 n (n - 1 )! + 10 ( n - 1 ) ! - (n + 1 ) n ( n - 1 )! /\ n ~ 3 < =>

< => (n - 1 )! (1 0 n + 10 - n 2 - n ) = = 0 /\ n ~ 3 < => (n - 1 )! ==0 v n 2 - 9n - 10 = = 0 ) /\ n ~ 3 < =>

9±Y81 +40

2

3 .1 .

3 .2 .

3 .3 . O s c as os f a v o r a v e i s s ao a s s e q u e n c i a s (1 , 2 , 3 ), (2 , 3 , 4) , (3 , 4 , 5) e (4 , 5, 6 ).

En t i o : n ." c a sos favorave is == 4

n . ? c a so s p a ss iv e is = = 1 2 0

4 1p==-==-

120 30 24

UUU~ UUU~.

au9 x 8 x 7 x 1 + 8 x 8 x 7 x 4 = = 2296

2 5A3

= = 13 800

2 4A2 == 552

5.1.

5 .2 .

5.3. 170 8 d'

1 2

ou 2

au 3 o

~6 I

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Tecn i c a s d e con l a gem

Comb i n a c o e s

Combinacoes d e n e le me nto s pap sao 0 nu rnero de subcon jun tos de p e lem entos que se

pode fo rm ar com os n e lem en tos do con jun to .

"C = n !P p ! (n - p )!

p X n c = I X n !

P P p . p !(n - p )!

n ! = n A

(n - p)! P

C alc ule P C3, sabendo que PA

3= 13 8 00 .

PC = PA3 = 138 00 = 23003 P3 3)

Um te ste e fo rm ado por 2 3 ques t oe s , d as q ua is t e r ao d e s er e sc olh id as 18 por cada a luno .

De quan tas fo rm as se pode esco lher es te g rupo de 18 ques t oe s?

/" - .. ~

2 3 c =33 64918

Num a turm a com 27 a lunos, ha 12 rapazes. Q uan tas corn issoes de 3 e lem entos se pode fo r-

m ar obe decend o a s segu in tes c ondko e s :

4 .1 . a com issao e fo rm ada po r 2 rapazes e 1 rapa riga .

4.2. a c om is sa o e fo rm ada s6 po r rapazes.

4.3. a c om is sa o e fo rm ada pe lo m enos por 1 rapaz.

4 .4 . 0 J oa o, q ue e de legado de tu rm a, tem de fazer parte da com issao e os ou tros 2 e lem entos sao

rapazes.

4.2.

12 d' 159I I2 1

12C X 15C1 = 9902

12 d' 159I I3 0

12C x 15CO=2 2 0

3

12 d' 159

I I

1 2ou 2 1

ou 3 0

4.1.

4.3.

12C X 15C + 12C X 15C + 12( X 15C = 2470 ou en t ao1 2 2 1 3 0 '

N .D de co rn is s oe s =27(3

N .D d e c orn is so es s 6 c om ra pa rig as = 12(0 X 15(3

N .D d e c orn is so es c om pe lo menos 1 rapaz =27(3 - 12(0 X 15(3 = 2470

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C om b i n a t 6 r i a

4 .4 . 1 2 d' 15 < ;>

/\Joao 1 1 d'

I I2 0

1( X 11( X 15( - 551 2 0- -,

t ~ ; Num bara lh o de 52 ca rta s , q uan to s g rupos de 7 ca rta s se pode fo rm ar de m odo que ten ham

pe lo m enos um as?

4 ases 48 nao ases

I I6

ou 2 5

ou 3 4ou 4 3

4(1 X 48(6 + 4(2 X 48(5 + 4(3 X 48(4 + 4(4 X 48(3 = 60 1 55 488

o u e nta o 52(7 - 4(0 X 48(7 = 60 1 55 488

num e ro t o ta l 0 7

d e g rupo s a se s nao a se s

Um a u rna con te rn 7 bo las a zu is e 3 bo la s ve rde s . D e quan ta s fo rm as se pode tira r 3 bo la s da

u rna , de m odo que se jam :

6 .1 . 2 a zu is e 1 v e rde?6 .2 . to das azu is?

6 .3 . nenhum a azu l?

6 .4 . p e lo m enos 1 azu l?

6.1 . 7A 3V

2

7( X 3( = 632 1

6.2 . 7A 3V

3 0

7(3 X 3(0 = 35

6.3. 7A 3V

0 3

7( X 3( - 1o 3-

6.4. 7A 3V

1 2

ou 2

ou 3 0

7( X 3( + 7( X 3( + 7( X 3( = 1191 2 2 1 3 0

ou 10(3 - 1 = 120 - 1 = 119'--v-J

38 1

num ero de g rupo s de 3 bo la s

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-

T ecn ica s d e co n ta ge m

1 1 C inco a migo s, A na , B ea tr iz , C arlos , D ora e E dua rd o, V aG t ira r um a fo to gra fia sen tado s n um

m uro . D e q uan tas fo rm as d ife re ntes se pod em se nta r se :

1 .1 . n ao houve r qua lque r res tricao?

1 .2 . a Ana fica r num a das pon tas?

1 .3 . a Bea tr iz fica r no m e io?

1.4. 0 C arlos e a D ora fica re m jun tos n um a da s po ntas?

1.5. 0 C arlo s e a D ora fica re m ju nto s?

1 .6 . cada rapaz fica r en tre duas rapa rigas?

1 .7 . as rapa rigas fica rem todas jun tas?

1 .8. a s rapa rigas fica rem de um lado e os rapazes do ou tro?

A Joana es ta a a rrum ar a es tan te onde se encon tram 2 liv ro s de Po rtu ques , 1 de M ate rna tka ,1 de B io lo g ia , 1 de F fs ica , 1 de Q ufm ica , 5 rom ances e 4 liv ro s de poes ia .

D e q uan tas fo rm as po de a Joan a a rru ma r os liv ros :

2 .1 . se nao houve r qua lque r res tr icao?

2 .2 . se os liv ros de es tudo fica rem todos ju n to s num a das pon tas da es tan te?

2 .3 . se os liv ros de es tudo fica rem todos ju n to s?

2 .4 . se fica rem jun tos os liv ro s do m esm o qene ro (es tudo , rom ance , poes ia )?

A A na , B ea triz , 0 C arlos , a Do ra e 0 E du ard o fo ra m ja nta r. Q ua nd o ch eg ara m a o re sta ura nte ,

o em pregado in dicou -Ih e u ma m esa redo nd a p ara se se nta re m.

D e q ua ntas m an eira s se po de m sen ta r a vo lta da m esa se :3 .1 . n ao houve r qua lque r res tr icao?

3 .2 . se as rapa rigas fica rem todas ju n ta s?

3 .3 . se os rapazes nao fica rem jun to s?

, ! : 1 , A Is ab el v ai p re en ch er 0 bo le tim do T otobo la , m as pe rceb e p ou co d e fu te bo l.

D e q ua nta s fo rm as d ife re nte s p od e p re en ch er 0 b ole tim s e:

4 .1 . joga r com duas apos tas s im ples sem qua lque r re s tr icao?

4 .2 . joga r com tr ip las nos do is p rim eiro s jogos?

4 .3 . joga r com um a trip la num dos 14 jogos?

4 .4 . joga r com duas apos tas s im ples , m as , no m esm o jogo , o s re su ltados fo rem todos d ife ren tes?

4 .5 . joga r com duas apos tas s im ples sem co loca r em nenhum a de l as 0 s lrn bo lo x ?

,:,~ C om os e lem en tos do con jun to A = 11 , 2 , 3 , 4 ,7 , 9 )vao -se fo rm ar num ero s de 3 a lga rism os

(d ife re nte s o u igu ais ). Q ua nto s n um ero s se p od e fo rm ar:

5 .1 . sem qua lque r res trkao?

5 .2 . de m odo que se jam pa re s?

5 .3 . de fo rm a que se jam m u lt ip le s de 3?

Q ua nto s n urn ero s p are s d e 3 a lga rism os e xis te m?

7 .1 . Q uan tos b ilhe tes de lo ta r ia ex is tem , sabendo que a nu rne racao de cada b ilh e te e f o rmada

p or 5 a lg aris mo s (0 b ilh e te "00000" nao e vendido)?

7 .2 . E n tre os b ilh e te s de Io ta r ia , quan to s ha que te rn duas e s6 duas vezes 0 3 n a s ua n urn era ca o?

7 .3 . E n tre os b ilhe tes de um a serie , quan ta s 'C ap icuas ' h a? ('C ap icua ' e um nu rne ro que se Ie da

m esm a fo rm a da esque rda pa ra a d ire ita e da d ire ita pa ra a esque rda , ou se ja , do tipo abc b a .)

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C om b i n a t 6 r i a

g ~ J . t .1 , 1 : 1 1 O s 'num ero s ' de te le fone de um pa rs sao fo rm ados da segu in te fo rm a:

I I I I " 1 _ j _ J _ J

1T ~6 a lg a ris m o s id e n tif ic a nd o 0 pos to

---- 2 a lga rism os iden tificando a req ia o (d ife ren te s de ze ro )

---1 a lga rism o iden tifica ndo a rede (e ' * 0 )

8 .1 . Q uan tas rede com po rta e s te s is tem a 7

8 .2 . Em quan tas reg i6 es se pode d iv id ir es te pa rs pa ra e fe ito s de qes tao da rede te le f6 n ica 7

8.3 . Q uan tos ass in an te s de pos to fixo pode rao ex is tir , no m ax im o, em cada req ia o?

8.4 . Q uan to s ass in an te s , no m ax im o, pode ra te r a rede nac io na l7

ftl'~

'2' O s c6d igos de secu rance de um s is tem a sao fo rm ados po r 3 voga is segu ida s de 5 a lga rism os

e te rm inando com um a consoan te . Q uan to s c6d igo s de sequ ranca se pode fo rm ar (cons ide reque 0 a lfa be to te m 2 5 le tra s)7

C l l i 0 Se te am igos fo ram ao c inem a. Q uando en tra ram , ve rif ic a ram que , po r engano , t inham com -

p ra do o ito b ilh ete s.

10 .1 . D e quan tas m ane iras se podem sen ta r no s o ito lu ga res7

10 .2 . S e dec id irem de ixa r va z io um dos luga re s das pon ta s , de quan ta s m ane iras se podem sen ta r7

L 1

ii

No jogo do "ra spa e ganha ", pode -se ganha r

um pre rn io in s ta n taneo desde que se ra spe

exac tam en te a s se tas que levam ao p re rn io (e

na o as o utra s se ta s). 0 esquem a de um ca r-

tao d es te jogo es ta n a figu ra jun ta .

D e quan ta s m ane ira s se po d e raspa r 0 car-

t a o?

Q ua l a p ro ba bilida de de gan ha r 0 p rc rn io 7

11 . 1 .

1 1.2 .• J

N um a corr ida em 8 p is tas , de quan ta s fo rm as

podem se r conqu is ta dos os 3 p rim eiros lu ga -

res7

'i i t.~~ "\I I

13 .1 . O uan to s num eros d is tin tos com os a lga rism os todos d ife ren tes e x is tem en tre 1000 e 40007

13 .2 . D es tes nu rne ro s , quan tos sao pa res7

13 .3 . E q uan tos sao m u ltip le s de 1007

l14 .1 . C om os e lem en tos do con jun to B = [0 , 1 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8J , quan to s nu rne ro s de tres a lga rism os

d ife re ntes se po de fo rm ar se m qu alq ue r re str ica o 7

14 .2 . D es tes num ero s , quan to s sao :

1 4.2 .1 . p are s7

14 .2 .2 . m ult ip les de 5714 .2 .3 . m ult ip les de 107

14 .2 .4 . m ult ip les de 97

401

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T ecn ica s d e co n ta ge m

' ~ t I l Num a tam bo la , fo ram lancados 1000 b ilhe tes , dos qua is 100 sao p rem iados. D e quan tas

mane i ra s s e p o de r et ir ar s im u lt an e ame n te t res b ilhe tes , de m odo que do is e 5 6 d o is s eja m p re -

m i ados?

'm ! t S ] ) Num s aco , e st ao qua tro bo las de igua l tam anho , num eradas de 1 a 4 . T iram -se , sem repos i -

~ao , as quatro bo las do saco . Q ua l a probabi l idade de as bo las salrern p or o rd em cre sce nte

de nurneracao?

A)_1 B)1 . C ) .l D).l24 3 4 6

(E N 1 99 7:- P ro va M o de lo )

No ba r de um a esco la estao a venda c inco tipos de paste ls (Ia ra nja , fe ija o, n ata , co co e a me n-

d oa ). Q uatro a mig os, J o a o , M aria , P au lo e R u i, dec idem com er um pas te l cada um . 0 J o a o

esco lhe pas te l de la ran ja ou de f e i j ao . A M aria n a o e sc olh e p as te l d e n ata .D e q ua nta s m an eira s d ife re nte s p od em s er e sco lh id os o s paste ls?

A)5C4

B )5 2+4+2 C )5 2X4X2 D )5A4

(E N 1 99 7 - P ro va M od elo )

.~ ,~ N um to rne io de xad rez , cada jogado r jogou um a pa rtida com cada um dos ou tros jogadores .

S up on do qu e p artic ip ara m n o to rn eio d ez jo ga do re s, 0 n urn ero de p artida s d isp uta das fo i:

A )10C9

B)10C2

C )10x9 . D )10 !

(E N 1998 - 2 .' F ase )

oJoao tem no bo lso do casaco um a m oeda de 50$00 , duas m oedas de 100$00 e t r e s moe -

d as d e 2 00 $0 0. <

f

R etirando duas m oedas ao acaso , qua l e a p robab ilidade de , com e las , pe rfa ze r a quan tia

e xa cta d e 2 50 $0 07

A ) .l B ) .l5 4

(E N 1999 - 2 .' C ham ad a)

D e quan tas m ane iras se pode sen ta r t r e s rapa rigas e qua tro rapazes num banco de se te luga -

res , sabendo que , em cada um dos extrem os, fica um a rapa riga?

A ) 120 B ) 240 C ) 720 D ) 5040

(EN 1999 - 2 .' F ase )

Suponha que cada um dos 6 m i l m i l h o e s de hab itan tes da T erra recebe um c a r t a o de i de n ti fi-

ca~ao com um a sequenc ia de le tra s . Q ua l tem de se r 0 num ero m in im a de le tra s a usa r em

cada cartao. para garan tir que as sequendas se ja m to da s d ife re ntes ? (C ons id ere q ue 0 alfa-

be to tem 26 le tra s e que todos 05 c arto es te rn 0 m es mo n urn ero d e le tra s.)

A ) 5 B ) 7 C ) 10 D ) 12

(EN 1995 - P E l

Q uantos num eros de 4 a lga rism os d ife ren tes ex is tem en tre 1000 e 4600?A ) 3600 B ) 2325 C ) 1792 D ) 3014

I AT

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un i dade Comb i n a t 6 r i a

Num a lo ta ria , em cada b ilhe te es ta m a rcado um num ero de 6 a lga rism os e a se rie (ha 6

s er ie s e 0 nurnero " 0 00000 " n ao e v alid o).

Q ua l a p robab ilidade de 0 p re rn io sa ir ao nu rne ro 555 555, 5 .a ser ie?

A ) 1 B ) 1 x 1 C ) 1 D ) 16 x 1 0 6 10 6 - 1 6 9 6 6 X 9 6

N um a rifa , fiz era m 1 0 0 0 b ilhe tes e ha 2 0 pre rn io s . Q ua l a p robab ilidade de, com prando tres

r ifa s, d ua s s ere m p re m ia da s?

A ) l B )~2 5 50

C ) 93 1830835

3

D ) 1 66 1 67 0 0 0

Um a em presa de co fres a tribu i ao acaso um c6d igo secre to a cada co fre que com erc ia liza .

C ada c6d igo secre ta e fo rm ado po r quatro a lga rism os, po r um a ce rta o rdem . E sco lhendo -se

um co fre ao acaso , qua l e a probab ilidade de 0 c6 digo te r e xa cta me nte tre s z ero s?

A ) 0 ,0 0 0 4 B ) 0 ,0 0 2 7 C ) 0 ,0 03 6 D ) 0 ,0 0 4

(E N 199 7 - 2 .' C ham ada )

26 N um a ca ixa , es tao 1 2 bo las -de -be rlim de igua l aspec to ex te rio r . N o en tan to , 5 nao te rn

c rem e. R etirando da ca ixa 3 desses bo los ao acaso , a p robab ilidade de que apenas um de les

tenha c rem e e:

B ) _ l _ _66

C)~2 6 4

(EN 1996 - P r o v a Mode l o )

:~;7 Fo ram o fe rec idos dez b ilhe tes pa ra um a peca de tea tro a um a turm a com doze rapazes e

o ito ra par ig as . F ic ou d ec id id o qu e 0 g rupo que va i ao tea tro e fo rm ado por c in co rapazes ec inco rapa rigas . D e quantas m ane iras d ife ren tes se pode fo rm ar es te g rupo?

A ) 12C x 8C B ) 12A x sA C ) 1 2 x 8 x 52 D ) 1 2 ! x 8 !5 5 5 5 5!

. t r t l ~ G : ~

.Jt,~ N a fig ura , e sta o re pre se nta do s:

• 0 rio q ue a tr av es sa c er ta lo ca lid ad e;

• um a ilha s itu ada no le ito desse rio ;

• a s o ito pon tes que ligam a ilha as m argens ;

• H rep resen ta a hab ita cao e E a esco la de um

jo ve m d es sa lo ca lid ad e.

P a ra e fe ctu ar 0 percu rso de ida (casa -ilha -

- es c ola ) e v o lta ( es c ola -ilh a -c a sa ), 0 jovem po d e

segu ir var ie s cam inhos que d ife rem uns dos

o utro s p ela se qu en cia d e p onto s u tiliz ad os .

Ind ique quan tos cam inhos d ife ren tes pode 0

jo vem segu ir, num pe rcurso de ida e vo lta sem passa r duas vezes pe la m esm a ponte .

A ) 5 x 3 + 4 x 2

C ) 5 + 4 + 3 + 2

B) 5 x 4 x 3 X 2

D ) 5 2 x 32

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:a:t-)UU

Tecnicas d e c on ta g em

A ) 8 X 8(2

64(()_22

8

Adm ita que tem a sua fren te um tabule iro de

xad rez , no qua l pre tende co locar o s do is cava -

lo s b ran co s d e ta l m odo que fiquem na m esm alinha ho rizon ta l. De quan ta s m ane ira s d ife ren -

te s pod e co loca r o s d o is cava lo s no tabule iro ,

re spe itan do a co nd ica o in dica da ?

