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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS E TRIGONOMETRIA: UMA
ABORDAGEM NO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO
Kelly Maria de Campos Fornero Abreu de Lima Melillo (Pós-Graduanda)
Profª. Drª. Maria Laura Magalhães Gomes (Orientadora)
Belo Horizonte, Setembro de 2009.
Minas Gerais – Brasil
2
RESUMO
Este trabalho relata a aplicação de uma proposta de ensino sobre o ciclo
trigonométrico baseada em investigações matemáticas a duas turmas de estudantes do 1º
ano do Ensino Médio de uma escola pública federal de Belo Horizonte.
Verificou-se que a maior parte dos alunos realizou corretamente conjecturas a
partir das atividades, justificando-as com base em conteúdos matemáticos conhecidos
anteriormente.
Constatou-se, assim, a possibilidade de sucesso na realização da atividade
investigativa quando se cria adequadamente um ambiente de exploração, se formula um
roteiro e o professor estimula as ideias e propõe questões desafiadoras aos alunos.
Espera-se que esta monografia possa contribuir para o trabalho de outros professores
interessados no tema.
Palavras-chave: Investigações Matemáticas, Círculo Trigonométrico, Atividades
Experimentais.
3
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................................4
CAPÍTULO 1: INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS ...................................................6
1.1 A origem da pesquisadora e da pesquisa ..................................................6
1.2 O trabalho ..................................................................................................8
1.3 A escola e o livro....................................................................................10
1.4 Investigações matemáticas .....................................................................11
CAPÍTULO 2: AS ATIVIDADES DE INVESTIGAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS... 14
2.1 Atividade 1: Trigonometria no triângulo retângulo ................................15
2.2 Atividade 2: Construção do círculo trigonométrico ................................15
2.3 Atividade 3: Medir a altura de objetos sem a utilização da sombra .......17
CAPÍTULO 3: UMA ANÁLISE DOS RELATÓRIOS PRODUZIDOS PELOS
ALUNOS ........................................................................................................................19
3.1 As questões da atividade 2 e as respostas dos alunos .............................20
3.2 Entrevista com a dupla de alunos F e G ..................................................29
CAPÍTULO 4: CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................32
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...........................................................................36
ANEXOS ........................................................................................................................37
Anexo 1 - Atividade 1: Trigonometria no triângulo retângulo .............................37
Anexo 2 - Atividade 2: Construção do círculo trigonométrico ............................39
Anexo 3 - Atividade 3: Medir a altura de objetos sem a utilização de sombra .....41
4
INTRODUÇÃO
Os tópicos básicos de trigonometria ensinados no ensino médio são de extrema
importância para que o aluno amplie as suas possibilidades de resolução de problemas,
permitindo relacionar as medidas de lados e de ângulos. No entanto, se em sala de aula
prevalecer uma abordagem “mecânica” da trigonometria, como é comum nos livros
didáticos e nas práticas de alguns professores, frequentemente ocorrerá o não
entendimento, por parte do aluno, dos conceitos chave como seno, cosseno e tangente
de um ângulo. Acreditando na importância que a trigonometria tem no desenvolvimento
e na formação matemática de um estudante, penso que essa falta de compreensão é algo
que deve preocupar o professor de matemática.
Neste estudo, busco descrever como a utilização de ações metodológicas que
incorporam experimentos e instrumentos de medidas pode contribuir para a
aprendizagem da trigonometria na perspectiva da investigação. Para isso, relato como os
alunos de uma turma do ensino médio de uma escola pública aprendem as noções de
trigonometria, quando participam de atividades de investigações matemáticas propostas
pelo professor em sala de aula.
No capítulo 1, denominado Investigações Matemáticas, descrevo minha
origem e minha experiência como professora do Colégio Técnico da UFMG (Coltec),
em Belo Horizonte. Nessa escola, tive meu primeiro contato com o uso de investigações
matemáticas, como estratégia metodológica.
Para compreender melhor essa metodologia de ensino, pesquisei sobre algumas
atividades investigativas, realizadas por Ponte, Brocardo e Oliveira (2006). A partir
desta pesquisa, adaptei atividades para o ensino de Trigonometria, desenvolvidas pelos
professores do setor de Matemática do Coltec, as quais são descritas no capítulo 2.
Além disso, neste capítulo 1, descrevo como foi realizado o trabalho, como é a escola,
alvo da pesquisa, e discorro brevemente a respeito da estruturação e da condução de
uma aula investigativa.
No capítulo 2, intitulado As Atividades de investigação trigonométrica,
apresento as três atividades investigativas, que são adaptações de atividades
desenvolvidas e aplicadas no Coltec, para o ensino da Trigonometria. Embora apenas
uma delas seja objeto de análise neste trabalho, julguei interessante apresentar todas as
três, de modo a torná-las acessíveis ao professor leitor que se interesse em delas fazer
uso em sala de aula.
5
No Capítulo 3, chamado Uma análise dos relatórios produzidos pelos alunos,
faço uma análise dos relatórios, produzidos pelos alunos, da Atividade 2. Também
comento a entrevista feita com uma dupla desses alunos visando compreender melhor
algumas de suas conjecturas e justificativas.
Nas Considerações finais, relato os procedimentos que considero importantes
na realização de uma investigação matemática e aponto minha satisfação com o
resultado desta proposta de ensino, pois considero que este trabalho foi eficiente.
Manifesto, ainda, a expectativa de esta pesquisa ser útil para o desenvolvimento de
atividades na prática de outros professores.
6
CAPÍTULO 1
INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS
Acredito que todo ser tem suas próprias curiosidades e inquietações. Por isso,
como professora, procuro deixar meus alunos livres para fazerem Matemática. Para o
sucesso do processo de ensino-aprendizagem, em sala de aula, considero importante
criar ou selecionar com cuidado as atividades propostas aos estudantes. Penso que as
atividades que levam os alunos a investigar, ou seja, explorar, pesquisar e procurar
regularidades aumentam a sua capacidade de solucionar problemas e pensar
matematicamente.
De acordo com Rocha e Ponte (2006), a realização de investigações matemáticas
pelos alunos pode contribuir na aprendizagem de ideias e conceitos matemáticos. As
investigações desenvolvem conhecimentos transversais, como a capacidade de
comunicação e trabalho em grupo, além de contribuir na formação de novas concepções
e atitudes em relação à Matemática. Para muitos estudantes, a investigação matemática
ainda é novidade, o que causa algumas dificuldades em sua aplicação. É comum, por
exemplo, os alunos usarem as mesmas estratégias que empregam para resolver
exercícios, que os levam rapidamente à organização dos dados e à formulação de
conclusões. Além disso, eles têm a tendência natural de achar que basta testar vários
exemplos para garantir a validade de certa conjectura.
Meu trabalho foi facilitado pelo fato de os estudantes, sujeitos da minha
pesquisa, já estarem acostumados com o trabalho investigativo, como veremos no
capítulo 3, em que apresento uma análise dos resultados.
A partir das atividades propostas sobre trigonometria e das considerações sobre
investigações matemáticas, espero oferecer ao professor leitor deste trabalho uma
contribuição para sua sala de aula, na medida em que poderá fazer uso das atividades,
bem como poderá adquirir maior autonomia para o desenvolvimento de outras.
1.1 A origem da pesquisadora e da pesquisa
Desde que ingressei na Universidade, já atuei como docente em nove
Instituições (quatro Pré-Vestibulares, três escolas regulares e um supletivo) e também
7
trabalhei com diversos alunos dando aulas particulares em todos os níveis, do início do
Ensino Fundamental ao Ensino Superior.
Quando cursei a disciplina Prática de Ensino de Matemática, no 1° semestre de
2006, durante o curso de licenciatura em Matemática, fiz estágio no Colégio Técnico da
Universidade Federal de Minas Gerais, o Coltec. O estágio foi uma experiência muito
rica e representou meu primeiro contato com o uso de investigações matemáticas em
sala de aula para ensinar Matemática. No ano de 2007, fui selecionada para o cargo de
professora substituta do Coltec. Essa experiência é, sem dúvida, a motivação principal
para esta monografia. No ano letivo de 2007, trabalhei com duas turmas de 1º ano,
enquanto que em 2008 ministrei aulas para duas turmas de 2º ano e uma turma de 1º
ano, todas elas no Ensino Médio.
Durante todo esse período, busquei trabalhar a Matemática na perspectiva da
construção do conhecimento pelo aluno por meio da investigação. Nessa perspectiva, o
aluno não recebe o conteúdo pronto. Ele é convidado a descobrir novos conceitos,
levantar hipóteses, testar conjecturas e propor novas questões. Faço perguntas e levanto
questões aos alunos e, a cada resposta, eles formulam uma conjectura. Conteúdos
revisados recebem novos olhares, enquanto as novidades sempre surgem a partir de
perguntas como: ‘E agora, professora, o que eu faço?’ Essas perguntas são seguidas das
minhas respostas, que são novas perguntas: ‘O que você sugere?’; ‘O que já descobriu
até o momento?’; ‘Consegue ver algum padrão?’; ‘Verificou se funciona?’.
No estudo de funções, por exemplo, quando convidamos os alunos a pensar
sobre situações cotidianas que os levam a trabalhar com modelos de funções, podemos
perceber mais nitidamente como a perspectiva da investigação é diferente de uma
abordagem mais convencional do tema. Participando de investigações matemáticas,
uma atividade já conhecida de criar relações entre conjuntos aparece gerando várias leis
e, a partir daí, novas funções. Um grupo de alunos, por exemplo, plantou grãos de feijão
e avaliou o crescimento do feijão em função do tempo. Outro grupo variou a quantidade
de fermento em uma receita de bolo e estudou a altura atingida pelo bolo, em um
mesmo tabuleiro, em função da quantidade de fermento utilizado. Houve um grupo que
observou a variação do comprimento da sombra de um objeto em relação ao tempo.
Para gerar a expressão algébrica que representava a função, por eles criada, os alunos
8
utilizaram softwares do laboratório de Física, que possibilitam encontrar a lei que mais
se adapta ao conjunto dos pontos obtidos experimentalmente.1
Historicamente, nas escolas, tem sido utilizada uma abordagem “tradicional” de
ensino, segundo a qual se apresentam aos alunos exposições orais dos conteúdos pelo
professor, e em seguida, os estudantes trabalham com exercícios selecionados. Muitos
livros didáticos reforçam essa prática de sala de aula que, por sua vez, reforça o estilo
dos livros.
Professores que adotam essse tipo de abordagem parecem acreditar que o
sucesso na aprendizagem dos alunos está ligado diretamente à boa qualidade das aulas
expositivas apresentadas. Entretanto, a meu ver, em vez de se centrar o ensino na
memorização e na aplicação de técnicas, com base nas exposições dos professores, é
preciso conferir ênfase à apropriação, pelos estudantes, de aspectos essenciais de
números e suas relações. Desse modo, os alunos passam da posição de meros
espectadores para a de criadores ativos, construtores do conhecimento. O professor,
nesse último caso, assume um papel de regulador da atividade investigativa.
Mobilizada pelo desejo de romper com a abordagem tradicional de ensino,
esperava encontrar na investigação matemática um modo de melhorar o entendimento
das noções de trigonometria pelos alunos, além de estimular a interação, aumentar a
motivação e a criatividade dos mesmos. Foi com essas preocupações que realizei o
trabalho relatado nesta monografia.
1.2 O trabalho
De acordo com os PCNEM – Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino
Médio (BRASIL, 1998), apesar de sua importância, tradicionalmente a trigonometria é
apresentada de maneira desconectada das aplicações, investindo-se muito tempo no
cálculo algébrico das identidades e equações em detrimento dos aspectos importantes
das funções trigonométricas e análise de seus gráficos. Além disso, há o fato, já
mencionado, de os livros didáticos apresentarem as noções de trigonometria de maneira
“mecânica” e com grande destaque para as fórmulas.
1 Este trabalho sobre o estudo de funções envolve um processo de investigações diferente da atividade analisada nesta monografia. Neste caso, a pesquisa dos alunos levou-os a modelar matematicamente algum experimento.
9
Escolhi, portanto, trabalhar com investigações na resolução de problemas de
Trigonometria, em uma turma de 1º ano do Ensino Médio. Apesar de trabalhar na
escola, com turmas deste nível, optei por aplicar e avaliar uma atividade investigativa n
turma de outra professora, que cedeu alguns horários para a minha pesquisa. A
professora contribuiu no sentido de propiciar um ambiente adequado, entre os alunos,
para a realização do trabalho, e também por auxiliar a orientação das propostas contidas
nas atividades. Os sujeitos, estudantes do 1° ano do Ensino Médio, têm idade média de
15 anos.
Em particular, meu trabalho destinou-se a pesquisar como os alunos concebem
os conceitos de Trigonometria em situações de investigação matemática, utilizando
instrumentos de desenho e medição, como régua, compasso e transferidor.
Ainda segundo os PCNEM, é preciso, no ensino, assegurar as aplicações da
trigonometria na resolução de problemas que envolvem medições, em especial o cálculo
de distâncias inacessíveis e para construir modelos que correspondem a fenômenos
periódicos. Dessa forma, o estudo deve se ater às funções seno, cosseno e tangente, com
ênfase no seu estudo na primeira volta do círculo trigonométrico e destaque para a
perspectiva histórica das aplicações das relações trigonométricas. Outro aspecto
importante do estudo deste tema é o fato de os conhecimentos a ele relacionados terem
sido responsáveis pelo avanço tecnológico em diferentes épocas, como é o caso do
período das navegações ou, atualmente, na agrimensura, o que permite aos alunos
perceberem o conhecimento matemático como forma de resolver problemas que os
homens se propuseram e continuam se propondo.
Nesse trabalho adaptei o roteiro utilizado no Coltec e questões para que os
alunos investigassem. Utilizamos as atividades que o Colégio já praticava e inserimos
algumas idéias sugeridas por Brighenti (2003). Essa autora sugere ações para serem
desenvolvidas em sala de aula que possibilitem ao aluno construir os conceitos
trigonométricos e realizar a aprendizagem dos mesmos, por meio de questionamentos,
de reflexões e considerando o conhecimento aprendido no cotidiano do aluno. Os alunos
têm que sugerir métodos para essas atividades utilizando a Trigonometria. Ao propor as
atividades, meu interesse era que eles descobrissem as diversas utilidades práticas da
Trigonometria e construíssem os conceitos em seguida, fazendo investigações
matemáticas.
Para avaliação do trabalho que realizei, a professora exigiu a produção escrita de
um relatório que poderia ser feita por um aluno ou por um grupo de alunos. Na
10
orientação para a produção desse relatório, além da solicitação da apresentação das
conclusões originais de investigação, foi explicitada a importância dos registros de
todas as questões levantadas, do modo como os alunos organizaram os dados, das
conjecturas provadas ou não provadas, etc. Tendo os estudantes seguido as orientações,
consegui ter conhecimento não só das conclusões tiradas, como também do processo
utlizado por eles. Este também foi um momento de outro tipo de aprendizagem para os
estudantes, já que eles estão acostumados a escrever, em geral, somente respostas
sintéticas em Matemática.
A partir dos trabalhos coletados na turma, utilizei as principais respostas e
dúvidas para analisar e procurar compreender como se deram, nessa experiência, aa
investigações matemáticas dos sujeitos. Os resultados dessa análise são apresentados no
capítulo 3.
1.3 A escola e o livro
Apresento, nesta seção, algumas informações sobre a escola em que realizei o
meu trabalho.
A escola técnica, COLTEC, situada em Belo Horizonte, tem um excelente
espaço físico. As aulas são, na maioria, em salas ambiente, ou seja, os alunos se
deslocam para as salas das disciplinas de acordo com o horário da turma. No caso das
aulas de Matemática, 1° ano, a sala possuía mesas com quatro cadeiras para que os
alunos trabalhassem em grupo. A escola conta com uma boa cantina, que oferece, entre
outras coisas, almoço, já que o curso é fornecido em período integral. A biblioteca e os
laboratórios ficam à disposição dos professores e estudantes a maior parte do dia,
contribuindo para o estudo e pesquisa dos alunos. A instituição não exige uso de
uniformes pelos alunos, e não impede a sua entrada e saída da escola no período de
aulas.
Como disse anteriormente, o desenvolvimento das aulas, no Coltec, prioriza a
construção do conhecimento pelo estudante, sobretudo pelo trabalho frequente com
investigações matemáticas. Algumas vezes, o cronograma “apertado” não permite que
os professores sistematizem todo o conteúdo envolvido nas atividades de investigação
realizadas pelos estudantes e, por isso, a escola considera importante, como
complementação às práticas pedagógicas em sala de aula, a consulta ao material de
11
apoio. Desse modo, o Coltec adotou um livro didático como auxiliar no processo de
ensino-aprendizagem.
O livro adotado pela escola é Matemática Ensino Médio, de Kátia Stocco Smole
e Maria Ignez Diniz, publicado pela editora Saraiva. De acordo com o chefe do Setor de
Matemática da escola, foi difícil a escolha do livro didático. Segundo ele, é raro
encontrar livros que estimulem a investigação matemática. A escola opta, portanto, por
confeccionar material próprio (apostilas) e utilizar o livro adotado para complementá-lo,
de modo que os alunos tenham disponibilidade de mais exercícios e uma outra fonte de
consulta ao conteúdo.
Assim como a escola, o livro incentiva atividades em grupo, o uso de
calculadoras e softwares matemáticos durante o ensino e a aprendizagem.
Além disso, as autoras afirmam que procuraram elaborar o livro de acordo com
as indicações dos Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (PCNEM) do MEC. Isso
pode ser observado pela ênfase no desenvolvimento de competências e habilidades que
permitam aos alunos ler e interpretar a realidade. O aluno precisa analisar e
compreender a situação por inteiro, decidir sobre a melhor estratégia para resolvê-la,
tomar decisões, argumentar, expressar-se e fazer registros. Assim, segundo as autoras, o
estudante desenvolve capacidades necessárias para atuação efetiva na sociedade e na
sua vida profissional.
1.4 Investigações matemáticas
Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), para os matemáticos, investigar é
descobrir relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando
identificar as respectivas propriedades.
Uma investigação matemática desenvolve-se, usualmente, em torno de um
problema, cujo objetivo é, naturalmente, resolvê-lo. No primeiro momento, a
investigação abrange o reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a
formulação de questões. Muitas vezes, a tarefa é fornecida aos alunos por escrito, mas,
mesmo assim, o professor deve ler os textos cuidadosamente com os alunos, para que
eles compreendam a tarefa proposta e sintam-se motivados e desafiados. O segundo
momento refere-se ao processo de formulação de conjecturas. O terceiro inclui a
realização de testes para verificar estas conjecturas. E, finalmente, o último diz respeito
12
à argumentação, à tentativa de demonstração e à avaliação do trabalho realizado.
