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.
Introdução às Séries de Fourier
Fabiano J. Santos
Julho de 2004
Sumário
Lista de Figuras iii
1 Funções Periódicas e Séries de Fourier 11.1 Funções Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Relações de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Determinação dos Coe�cientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Exemplos de Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 O Teorema de Fourier* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Simetria ondulatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Propriedades das funções pares e ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2 Séries de Fourier de funções pares e ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.3 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Expansões periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.1 Expansões em meio período . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.2 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Séries de Fourier Complexa e Espectros Discretos 332.1 Série de Fourier Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Interpretação Matemática da Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.2 Interpretação Conceitual da Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.3 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Números Complexos - Formas de Representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Os espectros de Amplitude e de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.1 Comentários sobre os Espectros de Amplitudes e de Fases . . . . . . . . . 46
i
2.3.2 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Formulário 53
Referências Bibliográ�cas 54
ii
Lista de Figuras
1.1 Uma função periódica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Periodo e período fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Senóides: sen(x) e cos(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Onda Quadrada - Período 2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Onda Triangular - Período 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 O conceito de função seccionalmente contínua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Uma função par. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Uma função ímpar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 Função par e função ímpar no intervalo [−L, L]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10 Função periódica f(x) = x2, −1 ≤ x < 1, Período 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.11 Onda Dente de Serra - Período 2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12 Função sobre o intervalo [0, a] e sua expansão periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.13 A função f(x) = x no intervalo [0, π] e sua expansão periódica. . . . . . . . . . . . . . 281.14 Expansões par e ímpar de uma função de�nida sobre o intervalo [0, a] . . . . . . . . . . 311.15 Expansão par da função f(x) = x de�nida no intervalo [0, π]. . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1 Representação do número complexo z = x + iy no plano complexo. . . . . . . . . . . . 412.2 Alguns números complexos e suas respectivas fases (argumentos). . . . . . . . . . . . . 432.3 Alguns números complexos - forma cartesiana e forma fasorial. . . . . . . . . . . . . . 442.4 Espectro de amplitudes da onda dente de serra da Figura 1.11. . . . . . . . . . . . . . 472.5 Espectro de fases da onda dente de serra da Figura 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6 Espectro de amplitudes do Exemplo 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.7 Espectro de fases do Exemplo 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.8 Espectros do Problema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.9 Espectros do Problema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
iii
Capítulo 1
Funções Periódicas e Séries de Fourier
1.1 Funções PeriódicasUma função f é dita periódica se existe um número real positivo P , chamado período de f , talque
f(x) = f(x + P ), (1.1)para todo x no domínio de f . O grá�co de uma função periódica é obtido pela repetição dequalquer intervalo de comprimento P (Figura 1.1).
-
6
P P P
x
f(x)
Figura 1.1: Uma função periódica.
Observações:
• O período P é o comprimento do intervalo em x necessário para a imagem da função serepetir.
• Segue da equação (1.1) que se f é periódica de período P então para qualquer n inteiro
1
positivo temosf(x) = f(x + nP ),
ou seja, qualquer múltiplo inteiro positivo nP de P também é um periodo de f . O menorvalor de P que satisfaz a equação (1.1) é chamado período fundamental de f e será deno-tado por T . Qualquer outro período de f será um múltiplo inteiro do período fundamental.A Figura 1.2 ilustra tal conceito.
-
6
T
Período fundamental
P = 2T
P = 3T
x
f(x)
Figura 1.2: Periodo e período fundamental.
• a freqüência F de uma função periódica é de�nida como o inverso de seu período
F =1P
e nos dá o número de repetições (ciclos) em cada intervalo unitário em x. Se x é medidoem segundos então a freqüência F é o número de ciclos por segundo (Hertz).
• Um outro tipo de freqüência, a qual utilizaremos no estudo das Séries de Fourier, é afreqüência angular, denotada por ω, e de�nida como
ω = 2πF =2π
P.
• Se T é o periodo fundamental de f , então sua freqüência (angular) fundamental, denotadapor ω0, é dada por
ω0 =2π
T
Exemplo 1.1 A função f(x) = sen(x) é periódica com período fundamental T = 2π e freqüênciafundamental ω0 = 2π
2π = 1 (Figura 1.3)
2
Exemplo 1.2 A função f(x) = cos(x) é periódica com período fundamental T = 2π e freqüênciafundamental ω0 = 2π
2π = 1 (Figura 1.3)
Exemplo 1.3 A função constante f(x) = c tem como período qualquer número real P 6= 0 enão possui período fundamental.
-
6
0 π 2π 3π 4π−π−2π−3π−4π
x
sen(x)
cos(x)
Figura 1.3: Senóides: sen(x) e cos(x).
As duas proposições a seguir nos dão duas propriedades importantes das funções periódicas.
Proposição 1.1 : Seja f uma função periódica de período P , então:(i) f(ax), a 6= 0, é periódica de período P
a ;
(ii) f(
xb
), b 6= 0, é periódica de período bP .
Provas:(i) Suponha que P ∗ é o período de f(ax), de modo que f(ax) = f [a(x + P ∗)] = f(ax + aP ∗).
Fazendo u = ax, obtemos f(u) = f(u + aP ∗). Logo pela hipótese de que f é periódica deperíodo P , concluímos que P = aP ∗ donde P ∗ = P
a .
(ii) Suponha que P ∗ é o período de f(
xb
), de modo que f
(xb
)= f
[1b (x + P ∗)
]= f
[xb + P ∗
b
].
Fazendo u = xb , obtemos f(u) = f
(u + P ∗
b
). Logo pela hipótese de que f é periódica de
período P , concluímos que P = P ∗b donde P ∗ = bP .
Proposição 1.2 : Sejam f1 e f2 duas funções periódicas de mesmo período P ; α1 e α2 duasconstantes reais quaisquer. A função h de�nida por
h(x) = α1f1(x) + α2f2(x),
também é periódica de período P (isto é, a combinação linear de funções periódicas de mesmoperíodo também é periódica, com mesmo período das funções que foram combinadas).
3
Aqui a prova é muito simples e pode ser obtida diretamente:
h(x + P ) = α1f1(x + P ) + α2f2(x + P ) = α1f1(x) + α2f2(x) = h(x).
Exemplo 1.4 Como as funções sen(x) e cos(x) possuem ambas período 2π, pela Proposição 1.1observamos que:
(i) sen(2x) e cos(2x) possuem período 2π2 = π;
(ii) sen(
x2
)e cos
(x2
)possuem período 2× 2π = 4π.
(iii) sen(2πx) e cos(2πx) possuem período 2π2π = 1;
(iv) sen(
2πxT
)e cos
(2πxT
)possuem período 2π
2π T = T .
Além disto, ∀n ∈ Z, as funções
sen(2nπx
T
)e cos
(2nπx
T
)
possuem período2π
2nπT =
T
n.
Mas como qualquer múltiplo inteiro do período também é período, concluímos que ambas tambémpossuem período T . Finalmente, pela proposição 1.2, observamos que a função
h(x) = α1sen
(2nπx
T
)+ α2cos
(2nπx
T
)
também é periódica de período T .
Proposição 1.3 : Sejam f1, f2, . . . , fn funções periódicas de período T . Então a função
h(x) = α1f1(x) + α2f2(x) + . . . + αnfn(x),
dada pela combinação linear de f1, f2, . . . , fn também é periódica de período T . A prova é análogaà da proposição 1.2 e pode ser obtida pelo princípio da indução.
Extrapolando a proposição 1.3, sejam f1, f2, . . . , fn, . . . funções periódicas de mesmo períodoT , a série in�nita dada por
α1f1(x) + α2f2(x) + . . . + αnfn(x) + . . . ,
de�ne, para os valores de x nos quais converge, uma função periódica de período T . Assimpodemos de�nir a função
h(x) = α1f1(x) + α2f2(x) + . . . + αnfn(x) + . . . ,
4
tal que h(x) = h(x + T ). Esta última a�rmação é de fundamental importância, uma vez quetrabalharemos com séries in�nitas trigonométricas da forma
∑ancos
(2nπx
T
)+ bnsen
(2nπx
T
). (1.2)
Observe que cada termo desta série possui período T . Desta forma, para os valores de x nosquais a série converge ela de�ne uma função periódica de período T .
1.1.1 Problemas Propostos(1) Determine se cada uma das funções a seguir é ou não períódica. Caso seja determine seu
período fundamental e sua freqüência fundamental.
(a) y = cos(πx)
(b) y = tg(πx)
(c) y = x2
(d) y = sen(5x)
(e) y = cos(3πx)
(f) y = cos(nx)
(g) y = sen(nπx)
(h) y = sen(
πxT
)
(i) y = cos(3x) + sen(4x) + cos(5x)
(j) y = sen(
x3
)+cos
(x5
)+sen
(x7
)+cos
(x9
)
(2) Para cada função a seguir esboce seu grá�co para alguns valores de n. Observando este grá-�co determine se a função é ou não períódica. Caso seja determine seu período fundamentale sua freqüência fundamental.
(a) y ={
0 , 2n− 1 ≤ x < 2n1 , 2n ≤ x < 2n + 1
, n = 0, ±1, ±2, . . .
(b) y ={
(−1)n , 2n− 1 ≤ x < 2n1 , 2n ≤ x < 2n + 1
, n = 0, ±1, ±2, . . .
(3) Sejam f, g : R −→ R funções periódicas de mesmo período T . Mostre que
(a) (f + g)(x) = f(x) + g(x) é periódica de período T (isto é, a soma de duas funçõesperiódicas de mesmo período também é periódica);
(b) (f − g)(x) = f(x)− g(x) é periódica de período T (isto é, a diferença de duas funçõesperiódicas de mesmo período também é periódica);
(c) (fg)(x) = f(x)g(x) é periódica de período T (isto é, o produto de duas funçõesperiódicas de mesmo período também é periódica);
5
(4) Seja f : R −→ R uma função periódica de período T e integrável em toda a reta. Mostreque ∫ a+T
af(x)dx =
∫ b+T
bf(x)dx
(ou seja, independente do intervalo de integração o valor da integral será sempre o mesmodesde que o tamanho deste intervalo seja o próprio período da função. Geometricamenteisto é óbvio. Por quê?)
1.2 Relações de OrtogonalidadeAntes de examinarmos com mais detalhes séries trigonométricas da forma (1.2) investigaremosalgumas propriedades importantes das funções que a de�nem. Comecemos relembrando, datrigonometria elementar, as fórmulas para o seno e cosseno da soma e da diferença:
seno da soma: sen(θ + φ) = sen(θ)cos(φ) + cos(θ)sen(φ), (1.3a)cosseno da soma: cos(θ + φ) = cos(θ)cos(φ)− sen(θ)sen(φ), (1.3b)seno da diferença: sen(θ − φ) = sen(θ)cos(φ)− cos(θ)sen(φ), (1.3c)
cosseno da diferença: cos(θ − φ) = cos(θ)cos(φ) + sen(θ)sen(φ). (1.3d)A partir destas fórmulas obtemos três identidades que utilizaremos adiante no cálculo de
algumas integrais:por (1.3b) + (1.3d) obtemos: 2cos(θ)cos(φ) = cos(θ + φ) + cos(θ − φ), (1.4a)por (1.3d) − (1.3b) obtemos: 2sen(θ)sen(φ) = cos(θ − φ)− cos(θ + φ), (1.4b)por (1.3a) − (1.3c) obtemos: 2cos(θ)sen(φ) = sen(θ + φ)− sen(θ − φ). (1.4c)
Os resultados do Teorema 1.4 dado a seguir também será importante para nosso trabalhofuturo.
