O PROBLEMA DA ÁREA

Como determinar a área sob uma

curva qualquer y = f(x) , entre dois

pontos x1 e x2.

x1 x2

y

𝑓 𝑥

x

A

Assim como no caso das derivadas,utilizaremos aproximações.

x1 x2

∆𝑥1∆𝑥2. . . . . .

k

∆𝑥𝑘

y

f (k)

x

𝑘=1

𝑛

𝑓(𝑘) ∙ ∆𝑥𝑘A

A INTEGRAL DEFINIDA

Define-se a Integral da função f (x) entre os pontos x1 x2 , como o limite:

𝑥1

𝑥2

𝑓 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = lim∆𝑥 → 0

𝑘=1

𝑛

𝑓(𝑘) ∙ ∆𝑥𝑘

x1 x2

y

A = 𝑥1𝑥2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑓 𝑥

x

Mas o conceito é muito pouco prático, pois o cálculo desse limite pode ser muito trabalhoso

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma relação estreita entrederivação e integração. A princípio os problemas da tangente e da área nãoparecem ter nenhuma relação. Porém, Isaac Barrow (1630-1677), professor deNewton em Cambridge, após alguns experimentos, conjecturou que derivação eintegração são processo inversos. Mas quem formalizou e provou o Teoremaforam Newton e Leibniz. A prova deste teorema foi a base para odesenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral.

A aplicação desse teorema nos permite calcular a área sob qualquercurva sem necessidade de calcular o limite do somatório.

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO – PARTE 1

1ª. Parte : Dada uma função f (s) , contínua em um intervalo [a,b], vamos definir a função

𝐹 𝑥 =

𝑎

𝑥

𝑓(𝑠) ∙ 𝑑𝑠 definida também em [a,b]

Observe que F depende apenas de x. Para cada valor fixado de x a integral

𝑎𝑥𝑓(𝑠) ∙ 𝑑𝑠 é um número definido, fornecendo o valor da função F no ponto x.

Quando variamos o valor de x , o valor de 𝑎𝑥𝑓(𝑠) ∙ 𝑑𝑠 também varia, permitindo

assim a construção da função F(x) .

Podemos dizer então que F(x) corresponde

a área sob a curva entre a e x.

2ª. Parte : Tomando a f (s) , contínua no intervalo [a,b], como na 1ª. Parte, podemos

mostrar que a função F(x), definida por

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO – PARTE 2

𝐹 𝑥 =

𝑎

𝑥

𝑓(𝑠) ∙ 𝑑𝑠

é derivável, e que 𝑭′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 .

xa

y

𝑓 𝑥

xbx+h

hUsando a definição de derivadapodemos escrever a expressão

𝐹′ 𝑥 = limℎ→0

𝐹 𝑥 + ℎ − 𝐹(𝑥)

ℎ

Mas 𝐹 𝑥 + ℎ − 𝐹(𝑥) = (Área sob o

gráfico entre a e x+h) – (Área sob o

gráfico entre a e x) 𝑓(𝑥) ∙ ℎ . Assim,

intuitivamente vemos que 𝑭′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 .

A função F (x) é denominada uma antiderivada (ou primitiva) da f , ou seja, a Fé uma função tal que F ’= f . Além disso, pela definição da F, temos:

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para calcular a integral de uma função fbasta encontramos uma antiderivada da mesma, o que evita o cálculo através dolimite de somatórios.

A seguir, mostramos uma tabela contendo antiderivadas de algumas funçõesfundamentais.

Note-se que ao calcularmos a integral 𝑓(𝑥) ∙ 𝑑𝑥 , as antiderivadas da 𝑓 são todas

as funções do tipo 𝐹 𝑥 + 𝐾 , tais que 𝐹′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) e 𝐾 = constante .