(PONTE, BROCARDO E OLIVEIRA, 2006)
O sucesso da aprendizagem depende, também, como em qualquer outra
atividade, de um ambiente de aprendizagem. É fundamental que os alunos se sintam à
vontade para fazer perguntas, levantar questões e dividir suas ideias com o professor e
com os colegas.
De maneira complementar à idéia das investigações matemáticas, tornou-se
importante a construção de um cenário para investigações durante as aulas. Um cenário
para investigação é aquele que convida os alunos a formular questões e procurarem
explicações. O convite é simbolizado pelo ‘ O que acontece se...?’do professor. O aceite
dos alunos ao convite é simbolizado em seus ‘Sim, o que acontece se...?’. Dessa forma,
os alunos se envolvem no processo de exploração. O “Por que isso...?”, do professor,
representa um desafio e os “Sim, por que isso...?”. dos alunos indicam que eles estão
encarando o desafio e que estão procurando explicações. Quando os alunos assumem o
processo de exploração e explicação, o cenário para investigação passa a constituir um
novo ambiente de aprendizagem. No cenário para investigação, os alunos são
responsáveis pelo processo (SKOVSMOSE, 2000, p.6) 2.
Ao iniciar a investigação, é importante também que o aluno compreenda a
proposta a ser desenvolvida, em termos de produto final. Espera-se, no final, que ele
explore e formule questões, formule conjecturas, teste e reformule suas conjecturas e
ainda, seja capaz de justificar suas conjecturas (PONTE, BROCARDO; OLIVEIRA,
2006).
Na condução da aula, o professor tem que apoiar os alunos, sugerindo questões
abertas que levem a reflexões e os façam recordar informações relevantes. Neste
momento, é comum os alunos esperarem aprovação dos seus resultados. Por isso, é
importante que o professor apoie o trabalho deles e não se preocupe em validá-lo
(PONTE, BROCARDO E OLIVEIRA, 2006).
2 Ole Skovsmose participa ativamente da comunidade brasileira de Educação Matemática, ministrando disciplinas, participando de conferências e interagindo com estudantes e docentes do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNESP, Rio Claro, bem como de aulas investigativas.
Skovsmose pesquisa sobre a Educação Matemática Crítica, que se refere a uma variedade de perspectivas e atividades que requerem algumas preocupações educacionais com: os aspectos sociais e políticos do saber matemático; com o acesso às idéias matemáticas; com o uso e a função da matemática na prática; com a dinâmica da sala de aula; com o desenvolvimento da cidadania crítica.
Diferentemente de Ponte, Skovsmose não se dedica às investigações matemáticas, mas à importância da qualidade do diálogo em sala de aula, enfatizando que o incentivo ao diálogo é importante para o sucesso da investigação. (SKOVSMOSE, 2000)
13
No próximo capítulo, descrevo as três atividades de investigação trigonométrica
que elaborei, a partir de adaptações das atividades desenvolvidas e utilizadas por
professores do Coltec, e propus aos estudantes das turmas por mim pesquisadas durante
o 2° semestre de 2008.
14
CAPÍTULO 2
AS ATIVIDADES DE INVESTIGAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Desenvolvi, juntamente com os professores do setor de Matemática do Coltec,
três atividades no estudo de trigonometria (Ver anexos).
A atividade 1 sofreu poucas modificações em relação à utilizada no colégio nos
anos anteriores. Inserimos apenas novas questões investigativas. Porém, por se tratar da
introdução ao contéudo, muitos alunos já conheciam os resultados. Com isso, a tarefa
não foi exploratória. Os alunos não procuraram padrões, pois já conheciam as
conjecturas esperadas no exercício. Incentivamos, portanto, que eles fizessem as
demonstrações dos resultados conhecidos. Entretanto, concluí que esta não foi uma
atividade investigativa, segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), uma vez que já
eram conhecidos os padrões, as relações e as generalizações a respeito da situação
proposta.
A atividade 2 é uma adaptação da atividade sugerida por Brighenti (2003), em
seu livro. Por meio de uma sequência de perguntas, tentamos avaliar a compreensão dos
conceitos de trigonometria já conhecidos pelos alunos ao aplicá-los na construção do
ciclo trigonométrico.
Conseguimos que a atividade 2 atendesse à concepção de investigação
matemática, segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), apresentada anteriormente,
pois envolveu os quatro momentos descritos por eles: o reconhecimento da situação e
exploração preliminar, a formulação de conjecturas e o eventual refinamento das
conjecturas. Por isso, escolhi-a para análise das respostas dos alunos (Capítulo 3).
A atividade 3 também é uma adaptação de uma aplicação das razões
trigonométricas no triângulo retângulo, sugerida por Brighenti (2003). Além disso, com
o propósito de enriquecermos esta tarefa com contextos históricos que geraram esta
aplicação, incluímos, na proposta, relatos escritos por Mendes (2005).
No entanto, esta atividade não requer formulação de conjecturas ou padrões. O
que se espera do aluno é que ele observe que a Matemática não surgiu como é
apresentada hoje, ou seja, ela foi construída a partir de necessidades humanas originadas
no cotidiano de povos do passado.
Apesar de esta monografia basear-se no estudo da atividade 2, considero
interessante a aplicação de todas as atividades. Devido aos bons resultados que obtive
15
com a utilização dessas três propostas, pensando em torná-las disponíveis a professores
interessados, optei por descrevê-las neste capítulo e apresentar a forma como foram
propostas aos alunos.
A seguir apresento, então, as três propostas de atividades investigativas em
trigonometria. (As atividades, na forma como foram aplicadas, encontram-se no Anexo)
2.1 Atividade 1: Trigonometria no triângulo retângulo
Com o objetivo de consolidar as ideias já conhecidas sobre triângulos
retângulos, propus esta atividade. Os alunos, inicialmente, desenhariam, com o uso de
um transferidor, triângulos retângulos com ângulos de 30°, 45° e 60° e tamanhos dos
lados à escolha de cada aluno.
Em seguida, no preenchimento de uma tabela e com o uso de régua, foi pedido
que eles calculassem as razões entre os pares de lados: cateto oposto e hipotenusa,
cateto adjacente e hipotenusa e, por último, cateto oposto e cateto adjacente, dos
triângulos desenhados por eles.
Eu esperava que, com esta atividade, os alunos percebessem que as razões entre
os lados de triângulos de mesmos ângulos independem do tamanho dos lados, ou seja,
são constantes. E eu destacaria para eles que as razões: seno, cosseno e tangente, no
triângulo retângulo, são as mais utilizadas.
No final da atividade, outros exercícios e problemas foram propostos com o
intuito de fixar o conteúdo revisado ou, em alguns casos, estudado pela primeira vez.
2.2 Atividade 2: Construção do círculo trigonométrico
Não se sabe bem quando penetrou na matemática o uso sistemático do círculo de
360°, mas parece dever-se em grande parte a Hiparco (c. 180-125 a.C.), através de suas
construções de tábuas trigonométricas com valores correspondentes ao seno, cosseno,
tangente e cotangente de um ângulo ou arco de circunferência, supostamente originadas
na matemática babilônica, através dos valores relativos aos calendários elaborados.
Esses valores foram incorporados posteriormente ao principal trabalho de Ptolomeu, “O
Almagesto”, contribuindo assim com a representação dos elementos básicos da
determinação numérica das chamadas razões trigonométricas, a partir de triângulos
retângulos determinados pelas cordas da circunferência (MENDES, 2005).
16
Após a aprendizagem dos conceitos básicos das razões trigonométricas, percebi
que os estudantes estavam preparados para a atividade de relacionar os valores do seno
e do cosseno de um ângulo ao valor unitário do raio do círculo trigonométrico. Propus,
então, que a partir de um segmento AB, de um decímetro, os alunos formassem
triângulos retângulos de hipotenusas AC 1 , AC 2 , AC 3 ,..., variando de 10 em 10 graus
(utilizando transferidor), até 80°, os ângulos B 1 ÂC 1 , B 2 ÂC 2 , ... .
Figura 1: Representação do que se pretendia que os alunos construíssem na
“questão 1”, da atividade 2.
Em seguida, solicitei a eles que coletassem, utilizando régua, as medidas dos
catetos de cada triângulo desenhado, e encontrassem os valores das razões seno, cosseno
e tangente dos ângulos B 1 ÂC 1 , B 2 ÂC 2 , etc. Resolvendo esses problemas, o aluno
poderia observar a relação entre ângulos complementares, compreender a variação do
seno e do cosseno de 0° a 90° e os valores encontrados para estas razões quando o
ângulo está muito próximo de 0° e de 90°.
De posse da variação dos valores de seno e do cosseno quando o ângulo varia,
podendo chegar a 0° ou a 90°, foi possível apontar para a necessidade de se utilizar um
17
sistema de eixos cartesianos ortogonais que tem como unidade a medida do raio
(BRIGHENTI, 2003). Além disso, neste momento é possível explora os números
racionais e irracionais existentes no intervalo de 0º a 90º.
