«A Matemática é uma grande aventura nas ideias; a sua história reflecte alguns dos mais nobres pensamentos de inúmeras gerações.»

Os matemáticos do século XX desempenham uma actividade intelectual altamente sofisticada, que não é fácil de definir, mas boa parte do que hoje se chama matemática deriva de ideias que originalmente estavam centradas nos conceitos de número, grandeza e forma. Definições antiquadas da matemática como uma “ciência do número e grandeza” já não são válidas, mas sugerem as origens dos diversos ramos da matemática. O nosso trabalho é uma “ Breve História das Equações Algébricas ”. Para tal, vamos fazer um estudo sobre a evolução da resolução de equações ao longo dos tempos de que há memória, dando mais importâncias às civilizações cujo contributo foi maior.

(5000 -3000 A.C.)

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CONTEXTO HISTÓRICO

Durante o quinto, quarto e terceiro milénios A.C. surgiram formas de sociedade tecnicamente mais evoluídas, das quais se destaca o Egipto.

O Egipto ocupava uma extensa região ao longo do Vale do Nilo.

Mapa do Egipto

As matemáticas egípcias surgiram como uma ciência prática com o objectivo de facilitar o cálculo do calendário, a administração de colheitas, a organização das obras públicas e a cobrança de impostos. A ênfase inicial foi dada à aritmética prática e à medição.

Há um limite para a quantidade de informação matemática que se pode retirar de calendários e pedras tumulares, e as informações sobre a matemática egípcia seriam muito imprecisas se dependessem apenas do material de origem cerimonial e astronómica. Felizmente, existem outras fontes de informação: um certo número de papiros egípcios que de algum modo resistiu ao desgaste do tempo por mais de três milénios e

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meio. Os documentos originais de conteúdo matemático não são muitos, apenas cerca de uma dúzia.

Deles destacam-se os seguintes:

Papiro de Rhind; Papiro de Moscovo; Papiro de Kahum; Papiro de Berlim; O rolo de couro das matemáticas egípcias.

Papiro de Rhind

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

Os egípcios possuíam já um sistema de numeração decimal.

Os problemas egípcios podem ser do tipo aritmético, mas há outros que merecem a designação de algébricos.

Não se referem a objectos concretos, nem exigem operações entre números conhecidos. Em vez disso, pedem o que equivale a soluções de equações lineares, da forma

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x + ax = b ou x + ax + bx = c

onde a, b e c são conhecidos e x é desconhecido. A incógnita é chamada pelos egípcios de «aha».

Para determinar uma quantidade desconhecida, os egípcios utilizavam o chamado « Método da Falsa Posição ». Este método consistia em assumir de início uma solução falsa que depois era corrigida para obter a solução correcta. Apresentam-se de seguida alguns exemplos retirados do Papiro de Rhind.

Pretendem-se resolver os problemas:

1. “ Uma quantidade e a sua sétima parte adicionadas perfazem 19. Qual é a quantidade?”

Simbolicamente, o problema traduz-se pela seguinte equação

x + x = 19.

Inicialmente, o valor tentado para a incógnita é 7

de modo a eliminar os denominadores. Substituindo este valor no primeiro membro da equação, obtém-se

7 + 1 = 8,

o que é falso pois pretendia-se 19. Decompõem-se então 19 como múltiplo de 8:

19 = 16 + 3 = 8 2 + 8

4

= 8 ( 2 + )

A solução do problema será

x = 7 ( 2 + ) = .

2. “ Uma quantidade, a sua terça parte e a sua quarta parte perfazem 2.Qual é a quantidade?”

Simbolicamente, tem-se

x + x + x = 2.

Substituindo, no primeiro membro, a incógnita

por 12, obtém-se 19, que não é o valor pretendido.

Decompõe-se 2 como múltiplo de 19, tendo-se

2 = 19 .

Teremos então como solução do problemax = 12 = .

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( APROXIMADAMENTE 2000 A.C. )

CONTEXTO HISTÓRICO

A Mesopotâmia que, literalmente, significa entre rios, era a região situada entre os rios Tigre e Eufrates e corresponde hoje em dia ao Iraque.