A ANTIDERIVADA

𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐾

𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐾

𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐾

𝑑𝑥

𝑥= ln 𝑥 + 𝐾

𝑑𝑥

𝑥2= −1

𝑥+ 𝐾

𝑥 𝑑𝑥 =2

3𝑥32 + 𝐾

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐾

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = sen 𝑥 + 𝐾

𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = tg 𝑥 + 𝐾

sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐾

TABELA DE ANTIDERIVADAS DEFUNÇÕES FUNDAMENTAIS

𝑐 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

(𝑢 𝑥 + 𝑣(𝑥))𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑑 𝑥 + 𝑣 𝑥 𝑑𝑥

𝑔′ 𝑥 ∙ 𝑓′ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )

REGRAS DE INTEGRAÇÃO

A Antiderivação é a determinação de uma função cuja derivada é conhecida.

O PROBLEMA DA ANTIDERIVAÇÃO

Definição: Dada uma função 𝑓(𝑥), definida em um intervalo 𝐼 = (𝑎, 𝑏). Umafunção, a qual denota-se, 𝐹 𝑥 é denominada uma antiderivada da 𝑓 se𝐹´ 𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐼.

Exemplo 1 : Se conhecemos a função velocidade 𝒗 𝒕 de uma partícula, podemosdeterminar sua função posição 𝒔(𝒕). Pois sabemos que a velocidade mede a taxa devariação (derivada) da posição. Logo, a função 𝑠 𝑡 é uma antiderivada da 𝑣(𝑡).

𝑠 𝑡 = 𝑣 𝑡 . 𝑑𝑡

Exemplo 2 : Se um engenheiro sabe que um determinado fluido escoa para dentrode um tanque a uma taxa dada por 𝒇(𝒕) (litros/s) , então ele pode determinar afunção 𝑸(𝒕), que fornece o volume (litros) escoado até o instante 𝒕. Pois se 𝑓(𝑡)representa a taxa de variação de 𝑄 𝑡 , então 𝑄(𝑡) é uma antiderivada da 𝑓(𝑡).

𝑄 𝑡 = 𝑓 𝑡 . 𝑑𝑡

O PROBLEMA DA ANTIDERIVAÇÃO

Devemos ainda lembrar que, se 𝐹 for uma atiderivada da 𝑓, então qualquer função dotipo 𝑭 𝒙 + 𝑪 , onde 𝐶 é uma constante arbitrária, é também uma antiderivada da 𝑓 .

Exemplo : Tomemos a função 𝑓 𝑥 = 𝑥2

Atribuindo diferentes valores a constante 𝐶 obtemos uma família de funçõesantiderivadas da 𝑓, cujos gráficos diferem apenas pelo valor da constante.

𝑥

𝑦

𝑦 =𝑥3

3− 2

𝑦 =𝑥3

3

𝑦 =𝑥3

3+ 1

𝑦 =𝑥3

3+ 2

Pela tabela de antiderivação sabemos que 𝐹 𝑥 =𝑥3

3é uma antiderivada da 𝑓 . Logo

podemos afirmar que qualquer função do tipo 𝐹 𝑥 =𝑥3

3+ 𝐶 também o será.

INTEGRAL DEFINIDA E CÁLCULO DE ÁREAS

A determinação da área delimitada entre o eixo 𝑥 e o gráfico de uma função 𝑓(𝑥),numa região contida entre dois pontos 𝑎 e 𝑏 do seu domínio, é realizada, como jávimos, pelo cálculo da integral definida da função entre estes dois pontos.

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o valor desta integral definida é dado por

𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

Ou seja, para calcular a Integral definida (área) basta determinar a antiderivada 𝑭(𝒙)da função, substituir os valores dos limites de integração 𝑎 e 𝑏 e subtrair os resultados.

𝑎

𝑏

𝑦

𝑥

𝑓(𝑥)

𝐴1 < 0

𝐴2 > 0

Área Total = 𝐴1 + 𝐴2

Notar que, áreas abaixo doeixo 𝑥 são computadas comsinal negativo pela Integral.