(E N 1 99 9 - P ro va M od elo )

N um de term inado pa is , a s m atriculas de auto m6ve l sao fo rm adas po r duas le tras iden tifica ti-

va s da regiao , seguida s de tre s a lga rism os. C om o estao pre stes a e sgo ta r-se a s m atricula s

possive is , d ecid iu-se acrescen ta r um a le tra ao fin al d a m atricula (as m atriculas ja exis ten tes

ficam com um A no fina l). C om o se preve , a m ed ic prazo , a necessidade d e 20 000 m a tricu-

las po r reqiao , d iga se sera suficien te esta m ed ida , ind ican do exactam en te quan tas m atr icula s

se ob te rao po r reqiao (0 a lfabe to do pa is e com po sto po r 23 le tra s).

< fI I

{ J N um a turm a de 30 alunos, i alunos sao fas dos "Da W ease l", 6 sao fas dos "O rn ato s V io -

j le ta " e 16 nao sao fas de nenhum deste s do is grupos. Qua l a probab ilid ade de , esco lhid o s ao

acaso d o is a lunos d a turm a, e les se rem fa s do m esm o grupo?

o c6d igo d e um cartao m ultib anco e um a sequencia de qua tro a lga rism os, com o, po r exe rn -

pl o, 0 559.32 .1. Quan to s c6d igos d ife ren te s exis tem com um e um so algarism o ze ro ?

32 .2 . Im agine que um am igo seu va i ad quir ir um cartao m ultib anco . Adm itin do que 0 c6d igo de

qua lque r ca rta o m ultib an co e atr ib uido ao acaso , qual e a prob ab ilid ad e de 0 c6 digo d esse

ca rtao ter o s a lga rism os to do s d ife ren te s? A pre sen te 0 re sultado na fo rm a d e d iz im a.

(E N 1998 - 2.' Ch ama d a )

U m fisca l do M in is ter io d as F inancas vai in specciona r a co n tab ilid ad e de se te em pre sa s , d a s

q ua is tres sa o club es d e fute bo l pro fiss io nal.

A sequencia segundo a qual as se te in specco es V a G se r fe itas e a le a t6 ria . Qua l e a pr ob a bi li -

d ade d e que as tre s prim eiras em pre sas in speccion ada s se jam exactam en te o s tre s club es de

fu te b ol ? A pr es en te 0 re sultad o na fo rm a de pe rcen tagem , a rred ondado as un idades.

(E N 1998 - 2 .' F a se )

Um a das provas do cam peon ato de atle tism o e a esta fe ta 4 x 100 m e tro s pianos, em que

cada equipa participa com 4 atle tas para fo rm ar a equipa da estafe ta . 0 dube "P es V oa do -

re s" vai participa r n a prova , d ispondo de 10 atle tas para fo rm ar a equipa de esta fe ta .

34.1. Quan to s con jun to s d ife ren te s e po ssive l co nstruir para fo rm ar a equipa d e estafe ta d este club e?

34.2 . Fo rm ada a equipa , e n ecessar io e stabe lecer a o rdem de pa rtk ipacao dos atle tas que a cons ti-

tue m. P or raz 6e s tacticas , e sco lhe u-se 0 Jo ao R ui pa ra in icia r a pro va, po den do os re s tan tes

a tle tas d a equipa pa rticipar em qualquer pos icao . De quan tas fo rm as d ife ren te s se pode

o rgan iza r e sta e quipa?

34.3. Ao tod o , V a G com petir n a prova 6 equipas d e dubes d ife ren te s . A co locacao das equipas

pe las 8 pis tas e fe ita po r so rte io . Qua l a prob ab ilid ade de a equipa d os "Pes V oado re s" co rrer

na pis ta 1, nao ficando nenhum a equipa na pis ta 27

(E N 1 996 - P ro va M od elo )

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IS

35 P re te nde -se co lo ca r sob re um tabu le iro s itua do a nossa fren te ,

c omo 0 a p re se n ta d o n a fig u ra , n o v e pe cas de ig ua l tam anho e fe i-

t io , d as q ua is q ua tro s ao b ra nc as e c in co sa o p re ta s.

(a da casa do ta bu le iro e o cupada po r um a 56 peca,35 .1 . M os tre q ue ex is tem 126 m ane iras d ife re n tes de as p ecas fica rem

c o lo c ad a s n o t ab u le ir o.

3 5 .2 . S upondo que as pe ca s sa o co lo cada s ao a ca so , d e te rm in e a p roba -

b ilid ad e d e u ma d as d ia go na is fic ar 56 c om a s p ec as b ra nc as .

(E N 1 99 8 - P ro va M od elo )

g : ; - ' 1 ~y

•.~t.) Um quad ro de pa lav ras c ru za das , con s titu fdo p o r 5 linha s e 5 co luna s , tem 9 quad rfcu la s a

che io . D es ta s , sa be -se que 5 ocupa rao os 4 can tos e 0 q ua dra do ce ntra l, p od en do a s re sta n-

te s o cu pa r q ua lq ue r o utra p os ic ao .

36 .1 . Q uan to s qua dro s d ife ren tes se po de o bte r sa tis fa zend o a s cond ico cs in dicad as?

36 .2 . Q ua l a p ro bab ilida de de que , a o e sco lhe r ao acaso um dos quad ros poss ive is , e s te ten ha pe lo

rn en os u m a d as d ia go na is co m q ua drfc ula s a ch eio ?

(EN 1996 - 2 : Fa se )

3jf Um a tu rm a de um a esco la se cunda ria tem 27 a lun os : 1 5 rapa riga s e 12 ra pazes . 0 de le gado

de tu rm a e um rapaz . P re ten de -se con s titu ir um a com issao pa ra o rga n iza r um passe io . A

com issao d e v e se r fo rm ada po r 4 ra pa rigas e 3 rapa ze s . A co rdo u -se que um dos 3 rap azes

d a c om is sa o s era n e ce ss a ria m e nte 0 d ele ga do d e tu rm a .

3 7.1 . Q ua nta s c orn is so es d ife re nte s se p od e co ns titu ir?

37 .2 . A dm ita que os 7 m em bros d a com issao , de po is de con s titu id a , Va G p os ar p ara u m a fo to gra -

fia , co lo cando -se uns ao la do do s ou tros . S upondo que e le s se co locam ao a ca so , qu a l e a

p ro ba bilid ad e d e a s ra pa rig as fic a re m to da s ju nta s?

Ap resen te 0 re su lta do n a fo rm a d e d iz im a, c om a pro xirn ac ao a s rn ile sirn as .

(E N 1998 - l." C ham ada )

~~8 Um com erc ia n te fo i in fo rm ado de que tem 4 em ba la gens p rem iad as en tre as 2 0 q ue a dq ui-

r iu d e um ce rto p rodu to , m as nao sabe qua is sa o . D ispo ndo as 2 0 em ba lagens em fila , na

m on tra , po r um a o rdem qua lque r, q ua l a p rob ab ilidad e de que a s em ba lagens p rem iada s

fiq uem to das jun ta s n o in fc io ou no fim da fila?

(E N 1996 - 2 ." C ham ada )

Um a pessoa tem de tom ar d ia riam en te , a m esm a re fe ica o , 2 com pr im idos de v itam ina ( e 1

c om p rim id o d e v ita m in a A .

Po r lap so , m is tu rou todo s os com pr im idos no m esm o fra sco . O s com prim id os te rn igu a l

a sp e cto e x te rio r, s en d o 2 0 de v itam in a A e 35 de v itam ina C .

A o re tira r s im u lta nea men te 3 com prim ido s do frasco , d e qua ntas fo rm as d ife ren te s 0 pode

faze r, de m odo que se jam tod os do m esm o tipo de v itam ina?

A o tom ar tre s com pr im idos ex is ten tes no frasco , qua l a p robab ilid ade de cum prir a s in d ica -

c oe s d o m e dic o?

39.1 .

39 .2 .

S eis am igos en tram num a pas te la ria pa ra tom ar ca fe e sen tam -se ao

a ca so num a m esa re c tan gu la r com tres luga res de cada la do , com o

e sq ue m atiz ad o n a fig ura ju nta .

D ete rm ine a p rob ab ilidad e d e do is desses a migos , a Joa na e 0 Ru i, f ic a -

rem sen ta dos em fren te um do ou tro .

( E N 1996 - 1 .a E p o ca E s pe c ia l)

(E N 1997 - 1 : C ham ada )

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T e cn ica s d e co n ta g em

P ara re pre se nta r P ortu ga l n um c am p eo na to in te rn ac io na l d e hoque i e m p atin s, fo ra m s ele cc io -

n ad os d ez jo ga do re s: d ois g ua rd a-re de s, q ua tro d efe sa s e q ua tro a v e n r a d o s .

42 .1 . S aben d o que 0 tre in ad or d a se leccao nac iona l op ta po r que P o rtuga l jogue sem pre com um

qua rd a - r e d e s , d ois d efe sa s e d ois avancado s , q ua nta s e qu ip as d ife re nte s p od e e le c on stitu ir?

42 .2 . Um pa troc inado r da se lec~ ao nac iona l o fe rece um a v iagem a c inco dos dez jogado res s e l e cdo -

n ad os , e sc olh id os a o a ca so .

Q ua l e a p robab ilidade de os do is gua rda -redes se rem con tem plados com essa v iagem ?

Apresente 0 re su ltado na fo rm a de f r a c c a o i r redutfvel .

N a f ig u ra , e st ao r ep re se n ta d o s do is p o lf g on o s :

• um pentaqono [ ABCD E ] ;

• u m q ua drila te ro [ F G H I ] .

D os nove ve rtices rep resen tados nao ex is tem tres co linea -res .

D ete rm ine quan tos trianqu los te rn com o ve rtices tre s dos

nove pon tes . de ta l m odo que do is ve rtices pe rtenca rn a

um dos po ifgonos e 0 te rce iro ve rtice pe rtenca ao ou tro

po l fgono.

A Sand ra e 0 Jo rge esco lhe ram cada u rn , e em seg redo , um

d os n ov e v ertice s re pre se ntad os . Q ua l e a p ro ba bilid ad e d e o s d ois ve rtic es , a ss im e sco lh id os ,

p erte nce re m a mb os a o m esm o p oifg on o?

Apresente 0 re su lta do n a fo rm a d e p erce nta ge m, a rre do nd ad o a s u nid ad es.

l~,~ Um a roda g igan te de um pa rque de d ive rsoes tem 12 cade i-

ra s , num e radas de 1 a 12 , com um luga r cada um a (ve r

fig ura ju nta ). S eis ra pa rig as e s eis ra pa ze s V aG a n da r n a ro da

g ig an te e s orte ia m e ntre s i o s lu ga re s q ue V aG o cu pa r.

Q ua l e a p r o b a b j i d a d e d e ra pa ze s e ra pa rig as fica re m s en -

ta do s a lte rn ad am e nte , is to e , cada rapaz en tre duas rapar i -

g as e c ada ra pa rig a e ntre d ois ra pa zes ?

Apresente 0 re su lta do n a fo rm a d e p erc en ta ge m .

(E N 1997 - 2 : C ha rnada)

43.1 .

43 .2 .

4

(E N 19 99 - 2 ." C harna da )

B

D'

(E N 19 99 - 2 . . C ha rn ad a)

/ ~ l i t t A Joana tem na estan te do seu qua rto tre s liv ros de Jose S a ram ago, qua tro de S oph ia de

M ello B reyne r A nd resen e c inco de C arl S agan .

Q uando soube que ia passa r as fe ria s a casa da sua av6 , dec id iu esco lhe r se is desses liv ros ,

pa ra le r du ran te es te pe rlodo de laze r. A Joana p re tende leva r do is liv ros de Jose S aram ago,

um de S oph ia de M ello B reyne r And resen e tres de C arl S agan .

44 .1 . D e quan tas m ane iras pode faze r a sua esco lha7

44 .2 . A dm ita ago ra que a Joana ja se lecc ionou 05 se is liv ros que ira le r em casa da sua avo .

S up on do a le ato ria a s eq uen cia p el a q ua l e ste s se is liv ro s V aG s er lid os , q ua l e a p ro ba bilid ad e

de os do is liv ros de Jose S aram ago se re rr i lid os um a segu ir ao ou tro 7 A presen te 0 resu l tado

n a fo rm a d e fra c~ ao irre du tfv el.(E N 1999 - 1 : C ham ada )

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un i d a de C om b i n a t o r i a

f~~ilijii"",

45 .1 . Q uan tos subcon jun tos tem um con jun to de 8 e lem en to s?

45 .2 . Q uan tos subcon jun tos tem um con jun to de n e lem en to s?

45 .3 . Um con jun to tem 105 subcon jun to s com 2 e lem en to s . Q uan to s e lem en to s tem 0 conjunto?

& t ] . © ) Num to rne io de fu te bo l, cada equ ip a tem de joga r um a vez com cada um a das ou tra s equ i-

p as . S e ho uve r 1 2 e qu ip as e m jo go , q uan tas p art id as se va n d isp uta r?

41 Um a u rna c o n t e r n 5 bo la s b ran cas , 3 p re ta s e 4 azu is . D e quan ta s fo rm as se pode re tira r

des ta u rna 3 bo las , de m odo que :

47 .1 . se ja L im a de cada co r?

47 .2 . se jam duas azu is e um a pre ta?

47 .3 . s e jam pe lo m enos duas azu is?

47 .4 . s e jam todas da m esm a cor?

.Im " f t . l

4\~ C on sid ere , n um p la no , 12 po nto s sob re u ma d rcu nfe re nd a.

48 .1 . Q uan ta s re c tas se pode fo rm ar com es te s 12 pon tos?

48 .2 . Q uan to s tr ia nou los se pode fo rm ar com es tes pon tos?

48 .3 . Q uan to s segm en to s o rie n tados se pode fo rm ar com es tes pon to s?

49 N um a tu rm a, ha 29 a lunos , do s qua is 12 sao rapa riga s . D e quan tas fo rm as se pode esco lh e r

um g rupo de 10 a lunos des ta tu rm a, de m odo que :

49 .1 . se jam todas rapa riga s?

49 .2 . se jam todos rapazes?

49 .3 . ha ja ta n to s rapazes com o rapa riga s?49 . 4 . 0 Joao , que e um a luno da tu rm a, per t enca a com i s sao?

49 .5 . a He lena e a Joana , que es tao zangadas , nao pe rte ncam em

s imul taneo a com is sao? c

B

C om os 7 pon tos da figu ra , quan ta s rec ta s d is t in ta s se pode

f o rmar?

A

51 . 2 .

51 . 3 .

R ep are n o cu bo d a figu ra .

C om os ve rt ice s do cubo , quan ta s re c tas d is t in tas se pode

f o rmar?

C om os ve rt ice s do cubo , quan to s p ia nos se pode fo rm ar?

Q ua l a p robab ilid ade de , es co lh id o ao acaso um p lano de fi-

n ido po r ve rt ice s do cubo , e le nao con te r um a fa ce do cubo?

•D

•F

~""~"f.. "

51 . 1 .

•E

.,,8{------ ----

" ~

,. . .,\"

Dos 12 pon to s de um p lano , 5 e s6 5 es tao a linhados .

Q uan to s tria nqu lo s d is t in to s se pode fo rm ar com tres dos 12 pon tos com o ve rtic es?

53 . 1 .

53 . 2 .

C ons id e re um po lfgono convexo com n lados .

C om o s ve rtice s d es te p oifgo no , qu an ta s re cta s se p ode fo rm ar?

E sco lh id a ao acaso L im a des ta s re c ta s , qua l a p robab ilid ade de que e la se ja um a d iagona l do

po l f gono?

C om os n e lem en tos de um con jun to (n > 4 ), fo rm am -se g rupos de 4 e lem en to s . S e ja a 0

nu rne ro de g rupos de 4 e lem en to s que con te rn um en te e b 0 num e ro de grupos de 4 e le -

m en to s que nao con tem esse e lem en to . Q ua l a re la cao en tre a e b?

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2 X 6A 'Z = 2 X 6 z = 72

UU~6 x 6 x 2

5 .3 . P ara um nu rnero se r m ultip le de 3 , a som a dos seus d ig ito s deve ra se r um rnu ltip lo de 3 .

• com os a lga rism os todos igua is _ ,. 6 (qua lque r num ero da fo rm a aaa e m ultip lo de 3 )

• com 2 a lg aris mo s ig ua is _ ,. 3 x 8 = 2 4 (o s nu rne ro s fo rm ad os p el a s pe rrn uta co es do s nu me ros 114,

117,339,441,447,771,774,993)

• com os 3 a lg a ri sm o s d if er en te s -7 P3X 7 = 42 (a s p erm utarce s d os n urn eros 12 3, 12 9, 147 ,2 34 ,

237,249 ,279)

H a, e nta o, 72 m ultip le s d e 3.

3.1.

3.2.

3.3.

4.1.

4.3.

4.5.

5 .1 . .

Tecn i c a s d e c on ta g em

1.1. P5=5!=120 1.2 . 2 x P4 = 2 x 4! = 48

1 .3 . P 4 = 4! = 24 1.4. 2 x Pz X P3 = 241.5. P z x P4 = 48 1.6 . P zX P3=12

<:». . . _ _ . ,

! !t ro ea C com D troca 0 g rupo C D co m A . B eE

1.7. M M M R R

}1.8 . 2 X P 3 X P z = 24

R M M M R 3 X P3 X Pz = 36

R R M M M

2.1.

2 .2 .

P15 = 15! = 1 3 0 7 6 74 36 8 0 0 0

2 X P6 X P g = 522 547 2 0 0

YL,Jtro ca do s troca do s6 livro sd e o utro s 9 livro ses tudoe nt re s i

2.3 . lO X P6 X P9 = 2 6 12 73 6 0 0 0

Yn .? d e po sk oe s e m q uep ed e he ar 0 g ru po d o sl iv r o s d e e s to d o

2.4. P3 X P6 X P5 X P4 = 12 441 6 0 0

Yt ro ca e n tr e053 grupos

P5

5=4! = 2 4

M

: O MM

P s5 -PZXP3=12

2 X 3A ' 14 = 2 X 314 = 9 56 5 938

14 X 3A '13= 14 X 313 = 22 32 0 52 2

z A '1 4 X ZA '1 4= 2 6 84 35 45 6

6A '3 = 6 3 = 216

4.2 .

4.4.

3A '1Z = 31Z = 531441

3A '1 4 X ZA'14=314 X 214 =6 14

5.2 .

6. UU U9 X lO X 5 = 450 .

7 .1. 10 5 - 1 = 99 999

In

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un i d ad e

7.2 . UUUUU3 3

3 3

3 3

3 3 J J1X 103

= 104

3 35 1(2

3 3

3 . 3

3 3

3 3

3 3

7.3.

lO X la x lO X 1 x 1 - 1 = 10 3 - 1 = 999

U U U UU "--

exc lui -se 0 "0 0 0 00 ",

q u e t am b e rn e cap i c ua

8 .1 . 9

8 .2 . 10 2 -1=99

exc lui -se 0 "0 "

8.3.

8 .4 .

10 6 = 10 0 0 0 0

9 x 99 x 10 6 = 8 91 0 00 0 0 0

9. ~~~~~~@J~ ~5 x 5 x 5 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 2 0 = 2 5 X 10 7

10.1 .

10 . 2 .