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Mapa da Mesopotâmia

Tal como no Egipto a matemática mesopotâmia teve como base preferencial a agricultura, a astronomia e a economia. Leis, registos de impostos, histórias, lições de escola, cartas pessoais e muitas outras coisas eram gravadas em tabuletas de barro mole com um estilete, que depois eram cozidas ao sol ou em fornos. Tais documentos eram muito menos vulneráveis aos estragos do que no tempo dos papiros egípcios, por isso se dispõe hoje de muita mais documentação sobre a matemática mesopotâmia. As matemáticas mesopotâmias atingiram um nível mais elevado do que o obtido pelas matemáticas egípcias, revelando mesmo uma grande habilidade para calcular. Os textos encontrados contêm tábuas de multiplicação nas quais um sistema de numeração sexagesimal bem desenvolvido se sobrepõe a um sistema decimal.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

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A álgebra egípcia tratara muito de equações lineares mas os mesopotâmios acharam-nas demasiado elementares para merecerem muita atenção. Tinham uma técnica completa para manipular equações do segundo grau utilizando um processo que corresponde à aplicação da actual «Fórmula Resolvente». Não possuíam linguagem simbólica, ou seja, não utilizavam letras para representar quantidades desconhecidas, pois o alfabeto ainda não fora inventado. Consideravam:

x <-> «largura» y <-> «comprimento» z <-> «altura» x2 <-> «quadrado» xy <-> «área» xyz <-> «volume»

Apresenta-se, de seguida, um sistema de equações algébricas cujas incógnitas são determinadas recorrendo à resolução de uma equação do segundo grau.

O objectivo é calcular x e y positivos, pois ainda não tinham conhecimento dos números negativos, dado que:

x + y = 29xy = 210 .

A técnica era a seguinte:

- Se x = y, substituindo na primeira equação do sistema, obtém-se

x = y = 14.5;

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- Se x y, suponhamos que

x = 14.5 + ε e y = 14.5 - εsendo ε o erro.

Então,

t = xy = ( 14.5 + ε )( 14.5 – ε ) = = 14.52 – ε2 = 210

ε2 = 14.52 – 210 = 0.25.

Os mesopotâmios possuíam Métodos Numéricos para calcular aproximações de raízes quadradas de um dado número.

Então,ε = 0.5.

Finalmente, x = 15 e y = 14.

Os mesopotâmios também resolviam equações cúbicas, dividindo-as em:

- Cúbicas Puras: x3 = a;

- Cúbicas Mistas: x3 + x2 = a.

As primeiras eram resolvidas por referência directa às tabelas de cubos e raízes cúbicas. Para a resolução das equações do segundo tipo recorria-se a tabelas que davam valores para a combinação n3

+ n2, 1≤n≤30 ou por interpolação no caso do número representado por a não se encontrar na tabela.

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Para além disso, era possível resolver qualquer equação e sistemas do terceiro grau desde que por eliminação, seja possível obter uma cúbica mista. Apresenta-se de seguida um exemplo do que foi dito: a resolução das equações simultâneas

xyz + xy = y = x z = 12x

leva à equação

(12x)3 + (12x)2 = 252,

que é uma cúbica mista, logo resolvida por consulta directa das tabelas.

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( VI – IV A.C.)

CONTEXTO HISTÓRICO

A Grécia Antiga estava situada na Bacia do Mediterrâneo.

Mapa da Grécia Antiga A sociedade grega sofreu grandes transformações

económicas e políticas durante o sexto, quinto e quarto séculos A.C.. Estas transformações levaram a que a cultura e as ideias dos gregos evoluíssem. Filosofavam acerca do mundo. A ausência de uma religião instituída conduziu muitos habitantes a um certo misticismo, mas também, em sentido oposto, estimulou o desenvolvimento do racionalismo e da visão científica do mundo. A Matemática grega colocava não só a questão «Como?» mas também a moderna questão científica «Porquê?».

Os primeiros estudos da matemática grega tinham um objectivo principal: compreender o lugar

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do homem no universo de acordo com um esquema racional.

A matemática ajudava a encontrar a ordem no caos, a ordenar as ideias em sequências lógicas e a encontrar princípios fundamentais. Era a mais racional de todas as ciências. Para se obter informações sobre os anos de formação da matemática grega tem de se reler inteiramente pequenos fragmentos transmitidos por autores mais recentes e observações dispersas de filósofos e de outros que não eram autores estritamente matemáticos. Era uma matemática muito baseada na geometria e quase todos os problemas eram resolvidos recorrendo inteiramente a esta.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

As equações lineares e quadráticas são resolvidas por construções geométricas, conduzindo à chamada «Aplicação de Áreas», considerando apenas números positivos.