As atividades propostas propiciaram aos alunos a descoberta de algumas ideias,
favorecendo a aplicação prática dos conceitos trigonométricos na resolução de
problemas e o estímulo a sua participação e exploração dos conceitos existentes,
encorajando e fortalecendo discussões e troca de opiniões entre os colegas. Assim, por
possibilitar essas ações em salas de aula, diferentemente do que normalmente se faz, as
atividades foram capazes de motivar os alunos, que revelaram interesse pelo assunto.
2.3 Atividade 3: Medir a altura de objetos sem a utilização de sombra
A trigonometria surgiu no séc V a. C. para resolver problemas práticos oriundos
das necessidades humanas. Os gregos realizavam medições de altura de objetos a partir
de sua sombra. Os egípcios utilizavam esses conhecimentos para resolver problemas
cotidianos, por exemplo, determinar a altura de um barranco utilizando-se da medida de
sua sombra, quando o sol estivesse a 45º do horizonte. Entretanto, um dos problemas
que os egípcios enfrentavam para efetuar essa medição era o fato de haver apenas dois
dias do ano em que o sol ficasse a 45º do horizonte, naquela região. Um problema
prático que marca o encontro de duas grandes civilizações que influenciaram o
desenvolvimento da geometria e consequentemente da trigonometria - egípcios e
gregos, cada um com seus costumes, valores, problemas econômicos, políticos e sociais
– foi o cálculo da altura da pirâmide de base quadrada - a Pirâmide de Quéops
(MENDES, 2005).
Com o passar do tempo, a estratégia desenvolvida por Tales de Mileto, filósofo
grego que viveu por volta do século VI a.C, de utilizar a sombra do objeto, foi sendo
aperfeiçoada, e a altura do objeto passou a ser calculada a partir das relações entre os
lados e ângulos de dois ou mais triângulos retângulos (MENDES, 2005).
Para que os alunos pudessem compreender melhor essa estratégia, realizei uma
atividade em que eles deveriam determinar a altura de árvores, de pilares, do prédio da
escola, etc., utilizando um procedimento que envolvesse semelhança de triângulos e
proporcionalidade.
Com o auxílio de um transferidor, um canudinho de plástico, um clipe, trena ou
fita métrica, eles foram solicitados a construir um instrumento de medição de ângulos.
18
Como esta atividade já havia sido proposta, para a turma do ano anterior, levei um
instrumento como modelo, para que os alunos confeccionassem, fora do horário de aula,
este material.
Os alunos deveriam colocar o instrumento confeccionado na direção do objeto a
ser medido, de modo a ver o topo do objeto através do orifício do canudinho (ver figura
2). Em seguida, deveriam observar e anotar o ângulo marcado pelo canudinho do
transferidor e representar geometricamente a situação em uma folha de papel. Após a
representação do triângulo observado, os alunos deveriam desenhar outro triângulo
retângulo semelhante ao anterior e que tivesse um ângulo agudo igual ao encontrado no
instrumento usado pelo grupo. Então, estabeleceriam a relação entre os lados e ângulos
dos triângulos retângulos construídos para determinar a altura do objeto (o triângulo em
que um dos lados representa a altura do objeto e o outro triângulo desenhado no papel
semelhante ao triângulo construído com a medida do objeto).
Figura 2: Instrumento confeccionado com canudo de plástico, barbante,
clipe e transferidor. Utilizado pra medição de ângulos.
A atividade 2 foi desenvolvida pelos alunos em dupla, e cada dupla produziu um
relatório sobre como a tinha realizado.
No próximo capítulo, apresento minhas análises desses relatórios.
19
CAPÍTULO 3
UMA ANÁLISE DOS RELATÓRIOS PRODUZIDOS PELOS ALUNOS
O que vocês observaram? Quais os resultados encontrados durante a realização
do experimento? Como vocês explicam os resultados encontrados?
Foram essas questões as que foram propostas aos alunos para que eles
discutissem e registrassem suas respostas nos relatórios que lhes solicitei.
Como já foi dito, decidi analisar somente a produção dos alunos na segunda
atividade: Construção do círculo trigonométrico, pois a consideramos mais de acordo
com a proposta investigativa de Ponte, Brocardo e Oliveira (2006).
Recolhi todos os trabalhos produzidos pelas duas turmas e selecionei 23,
aparentemente mais completos e legíveis, para essa análise.
Já no início da proposta escrita da atividade eu havia colocado o seguinte
comentário: “IMPORTANTE: Esta atividade tem caráter investigativo. Durante a
realização anote tudo o que julgar necessário. Cada dupla deverá elaborar um relatório
com base nas anotações, contendo as discussões e conclusões da dupla.”
Por se tratar de uma escola técnica, as práticas pedagógicas de outras disciplinas,
como Física experimental, já têm o hábito de cobrar dos alunos a escrita de relatórios,
nos quais devem constar introdução, desenvolvimento e conclusão. Essa circunstância
facilitou a minha pesquisa, pois o que solicitei aos alunos fazia parte, desde o início do
ano letivo, das tarefas que eles estavam acostumados a realizar.
Além disso, o ambiente de aprendizagem investigativa já estava criado e, como
poderemos perceber, os alunos têm consciência de que o meu papel, como professora, é
de apoiá-los. A familiaridade dos estudantes com a escrita de relatórios fica clara a
partir do texto de algumas introduções dos relatórios:
“Este trabalho busca promover uma sistematização do conteúdo de
trigonometria, além de levar a um mundo de questões e hipóteses, o qual exploramos o
máximo que pudemos, embora o nosso campo de alcance seja bem restrito. A partir do
roteiro dado a nós, procuramos observar minuciosamente cada detalhe do que acontecia.
Dessa forma, apresentaremos não só dados e fenômenos, mas também hipóteses
e questões, e buscaremos explicá-los de forma concisa, porém, sem estabelecer isso
20
como explicação, já que não pudemos comprovar o que propusemos. Assim, a questão
ainda está aberta.” (F e G)3
“Devíamos aprender a tirar nossas próprias conclusões a partir de experiências e
práticas desenvolvidas em sala de aula.” (I e N)
“Esta atividade tinha como objetivo a investigação e extrapolação das razões
seno e cosseno, antes já conhecidas no triângulo retângulo, agora em ângulos agudos.”
(T e J)
Foi possível perceber que todos entenderam o sentido da tarefa proposta e o que
eu esperava deles no decurso da atividade. A seguir, apresento os enunciados das
questões propostas aos alunos na atividade, acompanhados de comentários sobre suas
respostas.
3.1 As questões da atividade 2 e as respostas dos alunos
Nesta seção, vou apresentar todas as questões referentes à atividade 2 e
comentários sobre algumas respostas dos estudantes. Como se poderá observar, agrupei
algumas perguntas, pois algumas delas eram semelhantes e traziam questionamentos
parecidos. Ou ainda, porque os alunos deram respostas diretas, com poucas
justificativas, e, por isso, não havia muito o que comentar.
QUESTÃO 1: A partir do segmento AB que mede 1 dm (10 cm), dado
abaixo, construa triângulos retângulos A C1 D1, A C2 D2, ... (D1, D2, ... são pontos
do segmento AB e CD são perpendiculares a AB), sobre o segmento AB mantendo
a hipotenusa AC constante igual a 1 dm, variando o ângulo (CÂD) de 10 em 10
graus
Como vimos, a primeira questão do roteiro solicitava uma construção. Percebi,
neste momento, que a descrição desta tarefa não estava muito clara (vide Anexo 2). Fiz
alguns exemplos no quadro e os alunos conseguiram traçar os vários triângulos
retângulos sugeridos. Esses triângulos possuíam a hipotenusa medindo 1 decímetro e 3 Aqui e ao longo do resto da monografia, os estudantes serão identificados pelas iniciais de seus nomes.
21
um vértice comum a todos, como podemos observar na reprodução4 do desenho
incluído no trabalho de uma das duplas:
Figura 3: Reprodução da construção elaborada pelas alunas C e B.
Em seguida, com o uso da régua, os estudantes realizaram as medições dos
catetos e preencheram a tabela do roteiro.
Nesse momento, eu esperava que eles utilizassem o decímetro como unidade de
medida. No entanto, eles fizeram as medições em centímetros, o que não proporcionou
uma visualização rápida dos valores solicitados na questão 4, como veremos a seguir.
QUESTÃO 2: Meça e anote a medida dos catetos de cada triângulo
desenhado, preenchendo a tabela:
Cateto oposto a α Cateto adjacente a α
°= 10α
°= 20α
°= 30α
°= 40α
4 Já que, embora alguns trabalhos tenham sido realizados no computador, os grupos anexaram as construções, feitas a lápis, durante as aulas. Como não consegui obter boas imagens digitalizadas dos desenhos dos alunos, optei por apresentá-los por meio de reproduções.
22
°= 50α
°= 60α
°= 70α
°= 80α
Com o uso da régua, os alunos efetuaram com facilidade as medições sugeridas
acima e preencheram adequadamente a tabela.
QUESTÃO 3: Que representação geométrica será obtida se ligarmos todos
os pontos da trajetória dos vértices C1,C2,...?
Na terceira questão, durante a realização da atividade, vários alunos sugeriram
que ao ligarmos todos os pontos da trajetória dos vértices C1, C2,..., obteríamos um
polígono. Porém, nos relatórios, que foram entregues na aula seguinte, encontrei várias
respostas do tipo: “Será obtida uma parte, praticamente 4
1, de uma circunferência”.
