Introdução ao Cálculo Pré-Cálculo

INTRODUÇÃO

AO

CÁLCULO

Universidade de Fortaleza - UNIFOR Centro de Ciências Tecnológicas - CCT

Fortaleza-CE

Introdução ao Cálculo

Este trabalho foi realizado com o objetivo de revisar elementos básicos (da teoria

matemática) necessários para um bom desempenho no curso de cálculo 1. Os tópicos

escolhidos foram baseados nas dificuldades observadas durante pesquisas realizadas pela

assessoria pedagógica que nos deram subsídios para a organização desse trabalho.

Esperamos contribuir para um melhor direcionamento do estudo (preliminar do

cálculo) a fim de preparar os alunos para um bom desempenho nas disciplinas no curso de

engenharia.

UNIVERSIDADE DE FORTALEZA

APRESENTAÇÃO




ssoria pedagógica que nos deram subsídios para a organização desse trabalho.



Ana Teresa Araújo Farias

UNIVERSIDADE DE FORTALEZA - UNIFOR

2




ssoria pedagógica que nos deram subsídios para a organização desse trabalho.



Professores

Ana Teresa Araújo Farias

Fco Erivando A. Maia


UNIDADE 01 - FRAÇÃO ...............................................................................

UNIDADE 02 – POTÊNCIA ..........................................................................

UNIDADE 03 – RADIAÇÃO ............................................................................

UNIDADE 04 – FATORAÇÃO

UNIDADE 05 – EQUAÇÃO DO 1º GRAU

UNIDADE 06 – EQUAÇÃO DO 2º GRAU


SUMÁRIO

...............................................................................

..........................................................................

............................................................................

FATORAÇÃO ...........................................................................

EQUAÇÃO DO 1º GRAU .........................................................

EQUAÇÃO DO 2º GRAU ............................................................


3

............................................................................... 04

..........................................................................

............................................................................

.....................

.........................................................

............................................................


••••Definição É o modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um

determinado número de partes iguais entre si. A palavra vem do latim “partido” ou “quebrado”.

De modo simples pode

genérico como ��, designa o inteiro dividido em

partes. Neste caso a corresponde ao numerador enquanto

••••Tipos de Frações 1) Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um todo,

como próprio nome já diz, são equivalentes.

Ex.: 1

2,

2

4,

8

16

2) Fração própria - é aquela que o numerador é maior que o denominador.

Ex.: 13

10;

5

5

••••Operações aritméticas com fração

Adição → a soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e mantenhamos este denominador comum.

Ex.: 1

7+

2

7+

3

7=

1+2+3

7=

6

7

Obs: Veja esse outro exemplo: 1

3+

2

5+

1

2

Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores, pois os

denominadores são diferentes. Logo devemos converter todas as frações ao mesmo denominador. O denominador escolhido será o denominadores, ou seja, o

Logo 1

3+

2

5+

1

2=

10

30+

12

30+


FRAÇÃO

É o modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. A palavra vem do latim

De modo simples pode-se dizer que uma fração de um número, representado de modo

o inteiro dividido em b partes iguais ao qual usa

corresponde ao numerador enquanto b é diferente de zero.

Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um todo, como próprio nome já diz, são equivalentes.

é aquela que o numerador é maior que o denominador.

aritméticas com fração

a soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as frações já possuírem um denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e

nhamos este denominador comum.

6

7

Obs: Veja esse outro exemplo:

Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores, pois os denominadores são diferentes. Logo devemos converter todas as frações ao mesmo denominador. O denominador escolhido será o mínimo múltiplo comumdenominadores, ou seja, o MMC (3, 2, 5) = 30

+15

30=

37

30


4

É o modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. A palavra vem do latim fractus e significa

se dizer que uma fração de um número, representado de modo

partes iguais ao qual usa-se o número a de

é diferente de zero.

Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um todo,

é aquela que o numerador é maior que o denominador.

a soma ou adição de frações requer que todas as frações envolvidas Se inicialmente todas as frações já possuírem um

denominador comum, basta que realizemos a soma de todos os numeradores e

Neste caso não podemos simplesmente realizar a soma dos numeradores, pois os denominadores são diferentes. Logo devemos converter todas as frações ao mesmo

mínimo múltiplo comum MMC dos


Subtração - a diferença ou subtração de frações, segue o mesmo processo da adição.

Ex.: 8

9-

1

9+

2

9=

8-1-2

9=

5

9

Ex.: 2

3-

1

2=

4

6-

3

6=

4-3

6� 1

6

Multiplicação → a multiplicação ou produto de fração, talvez seja a mais simples das operações aritmética que os envolvem. Pois para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus numeradores entre si, fazendo o mesmo com os seus denominadores.

Ex.:1

3∙ 2

5� 1x2

3x5=

2

15

Ex.:1

2∙ 3

5·

1

3=

1x3x1

2x5x3� 3

30

Divisão → a divisão de frações resumenumerador pelo denominador e realizando

Ex.: 1

11� 2

5� 1

11x 5

2�

22

Ex.: 1

3� 4

5=

1

3x

5

4� 5

12

1.Observe a figura:

a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido?

b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo?

c) A parte pintada representa que fração do retângulo?

2. Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:

a)


a diferença ou subtração de frações, segue o mesmo processo da adição.

1

6

a multiplicação ou produto de fração, talvez seja a mais simples das

operações aritmética que os envolvem. Pois para realizarmos o produto de frações, basta

que multipliquemos os seus numeradores entre si, fazendo o mesmo com os seus

� 2

10

a divisão de frações resume-se a inversão das frações divisoras, trocando

numerador pelo denominador e realizando-se então a multiplicação das novas frações.

5

22

EXERCÍCIOS (1)

a) Em quantas partes iguais o retângulo foi dividido? b) Cada uma dessas partes representa que fração do retângulo? c) A parte pintada representa que fração do retângulo?

diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:

b) c)


5

a diferença ou subtração de frações, segue o mesmo processo da adição.

a multiplicação ou produto de fração, talvez seja a mais simples das operações aritmética que os envolvem. Pois para realizarmos o produto de frações, basta que multipliquemos os seus numeradores entre si, fazendo o mesmo com os seus

se a inversão das frações divisoras, trocando-se o seu se então a multiplicação das novas frações.

diga quanto representa cada parte da figura e a parte pintada:


3. Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro. Qual alternativa representa a soma destas frações? a) 5/8 b) 7/8 c) 9/8 d) 8/7 4. Qual é a fração que representa a parte colorida na figura? a) 3/2 b) 6/1 c) 5/6 d) 6/5 5. Qual das faixas em azul, na tabela representa a fração 5/10?

6. Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro. Qual é a alternativa que representa a diferença destas frações indicada na figura? a) 1/2 b) 3/4 c) 1/4 d) 4/4 7. Qual é a dízima periódica representada pela fração 10/3? a) 0,333... b) 1,111... c) 3,0303... d) 3,333... 8. Escrever a fração 5/3 na forma de um número decimal. a) 1,666... b) 1,6060... c) 1,0606... d) 2,1010... 9. Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6. a) Em quantas partes o todo foi dividido?


Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro. Qual alternativa representa a soma destas frações?

é a fração que representa a parte colorida na figura?

Qual das faixas em azul, na tabela representa a fração 5/10?

Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro. Qual é a representa a diferença destas frações indicada na figura?

Qual é a dízima periódica representada pela fração 10/3?

Escrever a fração 5/3 na forma de um número decimal.

Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6.

a) Em quantas partes o todo foi dividido?


6

Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro. Qual alternativa

Cada área colorida em cada círculo representa uma fração de um inteiro. Qual é a representa a diferença destas frações indicada na figura?


b) Quantas partes do todo foram consideradas? 10. Desenhe dois retângulos de mesmo tamanho. Pinte 1/3 dea maior fração: 1/3 ou 1/4?

1. Encontre o resultado dos cálculos abaixo:

� 75 �35 �

2. Calcule o valor da expressão:

��

��

��=

3. Assinalar a alternativa com a resposta da adição 4/7+2/7: a) 5/7 b) 6/14 4. Qual das alternativas representa a subtração 8/9 a) -2/9 b) 2/9 5. Coloque o sinal de maior (>) ou menor (<) entre cada par de frações, nas situações abaixo.

1/5 1/3

2/7 3/9

3/4 1/2

6. Efetue as adições: a) 3/6 + 2/6 = b) 13/7 + 1/7 = c) 2/7+ 1/7 = 7. Efetue as subtrações: a) 7/9 – 5/9 = b) 9/5 -2/5 = c) 2/3 – 1/3 = 8. Efetue as multiplicações: a) 1/2 x 8/8 = b) 4/7 x 2/5 = c) 5/3 x 2/7 =


b) Quantas partes do todo foram consideradas?

Desenhe dois retângulos de mesmo tamanho. Pinte 1/3 de um deles e 1/4 do outro. Qual a maior fração: 1/3 ou 1/4?

EXERCÍCIOS (2)

Encontre o resultado dos cálculos abaixo:

� 48 �28 � �34 �

512 �

Calcule o valor da expressão:

Assinalar a alternativa com a resposta da adição 4/7+2/7:

b) 6/14 c) 7/6

Qual das alternativas representa a subtração 8/9-6/9?

b) 2/9 c) 14/9

Coloque o sinal de maior (>) ou menor (<) entre cada par de frações, nas situações abaixo.

d) 4/10 + 3/10 = e) 5/6 + 1/6 = f) 8/6 + 6/6 =

g) 3/5 + 1/5 =

d) 8/3 – 2/3 = e) 5/6 – 1/6 = f) 5/5 – 2/5 =

g) 5/7

Efetue as multiplicações:

d) 3/7 x 1/5 = e) 1/8 x 1/9 = f) 7/5 x 2/3 =

g) 3/5 x ½ =


7

um deles e 1/4 do outro. Qual

d) 6/7

d) 1/4

Coloque o sinal de maior (>) ou menor (<) entre cada par de frações, nas situações abaixo.

g) 3/5 + 1/5 =

g) 5/7 – 2/7 =

g) 3/5 x ½ =

9. Efetue as divisões: a) 7/8 : 4/7 = b) 18/4 : 6/5 = c) 25/4 : 2/5 =

d) 1/2 : 3/4 = e) 9/7 : 8/3 = f) 2/5 : 3/2 =

g) 17/4 : 46/13 =

EXERCÍCIOS (3)

1. Calcule

a)1

2- �1

4-

1

8� =b) �12 −

14� -

18 =

2. Qual é a alternativa que representa o número 0,65 na forma de fração? a) 65/10 b) 65/100 c) 65/1000 d) 65/10000 3. Efetue as operações: a) 5/4 + ¾ - ¼ = b) 2/5 + 1/5 – 3/5 = c) 8/7 – 3/7 + 1/7 =

d) 7/3 – 4/3 – 1/3 = e) 1/8 + 9/8 -3/8= f) 7/3 – 2/3 + 1/3 =

g) 7/5 + 2/5 – 1/5 =

4. Efetue as multiplicações: a) 4/3 x ½ x 2/5 = b) 5 x ¾ x 5/3 = c) ½ x 3/7 x 1/5 =

d) 3/2 x 5/8 x ¼ = e) 5/4 x 3 x 4/7 = f) 5/2 x 7/2 x 3/8 =

g) 2 x 1/9 x 4/5 =

5. Cada parte de uma figura, corresponde à fração 1/5. Responda: a) Qual é a fração que representa a figura toda? b) Qual é a fração que representa duas dessas figuras? 6. Faça um desenho representando o número misto 3 6/7. 7. Dê 5 representações diferentes do número natural 4. 8. Considere as frações 5/8 e 7/12. Responda: a) Escreva-as de outra maneira para que fiquem com um mesmo denominador. b) Diga qual das duas é maior. c) Subtraia a menor da maior. 9. Efetue as adições: a) 5/8 + 3/2 = b) 8/6 + 1/3 =

