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Mecânica Computacional 1
Mecânica Computacional
Artur Portela
Mecânica Computacional
Mecânica Computacional
2
Objetivos do curso 1 – Compreensão clara dos princípios básicos do Método dos Elementos Finitos (MEF); 2 – Resolução de alguns problemas práticos para familiarização com a modelação com o MEF.
Mecânica Computacional
Mecânica Computacional
3
Mecânica Computational – resolução de problemas da Mecânica, através da Modelação Computational – isto é, processo de representação dos problemas, com Modelos Discretos implementados em computador. Modelos Discretos:
• Diferenças finitas (MDF), • Elementos finitos (MEF), • Elementos de fronteira (BEM).
Mecânica
Mecânica Computacional
4
Mecânica
- Nano e Micromecânica
- Mecânica do Contínuo
- Mecânica dos Sólidos - Mecânica dos Fluidos - Multifísica
Os ramos da Mecânica classificam-se de acordo com os problemas físicos que tratam:
Modelação Computacional
5
SISTEMA FÍSICO • número infinito de parâmetros
SISTEMA IDEALIZADO • número finito de parâmetros
MODELO CONTÍNUO • sistema de equações diferenciais • número infinito de graus de liberdade • solução exata (matematicamente)
MODELO DISCRETO • sistema de equações algébricas • número finito de graus de liberdade • solução aproximada
Idealização: selecionar os parâmetros fundamentais realmente caraterísticos do fenômeno.
Modelagem Matemática: aplicação dos princípios da Mecânica: cinemática, equilíbrio & constitutivo
Discretização: definição dos graus de liberdade num número finito de pontos, os nós da malha, através de MDF, MEF e BEM.
Mecânica Computacional
6
Exemplo da Modelação Computacional
Determinar a deformada da estrutura sob a ação do pesopróprio.
1 – Sistema Físico
Número infinito de parâmetros
2 – Sistema Idealizado Viga simplesmente apoiada sob a ação duma carga uniformente distribuída.
u2; k =1R 2
e M1
Numero finito de parâmetros
Mecânica Computacional
6
Exemplo da Modelação Computacional
Determinar a deformada da estrutura sob a ação do pesopróprio.
1 – Sistema Físico
Número infinito de parâmetros
2 – Sistema Idealizado Viga simplesmente apoiada sob a ação duma carga uniformente distribuída.
u2; k =1
R2
e M1
Numero finito de parâmetros
Mecânica Computacional
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Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
k2 =1R 2
=µ1 + dµ1 ° µ1
dx3= µ1;3
A curvature é a taxa de variação da rotação, ao longo do eixo:
Cinemática
Mecânica Computacional
7
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
k2 =1
R2
=µμ1 + dµμ1 ¡ µμ1
dx3
= µμ1;3
A curvature é a taxa de variação da rotação, ao longo do eixo:
Cinemática
Mecânica Computacional
8
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
A rotação é a taxa de variação do deslocamento, ao longo do eixo:
Cinemática
° µ1 º tan µ1 =u2 + du2 ° u2
dx3= u2;3
Mecânica Computacional
8
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
A rotação é a taxa de variação do deslocamento, ao longo do eixo:
Cinemática
¡µμ1 ¼ tan µμ1 =u2 + du2 ¡ u2
dx3= u2;3
Mecânica Computacional
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Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo k2 =
1R 2
= µ1;3
° µ1 = u2;3
k2 = ° u2;33
æ33 =M1x2I11
æ33 = E "33
"33 =x2R 2
= k2x2
k2 =M1
E I11
° p2 = M1;33
Equilíbrio
Constitutivo
Cinemática
Mecânica Computacional
9
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo k2 =
1
R2
= µμ1;3
¡µμ1 = u2;3
k2 =¡u2;33
¾33 =M1x2
I11
¾33 = E "33
"33 =x2
R2
= k2x2
k2 =M1
EI11
¡p2 = M1;33
Equilíbrio
Constitutivo
Cinemática
Mecânica Computacional
9
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo k2 =