Suponho que esta diferença de análises deve-se a sistematizações futuras e outras
conjecturas posteriores, nas questões seguintes. Apenas uma dupla escreveu: “meia
parábola”.
QUESTÃO 4: Encontre os valores das razões (seno e cosseno) solicitadas,
preenchendo a tabela:
°= 10α °= 20α
°= 30α
°= 40α
°= 50α
°= 60α
°= 70α
°= 80α
Senα
Cos α
Assim que observei que os alunos estavam realizando as medições em
centímetros, sugeri aos outros grupos que ainda estavam fazendo a construção da
questão 1 que utilizassem o decímetro como unidade.
Assim, na questão 4, aqueles que utilizaram o decímetro conseguiram perceber
que quando se tem hipotenusa unitária, o valor do seno coincide com o valor do cateto
23
oposto, enquanto o valor do cosseno coincide com o valor do cateto adjacente. E, com
isso, o preenchimento da tabela acima foi simples.
No entanto, parte dos alunos percebeu que, para encontrar os valores de seno e
cosseno, eles precisariam dividir as medidas dos catetos em centímetros por 10, a
medida da hipotenusa em centímetros.
Expliquei neste momento, a todos, que era por este motivo que eu havia
escolhido 1 decímetro para a medida das hipotenusas e não 10 centímetros.
QUESTÃO 5: Determine o valor da αtg , utilizando o quociente
αα
αtg
sen=
cos. (Acrescente na tabela anterior mais uma linha para os valores de
αtg ).
Nesta questão, a número 5, sugeri que os alunos preenchessem totalmente a
tabela, utilizada na QUESTÃO 4, agora com os valores das tangentes. Para estes
cálculos, eles usaram a identidade já conhecida: α
αα
cos
sentg = .
Para algumas duplas, fiz a pergunta: “Vocês conseguem encontrar, na figura da
questão 1, a representação geométrica da tangente?”. Mas nenhum grupo soube
responder.
Uma exploração mais detalhada do círculo trigonométrico poderia envolver
medições da tangente, com régua. Neste caso, não haveria tempo para tal abordagem.
QUESTÃO 6: Observe a tabela e responda: O que você concluiu com
relação aos valores de sen 10° e cos 80°? E com relação aos de sen 20° e cos 70°?
Por quê?
A questão 6 foi a primeira a exigir uma observação e uma conjectura. Perguntei
o que eles concluíram com relação aos valores de sen 10º e cos 80º e com relação aos
valores de sen 20º e cos 70º. Pedi, ainda, que justificassem suas respostas.
Quanto aos valores, obtive 3 tipos de respostas:
24
RESPOSTA A) Os valores de sen 10º e cos 80º, sen 20º e cos 70º tem uma
semelhança, são praticamente iguais, se levarmos em consideração a imprecisão dos
aparelhos de medição e os números significativos.
RESPOSTA B) Os valores de sen 10º e cos 80º, sen 20º e cos 70º são iguais.
RESPOSTA C) Não responderam.
Quanto às justificativas e conjecturas, houve 5 tipos de resposta:
RESPOSTA 1) Os triângulos AC1D1 e os triângulos AC8D8 são iguais, porém
invertidos, logo, conservam as medidas dos catetos.
RESPOSTA 2) Quanto maior o ângulo é maior o seno e menor o cosseno.
RESPOSTA 3) Isto ocorre devido a uma propriedade: Se α e β são
complementares, então, βα cos=sen .
RESPOSTA 4) Os triângulos AC1D1 e os triângulos AC8D8 são semelhantes.
RESPOSTA 5) Não justificaram.
Como vimos, alguns alunos realizaram conjecturas, como a do tipo da
RESPOSTA 3, porém, sem justificativa. Outros já alcançaram uma justificativa com
demonstração geométrica, enquanto outros conseguem identificar um padrão, mas não
sabem explicá-lo.
Além disso, vemos pela RESPOSTA 2 que os alunos estão restritos ao 4
1do
círculo, proposto. E não conseguem extrapolar para ângulos maiores do que º90 .
QUESTÃO 7: Pode-se afirmar que cos 2α = 2.cos α ? Por quê?
Das 22 duplas que responderam à questão, pude classificar as respostas da
seguinte maneira:
RESPOSTA I) O aluno respondeu “não” e justificou sua resposta com um contra-
exemplo. Veja-se a resposta das alunas I e N:
2 x º30cos = 2 x 0,87 = 1,37, que não é igual ao º60cos = 0,5.
25
RESPOSTA II) “ αα cos22cos ≠ , pois, no α2cos nós primeiro multiplicamos o
ângulo por dois, para depois encontrar o cosseno desse valor. Já no αcos2 primeiro
achamos o cosseno e depois multiplicamos por dois”.
RESPOSTA III) Chegamos a esta conclusão pois quanto maior o ângulo, menor
seu cosseno. Dessa forma inferimos que α2cos é menor que αcos , mesmo antes de
multiplicarmos αcos por 2, logicamente, multiplicando, a diferença entre os valores
aumentá ainda mais.
RESPOSTA IV) Não. Sem justificativa.
As frequências nas respostas acima foram: 11 duplas justificaram com a
RESPOSTA I), 5 optaram pela RESPOSTA II), 1 dupla justificou com a RESPOSTA
III) e outras 5 responderam não, porém, sem justificar sua resposta.
Como a construção exigida, até o momento, restringia o trabalho ao 1º
quadrante, os alunos realizam suas conjecturas a partir desta fração do círculo
trigonométrico.
As questões 8, 9 e 10 se referem à variação do seno e do cosseno, em relação ao
ângulo; por isso, decidi analisá-las juntamente.
QUESTÃO 8: Quando α varia, o que acontece com os valores de sen α e
cos α ?
QUESTÃO 9: Se αβ > , pode-se afirmar que αβ sensen > ? Por quê?
QUESTÃO 10: Se αβ > , pode-se afirmar que αβ coscos > ? Por quê?
Nas questões 8, 9 e 10 as respostas foram semelhantes, baseadas na mesma
conjectura:
Quanto maior o ângulo, maior o valor do seno. E quanto maior o ângulo, menor
o valor do cosseno.
Apenas duas duplas justificaram suas respostas de maneira diferente:
Uma delas afirmou: “se αβ > , pode-se afirmar que αβ sensen > , porque o
cateto oposto de um ângulo em um triângulo é tanto maior quanto for o ângulo para
uma mesma hipotenusa; dessa forma, o valor do seno será maior”. E de forma análoga
para cosseno: “se αβ > , pode-se afirmar que αβ coscos > , porque o cateto adjacente
a um ângulo em um triângulo é cada vez menor, de acordo com o aumento do valor do
ângulo, para uma mesma hipotenusa”. (Resposta dada pela dupla A e D)
26
Outra dupla, F e G, curiosamente, avaliou αsen e α como sendo grandezas
diretamente proporcionais. Analogamente, a dupla considerou que αcos e α são
grandezas inversamente proporcionais. Para comprovar a afirmativa, construíram o
gráfico de seno e cosseno em função de α e o anexaram ao trabalho. Encontraram uma
reta ascendente no caso do seno e outra descendente no caso do cosseno (para isso eles
encontraram o coeficiente linear e o coeficiente angular). Embora o gráfico esteja
correto, em suas análises eles se referem ao gráfico de “cos xα " e “sen xα ” e
encontram a seguinte lei para a função “cos xα ”: “cos = - 0,1α + 1”. Ou seja, eles
fazem uma interpretação indevida a respeito do ângulo e seu cosseno. Apesar disso, é
interessante valorizarmos estas tentativas.
Esta resposta, da dupla F e G, me intrigou muito e, por isso, decidi entrevistar os
seus componentes. A entrevista encontra-se no final deste capítulo.
As questões a seguir, por estarem relacionadas ao uso da calculadora, foram
analisadas em conjunto.
QUESTÃO 11: Consulte uma tabela trigonométrica ou utilize uma
calculadora e preencha os dados:
3° 2° 1° 0,5°
sen α
cos α
QUESTÃO 12: Quanto será o valor de sen α , para α próximo de 0°? E o
valor de cos α ?
QUESTÃO 13: Qual será o valor de sen α e cos α , para α próximos de
90°?
85° 88° 89° 90°
sen α
cos α
QUESTÃO 14: Fazendo α variar de 0° a 90° qual a variação do sen α e do
cosα ?
27
Nas questões 11 a 14, com o uso da calculadora, os estudantes encontraram
valores de seno e cosseno, primeiro para ângulos próximos de º0 e º90 , concluindo que
para ângulos cada vez mais próximos de º0 , os valores do seno e do cosseno são
próximos de 0 e 1, respectivamente. Para valores próximos de º90 , os valores de seno
e cosseno são cada vez mais próximos de 1 e 0, respectivamente.
Com algumas ideias construídas a respeito do círculo trigonométrico, nossa
etapa final era construí-lo com o uso de um compasso e destacar alguns elementos
importantes. Por isso, introduzi o grupo de questões abaixo cujas respostas serão
analisadas simultaneamente.
QUESTÃO 15: Construa o círculo de centro A e raio 1 dm (10 cm).
QUESTÃO 16: Insira os eixos cartesianos no círculo posicionando o centro
do círculo no ponto (0,0). Quais são as coordenadas dos pontos de interseção do
círculo com os eixos cartesianos?
