INTRODUÇÃO 2vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-content/uploads/sites/12/2016/08/... · TAXAS EQUIVALENTES ... $4.000 4% a.t. 1 ano e meio c) ... de períodos menores equivalentes

MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM

INTRODUÇÃO ............................................................................. 2

JUROS SIMPLES ......................................................................... 2

MONTANTE E VALOR ATUAL .................................................... 5

CONVERSÃO DE TAXAS ............................................................ 7

CONVERSÃO DE PERÍODOS ..................................................... 7

TAXA PROPORCIONAL ............................................................ 13

TAXAS EQUIVALENTES ........................................................... 14

JURO EXATO COMERCIAL ...................................................... 14

DESCONTO SIMPLES .............................................................. 20

DESCONTO RACIONAL (ou POR DENTRO)............................ 21

DESCONTO COMERCIAL (ou POR FORA) .............................. 22

DESCONTO BANCÁRIO ........................................................... 25

TAXA EFETIVA DE UM DESCONTO SIMPLES ........................ 26

RESPOSTAS ............................................................................. 30

CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

INTRODUÇÃO Fundamentalmente, a Matemática

Financeira estuda os procedimentos utilizados em pagamentos de empréstimos, bem como os métidos de análise de investimentos em geral.

Quando uma pessoa empresta a outra

um valor monetário, durante um certo tempo, essa quantia é chamada capital (ou principal) é indicaremos, neste material didático, por 𝑪. O valor que o credor (aquele que empresta) cobra pelo uso do dinheiro, ou seja, o valor pago pelo tomador do empréstimo, é chamado de juros e indicaremos por 𝑱.

A taxa de juros, que indicaremos por i

(do inglês: interest, que significa juros) é expressa como uma porcentagem do capital. Ela representa os juros numa certa unidade de tempo, normalmente indicada por a.d. (ao dia), a.m. (ao mês), a.b. (ao bimestre), a.t. (ao trimestre), a.a. (ao ano), etc.

JUROS SIMPLES

Consideremos um capital 𝐶 aplicado a

juros simples, a uma taxa 𝑖 por período e durante

𝑛 períodos de tempo. Os juros do 1º período são

iguais a 𝐶 ∙ 𝑖 e, de acordo com a definição de capitalização simples, em cada um dos períodos os juros são iguais a 𝐶 ∙ 𝑖, conforme ilustrado abaixo:

Assim, os juros simples da aplicação

serão iguais à sona de 𝑛 parcelas iguais a 𝐶 ∙ 𝑖, ou seja:

𝑱 = 𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑖 + 𝐶 ∙ 𝑖 +⋯+ 𝐶 ∙ 𝑖⏟ 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠

e, portanto:

Juros Simples 𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛

Os juros simples são resultados do produto do capital pela taxa e pela quantidade de períodos (prazo) da aplicação. Observamos que nessa fórmula, o prazo 𝑛 deve estar expresso na mesma unidade de tempo da taxa 𝑖, isto é, se a taxa for definida em meses, o prazo

também deve vir em meses, se a taxa estiver em anos, o prazo também deve ser anual.

Ex.1: Um capital de $8.000 é aplicado a juros simples, à taxa de 2% a.m., durante 5 meses. Quanto, de juros, é auferido da aplicação? Resolução: Do enunciado, temos 𝐶 = 8.000,

𝑖 = 0,02 e 𝑛 = 5. Como a taxa e o tempo estão na mesma unidade (meses) podemos aplicar diretamente a fórmula

𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛

𝐽 = 8.000 ∙ 0,02 ∙ 5

𝐽 = 8.000 ∙ 0,1

𝐽 = 800 Resp.: $ 800. Ex.2: Obter os juros de uma aplicação de R$5.000,00 a juros simples e à taxa de 3% a.m., durante 2 anos. Resolução: do enunciado, temos 𝐶 = 5.000,

𝑖 = 0,03 e 𝑛 = 24 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠. Para calcular os juros, fazemos:

𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛

𝐽 = 5.000 ∙ 0,03 ∙ 24 = 3.600 Resp.: O juros da aplicação é R$3.600,00 Ex.3: Uma geladeira é vendida à vista por R$1.200,00 ou a prazo com 20% de entrada mais uma parcela de R$1.100,00 após 3 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resolução: Para calcular a taxa de juros, precisamos determinar:

A entrada: 20

100∙ 1.200 = 240

O capital financiado: 1.200 − 240 = 960

O montante do capital financiado: 1.100

O juro do financiamento: 1.100 − 960 = 140

Assim, chamando de 𝑖 a taxa mensal de juros, podemos escrever:

𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛

140 = 960 ∙ 𝑖 ∙ 3

𝑖 =140

2880

𝑖 = 0,0486 = 4,86% Resp.: a taxa do financiamento é 4,86%a.m.


Ex.4: Um capital de R$12.000,00 é aplicado a juros simples durante 72 dias. Qual o valor dos juros simples para: a) taxa de 3% a.m.? e b) taxa de 45% a.a.? Resolução: em situações como esta, quando o prazo é dado em dias, para efeito de cálculo, utilizamos o calendário comercial de 360 dias. Por convenção, todos os meses são considerados com 30 dias e o ano com 360. Dessa forma, temos:

a) 𝑛 =72

30= 2,4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 𝐽 = 12.000 ∙ 0,03 ∙ 2,4 = 864

Resp.: R$864,00

b) 𝑛 =72

360= 0,2 𝑎𝑛𝑜

𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛

𝐽 = 12.000 ∙ 0,45 ∙ 0,2 = 1.080 Resp.: R$1.080,00

01) Calcule os juros simples recebidos em cada uma das aplicações:

Capital Taxa Prazo

a) $5.000 2,5% a.m. 8 meses

b) $4.000 4% a.t. 1 ano e meio

c) $7.000 1,7% a.m. 1 ano e meio

02) Um capital de $20.000 é aplicado a juros simples, durante 2 anos, à uma taxa de 2% a.m. qual o juro obtido?

03) Qual o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 2% a.m., durante 8 meses, gera um juro de R$6.000,00?


04) Determine o capital que, aplicado a juros

simples de 2,5% a.m., durante 2 anos, resulta em um juro de R$ 6.000,00? 05) Calcule o capital que, aplicado a juros simples durante 11 meses e à taxa de 1,5% a.m., proporciona juros de R$700,00.