EXEMPLOS - CÁLCULO DE ÁREAS

Calcule a área sob o gráfico das seguintes funções

𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 1, entre 𝑥 = 1 𝑒 𝑥 = 3 𝑓 𝑥 =1

𝑥, entre 𝑥 = 1 𝑒 𝑥 = 4

1

3

(𝑥2+1)𝑑𝑥 =𝑥3

3+ 𝑥1

3

=

27

3+ 3 −

1

3+ 1 = 12 −

4

3=32

3𝑢. 𝑎.

1

4𝑑𝑥

𝑥= 𝑙𝑛𝑥 1

4 =

𝑙𝑛4 − 𝑙𝑛1 = 𝑙𝑛4 = 1,39 u.a.

𝑥

𝑦

1 4

𝑓 𝑥 =1

𝑥

𝑥

𝑦

31

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I

Integração por Substituição

Esta técnica, baseada na regra da cadeia, é utilizada sempre que temos uma integral que possa ser escrita na forma :

𝐼 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) ∙ 𝑘𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥

A técnica consiste em fazer a substituição : 𝑢 = 𝑔(𝑥) , o que implica𝑑𝑢 = 𝑔’(𝑥)𝑑𝑥 . Logo, podemos reescrever a Integral como :

𝐼 = 𝑘 𝑓(𝑢) ∙ 𝑑𝑢

O que deve simplificar o cálculo.

Exemplos:

a. 𝑒2𝑥𝑑𝑥 , fazendo 𝑢 = 2𝑥 , 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠:𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2 ↔ 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

2. Logo, temos:

𝑒2𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑢𝑑𝑢

2=1

2𝑒𝑢 + 𝐾 =

1

2𝑒2𝑥 + 𝐾

b. 2𝑥 1 + 𝑥2 ∙ 𝑑𝑥 , fazendo 𝑢 = 1 + 𝑥2 , teremos 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 . Logo :

2𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑑𝑢 =2

3𝑢3

2 + 𝐾 =2

3(1 + 𝑥2)

3

2 + 𝐾

c. 1

3𝑥+4𝑑𝑥 , fazendo 𝑢 = 3𝑥 + 4 , teremos 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 . Logo :

1

3𝑥+4𝑑𝑥 =

1

𝑢

𝑑𝑢

3=1

3ln 𝑢 + 𝐾 =

1

3𝑙𝑛 3𝑥 + 4 + 𝐾

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I

d. 𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 , fazendo 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏 , teremos 𝑑𝑢 = 𝑎𝑑𝑥 . Logo :

𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢𝑑𝑢

𝑎= −1

𝑎cos 𝑢 + 𝐾 = −

1

𝑎cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐾

e. 𝑥2. cos 𝑥3 + 2 𝑑𝑥 , fazendo 𝑢 = 𝑥3 + 2, teremos 𝑑𝑢 = 3𝑥2𝑑𝑥 . Logo :

𝑥2. 𝑐𝑜𝑠(𝑥3 + 2) 𝑑𝑥 = cos 𝑢 𝑑𝑢

3=1

3sen 𝑢 + 𝐾 =

1

3𝑠𝑒𝑛(𝑥3 + 2) + 𝐾

Integração por Partes

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO II

Esta técnica é baseada na regra do produto, e é utilizada sempre que temos uma integral que possa ser escrita na forma :

𝐼 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥

Como sabemos, pela regra do produto, 𝑑 𝑓 ∙ 𝑔 = 𝑓𝑑𝑔 + 𝑔𝑑𝑓 .Consequentemente 𝑓𝑑𝑔 = 𝑑 𝑓 ∙ 𝑔 − 𝑔𝑑𝑓. Assim, integrando ambos os ladosdessa igualdade, podemos escrever:

𝐼 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 − 𝑔 𝑥 ∙ 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥

Exemplos:

a. 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 , fazendo 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑔’ 𝑥 = 𝑒𝑥 , teremos : 𝑓’ 𝑥 = 1 e 𝑔 𝑥 = 𝑒𝑥.

