INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES INTEGRO-DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES INTEGRO-DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES INTEGRO-DIFERENCIAIS

CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM: RC, RLRESPOSTA NATURAL e FORÇADA

CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM: RLC SÉRIE e PARALELO

RESPOSTA NATURAL RESPOSTA SUPERAMORTECIDARESPOSTA SUBAMORTECIDARESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA

CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM: RC, RLRESPOSTA NATURAL e FORÇADA

CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM: RLC SÉRIE e PARALELO

RESPOSTA NATURAL RESPOSTA SUPERAMORTECIDARESPOSTA SUBAMORTECIDARESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA

INTRODUÇÃO

Com a chave no lado esquerdo o capacitor recebe carga da bateria.

Chave no lado direitoo capacitor se descarregaatravés da lâmpada.

dxxfetxetxet

tTH

xtt

)(1

)()(0

0

0

RESPOSTA GERAL: CIRCUITO DE PRIMEIRA ORDEM

0)0(; xxfxdt

dxTH

IncluIindo a condição inicialno modelo do capacitor (tensão)ou no indutor (corrente):

Resolvendo a equação diferencial, usando o fator de integração, tem-se:

dxxfetxetxt

t

TH

xttt

)(1

)()(0

0

0

0)0();()()( xxtftaxtdt

dx

t

e

/*

É denominada de constante de tempo e esta associada a resposta do circuito.

É denominada de constante de tempo e esta associada a resposta do circuito.

CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM COMFONTES CONSTANTES

0)0(; xxfxdt

dxTH

0

)()( 0

tt

THTH eftxftx

0tt

A forma da solução é:

021 ;)(0

tteKKtxtt

Qualquer variável do circuito éda forma:

021 ;)(0

tteKKtytt

Somente os valores das constantes K1, K2 podem mudar

TRANSIENTE

TEMPOCONSTANTE

EVOLUÇÃO DO TRANSIENTE E A INTERPRETAÇÃO DA CONSTANTE DE TEMPO

VISÃO QUALITATIVA:MENOR CONSTANTE DE TEMPOMAIS RÁPIDO O TRANSITÓRIODESAPARECE

Erro menor que 2% Transiente é zeroa partir deste ponto

Descarrega de 0.632 do valorInicial em uma constante de tempo

Tangente atinge o eixo x no valor da constante de tempo

CRTH

CONSTANTE DE TEMPO

vS

R S a

b

C

+

vc

_

Carga em um capacitor

THCC

TH vvdt

dvCR

O modelo:

0)0(, CSS vVv

Assume

A solução pode ser escrita como:

t

SSC eVVtv

)(

CRTH

transiente

Para efeitos práticos, o capacitor é“carrregado” quando o transitórioé insignificante.

0067.0

0183.00498.0135.0

5

432

368.0

t

et

dt

dvC C

S

SC

R

vv

0S

SCc

R

vv

dt

dvC

: KCL@a

ASSUME FIND 2)0(.0),( SVvttv

)(tv @KCL USE 0.t FORMODEL

0)()(

tdt

dvC

R

Vtv S

2/)0( SVv condition initial

PASSO 1 CONSTANTE DE TEMPO

fydt

dy

PASSO 2 ANÁLISE DO ESTADO INICIAL

value)state(steady ,t and 0for

IS SOLUTION

1

21 0,)(

Kv(t)

teKKtvt

NO ESTADO INICIAL A SOLUÇÃO É UMACONSTANTE. A DERIVADA É ZERO.

SVK

1

values)statesteady (equating

fKfydt

dy 1 THEN ISMODEL THE IF

PASSO 3 USO DA CONDIÇÃO INICIAL

1221 )0()0(

0

KvKKKv

t

AT

fvK )0(2 2/2/)0( 2 SS VKVv

0,)2/()(

teVVtv RC

t

SS :ANSWER

EXAMPLE

sVtvtdt

dvRC )()(

R/*

)(ti

0),( tti FIND0t FORKVL USE MODEL.

Rv

Lv)(ti

KVL

)()( tdt

diLtRivvV LRS

0)0()0()0(

0)0(0

iii

it

inductor

CONDITIONINITIAL

PASSO 1R

Vtit

dt

di

R

L S )()( R

L

PASSO 2 ESTADO INICIALR

VKi S 1)(

PASSO 3 CONDIÇÃO INICIAL

21)0( KKi

R

Lt

S eR

Vti 1)( :ANS

EXAMPLE

)0();(

0,)(

211

21

xKKxK

teKKtxt

0t FORKCL MODEL.

