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Introdução aos Escoamentos Compressíveis
José Pontes, Norberto Mangiavacchi e Gustavo R. Anjos
GESAR – Grupo de Estudos e Simulações Ambientais de ReservatóriosUERJ – Universidade do Estado do Rio de Janeiro
30 de julho a 5 de agosto de 2017
Conteúdo do curso
1. Escoamentos tridimensionais:1.1 Equações Básicas;1.2 Escoamentos Potenciais Compressíveis.
2. Escoamentos quase unidimensionais:2.1 Escoamentos Isoentrópicos;2.2 Choque Normal;2.3 Escoamentos com Transf. de Calor – Linha de Rayleigh;2.4 Escoamentos com Atrito – Linha de Fanno;2.5 Choque Oblíquo.
3. Resolução Numérica de Escoamentos Compressíveis.
2
Escoamentos Isoentrópicos
Bocal convergente - divergente
A/A * 8
p0
x
A*
Relação área-velocidade:
Entropia: TDsDt
=1ρτ : grad v +
κ
ρ∇2T +
Q̇ρ
Quant. movimento: ududx
= −1ρ
dpdx
−→ u du = −dpρ
u du = −1ρ
(∂p∂ρ
)s
dρ. = −a2 dρρ
3
Relação área-velocidade
u du = −a2 dρρ
dρρ
+dAA
+duu
= 0
−→ u du = a2(
dAA
+duu
)
Obtém-se:(M2 − 1
) duu
=dAA
onde: M =ua
(Compressível)
(Fr2 − 1
) duu
=12
dll
onde: Fr =u√gh
(Canal aberto)
4
Analogia Compressível – Hidráulica de Canal Aberto
Compressível
A/A * 8
p0
x
A*
ρA u = Cte
p +12ρu2 =
(p + ∆p) +12ρ (u + ∆u)2
−∆p = u ∆u
Canal Aberto:
x
x+ x l(x)
h(x)
x
A u = h l u = Cte
h +u2
2g=
(h + ∆h) + (u + ∆u)2 /2g−∆h = u ∆u/g
5
Relação de T ,P e ρ com o M – esc. isoentrópicosHipóteses:
1. Gás perfeito;
2. CpT0 = CpT +u2
2
3. s = Cte −→(∂p∂ρ
)s
= a2
4. Cp − Cv = R,Cp
Cv= γ
Obtém-se:
T0
T= 1 +
γ − 12
M2 ρ0
ρ=
(1 +
γ − 12
M2)1/(γ−1)
p0
p=
(1 +
γ − 12
M2)γ/(γ−1)
onde T0: tempertura de estagnação6
Relação de T ,P e ρ com o M – esc. isoentrópicos
Caso M = 1 na garganta e γ = 1,4:
T ∗
T0=
(1 +
γ − 12
M2)−1
= 0,833
ρ∗
ρ0=
(1 +
γ − 12
M2)−1/(γ−1)
= 0,634
p∗
p0=
(1 +
γ − 12
M2)−γ/(γ−1)
= 0,528.
7
Perfis subsônicos, supersônicos e choque normal
A/A * 8
p0
A*
ps
M <1s
x
p/p0
1
0
1 2 3
x
0T/T
1
x0.81
23
1
0
1
23
x
M
A/A* 8
p0
A*
ps
sM >1
x
0 x
M 1
2
p/p0
1
0 x
0 x
0T/T
1
A/A * 8
A*
ps
sM >1
x
p0
choque
p/p0
x0
1
2
M
0 x
1
1
0 x
0T/T
Subsônico Supersônico Choque normal
8
Bocal isoentrópico e com choque normal
9
Choque normal – a relação de Rankine Hugoniot
Choque normal: Descontinuidade do campo, com passagemdo supersônico para o subsônico, aumento de pressão eprodução de entropia. O choque é induzido por:
1. Pressão mais alta a juzante;2. Adição de calor ou efeitos viscosos.
Conservam-se massa, quantidadede movimento e energia:
ρ1u1 = ρ2u2
p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u2
2
CpT1 +u2
12
= CpT2 +u2
22
= CpT0
A ρAp , , vA ρB B Bp , , v
A B
Em particular, conserva-se a temperatura de estagnação, T0.