P8 = 8 ! (co mo se h o u v e s s e u m a migo inv is fve l q ue po de ria tro c ar tam be rn de lu ga r) = 40 32 0

2 X P 7 = 2 X 7 ! = 1 a 0 1 5 0

11.1.

11.2 .

P od e-s e ra sp ar d e 3 f or m a s d if er en te s .

4

13

8A3 = 336

1,

2

liJUUU3x9x 8 x7 = 1512

12 .

13.1.

13 .2 .

0,

2,

4,

1, 6,

li J U U ti l ou

2X 8 x 7 x 5 +

0 ,

4 ,

6 ,

WUUtil1 X 8 X 7 X 4 = 78 4

13.3. N enh um , po rque o s m ultip le s d e 10 0 te rm ina m em "00" , lo go te rn a lg ar is m os re pe tid os .

14.1. U U U6 X 6 X 5 = 18 0 4 ,

6 ,

14.2.1. U U ~ ou U U ~6 X 5 X 1 + 5 X 5 X 3 = 10 5

14.2.3. U U ~

6 X 5 X 1 = 30

14.2 .2 . UU ~ ou U U ~6 X 5 X 1 + 5 X 5 X 1 = 55

14.2.4. UIJU

10,1,8)-; .2 x z X l = 4UUU10 ,3, 6 )- ;. 2 X 2 X 1 = 4

UUU10 , 4 , 5)-;. 2 X 2 X 1 = 4

11,3,5) )o-P3= 6

Total-» 18

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Tecnicas d e contagem

15 . 900C1 X1OOC 2==4455000

16 . A . D as 24 fo rm as (4 !) d e tira r as b olas do saco , apena s um a e favorave l .

17 . C . 0 Io a o tem 2 h ip6 tese s de esco lh a , a Joana 4 e 0 Pau l o e 0 R ui [em 5 h ip6 teses (a esco lha de cada

u m e in de pe nd en te d as e sco lh as d os o utro s).

18. B. 0 nurne ro de subcon ju n tos com 2 e lem en tos e 1O C2 .

19 . A . 50$00

(1 )

1

100$00

(2 )

200$00

(3 )

1

lC X 3C 31p==

6C2 15

20 . C . 3A2

X Ps= x 1 20 == 72 0

21 . B . 26 5 =1 881 376 < 6 x 10 9

26 7=8031810176>6X 10 9

22 . C . Cornecados por 1 , 2 ou 3

5

1,

2,

~l2 JU U U3x9 x s x r

C o r n e c a d o s po r 4

0 , 1 ,

- - - _ _ _ : ~ ~ l J J U Ulx5x8X7

Lo go , 3 x 9 x 8 x 7 + 1 x 5 x 8 x 7 = 1792

23 . B . N .D d e b ilh e te s -> 106 - 1

N ,D d e s er ie s ->6

24 . c .931

830835

25 . C .

Casos pos si ve is -> 10 4

Casos favorave is -> ~ ~ 1 9 J U ou 1 9 J ~ U ~ ou 1 9 J U 1 9 J ~ ou U 1 9 J ~ ~1 x 1 x 1 x 9 + 1 x 1 x 9 x 1 + 1 x 9 x 1 x 1 + 9 x 1 x 1 x 1 ==3 6

36P =-= 00036

10 4 '

26 . D .

7 com crem e 5 sem crem e

2

7C X 5 c1 2

P = 1ZC3

7

22

27 . A.

120 '

50 '28. B .

1ZC X BC5 S

29 . A . Em cada linha ho rizon ta l, ha 8CZ fo rm as d e co loca r o s 2 cava lo s (com o sao a mbos bran cos , sao ind i-

fe re nte s a s tro ca s e ntr e e le s).

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un id ade

30 . U J U J l 6 J l 6 J l 6 J L t J~ 10 x 10 x 1 0 x 23

d e r eg ia o

H av ia 1 03 (1 00 0 ) m a tr fc ula s p or r eq iao , C om o se ac re scen ta um a le tra , passa ra a have r 23 000 matrku -

la s p or r eq ia o , 0 q ue s era s ufic ie nte a m ed ic p ra zo .

31 . # T = 30

# 0 = 13

#0=6

# ( (DUO) ) = 16

E ntao # ( DUO ) = 30 - 16 = 14

com o # ( DUO ) = # D + # 0 - # ( D nO )

Entao # ( D nO ) = 13 + 6 - 14 ¢;>

¢;> # ( D nO ) = 5

Be x 5e x 1e + Be x 5e x 1e + 5e x 1e x Bep= 2 0 0 1 1

°1 1

°30e

2

D o

1 6

T

7 3

435

32.1 . uuuu

o 0 0 o } 4 X 93

U U U UCaso s favoraveis --> 10 x 9 x 8 x 7

C a s os p o ss fv e is --> 104

= 10 x 9 x 8 x 7 = 0 504

P 10 4 '

33 . C a so s favoraveis = 3 ! x 4 !Ca so s p o s s l v e i s = 7 !

P = 3 ! x 4 ! =0 03 A probab i l idade e de 3% .7 ! '

32 .2 .

34 .1 . 10C4=210 3 4.2 . P 3=3 !=6

35 .1 . a) = 216

e s co l hi d os 5 l ug a re s

o nd e se co lo ca rao a s

p ec as p re t as

e sc o lh id o s 4 l ug a re s

o nd e s e co lo ca ra o a s

p e ca s b r an ca s

35.2 . 6 C1+ 6 C

1p = 9C = 0 ,095 (3 c.d .)

5

36 .1 . 4 quad ricu la s a che io pa ra 20 e spaco s , lo go 20C 4 = 4845 .

3 6 .2 . F ixando m ais duas a fo rm ar a d iagona l, ficam 2 pa ra 181uga res (18C J

H a duas fo rm as de fo rm ar a d iagona l (2 X 1 8C 2 ); m a s h a a si tuacao de

apa rece rem a che io as dua s d iagona is e que t e ra de se r exdulda (por -que e c on ta da d ua s v ez es ).

2 x 18C 2 -1

p=20C

4

= 0 ,063

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T ecn ica s d e co n ta ge m

37 .1. 15 < ; ; > 12 d'

1\D 11

I I2

15 C 4 X 1C 1 X 11C 2 = 750 75

37 .2 . C a so s po ss ive is = 7 !

C a s o s favoraveis = 3! x 4! x 4

=4X 3!X 4! ""0114P 7! '

38 . C a so s favo ra ve is = 2 ! x 4! x 16 !

C aso s po ss ive is = 2 0!

2 !X 4!x16 ! 2

P = 20 ! 4845

39.1. 2 0A

3

o

35C

o3

39.2 . C aso s po ss ive is = 55C 3

C a s o s f a v o r a v e i s = 2 0C 1 X 35C 220C X 35c

P = 1 2 "" 0 45455 '

C 3

ou

20C X 35c + 20C X 35C - 76 853 ° 0 3-

40 . Sen tad a a Jo a n a , 0 R ui tem d e s e sen ta r em fre n te d e la e o s re s tan te s d e 4! m an e ira s d ife re n te s . M as a

Jo an a po d e sen ta r -se n um do s 6 luga re s , lo go :

C aso s po ss ive is = 6 !

C a s o s f a v o r a v e i s = 6 x 4!

= 6 x 4!=

02P 6 ! '

41. C aso s po ss ive is = 12 !

C a s o s f a v o r a v e i s = 2 x 6 ! x 6 ! po is p o d e r a se r a

I R I M I . . . IR I M l o u I M I R I · . . I M I R I6 !x6 ! 6 !x6 !

p = 2 x ~~!x 6 ! "" 0 ,0 0 216 , o u se ja , a pro b a b ilid ad e e d e 0 ,216% .

2C 1 x 4C 2 X 4C 2 = 72

2C 2 X 8C 3 ~ = 1.lO C 5 252 9

42.1.

42.2.

43.1. • N .D d e t r ianqu los com ve r tice s em 3 d o s po n to s = 9C 3• N .D d e t r ianqu los com o s ve rt ice s em 3 d o s 4 ve rt ice s d o quadr i la te ro = 4C 3• N .D d e t r ianqu los com o s ve rt ice s em 3 d o s 5 ve r tice s d o pen taqono = 5C 3

N .D ped id o = 9C3

- (5 C3+ 4C 3) = 70

43.2. N .D d e ca so s po ss iv eis = 9A'2

N . D d e ca so s I a v o r a v e i s = 4A'2 + 5A'2

4A '2+ 5A '2 42+ 52 41p= 9A ' = -9-2 -=81""51%

2

44.1.

44.2.

3C2X 4C 1 X 5C

3= 120

N .D ca so s po ss ive is = 6 !

N .D ca so s favorave is = P2 X P5

pe rrnutacao en tre o s pe rrnutarao en tre 0 l iv ro d e S ophia , o s 3

livro s d e Sa ram ago de Sagan e 0 "g rupo " d e 2 d o Sa ra m a go

2 ! x 5! 1P= -6 -! -= "3

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un i d a de

' . r~"~", :""==,=CO "'C ' ' ' '' -== ' ' ' f '' ? . ' ''C" ' - ! ; ·F= ;" : : '~ '" '-: ';;-__;:, :_c:::t ' .:,"_O"; ::::::;.c-:-J ~ _ ; .1- :_•";:_:.:;::;:,,_ ~.;.::":.:..__: .; _; !, , , -i ,:!_r~:..::"r J:1:I": ""_,;;;..c, 4. ;,~!,;,.'1' ~ ,;,_ :·.:" -::7 . _

, C o m b in ato ria

45 ,2 ,

45 ,3 ,

4 6 ,

45 , '1 . C om 0 e lem en tos _ ,. 8 CO= 1 (e 0 1 ) )

C om 2 e lem en tos _ ,. 8C 2 = 28

C om 4 e lem en tos _ ,. 8C4= 70

C om 6 e lem en tos _ " 8C 6 = 28C om 8 e lem en to s _ " 8C 8 = 1

Logo , 0 n u rn er o d e s u bc on ju n to s e 1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 2 56 = 28

C om 1 e lem en to _ " 8C 1 = 8

C om 3 e lemen tos -78C 3 = 56

C om 5 e le me nto s -78C 5 = 56

C om 7 e lem en to s _ " 8C 7 = 8

C om n e lemen tos h a 2n .

n (n - 1 )nC

2= 10 5 ¢> = 1 05 /\ n '" 2 ¢> n 2 - n - 21 0 = 0 /\ n '" 2 ¢> (n = 15 v n = -1 4 ) /\ n '" 2 ¢>

2

n = 15

12C2= 66

47 .1 . 5b 3p 4 a 47 .2 .

1 1 1

5C , X 3C , X 4C , = 6 0

47 .3 . 8a 4 a

1 2

ou 0 3

8C , X 4C2+ 8C

OX 4C 3 = 52

47 .4 . 5 b 3 p 4a

300

ou 0 3 0

ou 0 0 3

5C 3X 3C

OX 4C

O+ 5C

oX 3C 3

X 4Co+ 5C

OX 3C

oX 4C 3 = 1 5

48,1 .

49 .1 .

49 .4

50 .

51 .1 .

51.3.

52 .

53 .1 .

53 ,2 .

54 ,

< ; 2 1

5b 3p 4a

01 2

5CoX 3C , X 4C 2 = 18

'2 C 2 =66

1 2C 10 x 17C o = 66

28C 9 = 6 906 9 00

7C 2_3C 2+1 =19

8C2= 28

48,2 .

49 .2 .

49 ,5 .

12C3=

2 20 48.3 . 12A2 = 132

1 2CO x 17C

lO = 1 9448 49 .3 . 1 2C 5x 1 7C 5= 4 90 08 96

29C 10 - 2 7C 8 = 1 78 09 93 5

51 ,2 , 8e - 1 2 x (4( - 1 ) - 2 03 3-

~ n ." de pian o s que co n tem 4 ve rtices61- -=07

2 0 '

12C - 5C - 2 103 3-

"C = n (n - 1)

2 2

N ,D d e ca sos poss fve is = n (n 2 - 1 )

N .D d e c as os favoraveis = n ." de d ia gon a is = n (n 2 - 1 ) - n

n (n - 1 )-n

2p=

n2 - n - 2 n n - 3=--

n(n - 1 ) n - 1(n - 1 )

2

a = n -1c = (n - 1 )!3 3 (n - 4 )!

b = "C _ n -1c = n ! _ (n -1 )! = n ! - 4 (n - 1 )! =4 3 4 !(n _ 4 )! 3 !(n -4 )! 4 x 3 !(n - 4 )!

n - 4 x (n - 1 )!4 3 (n - 4 )! Lo go

n (n - 1 )! - 4 (n - 1 )!4X3! (n -4) !

(n - 4 )= -4-a .

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T ria ngulo d e P asca l

2 . 2 . Tr i a nqu l o de Pascal

~ (ham a-se trianqu lo de Pasca l ao(

0

1( 1(0 1

2 ( 2 ( 2(0 1 2

3( 3( 3( 3(

°1 2 3

4( 4( 4( 4( 4C0 1 2 3 4

n co

n c1

n c2

n cn

)0- l." lin ha

)0- 2 , a l inha

)0- 3. a l i n h a

)0- 4 ,a l i n h a

)0- 5 , a l inha

)0- nesimal inha

ou ca lc u la n do n Ckem cada um dos casos:

2

3 3

4 6 4

1 5 1 0 1 0 5

6 1 5 2 0 1 5 6

7 2 1 3 5 3 5 2 1 7

A lg um as propriedades do t r i anqu lo d e P as ca l

P1: 0 p rim eiro e 0 u ltim o e lem ento de cada linha sao igua is a 1 , ou se ja :

n c :=: n c :=: 1 (n E IN )o n

P2 : O s term os equ id is tan te s d os extrem os de um a linh a sa o igu ais , is to e :

P 3: A partir da 2 , a linha , cada e lem ento (com excepcao dos extrem os da linha) e igual a soma

d os d ois e le m en to s lrn ed ia ta rn en te a cim a d ele , is to e :

"C :=: n-1 c + n-1 c ( 1 1 < :: 2 ) ( I'e la ra o d e S tife l) ( N E IN ApE IN A p:s 1 1 )p p-l p 'r

P4 : A som a de todos os e lem entos da nes im alinha do tria rqu lo de P asca l e igua l a 2 n ,

n

L n c k :=: 2 n ( 1 1 E IN )k= O

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Comb i n a t 6 r i a

T I A som a de todos os e lem en tos de um a linha do trianqu lo de Pasca l e 3 2. E s cre va e ss a lin ha .

nL nC

k 32 <=> 2n = 2 5 <=> n = 5k= 0

En tao a lin ha se ra

5C 5C 5C 5C 5C 5C0 1 2 3 4 5

= =

5 10 10 5

Se 0 te rce iro e lem en to de um a linha do t r i anqulo d e P asc al e 120 , qua l e 0 p en ult irn o e le -

m en to dessa m esm a linha?

"C = 120<=> n ! =120 I\n ;::2< =>n (n -1 )(n -2 )! = 120 I\n ;::2<=>2 2 ! (n - 2 )! 2 (n -2 )!

n2 - n = 240 1\ n ;:: 2 <=>(n = 16 v n = -15) 1\ n ;:: 2 < =>n = 16

o penu l t i rno e le me nto s era 1 6C 15 = 16 .

o produ to dos do is p rim e iros e lem en tos de um a linha do t r ianqu lo d e P as ca l e igua l a 32 .

Qua l e 0 te rce iro e le me nto d a lin ha se gu in te ?

nco X "C 1 = 32 <=> 1 X n = 32 <=> n = 32

o te rce iro e lem en to da linha segu in te se ra 33C 2 = 528.

r;;~

~ Q ue r e la ca o d e v e r a e xis tir e ntre m e p , de m odo que, na linha r n ,

o te rm o m cp +3 se ja igua l a m cp -3 (rn , p E IN , p ;:: 3 , rn s 6 )

.. S ab en do q ue

m C = 56 e m +1C = 84p p de te rm ine m cp -1 '

S e a som a dos do is ul t i rnos e lem en tos de um a linha do t r i anqulo de P asca l e igua l a 29 ,

de te rm ine a som a de todos os e lem en tos dessa linha .

C a lc u le , a p re s en ta n do 0 res ulta do s ob a fo rm a d e co mbinac oes.

5C + 5C + 6C + 7C + 8C3 4 5 6 7

5.1 .

5 .2 .

5.3.

5.4 .

A ss in ale c om V ou F cada um a das af i rmacoes, de aco rdo com 0 s eu v alo r 1 6g ic o:

5C = = 4Co 0

3C1= 3C

27C 3 + 7C 4 = 8C

312C5 = 12C6

12

Caku le L 12c k ·k=2

n

S a be -s e q ue L nC k = 65 535 .k = 1

Determine 0 va lo r de n .

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lilt......

T ria n gulo d e Pasca l

-, ... ,.....

N o tria nq ulo d e P asca l, 0 te rce iro e le rnen to da de drna linha e :

A ) lOe B ) 11e e) 11e D ) ge + ge3 2 3 1 2

O s qua tro p rim eiros nu rne ros d e ce rta linha do tr ian qu lo de P asca l sao 1, 11, 55 e 165. Entao

os tres u ltim os num eros da linh a segu in te sao :

A ) 36 , 24 e 12 B ) 6 6 , 12 e 1 e ) 220 , 6 6 e 12 D ) 24, 12 e '1

( E N 1996 - 2: F a s e )

t"l

'\ l C ons id ere duas linhas co nse cu tivas do trianqu lo de P asca l, da s qu ais se rep rod uze m a lguns

elementos

36 12 6

120 b

I nd ique 0 va lo r de b .

lOOOe - 99ge e ig ua l a '30 30 .

A ) lODOe2 9

B ) 99ge2 9

e) 99ge30

D ) 1

i " S O L U ( :O E S "

1. . P + 3 :2 :0 / \ P - 3 : 2 :0 /\ P E IN ~ P E IN /\ P :2 :3

P a r a p : 2 :3 ( e m :2 : 6 ), o s d ois t e rm o s te ra o d e s e r e q u id is ta n te s d o s e x t r e m o s , o u s e ja ,

p + 3 = m - ( p - 3) /\ rn , p EIN /\ P : 2 :3 /\ m :2 :6 ~ m = 2p /\ m , p EIN /\ P :2 :3 /\ m : 2 :6

2 . m c + m c = m + lCp -1 P P

En tao m c + 56 = 84 ~ m c = 28p-1 p-l

3. nC n -1 + nC n = 29 ~ n + 1 = 2 9 ~ n = 28'28

I28C k = 228 = 268435 456k = 0

4 .

5. 5.1. V 5.2. V 5.3. F 5.4. F

12 12 12 12

6 . I1 2Ck= 2 12 , l o g o I 12C k = 212 - (12 C O + 12C 1) ~ I12C k = 212 - 13 ~ I 12 Ck = 40 83

k = O k = 2 k = 2 k = 2

n n n

7 . InC k = 65 535 ~ I nC k- n co = 65 535 ¢>InC k = 65 536 ~ 2 n = 216 ~ n = 16

k = l k = o k = O

8 . D . 0 te rc e ir o e le m e n t o d a d e cir n a l in h a e 1O C 2= 9C 1 + 9C2.