06) O banco Canguru empresta R$2.000.000,00 a uma firma pelo prazo de 120 dias cobrando juros simples de 3% a.m. Simultaneamente ele paga aos aplicadores dessa quantia, juros simples com prazo de 120 dias, à taxa de 2% a.m. a) Qual a diferença entre os juros recebidos e os pagos após os 120 dias?

b) qual o valor dos juros pagos aos aplicadores?

07) Roberto pretende comprar um carro usado cujo preço é R$12.000,00 para pagamento daqui a 4 meses. Se ele conseguir aplicar seu dinheiro a juros simples e à taxa de 2% a.m.: a) quanto deverá aplicar no ato da compra para fazer frente ao pagamento?

b) Se o preço do pagamento a vista for de R$11.200,00, é melhor ele pagar a vista ou a prazo?


MONTANTE E VALOR ATUAL

Chama-se montante de um principal (ou valor atual) à soma desse principal com os juros auferidos durante o período em que o principal esteve investido. Assim,

Montante

𝑀 = 𝐶 + 𝑗

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖 ∙ 𝑛)

Ex.1: Qual o montante obtido a partir da aplicação de um capital de R$5.000,00 durante 10 meses a uma taxa de 4% a.m.? Resolução:

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑛) 𝑀 = 5.000 ∙ (1 + 0,04 ∙ 10)

𝑀 = 5.000 ∙ 1,4 𝑀 = 7.000

R: R$7.000,00.

08)O Sr. Marcelo quer dividir seu capital de R$30.000,00 em duas partes, uma pra er aplicada no Banco Canguru, que paga juros simples à taxa de de 1,8% a.m., e a outra n Banco Marsupial, que paga também juros simples à taxa de 2,2% a.m.. A aplicação no banco Canguru é por 2 anos e no Banco Marsupial é por 1 ano e meio. Calcule o valor aplicado em cada banco sabendo que os juros auferidos em cada aplicação foram iguais.

09) Uma TV é vendida à vista por R$1.800,00 ou então co R$400,00 de entrada mais uma parcela de R$1.500,00 após dois meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? 10) Uma maquina de lavar roupa é vendida à vista por R$1.500,00 ou então com 30% de entrada mais uma parcela de R$1.200,00 após 3 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?


11) Um televisor é vendido a vista por R$1.000,00 ou a prazo com 10% de entrada e mais uma parcela de R$1.080,00 após 4 meses. Neste caso, a taxa mensal de juros simples do financiamento é de 4,5%. Classifique a assertiva acima como Verdadeira ou Falsa.

12) Carlos adquiriu uma televisão usada pagando uma entrada de R$200 e mais uma parcela de R$450,00 dois meses após a compra. Se tivesse pago a vista o aparelho sairia por R$600,00. a) Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?

b) Após quantos meses da compra deveria vencer a parcela de R$450,00 para que a taxa de juros simples do financiamento fosse de 2,5% ao mês?

13) O preço à vista de uma mercadoria é R$130,00. O comprador pode pagar 20% no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$128,96 vencível em 3 meses. Admitindo-se o regime de juros simples, qual a taxa anual cobrada na venda a prazo? 14) Um aparelho de som é vendido por $1.200 para pagamento em 3 meses após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 9% sobre o preço de $1.200. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada na compra a prazo? 15) Resolva o mesmo exercício anterior considerando um desconto de 5% sobre o preço de $1.200.


16) Um banco condedeu a uma empresa, um empréstimo a juros simples por 15 meses. Qual a taxa mensal sabendo que o montante é igual a 160% do capital emprestado?

17) Durante quanto tempo um capital de R$25.000,00 deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 2% a.m. para se obter um montante de R$30.000,00?

18) Um capital aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. triplica em qual prazo?

CONVERSÃO DE TAXAS

Para Converter taxas de períodos maiores para períodos menores ( por exemplo, de ano para mês), deve-se dividir a taxa pela quantidade de períodos menores equivalentes ao do maior

Ex.1: Converter 15% ao ano em taxa semestral. Resolução Se em um ano tem 2 semestres, então devemos dividir 15 por 2. Assim 15% a.a = 7,5%a.s. Ex.2: Converter 15% ao ano em taxa mensal. Resolução: Como em um ano tem 12 meses, temos que dividir 15 por 12. Assim, 15%a.a = 1,25%a.m.

___________________ Para converter taxas de períodos menores para períodos maiores ( por exemplo de mês para ano), deve-se multiplicar a taxa pela quantidade de períodos menores equivalentes ao maior.

Ex.1: Converter 2% ao trimestre em taxa semestral. Resolução: Como em um semestre existem 2 trimestres , então devemos multiplicar 2% por 2. Assim 2%a.t = 4%a.s. Ex.2: Converter 2% ao trimestre em taxa anual. Resolução: Como em um ano existem 4 trimestres , então devemos multiplicar 2% por 4. Assim 2% a.t. = 8%a.a.

CONVERSÃO DE PERÍODOS Para converter períodos (anos, semestres, meses, dias...) devemos utilizar regras de três simples e direta tendo como base a seguinte tabela de conversão:

1 ano = 2 semestres

1 semestre = 2 trimestres

1 trimestre = 3 meses

1 bimestre = 2 meses

1 mês = 30 dias


Ex.1: Converter 2 anos em dias. Resolução

2

1=

𝑥

360→ 𝑥 = 720

Assim, 2 anos equivale a 720 dias. Ex.2: Converter 3 anos e meio em semestres. Resolução

1

2=3,5

𝑥→ 𝑥 = 7

Assim, 3,5 anos equivale a 7 semestres ___________________________

Nos exemplos a seguir, veremos situações envolvendo cálculo de juros e montante envolvendo casos de conversões de taxas e/ou de períodos.

Ex.1: Um capital de $12.000 foi aplicado durante 3 meses à taxa de 5% a.t.. Qual o montante recebido após o final do período? Resolução:

J = 12.000 ∙5

100= 600

M = 12.000 + 600 = 12.600 Resp.: Ao final do trimestre será recebido, pelo credor, $12.600. Ex.2: Uma empresa recebeu um empréstimo bancário de $60.000 por 1 ano, pagando um montante de $84.000. qual foi a taxa anual de juros desta operação? Resolução:

𝑀 = 𝐶 + 𝐽 84.000 = 60.000 + 𝐽 𝐽 = 84.000 − 60.000

𝐽 = 24.000

𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 24.000 = 60.000 ∙ 𝑖

𝑖 =24.000

60.000

𝑖 = 0,4 = 40% Resp.: A taxa de juros foi de 40% a.a..