10
Choque normal – a relação de Rankine Hugoniot
Obtém-se:
ρ2
ρ1=
u1
u2=
γ + 1γ − 1
p1
p2+ 1
γ + 1γ − 1
+p1
p2
T2
T1=
p2
p1
γ + 1γ − 1
+p2
p1
1 +γ + 1γ − 1
p1
p2
1 10 100 1000p /p
1
10
ρ /
ρ
12
12
21
1. Compressão isoentrópica;2. Choque normal.
Há um limite de aumento de ρ.
11
Choque normal
Outras propriedades:1. u1u2 = a∗2 (Relação de Prandtl-Meyer);2. M∗
1M∗2 = 1;
3. Um lado é supersônico e o outro, subsônico;
4. No entanto:s2 − s1
R≈ 2γ
(γ + 1)2
(M2
1 − 1)3
3> 0;
O choque se dá no sentido Supersônico −→ Subsônico;
5.s2 − s1
R≈ γ + 1
12γ2
(∆pp1
)3
Choques fracos: a produção de entropia é O(∆p)3.
12
Choque normal
Outras relação entre propriedades dos dois lados dochoque:
T2
T1= 1 +
2 (γ − 1)
(γ + 1)2γM2
1 + 1M2
1
(M2
1 − 1)
u1
u2=
ρ2
ρ1=
(γ + 1)M21
2 + (γ − 1)M21
p2
p1= 1 +
2γγ + 1
(M2
1 − 1)
∆pp1
=2γγ + 1
(M2
1 − 1)
M22 =
2 + (γ − 1) M21
2γM21 − γ + 1
13
Linha de RayleighLinha de Rayleigh – aquecimento em duto de seção constante.
Conservam-se massa equantidade de movimento:
ρ1u1 = ρ2u2
p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u2
2
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0
S = (s-s*)/R
0.0
0.5
1.0
h=
T/T
*
1. Alteram-se: CpTt = CpT +u2
2pt = p +
12ρu2
2. Ramo superior (supersônico): aquecimento reduz M atéM = 1;
3. Ramo inferior (subsônico): aquecimento aumenta M atéM = 1;
4. Há um limite de entropia, isso é, de aquecimento.14
Linha de Rayleigh
Dois efeitos:1. Aquecimento além do limite da Linha de Rayleigh provoca
drástica mudança nas condições de entrada do duto:1.1 Supersônico, obtido em bocal convergente-divergente:
choque normal na região divergente e retorno aosubsônico;
1.2 Subsônico: Redução da pressão na entrada do duto atéque M = 1 seja atingido com a quantidade de calorfornecido.
2. Transição entre os regimes supersônico e subsônico:2.1 Aceleração subsônico −→ supersônico: fornecimento
de calor até M = 1 e retirada de calor com M > 1;2.2 Desaceleração supersônico −→ subsônico:
fornecimento de calor até M = 1 e retirada de calor comM < 1.
15
Linha de Fanno
Linha de Fanno – escoamento com atrito em duto de seçãoconstante.
Conservam-se massae energia:
dρρ
+duu
= 0
CpT0 = CpT +u2
2.
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1
s
0.8
1.0
1.2
h=
T/T
*
Rayleigh
Fanno
16
Linha de Fanno
Quantidade de movimento:Taxa de acumulaçãode quantidade de mo-vimento dentro do vo-lume de controle
= −
Fluxo líquido dequantidade de movi-mento para fora dovolume
+
(Forças de pressão) +
(Forças de atrito comas paredes
)
Obtém-se: Fa =(−pB − ρu2
B + pA − ρu2A) πD2
4
onde: Fa = −τxrπD∆x = −12ρu2fπD∆x
e: f −→ fator de Fanning
17
Linha de Fanno
Distância entre dois pontos cujos números de Mach sãoprescritos:
4fLD
=1γ
(1
M21− 1
M22
)+γ + 1
2γln
[M2
1
M22
1 + M22 (γ − 1) /2
1 + M21 (γ − 1) /2
]
Comprimento crítico L∗: distância entre o ponto onde o númerode Mach é M e o ponto onde M = 1.