Teorema 1.4 (Relações de Ortogonalidade) : se m,n ∈ Z∗+ (inteiros positivos), então:∫ T
0cos
(2mπx
T
)cos
(2nπx
T
)dx =
{0 , se m 6= nT2 , se m = n
; (1.5a)∫ T
0sen
(2mπx
T
)sen
(2nπx
T
)dx =
{0 , se m 6= nT2 , se m = n
; (1.5b)∫ T
0cos
(2mπx
T
)sen
(2nπx
T
)dx = 0, ∀m,n; (1.5c)
As relações (1.5a), (1.5b) e (1.5c) são chamadas relações de ortogonalidade. Provaremos aequação (1.5a) e deixamos as provas das relações (1.5b) e (1.5c) como exercício para o leitor nosProblemas 1 (página 7) e 2 (página 7) respectivamente.
6
Prova de (1.5a)• Caso m 6= n. Utilizando a identidade (1.4a) podemos escrever:Z T
0cos
�2mπx
T
�cos
�2nπx
T
�dx =
1
2
Z T
0
�cos
�2mπx
T+
2nπx
T
�+ cos
�2mπx
T− 2nπx
T
��=
1
2
Z T
0
�cos
�2(m + n)πx
T
�+ cos
�2(m− n)πx
T
��=
1
2
�T
2(m + n)πsen
�2(m + n)πx
T
��T
0
+1
2
�T
2(m− n)πsen
�2(m− n)πx
T
��T
0
=T
4π(m + n)
�sen
�2(m + n)π
�− sen
�0
��+
T
4π(m− n)
�sen
�2(m− n)π
�− sen
�0
��= 0;
uma vez que m,n ∈ Z∗+, m 6= n, e o seno de múltiplos inteiros de π é zero.
• Caso m = n. Neste caso temos:Z T
0cos
�2nπx
T
�cos
�2πx
T
�dx =
Z T
0
�cos
�2nπx
T
��2dx
=1
2
Z T
0
�1 + cos
�4nπx
T
��dx
=1
2
�x +
T
4nπsen
�4nπx
T
��T
0
=1
2
�T +
T
4nπsen(4nπ)− 0− T
4nπsen(0)
�=
1
2
�T
�=
T
2;
uma vez que n ∈ Z∗+ e o seno de múltiplos inteiros de π é zero.
1.2.1 Problemas Propostos(1) Seguindo o mesmo raciocínio do texto, utilize a identidade (1.4b) para provar a relação de
ortogonalidade (1.5b).
(2) Seguindo o mesmo raciocínio do texto, utilize a identidade (1.4c) para provar a relação deortogonalidade (1.5c).
1.3 Séries de FourierVoltemos agora às séries trigonométricas da forma
a0
2+
∞∑
n=1
ancos
(2nπx
T
)+ bnsen
(2nπx
T
), (1.6)
7
na qual observamos que todas as in�nitas parcelas são periódicas de período T . No conjunto devalores de x para os quais a série (1.6) converge ela de�ne uma função periódica f de período T .Dizemos então que a série (1.6) é a Série de Fourier1 para f e escrevemos
f(x) ∼ a0
2+
∞∑
n=1
ancos
(2nπx
T
)+ bnsen
(2nπx
T
), (1.7)
onde os coe�cientes a0, an e bn (n ∈ Z+∗ ) são chamados Coe�cientes de Fourier. Como a função fde�nida por (1.7) possui período fundamental T, sua freqüência fundamental é ω0 = 2π
T . Assimreescrevemos a série (1.7) na forma mais conveniente
f(x) ∼ a0
2+
∞∑
n=1
ancos(nω0x
)+ bnsen
(nω0x
), (1.8)
Raciocinando no sentido inverso, seja f uma função periódica de período fundamental T efreqüência fundamental ω0 = 2π
T . Surgem duas questões:
(i) como determinar os coe�cientes de Fourier a0, an e bn para que possamos representar fpor uma série da forma (1.8)?
(ii) quais as condições que devemos impor sobre f para que tal representação seja possível?
Abordaremos agora a primeira questão para a determinação dos coe�cientes de Fourier. Asegunda, por se tratar de um assunto mais sutil, será comentada mais adiante (seção 1.4) quandojá estivermos familiarizados com as Séries de Fourier.
1.3.1 Determinação dos Coe�cientes de FourierDada uma função f periódica de período T nosso objetivo é determinar os Coe�cientes de Fourierpara esta função em particular. Em outras palavras, determinar os coe�cientes de Fourier darepresentação em Série de Fourier para a dada função. Para tal �m lançaremos mão das relaçõesde ortogonalidade anteriormente discutidas.
1Jean Baptiste Joseph Fourier, Físico-Matemático francês (1768− 1830). Fourier utilizou séries da forma (1.6)em seu famoso trabalho Théorie Analytique de la Chaleur, onde estudou os fenômenos de condução de calor.
8
• Determinação de a0: integramos2 ambos os membros de (1.8) sobre o intervalo [0, T ]:Z T
0f(x)dx =
Z T
0
�a0
2+
∞Xn=1
ancos�nω0x
�+ bnsen
�nω0x
��dx
=
Z T
0
a0
2dx +
∞Xn=1
Z T
0ancos
�nω0x
�dx +
Z T
0bnsen
�nω0x
�dx
=
�a0
2x
�T
0
+∞X
n=1
�an
nω0sen�nω0x
��T
0
−�
bn
nω0cos�nω0x
��T
0
=
�a0
2T
�+
∞Xn=1
an
nω0
�sen�nω0T
�− sen�0��− bn
nω0
�cos�nω0T
�− cos�0��
=
�a0
2T
�+
∞Xn=1
an
nω0
�sen�2nπ
�− 0
�− bn
nω0
�cos�2nπ
�− 1
�=
a0
2T,
uma vez que sen(2nπ
)= 0 e cos
(2nπ
)= 1 ∀n ∈ Z. Assim o coe�ciente a0 é dado por
a0 =2T
∫ T
0f(x)dx. (1.9a)
• Determinação de an: multiplicamos ambos os membros de (1.8) por cos(mω0x
)e inte-
gramos sobre o intervalo [0, T ]:Z T
0f(x)cos
�mω0x
�dx =
Z T
0
�a0
2cos�mω0x
�+
∞Xn=1
ancos�nω0x
�cos�mω0x
�+ bnsen
�nω0x
�cos�mω0x
��dx
=
Z T
0
a0
2cos�mω0x
�dx +
∞Xn=1
�an
Z T
0cos�nω0x
�cos�mω0x
�dx+
+ bn
Z T
0sen�nω0x
�cos�mω0x
�dx.
�Pela equação (1.5c) a segunda integral do somatório é nula. Pela equação (1.5a) a segundaintegral do somatório é nula para m 6= n e vale T
2 para m = n. Assim temosZ T
0f(x)cos
�nω0x
�dx =
a0
2nω0
�sen�nω0x
��T
0
+ anT
2
=a0
2nω0
�sen�nω0T
�− sen�0��
+ anT
2
=a0
2nω0
�sen�2nπ
�− sen�0��
+ anT
2= an
T
2,
uma vez que sen(2nπ
)= 0 ∀n ∈ Z. Assim o coe�ciente an é dado por
an =2T
∫ T
0f(x)cos
(nω0x
)dx. (1.9b)
2Uma série de funções pode ser derivada e integrada termo a termo somente se ela for uniformemente conver-gente. Este é o caso das Séries de Fourier. Veja os Capítulos 1 e 2 da referência [3].
9
• Determinação de bn: multiplicamos ambos os membros de (1.8) por sen(mω0x
)e inte-
gramos sobre o intervalo [0, T ]. Fica a cargo do leitor, Problema 7 da página 16, veri�carque
bn =2T
∫ T
0f(x)sen
(nω0x
)dx. (1.9c)
As equações (1.9a), (1.9b) e (1.9c) são chamadas Fórmulas de Euler-Fourier e se destinamao cálculo dos Coe�cientes de Fourier da série (1.8) para uma dada função f periódica de períodoT . Na dedução destas Fórmulas integramos sobre o intervalo [0, T ], mas como
f, cos(nω0x) e sen(nω0x),
onde ω0 = 2πT , são todas periódicas de mesmo período T , os resultados dos Problemas 3 (página
5) e 4 (página 6) nos mostram que tal integração poderia se dar sobre qualquer intervalo decomprimento T . Assim, para o cálculo dos coe�cientes a0, an e bn podemos integrar sobrequalquer intervalo de comprimento T ; evidentemente escolhemos o intervalo mais conveniente.
1.3.2 Exemplos de Séries de FourierResumindo nossos resultados até o momento: se f : R −→ R é uma função periódica de períodoT , então f pode ser representada por uma Série de Fourier da forma
f(x) ∼ a0
2+
∞∑
n=1
ancos(nω0x) + bnsen(nω0x) (1.10)
onde ω0 é a freqüência fundamental de f (e também da Série de Fourier), dada por ω0 = 2πT . Os
coe�cientes a0, an e bn são dados pelas Fórmulas de Euler-Fourier3
a0 =2T
∫
Tf(x)dx, (1.11a)
an =2T
∫
Tf(x)cos(nω0x)dx, n = 1, 2, . . . (1.11b)
bn =2T
∫
Tf(x)sen(nω0x)dx, n = 1, 2, . . . (1.11c)
Exemplo 1.5 Determine a representação em Série de Fourier da onda quadrada mostrada naFigura 1.4.
3A simbologiaR
T. . . dx signi�ca integração sobre um período de f .
10
-
6
0 π 2π 3π−π−2π−3π
1
−1
x
f(x)
Figura 1.4: Onda Quadrada - Período 2π.
O período desta onda quadrada é T = 2π e sua freqüência fundamental ω0 = 2πT = 1. Sua
forma analítica pode ser dada por4
f(x) ={ −1 , −π ≤ x < 0
1 , 0 ≤ x < π, f(x + 2π) = f(x).
Passemos então aos cálculos dos coe�cientes de Fourier.• Cálculo de a0: usando a equação (1.11a) temos
a0 =2
2π
Z π
−πf(x)dx =
1
π
�−Z 0
−πdx +
Z π
0dx
�= − 1
π
�x
�0−π
+1
π
�x
�π
0
= − 1
π
�0 + π
�+
1
π
�π − 0
�= −1 + 1 = 0.
• Cálculo de an: usando a equação (1.11b), com ω0 = 1, temos
an =2
2π
Z π
−πf(x)cos(nx)dx
=1
π
�−Z 0
−πcos(nx)dx +
Z π
0cos(nx)dx
�= − 1
nπ
�sen(nx)
�0−π
+1
nπ
�sen(nx)
�π
0
= − 1
nπ
�sen(0)− sen(−nπ)
�+
1
nπ
�sen(nπ)− sen(0)
�= − 1
nπ
�0 + sen(nπ)
�+
1
nπ
�sen(nπ)− 0
�= 0,
pois o seno de múltiplos inteiros de π é zero.4Uma vez que a função é periódica, devemos expressá-la analiticamente em um intervalo do tamanho de seu
período e a seguir indicar sua periodicidade. A escolha deste intervalo é arbitrária e em muitos casos a maisconveniente é o intervalo centrado na origem.