c) 5/6 + 2/5 = d) 7/4 + 3/7 =

e) 1/9 + 4/5 =

10. Efetue as subtrações: a) 1/8 - 5/2 = b) 8/7 - 1/3 =

c) 5/2 - 7/5 = d) 7/2 - 3/9 =

e) 1/9 - 3/5 =

11. Calcule: a) 7/8 + 9/2 + 1/3 = b) 1/5 + 4/7 + 4 =

c) 9/4 + 2/5 + 1/7 = d) 5/6 + 2/7 + 6 =

e) ¾ + 2 + 6/7 =

12. Calcule: a) 7/8 - 9/2 - 1/3 = b) 1/5 - 4/7 - 4 =

c) 9/4 - 2/5 - 1/7 = d) 5/6 - 2/7 - 6 =

e) ¾ - 2 - 6/7 =

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS REAIS

A potência 53 significa um produto de três fatores iguais a 5. expoente

53 = 5.5.5 = 125

base

Para todo número real a e para todo número inteiro n:

1)a = a. a. a… a, sen > 1

2)a = a, sen = 1

3)a = 1, sen = 0

4)a( = )�* , n < 1,� ≠ 0

•••• Propriedades Para todos os números reais a e b e para todos os números inteiros m e n:

1. �.. �. = �/..

2. ��./= �/(., � ≠ 0

3. 0�/). = �/..

4. 0�/). = �.. �.

n vezes


5. ��.= �.�. , � ≠ 0

1. Calcule cada potência

a)81R64b)35R243c)0−3)7R − 27d) − 010°R � 1e � 041)R − 16f0�61R362. Simplifique as expressões a seguir:

a � 081 � 0�81 � 2)b) − 03:) � 47

c)4 �−32�1− 8 ��12�

7

d) − 02°) � 0−2°e ;<

�(=<�<(�>?�

>

f) −061)0−47 � 41

g 51 � 410�37 � 27

h 0�37 � 0�3:37

i301: D27. 21 � 091: 31 �j4: � D96:021. 3 � 81: 8l21. 37 � D111 � 03.7. 1)HHm121 � 127: D091 � 1: 10n36 � 37


EXERCÍCIOS (1)

g��32�1 R 94 h10°R1 i0�10°R1 j0�2:R16 e � 02:R � 16 m01,51R2,25

2. Simplifique as expressões a seguir:

R−2 R−17

� R10 R1

R 32

R 34

R�935

R2 � 2. 31 � 1JR30 8J2:R0

)HHJ � 27R16 10J. 7R18 R63


10


o101: 5 � 57. 5 � 61: 31p100031 � 1 � 21057 �q67: 31: 21 � 2r2D107: 51 � 071 � 31: 10s324: O39: D131 � 13.3.4: 3. Calcule cada potência a4(1R 116 b1(5R1c9(1R );) d�):�() R4 e��56 �(1 R 3625 f0�3()R �13 4. Simplifique as expressões a3() � 2(7R 51:

b � �()5 �() � �()5 �(1 � �(c :P<1P>Q;P> R ))H

dRP>Q7P<7P= R6

e )HH°)(�><�P= R ()S

f1(�>?�P<0(H,T° R � 14


R41 0 � 5R41

R4 10J: 9R8 : 0101 � 11.9J6U: 18R1

g0�0,2(1R25 h��32 � R�23 i )H:P> R40

j TP<7P< R ):

l 2(:8(1 R4

m 9(13(: R1

4. Simplifique as expressões

�()5 �(7 R105


11


5. Sabendo que a = 4, b = -

a8a1R128c � 0VTR �164 e2W1 � W�34 R 98 g4 � b1R0i1 � a7R � 63

6. Calcule x, sabendo que:

a3(:V() � 2R � 1627. Resolva o sistema de equações:

8. Calcule

a� Vy1�() R � W1V

b0�V7:0V1R � V

cV:. W5: V7R � V. W5

dD03c72]2 R � 81c)1

1) Calcule as seguintes potências:

a3: � d0T � g��23�7 � j0�0,5° �


2, V � )1e y = (7: , calcule o valor de cada expressão algébrica

b � 467d � 2W1f2V1 � 3Vh1 � 0�a7

b 4(72V() � 2(TR � x2c 32V() � �27. Resolva o sistema de equações: Y V() � W() � 714V() � 5W() � 7Z R (2,1)

EXERCÍCIOS (2)

1) Calcule as seguintes potências:

b25 � c1: �e0�2: � f�24�h5° � i02,43k17) � l01,45


12

, calcule o valor de cada expressão algébrica

R32

R �98

V � 2R0

7R65

� 32V�() � 130R � 60

R (2,1)

�

� �7 �

0 43° �

0 45) �


m0�5) � p0�3(1 � s��23�() � v�13�(1 � 2. Neste exercício é importante ir observando os resultados após os cálculos! Portanto, resolva: a2T � d0�25 � g37 � j�� 14�() � 3. Para resolver as potências a seguir assim erros com sinais: a�27 � d�57 � g�0�31 � j 10�2(1 � 4. Coloque V (verdadeiro) ou F (falso):

05(T. 5T � 1025: 27 � 110 127 � 31 � 2(7 � 3(1071 � 77 � 75


n�� 47�) � o3()q2(: � r�23�(t ��34 �() � u�15�w0�0,75(1 �

2. Neste exercício é importante ir observando os resultados após os cálculos! Portanto,

b0�2T � c2e31 � f0h0�37 � ik �23�() � l

3. Para resolver as potências a seguir é preciso fazer cada cálculo passo a passo, evitando

b�31 � ce�51 � fh � 0�51 � ik 10�3(: �

4. Coloque V (verdadeiro) ou F (falso):

06(1. 65 � 6)H077: 75 �037. 35 � 950 5()7() � 750πS(7 � 1

π7() 00π � 300351 � 3S00271 �


13

�

� �(1 �

� �() �

2. Neste exercício é importante ir observando os resultados após os cálculos! Portanto,

25 �

0�31 �

i0�4() �

��23�() �

é preciso fazer cada cálculo passo a passo, evitando

c�47 � f � 0�27 �

i � ��54�7 �

l 10�2(5 �

� 7(5. 71 757

(1 � π(1 � 3(1

� 27<


5. Simplifique as expressões, usando sempre que possível as propriedades da potência:

a02VW17 �b03VW1. 02V1W7 �c05ab11. 0a1b7 �

6) Simplifique as expressões:

a 3 Q1 � 3 3 Q) � 3 () 7. Usando potências de mesma base, e as propriedades das potências, resolva:

a) �34�5 .(0,75)

