Introdução aos experimentos fatoriais

Blocagem – cap. 5 (5.6)

Blocagem em um experimento fatorial: modelo

• Considere um experimento fatorial a dois fatores (A e B) com n replicações. O modelo estatístico linear para esse experimento é:

1,2,...,

( ) 1,2,...,

1, 2,...,ijk i j ij ijk

i a

y j b

k n

Suponha que para uma realização um material particular é exigido e que esse material está disponível em lotes que não são suficientementegrandes para permitir que todas as abn combinações de tratamentos sejamrealizadas com o mesmo lote.Porém, se um lote contém material suficiente para ab realizações, então um plano alternativo é rodar cada uma das n replicações usando um lote diferente de material.

Blocagem em um experimento fatorial: modelo

• Consequentemente, os lotes de material representam uma restrição em aleatorização ou um bloco, e uma replicação de um experimento fatorial completo é realizada para cada bloco.

• O modelo de efeitos para esse novo plano é:

nk

bj

ai

y ijkkijjiijk

,...,2,1

,...,2,1

,...,2,1

,)(

com k representando o efeito do k-ésimo bloco.Dentro de cada bloco, é claro, as realizações são feitas de modo completamente aleatorizado.

Tabela ANOVA

FV SQ gl QM F

Blocos n-1 QMBl --

A a-1 QMa

B b-1 QMb

AB (a-1)(b-1) QMab

Erro Diferença (ab-1)(n-1) QMe --

Total abn-1 -- -- abn

yyijk

2...

i

i abn

yy

bn

2...2

..

1

k

k abn

yy

ab

2...2

..

1

j

j abn

yy

an

2...2

..

1

i j

BAij SSSSabn

yy

n

2...2

.

1

Blocagem

• O modelo assume que a interação entre blocos e tratamentos é desprezível. Isso foi suposto anteriormente na análise dos planejamentos em bloco aleatorizados. Se essas interações de fato existem, elas não podem ser separadas da componente de erro.

• De fato, o termo de erro nesse modelo consiste das interações entre cada fator principal e bloco e entre os três (fatores A, B e bloco).

Exercício 19O resultado de um processo químico está sendo estudado. Os dois fatores de interesse são temperatura e pressão. Três níveis de cada fator foram selecionados.Porém, somente nove realizações podem ser feitas num dia. O experimentadorrodou as replicações em dias diferentes. Analise os dados, supondo que os diassão blocos.

y=read.table("e:\\dox\\procquim.txt",header=T)pr=as.factor(y$Pressure)temp=as.factor(y$Temperature)bloco=as.factor(y$dia)modeloB=y$Yield~pr+temp+pr:temp+blocofitB=aov(modeloB)

fv gl SQ QM F value Pr(>F) pr 2 5.508 2.754 5.1838 0.035988 * temp 2 99.854 49.927 93.9807 2.778e-06 ***bloco 1 13.005 13.005 24.4800 0.001124 ** pr:temp 4 4.452 1.113 2.0952 0.173314 Residuals 8 4.250 0.531 ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Perfis das médias por combinação de níveis apresentam paralelismo,confirmando a não-rejeição da hipótese de ausência de efeito deInteração entre temperatura e pressão.

80

82

84

86

88

90

92

94

250 260 270

Low

Medium

High

Experimentos fatoriais 2k – Cap. 6

• Os experimentos fatoriais são muito usados em experimentos envolvendo vários fatores para os quais é necessário estudar o efeito conjunto dos fatores sobre a resposta.

• No capítulo 5 apresentamos métodos gerais de análise do experimento fatorial.

• Existem casos especiais do experimento fatorial geral.• O caso mais importante, entre os especiais, é o de k fatores cada

um com apenas 2 níveis.• Os níveis podem ser quantitativos ou qualitativos.• O plano 2k é particularmente útil nos estágios iniciais do trabalho

experimental, quando muitos fatores deverão ser investigados.• Ele fornece o menor número de realizações com o qual k fatores

podem ser simultaneamente investigados em um planejamento fatorial completo.

Experimentos fatoriais 2k

• Consequentemente, esses planos são muito usados em experimentos chamados factor screening experiments (filtragem, peneiramento de fatores).

• Como há somente dois níveis para cada fator, supõe-se que a resposta é aproximadamente linear sobre a variedade de níveis dos fatores escolhidos.

• Em muitos experimentos de filtragem de fatores, quando estamos apenas começando a estudar o processo, essa suposição costuma ser razoável.

• Na seção 6.8 são apresentados um método simples para verificar se essa suposição é violada e ações em caso afirmativo.

The Simplest Case: The 22

“-” and “+” denote the low and high levels of a factor, respectively

• Low and high are arbitrary terms

• Geometrically, the four runs form the corners of a square

• Factors can be quantitative or qualitative, although their treatment in the final model will be different

Chemical Process Example

A = reactant concentration, B = catalyst amount, y = recovery

Analysis Procedure for a Factorial Design

• Estimate factor effects• Formulate model

– With replication, use full model– With an unreplicated design, use normal

probability plots

• Statistical testing (ANOVA)• Refine the model• Analyze residuals (graphical)• Interpret results

Estimation of Factor Effects

12

12

12

(1)

2 2[ (1)]

(1)

2 2[ (1)]

(1)

2 2[ (1) ]

A A

n

B B

n

n

A y y

ab a b

n nab a b

B y y

ab b a

n nab b a

ab a bAB

n nab a b

See textbook, pg. 209-210 For manual calculations

The effect estimates are: A = 8.33, B = -5.00, AB = 1.67

Practical interpretation?

Design-Expert analysis

Estimation of Factor EffectsForm Tentative Model

Term Effect SumSqr % ContributionModel InterceptModel A 8.33333 208.333 64.4995Model B -5 75 23.2198Model AB 1.66667 8.33333 2.57998Error Lack Of Fit 0 0Error P Error 31.3333 9.70072

Lenth's ME 6.15809 Lenth's SME 7.95671

Obs.: As somas de quadrados aqui são bastante simples.

Statistical Testing - ANOVA

The F-test for the “model” source is testing the significance of the overall model; that is, is either A, B, or AB or some combination of these effects important?

Residuals and Diagnostic Checking

The 23 Factorial Design

Effects in The 23 Factorial Design

etc, etc, ...

A A

B B

C C

A y y

B y y

C y y

Analysis done via computer

An Example of a 23 Factorial Design

A = gap, B = Flow, C = Power, y = Etch Rate

Table of – and + Signs for the 23 Factorial Design (pg. 218)

Properties of the Table

• Except for column I, every column has an equal number of + and – signs

• The sum of the product of signs in any two columns is zero• Multiplying any column by I leaves that column unchanged

(identity element)• The product of any two columns yields a column in the table:

• Orthogonal design• Orthogonality is an important property shared by all factorial

designs

2

A B AB

AB BC AB C AC

Estimation of Factor Effects

ANOVA Summary – Full Model

Model Interpretation

Cube plots are often useful visual displays of experimental results

Cube Plot of Ranges

What do the large ranges

when gap and power are at the high level tell

you?