9. B .

11 55 16512 66 220

10 . c . 120 = 36 + a ~ a = 84 l o g o

l o g o

84+126=b~b=210

11 . B . 10DDC = 999C + 999c30 29 30

lDDDC _ 999C = 999C30 30 29

I __

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2.3. Blnomio de Newton

A potenc ia de expoente n de urn bin6rnio e um po lin 6m io , com n + 1 p a rc ela s o u te rm o s

e e m q ue cada te rm o e d a fo rm a :

T p + 1 = n cp an -p bP , p = 0 , ... , n

o u se ja

(a + b )n = nco an bO + nC 1 an -1 b1 + nC 2 an -2 b2 + ... + nCn-2 a2 b '' -2 +

+ "C a 1 b '' -1 + "C a O b nn -1 n

n

( a + b ) n =In Ck

a n - k b k

k=O

'r n D es en vo lv a, u tiliz an do a f6 rm u la d o B in 6m io d e N ew to n, (x - Yx)4.

(x - Y x)4 = 4COx4 (- Y x)O + 4C 1 x3 (- Yx )1 + 4C

2x2 (- Y x )2 + 4C

3x ' (- \IX)3 +

+ 4C 4 XO(- Y x)4 = x4 - 4 x3Yx + 6x3 - 4x2Y x + x2

C alcu le , u til iza ndo a f6 rm ula do B in6 mio de N ew to n,

(1 ) 5 ( 1 ) 5 ( 1 1 1 1 1 )x + - - x - - = x 5 + 5 x4 X - + 10 x 3 X - + 10x 2 X - + 5x x - + - -x x X x 2 x 3 x 4 x 5

(1 1 1 1 1 ) 20 2

- x5 - 5x4 X - + 10x 3 X - - 1 0x 2 X - + 5x x - - - = 1 0 x3 + - + -X x2 x3 X4 x 5 X x 5

De te rm ine 0 te rm o independen te de x , n o desen vo lv im en to d e (2X - ~ r

S e ja T p +1 0 te rm o p re te nd id o; d ete rm in em o-Io d e u ma fo rm a s im p lif ic ad a:

T p+ l =9C p (2X)9-P (- ~t~~TP + l =9C pX 29 -P XX 9 -P X (_1 )P x (x -tr ~

~ T + 1 = 9 C X 2 9 -p X (- 1 )P X x9 -p -~P P I I

coeficien te au parte n orn erica parte lite ra l

P ara T P +1 se r in de pe nd en te d e x , te ra d e s er:

9 -p -£ '=0 ~ 18-2 p -p=0 ~ p=62

o te rm o p ed id o se ra :

Tf= 9C 6 2

9 -6 X (- 1 )6 X x9 -6 -~= 84 X 2 3 = 672

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B in 6m io d e N ew to n

De te rm i ne 0 v alo r d e A , s ab en do q ue :

A = (x4 -I - 1)5 - 5 (x4 -I - 1 )4 -I - 10(x4 -I - 1)3 - 'IO (x4 -I - 1) 2 -I - 5( x4 -I - 1) 1 .

N o te q ue A nao e m ais do que 0 desenvo lv im en to p e l a fo rm ula de N ew ton da po t e nd a de

g ra u 5 d a d ife re nca en tre x4 -I - 1 e 1 .

Entao A = [(x4 -I - 1) - 1J5 ¢> A = x20

, ; j ) Qua l 0 te rm o rned io do desen vo lv im en to de (x 5 - X 2 ) lO?

56 se pode fa la r d o te rm o m ed ic d o de senvo lv im en to d e (a -I - b )n q uando n fo r pa r, po is , e

5 6 n este c as o, 0 nu rne ro de te rm os e fm pa r. 0 te rm o m ed ic d o desenvo lv im en to se ra 0

nte rm o de o rd em " 2 -I - 1 .

N es te caso n = 10 (11 p a rc e la s n o d e se n vo lv im e n to ), 0 te rm o p ed ido se ra 0 6 .0 t e rmo :

T6 = 10(5 (x 5 )lO -5 (- X2 )5 ¢>

T6=252xx25X(-x lO) ¢>

T6 = - 252x35

Q ua l a so ma dos coe fic ien tes dos te rm os do d esenvo lv im en to d e (3x - 4y)5?

Desenvo l vamos (3x - 4y)5 p el a fo rm u la d e N ew to n:

(3x - 4y)5 = (3x)5 - 5(3x )4 (4y) -I - 1 0(3x )3 (4y)2 - 1 0(3x )2 (4y)3 -I - 5(3x) (4y)4 - (4y)5 ¢>

¢> (3x - 4y)5 = 243x5 - 1620x4y -I - 4320x3 y2 - 5760x2 y3 -I - 3840x y4 - 1024y5

Es t a ig u a ld a d e e v alid a p ara to do 0 x e pa ra to do 0 y .

F ac arn os e nta o x = 1 e y = 1 .

(3 x 1 - 4 X 1)5 = 243 - 1620 -I - 4320 - 5760 -I - 3840 - 1024

ou se ja

(- 1 )5 = - 1

N ota ndo que 0 2 . 0 m em bro da ig ua ldad e nao e m a is do que a som a dos coe fic ien tes do

d es en vo lv im e nto d e (3x - 4y)5, v er ific am o s q ue , p ara 0 d ete rm in ar, b as ta r ia e m (3x - 4y)5

fazer x = 1 e y = 1 .

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u n i d a d e Comb i n a t o r i a

Calcu le 0 va lo r d e

A = x6 - 6xSy + 15x4 y2 - 20X 3y3 + 15 x2y4 - 6xys + y6 ,

V 3 + V 2y= ~

N o desenvo lv im en to de (~ - y2 r o , qua l 0 coe fic ien te do te rm o em x47

Qua l 6 c oe fic ie nte d o te rm o med i c do desenvo lv im en to de ( \IX _ ;)127

C on sid ere a s po t e n d a s de expoen te im pa r do b in6m io (x -r- ;).

V 3 - V 2pa ra x = V 2 e

4 .1 .

4.2 .

P ro ve q ue , q ua lq ue r q ue s eja 0 e xp oe nte , a s om a d os c oe fic ie nte s d e to do s o s t erm o s e igua l a - 1 .

M os tre que , q ua lque r que se ja 0 e xpoen te (lrnpa r), nao e xis te te rm o indepen den te de x .

Q uan tos te rm os irra c iona is ex is tem no desenvo lv im en to de (\IX + V x ) 10007

6.1 .

Q ua l a som a do s coe fic ien tes dos te rm os do desenvo lv im en to de :

1(6 x - y )47

(3 x + y)27.2 .

N o desenvo lv im en to de (5x - 3y)n , a som a dos coe fic ien tes e 4096 . Q ua l e 0 t e rmo med i c

d es te d es en vo lv im e nto 7

R e so lv a a e qu ac ao :

sens x - 4 sen " x cos x + 10 sen3 x cos2 x - 10 sen2 x cos -' x + 5 sen x cos " x = cos5 X

9 .1 . P rove que a som a do s coe fic ien tes dos te rm os do desenvo lv im en to de (x - y)n e ze ro .n

9 .2 . M os tre que L (-1 )k n Ck = o .k= O

1 1 ~ ) Calcu le :

995 + 5 X 994 + 10 X 99 3 + 10 X 992 + 5 x 99 + 1

N o desenvo lv im en to de (2X - ;x r h a um te rm o que e igua l a -:: ::,;;~ ~~~ . ua l pode ra se r 0

va lo r de n7

abc d e f 9 rep resen ta um a linha com ple ta do T riangu lo de P asca l, ond e todos o s e lem en to s

s ao s ub stitu id os p or le tra s.

Q ua l d as s eg uin te s a firm a co es e v erd ad e ir a 7

A ) c - 6C B ) c - 6C C ) C - 7C- 3 - 2 - 3

(E N 1 99 9- 1 ." Ch ama d a )

1 1 ~ fl In diq ue q ua l d as e qu ac oe s s eg uin te s e equ iva len te a equacao : (x + 1 )4 = 4x3 + 6x2

A ) X 4 - 4x3 - 6 x 2 + 1 = 0 B ) x4 + 1 = 0

C ) X 4 - 4x 3- 4x 2 + 1 = 0 D ) x4 + 4 x + 1 = 0

(E N 1998 - 2 ." C h am a da )

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1. C om o A = (x - y)6 e subs titu in do x e y pe l os va lo re s dados fica :

A = ( \ / 3 - Vi \ 1 ' 3 + \ 1 2 ) 6 = ( - 2Y2)6 = _ £ J _ = 27\ Y 2 f1 2 V'2 22

2 . T = 10C (~ )10 - P (y2 )P ¢:>

p+ l p 2

¢:> T = l0 C 2 P-l0 IX +10-p y2pp+ l . p I L I

c o efic ie n te p a rt e lit era l

x10 -p=X4 ¢:> p=6 e o coef iden te e l'C 26 -10= 1056 8

3. T12 = 12C (V x )6 ( _ 1 ) 6 ¢:>

T+ 1 6 X

¢:> T7 = 12C6(- 2 )6 x 3 X X -6 ¢:>

I ¢:> T7 = 59 136x-3

4 .1 . N o d :sen vo lv im en to de (x - i ) 2 n - 1 (2n - 1 e lrn pa r, n E IN ), a so ma d os coe fic ien te s de to dos o s te r-

m os e :

(2 ) 2n -1

1 -1 = ( - 1 ) 2 n - 1 = - 1

4.2. T = 2n - 1 C x2n - 1 - P X (_ I)Pp+ l P X

¢:> T p+1 = 2n -1 Cp x2 n- p - 1 X (- 2 )P x - P ¢:>

¢:> TP+ l = 2n -1C p (- 2 )P x 2n -2 p- l

2n - 1 2n - 1Have ra te rm o independen te se 2n - 2p - 1 = 0 ¢:> p = -2 -' C om o n E IN , - 2- E !: IN .

Logo , n a o ex is te p , d e m odo que T p+ 1 se ja in de pe nd en te de x .

5 . 0 te r rno g e ra l d o d e s en v o lv im e n to

T = 1000C (V x) 1000- P CVx )P ¢:>

p+ l p

1 1¢:> T = 1000C (z )1 000 -P (3 )P ¢:>

p+ l pX X x

1000 -p+ 'p '¢:>

T = 1000C X 2 3¢:>

p+ l p

3 0 0 0- 3 p+ 2p¢:> T = 1000C X 6 ¢:>

p+ l p

50 0 _.p.¢:> T = 1000C X 6

p+1 p

• se p e mul t i p l e de 6 , 0 te r rno e r adona l ,

• se p nao e mult iple de 6 , 0 te rrno e irracional .

S e ja un = 6n , a sucessao dos m ultip le s de 6 . O ra 6n < 1000 ¢:> n < 166 t , l ogo h a 1 66 te rrn os ra cio -

n ais (o s m ult ip le s d e 6 ) e ntre o s 1 00 1 te rm o s d o d es en vo lv im en to . C on du sa o: h a 83 5 te rrn os ir ra cio na is .

6 .1 : (5 )4 = 625

6 .2 . 4 2 = 16

7 . (5 - 3 )n = 4096 ¢:> 2n = 212 ¢:> n = 12

T .. = T12 = 12C (5 x)6 (- 3y)6 = 924 (15xy)6med i c T+ 1 6

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-, ; \'

'. ~

60 I

8. sen 5 x - 5 s en 4 x cos x + 1 0 sen 3 x co s2 X - 10 sen 2 x co s3 X + 5 sen x cos" x = cos 5 X ¢>

¢> sens - 5 se n 4 x cos x + 10 se n3 x cos 2 x - 10 sen 2 x cos3 x + 5 sen x c o s " x - co ss x = 0 ¢>

¢> (sen x - cos x )S = 0 ¢>

¢> sen x = cos x ¢>

¢> sen x = sen (; - x ) ¢>

¢> x = ; - x + 2 k 7 T V X = 7 T - ( ; - x ) , ' , 2 k 7 T , k E iE

¢> x = 7 T + k 7 T k E iE4 '

9.1. Em (x - y)n , fa zendo x = 1 e y = 1 , f ica on = 0 , que e a som a d os coe fic ien te s do s te rm os do d ese nvo l-

v im en to de (x - y)n e que e , p o r is so , ze ro .n n

L ( -l )knck= L nC

kI-kX(_1)k .=( l -1)n=o

k=O k=o

9 .2 .

10 . 995 + 5 X 994 + lO x 993 + lO x 99 2 + 5 x 99 + 1 = (9 9 + 1 )s = 1005 = 1010

11 . T = nc (2 x)n - p x (- _ l_ )Pp+1 P 4x

¢> T = "C 2n-p xn -p {- l)P (2 ·2 ) P ( x·1 )P .p+1 P /.. i

¢> T = nc 2n-p -2 p xn -p -p (- l)Pp- 1 P

¢> Tp+1 = In cp (- l)P x 2n -3P I x Ixn-2P /

c o e fic ie n te p a r te lite ra l(- 4 8) ( x 4 )

E n t.3 0 n - 2p = 4 ¢> n = 2p + 4 (com 0 :5 p :5 n )!.

e T = 2p+4C (- l)P 2 2p+4 - 3p x 4p+1 p

¢> T =1 3p+4C (- l)P 24 -Plx4p+1 . P I)

- 48 I"~

I

5e 2p+4C (- l)P 24 -p = - 4~ .p _ - , ;

en ta~ 2 P +4C p 24 - P = 48 e p ~ lrnpa r.

C om o p 2:: 0 => - p :5 0 => 4 - P :5 4

e 48 = 3 x 24 = 6 x '23 = 12 X 22 = 24 x 2

F a c amo s 24 - P = 24 => P = 0 (p tem de se r impar)

2 4 - P = 23 => P = 1 oes te c as o 6 C = 6 e ve rifica .1

24 - P = 22 => P = 2 (p tem de se r Im pa r)

24 -p = 21 => P = 3, ne s te caso 1 0 (3 * " 2 4. L og o, n ao s e r v e .

56 e val ida a igua ld ade pa ra p = 1 , ou se ja pa ra n = 2 x 1 + 4 ¢> n = 6

12 . C . Com o a lin ha tem se te e lem en to s , sao as c o m b i n a c o e s de 6 -> 6C o ' 6C 1 , 6C 2 , ... 6C 6 .

Logo , c = 6C 2 .

13 . D, (x + 1 )4 = 4x3 + 6x2 ¢> X 4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 = 4x 3 + 6x2 ¢> x4 + 4x + 1 = 0

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robab i l idad~s .e

Comb i n a t o n a 3. P r o b a b l l i d a d e

c o n d i c i o n a d a

I r

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~ A probabilidade de ocorrer um acontecimento A, sabendo que ocorreu B , e :

(A I B ) = p (A n B )p p (B )

Es t a r e la c a o e e qu iv ale n te a :

p (A n B ) = p (A I B ) x p(B)

N o caso de A se r in de pe nd en te d e 8 , p (A I B ) = p (A ) e pode-se a firm ar que p (A nB ) = p (A ) x p (B )

1 . 1 .

1.2 .

1 . 3 .

1 . 4 .

Um dado cub lco e la nc ad o ,e e reg is tado 0 re su lta do d o s eu la nc arn en to .

S e s air p ar, q ua l e a p robab ilidad e de sa ir 6 7

S e s air im pa r, q ua l e a p robab ilid ade de sa ir m aio r que 37

Q ua l a p ro bab ilidade de a pon tuacao se r im pa r, sabendo que sa iu m aio r que 37

S e fo r m aio r que 2 , qua l a p robab ilidade de se r m eno r que 57

1 . 1 . Seja D = ( 1 , 2 ,3 ,4 , 5 , 6 ) 0 e spaco d os a co nte cim en to s e se ja m o s a co nte cim en to s

A : "s er p ar"

B : "se r 6 "

E n tao A = (2 , 4 , 6 ) e1

p(A) = '2

B = ( 6 ]

B n A = ( 6 ]

e1

p(B) = '2

e1

p (BnA ) = 6 "

Com o p (B /A ) = p (BnA )

p(A)

1

. 6 1vem que p (B /A ) = ,- ¢> p(B /A) = " 3

2

(N a re a lidade , se sa iu pa r, sa iu 2 , 4 ou 6 e 5 6 u m d es te s t res c a so s p o ss iv e is e favorave l . )

1 .2 . C : "sa ir im pa r"

D : "sa ir m aio r que 3 "

C=(1 ,3 ,5 ]3 1

e p (C ) =- =-6 2

D = (4 , 5 , 6 )3 1

e p (D ) =- =-

6 2

cno = (5 ]1

e p (cno ) = 6 "

p (O /C ) = p(onc)p (C )

6 2 I

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2.1 .

2.2.

2 .3 .

2.4.

2 .1 .

2.2.

2.3 .

2.4.

P ro b a b i 1id ad e co nd ici o na da

Logo

1

6 1p (O /() == 1. ¢? p (O /() ==3

2

1 .3 .6 1

p ((/O ) == T ¢?p ((ID ) ==3

2

1 .4 . E : "se r m a io r que 2 "

F : "se r m en o r que 5 "

E = [3,4,5,6)4 2

e p (E ) =- ==-

6 3

F==[1,2,3,4)4 2

e p (F ) = =- =-6 3

EnF = [3 , 4 )2 1

e p (EnF ) =- ==-6 3

1-

3 1p(F /E) = "2 ==-

_ 2

3

En tre 6 am igos, que des ignam os po r A , B , C , D , E e F , va i fo rm ar-se um a com issao cons ti-

t u l d a p or 3 e le m en to s.

Q ua l a p robab ilidade de que A pertenca a u ma c om is sa o?

Q ua l a p robab ilidade de que F p e r t e n c a a u ma c om is sa o?

Q ua l a p robab ilidade de que A e F p e r t e n r a r n a me sm a c om is sa o?

Q ua l a p robab ilidade de que F pe r t enca a c om is sa o, s ab en do q ue A per tence?

(A" -) 5( 2 10 1

P p e r t e n c a a c om is s ao = 6( = - = -3 20 2

( F rt' . -) 5(2 1

P pe e n c a a c om is s ao = 6(3 =="2

(A F,. a o ) 4( 1 4 1

P e pe rtenca rn a com issao ==6(3 = 2 0 = " 5

5 2p (F p e rt en c a a c o m i ss a o / A per tence a c om is sa o) == 1 = 5

2

A o la nca r d o i s d ad os o cta ed rico s d , e dz , com as faces num e radas de 1 a 8, de te rm ina -se a

som a das pon tuacoes ob tidas . S e a som a das pon tuacoes nos do is dados fo r m a io r que 10 ,

qua l a p robab ilidade de que a pon tuacao em d , s eja 8 ?