)()(

tiR

tvIS

)(tv

)()( tdt

diLtv )()( tit

dt

di

R

LIS

PASSO 1

PASSO 2 SS IKIi 1)(

PASSO 3 210)0( KKi

R

Lt

S eIti 1)( :ANS

0)0( i :CONDITIONINITIAL

R

L

PROBLEMA

0t FORMODEL

2

)()(

R

tvti

É MAIS SIMPLES DETERMINAR ATRAVÉSDO MODELO DE TENSÃO

0t FOR STATESTEADY IN CIRCUIT INITIAL CONDITIONS

VvVkk

kvC 4)0(4)12(

63

3)0(

0)(

)(

||;0)(

)()(

2121

P

P

R

tvt

dt

dvC

RRRR

tvt

dt

dvC

R

tv

kkkRP 26||3

sFCRP 2.0)10100)(102( 63 PASSO 1

PASSO 2 0)( 1 Kv

PASSO 3 VKVKKv 44)0( 221

0],[4)( 2.0

tVetvt

0],[3

4)( :ANS 2.0

tmAeti

t

0,)( 21

teKKtit

0),( ttvO FIND

C

1R

2R

KCL USE 0.t FORMODEL

0)()(0)( 2121

cCCC vt

dt

dvCRR

RR

vt

dt

dvC

sFCRR 6.0)10100)(106()( 6321 PASSO 1

)(3

1)(

42

2)( tvtvtv CCO

PASSO 20,)( 21

teKKtv

t

C 01 K

CONDIÇÃO INICIAL. CIRCUITO NO ESTADO INICIAL t<0

)0(Cv V)12(

9

6

][88)0( 221 VKKKvC PASSO 3

0],[8)( 6.0

tVetvt

C

0],[3

8)( 6.0

tVetv

t

O

EXEMPLO

)(tvc DETERMINE

)0();(

0,)(

1211

21

iKKvK

teKKtv

C

t

C

0),(1 tti FIND

KVL USE 0.t FORMODEL

0)(18 11 ti

dt

diL

L

0)()(9

11

1 titdt

di

)0();(

0,)(

12111

211

iKKiK

teKKtit

PASSO 1 s9

1

PASSO 2 01 K

CONDIÇÃO INICIALCORRENTE NO INDUTOR PARA t<0

)0(1 i

CIRCUITO NO ESTADO INICIAL

AV

i 112

12)0(1

PASSO 3

][1)0()0( 22111 AKKKii

0],[][)( 991

1

tAeAeti t

t

:ANS

)(1 ti

Lv

EXEMPLO

CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM

EQUAÇÃO BÁSICA

Simples Nó: Uso KCL

Ri Li Ci

0 CLRS iiii

)();()(1

;)(

0

0

tdt

dvCitidxxv

Li

R

tvi CL

t

tLR

SL

t

t

itdt

dvCtidxxv

LR

v )()()(

10

0

Diferenciando

dt

di

L

v

dt

dv

Rdt

vdC S 1

2

2

Malha simples: Uso KVL

Rv

Cv

Lv

0 LCRS vvvv

)();()(1

; 0

0

tdt

diLvtvdxxi

CvRiv LC

t

tCR

dt

dv

C

i

dt

diR

dt

idL S2

2

SC

t

t

vtdt

diLtvdxxi

CRi )()()(

10

0

EXEMPLO LYRESPECTIVE FOR EQUATIONAL DIFFERENTI THE WRITE ),(),( titv

0

00)(

tI

tti

SS

Si

MODEL O PARA RLC PARALELO

dt

di

L

v

dt

dv

Rdt

vdC S 1

2

2

0;0)( ttdt

diS

01

2

2

L

v

dt

dv

Rdt

vdC

Sv

00

0)(

t

tVtv S

S

MODELO PARA RLC SÉRIE

dt

dv

C

i

dt

diR

dt

idL S2

2

0;0)( ttdt

dvS

02

2

C

i

dt

diR

dt

idL

A RESPOSTA DA EQUAÇÃO

)()()()( 212

2

tftxatdt

dxat

dt

xd

EQUATION

THE FOR SOLUTIONS THESTUDY WE

solutionary complement

solution particular

:KNOWN

c

p

cp

x

x

txtxtx )()()(

0)()()( 212

2

txatdt

dxat

dt

xdc

cc

SATISIFES

SOLUTIONARY COMPLEMENT THE