A equação linear

ax = bc

era considerada como uma igualdade entre as áreas ax e bc e não como uma proporção

,ao contrário do que se faz actualmente. De seguida, apresentam-se dois exemplos da resolução de equações quadráticas:

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1.Se se quiser achar um segmento x, tal que x2 = ab procede-se da seguinte forma:Coloca-se sobre uma recta o segmento ABC onde AB é igual a a e BC é igual a b. Com AC como diâmetro constrói-se um semi-círculo (com centro O) e em B levanta-se a perpendicular BP, que é o segmento x desejado.

2.Euclides resolveu a equação do tipo ax + x2 = a2 da seguinte forma:Traça-se um quadrado ABCD de lado a, bissectando AD em E, traçando EB, prolongado o lado DA a F tal que EF igual a EB e completando o quadrado AFGH.Então estendendo GH para cortar DC em K, teremos aplicado ao segmento AD um rectângulo FK ( = ax + x2 ) igual a um quadrado dado AC ( = a2 ) e excedendo por um quadrado ( = x2 ).

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Não podemos deixar de fazer referência ainda dentro desta secção a Diofanto apesar de este não se encontrar dentro do período considerado inicialmente. Diofanto devia ter vivido no século IV da nossa era. Ele foi o autor da “Aritmética”, um tratado em 13 livros dos quais hoje apenas se conhecem 6.

A “Aritmética” é uma obra brilhante mas, em motivação e conteúdo está muito distante dos tratados lógicos característicos da Grécia. A álgebra parece mais adequada à resolução de problemas do que há exposição dedutiva, e grande parte da obra de Diofanto ficou fora da corrente principal da matemática grega.

A colecção de problemas de Diofanto é de grande variedade e muitas vezes engenhosa. A «análise diofantina» consiste em encontrar respostas para equações indeterminadas, do tipo

Ax + By = C Ax2 + Bx + C = y2

Ax3 + Bx2 + Cx + D = y2

ou conjuntos destas equações. É característico de Diofanto interessar-se

apenas por soluções racionais positivas; ele chamou às soluções irracionais «impossíveis» e era cuidadoso ao seleccionar os seus coeficientes para

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obter a solução racional positiva que procurava. Entre as equações encontramos

x – 26y = 1x – 30y = 1

agora conhecidas como equações de Pell. Em Diofanto, encontramos a primeira utilização sistemática de símbolos algébricos.

Capa do livro «Aritmética» de Diofanto

CONTEXTO HISTÓRICO

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Mapa da China

Datar os documentos matemáticos da China não é nada fácil, e estimativas quanto ao considerado o mais antigo dos clássicos matemáticos diferem em quase mil anos. O problema da sua datação é dificultado pelo facto de poder ser obra de vários homens em períodos diferentes. Outro dos problemas surgidos era que as descobertas feitas dentro do isolamento de uma cidade podiam não atingir outras localidades. Os registos do conhecimento científico e técnico foram destruídos por mudanças dinásticas, guerras e inundações. Depois disso muitos foram reescritos de memória, mas tais acontecimentos tornaram difícil a datação das descobertas. Outra dificuldade na datação deve-se ao material usado para a sua conservação pois usavam cascas de árvore e de bambu.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

Os chineses gostavam especialmente de diagramas, semelhantes ao que actualmente designamos por matrizes, e eram usados para a resolução de sistemas.

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Convém referir que o povo chinês resolveu equações de graus muito elevados ( até ao grau 14 ).

De seguida, apresenta-se um exemplo retirado do livro «Nove capítulos sobre a arte da Matemática »:

O objectivo é determinar as soluções do seguinte sistema de três equações algébricas a três incógnitas:

3x + 2y + z = 392x + 3y + z =34

x + 2y + 3z = 26. Efectuam-se operações sobre colunas na matriz

1 2 32 3 23 1 126 34 39

para reduzi-la a

0 0 30 5 236 1 199 24 39

usando um método semelhante ao actualmente conhecido por « Eliminação de Gauss ». A segunda matriz representa as equações

36z = 99z + 5y = 24

z + 2y + 3x = 39

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das quais se retira sucessivamente z, y e x.

Se a matemática chinesa tivesse tido ininterrupta continuidade de tradição, algumas das notáveis antecipações dos métodos modernos poderiam ter modificado substancialmente o desenvolvimento da matemática, mas a cultura chinesa foi seriamente prejudicada por abruptas quebras.

CONTEXTO HISTÓRICO

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Mapa da Índia

Com o declínio do Império Romano, o centro de investigação matemática começou a deslocar-se para a Índia. As primeiras contribuições indianas bem conservadas para as ciências exactas são as Siddhãntãs, das quais a Suraya se pode assemelhar, na forma, à original (300-400 D.C.). Estes livros relacionam-se essencialmente com a astronomia e operam com epiciclos e fracções sexagesimais. Tais factos sugerem a influência da astronomia grega, também podem indicar um contacto directo com a astronomia babilónica. Além disso, os Siddhãntãs revelam muitas características genuinamente indianas. Os matemáticos indianos mais conhecidos são Aryabhata (chamado “o primeiro”-500 D.C.) e Brahmagrupta (625 D.C.). A questão da sua dependência em relação à Grécia, à Babilónia e à China é um assunto discutível. No entanto, eles revelam ao mesmo tempo uma originalidade considerável. O Aryabhata foi o primeiro indiano a incluir numa obra uma secção de matemática, escrita em 499

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D.C. e intitulada «Aryabhatiya», é um pequeno volume, escrito em verso, sobre astronomia e matemática. Brahmagrupta foi também autor de uma obra de astronomia que incluía uma secção de matemática. Viveu na Índia Central, pouco mais de 100 anos depois de Aryabhata, contudo não tem muito em comum com o seu antecessor.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

Entre as contribuições matemáticas mais importantes de Brahmagrupta podem citar-se as seguintes:

-generalização à área de um quadrilátero da Fórmula de Herão para Triângulos;

-uso de números negativos e regras operatórias com esses números para as quatro operações elementares;

-determinação das soluções inteiras de «sistemas de equações lineares» do tipo ax + by = c, com a, b, c inteiros;

-estudo da equação do tipo y2 = ax2 + 1, onde a é inteiro.

Os hindus utilizavam a chamada «Regra dos Três» para determinar a solução de equações lineares:

«Na regra de três multiplique-se o fruto pelo

desejo e divida-se pela medida. O resultado será o fruto do desejo.»

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Isto é, se = então x = , onde a é a «medida», b o «fruto», c o «desejo» e x o «fruto do desejo».

A primeira solução de equações indeterminadas

do primeiro grau ax + by = c, onde a, b e c são inteiros, é encontrada por Brahmagrupta. Para que esta equação tenha soluções inteiras é necessário que o m.d.c. (a,b) = d e d/c, então as soluções são dadas por :

x = p + mb e y = q – ma

com m qualquer e p ,q soluções particulares. Por isso, falando rigorosamente, é incorrecto chamar equações diofantinas às equações lineares indeterminadas. Onde Diofanto aceitou soluções fraccionárias, os indianos admitiam somente soluções inteiras.

No livro do Brahmagrupta aparece um outro tipo de equações, também indeterminadas, -y2 = ax2 ± b. Esta equação, que viria a prender a atenção dos matemáticos indianos durante vários séculos, foi especialmente estudada por Brahmagrupta no caso particular de b = 1 (caso ao qual o matemático Euler deu o nome de «Equação de Pell»). Além de indicar algumas soluções de equações particulares, do tipo y2 = ax2 + 1, Brahmagrupta procurou resolver esta equação com mais generalidade. Para isso, começou por estabelecer duas importantes regras, que em terminologia actual podemos enunciar como se segue:

LEMA 1 : Se (δ,β) é solução da equação y2 = ax2 + k e (δ’,β’) é solução da equação y2 = ax2 + k’,

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então (δβ‘ ± δ'β, ββ‘ ± aδδ') é solução da equação y2 = ax2 + kk’.

LEMA 2 : Se (δ,β) é solução da equação y2 = ax2 + k2 então (δ/k, β/k) é solução da equação y2 = ax2 + 1.

EXEMPLO : Resolução da equação y2 = 92x2 + 1

Substituindo x por 1 obtemos y2 = 93 (que não é um quadrado perfeito!), o quadrado perfeito mais próximo é 100 (93 + 7);

Consideramos então a equação y2 = 92x2 + 1 + 7; Substituindo nesta última equação x por 1 obtém-

se y2 = 100, ou seja, y = 10; Tem-se a solução particular (1,10) da equação

y2 = 92x2 + 8; Aplicando o Lema1, uma das soluções da equação

y2 = 92x2 + 82 é (20,192); Aplicando o Lema2, conclui-se que ( , ) é

solução da equação inicial; Como a solução obtida não é inteira aplica-se

novamente o Lema1 a esta solução e obtém-se a solução (120,1151) da equação y2 = 92x2 + 12, ou seja, a solução da equação inicial.

Na matemática indiana, a realização mais conhecida é o nosso actual sistema de posição decimal. O sistema decimal é muito antigo, tal como o sistema de posição, a sua combinação surge na China e na Índia, onde se impôs gradualmente em relação aos antigos sistemas não posicionais.