Logo:

𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥(𝑥 − 1) + 𝐾

𝑏. ln 𝑥 𝑑𝑥 , fazendo 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 𝑒 𝑔’ 𝑥 = 1𝑑𝑥 , teremos : 𝑓’ 𝑥 =1

𝑥𝑑𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥.

Logo:

ln𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥1

𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐾

c. 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 , fazendo 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑔’ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 , teremos : 𝑓’ 𝑥 = 1𝑑𝑥 e

𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. Logo :

𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐾

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO II

d. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 , fazendo 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒 𝑔’ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 , teremos : 𝑓’ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

e 𝑔 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥. Logo :

𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒

𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥 ⇒

𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 =1

2(𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥)

e. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 , fazendo 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒 𝑔’(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 , teremos : 𝑓’ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

e 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. Logo :

𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒

𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥 ⇒

𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =1

2(𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥)

MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO II

SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Nos casos em que não há o 𝑥 multiplicando o radical, utiliza-se substituições baseadas nasconhecidas identidades trigonométricas : 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 e 𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 1 + 𝑡𝑔2𝑥

Vamos agora estudar um método para resolver integrais do tipo 𝑥2 ± 𝑎2 𝑑𝑥 ou

𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥.

Expressão Substituição Identidade Triângulo

𝑎2 − 𝑥2 𝑥 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑥2 + 𝑎2 𝑥 = 𝑎. 𝑡𝑔𝜃 1 + 𝑡𝑔2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

𝑥2 − 𝑎2 𝑥 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 1 + 𝑡𝑔2𝑥

𝑎𝑥

𝜃

𝑎

𝑥𝜃

𝑎

𝑥

𝜃

Se as integrais fossem 𝑥 𝑥2 ± 𝑎2 𝑑𝑥 ou 𝑥 𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 não haveria problema, poderíamos

usar as substituições 𝑢 = 𝑥2 ± 𝑎2 ou 𝑢 = 𝑥2 ± 𝑎2.

SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS - EXEMPLOS

a. I = 𝑑𝑥

𝑥2 𝑥2−4Caso 3 : Fazemos 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃 . Logo teremos 𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃

𝐼 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑡𝑔𝜃. 𝑑𝜃

4𝑠𝑒𝑐2𝜃. 4𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 4=

2𝑡𝑔𝜃. 𝑑𝜃

4𝑠𝑒𝑐𝜃. 4. (𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1)=

2𝑡𝑔𝜃. 𝑑𝜃

4𝑠𝑒𝑐𝜃. 2 𝑡𝑔2𝜃

= 𝑡𝑔𝜃. 𝑑𝜃

4𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑡𝑔𝜃=1

4 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑑𝜃 =

1

4𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝐾

b. I = 9 − 𝑥2𝑑𝑥

Mas pelo triângulo : 𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑥2−4

𝑥Logo : 𝐼 =

𝑥2 − 4

4𝑥+ 𝐾

Caso 1 : Fazemos 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 . Logo teremos 𝑑𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃

𝐼 = 9 − 9𝑠𝑒𝑛2𝜃. 3𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑑𝜃 = 3 𝑐𝑜𝑠2𝜃 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

= 9 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃

= 9(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃). 3𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑑𝜃

Se recordarmos o exemplo (e) dos slides de Integração por partes

9 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃 =9

2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐾 . Mas pelo triângulo : 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

𝑥

3𝑒 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

9−𝑥2

3

SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS - EXEMPLOS

Assim, substituindo os valores de 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑒 cos 𝜃 na expressão, temos finalmente :

I = 9 − 𝑥2𝑑𝑥 =9

2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐾 =

9

2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

𝑥

3+𝑥

3∙9 − 𝑥2

3+ 𝐾

𝐼 =9

2𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛

𝑥

3+𝑥 9 − 𝑥2

9+ 𝐾

c. I = 𝑑𝑥

𝑥2 𝑥2+1Caso 2 : Fazemos 𝑥 = 𝑡𝑔𝜃 , portanto 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃. 𝑑𝜃

