2

INTRODUÇÃO 3

Oficina de Formação 6 Educação Financeira 8 CalculadoragráficanoprogramadeMatemáticaA10 CálculoIntegral 12 AtividadesComplementares 14

Aspectos Matemáticos da tapeçaria O Número 15

Experiências Matemáticas I 18 EscoladeverãoMathIngenious 18 ClubedematemáticaClubeMath 19 EscoladeverãoMatNova 20

Experiências Matemáticas II 21 Projeto“ActiveLab” 21 Projeto“ORobotAjuda!” 23 Programa“i” 26

Práticas Matemáticas na Implementação do Currículo 29

Ficha técnica 33

Participantes 34

Patrocinadores e Financiadores 36

ÍNDICE

3

AterceiraediçãodoEncontrodeProfessoresdoEnsinoSecundário,ProfNova,realizou-senosdias7e8desetembrode2017noDepartamentodeMatemática(DM) da Faculdade de Ciências eTecnologia (FCTNOVA). Esta iniciativa, dogrupodedivulgaçãodoDepartamentodeMatemáticadaFCTNOVA(divMAT)foiumconviteaosProfessoresparaconheceremanossaescola,oseucampus,asuaofertaeducativa,assaídasprofissionaisetambémasatividadesdesenvolvidasnoDepartamentodeMatemática.Nesteencontro,osprofessorestiveramaoportunidadedeinvestiremnovasferramentasparaoensinodaMatemática,atravésdeumaoficinadeformaçãoacreditadaem1.0créditoscomtrêstemasdistintos:CalculadoragráficanoprogramadeMatemáticaA,CálculoIntegraleEducaçãoFinanceira.

NoencontrodeprofessoresProfNova2017osparticipantespuderamassistiraalgumasatividadescomplementaresàoficinadeformação.Osparticipantestiveram,ainda,aoportunidadedeassistirà sessãofinaldaescoladeverãoMatNova2017.Estasatividadestiveramcomoobjetivopromoverodebateea reflexãosobreoensinodaMatemática,partilhandoexperiências realizadasnoEnsinoBásicoeSecundárioenaFCTNOVA.Foramdoisdiasintensosdeformaçãogeraleespecífica,detrocadeexperiênciasediscussãodenovasefuturasestratégiasparaoensinodaMatemática.Entreosparticipantesdoencontroforamsorteadasquatrocalculadorasgráficas(duasCasiofx-CG20eduasTexasTI-nspireouTI84).

AsessãodeaberturadoencontrofoipresididapeloDiretordaFCTNOVA,ProfessorFernandoSantanae contou comapresençadoPresidentedoDM,Professor

Figura 1-Participantesna1ªsessãodoProfNova2017,duranteasessãodeabertura

INTRODUÇÃO

Figura 2 - Pormenor de um professor participante no

ProfNova2017folheandooguiãodoencontro

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VítorHugo Fernandes e como coordenador da comissãoorganizadora do ProfNova 2017, Professor Filipe Marques(Figuras1,2e3).

Logodeseguidaàsessãodeabertura, foiapresentadoumsemináriopeloProfessorLuísTrabuchodaFCTNOVAaoqualseseguiramosmódulosdeformação1e2daoficina.Odiaterminoucomumasessãoplenária,intituladaExperiênciasMatemáticas I. O dia seguinte começou com um painelsobreaimplementaçãodocurrículodematemática,seguin-do-seosmódulos2e3daoficinadeformaçãoeterminoucom uma sessão plenária, ExperiênciasMatemáticas II.Os participantes na 1ª sessão do ProfNova 2017 foramaindaconvidadosaparticiparnasessãodeapresentaçãodos projetos da escola de verão para alunos do ensinosecundário,MatNova2017,queserealizounosábado,8desetembro.AFigura4contémoprogramada1ªsessãodoProfNova2017.

5ª feira, 7 de setembro 6ª feira, 8 de setembro sábado, 9 de setembro 8.30’ Registo 9.00’ Sessãodeabertura Práticasmatemáticas 9.30’ Seminário implementaçãodocurrículo

10.30’ Coffee-break Coffee-break 11.00’ Oficinadeformação Oficinadeformação Módulo1 Módulo3

13.00’ Almoço Almoço 14.00’ 14.30’ Oficinadeformação Oficinadeformação Sessãofinalda Módulo2 Módulo4 EscoladeVerão MatNova2017 16.30’ Coffee-break Coffee-break (Participação 16.45’ Experiências Experiências opcional) MatemáticasI MatemáticasI

Figura 3 - Imagem dos membros da mesa durante a sessão

de abertura. Da esquerda para a direita, o presidente do DM,

ProfessorVítorHugoFernandes,oDiretordaFCTNOVA,Professor

FernandoSantanaeocorrdenadordoProfNova2017,Professor

FilipeMarques

PROGRAMA

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Acomissãoorganizadoraagradeceadisponibilidade,empenhoeiniciativadosformadores dos três temas, os professores CristinaNegra, EmanuelMartinho eHélderMartins no cursoCalculadoraGráfica noProgramadeMatemáticaA, osprofessoresPauloDoutoreRosárioLopesnocursoCálculoIntegraleosprofessoresAntónioDomingos,PaulaTeixeiraeAnaSantiagonocursoemEducaçãoFinanceira.Acomissãoorganizadoraagradece,ainda,acolaboraçãodedicadadosmonitoresRubenNeves,AnaFigueiral,BeatrizSalvadoreValériaRomanciuc.OencontroteveoapoiodaFCTNOVA,daAssociaçãoparaaInovaçãoeDesenvolvimentodaFCTecontoucomospatrocíniosdasempresasTexasInstruments,CasioeSantillana.

ApróximaediçãodoProfNova,aquarta,serárealizadaem2019,seguindoumaregularidade bienal para este encontro que se esperamanter durantemuitasedições,procurando responderànecessidadede formaçãoeatualizaçãodosprofessoresdematemáticadoensinobásicoesecundário.

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Oficina de FormaçãoEstaediçãodoEncontrodeProfessoresdoEnsinoSecundário,ProfNova incluiuumaoficinadeformaçãocomtrêstemas,acreditadaem1.0créditos.

Os temas da oficina de formação foram: Calculadora gráfica no programa deMatemáticaA,CálculoIntegraleEducaçãoFinanceira.

Osparticipantesforamselecionados,deacordocomassuaspreferências,apenasparaumtema.

Cada temadaoficinadesenvolveu-se em26horas de trabalho: 13horas detrabalho conjuntoe13horasde trabalho individualautónomo.As13horasdetrabalhoconjuntoforamdistribuidasportrêssessõesdistintas.Naprimeirasessão,realizadanosdias7e8desetembronaFCTNOVAeenglobadanoprogramadoProfNova2017,foramrealizados4módulosdeformaçãode2horascada.Asegundasessãocomaduraçãode2horaseopçãoderealizaçãonãopresencial,destinou-se à apresentação e discussão, numa fase intermédia, dos trabalhosdosformandos.Aúltimasessão,presencialeconjunta,realizadanodia25denovembrode2017na FCTNOVA, teve umaduração aproximadade3 horas.Nestaúltimasessão,foramapresentadosediscutidosostrabalhosdesenvolvidospelosformandos;primeironumasessãodividaportemase,finalmente,numasessãogeraleconjuntaondetodososformandospuderamavaliarediscutirosdiferentestrabalhosproduzidosemcadatemadaoficina.

Deseguida,faz-seumbreveresumodecadatema.

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Calculadora gráfica no programa de Matemática A Tendoporbaseodocumento“OrientaçõesdegestãocurricularparaoProgramaeMetas Curriculares deMatemáticaA”, da Direção Geral de Educação, em quese refere“queéobrigatórioqueosalunosdoEnsinoSecundário,emparticular,saibamutilizarumacalculadoragráfica”eatendendoaindaqueoexamefinalnacionaldadisciplinadeMatemáticaA,arealizarem2017/2018,iráserconstituídopordoiscadernos,emquesomentenumdelesépermitidoousodacalculadoragráfica,pretende-se,comestetema,analisartarefasparaasaladeaulaemquesejamexploradosconceitosdosdiferentesdomíniosdoProgramadeMatemáticaA,comespecialincidêncianasFunçõesReaisdeVariávelReal,Sucessões,Trigonome-tria,FunçõesExponenciaiseLogarítmicaseEstatística.

Cálculo IntegralOscurrículosportuguesesvoltamaabordaroCálculoIntegralnoEnsinoSecundáriotornandonecessárioreverosconteúdosrelacionados.Aborda-seafundamentaçãodoCálculoIntegral,seusresultadosprincipaisetécnicasdecálculo.Sãotambémapresentadosalgunsproblemastipoquepodemmotivaroestudodointegral.