4fL∗
D=
1−M2
γM2 +γ + 1
2γln
(γ + 1) M2
2 + (γ − 1) M2 .
Se M =∞:
4fL∗
D= 0,8215 (γ = 1,4)
18
Linha de Fanno
Dutos com comprimento maior que o crítico:1. Escoamento inicialmente subsônico: redução do
número de Mach e da vazão de entrada:2. Escoamento inicialmente supersônico:
estabelecimento de onda de choque no bocal de origem epassagem ao regime subsônico.
19
Linha de Fanno
Relações entre as propriedades do ponto onde o número deMach é M e as do ponto onde M = 1:
TT ∗ =
γ + 12 + (γ − 1) M2
pp∗ =
1M
[γ + 1
2 + (γ − 1) M2
]1/2
ρ
ρ∗=
1M
[2 + (γ − 1) M2
γ + 1
]1/2
p0
p∗0
=1M
[2 + (γ − 1) M2
γ + 1
](γ+1)/2(γ−1)
.
20
Efeitos viscosos e de adição de calor – resumo:
Adição de calorLinha de Rayleigh
Supersônico:1. Aumentam: p e T0;2. T aumenta para M < γ−1/2
e diminui para M > γ−1/2;3. Diminuem: M,p0 e u.
Subsônico:1. Aumentam: M,T0,T e u;2. Diminuem: p e p0.
Atrito gás/dutoLinha de Fanno
Supersônico:1. Aumentam: p e T ;2. Diminuem: M,p0 e u.
Subsônico:1. Aumentam: M e u;2. Diminuem: p,T e p0.
21
Choque oblíquo
Choque oblíquo: induzido por mudança de direção impostaao escoamento.
M1 =w1
a1
M2 =w2
a2choque
u2w1
1u w2
β−θ
v
v
β
choque
w1w2
β
θ
Existência do choque oblíquo: sen−1 1M1
< β <π
2
β =π
2ou:
u1
a1= 1 −→ u2
a2= 1
não há deflexão (θ = 0);
A deflexão tem um máximo entre os dois limites.22
Choque oblíquo
0 10 20 30 40 50
Ângulo de deflexão do escoamento- (graus)
0
20
40
60
80
Âng
ulo
do c
hoqu
e -
(gr
aus)
β
θ
1,2
1,41,6
M <1
3,0
4,0
5,0 10,0
8M =1
2,0
1,05
2M =1
θ=θmax
M >1
2
2
23
Choque oblíquo – escoamento sobre cunhas ediedros
θ
1M 2
β
choque(a)
M
1M 2
M2
M1
M
choque
2β
(b)
2θ
1
M1
,β
,θ
M2
,
M2M
β
(c)
θ
choque
1
θ>θmax
(d)
M
choque destacado
24
Choque oblíquo
Propriedades do choque oblíquo:1. Para uma dada deflexão θ há dois valores possíveis de β;
2. β < βmax −→ choque fraco, β > βmax −→ choque forte;
3. Choque fraco: M2 > 1 exceto em pequena região dodiagrama β × θ;
4. O valor de β selecionado depende da pressão a juzante;
5. Existência de valor limite θmax ;6. θ > θmax −→ choque destacado corpo;
7. Relação entre propriedades dos dois lados: obtidas dasrelações de choque normal, substituindo-se:M1 −→ M1 senβ.
25
Choque oblíquo
Propriedades do choque oblíquo:
ρ2
ρ1=
(γ + 1)M21 sen 2β
2 + (γ − 1)M21 sen 2β
p2 − p1
p1=
2γγ + 1
(M2
1 sen 2β − 1)
T2
T1= 1 +
2 (γ − 1)
(γ + 1)2γM2
1 sen 2β + 1M2
1 sen 2β
(M2
1 sen 2β − 1)
26