Ex.3: Um investidor aplicou $30.000 numa caderneta de poupança e $20.000 num fundo de investimento, pelo prazo de 1 ano. A caderneta de poupança rendeu 9% e o fundo, 12%. Qual a taxa global de juros recebido pelo investidor? Resolução:

CP: 𝐽𝐶𝑃 = 30.000 ∙9

100= 2700

FI: 𝐽𝐹𝐼 = 20.000 ∙12

100= 2400

Juros total: 𝐽 = 2.700 + 2.400 = 5.100

𝑖 =𝐽

𝐶=5.100

50.000= 0,1020 = 10,2%

Resp.: A taxa de juros global fi de 10,2%a.a. Ex.4: Um investidor aplicou 80% de seu capital no fundo A e o restante num fundo B, pelo prazo de 1 ano. Neste período, o fundo A rendeu 16% equanto o fundo B rendeu 10%. Qual a taxa global recebida pelo investidor? Resolução: Chamaremos de 𝐶 o capital total,𝐶𝐴

é o capital aplicado no fundo A e 𝐶𝐵 é o capital aplicado no fundo B. Então:

𝐶𝐴 = 0,8𝐶 e 𝐶𝐵 = 0,2𝐶 Juros oriundos do fundo A:

𝐽𝐴 = 𝐶𝐴 ∙16

100= 0,8𝐶 ∙ 0,16 = 0,128𝐶

Juros oriundos do fundo B:

𝐽𝐵 = 𝐶𝐵 ∙10

100= 0,2𝐶 ∙ 0,1 = 0,02𝐶

Juros total obtido:

𝐽 = 𝐽𝐴 + 𝐽𝐵 = 0,128𝐶 + 0,2𝐶 = 0,148𝐶 Agora, para determinar a taxa global de juros,

fazemos 𝑖 =𝐽

𝐶

𝑖 =𝐽

𝐶=0,148𝐶

𝐶= 0,148 = 14,8%

Resp.: A taxa global recebida pelo investidor foi de 14,8% a.a..


18) Um capital de $4.000 foi aplicado durante 2 meses à taxa de 3% a.b.. Calcule os juros e o montante recebido. 19) Manoel aplicou $15.000 durante 6 meses num fundo que rendeu 10% a.s.. Qual o montante recebido? 20) Luiz aplicou $25.000 numa caderneta de poupaça pelo prazo de 1 ano. Sabendo-se que a taxa era de 9% a.a., qual o valor do montante?

21) Sueli aplicou $4.800 num fundo de investimento e recebeu, 3 meses depois, $500 de juros. Qual foi a taxa trimestral de juros da aplicação? 22) Uma empresa tomou um empréstimo de $100.000 por 1 dia à taxa de 0,2% a.d.. Qual o valor do montante pago? 23) Robert aplicou $12.000 num fundo e recebeu, 1 ano depois, um montante de $17.000. Qual foi a taxa anual de juros recebida?


24) Em um empréstimo de $50.000, feito por 1 mês, uma empresa pagou um montante de $51.200. qual a taxa mensal do empréstimo? 25) Um investidor dobrou seu capital numa aplicação por 2 anos. Qual a taxa de juros bienal no período da aplicação? 26) O preço de tabela de um determinado produto é $1.000. O produto tem um desconto de 10% para pagamento a vista e um desconto d 7,2% para pagamento em 30 dias. Admitindo-se que o valor desembolsado no pagamento a vista possa ser aplicado pelo comprador em uma aplicação de 30 dias, com rendimento de 3% a.m., determine: a) Quanto o comprador teria ao final da aplicação?

b) Qual a operação mais vantajosa para o comprador: pagar a vista ou aplicar o recurso e pagar 30 dias depois? Por quê? 27) Um investidor estrangeiro, traz para o Brasil X$50.000 (50 mil unidades da moeda do seu pais), faz a conversão dessa moeda para reais, aplica os reais por um ano à uma taxa de 18% ao ano. No resgate, converte os reais recebidos para a moeda de seu pais e reenvia o dinheiro para sua família. No dia da aplicação, X$1,00 valia R$1,10 e um ano depois, no dia do resgate, X$1,00 valia R$1,20. a) Qual a taxa de rendimento dessa aplicação considerando os valores expressos na moeda X? b) Quanto deveria valer X$1,00 na data do resgate (um ano após a aplicação) para que a taxa de rendimento na moeda X tivesse sido de 12% ao ano?


28) Pedro aplicou $25.000 num fundo A e $45.000 num fundo B pelo prazo de três meses. Nesse período, o fundo A rendeu 15% e o B rendeu 12%. Qual a taxa global de rendimento no trimestre? 29) Jair aplicou 60% de seu capital na caderneta de poupança e o restante num fundo de investimento, pelo prazo de 6 meses. Nesse período, a caderneta de poupança rendeu 5% e o fundo, 8%. Qual a taxa global de rendimento auferido por Jair nesse período?

30) Leandro aplicou 30% de seu capital num fundo A, 30% num fundo B e o restante num fundo C, pelo prazo de 8 meses. Nesse período, o fundo A rendeu 8%, o fundo B, 12% e o C, 6%. Qual a taxa global de rendimento obtida por Leandro? 31) Vitor tem $12.000 para investir pelo prazo de um ano. Ele pretende investir parte na aplicação A que tem rendimento esperado de 15% ao ano sobre o valor investido, e parte numa outra aplicação B que dá um rendimento esperado de 20% sobre o valor investido. a) Qual o rendimento anual esperado, se ele aplicar $7.000 em A e $5.000 em B?


b) Qual o máximo que ele deve investir em A para auferir um ganho esperado de, no mínimo, $2.200 daqui a um ano? 32) Uma pessoa investiu certo capital, por um

período de 5 anos, da seguinte maneira: com 2

5

do capital, comprou ações da Bolsa de Valores; do restante, aplicou metade em imóveis e metade em caderneta de poupança. Ao final de 5 anos, ela contabilizou um prejuízo de 2% na aplicação de ações, um ganho de 20% na aplicação imobiliária e um ganho de 26% na aplicação em poupança. Calcule, em relação ao capital inicial, o percentual ganho pelo investidor.