Educação FinanceiraAEducaçãoFinanceirafazpartedoscurrículosportuguesesedeveserabordadacomosalunosdetodasasidades.Nestecursopretende-sealiarestadimensãoformativaàEducaçãoMatemática,contextualizandootemaearticulando-ocomocurrículodeMatemáticanosváriosníveisdeensino.Pretende-seaindadesenvolverediscutir tarefasparaasaladeaulaque integrema formaçãomatemáticadosalunosatravésdeproblemasqueenvolvamcompetênciasemliteraciafinanceira.

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Educação FinanceiraO tema da oficina de formação sobre a Educação Financeira contou com aparticipaçãode18docentesdematemáticadosensinosbásicoesecundárioeassessõesdetrabalhoconjuntoaconteceramentresetembroenovembro.

Osobjetivosdestetemaforam:i) ApresentaralgunspercursosinternacionaiseopercursonacionaldaEducação

Financeiracomoconteúdodeensino;

ii) ApresentaroReferencialdeEducaçãoFinanceira(REF);

iii) Caracterizar a EducaçãoMatemática Crítica enquanto quadro teórico quesustentaoensinodaEducaçãoFinanceira;

iv) AnalisaralgumastarefasquearticulamaEducaçãoFinanceiracomoscurrículosdematemáticadosensinosbásicoesecundário.

Oprimeiromódulo(figura1),daprimeirasessão,consistiunaintroduçãoaotemadaLiteraciaFinanceira.ForamdefinidosalgunsconceitosefoiapresentadooREF,documentoorientadorqueamaioriadosdocentesdesconhecia.Aindanaintroduçãoaotemaforamapresentadosalgunsrecursosparaprofessoresealunoscomtarefasparaos1.ºe2.ºCiclosproduzidoscomoapoiodoMinistériodaEducaçãoedo

PlanoNacionaldeFormaçãoFinanceira.

Nosegundoeterceiromódulos,daprimeirasessão,foramapresentados pelos formadores dois cadernos com seistarefas, de Educação Financeira para os ensinos básico esecundário,jáimplementadasemsaladeaulaediscutidaspelosformandosorganizadosempequenosgrupos(figura2).

Dadiscussãofezparteareflexãoacercadastarefas,comofoconostemasdoREFqueestasenvolviam,ostemasdamatemáticaquesepodiamensinar,osníveisdeensinoemquesepodiamaplicarepossíveisalteraçõesaefetuaràtarefa,adaptando-aaosalunoseníveisdeensinodosformandos.

Na segunda sessão, os formandos apresentaram aspropostasdetarefasqueiriamimplementaremcontexto

Figura1-slidedeintroduçãoaotema

9

desaladeaulacomosseusalunos.Osdocentesdiscutiramseispropostasdetarefasenvolvendoosseusalunosdos7º,9º,10ºe11ºMACS.Foiaindaapresentadaumapropostadetrabalhodeprojeto,umavezqueaprofessoranãotinhacomponenteletivanaescolaondetrabalhava.

Aúltimasessãoosformandosapresentaramosresultadosdaaplicaçãodastarefasaoscolegasdaoficina(figura3).

Osrelatóriosfinaisescritospelosformandosrevelaramqueestesconsideraramotemadaoficinadeformaçãobemorganizado e bem estruturado. Os formandos referiram

aindaque, a abordagemao tema seguidapelos formadores foipertinentee interessante. Por último, foi salientado tambémobomambiente emquedecorreram as sessões presenciais e referido a importância da discussão dasváriasquestõesqueforamsurgindo.

Formadores

AntónioDomingos(FCTNOVA),AnaSantiago(EscolaSuperiordeEducaçãodoInstitutoPolitécnicodeCoimbra),PaulaTeixeira(AgrupamentoEscolasJoãodeBarros,Corroios).

Figura 3 - Apresentação dos trabalhosdesenvolvidospelosformandosaoscolegasdogrupodeformação

Figura2-Ogrupodeformaçãoemtrabalho

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Este tema, destinado a professores do grupo de recrutamento500, sobre a utilização da calculadora gráfica no programadeMatemáticaA,decorreunosdias7e8desetembro,14deoutubroe25denovembro, tendoporobjetivoprincipaladiscussãodeestratégias de ensino num plano teórico e a sua aplicação nasaladeaula.

Especificamente,pretendeu-seconcretizarosseguintesobjetivos:

i) AprofundarconhecimentossobreoprogramadeMatemáticaAdoEnsinoSecundáriorelativamenteaosseguintesdomínios:Funções,Sucessões,Es-tatística,GeometriaeTrigonometria;

ii) Debater,noplanoteórico,aspetosrelacionadoscomaDidáticadaMatemáti-ca;

iii) Fomentaratrocadeexperiências,deconhecimentosedeideias;iv) Elaborarmateriaiseconstruirtarefasquepudessemserutilizadasemcon-

textodesaladeaula.

Nasprimeirasquatrosessõesdetrabalhoforampropostas(figura1)eresolvidas,empequenosgrupos,tarefassobreosdiversosdomínios,recorrendoaosmodelos

de calculadora gráfica presentes no mercado nacional,nomeadamente TI 84, TI-nspire e Casio fx-CG20, tendo sidocontextualizadaasuautilizaçãonoprogramadeMatemáticaA(figura2e3).

Apósaresolução,portodososgrupos,deumadeterminadatarefa era feita uma reflexão conjunta onde os formandosapresentavam as suas propostas de resolução, sendo, nofinal, efetuadauma análise dos descritores envolvidos natarefa proposta (na figura 4 podem observar-se os váriosgruposdetrabalho).

Figura2-Osformandosdurantearesoluçãodosproblemaspropostos,recorrendoàutilizaçãodecalculadorasgráficas

Figura1-1ºSlidedaapresentaçãodesuporte

Calculadora gráfica no programa de Matemática A

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Nas duas últimas sessões procedeu-se a uma apresentação dosmateriaiselaboradospelosdiversosformandos,primeironumasessãocom os formandos do tema e depois, na sessão geral, com todos osformandosparticipantesnoProfNova2017.Estesmateriais,porpropostadosformadores,foramtestadospreviamentenasaulasdecadaprofessorenvolvido.

Assessõesdecorreramtodasnumambiente informalcommomentosdereflexãoindividualecoletiva.

Formadores

CristinaNegra(ESGamaBarros,Cacém),EmanuelMartinho(ESGamaBarros,Cacém),HelderMartins(ESAntónioDamásio,Lisboa).

Figura 3 - Resolução de um problema envol-vendo a medida dos diâmetros de moedas.

Figura 4 - O grupo de formação estruturado em pequenos grupos de trabalho

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Cálculo IntegralAintroduçãodoCálculoIntegral,noscurrículosportuguesesdoEnsinoSecundário,motivou a inclusão deste tema na oficina de formação, tendo como principalobjetivofacilitaraabordagemdesteconteúdoporpartedosprofessores.

No tema abordou-se a fundamentação do Cálculo Integral, os seus resultadosprincipais e algumas técnicas de cálculo. Foram também apresentados algunsproblemastipo,quepodemmotivaroestudodointegralporpartedosalunosdoEnsinoSecundário.

Especificamente,procurámosconcretizarosseguintesobjetivos:i) Definirintegralintuitivamentecomoáreaedefinirintegralformalmente(utilizando

somasdeDarboux);ii) Relacionarointegralcomaprimitivação,enunciandoedemonstrandooTeorema

FundamentaldoCálculoeaRegradeBarrow;iii) Enunciaredemonstrarpropriedadesdointegral,querrecorrendoàdefinição

intuitiva,queràformal,queraoTeoremaFundamentaldoCálculo;iv) Calcularintegrais,nomeadamenteintegrandoporsubstituiçãoeporpartes;v) Aplicarointegralnocálculodeáreasenaresoluçãodeproblemasdeoutras

áreascientíficas,nomeadamenteFísica,Química,Economia,etc.

Aprimeirasessão, realizadaem7e8desetembrode2017desenvolveu-seem4 módulos, onde os formadores apresentaram os conteúdos e os formandosrealizaramexercíciosdeconsolidaçãoedeexploração.Foitambémapresentadooenunciadodotrabalhoqueosformandos,emequipa,teriamderealizarsobreotema.

Foi-lhespropostodesenvolvermaterialpedagógicosobreoCálculoIntegral,paraaplicaçãoemcontextodesaladeaula,preferencialmenteaplicandoumconteúdonão lecionadona oficina.Mais concretamente, foi indicado aos formandos:1)selecionarumaaplicaçãodoCálculoIntegralaumaáreacientífica(Economia,Biologia,Física,Química,Geografia,etc),propondoaosalunosumoumaisproblemasaresolver;2)prepararaaprendizagemdosconteúdosdentrodosubtema“NoçãodeIntegral”necessáriosàresoluçãodosproblemaspropostos,recorrendoaosmeiosqueconsiderassemmaisapropriados(fichasexploratóriascomousemexercíciosdeaplicação, ferramentas informáticas,aplicaçõesparaacalculadora,etc.);3)enquadrarexplicitamenteasferramentasdesenvolvidasnasmetascurriculares;4)elaborarumafichaformativa,relativamenteàqualdeviamserexplicitadas,paracadaexercício,asmetasquesepretendiamalcançar.

Figura1-RascunhodeumaaplicaçãodoCálculo integralàEconomia, feitaporumformando

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Na segunda sessão, os formandos discutiram entre si e com os formadores otrabalho jádesenvolvido,enriquecendo-o.Os4gruposdetrabalhoconvergiramnaturalmenteparaodesenvolvimentode ferramentasquesecomplementavame permitiam abordar todo o tema do Cálculo Integral, desde a motivação eapresentação das noções básicas até aplicações bastante exigentes do ponto devistatécnicoeconceptual,adequadasaalunoscommaisaptidãoparaotema,passando,obviamente,pelaaprendizagemdaspropriedadesessenciais.

Naterceirasessão,osformandosapresentaramasferramentasquedesenvolverame os problemas que selecionaram para motivar e justificar a aprendizagem. Aapresentaçãofoifeitatambém,numasessãoplenária,aosformandosenvolvidosnosoutrostemas.

Formadores

PauloDoutor(FCTNOVA),RosárioLopes(ESAntónioGedeão,Almada).

Figura3-Resoluçãodeumproblemaenvolvendoamedidadosdiâmetrosdemoedas.

Figura3-Resoluçãodeumproblemaenvolvendoamedidadosdiâmetrosdemoedas.

Figura3-Resoluçãodeumproblemaenvolvendoamedidadosdiâmetrosdemoedas.

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Nesta ediçãodoEncontrodeProfessoresdoEnsinoSecundário, Prof-Nova2017, ofereceram-se quatro sessões complementares à oficina deformação:Seminário,ExperiênciasMatemáticasI,PráticasMatemáticasnaImplementaçãodoCurrículoeExperiênciasMatemáticasII.

Noprimeirodiadoencontroenaaberturarealizou-seoSeminário“AspectosMatemáticosdaTapeçariaONúmero”,proferidopeloProfessorLuísTrabucho(FCTNOVA), ondeesteapresentaos símbolose conceitosmatemáticospresentes na obra. No final do dia teve lugar a sessão ExperiênciasMatemáticasI,organizadapeloProfessorPauloDoutor(FCTNOVA),ondeforamapresentadasalgumasiniciativasdedivulgaçãodematemáticanaFCTNOVA.

OpainelPráticasMatemáticasnaImplementaçãodoCurrículoapresentoudiferentespráticaspedagógicasemmatemáticaefoiorganizadopelaPro-fessoraFátimaRodrigues(FCTNOVA).AsessãoExperiênciasMatemáticasII,organizadapeloProfessorAntónioDomingos(FCTNOVA)epeloDr.HélderMartins(ESAntónioDamásio,Lisboa),apresentoutrêsprojetospioneirosemmatemática.Estasduassessõestiveramlugarnoinícioefimdosegundodiadoencontro,respetivamente.

Atividades Complementares

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Palestra integrada no MatNova 2017 e no ProfNova 2017 FCT NOVA, 07 de Setembro de 2017.

A tapeçariaONúmero (1955-1958), visível na figura 1, foi uma das obrasencomendadaspeloTribunaldeContasaAlmadaNegreirosaquandodamudançadeinstalações,doArsenalparaotorreãonascentedaPraçadoComércio,em1954.

Nestatapeçaria,AlmadaNegreirospretendefazerumaCronologiadoconceitodeNúmero.Trata-senãosódeumareferênciaaoprincipalinstrumentodetrabalhodosContadores1mastambémdemostrarcomoonúmeroestásemprepresentenosaspectoscentraisefundamentaisdoconhecimentoHumano,desdeoiníciodasgrandescivilizaçõesatéaosdiasdehoje,passandopormarcosfundamentaiscomoosconhecimentosdaGréciaAntigaeoadventodaCiênciamodernainiciadacomoRenascimento.Nasuaobra,AlmadaNegreiros temsempreapreocupaçãodeiràsorigensecitarsemprequemprimeirofezistoouaquilo,quecivilizaçãointroduziuprimeiramenteesteouaqueleconceito.

1NoiníciodaprimeiraDinastia,ascontaspúblicaseasreceitasdaCoroaeramverifica-daspeloConselhoRealeregistadasnoslivrosdosRecibos Reais (RecabedoRegni).SónoreinadodeD.Diniséquesecriaoquesepoderáchamardeumarepartiçãocontabilística:ACasadosContos.ACasadosContosé,pois,omaisremotoantecessordoTribunaldeContas.FicavainstaladanumadastorresdoCastelodeSãoJorge.OsseusfuncionárioseramdesignadosporContadores.

Aspectos Matemáticos da tapeçaria O Número

Figura1Tapeçaria O Número

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A figura central representa um homem de Vitrúvio da autoria de Cesare diLorenzoCesariano (1475–1543),pintorearquitecto italianoaquemsedeveaprimeiratraduçãodolatimparaitalianodoTratadodeArquitecturadeVitrúvio.

PorcimadestaexisteumalegendaatribuídaaRaimundoLúlio(ca.1232–1315)quefoioprimeiroautorautilizarumalínguaneolatinaparaexpressarconhecimentosfilosóficos,científicosetécnicos.

Porbaixodafigura central a tapeçaria exibeuma fraseatribuídaaPrometeu,figuracentraldeumaobradeÉsquilo(ca.525/524a.C.–456/455a.C.).Trata-sedareferênciaaomitodePrometeupatentenaobraPrometeuAcorrentadoemqueestedáaconheceraoshomensofogobemcomooAlfabetoeosNúmeros.

A figura à (nossa) esquerda representa oHomemGrego que executa algunscálculosrecorrendoaumábacoestilizado.AfiguraàdireitarepresentaoHomemdoRenascimentoqueexibeumdesenhocontendoumpentágonoregular,associadoaoNúmerodeOuroeaosElementosdeEuclides.Aseuladoencontram-sealgumasequaçõesqueseencontramenquadradaseassociadasaonomedeLucaPacioli,consideradoofundadordacontabilidademodernaaodescrever,pelaprimeiravezem1494,ométodocontabilísticodasPartidasDobradas(métodoVeneziano).

Asimagensàesquerdarepresentamelementosefactosassociadosàantiguidadeclássica. Encontram-se referenciados por diversas legendas: Suse, Cnossos,Pitágoras,Bauhütte,FiguraSupérfluaExErroredeLeonardodaVincieEuclides.

As imagens à direita representam amodernidade com alguns dos primeiroselementos e factos novos e científicos que surgiram com o Renascimento.Encontram-setambémreferenciadospordiversaslegendas:Libelus de Quinque Corporibus Regularibus(Libelosobreoscincocorposregulares)dePierDellaFrancesca, Proportionem Habentem Medium Duoque Extrema (designação donúmero de ouro na Antiguidade Clássica), atribuída a Campanus de Novare(Novara,1220–Viterbo,1296).Nestapartedatapeçariaencontram-seaindacincodesenhosquerepresentamoscincoSólidosPlatónicosquernumavisãoplanificadaquernumavisãotridimensionaltransparente,daautoriadeLeonardodaVinciefeitosparailustraraobradeLucaPacioliDe Divina Proportione.

GiovanniCampano,maisconhecidocomoCampanodaNovaraouJohannesCampanus(Novara,1220–Viterbo,1296),foiumastrólogo,astrónomo,médicoematemáticoitaliano.Em1260publicouumaediçãolatinadeOsElementosdeEuclides,apartirdaversãoárabe.FoiestaversãoqueserviuparaaprimeiraediçãoimpressadosElementosdeEuclidesdatadade1482.

TodosestesaspectosdatapeçariaaparecemunidosporaquiloqueAlmadaNegreirosdesignouporCânone,istoé,porRelação9/10eporNúmerodeOuro.

ARelação9/10nãoémaisdoquearazãoentreanonaparteeadécimapartede

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umadadagrandeza.Emparticular,AlmadaNegreirosrefere-se,frequentemente,àdivisãodacircunferênciaemnoveparteseemdezpartesiguais.TodasasconstruçõesgeométricasdeAlmadaNegreirossãofeitascomonaGréciaantiga,istoé,comodescritonosElementosdeEuclides,recorrendoapenasaumaréguanãograduadaeaumcompasso. AlmadaNegreiros fez inúmerasconstruções (CostaeFreitas,2015)emque relacionaestesdoisaspectosdoCânone,algumasdasquaisseencontramrepresentadasnatapeçaria.