11
• Cálculo de bn: usando a equação (1.11c), com ω0 = 1, temos
bn =2
2π
Z π
−πf(x)sen(nx)dx
=1
π
�−Z 0
−πsen(nx)dx +
Z π
0sen(nx)dx
�=
1
nπ
�cos(nx)
�0−π
− 1
nπ
�cos(nx)
�π
0
=1
nπ
�cos(0)− cos(−nπ)
�− 1
nπ
�cos(nπ)− cos(0)
�=
1
nπ
�1− cos(nπ)
�− 1
nπ
�cos(nπ)− 1)
�=
2
nπ
�1− cos(nπ)
�.
pois sendo o cosseno par, cos(nπ) = cos(−nπ).
Substituindo a0 = 0, an = 0 e ω0 = 1 na equação (1.10), a representação em Série de Fourierdesta onda quadrada tem a forma
f(x) ∼∞∑
n=1
bnsen(nx),
isto é, a Série só possui termos em senos5. Substituindo o valor encontrado para bn podemosescrever
f(x) ∼∞∑
n=1
2nπ
[1− cos(nπ)
]sen(nx), (1.12a)
que é uma forma bastante desajeitada. Utilizando a equação (1) (Formulário - página 53),podemos reescrever bn como
bn ={
0 , se n é par4
nπ , se n é ímpar , (1.12b)
isto é, temos apenas termos para valores ímpares de n. Assim, utilizando os valores de bn dadospela equação (1.12b) a expansão da Série (1.12a) �ca
f(x) ∼ 4π
sen(x) +43π
sen(3x) +45π
sen(5x) +47π
sen(7x) + . . .
ou, reescrevendo-a na forma de somatório (observe que temos apenas termos ímpares)
f(x) ∼ 4π
∞∑
k=0
12k + 1
sen[(2k + 1)x
]. (1.12c)
12
-
6
¡¡
¡¡@
@@
@¡¡
¡¡@
@@
@@
@@¡
¡¡
¡@@
@@
¡¡
¡
0 1 2 3−1−2−3
1
x
f(x)
Figura 1.5: Onda Triangular - Período 2.
Exemplo 1.6 Determine a representação em Série de Fourier da onda triangular mostrada naFigura 1.5.
O período desta onda triangular é T = 2 e sua freqüência fundamental ω0 = 2πT = π. Sua
forma analítica pode ser dada por
f(x) ={ −x , −1 ≤ x < 0
x , 0 ≤ x < 1, f(x + 2) = f(x).
Passemos então aos cálculos dos coe�cientes de Fourier.• Cálculo de a0: usando a equação (1.11a) temos
a0 =2
2
Z 1
−1f(x)dx =
Z 0
−1−xdx +
Z 1
0xdx = −
�x2
2
�0−1
+
�x2
2
�10
= −�0− 1
2
�+
�1
2− 0
�=
1
2+
1
2= 1.
• Cálculo de an: usando a equação (1.11b), com ω0 = π, temos
an =2
2
Z 1
−1f(x)cos(nπx)dx
=
Z 0
−1−x cos(nπx)dx +
Z 1
0x cos(nπx)dx
Pela equação (4) (Formulário - página 53), com ω0 = π, obtemos
an = −�
x
nπsen(nπx) +
1
n2π2cos(nπx)
�0−1
+
�x
nπsen(nπx) +
1
n2π2cos(nπx)
�10
= −�
1
n2π2cos(0) +
1
nπsen(−nπ)− 1
n2π2cos(−nπ)
�+
�1
nπsen(nπ) +
1
n2π2cos(nπ)− 1
n2π2cos(0)
�= −
�1
n2π2− 1
n2π2cos(nπ)
�+
�1
n2π2cos(nπ)− 1
n2π2
�=
2
n2π2
�cos(nπ)− 1
�5Adiante, seção 1.5, veremos que isto não é uma mera coincidência.
13
• Cálculo de bn: usando a equação (1.11c), com ω0 = π, temos
bn =2
2
Z 1
−1f(x)sen(nπx)dx
=
Z 0
−1−x sen(nπx)dx +
Z 1
0x sen(nπx)dx
Pela equação (3) (Formulário - página 53), com ω0 = π, obtemos
bn = −�− x
nπcos(nπx) +
1
n2π2sen(nπx)
�0−1
+
�− x
nπcos(nπx) +
1
n2π2sen(nπx)
�10
= −�
1
n2π2sen(0)− 1
nπcos(−nπ)− 1
n2π2sen(−nπ)
�+
�− 1
nπcos(nπ) +
1
n2π2sen(nπ)− 1
n2π2sen(0)
�=
1
nπcos(nπ)− 1
nπcos(nπ) = 0
Substituindo bn = 0 e ω0 = π na equação (1.10), a representação em Série de Fourier destaonda triangular tem a forma
f(x) ∼ a0
2+
∞∑
n=1
ancos(nπx),
isto é, a Série possui o termo constante a02 e termos em cossenos6. Substituindo o valores
encontrados para a0 e an podemos escrever
f(x) ∼ 12
+∞∑
n=1
2n2π2
[cos(nπ)− 1
]cos(nπx). (1.13a)
Utilizando a equação (1) (Formulário - página 53), podemos reescrever an como
an ={
0 , se n é par− 4
n2π2 , se n é ímpar , (1.13b)
isto é, temos apenas termos para valores ímpares de n. Assim, utilizando os valores de an dadospela equação (1.13b) a expansão da Série (1.13a) �ca
f(x) ∼ 12− 4
π2cos(πx)− 4
9π2cos(3πx)− 4
25π2cos(5πx)− 4
49π2cos(7πx) + . . .
ou, reescrevendo-a na forma de somatório
f(x) ∼ 12− 4
π2
∞∑
k=0
1(2k − 1)2
sen[(2k − 1)πx
]. (1.13c)
1.3.3 Problemas Propostos(1) Refaça os cálculos do Exemplo 1.5 (página 10) integrando sobre o intervalo6Adiante, seção 1.5, veremos que isto não é uma mera coincidência.
14
(a) [0, 2π] (b) [−2π, 0] (c) [2π, 4π]
(2) Refaça os cálculos do Exemplo 1.6 (página 13) integrando sobre o intervalo
(a) [0, 2] (b) [−2, 0] (c) [2, 4]
(3) Determine a forma analítica e a representação em Série de Fourier da função periódica.
-
6
0 1 2 3−1−2−3¡
¡¡
¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
1
x
f(x)
(4) Determine a forma analítica e a representação em Série de Fourier da função periódica.
-
6
0 π 2π 3π−π−2π−3π¡
¡¡
¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
π
x
f(x)
(5) Para cada função periódica a seguir esboce seu grá�co em um intervalo de três períodos eencontre sua representação em Série de Fourier.
(a) f(x) ={
0 , −1 ≤ x < 01 , 0 ≤ x < 1
, f(x) = f(x + 2).
(b) f(x) ={
0 , −π ≤ x < 0x , 0 ≤ x < π
, f(x + 2π) = f(x).
(c) f(x) ={ −3− x , −3 ≤ x < 0
3− x , 0 ≤ x < 3, f(x) = f(x + 6).
(d) (reti�cador de meia onda) f(x) ={
0 , −π ≤ x < 0sen(x) , 0 ≤ x < π
, f(x) = f(x + 2π).
(e) (reti�cador de onda completa) f(x) = sen(x), 0 ≤ x < π, f(x) = f(x + π).
15
(6) Use a representação em Série de Fourier da onda triangular da Figura 1.5, dada pelaequação (1.13c), para mostrar que
π2
8= 1− 1
4+
19− 1
16+
125− 1
49+ . . .
(7) Veri�que a validade da equação (1.9c).
1.4 O Teorema de Fourier*Nesta seção discutiremos brevemente as funções representáveis por Séries de Fourier. Iniciamosde�nindo a seguinte notação para os limites laterais de uma função:
• limite lateral à esquerda:lim
x→a−f(x) = f(a− 0);
• limite lateral à direita:lim
x→a+f(x) = f(a + 0).
Também de fundamental importância é o conceito de função seccionalmente contínua (oufunção contínua por partes).
De�nição 1.5 (Função seccionalmente contínua) Uma função f é seccionalmente contínuaem um intervalo [a, b] se pudermos subdividir o intervalo em um número �nito de pontos
a ≤ t0 < t1 < . . . < tn ≤ b
de modo que f seja contínua em cada subintervalo aberto ti−1 < x < ti, i = 1, . . . , n (Figura1.6(a)).
Em outras palavras, f é seccionalmente contínua no intervalo [a, b] se ela é contínua em todo ointervalo, exceto em um número �nito de pontos t0 < t1 < . . . < tn deste intervalo. É importanteobservar que, pela continuidade em cada subintervalo, os limites laterais
limx→a+
i
f(x) = f(ai + 0) e limx→a−i
f(x) = f(ai − 0),
existem (são �nitos).Obviamente toda função contínua é seccionalmente contínua. Um exemplo simples de função
que não é seccionalmente contínua é a função f(x) = 1x , uma vez que os limites laterais em x = 0
são in�nitos (Figura 1.6(b)).
16
-
6
b
bb
a b x
f(x)
(a) Uma função seccionalmente contínua.
-
6
x
f(x) = 1x
(b) Uma função não seccionalmente con-tínua.
Figura 1.6: O conceito de função seccionalmente contínua.
De�nição 1.6 (Função seccionalmente diferenciável) Uma função f é dita seccionalmentediferenciável em um intervalo [a, b] se f e sua derivada f ′ são seccionalmente contínuas em [a, b].
Teorema 1.7 (Teorema de Fourier) Seja f : R −→ R uma função seccionalmente diferen-ciável e periódica de período T . Então a representação em Série de Fourier de f , dada pelaequação (1.10), converge em cada x para 1
2
[f(x− 0) + f(x + 0)
]; isto é
a0
2+
∞∑
n=1
ancos(nω0x) + bnsen(nω0x) =12[f(x− 0) + f(x + 0)
]. (1.14)
A demonstração do Teorema de Fourier está além do escopo deste texto introdutório. Vamossimplesmente comentar sobre dois aspectos importantes do Teorema.
• Para ser representável por uma Série de Fourier uma função f deve ser periódica e sec-cionalmente diferenciável. A condição de ser seccionalmente diferenciável é uma condiçãosu�ciente, mas não necessária, para que f possa ser expandida em Série de Fourier. Emoutras palavras, toda função periódica e seccionalmente contínua é representável por Sériede Fourier, mas existem funções representáveis por Série de Fourier que não são seccional-mente contínuas. Isto implica que poderíamos enfraquecer as hipóteses do Teorema demodo a cobrir um número mais amplo de funções7.
• Em termos de convergência o Teorema a�rma que a representação em Série de Fourierde uma função f converge para o ponto médio dos limites laterais de f para todo x.
7Uma discussão bastante detalhada sobre as Séries de Fourier, incluindo a demonstração do Teorema de Fourier,pode ser encontrada nos Capítulos 1, 2 e 3 da referência [3].
17
Obviamente isto implica que, nos pontos onde f é contínua a Série de Fourier convergepara a própria imagem de f ; onde f é descontínua, por exemplo onde f apresenta umsalto, a Série de Fourier converge para a média das imagens nos extremos do salto.
Exemplo 1.7 Considere a representação em Série de Fourier da onda quadrada, mostrada naFigura 1.4 (página 11), obtida no Exemplo 1.5 (página 10). Pelo Teorema de Fourier temos que:
(a) em x = π2 a função é contínua e tem imagem f
(π2
)= 1, logo sua representação em
Série de Fourier, dada pela equação (1.12c), converge para 1;
(b) em x = π a função é descontínua (apresenta um salto), logo sua representação em Sériede Fourier, dada pela equação (1.12c), converge para a média dos limites laterais em x = π,logo converge para 1
2 . Observe na Figura 1.4 que o mesmo comportamento de convergênciaocorre em x = 0,±π,±2π, . . ..