33) (Cespe/UnB – 2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investir todo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A quantia que a pessoa pode investir nas ações x, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é

R$ 1.200,00

R$ 1.600,00

R$ 2.000,00

R$ 2.300,00

R$ 2.500,00


34) (ENEM-2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro: Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é

a poupança, pois totalizará um montante de

R$ 502,80.

a poupança, pois totalizará um montante de

R$ 500,56.

o CDB, pois totalizará um montante de R$

504,38.


504,21.


500,87.

TAXA PROPORCIONAL Uma taxa 𝑖1 aplicada num período 𝑛1 é

proporcional à uma taxa 𝑖2 por um período 𝑛2 se: 𝑖1𝑛1=𝑖2𝑛2

e isto é equivalente a dizer que:

𝑖1 ∙ 𝑛2 = 𝑖2 ∙ 𝑛1

Ex.1: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. Resolução: 𝑖1 = 5% 𝑎. 𝑡 = 0,05 𝑎. 𝑡. 𝑖2 = 20% 𝑎. 𝑎 = 0,2 𝑎. 𝑎. 𝑛1 = 1 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑛2 = 1 𝑎𝑛𝑜 = 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝑖1𝑛1=𝑖2𝑛2→0,05

3=20

12

Como o produto dos meios (3 ∙ 0,20) é igual ao

produto dos extremos (0,05 ∙ 12), então a proporção é válida e assim concluímos que as taxas, nos períodos referentes, são proporcionais. Ex.2: Qual a taxa bimestral equivalente à taxa de 12% ao trimestre? Resolução: 𝑖1 = 12% 𝑎. 𝑡. = 0,12 𝑎. 𝑡. 𝑖2 = 𝑥

𝑛1 = 1 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑛2 = 1 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 = 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝑖1𝑛1=𝑖2𝑛2→0,12

3=𝑥

2→ ⋯ → 𝑥 = 0,08 = 8%

Resp.: 8%


TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas de juros são chamadas de “equivalentes” se aplicadas ao mesmo capital, pelo mesmo intervalo de tempo, produzem os mesmos juros. No regime de juros simples, as taxa de juros proporcionais são, também, equivalentes.

JURO EXATO COMERCIAL

O Juro comercial é obtido considerando o mês e o ano comercial, ou

seja, um mês com 30 dias e um ano com 360 dias. O juro exato, por sua vez, é obtido considerando o mês com 28, 29, 30 ou 31 dias, conforme o caso e o ano com 365 ou 366 dias. É pouco comum utilizar o Juro Exato. Esta situação fica restrita a contratos com datas de início e término explícitas. Para contar a quantidade de dias entre duas datas específicas, utilizamos a tabela abaixo

Dias Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335

2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336

3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337

4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338

5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339

6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340

7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341

8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342

9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344

11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345

12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346

13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347

14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348

15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349

16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350

17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351

18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352

19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353

20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354

21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355

22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356

23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357

24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358

25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359

26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360

27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361

28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362

29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363

30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364

31 31 90 151 212 243 304 365


Para encontrar a quantidade de dias

exatos entre duas datas utilizando a tabela da página anterior, seguimos três passos: I) procuramos o número relativo à data inicial do período; II) procuramos o número relativo à data final do período; III) Fazemos a diferença entre os números encontrados;

Vamos ver agora três exemplos de utilização da tabela.

Ex.1: Quantos dias exatos existem entre 29 de junho e 16 de novembro de um mesmo ano? Resolução: i) Número relativo à 29 de junho: 180 ii) Número relativo à 16 de novembro: 320 iii) 320 – 180 = 140 Resp.: Entre 29 de junho e 16 de novembro existem 140 dias. Ex.2: Quantos dias exatos existem entre 05 de janeiro e 28 de maio de um mesmo ano? Resolução: i) Número relativo à 05 de janeiro: 5 ii) Número relativo à 28 de maio: 148 iii) 148 – 5 = 143 Obs.: Como o final do mês de fevereiro está entre as datas indicadas e cientes de que fevereiro pode ter 28 ou 29 dias, temos que avaliar esta situação. Se o ano em questão for bissexto1, devemos somar um dia ao resultado encontrado. Neste problema, como não foi especificado o ano, podemos dar como resposta: Resp.: 143 ou 144 dias conforme o caso.

1 Pesquise ou discuta com seus colegas sobre quais anos

são bissextos. Converse com seu professor de Geografia

ou pesquise sobre porque há anos com um dia a mais.

Ex.3: Quantos foram os dias entre 21 de novembro de 2010 e 15 de Março de 2012? Resolução: Para resolver a questão vamos ter que encontrar quantos dias faltam pra terminar o ano de 2010 (de 21/nov a 31/dez), a quantidade de dias em 2011 e a quantidade de dias de 01/jan a 15/mar em 2012. Em 2010: i) Número relativo à 21 de novembro: 325 ii) Número relativo à 31 de dezembro: 365 iii) 365 – 325 = 40 Em 2011 Como é um ano completo (e não bissexto), são 365 dias. Em 2012 i) Número relativo a 01 de Janeiro: 1 ii) Número relativo a 15 de Março: 74 iii) 74 – 1 = 73 Agora somamos os valores encontrados em cada ano: 40 + 365 + 73 = 478 Resp,: 478 dias.

35) Qual o juro simples devido ao capital de $ 5.000,00 calculado sobre a taxa de 6% ao semestre, durante 5 anos e 9 meses?


36) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$10.000,00 pelo prazo de 5 meses sabendo-se que a taxa cobrada é de 2% ao mês? 37) um capital de R$25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de R$7.875,00. Determinar a taxa mensal de juros. 38) Uma aplicação de R$30.000,00 pelo prazo de 210 dias obteve um rendimento de R$6.300,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

39) Sabendo que os juros de R $ 3.000,00 foram obtidos com a aplicação de R $3750,00 à taxa de 8% ao semestre, calcule o prazo. 40) Qual capital que, à taxa de 2% ao mês, rende juros de R$2400,00 em um ano? 41) Um empréstimo de R $ 23.000,00 é liquidado por R $29.200,00 no final de 152 dias. Calcular a taxa MENSAL DE juros.