SE A FUNÇÃO FORÇADA É UMA CONSTANTE

solution particular a is 2

)(a

AxAtf p

Axadt

xd

dt

dx

a

Ax p

ppp 22

2

2

0 :PROOF

)()(

)(

2

txa

Atx

Atf

c

FUNCTION FORCING ANY FOR

0)(4)(2)(2

2

txtdt

dxt

dt

xd

EXEMPLO

0)(16)(8)(4 2

2

txtdt

dxt

dt

xd

FREQUENCYNATURAL

ANDRATIO DAMPING EQUATION,

STICCHARACTERI THE DETERMINE

COEFICIENTE DA SEGUNDA DERIVADA

0)(4)(2)(2

2

txtdt

dxt

dt

xd

2nn2

0422 ss

EQUATION STICCHARACTERI

RAZÃO DE DECAIMENTO, FREQ. NATURAL

2 n

5.0

A EQUAÇÃO HOMOGÊNEA

0)()()( 212

2

txatdt

dxat

dt

xd

0)()(2)( 22

2

txtdt

dxt

dt

xdnn

FORM NORMALIZED

2

11

22

2

22

a

aa

aa

n

nn

ratio damping

frequency natural (undamped)

n

02 22 nnss


ANALISE DA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA

0)()(2)( 22

2

txtdt

dxt

dt

xdnn

FORM NORMALIZED

02

)(22

nn

st

ss

Ketx

iff solution a is

stst Kesdt

xdsKet

dt

dx 22

2

;)( :PROOF

stnnnn Kesstxt

dt

dxt

dt

xd)2()()(2)( 222

2

2

02 22 nnss


roots)distinct and (real :1 CASE 1tsts eKeKtx 21

21)( roots) conjugate(complex :2 CASE 1

d

nn

js

js

21

tAtAetx ddt sincos)( 21

tjttjst dndn eeee )( :HINTtjte dd

tj d sincos

roots) equal and (real 1 :3 CASE ns

tnetBBtx 21)(

)022()02( 22 nnn

st

sANDss

te

iff solution is :HINT

tsts eKeKtx 2121)(

frequency noscillatio dampedd

*12)( KKtx real

tj

d

deKtxjs

KK )(1

*12 Re2)(

2/)( 211 jAAK ASSUME

1

0)()(

2

222

2222

nn

nnn

nnn

s

s

s

(modes of the system)

factor damping

EXEMPLO

0)(4)(4)(2

2

txtdt

dxt

dt

xd

0442 ss


0)2(044 22 sss

242 nn 142 n

system 3) (case damped critically a is this

t

st

etBBtx

etBBtx2

21

21

)()(

)()(

DETERMINAR A FORMA DA SOLUÇÃO GERAL

0)(16)(8)(4 2

2

txtdt

dxt

dt

xd

0)(4)(2)(2

2

txtdt

dxt

dt

xd

242 nn 5.022 n

system 2) (case dunderdampe

325.0121;1 2 ndn

tAtAetx

tAtAetxt

ddt

3sin3cos)(

sincos)(

21

21

3103)1(42 22 jssss

Raizes reais e iguaisRaizes complexas conjugadas

CRITICAMENTE AMORTECIDOCRITICAMENTE AMORTECIDOSUBAMORTECIDOSUBAMORTECIDO

PROBLEMA

FCHLR

RLC

2,2,1 WITH CIRCUIT PARALLEL

01

2

2

L

v

dt

dv

Rdt

vdC 02

2

C

i

dt

diR

dt

idL

042

1

02

2

2

2

2

2

v

dt

dv

dt

vd

v

dt

dv

dt

vd

016

3)

4

1(

4

1

222 s

ss

2

1

4

1;

2

1 nn

tAtAetv

t

c 4

3sin

4

3cos)( 21

4

4

3

4

11

2

11 2 nd

FFFCHLR

RLC

2,1,5.0,1;2 WITH CIRCUIT SERIES

EQUAÇÃO HOMOGÊNEA

022

2

C

i

dt

di

dt

id

valuesreplace& L/:

CC nn 22;1

C=0.5 subamortecidoC=1.0 criticamente amortecidoC=2.0 superamortecido

Classificar a resposta paraum dado valor de C

4

1

EXEMPLOFCHLR 5

1,5,2 VvAi CL 4)0(,1)0(

t

L dt

dvCidxxv

LR

v

0

0)0()(1

011

2

2

vLCdt

dv

RCdt

vd

015.22 ss


25.1;1 n

2

5.15.2

2

4)5.2(5.2 2

s

tt eKeKtv 5.02

21)(

To determine the constants we need

)0();0( dt

dvv

Vvvv CC 4)0()0()0( 0t KCL AT

0)0()0()0(

dt

dvCi

R

vL

C

5)5/1(

)1(

)5/1(2

4)0(

dt

dv

2;255.02

421

21

21

KKKK

KK

0;22)( 5.02 teetv tt

RiLi Ci

0 CLR iii

PASSO 1 MODELO

PASSO 2

PASSO 3RAIZES

PASSO 4FORMA DASOLUÇÃO

PASSO 5: OBTER AS CONSTANTES

)0(),0( LC iv FIND GIVEN NOT IF

ANALIZARCIRCUITOt=0+

%script6p7.m%plots the response in Example 6.7%v(t)=2exp(-2t)+2exp(-0.5t); t>0t=linspace(0,20,1000);v=2*exp(-2*t)+2*exp(-0.5*t);plot(t,v,'mo'), grid, xlabel('time(sec)'), ylabel('V(Volts)')title('RESPONSE OF OVERDAMPED PARALLEL RLC CIRCUIT')

USO DO MATLAB PARA VISUALIZAR A RESPOSTA

SUPERAMORTECIDOSUPERAMORTECIDO

EXAMPLO FCHLR 04.0,1,6

VvAi CL 4)0(;4)0(

t

CvdxxiC

tdt

diLtRi

0

0)0()(1

)()(

0)(1

)(2

2

tiLC

tdt

di

L

R

dt

id

0)(25)(62

2

titdt

di

dt

id

02562 ss :Eq. Ch.6.062

5252

n

nn

432

100366js :roots d

)4sin4cos()( 213 tAtAeti t

Aii L 4)0()0(

)0( dt

di COMPUTE TO

)()( tdt

diLtvL

)0()0()0( CvRidt

diL 20)0(

dt

di

41 A

)4cos44sin4()(3)( 213 tAtAetit

dt

di t

24)4(320:0@ 22 AAt

0];)[4sin24cos4()( 3 tAtteti t

Rv Lv

Cv0 CLR vvv

t

CC dxxiC

vtdt

diLtRitv

0

)(1

)0()()()(

0];)[4sin224cos4()( 3 tVttetv tC

model

Form:

USO DO MATLAB PARA VISUALIZAR A RESPOSTA%script6p8.m%displays the function i(t)=exp(-3t)(4cos(4t)-2sin(4t))% and the function vc(t)=exp(-3t)(-4cos(4t)+22sin(4t))% use a simle algorithm to estimate display timetau=1/3;tend=10*tau;t=linspace(0,tend,350);it=exp(-3*t).*(4*cos(4*t)-2*sin(4*t));vc=exp(-3*t).*(-4*cos(4*t)+22*sin(4*t));plot(t,it,'ro',t,vc,'bd'),grid,xlabel('Time(s)'),ylabel('Voltage/Current')title('CURRENT AND CAPACITOR VOLTAGE')legend('CURRENT(A)','CAPACITOR VOLTAGE(V)')

SUBAMORTECIDOSUBAMORTECIDO

EXEMPL0HLFCRR 2,1,1,10 21 AiVv LC 5.0)0(,1)0(

KVL

0)()()( 1 tvtiRtdt

diL

KCL

)()(

)(2

tdt

dvC

R

tvti

0)()()(

)(1

212

2

2

tvt

dt

dvC

R

tvR

dt

vdCt

dt

dv

RL

0)()(1

)(2

211

22

2

tv

LCR

RRt

dt

dv

L

R

CRt

dt

vd

0)(9)(6)(2

2

tvtdt

dvt

dt

vd 0962 ss :Eq. Ch.

162,3 nn

22 )3(096 sss :Eq. Ch.

tBBetv t21

3)(

Vvv c 1)0()0(

)0()0(

)0()0(

0

2 dt

dvC

R

vii

t

L

KCL AT

3)0( dt

dv

11)0( Bv

63)0(3)0( 22 BBvdt

dv

0;61)( 3 ttetv t

USO DO MATLAB PARA VISUALIZAR A RESPOSTA

%script6p9.m%displays the function v(t)=exp(-3t)(1+6t)tau=1/3;tend=ceil(10*tau);t=linspace(0,tend,400);vt=exp(-3*t).*(1+6*t);plot(t,vt,'rx'),grid, xlabel('Time(s)'), ylabel('Voltage(V)')title('CAPACITOR VOLTAGE')

CRITICAMENTE AMORTECIDOCRITICAMENTE AMORTECIDO

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INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES INTEGRO-DIFERENCIAIS