I t:-;

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un i d a de P ro b a b il i da d e c on d ic io n a d a

A : "A som a das pontuacoes e m aie r que 10 " . 7 8

5 6 . 7 8

2 6 7 I 8 • 93 4 5 6 7 8 i 9

4 5 6 7 8 9 ; 10

5 6 7 8 9 10 1 1

6 7 9 1 1 12

(A ) =

IIp 64

B : "A po ntu aca o e m d 1 e 8 ".

8 1p(B)=-=-

64 8

AnB : "A som a das pon tuaco es e m aio r q ue 1 0

e a pontuacao em d, e 8".

6 3p (AnB ) =-=-

6 4 32

332 2

p(B /A) = 21 = 7 "64

i ? : ! \ \ Ao re tira r um a ca rta de u rn b ara lh o d e 52 c arta s, o bs erv a-s e q ue e la e um a fig ura .

Q ua l a p robab ilidade de que se ja 0 re i d e c op as ?

A : "s air fig ura "

12 3p(A) = 52 = 13

B : "sa ir re i de copas"

1p(B) = 52

AnB : "sa ir figu ra e re i de copas "

1p(AnB) = 52

1

52

p(B /A) =3

1< = > P ( B I A ) = -

1213

5 N um a c 1in ic a, s ao tra ta da s t r es d o e nca s, A , B e C . D os ca so s tra tad os n es ta c lin ica , 6 0% sao

da doenca A , 30% da doenca B e os res tan tes 10% da doenca C . A p robab ilidade de cu ra

de cada um a das doenca s ne s ta c lin ic a e :• d oe nca A : 50%

• doenca B : 8 0%

• d oe nca C : 9 0% .

5.1. Q ua l a p ro bab ilida de de cu ra n es ta c1 in ica ?

5.2 . 0 doente P sa iu cu rado da c lin ica . Q ua l a p robab ilidade de e le te r s ido in te rnado com a do e n c a

A?

5 .3 . 0 doen te Q fo i in te rn ado com a doenca B . Q ua l a p robab ilidade de sa ir cu rado?

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P ro b ab il id a de c on d ic io n ad a

A lg um a s fo rrn as d e e sq ue m atiz ar e ste p ro ble m a (e o utro s d es te tip o):

• D iag ram a de a rvo re

~ (U r a dO -)I.- p (A II cu rado ) = 0 ,60 x 0 ,50 = 0 ,30

/ Ao

1.0<:: '/ /,S o n ao c ura do -)I.- p (A II n a o c ur ad o) = 0 ,60 x 0 ,50 = 0 ,30

/a~a cu rado p (B II cu rado ) = 0 ,30 x 0 ,80 = 0 ,24

//0,30-)I.-

BK,~ .? -

~

a nao cu ra do -)I.- p (B II n a o c ura d o) = 0 ,30 x 0 ,20 = 0 ,06

~ , ~cu r adO -)I.- p (C 1 \ cu rado ) = 0 ,10 x 0 ,90 = 0 ,09-,

C o,70 - na o c ura d o -)I.- p (C 1 \ n a o c ur ad o) = 0 ,10 x 0 ,10 = 0 ,01

( Utiliz arn o s a p ro pr ie d ad e p (X n Y ) = p (X ) x p (Y /X ),)

• Ta be la d e du pla en trada

/

0 , 30

0 , 06

N a o c ura do

0 , 30

0 , 2 4

5 , 1 .

5 .2 ,

p (sa ir cu rado ) = p (A 1 \ cu rado ) + p (B IIcu rado ) + p (C 1 \ cu rado ) = 0 ,30 + 0 ,24 + 0 ,09 = 0 ,63

, 0 3 0 10p (s ofre r d e A ls alr c ura do ) = 0 :63 = 2 1

, 0 2 4 4p t s a i r c ura do /s ofre r d e B ) = -' - = -

0 ,3 5

(E ste va lo r e ra dado , po is a p rob ab ilid ade de cu ra em B e de 80% , )

53.

qT .

fl C ons ide re os aco ntec im en tos A e B , P rove que :

1 ,1 , p (A /A ) = 1

1 ,2 , p ( A i A ) = 0

13 , S e A e B sao in com pa tive is => p(B /A) = = 0

1 .4 . P ((AUB )/A ) = = 1

1 ,5 , S e A e B s ao in co m pa tfv eis => p ( A I (AUB )) = P(A~~)P (B )

i J : P rob lem a da m oeda d e B ertrand

E x is tem tre s ca ixa s , A , B e C , con te ndo cada u rna 2 m oeda s . Em A , sao a rnba s de ou ro ; em

B , e u rna de D u ro e ou tra de p ra ta ; em C , sao am bas de p ra ta .

R e tira -se ao acaso um a rn oeda de um a ca ixa e essa m oeda e de ou ro . Q ua l a p robab ilidad e

de que a segunda m oeda de ssa ca ixa se ja ta rnbe rn d e ou ro?

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5 : l J

, , , , 1 ) Cons idere tres urnas , A , B e C . Na urna A , ha 5 bo las verm elhas e 5 bo las azu is ; na urna B ,

ha 2 bo la s verm elha s e 8 azu is ; na urna C ha 3 b ola s verm elh as e 7 a zu is .

E sco lhe u-se a o aca so u rna urn a e re tirou-se urna bo la ,

3 ,1 , Q ua l a p robab ilidade de que sa ia bo la azu l?3,2 , Qual a probab ilidade de que sa ia bo la azu l e tenha s ido esco lh ida a urna A?

3 .3 , Q ual a probab ilidade de sa ir azu l, sabendo que a ca ixa esco lh ida fo i a A?

3 .4 , Q ual a probab ilidade de a u rna esco lh ida ser A , sabendo que sa iu a bo la azu l?

4 Numa f a b r k a , v erific ou -s e q ue a p e r c e n t a q e r n de p e c a s d efe itu os as e m 4 lo tes , A , B , C e D , era

de 2% , 1% ,4% e 3% , resp ectiva mente . E sco lh e-se , ao a caso , u rn lo te e deste lo te um a peca .

4 .1 , Q ua l a p robab ilidade de que a p e c a se ja de fe it uosa?

4.2, Q ua l a probab ilidade de te r s ido esco lh ido 0 lo te A , sabendo que a p e c a escolhida e defei -

tuosa?

4.3, A peca s a i d a era perfe i t a , Q ual a p robab ilidade de a ca ixa esco lh ida te r s ido a D?/ni,

~~ P rove que, se A e B sao acontec im entos independen tes , t a m b e r n A e B 0 sao ,

P rove q ue , se A e B sao aco ntec im entos in de pen den tes , t a r n b e r n A e B 0 sao ,

" 1 Um p ro ble m a e posto s im ultaneam ente a do is am igos, Ana e Bernardo . A Ana tem a proba-

b ilidade de ~ de acerta r 0 prob lem a e 0 Bernardo tem a probab ilidade de ; de a c e r t a r . Qua l

e a probab ilidade de que:

7 .1 . am bo s a ce rte m 0 prob lema?

7 .2 , pe lo m enos um ace rte 0 prob lema?

7 .3 , n en hu m re so lv a 0 prob lema?

7 .4 , a Ana reso lva , m as 0 Bernardo n a o ?

7 , 5 , 0 Bernardo reso lva , m as a Ana n a o ?

Sejam A e B do is acontec im entos num m esm o espaco amost ra l fl.

- 3 - - 1 3Sabe-se que p(B ) = 4 ' p(AnB) = '6 e p (A ) =4 '

8 . 1 , De te rm ine a p robab ilidade de se verifica r pe lo m enos um dos acon t ec imen to s .

8,2 . D ete rm ine a p robab ilidade de se verifica rem em sirnu ltaneo os do is acon tec im en tos .

8 ,3 . Q ua l a probab ilidade de B se verifica r e n ao s e v erific ar A ?

8.4. Q ua l a probab ilidade de se ve rifica r A se se ve rifica r B ?

D e um bara lho com 40 cartas, e re tirada ao acaso um a car ta .

C on sid ere n es te espaco amo st ra l o s a co n te cim e n to s:

A : "sai r f i qura" ,

B : "s air copas" .

C : "sa ir au ras ou p a u s " .

9 ,1 , D eterm ine a probab ilidade dos acon tec im entos A , B e C .

9 .2 , Ao re tira r a ca rta , verificou-se que e ra um a figura . Qua l a p robab ilidade de ser um a carta de

copas?

9 ,3 . Q ua is d os s eg uin te s p are s d e a co nte cim en to s s ao in de pe nd en te s?

9 ,3 ,1 , A e B ,

9 .3 . 2 . Be C .

9 .3 .3 , A e C .

6 6 I

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_ .P ro b ab ili da d e co n di ci on a da

o J o a o e a L u f s a e s t a o a j o g a r c o m u m

t a b u le ir o i g u a l a o d a f i g u r a j u n t a .

R e g r a s d o j o g o :

• P a r t e - s e d e P .

• C a d a u m j o g a u m d a d o cubko. S e s a ir

1 o u 2 , v a i p a r a a c a s a a e s q u e r d a n a

l inha im e d i a t a m e n t e a b a ix o . S e s a i r 3,

4 , 5 o u 6 , v a i p a r a a c a s a d a d i r e i t a d a

l inha im e d i a ta m e n te a ba ix o .

• N o ink io d o j o g o , c a d a j o g a d o r a p o s t a

numa d a s c a s a s d e c h e g a d a (A , 8 , C , D

o u E ) .

o J o a o a p o s t o u n a c a s a D e a L u f s a n a c a s a C . Q u a l d e l e s t e m m a i s p r o ba b i l i d a d e d e g a n h a r ,

o u s e j a , d e c h e g a r a c a s a e m q u e a p o st o u ?

'i ] 'I i U m c 6 d ig o e c o m p o s t o p o r d u a s l e t r a s e c in c o a l g a r i s m o s ( c o n s id e r e 2 3 l e t r a s ) .

1 1 . 1 . Q u a n t o s c 6 d ig o s s e p o d e f o rm a r ?

1 1 .2 . Q u a n t o s c 6 d ig o s s a o f o rm a d o s p o r d u a s v o g a i s e c i n c o a l g a r i s m o s d i s t i n t o s ?

1 1 . 3 . E sc o l h id o a o a c a s o u r n c 6 d i g o , e v e r i f i c a n d o - s e q u e a s d u a s p r im e i r a s l e t r a s s a o v o g a i s , q u a l

a p r o ba b i l t d a d e d e q u e o s a l g a r i s m o s s e j a m t o do s d i f e r e n t e s ?

1 1 .4 . E sc o l h e u - s e u r n c 6 d ig o e v e r i f i c o u - s e q u e o s a l g a r i s m o s e r a r n t o d o s i g u a i s .

Q u a l a p r o b a b i l i d a d e d e q u e a s l e t r a s s e j a r n d u a s v o g a i s d i s t i n t a s ?

'1 4 T e m o s u r n a u r n a c o m 1 0 0 b o l a s n u r n e r a d a s d e 1 a 1 0 0 . R e t i r a - s e u m a b o l a d a u m a . R e g i s t a -

- s e 0 v a l o r o b t i d o e s u b s t i t u i - s e a p o r e s s e v a l o r n a e q u a c a o .3x 2 + a(5 - x ) + 48 = 0 .

1 2 . 1 . Q u a l a p r o b a b i l i d a d e d e q u e a e q u a c a o t e n h a d u a s r a f z e s r e a i s d i s t i n t a s ?

1 2 . 2 . Q u a l a p r o b a b i l i d a d e d e q u e a e q u a c a o 5 6 t e n h a u r n a r a i z r e a l ?

1 2 . 3 . S a i u u m a b o l a c u j a p o n t u a c a o , a , t r a n s f o rm a a e q u a c a o d a d a n u m a e c u a c a o p o s s f v e l e m I R .

Q u a l a p r o b a b i l i d a d e d e q u e a s d u a s r a l z e s d a e q u a c a o s e j a m d e s in a l c o n t r a r i o ?

' ~ : . ~ x E sc o l h i d o a o a c a s o u m d o s p i a n o s d e f i n i d o s p o r 3 v e r t i c e s d o c u b o , q u a l a p r o b a b i l i d a d e q u e

e x i s t a u r n q u a r t o v e r t i c e d o c u b a q u e a in d a p e r t e n c e a e s t e p l a n o ?

,' .. " . . . . . . . . ~ ,./",

~ .. ~~/

D D•...

* j : i

iii S a b e - s e q u e 0 n u m e r o s o r t e a d o n u m a l o t a r i a t e m 2 v e z e s 0 a l g a r i s m o t r e s. Q u a l a p ro b a b il i -

d a d e d e q u e t e n h a o s a l g a r i s m o s t o d o s ig u a i s ?

1 i ~ N o t o t o b o l a , s a b e - s e q u e o s 6 n u r n e r o s s o r t e a d o s s a o t o d o s n u r n e r o s s o c o m 1 a l g a r i s m o .

Q u a l a p r o b a b i l i d a d e d e 0 n u r n e r o s u p l e m e n t a r s 6 t e r u m a l g a r i s m o ?

'~ l N u m a c a i x a , h a 1 0 b o l a s n u m e r a d a s d e 1 a 1 0 . R e t i r a r a m - s e 3 b o l a s e v e r i f i c o u - s e q u e e l a s

s a f r a m p o r o rd e r n c r e s c e n t e . Q u a l a p r o ba b i l i d a d e d e t e r e m s a f d o t r e s n u m e r o s c o ns e c u t i v o s ?

' i J . t a n c a r a r n - s e e m s i r n u l t a n e o d o i s d a d o s c u b i c o s e v e r i f i c o u - s e q u e a s o m a d a s s u a s p o n t u a -

c o e s e r a 7 . Q u a l a p r o b a b i l i d a d e d e 0 p r o d u t o d a s p o n t u a c o e s s e r 1 2 7

'! j , ' t ~ : D e u m a u r n a c o m 2 0 b o l a s a z u i s , 1 8 b o l a s v e r d e s e 1 2 b o l a s p r e t a s , r e t i r a - s e u m a b o l a e , d e

s e g u id a , o u t r a b o la .

1 8 . 1 . A p r im e i r a s a i u a z u l . Q u a l a p r o b a b i l i d a d e d e a s e g u n d a s e r v e r d e , s u p o n d o q u e :1 8 .1 .1 . h o u v e r e p o s i c a o ?

1 8 . 1 .2 . n a o h o u ve r e p o si c a o ?

1 8 . 2 . A s e g u n d a b o l a f o i p r e t a . Q u a l a p r o b a b i l i d a d e d e a p r im e i r a n a o t e r s i d o p r e t a , s u p o n d o q u e :

1 8 .2 .1 . h o u v e r e p o s i c a o ?

1 8 . 2 . 2 . n a o h o u v e r e p o sk a o ?

I r_

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3.

68 I

P ro b a bil id a d e co n d ici on a d a

: ; I · ~u N u m b a r a l h o d e 5 2 c a r t a s , fo rrn ou -s e u rn a 'm a o ' d e 7 c a r t a s e v e r i f i c o u - s e q u e n e s s a 'm a o '

h a 4 a s e s . Q u a l a p r o b a b i l i d a d e d e q u e a s o u t r a s t r e s c a r t a s s e j a m f i g u r a s ?

C in co a m ig o s t i r a ra m u m a f o t o g ra fi a s e n ta d o s n u m b a n c o d e j a r d i m e s a b e - s e q u e 0 J o a o e aA n a f i c a r a m j u n t o s . Q u a l a p r o b a b i l i d a d e d e q u e e l e s n a o te n ha rn f i c a d o nurn d o s ex t r emes d o

b a n c o ?

1.1.

1 . 2 .

p (A IA ) = p (AnA ) ¢> p (A IA ) = p (A ) ¢> p (A IA ) = 1p (A ) p (A )

p (A l A ) = p (AnA ) ¢> p (A IA ) = p(cfJ)¢>p (A IA ) = 0p (A ) p (A )

( po is A n A =A )

( po is A n A = c fJ )

A e B s ao in co m pa tfv eis ¢>AnB = c fJ

p (B /A ) = p (BnA ) ¢> p (B /A ) = p(cfJ) ¢> p (B /A ) = 0p (A ) p (A )

p ( (AUB) /A ) = p ( (AUB)nA) ¢> p ( (AUB) /A ) = p (A ) ¢> p ( (AUB) /A ) = 1p (A ) p (A )

( po is ( AUB ) nA = A )

1 .3 .

1 .4 .

1.5. AnB = r p

p (A I (AUB )) = p (An (AUB) ) ¢> p (A I (A U B )) =

p (AUB )

_ p (A )p (A I(AUB )) - p (A ) + p (B ) _ p (c fJ ) ¢> p (A

_ p (A )I(AUB )) - p (A ) + p (B )

p (A )

p (A ) + p (B ) - p (A nB )

2 . A -, - -1 - D u r olV/ 1

3 2 " _ . . . . . . - - - - - - - o u r o

L--B<~~ ~pra ta

1"~ l" 3 <,C _2,:,--_pra ta

1

p (e ~c olh er a c aix a A ) = }

. 1 1 1 1ptsa i r ou ro ) = - x 1 + - x - = -

3 3 2 2

p (e sc olh er a c aix a A e s air o uro ) = } x 1 =}

p (c aix a e sc olh id a s eja A Is aiu o uro ) = + = t2

(p ois 5 6 p o de to rna r a s air DUrO s e a ca ix a es co lh ida fo r A )1

- -; . p ( A 1\ a z ) = " 6

A k:"" v e

4 /'" a z-__/

B~

" 5 <, v e

- -; . p ( A 1\ v e l =16

- - ; . p ( B 1\ a z ) = 1 ~

- -; . p ( B 1\ v e l = T s

- -; . p ( C 1\ a z ) = ; 0

1- -; . p ( C 1\ v e l =-

10

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3 . 1 .. 1 4 7 2

p (s alr a zu l) = - + - + - = -6 15 30 3

1 1

p (AA

a z ) = "6 3 .3 . p (a z fA ) ="2.2 .

4.fo-/

d

z__49 P

50

1 d

< : : P9910 0

~d

24 -...........P

2 5

6 1

3.4. p (A f a z ) = 2: = 4 "3

1 1 1-? p (A 1\ d ) = 4 " x 5 0 = 2 0 0

--'> p (A 1\ p ) = ± x ~ ; = 2 ~0

1 1 1--'> p (B 1\ d ) = 4 " x 10 0 = 40 0

-? 1\ -.l ~-~p (B p ) - 4 x 10 0 - 40 0

1 1 1- - ' >p(C l \ d )=4"x "25= 10 0

--'> 1\ - .l . . ? i -l±_p (C p ) - 4 x 2 5 - 10 0

1 3 3--'> p (C 1\ d ) = 4 " x 10 0 = 40 0

-? 1\ - .l . J]_ - J]_p (C p)- 4 x 10 0 - 40 0

4.1.. 1 1 1 3 10 1

p ( d ef elt uo s a ) = 2 0 0 + 40 0 + 10 0 + 40 0 = 40 0 = 40

4.2 .