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CONTEXTO HISTÓRICO

O primeiro século do império muçulmano fora destituído de realizações científicas. Esse período foi na verdade, talvez o ponto mais baixo no desenvolvimento da matemática, pois os islâmicos ainda não tinham entusiasmo intelectual, e o interesse pela cultura tinha quase desaparecido no resto do mundo. Não fosse o súbito despertar cultural do Islão na segunda metade do oitavo século, certamente muito mais se teria perdido da ciência e da matemática antigas.

Mapa da Civilização Islâmica

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RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

De todos os campos em que os matemáticos islâmicos deram contribuições relevantes sobressai o da álgebra.

Não só nos transmitiram técnicas de resolução de equações, na tradição das antigas escolas de escribas da Mesopotâmia, mas foram também inovadores. Por um lado estenderam à álgebra o conceito de demonstração apreendido dos geómetras gregos que, a partir do século IX, começaram a ser estudados, traduzidos e comentados na casa da sabedoria em Bagdad. Por outro lado, as equações foram pela primeira vez estudadas como entes matemáticos próprios, e não apenas como resultantes da resolução de problemas.

Nos primeiros textos islâmicos sobre o sistema decimal só a parte inteira do número é representada no sistema de base 10, as fracções utilizadas são fracções sexagesimais. A esta forma mista de representação dos números opunha-se o sistema sexagesimal para inteiros e fracções, usado nos textos astronómicos, o chamado «Sistema dos Astrónomos». Era um sistema sexagesimal completo, com indicação precisa das ordens sexagesimais.

A extensão do sistema decimal posicional às fracções foi feita na matemática do Islão, mas muito lentamente.

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Resolução de Equações do 1º e 2º Grau

Os Islâmicos classificavam as equações de 1º e 2º grau em 6 tipos:

Quadrados iguais a raízes : ax = bx Quadrados iguais a números : ax =

c Raízes iguais a números : bx = c Quadrados e raízes iguais a

números : ax + bx = c Quadrados e números iguais a

raízes: ax + c = bx Raízes e números iguais a

quadrados: bx + c = ax

Não consideravam soluções nulas ou negativas.

EXEMPLO :

Consideremos a equação

x + 10x = 39.

A sua solução poderá ser obtida algébrica e geometricamente:

Algebricamente:

“ Divide por 2 o número de raízes, que dá 5. Isto multiplica por si próprio dando 25. Junte a isto 39; a soma é 64. Agora toma a raiz que é 8 e subtrai dela metade do número de raízes que é 5. O resto é 3.

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Esta é a raiz do quadrado que tu procuraste, o quadrado é 9.”

Geometricamente:

Traça-se um quadrado ab para representar x, e sobre os 4 lados desse quadrado coloca-se rectângulos c , d , e e f cada um com largura 2.5. Para completar o quadrado maior é preciso acrescentar os quatro pequenos quadrados nos cantos, cada um dos quais tem uma área de 6.25. Portanto, para “completar o quadrado “ somamos quatro vezes 6.25 unidades (ou 25), obtendo pois um quadrado de área total 39 + 25 = 64 unidades. O lado do quadrado deve pois ser de oito unidades, de que subtraímos duas vezes 2.5 (ou 5), achando x = 3.

Resolução de equações cúbicas

Pelos finais do século IX, os matemáticos árabes conheciam já o suficiente dos autores gregos para saberem que certos problemas conduziam a equações do 3º grau. Sabiam até que algumas

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dessas equações se podiam resolver por intersecção de secções cónicas, como no caso da duplicação do cubo. No campo da resolução de equações do terceiro grau, o matemático mais importante foi Omar Khayyam, ele admite que na resolução das equações algébricas as soluções podem ser dadas aritmeticamente ou por meio de construções geométricas e entende que nas equações em que entram cubos, as soluções só podem ser encontradas por meio das secções cónicas. Contudo, Omar constrói uma teoria de resolução algébrica das equações cúbicas que é considerada uma das maiores descobertas da ciência islâmica. Nesta teoria inclui :

Uma classificação das equações até ao terceiro grau;

Construções geométricas para determinar as soluções;

A determinação do número e das condições de existência de soluções positivas.

A classificação das equações é feita tendo em conta o grau e natureza dos termos (positivos), contidos nos seus membros. Exemplo:

Consideremos a equação cúbica

x + ax + b x + c = 0.

Se substituirmos nesta equação x por 2py obtemos o resultado:

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2pxy + 2apy + b x + c = 0.