1
R2
= µμ1;3
¡µμ1 = u2;3
k2 =¡u2;33
¾33 =M1x2
I11
¾33 = E "33
"33 =x2
R2
= k2x2
k2 =M1
EI11
¡p2 = M1;33
Equilíbrio
Constitutivo
Cinemática
Mecânica Computacional
9
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo k2 =
1
R2
= µμ1;3
¡µμ1 = u2;3
k2 =¡u2;33
¾33 =M1x2
I11
¾33 = E "33
"33 =x2
R2
= k2x2
k2 =M1
EI11
¡p2 = M1;33
Equilíbrio
Constitutivo
Cinemática
Mecânica Computacional
10
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
DBCs
Kinematics Statics
Constitutive FBCs
Distributed transverse load p(x3)
Bending moment M(x3)
Prescribed end loads
-p=M,33
M = EI κ Curvature κ(x3)
Transverse displacement u2(x3)
Prescribed end displacements
κ =-u2,33 k2 = ° u2;33 ° p2 = M1;33Cinemática Equilíbrio
Constitutivo
Mecânica Computacional
k2 =M1
E I11
10
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
DBCs
Kinematics Statics
Constitutive FBCs
Distributed transverse load p(x3)
Bending moment M(x3)
Prescribed end loads
-p=M,33
M = EI κ Curvature κ(x3)
Transverse displacement u2(x3)
Prescribed end displacements
κ =-u2,33 k2 =¡u2;33 ¡p2 = M1;33Cinemática Equilíbrio
Constitutivo
Mecânica Computacional
k2 =M1
EI11
10
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
DBCs
Kinematics Statics
Constitutive FBCs
Distributed transverse load p(x3)
Bending moment M(x3)
Prescribed end loads
-p=M,33
M = EI κ Curvature κ(x3)
Transverse displacement u2(x3)
Prescribed end displacements
κ =-u2,33 k2 =¡u2;33 ¡p2 = M1;33Cinemática Equilíbrio
Constitutivo
Mecânica Computacional
k2 =M1
EI11
10
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
DBCs
Kinematics Statics
Constitutive FBCs
Distributed transverse load p(x3)
Bending moment M(x3)
Prescribed end loads
-p=M,33
M = EI κ Curvature κ(x3)
Transverse displacement u2(x3)
Prescribed end displacements
κ =-u2,33 k2 =¡u2;33 ¡p2 = M1;33Cinemática Equilíbrio
Constitutivo
Mecânica Computacional
k2 =M1
EI11
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
k2 = ° u2;33
k2 =M1
E I11
Linha Elástica
u2;33 = °M1
E I11Com DBCs: u2 = 0 at x 3 = 0
x3 = l
Equação diferencial com BCs
u2 =p2x324E I11
(x33 ° 2lx23 + l3)
Solução exata da equação diferencial
número infinito de graus de liberdade( em cada ponto ) u2 x 3
° p2 = M1;33
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
k2 =¡u2;33
k2 =M1
EI11
Linha Elástica
u2;33 = ¡M1
EI11Com DBCs: u2 =0 at
x3 = 0
x3 = l
Equação diferencial com BCs
u2 =p2x3
24EI11(x3
3 ¡ 2lx23 + l3)
Solução exata da equação diferencial
número infinito de graus de liberdade( em cada ponto ) u2 x3
Exemplo da Modelação Computacional
3 – Modelo Contínuo
k2 =¡u2;33
k2 =M1
EI11
Linha Elástica
u2;33 = ¡M1
EI11Com DBCs: u2 =0 at
x3 = 0
x3 = l
Equação diferencial com BCs
u2 =p2x3
24EI11(x3
3 ¡ 2lx23 + l3)
Solução exata da equação diferencial
número infinito de graus de liberdade( em cada ponto ) u2 x3
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Exemplo da Modelação Computacional
4 – Modelo Discreto
A solução deste problema simples determinou-se analiticamente com métodos exatos ou formais.
Os problemas práticos não têm soluções exatas. Neste caso, a discretização que usa métodos numéricos, é aplicada para se obter uma solução aproximada.
Mecânica Computacional
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Número finito de graus de liberdade: u1, u2, u3 & u4
4 – Modelo Discreto
– Nós– pontos do domínio onde os graus de liberdade, as incógnitas u1, u2, u3 & u4, são definidas.
Exemplo da Modelação Computacional
Elementos Finitos
Mecânica Computacional
Solução aproximada
1 2 3 4
u2 u3
Finite Element Mesh
– Elementos – região entre cada par de nós, onde se prescreve uma aproximação local (linear).