-2

=

b) 5/Q1: 5/() �

c) �><�=�>?�= .16 =

8. Transforme em radical:

� 391 �

� 316: �



d9V1W1�3VW �

e` 16ab:�8a1bSa � 6) Simplifique as expressões:

b21 Q) � 4 21 c27. Usando potências de mesma base, e as propriedades das potências, resolva:

d) 2/Q).2/Q1:4/()=

e) (0,25(). �14�: =

�1024H,: �

b625(H,15 �

,�4c (T:


14


2 Q) � 2 (12

7. Usando potências de mesma base, e as propriedades das potências, resolva:

=

�

�141 �

(1T:= �


A operação inversa de elevar a uma potência é extrair uma raiz. Assim, como 7dizemos que 7 é uma raiz cúbica de 343. Ou, então, 2

Para todo inteiro n > 1, um número Notação: Raiz enésima de índice

Radical ← √� →g radicando

1. Se não indicamos o índice no radical, estamos significando a raiz quadrada. 2. Os números negativos não têm raízes quadradas no conjunto do 3. Simplificação de radicais

4. Potenciação e Radiciação

4.1 h√�g i/ � √�/g , n é inteiro e positivo,

4.2 j√�gk � √�k.g ,m e n são inteiros positivos e

5. √�/g � �kg , a é um número real positivo, positivo.

6. lmng � √mg√ng , se ≥ 0 e b > 0

7. √�. �g � √�g . j�,g a ≥ 0 e b ≥ 0


RADIAÇÃO DE NÚMEROS REAIS

A operação inversa de elevar a uma potência é extrair uma raiz. Assim, como 7dizemos que 7 é uma raiz cúbica de 343. Ou, então, 25 = 32 e 2 é raiz quinta de 32.

> 1, um número x é uma raiz enésima de um núm

Raiz enésima de a é indicada:

índice

radicando

OBSERVAÇÃO

1. Se não indicamos o índice no radical, estamos significando a raiz quadrada.

negativos não têm raízes quadradas no conjunto dos números reais.

Simplificação de radicais.

√�/g � √�/.og.p

√�/g � √�/:og.p

4. Potenciação e Radiciação

é inteiro e positivo, m é inteiro e a é número real positivo.

são inteiros positivos e a um número real positivo ou igual

é um número real positivo, m é um número inteiro,

≥ 0 e b ≥ 0

; � r 0


15

A operação inversa de elevar a uma potência é extrair uma raiz. Assim, como 73 = 343, = 32 e 2 é raiz quinta de 32.

é uma raiz enésima de um número a, se xn = a

1. Se não indicamos o índice no radical, estamos significando a raiz quadrada.

números reais.

é número real positivo.

um número real positivo ou igual a 0.

é um número inteiro, n, um número inteiro


�√25R5�,√125= R5cs � √121R � 11t2. Simplifique as expressões numéricas �3 � √�27= R6b√100 � √64√100 � 64 R 13 uh√16? i:R16 3. Calcule o valor de cada expressão �l� � √�. �= , � � �2, � �� vw�x3�7 � �y2�1 � y2=

4. Determine o valor de x: �j2;z � √2{= R4�√27| � √3{= R1�√64? � √4{=< R24b√729} � √243>~ R18

5. Coloque em ordem crescente os números reais:

√2,= 1, √3? , √5z R1 + √�6. Expresse cada produto na sua forma mais simples �√3. √3R3


EXERCÍCIOS (1)

√27= R3�√1� R1√81� R3u√�128� R � 2w278= R 32 � � w1681? R �23

2. Simplifique as expressões numéricas

�6 � √�1| R5�√~, √25 � 16j25 � √16 R3c √

?√~�h√64z iTR64

3. Calcule o valor de cada expressão

� 4,� � 9R � 2 � vw�x3�7 � �y2�1 � y2= p � 0, q � �216

5. Coloque em ordem crescente os números reais:

√2� + √5z + √3?

6. Expresse cada produto na sua forma mais simples

uh3√2i �73√12�


16

b√�1~ R � 1

�√0z R0

� � √64z R � 2

√32~ � √81? R � 1 √256?√243~ R 43

R � 6

R14√6


�h√5ih3√5iR15��23√7� �98√7� R 214 bh√13ih√13iR13,h√3ih2√6iR6√2ch√15ih√3iR3√57. Simplifique as expressões algébricas. As variáveis representam números positivos:

�j�7Ra√��j�T? Ra√��jV5RV1√V,j12�1R2a√3cj243�5~ �;R3a�5j�uj18W1R3y√2�� j54�7�:= R3�1√2=

8. Simplifique as expressões algébricas. As variáveis representam números reais positivos.

��()1 √�� h6√�i√�7 �2jV1Wh3jWi5√V ��7:√��7� �)16√�7�7�71√��

b`l7m: a`l :7ma√2�


�h2√2ih√7i �32√14� sh√2i �12√24� th�2√2ih√3i �32√12� �h√5ih√6ih3√3i�h√2i�12√3� h�2√3i

7. Simplifique as expressões algébricas. As variáveis representam números positivos:

sj48�:t2� j�:= � 13� j27�:� 2VW jV5W:?

j�7� 4��j81�1�7� 12� j32�7? 2�


R �3√�� R 6W√V5

� R ��1√��4

R √2�2�


17

� R42

R2√3

� R � 18√2

R9√10

i R � 3√2

7. Simplifique as expressões algébricas. As variáveis representam números positivos:

R4�1√3

R2√�=

Ra√3

R2√V?