QUESTÃO 17: Coloque nomes nesses pontos usando as letras A, A’, B, B’.
Sugeri, então, que eles construíssem o restante do círculo e daí, realizamos
conjecturas para ângulos maiores do que º90 , como por exemplo:
“Variando α de º0 a º90 o seno aumenta e cosseno vai diminuindo. Variando
α de º91 a º180 , o seno diminui até chegar a zero o cosseno continua diminuindo, até
chegar a -1. Variando α de º181 a º270 , o seno diminui até chegar a –1 e cosseno
aumenta até chegar a zero. Variando α de º271 a º360 , o seno aumenta até chegar a
zero e o cosseno aumenta até 1.” (Resposta dada pelas alunas A e C)5
Fica assim definido o círculo trigonométrico, para o qual o ponto B é a origem
de todos os arcos, a medida do raio da circunferência é a unidade do eixo cartesiano, o
ponto (0,0) do sistema cartesiano coincide com o centro da circunferência e cada ponto
(x, y) pertencente a esta circunferência tem também coordenadas ( αα sen,cos ) .
Os alunos conseguiram chegar à definição de ciclo trigonométrico através da
aplicação de conceitos já concebidos, ou seja, da variação dos valores das razões
trigonométricas, sem que isto tivesse sido apresentado por meio de definição formal,
isolada e desconectada do contexto.
5 Observe-se, através desta resposta, que os alunos restringiram seu raciocínio a valores inteiros de α .
28
Após a escrita do relatório, fui ao quadro, construí o círculo trigonométrico, e
pedi aos alunos que relatassem suas conclusões. No momento de sistematização dos
conteúdos abordados, questionei a justificativa de algumas conjecturas e procurei
apresentar uma justificativa mais completa. Uma das discussões foi sobre o uso do raio
unitário, e nessa discussão os alunos questionaram:
“E se o raio fosse 2?” ou “E se utilizássemos como unidade 5 centímetros?”.
Essas perguntas foram seguidas da minha resposta: “Você teria que fazer as
proporções adequadas. Se o cateto oposto medisse (4,2), faríamos uma regra de três, de
modo que o valor de seno seria (4,2) : 5.6
Além disso, pude concluir com as turmas que no círculo trigonométrico o ponto
de extremidade de um arco se associa a um ângulo ou a um arco. E levantar questões
para discussões futuras e continuidade dos estudos: “Será que existe outro ponto no
círculo trigonométrico que se associa ao mesmo arco?” Os alunos tiveram assim, ainda,
seus primeiros contatos com o comportamento das funções trigonométricas.
Apesar da grande quantidade de tempo utilizada para o desenvolvimento das
atividades propostas, percebi que os alunos que participam da investigação tornam-se
motivados e participativos. Enquanto o método favorece a compreensão dos conceitos
por meio do manuseio de materiais de desenho, estimula o desenvolvimento do
pensamento reflexivo e o relacionamento entre os alunos.
Ao examinar os relatórios produzidos pelas várias duplas de alunos, notei que
um deles se destacava entre os demais. A dupla F e G elaborou um ótimo relatório, que
incluía capa, sumário, introdução, a resolução das questões separadamente,
considerações finais e anexo, em um total de 15 páginas. Através desse relatório,
percebi que a dupla compreendia a intenção das atividades que envolviam investigações
matemáticas. Este fato foi evidenciado na introdução7 e nas considerações finais8 do
relatório da dupla. Além disso, a dupla apresentou uma solução curiosa na questão 8,
citada acima. Por isso, decidi entrevistar a dupla para compreender melhor algumas
respostas destes alunos e a sua opinião sobre este tipo de atividade.
6 Note-se que, neste momento, eu poderia ter aproveitado para incentivar outra investigação para que os alunos solucionassem sua questão. Entretanto, como pretendia encerrar uma etapa naquela ocasião, optei por dar o resultado pronto, contrariando a proposta inicial. 7 A introdução da dupla encontra-se na primeira página deste capítulo. 8 As considerações finais desta dupla serão apresentadas no último capítulo desta monografia.
29
Além disso, como relatado anteriormente, nos comentários sobre as questões 8 a
10, essa dupla tentou linearizar as funções trigonométricas seno e cosseno e essa
tentativa me chamou a atenção.
3.2 Entrevista com a dupla de alunos F e G
A seguir, apresento as perguntas que fiz na entrevista com os alunos F e G, bem
como apresento suas respostas.
Pesquisadora: Na questão 1 vocês realizaram corretamente a construção dos
vários triângulos retângulos, figura 3. Por que escreveram que a medida do cateto
oposto, referente ao ângulo de 10º, era de 10 cm?
Eles disseram que na verdade iriam corrigir, pois, perceberam que era próximo
de 10 cm, mas não poderia ser 10 cm: “se for 10, a soma dos outros dois vai ser maior
que o outro (apontando para a hipotenusa)”.
Sobre a questão 6, perguntei: Como vocês concluíram que as medidas são iguais
e que o erro se deve a falhas nas medições?
Olhando para a figura, G disse: A gente pensou que esse cateto era do tamanho
desse, porque aqui tá o 10º e no outro tá aqui (apontando para os triângulos
congruentes).
Figura 4: Reprodução da figura desenhada pela dupla F e G, destacando os
triângulos apontados por eles.
30
Pesquisadora: Vocês querem dizer que os triângulos são iguais?
Alunos: Sim, como se diz, eles estão invertidos. Vira o triângulo.
Pesquisadora: Pode-se afirmar que αα cos22cos = ? Por quê?
Alunos: Como os ângulos são diferentes, os cossenos são diferentes. Pelos
triângulos formados.
Pesquisadora: Sempre?
Alunos: Não. De 0º até 90º.
Pesquisadora: Se αβ > , pode-se afirmar que αβ sensen > ? Por quê?
Alunos: É, de 0º até 90º.
Pesquisadora: Vocês concordam que um exemplo não é suficiente para
comprovar este fato?
Alunos: Sim.
G: Já aconteceu de um exemplo dar certo mas com os outros exemplos dá
errado. F: Às vezes você dá sorte de pegar um número que funciona.
Depois, os alunos citaram a primeira atividade desenvolvida no Coltec: “A mesa
de Snooker”, que foi trabalhada em sua turma no início do ano letivo e encontra-se no
livro: “Investigações Matemáticas na Sala de Aula”. (PONTE, BROCARDO E
OLIVEIRA, 2006, p.56).
Alunos: A gente achava que era uma coisa, aí a Professora falou que não dava.
Pesquisadora: No ciclo todo, tem como αβ coscos > e βα > ?
Alunos: Aí tem. (apontando para um ângulo no segundo quadrante e outro no
primeiro)
Pesquisadora: O seno de 90º é igual a 1?
Alunos: A gente viu que ia chegando cada vez mais próximo de 1.
Pesquisadora: Como vocês poderiam medir seno de 90º, já que não tem como
construir este triângulo?
Alunos: É, não existe, por isso, a gente pegou o extremo.
G: Teve também aquela outra situação... (o aluno pede para escrever). A gente
viu que equações do tipo: 54122 =+ xx , se a gente colocasse tudo na mesma base,
dava pra cortar as bases e fazer com os expoentes.
Pesquisadora: Como assim? Desenvolva:
E o aluno G escreve:
31
54122 =+ xx
02223 22222 +=++ x
02223 +=++ x
2
3−=x
G continua a dizer: Aí na prova, a gente fez e a professora disse que estava
errado, que não funcionava com todas. Mas a gente disse que sabia quando dava certo.
Aquele que tem que substituir outra letra não dá. É porque eu já tinha feito muitos
exercícios do livro e testado.
Pesquisadora: O que vocês acharam desta atividade de trigonometria?
Alunos: Muito bacana! Bacana mesmo!
Pela entrevista, percebo que os alunos são conscientes da importância de uma
demonstração geral, já que disseram: “Às vezes você dá sorte de pegar um número que
funciona”. No entanto, consideram, no último exemplo apresentado, que é possível
aplicar um método, já que o testaram várias vezes.
É bastante natural o aluno explorar um problema, encontrar um padrão, definir
uma conjectura, mas não conseguir prová-la. Para ele, certo número de casos que
funcionam já é suficiente. Por isso, o professor precisa preparar a atividade e, se
possível, encontrar contra-exemplos para as diferentes possibilidades de respostas
previsíveis. Assim, o aluno sente-se questionado sobre sua solução, desafiado, e procura
uma solução geral. Algumas vezes é necessária a participação do professor nesse
momento de demonstração.
Fiquei satisfeita com este diálogo e, embora tenha conversado informalmente
com outras duplas, decidi por não realizar outra entrevista.
A seguir, apresento minhas considerações finais a respeito do trabalho relatado
nesta monografia.
32
CAPÍTULO 4
CONSIDERAÇÕES FINAIS
No trabalho aqui relatado, aprimorei uma atividade desenvolvida e utilizada por
professores do Coltec, implementei e analisei uma proposta de ensino de conceitos
trigonométricos em duas turmas do 1º ano do Ensino Médio.
A partir da minha experiência como docente e do contato com outros
professores, percebia um excesso de formalismo e tecnicismo no ensino e aprendizagem
do círculo trigonométrico e a consequente dificuldade dos alunos em interpretar
problemas envolvendo conceitos associados a ele.