1.5 Simetria ondulatóriaDe�nição 1.8 (Função par) : uma função f : R −→ R é dita par se
f(x) = f(−x), ∀x no domínio de f.
Geometricamente, se f é par seu grá�co é simétrico em relação ao eixo y (Figura 1.7). Observeque f(a) = f(−a), f(b) = f(−b) etc.
-
6
x
f(x)
a
f(a)
−a
f(−a)
b
f(b)
−b
f(−b)
Figura 1.7: Uma função par.
Alguns exemplos de funções pares são f(x) = c (função constante), f(x) = |x| (funçãomodular), f(x) = x2, f(x) = x4, f(x) = xn para n par. Um outro exemplo importante defunção par é f(x) = cos(x) (Figura 1.3).
De�nição 1.9 (Função ímpar) : uma função f : R −→ R é dita ímpar se
f(−x) = −f(x), ∀x no domínio de f.
18
Geometricamente, se f é ímpar seu grá�co é simétrico em relação à origem (Figura 1.8). Observeque f(−a) = −f(a), f(−b) = −f(b) etc.
-
6
x
f(x)
a
f(a)
−a
f(−a)
b
f(b)
−b
f(−b)
Figura 1.8: Uma função ímpar.
Alguns exemplos de funções ímpares são f(x) = x, f(x) = x3, f(x) = xn para n ímpar. Umoutro exemplo importante de função par é f(x) = sen(x) (Figura 1.3).
Observações(i) A única função que é simultaneamente par e ímpar é a função identicamente nula f(x) = 0,
ou seja, a função cuja imagem é zero para todo o domínio;
(ii) se f é uma função ímpar que contenha 0 (zero) no domínio, então obrigatoriamente teremosf(0) = 0;
(iii) a grande maioria das funções que ocorrem não são nem pares nem ímpares. Estamosparticularmente interessados nas funções pares e ímpares pois suas representações em sériesde Fourier aparecem na resolução de equações diferenciais parcias importantes da Física-Matemática e Engenharia.
1.5.1 Propriedades das funções pares e ímparesA soma (diferença) e o produto (quociente) de funções pares e ímpares possuem propriedadesimportantes, as quais listaremos a seguir. Tais propriedades simpli�carão bastante nosso trabalhona representação em Séries de Fourier de funções pares e ímpares.
(S1) A soma (diferença) de duas funções pares é par;
(S2) a soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar;
(S3) a soma (diferença) de uma função par e uma função ímpar não é nem par nem ímpar.
19
(P1) O produto (quociente) de duas funções pares é par.
(P2) O produto (quociente) de duas funções ímpares é par.
(P3) O produto (quociente) de uma função par e uma função ímpar é ímpar
As provas são bastante simples. Provaremos P2 e deixaremos as demais como exercício parao leitor no Problema 4 (página 26).
Prova de P4Sejam I1, I2 : R −→ R duas funções ímpares, isto é I1(−x) = −I1(x) e I2(−x) = −I2(x).
• De�na o produto P (x) = I1(x)I2(x); logo temos:
P (−x) = I1(−x)I2(−x) =[−I1(x)
][−I2(x)]
= I1(x)I2(x) = P (x),
isto é, com a hipótese que I1 e I2 são ímpares, mostramos que o produto P (x) = I1(x)I2(x)satisfaz P (x) = P (−x), logo este produto é par.
• De�na o quociente Q(x) = I1(x)I2(x) ; logo temos:
Q(−x) =I1(−x)I2(−x)
=−I1(x)−I2(x)
=I1(x)I2(x)
= Q(x),
isto é, com a hipótese que I1 e I2 são ímpares, mostramos que o quociente Q(x) = I1(x)I2(x)
satisfaz Q(x) = Q(−x), logo este quociente é par.
Proposição 1.10 : Se f é uma função par integrável no intervalo [−L, L] então∫ L
−Lf(x)dx = 2
∫ L
0f(x)dx
Geometricamente a proposição é óbvia, uma vez que sendo f par a área sob a curva no intervalo[−L, 0] é igual à área sob a curva no intervalo [0, L], Figura 1.9(a). Formalmente temos:
∫ L
−Lf(x)dx =
∫ 0
−Lf(x)dx +
∫ L
0f(x)dx;
fazendo x = −t na primeira integral do membro direito, temos dx = −dt; logo∫ L
−Lf(x)dx = −
∫ 0
Lf(−t)dt +
∫ L
0f(x)dx =
∫ L
0f(t)dt +
∫ L
0f(x)dx = 2
∫ L
0f(x)dx.
20
-
6
0x
f(x)
L−L
(a) Função par: áreas nos intervalos [−L, 0] e [0, L] iguais com mesmo sinal.
-
6
x
f(x)
L
−L
(b) Função ímpar: áreas nos intervalos [−L, 0] e [0, L] iguais com sinais contrários.
Figura 1.9: Função par e função ímpar no intervalo [−L,L].
Proposição 1.11 : Se f é uma função ímpar integrável no intervalo [−L,L] então∫ L
−Lf(x)dx = 0
Geometricamente a proposição é óbvia, uma vez que sendo f ímpar a área sob a curva no intervalo[−L, 0] é igual à área sob a curva no intervalo [0, L], porém como tais áreas têm sinais contráriosa soma se cancela, Figura 1.9(b). Formalmente temos:
∫ L
−Lf(x)dx =
∫ 0
−Lf(x)dx +
∫ L
0f(x)dx;
fazendo x = −t na primeira integral do membro direito, temos dx = −dt; logo∫ L
−Lf(x)dx = −
∫ 0
Lf(−t)dt +
∫ L
0f(x)dx = −
∫ L
0f(t)dt +
∫ L
0f(x)dx = 0.
21
1.5.2 Séries de Fourier de funções pares e ímparesProposição 1.12 (Série de Fourier de uma função par) a Série de Fourier de uma funçãof , par, periódica de período T e freqüência fundamental ω0 = 2π
T , é uma série de cossenos, isto é
f(x) ∼ a0
2+
∞∑
n=1
ancos(nω0x). (1.15a)
Para a veri�cação desta proposição suponhamos que f é par e periódica de período T = 2L,onde L é o meio período.
• Calculando a0, equação (1.11a), obtemos:
a0 =2T
∫ T
0f(x)dx =
4T
∫ L
0f(x)dx, (1.15b)
uma vez que o integrando é par e pela Proposição 1.10 podemos substituir a integral nointervalo [−L,L] por duas vezes a integral no intervalo [0, L].
• Calculando an, equação (1.11b), obtemos:
an =2T
∫ T
0f(x)cos
(nω0x
)dx =
4T
∫ L
0f(x)cos
(nω0x
)dx, (1.15c)
uma vez que pela a propriedade P1 o integrando f(x)cos(nω0x
)é par e pela Proposição
1.10 podemos substituir a integral no intervalo [−L,L] por duas vezes a integral no intervalo[0, L].
• Calculando bn, equação (1.11c), obtemos:
bn =2T
∫ T
0f(x)sen
(nω0x
)dx =
2T
∫ L
−Lf(x)sen
(nω0x
)dx = 0,
uma vez que pela a propriedade P3 o integrando f(x)sen(nω0x
)é ímpar e pela Proposição
1.11 a integral se anula.
Logo, se f é par e periódica de período T , sua expansão em Série de Fourier é da forma (1.15a)(veja a representação em Série de Fourier da onda triangular do Exemplo 1.6 na página 13).
Exemplo 1.8 Determine a expansão em Série de Fourier da função periódica
f(x) = x2, −1 ≤ x < 1, f(x) = f(x + 2),
mostrada na Figura 1.10.O período da onda é T = 2 e sua freqüência fundamental ω0 = 2π
T = π. Neste caso, como aonda apresenta simetria par temos bn = 0 e devemos determinar apenas a0 e an.
22
-
6
0 1 2 3 4−1−2−3−4 x
f(x)
Figura 1.10: Função periódica f(x) = x2, −1 ≤ x < 1, Período 2.
• Cálculo de a0: substituindo T = 2, L = 1 e ω0 = π na equação (1.15b) obtemos
a0 =42
∫ 1
0x2dx = 2
[x3
3
]1
0
=23.
• Cálculo de an: substituindo T = 2, L = 1 e ω0 = π na equação (1.15c) obtemos
an =42
∫ 1
0x2cos(nπx)dx.
Usando a equação (7) (Formulário - página 53), com ω0 = π, obtemos
an =42
[x2
nπsen(nπx) +
2x
n2π2cos(nπx)− 2
n3π3sen(nπx)
]1
0
=42
[1
nπsen(nπ) +
2n2π2
cos(nπ)− 2n3π3
sen(nπ)− 0− 0− 2n3π3
sen(0)]
=4
n2π2cos(nπ)
Assim, pela equação (1.15a) com ω0 = π, a representação em Série de Fourier da função �ca
f(x) ∼ 13
+4π2
∞∑
n=1
cos(nπ)n2
cos(nπx), (1.16)
ou, usando a equação (1) (Formulário - página 53),
f(x) ∼ 13
+4π2
∞∑
n=1
(−1)n
n2cos(nπx).
23
Proposição 1.13 (Série de Fourier de uma função ímpar) a Série de Fourier de uma funçãof , ímpar, periódica de período T e freqüência fundamental ω0 = 2π
T , é uma série de senos, isto é
f(x) ∼∞∑
n=1
bnsen(nω0x). (1.17a)
Para a veri�cação desta proposição suponhamos que f é ímpar e periódica de período T = 2L,onde L é o meio período.
• Calculando a0, equação (1.11a), obtemos:
a0 =2T
∫ T
0f(x)dx =
2T
∫ L
−Lf(x)dx = 0,
uma vez que o integrando é ímpar e pela Proposição 1.11 a integral se anula.
• Calculando an, equação (1.11b), obtemos:
an =2T
∫ T
0f(x)cos
(nω0x
)dx =
2T
∫ L
−Lf(x)cos
(nω0x
)dx = 0,
uma vez que pela a propriedade P3 o integrando f(x)cos(nω0x
)é ímpar e pela Proposição
1.11 a integral se anula.
• Calculando bn, equação (1.11c), obtemos:
bn =2T
∫ T
0f(x)sen
(nω0x
)dx =
4T
∫ L
0f(x)sen
(nω0x
)dx, (1.17b)
uma vez que pela a propriedade P2 o integrando f(x)sen(nω0x
)é par e pela Proposição
1.10 podemos substituir a integral no intervalo [−L,L] por duas vezes a integral no intervalo[0, L].
Logo, se f é ímpar e periódica de período T , sua expansão em Série de Fourier é da forma(1.17a) (veja o a representação em Série de Fourier da onda quadrada do Exemplo 1.5 na página10.)
Exemplo 1.9 Determine a representação em Série de Fourier da onda dente de serra mostradana Figura 1.11.
O período da onda é T = 2π e sua freqüência fundamental ω0 = 2πT = 1. Sua forma analítica
pode ser dada porf(x) = x, se −π ≤ x < π e f(x) = f(x + 2π).
24
-
6
0 π 2π 3π−π−2π−3π
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
π
−π
x
f(x)
Figura 1.11: Onda Dente de Serra - Período 2π.
