Introdução aos Tensores do Professor R.P.Leal

8/8/2019 Introduo aos Tensores do Professor R.P.Leal

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R.P.Leal2006

Introduo anlise tensorial

R.P.Leal

CEMUC

R.P.Leal2006

Sumrio

Introduo

Notao indicial

Noo de tensor cartesiano


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No que se segue pretende-se:

- Introduzir conceitos bsicos de anlise tensorial emsistemas de eixos cartesianos;

- Demonstrar que a utilizao da notao indicial e dasregras de transformao de coordenadas uma base importantepara o estudo da teoria da elasticidade.

Introduo

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Sumrio

Introduo

Notao indicial



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z

x

y

ax

az

ay

ak

ji

proj proj proj= + +i j ka a a a

O vector a representado por

( ) ( ) ( ). . .= + +a a i i a j j a k k

kjia zyx aaa ++=

Vector

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O vector representado por uma letra minscula carregada a.

Os vectores i, j e k so vectores unitrios ou versores doseixos x, y e z, respectivamente.

Notar bem que:

Vector


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( ) ( ) ( ) kji

kji

bac

zzyyxx

zyx

bababa

ccc

+++++=

++=

+=

Dados dois vectores

kjia zyx aaa ++=

kjib zyx bbb ++=

define-se a soma ou adio dos vectores por

Adio de vectores

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x

y

z

k

ji

1x x

2y x

3z x

1i e3k e

2j e

Notao indicial


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ya

3x

za

xa

y 2a a

x 1a a

z 3a a

a

1x

1e

2e

3e

2x

Notao indicial

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Notao indicial

1 1 2 2 3 3a a a= + +a e e e

Sendo

e

1 1 2 2 3 3b b b= + +b e e e

dois vectores, define-se a soma ou adio dos vectores

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

c c c

a b a b a b

= +

= + +

= + + + + +

c a b

e e e

e e e


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1 Regra: conveno do ndice livre

Um ndice (ou ndices) no repetido(s) designa(m) onmero da equao ou do elemento representado.

O valor mximo de um ndice livre indica o nmero deequaes ou de elementos representados. Quando existemvrios ndices livres o produto dos valores mximos dosdiversos ndices indica o nmero de equaes ou deelementos representados.

O campo de variao de cada ndice , em geral de 1 a 3,podendo ser outro nos casos explicitamente indicados.

Notao indicial

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representa 3 elementos: f1, f2, f3.

representa 2 elementos: f1, f2.

representa 9 elementos:b11, b12, b13, b21, b22, b23, b31, b32, b33.

if

( )2,1ifi =

ijb

)3,2,1j;2,1i(bij == representa 6 elementos:b11, b12, b13, b21, b22, b23.

Notao indicial: ndice livre


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possvel associar uma representao matricial notao indicial.

O 1 ndice associado com a linha da matriz;

O 2 ndice associado com a coluna da matriz;

Notao indicial: representao matricial

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if

( )2,1ifi =

1

2

3

f

f

f

1

2

f

f



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ijb

ijb (i 1, 2; j 1, 2, 3)= =

11 12 13

21 22 23

31 32 33

b b b

b b bb b b

11 12 13

21 22 23

b b b

b b b


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2 Regra: conveno de soma ou de ndice mudo

ndice repetido uma vez no interior de um termo, numelemento ou no produto ou diviso de elementos, implica osomatrio nesse ndice, excepto em casos devidamente

excludos. O valor mximo de um ndice mudo indica o nmero deparcelas. Quando existem vrios ndices mudos o produtodos valores mximos dos diversos ndices indica o nmerode parcelas.

O somatrio , em geral de 1 a 3, podendo ser outro noscasos explicitamente indicados.

Notao indicial


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representa uma soma com 3 parcelas:



iif

( )iif i 1, 2=

i ia b

i ia b (i 1, 2)= representa uma soma com 2 parcelas:

ii 11 22 33f f f f = + +

ii 11 22f f f= +

i i 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b= + +

i i 1 1 2 2a b a b a b= +

Notao indicial: ndice mudo

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Sendo

e

dois vectores, ...

1 1 2 2 3 3a a a= + +a e e e i ia=a e

1 1 2 2 3 3b b b= + +b e e e i ib=b e

Notao indicial: conveno de soma


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define-se a soma ou adio dos vectores por

( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

c c c

a b a b a b

= +

= + +

= + + + + +

c a b

e e e

e e e

( )i i

i i i

c

a b

= +

=

= +

c a b

e

e


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i i m ma a= =a e e

De notar que

isto , a letra dos ndices repetidos pode ser mudada semalterar o significado da expresso.



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3 Regra: conveno da derivada

Uma vrgula entre ndices implica uma derivadarelativamente varivel de campo designada pelo(s)ndice(s) depois da vrgula.