Iniciei, então, um estudo da literatura acerca desse assunto, no sentido de
identificar os principais obstáculos, de forma a poder enfrentá-los melhor. Foi a partir
dessa pesquisa bibliográfica que percebi nas investigações matemáticas uma excelente
ferramenta para o ensino de Trigonometria, já que, por meio delas, os alunos poderiam
explorar e construir vários conhecimentos.
É importante destacar que o sucesso dessas atividades depende da criação de um
ambiente de exploração, desafios e investigações. Felizmente, como já foi comentado,
os alunos do Coltec trabalharam com atividades investigativas desde o início do ano
(2008). E somente no final do ano, em outubro, os alunos realizaram as atividades
propostas por mim, na realização desta pesquisa.
Sugiro que os professores que desejarem utilizar as investigações matemáticas,
iniciem o trabalho com atividades investigativas simples, para que os alunos,
acostumados com atividades “tradicionais”, sintam-se à vontade para levantar questões
e propor conjecturas.
No Coltec, por exemplo, os alunos que ingressam na instituição apresentam
resistência quando são convidados a explorar conteúdos matemáticos por meio de
atividades diferenciadas das aulas expositivas, pois estão acostumados a ver as
atividades “prontas” apresentadas pelo professor em suas aulas. Nesse momento é que o
professor deve intervir proporcionando atividades interessantes e desafiadoras.
Estimular o trabalho em conjunto também pode proporcionar muitos benefícios
aos alunos. Eles podem trocar ideias uns com os outros e aprender a trabalhar
coletivamente.
33
Para que a atividade realizada alcançasse o seu objetivo e fosse satisfatória,
também foi importante desenvolver cuidadosamente um roteiro e ideias para propor aos
alunos. Dessa forma, foi possível dar uma boa sequência à discussão quando eles
propunham questões.
Essas questões foram importantes para desencadear a investigação e, em minha
avaliação, de grande relevância para a aprendizagem dos alunos.
Ao professor, além da realização deste roteiro, também caberá o papel de
incentivar os alunos a interpretar, criar estratégias, acompanhar o trabalho dos grupos
questionando suas conjecturas, apoiá-los, dando-lhes autonomia e valorizando suas
ideias, bem como avaliar seu progresso. Cada roteiro deve ser criado de maneira a se
adequar aos conhecimentos que os alunos já têm até o momento. A atividade deve
retomar conceitos matemáticos e estimular a aquisição de novos conhecimentos
construídos pela investigação. A atividade I, por exemplo, não atingiu o caráter
investigativo, de acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), pois a maioria dos
alunos já conhecia o conteúdo estudado. Foi preciso criar a atividade II, com conteúdos
novos, para que os alunos sentissem interesse e investigassem as questões propostas. Na
questão 6, por exemplo, são feitas as seguintes perguntas: “O que você concluiu com
relação aos valores de sen 10º e cos 80º? “E com relação aos de sem 20º e cos 70º? Por
quê?”e uma dupla inferiu que cos 10º é igual ao sen 80º quando os ângulos são
complementares, e isso ocorre porque os triângulos são congruentes. Para que esses
alunos fizessem estas conjecturas, era preciso conhecer a definição de ângulos
complementares e as condições para que dois triângulos sejam congruentes.
Além disso, considero importante recolher e ler os relatórios dos alunos, já que
essa atividade estimula a sua escrita e a síntese das ideias. É também um bom
instrumento para avaliação da atividade.
Após a aplicação da atividade e a obtenção de seus relatórios, das discussões
geradas durantes as aulas e das observações feitas durante toda a pesquisa, analisei os
dados procurando associar minhas observações com as referências obtidas através das
leituras realizadas sobre investigações matemáticas.
A partir dessa análise, considero que a atividade proposta oferece grandes
contribuições para o ensino e a aprendizagem de Trigonometria, já que os alunos foram
capazes de compreender as razões seno e cosseno no círculo trigonométrico por meio de
explorações gradativas indicadas pelo roteiro. Observemos as conclusões de uma dupla,
que comprovam a aprendizagem dos estudantes:
34
“Concluímos com essa atividade que quando obtemos e sabemos utilizar com
aptidão os cálculos para descobrir o seno e/ou o cosseno de um ângulo no círculo
trigonométrico, é possível descobrir qualquer outro. Vimos também que não só seno,
cosseno e tangente de ângulos entre 0º e 90º podendo ser calculados, podemos calcular
além destes, os valores em ângulos, maiores que 90º, maiores que 360º e até negativos,
apenas com o círculo que aprendemos.” (Conclusão retirada do relatório da dupla I e J)
Também pude perceber que os alunos que mais se adaptam às propostas
investigativas revelam gostar, compreendê-las e aprender o conteúdo ensinado.
Vejamos as considerações finais da dupla formada pelos alunos F e G:
“Esta atividade teve um papel muito produtivo no aprendizado sobre
trigonometria, pois permitiu que discutíssemos e chegássemos a conclusões que não
chegaríamos se não tivéssemos um roteiro que “guiasse” o nosso raciocínio. Dessa
forma, creio que a atividade foi muito produtiva, até mesmo pelo fato de fazer com que
levantássemos questões e formulássemos hipóteses, além de buscarmos meios para
comprová-los.
Pudemos perceber que um dos objetivos dessa atividade era instigar e
trabalharmos com o método e pensamento científico de modo que, assim como os
cientistas fazem, formulamos hipóteses, a partir de dados coletados, e depois
comprovamos se essas hipóteses eram corretas ou não – embora em alguns casos a
questão ainda esteja em aberto.
Dessa forma, embora estejamos encerrando este relatório não encerramos
nossa busca por respostas algumas delas para hipóteses já formuladas, e outra para
evidências apenas, que são apenas questões formuladas em nossa mente, e que iremos
buscar explicações.”
Essas considerações reforçam, ainda, a necessidade de validar ou não as
conjecturas dos alunos, prová-las quando possível, e formalizar/sintetizar os conteúdos
vistos. Por isso, fui ao quadro, no final da atividade, levantar questões, provocar
discussões e sistematizar os conteúdos vistos. Foi neste momento que algumas duplas
conseguiram assimilar as questões e as conjecturas esperadas. Na aula seguinte os
alunos entregaram os relatórios.
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Outro trecho retirado do relatório de uma dupla também reforça a importância
dessa sistematização e comprova que algumas duplas podem compreender os conteúdos
somente após a sistematização do professor:
“Depois a professora nos explicou sobre o círculo. Desenhamos os triângulos
da primeira figura dentro do círculo e a professora nos mostrou que a partir desse
círculo podemos encontrar o seno (eixo y) ou o cosseno (eixo x) de qualquer valor, que
não se limita a 0º ou a 90º”.
(Trecho retirado do relatório da dupla J e Y)
Espero, com este trabalho, ter conseguido apontar os benefícios das
investigações matemáticas para o ensino de Trigonometria e disponibilizar meu relato e
minhas reflexões para que outros professores possam realizar as mesmas atividades ou
uma adaptação delas de acordo com a realidade de seus alunos.
Almejo, também, que este trabalho possa ajudar o professor interessado na
criação de outras atividades, em conteúdos diferentes, como eu fiz ao criar o roteiro para
a atividade descrita nesta pesquisa a partir de leituras teóricas sobre investigações e
atividades investigativas.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais
Ensino Médio: Matemática. MEC /SEF, 1998. 148 p.
BRIGHENTI, Maria José Lourenção. Alterando o Ensino da Trigonometria em Escolas
Públicas de Nível Médio: A Representação de Algumas Professoras. Zetetiké –
CEMPEM – FE/UNICAMP – v.8 – nº 13/14, p. 51-79 – Jan./Dez. de 2000.
BRIGHENTI, Maria José Lourenção. Representações gráficas: atividades para o
ensino e a aprendizagem de conceitos trigonométricos – Bauru, SP : EDUSC, 2003.
150 p.; 21 cm. (Coleção Educar)
FIORENTINI, Dario. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e
metodológicos / Dario Fiorentinni, Sergio Lorenzato. – Campinas, SP: Autores
Associados, 2006. (Coleção formação de professores).
MENDES, I.A. Atividades Históricas para o Ensino da Trigonometria. In: BRITO,A.J.
et.al.(ORG.) História da Matemática em atividades didáticas. Natal, RN: EDUFRN
Editora da UFRN, 2005, p. 53-87.
PONTE, João Pedro da, BROCARDO, Ivana; OLIVEIRA, Hélio. Investigações
matemáticas na sala de aula. – 1ª ed. – Belo Horizonte: Autêntica, 2006. 152 p. –
(Tendências em educação matemática, 7).
ROCHA, Alexandra; PONTE, João Pedro da. Aprender matemática investigando.
Zetetiké – CEMPEM – FE – UNICAMP – v. 14 – n. 26 – jul./dez. – 2006.
SKOVSMOSE, O., Cenários para investigação. Bolema, Rio Claro, n.14, p. 66-91,
2000.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Matemática – Volume 1 – 1ª série – ensino médio/Kátia
Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. – 3. Ed. Reform. – São
Paulo: Saraiva, 2003.