Como a equação resultante representa uma hipérbole, e a igualdade x = 2py representa uma parábola, é claro que se traçarmos a parábola e a hipérbole sobre o mesmo conjunto de eixos coordenados, então as abcissas dos pontos de intersecção das duas curvas serão as raízes da equação cúbica.

(XII-XVI)

Contexto histórico

Durante os primeiros séculos do feudalismo ocidental encontramos pouco interesse pelas matemáticas, mesmo nos mosteiros. Na primitiva sociedade agrícola desse pequeno período, os factores estimulantes da matemática, mesmo de carácter mais prático, não existiam; e as matemáticas monacais não eram mais do que certa

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aritmética eclesiástica usada principalmente para o cálculo do calendário da Páscoa.

Mapa da Europa

Resolução de equações do 2º grau

O algoritmo que ainda hoje usamos para resolver a equação do segundo grau era já conhecido, com certos condicionalismos, no tempo da antiguidade mesopotâmia. O processo utilizado, se bem que muito provavelmente inspirado em métodos geométricos, fornece, quando aplicado à equação

ax + bx + c = 0,

a raiz positiva que obtemos pela aplicação da fórmula resolvente já bem nossa conhecida

x = [ -b ± ( b - 4ac ) ] / 2a

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Quase 3 mil anos depois, o processo utilizado por Fibonacci para resolver uma mesma equação é ainda o usado pelo escriba mesopotâmio! É no século XVI, com Bombelli, que todos os problemas do 2º grau são tratados sem recurso à geometria. Bombelli, matemático italiano, classifica as equações de 2º grau em três tipos:

ax + bx = c bx + c = ax ax + c = bx

Para cada um destes tipos, Bombelli indica um processo construtivo de resolução onde a equação de grau 2 é reduzida a uma equação de grau 1.

Resolução de equações do 3º grau: Até ao século XVI, não se dispunha de um algoritmo estritamente numérico que permitisse obter a solução para a equação do terceiro grau. Só com Tartaglia e Cardano é que viria a ser dado esse importante passo na resolução de equações. O despertar para o interesse na resolução de equações de terceiro grau deve-se a um desafio entre Tartaglia e Fiore, em que o primeiro conseguiu obter uma fórmula que permitia encontrar as soluções de tais equações. O processo descrito por Tartaglia consistia em:

Dada a equação x + px = q, determinar dois números a e b cuja diferença seja q e cujo produto seja o cubo de .

A solução é

x = -

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Contudo não era tecido nenhum comentário nem indicada qualquer prova.

Exemplo:

Vamos aplicar o processo indicado à equação

x + 3x = 14.

Comecemos por procurar dois números a e b (positivos) tais que

a – b = 14 e a.b = 1.

Estas condições equivalem a dizer que os números são a e , com a - = 14, donde, a - 14a = 1.

Como a única solução positiva desta equação é 7+ , os números procurados são

a = 7 + e b = = -7 + .

Logo a solução da cúbica é x = - .

Apesar do nome de Tartaglia ter ficado para sempre ligado à resolução de equações de grau 3, não foi ele o primeiro a publicar a solução geral de uma equação cúbica. Foi Cardano que primeiro publicou essa resolução.

Em relação à equação

x + px = q,

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Cardano referiu que a invenção do método de resolução se ficou a dever a Scipione del Ferro e que foi através de Tartaglia que tomou conhecimento da fórmula de resolução. A metodologia utilizada por Cardano é a seguinte:primeiro faz a demonstração para um caso particular, utilizando quase sempre, relações entre volumes de cubos e paralelepípedos; em seguida, enuncia a regra geral para todas as equações do mesmo tipo; por fim aplica a regra a alguns exemplos numéricos, acompanhando-a de uma breve explicação.

A formulação da regra geral para a resolução da equação

x + px = q

é, então dada do seguinte modo: toma-se o cubo da terceira parte do número de lados, isto é, um terço do coeficiente de x; soma-se-lhe o quadrado de metade da constante da equação e toma-se a raiz quadrada do total. Faz-se isto duas vezes; a uma das duas soma-se metade do número que já se quadrou e à outra subtrai-se metade do mesmo. Simbolicamente, a única raiz real da cúbica x + px = q, com p e q positivos é:

x = -

O tipo de equações “ cubo igual a primeira potência e número“ ou “cubo e número igual a primeira potência“, em que o cubo da terça parte do coeficiente da incógnita é maior do que o quadrado de metade do termo independente ficou conhecido como caso irredutível e foi Bombelli o primeiro a utilizar a fórmula de Tartaglia - Cardano

