INTRODUC¸AO˜ AS` EQUAC¸OES˜ DIFERENCIAIS ORDINARIAS´ 340/2016-I/slides/Apostila-EDO - MAT... ·…

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INTRODUCAO AS EQUACOES DIFERENCIAISORDINARIAS

Reginaldo J. SantosDepartamento de Matematica-ICEx

Universidade Federal de Minas Geraishttp://www.mat.ufmg.br/~regi

Julho 2007

http://www.mat.ufmg.br/~regi

Introducao as Equacoes Diferenciais OrdinariasCopyright c 2007 by Reginaldo de Jesus Santos (071023)

Nenhuma parte desta publicacao podera ser reproduzida por qualquer meio sem a previaautorizacao, por escrito, do autor.

Editor, Coordenador de Revisao, Supervisor de Producao, Capa e Ilustracoes:Reginaldo J. Santos

Ficha Catalografica

Santos, Reginaldo J.S237i Introducao as Equacoes Diferenciais Ordinarias / Reginaldo J. Santos

- Belo Horizonte: Imprensa Universitaria da UFMG, 2007.

1. Equacoes Diferenciais I. Ttulo

CDD: 515.3

Conteudo

Prefacio viii

1 Equacoes Diferenciais de 1a. Ordem 11.1 Introducao as Equacoes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Classificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Equacoes Ordinarias de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Equacoes Lineares de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Equacoes em que p(t) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Equacoes Lineares - Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3 Por que o Fator Integrante deve ser (t) = e

p(t)dt ? . . . . . . . . . . . . . . 19

Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

iii

iv Conteudo

1.3 Equacoes Separaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4 Equacoes Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.4.1 Fatores Integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.5 Substituicoes em Equacoes de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.5.1 Equacoes Homogeneas de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.5.2 Equacoes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.5.3 Equacoes de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.5.4 Outras Substituicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.6 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.6.1 Dinamica Populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.6.2 Datacao por Carbono 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.6.3 Juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731.6.4 Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.6.5 Lei de Resfriamento de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901.6.6 Lei de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931.6.7 Resistencia em Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971.6.8 Circuitos Eletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041.6.9 Trajetorias Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

1.7 Analise Qualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221.7.1 Equacoes Autonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221.7.2 Campo de Direcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Introducao as Equacoes Diferenciais Ordinarias Julho 2007

Conteudo v

Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1341.8 Existencia e Unicidade de Solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

1.8.1 Demonstracao do Teorema de Existencia e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . 142Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

1.9 Respostas dos Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2 Equacoes Diferenciais Lineares de 2a. Ordem 2622.1 Equacoes Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

2.1.1 Solucoes Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2642.1.2 Formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2722.1.3 Obtendo uma Segunda Solucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2742.1.4 Equacoes Homogeneas com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . 278Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

2.2 Equacoes Nao-Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2922.2.1 Metodo de Variacao dos Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2952.2.2 Equacoes Nao-Homogeneas com Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . 301Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

2.3 Oscilacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3132.3.1 Oscilacoes Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3152.3.2 Oscilacoes Forcadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3292.3.3 Circuitos Eletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

2.4 Solucoes em Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3482.4.1 Demonstracao do Teorema de Existencia de Solucoes em Series . . . . . . . . 365Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

Julho 2007 Reginaldo J. Santos

vi Conteudo

2.5 Mudancas de Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3792.5.1 Equacoes que nao Contem y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3792.5.2 Equacoes que nao Contem t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3802.5.3 Equacoes de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3822.5.4 Outras Mudancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

2.6 Respostas dos Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

3 Transformada de Laplace 4613.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4773.2 Problemas de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4843.3 Equacoes com Termo Nao-Homogeneo Descontnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4993.4 Transformada de Laplace do Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5133.5 Convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5233.6 Tabela de Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5253.7 Respostas dos Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

4 Sistemas de Equacoes Diferenciais Lineares 5804.1 A Matriz A e Diagonalizavel em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

4.1.1 Sistema com 2 Equacoes e 2 Incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5884.1.2 Sistema com n Equacoes e n Incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

Introducao as Equacoes Diferenciais Ordinarias Julho 2007

Conteudo vii

4.1.3 Como Encontrar as Matrizes P e D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

4.2 A Matriz A e Diagonalizavel em C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6094.2.1 Sistema com 2 Equacoes e 2 Incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6094.2.2 Sistema com n Equacoes e n Incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6134.2.3 Como Encontrar as Matrizes P e D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

4.3 A Matriz A nao e Diagonalizavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6294.3.1 Sistema com 2 Equacoes e 2 Incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6294.3.2 Sistema com n Equacoes e n Incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.3.3 Como Encontrar as Matrizes P e J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .