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Mecânica Computacional 1 Mecânica Computacional Artur Portela

Introducing FEM

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Page 1: Introducing FEM

Mecânica Computacional 1

Mecânica Computacional

Artur Portela

Page 2: Introducing FEM

Mecânica Computacional

Mecânica Computacional

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Objetivos do curso 1 – Compreensão clara dos princípios básicos do Método dos Elementos Finitos (MEF); 2 – Resolução de alguns problemas práticos para familiarização com a modelação com o MEF.

Page 3: Introducing FEM

Mecânica Computacional

Mecânica Computacional

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Mecânica Computational – resolução de problemas da Mecânica, através da Modelação Computational – isto é, processo de representação dos problemas, com Modelos Discretos implementados em computador. Modelos Discretos:

•  Diferenças finitas (MDF), •  Elementos finitos (MEF), •  Elementos de fronteira (BEM).

Page 4: Introducing FEM

Mecânica

Mecânica Computacional

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Mecânica

- Nano e Micromecânica

- Mecânica do Contínuo

-  Mecânica dos Sólidos -  Mecânica dos Fluidos -  Multifísica

Os ramos da Mecânica classificam-se de acordo com os problemas físicos que tratam:

Page 5: Introducing FEM

Modelação Computacional

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SISTEMA FÍSICO •  número infinito de parâmetros

SISTEMA IDEALIZADO •  número finito de parâmetros

MODELO CONTÍNUO •  sistema de equações diferenciais •  número infinito de graus de liberdade •  solução exata (matematicamente)

MODELO DISCRETO •  sistema de equações algébricas •  número finito de graus de liberdade •  solução aproximada

Idealização: selecionar os parâmetros fundamentais realmente caraterísticos do fenômeno.

Modelagem Matemática: aplicação dos princípios da Mecânica: cinemática, equilíbrio & constitutivo

Discretização: definição dos graus de liberdade num número finito de pontos, os nós da malha, através de MDF, MEF e BEM.

Mecânica Computacional

Page 6: Introducing FEM

6

Exemplo da Modelação Computacional

Determinar a deformada da estrutura sob a ação do pesopróprio.

1 – Sistema Físico

Número infinito de parâmetros

2 – Sistema Idealizado Viga simplesmente apoiada sob a ação duma carga uniformente distribuída.

u2; k =1R 2

e M1

Numero finito de parâmetros

Mecânica Computacional

6

Exemplo da Modelação Computacional

Determinar a deformada da estrutura sob a ação do pesopróprio.

1 – Sistema Físico

Número infinito de parâmetros

2 – Sistema Idealizado Viga simplesmente apoiada sob a ação duma carga uniformente distribuída.

u2; k =1

R2

e M1

Numero finito de parâmetros

Mecânica Computacional

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Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo

k2 =1R 2

=µ1 + dµ1 ° µ1

dx3= µ1;3

A curvature é a taxa de variação da rotação, ao longo do eixo:

Cinemática

Mecânica Computacional

7

Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo

k2 =1

R2

=µμ1 + dµμ1 ¡ µμ1

dx3

= µμ1;3

A curvature é a taxa de variação da rotação, ao longo do eixo:

Cinemática

Mecânica Computacional

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Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo

A rotação é a taxa de variação do deslocamento, ao longo do eixo:

Cinemática

° µ1 º tan µ1 =u2 + du2 ° u2

dx3= u2;3

Mecânica Computacional

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Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo

A rotação é a taxa de variação do deslocamento, ao longo do eixo:

Cinemática

¡µμ1 ¼ tan µμ1 =u2 + du2 ¡ u2

dx3= u2;3

Mecânica Computacional

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Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo k2 =

1R 2

= µ1;3

° µ1 = u2;3

k2 = ° u2;33

æ33 =M1x2I11

æ33 = E "33

"33 =x2R 2

= k2x2

k2 =M1

E I11

° p2 = M1;33

Equilíbrio

Constitutivo

Cinemática

Mecânica Computacional

9

Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo k2 =

1

R2

= µμ1;3

¡µμ1 = u2;3

k2 =¡u2;33

¾33 =M1x2

I11

¾33 = E "33

"33 =x2

R2

= k2x2

k2 =M1

EI11

¡p2 = M1;33

Equilíbrio

Constitutivo

Cinemática

Mecânica Computacional

9

Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo k2 =

1

R2

= µμ1;3

¡µμ1 = u2;3

k2 =¡u2;33

¾33 =M1x2

I11

¾33 = E "33

"33 =x2

R2

= k2x2

k2 =M1

EI11

¡p2 = M1;33

Equilíbrio

Constitutivo

Cinemática

Mecânica Computacional

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Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo k2 =

1

R2

= µμ1;3

¡µμ1 = u2;3

k2 =¡u2;33

¾33 =M1x2

I11

¾33 = E "33

"33 =x2

R2

= k2x2

k2 =M1

EI11

¡p2 = M1;33

Equilíbrio

Constitutivo

Cinemática

Mecânica Computacional

Page 10: Introducing FEM

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Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo

DBCs

Kinematics Statics

Constitutive FBCs

Distributed transverse load p(x3)