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para obter as raízes das equações desse tipo. Tornou, desse modo, possível a generalização da referida fórmula a todos os tipos de equações de terceiro grau sem termo de segundo grau. O trabalho de Bombelli contém um aspecto inovador que é o aparecimento de uma “outra espécie de raiz cúbica”, o que vai permitir generalizar o uso da fórmula de Tartaglia - Cardano ao caso irredutível da equação do terceiro grau. A particularidade dessa outra raiz cúbica é devido ao facto de, no seu radicando, aparecer a raiz quadrada de um número negativo. Bombelli considera portanto, novos números que em termos actuais são “i” e “-i” que representam e respectivamente. Foi na obra de Cardano que primeiro surgiram os números que vieram a chamar-se números complexos, mas foi Bombelli quem teve o engenho de estabelecer regras para operar com esses números, contribuindo de forma determinante para o seu desenvolvimento. Estava finalmente encontrada a solução geral da cúbica que Luca Pacioli declarava ser tão impossível como a quadratura do círculo. Pela mão dos italianos del Ferro, Tartaglia, Cardano e Bombelli, a álgebra elementar dava um passo importantíssimo na resolução de equações e na criação de um novo tipo de números, que vieram mais tarde a designar-se “números complexos”.

Resolução de equações do 4º grau:

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Sobre a regra para resolver equações do quarto grau, Cardano escreveu “ é devida a Luigi Ferrari, que a inventou a meu pedido”. Mostramos com um exemplo o método para a resolução de equações desse tipo.

Exemplo:

Os passos para a resolução de

x + 6x + 36 = 60x

são descritos por Cardano essencialmente como se segue:

Passo 1: Primeiro somar suficientes quadrados e números a ambos os lados para que o primeiro membro fique um quadrado perfeito, sendo neste caso,

x + 12x + 36 ou ( x + 6 )

Passo 2: Agora somar a ambos os membros da equação termos envolvendo uma nova incógnita y de modo a que o primeiro membro permaneça um quadrado perfeito, como ( x + 6 + y) .

A equação agora fica

( x + 6 + y ) = 6x + 60x + y + 12y + 12yx

Passo 3: O passo crucial seguinte consiste em escolher y de modo que o trinómio no segundo membro fique um quadrado perfeito. Isso faz-se é

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claro, igualando a zero o discriminante (uma regra antiga e bem conhecida) que neste caso leva a

60 - 4( 2y + 6 )( y + 12y ) = 0

Passo 4: Do passo 3 resulta uma equação cúbica em

y - y + 15y + 36y = 450

hoje chamada a “cúbica resolvente” da equação do quarto grau dada. Essa é agora resolvida em relação a y pelas regras previamente dadas para a resolução de equações cúbicas, sendo o resultado

Y = [287.5+(80449.25) ] + [287.5-(80449.25) ] - 5

Passo 5: Substituir o valor de y obtido no passo 4 na equação para x do passo 2 e extrair a raiz quadrada de ambos os membros.

Passo 6: O resultado do passo 5 é uma equação quadrática, que deve agora ser resolvida a fim de achar o valor de x desejado.

(XVII-XIX)

Resolução de equações

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Um momento marcante na história da matemática é a descoberta, no século XVI por matemáticos da península itálica, das fórmulas para as soluções das equações de terceiro e quarto graus. O primeiro grande progresso sobre as realizações da antiguidade, causou no seu tempo profunda impressão, constituindo estímulo para novas pesquisas, incluindo o início da manipulação das raízes quadradas de números negativos. A partir dos finais do século XVI, a álgebra inicia um processo de gradual autonomização relativamente à geometria, com a progressiva introdução de simbologia mais concisa, o uso de letras para denotar coeficientes e incógnitas e o abandono do princípio geométrico da homogeneidade dimensional. Um dos grandes temas de estudo na área da álgebra durante os séculos XVII e XVIII foi a resolução de equações polinomiais com uma incógnita. Na busca de um processo geral que fosse válido para equações de qualquer grau, foram propostas por vários autores abordagens alternativas para as equações de graus três e quatro. Depois das soluções de del Ferro, Tartaglia, Cardano, Bombelli e Ferrari, dedicaram-se a esta questão Viète, Descartes, Jan Hudde e E. Tschirnhauss. Todas as técnicas propostas para a equação de grau três exigiam a resolução de uma equação auxiliar do segundo grau, e analogamente todos os caminhos em direcção à fórmula para a equação de grau quatro dependiam da resolução de uma equação cúbica auxiliar.