Neste caso, como a onda apresenta simetria ímpar temos a0 = an = 0 e devemos determinarapenas bn. Substituindo T = 2π, L = π e ω0 = 1 na equação (1.17b) obtemos
bn =42π
∫ π
0xsen(nx)dx =
2π
∫ π
0xsen(nx)dx,
e pela equação (3) (Formulário - página 53)
bn =2π
[−x
ncos(nx) +
1n2
sen(nx)]π
0
= − 2n
cos(nπ).
Usando a equação (1) (Formulário - página 53) bn pode ser reescrito como
bn = −2(−1)n
n.
Assim, pela equação (1.17a) com ω0 = 1, a representação em Série de Fourier da onda dentede serra �ca
f(x) ∼ −2∞∑
n=1
(−1)n
nsen(nx), (1.18)
ou na forma expandida
f(x) ∼ 21sen(x)− 2
2sen(2x) +
23sen(3x)− 2
4sen(4x) +
25sen(5x)− . . .
1.5.3 Problemas Propostos(1) Determine se as seguintes funções são pares, ímpares ou nenhum dos dois (explique).
25
(a) y = x3
(b) y = x3 − 2x
(c) y = x3 − 2x + 1
(d) y = tg(2x)
(e) y = sec(x)
(f) y = |x|3
(2) Usando as propriedades das funções pares e ímpares calcule as integrais dadas.
(a)∫ 1−1 xdx
(b)∫ 1−1 x4dx
(c)∫ π−π xsen(nx)dx
(d)∫ T
2
−T2
cos(
2nπxT
)sen
(2nπx
T
)dx
(e)∫ π−π x4sen(nx)dx
(f)∫ π−π xcos(nx)dx
(3) Nos problemas a seguir determine a representação em Série de Fourier pedida para a funçãodada. Esquematize o grá�co desta representação utilizando 3 períodos.
(a) f(x) ={
1 , 0 ≤ x < π0 , π ≤ x < 2π
, série de cossenos, T = 4π.
(b) f(x) ={
1 , 0 ≤ x < π0 , π ≤ x < 2π
, série de senos, T = 4π.
(c) f(x) ={
x , 0 ≤ x < 11 , 1 ≤ x < 2
, série de cossenos, T = 4.
(d) f(x) ={
x , 0 ≤ x < 11 , 1 ≤ x < 2
, série de senos, T = 4.
(e) f(x) = x, 0 ≤ x < π, série de cossenos, T = 2π. (Compare com o Exemplo 1.6 napágina 13.)
(f) f(x) = x, 0 ≤ x < π, série de senos, T = 2π. (Compare com o Exemplo 1.9 napágina 24.)
(4) Prove as propriedades S1, S2, S3, P1 e P3 da soma (diferença) e produto (quociente) defunções pares e ímpares da página 19 do texto. (Sugestão: veja a prova de P2 na página20).
1.6 Expansões periódicasMuitas vezes surge a necessidade de representarmos por uma Série de Fourier uma função
f : [0, a] −→ R,
isto é, uma função de�nida apenas no intervalo [0, a], Figura 1.12(a). Obviamente tal represen-tação não é possível, uma vez que f não é periódica.
26
Para contornar tal situação expandimos f periodicamente ∀x ∈ R, Figura 1.12(b), e a seguirdeterminamos a Série de Fourier desta expansão (observe que a expansão tem período a). ASérie de Fourier assim obtida, restrita ao intervalo [0, a], é a representação procurada para f8.
-
6
0 a x
f(x)
(a) f de�nida no intervalo [0, a].
-
6
0 a 2a 3a−a−2a−3a x
f(x)
(b) Expansão periódica de f .
Figura 1.12: Função sobre o intervalo [0, a] e sua expansão periódica
Exemplo 1.10 Determine a representação em Série de Fourier da função
f(x) = x, 0 ≤ x < π,
mostrada na Figura 1.13(a).Neste caso vamos determinar a Série de Fourier da expansão periódica de f , mostrada na
Figura 1.13(b), para a qual T = π e ω0 = 2.
• Cálculo de a0: usando a equação (1.11a) temos
a0 =2
π
Z π
0xdx =
2
π
�x2
2
�π
0
=
�π2
2− 0
�= π.
• Cálculo de an: usando a equação (1.11b), com ω0 = 2, temos
an =2
π
Z π
0xcos(2nx)dx =
2
π
�x
2nsen(2nx) +
1
4n2cos(2nx)
�π
0
= 0
• Cálculo de bn: usando a equação (1.11c), com ω0 = 2, temos
bn =2
π
Z π
0xsen(2nx)dx =
2
π
�− x
2ncos(2nx) +
1
4n2sen(2nx)
�π
0
= − 1
ncos(2nπ) = − 1
n
8É evidente que a Série de Fourier da expansão periódica de�ne uma outra função que não é f , acontece queno intervalo de interesse [0, a] essa função é idêntica a f .
27
Assim, pela equação (1.10) com ω0 = 2, a representação em Série de Fourier da expansãoperiódica de f �ca
f(x) ∼ π
2−
∞∑
n=1
1n
sen(2nx),
ou na forma expandida
f(x) ∼ π
2− 1
1sen(2x)− 1
2sen(4x)− 1
3sen(6x)− 1
4sen(8x)− 1
5sen(10x)− . . .
-
6
0 π¡
¡¡¡
x
f(x)
(a) f(x) = x no intervalo [0, π].
-
6
0 π 2π 3π−π−2π−3π¡
¡¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
x
f(x)
(b) Expansão periódica de f(x) = x.
Figura 1.13: A função f(x) = x no intervalo [0, π] e sua expansão periódica.
1.6.1 Expansões em meio períodoNas seções 1.5 e 1.5.2 estudamos as funções periódicas com simetrias par e ímpar e suas repre-sentações em Séries de Fourier. Vimos que:
• se f é par e periódica, então pode ser expandida em uma Série de Fourier de cossenos;
• se f é ímpar e periódica, então pode ser expandida em uma Série de Fourier de senos;
Vimos também que nestes casos as Fórmulas de Euler-Fourier que calculam os coe�cientes daSérie de Fourier, equações (1.15b) e (1.15c) na série de cossenos, equação (1.17b) na série desenos, empregam a integração em apenas meio período.
Estes fatos nos sugere outras abordagens, conhecidas como expansões em meio período, paraa representação em Série de Fourier de uma função f de�nida apenas no intervalo [0, a]:
• expansão par: a partir de f de�nimos uma nova função com simetria par sobre o intervalo[−a, a]. Estendemos esta nova função periodicamente ∀x ∈ R, Figura 1.14(b), e a seguirdeterminamos a Série de Fourier desta expansão periódica (observe que a expansão temperíodo 2a). Uma vez que tal expansão periódica tem simetria par sua Série de Fourierserá uma série de cossenos da forma (1.15a).
28
• expansão ímpar: a partir de f de�nimos uma nova função com simetria ímpar sobre ointervalo [−a, a]. Estendemos esta nova função periodicamente ∀x ∈ R, Figura 1.14(c), e aseguir determinamos a Série de Fourier desta expansão periódica (observe que a expansãotem período 2a). Uma vez que tal expansão periódica tem simetria ímpar sua Série deFourier será uma série de senos da forma (1.17a).
Nas expansões em meio período (par ou ímpar) só necessitamos conhecer a de�nição dafunção em meio período, ou seja, no intervalo [0, a], uma vez que o cálculos dos coe�cientes deuma série de cossenos ou de uma série de senos empregam integração em apenas meio período,conforme observamos nas equações (1.15b) e (1.15c) para a série de cossenos e (1.17b) para asérie de senos.
Exemplo 1.11 Determine a expansão par em meio período da função
f(x) = x, 0 ≤ x < π,
mostrada na Figura 1.13(a).A expansão par de f é mostrada na Figura 1.15. Observamos que para esta expansão temos
T = 2π e ω0 = 1.
• Cálculo de a0: usando a equação (1.15b) temos
a0 =42π
∫ π
0xdx =
2π
[x2
2
]π
0
=[π2
2− 0
]= π.
• Cálculo de an: usando a equação (1.15c), com ω0 = 1, temos
an =42π
∫ π
0
xcos(nx)dx =2π
[x
nsen(nx) +
1n2
cos(nx)]π
0
=2
n2π
[cos(nπ)− 1
]
Utilizando a equação (1) (Formulário - página 53), podemos reescrever an como
an ={
0 , se n é par− 4
n2π, se n é ímpar ,
Assim, pela equação (1.15a) com ω0 = 1, a representação em Série de Fourier da expansãopar de f �ca
f(x) ∼ π
2− 4
∞∑
k=1
1π(2k − 1)2
cos[(2k − 1)x
],
ou na forma expandida
f(x) ∼ π
2− 4
πcos(x)− 4
9πcos(3x)− 4
25πcos(5x)− 4
49πcos(7x)− 4
81πsen(9x)− . . .
29
Exemplo 1.12 Determine a expansão ímpar em meio período da função
f(x) = x, 0 ≤ x < π,
mostrada na Figura 1.13(a).A expansão ímpar de f é exatamente a onda dente de serra mostrada na Figura 1.11 da
página 25. Logo sua Série de Fourier é dada pela equação (1.18) da página 25.
1.6.2 Problemas Propostos
(1) Dada a função f(x) ={
x , 0 ≤ x < ππ , π ≤ x < 2π
,
(a) esboce o grá�co de sua expansão periódica (período T = 2π) no intervalo [−6π, 6π] eencontre sua representação em Série de Fourier;
(b) esboce o grá�co de sua expansão periódica par (período T = 4π) no intervalo [−6π, 6π]e encontre sua representação em Série de Fourier;
(c) esboce o grá�co de sua expansão periódica ímpar (período T = 4π) no intervalo[−6π, 6π] e encontre sua representação em Série de Fourier.
(2) Dada a função f(x) ={
1 , 0 ≤ x < 12− x , 1 ≤ x < 2
,
(a) esboce o grá�co de sua expansão periódica (período T = 2) no intervalo [−6, 6] eencontre sua representação em Série de Fourier;
(b) esboce o grá�co de sua expansão periódica par (período T = 4) no intervalo [−6, 6] eencontre sua representação em Série de Fourier;
(c) esboce o grá�co de sua expansão periódica ímpar (período T = 4) no intervalo [−6, 6]e encontre sua representação em Série de Fourier.
30
-
6
0 a x
f(x)
(a) Função f de�nida apenas no intervalo [0, a].
-
6
0 a 2a 3a−a−2a−3a x
f(x)
(b) Expansão par de f .
-
6
0 a 2a 3a−a−2a−3a
x
f(x)
(c) Expansão ímpar de f .
Figura 1.14: Expansões par e ímpar de uma função de�nida sobre o intervalo [0, a]
31
-
6
0 π 2π 3π−π−2π−3π¡
¡¡
¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡@
@@
@
@@
@@
@@
@@
x
f(x)
Figura 1.15: Expansão par da função f(x) = x de�nida no intervalo [0, π].
32
Capítulo 2
Séries de Fourier Complexa e EspectrosDiscretos
2.1 Série de Fourier ComplexaConforme vimos no Teorema de Fourier (página 17), se f : R −→ R é uma função seccionalmentediferenciável e periódica de período T , então f pode ser representada por uma Série de Fourierda forma
f(x) ∼ a0
2+
∞∑
n=1
ancos(nω0x) + bnsen(nω0x) (2.1)
onde ω0 é a freqüência fundamental de f (e também da Série de Fourier), dada por
ω0 =2π
T.