Agradecimentos

ÀDr.aCristinaCardoso,DirectoradoDepartamentodeArquivodeDocumentaçãoedeInformaçãodoTribunaldeContas,pelasfacilidadesconcedidaspeloTribunalde Contas, bem como toda a informação e documentação prestada (Paixão eLourenço,1994,1995),(PaixãoeCardoso,1999).

AimagemdatapeçariaONúmerofoigentilmentecedidapelaAPOTEC–AssociaçãoPortuguesa deTécnicos deContabilidade; Fotógrafo: ContrasteFotografia(porocasiãodoIVEncontroInternacionalLucaPaciolideHistóriadaContabilidade–Lisboa,2015).

EstetextonãosegueasnormasdonovoAcordoOrtográfico.

Referências

J.C.PaixãoeM.A.Lourenço:Contos do Reino e Casa,RevistadoTribunaldeContas,no.21,22,Janeiro/Dezembrode1994eno.23,Janeiro/Setembrode1995.J.C.PaixãoeC.Cardoso:Os Espaços: Percurso de uma Instituição,RevistadoTribunaldeContas,no.32,Julho/Dezembrode1999.S.P.CostaeP.J.Freitas:Livro de Problemas de Almada Negreiros,LeiturasemMatemática,Vol.14,SociedadePortuguesadeMatemática,2015.

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Experiências Matemáticas IAsessãoExperiênciasMatemáticasIapresentouaosparticipantesnoProfNova2017três iniciativas desenvolvidas pelo Departamento deMatemática da FCTNOVAdestinadasaalunosdoensinobásicoesecundário:aescoladeverãoMathIngenious,apresentada pela ProfessoraMagdaRebelo, o ClubeMath, apresentado pelasProfessoras Fátima Rodrigues eMarta Faias e a escola de verãoMatNova,apresentadapelaProfessoraAnaCristinaCasimiro.

Escola de verão MathIngeniousAEscoladeverãoMathIngenious2017decorreuentre5e7dejulhode2017,naFCTNOVA.Destinadaaalunosdeméritoqueconcluíramo12ºanodeescolaridadeequeevidenciamuma forte apetênciapelaMatemática, funcionou comquatrotemáticas subjacentes: Matemática e Cosmos, Matemática e Vida, Matemática,FinançaeRiscoeaindaMatemáticaeSegurança.Astemáticasfuncionaramemparalelo,peloquecadaalunoapenasfrequentouuma.Oobjetivodaescolaéodesenvolvimentodecapacidadesecompetênciascientíficasdoaluno,tendosempreamatemáticacomoferramentasubjacente.

Cadaumadastemáticasfoiorganizadaemtrêsmódulos.Nomódulodeumahora“ConhecendooPassado”foifeitaumaresenhahistóricarelativaaoposicionamentodamatemáticanatemáticaemcausa,comparticularfocoemproblemasqueexijamconhecimentomatemáticoparaarespetivaresolução.Pretendeu-seassimmotivarecontextualizarotrabalhoaserdesenvolvidonomóduloseguinte,“SabendoMais”.Estemódulocorrespondeuaumminicursodenovehoras,ondeforamdetalhadosalguns problemas relacionados com a temática escolhida. Os alunos tiveramoportunidadedeadquirirnovosconhecimentosmatemáticos,sempreenquadradosno seu atual nível de competências e na temática em causa.Oúltimomóduloteveaduraçãodeduashorasedesignou-sepor“OSaberemAção”.Nestemódulopretendeu-sequeosalunoscontactassemcomumaaplicaçãoreal,enquadradanatemáticaemcausa,ondeamatemáticatenhacontribuídodeumaformasignificativaparaarespetivaresolução.

Paraalémdetodaaaprendizagemcientífica,osalunostiveramoportunidadedevivenciaroambienteuniversitário,contactarcomalunosdosdiferentesciclosde

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estudosda FCTNOVAe tambémparticipar emalgumas atividades lúdicas, sobaresponsabilidadedealgunsNúcleosdaFCTNOVA,quepotenciaramummaiorcontactoinformalentreosalunosdaMathIngeniouseosestudantesdaFCTNOVA.

OsperíodosdofinaldodiadaescolaforamutilizadosparadaraosalunosumaperspetivasobreosdiferentesplanosdeestudosoferecidospelaFCTNOVA,quersobopontodevistainstitucional“PercursosnaFCTNOVA”,querpelavozdeatuaisalunos“LugaraosNovos”.Oúltimodestesperíodosfocouosdesafiossubjacentesaumacarreiraprofissionalemmatemática.

Clube de matemática ClubeMathOClubeMathéumclubedematemáticadestinadoajovensdoensinobásicoesecundário,ondesedáaconhecerumafacetadiferenteedivertidadamatemática,estimulando assim o gosto e o interesse por esta ciência. Desenvolvem-seatividades lúdicas, envolvendo conceitos ou procedimentosmatemáticos, deforma a contribuir para desmistificar esta disciplina e promover o sucessoeducativodosjovens(afigura1ilustraocarácterlúdicodoclube).

Os conteúdos de cada sessão são diferenciados por escalão. Os participantesmaisnovosdesenvolvematividadescomrecursoajogosdeestratégia,àresoluçãode problemas através da experimentação, ao desenvolvimento das aptidõesgeométrico-espaciaisatravésdaresoluçãodepuzzles,entreoutras.

Os participantes do nível secundário desenvolvem pequenos projetos ondetêmoportunidadedeaplicaramatemáticaadiferentestemas,porexemplo,teoriade jogos, economia, finanças e biologia, o que lhes permite compreender arelevânciadamatemáticaemdiferentesáreasdoconhecimento.

Figura 1 - Imagem da página de internet do ClubeMath

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Escola de verão MatNovaAMatNovaéumaescoladeverãodestinadaaalunosdeexcelênciadoensinosecundário,preferencialmentecomo10ºouo11ºanodeescolaridadeconcluídos.Propõeintroduzirnovasáreasdoconhecimentomatemático,aprofundaroníveldeconhecimentosdematemáticaadquiridosnoensinosecundário,trabalharalgunstópicosavançados,masaindaaoalcancedeumbomalunoedivulgaradiversidadedesaídasprofissionaisqueumalicenciaturaemmatemáticapodeoferecer.

Aediçãode2017daMatNovarealizou-seentre5e9desetembrode2017,períodoemquetambémdecorreuaprimeirasessãodoProfNova2017.Noiníciodamanhã,osalunosassistiramaseminárioslecionadospordocentesdoDepartamentodeMatemáticadaFCTNOVA.Duranteorestodamanhãeamaiorpartedatarde,osalunosforamseparadosemváriosgrupos.Cadaumdosgruposfrequentouumcur-soondeexecutouumprojeto,comoapoiodedoisdocentesdodepartamento,bemcomodeummonitor,alunodaLicenciaturaemMatemáticadaFCTNOVA.Nofinaldoperíododatarde,osalunosrealizaramatividadesorganizadascomoobjetivodepromoveroconvívio(MatConvívio).

Na edição de 2017 a escolaMatNova apresentou os seminários“Matemática eBiologiadaConservação:mundosàparte?”,peloProfessorJorgeOrestesCerdeira,“A Estatística na Sociedade”, pela Professora Isabel Natário, “Matemática noEletrocardiograma:identificaçãodesituaçõesdeemergência”,peloProfessorRuiRodrigues,“AspetosMatemáticosdaTapeçaria<<ONúmero>>”,peloProfessorLuísTrabucho(estesemináriofoiconjuntocomoProfNova)e“A(s)Geometria(s)doUni-verso”,pelaProfessoraAnaCristinaCasimiro.Oscursos/projetosexecutadosforam“MatemáticaFinanceira”,“Equaçõesdiferenciais-uma introdução”,“M4t3m4t1c4,35p1õ3%eR41nh4%D3c4p1t4d4%”,“Paraotransfinitoemaisalém...”,“VivemosnumMundodeRedes”e“Amatemáticadasepidemiasevacinas”.

Asessãodesábado(destinadaaparticipantesnaescoladeverão,encarregadosdeeducaçãoeprofessores)foidivididaemduaspartes:naprimeiraparte“Profissão:Matemático!”, antigos alunos dematemática expuseram o impacto que umalicenciaturaemmatemáticatevenassuasvidasprofissionaisenasegundaparte,osalunosdaescoladeverãofizeramaapresentaçãodosprojetosqueexecutaram.

Páginas destas iniciativas:

eventos.fct.unl.pt/mathingenious2017eventos.fct.unl.pt/clubematheventos.fct.unl.pt/matnova2017

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Experiências Matemáticas IIO painel Experiências Matemáticas II foi moderado pelo Professor António Do-mingosecontoucomaintervenção/participaçãodetrêsconvidados:oDr.PauloAlmeida,oDr.PauloTorcatoeoDr.JoãoSimões(Figura1).

Projeto “ActiveLab”ODr. PauloAlmeida apresentou o projetoActiveLab (Figura 2), começandoporreferirqueos“AmbientesEducativosInovadores”,tambémconhecidoscomo“SalasdeAuladoFuturo”têmvindoaserimplementadosemdiversasescolasportuguesas(Figura3)epretendemconstituir-se como laboratórios de aprendizagem, espaçosdeinovação,paraprofessoresealunos,propíciosàutilizaçãodenovasmetodologias,nomeadamenteProject-BasedeInquiry-BasedLearning.

Estesespaços, inspiradosnoprojetoFutureClassroomLab,desenvolvidopelaEuropeanSchoolnettêmvindoasercriadosumpoucoportodaaEuropaeemPortugaltêmvindoaseradotadosporumnúmerocrescentedeescolas.

OprojetodoAgrupamentodeEscolasFernandoCasimiroPereiradaSilva(AEFCPS),

Figura 1 - Imagem dos oradores da sessão Experiências Matemáticas 1. Da esquerda para a direita, Paulo Torcato, Paulo Almeida, João Simões. Em pé, o moderador da sessão, António Domingos

Figura 2 - Logotipo do Projecto “ActiveLab”

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doqualoDr.PauloAlmeidaéoDiretor,teveinícioem2013comaformaçãodecercade80docentesnametodologiaeaelaboraçãodeumapropostadelaboratóriodeaprendizagemparaaescolasededoagrupamento.

Comoevoluirdostrabalhos,acomunidadeeducativa foi formandoaconvicçãoqueoprojetodeveriaserremodeladodemodoaquetodososespaçoseducativossetornassem,deformagradual,ambienteseducativosinovadores.

Oagrupamentoprocurouparceirosinstitucionaisenãoinstitucionaiseencontra-se,àdata,areformularosespaçoseaimplementarafilosofiainerenteaoprojeto.

OprojetoActiveLabbaseia-senaconjugaçãodetrêsgrandesáreasdetransformação:o espaço, os recursose ametodologia.O trabalhoemcadaumadestas áreaséessencialparaosucessoeducativoeparaatransformaçãodosistemaeducativo.

AmetodologiadetrabalhodoActiveLabcolocaoalunonocentrodaaprendizagem,porcontrapontocomametodologiatradicional.

Aspropostasdetrabalhotêmporbaseaconstruçãodecenáriosdeaprendizagemeservem-sedasáreasemqueestãodivididososespaçosparaintroduzirdiferentesformasdeconduçãodaaula(Figura4).

Amudançadoespaçoacarretauma alteração substancial dedinâmicas de sala de aula

quequandoconjugadacomasalteraçõesmetodológicasecoadjuvadacomadisponibilizaçãodeumlequeapropriadoderecursos,possibilitaaexponen-ciaçãodequatrocatalisadores,asaber:Envolvimento;Personalização;Colabo-raçãoeFeedback(Figura5).

Figura 3 - Distribuição geográfica “Ambienbtes Educativos Inovadores”

Figura 4 - Imagem de uma sala com diversos espaços de trabalho

Figura 5 - Descrição dos quatro catalisadores

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Aseleçãodosrecursosteveemconsideraçãoasoutrasduasdimensõesdoprojeto:espaçoemetodologia.Nestesentido,osrecursosaalocaraoprojetoforamadquiridosouselecionadostendoporbaseosseguintescritérios:Mobilidade;RobustezeFlexibilidade.

Estesentroncamigualmentenosseguintesaspetos:• Promoçãodotrabalhocolaborativo;• Ênfasenaavaliaçãoformativa;• Universalidadedeacesso.

Deentreosrecursosquefazempartedoprojetodestacam-se:• Hardware:38tablets,2mesasinterativas,1ActivePainel,1ActiveSlater,1

ActiveView,3Quadrosinterativos,4projetores,12cadeirasmóveis,duasban-cadas,12computadoresfixos,1impressora3D,1microscópioótico,2sensoresdemovimento,1kitdegeolocalização,1câmaradefilmar,1sistemadesom,4computadoresportáteis,37ActiveExpressionerobotsdeváriostipos.

• Software:várias ferramentasgratuitasparacadaumadasáreasespecíficaseoutrasparautilizaçãoglobal, comoporexemplo: kahoot,padlet,Scratch,popplet,ClassFlow,ClassDojo,TeamUp,TeamViewer,Pocoyo,emaze,Powtoon,mindmeister,mindomo,plickers,socrative,office365,entreoutros(Figura7).

EmrelaçãoàutilizaçãoespecíficadoActiveLabpordocentesdematemáticarealçam-se as tarefas com recurso ao Geogebra, a utilização da plataformaKhanAcademyeastarefasrealizadastendoporbaseasappletsdisponíveisnaweb.

Projeto “O Robot Ajuda!”ODr.PauloTorcatodeuaconheceraospresentesoprojeto“ORobotAjuda!”(Figura8),baseadonautilizaçãoderobots,comomaterialpedagógico,comoobjetivodeaproveitar a curiosidade dos alunos dirigindo-a para a descoberta e apreensãodeconceitosnasáreasdafísicaedaquímica,damatemáticaedainformáticaeainda

Figura 6 - O orador Paulo Torcato, durante a apresentação

Figura 7 - Vários tipos de software utilizado no projeto “ActiveLab”

Figura 8 - Logotipo do Projeto “O Robot Ajuda!”

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paraaprogramaçãoeapresentaçãodeatividadesexperimentais,poralunoseparaalunos,estimulandoosintervenientesepromovendoogostopelaciênciaeaautoaprendizagem.

Recorrendo a robots pretende-se captar jovens para atividades na área dasciências,emparticular,paraasengenhariasetecnologiasdeinformação.Assimsendoosalunosconstroemeprogramamprotótiposparaproblemastipo.

Arealidadedasescolastemsofridograndesalteraçõesnosúltimosanos,comaproliferaçãoeousodastecnologias.Anovarealidadedassalasdeaulalevaaosurgimentodenovosambientesenovasestratégiasdeaprendizagem.

A observação de robotsmóveis, autónomos, no desempenho de uma atividadequalquer,ésempreummotivodegrandeinteresse,emqualqueridade.Nosjovens,quandosepodealiaràobservaçãoodesenvolvimentodosprópriosrobots,háumamotivaçãoacrescida,peloesforço realizadonacriaçãodealgonovoe comumcomportamentoautónomo.

Considera-seassimqueprojetosdedesenvolvimentode robotsmóveis sãoummeioextremamenteeficazdeaproximarecaptarjovensparaatividadesnaáreadasciênciasedastecnologiasdeinformaçãoecomunicação.

Autilizaçãodarobóticaeducativatemumafortecom-ponentepráticaeexperimental(Figura10).Éfomenta-doumciclodeprojeto–construção– teste curto, demodoa tornar viável uma experimentação fácil.Assim,cadaalunopodeconstatardiretamenteavalidadedasideiasqueproduzeganharsensib-ilidadeàspotencialidadesdosrobotsmóveis,mui-todistantesdaperspetiva antropomórficaquenosé comum, por natureza.Acredita-se que o seu usotemimpactopositivonasaprendizagensdosalunosequepodeserencaradocomoumanovaestratégiadeaprendizagem.

Figura 9 - Imagem do orador, Paulo Almeida, durante a apresentação do projeto “O Robot Ajuda!”, à esquerda dos restantes oradores da sessão.

Figura 10 – Apresentação de ima-gens ilustrando a forte componente prática e experimental do projeto

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Aestratégiaimplementada,independentementedautilizaçãodarobóticaeducativa,está alicerçada nametodologia de aprendizagem baseada em projetos, namedidaemqueéorganizadaeimplementadaemcumprimentodascaracterísticasdoProject-BasedLearning.

Aimplementaçãodoprojetoteveinícioemsetembrode2009comoobjetivodelevararobóticaatodososalunosdaEscolaSecundáriaArco-Íris(Portela).

Nosdoisprimeirosanosaexecuçãodoprojetorestringiu-seaumaturmado12.ºano,nadisciplinadeÁreadeProjeto.Aolongodoanocadaumdos5gruposdealunosrealizouumprojeto, recorrendoarobots,ecriouumprotótipocomoobjetivoderesolverumproblemaexistente.Osprojetosdesenvolvidospelosalunosestiveramemdestaqueanívelnacionalnoconcurso“JovensCientistaseInvestigadores”.