Resolução de equações do 2º grau

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Descartes desenvolveu o seguinte método de resolução:

Considere-se a equação X + bX + C = 0.

Fazendo uma substituição do tipo X = x - obtém-se

X = ± ( b - 4c ) Fazendo a substituição equivalente à primeira x = X + obtém-se

X = [ -b ± ( b - 4c ) ] / 2

Ficou assim deduzida o que posteriormente se chamou “Fórmula Resolvente”. Note-se que outros matemáticos também estudaram estas equações e chegaram a soluções semelhantes, mas foi Descartes que as publicou.

Descartes deu uma regra para a construção de raízes de qualquer equação cúbica ou de quarto grau por meio de uma parábola. O objectivo do método de Descartes era duplo: - por processos algébricos, libertar a geometria de diagramas;

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- dar significado às operações da álgebra por meio de interpretações geométricas.

Resolução de equações do 3º grau

Dada a equação

X + bX + cX + d = 0,

através da substituição X=x- , Descartes chegou à fórmula resolvente das equações de terceiro grau já anteriormente encontrada por Cardano.

Resolução de equações do 4º grau

Ao considerarmos a equação

X + bX + cX + dX + e = 0,

esta é resolvida por substituição analogamente às anteriores. Faça-se primeiro a substituição X = x - . Obtém-se

x + px + qx + r = 0. Fazendo a decomposição

x + px + qx + r = ( x + kx + l )( x - kx + m ) ,

onde k, l e m são indeterminadas. Basta agora resolver um sistema, para determinar k, l e m pelos processos já dados anteriormente.

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O matemático a quem se ficou a dever a primeira demonstração rigorosa de que não existe uma fórmula resolvente geral com radicais para as equações de grau cinco foi o norueguês Abel.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE GRAU n

(n є lN)

Newton também deu o seu contributo para a resolução de equações, desenvolvendo o chamado “Método de Newton” para a solução aproximada de equações. Seja

f(x) = a x + a x + … + a x + a . A equação a ser resolvida é da forma f(x) = 0. Primeiro coloca-se a raiz desejada entre dois valores x = a e x = b , tais que no intervalo nem a primeira nem a segunda derivada se anulam ou deixam de existir. Então para um dos valores, digamos x = a , f(x) e f”(x) terão o mesmo sinal. Nesse caso o valor x = a será uma aproximação melhor se a = a - e esse processo pode ser aplicado iterativamente para obter uma aproximação a tão precisa quanto se queira.

Começando com Cardano e Bombelli, a propósito da resolução de equações do terceiro grau no século XVI, a manipulação das raízes quadradas de

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números negativos foi-se vulgarizando e os números complexos tinham no século XVIII atingido a plena normalidade matemática. Simultaneamente, generalizou-se a convicção de que esses números são suficientes para resolver todas as equações. Esse é o conteúdo do chamado Teorema Fundamental da Álgebra, anteriormente conjecturado por Girard.

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA Toda a equação polinomial f(x) = 0 de coeficientes complexos e grau n≥1, tem pelo menos uma raiz complexa.

D´Alembert gastou muito tempo e esforço tentando provar este teorema, tão intensos foram os seus esforços para provar o teorema que na França actualmente é conhecido como Teorema D´Alembert. Contudo, a primeira demonstração rigorosa é geralmente atribuída ao matemático alemão Gauss.

A teoria das equações põe para Galois o seguinte problema:

«Dada uma equação qualquer decidir se ela é ou não resolúvel por radicais.» A questão é muito mais subtil do que a de saber se existe ou não uma fórmula resolvente geral. Demonstrada a inexistência de uma tal fórmula geral para as equações de grau superior a quatro, podia em princípio dar-se o caso de para cada equação numérica particular as suas raízes se exprimirem usando radicais em função dos

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coeficientes, sem essas expressões provirem de uma fórmula geral. Mas de facto não é assim: há equações para as quais isso é possível, e há outras para as quais não é. É natural que tal possibilidade dependa de uma forma particular da equação e das suas raízes, e Galois esclareceu como se processa essa dependência. A obra de Galois foi importante não só por tornar a noção abstracta de grupo, fundamental na teoria das equações, mas também por levar ao que se pode chamar tratamento aritmético da álgebra, algo parecido com a aritmetização da análise. Isso não significa uma volta à concepção medieval e renascentista da álgebra como algoritmo para achar um número desconhecido, significa o desenvolvimento de um cuidadoso tratamento postulacional da estrutura algébrica em termos de vários corpos de números.

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