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ANEXOS
Anexo 1 - Atividade 1: Trigonometria no triângulo retângulo
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1) Desenhe triângulos retângulos que tenha um ângulo de:
a) 30o
b) 45o
c) 50o
2) Dê as medidas dos lados de cada triângulo. Lembre que os lados do triângulo
retângulo são nomeados da seguinte maneira:
3) Para cada triângulo calcule:
a) a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa
b) a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa
c) a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente
4) Compare os seus resultados, do triângulo com ângulo de 30o, com mais três grupos e
preencha o quadro:
Razão Meu grupo Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
cateto oposto e a hipotenusa
cateto adjacente e a hipotenusa
cateto oposto e o cateto adjacente
5) Preencha o quadro para os seguintes triângulos:
Sabendo que:
α cateto oposto
cateto adjacente
hipotenusa
α
O E
F
D
C
B
A
38
AO = 10
AB = 6
CO = 15
CD = 9
EO = 20
EF = 12
Razão ∆ OAB ∆ OCD ∆ OEF
oposto e a hipotenusa
cateto adjacente e a hipotenusa
cateto oposto e o cateto adjacente
Como se pode perceber, as razões observadas são constantes para um mesmo ângulo. A
essas constantes daremos os nomes de:
hipotenusa
oposto cateto=αsen
hipotenusa
adjacente catetocos =α
adjacente cateto
oposto cateto=αtg
Exercícios
1) Dado um quadrado de lado 1, tome o triângulo retângulo formado por dois dos seus
lados e a diagonal e determine seno, cosseno e tangente do ângulo de 45o
2) Dado um triângulo eqüilátero de lado 1 determine os seno, cosseno e tangente dos
ângulos de 30o e 60o
3) Um homem está exatamente na direção de uma árvore, porém, na margem oposta do
rio. Ele nota que ao caminhar 10m, em linha reta na margem do rio, a árvore fica em
uma direção que faz 45o com a da margem. Determine a largura do rio.
4) Um prédio, com 30m de altura, às 10 horas da manhã faz uma sombra de 330 m.
Determine o ângulo de inclinação do sol em relação ao horizonte.
5) Um poste deverá ser sustentado por um cabo que liga sua extremidade ao solo.
Sabendo que este cabo deve fazer ângulo de 30o com o solo e que o poste tem 5m de
altura, determine o comprimento do cabo.
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Anexo 2 - Atividade 2: Construção do círculo trigonométrico
ATIVIDADE: SISTEMATIZAÇÃO DOS CÁLCULOS DAS RAZÕES SENO E
COSSENO DE UM ÂNGULO AGUDO
Importante: Esta atividade tem caráter investigativo. Durante sua realização anote tudo
o que julgar necessário. Cada dupla deverá elaborar um relatório, com base nas
anotações, contendo as discussões e conclusões da dupla.
1-A partir do segmento AB que mede 1 dm (10 cm), dado abaixo, construa triângulos
retângulos A C1 D, A C2 D, ... (D é um ponto do segmento AB e CD é perpendicular a
AB), sobre o segmento AB mantendo a hipotenusa AC constante igual a 1 dm, variando
o ângulo (CÂD) de 10 em 10 graus.
2-Meça e anote a medida dos catetos de cada triângulo desenhado, preenchendo a
tabela:
Cateto oposto a α Cateto adjacente a α
°= 10α
°= 20α
°= 30α
°= 40α
°= 50α
°= 60α
°= 70α
°= 80α
3-Que representação geométrica será obtida se ligarmos todos os pontos da trajetória do
vértice C1, C2,...?
4-Encontre os valores das razões (seno e cosseno) solicitadas, preenchendo a tabela:
°= 10α °= 20α °= 30α °= 40α °= 50α °= 60α °= 70α °= 80α
Sem
40
α
Cós
α
5-Determine o valor da αtg , utilizando o quociente αα
αtg
sen=
cos. (Acrescente na
tabela anterior mais uma linha para os valores de αtg .)
6-Observe a tabela e responda: O que você concluiu com relação aos valores de sen 10°
e cos 80°? E com relação aos de sen 20° e cos 70°? Por quê?
7-Pode-se afirmar que cos 2α = 2.cos α ? Por quê?
8-Quando α varia, o que acontece com os valores de sen α e cos α ?
9-Se αβ > , pode-se afirmar que αβ sensen > ? Por quê?
10-Se αβ > , pode-se afirmar que αβ coscos > ? Por quê?
11-Consulte uma tabela trigonométrica ou utilize uma calculadora e preencha os dados:
3° 2° 1° 0,5°
sen α
cos α
12-Quanto será o valor de sen α , para α próximo de 0°? E o valor de cos α ?
13-Qual será o valor de sen α e cos α , para α próximos de 90°?
85° 88° 89° 90°
sen α
cos α
14-Fazendo α varia de 0° a 90° qual a variação do sen α e do cosα ?
15- Construa o círculo de centro A e raio 1 dm (10 cm).
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16- Insira os eixos cartesianos no círculo posicionando o centro do círculo no ponto
(0,0). Quais são as coordenadas dos pontos de interseção do círculo com os eixos
cartesianos?
17-. Coloque nomes nesses pontos usando as letras A, A’,B, B’.
18- No círculo trigonométrico o ponto da extremidade de um arco se associa a um
ângulo ou a um arco, porém será que existe outro ponto no círculo trigonométrico que
se associa ao mesmo arco?
Anexo 3 - Atividade 3: Medir a altura de objetos sem a utilização de sombra
TRABALHO DE TRIGONOMETRIA
Escreva e registre as suas observações, discussões entre os colegas, ordem de suas
idéias e conclusões.
A trigonometria surgiu no séc V a. C. para resolver problemas práticos oriundos
das necessidades humanas. Os gregos realizavam medições de altura de objetos a partir
de sua sombra. Os egípcios utilizavam oesses conhecimentos para resolver problemas
cotidianos, por exemplo, determinar a altura de um barranco utilizando-se da medida de
sua sombra, quando o sol estivesse a 45º do horizonte. Entretanto, um dos problemas
que os egípcios enfrentavam para efetuar essa medição era o fato de haver apenas dois
dias do ano que o sol ficasse a 45º do horizonte, naquela região. Um problema prático
que marca o encontro de duas grandes civilizações que influenciaram o
desenvolvimento da geometria e conseqüentemente da trigonometria - egípcios e
gregos, cada um com seus costumes, valores, problemas econômicos, políticos e sociais
– foi o cálculo da altura da pirâmide de base quadrada - a Pirâmide de Quéops.
Com o passar do tempo, a estratégia desenvolvida por Tales de Mileto, filósofo grego
que viveu por volta do século 6 a.C, de utilizar a sombra do objeto, foi sendo
aperfeiçoada e a altura do objeto passou a ser calculada a partir das relações entre os
lados e ângulos de dois ou mais triângulos retângulos.
Exercício 1: Para compreender melhor esta estratégia propomos a realização de um
experimento a ser realizado de acordo com as instruções abaixo:
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MATERIAL:
Um transferidor; um canudinho de plástico; um clips, trena ou fita métrica.
Construa um instrumento de medição de ângulos (Astrolábio) de acordo com a figura.
PROCEDIMENTOS:
1) Escolha um dos prédios do campus da UFMG para ser medido.
2) Procure ficar aproximadamente a 4,0 m de distância do prédio, de modo a observá-
lo por inteiro.
3) Coloque o instrumento confeccionado na direção do prédio a ser medido, de modo
que você possa ver o topo do prédio através do orifício do canudinho.
4) Observe e anote o ângulo marcado pelo canudinho do transferidor e represente
geometricamente em uma folha de papel. Após a representação do triângulo observado,
desenhe outro triângulo retângulo semelhante ao anterior e que tenha um ângulo agudo
igual ao encontrado no instrumento usado pelo grupo.
5) Estabeleça a relação entre os lados e ângulos dos triângulos retângulos construídos
para determinar a altura do prédio (o triângulo em que um dos lados representa a altura
do prédio e o outro triângulo desenhado no papel semelhante ao triângulo construído
com a medida do prédio).
6) Faça um relatório completo sobre o experimento e aponte: O que você observou?
Quais os resultados encontrados durante a realização do experimento? O triângulo
desenhado pelo grupo pode ter lados maiores ou menores? Quando alteramos as
medidas dos lados desse triângulo o que acontece com a razão entre os lados e ângulos
dos triângulos retângulos? Como o grupo explica o resultado encontrado?
Resolva os problemas abaixo usando as relações que o grupo encontrou no experimento
da atividade 1.
Exercício 2: Uma pessoa se localiza a 6,30 m da base de um poste. Num determinado
instante, a sombra projetada por ela é de 2,70 m e coincide com a extremidade da
sombra do poste. Sabendo que essa pessoa mede 1,80 m, determine a altura do poste.
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Exercício 3: Uma canoa atravessa um rio em um trecho onde a largura é de 100 m,
seguindo uma direção que forma 60º com a margem:
a) Qual a distância percorrida pela canoa?
b) Quantos metros desvia-se rio abaixo em relação ao ponto de partida?
Referência: MENDES, I.A. Atividades Históricas para o Ensino da Trigonometria. In:
BRITO,A.J. et.al.(ORG.) História da Matemática em atividades didáticas. Natal, RN:
EDUFRN Editora da UFRN, 2005, p. 53-87.
![INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS MEDIADAS PELO … · ensino e aprendizagem das funções seno e cosseno [manuscrito] : ... Inversão formato do gráfico da função ... 3.4.2 Fases e](https://img.document.onl/doc/110x75/5bfeb81f09d3f295268c1eb0/investigacoes-matematicas-mediadas-pelo-ensino-e-aprendizagem-das-funcoes.jpg)