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4 – Modelo Discreto
Exemplo da Modelação Computacional
A aproximação u, definida em cada elemento, dá origem a um resíduo RD na equação diferencial. Este resíduo é ponderado por uma função arbitrária WD e distribuído no domínio D – formulação de resíduos ponderados:
Formulação dos Elementos Finitos
Mecânica Computacional
u0 = u + E R ¢ = L u in ¢Z
¢(L u) W¢ d¢ = 0
Wheighted Residual Equation (WRE)
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4 – Modelo Discreto
Exemplo da Modelação Computacional
A aproximação u, definida em cada elemento, dá origem a um resíduo RD na equação diferencial. Este resíduo é ponderado por uma função arbitrária WD e distribuído no domínio D – formulação de resíduos ponderados:
Formulação dos Elementos Finitos
Mecânica Computacional
u0=u+E R¢=Lu in ¢
Z
¢
(Lu)W¢d¢=0
Wheighted Residual Equation (WRE)
4 – Modelo Discreto
Exemplo da Modelação Computacional
A malha de elementos finitos permite que o WRE seja calculado através da contribuição de cada elemento, dando origem a um sistema de equações algébricas, cujas incógnitas são os graus de liberdade. Este sistema substitui o sistema de equações diferenciais:
K u = P
Malha de Elementos Finitos
Mecânica Computacional
K =
P =2
666664
u1
u2
u3
u4
3
777775
u =
1 2 3 4 Finite Element Mesh
Sistema de equações algébricas
4 – Modelo Discreto
Exemplo da Modelação Computacional
A malha de elementos finitos permite que o WRE seja calculado através da contribuição de cada elemento, dando origem a um sistema de equações algébricas, cujas incógnitas são os graus de liberdade. Este sistema substitui o sistema de equações diferenciais:
Ku =P
Malha de Elementos Finitos
Mecânica Computacional
K =
P=2
666664
u1
u2
u3
u4
3
777775
u=
1 2 3 4 Finite Element Mesh
Sistema de equações algébricas
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Exemplo da Modelação Computacional
A precisão pode sempre ser melhorada através de um dos métodos: método h – mantendo o mesmo tipo de elemento, a malha é refinada com elementos mais pequeno. método p – mantendo a mesma malha, eleva-se o grau da aproximação local.
4 – Modelo Discreto Precisão da solução
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Mecânica Computacional
Programa do Curso
1) Ambiente do MAPLE 2) Modelação Computacional 3) Aproximação com Resíduos Ponderados 4) Técnicas de Interpolação 5) O Método dos Elementos Finitos 6) Aplicações na Mecânica dos Fluidos 7) Aplicações na Mecânica dos Sólidos
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Mecânica Computacional
Bibliografia • Portela, A., Charafi, A., Finite Elements Using Maple – A Symbolic Programming Approach, Springer, Berlin, 2002. • Zienkiewicz, O.C., Morgan, K., Finite Elements and Approximation, John Wiley & Sons, New York, 1983. • Brebbia, C.A., Connor, J.J., Finite Elements for Fluid Flow, Butterworths, London 1975. • Bath, K.J., Wilson, E.L., Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice Hall, New Jersey, 1976. • Zienkiewicz, O.C., The Finite Element Method, Mc Graw-Hill, New York, 1977.
Course material: http://www.moodle.uevora.pt/1112/course/view.php?id=1376
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Mecânica Computacional
Avaliação de Conhecimentos
- Apresentação oral na aula (30 minutes) de 2 trabalhos de grupo.
Não haverá exame final
Software Trabalho de grupo: MAPLE
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Mecânica Computacional Homework – 1
Mecânica Computacional
Compute the seepage discharge under the dam, with the finite element method.
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Mecânica Computacional Homework – 1
Mecânica Computacional
Impermeable boundary
Seepage boundary
Artificial seepage boundary
120 m 120 m
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Mecânica Computacional Homework – 1
Mecânica Computacional
mesh1
mesh2
mesh3
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Mecânica Computacional Homework – 1
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mesh1
mesh2
mesh3
gradiente da densidade da energia
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Mecânica Computacional Homework – 1
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Mecânica Computacional Homework – 1
Mecânica Computacional
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Mecânica Computacional Homework – 1
Mecânica Computacional
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Mecânica Computacional Homework – 2
Mecânica Computacional
A building is to be founded on a ground with permeable soil. Within the base of the building, the excavation works in the foundation require the water table to be lowered by means of pumping out from 4 wells. Compute the discharge to be pumped out from each well, using the finite element method.
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Mecânica Computacional Homework – 2
Mecânica Computacional
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Mecânica Computacional Homework – 3
Mecânica Computacional
Consider a circular or square disc under the action of two compressive point forces. Consider the symmetry of the problem and design a smart mesh of finite elements.
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Mecânica Computacional Homework – 3
U3=0.2695E-5
52 elementos finitos
Malha prática
U2=0.3341E-5 43 elementos finitos
Smart Mesh Malha eficiente
U2 > U3 > U1 U3 = 80% U2 U1 = 33% U2
U1=0.2227E-5
50 elementos finitos
Malha regular
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Mecânica Computacional
Mecânica Computacional
Uma consola curta serve de apoio a uma viga que lhe transmite uma força concentrada através de um aparelho de apoio. Admitindo um estado plano de tensão, discretize a consola com uma malha de elementos finitos e calcule as tensões principais desenhando-as na malha. Comente se a consola tem a forma mais conveniente.
Homework – 4
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Mecânica Computacional
Boa sorte !!!
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