1

p (A 1\ d ) 2 0 0 40 1p (A fd ) = p (d ) = - = 2 0 0 5

40

H ip 6te se : p (A nB ) = p (A ) x p (B )

T ese : p(A nB ) = p (A ) x p (B )

5.

97

400 974.3. p (D fp ) = 39 = 390

40

A B

Dernonstracao:

B = (A n B ) U (A nB )

e (A nB ) n (A n B ) = 4 ;En tao , p (B ) = p (A nB ) + p (A nB ) - p ((A n B ) n (A nB )) ¢;>

¢;> p (B ) = p (A ) x p (B ) + p (A n B ) - p( 4;) ¢;>

¢;> p (A nB ) = p (B ) - p (A ) x p (B ) ¢;>

¢;> p (A n B ) = p (B ) (1 - p (A )) ¢;>

¢;> p (A n B ) = p (B ) x p (A ) c .q .d .

6 . H ip 6 te s e : p (A n B ) = p (A ) x p (B )T e se : p(A nS ) = p (A ) x p (S )

Dernonstracao:

p (A nS ) = p (A UB ) ¢;>

¢;> p (A n S ) = 1 - p (A UB ) ¢;>

¢;> p (A nS ) = 1 - (p (A ) + p (B ) - p (A nB )) ¢;>

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9.1.

9 . 2 .

9.3.1.

9 . 3 . 2 .

9.3.3.

10 .

70 I

¢>p (AnS ) = = 1 - p tA ) - p (B ) + p tA) X p (B ) ¢>

¢>p (AnS ) = = (1 - p tA ) - p (B ) (1 - p tA) ) ¢>

¢> p (AnB ) = = (1 - p tA) ) (1 - p (B) ) ¢>

¢>p (AnS ) = = p tA) X p (S ) c .q .d .

7.1. C o m o o s d ois a co n te cim e n to s s ao in de pe nd en te s,

p (AnB ) = = ~ x - t = = }

211 5 - 5-1p (AUB) = = " 3 + 2 " - " 3 ¢>p (AUB) = = " 6 7.3. p ( (AUB) ) = = 1 - " 6 ¢>p ( (AUB) ) = = " 6

2 1 1 - 1 1 1p (Ans ) = = " 3 - " 3 ¢>p (AnS ) = = " 3 7.5. p (BnA ) = " 2 - " 3 = " 6

( po is p (A n S ) = = p tA ) - p (A nB ))

p (B) = 1 -

t¢>

p (B ) =t-- 1 - 1 5 3 1 5 1p (AnB ) = = " 6 ¢> p ( (AUB) ) = " 6 ¢> p (AUB) = = " 6 8.2. p (AnB ) = " 4 + " 4 - " 6 ¢> p (AnB ) = " 6

1

- 1 1 - 1 6 2p (BnA ) = = " 4 - " 6 ¢> p (BnA ) = = 12 8 .4 . p tA I B ) = = T ~ p (A lB) = = " 3

4

7 .2 .

7.4.

8.

8 . 1 .

8.3.

12 3p (A ) = = 40 = = 1 0

2 0 1p (C ) = = 40 = = " 2

3

40 1

p (B/A) =T¢> p (B/A) = = " 4

10

p (AnB ) = = : 0 e p (A ) X p (B) = = 1 3 0X t = = : 0 ' L og o, A e B s ao a co n te cim e n to s in de pe nd en te s.

p (fig ur a d e c op as ) = =

: 0

A e C s ao a co nte cim en to s in de pe nd en te s, p ois p (A nC ) = = 460 = = { o e

3 1 3p (A) X p (C ) = = 1 0 X 2 " = = 2 0

1 1 1B e C s ao a co nte cim en to s d ep en de nte s, p ois p (B nC ) = = 0 e p (B ) X p (C ) = = " 4 X " 2 = = " 8 '

N u m ere m os a s ca sa s d o jo go p ara m e lh or id en tif ic ac ao d os p erc urs os :

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11.1.

P ro b ab il id ad e co nd ici o na da

P e r c u r s o s p a r a c h e g a r a C :

0000[]

0QJ00[]

0000[]

1 2 1 2......x-x-x-

3 3 3 3

2 1 1 2_,.-x-x-x-

333 3

1 1 2 2-;.-x-x-x-

3 3 3 3

2 2 1 1-;.-x-x-x-

3 3 3 3

o QJ0 0 [];.}xtxtXt

o 0 0 0 [] -7tx}xtX}

(

2 )2 (1)2 2 4 8p ( c h e g a r a ( ) = 6 x " 3 x " 3 = 81= n

756x10 3

52 9 X 10 5

25 X 10 5

52 9 X 10 5

756 18 9

2 50 0 6 2 5

P e r c u r s o s p a r a c h e g a r a D :

0000@J

0000@J

0QJ00@J

0000@J

( 2 ) 3 ( 1 ) 32p ( c h e g a r a D ) = 4 x " 3 x " 3 = 81

o J o a o t e m m a i s p r o ba b i l i d a d e d e g a n h a r a a p o st a .

D o u t r o m o do :

d e P a C , 4 p a s s o s , 2 p a r a a e s q u e r d a e d o i s p a r a a d i r e i t a ; l o g o , h a 4(2 = 6 p e r c u rs o s c u ja p ro b a b i l i -

d a d e e : ( } r x ( t td e P a D , 4 p a s s o s , 3 p a r a a e s q u e r d a e d o i s p a r a a d i r e i t a ; l o g o , h a 4 C 3 = 4 p e r c u r s o s c u j a p ro b ab il i -

d a d e e : ( t ) 1

X ( ttC o m o 6 x ( } ) 2 X ( t r

< 4 x ( t ) X ( tt 0 J o ao t e m m a i s p r o ba b i l i d a d e s d e g a n h a r a a p o st a .

~lfll~~~~~23 x 23 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 52 9 x 10 5

11.2 . lj lj ~ ~ ~~ ~5 x 5 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 756 X 10 3

11 .3 .p (a lg a r i s m o s t o d o s d if e re n t e s e 2 v o g ai s )

p ( a lg a r i s m o s t o d o s d if e re n te s 1 2 v o g a i s ) = ----.:-=-----,---..,....,-------=-_.:_p ( 2 v o g a i s )

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P r o b a b il id a d e c o n d ic io n a d a

11 .4 . (2 . d'f t I I' t d . . ) p (2 voga is d ife ren te s 1\ a lg ar is m os to d os ig ua is )p voga ls I e ren es a g ansm os 0 os I gua ls = = (I' dos i )

p a gansm os to os Igua ls

5 x 4 x 10 x 1 x 1 x 1 x 1

529 X 10 5 20=---------=

23 x 23 x 10 x 1 x 1 x 1 529

529 x 105

12 .1 . 3x 2 + Sa - ax - 48 = 0 < = : >

¢> 3x 2 - ax + (S a - 48) = 0 ¢>

a ± Va 2 - 12 (5a - 48)

6¢> x =

Para te r duas r a l z e s rea is d i s t i n t a s , t e ra d e se r:

a2

- 60a + 576 > 0 ¢>

¢> ( a - 48) ( a - 12 ) > 0 < = : >

¢> a < 12 va> 48

11 + 51p = 100

31¢> P=50

12 .2 . P a ra te r um a ra iz rea l d u p la , t e ra de s e r a = = 12 v a = 48 , ou s e j a ,

2 1P = 100 = 50

12 .3 . Pa ra as r a l z e s se re m d e s in al c o n tr a ri o , t e ra d e se r:

Sa - 48 48P < 0 ¢> 3 < 0 ¢> a <5= :> a < 9 ,6

p( ra izes r e a i s d e s in al c on tra rio ) = 1~o

9

(ra ! d . I " / - 'I IR ) 100 9P ra izes e sm a con trano equacao poss ive em = 31 1 64

50+50

13 . E xis tem 1 2 p ia nos fo rm ad os por 4 v er tic es d e u rn c ub a (c as os p r o v a v e i s ) ,

o num ero de p ianos de fin id os pe los ve rt ices do cuba e 8(3 - 12 X (4(3 - 1 ) = 2 0 ( ca s os p o ss lv e is ),

12 3Logo , P = 2 0 = 5 '

14 .10 4

p (2 v e z e s 0 a lg aris m o 3 ) = = --:5:---1 0 - 1

Casos p o s s l v e i s = = 105 - 1

C a se s f a v o r a v e i s = 5C 2 x 10 3 = 10 4 1

p (d u as v ez es 0 a lga rism o 3 e o s a lga rism os to do s ig ua is ) = 105 _ 1

1

10 5 - 1p (a lg ar is m os to d os ig ua is /d u as v e z e s 0 a lg aris m o 3 ) = 104 1 0 4

105 - 1

15 .40( x 9(

p (6 num ero s com 1 a lga rism o) = ~9(6 6

40COX 9(7

p (6 nu rne ro s com 1 a lga rism o e sup lem en ta r com 1 a lga rism o) =¢>

49(7

72 I

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P ro b ab il id a de co n d icio n ad a

4 0 CO

X 9 C7

4 9 C7

P = = - - : ;- 4 0 A : :C= - 0 - X - " - ; 9 ; - ; : C : -

6

4 9 C 6

Logo P = 0 ,0 70 (3 c .d .)

( Ia rnbe rn se pode pensa r que , ap6s re tira r 6 bo las com 1 a lga rism o, 56 res ta rn 3 e rn 43 pa ra sa tis fa ze r

a e xiq en cia d e q ue 0 s up le m en ta r te nh a 5 6 1 a lg aris m o.)

16 . S e sa frem 3 bo las , po r exem p lo , A , B e C , e las pod em sa ir po r 6 o rdens d ife ren tes (ABC , ACB , BAC ,

B CA , C AB , C BA ), das qu ais 56 um a e favo rave l, po r o rdem crescen te . E ntao :

I O A 3

31 IO C 1p (s afre m 3 b ola s p or o rd em c re sc en te ) = = I O A 3 = = l O A : = = " 6

S 6 h a 8 g ru po s p os sfv eis d e 3 n um e ro s in te iro s c on se cu tiv os ( (1 ,2 ,3) , (2 , 3 , 4 ), ... , (8 , 9 , 1 0 ) )

Lo go , p (s afre m 3 b ola s p or o rd em c re sc en te e s ere m 3 in te iro s c on se cu tiv os ) = = IO ~

~ ~ ~ 1 3

(sa l 3 .. . /sa l d t ) 90 1P sai rern m t e uo s c o ns e cu tiv o s s a r r e r n po r o r em crescen e = = -1 - = 1 5

6

17 . {som a das pon tua co es 7 } = = {(1 , 6 ), (6 ,1 ), (2 , 5 ), (5 , 2 ), (3 , 4 ), (4 , 3 )}

{s om a d as p on tu aco es 7 e p ro du to d as p on tu ac oe s 12 } = = {(3 , 4 ), (4 , 3 )}

2

36 1p > 6 ¢:> P = = 3

36

18. • E squem a com repo sicao :

~ ~az

ve r ~ _ _ j Q _ V E ' r"

12 ~50 pr

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18.1 .1 .

18.1 .2 .

P ro b a b il id a d e co n d icio n a d a

• E sq ue m a s em re po sic ao

~ /oazy~~.ALver1 2 " ,- .'"49 '" , pr

1 14

p (l.a n ao p re ta 1 \ 2 .a pre ta ) 625 191 8.2 .1 . p (l.a n ao p re ta /2 .a pre ta ) = = -- -

p(2 .a p re ta ) 6 - 25

1 2 - .

50

.. .., p r

p (2 .averde/I . ' azu l ) = ~~ = {5

p(2 : verde / l . " azu l ) =~~

pr

25

_ 20 12 18p(l .a n ao p re ta 1 \ 2 .a p re ta ) = p(l .a azu l 1 \ 2 .a p re ta ) + p(l .a v e r d e 1 \ 2 : p re ta ) = 50 x 50 + 50 x

12 2 6 9 6 11 4x 50 = 5 " x 25 + 25 x 25 = 625

a 20 12 18 12 12 12 6p (2 . p re ta ) = 50 X 50 + 50 X 50 + 50 X 50 = 25

20 12 18 1250 X 49 + 50 X 49

18.2 .2 . p ( l.a n ao pre ta /Z .' pre ta ) =

19 .

20 .

48(

p (n um a 'm ao ' h a v e r 4 a se s) =~

po is : n . " d e c a so s p o s sf ve is = 52(7

n . ? d e c as os f a v o r a v e i s = 4(4 X 48(3

4( X 12( X 36( 12(p (n um a 'm a o' h a v e r 4 ase s e 3 figu ras ) = 4 52(3

7

0 =~

~52( 12( 55

P7 ¢;> P _ ~ ¢;> p _ 220

- 48(3 - 48(3 - 17 296 ¢;> P = 4324

52(7

I I I I I IJ A

J A ( J - A f . ) 2 ' 4'P oao e na ica re rn Ju n to s =TJ A

( J - JA A f . t - t) 2 x 3 ! X 2 'P oao e na t c a r e r n Jun os , m as nao nas po n as = 5 '

p (J oa o e A na n ao n os e xtre mo s/fic ara m ju nto s) =

2 X 3' X 2 '5 !

2 ! x 4 '-5--

228

12 25 38=-6-= 49

2

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r o b a b i l i d a d e s eC o m b i n a t 6 r i a

4. Def i n l c ao

a x io m a t ica d ep r ob ab i l i d a d e

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1 1 · .

,I "\ I

D e fin ica o a xio m a t ica d e pr ob a b i l id a de"",";',;:c=-;:~",::,~~-y",=-~=~;:l::::"'--=:::::;;;:~-;:.~ ...;;-::.::::::;t:~r"",.:.;l;;;=-~:.::.-::-,--.:rJ7":=";--::::::l:r:.~:..-:;;:::,c~~~~-;.:;,:,:;~.,~.;?":::,-~-;::::J;r.;;-.-.7,r::::::·,::::·~-:::;-,-=~~-: :- --=: :._..:!:,"~.;::,;:X;s::.

u n i d a d e

N u m e sp ac o a m os tra l Q, s eja m A e B d o i s a co nte cim e nto s.

D es ignem os po r p (A ) a p robab ilidade do acon tec im en to A e p (B ) a p robab ilidade do acon tec i-

m en to B .

Ver i f i cam-se t r e s ax i omas :

Ax i oma 1:

Ax i oma 2 :

A xiom a 3 :

p (A ) ~ 0 , \f A C Q

p (A ) s 1 , \f A C Q

Se An B = p , entao

p(AUB) = p(A) + p(B)

'lr j A p robab ilidade de que oco rram em sirnu ltaneo os acon tec i-

m en tos A e B e p . Q ua l a p robab ilidade de que pe lo m enos

u m d ele s n ao ac on te ca ?

p (AnB ) = p

P a ra que pe lo rnenos um nao acon teca , te ra de se ve rifica r AnS , ou AnB ou (AU B ), ou se ja ,

(AnB) .

-Loqo , p (AnB ) = = 1 - p (AnB ) e

p (AnB ) = = 1 - P

~ g Se a p robab ilidade de oco rre r A fo r ~ e a p robab ilidade de oco rre r B fo r ;, en tre que va lo res

pode va r ia r a p robab ilidade de oco rre rem em sim ultaneo A e B?

1 1p(A) = = 3 " e p (B ) = = " 2

• S e A e B sao incom pa tive is , p (A nB ) = = 0 , logo p (A nB ) 2: 0

• S e A e B fo rem com pa tive is , p (A nB ) :S p (A ) /I. p (A nB ) :S p (B )

1 1Logo , p (A nB ) :S " 2 /I. p (A nB ) :S 3 "

1P o rta nto , p (A n B):S 3 "

En tao , O :s p (AnB ) :S ~

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D efin ica o a xio rn atica d e pro b ab il id ad e

'N Se a p robab ilidade de que oco rram em s im ultan eo do is acon tec im en to s A e B e m eno r o u

igu al a ± , e ntre q ue va lo re s va ria ra a s om a d as p ro ba bilid ad es d os d o is a co nte cim en to s?

P ro ve q ue , s e A e B s ao d ois a co nte cim en to s e qu ip ro va ve is e in de pe nd en te s,

p (AUB) = p(A) ( 2 - P(A) )

P ro ve q ue , s e A e B sa o d o is a co nte cim en to s e qu ip ro va ve is e in de pe nd en te s,

p (A lB) = p(B /A)

P rove q ue , se d ois aco ntec im en tos independen tes sao incom pa tive is , en tao . pe lo rnenos u rn

de les e 0 a co nte cim e n to im p o ss iv el.

1 . o sp (A nB ) ::s ±C om o p (AUB ) = p (A ) + p (B ) - p (A nB ) <'*' p (AUB) + p (AnB) = p (A ) + p (B )

M a s o sp(AUB) : :s 1

O: : s p (AnB ): :s ±O : :s p (A UB) + p (A nB ) ::s %

5o : :s p ( A ) + p ( B) : :s 4 "

Logo ,

o u s eja ,

2 . S e A e B s ao equ ip rovc lv e is , en tao p (A ) = p (B )

S e A e B s ao in de pe nd en te s, e n t a o p (AnB) = p (A ) x p (B )

O ra p (AUB ) = p (A ) + p (B ) - p (A nB )

L og o, p (A UB ) = p (A ) + p (A ) - p (A ) x p (A )

<'*' p (AUB) = 2p (A ) - p2 (A )<'*' p (AUB) = p (A ) (2 - p (A ))

3 . C om o p (A I B ) = P (~ ~ )B ), n e st e c a so

p (A I B ) = p (A ) X p (B ) = p (A )p (B )

p (B IA ) = p (B ) X p (A ) = p (B )p (A )

C o m o s ao e qu ip ro va ve is , p (A ) = p (B ) e p (A I B ) = p (B /A )

4 . A e B s ao in com pa tfve is =:> p (AnB) = 0

A e B s ao in de pe nd en te s =:> p (AnB) = p (A ) x p (B )

S e A e B sao ind epe nden te s e in com pa tiv e is , e n tao p (A ) x p (B ) = 0 <'*' p (A ) = 0 v p (B ) = 0 <'*' A eum a con te cim en to im poss iv el ou B e u m a co nte cim e nto im p os siv e!.

I 77

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r o b a b i l i d a d e s eC o m b i n a t 6 r i a

5. D is t r ib ui( :a o d e

fr e q ue n cia r e la t iv ae d is t r ib u i~ a o d e

p r o b a b i l i d a d e s

5.1 . M ed id a s d e lo ca l iz a ca o e

m ed id a s d e d i spe rsao

5.2. Dis t r i bu i cao d e

1Ii i~~; ; ; ; ;probabi l idades

5.3. C urv a d e G auss

5.4. E xpe r ie n cia d e B ern oull i

L ei b in om ia l d e pro prie d ad es

I "7 "

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un i d a de D is tr ib uica o d e f r e que nc ia r e la tiv a e d is tr ib uica o d e pr o b ab il id ad e s

5.1. Medidas de Iocalizacao e medidas de dispersao

(l) Med id as de l oca l i zacao

Mediana e 0 va lor x , de m odo que 50% dos dados tern valo r m eno r ou igua l a X . A c1asse a

que pe rten ce a m ed ian a cham a-se c1asse mediana.