7R36√��

R2√2�



9. Relacione os denominadores

� 1√2= R √4=2 �w 425= R √20= 5 ,w 964� R √6z2

10. Relacione os denominadores. As variáveis representam números reais positiv

� �√�= Rj�1= � 2WjW? R2jW5? � V1√VS>� R2 jV7>� 11. Simplifique

�10√5� 8√5�10√10 � 6√5� 2√10�12√3 � 34√3 � 2√2b√322 �√50,32√27 � √752 c√150 � √962 u11√108 � 17√98 � √12


9. Relacione os denominadores

� 6√37~ R2√9~ bw 332z R √6z2

10. Relacione os denominadores. As variáveis representam números reais positiv

bw 2�5z R √2�z �

,w 58�;~ R √20�1~ 2�1

cVWw 1V1W1= RjVW=

R18√5 10 � √5R12√10 � 7√5 R �14 √3 � 2√2 R � 3√2 R7√3 R √62

12 � √8R√3 � √2


18

10. Relacione os denominadores. As variáveis representam números reais positivos.


�4w23 � w32 sw34 � w43 � 15√75tw92 � 3w29 � w12 12. Simplifique as expressões. As variáveis são números reais positivos.

�w�764 � �736 �√8 � 2√2 �W7w VW5 � 2W7 jVWSb�√2 � 1√2� : √36 ,�√242 � 2�1w50�1 c2jVS~ � 2� jV)1~ 13. Calcule as expressões:

�h√10i1R10��j121= � R144�h√3? i)1R27b�12√8�7 R2√2


R 5√66

R √36

R2√2

12. Simplifique as expressões. As variáveis são números reais positivos.

R 5�√�24 R3√2 R3jVW R√6 R21c√2 R4xjV1~

,h�√7i7R � 7√7 ch2√8i7R128√2 uh2√125i7R5000√5


19

12. Simplifique as expressões. As variáveis são números reais positivos.


14. Calcule o valor de cada expressão:

�6�1, � � 2√2�V79 , V � √27�W1 � 4j2W � 8, W � �√b4V1 � 4√3V � 3, V � √2,3�1 � 7√3� � 5, � � �15. Simplifique as expressões. As variáveis apresentam números reais positivos:

�h3�√�i7 � 2�7 `�l)ma5��7�l√2433√3? �2�5 `l ��7a7 � 1�7�1 h√��bl√7= ,l9√3c2√27h3 � √3ih3 � √3uh√2 � 2i1�h√3 � 4√2ih√3 � 4√2sh√8 � √27i1t`1 � √24 a`1 � √24 a �h√7 � √3i1 � h√7 � √3�h3√7 � √5i1 � h3√7i√140


14. Calcule o valor de cada expressão:

R48

R9√3

√2R18 √32 R0

�√33 R3

Simplifique as expressões. As variáveis apresentam números reais positivos:

l a7 R5√�

h ��iR3c√��

R√7z

R3√3?

3iR36√3

R6 � 4√2

2iR6 � 29

R35 � 12√6

a R 78

3i1R20

h i1 � h√5i1 R3


20

Simplifique as expressões. As variáveis apresentam números reais positivos:


� 41 � √2 � 41 � √2 �1 � l)11 � l)1

�2 � l7:2 � l7:

16. Expresse o produto √8.17. Calcule

�27<=R9�4><R2�125P>= R )5 b16=?R8,81P=? R )1S 18. Calcule o valor de cada expressão:

a) � 1S)15�P<= � 16><b) 4>< � �)T15�(½ �)T15� c) 35>< � � );)�(H,S5 � 0d) 81H,)T. 81H,HRe) 9P>< � � )T15�P>? � 32f) 4H,75. 4H,)5


R � 8√2

R � 3 � 2√2

R 19 � 8√313

. √32� através de uma única potência de base 2. R 2

c36=<u100(H,5�� ))T�(=? � ))T�

s � ))T� <?= � )1S� t243(H,T

. Calcule o valor de cada expressão:

R ())R � R )7: 00,001P>= R23 R3

32(H,:R (57)1 R2


21

através de uma única potência de base 2. R 2)S;

R216 R 110

� R 8

� R )R

R )1S


•••• Definição: Fatorar é transformar equações álgebras em produtos de duas ou mais expressões,

chamado de fatores. Ex.: ax + ay = a (x + y) Existem vários casos de

1) Fator comum em evidências Ex.: i) ax + ay – az = a

ii) 2 x2 - 4xy = 2x

2) Agrupamento:

É o método pelo qual significamos uma semelhantes (termos em comum). Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração: termo comum em evidências.

Observe no exemplo a seguir: 4x

2 + 8x + 6xy + 12y Termo em comum em cada agrupame 4 x (x + 2) + 6y (x + 2) Colocamos novamente em evidências, pois os termos 4

comum.

(x + 2) [4x + 6y] = (x + 2) (4x

Exemplo (1): 2xy - 12x + 3by

Exemplo (2): 6x

2b + 42x

2- y Exemplo (3): x2- 10x + xy - 10y Exemplo (4): a3

b + a2 + 5ab

Exemplo (5): 2 xy - 4x + 3xy


FATORAÇÃO

é transformar equações álgebras em produtos de duas ou mais expressões,

)

Existem vários casos de fatoração como:

Fator comum em evidências - Quando os termos apesentam fatores comuns

a (x + y - z), forma fatorado.

x (x -2y), forma fatorado.

o método pelo qual significamos uma expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum). Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração: termo comum em evidências.

Observe no exemplo a seguir:

Termo em comum em cada agrupamento:

+ 2)

Colocamos novamente em evidências, pois os termos 4x e 6y

x + 6y)

by - 18b

y2b - 7y

2

10y

ab3 + 5b

2

xy - 6x + 4xy - 8x


22

é transformar equações álgebras em produtos de duas ou mais expressões,

Quando os termos apesentam fatores comuns:

expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum). Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos

possuem termos em


3) Fatoração por diferenças de quadrados

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferençasimplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado.

