Introdução aos números inteiros

Laura Goulart

UESB

19 de Dezembro de 2017

Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 1 / 18

Propriedades dos números inteiros

Adição

1 a+ b = b + a (comutativa)2 a+ (b + c) = (a+ b) + c (associativa)3 a+ 0 = a (Zero é o elemento neutro da adição)4 a+ (−a) = 0 (-a é o oposto de a)

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Propriedades dos números inteiros

Adição1 a+ b = b + a (comutativa)

2 a+ (b + c) = (a+ b) + c (associativa)3 a+ 0 = a (Zero é o elemento neutro da adição)4 a+ (−a) = 0 (-a é o oposto de a)

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Propriedades dos números inteiros

Adição1 a+ b = b + a (comutativa)2 a+ (b + c) = (a+ b) + c (associativa)

3 a+ 0 = a (Zero é o elemento neutro da adição)4 a+ (−a) = 0 (-a é o oposto de a)

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Propriedades dos números inteiros

Adição1 a+ b = b + a (comutativa)2 a+ (b + c) = (a+ b) + c (associativa)3 a+ 0 = a (Zero é o elemento neutro da adição)

4 a+ (−a) = 0 (-a é o oposto de a)

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Propriedades dos números inteiros

Adição1 a+ b = b + a (comutativa)2 a+ (b + c) = (a+ b) + c (associativa)3 a+ 0 = a (Zero é o elemento neutro da adição)4 a+ (−a) = 0 (-a é o oposto de a)

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Propriedades dos números inteiros

Multiplicação

1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)

i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc

OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.

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Propriedades dos números inteiros

Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)

2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)

i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc

OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.

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Propriedades dos números inteiros

Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)

3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)

i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc

OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.

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Propriedades dos números inteiros

Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)

4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)

i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc

OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.

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Propriedades dos números inteiros

Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)

5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)

i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc

OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.

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Propriedades dos números inteiros

Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)

6 (Distributiva)

i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc

OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.

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Propriedades dos números inteiros

Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)

i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc

OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.

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Propriedades dos números inteiros

Multiplicação1 ab = ba (Comutativa)2 a(bc) = (ab)c (Associativa)3 a · 1 = a (1 é o elemento neutro da multiplicação)4 ab = 1⇒ a = ±1 e b = ±1 (Só o 1 tem inverso multiplicativo)5 ab = 0⇒ a = 0 ou b = 0 (lei do anulamento do produto)6 (Distributiva)

i) a(b + c) = ab + acii) (a+ b)c = ac + bc

OBS: Não vale a lei do cancelamento do produto em Z.

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Propriedades dos números inteiros

1 a ≤ a (re�exiva)

2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)

3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)

4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)

5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)

6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)

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Propriedades dos números inteiros

1 a ≤ a (re�exiva)

2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)

3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)

4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)

5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)

6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)

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Propriedades dos números inteiros

1 a ≤ a (re�exiva)

2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)

3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)

4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)

5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)

6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)

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Propriedades dos números inteiros

1 a ≤ a (re�exiva)

2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)

3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)

4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)

5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)

6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)

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Propriedades dos números inteiros

1 a ≤ a (re�exiva)

2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)

3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)

4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)

5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)

6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)

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Propriedades dos números inteiros

1 a ≤ a (re�exiva)

2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)

3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)

4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)

5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)

6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)

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Propriedades dos números inteiros

1 a ≤ a (re�exiva)

2 a ≤ b e b ≤ a⇒ a = b. (anti-simétrica)

3 a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c (transitiva)

4 Dados quaisquer a, b ∈ Z temos que a ≤ b ou b ≤ a. (totalidade)

5 a ≤ b ⇒ a+ c ≤ b + c (compatibilidade com a adição)

6 a ≥ 0 e b ≤ 0⇒ ab ≥ 0 (compatibilidade com a multiplicação)

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Propriedades dos números inteiros

Regras de sinais

1 a > 0 e b > 0⇒ ab > 02 a > 0 e b < 0⇒ ab < 03 a < 0 e b < 0⇒ ab > 0

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Propriedades dos números inteiros

Regras de sinais1 a > 0 e b > 0⇒ ab > 0

2 a > 0 e b < 0⇒ ab < 03 a < 0 e b < 0⇒ ab > 0

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Propriedades dos números inteiros

Regras de sinais1 a > 0 e b > 0⇒ ab > 02 a > 0 e b < 0⇒ ab < 0

3 a < 0 e b < 0⇒ ab > 0

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Propriedades dos números inteiros

Regras de sinais1 a > 0 e b > 0⇒ ab > 02 a > 0 e b < 0⇒ ab < 03 a < 0 e b < 0⇒ ab > 0

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Princípio do menor inteiro

Todo conjunto não vazio de números inteiros limitado inferiormente admite

um mínimo.