𝐼 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃. 𝑑𝜃

𝑡𝑔2𝜃. 𝑠𝑒𝑐𝜃= 𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑑𝜃

𝑡𝑔2𝜃= 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛2𝜃= 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑑𝜃

𝑠𝑒𝑛2𝜃

Fazendo 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 , temos 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 e podemos reescrever a expressãoacima na forma

𝐼 = 𝑑𝑢

𝑢2=−1

𝑢

Desfazendo a substituição temos : 𝐼 = −1

𝑠𝑒𝑛𝜃

Usando o triângulo do caso 2 finalmente : 𝐼 = −𝑥2+1

𝑥

APLICAÇÃO A FÍSICA

Suponhamos uma caixa apoiada no chão. E digamos que desejamos deslocá-la emlinha reta, entre os pontos 𝑎 e 𝑏, como mostra a figura. Para deslocarmos a caixaprecisaremos aplicar sobre a mesma uma força (𝒇).

A Física define o Trabalho realizado quando se aplica uma força constante 𝒇 paradeslocar um corpo entre dois pontos ao longo de uma linha reta, pelo produto

𝑊 = 𝑓. ∆𝑥

𝑓

𝑎 𝑏∆𝑥 = 𝑏 − 𝑎

A unidade de trabalho é Newton x metro , a qual denomina-se Joule. Ou seja, sempreque a força estiver dada em Newtons e a distância do deslocamento em metros, otrabalho será calculado em Joules.

APLICAÇÃO A FÍSICA

Suponhamos agora uma situação mais realista, na qual, em vez de ser constante ao longo de todo o deslocamento, a força seja dada por uma função 𝒇(𝒙).

Neste caso, para calcularmos o trabalho realizado,vamos dividir o deslocamento entre 𝑎 e 𝑏 empequenos intervalos (∆𝑥). De modo que, em cadaintervalo a força pode ser considerada constante 𝑓(𝑥𝑖).

Usando a mesma ideia usada para o problema da área,podemos dizer que o trabalho total, pode ser calculadopela integral

𝑊 = 𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

De uma forma geral, a ideia de dividir o domínio do problema em pequenas porções, de modo aaproximar uma situação complexa por uma sequência de problemas mais simples é muito usada naEngenharia. Essa ideia é a base do cálculo diferencial e integral, criação do gênio Isaac Newton.

Desta forma, podemos calcular o trabalho realizado emcada pequeno deslocamento por

𝑤𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 ∙ ∆𝑥

𝑥𝑖

𝑓(𝑥𝑖)

∆𝑥

𝑥𝑏𝑎

𝑦

𝑓(𝑥)

APLICAÇÃO A FÍSICA - EXEMPLO

Segundo a Lei de Hooke, uma lei bastante conhecida naFísica, quando aplicamos uma força para distender umamola, a partir de sua posição de equilíbrio, a força quedevemos exercer é dada por

𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥

onde 𝑘 é a chamada constante de elasticidade da molae 𝑥 é a extensão do deslocamento.

Podemos então calcular o trabalho realizado para causar uma distensão de 𝒅𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠em uma mola com constante elástica 𝒌.

𝑊 = 0

𝑑

𝑘𝑥 𝑑𝑥 =𝑘

2𝑥2

0

𝑑

=𝑘

2𝑑2

𝑥

𝒇(𝒙)

0

Um carro de fórmula 1 entra acelerando em uma reta. Sua velocidade (em𝑚/𝑠) aolongo do movimento é descrita pela função 𝑣 𝑡 = 30 + 5t . Supondo que o carroleva 8s para percorrer a reta, determine qual o comprimento da reta em metros.

Os conceitos da Física nos dizem que a velocidade éa taxa de variação da distância. Logo a função 𝑠(𝑡),que representa a distância percorrida, é a integralda função velocidade.