Os coe�cientes a0, an e bn são dados pelas Fórmulas de Euler-Fourier
a0 =2T
∫
Tf(x)dx, (2.2a)
an =2T
∫
Tf(x)cos(nω0x)dx, n = 1, 2, . . . (2.2b)
bn =2T
∫
Tf(x)sen(nω0x)dx, n = 1, 2, . . . (2.2c)
Nosso objetivo é obter uma representação em Série de Fourier em termos de funções expo-nenciais complexas da forma
einω0x, ω0 =2π
T, n ∈ Z,
33
ao invés dos termos trigonométricos da equação (2.1). Pela de�nição da função exponencialcomplexa
ex+iy = ex[cos(y) + isen(x)],
temos que
einω0x = cos(nω0x) + isen(nω0x), (2.3a)e−inω0x = cos(nω0x)− isen(nω0x), (2.3b)
uma vez que o cosseno é par, cos(θ) = cos(−θ), e o seno é ímpar, −sen(θ) = sen(−θ). Assim,por (2.3a)+ (2.3b), obtemos
cos(nω0x) =12
(einω0x + e−inω0x
); (2.4a)
e por (2.3a)− (2.3b), lembrando que 1i = −i, obtemos
sen(nω0x) = −12
i
(einω0x − e−inω0x
). (2.4b)
Substituindo as equações (2.4a) e (2.4b) no somatório da equação (2.1) obtemos∞∑
n=0
ancos(nω0x) + bnsen(nω0x) =∞∑
n=0
12
an
(einω0x + e−inω0x
)− 1
2i bn
(einω0x − e−inω0x
)
=∞∑
n=0
12(an − ibn
)einω0x +
12(an + ibn
)e−inω0x. (2.5)
Agora de�nimos o coe�ciente cn como
cn =12(an − ibn
), (2.6)
e observamos quecn =
12(an + ibn
),
de modo que a equação (2.5) pode ser reescrita como∞∑
n=0
ancos(nω0x) + bnsen(nω0x) =∞∑
n=0
cneinω0x + cne−inω0x. (2.7)
Pelas equações (2.2b) e (2.2c) observamos que
an =2T
∫
Tf(x)cos(nω0x)dx =
2T
∫
Tf(x)cos(−nω0x)dx = a−n,
bn =2T
∫
Tf(x)sen(nω0x)dx = − 2
T
∫
Tf(x)sen(−nω0x)dx = −b−n.
34
Assimcn =
12(an + ibn
)=
12(a−n − ib−n
)= c−n,
e o somatório em (2.7) pode ser reescrito como∞∑
n=0
ancos(nω0x) + bnsen(nω0x) =∞∑
n=0
cneinω0x + c−ne−inω0x,
ou simplesmente (fazendo n variar em todos os inteiros, exceto zero)∞∑
n=0
ancos(nω0x) + bnsen(nω0x) =∑
n∈Z∗cneinω0x. (2.8)
Pelas equações (2.2b) e (2.2c) o coe�ciente cn, de�nido pela equação (2.6), �ca
cn =12(an − ibn
)
=12
[2T
∫
Tf(x)cos(nω0x)dx− i
2T
∫
Tf(x)sen(nω0x)dx
]
=1T
∫
Tf(x)
[cos(nω0x)− isen(nω0x)
]dx
=1T
∫
Tf(x)e−inω0x, n ∈ Z∗ (2.9)
De�nimos também c0 = a02 , isto é,
c0 =a0
2=
12
2T
∫
Tf(x)dx =
1T
∫
Tf(x)dx. (2.10)
Usando as equações (2.8) e (2.10) a expansão de f em Série de Fourier Trigonométrica, dadapela equação (2.1), pode ser reescrita como
f(x) ∼ c0 +∑
n∈Z∗cneinω0x
ou simplesmente (fazendo n variar em todos os inteiros, inclusive zero, e lembrando que e0 = 1)
f(x) ∼∑
n∈Zcneinω0x, (2.11)
chamada de expansão em Série de Fourier Complexa (ou Exponencial) de f . Fazendo n variarem todos os inteiros, inclusive zero, e observando que (2.10) é um caso particular de (2.9) paran = 0, os coe�cientes da Série (2.11) são dados pela equação (2.9), isto é
cn =1T
∫
Tf(x)e−inω0x, n ∈ Z (2.12)
35
2.1.1 Interpretação Matemática da Série de FourierDo ponto de vista matemático, as Séries de Fourier nos mostram que o conjunto
{einω0x, ω0 =
2π
T, n ∈ Z
}
forma uma base ortonormal, de dimensão in�nita, para o espaço das funções seccionalmentediferenciávies e periódicas de período T . A equação (2.11) é exatamente a representação de umafunção deste espaço nesta base. Os coe�cientes cn de cada função base são dados pelos produtosinternos da equação (2.12). Demonstrações detalhadas destes breves comentários podem ser en-contradas em diversas referências na literatura; os leitores interessados encontrarão um excelentematerial nos Capítulos 1 e 2 da referência [3].
2.1.2 Interpretação Conceitual da Série de FourierQualquer função seccionalmente diferenciável e periódica de período T pode ser representada poruma soma (in�nita) de funções da forma
einω0x, ω0 = 2π/T, n ∈ Z.
Neste contexto denominamos as funções einω0x de harmônicos, ou seja, os constituintes fun-damentais de uma onda qualquer. Dizemos que eiω0x é o primeiro harmônico (ou harmônicofundamental, pois possui a mesma freqüência de f); ei2ω0x é o segundo harmônico (sua freqüên-cia é o dobro da freqüência de f); ei3ω0x é o terceiro harmônico (sua freqüência é o triplo dafreqüência de f); e assim por diante. A equação (2.11), chamada equação de síntese, nos dizque f pode ser sintetizada pela soma de in�nitos harmônicos cujas freqüências são múltiplosinteiros de sua freqüência fundamental. Nesta soma, a contribuição de harmônico é ponderadapelo respectivo coe�ciente cn, dado pela equação (2.12), chamada equação equação de análise.Conforme veremos adiante, o coe�ciente cn nos informa a amplitude e o ângulo de fase de cadaum dos harmônicos constituintes de f .
Exemplo 2.1 Determine a representação em Série de Fourier Complexa da onda quadrada doExemplo 1.5 (página 10) mostrada na Figura 1.4 (página 11).
Conforme vimos no Exemplo 1.5 esta onda quadrada tem período T = 2π, freqüência funda-mental ω0 = 1 e forma analítica
f(x) ={ −1 , −π ≤ x < 0
1 , 0 ≤ x < π, f(x + 2π) = f(x).
36
Substituindo ω0 = 1 na equação (2.12), cn �ca
cn =12π
∫ π
−πf(x)e−inxdx
=12π
[∫ 0
−π−e−inxdx +
∫ π
0e−inxdx
]
=12π
[1in
e−inx
∣∣∣∣0
−π
− 1in
e−inx
∣∣∣∣π
0
]
=12π
[1in
(1− einπ
)− 1
in
(e−inπ − 1
)]
=12π
[2in− 1
in
(einπ + e−inπ
)]=
12π
[2in− 2
incos(nπ)
]
=1
inπ
[1− cos(nπ)
]=
i
nπ
[cos(nπ)− 1
]. (2.13a)
Observe que c0 não pode ser calculado pela equação (2.13a), pois resultaria em divisão por zero.Logo devemos calculá-lo separadamente:
c0 =12π
∫ π
−πf(x)dx =
12π
[∫ 0
−π−dx +
∫ π
0dx
]=
12π
[−π + π
]= 0 (2.13b)
Utilizando a equação (1) (Formulário - página 53), podemos reescrever a equação (2.13a) como
cn ={
0 , se n é par− 2i
nπ , se n é ímpar . (2.13c)
Assim, substituindo ω0 = 1 na equção (2.11), a representação em Série de Fourier Complexa daonda quadrada da Figura 1.4 é dada por
f(x) ∼ −2i
π
∑
k∈Z
12k + 1
ei(2k+1)x.
ou, na forma expandida
f(x) ∼ . . .− 2i
5πe−5ix − 2i
3πe−3ix − 2i
πe−ix − 2i
πeix − 2i
3πe3ix − 2i
πe5ix − . . .
Exemplo 2.2 A partir dos coe�cientes complexos cn do Exemplo 2.1 determine os coe�cientestrigonométricos a0, an e bn.
37
Como c0 = a02 , equação (2.10), pelo resultado da equação (2.13b) temos a0 = 0. Para
determinarmos an e bn observamos, pela equação (2.6), que
cn =12(an − ibn
), (2.14a)
cn =12(an + ibn
); (2.14b)
donde
fazendo (2.14a)+(2.14b) : an = cn + cn, (2.14c)fazendo (2.14b)−(2.14a) : ibn = cn − cn. (2.14d)
Usando a equação (2.14c) e o resultado da equação (2.13a), obtemos
an =i
nπ
[cos(nπ)− 1
]+
(−i)nπ
[cos(nπ)− 1
]= 0.
Usando a equação (2.14d) e o resultado da equação (2.13a), obtemos
ibn =i
nπ
[cos(nπ)− 1
]− (−i)
nπ
[cos(nπ)− 1
]=
2i
nπ
[cos(nπ)− 1
],
logobn =
2nπ
[cos(nπ)− 1
],
e usando a equação (1) (Formulário - página 53), obtemos
bn ={
0 , se n é par4
nπ , se n é ímpar .
Observe que os resultados a0 = an = 0 já eram esperados, uma vez que a onda quadrada emquestão possui simetria ímpar. Compare este resultado com o Exemplo 1.5 na página 10.
Exemplo 2.3 Determine a representação em Série de Fourier Complexa da onda triangular doExemplo 1.6 (página 13) mostrada na Figura 1.5 (página 13).
Conforme vimos no Exemplo 1.6 esta onda triangular tem período T = 2, freqüência funda-mental ω0 = π e forma analítica
f(x) ={ −x , −1 ≤ x < 0
x , 0 ≤ x < 1, f(x + 2) = f(x).
38
Substituindo ω0 = π na equação (2.12), cn �ca
cn =12
∫ 1
−1f(x)e−inπxdx
=12
[∫ 0
−1−xe−inπxdx +
∫ 1
0xe−inπxdx
]. (2.15a)
Pela equação (5) (Formulário - página 53) com ω0 = π, a equação (2.15a) torna-se
cn =12
[−
(ix
nπ+
1n2π2
)e−inπx
∣∣0−1
+(
ix
nπ+
1n2π2
)e−inπx
∣∣10
]
=12
[− 1
n2π2+
(− i
nπ+
1n2π2
)einπ +
(i
nπ+
1n2π2
)e−inπ − 1
n2π2
],
e como, para n ∈ Z, einπ = cos(nπ) = cos(−nπ) = e−inπ, obtemos
cn =12
[− 2
n2π2+
2n2π2
cos(nπ)]
=1
n2π2
[cos(nπ)− 1
]. (2.15b)
Observe que c0 não pode ser calculado pela equação (2.15b), pois resultaria em divisão por zero.Logo devemos calculá-lo separadamente:
c0 =12
∫ 1
−1f(x)dx =
12
[∫ 0
−1−xdx +
∫ 1
0xdx
]=
12π
[−x2
2
∣∣0−1
+x2
2
∣∣10
]=
12
(12
+12
)=
12
Usando a equação (1), a equação (2.15b) torna-se
cn ={
0 , se n é par− 2
n2π2 , se n é ímpar .