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1o. Princípio de Indução Finita

Seja P(n) uma propriedade relativa a um número inteiro n ≥ a. Então,

P(n) será verdadeira para todo inteiro n ≥ a desde que seja possível

provar as seguintes a�rmações:

i) P(a) é verdadeira.

ii) P(k) é verdadeira para algum k ≥ a (Hipótese deIndução) ⇒ P(k + 1) também é verdadeira.

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2o. Princípio de Indução Finita

Seja P(n) uma propriedade relativa a um número inteiro n ≥ a. Então,

P(n) será verdadeira para todo inteiro n ≥ a desde que seja possível

provar as seguintes a�rmações:

i) P(a) é verdadeira.

ii) Dado r > a,P(k) é verdadeira para todo a ≤ k < r(Hipótese de Indução) ⇒ P(r) também é verdadeira.

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Exercícios

Prove por indução, as seguintes propriedades pra os números inteiros:

1 1+ 2+ 3+ . . .+ n =n(n + 1)

2,∀n ≥ 1.

2 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6,∀n ≥ 1.

3 a > 0,⇒ an > 0,∀n ≥ 0.

4 am · an = am+n;∀n,m ≥ 0.

5 (am)n = am·n; ∀n,m ≥ 0.

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Divisibilidade dos números inteiros

Dizemos que a divide b , e denotado por a|b, quando existe um único

c ∈ Z tal que b = ac .

Propriedades:

1 a|a2 a|b e b|a⇒ a = ±b.3 a|b e b|c ⇒ a|c4 a|b ⇒ a|bk,∀k ∈ Z.5 a|b e a|c ⇒ a|(b + c).

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Divisibilidade dos números inteiros

Dizemos que a divide b , e denotado por a|b, quando existe um único

c ∈ Z tal que b = ac .Propriedades:

1 a|a

2 a|b e b|a⇒ a = ±b.3 a|b e b|c ⇒ a|c4 a|b ⇒ a|bk,∀k ∈ Z.5 a|b e a|c ⇒ a|(b + c).

Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 10 / 18

Divisibilidade dos números inteiros

Dizemos que a divide b , e denotado por a|b, quando existe um único

c ∈ Z tal que b = ac .Propriedades:

1 a|a2 a|b e b|a⇒ a = ±b.

3 a|b e b|c ⇒ a|c4 a|b ⇒ a|bk,∀k ∈ Z.5 a|b e a|c ⇒ a|(b + c).

Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 10 / 18

Divisibilidade dos números inteiros

Dizemos que a divide b , e denotado por a|b, quando existe um único

c ∈ Z tal que b = ac .Propriedades:

1 a|a2 a|b e b|a⇒ a = ±b.3 a|b e b|c ⇒ a|c

4 a|b ⇒ a|bk,∀k ∈ Z.5 a|b e a|c ⇒ a|(b + c).

Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 10 / 18

Divisibilidade dos números inteiros

Dizemos que a divide b , e denotado por a|b, quando existe um único

c ∈ Z tal que b = ac .Propriedades:

1 a|a2 a|b e b|a⇒ a = ±b.3 a|b e b|c ⇒ a|c4 a|b ⇒ a|bk, ∀k ∈ Z.

5 a|b e a|c ⇒ a|(b + c).

Laura Goulart (UESB) Introdução aos números inteiros 19 de Dezembro de 2017 10 / 18

Divisibilidade dos números inteiros

Dizemos que a divide b , e denotado por a|b, quando existe um único

c ∈ Z tal que b = ac .Propriedades:

1 a|a2 a|b e b|a⇒ a = ±b.3 a|b e b|c ⇒ a|c4 a|b ⇒ a|bk, ∀k ∈ Z.5 a|b e a|c ⇒ a|(b + c).

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Exercícios

1 Prove que a|b e a|c ⇒ a|(bx + cy);∀x , y ∈ Z.2 Por indução, prove que 7|(23n − 1), ∀n ≥ 1

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Algoritmo da Divisão

Sejam a, b ∈ Z com a 6= 0. Então, existem q, r ∈ Z únicos tais que

b = aq + r com 0 ≤ r < |a|.

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Máximo divisor comum

Dado d ≥ 0, dizemos que d é o máximo divisor comum de a e bquando as seguintes condições são satisfeitas:

i) d |a e d |bii) c |a e c |b ⇒ c|d .

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Teorema 1.4.1 - Identidade de Belzout

Sejam a, b ∈ Z não nulos. Então, existe d ∈ Z tal que d = mdc(a, b).Além disso, existem s, t ∈ Z tais que d = sa+ tb.

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Exercícios

1 Se b = aq + r , mostre que mdc(a, b) = mdc(a, r).

2 Se a|bc e mdc(a, b) = d , mostre que a|cd .3 Se a|bc e mdc(a, b) = 1, mostre que a|c .

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Números Primos

Dizemos que p 6= 1 é um número primo quando

q|p ⇒ q = ±p ou q = ±1.

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Teorema 1.5.1

Se p é primo e p|ab então p|a ou p|b.

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Teorema Fundamental da Aritémica

Todo numéro inteiro n > 1 é um produto de fatores primos estritamente

positivos de maneira única.

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