Podemos então escrever :

Comprimento = 0830 + 5𝑡 𝑑𝑡 = 30𝑡 +

5

2𝑡20

8= 30.8 +

5

264 = 400𝑚

𝑆 = 0

8

𝑣 𝑡 𝑑𝑡

APLICAÇÃO A FÍSICA - EXEMPLO

𝑡

𝑣𝑣 𝑡 = 30 + 5t

8s0 Comprimento = 𝑠 8 − 𝑠 0 = 08𝑣 𝑡 𝑑𝑡

CAMPOS DE DIREÇÕES E A ANTIDERIVADA

Suponhamos que quiséssemos determinar a antiderivada da função

𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 1 − 𝑥 , que satisfaz a condição 𝐹 0 = 1 .

Encontrar uma expressão algébrica para a antiderivada da função acima não é uma tarefa fácil.Na verdade, sabemos que para algumas funções essa tarefa é impossível.

𝑥

𝑦 Porém, podemos utilizar um método gráfico paraesboçar a antiderivada de qualquer função,utilizando-se do chamado campo de direções.

Como sabemos, em cada ponto do seu domínio a𝑓(𝑥) representa a direção da tangente ao gráfico daantiderivada 𝐹 𝑥 .

Assim, podemos obter o campo de direçõesassociado a 𝑓(𝑥) traçando pequenos segmentos cominclinação 𝑓(𝑥) , para valores selecionados de 𝑥.

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Por exemplo :

𝑓 −1 = 1

𝑓 −0,5 =1,9

𝑓 0 = 1

𝑓 0,5 = 0,6

𝑓 1 = 0,4

𝑓 1,5 = 0,6

𝑓 2 = 1

𝑓 2,5 = 1,6

𝑓(3) = 2,3

CAMPOS DE DIREÇÕES E A ANTIDERIVADA

𝑥

𝑦

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

𝑭(𝒙)

•𝐹(0) = 1

Vamos partir do campo de direçõesdefinido pela 𝑓(𝑥).

E do ponto P(0, 𝐹 0 ) , que nos foidado como condição de contorno paraa antiderivada 𝐹(𝑥)

Podemos então esboçar a curva querepresenta o gráfico da 𝐹(𝑥), que serátangente ao campo de direções emcada ponto.

Este mesmo conceito será usado mais tarde na resolução de Equações Diferenciais

INTEGRAÇÃO POR SÉRIES INFINITAS

Nem sempre é possível explicitar a antiderivada de uma função na forma de umaexpressões fechada, que combine as funções elementares conhecidas.

Funções elementares, são aquelas que podem ser expressas como combinação defunções polinomiais, racionais, potência, logarítmica, trigonométrica e hiperbólicas

Exemplos :

a. 𝑒𝑥2𝑑𝑥 , b.

𝑑𝑥

𝑙𝑛𝑥, c.

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥𝑑𝑥 , d. 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 𝑑𝑥

Pode-se provar que as antiderivadas das funções acima não são funçõeselementares. De fato, a maioria das funções elementares não possuemantiderivadas elementares.

Nesses casos pode-se utilizar sistemas algébricos computacionais (em inglês CAS) taiscomo: Derive, Maple, Mathematica, etc. ou Métodos Numéricos de Integração, quepermitem exprimir a antiderivada através de uma série infinita. Esses métodosutilizam quase sempre o conceito de campo de direções.

LIVROS RECOMENDADOS

• Stewart, James – Cálculo Vol. 1, 7ª. Edição, Ed. Cengage, 2013.

• Guidorizzi, Hamilton L. – Cálculo Vol. 2, 5ª Edição, Ed. LTC, 2008

• Apostol, Tom M. – Calculo Vol. 1, Ed. Reverte Brasil, 2004

• Ron Larson and Bruce H. Edwards - Calculus, Ed. Brooks Cole, 2013