INTRODUC¸AO˜ AS EQUAC¸` OES DIFERENCIAIS ORDIN˜ ?· Este ´e um texto alternativo ao excelente livro…

  • View
    236

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

  • INTRODUCAO AS EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Reginaldo J. SantosDepartamento de Matematica-ICEx

    Universidade Federal de Minas Geraishttp://www.mat.ufmg.br/~regi

    Julho 2011

    http://www.mat.ufmg.br/~regi

  • Introducao as Equacoes Diferenciais OrdinariasCopyright c 2011 by Reginaldo de Jesus Santos (110715)

    Nenhuma parte desta publicacao podera ser reproduzida por qualquer meio sem a previa autorizacao, porescrito, do autor.

    Editor, Coordenador de Revisao, Supervisor de Producao, Capa e Ilustracoes:Reginaldo J. Santos

    ISBN 978-85-7470-021-2

    Ficha Catalografica

    Santos, Reginaldo J.S237i Introducao as Equacoes Diferenciais Ordinarias / Reginaldo J. Santos

    - Belo Horizonte: Imprensa Universitaria da UFMG, 2011.

    1. Equacoes Diferenciais I. Ttulo

    CDD: 515.3

  • Sumario

    Prefacio viii

    1 Equacoes Diferenciais de 1a. Ordem 11.1 Introducao as Equacoes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1 Classificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Solucoes de Equacoes Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Equacoes Ordinarias de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.2 Equacoes Lineares de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.1 Equacoes em que p(t) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Equacoes Lineares - Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Como chegar ao fator integrante (t) = e

    p(t)dt ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3 Equacoes Separaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4 Equacoes Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    iii

  • iv Sumario

    1.4.1 Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    1.5 Substituicoes em Equacoes de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.5.1 Equacoes Homogeneas de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.5.2 Equacoes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.5.3 Equacoes de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.5.4 Outras Substituicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    1.6 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.6.1 Dinamica Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.6.2 Datacao por Carbono 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.6.3 Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.6.4 Lei de Resfriamento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.6.5 Lei de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.6.6 Resistencia em Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.6.7 Circuitos Eletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891.6.8 Juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921.6.9 Reacoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1021.6.10 Trajetorias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    1.7 Analise Qualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291.7.1 Equacoes Autonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291.7.2 Campo de Direcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    1.8 Existencia e Unicidade de Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421.8.1 Demonstracao do Teorema de Existencia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    1.9 Respostas dos Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    Introducao as Equacoes Diferenciais Ordinarias Julho 2011

  • Sumario v

    2 Equacoes Diferenciais Lineares de 2a. Ordem 2492.1 Equacoes Homogeneas - Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

    2.1.1 Solucoes Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2512.1.2 Formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

    2.2 Equacoes Homogeneas - Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2652.2.1 Obtendo-se uma Segunda Solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2652.2.2 Equacoes Homogeneas com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

    2.3 Equacoes Nao Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2802.3.1 Metodo de Variacao dos Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2842.3.2 Equacoes Nao Homogeneas com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

    2.4 Oscilacoes Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3022.4.1 Sem Amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3042.4.2 Com Amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

    2.5 Oscilacoes Forcadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.5.1 Sem Amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212.5.2 Com Amortecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3262.5.3 Circuitos Eletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

    2.6 Solucoes em Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3392.6.1 Demonstracao do Teorema de Existencia de Solucoes em Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

    2.7 Mudancas de Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3672.7.1 Equacoes que nao Contem y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3672.7.2 Equacoes que nao Contem t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3682.7.3 Equacoes de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3702.7.4 Outras Mudancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

    Julho 2011 Reginaldo J. Santos

  • vi Sumario

    Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3742.8 Respostas dos Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

    3 Transformada de Laplace 4463.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

    3.1.1 Demonstracao da Injetividade da Transformada de Laplace . . . . . . . . .