Notao indicial

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( )

( )

( )

1 1 1 2 3

2 2 1 2 3

3 3 1 2 3

f f x , x , x

f f x , x , x

f f x ,x ,x

=

=

=

Sejam as funes fi definidas como segue:

A derivada destas funes relativamente s diversasvariveis de campo pode ser representada por:

ii, j

j

ff

x

=

2i

i,jm

j m

ff

x x

=

Notao indicial: conveno da derivada


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Smbolo de Kronecker, ij:

Define-se o smbolo de Kronecker pelas seguintesigualdades.

ij

ij

1 se i j

0 se i j

= =

=

Notao indicial: noes complementares

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Problema 1 - Estudar o significado de

i ij jy a x=

ij i, ja y=

i,iy

ij i jp a x x=

Notao indicial: exerccios


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Problema 2 - Interpretar e simplificar as expresses

i ij ja u=

ij jia =


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Problema 3 - Interpretar e simplificar as expresses

ik ij jka =

mp ik mp ik

a w=

( )mp im kp ip km ika w= +

im ij k nm jk np d e= l l



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Problema 4 - Dada as matrizes A(3,3) e B(3,3) e o vector c(3),

( )ij

0 1 0

a 1 0 1

0 1 0

= =

A ( )ij

1 2 1

b 1 2 1

1 2 1

= =

B ( )2

i 3

1

x

c x

x

= =

c

( )ij im jn nk mk in jm n md b a c,

= = + D

calcule


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Sumrio

Introduo

Notao indicial



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Um tensor um objecto matemtico cujas componentes

num sistema de eixos coordenados seguem uma certa leiquando o sistema de eixos sofre uma rotao.

Um tensor cartesiano define-se quando os sistemas decoordenadas envolvidos forem cartesianas.

Tensores Cartesianos

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1x

2x

3x

'1

x

'2x

'3

x

alterao da direco dos eixos sem mudar a posio relativa

Tensores Cartesianos: rotao


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escalar vector tensor

Vamos estudar a lei de transformao dos seguintesobjectos matemticos:

Tensores Cartesianos

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Um escalar ou tensor de ordem zero um objectomatemtico que no muda a sua descrio matemticaquando o sistema de eixos em que est considerado sofreuma rotao.

Assim, sendo um escalar e supondo uma rotaode um sistema de eixos Ox para Ox, temos que a lei detransformao :

' =

Lei de transformao dos escalares


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1x

2x

3x

v

i iv=v e

1v2v

3v

Lei de transformao dos vectores

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'j

'jv ev =

'2

v'3

v

1x

2x

3x

'1

x

'2

x

'3

x

v

'1

v

No novo sistema deeixos cartesianos:



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3x

1x

2x

'

1x

'2

x

'3

x

v iji

'

jvtv =

em que tji ocosseno do menorngulo que o novosemieixo positivofaz com o semieixo

positivo inicial xi.

j

'x


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Um tensor cartesiano de 1 ordem ou vector um objectomatemtico cujas componentes num sistema de eixoscartesianos seguem a lei de transformao

iji'j vtv =

quando o sistema de coordenadas em que est descrito Oxisofre uma rotao para Oxj.

Lei de transformao dos vectores ou detensores de 1 ordem


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A lei de transformao inversa, isto , a quetransforma as componentes conhecidas no sistema rodadode eixos Oxj para o sistema de eixos Oxi dada por

Lei de transformao inversa dos vectoresou de tensores de 1 ordem

'i ji jv t v=

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A lei de transformao de um tensor de 1 ordem pode serescrita em termos matriciais, como segue:

'1 11 12 13 1

' 'j ji i 2 21 22 23 2

'3 31 32 33 3

v t t t v

v t v v t t t v

v t t t v

= =

' =v T v

Matriz de transformao T



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A lei de transformao inversa de um tensor de 1 ordempode ser escrita em termos matriciais, como segue:

'1 11 21 31 1

' 'i ji j 2 12 22 32 2

'3 13 23 33 3

v t t t v

v t v v t t t v

v t t t v

= =

T '=v T v

Matriz de transformao T


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Problema 5: Conhecidos as componentes de um vector no sistemainicial Oxi, obter as componentes do mesmo vector no sistema de eixosOxi representado.

1x

12x x=

33x x=

2x

i i 1 2 3v 1. 2 . 3 .= = + +v e e e e

Lei de transformao de tensores de 1 ordem


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Problema 6: Conhecidos as componentes de um vector no sistema final Oxi,obter as componentes do mesmo vector no sistema inicial representado.

1x

22x x=

13

x x=

3x

i i 1 2 3v 2 . 1. 2 .= = + v e e e e


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' Tij im jn mnc t t c '= =C T C T

Um tensor cartesiano de 2 ordem um objecto matemticocujas componentes num sistema de eixos cartesianos seguem alei de transformao

quando o sistema de coordenadas em que est descrito Oxisofre uma rotao para Oxj.



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A lei de transformao inversa dos tensores de 2ordem dada por:

' Tij mi nj mnc t t c '= =C T C T


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Problema 7: Conhecidos as componentes de um tensor de ordem 2 nosistema inicial Oxi, obter as componentes do mesmo tensor no sistemade eixos Oxi representado.

1x

22x x=

13x x=

3x

1 0 2

0 1 02 0 1



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Problema 8: Conhecidos as componentes de um tensor de ordem 2 no sistemafinal Oxi, obter as componentes do mesmo tensor no sistema inicial.

1x

2x

13

x x=

2x

2 1 11 1 0

1 0 1

3x


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