C lasse m od al e aque la que tem m a io r f requenc ia ab so luta (po r veze s , conside ra -se com o

moda a m arca d a c1asse m od al).

Media r epre se nta -s e po r x e

-_Lf i !Sx _ 2 : f

I

em que X i e a mar ca d a c1asse i e fj e a sua f r e q u e n d a .

Med id as de d i sp e r s a o

. ~, . 2 :fi(x·-x}2 . . _ ,Desvio padrao e iqua l a { ; if e m ede a r na i o r ou m eno r d ispe rsao do s dado s, a vo lta

d a m ed ia . I

1 Fez -se um estudo sob re a s a lturas dos a lunos, de um a esco la , com m a is de 17 an os. Sepa ra -

ra rn -se o s dados re la tivo s ao s rapaze s e rapa riga s e e stabeleceu-se a seguin te tabela de fre -

quenc ia ::.,:.;. ' ;, ' ,

. " " ,,,' . , , · , , " " " " i: ~ , Classes ( (0) f, ( < ; ? )

! ! . ;

[ 1, 4 5; 1 ,5 5 [

°6

[ 1, 5 5; 1 ,6 5 [ 3 37

[ 1, 6 5; 1 ,7 5 [ 2 9 58

[ 1, 7 5; 1 ,8 5 [ 72 41

[ 1, 8 5; 1 ,9 5 [39 7

[ 1, 95 ; 2 , O 5 [ 4

°1.1. Dete rm in e a m ed ia , a m oda , a m ed iana e 0 desv io pad rao da d is tribuicao das a ltura s dos

rapazes.

1.2 . De term ine a m ed ia , a m oda, a m ed ian a e 0 desvio pad rao d e d is tribuicao das a lturas das

raparigas.

C om 0 auxllio da calculado ra qrafica . vam os dete rm ina r o s va lo re s ped ido s. Assim :

• em 'L is t l ' escrevem os a s m arca s de c1asse (1,50 ; 1,6 0 ; ... ; 2 ,00 ).

• em 'L is t 2 ', e screvem os a s frequend as ab so luta s dos rapazes .

• em 'L is t 3', escrevem os a s frequen cie s ab so luta s da s rapa riga s.

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D is tr ib u ic ao d e p ro b a bi lid a d es

1.'1. F a z e n d o : X L is t ~ 'L is t l'

F re q ~ 'L i s t 2 '

o b t e m o s : X = = 1,810 = = 0,08

N = = 147

x = = 1 ,8

M o = = 1 ,8

x - 0 = = 1,73

x - - I - 0 = = 1,89

1.2 . F a z e n d o : x L i s t ~ 'L i s t l'

F r e q ~ 'L i s t 3 '

o b t e m o s : x = = 1,70

0 = = 0 , 0 9

N = = 149

x==l,7

M o = = 1 ,7

x - o = = l , 6 1

x - - I - 0 = 1,80

5.2 . Distribuicao de p robab ilid ades

S e j a x u m a va r i a ve l aleat6ria.A d l s tr ib u l c a o de probabil idade e u m a f u n c a o q u e a c a d a v a l o r d e x ( d a v a r i a v e l a le a t6 r ia ) f a z

c o r r e sp o n d e r a s u a p ro b a b i l i d a d e .

A e s t a f un c ao , t ar nb em c h a m a d a funcao de probabil idade, p o d em o s a ss o c i a r:

• v alo r e sp era do o u e spe ra n ce m a te rn at ica ( q u e c o rr e s p o nd e a m e d i a d e s t a d is t r ibukao) :

• d es vio pad r a o d a d is tr ib u k a o .

1.1 .

t a n c a r n - s e e m s i r n u lt a n e o d o is d a d o s :

• u r n , q u e t e m a f o rm a c u b i c a e a s f a c e s n u m e r a d a s d e 1 a 6 ;• o u t r o , q u e e u m o c t a e d r o e t e m a s f a c e s n u m e r a d a s d e 1 a 8 .

S e j a x a v a r i a v e l a l e a t 6 ri a q u e f a z c o r r e s p o n d e r a s p o n t u a c o e s o b t i d a s n o s d o i s d a d o s a s u a

s o m a . Q u e v a l o re s p o d e t o m a r e s t a v a r i a v e l a l e a t 6 r i a ?

C o n s t r u a u m a t a b e l a d a d i s t r i b u i c a o d a p r o b a b i l i d a d e d a v a r i a v e l a l e a t 6 ri a x .

D e t e rm in e 0 v a l o r e s p e r a d o e 0 d e s v io p a d ra o d e s t a d is t r i b u i c a o .

1.2 .

1 .3 .

r; ; , e ' . ..... . . "'",'"' '· ' .C·CO'

I ' s ' i :"; 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 89 "j

2 3 4 5 6 7 8 9 1 C

3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2

5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 L

' ; ;6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4,";":~ "c. .:'-;'0",;:;.'-".'

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un i d a d e D is tr ib uica o d e f r e que ncia r e la tiv a e d is tr ib uica o d e pro b ab il id a de s

1 . 1 . A v ar ia ve l pode tom ar qua lque r va lo r n a tu ra l e n tre 2 e 14 .

1 . 2 . " ' : ' 1 i ! "

X p ( x )

2 1/ 48

3 1/ 24

4 1/ 16

5 1/ 12

6 5/ 48

7 1 /8

8 1 /8

9 1 /8

1 0 5/ 48

11 1/ 12

12 1/ 16

13 1/ 24

14 1/ 48

'" , ' ' ' ' '

1 .3 . E = 8 e 0 = 2 ,8 6 (2 c .d .)

~2 D e um saco con ten do 12 bo la s , 5 a zu is e 7 ve rm elha s, re tiram -se em s irn u lta n eo 4 b ola s .

2 .1 . S e ja x a va r ia ve l a le a t6 r ia q ue fa z co rre sp onde r a cada ex tra ccao 0 nu rne ro de bo la s a zu is

e xtra fd as . Q ue va lo re s p od e to ma r x?

2 .2 . C ons tru e um a tab e la d a d is tr ib u ic ao de p ro bab ilid ade da va ria ve l x e ca lcu le 0 v a lo r e s pe ra d o

e 0 d e sv io p a d ra o ,

2 . 1 . P odem sa ir 0 , 1 , 2 , 3 ou 4 b o la s a zu is . Lo go , x tom a os va lo re s in te iro s m aio re s ou igu a is a 0

e m en o re s o u igua is a 4 .

2 .2 . 5 az 7 ve5(0 x 7(4

0 4 -? p (O )=35 7-=-

12( 495 994

-? (1 ) = 5(1 X 7(3

x p ( x )

317 5 35- =9912(4 495 0 7/ 99

5( X 7( 210 1 4 3 5 / 9 92 2 -? p (2 ) = 2 2 - -} 32(4 49 5

2 1 4 / 3 35( X 7( 70 14

3 ~ p (3 ) = 3 1

12(4 = 4 15 =99 1 4 / 9 9

5( X 7( 5 1 1 1 9 94 0 -? p (4 ) = 4 0 - -9 92(4 495 :,....,'!.:;'.'

E = 1 ,67 e 0= 0 ,84 (2 c .d .)

S:h I

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C urv a d e G auss

5.3. Curva de Gauss

Curva d e Gauss e 0 g ra fic o d e u m a d strib uic ao c uja cu rv a e s irn etr ica , c on tin ua , cu jo m ax im i-

zan te e x e cu jas ab c issas dos p on to s d e in fle xao sa o x - 0 e x + 0 (n o in te rv alo

J x - 0 , x + 0 L a c on ca vid ad e e sta v olta da p ara b aix o).

Um a d is tr ib uic ao e normal quando 0 seu g rM ico e um a cu rva d e G au ss .

Um a dsf r ibu icao n orm a l e ca ra cte riz ad a p ela s ua m ed ia e p elo s eu d es vio p ad ra o.

A a re a a ba ix o d e u ma cu rv a n orm a l e s em p re 1 (,1 00 %), e sta nd o a pro xim ad am en te :

• 6 8,2 % d os e fe ctiv os e m J x - 0 , x + 0 [;

• 9 5 ,4% dos e fe c tivos em J x - 20 , x + 20 [.

N um a d is tr ib uica o n orm a l, a m e dia , a m od a e a m e dia na c oin cid em .

'H

~ N um gru po de 1000 jovens do sexo m ascu lin o , com 16 anos , ve r ifko u -se que a a ltu ra se d is -

tribu ia , no rm alm en te , com um va lo r e spe rado de 1 ,72 m eum de sv io pa d ra o de 9 cm .

1 .1 . Q uan to s jo vens te rao m enos de 1 ,81 m ?

1 .2 . Q uan tos jo vens se espe ra te rem m eno s de 1 ,7 2 m ?

1 .3 . Q uan tos jo vens te rao m ais de 1 ,90 m ?

34,1 34,1

1,54 1,63 1 ,72 1 ,81 1,90

1 .1 . 1 00% - (13 ,6% + 2 ,3%) = 84,1%

P re ve -se que 841 jo vens ten ham m enos de 1 ,81 m .

1 .2 . E spe ra -se q ue 500 (50% de 1000 ) tenham m enos de 1 ,72 m .

1 .3 . 23 jo ve ns (2 ,3% de 1000 ) te ra o a ltu ra supe r io r a 1 ,90 m .

; t ~ O s resu lta dos de u rn tes te d e M atem atica a p licad o a 40 750 a lu nos fo i:

2 .1 . C a lcu le 0 v alo r e sp era do e 0 s eu d es vio p ad ra o,

2 .2 . P ode rem os con s ide ra r e s ta d is tribu icao com o um a d is tribu icao no rm al?

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un i d a de D is tr ib uica o d e fr e que nc ia r e la tiv a e d is tr ib uica o d e pro b ab il id ad e s

2.1 .

2 .2 .

Usando a ca lcu lado ra g rM ica , chegam os a x " " 8,0 (1 c .d .) e ( 5 " " 4 ,6 (1 c .d .).

V e rificam os que a c lasse m oda l e a c lasse m ed iana sao [4 , 8 [ e que a m ed ia e 8. T arnbe rn se

ve rifica que a cu rva nao e s irne trica , tendo um 'peso ' m uito g rande pa ra ba ixo do 10 . N ao

p od en io s c on sid era r u ma distr ibuicao no rma l .

A tabe la que exp rim e a distr ibuicao de p robab ilidade de um a var iavel aleat6r ia x e :

x p (x )

31-10

41

4

51

8

61 .:

: : 10

71

10

8" ' . .. " . ' , , , ,. , ,, , _ , , ., _ J

1.1 .

1 .2 .

C a lc ule p (8 ).

.C alc ule a esperance m atem atica e 0 desv io pad rao de x .

U m a v aria ve l a le at6 ria x tom a va lo res na tu ra is m eno res do que 10 e sabe -se que :

• p (x < 4 ) = p (x > 6 )

3• p (4 :5 x s 6 ) = s -o p (x = 4 ) = p (x = 5 ) = p (x = 6 )

• p (x = 1 ) = p (x = 2 ) = p (x = 3 ); p (x = 7 ) = p (x = 8) = p (x = 9 ) = p (x = 10 )

2 .1 . C ons trua um a tabe la de p robab ilidade .

2 .2 . C alcu le a espe rance m atem atica eo desv io pad rao des ta d is tribu icao .

~~ Um a em presa de a lugue r de autom 6ve is sem condu to r fe z 0 reg is to do num e ro de d ias de

a lugue r de cada ca rro . A o fim de um de te rm inado tem po , cons tru iu a segu in te tabe la :

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C urv a d e G aus s

""t,,,,;,,;":~':' ;""",3"" ', ,;: ',?>:;' , 'Z',"iC;':,;,",(

N .O d ia sF re que ncia d e a lug ue re s d ura nte

e s te pe r io d o d e tem po ':

3 5 9 :2 4 1 2

3 5 0 4\

4 3 7 8

5 4 1 6 r,

6 2 1 2"

7 1 9 4

8 1 7 1

9 1 0 4

1 0 1 0 8

i. 1 1 1 1 7

1 2 8 2

13 7 5

1 4 3 6

1 5< ~ L," ," , ," 'CC," , ' : ' _ "

3 . 1 . E stabe le ca um a tabe la de fre quendas re la tiva s .

3 .2 . S e ja x = 'p erfo do d e te m po (e m d ia s ), p a ra 0 q ua l u m c1 ie nte a lu ga u m ca rro '.

E sta be le ca u m a ta be la d e p ro ba bilid ad es d es ta d is tr ib uic ao .

3.3 . 0 ge re nte d a em pre sa , p ara p od er p lan ea r 0 tam anho da fro ta , p re te nde sabe r a espe rance

m a te m atica e 0 d e sv io p a dr ao d e sta d is tr ib u ic ao . Cakule -o .

De um ba ra lho de 52 ca rta s , re tira -se um a "m ao " de 7 ca rta s .

4 .1 . S e ja x = 'n um ero de figu ra s na m ao '.

C on sid ere a fu nca o d e d is tr ib uica o d e va ria ve l x . C on stru a a ta be la d es ta fu nca o (u tilize va lo -

re s a pro xim a do s c om 3 c .d .).

4 .2 . Q ua l a e spe rance rna te rna tica eo desv io pad rao des ta d is trib u ic ao?

4 .3 . Q ua l a pe rcen tagem de va lo re s no in te rva lo ] x - 6 , x + 6 [? E n o in te rva lo ] x - 26 , x + 26 [?

;~ N um a m a te rn id ade , ao fim de um ano , ve rif icou -se que :

• 0 peso a n as ce nce d os ra pa ze s d is tr ib ui-se , n orm a l m e nte , se gu nd o N (3 ,6 5; 0 ,6 0) (e m kg )

• 0 peso a n as ce nc e d as ra pa rig as d is tr ib ui-s e, n orm a l m e n te , s eg un do N (3 ,5 0; 0 ,6 0) (e m kg )

• n asce ra m 1 82 0 ra pa ze s e 1 74 8 ra pa riga s.

5 .1 . Q uan to s rapazes nasce ram :

5 .1 .1 . com m a is de 4 ,25 kg?

5 .1 .2 . com m enos de 3 ,05 kg?

5 .1 .3 . com peso en tre 3 ,0 5 kg e 4 ,25 kg?

5 .1 .4 . com m a is de 4 ,85 kg?

5 .2 . Q uan ta s rapa riga s nasce ram :

5 .2 .1 . com m enos de 3 ,5 kg?

5 .2 .2 . com m a is de 4 ,1 kg?5 .2 .3 . com m enos de 2 ,3 kg?

5 .3 . F aca um q ra fic o (com cu rva s d e G a us s) co m pa ra tiv o d as d ua s d is tr ib uico es (ra pa ze s e ra pa ri-

gas ) .

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un i d a de D is tr ib uica o d e fr e que ncia r e la tiv a e d is tr ib uica o d e pro b a b i l id ad es

V e rific ou -s e q u e 0 tem po de rea cca o a um m ed icam en to se d is tr ibu i n o rm alm en te se gundo

N (6 5, 1 2) (te mp o e m m in uto s).

6 .1 . A o fim de quan tos m inu to s 85% dos pac ien tes ja m an ife s tam m elho ras?

6 .2 . Q ua l a p e rce n tagem de pa c ien tes que 5 6 ap re se n ta m elho ras ao fim de 1 ho ra e 39 m inu tos?

N um cen tro a grico la exp erim en ta l, ve rif icou -se q ue 0 tam anho de de te rm inado g rup o de

p la nta s s e d is tr ib ui n orm a lm en te s eg un do N (l ,2 0; 0 ,3 0) (c om pr im en to e m m etro s).

7 .1 . Q uan ta s p lan ta s , n um un ive rso de 400 , m edem en tre 0 ,90 m e l ,80 m ?

7 .2 . Q uan tas p lan ta s , num un ive rso de 200 , m edem m ais de 1 ,20 m ?

t~ T emo s t res dados t e t raedr icos , nao v ic iado s , com as faces num eradas 0 , 1 , 2 e 3 . t ancam- se

em s imul taneo o s t res d ad os . S eja x = 'a som a das pontuacoes nos t res dados ' .

8 .1 . Q ue va lo res pode tom a r a var iavel x?

8 .2 . C ons trua a tab e la d e pm bab ilidad e des ta dis t r ibu icao.

8 .3 . D e te rm in e a e s p e ra n ca r n a te r n a tk a e 0 desv io p a d r a o des ta d i s t r i b u i c a o . S e ra um a d is tr ib u i-

~ ao n orm a l? J us tif iq ue c on ve nie nte m en te a re sp os ta .

2 .1 . p (x = 1 ) + p (x = 2 ) + p (x = 3 ) = p (x = 7 ) + p (x = 8) + p (x = 9 ) + p (x = 1 0 )

(

P ( X = 4 ) + p (x = 5 ) + p (x = 6 ) = tp (x = 4) = p (x = 5 ) = p (x = 6 )

1p (x = 4) =-

5

1p (x =) =-

5

p (x = 6 ) = t

p (x = 1 ) + p (x = 2 ) + p (x = 3 ) = (1 - i ) : 2¢? 3 p (x = 1) = t

¢?

1p (x =2 ) = p (x = 3) = -

15

p (x = 7 ) + p (x = 8 ) + p (x = 9) + p (x = 10 ) = (1 - t) :24 p (x = 7 ) = t ¢? p (x = 7 ) = 2

10

1p (x = 8) = p (x = 9 ) = p (x = 10 ) = -

20

1p (x= 1 )=-

1 5

2 .1 .

~ ; x

' , ' , " , , ' , , c c ' , . . , , , , '" .. '"". ' ' ' ' . , , ' ' ' ' ' ' "";,.'/;,,~

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p(x) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1- - - -1 5 1 5 15 5 5 5 20 20 20 20

"t'" "i "!,c,',.'."", ;:', ' , ' " , , . " , ""'::0,L',::L0!~. . . .

2 .2 . E = 5 ,5

0=2 ,9

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_ _ _ _ .

C urva d e G aus s

3 .1 . C om 0 a u xf lio d a c a lc u la d or a g ra fic a :

N .D d e d ia s -"> L is t 1

F requenda -> L is t 2

L is t 2 : s um ( Lis t 2) -> L is t 3

A s s im :

.:''"

2 0 ,1 284,. ri";"1

I i . , 3 0 ,1571

"i·4 0 ,1 178' ; ' .

t .5 0 ,1 2 96

P ,:

- ; ': ; 6 0 ,0 66 1

( 7 0 ,0605

!': 8 0 ,0533

: : . : 9 0 ,0 3 24

i i ;1 0 0 ,0 3 37.,

~~, . . ;

1 1 0 ,0 3 65~!

(

1 2 0 ,0 2 56,, :

"(,:

I:;

13 0 ,0234P

h 1 4 0 ,0 1 12; .