Ex.: x2- 9 = (x + 3) (x - Ex.: a2 - b2 = (a + b) . ( Ex.: 16a

2 - 1 = (4a + 1) . (4 4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio trinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômios (

porque são obtidos quando se eleve ( (a + b)2 = a2 + 2ab + b Assim temos: Veja que 12 x y = 2(2x

Logo 4x

2 - 12 x y + 9y2

5. Outros casos de fatoração a) x2 + y3 = (x + y) (x2 – xy + b) x3 - y3 = (x - y) (x2 + xy + y


Fatoração por diferenças de quadrados:

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferençasimplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado.

3)

) . (a - b)

+ 1) . (4a - 1)

Fatoração do trinômio quadrado perfeito:

O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chamatrinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômios (a2 + 2ab + b2) e (a2- 2ab + b

2) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleve (a + b) e (a - b) ao quadrado respectivamente.

b2 e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

x) (3y)

2 = (2x - 3y)2

Outros casos de fatoração:

+ y2)

y2)

2x 3y

j4V1

4V1 � 12VW � 9W1

j9W1


23

Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença,

ao quadrado chama-se

) são quadrados perfeitos ) ao quadrado respectivamente.


Relações: muitas vezes temos necessidade de trabalhar com conjuntos cujos elementos são

pares ordenados de número reais que iremos denotar por (representados geometricamente

O referencial acima divide o plano quatro, formando os quadrados no sentido anti

Os eixos dados são números reais uma relação entre

um y é chamada de função, denotada por

Os pontos do eixo x assumidos por

y tal que y = f(x) representam a imagem. Notação: domínio de Imagem de f = Im(f) = {Onde y = f(x)}

1. Localize os pontos dados no sistema de ei a) (2,3) b) (-1,4) c) (0,2) d) (-2,0) e) (-3, -5)


SISTEMA DE EIXO DE DUAS VARIÁVEIS

: muitas vezes temos necessidade de trabalhar com conjuntos cujos elementos são pares ordenados de número reais que iremos denotar por (representados geometricamente pelo sistema de eixo cartesiano.

O referencial acima divide o plano quatro, formando os quadrados no sentido anti

Os eixos dados são números reais uma relação entre x e y, tal que associa a cada

é chamada de função, denotada por f: R R.

assumidos por f são os elementos do domínio e os pontos do eixo ) representam a imagem.

Notação: domínio de f = dom (f) ) = {y e R; d x e R

1. Localize os pontos dados no sistema de eixo:

f) (5,0) g) (0,-4) h) (1, -3) i) (5,3)

I

0,0

II

III IV

y = ordenada

(0,0)


24

: muitas vezes temos necessidade de trabalhar com conjuntos cujos elementos são pares ordenados de número reais que iremos denotar por (x,y) e são

pelo sistema de eixo cartesiano.

O referencial acima divide o plano quatro, formando os quadrados no sentido anti-horário.

tal que associa a cada x somente

são os elementos do domínio e os pontos do eixo

x = abscissa


FUNÇÃO POLINOMINAL DO 1º GRAU (RETA)

A identificação de uma reta é uma tarefa fácil do ponto de vista geométrico, mas

algebricamente? A seguir, faremos esse cálculo partindo do princípio geométrico que “por dois pontos uma reta está bem definida”.

∝ = ângulo que a reta faz com o eixo positivo de

C.O = cateto oposto ao ângulo

C.A = cateto adjacente ao ângulo

Desenvolvendo (1) tg

Chamamos de tg∝ = m, definido como coeficiente angular da reta

Assim m =�(�1

�(�1

(2)

Pela igualdade de frações: 0� � �1. 1 � �0�� 1 � �� 1

Isolando y, obteremos

� � �� denotada por equação reduzida da reta (Observe que na forma reduzida, o coeficiente de Na notação de função, vamos ter 3 na forma f (x) = mx + b, onde y

Referente ao sistema de eixo, vamos ter quatro posicionamentos:

tg∝ �.��.�

x-x1

y

y1

∝

∝

x1 x

y-

y

y

∝= 0



A identificação de uma reta é uma tarefa fácil do ponto de vista geométrico, mas algebricamente? A seguir, faremos esse cálculo partindo do princípio geométrico que “por dois pontos uma reta está bem definida”.

= ângulo que a reta faz com o eixo positivo de x.

C.O = cateto oposto ao ângulo ∝

C.A = cateto adjacente ao ângulo ∝

tg∝ =�(�1

�(�1

=∆�∆�

= m, definido como coeficiente angular da reta

Pela igualdade de frações: �

1=

�(�1

�(�1

obteremos 0 �1 obteremos � � �� 1 � ��1 chamando � �

denotada por equação reduzida da reta s.

(Observe que na forma reduzida, o coeficiente de x é o “coeficiente angular” da reta)

Na notação de função, vamos ter 3 na forma

y = f (x)

Posicionamento

o sistema de eixo, vamos ter quatro posicionamentos:

-y1

x

s (notação para reta)

3

1


25

A identificação de uma reta é uma tarefa fácil do ponto de vista geométrico, mas é algebricamente? A seguir, faremos esse cálculo partindo do princípio geométrico que “por

= m, definido como coeficiente angular da reta s.

�1 � ��1 finalizamos

é o “coeficiente angular” da reta)

o sistema de eixo, vamos ter quatro posicionamentos:


4

∝ .


4

x

2

∝


26


1) 0º < ∝ < 90º → tg∝2) 90º < ∝ < 180º → tg

3) ∝ 0º → tg0º = 0 →

4) ∝ = 90º → tg90º ∄

1. Determine a equação de cada reta que passa pelos pontos indicados e faça um esboço do seu gráfico no sistema de eixo. a) (0,3), (-1,1)

b) (1,1), (-2,4)

c) (2,3), (-1,3)

d) (-4,1), (-4,0)

Solução: a) Passo 1: calcule m fixando ( (0,3), (-1,1)

x y x1 y1

Assim m =1-3

-1-0=

-2

-1 = 2

Passo 2: escolha um dos pontos dados ((0,3) ou (

coeficiente angular m = 2 e substitua na

2

1=

� � 1

� � 0�1 → 0� � 1. 1 �� 1 � 2

Esboço

(0,3)

1


∝ > 0 → Reta é inclinada para a direita.

tg∝ < 0 → Reta é inclinada para a esquerda.