Paralelamente, foi criado umClube deRobótica para que todos os alunos daescola,emespecialosmaisnovos,pudessemtercontactocoma robótica.Nesteâmbito,noanode2010,umgrupodealunosdo3.ºCiclorealizouaolongodoanooprojeto“Umrodinhasautónomo”queobteveumaMençãoHonrosanoProjetoCiêncianaEscola.

Apartirdoanode2012asatividadesforamalargadasàdisciplinadeAplicaçõesInformáticasBdo12.ºanoeoClubedeRobóticacontinuouemfuncionamento.Graçasàmotivaçãoquearobóticatrouxeaosalunosaqualidadedosprojetosfoi sendo cadavezmaior e oprojeto foi convidadoparadivulgar os seustrabalhos e dinamizar workshops de robótica para alunos e professores denorteasuldePortugal.

Desde2013,asatividadesforamalargadasàdisciplinadeProgramaçãoeMulti-média,docursovocacional(destinadoaalunoscompelomenosduasretençõesequetêmdificuldadesdeintegraçãonoensinoregular).

Em2014 começaram as atividades na escola EB1/JI da Portela.Os alunos do4.ºano(umaturmacom23alunos,sendo3estrangeirose2comnecessidadeseducativasespeciais),comoapoiodosalunosdocursovocacional,aprenderamaprogramaremScratcherealizaramumprojetocomrobots.Comarealizaçãodesteprojetopromoveu-seasaladeaulainclusiva.

Em2016asatividadesincluíram:

• Alunoscomnecessidadeseducativasespeciais.Apartirdejaneiroforamelaboradosguiasdeprojetosde robotsque serãoutilizadosno trabalhoespecíficocomalunosautistas;

• A realização de atividades de programação e robótica, divididas emduassessõesde90minutossemanais,naEscoladoDepartamentodePediatriadoHospitaldeSantaMaria.

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Desdeoiníciodoprojeto,em2009,váriosprotótiposparticiparamemconcursosealgunsforampremiados(verFigura11),destacando-seosprémiosseguintes:

• “PrémiosReconhecimentoàEducação2010/2011”:2.ºlu-garnacategoria“InovaçãoPedagógica”

• “PrémioEscolarMontepio2013”• “EducaçãoEspecial2015”• WSISPrizes2016:oprojeto“ORobotAjuda!”foiumdosno-

meadosnacategoriaC4–“CapacityBuilding”• Prémio“Portugal,PaísdeExcelênciaemEngenharia”:oprojeto

“DevisitaaoMuseu?ORobotAjuda!”obteveumamençãohonrosa.

O projeto “O Robot Ajuda!” tem permitido através do esforço de alunos eprofessores,entreoutrascoisas,promoverarobóticaeducativacomometod-ologiadeaprendizageme:

• motivarosalunosparaasCTEM(Ciência,TecnologiaEngenhariaeMatemática);• promoverogostopelaprogramação;• promoverousodasTIC;• utilizarnovasmetodologiasnasaladeaula;• desenvolvernosalunosascompetênciasdoséculoXXI.

Onossotrabalhoestálongedeestaracabado.Enquantohouveralunoseescolasparavisitar,afrase“ORobotAjuda!”continuaráaserutilizadanaPortelaenorestodopaís.

ComodisseNewton:“Nãoseisobqueaspetoomundomeviu,masparamimpróprio,nãofuimaisdoqueumrapazinhobrincandoàbeira-maredivertindo-medevezemquandoaoencontrarumseixomaislisoouumaconchamaisbeladoqueoutras,enquantoograndeoceanodaverdadeestendiadiantedemimtudooqueestavapordescobrir.”

Programa “i”ODr.JoãoSimõesdeuaconheceroPrograma“i”.EstePrograma,queestáemvigordesdeoanoletivo2015/2016eéparteintegrantedoProjetoEducativodoColégioCampodeFlores,veiocriarcondiçõestécnicasepedagógicasquepermitiramumamaiordiversificaçãoderecursoseestratégiasdeensinoeaprendizagemnoensinosecundário.Assim,emvezdostradicionaismanuaisempapel,osalunosexploramassuasversõesdigitaiseinterativas,bemcomooutrasaplicaçõesdaáreadoensino,utilizandoosiPadspessoais(Figura12).

Figura 11 - Apresentação dos prémios com os quais o projeto “O Robot Ajuda!” foi distinguido

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Nosdiasdehoje,osdispositivosmóveis fazempartedoquotidianodamaioriadosalunos,logo,aplicarumametodologiaestruturada,aquandodasuautilizaçãoemcontextoescolar,serádesencadearoportunidadesparaparticiparemmaisativamentenasuaformaçãoacadémicaepessoal.

Complementarmétodosdeensinoedeaprendizagem,desdeosmaistradicionaisaosmaisinovadores,assume-secomoomeioparaatingirofimdeformarcidadãoscríticos,criativosereflexivos,capazesdeagireresolverproblemasnummundoglobalizadoecompetitivo.

AutilizaçãodoiPademcontextodeaprendizagemdadisciplinadematemática,éumcomplementoútil ao“papele lápis”namedidaem que ajuda os alunos a convencerem-se de que determinadapropriedadeéválidautilizando,paratal,váriosexemplos,sendotambém umamais-valia para a compreensão, consolidação dosconceitos e resoluçãodeproblemasparaos quais os alunosnãodispõemdemétodosanalíticos.

As orientações de gestão curricular para o Programa eMetas CurricularesdeMatemática, vêm reforçar que existem determinados softwares/apps, tais comoosprogramasdegeometriadinâmica,que constituem recursospreciososparaas aulas, nomeadamente para a identificaçãodenumerosassituaçõesque ilustremrelaçõesaanalisarposteriormentede formamaiscriteriosa (Figura13).Destaforma,osalunosdevemserencorajadosautilizaratecnologiadeformaautónoma,utilizandoosrecursosdigitaisdisponibilizadosoufazendousocriativodessessoftwares/apps,semnuncadescuraraimportânciado“papelelápis”.

Duranteasuacomunicação,oDr.JoãoSimõespartilhoualgunsexemplosdaquiloquetemvindoadesenvolvernoâmbitodestePrograma,bemcomo,algumasdaspotencialidadesdautilizaçãocuidadosaeintegradadoiPademcontextodesaladeaula,nadisciplinadematemática.AproveitoutambémparadaraconheceralgunsProjetosdeInvestigaçãoIndividuais(PIIN)quetemorientadoetêmsidodesenvolvidospelosalunosdocolégionoâmbitodadisciplinadematemática,nosquaisatecnologiadesempenhaumpapelimportante,namedidaemqueosajudaadesenvolveremaintuição,amaturidadeparamaisfacilmenteinterpretaremumenunciadodeumproblemaea estabeleceremnovas conjeturas. EstesprojetossãodesenvolvidosemparceriacomaFCTNOVA,aoabrigodeumprotocolocelebradoentreasduasinstituições.

Figura 12 - Ilustração da utilização do iPad no Programa “i”

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Sobre os oradores do painel

Paulo TorcatoÉlicenciadoemMatemáticaAplicada,RamoInformática,naUniversidadeAutónomadeLisboaetemfrequênciadoMestradoemEducação,áreaTICeEducação,noInstitutodeEducaçãodaUniversidadedeLisboa.Éprofessor,dogrupodeInformática,doQuadrodoAgrupamentodeEscolasdePortelaeMoscavide.Éformadoracreditado,peloConselhoCientífico-PedagógicodaFormaçãoContínua,nasáreasdeDidáticadeInformáticaeTecnologiasEducativas.ÉprofessorcooperantenoMestradoemEnsino- Informáticado InstitutodeEducaçãodaUniversidadedeLisboa.ÉMicrosoftInnovativeEducatorExpertdesdeagostode2016.

Paulo AlmeidaÉlicenciadoemmatemáticapelaUniversidadedeCoimbra,épós-graduadoemEnsinodaMatemáticaemestreemMatemáticapelaUniversidadedeAveiro,em2008terminouasuaEspecializaçãoemAdministraçãoEscolar.ÉdiretordoAgrupamentodeEscolasFernandoCasimiroPereiradaSilvaemRioMaior(AEFCPS),desde2012,tendosidosubdiretorentre2008e2012eassessorentre2007e2008.FoiprofessoracompanhantedoPlanodeAçãoparaaMatemáticae,durante10anos,foisupervisordeexamespeloIAVE.PauloAlmeidaécoautordeváriosmanuaisescolaresdematemáticadediferentesanosdeescolaridadeeparticipounoprojetoEQUAMATdaUniversidadedeAveiro.