Bending moment M(x3)

Prescribed end loads

-p=M,33

M = EI κ Curvature κ(x3)

Transverse displacement u2(x3)

Prescribed end displacements

κ =-u2,33 k2 = ° u2;33 ° p2 = M1;33Cinemática Equilíbrio

Constitutivo

Mecânica Computacional

k2 =M1

E I11

10

Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo

DBCs

Kinematics Statics

Constitutive FBCs

Distributed transverse load p(x3)

Bending moment M(x3)

Prescribed end loads

-p=M,33

M  =  EI  κ Curvature κ(x3)

Transverse displacement u2(x3)

Prescribed end displacements

κ  =-u2,33 k2 =¡u2;33 ¡p2 = M1;33Cinemática Equilíbrio

Constitutivo

Mecânica Computacional

k2 =M1

EI11

10

Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo

DBCs

Kinematics Statics

Constitutive FBCs

Distributed transverse load p(x3)

Bending moment M(x3)

Prescribed end loads

-p=M,33

M  =  EI  κ Curvature κ(x3)

Transverse displacement u2(x3)

Prescribed end displacements

κ  =-u2,33 k2 =¡u2;33 ¡p2 = M1;33Cinemática Equilíbrio

Constitutivo

Mecânica Computacional

k2 =M1

EI11

10

Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo

DBCs

Kinematics Statics

Constitutive FBCs

Distributed transverse load p(x3)

Bending moment M(x3)

Prescribed end loads

-p=M,33

M  =  EI  κ Curvature κ(x3)

Transverse displacement u2(x3)

Prescribed end displacements

κ  =-u2,33 k2 =¡u2;33 ¡p2 = M1;33Cinemática Equilíbrio

Constitutivo

Mecânica Computacional

k2 =M1

EI11

Page 11: Introducing FEM

Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo

k2 = ° u2;33

k2 =M1

E I11

Linha Elástica

u2;33 = °M1

E I11Com DBCs: u2 = 0 at x 3 = 0

x3 = l

Equação diferencial com BCs

u2 =p2x324E I11

(x33 ° 2lx23 + l3)

Solução exata da equação diferencial

número infinito de graus de liberdade( em cada ponto ) u2 x 3

° p2 = M1;33

Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo

k2 =¡u2;33

k2 =M1

EI11

Linha Elástica

u2;33 = ¡M1

EI11Com DBCs: u2 =0 at

x3 = 0

x3 = l

Equação diferencial com BCs

u2 =p2x3

24EI11(x3

3 ¡ 2lx23 + l3)

Solução exata da equação diferencial

número infinito de graus de liberdade( em cada ponto ) u2 x3

Exemplo da Modelação Computacional

3 – Modelo Contínuo

k2 =¡u2;33

k2 =M1

EI11

Linha Elástica

u2;33 = ¡M1

EI11Com DBCs: u2 =0 at

x3 = 0

x3 = l

Equação diferencial com BCs

u2 =p2x3

24EI11(x3

3 ¡ 2lx23 + l3)

Solução exata da equação diferencial

número infinito de graus de liberdade( em cada ponto ) u2 x3

Page 12: Introducing FEM

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Exemplo da Modelação Computacional

4 – Modelo Discreto

A solução deste problema simples determinou-se analiticamente com métodos exatos ou formais.

Os problemas práticos não têm soluções exatas. Neste caso, a discretização que usa métodos numéricos, é aplicada para se obter uma solução aproximada.

Mecânica Computacional

Page 13: Introducing FEM

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Número finito de graus de liberdade: u1, u2, u3 & u4

4 – Modelo Discreto

– Nós– pontos do domínio onde os graus de liberdade, as incógnitas u1, u2, u3 & u4, são definidas.

Exemplo da Modelação Computacional

Elementos Finitos

Mecânica Computacional

Solução aproximada

1 2 3 4

u2 u3

Finite Element Mesh

– Elementos – região entre cada par de nós, onde se prescreve uma aproximação local (linear).

Page 14: Introducing FEM

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4 – Modelo Discreto

Exemplo da Modelação Computacional

A aproximação u, definida em cada elemento, dá origem a um resíduo RD na equação diferencial. Este resíduo é ponderado por uma função arbitrária WD e distribuído no domínio D – formulação de resíduos ponderados:

Formulação dos Elementos Finitos

Mecânica Computacional

u0 = u + E R ¢ = L u in ¢Z

¢(L u) W¢ d¢ = 0

Wheighted Residual Equation (WRE)

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4 – Modelo Discreto

Exemplo da Modelação Computacional

A aproximação u, definida em cada elemento, dá origem a um resíduo RD na equação diferencial. Este resíduo é ponderado por uma função arbitrária WD e distribuído no domínio D – formulação de resíduos ponderados:

Formulação dos Elementos Finitos

Mecânica Computacional

u0=u+E R¢=Lu in ¢

Z

¢

(Lu)W¢d¢=0

Wheighted Residual Equation (WRE)

Page 15: Introducing FEM

4 – Modelo Discreto

Exemplo da Modelação Computacional

A malha de elementos finitos permite que o WRE seja calculado através da contribuição de cada elemento, dando origem a um sistema de equações algébricas, cujas incógnitas são os graus de liberdade. Este sistema substitui o sistema de equações diferenciais:

K u = P

Malha de Elementos Finitos

Mecânica Computacional

K =

P =2

666664

u1

u2

u3

u4

3

777775

u =

1 2 3 4 Finite Element Mesh

Sistema de equações algébricas

4 – Modelo Discreto

Exemplo da Modelação Computacional

A malha de elementos finitos permite que o WRE seja calculado através da contribuição de cada elemento, dando origem a um sistema de equações algébricas, cujas incógnitas são os graus de liberdade. Este sistema substitui o sistema de equações diferenciais:

Ku =P

Malha de Elementos Finitos

Mecânica Computacional

K =

P=2

666664

u1

u2

u3

u4

3

777775

u=

1 2 3 4 Finite Element Mesh

Sistema de equações algébricas

Page 16: Introducing FEM

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Exemplo da Modelação Computacional

A precisão pode sempre ser melhorada através de um dos métodos: método h – mantendo o mesmo tipo de elemento, a malha é refinada com elementos mais pequeno. método p – mantendo a mesma malha, eleva-se o grau da aproximação local.

4 – Modelo Discreto Precisão da solução

Mecânica Computacional

Page 17: Introducing FEM

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Mecânica Computacional

Programa do Curso

1)  Ambiente do MAPLE 2)  Modelação Computacional 3)  Aproximação com Resíduos Ponderados 4)  Técnicas de Interpolação 5)  O Método dos Elementos Finitos 6)  Aplicações na Mecânica dos Fluidos 7)  Aplicações na Mecânica dos Sólidos

Mecânica Computacional

Page 18: Introducing FEM

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Mecânica Computacional

Bibliografia •  Portela, A., Charafi, A., Finite Elements Using Maple – A Symbolic Programming Approach, Springer, Berlin, 2002. •  Zienkiewicz, O.C., Morgan, K., Finite Elements and Approximation, John Wiley & Sons, New York, 1983. •  Brebbia, C.A., Connor, J.J., Finite Elements for Fluid Flow, Butterworths, London 1975. •  Bath, K.J., Wilson, E.L., Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice Hall, New Jersey, 1976. •  Zienkiewicz, O.C., The Finite Element Method, Mc Graw-Hill, New York, 1977.

Course material: http://www.moodle.uevora.pt/1112/course/view.php?id=1376

Mecânica Computacional

Page 19: Introducing FEM

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Mecânica Computacional

Avaliação de Conhecimentos

-  Apresentação oral na aula (30 minutes) de 2 trabalhos de grupo.

Não haverá exame final

Software Trabalho de grupo: MAPLE

Mecânica Computacional

Page 20: Introducing FEM

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Mecânica Computacional Homework – 1

Mecânica Computacional

Compute the seepage discharge under the dam, with the finite element method.

Page 21: Introducing FEM

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Mecânica Computacional Homework – 1

Mecânica Computacional

Impermeable boundary

Seepage boundary

Artificial seepage boundary

120 m 120 m

Page 22: Introducing FEM

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Mecânica Computacional Homework – 1

Mecânica Computacional

mesh1

mesh2

mesh3

Page 23: Introducing FEM

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Mecânica Computacional Homework – 1

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mesh1

mesh2

mesh3

gradiente da densidade da energia

Page 24: Introducing FEM

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Mecânica Computacional Homework – 1

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Page 25: Introducing FEM

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Mecânica Computacional Homework – 1

Mecânica Computacional

Page 26: Introducing FEM

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Mecânica Computacional Homework – 1

Mecânica Computacional

Page 27: Introducing FEM

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Mecânica Computacional Homework – 2

Mecânica Computacional

A building is to be founded on a ground with permeable soil. Within the base of the building, the excavation works in the foundation require the water table to be lowered by means of pumping out from 4 wells. Compute the discharge to be pumped out from each well, using the finite element method.

Page 28: Introducing FEM

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Mecânica Computacional Homework – 2

Mecânica Computacional

Page 29: Introducing FEM

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Mecânica Computacional Homework – 3

Mecânica Computacional

Consider a circular or square disc under the action of two compressive point forces. Consider the symmetry of the problem and design a smart mesh of finite elements.

Page 30: Introducing FEM

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Mecânica Computacional Homework – 3

U3=0.2695E-5

52 elementos finitos

Malha prática

U2=0.3341E-5 43 elementos finitos

Smart Mesh Malha eficiente

U2 > U3 > U1 U3 = 80% U2 U1 = 33% U2

U1=0.2227E-5

50 elementos finitos

Malha regular

Page 31: Introducing FEM

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Mecânica Computacional

Mecânica Computacional

Uma consola curta serve de apoio a uma viga que lhe transmite uma força concentrada através de um aparelho de apoio. Admitindo um estado plano de tensão, discretize a consola com uma malha de elementos finitos e calcule as tensões principais desenhando-as na malha. Comente se a consola tem a forma mais conveniente.

Homework – 4

Page 32: Introducing FEM

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Mecânica Computacional

Boa sorte !!!

Mecânica Computacional