→ Reta é horizontal (função constante) ∄ → Reta é vertical

EXERCÍCIOS (1)

1. Determine a equação de cada reta que passa pelos pontos indicados e faça um esboço do seu gráfico no sistema de eixo.

fixando (x,y) e (x,y)

Passo 2: escolha um dos pontos dados ((0,3) ou (-1,1)), um ponto genético: (

= 2 e substitua na expressão (2) � � y(y1

x(x1

� 20�� 1 2� � 2 → � � 2� � 3

(0,3)


27

1. Determine a equação de cada reta que passa pelos pontos indicados e faça um esboço do

1,1)), um ponto genético: (x,y), o


b) � � �(�1

�(�1

� 4(1(2(1� 3(3

�Escolhendo (1,1), vamos obter 0�� 1. 1 � �10�� 1 � � 1 � �� 1

� � �� 2

Esboço

c) � � �(�1

�(�1

� 3(3

2(0(1 � 0

3�

Escolhendo (2,3), vamos obter 0�� 3. 1 � 0. 0�� 2 � � 3 � 0 � � 3 → função constante

Esboço

d) � � �(�1

�(�1

� 1(0(4(0(4

-2

4

-1

3


�1

Escolhendo (1,1), vamos obter (1

1� �(1

�(1→

0

Escolhendo (2,3), vamos obter � 0

1� �(3

�(2

função constante �0� � 3, ∀� (para todo x)

� 1

0∄

y = 3

2


28


De fato m = tg 90º ∄Retas horizontais → y é constante, então para retas verticais ∀ y. Esboço

Observe que a reta x

origem é um par (0,0)

2. Faça o mesmo para os seguintes pares de positivos: a) (-1,2), (3,2)

b) (4,1), (-2,4)

c) (0,5), (0,3)

d) (2,-1), (3,-2)

e) (1,3), (5,4)

3. Identifique as funções, do 1º grau e esboceas a) 2�� 3� � 4 � 0

b) 4� � � � 2Rd)

�

�� 4�� 3� � 0

c) �� 4� � 1

d) �

�� 4�� 3� � 0

e) �2 � 2�� 4

f) 2� � 1 � 0

g) 4� � 6 � 1

y

x

x = -4


∄. Para determinar a equação, vamos usar o seguinte argumento.

é constante, então para retas verticais → x é constante. Assim

x = 0 coincide com o eixo y e a reta y = 0 coincide com o eixo

2. Faça o mesmo para os seguintes pares de positivos:

as funções, do 1º grau e esboceas

R� � � � � � �

x


29

. Para determinar a equação, vamos usar o seguinte argumento.

é constante. Assim x = -4,

= 0 coincide com o eixo x. A


4. Determine a posição de cada reta através da identificação do coeficiente angular

�3�� 6�� 2 � 0R��2�� 1 � 0R�� 5� � 4�� 2 � 0R�� 3 � 2R��2�� 5 � 0R�� 0R�� 0R�� 3� � � � 1 � 0R�

•••• Definição:

A raiz ou zero da função do 1º grau é o número real associado ao ponto em que o gráfico da função intercepta o eixo

Ex.: Dada a reta 2x + 4

cartesiano:

Sol: fazendo y = 0 na equação, 2

intercepta o eixo x. Para traçar a reta é necessário outro ponto. Fazendo

4. � � 1 � 0 → 4� � 1 →

O sinal de y depende da raiz da equação (valores à direita da raiz, todo valor que a esquerda da raiz, y será positivo. Faça o teste:

�� 1 → 2.1 � 4�

(0,¼)

(½,0)



� � �1

2

� ��2 � �5

4

�∄ � � 0 � � 1 � � �1 � � 3

RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

A raiz ou zero da função do 1º grau é o número real associado ao ponto em que o gráfico da função intercepta o eixo x, ou seja (x,0), y = 0

+ 4y -1 = 0, determine a raiz e trace seu gráfico no sistema de eixo

= 0 na equação, 2x + 4. 0 –1 = 0 2x = 1 → x = 1

2.

Para traçar a reta é necessário outro ponto. Fazendo → � � 1

4 obtendo mais um ponto �0, 1

4�

Sinal de y = (x)

depende da raiz da equação (x0) e sua inclinação. Observa que para valores à direita da raiz, todo valor que x assume, resulta em y negativo. Enquanto

será positivo. Faça o teste:

� 1 � 0 → 4� � �2� 1 → 4� � �1

x y

0

1

2

1

4

0


30


A raiz ou zero da função do 1º grau é o número real associado ao ponto em que o

1 = 0, determine a raiz e trace seu gráfico no sistema de eixo

Assim, o ponto �1

2, 0�

Para traçar a reta é necessário outro ponto. Fazendo � � 0 → 2.0�

0) e sua inclinação. Observa que para

negativo. Enquanto que para


� � �1

4

�� 1 → 20�14� � 2 � 1 → � � 3

4

Na forma reduzida, vamos obter um coeficiente angular negativo, confirmando a

inclinação para a esquerda:

� � �2�

4� 1

4→ � � ��

2�

1. Determine o sinal de cada função linear: �3�� 2 � 0�2�� 3 � 0�� 1 � 0�5�� 2�� 4 � 0

+

�0, 14�

�14 , 0�


0 � 4� � 1 � 0 → �2 � 4� � 1 � 0

reduzida, vamos obter um coeficiente angular negativo, confirmando a

inclinação para a esquerda: 4� � �2�� 1 → � � 2�Q1

4

1

4, � � �1

2

EXERCÍCIOS (2)

1. Determine o sinal de cada função linear:

�� 3�� 6 � 0 � � � � 4� � 3 � 0 �2�� 1 � 0 �6�� 3 � 0

-


31

reduzida, vamos obter um coeficiente angular negativo, confirmando a


FUNÇÃO POLINOMINAL DO 2º

Considere três números reais

dados pela fórmula �0� �quadrática. O gráfico é uma curva plana chamada de parábola que faz part(curvas resultam do corte do cone).