42) Determine o valor dos juros de uma aplicação de R $10.000,00 feita a taxa de 4% a.m. Pelo prazo de 96 dias. 43) Qual quantia de juros simples é obtida de um capital de R$1.250,00 durante 48 meses a uma taxa de 14% ao ano? 44) Qual quantia de juros simples é obtida de um capital de R$1.250,00 durante 4 anos a uma taxa de 2% a.m.?

45 ) Qual quantia de juros simples é obtida de um capital de R$1.250,00 durante 6 meses a uma taxa de 0,02% ao dia? 46) Qual quantia de juros simples exatos é obtida de um capital de R$1.250,00 durante os 6 primeiros meses de 2016 a uma taxa de 0,02% ao dia? 47) Uma aplicação de R$50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$8.250,00. Determine a taxa anual correspondente a esta aplicação.


48) Calcular o montante da aplicação de R$4.000,00 pelo prazo de 12 meses à taxa de 3% a.m. 49) Qual capital deve ser investido à uma taxa de 5% a.m. para que se obtenha um montante de R$20.000,00 em 8 meses? 50) Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$60.000,00 sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e que faltam 4 meses para seu vencimento.

51) Sabendo-se que um certo capital, aplicado durante 10 meses, à taxa de 36% ao ano, rende R$6.000,00 de juros, determinar o montante. 52) Um empréstimo de R$80.000,00 deverá ser quitado com R$160.000,00 no final de 12 meses. Determinar a taxa mensal e anual da operação. 53) Um empréstimo de R$30.000,00 deverá ser quitado com R$60.000,00 no final de 12 meses. Determinar a taxa mensal e anual da operação.


54) Em que prazo, uma aplicação de R$35.000,00 pode gerar um montante de R$53.375,00, considerando-se uma taxa de 30% ao ano? 55) Determine o montante de uma aplicação de um capital de R$10.000,00 pelo prazo de 360 dias, às taxa de 3% a.m. 56) Determine o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$500.000,00 sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m. e que faltam 210 dias para o seu vencimento.

57) Calcular o valor de resgate de uma aplicação de R$50.000,00 pelo prazo de 2 anos e 6 meses à taxa simples de 24% a.a.

58) Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1,5% a.m.? 59) Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 4,4% a.b.?


60) Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 35% a.a. pelo prazo de 7 meses. 61) Um investidor que aplicou um capital durante 25 meses, à taxa de juros simples de 2,0% ao mês, resgatou, no final da operação, R$ 25.000,00 de juros. Qual o valor, em reais, aplicado por esse investidor?

32.500,00

37.500,00

42.500,00

50.000,00

52.500,00

DESCONTO SIMPLES

A ideia de desconto está associada

com o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. Assim, por exemplo, quando uma compra é feita em grande quantidade é comum o vendedor conceder algum desconto no preço por unidade. No comércio é bastante comum também o vendedor conceder um prazo para pagamento; caso o comprador queira pagar à vista, geralmente é proporcionado um desconto sobre o preço oferecido.

Quando se faz uma aplicação com vencimento pré-determinado, aquele que aplica recebe um compromisso de aplicação a qual denomina-se nota promissória ou letra de câmbio. Quando uma empresa vende um produto ou serviço a prazo e emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador ou contratante do serviço, numa data futura, o valor combinado. A partir deste momento em que o investidor aplicou seu dinheiro ou a empresa que vendeu o produto ou serviço poderá ir ao banco e efetuar um desconto de duplicata. Em outras palavras, a empresa cede ao bando o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente.

A operação desconto pode ser descrita como o custo financeiro do dinheiro pago em função da antecipação de recurso, ou seja, podemos dizer que desconto é o abatimento feito no valor da dívida, quando ela é negociada antes do seu vencimento.

O desconto simples é aquele obtido

em função de cálculos lineares. Neste tipo de capitalização existem três tipos de desconto: o desconto comercial ou por dentro, o desconto racional ou por fora e o desconto bancário. Nas próximas sessões desta apostila veremos estes três tipos de descontos.


DESCONTO RACIONAL (ou POR DENTRO)

O desconto simples racional (também chamado de desconto por dentro ou desconto real) é equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa dada e durante n períodos. Para obtê-lo, fazemos a diferença entre o valor nominal e o valor atual do compromisso que será saldado n períodos antes de seu vencimento.

Pela definição acima temos:

𝑉𝑛 = 𝑉𝑃(1 + 𝑑 ∙ 𝑛); e

𝐷𝑅 = 𝑉𝑛 − 𝑉𝑃.

De :

𝑉𝑃 =𝑉𝑛

1 + 𝑑 ∙ 𝑛

Substituindo 𝑉𝑝 em , temos:

𝐷𝑅 = 𝑉𝑛 −𝑉𝑛

1 + 𝑑 ∙ 𝑛

𝐷𝑅 =𝑉𝑛(1 + 𝑑 ∙ 𝑛) − 𝑉𝑛

1 + 𝑑 ∙ 𝑛

𝐷𝑅 =𝑉𝑛 + 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 − 𝑉𝑛

1 + 𝑑 ∙ 𝑛

Assim:

𝐷𝑅 =𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛

1 + 𝑑 ∙ 𝑛

Desta forma, as três fórmulas que

utilizaremos quando tratarmos de Desconto Racional são:

Desconto Racional (Desconto por dentro) 𝐷𝑅 =

𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛

1 + 𝑑 ∙ 𝑛

Valor Presente

𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝑅

𝑉𝑃 =𝑉𝑛

1 + 𝑑 ∙ 𝑛

Onde:

𝐷𝑅 é o Desconto Racional; 𝑉𝑛 é o valor nominal (ou valor futuro);

𝑛 é o prazo até o vencimento do título; 𝑑 é o desconto; e 𝑉𝑝 é o valor presente (valor atual comercial)

Ex.1: Uma pessoa pretende saldar um título de R$12.000,00, 4 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 2,7% a.m., a) quanto será o desconto e b) quanto pagará? Resolução: a) desconto:


1 + 𝑑 ∙ 𝑛

𝐷𝑅 =12.000 ∙ 0,027 ∙ 4

1 + 0,027 ∙ 4

𝐷𝑅 = 1169,68 Resp. O desconto será de R$1.169,68 b) Valor descontado:


𝑉𝑝 = 12.000 − 1169,68

𝑉𝑝 = 10.830,32

Resp.: Pagará R$10.830,32 Ex.2: Determinar o valor do desconto “por dentro” de um título de $18.500,00 com vencimento para 5 meses à taxa de 3,1% a.m. Resolução:


1 + 𝑑 ∙ 𝑛

𝐷𝑅 =18.500 ∙ 0,031 ∙ 5

1 + 0,031 ∙ 5

𝐷𝑅 = 2.482,68 Resp.: O desconto será de $2.482,68


Ex.3: Numa operação de antecipação de saldo de um título de R$2.000,00 em 4 meses, foi resgatado $1.760,00. Qual a taxa mensal de desconto “por dentro”? Resolução:


1.760 = 2.000 − 𝐷𝑅

𝐷𝑅 = 240


1 + 𝑑 ∙ 𝑛

240 =2.000 ∙ 𝑑 ∙ 4

1 + 𝑑 ∙ 4

240(1 + 𝑑 ∙ 4) = 8000𝑑

240 + 960𝑑 = 8000𝑑

7040𝑑 = 240

𝑑 =240

7040

𝑑 = 0,034090909… Resp.: A taxa é de 3,409% a.m.

DESCONTO COMERCIAL (ou POR FORA)

É aquele em que a taxa de desconto

incide sempre sobre o valor nominal do

compromisso, o qual será saldado em 𝑛 períodos antes de seu vencimento. É obtido multiplicando-se o valor do resgate (valor

nominal - 𝑉𝑛) do título pela taxa de desconto

(𝑑), e esse produto pelo prazo a decorrer do vencimento do título, ou seja:

Desconto Comercial (Desconto por fora) 𝐷𝑐 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛

Valor Presente

𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝑐

𝑉𝑃 = 𝑉𝑛(1 − 𝑑 ∙ 𝑛)

Onde:

𝐷𝑐 é o desconto comercial; 𝑉𝑛 é o valor nominal (ou valor futuro);

𝑛 é o prazo até o vencimento do título; 𝑑 é o desconto; e 𝑉𝑝 é o valor presente (valor atual comercial).

Ex.1: Um título de R$12.000,00 é descontado 5 meses antes de seu vencimento a uma taxa de 2,42% a.m. Qual o valor do desconto comercial? Resolução:

𝐷𝑐 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛

𝐷𝑐 = 12.000 ∙ 0,0242 ∙ 5

𝐷𝑐 = 1542 Resp.: R$1.542,00 Ex.2: Determinar o valor do desconto “por fora” de um título de $18.500,00 com vencimento para 5 meses à taxa de 3,1% a.m. Resolução

𝐷𝑐 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛 𝐷𝑐 = 18.500 ∙ 0,031 ∙ 5

𝐷𝑐 = 2867,5 Resp: R$2.867,5 OBS.: Compare este resultado com aquele do exemplo 2 na página anterior. Note que os dados são os mesmos (valor nominal, prazo e taxa). Tente explicar porque no desconto “por fora” o desconto foi maior.


Ainda sobre os exemplos citados no parágrafo anterior, perceba que o “desconto comercial” é maior que o “desconto racional”. Quando fazemos o “desconto racional”, a taxa de desconto deve ser capaz de reproduzir o montante quando aplicada, no mesmo prazo, ao valor descontado. É evidente que isto não acontece com o “desconto comercial” então a taxa de desconto comercial não é a taxa de juros da operação. Assim, temos eu calcular esta taxa. Antes vamos encontrar o valor descontado (valor presente):


𝑉𝑝 = 18.500 − 2867,5

𝑉𝑝 = 15632,5

𝑖5 =2867,5

15632,5≅ 0,1834

(Chamamos de 𝑖5 porque a taxa está em 5 meses)

𝑖 =𝑖55=0,1834

5≅ 0,0367

Assim, a taxa de juros mensal da operação é de 3,67%. Então, devemos ficar atentos pois no desconto comercial, é preciso distinguir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxa implícita que é cobrada efetivamente.

62) Qual o valor do desconto comercial de um título de R$2.500,00 com vencimento para três meses, à taxa de 3% a m.?

63) Qual a taxa de desconto comercial utilizada numa operação de 120 dias, cujo valor de resgate é de R$1.000,00 e cujo valor atual é de R$500,00? 64) Uma duplicata no valor de R$16.800,00 é descontada por um banco gerando um crédito de R$16.000,00 na conta do cliente. Sabendo que taxa cobrada pelo banco é de 2,2% a.m., determinar o prazo de vencimento da duplicata. 65) Calcule o valor líquido depositado na conta de um cliente que antecipou um título de R$34.000,00 com prazo de 41 dias sabendo que o banco cobra uma taxa de 4,7% a.m.


66) Um título de R$2.540,00 vai ser descontado à taxa de 2% a.m. em 45 dias antes de seu vencimento. Qual será o desconto? 67) Uma duplicata de R$4.800,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$4.008,00. Calcule o tempo de antecipação sabendo que a taxa foi de 2,75% a.m. 68) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$2.337,00, com vencimento para 120 dias, à taxa de 3,1% a.m.?

69) Qual o valor do desconto comercial de um título de R$ 2.500,00, com vencimento para 3 meses, à taxa de 3% ao mês? 70) Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 9.000,00 foi descontada num banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial igual a 2% a.m.. Obtenha: a) o desconto comercial. b) o valor descontado (ou valor atual comercial) do título.


DESCONTO BANCÁRIO

O desconto bancário corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa de administração. Esta taxa é pré-fixada e cobrada sobre o valor nominal. Denominaremos aqui por Taxa Bancária ou Taxa Administrativa.

Desconto Bancário

𝐷𝐵 = 𝐷𝑐 + 𝑇𝐵 ∙ 𝑉𝑛

𝐷𝐵 = 𝑉𝑛(𝑑 ∙ 𝑛 + 𝑇𝐵)

Valor Presente

𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝐵

𝑉𝑃 = 𝑉𝑛(1 − (𝑑 ∙ 𝑛 + 𝑇𝐵))

Onde:

𝐷𝐵 é o desconto bancário; 𝐷𝑐 é o desconto comercial;

𝑇𝐵 é a Taxa Bancária; 𝑉𝑛 é o valor nominal do título;

𝑑 é a taxa de desconto 𝑉𝑝 é o valor presente; e

𝑛 é o prazo até o vencimento do título;

Ex.1: Determinar o desconto bancário e o valor presente de um título de R$16.823,00 que será antecipado em 4 meses num banco que cobra taxa comercial de 28,8% a.a. além de uma taxa de administração de 1,7%. Resolução

28,8% 𝑎. 𝑎. = 2,4% 𝑎.𝑚. 𝐷𝐵 = 𝑉𝑛(𝑑 ∙ 𝑛 + 𝑇𝐵)

𝐷𝐵 = 16.823(0,024 ∙ 4 + 0,017) 𝐷𝐵 = 16.823 ∙ 0,113

𝐷𝐵 = 1901,00

𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝐵

𝑉𝑝 = 16.823 − 1901

𝑉𝑝 = 14.922

Resp.: O desconto é de R$1901,00 e o Valor presente do título é R$14.922,00.