3 .2 . A ta be la d e d is tr ibu i< )io co in c ide com a ta be la de fre q ue nda re la tiva (c om x = n ." de d ias e fr = p(x) ) .

3 .3 . E=5 ,1 9 0=3,47

4 .1 .

4 .2 . E = 1 ,62 e 0 = 1 ,0 5

4 .3 . ] x - 0 ; x + 0 [ -> ] 0, 57 ; 2 ,6 7 [ -> 80 ,8%

] x - 2 0 ; x + 2 0 [ -> ] 0; 3 ,7 2 ( -> 95 ,8%

I 87

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D is tr ib uica o d e fr e que ncia r e la tiv a e d is tr ib uica o d e pro b a b i l id ad es

5.1.

34,1 34,1

x - 263,05

x- 6

3,65

x

4,25

x+ 6

4,85

x + 26

5 .1 .1 . (0 ,1 3 6 + 0 , 0 2 3 ) x 1 820 " " 2 89

5 .1 .2 . (0 ,1 3 6 + 0 , 0 2 3 ) x 1 820 "" 2 89

5 .1 .3 . (0 ,3 4 1 + 0 , 341 ) x 182 0"" 1 2 41

5 .1 .4 . 0 ,0 2 3 x 182 0 "" 4 2

5 . 2 .

34,1 34,1

2,30

x - 262,90

x- 6

3,50

x4,10

x+ 6

4,70

x + 26

5 .2 .1 . 0 ,5 0 x 1 748 = 874

5 .2 .2 . (0 ,1 3 6 + 0 , 0 2 3 ) x 1 7 48 "" 2 78

5 .2 .3 . 0 ,0 2 3 x 1 74 8 "" 4 0

5 . 3 .

2,3 2,45 2,9 3,05 3,53,65 4,1 4,25 4,7 4,85

As duas cu rvas de G au ss te rn a m esm a fo rm a ( e igua l 0 d es vio p ad ra o), v er if ic an do -s e q ue a c urv a re la -

t iva a d is t r i bu i cao d os ra p az es es ta desv i ada 0 , 15 kg p ara a d ire ita .

6 . 1 . P ara x < x + 0 , a som a das f requendas e ( 0 , 023 + 0 , 136 + 0 , 341 + 0 , 341 ) = 0 , 841 , o u s eja , 85% dos

p ac ie nte s (a pro xim ad am en te ) m an ife sta m m elh ora s a o fim d e 7 7 m in uto s.

(x + 0 = 6 5 + 1 2 )

6 . 2 . x + 20 = 6 5 + 2 4 = 9 9 m in = 1 h 39 m in

2 , 3% d os p ac ie nte s s 6 ap resen t a r n m elho ras ao fim de 1 h e 39 min .

7 .1 . ] x - 0,)( + o [ _ , . ]0 ,9 0 ; 1 ,5 0 [

] x - 20 , x + 20 [ _,. ]0 ,6 0 ; 1 ,8 0 [

L og o, s er ao ( 0 , 341 + 0 , 341 + 0 ,1 3 6 ) x 4 0 0 = 3 27

7 .2 . 5 0% de 2 0 0 , o u s eja , 1 0 0 .

8 .1 . A som a pode va ria r de ° (0 , 0 , 0 ) a 9 (3 , 3 , 3 ) .

Lo g o , x E {O , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } .

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C urv a d e G aus s

8 .2 . S o m a ° -> to , 0 , O J 1 x l x lx l )43444

S o m a 1 -'> (1 , 0 , O J 1 1 1 ) 33x - x - x -

4 3444

S o m a 2 -'> ( 1, 1 , O J 3 X ± X ± X ± )1 1 1 6

-'> { 2 , 0 , O J 3XL fXL fXL f 4 3

S o m a 3 -'> { 1 , 1 , 1 }1 X ± X ± X ± )

{ 2 , 1 , O J1 1 1

-'> 6 X L f X L f X L f _ ! Q

4 3

-'> { 3, 0 , O J 3x lx l x l444

S o m a 4 -'> (1 , 1 , 2 j

3 X ± X ± X * )-'> { 2 , 2 , O J

1 1 13XL fXL fXL f Jl

{ 3 , 1 , O J1 1 1 4

3

-'> 6x - x - x -4 4 4

S o m a 5 -'> ( 2 , 3 , O J1 1 1

5 X 4X 4X 4)

{ 2 , 2 , 1 }1 1 1

-'> 3XL fXL fXL f Jl

{ 1 , 1, 3 j1 1 1 4

3

-'> 3x - x - x -444

S o m a 6 _ " (2 , 2 , 2 j1 1 1

1 X 4X 4X 4){ 2 , 3 , 1 }

1 1 1_"

6 X L f X L f X L f _ ! Q

{3 ,3 , O J1 1 1 4

3

_" 3x - x - x -444

S o m a 7 _ " [2 ,2 ,3} 3 1 . 1 1

X 4X 4X 4)1 1 1 6

_ " { 3, 3, 1} 3X - X - X -4 34 4 4

S o m a 8 _ " { 3, 3 , 2 } 3x lx lx l )3

4 4 4 4 3

S o m a 9 _ " { 3, 3 , 3 ) 1 1 1 ) 11 X -X -X -

4 3444

' . ' , - . 7 , ' . . c. : " , , ,, ; ] . ., , ,, " , ,, , ,. 0 , :.

X p (x )

°1/64

1 3/64

2 3/32

3 5 /32

4 3/16

5 3/16

6 5 /32

7 3/32

8 3/6 4

9 1/64

N o t a : n . 1 , O J re p r e s e n t a 3 c a s a s : ( 1 , 1 , 0 ) ( 0 , 1 , 0 ) e ( 0 , 0 , 1 ) ;

{ 1 , 2, 3 j r e p r e s e n t a 6 c a s a s : (3 I) , (1 , 2 , 3 ), ( 1 , 3, 2 ), (2 , 1 , 3) (2 , 3 , 1 ) (3 , 1 , 2 ), (3 , 2 , 1) ).

8 .3 . E = 4,5 0=1,9

]- 0 - -"[ 5 3 3 5 1 1 688°1x - , x + u _" 32 + 1 6 + 1 6 + 3 2 = 1 6 ~ ,10

] X - 2 0, x + 2 0 [ _ " : 4 + ;2 + :2 + 136+ 1 36+ : 2 + :4 ~ > 96 , 8%

A c u rv a e s i m e t r i c a , x = x = M o = 4,5 , h a v e nd o , n o e n t a n t o , b a s t a n te c o n c e n t r a c a o n o ] x - 2 0, x + 2 0 [.

I 8q

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un i d a de

2 .1 .

2.2.

2.3.

2.4.

D is tr ib uica o d e Ir e que ncia r e la tiv a e d is t r ib ui \a o d e p ro b a b i l id ad es

5.4. Experienda de Bernoulli. lei binomial de propriedades

A e xp erie nd a d e B erno ulli e uma e x pe rie n ce :

- que se repete n vezes;

- em que os resu ltados sao independen tes uns dos ou tros; _

- em que cada p rova tem 56 do is resu ltados 5 (s uce sso ) o u 5 ( insucesso) .

N um a es pe rien da de B ern ou lli, s e n d o x :=: '0 nurnero de sucessos em n provas '. a v a r i a v e l aleat6-

ri a e , e n ta o :

p(x:=: k) := :n(k p ' qn-k

com p :=: p (S ) e q :=: p(S ) ::: 1 - P

' i l l t anca- se um a moeda ao ar 5 vezes. Q ua l a p robab ilidade de ob ter:

1 .1 . 2 vezes ca ra?

1 .2 . pe lo m enos 4 v ez es c ar a?

1.3. pe lo m enos 1 v ez c ara ?

1 .4 . um nu rne ro par de ca ras?

1 . E um a expe r i enda d e B ern ou lli, p ois :- a p rova repe te-se 5 vezes ;

- 0 resu ltado de um a prova e independen te dos resu ltados das outras ;

- ou sa i ca ra ou escudo e p (cara ) ::: p (escudo ) ::: t .

1 .1 .

1 .2 . (1 )4 ( 1 ) 1 ( 1 )5 ( 1 ) 0 3(x ~ 4 ) :=:p(x:=: 4 ) + p (x :=: 5 ) ::: 5( 4 '2 '2 + 5( 5 '2 '2 := :16

1.3. (1)°(1)531p (x > 1) :=: 1 - p (x :=: 0 ) :=: 1 - 5(0 - - :=:-- 2 2 32

1.4.

Numa dis t r ibu icao B (6 ; ~ ), calcu le :

p (x :=: 6 )

p (x < 6 )

p (2 ::; x < 5 )

p (x ::: 0 V x= 1)

B ( 6 ; ~ ) -? p ro va r ep et id a 6 vezes, p :=: ~ e q :=: ~

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E xpe rie ncia d e B er no ul l i. L ei b in om ia l d e pro pr ie da de s

2.1 . p (x = 6 ) = 6 ( 6 ( t r ( f r = 7~9

2 .2 . p (x < 6 ) = p (x = 0) + p(x = 1) + p(x = 2) + p (x = 3 ) + p (x = 4 ) + p (x = 5 ) =

7 28= 1 - p(x = 6 ) =-

7 29

2 .3 . p (2 ~ x < 5) = p(x = 2) + p (x = 3) + p (x =4 ) = 6 ( 2 ( t J ( t J + 6 ( 3 ( t ) 3 ( t J -I - 6 ( 4 ( t J ( f r =

80 160 20 460

=2 43 + 729 + 243 = 729

2.4 . p (x = 0 ) + p(x = 1) = 6(0 (~ r ( ~ r + 6(1 ( t ) l ( f r = 762~ -I - 264~ = ;~~

~~ Ve rifique se a d is tribukao B (6 ; ~ ) e um a d is tribu icao norm a l.

~ ;; x p(x )

i~ ' 0 64/729

t i 1 64/243

[ , ; 2 80/243 !

3 160 /729>

i: ; 4 201243i: ;

! \ ; 5 4 /243

1 : ; . " . . - ~ "11729

e " " ' . , . . , , , , . " " ' , , . ' '' ' '' : ' . '

Nao e u m a c urv a simet r ica, a m ed ia e 2 , 0 d esv io pa dra o e 1 ,1 5, x = 2,5, M o = 2 .

li J:~ Um dado e lancado c inco vezes.

Qua l e a probab ilidade de que a face 'se is ' apa reca pe lo m enos um a vez?

A ) 1 - ( i t B ) 1 - ( ~ r(E N 1998 - 1 : C ham ada )

Um a m oeda equ ilib rada e lancada dez vezes.

A p robab ilidade do acontec im ento 'a face escudo sa i exactam en te quatro vezes ' e :

4D)~

(E N 1 99 8 - P ro va M od elo )

I cr

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un i d a d e D is tr ib uica o d e fr e que nc ia r e la tiv a e d is tr ib uica o d e p ro b a b i l id ad e s

Ao lanca r em s im ultaneo do i s dados cub icos , nao v ic iados , com as faces num eradas de 1 a 6 ,

q ua l s era 0 a co nte cim e nto m a is p ro va ve l;

A ) a som a das faces e 57

B ) a s d ua s fa ce s a pre se nta m 0 me sm o r es ulta do ?

C ) a som a das pon tuacoes se r m eno r ou igua l a 47

D ) a som a das pon tuacoes se r m aio r ou igua l a 97

4 Iancou-se tre s vezes ao a r um a m oeda equ ilib rada , tendo sa ldo sem pre a face 'co roa '. Q ua l a

p robab ilidade de , num qua rto lanca rnen to , sa ir a face 'ca ra '?

c)l3

D)l4

(E N 1998 - 2 : C ham ada )

u ;;," p l.anca -se qua tro vezes consecu tivas um dado com as faces num eradas de 1 a 6 . N o p r im eiro

lancam en to , sa i a face 1 e no segundo sa i a face 2 .

Q ua l e a p robab ilidade de os nu rne ros sa ldos nos qua tro lancam en tos se rem todos d ife ren tes7

A ) 6X5X4X3

64

(E N 1999 - 1 : C ham ada )

E

(~ Um a nova m a rca de ge lados o fe rece , em cada ge lado , um de tres bonecos: R a to M ickey,

P ete r P an o u A ste rix .

S e te am igos VaG c om pra r um ge lado cada um .S upondo que os tres bonecos te rn igua l p robab ilidade de sa ir, qua l a p robab ilidade de 0 Ra to

M ickey sa ir e xactam en te a do is dos am igos7

B ) 7 A 2

7 !D)~

7 !

'1 Ianca - se tre s vezes um dado equ ilib rado com as faces num eradas de 1 a 6 .

In diq ue , ju stific an do , q ua l d os d ois a co nte cim en tos s eg uin te s e m ais p rov av el:

• nunca sa ir 0 nu rne ro 6 ;

• s al te rn n ur ne ro s to do s d ife re nte s.

(E N 1 99 9 - P ro va M od elo )

) ) , : ' l P, ,J9 Acabou 0 tem po de um jogo de basque tebo l, e um a das equ ipas esta a pe rde r po r um

pon to , m as tem d ire ito a do is lances liv res .

o M an ue l v ai e nc es ta r.

S abendo que es te jogado r concre tiza , em m ed ia , 70% dos lances liv res que e fec tua e que

cada lance liv re conc re tizado co rresponde a um pon to , qua l e a p robab ilidade de 0 jo go te r-

m ina r em pa tado 7

A ) 0 ,7 B ) 0 ,1 4 C ) 0 ,2 1 D ) 0 ,4 2

(E N 1999 - 2 .' F ase )

~ ; t 1 A Joana tem se is irrnas . Q uando con tou ao L U I S que , ao todo , e ram se te rapa rigas , e le a fir-

m ou que isso dev ia se r quase im poss lve l, ou se ja , a p robab ilidade deve r ia se r quase ze ro .

C ons ide rando que , em 100 nasc im en tos , cos tum a haver 49 rapa r igas , de te rm ine a p roba -

b ilidade de um casa l te r 7 filhos todos rapa rigas .

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E xpe rie ncia d e B er no ull i. L ei b in om i al d e pr opr ie da de s

'"fi N um con cu rso te le vis iv o , ca da co n c orre nte (e ntre o s v in te ) fa z ro da r u ma ro da g iga nte . N es ta

ro da , d iv id id a e m 8 4 s ec to re s, e sta o re pre se nta do s 8 4 p re rn io s, d os q ua is q ua tro sa o p re rn io s

g randes .

1 0 .1 . Q ua l a p robab ilid ade de um conco rren te consegu ir 0 p re rn io g ra n de ?

10 .2 . Q ua l a p robab ilid ade de , en tre o s 20 conco rren te s , ha ve r pe lo m enos um p re rn io g rande?

10 . 3 . E m ais p ro va ve l, q ue en tre o s 20 conco rren te s , ha ja pe lo rnenos um p re rn io g rande ou que

n ao h aja n en hu m?

" 0 tI~tl" N a lo ta ria , c a da b ilhe te te m u m n um ero d e 5 a lga rism os (n ao se nd o co me rc ia liz a do 0 bi lhete

" 00000" ) .

1 1.1 . Q ua nto s b ilh ete s d e Io ta r ia e xis te m?

11 .2 . Q uan to s b ilh e te s te rn 2 e s6 2 c in co s na sua nu rne ra cao?

11 .3 . Q ua l a p robab ilid ade de , num de te rm inado so rte io de lo ta r ia , o s b ilh e te s so rteados com os 3

p re rn io s con te rem na sua nu rne ra cao 2 e 56 2 c in co s (ca da u m d ele s)?

1 . B .

B (5 ; i)p ( x 2: 1 ) = 1 - p ( x = 0 ) = 1 - 5(0 (ir (i r = 1 - (ir

2 . A .

B ( 1 0 ; + )p ( x = 4 ) = 10(4 (+ r (+ r = 10(4 (+ r

3 . D . 4 1p (som a 5 ) = 3 6 = 9

6 1p (o m e sm o re su lta do ) = 3 6 = " 6

6 1p (s om a :: :; 4 ) = 36 = " 6

1 0 5p (soma 2: 9 ) = 3 6 = 1 8

4 . B .

( (1 ,4 ) ( 4,1 ) ( 2,3 ) (3 ,2 ))

( (1 ,1 ), ( 2,2 ), ( 3, 3), ( 4,4 ), ( 5, 5), (6 ,6 ))

( (1 ,1 ), ( 1,2 ), ( 2, 1), ( 2,2 ), ( 3,1 ), (1 ,3 ))

( (3 ,6 ), ( 6,3 ), ( 4, 5), ( 5,4 ), ( 5,5 ), (5 ,6 ), ( 6,5 ), (4 ,6 ), (6 ,4 ), (6 ,6 ))

o 4 .° lanca rnen to (do qua l se p re tende a p robab ilidad e do acon tec im en to 'sa ir ca ra ') e i n dependen te

d o s r es u lt ad o s a n te ri or es .

5.

~ ~ 3 .° la nc arn en to , a p ro ba bilid ad e d e s er d ife re nte e % e n o 4 .° la nc arn en to e i.6 .

7 . • n unca sa ir 0 n urn ero 6 • s aire m n urn ero s to do s d ife re nte s

~xi x~= 1 2 06 6 6 6 3

: t t ! o ' c o ( i ) " ( % Y o ( i Y 0 1~,5

E m a is p ro va ve l n un ca s air 0 n urn ero 6 .

I q~

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unidade

9.

10.1 .

10 .2 .

10.3.

11.1.

D is tr i b uica o d e fr e que ncia re la tiv a e d is tr ib uica o d e pro b ab il id a de s

8 . D .

B (2 ; 0 ,7 0)

p (x = 1) = 2 (1 (0 ,7 0)1 X (0 ,30 )1 = 0 ,42

B (7 ; 0 ,49)p( x = 7 ) = 7(7 ( 0 , 49 ) 1 ( 0 , 51 ) ° = 6 ,8 x 10 -3

Rea lmen te e um a pequena probabilidade, po is e de 0 , 6 8% .

4 1P= 84 "= 2 f

B ( 20 ; - I T )

p (x 2: 1) = 1 - p (x = 0 ) = 1 - 2 0 (0 ( - I T r ( ~ ~ y o = 0 , 6 23

p( x = 0 ) = 0 ,377

E m ais p rovave l que ha ja pelo rnenos um pre rn io grande do que nao ha ja nenhum .

I I I10 X l0 X l0 X l0 X l0

n = 105 - 1

11.2 . 5 (2 x 93 = 7 290

/ 5 / 5 / / / /1 x 1 x 9 x 9X 9 Os a lg a ri smos c inco podem aparece r de 5(2 formas.

11.3. B ( 3 ; 51~5~ ~ 3 )

p (x ~ 3) = 3 ( 3 C l ~ 5 ~ ~ 3 r x (1 - 51~5~ ~ 3 r ¢;> p (x = 3) = ( 9 ~ 2 : g 9) 3 ¢;> p( x = 3) = (1 ~~~ 1 Y

¢;> p (x = 3) =3,87 x 10 -4

O u se ja , a p robab ilidade e de 0 , 0 3 8% .