Em relação ao sistema de eixo, vamos obter seis posicionamentos dessa curva que

dependem do sinal de a (a≠0)

(i) a > 0 → côncava para cima

(ii) a < 0 → côncava para baixo

Assim vamos obter curvas com:

(i) 2 raízes reais e diferentes (intercepta o eixo (ii) 2 raízes reais e iguais (intercepta o eixo

y



Considere três números reais a, b, e c, com a ≠ 0. Uma função cujos os valores são 0 � ��2 � �� é chamada função polinomial do 2º grau ou função quadrática. O gráfico é uma curva plana chamada de parábola que faz part(curvas resultam do corte do cone).

ao sistema de eixo, vamos obter seis posicionamentos dessa curva que ≠0)

côncava para cima

côncava para baixo

Assim vamos obter curvas com:

(i) 2 raízes reais e diferentes (intercepta o eixo x em dois pontos distintos)(ii) 2 raízes reais e iguais (intercepta o eixo x em dois pontos iguais)

x


32

ão cujos os valores são

é chamada função polinomial do 2º grau ou função quadrática. O gráfico é uma curva plana chamada de parábola que faz parte das cônicas

ao sistema de eixo, vamos obter seis posicionamentos dessa curva que

em dois pontos distintos) em dois pontos iguais)


(iii) não existe raiz real A fórmula da raiz (x.0):

� � �� √∆2�

, ∆� �2

O vértice é calculo por:

O sinal de y depende da concavidade e das raízes.

Exemplo: construa o

Solução: a = 1 → a função é côncava para cima b = 3 c = -4

Para determinar se existem raízes, vamos calcular ∆�032 � 4010�4∆& 0 → (i) 2 raízes reais e

� � (3�√25

2.1 �1�P3�

2

�2�P3P5

2

Para determinar o vértice

Construção do gráfico:

(-4,0)

3/2

-

+


(iii) não existe raiz real (não intercepta o eixo x)

.0):

2 � 4�� ∆& 0 → 0�∆� 0 → 0��∆+ 0 → 0��Z O vértice é calculo por: �(�

2�, (∆

4�� que é máximo 0� + 0 ou mínimo

depende da concavidade e das raízes.

Exemplo: construa o gráfico da função � � �2 � 3� � 4, identifique seu sinal.

a função é côncava para cima → vértice é mínimo.

Para determinar se existem raízes, vamos calcular ∆� �2 � 4�� 0 � 9 � 16 � 25 (i) 2 raízes reais e distintas.

�5�1→01,05�(4→0(4,0

Para determinar o vértice � �(3

2.1 , (25

4.1 � � �(3

2, (25

4�

Construção do gráfico:

+ (1,0)

3/2

�254


33

ou mínimo 0� & 0 identifique seu sinal.

vértice é mínimo.


Para analisar o sinal, use o diagrama

Para verificar o sinal de compare o que o diagrama informa.

1. Faça o mesmo para as seguintes funções:

�� 2 � 1

�� 2

�� 2

�� 2�2 � 3�� 4

�� 2�2 � 2

�� 0� � 22

�� 03�� 132

�� 2� � �2

�� 2 � 3

2. O vértice da parábola � �R� � �3, � � 10

3. Determine m e n para que os pares ordenados

�0� � �0�� 32 � ��4. Determine o conjunto solução das inequações:

��2 � 3� r 0�� & �

2�2�

2 � 5� + 0

-4


o sinal, use o diagrama

Sinal de y

Raízes

Para verificar o sinal de y, dê valores nos intervalos � + �4

compare o que o diagrama informa.

1. Faça o mesmo para as seguintes funções:

� �2 � 0�� 1� � � é o ponto (2.6). Calcule

para que os pares ordenados 03,10, 0�1,2 � � (1

2, � � 10

4. Determine o conjunto solução das inequações:

�10� � � 2�2 r 0 �2 r 3� � 2�

2 ��2 � 2� & 2

1


34

4, �4 + � + 1, � & 1 e

é o ponto (2.6). Calcule m e n.

pertençam à função


� � 2�2 � 10� � 0

�1 & �2

� � �2 � 16 r 0

�2�2 � 16

� � �2 r �49

��2 � 5� � 6 & 0��2 � 5� � 4 � 0� � 2�

2 � 5� + 2�2�

2 � 5� & 3 Sugestão: estude o sinal da equação do 2º grau e identifique o intervalo que pede a questão:

Ex.: �2 r 3� � 2�2 ou seja

0 r 2�2 � 3� � 2

Função do 2º grau �

a = b → côncava para cimab = 3 c = -2 Raízes ∆� 032 � 4∆� 9 � 16 �

� � (3�√25

4 �

1�P�

2�P3P4

Usando o diagrama:

Intervalo onde �0�


�V0V � 4 � 1 �4V2 � 4V � 1 & 0 ��2 � 2� � 1 r 0 � � 4�2 � 12�� 9 +� � �

2 � 1 & 0 �4�2 � � � 1 & 0 � � �

2 � � � 1 � 0 �02�� 12 & 4 �04� 3�2 � 16

Sugestão: estude o sinal da equação do 2º grau e identifique o intervalo que pede a questão:

ou seja

�0� � 2�2 � 3�� 2

côncava para cima

4020�2 � 25

P3�5

4�2

4�1

2

P5

4�P8

4�(2

Usando o diagrama:

0 � 0: �2 + � � 1

2


35

0

Sugestão: estude o sinal da equação do 2º grau e identifique o intervalo que pede a questão:

Documents

Introdução ao Cálculo Pré-Cálculo