Assim como vimos na página 23, a taxa de desconto praticada não é a taxa implícita da operação e neste caso, ainda consta a taxa de administração. Mas, da mesma forma que fizemos lá, podemos calcular a taxa de juros implícita. Para tal, lançaremos mão do desconto e do valor presente.

𝑖4 = 1901

14.922≅ 0,1274

𝑖 =𝑖44=0,1274

4= 0,0318

Assim, a taxa de juros efetiva da operação é de 3,18% a.m.

71) Um título de R$ 8.400,00 foi descontado 3 meses antes de seu vencimento. Sob uma taxa de desconto comercial é de 22% ao ano, mais uma taxa administrativa de 1,77%. Qual quantia foi descontada e quanto recebeu o proprietário do título?


72) A tabela abaixo mostra três títulos e seus prazos de vencimento

TÍTULO VALOR NOMINAL VENCIMENTO

T1 R$ 15.332,00 2 meses T2 R$ 77.000,00 5 meses T3 R$ 9.497,00 6 meses

O proprietário destes títulos pretende descontá-los em um banco que cobra 3,9% a.m. de taxa de desconto além de uma taxa administrativa de 2%. Quanto o proprietário conseguirá apurar na antecipação?

TAXA EFETIVA DE UM DESCONTO SIMPLES

Como já vimos em alguns exemplos, a taxa efetiva de um desconto pode ser diferente da taxa nominal (aquela que aparece no contrato ou em peças publicitárias). No caso de desconto racional, a taxa efetiva é igual à taxa nominal mas isso não acontece no desconto comercial e no desconto bancário. Nestes casos, calculamos a taxa efetiva dividindo-se o desconto pelo valor presente e, em seguida, pelo prazo da operação. Assim:

Taxa Efetiva 𝑖 =𝐷

𝑉𝑝 ∙ 𝑛

Veja os exemplos a seguir:

Ex. 1: Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. a) Obtenha o desconto;

b) Obtenha o valor líquido recebido pela

empresa;

c) Obtenha o fluxo de caixa da operação do

ponto de vista do banco. Calcule também a

taxa efetiva de juros da operação.

Resolução: a)


𝐷𝑐 = 18 000 ∙ 0,025 ∙ 2

𝐷𝑐 = 900 Resp.: O valor do desconto é de $900


b)


𝑉𝑝 = 18 000 − 900 = 17 100

Res.p: O valor com desconto é de $17.100

c)

Para calcular a taxa efetiva, fazemos

𝑖 =𝐷

𝑉𝑝 ∙ 𝑛=

900

17.100 ∙ 2= 0,0263

Assim, a taxa efetiva é de 2,63% a.m.

Ex.2: Uma nota promissória de $12.000,00 foi descontada num banco 42 dias antes do vencimento a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m.

a) Qual o desconto?

b) Qual a taxa efetiva de desconto?

c) Qual o valor líquido recebido pela empresa sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço de 0,5% do valor da promissória pago no dia em que a empresa descontou?

d) Qual a taxa efetiva de juros da operação no período?

Resolução: a)


𝐷𝑐 = 12 000 ∙ 0,02 ∙42

30

𝐷𝑐 = 336

2 A demonstração desta fórmula encontra-se após a seção

de respostas.

R: O desconto foi de $336

b) Taxa efetiva de desconto:

42 dias são 42

30 de mês

𝑖 =𝐷

𝑉𝑝 ∙ 𝑛=

336

11664 ∙4230

= ⋯ = 0,02057

Resp.: 2,06%

b) Para encontrar o valor recebido temos que tirar do valor nominal o desconto e o valor da taxa de serviço.

Taxa de serviço é 0,005 ∙ 12 000 = 60

Valor recebido pela empresa:

12 000 − 336 − 60 = 11 604

R: O valor recebido foi $11 604.

c) Para encontrar a taxa efetiva, fazemos:

𝑖𝑒 =𝐷

𝑉𝑝=

396

11 604= 0,0341

Resp.: 3,41%

Observação:

No caso de desconto comercial, é possível determinar a taxa efetiva da operação a partir da taxa de desconto e do período, por meio da fórmula:

Taxa Efetiva2 𝑖 =𝑑

1 − 𝑑 ∙ 𝑛

Veja o exemplo a seguir:

Ex.1: Um banco cobra em suas operações de desconto de duplicatas uma taxa de desconto comercial de 3% a.m. Qual a taxa


efetiva de juros simples, se os prazos de vencimento forem: a) 1 mês b) 2 meses. Resolução: a)

𝑖 =𝑑

1 − 𝑑 ∙ 𝑛→ 𝑖 =

0,03

1 − 0,03 ∙ 1→

→ 𝑖 =0,03

0,97→ 𝑖 = 0,0309

Resp.: 3,09%a.m.

b)

𝑖 =𝑑

1 − 𝑑 ∙ 𝑛→ 𝑖 =

0,03

1 − 0,03 ∙ 2→

→ 𝑖 =0,03

0,94→ 𝑖 = 0,0319

Resp.: 3,19%a.m.

73) Uma promissória de R$ 12.500,00 foi descontada num banco dez meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,4% a.m.. a) Qual o desconto comercial? b) Qual o valor atual comercial do título? c) Qual a taxa efetiva de juros do período? d) Qual a taxa efetiva mensal de juros simples da operação?

74) Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal R$ 52.000,00, 43 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 30% a.a.. a) Qual o desconto bancário? b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 0,5% do valor nominal do título? 75) Um fundo de investimento adquiriu por R$ 37.200,00 um título governamental com valor de face de R$ 40.000,00. Sabendo-se que o prazo de vencimento do título era de 72 dias, calcule: a) a taxa efetiva de juros do período. b) a taxa efetiva mensal de juros simples da operação.


76) Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 20.000,00, 3 meses antes do vencimento.sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 30% a.a., qual o desconto racional que ela irá obter?


RESPOSTAS

01) a) R$1.000,00 b) R$960,00

c) R$2.142,00

02) R$ 29,600,00

03) Resolução: 𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛

6.000 = 𝐶 ∙ 0,02 ∙ 8

𝐶 =6.000

0,16

𝐶 = 37.500 Resp: R$37.500,00

04) R$10.000,00 05) R$4.242,42

06) a) R$80.000,00 b) R$160.000,00

07) a) R$11.111,11 b) a prazo

08) Canguru: R$14.347,83

Marsupial: R$15.625,17

09) 3,57% a.m. 10) 4,76% a.m.

11) Falsa

12) a) 6,25% a.m. b) 5 meses

13) 96% a.a. 14) 3,3% a.m.

15) 1,75% a.m. 16) 4% a.m.

17) 10 meses 18) 25 anos

18) $120 e $4120 19) $16.500

20) $27.250 21) 10,42%

22) $100.200 23) 41,67%

24) 2,4% 25) 100%

26) a) $927

b) Pagar a vista pois aplicando o dinheiro ainda faltará $1

27) a) 8,17% b) $1,1589

29) 6,2% 12) 8,4%

30) 141

31) a) 17,08% b) $4.000

32) Aproximadamente 13% de ganho

33) 34)

35) R$ 3.450,00 36) R$1.000,00

37) R$ 1.000,00 38) 36%

39) 10 semestres 40) R$10.000,00

41) 5,32% 42) R$1280,00

43) R$700,00 44) R$1.200,00

45) R$45,00 46) R$ 455,00

47) 33% 48) R$5.440,00

49) Resolução: 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑛)

20.000 = 𝐶(1 + 0,05 ∙ 8) 20.000 = 𝐶(1,4)

𝐶 =20.000

1,4

𝐶 = 14,285,71 R: R$14.285,71

50) Resolução 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑛)

60.000 = 𝐶(1 + 0,05 ∙ 4) 60.000 = 𝐶(1,2)

𝐶 =60.000

1,2

𝐶 = 50.000 R: R$50.000,00

51) Resolução: 𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛

6.000 = 𝐶 ∙0,36

12∙ 10

𝐶 =6.000

10∙12

0,36

𝐶 = 20.000

𝑀 = 𝐶 + 𝐽 𝑀 = 20.000 + 6.000

𝑀 = 26.000 R: R$26.000,00

52) 8,33% e 100% 53) 8,33% e 100%

54) 21 meses 55) R$13.600,00

55) Resolução: 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑛)

𝐶 =𝑀

1 + 𝑖𝑛


𝐶 =500.000

1 + 0,03 ∙ 12

𝐶 = 413.223,15 R: R$413.223,15

57) R$80.000,00 58) 18%

59) 6,6% 60) R$816,67

61) D 62) R$225,00

63) 12,5% a.m. 64) ≅ 2m e 5d

65) R$31.816,07 66) R$76,20

67) 6 meses 68) R$ 289,79

69) R$225

70) a) 360 b) R$8.640,00

71) Resolução: 22%a. a = 1,83%a.m. DB = Vn(d ∙ n + TB)

DB = 8400(0,0183 ∙ 3 + 0,0177) DB = 8400 ∙ 0,0726

DB = 609,84

Vp = Vn − DB

Vp = 8400 − 609,84

Vp = 7.790,16

R: Desconto: R$609,84 e valor presente: R$7.790,16

72) Resolução

𝑉𝑃1 = 15.332(1 − (0,039 ∙ 2 + 0,02))

𝑉𝑃1 = 15.332(1 − 0,098) 𝑉𝑃1 = 15.332 ∙ 0,902

𝑉𝑃1 = 13.829,46

𝑉𝑃2 = 77.000(1 − (0,039 ∙ 5 + 0,02))

𝑉𝑃2 = 77.000(1 − 0,215) 𝑉𝑃2 = 77.000 ∙ 0,785

𝑉𝑃2 = 60.445,00

𝑉3𝑃 = 9.497,00(1 − (0,039 ∙ 6 + 0,02))

𝑉3𝑃 = 9.497,00(1 − 0,254) 𝑉3𝑃 = 9.497,00 ∙ 0,746

𝑉3𝑃 = 7084,76 Valor apurado

𝑉𝑝1 + 𝑉𝑝2 + 𝑉𝑝3 = 81359,22

R: R$ 81.359,22

73) a) 1750 b) 10 750

c) 16,28% d) 1,63%

74) a) 1 863,33 b) 49 876,67

75) a) 7,53% b) 3,136%

76) R$1.395,35 Demonstração da fórmula citada na página 27 desta apostila Associando ideia de taxa efetiva ao

conceito de juros simples (𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛), temos que:

Os juros são o Desconto 𝐽 = 𝐷

O capital é o valor presente (Valor descontado)

𝐶 = 𝑉𝑝 = 𝑉𝑛 − 𝐷

A taxa é o que estamos procurando; O Prazo é o mesmo do prazo de

desconto

𝑛 = 𝑛 Substituindo na fórmula dos juros simples:

𝐽 = 𝐶 ∙ 𝑖 ∙ 𝑛 𝐷 = (𝑉𝑛 − 𝐷) ∙ 𝑖 ∙ 𝑛

𝑖 =𝐷

(𝑉𝑛 − 𝐷) ∙ 𝑛

Substituindo 𝐷 = 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛

𝑖 =𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛

(𝑉𝑛 − 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛) ∙ 𝑛

Dividindo numerador e denominador por 𝑛

𝑖 =𝑉𝑛 ∙ 𝑑

𝑉𝑛 − 𝑉𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝑛

Colocando 𝑉𝑛 em evidência no denominador

𝑖 =𝑉𝑛 ∙ 𝑑

𝑉𝑛(1 − 𝑑 ∙ 𝑛)

Dividindo numerador e denominador por 𝑉𝑛

𝑖 =𝑑

1 − 𝑑 ∙ 𝑛

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INTRODUÇÃO 2vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-content/uploads/sites/12/2016/08/... · TAXAS EQUIVALENTES ... $4.000 4% a.t. 1 ano e meio c) ... de períodos menores equivalentes