João SimõesÉlicenciadoemMatemáticapelaFCTNOVA.ÉprofessordeMatemáticaAnoColégioCampodeFlores.ÉDoutorandoemMatemáticanaespecialidadedeÁlgebraeLógicanaFCTNOVA.ÉMembrodoCentrodeMatemáticaeAplicações(CMA)daFCTNOVA.ÉdocenteconvidadonoSeminárioemAspectosdoPensamentoContemporâneodaFCTNOVA.

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OpainelPráticasMatemáticasnaImplementaçãodoCurrículocontoucomain-tervençãodetrêsconvidados:aProfessoraPaulaTeixeira,oDr.HelderMartinseaDr.ªClementinaTimóteo.AProfessoraPaulaTeixeira fezaapresentaçãodeumestudosobreautilizaçãodosmanuaisdematemáticaedosseusrecursostecnológicos,efetuadoemoficinasdeformaçãoacreditadas, realizadasduranteoprimeiroperíodode2009/2010e durante o terceiro período de 2010/2011 e que envolveramprofessores deescolas damargem sul.As oficinas de formação seguiram omodelo F@R:Formação–Ação–Reflexãoetiveramcomoobjetivorelacionarapreparaçãodasaulascomautilizaçãodos recursos tecnológicosqueacompanhamosmanuais,identificandoostiposdeinteraçãoentreosprofessoreseosrecursosassimcomoasorquestraçõesinstrumentaisutilizadase/ouproduzidas,determinadaspelosrecursos tecnológicos que as escolas, envolvidas no estudo, tinhamdisponíveisparaoensinodamatemática.Comoresultadodoestudo,seguindoBrown(2009),amaioriadosprofessoresreplicaramaspropostasdomaterialcurricularnaíntegra,algunsprofessoresseguiramassugestõesapresentadasnomaterialcurricularmasadaptaram-nas ao seu contextoe às suaspreferências eumapequenaminoriadeprofessoresescolheuseguirassuasprópriasideiasenãoseguirassugestõesapresentadaspeloautordomaterialcurricular.Aoradorafrisouqueainteraçãoqueoprofessor adotou,o replicar, o adaptarouo improvisarnãodeterminoua qualidade da aula e referiu ainda, que namonitorização feita em sala deaula,seguindoosváriostiposdeorquestraçõesinstrumentais(devidosaDrijvers,Troucheeoutrosautores)aprevalênciadeatuaçãonoEnsinoSecundárioéaderealização do trabalho em grande grupo, orientado pelo professor e utilizandoslidesprojetados.SegundoaoradoraPaulaTeixeira:“Tradicionalmente,osmanuaispermanecemcomorecursoscentraisparaoensinodamatemáticanamaioriadospaíses(Gueudet,PepineTrouche,2012).Autilizaçãoqueosprofessoresfazemdomanualédeterminantenapassagemdocurrículoapresentadoaomodeladopelosprofessores(Gimeno,1998).”Abibliografiareferidapelaoradorafoiaseguinte:

ODr.HelderMartinsapresentouocasopráticodeimplementaçãodoatualcurrículodeMatemáticaA,naEscolaSecundáriaAntónioDamásio,emLisboa,noanoletivo2016/2017,emtrêsturmasde10.ºano(89alunos)eumaturmade11.ºano(32alunos)doCursoCientíficodeCiênciaseTecnologias.Oautorreferiuqueapósaanálisedosdocumentosorientadores“Orientaçõesdegestãocurricularpara

Práticas Matemáticas na Implementação do Currículo

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oProgramaeMetasCurricularesdeMatemáticaA”,asestratégiasseguidasforamautilizaçãoexaustivadomanualadotado(Dimensões10eDimensões11)erespetivoscadernosdeatividades,umaseleçãocriteriosadosexercíciosaefetuarnasaladeaulaedosexercíciosetarefasadistribuircomotrabalhoautónomoeemgrupo,assimcomoasuacorreção.Foiaindaapresentadaumaplanificaçãopordomínioegraudeexecuçãodosprogramasdestesanosdeescolaridadenaqualseobservouumajustamentodasaulaspropostasnoprogramaparacadatema,oquepermitiuocumprimentoefetivodoprograma.Nofinal,oautorapresentoualgumascon-sideraçõesaosprogramasdeMatemáticaA–10.ºe11.ºanosdeescolaridade–tendoemcontaaimplementaçãoconseguida.Salientou,comovantagens,ofactodoprogramaestarbemestruturadoeserapresentadocomencadeamentológico,tendoosconteúdosbemdemarcados.Comoconstrangimentossalientouofactodealgunsconteúdosseremdemasiadoestanques,outrosextensosouaindaoutrosseremprecocesdadooníveldematuridadeedeautonomiadosalunos.Porfim,referiuqueparaalémdoprogramaedasmetasdeveriamtersidoelaboradasindi-caçõesmetodológicasdeabordagemdoprogramaemsaladeaulamaisprecisas.

ADr.ªClementinaTimóteo fezuma intervençãopráticade implementaçãodocurrículo comexemplificaçãodepossíveis abordagens a alguns conteúdosdoprograma.Salientouaoradoraque“OProgramaeasMetasCurricularesrespeitamaestruturacumulativaqueécaracterísticadadisciplinadematemática,apoiando-seosnovosconhecimentosemoutrospreviamenteestudadoseadquiridos.Deacordocoma investigação recentenaáreadoensinodamatemática,édesta formaprogressivaquesepodeirdesenvolvendoacompreensão,ouseja,quesepodeir construindouma sólida redede factos, conceitos, relaçõeseprocedimentossuscetíveldesermobilizada,deformaflexível,emdiversoscontextos.”Assim,segundoaoradora,odomínioLógicaeTeoriadeConjuntos–10.ºano,éumtemacentraletransversalatodooprogramasendopropício,noiníciodo10.ºano,àrevisãodeconteúdosdoensinobásicoquepodemsertrabalhadosdeformamaisteóricaeprofundacomaabordagemdasoperaçõeslógicas,suaspropriedadesetécnicas.Tendoapresentadováriosexemplosretiradosdemanuaisescolaresdisponíveisparaprofessores,referiuqueomesmodomínioincluiumaabordagem

Figura 1 - Clementina Timóteo durante a sua apresentação na sessão. Na mesa podem ver-se ainda os outros oradores, da direita para a esquerda, Helder Martins e Paula Teixeira. Na mesa à esquerda encontra-se a dinamizadora da sessão, Fátima Rodrigues.

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maissistemáticaderaciocíniosdemonstrativosquecomplementaoque já foitrabalhadonoensinobásicoondeserealizaramreconhecimentosinformaiseformais.Talabordagemé reconhecidacomoessencialpelaoradora:“As rotinaseau-tomatismossãoessenciaisàatividadematemática,umavezquepermitemlibertaramemóriadetrabalho,demodoqueestasepossadedicar,commaiorexclusividade,a tarefasqueexigem funções cognitivas superiores.” Porfim, identificoualgunsdesafios do programa de 10.º ano relacionados com as funções em termos dedidática, identificou algumas abordagens de interação comoutros domínios,nomeadamenteageometriacomaarteouamodelaçãocomosfenómenosfísicosoubiológicos.

Referências

1.Brown,M.W.(2009).Theteacher-toolrelationship:Theorizingthedesignanduseofcurriculummaterials.EmJ.T.Remillard,B.A.Herbel-Eisenmann,eG.M.Lloyd(Eds.),Mathematics teachers at work: Connecting curriculum materials and classroom instruction,(pp.17–36).NewYork:Routledge.2. Gueudet, G.,Trouche, L. (2012).Teachers’Workwith Resources: DocumentationalGenesesandProfessionalGeneses.EmG.Gueudet,B.Pepin,eL.Trouche(Eds.),From text to ‘lived’ resources: mathematics curriculum materials and teacher development(pp.23-41).NewYork/Berlin:Springer.3.Gimeno,J.(1998).Ocurrículo:umareflexãosobreaprática.Brasil:Artmed3ªedição.4.Negra,C.,Martinho,E.,Martins,H.Dimensões10.Santillana5.Negra,C.,Martinho,E.,Martins,H.Dimensões11.Santillana

Sobre os oradores do painel

Paula TeixeiraÉlicenciadaemMatemática-ramoeducacionaldesde1992,pelaFCTNOVA.TemomestradoemCiênciasdaEducaçãodesde2004,pelaFCTNOVA(Ateseencontra-sepublicadanaAssociaçãodeProfessoresdeMatemáticaetemotítulo“OAcompanhamentoLocalcomoModelodeDesenvolvimentoCurricularemMatemática”,tendoaautorasidomembrodaequipaqueacompanhouoprogramaajustadodematemáticadoensinosecundárioentre1998e2000edaequipaquepreparouaimplementaçãodosprogramasdeMatemáticaA,BeMACSentre2000e2002.)FezodoutoramentoemCiênciasdaEducação-teoriaedesenvolvimentocurricularem2015,naFCTNOVA.(Tese:“Construindonovasferramentasdidáticasemmatemática:professores,aulaerecursostecnológicos”)ÉformadoracertificadapeloConselhoCientifico-PedagógicodaFormaçãoContínuanas áreas e domínios das didáticas específicas damatemática; práticas deavaliaçãodorendimentoescolaretecnologiaseducativascomaplicaçãoàdidáticadamatemática.Temdinamizado,desde2000,açõesdeformaçãoparaprofessoresessencialmentesobre

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oensinodamatemáticacomutilizaçãodastecnologias.ÉprofessoradematemáticadosensinosbásicoesecundárionoAgrupamentodeEscolasJoãodeBarros,emCorroios,noqualcoordena,também,oDepartamentodeMatemáticaeCiênciasExperimentais.