Assim, substituindo ω0 = π na equção (2.11), a representação em Série de Fourier Complexa daonda triangular da Figura 1.5 é dada por
f(x) ∼ 12− 2
π2
∑
k∈Z
1(2k + 1)2
ei(2k+1)πx. (2.15c)
ou, na forma expandida
f(x) ∼ . . .− 225π2
e−5iπx − 29π2
e−3iπx − 2π2
e−iπx +12− 2
π2eiπx − 2
9π2e3iπx − 2
π2e5iπx − . . .
2.1.3 Problemas Propostos(1) Refaça os cálculos do Exemplo 2.1 (página 36) integrando sobre o intervalo
39
(a) [0, 2π] (b) [−2π, 0] (c) [2π, 4π]
(2) Refaça os cálculos do Exemplo 2.3 (página 38) integrando sobre o intervalo
(a) [0, 2] (b) [−2, 0] (c) [2, 4]
(3) A partir dos coe�cientes complexos cn do Exemplo 2.3 determine os coe�cientes trigono-métricos a0, an e bn. Compare o resultado com o Exemplo 1.6 na página 13.
(4) Para cada função periódica a seguir esboce seu grá�co em um intervalo de três períodos eencontre sua representação em Série de Fourier Complexa.
(a) f(x) ={
0 , −1 ≤ x < 01 , 0 ≤ x < 1
, f(x) = f(x + 2).
(b) f(x) ={
0 , −π ≤ x < 0x , 0 ≤ x < π
, f(x + 2π) = f(x).
(c) f(x) ={ −3− x , −3 ≤ x < 0
3− x , 0 ≤ x < 3, f(x) = f(x + 6).
(d) (reti�cador de meia onda) f(x) ={
0 , −π ≤ x < 0sen(x) , 0 ≤ x < π
, f(x) = f(x + 2π).
(e) (reti�cador de onda completa) f(x) = sen(x), 0 ≤ x < π, f(x) = f(x + π).
(5) Obtenha a representação em Série de Fourier Complexa da função periódica do Problema3 da página 15 a partir de sua representação em Série de Fourier Trigonométrica.
(6) Obtenha a representação em Série de Fourier Complexa da função periódica do Problema4 da página 15 a partir de sua representação em Série de Fourier Trigonométrica.
(7) Obtenha a representação em Série de Fourier Complexa da função periódica do Exemplo1.8 da página 22 a partir de sua representação em Série de Fourier Trigonométrica.
(8) Analise as equações (2.6) e (2.10) para se convencer que:
(a) Se f possui simetria par então os coe�cientes cn de sua expansão em Série de FourierComplexa são números reais puros;
(b) Se f possui simetria ímpar então os coe�cientes cn de sua expansão em Série de FourierComplexa são números imaginários puros;
40
2.2 Números Complexos - Formas de RepresentaçãoAntes de abordarmos os espectros discretos relembramos rapidamente alguns resultados funda-mentais sobre os números complexos. O leitor que se sente confortável com a álgebra elementare as diversas formas de representação dos números complexos pode passar diretamente para aSeção 2.3.
Números Complexos - Forma CartesianaUm número complexo é um número da forma z = x + iy, onde
• x é a parte real de z, e escrevemos x = Re[z],
• y é a parte imaginária de z, e escrevemos y = Im[z].
Os números complexos podem ser representados por pontos em um plano cartesiano. Este planoé denominado plano complexo, ou diagrama de Argand1. Dado um número complexo, grafamossua parte real no eixo horizontal (chamado eixo real) e sua parte imaginária no eixo vertical(chamado eixo imaginário). A Figura 2.1 ilustra tal representação.
-
6
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡µ
y
x
z = x + iy = (x, y)
|z|
φ
eixo real
eixo imaginário
b
Figura 2.1: Representação do número complexo z = x + iy no plano complexo.
Assim, cada número complexo z = x + iy está associado biunivocamente2 ao ponto (x, y)do plano complexo. Por esta razão, uma outra maneira de se denotar um número complexoz = x + iy é através do par ordenado (x, y), isto é,
z = x + iy = (x, y),1Jean Robert Argand (1768-1822), Matemático francês. Seu artigo sobre o plano complexo apareceu em 1806.2A cada número complexo está associado um único ponto do plano, e a cada ponto do plano está associado
um único número complexo.
41
chamada forma cartesiana do número complexo. Na forma cartesiana �ca implícito que a primeiracomponente do par ordenado é a parte real do número complexo e a segunda componente é suaparte imaginária.
A amplitude (módulo) e a fase (argumento) de um número complexoDado um número complexo z = x + iy, sua amplitude (ou módulo, ou valor absoluto, ou mag-nitude), denotada |z|, é dada por
|z| =√
x2 + y2, (2.16)isto é, a amplitude de um número complexo é a raiz quadrada da soma do quadrado da parte realcom o quadrado da parte imaginária. Geometricamente a amplitude de um número complexonos dá a distância do ponto que o representa à origem do plano complexo. Para ver isto bastaaplicar o Teorema de Pitágoras na Figura 2.1.
A fase (ou argumento) de z = x + iy, a qual denotaremos por arg(z) ou pela letra φ, é oângulo formado entre o semi-eixo real positivo e o segmento que representa |z| (Figura 2.1), epode ser obtida pela expressão
φ = arctg
(y
x
), x 6= 0, y 6= 0. (2.17)
Se a parte real x ou a parte imaginária y de um número complexo z = x + iy for nula, adeterminação de sua fase torna-se um pouco mais sutil. Vejamos as possibilidades(a) Se x = 0 nosso número complexo é da forma z = 0 + iy = iy, ou seja é um número
imaginário puro e o ponto que o representa está sobre o eixo imaginário. O valor de suafase depende do sinal da parte imaginária y:
(i) se y > 0, então arg(z) = φ = π2 (veja o número z1 na Figura 2.2);
(ii) se y < 0, então arg(z) = φ = −π2 (veja o número z2 na Figura 2.2).
(b) Se y = 0 nosso número complexo é da forma z = x+ i0 = x, ou seja é um número real puroe o ponto que o representa está sobre o eixo real. O valor de sua fase depende do sinal daparte real x:
(i) se x > 0, então arg(z) = φ = 0 (veja o número z3 na Figura 2.2);(ii) se x < 0, então arg(z) = φ = −π (veja o número z4 na Figura 2.2).
Agrupando estes resultados com a equação (2.17), a fase de um número complexo z = x + iyé dada por:
φ =
arctg( y
x
), se x 6= 0 e y 6= 0
π2 , se x = 0 e y > 0−π
2 , se x = 0 e y < 00 , se y = 0 e x > 0π , se y = 0 e x < 0
. (2.18)
42
-
6
eixo real
eixo imaginário
bz1 = i, φ = π2
bz2 = −2i, φ = −π2
bz3 = 4, φ = 0bz4 = −7, φ = π
Figura 2.2: Alguns números complexos e suas respectivas fases (argumentos).
Números Complexos - Forma Polar (ou Trigonométrica)Na Figura 2.1 observamos que x = |z|cos(φ) e y = |z|sen(φ), de modo que o número complexoz = x + iy pode ser reescrito na forma
z = x + iy = |z|cos(φ) + i |z|sen(φ),
ou sejaz = |z|[cos(φ) + isen(φ)], (2.19)
chamada forma polar ou trigonométrica de z.
Números Complexos - Forma ExponencialPela de�nição da exponencial complexa ex+iy = ex[cos(y) + isen(x)], observamos que
cos(φ) + isen(φ) = eiφ,
de modo que a forma polar dada pela equação (2.19) pode ser reescrita como
z = |z|eiφ, (2.20)
chamada forma exponencial de z.
Números Complexos - Forma FasorialUma outra maneira de se representar um número complexo é através de sua forma fasorial
z =(|z|, φ)
, (2.21)
43
isto é, através de um par ordenado onde a primeira componente nos dá a amplitude do númerocomplexo e a segunda componente nos dá sua fase. A Figura 2.3 ilustra alguns exemplos onde oprimeiro par ordenado representa o número complexo na forma cartesiana e o segundo representao número complexo na forma fasorial.
-
6
eixo real
eixo imaginário
b (2, 2) ≡ �2√2, π4
�
b(−2,−2) ≡ �2√2,− 3π4
�
b(0, 1) ≡ �1, π
2
�
b(0,−1) ≡ �1,−π
2
�b(3, 0) ≡ (3, 0)b(−3, 0) ≡ (3, π)
Figura 2.3: Alguns números complexos - forma cartesiana e forma fasorial.
2.2.1 Problemas Propostos(1) Represente cada número complexo a seguir em um mesmo plano complexo. A seguir
determine sua amplitude e sua fase e reescreva-o nas formas cartesiana, polar, exponenciale fasorial.
(a) z = 2 + 2i
(b) z = 3− 3i
(c) z = −1− i
(d) z = 2 +√
3i
(e) z = −2 +√
3i
(f) z = 1−√3i
(g) z = −1−√3i
(h) z = 2 + 2i
(i) z = 3
(j) z = −5
(k) z = 2i
(l) z = −4i
44
2.3 Os espectros de Amplitude e de FaseOs coe�cientes cn da expansão de uma função em Série de Fourier Complexa são números com-plexos. Na verdade devemos entender cn como uma função complexa de domínio discreto Z, istoé, uma função da forma
cn : Z −→ C,
que associa a cada inteiro n ∈ Z um número complexo cn ∈ C.Por se tratar de uma função, gostaríamos de representar cn na forma grá�ca cn×n. Acontece
que tal representação não é possível, uma vez que as imagens cn são complexas. Para represen-tarmos gra�camente uma função complexa discreta f : Z −→ C temos duas possibilidades.
(a) Decompomos as imagens f(n) em suas partes real e imaginária, isto é,
f(n) = Re[f(n)] + i Im[f(n)]
e a seguir os traçamos os grá�cos Re[f(n)]× n e Im[f(n)]× n separadamente. Tal repre-sentação, apesar de perfeitamente plausível, possui pouca utilidade, pois geralmente nãoestamos interessados nos comportamentos de Re[f(n)] e Im[f(n)] de forma isolada.
(b) Uma segunda possibilidade é reescrevermos f(n) na forma fasorial
f(n) =(|f(n)|, φn
)
e a seguir traçamos os grá�cos |f(n)| × n e φn × n separadamente.
Usando o segundo raciocínio podemos representar cn através de dois diagramas [4]: um paraas amplitudes (conhecido como espectro de amplitudes) e outro para as fases (conhecido comoespectro de fases):
• Espectro de amplitudes: é um diagrama onde grafamos os valores das amplitudes |cn|dos coe�cientes de Fourier versus nω0, isto é, um grá�co da forma3
|cn| × nω0.
• Espectro de fase: é um diagrama onde grafamos os valores das fases φn dos coe�cientesde Fourier versus nω0, isto é, um grá�co da forma
φn × nω0.
O próximo Exemplo ilustra a construção destes espectros.3Observamos que nos espectros de amplitudes e de fases utilizamos nω0 (isto é, múltiplos inteiros da freqüência
fundamental) como variável independente, e não simplesmente n. O motivo é simples: nω0 são exatamente asfreqüências dos (in�nitos) harmônicos que ocorrem na expansão em Série de Fourier.
45
Exemplo 2.4 Determine os espectros de amplitudes e de fases da onda dente de serra do Exem-plo 1.9 (página 24) mostrada na Figura 1.11 (página 25).
