Isabelle Silva de Araujo- Engenharia de Produção

Potenciação

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2

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Potenciação

No século 3 a.C na Grécia antiga, Arquimedes resolveu calcular quantos grãos de areia eram necessários para encher o Universo.

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Então Arquimedes calculou o diâmetro do universo e o volume médio de um grão de areia. No final de seus cálculos apareceu contas de multiplicar por dez repetidas vezes.

N de vezes que o 10 aparece na multiplicação Resultado

1 10

2 100

3 1000

4 10000

5 100000

... ...

Potenciação

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Também chamada de EXPONENCIAÇÃO; é uma operação usada para indicar a multiplicação de um número por ele mesmo x vezes

Por exemplo:

4 . 4 . 4 = 64

Utilizando a potenciação podemos escrever a expressão da seguinte forma: 4³ .

Potenciação: Definição

• 7³ =

•( 0,5)² =

Calcule o valor de • 3x² + x – 1, para x = 0,5

Vejamos algumas aplicações ...

A incógnita “n” usada abaixo representa o número BaseQualquer número racional elevado ao expoente zero é igual

a um. = 1

Ex.: = 1 = 1 = 1

Caso a base N seja zero, essa regra não é verdadeira.

Por que?Teremos a resposta mais adiante

Potenciação: Regras

Qualquer número racional elevado ao expoente um é igual à base.

n¹ = nEx.:

• 2¹ = 2• 25¹ = 25• 134¹ = 134

Potenciação: Regras

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As potências surgiram no intuito de representar multiplicações onde os fatores eram iguais. Dessa forma, algumas propriedades foram criadas nas operações envolvendo potenciações de bases iguais ou diferentes, simplificando os cálculos. Observe o desenvolvimento de uma potência:

3² = 3 x 3 = 9

10³ = 10 x 10 x 10 = 1000

64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296

Propriedades das potências

Para efetuarmos um produto de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes dos fatores.

Ex.: • 10² . 10¹ = 10³

Propriedade 1:“Multiplicação de potencia de mesma base”

baba XXX .

2.

3.

Vejamos algumas aplicações ...

Propriedade 2:“Divisão de Potências de Mesma Base”

Para efetuarmos um quociente de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

bab

a

XX

X

34

7

22

2

1.

2.

Vejamos algumas aplicações ...

Respondendo a questão feita no início da aula...

SABE-SE QUE :

Caso a base N seja zero, essa regra não é verdadeira!

Por que?

n/n = 1 Qualquer número diferente de zero dividido por ele mesmo dá 1.

n¹/n¹ = n° Usamos a propriedade de divisão de potência de mesmas base.

Como o resultado tem que ser único, concluímos que n°=1.

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Até agora vimos Multiplicação eDivisão com termos de mesmabase. E quando não tiver mesmabase? O que podemos fazer?

O QUE VAMOS VER AGORA É JUSTAMENTE O SEGUNDO CASO: EXPOENTES IGUAIS.

Propriedades das potências

Propriedade 3:“Multiplicação de potência de mesmo expoente”

Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos reais.

aaa XYYX )(.

Propriedade 4:

“Divisão de Potências de mesmo expoente”

• O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão. Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos números reais. Conserva-se o expoente e divide-se as bases.

a

a

a

Y

X

Y

X

1.

2.

Vejamos algumas aplicações ...

Propriedade 5:“Potencia de Potencia”

Onde "a" e "b" podem ser quaisquer números do conjunto dos reais. Potência de potência, multiplica-se os expoentes.

baba XX .)(

1.

2.

Vejamos algumas aplicações ...

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Propriedade 6:“O Inverso de um número”

nn

aa

1

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nna

a

1

Propriedade 7

1.

2.

3.

Vejamos algumas aplicações ...

Quando tivermos um número negativo elevado numa potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplos: (-5)2= (-5) . (-5) = 25(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16

Note, então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como

se fosse positivo.

E se tivermos um expoente ímpar?

Outras propriedades

Observe:

(-5)3=(-5)·(-5)·(-5) = -125

Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na

resposta.

(-5)2 É TOTALMENTE DIFERENTE DE -52 . NO PRIMEIRO CASO O SINAL DE MENOS TAMBÉM

ESTÁ ELEVADO AO QUADRADO, ENTÃO A RESPOSTA É +25. JÁ NO SEGUNDO CASO, O

MENOS NÃO ESTÁ ELEVADO AO QUADRADO, SOMENTE O 5, PORTANTO A RESPOSTA É -25.

IMPORTANTE!!!

Outras propriedades

1.

2.

3.

Vejamos algumas aplicações ...

Obrigado pela atenção!

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