Introdução ao Método dos Elementos Finitos

Introduo ao Mtodo dos

Elementos Finitos

Estruturas Aeroespaciais II (10373)

2014

Pedro V. Gamboa Departamento de Cincias Aeroespaciais

Faculdade de Engenharia

Universidade da Beira Interior

Estruturas Aeroespaciais II - 2014

Departamento de Cincias Aeroespaciais

Pedro V. Gamboa

Jos Miguel A. Silva

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1. Introduo

O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF), cuja gnese se

verificou por volta de 1940, uma ferramenta matemtica

verstil extensivamente utilizada em diversas aplicaes de

engenharia, tendo um carter multidisciplinar;

O recurso ao MEF permite a modelao de diversos tipos de

fenmenos fsicos de natureza esttica ou dinmica,

permitindo abordagens a reas to diferentes quanto a

Mecnica dos Slidos, a Dinmica de Fluidos, a

Termodinmica ou o Eletromagnetismo;

De forma simples, podemos definir a anlise por elementos

finitos como sendo uma ferramenta de base computacional

que permite obter solues numricas aproximadas relativas

a equaes abstratas que predizem a resposta de sistemas

fsicos sujeitos aplicao de estmulos externos.





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1. Introduo

As equaes de governo de um sistema fsico assumem

normalmente a forma de equaes diferenciais que

expressam algum dos trs princpios fsicos fundamentais: a

conservao da massa, a quantidade de movimento ou o

balano das trocas energticas entre o sistema e o ambiente;

Os estmulos externos representam condies de

carregamento associadas a foras, temperaturas, campos

eltricos, entre outras grandezas, as quais, interagindo com o

sistema, provocam uma alterao do seu estado de equilbrio;

Dentro do contexto das condies de carregamento,

deveremos tambm considerar condies de fronteira

representadas por equaes particulares vlidas, apenas, na

fronteira do sistema.





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1. Introduo

O MEF baseia-se na discretizao do domnio do sistema fsico

em pequenas parties adjacentes, de tamanho mais ou

menos reduzido, a que chamamos elementos finitos;

A morfologia dos elementos finitos dever ser simples e

adequada representao da geometria do componente que

se pretende modelar, podendo assumir a forma de tringulos

ou quadrilteros, num contexto bidimensional, ou tetraedros

e prismas no caso 3D (ver figura);





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1. Introduo

O conjunto total de elementos finitos necessrios para a

construo do modelo pretendido constitui a malha que ser

usada na simulao computacional;

A preciso dos resultados obtidos pelo MEF depender do

nvel de refinamento da malha de elementos necessria para

a discretizao de pontos concretos onde as condies de

campo devem ser satisfeitas;

Malhas mais finas levam a resultados mais precisos, mas

implicam maiores tempos de computao;

Habitualmente, estruturam-se as malhas de elementos com

um nvel de refinamento gradativo em funo das condies

de carregamento e geomtricas do componente (por

exemplo, distribuio de tenses em torno de um furo).





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1. Introduo

Exemplos de malhas:





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1. Introduo

As equaes de governo so transformadas em equaes

algbricas menos complexas vlidas no contexto de cada

elemento, permitindo uma representao aproximada do

fenmeno fsico que se pretende simular;

Os termos pertencentes a estas equaes algbricas so,

posteriormente, numericamente avaliados em cada

elemento, obtendo-se um grande conjunto de valores

agrupados, normalmente, de forma matricial;

o MEF , por isso, indicado num ambiente computacional, j

que, atravs de rotinas informticas adequadas, se podero

resolver simultaneamente sistemas de equaes complexos

de forma clere.





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1. Introduo

As variveis de campo pretendidas para anlise

(deslocamentos, tenses, temperaturas, etc.) so obtidas em

cada elemento atravs de uma tcnica de interpolao

polinomial incidente sobre pontos especficos do elemento, a

que chamamos ns.

Os ns esto, habitualmente, localizados nas extremidades de

cada elemento, embora possam ser definidos noutras posies

(mesmo a nvel interno do elemento) quando se pretendem

polinmios de ordem superior de modo a alcanar melhores

nveis de preciso de resultados.





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1. Introduo

Existem vrios tipos de elementos finitos que podem ser utilizados na construo de um modelo fsico.

No entanto, os elementos do tipo isoparamtrico so frequentemente utilizados devido ao bom compromisso obtido entre a preciso de resultados e o esforo computacional exigido;

Os elementos isoparamtricos permitem a traduo de geometrias mais complexas, tais como superfcies curvas, devido sua aptido para assumirem formas distorcidas graas colocao de ns em pontos especficos das suas arestas;

Quando se pretende efectuar uma simulao 3D, devero considerar-se elementos isoparamtricos hexadricos que tero uma forma equivalente a um tijolo (brick).





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1. Introduo

A figura abaixo ilustra trs tipos de elementos isoparamtricos planos com diferentes posies de ns, os quais possibilitam, respetivamente, a representao de funes do tipo linear, quadrtico ou cbico.

h

h

h

a) Linear b) Quadrtico c) Cbico





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2. Matriz de Rigidez para

Elementos do tipo Triangular

Os elementos do tipo triangular

so frequentemente utilizados

devido sua versatilidade na

definio de geometrias

complexas.

O elemento triangular da figura

tem dois graus de liberdade por

n, o que equivale a um total de

6 graus de liberdade por

elemento.

Neste caso, poder-se-

considerar uma matriz de rigidez

[Ke] de 6x6 elementos.





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As foras e deslocamentos nodais representados na figura

anterior correspondem aos seguintes vetores genricos:

Escolhamos, agora, uma funo polinomial que represente os

deslocamentos e satisfaa as condies de fronteira, ou seja,

considerando que cada n tem 2 graus de liberdade.

(4.01)





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Como o nmero total de graus de liberdade do elemento 6,

ento necessitaremos de uma funo polinomial com 6

coeficientes do tipo:

Os termos 1 e 4 da Eq. (4.02) representam quaisquer

movimentos do corpo rgido no plano, i.e., sem extenses, ao

passo que os termos lineares permitem a definio de extenses

compatveis com os deslocamentos.

(4.02)





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Escrevendo esta equao na forma matricial:

A Eq. (4.03) assume a forma genrica

(4.03)

(4.04)





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Escrevendo esta equao para o n i:

Expresses semelhantes podem ser obtidas para os ns j e k,

pelo que para o elemento completo teremos:

(4.05)

(4.06)





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Em termos genricos, esta equao assume a forma

Ou, se quisermos:

Da Eq. (4.04) resulta que

(4.07)

(4.08)

Nota: a inversa da matriz A pode ser obtida de forma expedita

usando mtodos numricos em ambiente computacional

(4.09)





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Sabemos que as extenses no elemento so

Vimos anteriormente (Estruturas Aeroespaciais I) que, em

condies de estado plano de extenses, as expresses para as

extenses passam a ser:

(4.10)

(4.11)





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Substituindo u e v usando as expresses da Eq. (4.02) obtm-se

Usando a forma matricial:

(4.12)

(4.13)





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A Eq. (4.13) pode ser escrita genericamente como

Relembrando que

obtm-se

Considerando, agora, as tenses actuantes no elemento

(4.14)

(4.15)

(4.16)





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Considerando, agora, as tenses atuantes no elemento

Das relaes entre as extenses e as tenses, sabemos que

(4.17)

(4.18)





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Usando a forma matricial

Reescrevendo as equaes anteriores

Na forma matricial

(4.19)

(4.20)

(4.21)





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Substituindo as extenses pelos deslocamentos nodais

correspondentes

No caso de estado plano de tenses, a matriz D assume a forma

(4.22)

(4.23)





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Neste caso, eliminando z e resolvendo para x, y e xy

A equao anterior pode ser escrita numa forma matricial

(4.24)

(4.25)





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Finalmente, as foras em cada n podem ser calculadas a partir

do princpio da energia potencial total, resultando na expresso

O integral de volume desta equao corresponde matriz de

rigidez [Ke]

Na equao anterior, a matriz [B]=[C][A-1], sendo [A] definida

pela Eq. (4.06) e [C] pela Eq. (4.13).

(4.26)

(4.27)





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Por seu turno, a matriz de elasticidade [D] definida pela Eq.

(4.21), em condies de estado plano de tenses, ou pela Eq.

(4.24), em condies de estado plano de extenses.

Note-se que estas matrizes so constitudas por termos

constantes, pelo que podem ser colocadas fora do integral de

volume da Eq. (4.27).

Por outro lado, fcil constatarmos que o volume de um

elemento corresponde ao produto da sua rea pela sua

espessura, pelo que:

(4.28)





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O produto das matrizes [D] e [B] corresponde matriz [H], a

qual relaciona as tenses com as deformaes, pelo que:

(4.29)

Nota: as tenses so normalmente determinadas em relao ao centride do

elemento.





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Uma forma conveniente de derivar as expresses que governam

o elemento finito e as suas caratersticas baseia-se no princpio

da energia potencial.

A variao da energia potencia DP da placa completa

onde n o nmero de elementos de espessura uniforme que

constitem a placa, A a rea da superfcie de um elemento e

p a carga lateral por unidade de rea.

Esta expresso pode reescrever-se da seguinte forma

011

DDDDDP n

A

n

A

xyxyyyxx dxdywpdxdyMMM

01

DDn

A

e

T

e dxdywpM





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ou

ou ainda

Colocando a matriz de rigidez do elemento

e a matriz das foras nodais do elemento devido carga

transversal

01

DDn

A

ee

TT

e dxdyPpBDB

01

Dn

A

T

e

TT

e dxdypPBDB

A

T

e dxdyBDBK

A

T

e pdxdyPQ





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a equao fica

Uma vez que as mudanas em {}e so independentes e arbitrrias esta equao pode reduzir a

para o equilbrio de foras nodais do elemento.

Para a placa completa necessrio juntar todas as

contribuies dos elementos e obtm-se

Esta equao tem que ser vlida para todos os {D}.

01

Dn

A

eee

T

e dxdyQK

eee QK

0D QKT





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Daqui, as equaes que governam a placa completa so

onde

Pode ver-se que a a matriz de rigidez da placa [K] e a matriz

das foras nodais {Q} so obtidas pela sobreposio de todas a

matrizes de rigidez e de foras nodais do elemento,

respectivamente.

QK

n

eKK1

n

eQQ1





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3. Tipos de Elementos Finitos





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3. Tipos de Elementos Finitos

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