Conforme vimos no Exemplo 1.9 esta onda quadrada tem período T = 2π, freqüência funda-mental ω0 = 1 e forma analítica
f(x) = x, se −π ≤ x < π e f(x) = f(x + 2π).
Vimos também que os coe�cientes trigonométricos são a0 = an = 0 e
bn = − 2n
cos(nπ).
A partir dos coe�cientes trigonométricos usamos as equações (2.6) e (2.10) para determinar-mos cn. Pela equação (2.6) temos
cn =12(an − ibn
)=
12
[0 + i
2n
cos(nπ)]
= icos(nπ)
n, (2.22)
e pela equação (2.10) temos c0 = 0. Usando a equação (1) (Formulário - página 53) podemosreescrever a equação (2.22) como
cn =
0 , se n = 0;in , se n > 0 e n par ou se n < 0 e n ímpar,
− in , se n > 0 e n ímpar ou se n < 0 e n par,
ou na forma fasorial
cn =(|cn|, φn
)=
(0, 0) , se n = 0;(1n , π
2
), se n > 0 e n par ou se n < 0 e n ímpar,(
1n ,−π
2
), se n > 0 e n ímpar ou se n < 0 e n par,
Para obtermos o espectro de amplitudes grafamos |cn| (a primeira componente de cada parordenado da forma fasorial) em função de nω0, neste caso, em função de nπ. A Figura 2.4ilustra o espectro obtido.
Para obtermos o espectro de fases grafamos φn (a segunda componente de cada par ordenadoda forma fasorial) em função de nω0, neste caso, em função de nπ. A Figura 2.5 ilustra oespectro obtido.
2.3.1 Comentários sobre os Espectros de Amplitudes e de Fases(i) Geralmente um sinal é dado no domínio do tempo. Os espectros representam exatamente
o sinal no domínio da freqüência.
46
-
6
0b
π
b1
2π
b 12
3π
b 13
4π
b 14
5π
b 15
−π
b1
−2π
b12
−3π
b13
−4π
b14
−5π
b15
nω0
|cn|
Figura 2.4: Espectro de amplitudes da onda dente de serra da Figura 1.11.
-
6
0b π
b−π2
2π
b π2
3π
b−π2
4π
b π2
5π
b−π2
−π
bπ2
−2π
b−π2
−3π
bπ2
−4π
b−π2
−5π
bπ2
nω0
φn
Figura 2.5: Espectro de fases da onda dente de serra da Figura 1.11.
(ii) Sendo o sinal periódico no domínio do tempo os espectros de amplitudes e de fases sãoespectros discretos, uma vez que apenas os harmônicos cujas freqüências são múltiplosinteiros da freqüência do sinal (ou seja, múltiplos inteiros da freqüência fundamental) sãonecessários para sua síntese.
(iii) O espectro de amplitudes possui simetria par (veja a Figura 2.4) e o espectro de fasespossui simetria ímpar (veja Figura 2.4). A veri�cação destes resultados �ca a cargo doleitor (Problema 4). Devido a tais simetrias, algumas vezes os espectros são traçadosapenas para n ≥ 0.
(iv) Para interpretarmos o signi�cado dos espectros inicialmente observamos que cada har-
47
mônico exponencial é consituído de uma soma de harmônicos senoidais:
einω0x = cos(nω0x) + i sen(nω0x).
Usando a equação (2.20) podemos reescrever os coe�cientes cn na forma
cn = |cn|ei φn .
Assim, cada termo na Série Complexa dada pela equação (2.11) pode ser reescrito como
cneinω0x = |cn|ei φneinω0x
= |cn|ei(nω0x+φn)
= |cn|[cos(nω0x + φn) + i sen(nω0x + φn)
]
= |cn|[cos
[nω0(x +
φn
nω0)]+ i sen
[nω0(x +
φn
nω0)]]
. (2.23)
• Pela equação (2.23), a interpretação do espectro de amplitudes é imediata: nos mostraa amplitude de cada harmônico em cada uma das freqüências que constituem o sinal.Por exemplo, na Figura 2.4 o ponto
(3π, 1
3
)signi�ca que o harmônico de freqüência
3π, isto é, o harmônico ei3πx, possui amplitude 13 .
• A interpretação do espectro de fases é mais sutil: pela equação (2.23) observamos quea translação horizontal (avanço ou atraso) de cada harmônico que constitue o sinalé dada por φn
nω0. Assim, como o espectro de fases nos dá a fase dos coe�cientes cn,
para obtermos a translação horizontal de cada harmônico devemos dividir φn (a fasedo coe�ciente) por nω0 (a freqüência do harmônico). Por exemplo, na Figura 2.5 oponto
(3π,−π
2
)signi�ca que o harmônico de freqüência 3π, isto é, o harmônico ei3πx,
deve ter sua fase atrasada (deslocada para a direita) de π/23π = 1
6 radianos na síntesedo sinal.
De posse dos espectros de amplitudes e de fases do sinal é possível obtermos sua representaçãoem Série de Fourier, bastando reescrever os coe�cientes cn na forma exponencial dada pelaequação (2.20). Assim
cn = |cn|ei φn , (2.24)onde |cn| é obtido a partir dos espectros de amplitudes e φn é obtido a partir do espectro defases. O próximo Exemplo ilustra este procedimento.
Exemplo 2.5 Obtenha a representação em Série de Fourier do sinal cujos espectros são dadosnas Figuras 2.6 e 2.7
48
-
614
b
π
b 2π2
2π
b3π
b 29π2
4π
b5π
b 125π2
6π
b7π
b 149π2
−π
b
−2π
b−3π
b
−4π
b−5π
b
−6π
b−7π
b
nω0
|cn|
Figura 2.6: Espectro de amplitudes do Exemplo 2.5.
Pelo espectro de amplitudes (Figura 2.6) observamos que
|cn| =
14 , se n = 00 , se n é par2
n2π2 , se n é ímpar; (2.25a)
e pelo espectro de fases (Figura 2.7)
φn ={
0 , se n é parπ , se n é ímpar . (2.25b)
Usando a equação (2.24), as equações (2.25a) e (2.25b) podem ser combinadas para obtermos(lembrando-se que eiπ = cos(π) + isen(π) = −1)
cn =
14 , se n = 00 , se n é par
− 2n2π2 , se n é ímpar
. (2.25c)
Assim, de acordo com a equação (2.11), observando nos espectros que ω0 = π), a represen-tação em Série de Fourier complexa deste sinal é dada por4
f(x) ∼ 14− 2
π2
∑
k∈Z
1(2k + 1)2
ei(2k+1)πx.
4Compare com a equação (2.15c).
49
-
6
−7π −6π −5π −4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π 5π 6π 7π
b b b b b b b b
b b b b b b b
π
nω0
φn
Figura 2.7: Espectro de fases do Exemplo 2.5.
ou, na forma expandida
f(x) ∼ . . .− 225π2
e−5iπx − 29π2
e−3iπx − 2π2
e−iπx +14− 2
π2eiπx − 2
9π2e3iπx − 2
25π2e−5iπx − . . .
Para obtermos os coe�cientes trigonométricos inicialmente observamos, pela equação (2.25c),que cn = cn. Assim, pela equação (2.14c) temos
an = cn + cn ={
0 , se n é par− 4
n2π2 , se n é ímpar ,
e pela equação (2.14d)ibn = cn − cn = 0, donde bn = 0.
Finalmente, pela equação (2.10), temos a0 = 12 . Assim, de acordo com a equação (2.1), a
representação em Série de Fourier trigonométrica deste sinal é dada por5
f(x) ∼ 14− 4
π2
∞∑
k=1
1(2k − 1)2
cos [(2k − 1)πx] .
ou, na forma expandida
f(x) ∼ 12− 4
π2cos(πx)− 4
9π2cos(3πx)− 4
25π2cos(5πx) + . . .
5Compare com a equação (1.13c).
50
2.3.2 Problemas Propostos(1) A partir dos coe�cientes complexos obtidos no Exemplo 2.1 (página 36), trace os espectros
de amplitudes e de fases da onda quadrada da Figura 1.4 (página 11).
(2) A partir dos coe�cientes complexos obtidos no Exemplo 2.3 (página 38), trace os espectrosde amplitudes e de fases da onda triangular da Figura 1.5 (página 13).
(3) A partir dos coe�cientes complexos obtidos no Problema 7 (página 40), trace os espectrosde amplitudes e de fases da onda da Figura 1.10 (página 23).
(4) Mostre que os espectros de amplitudes sempre possui simetria par e o espectro de fasessempre possui simetria ímpar.
-
6
nω0
|cn|
a 12
a 2π
π
a2π
a 23π
3π
a4π
a 25π
5π
a6π
a 27π
7π
a8π
(a) Espectros de amplitudes do Problema 5.
-
6
nω0
φn
a π2
π
a2π
a
3π
a4π
a
5π
a6π
a
7π
a8π
(b) Espectros de fases do Problema 5.
Figura 2.8: Espectros do Problema 5.
(5) Obtenha a representação em Série de Fourier (Complexa e Trigonométrica) do sinal cujosespectros são dados na Figura 2.8.
(6) Obtenha a representação em Série de Fourier (Complexa e Trigonométrica) do sinal cujosespectros são dados na Figura 2.9.
(7) Mostre que para uma função periódica um atraso τ no tempo não tem nenhum efeito sobreo espectros de amplitudes mas altera o espectro de fases por −nω0τ , isto é, gera um atrasode nω0τ para a componenete de freqüência nω0.
51
-
6
nω0
|cn|
a
a 1
1
a 12
2
a 13
3
a 14
4
a 15
5
(a) Espectros de amplitudes do Problema 6.
-
6
nω0
φn a π4
1
a−π4
2
a
3
a
4
a
5
(b) Espectros de fases do Problema 6.
Figura 2.9: Espectros do Problema 6.
52
Formulário
Resumimos aqui alguns resultados e algumas primitivas correntemente utilizadas quando tra-balhamos com Séries de Fourier. Sugerimos ao leitor veri�car a veracidade de cada um destesresultados quando utilizá-los pela primeira vez.
(1) cos(nπ) = (−1)n ={
1 , se n é par−1 , se n é ímpar , ∀n ∈ Z.
(2) sen(nπ) = 0, ∀n ∈ Z.
(3)∫
xsen(nω0x)dx = − xnω0
cos(nω0x) + 1n2ω2
0sen(nω0x).
(4)∫
xcos(nω0x)dx = xnω0
sen(nω0x) + 1n2ω2
0cos(nω0x).
(5)∫
xe−inω0xdx =(
ixnω0
+ 1n2ω2
0
)e−inω0x.
(6)∫
x2sen(nω0x)dx = − x2
nω0cos(nω0x) + 2x
n2ω20
sen(nω0x) + 2n3ω3
0cos(nω0x).
(7)∫
x2cos(nω0x)dx = x2
nω0sen(nω0x) + 2x
n2ω20
cos(nω0x)− 2n3ω3
0sen(nω0x).
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Referências Bibliográ�cas
[1] [Boyce1990] Boyce, Willian E.; Diprima, Richard C. Equações Diferenciais Elementarese Problemas de Valores de Contorno. Terceira Edição. Editora Guanabara Koogan S.A.Rio de Janeiro, RJ, 1990.
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[3] [Djairo1977] Figueiredo, Djairo Guedes. Análise de Fourier e Equações DiferenciaisParciais. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1977 (ProjetoEuclides).
[4] [Hsu1970] Hsu, Hwei P. Análise de Fourier. Livros Técnicos e Cientí�cos Ltda. Rio deJaneiro, Guanabara, 1970.
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