Clementina TimóteoÉ licenciada emMatemática, ramode especialização científica pela FC/UL,desde1983.Realizouaprofissionalizaçãoem1984.TemomestradoemMatemáticaparaoEnsinopelamesmafaculdade,desde2002.É professora do quadro da Escola Básica e Secundária PadreAlberto Neto, emQueluz,desde1985ondetemdesempenhadovárioscargoscomoDelegadadeGrupoePresidentedoConselhoGeral.ParticipouemváriosgruposdetrabalhonoâmbitodaorganizaçãocurricularnoMinistériodaEducação,nomeadamentecomomembrodaequiparesponsávelpelaelaboraçãodasmetascurricularesparaoensinobási-coesecundáriodematemática.

Helder MartinsÉlicenciadodesde1992,emEnsinodaMatemática,pelaFC/UL.ConcluiuumCursodeEspecializaçãoemMatemática,naÁreadeEspecializaçãoemMatemáticaparaoEnsino,namesmainstituiçãodeensino,em2002.ÉmestreemEnsinodaMatemáticano3ºciclodoensinobásicoesecundário,pelaFCTNOVAdesdefevereirode2017.É professor na Escola SecundáriaAntónioDamásio, (antiga Escola SecundáriaProfessor Herculano de Carvalho) em Lisboa, desde 1992, tendo igualmenteacumuladofunçõesemdiversoscolégiosdaáreadagrandeLisboa.ColaborounosprojetosT3,daAPM,de1997a2005eREANIMAT,daFC/UL,de2001a2004.ÉsupervisordosexamesdematemáticaAdesde2003efoimembrodoAgrupamentodeExamesdeLisboaOriental-JNE,de1998a2014.É formador certificado pelo Conselho Científico-Pedagógico da FormaçãoContínuadesde1997,tendodinamizadodesdeentãocercade2dezenasemeiadeaçõesdeformaçãocreditadasparaprofessores.Éaindacoautordemanuaisescolaresdematemáticaparaoensinosecundário.

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Ficha técnicaComissão OrganizadoraAntónioDomingos FCTNOVAFilipeMarques(coordenador) FCTNOVAHélderMartinsInêsJorgeSequeira FCTNOVAMagdaRebelo FCTNOVAPaulaCouto FCTNOVAPauloDoutor FCTNOVA

ColaboradoresFátimaRodrigues FCTNOVACristinaCasimiro FCTNOVAMartaFaias FCTNOVA

ConvidadosPauloTorcato Agrup.Esc.dePortelaeMoscavidePauloAlmeida Agrup.Esc.FernandoCasimiroPereiradaSilvaLuísTrabucho FCTNOVAJoãoSimões ColégioCampodeFloresClementinaTimóteo EscolaSecundáriaPadreAlbertoNetoPaulaTeixeira EscolaSecundáriaJoãodeBarros

Apoio técnicoMárioSousa FCTNOVADivisãodeComunicaçãoeRelaçõesExteriores FCTNOVAFCTNOVA

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Participantes

AlexandreMorgadoBeloDiasRibeiro EscolaSecundáriaDr.JoséAfonsoAnaCristinadeSousaSantos EscolaSecundáriaDanielSampaioAnaLeonorDuarteGaudêncioPisco AgrupamentodeEscolasdeAlmeirimAnaMargaridaValejodeCamposCorreiaLobo EscolaSecundáriaAlfredodosReisSilveiraAnaMariadeBastosCoelhoBarata EscolaSecundáriaAlfredodosReisSilveiraAnaPauladaSilvaSantosdeAlmeida GrémiodeInstruçãoLiberaldeCampodeOuriqueAngelaMarianaPimentadaSilva EscolasecundáriaLuísFreitasBrancoCarlaGuidadaSilvaCardoso AgrupamentodeEscolasdeÁlvaroVelhoCarlaSofiadaCostaSilveiraGarcia EscolaSecundáriaManuelCargaleiroCarlaSofiaGandumdeSousa EscolaSecundáriadePalmelaCarlosMarquesDias AgrupamentoEscolasJoãodeBarrosCatiMargaridaMatosAlecrimClorindaManuelaCortesAgostinho EscolaSecundáriaDr.JoséAfonsoFernandaMariadaSilvaPerez EscolaBásicaValeRosal,Agrup.EscolasDanielSampaioFranciscoJoséRomãoMartins AgrupamentodeEscolaAnselmodeAndradeHelenaMariaMeiraSantosCapela EscolaSecundáriadePalmelaHelenaMarianaBarreiros EscolaFernandoPessoaHelenaPaulaSilvaCastro AgrupamentodeEscolasFernandoNamoraHugoAlexandreGomesRêgoGato EscolaSalesianadoEstorilIldaCristinadaRosaMarcelinoMartins EscolaSecundáriadeAmoraInêsdaSilvaPintoCampos EscolaSecundáriadaRamadaIsabelMozdeSousa EscolaSecundáriaCacilhas-TejoJoãoPedrodaSilvaGomes EscolaSecundáriaStuartCarvalhaisJoaquimMiguelSoteroBordaD’Água AgrupamentodeEscolasdeAlmeirimJorgeManuelEscaleiraVaz AgrupamentodeEscolasdeSampaioJoséManueldaCruzVazJacinto EscolaSecundáriadeAmoraLuisFilipeMouratoNabaisMargalho EscolaSecundáriadeCamõesMáriaCristinaRibeiroCorreiadeAlmeida AgrupamentodeEscolasdeCasquilhosMariadeFátimaMaduroCanário EscolaSecundáriadePalmelaMariaDulceLoureirodaSilva EscolaSecundáriaStuartCarvalhaisMariaEduardaSantosGomes EscolaSecundáriaAntónioGedeãoMariaFilomenaOliveiraLebreDireito DGE/EscolaSecundáriadeFonsecaBenevidesMariaJoãodeBritoMarquesEstaca D.FilipadeLencastreMariaLucindaTrindadeMartins EscolaSecundáriadePalmelaMarinaJoséNunesdosSantosPinheiro AgrupamentodeEscolaRomeuCorreia

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MónicaCelinaOliveiraMartins AgrupamentodeEscolasDanielSampaioNunoDuarteAlmeidaMatos ExternatoNossadoRosárioPaulaAlexandraBarrosAlves AgrupamentodeEscolasdeCarcavelosPedroAlexandreLindoLopesFernandes PFernandesExplicaçõesRaquelBarros EscolaFernandoPessoaRitaCostaCardoso EscolaBásicaAlexandreHerculanoRuiMigueldeFigueiredoAlmeida EscolaProfissionalBentodeJesusCaraçaSandraIsabelFigueiredoPimenta EscolaSecundáriadeCacilhas-TejoSílviaCláudiadeSousaGilLuís EscolaSecundáriadeAmoraSílviaCristinaVarelaDiasCarvalho SecundáriaAlfredodosReisSilveiraSóniaCristinaBaptistaMirandadaFonseca EscolaSecundáriaStuartCarvalhaisSusanaCristinaBorregoFurão EscolaSecundáriaPinhalNovoTeresaMariaPássaroAmendoeira AgrupamentodeEscolasDanielSampaioVandaPereiraRosa AgrupamentodeEscolasdeAlmeirimVandaSofiaBrancoDiasCerejeira EscolaSecundáriadaRamada

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Patrocinadores e Financiadores

FaculdadedeCiênciaseTecnologia,UniversidadeNovadeLisboa-FCTNOVANOVA.ID.FCT-AssociaçãoparaaInovaçãoeDesenvolvimentodaFCTTexasInstrumentsSantillanaCasio

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